ඔන්ලයින් රේඛාවලින් මායිම් කරන ලද රූපයේ භ්‍රමණ සිරුරේ පරිමාව. නිශ්චිත අනුකලනයක් භාවිතා කරමින් විප්ලවයේ සිරුරු පරිමාව ගණනය කිරීම

විප්ලවයේ සිරුරක පරිමාව සූත්‍රය මගින් ගණනය කළ හැක:

සූත්‍රයේ, අනුකලයට පෙර අංකයක් තිබිය යුතුය. එය එසේ සිදු විය - ජීවිතයේ කැරකෙන සෑම දෙයක්ම මෙම නියතය සමඟ සම්බන්ධ වේ.

"a" සහ "be" ඒකාබද්ධ කිරීමේ සීමාවන් සකසන්නේ කෙසේද, මම හිතන්නේ, සම්පුර්ණ කරන ලද ඇඳීමෙන් අනුමාන කිරීම පහසුය.

කාර්යය... මොකක්ද මේ කාර්යය? අපි චිත්රය දෙස බලමු. පැතලි රූපය ඉහළින් ඇති පරාවලයික ප්‍රස්ථාරයෙන් මායිම් කර ඇත. සූත්‍රයෙන් ගම්‍ය වන ශ්‍රිතය මෙයයි.

ප්රායෝගික කාර්යයන් වලදී, පැතලි රූපයක් සමහර විට අක්ෂයට පහළින් පිහිටා ඇත. මෙය කිසිවක් වෙනස් නොකරයි - සූත්‍රයේ අනුකලනය වර්ග කර ඇත :, මේ අනුව අනුකලනය සැමවිටම ඍණාත්මක නොවේ , එය තරමක් තාර්කික ය.

මෙම සූත්‍රය භාවිතා කර විප්ලවයේ සිරුරේ පරිමාව ගණනය කරන්න:

මා දැනටමත් සඳහන් කර ඇති පරිදි, අනුකලනය සෑම විටම පාහේ සරල බව පෙනේ, ප්රධාන දෙය නම් පරෙස්සම් වීමයි.

පිළිතුර:

පිළිතුරෙහි, මානය - ඝන ඒකක සඳහන් කිරීම අවශ්ය වේ. එනම්, අපගේ භ්‍රමණ ශරීරයේ දළ වශයෙන් "කියුබ්" 3.35 ක් ඇත. ඇයි හරියටම ඝනක ඒකක? වඩාත්ම විශ්වීය සූත්රගත කිරීම නිසා. ඝන සෙන්ටිමීටර විය හැක, විය හැක ඝන මීටර්, සමහර විට ඝන කිලෝමීටර්, ආදිය, ඔබේ පරිකල්පනය පියාඹන පීරිසියකට ගැළපෙන කුඩා කොළ මිනිසුන් කොපමණ ද යන්නයි.

උදාහරණ 2

ශරීරයේ පරිමාව සොයා ගන්න භ්රමණයෙන් සෑදී ඇතරූපයේ අක්ෂය වටා රේඛාවලින් බැඳී ඇත,,

මේ සඳහා උදාහරණයක් ස්වාධීන විසඳුම. සම්පූර්ණ විසඳුමසහ පාඩම අවසානයේ පිළිතුර.

තවත් දෙකක් සලකා බලන්න අභියෝගාත්මක කාර්යයන්බොහෝ විට ප්රායෝගිකව හමු වන.

උදාහරණය 3

රේඛා වලින් මායිම් කර ඇති රූපයේ abscissa අක්ෂය වටා භ්‍රමණය වීමෙන් ලබා ගත් සිරුරේ පරිමාව ගණනය කරන්න , සහ

විසඳුමක්: සමීකරණය අක්ෂය සකසන බව අමතක නොකර, රේඛා වලින් මායිම් කර ඇති චිත්‍රයේ පැතලි රූපයක් අඳිමු:

අපේක්ෂිත රූපය නිල් පැහැයෙන් වර්ණාලේප කර ඇත. අක්ෂය වටා භ්රමණය වන විට, කොන් හතරක් සහිත එවැනි සර්රියල් ඩෝනට් ලබා ගනී.

විප්ලවයේ සිරුරේ පරිමාව ගණනය කරනු ලැබේ ශරීර පරිමාවේ වෙනස.

පළමුව, රතු පැහැයෙන් රවුම් කර ඇති රූපය දෙස බලමු. අක්ෂය වටා භ්රමණය වන විට, කපන ලද කේතුවක් ලබා ගනී. මෙම කප්පාදු කරන ලද කේතුවේ පරිමාව දක්වන්න.

රවුම් කර ඇති රූපය සලකා බලන්න කොළ පාටින්. කරකවන්නේ නම් මෙම රූපයඅක්ෂය වටා, ඔබට කප්පාදු කරන ලද කේතුවක් ද ලැබෙනු ඇත, එය ටිකක් කුඩා වේ. අපි එහි පරිමාව දක්වන්නෙමු.

තවද, පැහැදිලිවම, වෙළුම් වල වෙනස හරියටම අපගේ "ඩෝනට්" පරිමාවයි.

විප්ලවයේ සිරුරේ පරිමාව සොයා ගැනීම සඳහා අපි සම්මත සූත්‍රය භාවිතා කරමු:

1) රතු පැහැයෙන් රවුම් කර ඇති රූපය ඉහළ සිට සරල රේඛාවකින් මායිම් කර ඇත, එබැවින්:

2) කොළ පැහැයෙන් රවුම් කර ඇති රූපය ඉහළ සිට සරල රේඛාවකින් මායිම් කර ඇත, එබැවින්:

3) අපේක්ෂිත විප්ලවයේ පරිමාව:

පිළිතුර:

තුළ සිටීම කුතුහලයට කරුණකි මෙම නඩුවකප්පාදු කරන ලද කේතුවක පරිමාව ගණනය කිරීම සඳහා පාසල් සූත්‍රය භාවිතයෙන් විසඳුම පරීක්ෂා කළ හැකිය.

තීරණය බොහෝ විට කෙටි වේ, මේ වගේ දෙයක්:

දැන් අපි විවේකයක් ගෙන ජ්යාමිතික මිත්යාවන් ගැන කතා කරමු.

මිනිසුන්ට බොහෝ විට වෙළුම් හා සම්බන්ධ මිත්‍යාවන් ඇත, එය පෙරෙල්මන් (තවත්) පොතේ දුටුවේය සිත්ගන්නා ජ්යාමිතිය. විසඳන ලද ගැටලුවේ පැතලි රූපය දෙස බලන්න - එය ප්රදේශයෙන් කුඩා බව පෙනේ, සහ විප්ලවයේ සිරුරේ පරිමාව ඝන ඒකක 50 කට වඩා වැඩි ය, එය ඉතා විශාල බව පෙනේ. මාර්ගය වන විට, ඔහුගේ මුළු ජීවිත කාලය තුළම සාමාන්ය පුද්ගලයෙකු 18 ක ප්රදේශයක් සහිත කාමරයක පරිමාවක් සහිත දියරයක් පානය කරයි. වර්ග මීටර, ඊට පටහැනිව, ඉතා කුඩා බව පෙනේ.

පොදුවේ ගත් කල, සෝවියට් සංගමයේ අධ්‍යාපන ක්‍රමය ඇත්තෙන්ම හොඳම විය. 1950 දී නැවත ප්‍රකාශයට පත් කරන ලද පෙරෙල්මන්ගේ එම පොත ඉතා හොඳින් වර්ධනය වේ, හාස්‍ය රචකයා පැවසූ පරිදි, තර්කනය සහ ගැටළු සඳහා මුල් සම්මත නොවන විසඳුම් සෙවීමට ඔබට උගන්වයි. මෑතකදී මම ඉතා උනන්දුවෙන් සමහර පරිච්ඡේද නැවත කියෙව්වා, මම එය නිර්දේශ කරමි, එය මානුෂීයවාදීන්ට පවා ප්රවේශ විය හැකිය. නැත, මා යෝජනා කළේ විශිෂ්ට විනෝදාංශයක්, විචක්ෂණභාවය සහ සන්නිවේදනයේ පුළුල් දැක්මක් යැයි ඔබ සිනාසීමට අවශ්‍ය නැත.

පසු අපගමනයතීරණය කිරීමට සුදුසු ය නිර්මාණාත්මක කාර්යය:

උදාහරණය 4

රේඛා වලින් මායිම් වූ පැතලි රූපයක අක්ෂය වටා භ්‍රමණය වීමෙන් සෑදෙන සිරුරේ පරිමාව ගණනය කරන්න,,.

මෙය ඔබ විසින්ම කළ හැකි උදාහරණයකි. සංගීත කණ්ඩායම තුළ සියලු දේ සිදු වන බව සලකන්න, වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, සූදානම් කළ ඒකාබද්ධ කිරීමේ සීමාවන් ඇත්ත වශයෙන්ම ලබා දී ඇත. ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතවල ප්‍රස්ථාර නිවැරදිව අඳින්න, මම පාඩමේ තොරතුරු ඔබට මතක් කරමි ප්‍රස්ථාරවල ජ්‍යාමිතික පරිවර්තනය : තර්කය දෙකකින් බෙදිය හැකි නම්: , එවිට ප්‍රස්ථාර අක්ෂය දිගේ දෙවරක් දිගු වේ. අවම වශයෙන් ලකුණු 3-4 ක් සොයා ගැනීම සුදුසුය ත්‍රිකෝණමිතික වගු වලට අනුව ඇඳීම වඩාත් නිවැරදිව සම්පූර්ණ කිරීමට. සම්පූර්ණ විසඳුම සහ පාඩම අවසානයේ පිළිතුර. මාර්ගය වන විට, කාර්යය තාර්කිකව විසඳා ගත හැකි අතර ඉතා තාර්කික නොවේ.

ප්‍රදේශය සොයා ගැනීමේ ගැටලුව මෙන්ම, ඔබට විශ්වාසදායක චිත්‍ර ඇඳීමේ කුසලතා අවශ්‍ය වේ - මෙය වඩාත්ම වැදගත් දෙයයි (අනුකලනයන් බොහෝ විට පහසු වනු ඇති බැවින්). ඔබට දක්ෂ හා වේගවත් ප්‍රස්ථාර තාක්‍ෂණයක් භාවිතා කර ප්‍රගුණ කළ හැකිය ඉගැන්වීමේ ද්රව්යසහ ජ්යාමිතික ප්රස්තාර පරිවර්තනය. එහෙත්, ඇත්ත වශයෙන්ම, මම පාඩමේ ඇඳීම්වල වැදගත්කම ගැන නැවත නැවතත් කතා කර ඇත.

පොදුවේ ගත් කල, අනුකලිත කලනයේ ආධාරයෙන් බොහෝ රසවත් යෙදුම් තිබේ නිශ්චිත අනුකලනයඔබට රූපයක ප්‍රදේශය, විප්ලවයේ සිරුරේ පරිමාව, චාපයක දිග, විප්ලවයේ මතුපිට ප්‍රදේශය සහ තවත් බොහෝ දේ ගණනය කළ හැකිය. එබැවින් එය විනෝදජනක වනු ඇත, කරුණාකර ශුභවාදී වන්න!

ඛණ්ඩාංක තලයේ පැතලි රූපයක් සිතන්න. නියෝජනය කළේ? ... මම කල්පනා කරන්නේ කවුද ඉදිරිපත් කළේ කුමක්ද ... =))) අපි දැනටමත් එහි ප්රදේශය සොයාගෙන ඇත. එහෙත්, ඊට අමතරව, මෙම රූපය ද භ්රමණය කළ හැකි අතර, ක්රම දෙකකින් භ්රමණය කළ හැකිය:

- abscissa අක්ෂය වටා;
- y අක්ෂය වටා.

මෙම ලිපියෙන් අවස්ථා දෙකම සාකච්ඡා කරනු ඇත. භ්‍රමණය කිරීමේ දෙවන ක්‍රමය විශේෂයෙන් සිත්ගන්නා සුළුය, එය විශාලතම දුෂ්කරතා ඇති කරයි, නමුත් ඇත්ත වශයෙන්ම විසඳුම x-අක්ෂය වටා වඩාත් පොදු භ්‍රමණයට සමාන වේ. ප්රසාද දීමනාවක් ලෙස, මම නැවත එන්නෙමි රූපයක ප්රදේශය සොයා ගැනීමේ ගැටළුව, සහ දෙවන ආකාරයෙන් ප්රදේශය සොයා ගන්නේ කෙසේදැයි ඔබට කියන්න - අක්ෂය දිගේ. ද්‍රව්‍ය තේමාවට හොඳින් ගැලපෙන බැවින් එතරම් ප්‍රසාද දීමනාවක් පවා නොවේ.

වඩාත් ජනප්රිය ආකාරයේ භ්රමණයෙන් පටන් ගනිමු.

අක්ෂයක් වටා පැතලි රූපයක්

උදාහරණ 1

අක්ෂය වටා රේඛා මගින් මායිම් කරන ලද රූපය භ්රමණය කිරීමෙන් ලබාගත් ශරීරයේ පරිමාව ගණනය කරන්න.

විසඳුමක්: ප්‍රදේශයේ ගැටලුව මෙන්ම, විසඳුම ඇඳීමකින් ආරම්භ වේ පැතලි රූපය . එනම්, තලය මත රේඛා වලින් මායිම් වූ රූපයක් තැනීම අවශ්ය වේ , සමීකරණය අක්ෂය නිර්වචනය කරන බව අමතක නොකරන්න. චිත්‍රයක් වඩාත් තාර්කිකව හා වේගවත් කරන්නේ කෙසේද යන්න පිටු වලින් සොයාගත හැකිය මූලික කාර්යයන්හි ප්‍රස්තාර සහ ගුණහා නිශ්චිත අනුකලනය. රූපයක ප්රදේශය ගණනය කරන්නේ කෙසේද. මෙය චීන මතක් කිරීමක් වන අතර මම මෙතැනින් නවතින්නේ නැත.

මෙහි ඇඳීම තරමක් සරල ය:

අපේක්ෂිත පැතලි රූපය නිල් පැහැයෙන් වර්ණාලේප කර ඇති අතර, අක්ෂය වටා භ්රමණය වන මෙම රූපය වේ.භ්රමණ ප්රතිඵලයක් ලෙස, එවැනි තරමක් බිත්තර හැඩැති පියාඹන පීරිසියක් ලබා ගනී, එය අක්ෂය වටා සමමිතික වේ. ඇත්ත වශයෙන්ම, ශරීරයට ගණිතමය නමක් ඇත, නමුත් එය විමර්ශන පොතේ යමක් සඳහන් කිරීමට කම්මැලි ය, එබැවින් අපි ඉදිරියට යමු.

විප්ලවයේ සිරුරේ පරිමාව ගණනය කරන්නේ කෙසේද?

විප්ලවයේ සිරුරක පරිමාව සූත්‍රය මගින් ගණනය කළ හැක:

කාර්යය... මොකක්ද මේ කාර්යය? අපි චිත්රය දෙස බලමු. පැතලි රූපය ඉහළින් පරාවල ප්‍රස්ථාරයෙන් මායිම් කර ඇත. සූත්‍රයෙන් ගම්‍ය වන ශ්‍රිතය මෙයයි.

ප්රායෝගික කාර්යයන් වලදී, පැතලි රූපයක් සමහර විට අක්ෂයට පහළින් පිහිටා ඇත. මෙය කිසිවක් වෙනස් නොකරයි - සූත්‍රයේ අනුකලනය වර්ග කර ඇත: , මෙලෙස අනුකලනය සැමවිටම ඍණාත්මක නොවේ, එය තරමක් තාර්කික ය.

භාවිතා කරමින් විප්ලවයේ සිරුරේ පරිමාව ගණනය කරන්න මෙම සූත්රය:

පිළිතුර:

පිළිතුරෙහි, මානය - ඝන ඒකක සඳහන් කිරීම අවශ්ය වේ. එනම්, අපගේ භ්‍රමණ ශරීරයේ දළ වශයෙන් "කියුබ්" 3.35 ක් ඇත. ඇයි හරියටම ඝනක ඒකක? වඩාත්ම විශ්වීය සූත්රගත කිරීම නිසා. ඝන සෙන්ටිමීටර තියෙන්න පුළුවන්, ඝන මීටර් තියෙන්න පුළුවන්, ඝන කිලෝමීටර් තියෙන්න පුළුවන්, යනාදී වශයෙන් ඔබේ පරිකල්පනයට පියාඹන පීරිසියකට ගැළපෙන පුංචි කොළ මිනිසුන් කී දෙනෙකුට පුළුවන්ද කියලා.

උදාහරණ 2

රේඛාවලින් මායිම් කර ඇති රූපයේ අක්ෂය වටා භ්‍රමණය වීමෙන් සෑදෙන සිරුරේ පරිමාව සොයන්න, ,

මෙය ඔබ විසින්ම කළ හැකි උදාහරණයකි. සම්පූර්ණ විසඳුම සහ පාඩම අවසානයේ පිළිතුර.

ප්රායෝගිකව බොහෝ විට මුහුණ දෙන වඩාත් සංකීර්ණ ගැටළු දෙකක් සලකා බලමු.

උදාහරණය 3

රේඛාවලින් මායිම් කර ඇති රූපයේ abscissa අක්ෂය වටා භ්‍රමණය වීමෙන් ලබා ගත් සිරුරේ පරිමාව ගණනය කරන්න , සහ

විසඳුමක්: සමීකරණය මගින් අක්ෂය නිර්වචනය කරන බව අමතක නොකර, රේඛා වලින් සීමා වූ චිත්‍රයේ පැතලි රූපයක් අඳින්න:

විප්ලවයේ සිරුරේ පරිමාව ගණනය කරනු ලැබේ ශරීර පරිමාවේ වෙනස.

පළමුව, රතු පැහැයෙන් රවුම් කර ඇති රූපය දෙස බලමු. අක්ෂය වටා භ්රමණය වන විට, කපන ලද කේතුවක් ලබා ගනී. මෙම කප්පාදු කරන ලද කේතුවේ පරිමාව ලෙස දක්වන්නෙමු.

කොළ පාටින් රවුම් කර ඇති රූපය සලකා බලන්න. ඔබ මෙම රූපය අක්ෂය වටා කරකවන්නේ නම්, ඔබට කුඩා කේතුවක් ද ලැබෙනු ඇත. අපි එහි පරිමාව දක්වන්නෙමු.

තවද, පැහැදිලිවම, වෙළුම් වල වෙනස හරියටම අපගේ "ඩෝනට්" පරිමාවයි.

විප්ලවයේ සිරුරේ පරිමාව සොයා ගැනීම සඳහා අපි සම්මත සූත්‍රය භාවිතා කරමු:

1) රතු පැහැයෙන් රවුම් කර ඇති රූපය ඉහළ සිට සරල රේඛාවකින් මායිම් කර ඇත, එබැවින්:

2) කොළ පැහැයෙන් රවුම් කර ඇති රූපය ඉහළ සිට සරල රේඛාවකින් මායිම් කර ඇත, එබැවින්:

3) අපේක්ෂිත විප්ලවයේ පරිමාව:

පිළිතුර:

මෙම අවස්ථාවේ දී කප්පාදු කරන ලද කේතුවක පරිමාව ගණනය කිරීම සඳහා පාසල් සූත්‍රය භාවිතයෙන් විසඳුම පරීක්ෂා කළ හැකි බව කුතුහලයට කරුණකි.

තීරණය බොහෝ විට කෙටි වේ, මේ වගේ දෙයක්:

දැන් අපි විවේකයක් ගෙන ජ්යාමිතික මිත්යාවන් ගැන කතා කරමු.

මිනිසුන්ට බොහෝ විට වෙළුම් හා සම්බන්ධ මිත්‍යාවන් ඇත, එය පෙරෙල්මන් (තවත්) පොතේ දුටුවේය සිත්ගන්නා ජ්යාමිතිය. විසඳන ලද ගැටලුවේ පැතලි රූපය දෙස බලන්න - එය ප්රදේශයෙන් කුඩා බව පෙනේ, සහ විප්ලවයේ සිරුරේ පරිමාව ඝන ඒකක 50 කට වඩා වැඩි ය, එය ඉතා විශාල බව පෙනේ. මාර්ගය වන විට, ඔහුගේ මුළු ජීවිතයේම සාමාන්ය පුද්ගලයෙකු වර්ග මීටර් 18 ක කාමරයක පරිමාවක් සහිත ද්රවයක් පානය කරයි, ඊට පටහැනිව, පරිමාව ඉතා කුඩා බව පෙනේ.

පොදුවේ ගත් කල, සෝවියට් සංගමයේ අධ්‍යාපන ක්‍රමය ඇත්තෙන්ම හොඳම විය. 1950 දී නැවත ප්‍රකාශයට පත් කරන ලද පෙරෙල්මන්ගේ එම පොත ඉතා හොඳින් වර්ධනය වේ, හාස්‍ය රචකයා පැවසූ පරිදි, තර්කනය සහ මුල් පිටපත සෙවීමට ඔබට උගන්වයි. සම්මත නොවන විසඳුම්ගැටලු. මෑතකදී මම ඉතා උනන්දුවෙන් සමහර පරිච්ඡේද නැවත කියෙව්වා, මම එය නිර්දේශ කරමි, එය මානුෂීයවාදීන්ට පවා ප්රවේශ විය හැකිය. නැත, මා යෝජනා කළේ විශිෂ්ට විනෝදාංශයක්, විචක්ෂණභාවය සහ සන්නිවේදනයේ පුළුල් දැක්මක් යැයි ඔබ සිනාසීමට අවශ්‍ය නැත.

ගීතමය අපගමනයකින් පසුව, නිර්මාණාත්මක කාර්යයක් විසඳීම සුදුසු ය:

උදාහරණය 4

රේඛා වලින් මායිම් වූ පැතලි රූපයක අක්ෂය වටා භ්‍රමණය වීමෙන් සෑදෙන සිරුරේ පරිමාව ගණනය කරන්න , , කොහෙද .

මෙය ඔබ විසින්ම කළ හැකි උදාහරණයකි. සංගීත කණ්ඩායම තුළ සියලු දේ සිදු වන බව සලකන්න, වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, සූදානම් කළ ඒකාබද්ධ කිරීමේ සීමාවන් ඇත්ත වශයෙන්ම ලබා දී ඇත. ග්‍රැෆික්ස් නිවැරදිව ගන්න ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත, ගැන පාඩමේ කරුණු සිහිපත් කරන්න ප්‍රස්ථාරවල ජ්‍යාමිතික පරිවර්තනය: තර්කය දෙකකින් බෙදිය හැකි නම්: , එවිට ප්‍රස්ථාර අක්ෂය දිගේ දෙවරක් දිගු වේ. අවම වශයෙන් ලකුණු 3-4 ක් සොයා ගැනීම සුදුසුය ත්‍රිකෝණමිතික වගු වලට අනුවඇඳීම වඩාත් නිවැරදිව සම්පූර්ණ කිරීමට. සම්පූර්ණ විසඳුම සහ පාඩම අවසානයේ පිළිතුර. මාර්ගය වන විට, කාර්යය තාර්කිකව විසඳා ගත හැකි අතර ඉතා තාර්කික නොවේ.

භ්‍රමණයෙන් සෑදෙන සිරුරේ පරිමාව ගණනය කිරීම
අක්ෂයක් වටා පැතලි රූපයක්

දෙවන ඡේදය පළමු ඡේදයට වඩා රසවත් වනු ඇත. y අක්ෂය වටා විප්ලවයේ සිරුරේ පරිමාව ගණනය කිරීමේ කාර්යය ද බොහෝ විට ආගන්තුකයෙකි. පාලන වැඩ. සම්මත කිරීමේදී සලකා බලනු ලැබේ රූපයක ප්රදේශය සොයා ගැනීමේ ගැටළුවදෙවන ක්‍රමය - අක්ෂය දිගේ ඒකාබද්ධ කිරීම, මෙය ඔබේ කුසලතා වැඩි දියුණු කිරීමට පමණක් නොව, වඩාත්ම ලාභදායී විසඳුම සොයා ගන්නේ කෙසේදැයි ඔබට උගන්වනු ඇත. එයට ප්‍රායෝගික අර්ථයක් ද ඇත! ගණිත ඉගැන්වීමේ ක්‍රම පිළිබඳ මගේ ගුරුවරයා සිනහවකින් සිහිපත් කළ පරිදි, බොහෝ උපාධිධාරීන් ඇයට ස්තූති කළේ “ඔබේ විෂය අපට බොහෝ උපකාර විය, දැන් අපි ඵලදායී කළමනාකරුවන් වන අතර අපගේ කාර්ය මණ්ඩලය ප්‍රශස්ත ලෙස කළමනාකරණය කරන්නෙමු.” මෙම අවස්ථාව ප්‍රයෝජනයට ගනිමින්, මම ඇයට මගේ ඉමහත් කෘතඥතාවය ද ප්‍රකාශ කරමි, විශේෂයෙන් මම ලබාගත් දැනුම එහි අපේක්ෂිත අරමුණු සඳහා භාවිතා කරන බැවින් =).

මම එය සෑම කෙනෙකුටම කියවීමට නිර්දේශ කරමි, සම්පූර්ණ ඩමිස් පවා. තවද, දෙවන ඡේදයේ උකහාගත් ද්‍රව්‍ය ද්විත්ව අනුකලයන් ගණනය කිරීමේදී අගනා උපකාරයක් වනු ඇත..

උදාහරණ 5

රේඛා වලින් සීමා වූ පැතලි රූපයක් ලබා දී ඇත , .

1) මෙම රේඛා වලින් සීමා වූ පැතලි රූපයක ප්රදේශය සොයා ගන්න.
2) අක්ෂය වටා මෙම රේඛාවලින් මායිම් කර ඇති පැතලි රූපයක් කරකැවීමෙන් ලබාගත් ශරීරයේ පරිමාව සොයා ගන්න.

අවධානය!ඔබට දෙවන ඡේදය පමණක් කියවීමට අවශ්‍ය වුවද, පළමුව අවශ්යයෙන්මපළමු එක කියවන්න!

විසඳුමක්: කාර්යය කොටස් දෙකකින් සමන්විත වේ. අපි චතුරස්රයෙන් පටන් ගනිමු.

1) අපි චිත්‍රය ක්‍රියාත්මක කරමු:

ශ්‍රිතය මගින් පරාවලයේ ඉහළ ශාඛාව නිර්වචනය කරන බවත්, ශ්‍රිතය පරාවලයේ පහළ ශාඛාව නිර්වචනය කරන බවත් දැකීම පහසුය. අප ඉදිරියේ ඇත්තේ "එහි පැත්තේ වැතිර සිටින" සුළු පැරබෝලා ය.

අපේක්ෂිත රූපය, සොයා ගත යුතු ප්රදේශය නිල් පැහැයෙන් වර්ණාලේප කර ඇත.

රූපයක ප්රදේශය සොයා ගන්නේ කෙසේද? පාඩමෙහි සලකා බැලූ "සාමාන්ය" ආකාරයෙන් එය සොයාගත හැකිය. නිශ්චිත අනුකලනය. රූපයක ප්රදේශය ගණනය කරන්නේ කෙසේද. එපමණක් නොව, රූපයේ ප්‍රදේශය ප්‍රදේශ වල එකතුව ලෙස දක්නට ලැබේ:
- කොටස මත ;
- කොටස මත.

ඒක තමයි:

මෙම නඩුවේ සුපුරුදු විසඳුමේ ඇති වරද කුමක්ද? පළමුව, අනුකලන දෙකක් තිබේ. දෙවනුව, අනුකලනය යටතේ ඇති මූලයන් සහ අනුකලනයන්හි මූලයන් තෑග්ගක් නොවේ, එපමනක් නොව, අනුකලනයේ සීමාවන් ආදේශ කිරීමේදී කෙනෙකුට ව්‍යාකූල විය හැක. ඇත්ත වශයෙන්ම, අනුකලනය, ඇත්ත වශයෙන්ම, මාරාන්තික නොවේ, නමුත් ප්රායෝගිකව සෑම දෙයක්ම වඩා කණගාටුදායක ය, මම කාර්යය සඳහා "වඩා හොඳ" කාර්යයන් තෝරා ගත්තා.

වඩා තාර්කික විසඳුමක් තිබේ: එය සංක්රමණයෙන් සමන්විත වේ ප්රතිලෝම ශ්රිතසහ අක්ෂය ඔස්සේ ඒකාබද්ධ කිරීම.

ප්‍රතිලෝම ශ්‍රිත වෙත ගමන් කරන්නේ කෙසේද? දළ වශයෙන් කිවහොත්, ඔබ "y" හරහා "x" ප්රකාශ කළ යුතුය. පළමුව, අපි පැරබෝලා සමඟ කටයුතු කරමු:

මෙය ප්‍රමාණවත් වේ, නමුත් එම ශ්‍රිතයම පහළ ශාඛාවෙන් ව්‍යුත්පන්න කළ හැකි බවට වග බලා ගනිමු:

සරල රේඛාවක් සමඟ, සියල්ල පහසු ය:

දැන් අක්ෂය දෙස බලන්න: කරුණාකර ඔබ පැහැදිලි කරන පරිදි වරින් වර ඔබේ හිස අංශක 90 ක් දකුණට ඇල කරන්න (මෙය විහිළුවක් නොවේ!). අපට අවශ්‍ය රූපය රතු තිත් රේඛාවෙන් දැක්වෙන කොටසේ පිහිටා ඇත. තවද, කොටසෙහි, සරල රේඛාව පරාවලයට ඉහළින් පිහිටා ඇත, එයින් අදහස් කරන්නේ ඔබට දැනටමත් හුරුපුරුදු සූත්‍රය භාවිතා කර රූපයේ ප්‍රදේශය සොයාගත යුතු බවයි: . සූත්‍රයේ වෙනස් වී ඇත්තේ කුමක්ද? ලිපියක් පමණි, ඊට වඩා දෙයක් නැත.

! සටහන: අක්ෂය දිගේ ඒකාබද්ධ කිරීමේ සීමාවන් සැකසිය යුතුය තදින් පහළ සිට ඉහළට!

ප්රදේශය සොයා ගැනීම:

කොටස මත, එබැවින්:

මම ඒකාබද්ධ කිරීම සිදු කළ ආකාරය ගැන අවධානය යොමු කරන්න, මෙය වඩාත්ම තාර්කික මාර්ගය වන අතර, පැවරුමේ ඊළඟ ඡේදයේ එය පැහැදිලි වනු ඇත.

ඒකාබද්ධයේ නිවැරදි බව සැක කරන පාඨකයන් සඳහා, මම ව්‍යුත්පන්නයන් සොයා ගන්නෙමි:

මුල් අනුකලනය ලබා ගනී, එයින් අදහස් වන්නේ ඒකාබද්ධ කිරීම නිවැරදිව සිදු කරන බවයි.

පිළිතුර:

2) අක්ෂය වටා මෙම රූපයේ භ්රමණයෙන් සාදන ලද සිරුරේ පරිමාව ගණනය කරන්න.

මම චිත්‍රය තරමක් වෙනස් මෝස්තරයකින් නැවත අඳින්නෙමි:

ඉතින්, නිල් පැහැයෙන් සෙවන ලද රූපය අක්ෂය වටා භ්රමණය වේ. එහි ප්‍රතිඵලය වන්නේ එහි අක්ෂය වටා භ්‍රමණය වන "සැළෙන සමනලයෙක්" ය.

විප්ලවයේ සිරුරේ පරිමාව සොයා ගැනීම සඳහා, අපි අක්ෂය ඔස්සේ අනුකලනය කරනු ඇත. මුලින්ම අපි ප්‍රතිලෝම ශ්‍රිත වෙත යා යුතුයි. මෙය දැනටමත් සිදු කර ඇති අතර පෙර ඡේදයේ විස්තරාත්මකව විස්තර කර ඇත.

දැන් අපි නැවතත් අපේ හිස දකුණට ඇල කර අපගේ රූපය අධ්යයනය කරමු. පැහැදිලිවම, විප්ලවයේ සිරුරේ පරිමාව පරිමාවන් අතර වෙනස ලෙස සොයාගත යුතුය.

අපි අක්ෂය වටා රතු පැහැයෙන් රවුම් කර ඇති රූපය භ්රමණය කරමු, එහි ප්රතිඵලයක් ලෙස කප්පාදු කරන ලද කේතුවක් ඇති වේ. අපි මෙම වෙළුම මගින් දක්වන්නෙමු.

අපි රූපය, හරිත වර්ණයෙන් රවුම් කර, අක්ෂය වටා කරකවන අතර එහි ප්රතිඵලයක් ලෙස විප්ලවයේ සිරුරේ පරිමාව හරහා එය දක්වයි.

අපගේ සමනලයාගේ පරිමාව පරිමාවේ වෙනසට සමාන වේ.

විප්ලවයේ සිරුරේ පරිමාව සොයා ගැනීමට අපි සූත්‍රය භාවිතා කරමු:

එය පෙර ඡේදයේ සූත්‍රයට වඩා වෙනස් වන්නේ කෙසේද? අකුරු වලින් විතරයි.

ඒවගේම මම ටික කාලෙකට කලින් කතා කරපු ඒකාග්‍රතාවයේ වාසිය මෙන්න, ඒක හොයාගන්න ලේසියි අනුකලනය 4 වන බලයට නැංවීමට වඩා.

පිළිතුර:

කෙසේ වෙතත්, අසනීප සමනලයෙක්.

එකම පැතලි රූපය අක්ෂය වටා භ්‍රමණය වන්නේ නම්, සම්පූර්ණයෙන්ම වෙනස් විප්ලවයක් වෙනස්, ස්වාභාවිකවම පරිමාවක් ඇති බව සලකන්න.

උදාහරණය 6

රේඛා වලින් සීමා වූ පැතලි රූපයක් සහ අක්ෂයක් ලබා දී ඇත.

1) ප්‍රතිලෝම ශ්‍රිත වෙත ගොස් විචල්‍යය හරහා අනුකලනය කිරීමෙන් මෙම රේඛා වලින් සීමා වූ පැතලි රූපයක ප්‍රදේශය සොයා ගන්න.
2) අක්ෂය වටා මෙම රේඛාවලින් මායිම් කර ඇති පැතලි රූපයක් කරකැවීමෙන් ලබාගත් ශරීරයේ පරිමාව ගණනය කරන්න.

මෙය ඔබ විසින්ම කළ හැකි උදාහරණයකි. කැමති අයට රූපයේ ප්‍රදේශය "සාමාන්‍ය" ආකාරයෙන් සොයාගත හැකිය, එමඟින් 1 වන ලක්ෂ්‍යයේ පරීක්ෂණය සම්පූර්ණ කරන්න). නමුත් මම නැවත කියනවා නම්, ඔබ අක්ෂය වටා පැතලි රූපයක් කරකවන්නේ නම්, එවිට ඔබට වෙනස් පරිමාවක් සමඟ සම්පූර්ණයෙන්ම වෙනස් භ්‍රමණ ශරීරයක් ලැබේ, මාර්ගය වන විට, නිවැරදි පිළිතුර (විසඳීමට කැමති අයටද).

පාඩම අවසානයේ කාර්යයේ යෝජිත අයිතම දෙකේ සම්පූර්ණ විසඳුම.

ඔහ්, භ්‍රමණ සිරුරු සහ අනුකලනය තුළ තේරුම් ගැනීමට ඔබේ හිස දකුණට ඇල කිරීමට අමතක නොකරන්න!

T යනු x අක්ෂය වටා භ්‍රමණය වීමෙන් සෑදෙන විප්ලවයේ සිරුරක් වේවා curvilinear trapezoid, ඉහළ අර්ධ තලයේ පිහිටා ඇති අතර x-අක්ෂයෙන් සීමා වූ සරල රේඛා x=a සහ x=b සහ ප්‍රස්තාරය අඛණ්ඩ ක්රියාකාරිත්වය y=f(x) .

අපි මෙය ඔප්පු කරමු විප්ලවයේ ශරීරය ඝනක වන අතර එහි පරිමාව සූත්‍රය මගින් ප්‍රකාශ වේ

V=\pi \int\limits_(a)^(b) f^2(x)\,dx= \pi \int\limits_(a)^(b)y^2\,dx\,.

පළමුව, අපි විප්ලවයේ අක්ෂයට ලම්බක Oyz තලය \Pi ලෙස ගතහොත් මෙම විප්ලවයේ සිරුර නිත්‍ය බව ඔප්පු කරමු. Oyz තලයේ සිට x දුරින් පිහිටා ඇති කොටස f(x) අරය කවයක් වන අතර එහි S(x) ප්‍රදේශය \pi f^2(x) (රූපය 46) බව සලකන්න. එබැවින්, f(x) හි අඛණ්ඩතාව හේතුවෙන් S(x) ශ්‍රිතය අඛණ්ඩ වේ. ඊළඟට, නම් S(x_1)\leqslant S(x_2), එවිට මෙයින් අදහස් වන්නේ එයයි . නමුත් Oyz තලයට ඇති කොටස්වල ප්‍රක්ෂේපණය වන්නේ O කේන්ද්‍රය සහිත f(x_1) සහ f(x_2) රේඩියේ කවයන් වන අතර, f(x_1)\leqslant f(x_2) f(x_1) අරය කවය f(x_2) අරය කවයේ අඩංගු බව එයින් කියවේ.

එබැවින්, භ්රමණය වන ශරීරය නිතිපතා වේ. එබැවින්, එය ඝනකයක් වන අතර එහි පරිමාව සූත්රය මගින් ගණනය කරනු ලැබේ

V=\pi \int\limits_(a)^(b) S(x)\,dx= \pi \int\limits_(a)^(b)f^2(x)\,dx\,.

වක්‍ර රේඛීය trapezoid එකක් පහතින් සහ ඉහළින් y_1=f_1(x), y_2=f_2(x) වක්‍රවලින් මායිම් කර ඇත්නම්, එවිට

V= \pi \int\limits_(a)^(b)y_2^2\,dx- \pi \int\limits_(a)^(b)y_1^2\,dx= \pi\int\limits_(a) )^(b)\Bigl(f_2^2(x)-f_1^2(x)\Bigr)dx\,.

භ්‍රමණය වන රූපයේ මායිම ලබා දී ඇති අවස්ථාවකදී විප්ලවයේ සිරුරේ පරිමාව ගණනය කිරීමට සූත්‍රය (3) භාවිතා කළ හැකිය. පරාමිතික සමීකරණ. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, නිශ්චිත අනුකලිත ලකුණ යටතේ විචල්‍ය වෙනස් කිරීම භාවිතා කළ යුතුය.

සමහර අවස්ථාවලදී විප්ලවයේ සිරුරු සෘජු චක්‍රලේඛ සිලින්ඩරවලට නොව වෙනත් වර්ගයක රූපවලට දිරාපත් කිරීම පහසු වේ.

උදාහරණයක් ලෙස, අපි සොයා ගනිමු y අක්ෂය වටා curvilinear trapezoid කරකැවීමෙන් ලබාගත් ශරීරයේ පරිමාව. පළමුව, y# උසකින් යුත් සෘජුකෝණාස්රයක් කරකැවීමෙන් ලබාගත් පරිමාව සොයා ගනිමු, එහි පාදයේ කොටස පිහිටා ඇත. මෙම පරිමාව සෘජු චක්රලේඛ සිලින්ඩර දෙකක පරිමාවන් අතර වෙනසට සමාන වේ

\Delta V_k= \pi y_k x_(k+1)^2- \pi y_k x_k^2= \pi y_k \bigl(x_(k+1)+x_k\bigr) \bigl(x_(k+1)- x_k\gr).

නමුත් දැන් පැහැදිලි වන්නේ අපේක්ෂිත පරිමාව පහත පරිදි ඉහළින් සහ පහළින් ඇස්තමේන්තු කර ඇති බවයි:

2\pi \sum_(k=0)^(n-1) m_kx_k\Delta x_k \leqslant V\leqslant 2\pi \sum_(k=0)^(n-1) M_kx_k\Delta x_k\,.

මෙයින් එය පහසුවෙන් අනුගමනය කරයි y අක්ෂය වටා විප්ලවයේ සිරුරක පරිමාව සඳහා සූත්‍රය:

V=2\pi \int\limits_(a)^(b) xy\,dx\,.

උදාහරණය 4 R අරය ඇති බෝලයක පරිමාව සොයන්න.

විසඳුමක්.සාමාන්‍යභාවය නැතිවීමකින් තොරව, මූලාරම්භය කේන්ද්‍ර කරගත් R අරය කවයක් අපි සලකා බලමු. Ox අක්ෂය වටා භ්‍රමණය වන මෙම කවය බෝලයක් සාදයි. කව සමීකරණය x^2+y^2=R^2, ඒ නිසා y^2=R^2-x^2 . y අක්ෂය වටා ඇති වෘත්තයේ සමමිතිය අනුව, අපි මුලින්ම අපේක්ෂිත පරිමාවෙන් අඩක් සොයා ගනිමු

\frac(1)(2)V= \pi\int\limits_(0)^(R)y^2\,dx= \pi\int\limits_(0)^(R) (R^2-x^ 2)\,dx= \left.(\pi\!\left(R^2x- \frac(x^3)(3)\right))\right|_(0)^(R)= \pi\ !\වම(R^3- \frac(R^3)(3)\දකුණ)= \frac(2)(3)\pi R^3.

එබැවින් සමස්ත ගෝලයේ පරිමාව වේ \frac(4)(3)\pi R^3.

උදාහරණ 5උස h සහ පාදයේ අරය r වන කේතුවක පරිමාව ගණනය කරන්න.

විසඳුමක්.අපි ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක් තෝරා ගනිමු, එවිට Ox අක්ෂය උස h (රූපය 47) සමඟ සමපාත වන අතර, අපි කේතුවේ මුදුනේ මූලාරම්භය ලෙස ගනිමු. එවිට OA රේඛාවේ සමීකරණය y=\frac(r)(h)\,x ලෙස ලිවිය හැක.

සූත්රය (3) භාවිතා කරමින්, අපි ලබා ගන්නේ:

V=\pi \int\limits_(0)^(h) y^2\,dx= \pi \int\limits_(0)^(h) \frac(r^2)(h^2)\,x ^2\,dx= \left.(\frac(\pi r^2)(h^2)\cdot \frac(x^3)(3))\right|_(0)^(h)= \ frac(\pi)(3)\,r^2h\,.

උදාහරණය 6ඇස්ට්‍රොයිඩයේ abscissa අක්ෂය වටා භ්‍රමණය වීමෙන් ලබාගත් ශරීරයේ පරිමාව සොයා ගන්න \begin(cases)x=a\cos^3t\,\\ y=a\sin^3t\,.\end(cases)(රූපය 48).

විසඳුමක්.අපි ඇස්ට්‍රොයිඩයක් හදමු. y-අක්ෂය වටා සමමිතිකව පිහිටා ඇති ග්‍රහකයේ ඉහළ කොටසෙන් අඩක් සලකා බලන්න. සූත්‍රය (3) භාවිතා කිරීම සහ නිශ්චිත අනුකලිත ලකුණ යටතේ විචල්‍යය වෙනස් කිරීම, නව විචල්‍ය t සඳහා ඒකාබද්ධ කිරීමේ සීමාවන් අපි සොයා ගනිමු.

x=a\cos^3t=0 නම්, t=\frac(\pi)(2) , සහ x=a\cos^3t=a නම්, t=0 . y^2=a^2\sin^6t සහ dx=-3a\cos^2t\sin(t)\,dt, අපට ලැබෙන්නේ:

V=\pi \int\limits_(a)^(b) y^2\,dx= \pi \int\limits_(\pi/2)^(0) a^2\sin^6t \bigl(-3a \cos^2t\sin(t)\bigr)\,dt= \ldots= \frac(16\pi)(105)\,a^3.

ඇස්ට්‍රොයිඩයේ භ්‍රමණයෙන් සෑදෙන මුළු සිරුරේම පරිමාව වනු ඇත \frac(32\pi)(105)\,a^3.

උදාහරණ 7 abscissa අක්ෂය සහ සයික්ලොයිඩ්හි පළමු ආරුක්කුවෙන් සීමා වූ වක්‍ර රේඛීය trapezoid එකක y-අක්ෂය වටා භ්‍රමණය වීමෙන් ලබා ගන්නා සිරුරේ පරිමාව සොයන්න. \begin(cases)x=a(t-\sin(t)),\\ y=a(1-\cos(t)).\end(cases).

විසඳුමක්.අපි සූත්‍රය (4) භාවිතා කරමු: V=2\pi \int\limits_(a)^(b)xy\,dx, සහ t විචල්‍යය 0 සිට 2\pi දක්වා වෙනස් වන විට සයික්ලොයිඩ්හි පළමු චාපය සෑදෙන බව සැලකිල්ලට ගනිමින් අනුකලිත ලකුණ යටතේ විචල්‍යය ප්‍රතිස්ථාපනය කරන්න. මේ ක්රමයෙන්,

\begin(aligned)V&= 2\pi \int\limits_(0)^(2\pi) a(t-\sin(t))a(1-\cos(t))a(1-\cos( t))\,dt= 2\pi a^3 \int\limits_(0)^(2\pi) (t-\sin(t))(1-\cos(t))^2\,dt= \\ &= 2\pi a^3 \int\limits_(0)^(2\pi)\bigl(t-\sin(t)- 2t\cos(t)+ 2\sin(t)\cos( t)+ t\cos^2t- \sin(t)\cos^2t\bigr)\,dt=\\ &= \left.(2\pi a^3\!\left(\frac(t^2) )(2)+ \cos(t)- 2t\sin(t)- 2\cos(t)+ \sin^2t+ \frac(t^2)(4)+ \frac(t)(4)\sin2t+ \frac(1)(8)\cos2t+ \frac(1)(3)\cos^3t\right))\right|_(0)^(2\pi)=\\ &= 2\pi a^3 \!\left(2\pi^2+1-2+\pi^2+\frac(1)(8)+ \frac(1)(3)-1+2- \frac(1)(8) - \frac(1)(3)\දකුණ)= 6\pi^3a^3. \අවසන් (පෙළගැසී)

ඔබගේ බ්‍රවුසරයේ Javascript අක්‍රිය කර ඇත.
ගණනය කිරීම් සිදු කිරීම සඳහා ActiveX පාලන සක්රිය කළ යුතුය!

අක්ෂයක් වටා පැතලි රූපයක්

උදාහරණය 3

රේඛා වලින් සීමා වූ පැතලි රූපයක් ලබා දී ඇත , .

1) මෙම රේඛා වලින් සීමා වූ පැතලි රූපයක ප්රදේශය සොයා ගන්න.

2) අක්ෂය වටා මෙම රේඛාවලින් මායිම් කර ඇති පැතලි රූපයක් කරකැවීමෙන් ලබාගත් ශරීරයේ පරිමාව සොයා ගන්න.

විසඳුමක්: කාර්යය කොටස් දෙකකින් සමන්විත වේ. අපි චතුරස්රයෙන් පටන් ගනිමු.

1) අපි චිත්‍රය ක්‍රියාත්මක කරමු:

අපේක්ෂිත රූපය, සොයා ගත යුතු ප්රදේශය නිල් පැහැයෙන් වර්ණාලේප කර ඇත.

රූපයක ප්රදේශය සොයා ගන්නේ කෙසේද? එය "සාමාන්ය" ආකාරයෙන් සොයාගත හැකිය. එපමණක් නොව, රූපයේ ප්‍රදේශය ප්‍රදේශ වල එකතුව ලෙස දක්නට ලැබේ:

- කොටස මත ;

- කොටස මත.

ඒක තමයි:

වඩාත් තාර්කික විසඳුමක් ඇත: එය ප්රතිලෝම ශ්රිතයන් වෙත සංක්රමණය වීම සහ අක්ෂය ඔස්සේ ඒකාබද්ධ කිරීම සමන්විත වේ.

සරල රේඛාවක් සමඟ, සියල්ල පහසු ය:

! සටහන : අක්ෂ ඒකාබද්ධතා සීමාවන් සකස් කළ යුතුයතදින් පහළ සිට ඉහළට !

ප්රදේශය සොයා ගැනීම:

කොටස මත, එබැවින්:

ඒකාබද්ධයේ නිවැරදි බව සැක කරන පාඨකයන් සඳහා, මම ව්‍යුත්පන්නයන් සොයා ගන්නෙමි:

පිළිතුර:

2) අක්ෂය වටා මෙම රූපයේ භ්රමණයෙන් සාදන ලද සිරුරේ පරිමාව ගණනය කරන්න.

මම චිත්‍රය තරමක් වෙනස් මෝස්තරයකින් නැවත අඳින්නෙමි:

අපගේ සමනලයාගේ පරිමාව පරිමාවේ වෙනසට සමාන වේ.

විප්ලවයේ සිරුරේ පරිමාව සොයා ගැනීමට අපි සූත්‍රය භාවිතා කරමු:

එය පෙර ඡේදයේ සූත්‍රයට වඩා වෙනස් වන්නේ කෙසේද? අකුරු වලින් විතරයි.

ඒවගේම මම ටික කාලෙකට කලින් කතා කරපු ඒකාග්‍රතාවයේ වාසිය මෙන්න, ඒක හොයාගන්න ලේසියි 4 වන බලයට අනුකලනය මුලිකව ඉහල නැංවීමට වඩා.

පිළිතුර:

උදාහරණ 7

වක්‍රවලින් සීමා වූ රූපයේ අක්ෂය වටා භ්‍රමණය වීමෙන් සෑදෙන සිරුරේ පරිමාව ගණනය කරන්න.

විසඳුමක්: අපි චිත්රයක් කරමු:

අතරමගදී, අපි වෙනත් කාර්යයන්හි ප්‍රස්ථාර සමඟ දැන හඳුනා ගනිමු. මෙය එතරම් රසවත් වගුවකි. පවා කාර්යය ….

විප්ලවයේ සිරුරේ පරිමාව සොයා ගැනීම සඳහා, මම නිල් පැහැයෙන් සෙවන ලද රූපයේ දකුණු භාගය භාවිතා කිරීම ප්රමාණවත්ය. ශ්‍රිත දෙකම ඒකාකාර වේ, ඒවායේ ප්‍රස්ථාර අක්ෂයේ සමමිතික වන අතර අපගේ රූපය ද සමමිතික වේ. එබැවින් සෙවන ලද දකුණු කොටස, අක්ෂය වටා භ්රමණය , නිසැකව ම වම් unprimed කොටස සමග සමපාත වනු ඇත.

නිශ්චිත අනුකලනයක් භාවිතා කරමින් විප්ලවයේ සිරුරේ පරිමාව ගණනය කරන්නේ කෙසේද?

ඒ හැරුණු කොට නිශ්චිත අනුකලනයක් භාවිතා කරමින් පැතලි රූපයක ප්රදේශය සොයා ගැනීම තේමාවේ වැදගත්ම යෙදුම වේ විප්ලවයේ සිරුරේ පරිමාව ගණනය කිරීම. ද්රව්යය සරලයි, නමුත් පාඨකයා සූදානම් විය යුතුය: එය විසඳීමට හැකි වීම අවශ්ය වේ අවිනිශ්චිත අනුකලනය මධ්යම සංකීර්ණත්වය සහ නිව්ටන්-ලයිබ්නිස් සූත්රය යොදන්න නිශ්චිත අනුකලනය . ප්‍රදේශය සොයා ගැනීමේ ගැටලුව මෙන්ම, ඔබට විශ්වාසදායක චිත්‍ර ඇඳීමේ කුසලතා අවශ්‍ය වේ - මෙය වඩාත්ම වැදගත් දෙයයි (අනුකලනයන් බොහෝ විට පහසු වනු ඇති බැවින්). ක්‍රමානුකූල ද්‍රව්‍ය ආධාරයෙන් ප්‍රස්තාර සැලසුම් කිරීමේ දක්ෂ හා වේගවත් තාක්‍ෂණය ඔබට ප්‍රගුණ කළ හැකිය . එහෙත්, ඇත්ත වශයෙන්ම, මම පාඩමේ ඇඳීම්වල වැදගත්කම ගැන නැවත නැවතත් කතා කර ඇත. .

පොදුවේ ගත් කල, සමෝධානික කැල්කියුලස් හි සිත්ගන්නා යෙදුම් රාශියක් ඇත; නිශ්චිත අනුකලනයක් භාවිතා කරමින්, ඔබට රූපයක ප්‍රදේශය, විප්ලවයේ සිරුරේ පරිමාව, චාපයක දිග, මතුපිට ප්‍රදේශය ගණනය කළ හැකිය. ශරීරයේ, සහ තවත් බොහෝ දේ. එබැවින් එය විනෝදජනක වනු ඇත, කරුණාකර ශුභවාදී වන්න!

– x අක්ෂය වටා; - y අක්ෂය වටා.

මෙම ලිපියෙන් අවස්ථා දෙකම සාකච්ඡා කරනු ඇත. භ්‍රමණය කිරීමේ දෙවන ක්‍රමය විශේෂයෙන් සිත්ගන්නා සුළුය, එය විශාලතම දුෂ්කරතා ඇති කරයි, නමුත් ඇත්ත වශයෙන්ම විසඳුම x-අක්ෂය වටා වඩාත් පොදු භ්‍රමණයට සමාන වේ. ප්රසාද දීමනාවක් ලෙස, මම නැවත එන්නෙමි රූපයක ප්රදේශය සොයා ගැනීමේ ගැටළුව , සහ දෙවන ආකාරයෙන් ප්රදේශය සොයා ගන්නේ කෙසේදැයි ඔබට කියන්න - අක්ෂය දිගේ. ද්‍රව්‍ය තේමාවට හොඳින් ගැලපෙන බැවින් එතරම් ප්‍රසාද දීමනාවක් පවා නොවේ.

වඩාත් ජනප්රිය ආකාරයේ භ්රමණයෙන් පටන් ගනිමු.

උදාහරණ 1

අක්ෂයක් වටා රේඛා වලින් මායිම් කරන ලද රූපයක් කරකැවීමෙන් ලබාගත් සිරුරේ පරිමාව ගණනය කරන්න.

විසඳුමක්:ප්රදේශය සොයා ගැනීමේ ගැටලුවේ දී මෙන්, විසඳුම ආරම්භ වන්නේ පැතලි රූපයක් ඇඳීමෙනි. එනම්, තලයක රේඛා වලින් මායිම් වූ රූපයක් තැනීම අවශ්ය වන අතර, සමීකරණය අක්ෂය සකසන බව අමතක නොකරන්න. චිත්‍රයක් වඩාත් තාර්කිකව හා වේගවත් කරන්නේ කෙසේද යන්න පිටු වලින් සොයාගත හැකිය මූලික කාර්යයන්හි ප්‍රස්තාර සහ ගුණ හා නිශ්චිත අනුකලනය. රූපයක ප්රදේශය ගණනය කරන්නේ කෙසේද . මෙය චීන මතක් කිරීමක් වන අතර මම මෙතැනින් නවතින්නේ නැත.

මෙහි ඇඳීම තරමක් සරල ය:

අපේක්ෂිත පැතලි රූපය නිල් පැහැයෙන් වර්ණාලේප කර ඇත, අක්ෂය වටා භ්රමණය වන්නේ ඇයයි. භ්රමණය වීමේ ප්රතිඵලයක් ලෙස, මෙම තරමක් බිත්තර හැඩැති පියාඹන පීරිසිය ලබා ගනී, එය අක්ෂය ගැන සමමිතික වේ. ඇත්ත වශයෙන්ම, ශරීරයට ගණිතමය නමක් ඇත, නමුත් එය විමර්ශන පොතේ යමක් බැලීමට කම්මැලි ය, එබැවින් අපි ඉදිරියට යමු.

විප්ලවයේ සිරුරේ පරිමාව ගණනය කරන්නේ කෙසේද?

විප්ලවයේ සිරුරේ පරිමාව සූත්‍රය මගින් ගණනය කළ හැක:

ප්රායෝගික කාර්යයන් වලදී, පැතලි රූපයක් සමහර විට අක්ෂයට පහළින් පිහිටා ඇත. මෙය කිසිවක් වෙනස් නොකරයි - සූත්‍රයේ ශ්‍රිතය වර්ග කර ඇත :, මේ අනුව විප්ලවයේ සිරුරේ පරිමාව සෑම විටම ඍණාත්මක නොවේ, එය තරමක් තාර්කික ය.

මෙම සූත්‍රය භාවිතා කර විප්ලවයේ සිරුරේ පරිමාව ගණනය කරන්න:

පිළිතුර:

උදාහරණ 2

මෙය ඔබ විසින්ම කළ හැකි උදාහරණයකි. සම්පූර්ණ විසඳුම සහ පාඩම අවසානයේ පිළිතුර.

ප්රායෝගිකව බොහෝ විට මුහුණ දෙන වඩාත් සංකීර්ණ ගැටළු දෙකක් සලකා බලමු.

උදාහරණය 3

විසඳුමක්:සමීකරණය අක්ෂය සකසන බව අමතක නොකර, රේඛා වලින් මායිම් කර ඇති චිත්‍රයේ පැතලි රූපයක් නිරූපණය කරමු:

විප්ලවයේ සිරුරේ පරිමාව ගණනය කරනු ලැබේ ශරීර පරිමාවේ වෙනස.

තවද, පැහැදිලිවම, වෙළුම් වල වෙනස හරියටම අපගේ "ඩෝනට්" පරිමාවයි.

විප්ලවයේ සිරුරේ පරිමාව සොයා ගැනීම සඳහා අපි සම්මත සූත්‍රය භාවිතා කරමු:

1) රතු පැහැයෙන් රවුම් කර ඇති රූපය ඉහළ සිට සරල රේඛාවකින් මායිම් කර ඇත, එබැවින්:

2) කොළ පැහැයෙන් රවුම් කර ඇති රූපය ඉහළ සිට සරල රේඛාවකින් මායිම් කර ඇත, එබැවින්:

3) අපේක්ෂිත විප්ලවයේ පරිමාව:

පිළිතුර:

තීරණය බොහෝ විට කෙටි වේ, මේ වගේ දෙයක්:

දැන් අපි විවේකයක් ගෙන ජ්යාමිතික මිත්යාවන් ගැන කතා කරමු.

මිනිසුන්ට බොහෝ විට වෙළුම් හා සම්බන්ධ මිත්‍යාවන් ඇත, එය පෙරෙල්මන් (එකම නොවේ) පොතේ දැක ඇත සිත්ගන්නා ජ්යාමිතිය. විසඳන ලද ගැටලුවේ පැතලි රූපය දෙස බලන්න - එය ප්රදේශයෙන් කුඩා බව පෙනේ, සහ විප්ලවයේ සිරුරේ පරිමාව ඝන ඒකක 50 කට වඩා වැඩි ය, එය ඉතා විශාල බව පෙනේ. මාර්ගය වන විට, ඔහුගේ මුළු ජීවිතයේම සාමාන්ය පුද්ගලයෙකු වර්ග මීටර් 18 ක කාමරයක පරිමාවක් සහිත ද්රවයක් පානය කරයි, ඊට පටහැනිව, පරිමාව ඉතා කුඩා බව පෙනේ.

පොදුවේ ගත් කල, සෝවියට් සංගමයේ අධ්‍යාපන ක්‍රමය ඇත්තෙන්ම හොඳම විය. 1950 දී ඔහු විසින් ලියන ලද පෙරෙල්මන්ගේ එම පොත ඉතා හොඳින් වර්ධනය වේ, හාස්‍ය රචකයා පැවසූ පරිදි, තර්කනය සහ ගැටළු සඳහා මුල් සම්මත නොවන විසඳුම් සෙවීමට ඔබට උගන්වයි. මෑතකදී මම ඉතා උනන්දුවෙන් සමහර පරිච්ඡේද නැවත කියෙව්වා, මම එය නිර්දේශ කරමි, එය මානුෂීයවාදීන්ට පවා ප්රවේශ විය හැකිය. නැත, මා යෝජනා කළේ විශිෂ්ට විනෝදාංශයක්, විචක්ෂණභාවය සහ සන්නිවේදනයේ පුළුල් දැක්මක් යැයි ඔබ සිනාසීමට අවශ්‍ය නැත.

ගීතමය අපගමනයකින් පසුව, නිර්මාණාත්මක කාර්යයක් විසඳීම සුදුසු ය:

උදාහරණය 4

මෙය ඔබ විසින්ම කළ හැකි උදාහරණයකි. සංගීත කණ්ඩායම තුළ සියලු දේ සිදු වන බව කරුණාවෙන් සලකන්න, වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, පාහේ සූදානම් කළ ඒකාබද්ධතා සීමාවන් ලබා දී ඇත. ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතවල ප්‍රස්ථාර නිවැරදිව ඇඳීමට උත්සාහ කරන්න, තර්කය දෙකකින් බෙදුවහොත්:, එවිට ප්‍රස්ථාර අක්ෂය දිගේ දෙවරක් දිගු වේ. අවම වශයෙන් ලකුණු 3-4 ක් සොයා ගැනීමට උත්සාහ කරන්න ත්‍රිකෝණමිතික වගු වලට අනුව සහ ඇඳීම වඩාත් නිවැරදි කරන්න. සම්පූර්ණ විසඳුම සහ පාඩම අවසානයේ පිළිතුර. මාර්ගය වන විට, කාර්යය තාර්කිකව විසඳා ගත හැකි අතර ඉතා තාර්කික නොවේ.

අක්ෂයක් වටා පැතලි රූපයක් භ්රමණය වීමෙන් සෑදෙන සිරුරේ පරිමාව ගණනය කිරීම

දෙවන ඡේදය පළමු ඡේදයට වඩා රසවත් වනු ඇත. y-අක්ෂය වටා විප්ලවයේ සිරුරක පරිමාව ගණනය කිරීමේ කාර්යය ද පරීක්ෂණ වලදී තරමක් නිතර පැමිණෙන අමුත්තන් වේ. සම්මත කිරීමේදී සලකා බලනු ලැබේ රූපයක ප්රදේශය සොයා ගැනීමේ ගැටළුව දෙවන ක්‍රමය - අක්ෂය දිගේ ඒකාබද්ධ කිරීම, මෙය ඔබේ කුසලතා වැඩි දියුණු කිරීමට පමණක් නොව, වඩාත්ම ලාභදායී විසඳුම සොයා ගන්නේ කෙසේදැයි ඔබට උගන්වනු ඇත. එයට ප්‍රායෝගික අර්ථයක් ද ඇත! ගණිත ඉගැන්වීමේ ක්‍රම පිළිබඳ මගේ ගුරුවරයා සිනහවකින් සිහිපත් කළ පරිදි, බොහෝ උපාධිධාරීන් ඇයට ස්තූති කළේ “ඔබේ විෂය අපට බොහෝ උපකාර විය, දැන් අපි ඵලදායී කළමනාකරුවන් වන අතර අපගේ කාර්ය මණ්ඩලය ප්‍රශස්ත ලෙස කළමනාකරණය කරන්නෙමු.” මෙම අවස්ථාව ප්‍රයෝජනයට ගනිමින්, මම ඇයට මගේ ඉමහත් කෘතඥතාවය ද ප්‍රකාශ කරමි, විශේෂයෙන් මම ලබාගත් දැනුම එහි අපේක්ෂිත අරමුණු සඳහා භාවිතා කරන බැවින් =).

උදාහරණ 5

රේඛා වලින් සීමා වූ පැතලි රූපයක් ලබා දී ඇත ,,.

1) මෙම රේඛා වලින් සීමා වූ පැතලි රූපයක ප්රදේශය සොයා ගන්න. 2) අක්ෂය වටා මෙම රේඛාවලින් මායිම් කර ඇති පැතලි රූපයක් කරකැවීමෙන් ලබාගත් ශරීරයේ පරිමාව සොයා ගන්න.

විසඳුමක්:කාර්යය කොටස් දෙකකින් සමන්විත වේ. අපි චතුරස්රයෙන් පටන් ගනිමු.

1) අපි චිත්‍රය ක්‍රියාත්මක කරමු:

අපේක්ෂිත රූපය, සොයා ගත යුතු ප්රදේශය නිල් පැහැයෙන් වර්ණාලේප කර ඇත.

රූපයක ප්රදේශය සොයා ගන්නේ කෙසේද? පාඩමෙහි සලකා බැලූ "සාමාන්ය" ආකාරයෙන් එය සොයාගත හැකිය. නිශ්චිත අනුකලනය. රූපයක ප්රදේශය ගණනය කරන්නේ කෙසේද . එපමණක්ද නොව, රූපයේ ප්රදේශය ප්රදේශ වල එකතුව ලෙස දක්නට ලැබේ: - කොටස මත ; - කොටස මත.

ඒක තමයි:

සරල රේඛාවක් සමඟ, සියල්ල පහසු ය:

දැන් අක්ෂය දෙස බලන්න: කරුණාකර ඔබ පැහැදිලි කරන පරිදි වරින් වර ඔබේ හිස අංශක 90 ක් දකුණට ඇල කරන්න (මෙය විහිළුවක් නොවේ!). අපට අවශ්‍ය රූපය රතු තිත් රේඛාවෙන් දැක්වෙන කොටසේ පිහිටා ඇත. ඒ අතරම, කොටසේ, සරල රේඛාව පැරබෝලාවට ඉහළින් පිහිටා ඇත, එයින් අදහස් කරන්නේ ඔබට දැනටමත් හුරුපුරුදු සූත්‍රය භාවිතා කර රූපයේ ප්‍රදේශය සොයාගත යුතු බවයි: . සූත්‍රයේ වෙනස් වී ඇත්තේ කුමක්ද? ලිපියක් පමණි, ඊට වඩා දෙයක් නැත.