කොන්දේසිය යටතේ කොන්දේසිගත අන්තය 2x y 3. විචල්‍ය කිහිපයක ශ්‍රිතයක අන්තය විචල්‍ය කිහිපයක ශ්‍රිතයක අන්තයක සංකල්පය. අන්තයක් සඳහා අවශ්ය සහ ප්රමාණවත් කොන්දේසි කොන්දේසි සහිත අන්ත අඛණ්ඩ ශ්‍රිතවල විශාලතම හා කුඩාම අගයන්
අපි මුලින්ම විචල්‍ය දෙකක ශ්‍රිතයක් ගැන සලකා බලමු. $M_0(x_0;y_0)$ ලක්ෂ්යයේ $z=f(x,y)$ ශ්රිතයේ කොන්දේසිගත අන්තය මෙම ශ්රිතයේ අන්තය වන අතර එය $x$ සහ $y$ යන විචල්‍යයන් යටතේ ළඟා වේ. මෙම ලක්ෂ්‍යයට ආසන්නව $\ varphi(x,y)=0$ සීමා සමීකරණය තෘප්තිමත් කරයි.
"කොන්දේසි" අන්තය යන නම ඇති වන්නේ විචල්‍යයන් පනවන බැවිනි අතිරේක කොන්දේසිය$\varphi(x,y)=0$. සම්බන්ධතා සමීකරණයෙන් එක් විචල්යයක් තවත් විචල්යයක් අනුව ප්‍රකාශ කළ හැකි නම්, කොන්දේසිගත අන්තය තීරණය කිරීමේ ගැටලුව එක් විචල්‍යයක ශ්‍රිතයක සාමාන්ය අන්තයේ ගැටලුව දක්වා අඩු වේ. උදාහරණයක් ලෙස, $y=\psi(x)$ සීමා සමීකරණයෙන් අනුගමනය කරන්නේ නම්, $y=\psi(x)$ $z=f(x,y)$ ලෙස ආදේශ කළහොත්, අපට $ එක විචල්‍යයක ශ්‍රිතයක් ලැබේ. z=f\වම (x,\psi(x)\දකුණ)$. හිදී සාමාන්ය නඩුව, කෙසේ වෙතත්, මෙම ක්රමය එතරම් ප්‍රයෝජනයක් නැත, එබැවින් නව ඇල්ගොරිතමයක් අවශ්ය වේ.
විචල්‍ය දෙකක ශ්‍රිත සඳහා Lagrange ගුණක ක්රමය.
Lagrange ගුණකවල ක්රමය නම් කොන්දේසි සහිත අන්තය සොයා ගැනීම සඳහා Lagrange ශ්රිතය සමන්විත වේ: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ ($\lambda පරාමිතිය $ Lagrange ගුණකය ලෙස හැඳින්වේ ). නිශ්චල ලක්ෂ්ය තීරණය කරනු ලබන සමීකරණ පද්ධතියක් මගින් අවශ්ය අන්ත තත්වයන් ලබා දෙනු ලැබේ:
$$ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0.\අවසන්(පෙළගැසී)\දකුණ.$$
ලකුණ $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("" )dy^2$. ස්ථාවර ලක්ෂ්‍යයක $d^2F > 0$ නම්, $z=f(x,y)$ ශ්‍රිතයට මෙම අවස්ථාවේදී කොන්දේසි සහිත අවම අගයක් ඇත, නමුත් $d^2F නම්< 0$, то условный максимум.
අන්තයේ ස්වභාවය තීරණය කිරීමට තවත් ක්රමයක් තිබේ. සීමා සමීකරණයෙන් අපට ලැබෙන්නේ: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$, එබැවින් ඕනෑම නිශ්චල ලක්ෂ්‍යයක අපට ඇත්තේ:
$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\ right)+ F_(yy)^("")\වම(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \right)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("")\දකුණ)$$
දෙවන සාධකය (වරහන් තුළ පිහිටා ඇත) මෙම ආකෘතියෙන් නිරූපණය කළ හැක:
$\වමේ| \begin(array) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (අරාව) \right|$ එනම් Lagrange ශ්රිතයේ Hessian වේ. $H > 0$ නම් $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >$0, i.e. අපට $z=f(x,y)$ ශ්රිතයේ කොන්දේසි සහිත අවමයක් ඇත.
$H$ නිර්ණායකයේ ආකෘතිය මත සටහන් කරන්න. පෙන්වන්න / සඟවන්න
$$ H=-\left|\begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ අවසානය(අරාව) \right| $$
මෙම තත්වය තුළ, ඉහත සකසන ලද රීතිය පහත පරිදි වෙනස් වේ: $H > 0$ නම්, ශ්‍රිතයට කොන්දේසි සහිත අවම අගයක් සහ $H සඳහා< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.
කොන්දේසි සහිත අන්තයක් සඳහා විචල්‍ය දෙකක ශ්‍රිතයක් අධ්‍යයනය කිරීම සඳහා ඇල්ගොරිතම
- Lagrange ශ්රිතය රචනා කරන්න $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
- පද්ධතිය විසඳන්න $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \ varphi(x,y)=0.\end(aligned)\right.$
- පෙර ඡේදයේ ඇති එක් එක් ස්ථාවර ලක්ෂ්‍යවල අන්තයේ ස්වභාවය තීරණය කරන්න. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, පහත සඳහන් ඕනෑම ක්රමයක් භාවිතා කරන්න:
- $H$ නිර්ණය කරන්න සහ එහි ලකුණ සොයා ගන්න
- සීමා සමීකරණය සැලකිල්ලට ගනිමින්, $d^2F$ ලකුණ ගණනය කරන්න
n විචල්‍යවල ශ්‍රිත සඳහා Lagrange ගුණ කිරීමේ ක්රමය
අපට $n$ විචල්‍ය $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ සහ $m$ සීමා සමීකරණ ($n > m$) වල ශ්‍රිතයක් ඇතැයි සිතමු.
$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$
Lagrange ගුණකය $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$ ලෙස සඳහන් කරමින්, අපි Lagrange ශ්රිතය සම්පාදනය කරමු:
$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$
කොන්දේසි සහිත අන්තයක් පැවතීම සඳහා අවශ්ය කොන්දේසි ලබා දී ඇත්තේ ස්ථිතික ලක්ෂ්‍යවල ඛණ්ඩාංක සහ ලැග්‍රේන්ජ් ගුණකවල අගයන් සොයා ගන්නා සමීකරණ පද්ධතියක් මගිනි:
$$\left\(\begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(aligned) \right.$$
$d^2F$ ලකුණ භාවිතයෙන් පෙර පරිදිම ශ්‍රිතයක් සොයාගත් ස්ථානයේ කොන්දේසි සහිත අවමයක් හෝ කොන්දේසි සහිත උපරිමයක් තිබේද යන්න සොයා බැලිය හැකිය. සොයාගත් ලක්ෂ්යයේ $d^2F > 0$ නම්, ශ්‍රිතයට කොන්දේසි සහිත අවම අගයක් ඇත, නමුත් $d^2F නම්< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:
න්‍යාස නිර්ණය $\left| \begin(array) (cccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(n)) \\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_1) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)^(2)) & \frac(\partial^2F )(\partial x_(2)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_(n))\\ \frac(\partial^2F )(\partial x_(3) \partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(2)) & \ frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)^(2))\\ \end( array) \right|$ $L$ matrix හි රතු පැහැයෙන් උද්දීපනය කර ඇත්තේ Lagrange ශ්රිතයේ Hessian වේ. අපි පහත රීතිය භාවිතා කරමු:
- කෙළවරේ බාල වයස්කරුවන්ගේ සලකුණු $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ න්‍යාස $L$ $(-1)^m$ ලකුණ සමඟ සමපාත වේ, එවිට අධ්‍යයනයට ලක්වන ස්ථාවර ලක්ෂ්යය $z ශ්රිතයේ කොන්දේසි සහිත අවම ලක්ෂ්යය වේ. =f(x_1,x_2 ,x_3,\ldots,x_n)$.
- කෙළවරේ බාල වයස්කරුවන්ගේ සලකුණු $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ විකල්ප, සහ සුළු $H_(2m+1)$ හි ලකුණ $(-1)^(m+1 අංකයේ ලකුණ සමග සමපාත වේ. )$, එවිට අධ්‍යයනය කරන ලද ස්ථාවර ලක්ෂ්යය $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$ ශ්රිතයේ කොන්දේසි සහිත උපරිම ලක්ෂ්යය වේ.
උදාහරණ #1
$x^2+y^2=10$ කොන්දේසිය යටතේ $z(x,y)=x+3y$ ශ්රිතයේ කොන්දේසිගත අන්තය සොයන්න.
මෙම ගැටලුවේ ජ්යාමිතික විග්‍රහය පහත පරිදි වේ: එය සිලින්ඩරය $x^2+y^2 සමඟ ඡේදනය වන ලක්ෂ්ය සඳහා $z=x+3y$ තලයේ යෙදුමේ විශාලතම සහ කුඩාම අගය සොයා ගැනීමට අවශ්ය වේ. =10$.
සීමා සමීකරණයෙන් එක් විචල්යයක් තවත් විචල්යයක් අනුව ප්‍රකාශ කිරීම තරමක් අපහසු වන අතර එය $z(x,y)=x+3y$ ශ්‍රිතයට ආදේශ කිරීම, එබැවින් අපි Lagrange ක්රමය භාවිතා කරමු.
$\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$ සඳහන් කරමින්, අපි Lagrange ශ්රිතය සම්පාදනය කරමු:
$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\partial F)(\partial x)=1+2\lambda x; \frac(\partial F)(\partial y)=3+2\lambda y. $$
Lagrange ශ්රිතයේ ස්ථිතික ලක්ෂ්ය නිර්ණය කිරීම සඳහා සමීකරණ පද්ධතිය අපි ලියා තබමු:
$$ \left \( \begin(aligned) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \end (පෙළගැසී)\දකුණට.$$
අපි $\lambda=0$ උපකල්පනය කරන්නේ නම්, පළමු සමීකරණය වන්නේ: $1=0$. එහි ප්‍රතිඵලය වන ප්‍රතිවිරෝධය $\lambda\neq 0$ බව පවසයි. කොන්දේසිය යටතේ $\lambda\neq 0$, පළමු සහ දෙවන සමීකරණ වලින් අපට ඇත: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $. ලබාගත් අගයන් තුන්වන සමීකරණයට ආදේශ කිරීමෙන් අපට ලැබෙන්නේ:
$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \right)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(පෙළගැසී) \දකුණට.\\ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end(පෙළගැසී) $$
එබැවින්, පද්ධතියට විසඳුම් දෙකක් ඇත: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ සහ $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. අපි එක් එක් නිශ්චල ලක්ෂ්යයේ අන්තයේ ස්වභාවය සොයා බලමු: $M_1(1;3)$ සහ $M_2(-1;-3)$. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි එක් එක් ලක්ෂ්යයේ නිර්ණායක $H$ ගණනය කරමු.
$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\lambda;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda.\\ H=\left| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \left| \begin(array) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right| $$
$M_1(1;3)$ යන ලක්ෂ්‍යයේදී අපට ලැබෙන්නේ: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(array) \right|=40 > 0$, එසේ ලක්ෂ්‍යයේදී $M_1(1;3)$ ශ්‍රිතයට $z(x,y)=x+3y$ කොන්දේසි සහිත උපරිමයක් ඇත, $z_(\max)=z(1;3)=10$.
ඒ හා සමානව, $M_2(-1;-3)$ යන ලක්ෂ්‍යයේදී අපට හමුවන්නේ: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(array) \right|=-40$. $H සිට< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.
එක් එක් ලක්ෂ්යයේ $H$ නිර්ණායකයේ අගය ගණනය කරනවා වෙනුවට, එය පුළුල් කිරීම වඩාත් පහසු බව මම සටහන් කරමි. සාමාන්ය දැක්ම. විස්තර සහිත පෙළ අවුල් නොකිරීමට, මම මෙම ක්රමය සටහනක් යටතේ සඟවන්නෙමි.
සාමාන්ය ආකාරයෙන් නිර්ණායක $H$ අංකනය. පෙන්වන්න / සඟවන්න
$$ H=8\cdot\left|\begin(array)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(array)\right| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\right) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\දකුණ). $$
ප්‍රතිපත්තිමය වශයෙන්, $H$ සතුව ඇත්තේ කුමන ලකුණද යන්න දැනටමත් පැහැදිලිය. $M_1$ හෝ $M_2$ කිසිවක් මූලාරම්භය සමග සමපාත නොවන බැවින්, $y^2+x^2>0$. එබැවින්, $H$ හි ලකුණ $\lambda$ ලකුණට විරුද්ධ වේ. ඔබට ගණනය කිරීම් ද සම්පූර්ණ කළ හැකිය:
$$ \begin(aligned) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\දකුණ)\cdot\left(3^2+1^2\දකුණ)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\right)=-40. \අවසන් (පෙළගැසී) $$
$M_1(1;3)$ සහ $M_2(-1;-3)$ යන ස්ථාවර ලක්ෂ්‍යවල අන්තයේ ස්වභාවය පිළිබඳ ප්‍රශ්නය $H$ නිර්ණය කිරීමකින් තොරව විසඳිය හැක. එක් එක් ස්ථාවර ලක්ෂ්යයේ $d^2F$ ලකුණ සොයන්න:
$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\දකුණ) $$
$dx^2$ යන අංකනයෙන් අදහස් කරන්නේ හරියටම $dx$ දෙවන බලයට නංවා ඇති බව මම සටහන් කරමි, i.e. $\වම(dx\දකුණ)^2$. එබැවින් අපට ඇත්තේ: $dx^2+dy^2>0$, එබැවින් $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ සඳහා අපට $d^2F ලැබේ< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.
පිළිතුර: $(-1;-3)$ ලක්ෂ්යයේ දී ශ්‍රිතයට කොන්දේසි සහිත අවම අගයක් ඇත, $z_(\min)=-10$. $(1;3)$ ලක්ෂ්‍යයේදී ශ්‍රිතයට කොන්දේසි සහිත උපරිමයක් ඇත, $z_(\max)=10$
උදාහරණ #2
$x+y=0$ කොන්දේසිය යටතේ $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ ශ්රිතයේ කොන්දේසිගත අන්තය සොයන්න.
පළමු මාර්ගය (Lagrange ගුණක ක්රමය)
$\varphi(x,y)=x+y$ සඳහන් කරමින් අපි Lagrange ශ්රිතය සම්පාදනය කරමු: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+4x ^2 -xy+\lambda(x+y)$.
$$ \frac(\partial F)(\partial x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\partial F)(\partial y)=9y^2-x+\lambda.\\ \left \( \begin(aligned) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ lambda=0;\\&x+y=0.\end(aligned)\right.$$
පද්ධතිය විසඳීමෙන්, අපට ලැබෙන්නේ: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ සහ $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)(9 )$ , $\lambda_2=-10$. අපට ස්ථාවර ලක්ෂ්ය දෙකක් තිබේ: $M_1(0;0)$ සහ $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \දකුණ)$. අපි $H$ නිර්ණායකය භාවිතයෙන් එක් එක් නිශ්චල ලක්ෂ්යයේ අන්තයේ ස්වභාවය සොයා ගනිමු.
$$ H=\වම| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \left| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(array) \right|=-10-18y $$
ලක්ෂ්යයේ $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, එබැවින් මෙම අවස්ථාවේදී ශ්‍රිතයට කොන්දේසි සහිත උපරිමයක් ඇත, $z_(\max)=\frac(500)(243)$.
අපි $d^2F$ ලකුණ මත පදනම්ව, වෙනස් ක්රමයක් මගින් එක් එක් ලක්ෂ්යයේ අන්තයේ ස්වභාවය විමර්ශනය කරමු:
$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2 $$
$x+y=0$ යන සීමා සමීකරණයෙන් අපට ඇත්තේ: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.
$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$
$ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$ නිසා, $M_1(0;0)$ යනු $z(x,y)=3y^3+ ශ්රිතයේ කොන්දේසි සහිත අවම ලක්ෂ්යය වේ. 4x^ 2-xy$. එලෙසම, $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.
දෙවන මාර්ගය
$x+y=0$ සීමා සමීකරණයෙන් අපට ලැබෙන්නේ: $y=-x$. $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ ශ්රිතය වෙත $y=-x$ ආදේශ කිරීම, අපි $x$ විචල්‍යයේ යම් ශ්‍රිතයක් ලබා ගනිමු. අපි මෙම ශ්රිතය $u(x)$ ලෙස දක්වමු:
$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$
මේ අනුව, අපි විචල්‍ය දෙකක ශ්‍රිතයක කොන්දේසි සහිත අන්තය සොයා ගැනීමේ ගැටලුව එක් විචල්‍යයක ශ්‍රිතයක අන්තය තීරණය කිරීමේ ගැටලුව දක්වා අඩු කළෙමු.
$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ ;y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9);\;y_2=-x_2=-\frac(10)(9).$$
ලකුණු ලබා ගත්තා $M_1(0;0)$ සහ $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\දකුණ)$. වැඩිදුර පර්යේෂණ පාඨමාලාවෙන් දනී අවකල ගණනයඑක් විචල්‍යයක ශ්‍රිත. එක් එක් නිශ්චල ලක්ෂ්යයේ $u_(xx)^("")$ හි ලකුණ පරීක්ෂා කිරීමෙන් හෝ සොයාගත් ලක්ෂ්‍යවල $u_(x)^(")$ හි ලකුණ වෙනස් වීම පරීක්ෂා කිරීමෙන්, අපි පළමු විසඳුමේ ඇති නිගමනම ලබා ගනිමු. උදාහරණයක් ලෙස, පිරික්සුම් ලකුණ $u_(xx)^("")$:
$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$
$u_(xx)^("")(M_1)>0$ නිසා, $M_1$ යනු $u(x)$ ශ්රිතයේ අවම ලක්ෂ්යය වන අතර $u_(\min)=u(0)=0 $ $u_(xx)^("")(M_2) සිට<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.
ලබා දී ඇති සම්බන්ධතා තත්ත්වය යටතේ $u(x)$ ශ්රිතයේ අගයන් $z(x,y)$ ශ්රිතයේ අගයන් සමග සමපාත වේ, i.e. $u(x)$ ශ්රිතයේ සොයාගත් අන්තය $z(x,y)$ ශ්රිතයේ අපේක්ෂිත කොන්දේසිගත අන්තයයි.
පිළිතුර: $(0;0)$ ලක්ෂ්‍යයේදී ශ්‍රිතයට කොන්දේසි සහිත අවම අගයක් ඇත, $z_(\min)=0$. ලක්ෂ්යයේ $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \දකුණ)$ ශ්‍රිතයට කොන්දේසි සහිත උපරිමයක් ඇත, $z_(\max)=\frac(500)(243 )$.
අපි තවත් එක් උදාහරණයක් සලකා බලමු, $d^2F$ හි ලකුණ නිර්ණය කිරීමෙන් අපි අන්තයේ ස්වභාවය සොයා ගනිමු.
උදාහරණ #3
විශාලතම සහ සොයා ගන්න කුඩාම අගය$x$ සහ $y$ යන විචල්‍ය ධන නම් සහ $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1= යන සීමා සමීකරණය තෘප්තිමත් කරන්නේ නම් $z=5xy-4$ ශ්‍රිත 0$
Lagrange ශ්රිතය සම්පාදනය කරන්න: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \දකුණ)$. Lagrange ශ්රිතයේ නිශ්චල ලක්ෂ්ය සොයන්න:
$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \වම \( \ආරම්භ(පෙළගැසී) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0; \; y > 0. \අවසන්(පෙළගැසී) \දකුණට.$$
සියලු වැඩිදුර පරිවර්තනයන් $x > 0 සැලකිල්ලට ගනිමින් සිදු කරනු ලැබේ; \; y > 0$ (මෙය ගැටලුවේ තත්ත්වය තුළ නියම කර ඇත). දෙවන සමීකරණයෙන්, අපි $\lambda=-\frac(5x)(y)$ ප්‍රකාශ කර සොයාගත් අගය පළමු සමීකරණයට ආදේශ කරමු: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)( 4)=0$ , $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. තුන්වන සමීකරණයට $x=2y$ ආදේශ කිරීමෙන්, අපට ලැබෙන්නේ: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y =1$.
$y=1$ සිට, පසුව $x=2$, $\lambda=-10$. $(2;1)$ ලක්ෂ්යයේ අන්තයේ ස්වභාවය තීරණය වන්නේ $d^2F$ ලකුණෙනි.
$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\lambda. $$
$\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$ සිට, එවිට:
$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\දකුණ)=0; \; d\left(\frac(x^2)(8) \දකුණ)+d\වම(\frac(y^2)(2) \දකුණ)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$
ප්‍රතිපත්තිමය වශයෙන්, මෙහිදී ඔබට නිශ්චල ලක්ෂ්යයේ ඛණ්ඩාංක $x=2$, $y=1$ සහ $\lambda=-10$ යන පරාමිතියෙහි ඛණ්ඩාංක වහාම ආදේශ කළ හැක.
$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \right)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$
කෙසේ වෙතත්, කොන්දේසි සහිත අන්තයක් සඳහා වෙනත් ගැටළු වලදී, ස්ථාවර කරුණු කිහිපයක් තිබිය හැකිය. එවැනි අවස්ථාවන්හිදී, $d^2F$ සාමාන්ය ස්වරූපයකින් නිරූපණය කිරීම වඩා හොඳය, ඉන්පසු ලැබෙන එක් එක් ස්ථාවර ලක්ෂ්‍යවල ඛණ්ඩාංක ප්‍රතිඵල ප්‍රකාශනයට ආදේශ කරන්න:
$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \දකුණ)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\වම(\frac(\lambda) )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \දකුණ)\cdot dx^2 $$
$x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$ ආදේශ කිරීම, අපට ලැබෙන්නේ:
$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \දකුණ)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$
$d^2F=-10\cdot dx^2 සිට< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.
පිළිතුර: $(2;1)$ ලක්ෂ්‍යයේදී ශ්‍රිතයට කොන්දේසි සහිත උපරිමයක් ඇත, $z_(\max)=6$.
මීළඟ කොටසින්, අපි විචල්‍ය විශාල සංඛ්‍යාවක ශ්‍රිත සඳහා Lagrange ක්රමය යෙදීම සලකා බලමු.
අර්ථ දැක්වීම 1: කිසියම් ලක්ෂ්යයක් සඳහා එම ලක්ෂ්යයේ අසල්වැසි ප්‍රදේශයක් තිබේ නම්, ශ්‍රිතයකට ලක්ෂ්‍යයක දේශීය උපරිමයක් ඇතැයි කියනු ලැබේ. එම්ඛණ්ඩාංක සමඟ (x, y)අසමානතාවය සපුරා ඇත: මෙම අවස්ථාවෙහිදී, එනම්, ශ්රිතයේ වැඩිවීම< 0.
අර්ථ දැක්වීම2: ඕනෑම ලක්ෂ්යයක් සඳහා ලක්ෂ්යයේ අසල්වැසි ප්‍රදේශයක් තිබේ නම්, ශ්‍රිතයකට ලක්ෂ්‍යයක දේශීය අවමයක් ඇතැයි කියනු ලැබේ. එම්ඛණ්ඩාංක සමඟ (x, y)අසමානතාවය සපුරා ඇත: මෙම අවස්ථාවෙහිදී, එනම්, ශ්රිතයේ වැඩිවීම > 0.
අර්ථ දැක්වීම 3: දේශීය අවම සහ උපරිම ලකුණු කැඳවනු ලැබේ අන්ත ලකුණු.
කොන්දේසි සහිත අන්ත
බොහෝ විචල්‍යවල ශ්‍රිතයක අන්ත සෙවීමේදී, බොහෝ විට ඊනියා සම්බන්ධ ගැටළු පැන නගී කොන්දේසි සහිත අන්ත.මෙම සංකල්පය විචල්‍ය දෙකක ශ්‍රිතයක උදාහරණයකින් පැහැදිලි කළ හැක.
ශ්‍රිතයක් සහ රේඛාවක් ලබා දෙන්න එල්මතුපිටින් 0xy. කර්තව්යය වන්නේ රේඛාවයි එල්එවැනි කරුණක් සොයා ගන්න P(x, y),රේඛාවේ ලක්ෂ්‍යවල මෙම ශ්රිතයේ අගයන්ට සාපේක්ෂව ශ්රිතයේ අගය විශාලතම හෝ කුඩාම වේ එල්ලක්ෂ්යය අසල පිහිටා ඇත පී. එවැනි කරුණු පීකියලා කොන්දේසි සහිත අන්ත ලකුණුරේඛීය කාර්යයන් එල්. සාමාන්ය අන්ත ලක්ෂ්යය මෙන් නොව, කොන්දේසි සහිත අන්ත ලක්ෂ්යයේ ක්‍රියාකාරී අගය සංසන්දනය කරනු ලබන්නේ එහි සමහර අසල්වැසි ස්ථානවල සියලුම ස්ථානවල නොව, රේඛාවේ ඇති ස්ථානවල පමණි. එල්.
සුපුරුදු අන්තයේ ලක්ෂ්යය බව ඉතා පැහැදිලිය (ඔවුන් ද කියයි කොන්දේසි විරහිත අන්තය) යනු මෙම ලක්ෂ්යය හරහා ගමන් කරන ඕනෑම රේඛාවක් සඳහා කොන්දේසි සහිත අන්ත ලක්ෂ්යයකි. ප්රතිලෝම, ඇත්ත වශයෙන්ම, සත්ය නොවේ: කොන්දේසි සහිත අන්ත ලක්ෂ්යයක් සාම්ප්රදායික අන්ත ලක්ෂ්යයක් නොවිය හැක. මම මෙය සරල උදාහරණයකින් පැහැදිලි කරන්නම්. ශ්රිතයේ ප්රස්ථාරය ඉහළ අර්ධගෝලය (උපග්රන්ථය 3 (රූපය 3)) වේ.
මෙම ශ්රිතයේ මූලාරම්භයේ උපරිමයක් ඇත; එය ඉහළට අනුරූප වේ එම්අර්ධගෝල. රේඛාව නම් එල්ලකුණු හරහා ගමන් කරන රේඛාවක් තිබේ නමුත්හා හිදී(ඇගේ සමීකරණය x+y-1=0), එවිට මෙම රේඛාවේ ලක්ෂ්ය සඳහා ශ්රිතයේ උපරිම අගය ලක්ෂ්ය අතර මැද ඇති ලක්ෂ්‍යයට ළඟා වන බව ජ්‍යාමිතිකව පැහැදිලිය. නමුත්හා හිදී.ලබා දී ඇති රේඛාවේ ශ්රිතයේ කොන්දේසි සහිත අන්තයේ (උපරිම) ලක්ෂ්යය මෙයයි; එය අර්ධගෝලයේ M 1 ලක්ෂ්‍යයට අනුරූප වන අතර, මෙහි සාමාන්ය අන්තයක් පිළිබඳ ප්‍රශ්නයක් තිබිය නොහැකි බව රූපයෙන් දැකිය හැකිය.
සංවෘත කලාපයක ශ්‍රිතයක විශාලතම හා කුඩාම අගයන් සෙවීමේ ගැටලුවේ අවසාන කොටසේදී, මෙම කලාපයේ මායිමේ ශ්රිතයේ ආන්තික අගයන් අපට සොයාගත යුතු බව සලකන්න, එනම්. යම් රේඛාවක් මත, සහ එමගින් කොන්දේසි සහිත අන්තයක් සඳහා ගැටළුව විසඳන්න.
අපි දැන් Z= f(x, y) ශ්රිතයේ කොන්දේසි සහිත අන්තයේ ලක්ෂ්ය සඳහා ප්‍රායෝගික සෙවීමට යමු, x සහ y විචල්‍යයන් x සහ y සමීකරණයෙන් (x, y) = 0 සම්බන්ධ වේ. මෙම සම්බන්ධතාවය වනුයේ සීමා සමීකරණය ලෙස හැඳින්වේ. සම්බන්ධතා සමීකරණයෙන් y x: y \u003d (x) අනුව පැහැදිලිව ප්‍රකාශ කළ හැකි නම්, අපට Z \u003d f (x, (x)) \u003d Ф (x) එක් විචල්‍යයක ශ්‍රිතයක් ලැබේ.
මෙම ශ්රිතය අන්තයකට ළඟා වන x හි අගය සොයා ගැනීමෙන් පසුව, සම්බන්ධතා සමීකරණයෙන් y හි අනුරූප අගයන් තීරණය කිරීමෙන්, අපි කොන්දේසි සහිත අන්තයේ අපේක්ෂිත ලකුණු ලබා ගනිමු.
ඉතින්, ඉහත උදාහරණයේ, x+y-1=0 සන්නිවේදන සමීකරණයෙන් අපට y=1-x ලැබේ. මෙතැන් සිට
z එහි උපරිමයට x = 0.5 ට ළඟා වන බව පරීක්ෂා කිරීම පහසුය; නමුත් පසුව සම්බන්ධක සමීකරණයෙන් y = 0.5, සහ අපි හරියටම P ලක්ෂ්යය ලබා ගනිමු, ජ්යාමිතික සලකා බැලීම් වලින් සොයාගත හැකිය.
සීමාකාරී සමීකරණය නිරූපණය කළ හැකි විට පවා කොන්දේසි සහිත අන්තයක් සඳහා ගැටළුව ඉතා සරලව විසඳනු ලැබේ පරාමිතික සමීකරණ x=x(t), y=y(t). මෙම ශ්‍රිතයට x සහ y සඳහා වන ප්‍රකාශන ආදේශ කිරීමෙන්, අපි නැවතත් එක් විචල්‍යයක ශ්‍රිතයක අන්තය සෙවීමේ ගැටලුවට පැමිණෙමු.
සීමා සමීකරණයට වඩා වැඩි නම් සංකීර්ණ දර්ශනයසහ අපට එක් විචල්යයක් තවත් විචල්යයක් අනුව පැහැදිලිව ප්‍රකාශ කිරීමට හෝ එය පරාමිතික සමීකරණ සමඟ ප්‍රතිස්ථාපනය කිරීමට නොහැකි වේ, එවිට කොන්දේසි සහිත අන්තයක් සොයා ගැනීමේ ගැටලුව වඩාත් අපහසු වේ. අපි දිගටම උපකල්පනය කරමු z= f(x, y) ශ්රිතයේ ප්‍රකාශනයේ විචල්‍යය (x, y) = 0. z= f(x, y) ශ්රිතයේ සම්පූර්ණ ව්‍යුත්පන්නය සමාන වන්නේ:
අවකලනය පිළිබඳ රීතිය මගින් සොයා ගන්නා ලද y` ව්‍යුත්පන්නය කොහිද? ව්යංග කාර්යය. කොන්දේසි සහිත අන්තයේ ලක්ෂ්‍යවලදී, සොයාගත් සම්පූර්ණ ව්‍යුත්පන්නය ශුන්‍යයට සමාන විය යුතුය; මෙය x සහ y සම්බන්ධ එක් සමීකරණයක් ලබා දෙයි. ඒවා සීමා සමීකරණය ද තෘප්තිමත් කළ යුතු බැවින්, අපට නොදන්නා දෙකක් සහිත සමීකරණ දෙකක පද්ධතියක් ලැබේ.
පළමු සමීකරණය සමානුපාතික ලෙස ලිවීමෙන් සහ නොදන්නා නව සහායකයක් හඳුන්වා දීමෙන් මෙම පද්ධතිය වඩාත් පහසු එකක් බවට පරිවර්තනය කරමු:
(පහසුව සඳහා ඍණ ලකුණක් ඉදිරියෙන් තබා ඇත). මෙම සමානාත්මතාවයෙන් පහත පද්ධතියට ගමන් කිරීම පහසුය:
f` x =(x,y)+` x (x,y)=0, f` y (x,y)+` y (x,y)=0 (*),
එය, සීමා සමීකරණය (x, y) = 0 සමඟ එක්ව, නොදන්නා x, y, සහ සමඟ සමීකරණ තුනක පද්ධතියක් සාදයි.
මෙම සමීකරණ (*) භාවිතා කිරීම මතක තබා ගැනීමට පහසුම වේ ඊළඟ රීතිය: ශ්රිතයේ කොන්දේසි සහිත අන්තයේ ලක්ෂ්ය විය හැකි ලක්ෂ්ය සොයා ගැනීම සඳහා
Z= f(x, y) සීමා සමීකරණය සමඟ (x, y) = 0, ඔබට සහායක ශ්‍රිතයක් සෑදිය යුතුය
F(x,y)=f(x,y)+(x,y)
යම් නියතයක් ඇති තැන, සහ මෙම ශ්රිතයේ අන්ත ලක්ෂ්ය සොයා ගැනීමට සමීකරණ ලියන්න.
නිශ්චිත සමීකරණ පද්ධතිය රීතියක් ලෙස, අවශ්ය කොන්දේසි පමණක් ලබා දෙයි, i.e. මෙම පද්ධතිය තෘප්තිමත් කරන සෑම x සහ y අගයන් යුගලයක්ම අනිවාර්යයෙන්ම කොන්දේසි සහිත අන්ත ලක්ෂ්යයක් නොවේ. මම කොන්දේසි සහිත අන්ත ලකුණු සඳහා ප්රමාණවත් කොන්දේසි ලබා නොදෙනු ඇත; බොහෝ විට ගැටලුවේ නිශ්චිත අන්තර්ගතයම සොයාගත් කරුණ කුමක්දැයි යෝජනා කරයි. කොන්දේසි සහිත අන්තයක් සඳහා ගැටළු විසඳීම සඳහා විස්තර කරන ලද තාක්ෂණය Lagrange ගුණක ක්රමය ලෙස හැඳින්වේ.
කොන්දේසි සහිත අන්තය.
විචල්‍ය කිහිපයක ශ්‍රිතයක අන්තය
අඩු හතරැස් ක්රමය.
FNP හි දේශීය අන්තය
කාර්යයට ඉඩ දෙන්න හා= f(P), RÎDÌR nසහ ලක්ෂ්යය Р 0 ( ඒ 1 , ඒ 2 , ..., a p) –අභ්යන්තරකට්ටලයේ ලක්ෂ්යය D.
අර්ථ දැක්වීම 9.4.
1) ලක්ෂ්යය P 0 ලෙස හැඳින්වේ උපරිම ලක්ෂ්යය කාර්යයන් හා= f(P) මෙම ලක්ෂ්යයේ අසල්වැසි ප්‍රදේශයක් තිබේ නම් U(P 0) Ì D ඕනෑම ලක්ෂ්යයක් සඳහා P( x 1 , x 2 , ..., x n U(P 0), Р¹Р 0 , කොන්දේසිය f(P) £ f(P0) . අර්ථය f(P 0) උපරිම ලක්ෂ්යයේ ශ්‍රිත හඳුන්වනු ලැබේ උපරිම කාර්යය සහ දැක්වේ f(P 0) = උපරිම f(P) .
2) ලක්ෂ්යය P 0 ලෙස හැඳින්වේ අවම ලක්ෂ්යය කාර්යයන් හා= f(P) මෙම ලක්ෂ්යයේ අසල්වැසි ප්‍රදේශයක් තිබේ නම් U(P 0)Ì D ඕනෑම ලක්ෂ්යයක් සඳහා P( x 1 , x 2 , ..., x n)нU(P 0), Р¹Р 0 , කොන්දේසිය f(P)³ f(P0) . අර්ථය f(P 0) අවම ලක්ෂ්යයේ ශ්‍රිත හඳුන්වනු ලැබේ අවම කාර්යය සහ දැක්වේ f(P 0) = මිනි f(P)
ශ්‍රිතයක අවම සහ උපරිම ලක්ෂ්ය හඳුන්වනු ලැබේ අන්ත ලකුණු, අන්ත ලක්ෂ්‍යවල ශ්රිතයේ අගයන් ලෙස හැඳින්වේ කාර්යය අන්ත.
අර්ථ දැක්වීමෙන් පහත පරිදි, අසමානතාවයන් f(P) £ f(P0) f(P)³ f(P 0) සිදු කළ යුත්තේ Р 0 ලක්ෂ්යයේ නිශ්චිත අසල්වැසි ප්‍රදේශයක පමණක් වන අතර, ශ්රිතයේ සම්පූර්ණ වසම තුළ නොවේ, එනම් ශ්‍රිතයට එකම වර්ගයේ අන්ත කිහිපයක් තිබිය හැකි බවයි (අවම කිහිපයක්, උපරිම කිහිපයක්). එබැවින්, ඉහත අර්ථ දක්වා ඇති අන්තය ලෙස හැඳින්වේ දේශීය(දේශීය) අන්ත.
ප්රමේයය 9.1.( අවශ්ය කොන්දේසිය FNP අන්තය)
කාර්යය නම් හා= f(x 1 , x 2 , ..., x n) P 0 ලක්ෂ්යයේ අන්තයක් ඇත, එවිට එහි පළමු අනුපිළිවෙලෙහි අර්ධ ව්‍යුත්පන්නයන් ශුන්‍යයට සමාන හෝ නොපවතියි.
සාක්ෂි.Р 0 ලක්ෂ්‍යයේදී ඉඩ දෙන්න ( ඒ 1 , ඒ 2 , ..., a p) කාර්යය හා= f(P) උපරිමයක් වැනි අන්තයක් ඇත. අපි තර්ක නිවැරදි කරමු x 2 , ..., x n, තැබීම x 2 =ඒ 2 ,..., x n = a p. ඉන්පසු හා= f(P) = f 1 ((x 1 , ඒ 2 , ..., a p) යනු එක් විචල්‍යයක ශ්‍රිතයකි xඑක . මෙම කාර්යය ඇති බැවින් x 1 = ඒ 1 අන්ත (උපරිම), එවිට f 1 ¢=0 හෝ නොපවතියි x 1 =ඒ 1 (එක් විචල්‍යයක ශ්‍රිතයක අන්තයක පැවැත්ම සඳහා අවශ්ය කොන්දේසියකි). නමුත් , එවිට හෝ නොපවතින්නේ P 0 - අන්තයේ ලක්ෂ්යය. ඒ හා සමානව, වෙනත් විචල්‍යයන් සම්බන්ධයෙන් අපට අර්ධ ව්‍යුත්පන්නයන් සලකා බැලිය හැකිය. CHTD.
පළමු අනුපිළිවෙලෙහි අර්ධ ව්‍යුත්පන්න ශුන්‍යයට සමාන වන හෝ නොපවතින ශ්‍රිතයක වසමේ ලක්ෂ්ය ලෙස හැඳින්වේ. විවේචනාත්මක කරුණු මෙම කාර්යය.
ප්රමේයය 9.1 හි පහත පරිදි, FNP හි අන්ත ලක්ෂ්ය ශ්රිතයේ තීරනාත්මක කරුණු අතර සෙවිය යුතුය. නමුත්, එක් විචල්‍යයක ශ්‍රිතයක් සඳහා, සෑම එකක්ම නොවේ විවේචනාත්මක ලක්ෂ්යයඅන්ත ලක්ෂ්යය වේ.
ප්රමේයය 9.2
Р 0 ශ්රිතයේ තීරණාත්මක ලක්ෂ්යයක් වේවා හා= f(P) සහ 
මෙම ශ්රිතයේ දෙවන පෙළ අවකලනය වේ. ඉන්පසු
එහෙම වුණොත් මොකක්ද ඈ 2 u(P 0) > 0 සඳහා , එවිට Р 0 යනු ලක්ෂ්යයකි අවමකාර්යයන් හා= f(P);
b) නම් ඈ 2 u(P0)< 0 при , то Р 0 – точка උපරිමකාර්යයන් හා= f(P);
ඇ) නම් ඈ 2 u(P 0) ලකුණෙන් අර්ථ දක්වා නැත, එවිට P 0 අන්ත ලක්ෂ්යයක් නොවේ;
අපි මෙම ප්රමේයය සාක්ෂි නොමැතිව සලකමු.
ප්රමේයය කවදාද යන්න නොසලකන බව සලකන්න ඈ 2 u(P 0) = 0 හෝ නොපවතියි. මෙයින් අදහස් කරන්නේ එවැනි තත්වයන් යටතේ P 0 ලක්ෂ්යයේ අන්තයක් තිබීම පිළිබඳ ප්‍රශ්නය විවෘතව පවතින බවයි - අමතර අධ්‍යයනයන් අවශ්ය වේ, උදාහරණයක් ලෙස, මෙම අවස්ථාවේදී ශ්රිතයේ වැඩිවීම අධ්‍යයනය කිරීම.
වඩාත් සවිස්තරාත්මක ගණිත පාඨමාලා වලදී, විශේෂයෙන්ම, කාර්යය සඳහා බව ඔප්පු වේ z = f(x,වයි) දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි අවකලනය පෝරමයේ එකතුවක් වන විචල්‍ය දෙකක
තීරණාත්මක ලක්ෂ්ය Р 0 හි අන්තයක් තිබීම පිළිබඳ අධ්‍යයනය සරල කළ හැකිය.
දක්වන්න,,. නිර්ණායකය සම්පාදනය කරන්න
.
හැරෙනවා:
ඈ 2 z> 0 ලක්ෂයේ P 0 , i.e. P 0 - අවම ලක්ෂ්යය, නම් ඒ(P 0) > 0 සහ D(P 0) > 0;
ඈ 2 z < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если ඒ(P0)< 0 , а D(Р 0) > 0;
D(P 0) නම්< 0, то ඈ 2 zලක්ෂ්යය ආසන්නයේ Р 0 ලකුණ වෙනස් වන අතර Р 0 ලක්ෂයේ අන්තයක් නොමැත;
D(Р 0) = 0 නම්, තීරනාත්මක ලක්ෂ්යය Р 0 ආසන්නයේ ශ්රිතය පිළිබඳ අමතර අධ්‍යයනයන් ද අවශ්ය වේ.
මේ අනුව, කාර්යය සඳහා z = f(x,වයි) විචල්‍ය දෙකක්, අන්තය සොයා ගැනීම සඳහා අපට පහත ඇල්ගොරිතම ඇත (එය "ඇල්ගොරිතම D" ලෙස හඳුන්වමු):
1) අර්ථ දැක්වීමේ වසම සොයන්න D( f) කාර්යයන්.
2) විවේචනාත්මක කරුණු සොයන්න, i.e. D( සිට ලකුණු f) සඳහා සහ ශුන්‍යයට සමාන හෝ නොපවතියි.
3) එක් එක් විවේචනාත්මක ලක්ෂ්යය Р 0 අන්තය සඳහා ප්රමාණවත් කොන්දේසි පරීක්ෂා කරන්න. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, සොයා ගන්න , කොහෙද , සහ ගණනය D(Р 0) සහ නමුත්(P 0). ඉන්පසු:
D(Р 0) >0 නම්, Р 0 ලක්ෂ්යයේ අන්තයක් ඇත, එපමනක් නොව, නම් නමුත්(P 0) > 0 - එවිට මෙය අවම වේ, සහ නම් නමුත්(P 0)< 0 – максимум;
D(P 0) නම්< 0, то в точке Р 0 нет экстремума;
D(Р 0) = 0 නම්, අමතර අධ්‍යයන අවශ්ය වේ.
4) සොයාගත් අන්ත ලක්ෂ්‍යවල ශ්රිතයේ අගය ගණනය කරන්න.
උදාහරණ 1.
ශ්‍රිතයක අන්තය සොයන්න z = x 3 + 8වයි 3 – 3xy .
විසඳුමක්.මෙම කාර්යයේ වසම සමස්ත ඛණ්ඩාංක තලයයි. අපි තීරණාත්මක කරුණු සොයා බලමු.
, 
, 
Þ Р 0 (0,0), .
ප්රමාණවත් ආන්තික කොන්දේසි සපුරාලීම අපි පරීක්ෂා කරමු. අපි සොයා බලමු
6x, = -3, = 48හිදීහා 
= 288හු – 9.
ඉන්පසු D (P 0) \u003d 288 × 0 × 0 - 9 \u003d -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.
D(Р 1) = 36-9>0 - Р 1 ලක්ෂයේ අන්තයක් ඇත, සහ සිට නමුත්(P 1) = 3 >0, එවිට මෙම අන්තය අවම වේ. ඉතින් මිනි z=z(P1) = 
.
උදාහරණ 2
ශ්‍රිතයක අන්තය සොයන්න 
.
විසඳුම: D( f) = R 2 . විවේචනාත්මක කරුණු: 
; හි නොපවතියි හිදී= 0, එබැවින් P 0 (0,0) මෙම ශ්රිතයේ තීරණාත්මක ලක්ෂ්යය වේ.
2, = 0, = , = , නමුත් D(Р 0) අර්ථ දක්වා නැත, එබැවින් එහි ලකුණ අධ්‍යයනය කළ නොහැක.
එම හේතුව නිසාම, ප්රමේයය 9.2 සෘජුවම - යෙදිය නොහැක ඈ 2 zමේ මොහොතේ නොපවතියි.
කාර්යයේ වැඩිවීම සලකා බලන්න f(x, වයි) ආර් 0 ස්ථානයේ. ඩී නම් f =f(P)- f(P 0)>0 "P, D නම් P 0 අවම ලක්ෂ්යය වේ f < 0, то Р 0 – точка максимума.
අපේ නඩුවේ තියෙනවා
ඩී f = f(x, වයි) – f(0, 0) = f(0+D x,0+D වයි) – f(0, 0) = .
ඩී දී x= 0.1 සහ ඩී වයි= -0.008 අපට D ලැබේ f = 0,01 – 0,2 < 0, а при Dx= 0.1 සහ ඩී වයි= 0.001 D f= 0.01 + 0.1 > 0, i.e. ලක්ෂ්යය ආසන්නයේ Р 0 හෝ කොන්දේසිය D නොවේ f <0 (т.е. f(x, වයි) < f(0, 0) සහ, එබැවින්, P 0 උපරිම ලක්ෂ්යයක් නොවේ), හෝ D කොන්දේසිය නොවේ f>0 (එනම්. f(x, වයි) > f(0, 0) සහ පසුව Р 0 අවම ලක්ෂ්යයක් නොවේ). එබැවින්, අන්තයේ නිර්වචනය අනුව, ලබා දී ඇති කාර්යයඅන්තයක් නැත.
කොන්දේසි සහිත අන්ත.
ශ්රිතයේ සැලකෙන අන්තය ලෙස හැඳින්වේ කොන්දේසි විරහිත, ශ්‍රිත තර්ක මත සීමාවන් (කොන්දේසි) පනවා නැති නිසා.
අර්ථ දැක්වීම 9.2.කාර්යය අන්තය හා = f(x 1 , x 2 , ... , x n), එහි තර්ක යන කොන්දේසිය යටතේ සොයාගෙන ඇත x 1 , x 2 , ... , x n j 1 සමීකරණ තෘප්තිමත් කරන්න ( x 1 , x 2 , ... , x n) = 0,…, j ටී(x 1 , x 2 , ... , x n) = 0, P ( x 1 , x 2 , ... , x n) ඕ ඩී( f), ලෙස හැඳින්වේ කොන්දේසි සහිත අන්තය .
සමීකරණ j කේ(x 1 , x 2 , ... , x n) = 0 , කේ = 1, 2,..., එම්, ලෙස හැඳින්වේ සම්බන්ධතා සමීකරණ.
කාර්යයන් සලකා බලන්න z = f(x,වයි) විචල්‍ය දෙකකින්. එක් සීමා සමීකරණයක් පමණක් තිබේ නම්, i.e. , පසුව කොන්දේසි සහිත අන්තයක් සොයා ගැනීම යන්නෙන් අදහස් වන්නේ අන්තය සොයන්නේ ශ්රිතයේ සම්පූර්ණ වසම තුළ නොව, D( හි ඇති යම් වක්‍රයක් මත බවයි. f) (එනම්, පෘෂ්ඨයේ ඉහළම හෝ පහළම ස්ථාන සොයන්නේ නැත z = f(x,වයි), සහ සිලින්ඩරය සමඟ මෙම පෘෂ්ඨයේ ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්ය අතර ඉහළම හෝ පහළම ලකුණු , Fig. 5).
ශ්රිතයේ කොන්දේසි සහිත අන්තය z = f(x,වයි) විචල්‍ය දෙකකින් පහත ආකාරයට සොයා ගත හැක ( ඉවත් කිරීමේ ක්රමය) සමීකරණයෙන්, එක් විචල්යයක් අනෙකෙහි ශ්‍රිතයක් ලෙස ප්‍රකාශ කරන්න (උදාහරණයක් ලෙස, ලියන්න ) සහ, විචල්‍යයේ මෙම අගය ශ්‍රිතයට ආදේශ කරමින් , දෙවැන්න එක් විචල්‍යයක ශ්‍රිතයක් ලෙස ලියන්න (සැලකිය යුතු අවස්ථාවකදී 
) එක් විචල්‍යයක ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන ශ්රිතයේ අන්තය සොයන්න.
විචල්‍ය දෙකක ශ්‍රිතයක අන්තයක් සඳහා ප්රමාණවත් කොන්දේසියකි
1. ලක්ෂ්යයේ යම් අසල්වැසි ප්‍රදේශයක ශ්රිතය අඛණ්ඩව අවකලනය වීමට ඉඩ හරින්න සහ අඛණ්ඩ දෙවන පෙළ අර්ධ ව්‍යුත්පන්න (පිරිසිදු සහ මිශ්‍ර) තිබිය යුතුය.
2. දෙවන අනුපිළිවෙල නිර්ණය මගින් දක්වන්න
අන්ත විචල්‍ය දේශන කාර්යය
ප්රමේයය
ඛණ්ඩාංක සහිත ලක්ෂ්යය ශ්රිතය සඳහා ස්ථාවර ලක්ෂ්යයක් නම්, එවිට:
A) at , එය දේශීය අන්ත ලක්ෂ්යයක් වන අතර, at දේශීය උපරිම, - දේශීය අවම;
C) ලක්ෂ්යය දේශීය අන්ත ලක්ෂ්යයක් නොවන විට;
ඇ) නම්, සමහරවිට දෙකම.
සාක්ෂි
අපි සාමාජිකයන් දෙදෙනෙකුට සීමා කරමින්, කාර්යය සඳහා ටේලර් සූත්‍රය ලියන්නෙමු:
ප්‍රමේයයේ තත්ත්වය අනුව, ලක්ෂ්යය නිශ්චල බැවින්, දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි අර්ධ ව්‍යුත්පන්නයන් ශුන්‍යයට සමාන වේ, i.e. හා. ඉන්පසු
දක්වන්න
එවිට ශ්රිතයේ වැඩිවීම පෝරමය ගනී:
දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි (පිරිසිදු සහ මිශ්‍ර) අර්ධ ව්‍යුත්පන්නවල අඛණ්ඩතාව හේතුවෙන්, ප්‍රමේයයේ තත්වය අනුව, අපට ලිවිය හැකිය:
කොහෙද හෝ; ,
1. ඉඩ දෙන්න සහ, එනම්, හෝ.
2. අපි ශ්රිතයේ වර්ධකය ගුණ කර බෙදන්නෙමු, අපට ලැබෙන්නේ:
3. රැලි වරහන් තුළ ඇති ප්‍රකාශනය එකතුවේ සම්පූර්ණ චතුරස්‍රයට අනුපූරක කරන්න:
4. කැරලි වරහන් තුළ ප්‍රකාශනය ඍණාත්මක නොවන බැවින්
5. එබැවින්, එසේ නම් සහ එහෙයින්, සහ, පසුව සහ, එබැවින්, අර්ථ දැක්වීමට අනුව, ලක්ෂ්යය දේශීය අවම ලක්ෂ්යයකි.
6. නම් සහ අදහස්, සහ, එසේ නම්, නිර්වචනයට අනුව, ඛණ්ඩාංක සහිත ලක්ෂ්යයක් දේශීය උපරිම ලක්ෂ්යයකි.
2. හතරැස් ත්‍රිපදයක් සලකා බලන්න, එහි වෙනස් කොට සැලකීම, .
3. එසේ නම්, බහුපද වැනි කරුණු තිබේ
4. I හි ලබාගත් ප්‍රකාශනයට අනුකූලව ලක්ෂ්‍යයක ශ්රිතයේ සම්පූර්ණ වැඩිවීම, අපි පෝරමයේ ලියන්නෙමු:
5. දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි අර්ධ ව්‍යුත්පන්නයන් අඛණ්ඩව පැවතීම හේතුවෙන්, යම් අවස්ථාවක ප්‍රමේයයේ තත්ත්වය අනුව, අපට එය ලිවිය හැක.
එබැවින්, ඕනෑම ලක්ෂ්යයක් සඳහා වර්ග ත්‍රිකෝණය ශුන්‍යයට වඩා වැඩි වන පරිදි ලක්ෂ්‍යයක අසල්වැසි ප්‍රදේශයක් පවතී:
6. සලකා බලන්න - ලක්ෂ්යයේ අසල්වැසි ප්රදේශය.
අපි ඕනෑම අගයක් තෝරා ගනිමු, එබැවින් කාරණය එයයි. ශ්රිතයේ වර්ධක සූත්‍රයේ යැයි උපකල්පනය කිරීම
අපට ලැබෙන දේ:
7. එතැන් සිට.
8. මූලය සඳහා සමානව තර්ක කරන විට, ලක්ෂ්යයේ ඕනෑම අසල්වැසි ස්ථානයක ලක්ෂ්යයක් ඇති බව අපට ලැබේ, එබැවින් ලක්ෂ්යයේ අසල්වැසි ප්‍රදේශයේ එය ලකුණක් ආරක්ෂා නොකරයි, එබැවින් ලක්ෂ්යයේ අන්තයක් නොමැත.
විචල්‍ය දෙකක ශ්‍රිතයක කොන්දේසි සහිත අන්තය
විචල්‍ය දෙකක ශ්‍රිතයක අන්ත සෙවීමේදී, බොහෝ විට ඊනියා කොන්දේසි සහිත අන්තයට සම්බන්ධ ගැටළු පැන නගී. මෙම සංකල්පය විචල්‍ය දෙකක ශ්‍රිතයක උදාහරණයකින් පැහැදිලි කළ හැක.
0xy තලයේ ශ්‍රිතයක් සහ L රේඛාවක් ලබා දෙන්න. කර්තව්යය වන්නේ L රේඛාවේ P (x, y) ලක්ෂ්යයක් සොයා ගැනීමයි, එහි ශ්රිතයේ අගය විශාලතම හෝ කුඩාම වන මෙම ශ්රිතයේ අගයන් සමඟ සසඳන විට L රේඛාව අසල පිහිටා ඇත. ලක්ෂ්යය P. එවැනි ලකුණු P L රේඛාවේ කොන්දේසි සහිත අන්ත ලක්ෂ්ය ශ්‍රිත ලෙස හැඳින්වේ. සාමාන්ය අන්ත ලක්ෂ්‍යයට ප්‍රතිවිරුද්ධව, කොන්දේසි සහිත අන්ත ලක්ෂ්යයේ ශ්රිතයේ අගය සෑම ලක්ෂ්‍යකම නොවන ශ්රිතයේ අගයන් සමඟ සංසන්දනය කෙරේ. එහි සමහර අසල්වැසි, නමුත් L රේඛාවේ පිහිටා ඇති ස්ථානවල පමණි.
මෙම ලක්ෂ්යය හරහා ගමන් කරන ඕනෑම රේඛාවක් සඳහා සාමාන්ය අන්තයේ ලක්ෂ්යය (කොන්දේසි විරහිත අන්තය ලෙසද ඔවුහු කියති) කොන්දේසි සහිත අන්තයේ ලක්ෂ්යය බව ඉතා පැහැදිලිය. ප්රතිලෝම, ඇත්ත වශයෙන්ම, සත්ය නොවේ: කොන්දේසි සහිත අන්ත ලක්ෂ්යයක් සාම්ප්රදායික අන්ත ලක්ෂ්යයක් නොවිය හැක. අපි උදාහරණයකින් කියපු දේ පැහැදිලි කරගමු.
උදාහරණ #1.ශ්රිතයේ ප්රස්ථාරය ඉහළ අර්ධගෝලය (රූපය 2) වේ.
සහල්. 2.
මෙම ශ්රිතයේ මූලාරම්භයේ උපරිමයක් ඇත; එය අර්ධගෝලයේ M ශීර්ෂයට අනුරූප වේ. L රේඛාව A සහ B (එහි සමීකරණය) ලක්ෂ්ය හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවක් නම්, මෙම රේඛාවේ ලක්ෂ්ය සඳහා ශ්රිතයේ උපරිම අගය ළඟා වන්නේ A සහ ලක්ෂ්ය අතර මැද ඇති ලක්ෂ්‍යයට බව ජ්‍යාමිතිකව පැහැදිලිය. B. මෙම රේඛාවේ කොන්දේසි සහිත අන්ත (උපරිම) ලක්ෂ්ය ශ්රිතය මෙයයි; එය අර්ධගෝලයේ M 1 ලක්ෂ්‍යයට අනුරූප වන අතර, මෙහි සාමාන්ය අන්තයක් පිළිබඳ ප්‍රශ්නයක් තිබිය නොහැකි බව රූපයෙන් දැකිය හැකිය.
සංවෘත කලාපයක ශ්‍රිතයක විශාලතම හා කුඩාම අගයන් සෙවීමේ ගැටලුවේ අවසාන කොටසේදී, මෙම කලාපයේ මායිමේ ශ්රිතයේ ආන්තික අගයන් සොයා ගත යුතු බව සලකන්න, එනම්. යම් රේඛාවක් මත, සහ එමගින් කොන්දේසි සහිත අන්තයක් සඳහා ගැටළුව විසඳන්න.
අර්ථ දැක්වීම 1.සමීකරණය තෘප්තිමත් කරන ස්ථානයක කොන්දේසි සහිත හෝ සාපේක්ෂ උපරිමයක් (අවම) ඇති බව ඔවුහු පවසති: සමීකරණය තෘප්තිමත් කරන ඕනෑම දෙයක් සඳහා නම්, අසමානතාවය
අර්ථ දැක්වීම 2.පෝරමයේ සමීකරණයක් සීමා සමීකරණයක් ලෙස හැඳින්වේ.
ප්රමේයය
ලක්ෂ්‍යයක අසල්වැසි ප්‍රදේශයක ශ්‍රිත සහ අඛණ්ඩව වෙනස් කළ හැකි නම්, සහ අර්ධ ව්‍යුත්පන්නය, සහ ලක්ෂ්යය සීමා සමීකරණයට අදාළව ශ්රිතයේ කොන්දේසි සහිත අන්තයේ ලක්ෂ්යය නම්, දෙවන අනුපිළිවෙල නිර්ණය ශුන්‍යයට සමාන වේ:
සාක්ෂි
1. ප්රමේයය, අර්ධ ව්‍යුත්පන්නය සහ ශ්රිතයේ අගය අනුව, යම් සෘජුකෝණාස්‍රයක
ව්යංග ශ්රිතය අර්ථ දක්වා ඇත
ලක්ෂ්‍යයක විචල්‍ය දෙකක සංකීර්ණ ශ්‍රිතයක් ඇත දේශීය අන්තය, එබැවින්, හෝ.
2. ඇත්ත වශයෙන්ම, පළමු අනුපිළිවෙලෙහි අවකල සූත්‍රයේ වෙනස් නොවන ගුණාංගය අනුව
3. සම්බන්ධතා සමීකරණය මෙම ආකෘතියෙන් නිරූපණය කළ හැක, එනම්
4. සමීකරණය (2) මගින් සහ (3) ගුණ කර ඒවා එකතු කරන්න
එබැවින්, කවදාද
හිතුවක්කාර. h.t.d.
ප්රතිවිපාකය
ප්‍රායෝගිකව විචල්‍ය දෙකක ශ්‍රිතයක කොන්දේසි සහිත අන්ත ලක්ෂ්ය සෙවීම සිදු කරනු ලබන්නේ සමීකරණ පද්ධතියක් විසඳීමෙනි.
ඉතින්, ඉහත උදාහරණයේ අංක 1 හි අපට ඇති සන්නිවේදන සමීකරණයෙන්. මෙතැන් සිට උපරිමයට ළඟා වන්නේ කුමක්දැයි පරීක්ෂා කිරීම පහසුය. නමුත් පසුව සන්නිවේදනයේ සමීකරණයෙන්. ජ්‍යාමිතිකව සොයාගත් P ලක්ෂ්යය අපට ලැබේ.
උදාහරණ #2.සීමා සමීකරණයට අදාළව ශ්රිතයේ කොන්දේසි සහිත අන්ත ලක්ෂ්ය සොයන්න.
අපි අර්ධ ව්‍යුත්පන්න සොයා ගනිමු ලබා දී ඇති කාර්යයසහ සම්බන්ධතා සමීකරණ:
අපි දෙවන අනුපිළිවෙල නිර්ණය කරමු:
කොන්දේසි සහිත අන්ත ලක්ෂ්ය සොයා ගැනීම සඳහා සමීකරණ පද්ධතිය ලියා තබමු:
එබැවින්, ඛණ්ඩාංක සහිත ශ්රිතයේ කොන්දේසි සහිත අන්ත ලක්ෂ්ය හතරක් ඇත: .
උදාහරණ #3.ශ්රිතයේ අන්ත ලක්ෂ්ය සොයන්න.
අර්ධ ව්‍යුත්පන්නයන් ශුන්‍යයට සම කිරීම: , අපට එක් නිශ්චල ලක්ෂ්යයක් හමු වේ - මූලාරම්භය. මෙතන,. එබැවින් ලක්ෂ්යය (0, 0) අන්ත ලක්ෂ්යයක් ද නොවේ. සමීකරණය යනු හයිපර්බෝලික් පැරබොලොයිඩ් (රූපය 3) සමීකරණයයි, රූපය පෙන්නුම් කරන්නේ ලක්ෂ්යය (0, 0) අන්ත ලක්ෂ්යයක් නොවන බවයි.
සහල්. 3.
සංවෘත ප්‍රදේශයක ශ්‍රිතයක විශාලතම සහ කුඩාම අගය
1. සීමා සහිත සංවෘත වසමක ශ්රිතය නිර්වචනය කර අඛණ්ඩව පැවතීමට ඉඩ හරින්න.
2. කලාපයේ තනි ලක්ෂ්ය හැර, ශ්‍රිතයට මෙම කලාපය තුළ සීමිත අර්ධ ව්‍යුත්පන්න තිබිය යුතුය.
3. Weierstrass ප්‍රමේයයට අනුකූලව, මෙම ප්‍රදේශයේ ශ්රිතය විශාලතම හා කුඩාම අගයන් ගන්නා ලක්ෂ්යයක් ඇත.
4. මෙම ලක්ෂ්ය D කලාපයේ අභ්‍යන්තර ලක්ෂ්ය නම්, ඒවාට උපරිම හෝ අවම අගයක් ඇති බව පැහැදිලිය.
5. මෙම නඩුවේදී, අපට උනන්දුවක් දක්වන කරුණු අන්තයේ ඇති සැක සහිත කරුණු අතර වේ.
6. කෙසේ වෙතත්, ශ්‍රිතයට D කලාපයේ මායිමේ උපරිම හෝ අවම අගය ද ගත හැක.
7. D ප්‍රදේශයේ ශ්රිතයේ විශාලතම (කුඩාම) අගය සොයා ගැනීම සඳහා, ඔබ අන්තයක් ගැන සැක කරන සියලුම අභ්‍යන්තර ලක්ෂ්ය සොයා ගත යුතු අතර, ඒවායේ ශ්රිතයේ අගය ගණනය කර, ශ්රිතයේ අගය සමඟ සසඳන්න. ප්‍රදේශයේ මායිම් ලක්ෂ්ය, සහ සොයාගත් සියලුම අගයන්ගෙන් විශාලතම අගය සංවෘත කලාපයේ D හි විශාලතම වේ.
8. දේශීය උපරිම හෝ අවම සොයා ගැනීමේ ක්රමය 1.2 වගන්තියේ කලින් සලකා බලන ලදී. සහ 1.3.
9. කලාපයේ මායිම මත ශ්රිතයේ උපරිම සහ අවම අගයන් සොයා ගැනීමේ ක්රමය සලකා බැලීමට ඉතිරිව ඇත.
10. විචල්‍ය දෙකක ශ්‍රිතයක දී, ප්රදේශය සාමාන්‍යයෙන් වක්‍රයකින් හෝ වක්‍ර කිහිපයකින් මායිම් වී ඇත.
11. එවැනි වක්‍රයක් දිගේ (හෝ වක්‍ර කිහිපයක්), විචල්‍යයන් සහ එක්කෝ එකක් මත රඳා පවතී, නැතහොත් දෙකම එක් පරාමිතියක් මත රඳා පවතී.
12. මේ අනුව, මායිම මත, ශ්රිතය එක් විචල්යයක් මත රඳා පවතී.
13. සෙවුම් ක්රමය විශාලතම වටිනාකමඑක් විචල්‍යයක ශ්‍රිතයන් මීට පෙර සාකච්ඡා කරන ලදී.
14. D කලාපයේ මායිම පරාමිතික සමීකරණ මගින් ලබා දෙන්න.
එවිට මෙම වක්‍රය මත විචල්‍ය දෙකක ශ්රිතය වනු ඇත සංකීර්ණ කාර්යයපරාමිතිය සිට:. එවැනි ශ්‍රිතයක් සඳහා, විශාලතම හා කුඩාම අගය තීරණය වන්නේ එක් විචල්‍යයක ශ්‍රිතයක් සඳහා විශාලතම සහ කුඩාම අගයන් නිර්ණය කිරීමේ ක්රමය මගිනි.
