ශ්රිතයක අන්ත මොනවාද: උපරිම සහ අවම තීරණාත්මක ලක්ෂ්ය. කාර්යය අන්ත: පැවැත්මේ සංඥා, විසඳුම් සඳහා උදාහරණ
හැදින්වීම
විද්‍යාවේ බොහෝ ක්ෂේත්රවල සහ ප්‍රායෝගිකව, කෙනෙකුට බොහෝ විට ශ්රිතයක අන්තය සොයා ගැනීමේ ගැටලුවක් ඇති වේ. කාරණය නම් බොහෝ තාක්ෂණික, ආර්ථික යනාදියයි. ක්‍රියාවලි විචල්‍යයන් මත යැපෙන ශ්‍රිතයක් හෝ ශ්‍රිත කිහිපයක් මගින් ආකෘතිගත කර ඇත - ආදර්ශයට ගන්නා සංසිද්ධියේ තත්වයට බලපාන සාධක. ප්රශස්ත (තාර්කික) තත්වය, ක්‍රියාවලි පාලනය තීරණය කිරීම සඳහා එවැනි ශ්‍රිතවල අන්තය සොයා ගැනීම අවශ්ය වේ. එබැවින් ආර්ථිකය තුළ, පිරිවැය අවම කිරීම හෝ ලාභය උපරිම කිරීම පිළිබඳ ගැටළු බොහෝ විට විසඳනු ලැබේ - සමාගමේ ක්ෂුද්ර ආර්ථික කාර්යය. මෙම කාර්යයේදී, අපි ආකෘති නිර්මාණ ගැටළු සලකා බලන්නේ නැත, නමුත් විචල්‍යයන් සඳහා සීමාවන් නොමැති විට, සරලම අනුවාදයේ ශ්‍රිතවල අන්ත සෙවීම සඳහා ඇල්ගොරිතම පමණක් සලකා බලමු ( කොන්දේසි විරහිතව ප්රශස්තකරණය), සහ අන්තය සොයන්නේ එක් වෛෂයික කාර්යයක් සඳහා පමණි.
කාර්යයේ අන්තය
අඛණ්ඩ ශ්රිතයක ප්රස්ථාරය සලකා බලන්න y=f(x)රූපයේ දැක්වේ. ලක්ෂ්යයේ ක්රියාකාරී අගය x 1 වමට සහ දකුණට ඇති සියලුම අසල්වැසි ලක්ෂ්යවල ශ්රිතයේ අගයන්ට වඩා වැඩි වනු ඇත. xඑක . මෙම අවස්ථාවේ දී, කාර්යය ලක්ෂ්යයේ ඇති බව කියනු ලැබේ x 1 උපරිම. ලක්ෂ්යයේදී x 3 ශ්‍රිතයට පැහැදිලිවම උපරිමයක් ඇත. අපි කාරණය සලකා බැලුවහොත් x 2 , එවිට එහි ඇති ශ්රිතයේ අගය සියලු අසල්වැසි අගයන්ට වඩා අඩුය. මෙම අවස්ථාවේ දී, කාර්යය ලක්ෂ්යයේ ඇති බව කියනු ලැබේ x 2 අවම. ඒ හා සමානව කාරණය සඳහා x 4 .
කාර්යය y=f(x)ලක්ෂ්යයේ x 0 ඇත උපරිම, මෙම ලක්ෂ්යයේ ශ්රිතයේ අගය ලක්ෂ්යය අඩංගු යම් කාල පරතරයක සියලුම ලක්ෂ්යවල එහි අගයන්ට වඩා වැඩි නම් x 0, i.e. ලක්ෂ්යයේ එවැනි අසල්වැසි ප්රදේශයක් තිබේ නම් x 0, එය සෑම කෙනෙකුටම වේ x ≠x 0 , මෙම අසල්වැසි ප්‍රදේශයට අයත්, අපට අසමානතාවය ඇත f(x) <f(x 0 ) .
කාර්යය y=f(x)එයට තිබෙනවා අවමලක්ෂ්යයේ x 0 , ලක්ෂ්යයේ එවැනි අසල්වැසි ප්රදේශයක් තිබේ නම් x 0 , සෑම කෙනෙකුටම කුමක්ද x ≠xමෙම අසල්වැසි ප්‍රදේශයට අයත් 0, අපට අසමානතාවය ඇත f(x) >f(x0 .
ශ්‍රිතය එහි උපරිම සහ අවම අගයට ළඟා වන ලක්ෂ්ය අන්ත ලක්ෂ්ය ලෙස හඳුන්වනු ලබන අතර, මෙම ලක්ෂ්යවල ශ්රිතයේ අගයන් ශ්රිතයේ අන්තය වේ.
ඛණ්ඩයක් මත නිර්වචනය කර ඇති ශ්‍රිතයක් එහි උපරිම සහ අවම මට්ටමට ළඟා විය හැක්කේ සලකා බලනු ලබන කොටස තුළ ඇති ලක්ෂ්‍යවලදී පමණක් බව අපි අවධානය යොමු කරමු.
ශ්‍රිතයකට ලක්ෂ්‍යයක උපරිමයක් තිබේ නම්, එම ලක්ෂ්යයේ ශ්‍රිතයට උපරිමයක් ඇති බව මින් අදහස් නොවන බව සලකන්න. ඉහළම අගයඅර්ථ දැක්වීමේ වසම පුරා. ඉහත සාකච්ඡා කළ රූපයේ, ලක්ෂ්යයේ ශ්‍රිතය xශ්රිතයේ අගයන් ලක්ෂ්යයට වඩා වැඩි ලක්ෂ්ය තිබුණද, 1ට උපරිමයක් ඇත x 1 . විශේෂයෙන්ම, f (x 1) < f (x 4) i.e. ශ්රිතයේ අවම අගය උපරිමයට වඩා වැඩිය. උපරිම අර්ථ දැක්වීමෙන්, එය අනුගමනය කරන්නේ මෙය වඩාත්ම බව පමණි විශාල වැදගත්කමක්උපරිම ලක්ෂ්යයට ප්රමාණවත් තරම් ආසන්න ස්ථානවල ක්‍රියා කරයි.
ප්රමේයය 1. (අන්තයක පැවැත්ම සඳහා අවශ්ය කොන්දේසියකි.) අවකලනය කළ හැකි ශ්‍රිතයක් නම් y=f(x)ලක්ෂ්යයේ ඇත x= x 0 අන්තය, එවිට එහි ව්යුත්පන්නය මෙම ස්ථානයේ අතුරුදහන් වේ.
සාක්ෂි. නිශ්චිතභාවය සඳහා, ලක්ෂ්යයේදී ඉඩ දෙන්න x 0 ශ්‍රිතයට උපරිමයක් ඇත. එවිට ප්රමාණවත් තරම් කුඩා වර්ධක සඳහා Δ xඅපිට තියනවා f(x
0
+ Δ x)
මෙම අසමානතාවයන් Δ ලෙස සීමාව දක්වා ගමන් කිරීම x→ 0 සහ ව්‍යුත්පන්න බව සැලකිල්ලට ගනිමින් f "(x 0) පවතින අතර, එබැවින් වම් පස ඇති සීමාව Δ කෙසේද යන්න මත රඳා නොපවතී x→ 0, අපට ලැබෙන්නේ: Δ සඳහා x → 0 – 0 f" (x 0) ≥ 0 සහ Δ දී x → 0 + 0 f" (x 0) ≤ 0. සිට f" (x 0) අංකයක් නිර්වචනය කරයි, එවිට මෙම අසමානතා දෙක අනුකූල වන්නේ නම් පමණි f" (x 0) = 0.
ඔප්පු කරන ලද ප්‍රමේයයේ සඳහන් වන්නේ උපරිම සහ අවම ලකුණු විය හැක්කේ ව්යුත්පන්නය අතුරුදහන් වන තර්කයේ අගයන් අතර පමණක් බවයි.
කිසියම් කොටසක සියලුම ලක්ෂ්යවල ශ්‍රිතයකට ව්‍යුත්පන්නයක් ඇති විට අපි සලකා බැලුවෙමු. ව්යුත්පන්නය නොමැති විට කුමක් සිදුවේද? උදාහරණ සලකා බලන්න.
වයි =|x |.
ශ්‍රිතයට ලක්ෂ්‍යයක ව්‍යුත්පන්නයක් නොමැත x=0 (මෙම අවස්ථාවේදී, ශ්රිතයේ ප්‍රස්ථාරයට නිශ්චිත ස්පර්ශකයක් නොමැත), නමුත් මෙම අවස්ථාවෙහිදී ශ්‍රිතයට අවම අගයක් ඇත. වයි(0)=0, සහ සියල්ල සඳහා x ≠ 0වයි > 0.
හි ව්‍යුත්පන්නයක් නොමැත x=0, එය අනන්තයට යන විට x=0. නමුත් මෙම අවස්ථාවෙහිදී, කාර්යය උපරිම වේ. 
හි ව්‍යුත්පන්නයක් නොමැත x=0 නිසා 
හිදී x→0. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, ශ්‍රිතයට උපරිමයක් හෝ අවමයක් නොමැත. ඇත්තටම, f(x)=0 සහ at x
<0f(x)
<0, а при x
>0f(x)
>0.
මේ අනුව, ලබා දී ඇති උදාහරණ සහ සූත්‍රගත ප්රමේයය අනුව ශ්‍රිතයට අන්තයක් තිබිය හැක්කේ අවස්ථා දෙකකදී පමණක් බව පැහැදිලිය: 1) ව්යුත්පන්නය පවතින ස්ථානවලදී සහ ශුන්යයට සමාන වේ; 2) ව්යුත්පන්නය නොපවතින ස්ථානයේ.
කෙසේ වෙතත්, යම් අවස්ථාවක දී නම් x 0 අපි ඒක දන්නවා f"(x 0 ) =0, එවිට මෙම ලක්ෂ්යයේ ඇති බව මෙයින් නිගමනය කළ නොහැක x 0 ශ්‍රිතයට අන්තයක් ඇත.
උදාහරණ වශයෙන්.
.
නමුත් කාරණය x=0 යනු අන්ත ලක්ෂ්‍යයක් නොවේ, මන්ද මෙම ලක්ෂ්යයේ වම් පසින් ශ්‍රිත අගයන් අක්ෂයට පහළින් පිහිටා ඇත ගොනා, සහ දකුණු පසින් ඉහළින්.
ශ්රිතයක ව්යුත්පන්නය අතුරුදහන් වන හෝ නොපවතින ශ්රිතයක වසමක තර්කයක අගයන් ලෙස හැඳින්වේ. විවේචනාත්මක කරුණු .
ශ්රිතයක අන්ත ලක්ෂ්ය තීරනාත්මක ලක්ෂ්ය අතර වන අතර, කෙසේ වෙතත්, සෑම තීරණාත්මක ලක්ෂ්‍යයක්ම අන්ත ලක්ෂ්‍යයක් නොවන බව ඉහත සඳහන් කළ කරුණු වලින් පහත දැක්වේ. එබැවින්, ශ්රිතයේ අන්තය සොයා ගැනීම සඳහා, ඔබ ශ්රිතයේ සියලුම තීරණාත්මක ලක්ෂ්‍යයන් සොයා ගත යුතු අතර, පසුව මෙම එක් එක් ලක්ෂ්යය උපරිම සහ අවම වශයෙන් වෙන වෙනම පරීක්ෂා කරන්න. මේ සඳහා පහත ප්රමේයය සේවය කරයි.
ප්රමේයය 2. (අන්තයක පැවැත්ම සඳහා ප්රමාණවත් කොන්දේසියකි.) තීරනාත්මක ලක්ෂ්යය අඩංගු යම් විරාමයක ශ්‍රිතය අඛණ්ඩව පැවතිය යුතුය. x 0 , සහ මෙම අන්තරයේ සෑම ලක්ෂ්‍යකම (සමහර විට, ලක්ෂ්යය හැර) අවකලනය වේ x 0) මෙම ලක්ෂ්යය හරහා වමේ සිට දකුණට ගමන් කරන විට, ව්යුත්පන්නය ලකුණ plus සිට minus දක්වා වෙනස් වේ නම්, ලක්ෂ්යයේ දී x = x 0 ශ්‍රිතයට උපරිමයක් ඇත. නම්, හරහා ගමන් කරන විට x 0 වමේ සිට දකුණට, ව්‍යුත්පන්න වෙනස්කම් ලකුණ සෘණ සිට වැඩි කිරීමට, එවිට ශ්‍රිතයට මෙම ස්ථානයේ අවම අගයක් ඇත.
මේ අනුව, නම්
f"(x)>0ට x <x 0 සහ f"(x)< 0 ට x > x 0, පසුව x 0 - උපරිම ලක්ෂ්යය;
හිදී x <x 0 සහ f "(x)> 0 ට x > x 0, පසුව x 0 යනු අවම ලක්ෂ්යය වේ.
සාක්ෂි. ඒ හරහා යන විට අපි මුලින්ම උපකල්පනය කරමු x 0, ව්‍යුත්පන්න වෙනස්කම් ලකුණ plus සිට minus දක්වා, i.e. සියල්ල සඳහා xලක්ෂ්යයට ආසන්නයි x 0 f "(x)> 0 සඳහා x< x 0 , f"(x)< 0 සඳහා x > x 0 . වෙනසට Lagrange theorem එක යොදමු f(x) - f(x 0 ) = f "(c)(x- x 0), කොහෙද cඅතර පිහිටා ඇත xහා x 0 .
ඉඩ x< x 0 . ඉන්පසු c< x 0 සහ f "(c)> 0. ඒක තමයි f "(c)(x-x 0)< 0 සහ, එබැවින්,
f(x) - f(x 0 )< 0, i.e. f(x)< f(x 0 ).
ඉඩ x > x 0 . ඉන්පසු c>x 0 සහ f"(c)< 0. අදහස් වේ f "(c)(x-x 0)< 0. ඒක තමයි f(x) - f(x 0 ) <0,т.е.f(x) < f(x 0 ) .
මේ අනුව, සියලු අගයන් සඳහා xප්රමාණවත් තරම් සමීප x 0 f(x) < f(x 0 ) . සහ මෙයින් අදහස් කරන්නේ එම අවස්ථාවේ දී ය x 0 ශ්‍රිතයට උපරිමයක් ඇත.
අවම ප්‍රමේයයේ දෙවන කොටසද එලෙසම ඔප්පු වේ.
මෙම ප්රමේයය රූපයේ තේරුම අපි නිදර්ශනය කරමු. ඉඩ f"(x 1 ) =0 සහ ඕනෑම දෙයක් සඳහා x,ප්රමාණවත් තරම් සමීප x 1, අසමානතා
f"(x)< 0 ට x< x 1 , f "(x)> 0 ට x > x 1 .
එවිට ලක්ෂ්යයේ වම් පැත්තට x 1 ශ්‍රිතය දකුණු පසින් වැඩි වන අතර අඩු වෙමින් පවතී, එබැවින් විට x = x 1 ශ්‍රිතය වැඩි වීමේ සිට අඩු වීම දක්වා යයි, එනම් එයට උපරිමයක් ඇත.
ඒ හා සමානව, කෙනෙකුට කරුණු සලකා බැලිය හැකිය x 2 සහ x 3 .
ක්‍රමානුකූලව, ඉහත සියල්ල පින්තූරයේ නිරූපණය කළ හැකිය:
අන්තයක් සඳහා y=f(x) ශ්‍රිතය අධ්යයනය කිරීමේ රීතිය
ශ්රිතයක විෂය පථය සොයන්න f(x)
ශ්රිතයක පළමු ව්යුත්පන්නය සොයන්න f"(x) .
මේ සඳහා තීරණාත්මක කරුණු තීරණය කරන්න:
සමීකරණයේ සැබෑ මූලයන් සොයා ගන්න f"(x) =0;
සියලු අගයන් සොයා ගන්න xව්යුත්පන්නය යටතේ f"(x)නොපවතී.
විවේචනාත්මක ලක්ෂ්යයේ වම් සහ දකුණට ව්යුත්පන්නයේ ලකුණ තීරණය කරන්න. තීරනාත්මක ලක්ෂ්ය දෙකක් අතර ව්යුත්පන්නයේ ලකුණ නියතව පවතින බැවින්, තීරණාත්මක ලක්ෂ්යයේ වමට සහ එක් ලක්ෂයක දකුණට ව්යුත්පන්නයේ ලකුණ තීරණය කිරීම ප්රමාණවත් වේ.
අන්ත ලක්ෂ්යවල ශ්රිතයේ අගය ගණනය කරන්න.
මෙම සේවාව සමඟ, ඔබට පුළුවන් ශ්රිතයක විශාලතම හා කුඩාම අගය සොයන්න Word හි විසඳුමේ සැලසුම සමඟ f(x) විචල්‍යයක්. f(x,y) ශ්‍රිතය ලබා දී ඇත්නම්, එබැවින්, විචල්‍ය දෙකක ශ්රිතයේ අන්තය සොයා ගැනීම අවශ්ය වේ. ඔබට ශ්රිතයේ වැඩිවීමේ සහ අඩුවීමේ කාල අන්තරයන් ද සොයාගත හැකිය.
කාර්යය ඇතුළත් කිරීමේ නීති:
එක් විචල්‍යයක ශ්රිතයක අන්තයක් සඳහා අවශ්ය කොන්දේසියකි
f "0 (x *) \u003d 0 සමීකරණය එක් විචල්‍යයක ශ්රිතයක අන්තය සඳහා අත්‍යවශ්‍ය කොන්දේසියකි, එනම් x * ලක්ෂ්යයේදී ශ්රිතයේ පළමු ව්යුත්පන්නය අතුරුදහන් විය යුතුය. එය ශ්රිතයේ ස්ථාවර ලක්ෂ්ය x c තෝරා ගනී. වැඩි නොවේ අඩු නොවේ .එක් විචල්‍යයක ශ්රිතයක අන්තයක් සඳහා ප්රමාණවත් කොන්දේසියකි
D කුලකයට අයත් x ට සාපේක්ෂව f 0 (x) දෙවරක් අවකලනය වීමට ඉඩ හරින්න. x * ලක්ෂ්යයේදී කොන්දේසිය සපුරා ඇත්නම්:F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0
එවිට x * ලක්ෂ්යය ශ්රිතයේ දේශීය (ගෝලීය) අවම ලක්ෂ්යය වේ.
x * ලක්ෂ්යයේදී කොන්දේසිය සපුරා ඇත්නම්:
F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0
එම ලක්ෂ්යය x * යනු දේශීය (ගෝලීය) උපරිමයකි.
උදාහරණ #1. ශ්රිතයේ විශාලතම සහ කුඩාම අගයන් සොයන්න: කොටසේ .
විසඳුමක්. 
තීරණාත්මක ලක්ෂ්යය එක x 1 = 2 (f'(x)=0) වේ. මෙම ලක්ෂ්යය කොටසට අයත් වේ. (0∉ සිට x=0 ලක්ෂ්යය තීරණාත්මක නොවේ).
අපි කොටසේ කෙළවරේ සහ තීරණාත්මක ලක්ෂ්යයේ ශ්රිතයේ අගයන් ගණනය කරමු.
f(1)=9, f(2)= 5/2 , f(3)=3 8 / 81
පිළිතුර: x=2 සඳහා f min = 5/2; f උපරිම =9 x=1
උදාහරණ #2. ඉහළ අනුපිළිවෙලෙහි ව්‍යුත්පන්නයන් භාවිතා කරමින්, ශ්රිතයේ අන්තය සොයන්න y=x-2sin(x) .
විසඳුමක්.
ශ්රිතයේ ව්යුත්පන්නය සොයන්න: y'=1-2cos(x) . අපි තීරණාත්මක කරුණු සොයා ගනිමු: 1-cos(x)=2, cos(x)=1, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. අපි සොයා ගන්නේ y''=2sin(x), ගණනය කිරීම, එබැවින් x= π / 3 +2πk, k∈Z යනු ශ්රිතයේ අවම ලක්ෂ්ය වේ; 
, එබැවින් x=- π / 3 +2πk, kZ යනු ශ්රිතයේ උපරිම ලක්ෂ්ය වේ.
උදාහරණ #3. x=0 ලක්ෂ්යයේ අසල්වැසි අන්ත ශ්‍රිතය විමර්ශනය කරන්න.
විසඳුමක්. මෙහිදී ශ්රිතයේ අන්තය සොයා ගැනීම අවශ්ය වේ. අන්තය x=0 නම්, එහි වර්ගය (අවම හෝ උපරිම) සොයා ගන්න. සොයාගත් ලකුණු අතර x = 0 නොමැති නම්, f(x=0) ශ්රිතයේ අගය ගණනය කරන්න.
දී ඇති ලක්ෂ්‍යයක දෙපස ඇති ව්‍යුත්පන්න ලකුණ වෙනස් නොවන විට, වෙහෙසක් නොමැති බව සලකන්න හැකි තත්වයන්වෙනස් කළ හැකි ශ්‍රිත සඳහා පවා: x 0 ලක්ෂ්යයේ එක් පැත්තක හෝ දෙපස අත්තනෝමතික ලෙස කුඩා අසල්වැසි ප්රදේශයක් සඳහා ව්‍යුත්පන්න වෙනස්කම් ලකුණ සිදු විය හැක. මෙම අවස්ථා වලදී, කෙනෙකුට ශ්‍රිතයන් අන්තයකට අධ්යයනය කිරීමට වෙනත් ක්රම යෙදිය යුතුය.
ගණිතයේ වැදගත් සංකල්පයක් ශ්‍රිතයකි. එහි ආධාරයෙන්, ඔබට ස්වභාවධර්මයේ සිදුවන බොහෝ ක්‍රියාවලීන් දෘශ්‍යමාන කළ හැකිය, ප්‍රස්ථාරයක සූත්‍ර, වගු සහ රූප භාවිතා කරමින් යම් ප්‍රමාණ අතර සම්බන්ධතාවය පිළිබිඹු කරයි. උදාහරණයක් ලෙස ශරීරයක් මත දියර ස්ථරයක පීඩනය ගිල්වීමේ ගැඹුර මත යැපීම, ත්වරණය - වස්තුවක් මත යම් බලයක ක්‍රියාකාරිත්වය මත, උෂ්ණත්වය වැඩි වීම - සම්ප්‍රේෂණය වන ශක්තිය සහ තවත් බොහෝ ක්‍රියාවලීන් මත රඳා පවතී. ශ්‍රිතයක් පිළිබඳ අධ්‍යයනයට ප්‍රස්ථාරයක් සැලසුම් කිරීම, එහි ගුණාංග සොයා ගැනීම, අර්ථ දැක්වීමේ වසම සහ අගයන්, වැඩිවීමේ හා අඩුවීමේ කාල අන්තරයන් ඇතුළත් වේ. වැදගත් කරුණක්මෙම ක්‍රියාවලියේදී අන්ත ලක්ෂ්ය සොයා ගැනීමයි. එය නිවැරදිව කරන්නේ කෙසේද යන්න ගැන, සහ සංවාදය දිගටම පවතිනු ඇත.
නිශ්චිත උදාහරණයක් මත සංකල්පය ගැනම
වෛද්‍ය විද්‍යාවේදී, ශ්‍රිත ප්‍රස්ථාරයක් තැනීම රෝගියාගේ ශරීරයේ රෝගයේ වර්ධනයේ ගමන් මග ගැන පැවසිය හැකි අතර එය ඔහුගේ තත්වය පැහැදිලිව පිළිබිඹු කරයි. අපි හිතමු දවස් වල කාලය OX අක්ෂය දිගේ සැලසුම් කර ඇති අතර, මිනිස් සිරුරේ උෂ්ණත්වය OY අක්ෂය දිගේ සැලසුම් කර ඇත. මෙම දර්ශකය තියුනු ලෙස ඉහළ යන ආකාරය සහ පසුව පහත වැටෙන ආකාරය රූපයේ පැහැදිලිව පෙන්වයි. එය දැකීමට ද පහසු ය විශේෂ කරුණු, ශ්‍රිතය, කලින් වැඩි වෙමින්, අඩු වීමට පටන් ගන්නා අවස්ථා පිළිබිඹු කරමින්, සහ අනෙක් අතට. මේවා අන්ත ලක්ෂ්ය, එනම් තීරණාත්මක අගයන් (උපරිම සහ අවම) වේ මෙම නඩුවරෝගියාගේ උෂ්ණත්වය, පසුව ඔහුගේ තත්වයෙහි වෙනස්කම් ඇත.
නැඹුරු කෝණය
ශ්රිතයේ ව්යුත්පන්නය වෙනස් වන ආකාරය රූපයෙන් තීරණය කිරීම පහසුය. ප්‍රස්ථාරයේ සරල රේඛා කාලයත් සමඟ ඉහළ යන්නේ නම්, එය ධනාත්මක වේ. තවද ඒවා බෑවුම් වන තරමට, ආනතියේ කෝණය වැඩි වන විට ව්යුත්පන්නයේ අගය වැඩි වේ. අඩුවන කාල පරිච්ෙඡ්දය තුළ, මෙම අගය සෘණ අගයන් ගනී, අන්ත ලක්ෂ්‍යවලදී ශුන්යයට හැරෙන අතර, අවසාන අවස්ථාවෙහි ව්යුත්පන්නයේ ප්රස්ථාරය OX අක්ෂයට සමාන්තරව ඇඳ ඇත.
වෙනත් ඕනෑම ක්රියාවලියක් එකම ආකාරයකින් සැලකිය යුතුය. නමුත් මෙම සංකල්පය ගැන පැවසීමට හොඳම ක්‍රමය වන්නේ ප්‍රස්ථාරවල පැහැදිලිව පෙන්වා ඇති විවිධ ශරීරවල චලනයයි.
රථවාහන
යම් වස්තුවක් ඒකාකාරව වේගය ලබා ගනිමින් සරල රේඛාවක චලනය වේ යැයි සිතමු. මෙම කාල පරිච්ෙඡ්දය තුළ, ශරීරයේ ඛණ්ඩාංකවල වෙනස්වීම ප්‍රස්ථාරිකව යම් වක්‍රයක් නිරූපණය කරයි, එය ගණිතඥයෙකු පරාවලයක ශාඛාවක් ලෙස හැඳින්වේ. ඒ අතරම, සෑම තත්පරයකම ඛණ්ඩාංක දර්ශක වේගයෙන් හා වේගයෙන් වෙනස් වන බැවින්, කාර්යය නිරන්තරයෙන් වැඩි වේ. වේග ප්රස්ථාරය ව්යුත්පන්නයේ හැසිරීම පෙන්නුම් කරයි, එහි අගය ද වැඩි වේ. මෙයින් අදහස් කරන්නේ ව්යාපාරයට විවේචනාත්මක කරුණු නොමැති බවයි.
මෙය දින නියමයක් නොමැතිව දිගටම පවතිනු ඇත. නමුත් ශරීරය හදිසියේම වේගය අඩු කිරීමට, නැවැත්වීමට සහ වෙනත් දිශාවකට ගමන් කිරීමට තීරණය කළහොත් කුමක් කළ යුතුද? මෙම අවස්ථාවේදී, ඛණ්ඩාංක දර්ශක අඩු වීමට පටන් ගනී. තවද ශ්‍රිතය තීරණාත්මක අගයක් පසුකර වැඩි වීමේ සිට අඩු වීම දක්වා හැරෙනු ඇත.
මෙම උදාහරණයේ දී, ශ්රිතයේ ප්‍රස්ථාරයේ අන්ත ලක්ෂ්‍යයන් ඒකාකාරී වීම නතර වන අවස්ථාවන්හි දිස්වන බව ඔබට නැවත තේරුම් ගත හැකිය.
ව්යුත්පන්නයේ භෞතික අර්ථය
කලින් විස්තර කළ දේ පැහැදිලිව පෙන්නුම් කළේ ව්යුත්පන්නය යනු ශ්රිතයේ වෙනස් වීමේ වේගය බවයි. මෙම ශෝධනය එහි භෞතික අර්ථය අඩංගු වේ. ආන්තික ලකුණු ප්‍රස්ථාරයේ තීරණාත්මක ප්‍රදේශ වේ. ශුන්යයට සමාන වන ව්යුත්පන්නයේ අගය ගණනය කිරීමෙන් ඒවා සොයා ගැනීමට සහ හඳුනා ගැනීමට හැකිය.
අන්තයක් සඳහා ප්රමාණවත් කොන්දේසියක් වන තවත් ලකුණක් තිබේ. එවැනි විභේදන ස්ථානවල ව්යුත්පන්නය එහි ලකුණ වෙනස් කරයි: උපරිම කලාපයේ "+" සිට "-" දක්වා සහ අවම කලාපයේ "-" සිට "+" දක්වා.
ගුරුත්වාකර්ෂණ බලපෑම යටතේ චලනය
අපි තවත් තත්වයක් සිතමු. ළමයින්, බෝල ක්‍රීඩා කරමින්, එය ක්ෂිතිජයට කෝණයකින් චලනය වීමට පටන් ගන්නා ආකාරයට එය විසි කළහ. ආරම්භක මොහොතේ, මෙම වස්තුවේ වේගය විශාලතම වූ නමුත් ගුරුත්වාකර්ෂණ බලපෑම යටතේ එය අඩු වීමට පටන් ගත් අතර සෑම තත්පරයකම එකම අගයකින් දළ වශයෙන් 9.8 m / s 2 ට සමාන වේ. නිදහස් වැටීම තුළ පෘථිවි ගුරුත්වාකර්ෂණයේ බලපෑම යටතේ සිදුවන ත්වරණයේ අගය මෙයයි. සඳ මත එය හය ගුණයක් පමණ කුඩා වනු ඇත.
ශරීරයේ චලනය විස්තර කරන ප්රස්ථාරය අතු පහළට යොමු වන පරාවලයකි. අන්ත ලකුණු සොයා ගන්නේ කෙසේද? මෙම අවස්ථාවෙහිදී, මෙය ශ්රිතයේ ශීර්ෂය වන අතර, ශරීරයේ වේගය (බෝල) ශුන්ය අගයක් ගනී. ශ්රිතයේ ව්යුත්පන්නය ශුන්ය වේ. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, දිශාව සහ එබැවින් වේගයේ අගය ප්රතිවිරුද්ධ ලෙස වෙනස් වේ. ශරීරය සෑම තත්පරයක්ම වේගයෙන් හා වේගයෙන් පහළට පියාසර කරන අතර එම ප්‍රමාණයෙන් වේගවත් වේ - 9.8 m/s 2 .
දෙවන ව්යුත්පන්නය
පෙර අවස්ථාවක, ප්රවේග මාපාංකයේ කුමන්ත්රණය සරල රේඛාවක් ලෙස ඇඳ ඇත. මෙම ප්‍රමාණයේ අගය නිරන්තරයෙන් අඩු වන බැවින් මෙම රේඛාව මුලින්ම පහළට යොමු කෙරේ. කාලයෙහි එක් ලක්ෂ්‍යයක ශුන්යයට ළඟා වූ පසු, මෙම ප්‍රමාණයේ දර්ශක වැඩි වීමට පටන් ගනී, සහ දිශාව ග්රැෆික් රූපයවේග මාපාංකය දැඩි ලෙස වෙනස් වේ. දැන් රේඛාව ඉහළට යොමු වී ඇත.
ප්‍රවේගය, කාලයට අදාළව ඛණ්ඩාංකයේ ව්යුත්පන්නය වීම ද තීරණාත්මක කරුණක් ඇත. මෙම කලාපයේ, කාර්යය, මුලින් අඩු වීම, වැඩි වීමට පටන් ගනී. ශ්රිතයේ ව්යුත්පන්නයේ අන්ත ලක්ෂ්යයේ ස්ථානය මෙයයි. මෙම අවස්ථාවේදී, ස්පර්ශකයේ බෑවුම ශුන්ය වේ. සහ ත්වරණය, කාලය සම්බන්ධයෙන් ඛණ්ඩාංකයේ දෙවන ව්යුත්පන්නය වන අතර, ලකුණ “-” සිට “+” දක්වා වෙනස් වේ. සහ ඒකාකාර සෙමින් චලනය ඒකාකාරව වේගවත් වේ.
ත්වරණය ප්‍රස්තාරය
දැන් ඉලක්කම් හතරක් සලකා බලන්න. ඒ සෑම එකක්ම ත්වරණය වැනි භෞතික ප්‍රමාණයක කාලයත් සමඟ වෙනස් වීමේ ප්‍රස්ථාරයක් පෙන්වයි. "A" නම්, එහි අගය ධනාත්මක සහ නියතව පවතී. මෙයින් අදහස් කරන්නේ එහි ඛණ්ඩාංකය මෙන් ශරීරයේ වේගය නිරන්තරයෙන් වැඩි වන බවයි. වස්තුව මේ ආකාරයෙන් අසීමිත දිගු කාලයක් චලනය වනු ඇතැයි අප සිතන්නේ නම්, කාලය මත ඛණ්ඩාංකයේ යැපීම පිළිබිඹු කරන ශ්‍රිතය නිරන්තරයෙන් වැඩි වේ. මෙයින් පැහැදිලි වන්නේ එයට තීරණාත්මක කලාප නොමැති බවයි. ව්යුත්පන්නයේ ප්‍රස්ථාරයේ අන්ත ලක්ෂ්ය ද නොමැත, එනම් රේඛීයව වෙනස්වන වේගයකි.
ධනාත්මක සහ නිරන්තරයෙන් වැඩිවන ත්වරණයක් සහිත "B" නඩුවටද මෙය අදාළ වේ. ඇත්ත, ඛණ්ඩාංක සහ වේගය සඳහා ප්‍රස්ථාර මෙහි තරමක් සංකීර්ණ වනු ඇත.
ත්වරණය බිංදුවට යන විට
"B" රූපය දෙස බලන විට, ශරීරයේ චලනය සංලක්ෂිත සම්පූර්ණයෙන්ම වෙනස් පින්තූරයක් නිරීක්ෂණය කළ හැකිය. එහි වේගය ප්‍රස්ථාරිකව පහළට යොමු වන අතු සහිත පරාවලයක් ලෙස නිරූපණය කෙරේ. ත්වරණයේ වෙනස විස්තර කරන රේඛාව OX අක්ෂය සමඟ ඡේදනය වන තෙක් සහ තවත් ඉදිරියට ගියහොත්, මෙම තීරනාත්මක අගය දක්වා, ත්වරණය ශුන්යයට සමාන වන විට, වස්තුවේ වේගය වැඩි වනු ඇතැයි අපට සිතාගත හැකිය. වැඩි වැඩියෙන් සෙමින්. ඛණ්ඩාංක ශ්රිතයේ ව්යුත්පන්නයේ අන්ත ලක්ෂ්යය පැරබෝලාවේ මුදුනේ පමණක් පවතිනු ඇත, ඉන් පසුව ශරීරය චලනයේ ස්වභාවය රැඩිකල් ලෙස වෙනස් කර වෙනත් දිශාවකට ගමන් කිරීමට පටන් ගනී.
අවසාන අවස්ථාවේ දී, "G", ව්යාපාරයේ ස්වභාවය නිශ්චිතවම තීරණය කළ නොහැකිය. මෙහිදී අපි දනිමු සලකා බලනු ලබන යම් කාල පරිච්ඡේදයක් සඳහා ත්වරණයක් නොමැති බව පමණි. මෙයින් අදහස් කරන්නේ වස්තුවේ ස්ථානයේ රැඳී සිටිය හැකි බවයි හෝ චලනය නියත වේගයකින් සිදු වේ.
එකතු කිරීමේ කාර්යය සම්බන්ධීකරණය
පාසැලේදී වීජ ගණිතය හැදෑරීමේදී නිතර මුහුණ දෙන සහ විභාගයට සූදානම් වීමට ඉදිරිපත් වන කාර්යයන් වෙත යමු. පහත රූපයේ දැක්වෙන්නේ ශ්රිතයේ ප්‍රස්ථාරයයි. අන්ත ලක්ෂ්ය එකතුව ගණනය කිරීම අවශ්ය වේ.
ශ්රිතයේ ලක්ෂණවල වෙනසක් නිරීක්ෂණය කරන තීරනාත්මක කලාපවල ඛණ්ඩාංක නිර්ණය කිරීමෙන් අපි y-අක්ෂය සඳහා මෙය කරන්නෙමු. සරලව කිවහොත්, අපවර්තන ලක්ෂ්ය සඳහා x-අක්ෂය දිගේ ඇති අගයන් අපි සොයා ගනිමු, ඉන්පසු ලැබෙන නියමයන් එකතු කිරීමට ඉදිරියට යමු. ප්‍රස්ථාරයට අනුව, ඔවුන් පහත අගයන් ගන්නා බව පැහැදිලිය: -8; -7; -5; -3; -2; එක; 3. මෙය පිළිතුර -21 දක්වා එකතු කරයි.
ප්රශස්ත විසඳුමක්
ප්‍රායෝගික කර්තව්යයන් ඉටු කිරීමේදී ප්රශස්ත විසඳුම තෝරා ගැනීම කොතරම් වැදගත්ද යන්න පැහැදිලි කිරීම අවශ්ය නොවේ. සියල්ලට පසු, ඉලක්කය සපුරා ගැනීමට බොහෝ ක්රම තිබේ, සහ හොඳම මාර්ගය, නීතියක් ලෙස, එකක් පමණි. මෙය අතිශයින්ම අවශ්ය වේ, උදාහරණයක් ලෙස, නැව් සැලසුම් කිරීමේදී, අභ්යවකාශ යානාසහ ගුවන් යානා වාස්තුවිද්යාත්මක ව්යුහයන්සොයා ගැනීමට ප්රශස්ත හැඩයමිනිසා විසින් සාදන ලද වස්තූන් පිළිබඳ දත්ත.
වාහනවල වේගය බොහෝ දුරට රඳා පවතින්නේ ගුරුත්වාකර්ෂණ බලයන් සහ වෙනත් බොහෝ දර්ශකවල බලපෑම යටතේ පැන නගින අධික බර මත ජලය සහ වාතය හරහා ගමන් කරන විට ඔවුන් අත්විඳින ප්‍රතිරෝධය නිසි ලෙස අවම කිරීම මත ය. මුහුදේ නැවකට කුණාටුවකදී ස්ථාවරත්වය වැනි ගුණාංග අවශ්ය වේ; ගංගා නැවක් සඳහා අවම කෙටුම්පතක් වැදගත් වේ. ගණනය කරන විට ප්රශස්ත නිර්මාණයප්‍රස්ථාරයේ ඇති අන්ත ලක්ෂ්ය පැහැදිලිවම අදහසක් ලබා දිය හැක හොඳම විසඳුම දුෂ්කර ගැටලුවක්. එවැනි සැලැස්මක කර්තව්යයන් බොහෝ විට ආර්ථිකය තුළ, ආර්ථික ක්ෂේත්රවල, වෙනත් බොහෝ ජීවන තත්වයන් තුළ විසඳා ඇත.
පුරාණ ඉතිහාසයේ සිට
ආන්තික කර්තව්යයන් පුරාණ සෘෂිවරුන් පවා අල්ලාගෙන සිටියේය. ග්‍රීක විද්‍යාඥයන් ගණිතමය ගණනය කිරීම් හරහා ප්‍රදේශ සහ පරිමා පිළිබඳ අභිරහස සාර්ථකව හෙළිදරව් කළහ. එකම පරිමිතියකින් යුත් විවිධ රූප සහිත ගුවන් යානයක බව මුලින්ම තේරුම් ගත්තේ ඔවුන් ය. විශාලතම ප්රදේශයසෑම විටම කවයක් ඇත. එලෙසම, බෝලයක් එකම පෘෂ්ඨීය ප්රදේශයක් සහිත අභ්‍යවකාශයේ ඇති අනෙකුත් වස්තූන් අතර උපරිම පරිමාවකින් සමන්විත වේ. එවැනි ගැටළු විසඳීමට කැපවී සිටී ප්රසිද්ධ පුද්ගලයන්ආකිමිඩීස්, යුක්ලිඩ්, ඇරිස්ටෝටල්, ඇපලෝනියස් වගේ. ගනන් බැලීම් වලට යොමු වී දක්ෂ උපාංග ගොඩනගා ගත් අන්ත ලක්ෂ්ය සොයා ගැනීමට හෙරොන් ඉතා හොඳින් සමත් විය. එකම මූලධර්මය මත ක්‍රියාත්මක වන වාෂ්ප, පොම්ප සහ ටර්බයින මගින් චලනය වන ස්වයංක්‍රීය යන්ත්‍ර මේවාට ඇතුළත් විය.
කාර්තේජ් ඉදිකිරීම
පුරාවෘත්තයක් ඇත, එහි කුමන්ත්රණය පදනම් වී ඇත්තේ ආන්තික කාර්යයක් විසඳීම මත ය. උපකාරය පතා මුනිවරුන් වෙත යොමු වූ ෆිනීෂියානු කුමරිය විසින් පෙන්නුම් කරන ලද ව්යාපාරික ප්රවේශයේ ප්රතිඵලය වූයේ කාර්තේජ් ගොඩනැගීමයි. ඉඩම් කුමන්ත්රණයමෙම පුරාණ හා ප්රසිද්ධ නගරය සඳහා ඩිඩෝ (එය පාලකයාගේ නම) අප්‍රිකානු ගෝත්‍රවලින් එකක නායකයා විසින් ඉදිරිපත් කරන ලදී. කොන්ත්‍රාත්තුවට අනුව එය ඔක්සයිඩයකින් ආවරණය කළ යුතු බැවින් වෙන් කිරීමේ ප්රදේශය මුලින් ඔහුට එතරම් විශාල බවක් නොපෙනුණි. නමුත් කුමරිය තම සොල්දාදුවන්ට එය තුනී තීරු වලට කපා ඒවායින් පටියක් සාදන ලෙස නියෝග කළාය. එය මුළු නගරයම ගැලපෙන ප්රදේශයක් ආවරණය වන පරිදි දිගු විය.
කලනයේ මූලාරම්භය
දැන් අපි පැරණි යුගයේ සිට පසු යුගයකට යමු. සිත්ගන්නා කරුණ නම්, මූලික කරුණු තේරුම් ගැනීමයි ගණිතමය විශ්ලේෂණයකෙප්ලර් 17 වන සියවසේදී වයින් වෙළෙන්දෙකු හමුවීමෙන් පෙලඹී ඇත. වෙළෙන්දා ඔහුගේ වෘත්තිය ගැන කොතරම් හොඳින් දැන සිටියාද යත්, යකඩ ටුවර්නිකට් එකක් පහත් කිරීමෙන් බැරලයේ ඇති බීම පරිමාව පහසුවෙන් තීරණය කළ හැකිය. එවන් කුතුහලයක් පිළිබිඹු කරමින්, සුප්රසිද්ධ විද්යාඥයා තමාටම මෙම උභතෝකෝටිකය විසඳා ගැනීමට සමත් විය. එකල සිටි දක්ෂ කූපර්වරුන් සවිකරන මුදු වල වට ප්‍රමාණයේ යම් උසකින් සහ අරයකින් උපරිම ධාරිතාවක් ඇති වන පරිදි යාත්‍රා සෑදීමේ හැකියාව ලබා ගත් බව පෙනේ.
මෙය කෙප්ලර්ට තවදුරටත් ආවර්ජනය කිරීමට අවස්ථාවක් විය. බෝචර්ස් ආවා ප්රශස්ත විසඳුමක්දිගු සෙවීමක්, වැරදි සහ නව උත්සාහයන් හරහා, අපගේ අත්දැකීම් පරම්පරාවෙන් පරම්පරාවට ලබා දීම. නමුත් කෙප්ලර්ට අවශ්ය වූයේ ක්‍රියාවලිය වේගවත් කර එය කරන්නේ කෙසේදැයි ඉගෙන ගැනීමටය කෙටි කාලීනගණිතමය ගණනය කිරීම් හරහා. ඔහුගේ සියලු වර්ධනයන්, සගයන් විසින් තෝරා ගන්නා ලද අතර, දැන් දන්නා ෆර්මැට් සහ නිව්ටන් - ලයිබ්නිස් යන ප්‍රමේයයන් බවට පත් විය.
උපරිම ප්රදේශය සොයා ගැනීමේ ගැටලුව
සිතන්න, අපට දිග සෙන්ටිමීටර 50 ක කම්බියක් ඇති බව සිතන්න.එයින් විශාලතම ප්රදේශයක් ඇති සෘජුකෝණාස්රයක් සාදා ගන්නේ කෙසේද?
තීරණයක් ආරම්භ කිරීම, සරල සහ සුප්රසිද්ධ සත්යයන්ගෙන් ඉදිරියට යා යුතුය. අපගේ රූපයේ පරිමිතිය සෙන්ටිමීටර 50 ක් වනු ඇති බව පැහැදිලිය.එය දෙපැත්තේ දිග මෙන් දෙගුණයකින් ද සමන්විත වේ. මෙයින් අදහස් කරන්නේ ඒවායින් එකක් "X" ලෙස නම් කර ඇති අතර අනෙක (25 - X) ලෙස ප්‍රකාශ කළ හැකි බවයි.
මෙතැන් සිට අපට X (25 - X) ට සමාන ප්රදේශයක් ලැබේ. මෙම ප්‍රකාශනය බොහෝ අගයන් ගන්නා ශ්‍රිතයක් ලෙස දැක්විය හැක. ගැටලුව විසඳීම සඳහා ඒවායින් උපරිමය සොයා ගැනීම අවශ්ය වේ, එයින් අදහස් වන්නේ ඔබ අන්ත ලකුණු සොයා ගත යුතු බවයි.
මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි පළමු ව්යුත්පන්නය සොයාගෙන එය ශුන්යයට සමාන කරමු. ප්රතිඵලය සරල සමීකරණයකි: 25 - 2X = 0.
එයින් එක් පැත්තක් X = 12.5 බව අපි ඉගෙන ගනිමු.
එබැවින්, තවත්: 25 - 12.5 \u003d 12.5.
ගැටලුවට විසඳුම සෙන්ටිමීටර 12.5 ක පැත්තක් සහිත චතුරස්රයක් වනු ඇති බව පෙනේ.
උපරිම වේගය සොයා ගන්නේ කෙසේද
අපි තවත් එක් උදාහරණයක් සලකා බලමු. ශරීරයක් ඇතැයි සිතන්න සෘජුකෝණාස්රාකාර චලිතයඑය S \u003d - t 3 + 9t 2 - 24t - 8 සමීකරණය මගින් විස්තර කෙරේ, එහිදී ගමන් කළ දුර මීටර වලින් සහ කාලය තත්පර වලින් ප්‍රකාශ වේ. උපරිම වේගය සොයා ගැනීමට එය අවශ්ය වේ. එය කරන්නේ කෙසේද? බාගත කළ වේගය සොයන්න, එනම් පළමු ව්යුත්පන්නය.
අපි සමීකරණය ලබා ගනිමු: V = - 3t 2 + 18t - 24. දැන්, ගැටළුව විසඳීම සඳහා, අපි නැවතත් අන්ත ලක්ෂ්ය සොයා ගත යුතුය. මෙය පෙර කාර්යයේ දී මෙන් ම කළ යුතු ය. අපි වේගයේ පළමු ව්යුත්පන්නය සොයාගෙන එය ශුන්යයට සමාන කරමු.
අපට ලැබෙන්නේ: - 6t + 18 = 0. එබැවින් t = 3 s. ශරීරයේ වේගය තීරණාත්මක අගයක් ගන්නා කාලය මෙයයි. අපි ලබාගත් දත්ත ප්රවේග සමීකරණයට ආදේශ කර ලබා ගන්න: V = 3 m/s.
නමුත් ශ්රිතයේ තීරනාත්මක ලක්ෂ්ය එහි විශාලතම හෝ කුඩාම අගයන් විය හැකි බැවින් මෙය හරියටම උපරිම වේගය බව තේරුම් ගන්නේ කෙසේද? පරීක්ෂා කිරීම සඳහා, ඔබ වේගයේ දෙවන ව්යුත්පන්නය සොයා ගත යුතුය. එය අඩු ලකුණක් සහිත අංක 6 ලෙස ප්‍රකාශ වේ. මෙයින් අදහස් කරන්නේ සොයාගත් ස්ථානය උපරිම බවයි. සහ නඩුවේදී ධනාත්මක අගයදෙවන ව්යුත්පන්නය අවම වනු ඇත. එබැවින් සොයාගත් විසඳුම නිවැරදි විය.
උදාහරණයක් ලෙස ලබා දී ඇති කාර්යයන් ශ්රිතයක අන්ත ලක්ෂ්ය සොයා ගැනීමට හැකි වීමෙන් විසඳිය හැකි ඒවායින් කොටසක් පමණි. ඇත්ත වශයෙන්ම, තවත් බොහෝ දේ ඇත. එවැනි දැනුමක් විවෘත වේ මානව ශිෂ්ටාචාරයඅසීමිත හැකියාවන්.
මාතෘකාව පිළිබඳ පාඩම: "කර්තව්යවල අන්ත ලක්ෂ්ය සොයා ගැනීම. උදාහරණ"
අතිරේක ද්රව්ය
හිතවත් පරිශීලකයින්, ඔබේ අදහස්, ප්‍රතිපෝෂණ, යෝජනා තැබීමට අමතක නොකරන්න! සියලුම ද්රව්ය ප්‍රති-වයිරස වැඩසටහනක් මගින් පරීක්ෂා කරනු ලැබේ.
1C සිට 10 ශ්‍රේණිය සඳහා "Integral" ඔන්ලයින් වෙළඳසැලේ අත්පොත් සහ සිමියුලේටර්
අපි ජ්යාමිතිය තුළ ගැටළු විසඳන්නෙමු. 7-10 ශ්රේණි සඳහා අන්තර් ක්රියාකාරී ඉදිකිරීම් කාර්යයන්
මෘදුකාංග පරිසරය "1C: ගණිතමය ඉදිකිරීම්කරු 6.1"
අපි අධ්යයනය කරන්නේ කුමක්ද:
1. හැඳින්වීම.
2. අවම සහ උපරිම ලකුණු.
4. අන්ත ගණනය කරන්නේ කෙසේද?
5. උදාහරණ.
ශ්‍රිතවල අන්තයට හැඳින්වීම
යාලුවනේ, අපි යම් කාර්යයක ප්රස්ථාරය දෙස බලමු:
අපගේ y=f (x) ශ්රිතයේ හැසිරීම බොහෝ දුරට තීරණය වන්නේ x1 සහ x2 යන ලක්ෂ්ය දෙකෙන් බව සලකන්න. මෙම ලක්ෂ්යවල සහ ඒ අවට ශ්රිතයේ ප්රස්ථාරය දෙස සමීපව බලමු. x2 ලක්ෂ්යය දක්වා, ශ්‍රිතය වැඩි වන අතර, x2 ලක්ෂ්යයේ දී විභේදනයක් ඇති අතර, මෙම ලක්ෂ්‍යයෙන් පසුව, ශ්‍රිතය x1 ලක්ෂ්යය දක්වා අඩු වේ. x1 ලක්ෂ්යයේදී, ශ්‍රිතය නැවත නැමෙන අතර ඉන් පසුව එය නැවත වැඩි වේ. x1 සහ x2 ලක්ෂ්ය දැනට විවර්තන ලක්ෂ්ය ලෙස හැඳින්වේ. මෙම ලක්ෂ්යවල ස්පර්ශක අඳිමු:
අපගේ ලක්ෂ්යවල ස්පර්ශක x-අක්ෂයට සමාන්තර වේ, එනම් ස්පර්ශකයේ බෑවුම ශුන්ය වේ. මෙයින් අදහස් කරන්නේ මෙම ලක්ෂ්යවල අපගේ ශ්රිතයේ ව්යුත්පන්නය ශුන්ය බවයි.
මෙම ශ්රිතයේ ප්රස්ථාරය දෙස බලමු:
x2 සහ x1 ලක්ෂ්යවල ස්පර්ශක ඇද ගත නොහැක. එබැවින්, මෙම ලක්ෂ්යවල ව්යුත්පන්නය නොපවතී. දැන් අපි නැවතත් ප්‍රස්ථාර දෙකේ අපගේ ලකුණු දෙස බලමු. ලක්ෂ්යය x2 යනු යම් ප්‍රදේශයක (x2 ලක්ෂ්යය ආසන්නයේ) ශ්‍රිතය එහි උපරිම අගයට ළඟා වන ලක්ෂ්යය වේ. x1 ලක්ෂ්යය යනු යම් ප්‍රදේශයක (x1 ලක්ෂ්යය ආසන්නයේ) ශ්‍රිතය එහි කුඩාම අගයට ළඟා වන ලක්ෂ්යය වේ.
ඉහළ සහ පහත් ලකුණු
අර්ථ දැක්වීම: පහත අසමානතාවය සත්‍ය වන x0 ලක්ෂ්යයේ අසල්වැසි ප්රදේශයක් තිබේ නම් x= x0 ලක්ෂ්යය y=f(x) ශ්රිතයේ අවම ලක්ෂ්යය ලෙස හැඳින්වේ: f(x) ≥ f(x0).
අර්ථ දැක්වීම: පහත අසමානතාවය සත්‍ය වන x0 ලක්ෂ්යයේ අසල්වැසි ප්රදේශයක් තිබේ නම් x=x0 ලක්ෂ්යය y=f(x) ශ්රිතයේ උපරිම ලක්ෂ්යය ලෙස හැඳින්වේ: f(x) ≤ f(x0).
යාලුවනේ, අසල්වැසි ප්රදේශය කුමක්ද?
අර්ථ දැක්වීම: ලක්ෂ්‍යයක අසල්වැසි ප්රදේශය යනු අපගේ ලක්ෂ්යය අඩංගු සහ එයට ආසන්න ලක්ෂ්ය සමූහයකි.
අසල්වැසියා අපටම නිර්වචනය කළ හැකිය. උදාහරණයක් ලෙස, x=2 ලක්ෂ්‍යයක් සඳහා, අපට අසල්වැසි ස්ථාන 1 සහ 3 ලෙස අර්ථ දැක්විය හැක.
අපි අපගේ ප්‍රස්ථාර වෙත ආපසු යමු, x2 ලක්ෂ්යය දෙස බලන්න, එය සමහර අසල්වැසි ප්‍රදේශවලින් අනෙක් සියලුම ලක්ෂ්‍යවලට වඩා විශාල වේ, එවිට නිර්වචනය අනුව එය උපරිම ලක්ෂ්‍යයකි. දැන් අපි x1 ලක්ෂ්යය දෙස බලමු, එය සමහර අසල්වැසි ප්‍රදේශවලින් අනෙක් සියලුම ලක්ෂ්‍යවලට වඩා අඩුය, එවිට නිර්වචනය අනුව එය අවම ලක්ෂ්‍යයකි.
යාලුවනේ, අපි අංකනය හඳුන්වා දෙමු:
Ymin - අවම ලක්ෂ්යය,
ymax - උපරිම ලක්ෂ්යය.
වැදගත්!යාලුවනේ, ශ්රිතයේ කුඩාම සහ විශාලතම අගය සමඟ උපරිම සහ අවම ලකුණු පටලවා නොගන්න. කුඩාම සහ විශාලතම අගයන් නිර්වචනයේ සමස්ත වසම පුරා සොයනු ලැබේ ලබා දී ඇති කාර්යය, අවම සහ උපරිම ලකුණු සමහර අසල්වැසි ප්‍රදේශවල පවතින අතර.
කාර්යය අන්ත
අවම සහ උපරිම ලකුණු සඳහා පොදු යෙදුමක් ඇත - අන්ත ලකුණු.
Extremum (lat. අන්ත - අන්ත) - දී ඇති කට්ටලයක ශ්රිතයක උපරිම හෝ අවම අගය. අන්තයට ළඟා වන ස්ථානය අන්ත ලක්ෂ්යය ලෙස හැඳින්වේ.
ඒ අනුව, අවම අගයට ළඟා වුවහොත්, අන්ත ලක්ෂ්යය අවම ලක්ෂ්යය ලෙසද, උපරිමයට ළඟා වන්නේ නම්, උපරිම ලක්ෂ්යය ලෙසද හැඳින්වේ.
ශ්රිතයක අන්තය සොයා ගන්නේ කෙසේද?
අපි අපේ ප්‍රස්ථාර වෙත ආපසු යමු. අපගේ ලක්ෂ්‍යවලදී, ව්යුත්පන්නය අතුරුදහන් වේ (පළමු ප්‍රස්ථාරයේ) හෝ නොපවතියි (දෙවන ප්‍රස්ථාරයේ).
එවිට අපට වැදගත් ප්‍රකාශයක් කළ හැක: y= f(x) ශ්‍රිතයට x=x0 ලක්ෂ්යයේ අන්තයක් තිබේ නම්, මෙම අවස්ථාවේදී ශ්රිතයේ ව්යුත්පන්නය ශුන්යයට සමාන වේ හෝ නොපවතී.
ව්යුත්පන්නය ශුන්යයට සමාන වන ලක්ෂ්ය ලෙස හැඳින්වේ ස්ථාවර.
ශ්රිතයක ව්යුත්පන්නය නොපවතින ලක්ෂ්ය ලෙස හැඳින්වේ විවේචනාත්මක.
අන්ත ගණනය කරන්නේ කෙසේද?
යාලුවනේ, අපි ශ්රිතයේ පළමු ප්රස්ථාරය වෙත ආපසු යමු:
මෙම ප්රස්ථාරය විශ්ලේෂණය කරමින්, අපි මෙසේ කීවෙමු: x2 ලක්ෂ්යය දක්වා ශ්‍රිතය වැඩි වේ, x2 ලක්ෂ්යයේ දී ප්‍රවර්තනයක් ඇත, මෙම ලක්ෂ්‍යයෙන් පසුව ශ්‍රිතය x1 ලක්ෂ්යය දක්වා අඩු වේ. x1 ලක්ෂ්යයේදී ශ්‍රිතය නැවත නැමෙන අතර ඉන් පසුව නැවත ශ්‍රිතය වැඩි වේ.
එවැනි තර්ක මත පදනම්ව, අපට නිගමනය කළ හැක්කේ අන්ත ලක්ෂ්යවල ශ්‍රිතය ඒකාකාරීත්වයේ ස්වභාවය වෙනස් කරන බවත්, එබැවින් ව්‍යුත්පන්න ශ්‍රිතය ලකුණ වෙනස් කරන බවත්ය. ශ්‍රිතය අඩු වන්නේ නම්, ව්යුත්පන්නය ශුන්යයට වඩා අඩු හෝ සමාන වන බවත්, ශ්‍රිතය වැඩි වන්නේ නම්, ව්යුත්පන්නය ශුන්යයට වඩා වැඩි හෝ සමාන බවත් සිහිපත් කරන්න.
ප්‍රකාශයෙන් ලබාගත් දැනුම සාමාන්‍යකරණය කරමු:
ප්රමේයය: ප්රමාණවත් අන්ත තත්ත්‍වය: y=f(x) ශ්‍රිතය යම් කාල අන්තරයක X අඛණ්ඩව පවතින්නට ඉඩ හරින්න සහ අන්තරය තුළ ස්ථාවර හෝ තීරණාත්මක ලක්ෂ්‍යයක් x= x0 තිබිය යුතුය. ඉන්පසු:
ගැටළු විසඳීම සඳහා, පහත සඳහන් නීති මතක තබා ගන්න: ව්‍යුත්පන්නවල සලකුණු නිර්වචනය කර ඇත්නම්:
ඒකාකාරී බව සහ අන්ත සඳහා අඛණ්ඩ ශ්‍රිතය y= f(x) අධ්යයනය කිරීම සඳහා ඇල්ගොරිතම:
- y' ව්යුත්පන්නය සොයන්න.
- නිශ්චල (ව්යුත්පන්නය ශුන්ය වේ) සහ තීරණාත්මක ලක්ෂ්ය (ව්යුත්පන්නය නොපවතී) සොයන්න.
- සංඛ්‍යා රේඛාවේ නිශ්චල සහ තීරනාත්මක ලක්ෂ්ය සලකුණු කර ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන අන්තරයන් මත ව්යුත්පන්නයේ සලකුණු තීරණය කරන්න.
- ඉහත ප්‍රකාශයන් මත පදනම්ව, අන්ත ලක්ෂ්යවල ස්වභාවය පිළිබඳව නිගමනයකට එළඹෙන්න.
අන්ත ලකුණු සොයා ගැනීමේ උදාහරණ
1) ශ්රිතයේ අන්ත ලක්ෂ්ය සොයාගෙන ඒවායේ ස්වභාවය තීරණය කරන්න: y= 7+ 12*x - x 3
විසඳුම: අපගේ කාර්යය අඛණ්ඩ වේ, එවිට අපි අපගේ ඇල්ගොරිතම භාවිතා කරන්නෙමු:
a) y "= 12 - 3x 2,
b) y"= 0, x= ±2 දී, 
ලක්ෂ්යය x= -2 ශ්රිතයේ අවම ලක්ෂ්යය, x= 2 ලක්ෂ්යය ශ්රිතයේ උපරිම ලක්ෂ්යය වේ.
පිළිතුර: x= -2 - ශ්‍රිත අවම ලක්ෂ්යය, x= 2 - ශ්‍රිත උපරිම ලක්ෂ්යය.
2) ශ්රිතයේ අන්ත ලක්ෂ්ය සොයාගෙන ඒවායේ ස්වභාවය තීරණය කරන්න.
විසඳුම: අපගේ කාර්යය අඛණ්ඩව පවතී. අපි අපගේ ඇල්ගොරිතම භාවිතා කරමු: ඒ)
b) x= 2 ලක්ෂ්යයේ ව්යුත්පන්නය නොපවතියි, මන්ද බිංදුවෙන් බෙදිය නොහැක 
Function domain: , මේ අවස්ථාවේ අන්තයක් නොමැත, මන්ද ලක්ෂ්යයේ අසල්වැසි ප්රදේශය නිර්වචනය කර නොමැත. ව්යුත්පන්නය ශුන්යයට සමාන අගයන් සොයා ගනිමු: 
ඇ) අපි සැබෑ රේඛාවේ ස්ථාවර ලක්ෂ්ය සලකුණු කර ව්යුත්පන්නයේ සලකුණු තීරණය කරමු: 
d) අන්ත තීරණය කිරීමේ නීති පෙන්වන අපගේ රූපය දෙස බලන්න. ලක්ෂ්යය x= 3 ශ්රිතයේ අවම ලක්ෂ්යය වේ.
පිළිතුර: x= 3 - ශ්රිතයේ අවම ලක්ෂ්යය.
3) y= x - 2cos(x) ශ්රිතයේ අන්ත ලක්ෂ්ය සොයාගෙන -π ≤ x ≤ π සඳහා ඒවායේ ස්වභාවය තීරණය කරන්න.
විසඳුම: අපගේ කාර්යය අඛණ්ඩ වේ, අපි අපගේ ඇල්ගොරිතම භාවිතා කරමු:
a) y"= 1 + 2sin(x),
b) ව්යුත්පන්නය ශුන්යයට සමාන අගයන් සොයන්න: 1 + 2sin(x)= 0, sin(x)= -1/2,
නිසා -π ≤ x ≤ π, පසුව: x= -π/6, -5π/6,
ඇ) සැබෑ රේඛාවේ ස්ථාවර ලක්ෂ්ය සලකුණු කර ව්යුත්පන්නයේ සලකුණු තීරණය කරන්න: 
d) අන්ත තීරණය කිරීමේ නීති පෙන්වන අපගේ රූපය දෙස බලන්න.
x= -5π/6 ලක්ෂ්යය ශ්රිතයේ උපරිම ලක්ෂ්යය වේ.
x= -π/6 ලක්ෂ්යය ශ්රිතයේ අවම ලක්ෂ්යය වේ.
පිළිතුර: x= -5π/6 - ශ්රිතයේ උපරිම ලක්ෂ්යය, x= -π/6 - ශ්රිතයේ අවම ලක්ෂ්යය.
4) ශ්රිතයේ අන්ත ලක්ෂ්ය සොයාගෙන ඒවායේ ස්වභාවය තීරණය කරන්න:
විසඳුම: අපගේ කාර්යයට විවේකයක් ඇත්තේ එක් ලක්ෂ්‍යයක පමණි x= 0. අපි ඇල්ගොරිතම භාවිතා කරමු: ඒ)
b) ව්යුත්පන්නය ශුන්යයට සමාන අගයන් සොයන්න: x= ±2 සඳහා y "= 0, ඇ) සැබෑ රේඛාවේ ස්ථාවර ලක්ෂ්ය සලකුණු කර ව්යුත්පන්නයේ සලකුණු තීරණය කරන්න:
d) අන්ත තීරණය කිරීමේ නීති පෙන්වන අපගේ රූපය දෙස බලන්න.
x= -2 ලක්ෂ්යය ශ්රිතයේ අවම ලක්ෂ්යය වේ.
ලක්ෂ්යය x= 2 ශ්රිතයේ අවම ලක්ෂ්යය වේ.
x= 0 ලක්ෂ්යයේදී ශ්‍රිතය නොපවතී.
පිළිතුර: x= ±2 - ශ්රිතයේ අවම ලකුණු.
ස්වාධීන විසඳුමක් සඳහා කාර්යයන්
අ) ශ්රිතයේ අන්ත ලක්ෂ්ය සොයාගෙන ඒවායේ ස්වභාවය තීරණය කරන්න: y= 5x 3 - 15x - 5.ආ) ශ්රිතයේ අන්ත ලක්ෂ්ය සොයාගෙන ඒවායේ ස්වභාවය තීරණය කරන්න:
ඇ) ශ්රිතයේ අන්ත ලක්ෂ්ය සොයාගෙන ඒවායේ ස්වභාවය තීරණය කරන්න: y= 2sin(x) - x සඳහා π ≤ x ≤ 3π. d) ශ්රිතයේ අන්ත ලක්ෂ්ය සොයාගෙන ඒවායේ ස්වභාවය තීරණය කරන්න:
අපි y \u003d x 3 - 3x 2 ශ්රිතයේ ප්රස්ථාරය වෙත හැරෙමු. x = 0 ලක්ෂ්යයේ අසල්වැසි ප්රදේශය සලකා බලන්න, i.e. මෙම ලක්ෂ්යය අඩංගු යම් පරතරයක්. x \u003d 0 ලක්ෂ්යයේ එවැනි අසල්වැසි ප්රදේශයක් තිබීම තාර්කික ය, y \u003d x 3 - 3x 2 ශ්‍රිතය මෙම අසල්වැසි ස්ථානයේ x \u003d 0 ලක්ෂ්යයේ විශාලතම අගය ගනී. උදාහරණයක් ලෙස, පරතරය මත (- 1; 1) 0 ට සමාන විශාලතම අගය, ශ්‍රිතය x = 0 ලක්ෂ්යයේදී ගනී. x = 0 ලක්ෂ්යය මෙම ශ්රිතයේ උපරිම ලක්ෂ්යය ලෙස හැඳින්වේ.
ඒ හා සමානව, x \u003d 2 ලක්ෂ්යය x 3 - 3x 2 ශ්රිතයේ අවම ලක්ෂ්යය ලෙස හැඳින්වේ, මෙම අවස්ථාවේදී ශ්රිතයේ අගය x \u003d 2 ලක්ෂ්යයට ආසන්න තවත් ස්ථානයක එහි අගයට වඩා වැඩි නොවේ. , උදාහරණයක් ලෙස, අසල්වැසි (1.5; 2.5).
මේ අනුව, x 0 ලක්ෂ්යය f (x) ශ්රිතයේ උපරිම ලක්ෂ්යය ලෙස හඳුන්වනු ලබන්නේ x 0 ලක්ෂ්යයේ අසල්වැසි ප්රදේශයක් තිබේ නම් - එනම් f (x) ≤ f (x 0) අසමානතාවය මෙයින් සියලුම x සඳහා තෘප්තිමත් වේ. අසල් වැසියෝ.
උදාහරණයක් ලෙස, x 0 \u003d 0 ලක්ෂ්යය f (x) \u003d 1 - x 2 ශ්රිතයේ උපරිම ලක්ෂ්යය වන අතර f (0) \u003d 1 සහ අසමානතාවය f (x) ≤ 1 සියලු අගයන් සඳහා සත්‍ය වේ. x හි.
f (x) ශ්රිතයේ අවම ලක්ෂ්යය x 0 ලක්ෂ්යයේ එවැනි අසල්වැසි ප්රදේශයක් තිබේ නම්, අසමානතාවය f (x) ≥ f (x 0) මෙම අසල්වැසි ප්‍රදේශයේ සිට සියලුම x සඳහා තෘප්තිමත් වේ.
උදාහරණයක් ලෙස, x 0 \u003d 2 ලක්ෂ්යය f (x) \u003d 3 + (x - 2) 2 ශ්රිතයේ අවම ලක්ෂ්යය වන අතර, සියලු x සඳහා f (2) \u003d 3 සහ f (x) ≥ 3 .
අන්ත ලක්ෂ්ය අවම ලක්ෂ්ය සහ උපරිම ලක්ෂ්ය ලෙස හැඳින්වේ.
අපි f(x) ශ්‍රිතය වෙත හැරෙමු, එය x 0 ලක්ෂ්යයේ යම් අසල්වැසි ප්‍රදේශයක අර්ථ දක්වා ඇති අතර මෙම ලක්ෂ්යයේ ව්‍යුත්පන්නයක් ඇත.
x 0 යනු f (x) අවකලනය කළ හැකි ශ්රිතයක අන්ත ලක්ෂ්‍යයක් නම්, f "(x 0) \u003d 0. මෙම ප්‍රකාශය Fermat's theorem ලෙස හැඳින්වේ.
ෆර්මැට්ගේ ප්රමේයය පැහැදිලි ජ්‍යාමිතික අර්ථයක් ඇත: අන්ත ලක්ෂ්යයේදී ස්පර්ශකය x-අක්ෂයට සමාන්තර වන අතර එම නිසා එහි බෑවුම වේ.
f "(x 0) යනු බිංදුවයි.
උදාහරණයක් ලෙස, f (x) \u003d 1 - 3x 2 ශ්‍රිතයට x 0 \u003d 0 ලක්ෂ්යයේ උපරිමයක් ඇත, එහි ව්යුත්පන්නය f "(x) \u003d -2x, f "(0) \u003d 0.
f (x) \u003d (x - 2) 2 + 3 ශ්‍රිතයට x 0 \u003d 2, f "(x) \u003d 2 (x - 2), f "(2) \u003d 0 ලක්ෂ්යයේ අවම අගයක් ඇත. .
f "(x 0) \u003d 0 නම්, x 0 යනු f (x) ශ්රිතයේ අන්ත ලක්ෂ්යය බව ප්‍රකාශ කිරීමට මෙය ප්රමාණවත් නොවන බව සලකන්න.
උදාහරණයක් ලෙස, f (x) \u003d x 3 නම්, f "(0) \u003d 0. කෙසේ වෙතත්, x 3 ශ්‍රිතය සම්පූර්ණ සැබෑ අක්ෂය මත වැඩි වන බැවින් x \u003d 0 ලක්ෂ්යය අන්ත ලක්ෂ්‍යයක් නොවේ.
එබැවින්, අවකලනය කළ හැකි ශ්රිතයක අන්ත ලක්ෂ්ය සෙවිය යුත්තේ සමීකරණයේ මූලයන් අතර පමණි
f "(x) \u003d 0, නමුත් මෙම සමීකරණයේ මුල සෑම විටම අන්ත ලක්ෂ්‍යයක් නොවේ.
නිශ්චල ලක්ෂ්ය යනු ශ්රිතයක ව්යුත්පන්නය ශුන්යයට සමාන වන ලක්ෂ්ය වේ.
මේ අනුව, x 0 ලක්ෂ්යය අන්ත ලක්ෂ්‍යයක් වීමට නම් එය නිශ්චල ලක්ෂ්‍යයක් වීම අවශ්ය වේ.
ස්ථාවර ලක්ෂ්‍යයක් අන්ත ලක්ෂ්‍යයක් වීමට ප්රමාණවත් කොන්දේසි සලකා බලන්න, i.e. ස්ථාවර ලක්ෂ්‍යයක් ශ්රිතයක අවම හෝ උපරිම ලක්ෂ්‍යයක් වන කොන්දේසි යටතේ.
නිශ්චල ලක්ෂ්යයේ වමේ ව්යුත්පන්නය ධනාත්මක නම් සහ දකුණට එය සෘණ නම්, i.e. ව්‍යුත්පන්න වෙනස්කම් "+" ලකුණ මෙම ලක්ෂ්යය හරහා ගමන් කරන විට "-" ලකුණට, එවිට මෙම නිශ්චල ලක්ෂ්යය උපරිම ලක්ෂ්යය වේ.
ඇත්ත වශයෙන්ම, මෙම අවස්ථාවෙහිදී, නිශ්චල ලක්ෂ්යයේ වමට, ශ්‍රිතය වැඩි වන අතර දකුණට එය අඩු වේ, i.e. ලබා දී ඇති ලක්ෂ්යයඋපරිම ලක්ෂ්යය වේ.
නිශ්චල ලක්ෂ්‍යයක් හරහා යන විට ව්යුත්පන්නය "-" ලකුණ "+" ලෙස සලකුණු කරයි නම්, මෙම නිශ්චල ලක්ෂ්යය අවම ලක්ෂ්‍යයකි.
නිශ්චල ලක්ෂ්‍යයක් හරහා ගමන් කරන විට ව්‍යුත්පන්න ලකුණ වෙනස් නොවේ නම්, i.e. නිශ්චල ලක්ෂ්යයේ වමට සහ දකුණට ව්‍යුත්පන්න ධන හෝ ඍණ වේ, එවිට මෙම ලක්ෂ්යය අන්ත ලක්ෂ්‍යයක් නොවේ.
ගැටළු වලින් එකක් සලකා බලමු. f (x) \u003d x 4 - 4x 3 ශ්රිතයේ අන්ත ලක්ෂ්ය සොයන්න.
විසඳුමක්.
1) ව්යුත්පන්නය සොයන්න: f "(x) \u003d 4x 3 - 12x 2 \u003d 4x 2 (x - 3).
2) ස්ථාවර ලක්ෂ්ය සොයන්න: 4x 2 (x - 3) \u003d 0, x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 3.
3) විරාම ක්‍රමය භාවිතා කරමින්, f "(x) \u003d 4x 2 (x - 3) ව්යුත්පන්නය x\u003e 3 සඳහා ධන බවත්, x සඳහා සෘණ බවත් අපි තහවුරු කරමු.< 0 и при 0 < х < 3.
4) x 1 \u003d 0 ලක්ෂ්යය හරහා ගමන් කරන විට, ව්යුත්පන්නයේ ලකුණ වෙනස් නොවන බැවින්, මෙම ලක්ෂ්යය අන්ත ලක්ෂ්‍යයක් නොවේ.
5) ව්යුත්පන්නය x 2 \u003d 3 ලක්ෂ්යය හරහා ගමන් කරන විට "-" ලකුණ "+" ලකුණට වෙනස් කරයි. එබැවින්, x 2 \u003d 3 යනු අවම ලක්ෂ්යය වේ.
වෙබ් අඩවිය, ද්රව්යයේ සම්පූර්ණ හෝ අර්ධ වශයෙන් පිටපත් කිරීම සමඟ, මූලාශ්රය වෙත සබැඳියක් අවශ්ය වේ.
