විශේෂ කරුණු මොනවාද. ලෝරන්ට් ශ්‍රේණි හුදකලා ඒකීය ලකුණු සහ ඒවායේ වර්ගීකරණය. ඒවා ගණනය කිරීම සඳහා අවශේෂ සහ සූත්ර
ඉඩ zq - f(z), t.s ශ්රිතයේ ඒකීය ලක්ෂ්යය. f(z)නමුත් මෙම අවස්ථාවේදී විශ්ලේෂණාත්මක වේ (විශේෂයෙන්, එය අර්ථ දැක්විය නොහැක). ලක්ෂ්යයේ එවැනි සිදුරු සහිත අසල්වැසි ප්රදේශයක් තිබේ නම් zq (එනම්, O z කට්ටලය - zq f(z) යනු අන්‍ය අක්ෂර වේ, එසේ නම් zoකියලා හුදකලා ඒකීය ලක්ෂ්‍යයකාර්යයන් f(z)මෙම නිර්වචනය නඩුවේ ද සංරක්ෂණය කර ඇත zn = oo, අයඩීන් ලක්ෂ්‍යයක සිදුරු සහිත අසල්වැසි ප්රදේශයක් නම් zq = oo කට්ටලය තේරුම් ගන්න z >මම - මූලාරම්භය කේන්ද්‍ර කරගත් යම් කවයක පෙනුම. වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, ඒකීය ලක්ෂ්යය මෙම ලක්ෂ්යයේ අසල්වැසි ප්රදේශයක් පවතී නම් zq හුදකලා වේ යැයි කියනු ලැබේ. zq. පහත සෑම තැනකම, අපි තනි අගයක් සහිත අක්ෂරයක ඒකීය ලක්ෂ්ය පමණක් සලකා බලමු (ශ්රිතය f(z)අද්විතීය යැයි උපකල්පනය කෙරේ).
කාර්යයේ හැසිරීම මත රඳා පවතී f(z)හිදී z -> zqඒකීය ලක්ෂ්ය වර්ග තුනකි. හුදකලා ඒකීය ලක්ෂ්යය zq කාර්යයන් f(z)නමින්:
1) ඉවත් කළ හැකි ඒකීය ලක්ෂ්‍යයසීමිත සීමාවක් තිබේ නම්
2) පොල්ලසීමාවක් තිබේ නම් 
3) අත්යවශ්ය කරුණ,නම් f(z) සඳහා පරිමිත හෝ අසීමිත සීමාවක් නොමැත z-> zq.
උදාහරණ 26.1. ඒකීය කරුණු තුනම සාක්ෂාත් වන බව අපි පෙන්වමු. සලකා බලන්න f(z)= ලක්ෂ්යය zq = 0 හුදකලා වේ
මෙම ශ්රිතයේ ඒකීය ලක්ෂ්යය. සූත්රය (22.12) භාවිතා කරමින්, අපි ප්රසාරණය ලබා ගනිමු
ලිම් පවතින බව එයින් කියවේ fi(z)= 1. එබැවින්, zq = 0 වේ
ශ්රිතයේ ඉවත් කළ හැකි ඒකීය ලක්ෂ්‍යයකි fi(z)
කාර්යය f'j(z) =--- ලක්ෂ්‍යයක කණුවක් ඇත zo= 1 නිසා
2 ආර්" X
දැන් කාර්යය සලකා බලන්න )z(z)= e 1 ^ r සහ එය පෙන්වන්න zo = O යනු මෙම ශ්රිතයේ අත්යවශ්ය ඒකීය ලක්ෂ්‍යයකි. උත්සාහ කරන විට zසැබෑ අක්ෂය ඔස්සේ ශුන්‍යයට, f ශ්රිතයේ වම් සහ දකුණු සීමාවන් (z)වෙනස්: ලිම් සමඟ 1 / 1 = 0, ලිම් 1 /* = සමඟ os. මෙයින් ඇඟවෙන්නේ,
x->0-0 x->0+0
කුමක් f:i(z) 2 සඳහා පරිමිත හෝ අනන්ත සීමාවක් නොමැත ->
ඔහ්, i.e. zq = 0 යනු මෙම ශ්රිතයේ අත්යවශ්යයෙන්ම ඒකීය ලක්ෂ්‍යයකි. (කාර්යය නැඹුරු වන පරිදි බව සලකන්න z-iyමනඃකල්පිත අක්ෂ ශ්රිතයේ ශුන්‍යයට 
සීමාවක් නැත.)
ඇත්ත වශයෙන්ම, හුදකලා නොවන ඒකීය කරුණු ද ඇත. උදාහරණ වශයෙන්. ශ්‍රිතයට ලක්ෂ්‍යවල ධ්රැව ඇත z n = -, පී= ±1, ±2,...
ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, Zq = 0 යනු මෙම ශ්රිතයේ හුදකලා නොවන ඒකීය ලක්ෂ්‍යයකි: මෙම ලක්ෂ්යයේ ඕනෑම (අත්තනෝමතික ලෙස කුඩා) අසල්වැසි ස්ථානයක වෙනත් ඒකීය ලක්ෂ්ය ඇත. g p.
ඉඩ zo-ශ්‍රිතයක අවසාන හුදකලා ඒකීය ලක්ෂ්යය f(z)ඉන්පසු f(z)සමහර සිදුරු සහිත අසල්වැසි 0 Zo හි සමාන වේ zoමෙම අසල්වැසි ප්රදේශය අභ්‍යන්තර අරය r = 0 සහිත වළල්ලක් ලෙස සැලකිය හැක. ප්රමේයය 25.1 මගින් සලකා බලනු ලබන අසල්වැසි ප්‍රදේශයේ ශ්රිතය f(z) Laurent මාලාවක් (25.2) තුළ පුළුල් කළ හැක. 2 සඳහා ශ්රිතයේ හැසිරීම බව අපි පෙන්වමු -> zq (එනම් ඒකීය ලක්ෂ්ය වර්ගය zo)වියෝජනයේ ප්රධාන කොටසෙහි ස්වරූපය මත රඳා පවතී (25.2); මෙම තත්වය "ප්රධාන කොටස" යන යෙදුමේ ආරම්භය පැහැදිලි කරයි.
න්‍යාය 2G.2. f(z) ශ්‍රිතයක හුදකලා ඒකීය ලක්ෂ්ය zo ඉවත් කළ හැක්කේ මෙම ලක්ෂ්යයේ සිදුරු වූ අසල්වැසි ප්රදේශයක Lorap ප්‍රසාරණයට oid තිබේ නම් පමණි.
එම. නිවැරදි කොටස පමණක් සමන්විත වේ, සහ ප්රධාන කොටසෙහි සියලුම සංගුණක උණ්ඩයට සමාන වේ.
සාක්ෂි. 1. ඉඩ දෙන්න zoඉවත් කළ හැකි ඒකීය ලක්ෂ්‍යයකි. ලෝරන්ට් ශ්රිතයේ ප්රසාරණය බව ඔප්පු කරමු f(z)පෝරමය (26.1) ඇත. ඒකීය ලක්ෂ්යයේ සිට zoඉවත් කළ හැකි, පසුව සීමිත සීමාවක් ඇත f(z) = A.ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, f(z)ලක්ෂ්යයේ 0 z - zq සමහර සිදුරු සහිත අසල්වැසි ප්රදේශයක සීමා කර ඇත zo,එම. )(z) සියල්ල සඳහා zමෙම අසල්වැසි ප්‍රදේශයෙන්. ඕන එකක් ගන්න ආර්. U р /?|, සහ Laurent ශ්‍රේණියේ සංගුණක සඳහා සූත්ර (25.3) භාවිතා කරන්න:
විස්තාරණයේ ප්රධාන කොටසෙහි සංගුණක සඳහා n =- 1,-2,... එවැනි අගයන් සඳහා පීඅපිට තියනවා p~n-e 0 at ආර්-> 0. අගය සිට ආර්අත්තනෝමතික ලෙස කුඩා තෝරා ගත හැකිය, එවිට මහතා ~"අත්තනෝමතික ලෙස කුඩා විය හැක. සිට |c t,| ^ මහතාසහ cn p මත රඳා නොපවතී, පසුව cn = 0 සඳහා හා= - 1, -2,..., ඔප්පු කිරීමට නියමිතව තිබුණි.
2. අපි දැන් ලෝරන්ට් ප්‍රසාරණයට පෝරමය (26.1) ඇති බව උපකල්පනය කරමු. Series (26.1) යනු බල ශ්‍රේණියක් සහ. එබැවින්, සිදුරු සහිත පමණක් නොව, මුළු අසල්වැසි ප්රදේශයේම අභිසාරී වේ z-zq තිත ඇතුළුව zo;එහි එකතුව S(z)සඳහා විශ්ලේෂණාත්මක වේ z සහ S(z) = )(z) 0 z දී - zoආර්.එබැවින්, සීමිත සීමාවක් ඇත )(z)\u003d Pm 5 (r) \u003d 5 (r) - එබැවින්, ඒකීය ලක්ෂ්යය zq
Z->Zo Z-*Zo
ඉවත දැමිය හැකි. ප්රමේයය ඔප්පු කර ඇත.
අදහස් දක්වන්න. එය සිදුරු සහිත අසල්වැසි ප්රදේශයක 0 z - zo ඉවත් කළ හැකි ඒකවචන ලක්ෂ්‍යයක ශ්රිතය බව ප්‍රමේයේ සාධනය අනුව පහත දැක්වේ. f(z) S(r) ශ්රිතය සමග සමපාත වන අතර එය සමස්ථ අසල්වැසි ප්රදේශයේම විශ්ලේෂණාත්මක වේ z - zo . ඒ නිසා අපි /(th) = දැම්මොත් S(zq), එවිට, ශ්රිතයේ අගයන් වෙනස් නොකර f(z)සිදුරු වූ අසල්වැසි ඕනෑම ස්ථානයක, අපි මෙම ශ්රිතය r හි විශ්ලේෂණාත්මක කරන්නෙමු, i.e. විශේෂාංගය "ඉවත් කරන්න". මෙය "ඉවත් කළ හැකි ඒකීයත්වය" යන යෙදුම පැහැදිලි කරයි. එවැනි ලක්ෂ්ය ශ්රිතයේ ඒකීය ලක්ෂ්ය ලෙස නොව සාමාන්ය ලෙස සැලකීම ස්වාභාවිකය f(z)
උදාහරණයක් ලෙස, කාර්යය සලකා බලන්න
උදාහරණ 26.1 හි, Pm (n) = 1. i.e. ඒකීය ලක්ෂ්යය
zq = 0 ඉවත් කළ හැකිය. /i(0) = 1 සැකසීම, අපි එමගින් ඒකීයත්වය ඉවත් කර ලක්ෂ්යයේ විශ්ලේෂණාත්මක ශ්රිතයක් ලබා ගනිමු. zq = 0 (සහ සම්පූර්ණ තලයේ C).
අපි දැන් ලෝරන්ට් ප්රසාරණය අනුව ධ්රැව සංලක්ෂිත කරමු.
ප්රමේයය 26.3. f(z) ශ්‍රිතයක හුදකලා ඒකීය ලක්ෂ්ය Zo යනු ධ්රැවයක් නම් සහ නම් පමණි, Zq කේන්ද්රය සහිත ලෝරන්ට් ප්‍රසාරණයේ ප්රධාන කොටසට ඇත්තේ සීමිත සංඛ්යාවක් පමණි
n සමඟ ශුන්ය සංගුණක වලින්:
සාක්ෂි. 1. ඉඩ දෙන්න zq - පොල්ල, i.e. ලිම් /( z) = oo.
ලෝරන්ට් ශ්රිතයේ ප්රසාරණය බව ඔප්පු කරමු f(z)පෝරමය ඇත (2G.2). ලිම් සිට f(z)= ඕ. එවිට ලක්ෂ්යයේ සිදුරු සහිත අසල්වැසි ප්රදේශයක් පවතී
කි zq. එහි f(z)විශ්ලේෂණාත්මක වන අතර බිංදු නොමැත. එවිට කාර්යය g(z) = 1 /f(z)මෙම සිදුරු සහිත අසල්වැසි ප්රදේශය තුළ ද විශ්ලේෂණාත්මක වනු ඇත, සහ ලිම් g(z)= 0. එබැවින්, සෝඉවත දැමිය හැකි *-? *0
ශ්රිතයේ ඒකීය ලක්ෂ්යය g(z)අපි නැවත නිර්වචනය කරමු g(z)ලක්ෂ්යයේ zo, තැබීම g(zo)= 0. එවිට g(z)(සිදුරු නොවන) ලක්ෂ්යයේ මුළු අසල්වැසි ප්රදේශය තුළම විශ්ලේෂණාත්මක වෙයි z 0,හා z0එහි හුදකලා ශුන්‍යය වනු ඇත. මගින් දක්වන්න එන්මෙම ශුන්යයේ ගුණය (පිළිවෙල). §23 හි පෙන්වා ඇති පරිදි, ලක්ෂ්යයේ අසල්වැසි ප්රදේශයක zq ශ්රිතය g(z)ස්වරූපයෙන් නිරූපණය කළ හැකිය (බලන්න (23.2))
හා (z$) f 0 සහ y>(z)ලක්ෂ්යයේ සමහර අසල්වැසි ප්රදේශයක විශ්ලේෂණාත්මක වේ zo-නිසා ip(z)ලක්ෂ්යයේ අඛණ්ඩ zoහා g>(zo) එෆ් 0" පසුව ip(z)මෙම ලක්ෂ්යයේ සමහර අසල්වැසි ප්‍රදේශවලට බිංදු නොමැත. එබැවින් කාර්යය 1 /-p(z)මෙම අසල්වැසි ප්රදේශය තුළ විශ්ලේෂණාත්මක වනු ඇත, එබැවින්, එය ටේලර් මාලාවක් තුළ පුළුල් කරයි:
වරහන් විවෘත කිරීම සහ සංගුණකවල තනතුරු වෙනස් කිරීම, අපි පෝරමයේ අවසාන විස්තාරය ලියන්නෙමු
එහිදී c_jv = 1>o f 0. මේ අනුව, f(r) හි ලෝරන්ට් ප්‍රසාරණයේ ප්රධාන කොටසෙහි අඩංගු වන්නේ සීමිත පද සංඛ්යාවක් පමණි; අපි අවශ්ය සමානාත්මතාවයට පැමිණ ඇත (26.2).
2. ලක්ෂයක සිදුරු සහිත අසල්වැසි ප්‍රදේශයකට ඉඩ දෙන්න thකාර්යය )(z)ලෝරන්ට් ප්රසාරණය (26.2) මගින් නිරූපණය කෙරේ (වඩා විස්තාරණය කරන ලද ස්වරූපයෙන්, බලන්න (26.3)), එහි ප්රධාන කොටසෙහි සීමිත පද සංඛ්යාවක් පමණක් අඩංගු වේ, සහ සමඟ- d" f 0. අපි එය ඔප්පු කළ යුතුයි Zq - කාර්යය ධ්රැවය f(z)සමානාත්මතාවය (26.3) මගින් ගුණ කිරීම (ජී - ජී o) iV, අපි කාර්යය ලබා ගනිමු
(26.4) හි ඇති ශ්‍රේණිය සිදුරු වූ ස්ථානයේ පමණක් නොව, ලක්ෂ්යයේ මුළු අසල්වැසි ප්රදේශයේම විශ්ලේෂණාත්මක ශ්‍රිතයකට අභිසාරී වන බල ශ්‍රේණියකි. Zq. එබැවින්, කාර්යය h(z)අපි එය සැකසීමෙන් th හි දිගු කළහොත් මෙම අසල්වැසි ප්රදේශය තුළ විශ්ලේෂණාත්මක වේ h(zo)= s_dg f 0. එවිට
මේ අනුව o ලක්ෂ්යය ධ්රැවයක් වන අතර ප්රමේයය 26.3 ඔප්පු වේ.
ශුන්ය ශ්රිතයේ ගුණිතය (පිළිවෙල). g(z)= 1//(r) ලෙස හැඳින්වේ ධ්රැව නියෝගයශ්රිතය /(r). අ N-එවිට ධ්රැවයේ අනුපිළිවෙල th වේ g(z)= (r - Zo)N ip(z),සහ යන්න) එෆ් 0, සහ, ප්රමේයය 26.3 සාධනයේ පළමු කොටසේ පෙන්වා ඇති පරිදි, f(r) හි ප්‍රසාරණයෙහි ස්වරූපය (26.3) ඇත, එහිදී c_/v f 0. ප්‍රතිවිරුද්ධව, f(r) ශ්‍රේණියට (26.3) ප්රසාරණය වන්නේ නම් සහ e-z F 0, පසුව
ටී.එස්. N- f(r) ශ්රිතයේ ධ්රැවයේ අනුපිළිවෙල මේ ක්රමයෙන්, ශ්රිතයේ zq ධ්රැවයේ අනුපිළිවෙල/(G) zq ලක්ෂ්යයේ සිදුරු වූ අසල්වැසි ප්‍රදේශයේ ලෝරන්ට් ප්‍රසාරණයේ ප්රධාන කොටසෙහි ප්‍රමුඛ ශුන්ය නොවන සංගුණක ගණනට සමාන වේ(එනම් එවැනි අංකයකට සමාන වේ එන්,කුමක්ද s_dg f 0 සහ sp= 0 at පී > එන්).
යෙදුම් සඳහා පහසු වන) පහත ප්‍රකාශය අපි ඔප්පු කරමු.
නිගමනය 26.4. Zq ලක්ෂ්යය ප්‍රබන්ධයේ N අනුපිළිවෙලෙහි ධ්රැවයකි/(G) නම් පමණක්/(G) ස්වරූපයෙන් නියෝජනය කරන්න
මෙහි h(z) යනු ලක්ෂ්‍යයක අසල්වැසි විශ්ලේෂණ ශ්‍රිතයකි th සහ h(zo) f 0.
සාක්ෂි. කාර්යය cp(z) = l/h(z) r ලක්ෂ්යයේ සමහර අසල්වැසි ප්‍රදේශවල විශ්ලේෂණාත්මක වේ. නිගමනය 26.4 හි කොන්දේසිය පහත ඒවාට සමාන වේ:
ඒක තමයි zq - ගුණ ශුන්‍යය එන්කාර්යයන් g(z)එබැවින් බහුත්ව ධ්රැවය එන්කාර්යයන් /(2).
II උදාහරණය 26.5. ශ්‍රිතයක හුදකලා ඒකීය ලක්ෂ්ය සොයන්න 
සහ ඔවුන්ගේ වර්ගය තීරණය කරන්න.
D e u c tio n. එහි ඇති කරුණු (z 2 + 1 )(z+ H) 2 = 0. නම් z 2 L- 1 = 0 පසුව 2 = ± gනම් (z 4- H) 2 = 0, එවිට z= -3. එබැවින් ශ්‍රිතයට ඒකීය ලක්ෂ්ය තුනක් ඇත z= ආර්, 22 = -r, Z3 = - 3. සලකා බලන්න z:
G -පළමු අනුපිළිවෙල ධ්රැවය (අපි 26.4 භාවිතා කළෙමු). 22 = බව එලෙසම ඔප්පු කළ හැක -මමපළමු අනුපිළිවෙලෙහි කණුවක් ද. පැය 2 සඳහා අපට ඇත්තේ:
අපි මූලික වශයෙන් ඒකීය කරුණු සලකා බලමු.
ප්රමේයය 26.6. f(z) ශ්‍රිතයක හුදකලා ඒකීය ලක්ෂ්යයක් zq අත්යවශ්යයෙන්ම ඒකීය වන්නේ zq කේන්ද්‍ර කරගත් ලෝරන්ට් ප්‍රසාරණයේ ප්රධාන කොටස අසීමිත ලෙස වෙනස් වන්නේ නම් පමණි. ශුන්ය, p සමඟ සංගුණක.
සාක්ෂි. න්‍යාය 26.6 ප්‍රමේය 26.2 සහ 26.3 වෙතින් සෘජුවම අනුගමනය කරයි. ඇත්ත වශයෙන්ම, කාරණය නම් zq අත්යවශ්යයෙන්ම ඒකීය වේ, එවිට ලෝරන්ට් ප්‍රසාරණයේ ප්රධාන කොටස නොමැති වීම හෝ සීමිත පද සංඛ්යාවක් අඩංගු විය නොහැක (එසේ නොමැති නම් ලක්ෂ්යය Zq ඉවත් කළ හැකි හෝ කණුවක් වනු ඇත). එබැවින්, ප්රධාන කොටසෙහි පද ගණන අසීමිත විය යුතුය.
ප්‍රතිවිරුද්ධව, ප්රධාන කොටසෙහි අනන්තවත් සාමාජිකයන් සංඛ්යාවක් අඩංගු වන්නේ නම්, එසේ නම් Zq ඉවත් කළ හැකි ලක්ෂ්යයක් හෝ කණුවක් විය නොහැක. එහි ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, මෙම ලක්ෂ්යය අත්යවශ්යයෙන්ම ඒකීය වේ.
නිර්වචනයට අනුව, අත්යවශ්යයෙන්ම ඒකීය ලක්ෂ්යයක් සංලක්ෂිත වන්නේ f(2) ශ්‍රිතයට පරිමිත හෝ අනන්ත සීමාවක් නොමැති වීමෙනි. z ->zq. අත්යවශ්යයෙන්ම ඒකීය ලක්ෂ්‍යයක අසල්වැසි ප්රදේශයක ශ්‍රිතයක හැසිරීම කෙතරම් අක්‍රමවත්ද යන්න පිළිබඳ වඩාත් සම්පූර්ණ අදහසක් පහත ප්‍රමේය මගින් ලබා දේ.
ප්රමේයය 26.7 (සොචෝකිගේ ප්රමේයය). zq අත්යවශ්යයෙන්ම ඒකීය නම්, ශ්රිතයේ ලක්ෂ්යය f(z), පසුව ඕනෑම සංකීර්ණ සංඛ්යාවක් සඳහාඑල්, A = ඇතුළුවඔහ්, z n ලක්ෂ්ය අනුපිළිවෙලක් ඇත, එනම් z n -> zo සහලිම් f(zn) = නමුත්.
n->os
සාක්ෂි. මුලින්ම නඩුව සලකා බලන්න A = oo. ප්රමේයය 2G.2 හි සාධනයේ පළමු කොටසෙහි, අපි එසේ නම් f(z) r0 ලක්ෂ්යයේ යම් සිදුරු සහිත අසල්වැසි ප්‍රදේශයකට සීමා වේ, එවිට සියලුම සංගුණක c, n = - 1, - 2,... ප්රධාන කොටස ශුන්‍යයට සමාන වේ (සහ, ඒ අනුව, th හි ඒකීයත්වය ඉවත් කළ හැකිය). උපකල්පනය අනුව r0 අත්යවශ්යයෙන්ම ඒකීය ලක්ෂ්යයක් වන බැවින්, r0 ලක්ෂ්යයේ ඕනෑම සිදුරු සහිත අසල්වැසි ස්ථානයක f(r) ශ්රිතය සීමා නොවේ. අපි එවැනි පටු අසල්වැසි 0 Z ගනිමු f(zi) > 1 (නම් |/(r)| z - zo R/2 ලක්ෂ්යයක් තිබේ z-2 , කොහෙද |/(dd)| > 2, ආදිය: සිදුරු වූ අසල්වැසි O 71. rn -e go සහ lim /(r«) = oo බව පැහැදිලිය. මේ අනුව, නඩුවේ A = oo, ප්රමේයය 26.7
ඔප්පු කර ඇත.
දැන් ඉඩ දෙන්න ඒ එෆ් oo. සිදුරු සහිත අසල්වැසි 0 ක් ඇති බව පළමුව උපකල්පනය කරන්න
= -yy---- මෙම සිදුරු සහිත අසල්වැසි ප්රදේශය තුළ විශ්ලේෂණාත්මක වනු ඇත, ඒ අනුව,
/(G) - නමුත්
එහි ප්රතිඵලයක් ලෙස, r යනු Φ(r) ශ්රිතයේ හුදකලා ඒකීය ලක්ෂ්‍යයකි. අපි පෙන්නමු. r0 යනු Φ(r) හි අත්යවශ්යයෙන්ම ඒකීය ලක්ෂ්යයක් බවයි. එය වැරදි වීමට ඉඩ දෙන්න. එවිට සීමාවක් පවතී Φ(r), පරිමිත හෝ අනන්ත. නිසා
/(r) = A +, එවිට Hsh /(r) ද පවතී, එය කොන්දේසියට පටහැනි වේ
F(g) ~ :-*z 0
ප්රමේයයේ දර්ශනය. මේ අනුව r0 යනු Φ(r) ශ්රිතයේ අත්යවශ්යයෙන්ම ඒකීය ලක්ෂ්‍යයකි. ඉහත ඔප්පු කළ දෙයට අනුව, r n ලකුණු අනුපිළිවෙලක් ඇත, එනම් r n o සහ lim Φ(r n) = oo. මෙතැන් සිට
f(r) යන උපකල්පනය යටතේ අවශ්ය ප්‍රකාශය අපි ඔප්පු කර ඇත්තෙමු. එෆ් ඒ r ලක්ෂ්යයේ යම් සිදුරු සහිත අසල්වැසි ප්රදේශයක අපි දැන් මෙය සත්‍ය නොවන බව උපකල්පනය කරමු, i.e. ඕනෑම අත්තනෝමතික ලෙස කුඩා සිදුරු සහිත අසල්වැසි ප්රදේශයක එවැනි ලක්ෂ්යයක් තිබේ ජී", f(r") = A. එවිට ඕනෑම දෙයක් සඳහා පීසිදුරු සහිත අසල්වැසි ප්‍රදේශයේ 0 f(z u) = L. මේ අනුව, අවශ්ය ප්‍රකාශය සත්‍ය වේ පී- යූඕ
සෑම අවස්ථාවකදීම, සහ ප්රමේයය 26.7 ඔප්පු කර ඇත.
(Sokhotsky ගේ) ප්රමේයය 26.7 ට අනුව, අත්යවශ්යයෙන්ම ඒකීය ලක්ෂ්‍යයක ඕනෑම (අත්තනෝමතික ලෙස කුඩා) සිදුරු සහිත අසල්වැසි ප්රදේශයක, f(r) ශ්රිතය විස්තීරණ සංකීර්ණ තලයේ C හි ඕනෑම සංඛ්‍යාවකට අත්තනෝමතික ලෙස ආසන්න අගයන් ගනී.
හුදකලා ඒකීය ලක්ෂ්ය අධ්‍යයනය කිරීම සඳහා, මූලික මූලික ශ්‍රිතවල සුප්‍රසිද්ධ ටේලර් ප්රසාරණය බොහෝ විට ප්‍රයෝජනවත් වේ.
උදාහරණ 2G.8. ශ්රිතය සඳහා ඒකීය ලක්ෂ්ය zq = 0 වර්ගය තීරණය කරන්න
විසඳා සහ e. අපි ටේලර් ශ්‍රේණියක සංඛ්‍යාව සහ හරය පුළුල් කරන්නෙමු r බලයෙන් (22.11) 3 වෙත ආදේශ කරමින් z r වෙනුවට 1 අඩු කිරීමෙන් අපට ලැබේ
(22.12) භාවිතා කරමින්, අපි හරයේ ප්රසාරණය ලබා ගනිමු:
මෙම ප්‍රසාරණයන්හි ශ්‍රේණිය සම්පූර්ණ සංකීර්ණ තලය € තුළ අභිසාරී වේ. අපිට තියනවා
සහ /2(2) ලක්ෂ්යයේ අසල්වැසි ප්රදේශයක සමාන වේ zo = 0 (සහ සම්පූර්ණ ගුවන් යානය තුළ පවා) සහ /2(20) එෆ් 0, පසුව h(z) gF 0 ලක්ෂ්යයේ සමහර අසල්වැසි ප්‍රදේශවල ද විශ්ලේෂණාත්මක වේ. නිගමනය 26.4 ට අනුව, ලක්ෂ්යය Zo = 0 යනු ඇණවුමේ ධ්රැවය වේ N = 4.
II උදාහරණය 26.9. ශ්‍රිතයක ඒකීය ලක්ෂ්ය සොයන්න f(z)= sin j - සහ ඒවායේ වර්ගය තීරණය කරන්න.
P e in e සහ e. ශ්‍රිතයට තනි අවසාන ඒකීය ලක්ෂ්යයක් ඇත zq = 1. C සිට වෙනත් ලක්ෂ්‍යවලදී, ශ්රිතය w =--- විශ්ලේෂණාත්මක; එබැවින් පාපයේ කාර්යය wවිශ්ලේෂණාත්මක වනු ඇත.
සයින් ප්‍රසාරණයේදී ආදේශ කිරීම (22.12) - r වෙනුවට අපට ලැබේ
20 = 1 ලක්ෂ්යයේ සිදුරු සහිත අසල්වැසි ප්රදේශයක ලෝරන්ට් ශ්‍රේණියේ පාප ශ්රිතයේ ප්රසාරණය අප ලබා ගෙන ඇත. ප්රතිඵලයක් ලෙස ප්‍රසාරණයට සෘණ බල (r - 1) සමඟ අනන්තවත් පද අඩංගු වන බැවින්, එවිට zq = 1 යනු අත්යවශ්ය ඒකීය ලක්ෂ්‍යයකි (මෙම අවස්ථාවේදී, ලෝරන්ට් ප්රසාරණය සමන්විත වන්නේ ප්රධාන කොටසෙන් පමණක් වන අතර නිවැරදි කොටස නොපවතී).
මෙම අවස්ථාවෙහිදී ශ්‍රේණි ප්‍රසාරණයට යොමු නොවී, නිර්වචනයෙන් සෘජුවම ඒකීයත්වයේ ස්වභාවය ස්ථාපිත කිරීමට හැකි වූ බව සලකන්න. ඇත්ත වශයෙන්ම, (r") සහ (2") වෙත අභිසාරී වන අනුපිළිවෙලවල් ඇත zo= 1, සහ එවැනි f(z"n)= 1, /(2") = 0 (එවැනි අනුපිළිවෙල ඔබම සඳහන් කරන්න).එසේ නම්, f(z)විට සීමාවක් නැත z -> 1 සහ එබැවින් කාරණය zq - 1 අත්යවශ්යයෙන්ම ඒකීය වේ.
ලක්ෂ්‍යයක අසල්වැසි ශ්‍රිතයක ලෝරන්ට් ප්රසාරණය පිළිබඳ සංකල්පය අපි හඳුන්වා දෙමු Zq = 00 සහ මෙම ස්ථානයේ දී ඒකීයත්වයේ ප්රසාරණය සහ ස්වභාවය අතර සම්බන්ධය සලකා බලන්න. හුදකලා ඒකීය ලක්ෂ්‍යයක නිර්වචන සහ එහි වර්ගය (ඉවත් කළ හැකි, ධ්රැවය හෝ අත්යවශ්යයෙන්ම ඒකීය) නඩුව වෙත ගෙන යන බව සලකන්න. zq = oc නොවෙනස්ව. නමුත් සිද්ධාන්ත 26.2. ලෝරන්ට් ව්යාප්තියේ ස්වභාවයට සම්බන්ධ 26.3 සහ 26.6 වෙනස් කළ යුතුය. කාරණය වන්නේ සාමාජිකයින් ය c n (z - 2o) පි. පී= -1,-2,..., ප්රධාන කොටස, අවසාන ලක්ෂ්යයට ආසන්න ශ්රිතයේ "'අක්‍රමිකතාව" නිර්වචනය කරයි Zq, 2 oo වෙත නැඹුරු වන බැවින්, ඔවුන් "නිවැරදිව" (0 වෙත නැඹුරු) හැසිරෙනු ඇත. ඊට පටහැනිව, සමඟ නිතිපතා කොටසෙහි සාමාජිකයන් පී= 1,2,... oo නැඹුරු වනු ඇත; ඔවුන් තුළ ඒකීයත්වයේ ස්වභාවය තීරණය කරයි Zq = oo. එබැවින්, oo හි අසල්වැසි ප්රදේශයෙහි ව්යාප්තියේ ප්රධාන කොටස ධනාත්මක බලතල සහිත නියමයන් වනු ඇත පී,සහ නිවැරදි - සෘණ සමග.
අපි අලුත් විචල්‍යයක් හඳුන්වා දෙමු w = 12. කාර්යය tv = 1/2, u(oo) = 0, එකින් එක සහ අනුරූප ලෙස අසල්වැසි සිතියම් ගත වන පරිදි දිගු කර ඇත z > ආර්ලකුණු zq = 00 අසල්වැසි |w| wq = 0. ශ්රිතය නම් f(z)සිදුරු සහිත අසල්වැසි ප්රදේශයක විශ්ලේෂණ ආර් z Zq = oc, පසුව ශ්රිතය G(w) = f(l/w)කහ අසල්වැසි 0 wo = 0 විශ්ලේෂණාත්මක වනු ඇත. 2 -> oo සඳහා පවතිනු ඇත w-> 0, එවිට
ඒක තමයි G(w)ලක්ෂ්යයේ ඇත wq = 0 යනු එකම වර්ගයේ ඒකීයත්වයකි f(z)ලක්ෂ්යයේ Zq = 00. අපි wo = 0 ලක්ෂ්යයේ සිදුරු සහිත අසල්වැසි ප්රදේශයක Laurent ශ්‍රේණියක G(w) ශ්රිතය පුළුල් කරමු:
(26.5) හි දකුණු පැත්තේ එකතුව පිළිවෙලින් ප්‍රසාරණයේ නිවැරදි සහ ප්රධාන කොටස් නියෝජනය කරයි. අපි විචල්‍යයට යමු z,ආදේශ කිරීම w = 1/z: 
හඟවනවා පී\u003d -A *, 6 * \u003d 6_ " \u003d p සමඟඒ බව දකිමින් G(l/z) = f(z), අපිට ලැබෙනවා
වියෝජනය (2G.G) ලෙස හැඳින්වේ zq ලක්ෂ්යයේ සිදුරු සහිත අසල්වැසි ස්ථානයක f(z) ශ්රිතයේ ලෝරන්ට් ප්රසාරණය= ඕ. (2G.6) හි පළමු එකතුව ලෙස හැඳින්වේ දකුණු කොටස, සහ දෙවන එකතුව වේ ප්රධාන කොටසමෙම වියෝජනය. මෙම එකතු කිරීම් ප්‍රසාරණයේ (26.5) නිවැරදි සහ ප්රධාන කොටස් වලට අනුරූප වන බැවින්, ප්රසාරණය (26.6) ප්‍රමේය 26.2, 26.3 සහ 26.6 හි ප්‍රතිසමයන් තෘප්තිමත් කරයි. මේ අනුව, පහත ප්රමේයය ප්රමේයය 26.2 හි ප්‍රතිසමයකි.
ප්රමේයය 26.10. හුදකලා ඒකීය ලක්ෂ්යයZq - os (කාර්යයන්/(G) මෙම ලක්ෂ්යයේ සිදුරු සහිත අසල්වැසි ප්රදේශයක ලෝරන්ට් ප්‍රසාරණයට පෝරමය තිබේ නම් සහ පමණක් ඉවත් කළ හැකිය
ටී.එස්. නිවැරදි කොටස පමණක් සමන්විත වේ.
අපි දානවා /(oo) = සමශ්‍රේණිය (26.7) මගින් නිර්වචනය කරන ලද ශ්රිතය අසල්වැසි ප්‍රදේශයේ අභිසාරී වේ z > ආර්ලකුණු 2o \u003d oc, ලෙස හැඳින්වේ z ලක්ෂ්යයේ විශ්ලේෂණාත්මක o = oo. (මෙම නිර්වචනය ශ්රිතයේ විශ්ලේෂණතාවයට සමාන බව සලකන්න ජී(ඩබ්ලිව්) ලක්ෂ්යයේ wo = 0.)
උදාහරණය 26.11. ශ්රිතයේ ඒකීය ලක්ෂ්යය zq = oo විමර්ශනය කරන්න
සීමාව සීමිත බැවින්, එසේ නම් zo = oo යනු f(r) ශ්රිතයේ ඉවත් කළ හැකි ඒකීය ලක්ෂ්‍යයකි. අපි /(oo) = ලිම් දැම්මොත් J(z)= 0, එවිට f(z)බවට පත් වනු ඇත
ස්ථානයේ ටික් සෝ= os. අනුරූප ප්රසාරණය සොයා ගන්නේ කෙසේදැයි අපි පෙන්වමු (26.7). අපි විචල්‍යයට යමු w = 1 fz.ආදේශ කරනවා z= 1 /?e, අපට ලැබේ
(අවසාන සමානාත්මතාවය ww = 0 ලක්ෂ්යයේ සිදුරු සහිත අසල්වැසි ප්‍රදේශයේ වලංගු වේ, නමුත් අපි නිර්වචනය දිගු කරන්නෙමු (7(0) = 0) ප්රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන ශ්‍රිතයට ඒකීය ලක්ෂ්ය ඇත w =± i, w =-1/3, සහ ලක්ෂ්යයේ Wq = 0 විශ්ලේෂණාත්මක වේ. පුළුල් කිරීමේ කාර්යය G(w)අංශක වලින් w(උදාහරණ 25.7 හි සිදු කර ඇති පරිදි) සහ ලැබෙන බල ශ්‍රේණියට ආදේශ කිරීම w = 1/zකෙනෙකුට ශ්රිතයේ ප්රසාරණය (26.7) ලබා ගත හැක f(z)
නඩුව සඳහා ප්රමේයය 26.3 zo= oo පහත ආකාරයෙන් නැවත ලියනු ලැබේ.
ප්රමේයය 26.12. හුදකලා ඒකීය ලක්ෂ්‍යයයන්න = os f(z) ශ්රිතය ධ්රැවයක් වන්නේ ලෝරන්ට් ප්‍රසාරණයේ ප්රධාන කොටස නම් පමණි (26.6) සතුව ඇත්තේ ශුන්ය නොවන සංගුණක සීමිත සංඛ්යාවක් පමණිසමඟ":
මෙහි ශ්‍රේණිය නිත්‍ය කොටස වන අතර වරහන් කරන ලද බහුපද ප්‍රසාරණයේ ප්රධාන කොටස වේ. oc හි ධ්රැවයේ ගුණිතය ධ්රැවයේ ගුණය ලෙස අර්ථ දැක්වේ wq = 0 කාර්යයන් G(z).ධ්රැවයේ ගුණය සංඛ්‍යාව සමඟ සමපාත වන බව දැකීම පහසුය එන්තුළ (26.8).
Q p | (i 2 + 1) (z + 3) 2
කාර්යයක්. කාර්යය බව පෙන්වන්න f(z) =-- -- ඇතුලේ තියෙනවා
ලක්ෂ්යය zo =ඕ පෝල් ඇණවුම 3.
අත්යවශ්ය ඒකීය ලක්ෂ්යයක් මත ප්රමේයය 26.6 නඩුව සඳහා නැවත ලියා ඇත zo= os වාචිකව, අපි එය විස්තරාත්මකව වාසය නොකරමු.
ඒකීය ලක්ෂ්යය ගණිතය තුළ. 1) F සමීකරණය මගින් ලබා දෙන වක්‍රයේ ඒකීය ලක්ෂ්යය x, y) = 0, - ලක්ෂ්යය M 0 ( x 0, y 0), එහි F ශ්රිතයේ අර්ධ ව්‍යුත්පන්න දෙකම ( x, y) අතුරුදහන්: ඊට අමතරව, F ශ්රිතයේ සියලුම දෙවන අර්ධ ව්‍යුත්පන්නයන් නොවේ නම් ( x, y) ලක්ෂ්යයේ M 0 ශුන්‍යයට සමාන වේ, එවිට O. t. ද්විත්ව ලෙස හැඳින්වේ. M 0 ලක්ෂ්යයේ පළමු ව්‍යුත්පන්නයන් අතුරුදහන් වීමත් සමඟම, සියලුම දෙවන ව්‍යුත්පන්නයන් අතුරුදහන් වේ නම්, නමුත් සියලුම තුන්වන ව්‍යුත්පන්නයන් ශුන්‍යයට සමාන නොවේ නම්, O. t. ත්‍රිත්ව ලෙස හැඳින්වේ. ද්විත්ව O. t අසල වක්‍රයක ව්‍යුහය අධ්‍යයනය කරන විට, ප්‍රකාශනයේ ලකුණ මගින් වැදගත් කාර්යභාරයක් ඉටු කරයි. Δ > 0 නම්, O. t. හුදකලා ලෙස හැඳින්වේ; උදාහරණයක් ලෙස, වක්රය y 2 - x 4 + 4x 2= 0 මූලාරම්භය හුදකලා O. t. (බලන්න සහල්. එක
) Δ x 2 + y 2 + a 2) 2 - 4a 2 x 2 - a 4= 0 ඛණ්ඩාංකවල මූලාරම්භය Nodal O. t. (බලන්න සහල්. 2
) Δ = 0 නම්, O. t. වක්රය මෙම ලක්ෂ්යයේ දී වක්‍රයේ විවිධ ශාඛාවලට පොදු ස්පර්ශකයක් තිබීමෙන් හුදකලා හෝ සංලක්ෂිත වේ, උදාහරණයක් ලෙස: ස්පර්ශක සහ වක්‍රයක් වැනි ලක්ෂ්යයක් සාදන්න. y 2 - x 3= 0 (බලන්න සහල්. 3
, ඒ); b) 2 වන ආකාරයේ cusp - වක්‍රයේ විවිධ අතු වක්‍රයක් මෙන් පොදු ස්පර්ශකයේ එකම පැත්තේ පිහිටා ඇත
(y - x 2)2 - x 5= 0 (බලන්න සහල්. 3
, බී); ඇ) ස්වයං සම්බන්ධතා ලක්ෂ්යය (වක්‍රයක් සඳහා y 2 - x 4= 0 සම්භවය යනු ස්වයං සම්බන්ධතා ලක්ෂයකි; (සෙමී. සහල්. 3
, තුල). නිශ්චිත O. t. සමඟ තවත් බොහෝ O. t. විශේෂ නම් ඇත; උදාහරණයක් ලෙස, අසමමිතික ලක්ෂ්යයක් යනු අසීමිත හැරීම් සංඛ්යාවක් සහිත සර්පිලාකාරයේ අග්‍රයයි (රූපය 1 බලන්න). සහල්. හතර
), කඩන ලක්ෂ්යය, කෙළවර ලක්ෂ්යය, ආදිය. 2) අවකල සමීකරණයක ඒකීය ලක්ෂ්යයක් යනු අවකල සමීකරණයේ දකුණු පැත්තේ සංඛ්‍යා සහ හරය යන දෙකම එකවර අතුරුදහන් වන ලක්ෂ්‍යයකි (අවකල සමීකරණ බලන්න) මෙහි P සහ Q අඛණ්ඩව වෙනස් කළ හැකි ශ්‍රිත වේ. O. t. ඛණ්ඩාංකවල මූලාරම්භයේ පිහිටා ඇති බව උපකල්පනය කර ටේලර් සූත්රය භාවිතා කරමින් (ටේලර් සූත්රය බලන්න), අපට පෝරමයේ සමීකරණය (1) නිරූපණය කළ හැකිය. එහිදී P 1 ( x, y) සහ Q 1 ( x, y) සම්බන්ධයෙන් අනන්තය එනම්, λ 1 ≠ λ 2 සහ λ 1 λ 2 > 0 හෝ λ 1 = λ 2 නම්, O. t. යනු නෝඩයකි; නෝඩයේ ප්රමාණවත් තරම් කුඩා අසල්වැසි ලක්ෂ්ය හරහා ගමන් කරන සියලුම අනුකලිත වක්‍ර එයට ඇතුල් වේ. λ 1 ≠ λ 2 සහ λ 1 λ 2 i β, α ≠ 0 සහ β ≠ 0 නම්, O. t. අවධානය යොමු කරයි; නාභිගත වන ප්රමාණවත් තරම් කුඩා අසල්වැසි ප්රදේශයක ලක්ෂ්ය හරහා ගමන් කරන සියලුම අනුකලිත වක්‍ර නාභිගත වන ඕනෑම හිතුවක්කාර කුඩා අසල්වැසි ප්රදේශයක අසීමිත හැරීම් සංඛ්යාවක් සහිත සර්පිලාකාර වේ. අවසාන වශයෙන්, λ 1,2 = ± නම් මමβ, β ≠ 0, එවිට O. t. හි චරිතය P හි ප්‍රසාරණයේදී රේඛීය පද මගින් තීරණය නොවේ. x, y) සහ Q ( x, y), ඉහත සියලු අවස්ථාවන්හි සිදු වූ පරිදි; මෙහි O. t. නාභිගත කිරීමක් හෝ කේන්ද්‍රයක් විය හැකිය, නැතහොත් එය වඩාත් සංකීර්ණ චරිතයක් තිබිය හැක. මධ්යයේ අසල්වැසි ප්‍රදේශයේ, සියලුම අනුකලිත වක්‍ර වසා ඇති අතර ඒවායේ මධ්‍යස්ථානය අඩංගු වේ. එබැවින්, උදාහරණයක් ලෙස, ලක්ෂ්යය (0, 0) සමීකරණ සඳහා නෝඩයක් වේ හිදී" = 2u/x(λ 1 = 1, λ 2 = 2; බලන්න සහල්. 5
, a) සහ y" = u/x(λ 1 = λ 2 = 1; බලන්න සහල්. 5
, b), සමීකරණය සඳහා සෑදලයක් y" = -y/x(λ 1 = -1, λ 2 = 1 ; සෙමී. සහල්. 6
), සමීකරණය සඳහා අවධානය යොමු කිරීම y" =(x + y) /
(x - y) (λ 1 = 1 - මම, λ 2 = 1 + මම; සෙමී. සහල්. 7
) සහ සමීකරණය සඳහා කේන්ද්රය y" = -x / y(λ 1 = -මම, λ 2 = මම; සෙමී. සහල්. අට
). x, y) සහ Q ( x, y) විශ්ලේෂණාත්මක වේ, O. t. ඉහළ අනුපිළිවෙලෙහි අසල්වැසි ප්රදේශය කලාපවලට බෙදිය හැකිය: D 1 - සමෝධානික වක්‍ර වලින් පුරවා ඇත, O. t. (ඉලිප්සාකාර කලාප) ඇතුළු වන අන්ත දෙකම (ඉලිප්සාකාර කලාප), D 2 - අනුකලිත වක්‍ර වලින් පිරී ඇත, O. t. (පරාබෝල කලාප) වෙත ඇතුළු වන එක් කෙළවරක්, සහ D 3 - O. t. හි ඇතුළත් අනුකලිත වක්‍ර දෙකකින් සීමා වූ කලාප, ඒවා අතර හයිපර්බෝලා (හයිපර්බෝලික් කලාප) වර්ගයේ සමෝධානික වක්‍ර ඇත (බලන්න. සහල්. 9
) O. ලක්ෂ්‍යයකට ඇතුල් වන අනුකලිත වක්‍ර නොමැති නම්, O. ලක්ෂ්යය ස්ථායී ආකාරයේ ලක්ෂ්යයක් ලෙස හැඳින්වේ. ස්ථායී O. t. හි අසල්වැසි ප්රදේශය සමන්විත වන්නේ තමන් තුළම O. t අඩංගු සංවෘත සමෝධානික වක්‍ර වලින් වන අතර ඒවා අතර සර්පිලාකාර පිහිටා ඇත (රූපය 1 බලන්න. සහල්. දහය
). O. t. අවකල සමීකරණ අධ්‍යයනය, එනම්, සාරය වශයෙන්, O. t. M. Lyapunov a, A. Poincaré සහ වෙනත් අයගේ අසල්වැසි ප්රදේශයක සමෝධානික වක්‍රවල පවුල්වල හැසිරීම් අධ්‍යයනය කිරීම). 3) තනි අගයක් සහිත විශ්ලේෂණ ශ්‍රිතයක ඒකීය ලක්ෂ්යයක් යනු ශ්රිතයේ විශ්ලේෂනය උල්ලංඝනය වන ලක්ෂ්‍යයකි (විශ්ලේෂණ ශ්‍රිත බලන්න). O. t හි අසල්වැසි ප්රදේශයක් තිබේ නම්. ඒ, වෙනත් O. t වලින් නිදහස්, පසුව කාරණය ඒහුදකලා O. t. නම් ලෙස හැඳින්වේ ඒහුදකලා O.T. සහ එහි පවතින සීමිත O.T. ඉවත් කළ හැකි O.T ලෙස හැඳින්වේ. a ලක්ෂ්යයේ ශ්රිතයේ නිර්වචනය සුදුසු පරිදි වෙනස් කිරීමෙන් (හෝ මෙම අවස්ථාවේදී එය නැවත අර්ථ දැක්වීම, ශ්රිතය එහි කිසිසේත් අර්ථ දක්වා නොමැති නම්), එනම්, සැකසීම f(ඒ)= ආ, එය සාක්ෂාත් කර ගැනීමට හැකි ය ඒනිවැරදි කරන ලද කාර්යයේ සාමාන්ය ලක්ෂ්යයක් බවට පත්වනු ඇත. උදාහරණයක් ලෙස, තිත් z= 0 යනු f 1 ශ්රිතය සඳහා ඉවත් කළ හැකි O.T. z) = f(z), නම් z≠ 0, සහ f 1(0),=1, තිත z= 0 යනු සාමාන්ය ලක්ෂ්‍යයකි [ f 1 (z) ලක්ෂ්යයේ විශ්ලේෂණාත්මක වේ z= 0]. අ ඒ- හුදකලා O. t. සහ a යනු ශ්රිතයේ ධ්රැවයක් හෝ අත්යවශ්යයෙන්ම ඒකීය ලක්ෂ්යයක් ලෙස හැඳින්වේ. f(z), Laurent මාලාව නම්) ක්රියා කරයි f(z) හුදකලා O. t හි අසල්වැසි ප්රදේශයක සෘණ බලයන් අඩංගු නොවේ z - a, නම් ඒ- ඉවත් කළ හැකි O. t., සෘණ බල සීමිත සංඛ්යාවක් අඩංගු වේ z - a, නම් ඒ- පොල්ල (මෙම අවස්ථාවේදී, ධ්රැවයේ අනුපිළිවෙල ආර් a හි ඉහළම බලය ලෙස අර්ථ දැක්වේ - අත්යවශ්යයෙන්ම ඒකීය ලක්ෂ්‍යයකි. උදාහරණයක් ලෙස, කාර්යය සඳහා තිත z= 0 යනු ඇණවුමේ ධ්රැවය වේ ආර්, කාර්යය සඳහා තිත z= 0 යනු අත්යවශ්ය ඒකීය ලක්ෂ්‍යයකි. බල ශ්‍රේණියක අභිසාරී කවයේ මායිමෙහි දී ඇති බල ශ්‍රේණිය මඟින් මෙම කවය තුළ නියෝජනය වන ශ්රිතයේ අවම වශයෙන් O. t. එකක්වත් තිබිය යුතුය. තනි අගයක් සහිත විශ්ලේෂණ ශ්‍රිතයක (ස්වාභාවික මායිම) පැවැත්මේ වසමේ සියලුම මායිම් ලක්ෂ්ය මෙම ශ්රිතයේ මායිම් ලක්ෂ්ය වේ. මේ අනුව, ඒකක කවයේ සියලුම ලක්ෂ්ය | z| = 1 ශ්‍රිතයට විශේෂ වේ බහු-වටිනා විශ්ලේෂණ ශ්රිතයක් සඳහා, "O. ටී." වඩා දුෂ්කර. O. t. වලට අමතරව, ශ්‍රිතයක Riemann පෘෂ්ඨයේ තනි පත්‍රවල (එනම්, තනි අගය සහිත විශ්ලේෂණ මූලද්‍රව්‍යවල O. t.), ඕනෑම ශාඛා ලක්ෂ්යයක් ශ්රිතයේ O. t. ද වේ. රීමන් මතුපිටක හුදකලා ශාඛා ලක්ෂ්ය (එනම්, ඒවායේ සමහර අසල්වැසි ප්‍රදේශවල කිසිදු පත්‍රයක වෙනත් O.t. ශ්‍රිත නොමැති ශාඛා ලක්ෂ්ය) පහත පරිදි වර්ග කර ඇත. a යනු පරිමිත අනුපිළිවෙලෙහි හුදකලා ශාඛා ලක්ෂ්යයක් නම් සහ පරිමිත a පවතී නම්, එය විවේචනාත්මක ධ්රැවයක් ලෙස හැඳින්වේ. අ ඒඅසීමිත අනුපිළිවෙලෙහි හුදකලා ශාඛා ලක්ෂ්යයක් වන අතර, a යනු පාරභෞතික O. t ලෙස හැඳින්වේ. අනෙකුත් සියලුම හුදකලා ශාඛා ලක්ෂ්ය විවේචනාත්මක අත්යවශ්යයෙන්ම ඒකීය ලක්ෂ්ය ලෙස හැඳින්වේ. උදාහරණ: dot z= 0 යනු f ශ්රිතයේ සාමාන්ය තීරණාත්මක ලක්ෂ්‍යයකි. z) = ලඝු-සටහන zසහ ශ්රිතයේ තීරණාත්මක අත්යවශ්ය ඒකීය ලක්ෂ්යයක් f (z) = පාප සටහන z. ඕනෑම O. t., ඉවත් කළ හැකි එකක් හැර, විශ්ලේෂණාත්මක අඛණ්ඩ පැවැත්මට බාධාවක් වේ, එනම්, ඉවත් කළ නොහැකි O. t. හරහා ගමන් කරන වක්‍රයක් ඔස්සේ විශ්ලේෂණාත්මක අඛණ්ඩ පැවැත්ම කළ නොහැකි ය. මහා සෝවියට් විශ්වකෝෂය. - එම්.: සෝවියට් විශ්වකෝෂය.
1969-1978
.
p = 2, 3, ...)
වෙනත් ශබ්ද කෝෂවල "විශේෂ ලක්ෂ්යය" යනු කුමක්දැයි බලන්න:
මෙහි කරුණු. ඒකීය ලක්ෂ්යය (අවකල සමීකරණ) ද බලන්න. ගණිතයේ ලක්ෂණයක් හෝ ඒකීයත්වයක් යනු ගණිතමය වස්තුවක් (සාමාන්‍යයෙන් ශ්රිතයක්) අර්ථ දක්වා නොමැති හෝ අක්‍රමවත් හැසිරීමක් ඇති ලක්ෂ්‍යයකි (උදාහරණයක් ලෙස, ... ... විකිපීඩියා
විශ්ලේෂණ ශ්රිතයක් යනු විශ්ලේෂණ කොන්දේසි උල්ලංඝනය වන ලක්ෂ්‍යයකි. විශ්ලේෂණ ශ්රිතයක් f(z) සෑම තැනකම z0 ලක්ෂ්යයේ කිසියම් අසල්වැසි ප්රදේශයක අර්ථ දක්වා තිබේ නම් ... භෞතික විශ්වකෝෂය
විශ්ලේෂණ ශ්රිතයක් යනු ශ්‍රිතයක විශ්ලේෂණතාව උල්ලංඝනය වන ලක්ෂ්‍යයයි ... විශාල විශ්වකෝෂ ශබ්දකෝෂය
ඒකීය ලක්ෂ්යය- - [Ya.N. Luginsky, M.S. Fezi Zhilinskaya, Yu.S. Kabirov. ඉංග්‍රීසි රුසියානු විදුලි ඉංජිනේරු සහ බල කර්මාන්ත ශබ්දකෝෂය, මොස්කව්, 1999] විදුලි ඉංජිනේරු මාතෘකා, මූලික සංකල්ප EN ඒකීය ලක්ෂ්යය ... තාක්ෂණික පරිවර්තකයාගේ අත්පොත
1) f(z) විශ්ලේෂණ ශ්‍රිතයක OT යනු සංකීර්ණ විචල්‍යයක f(z) ශ්රිතයේ මූලද්‍රව්‍යයක් මෙම විචල්‍යයේ තලයේ යම් මාර්ගයක් ඔස්සේ විශ්ලේෂණාත්මකව අඛණ්ඩව පවත්වාගෙන යාමට බාධාවකි. විශ්ලේෂණ ශ්රිතය f(z) සමහරක් විසින් අර්ථ දැක්වීමට ඉඩ දෙන්න ... ... ගණිතමය විශ්වකෝෂය
විශ්ලේෂණ ශ්රිතයක්, ශ්රිතයේ විශ්ලේෂනය උල්ලංඝනය වන ලක්ෂ්යය. * * * ඒකීය ලක්ෂ්යය විශ්ලේෂණ ශ්‍රිතයක ඒකීය ලක්ෂ්යයක්, ශ්රිතයේ විශ්ලේෂණතාව උල්ලංඝනය වන ලක්ෂ්යයක් ... විශ්වකෝෂ ශබ්දකෝෂය
ඒකීය ලක්ෂ්යය- ypatingasis taškas statusas T sritis automatika atitikmenys: engl. ඒකීය ලක්ෂ්යය vok. ඒකවචනය Punkt, m rus. ඒකීය ලක්ෂ්යය, fpranc. ලක්ෂ්ය අංශුව, m; ලක්ෂ්ය singulier, m … Automatikos terminų žodynas
ටේලර් ශ්‍රේණි zol කවයේ විශ්ලේෂණාත්මක ශ්‍රිත අධ්‍යයනය කිරීම සඳහා ඵලදායී මෙවලමක් ලෙස සේවය කරයි වළයාකාර කලාපයක විශ්ලේෂණාත්මක ශ්‍රිත අධ්‍යයනය කිරීම සඳහා, ධන සහ ඍණ බලවල (z - zq) ප්රසාරණය ගොඩනැගිය හැකි බව පෙනී යයි. ටේලර් ව්‍යාප්තිය සාමාන්‍යකරණය කරන ආකෘතිය. ශ්‍රේණි දෙකක එකතුවක් ලෙස තේරුම් ගත් ශ්‍රේණි (1) ලෝරන්ට් ශ්‍රේණිය ලෙස හැඳින්වේ. ශ්‍රේණියේ අභිසාරී කලාපය (1) යනු එක් එක් ශ්‍රේණියේ (2) අභිසාරී කලාපවල පොදු කොටස බව පැහැදිලිය. අපි ඇයව සොයා ගනිමු. පළමු ශ්‍රේණියේ අභිසාරී ප්රදේශය කවයක් වන අතර එහි අරය Cauchy-Hadamard සූත්රය මගින් තීරණය කරනු ලැබේ අභිසාරී කවය ඇතුළත, ශ්‍රේණි (3) විශ්ලේෂණාත්මක ශ්‍රිතයකට අභිසාරී වන අතර කුඩා අරය ඇති ඕනෑම කවයක එය නිරපේක්ෂ වශයෙන් අභිසාරී වේ. සහ ඒකාකාරව. දෙවන ශ්‍රේණිය විචල්‍යයට අදාළව බල ශ්‍රේණියකි.(5) ශ්‍රේණිය එහි අභිසාරී කවය තුළ m-*oo සංකීර්ණ විචල්‍යයේ විශ්ලේෂණ ශ්‍රිතයට අභිසාරී වන අතර කුඩා අරය ඇති ඕනෑම කවයක එය නිරපේක්ෂ සහ ඒකාකාරව අභිසාරී වේ. එනම් ශ්‍රේණියේ අභිසාරී කලාපය (4) යනු රවුමේ පෙනුමයි - එසේ නම් (3) සහ (4) ශ්‍රේණියේ අභිසාරී පොදු කලාපයක් තිබේ නම් - (1) ශ්‍රේණිය අභිසාරී වන වෘත්තාකාර වළල්ලකි. විශ්ලේෂණ කාර්යයකට. එපමණක් නොව, ඕනෑම වළල්ලක එය නිරපේක්ෂ හා ඒකාකාරව අභිසාරී වේ. උදාහරණ 1. rad Laurent ශ්‍රේණියේ අභිසාරී කලාපය නිර්ණය කරන්න හුදකලා ඒකීය ලක්ෂ්ය සහ වෘත්තාකාර වළල්ලක තනි අගයක් ඇති සහ නිර්පාක්ෂික වන ඒවායේ වර්ගීකරණය (z), මෙම වළල්ලේ සංගුණක ඇති අභිසාරී ශ්‍රේණියක එකතුව ලෙස නිරූපණය කළ හැකිය. Cn අද්විතීය ලෙස නිර්ණය කර ගණනය කරනු ලබන්නේ 7p යනු m අරය කවයක් වන සූත්ර මගින්ය අපි r0 ලක්ෂ්යයේ කේන්ද්‍ර සහිත කව ගොඩනඟමු, එහි අරය අසමානතාවයන් තෘප්තිමත් කර නව වළල්ලක් සලකා බලමු. ගුණිත සම්බන්ධිත වසමක් සඳහා Cauchy අනුකලිත ප්‍රමේයයට අනුව, අපි එකතුවෙහි (8) එක් එක් අනුකලනය වෙන වෙනම පරිවර්තනය කරමු. 7d* කවය දිගේ ඇති සියලුම ලක්ෂ්ය සඳහා, ඒකාකාර අභිසාරී ශ්‍රේණි 1 1 හි එකතුවෙහි සම්බන්ධතාවය සෑහීමකට පත්වේ. එබැවින්, ^ කොටස vi- /" / රවුමේ ඇති සියලුම ලක්ෂ්ය සඳහා ir> සම්බන්ධතාවයෙන් නිරූපණය කළ හැක. සෑහීමකට පත්වේ එබැවින්, ^ කොටස සූත්‍රවල (10) සහ (12) ඒකාකාර අභිසාරී ශ්‍රේණියක එකතුව ලෙස නිරූපණය කළ හැකිය වෘත්තාකාර වළල්ලක විශ්ලේෂණ ශ්‍රිත වේ. එබැවින්, Cauchy ප්රමේයය මගින්, 7/r සහ 7r/ යන කවයන් කිසියම් වෘත්තයකින් ප්‍රතිස්ථාපනය කළහොත්, අනුරූප අනුකලකවල අගයන් වෙනස් නොවේ. මෙය අපට සූත්ර (10) සහ (12) ඒකාබද්ධ කිරීමට ඉඩ සලසයි.(8) සූත්‍රයේ දකුණු පස ඇති අනුකලයන් පිළිවෙලින් ඒවායේ ප්‍රකාශන (9) සහ (11) සමඟ ප්‍රතිස්ථාපනය කිරීමෙන් අපි අපේක්ෂිත ප්රසාරණය ලබා ගනිමු. z අත්තනෝමතික බැවින් වළල්ලේ ලක්ෂ්යය, එය අනුගමනය කරන්නේ (14) ශ්‍රේණිය මෙම වළල්ලේ සෑම තැනකම f(z) ශ්‍රිතයට අභිසාරී වන අතර ඕනෑම වළල්ලකදී ශ්‍රේණිය මෙම ශ්‍රිතයට නිරපේක්ෂව හා ඒකාකාරව අභිසාරී වන බවයි. (6) ආකෘතියේ වියෝජනය අද්විතීය බව අපි දැන් ඔප්පු කරමු. තවත් එක් විසංයෝජනයක් සිදුවේ යැයි උපකල්පනය කරන්න, එවිට R වලල්ල ඇතුළත සෑම තැනකම, අපට පරිධිය මත, ශ්‍රේණිය (15) ඒකාකාරව අභිසාරී වේ. සමානාත්මතාවයේ දෙපැත්තම ගුණ කරන්න (මෙහිදී m යනු ස්ථාවර නිඛිලයක් වන අතර, පදය අනුව ශ්‍රේණි දෙකම අනුකලනය කරන්න. ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, අපි වම් පැත්තටත්, දකුණු පැත්තටත් - Csh. මේ අනුව, (4, \u003d St. m යනු අත්තනෝමතික සංඛ්යාවක් බැවින්, අවසාන සමානතා ශ්‍රේණිය (6), සූත්ර (7) මගින් ගණනය කරනු ලබන සංගුණක, සංගුණක සඳහා වළල්ලේ f(z) ශ්රිතයේ Laurent ශ්‍රේණිය ලෙස හැඳින්වේ. Laurent ශ්‍රේණි ප්‍රායෝගිකව භාවිතා වන්නේ කලාතුරකිනි, මන්ද, රීතියක් ලෙස, ඒවාට අපහසු ගණනය කිරීම් අවශ්ය වේ.සාමාන්‍යයෙන්, හැකි නම්, ප්‍රාථමික ශ්‍රිතවල සූදානම් කළ ටේලර් ප්රසාරණය භාවිතා වේ.ප්‍රසාරණයේ සුවිශේෂත්වය මත පදනම්ව, ඕනෑම නීත්‍යානුකූල ක්රමයක් එකම දෙයකට යොමු කරයි. නිදසුන 2 Fuiscija /(z) ට ඒකීය ලක්ෂ්ය දෙකක් ඇතැයි උපකල්පනය කරමින් විවිධ වසම්වල ශ්‍රිතවල Laurent ශ්‍රේණි ප්රසාරණය සලකා බලන්න: එබැවින්, ring domains තුනක් ඇත. සහ, ලක්ෂ්යයේ කේන්ද්‍රගතව r = 0. ඒ සෑම එකක් තුළම f(r) ශ්රිතය විශ්ලේෂණාත්මක වේ: a) රවුම රවුමේ බාහිරය (රූපය 27). අපි මෙම එක් එක් කලාපය තුළ /(z) ශ්රිතයේ ලෝරන්ට් ප්රසාරණය සොයා ගනිමු. අපි /(z) මූලික භාගවල එකතුවක් ලෙස නිරූපණය කරමු a) කව පරිවර්තන සම්බන්ධතාවය (16) පහත පරිදි ජ්‍යාමිතික ප්‍රගතියක නියමවල එකතුව සඳහා සූත්රය භාවිතා කරමින්, අපි ලබා ගනිමු b) |z| සඳහා j^j ශ්රිතය සඳහා ශ්‍රේණි (19) සිට -z ශ්රිතය සඳහා වන මුද්ද මෙම වළල්ලේ අභිසාරීව පවතී. > 1 අපසරනය. එබැවින්, අපි පහත පරිදි /(z) ශ්රිතය පරිවර්තනය කරමු: (19) සූත්රය නැවත යෙදීමෙන්, මෙම ශ්‍රේණිය අභිසාරී වන බව අපි ලබා ගනිමු. ප්රසාරණය (18) සහ (21) සම්බන්ධය (20) වෙත ආදේශ කිරීමෙන්, අපි ලබා ගනිමු c) |z | සමඟ -z ශ්රිතය සඳහා රවුමේ බාහිරත්වය > 2 අපසරනය, සහ ශ්‍රේණිය (21) ශ්රිතය සඳහා අපි පහත දැක්වෙන ආකාරයෙන් /(z) ශ්රිතය නියෝජනය කරමු: /<*> සූත්ර (18) සහ (19) භාවිතා කරමින්, අපි OR 1 ලබා ගනිමු, මෙම උදාහරණය පෙන්නුම් කරන්නේ එකම ශ්රිතය f(z) සඳහා ලෝරන්ට් ප්රසාරණය, සාමාන්‍යයෙන් කථා කිරීම, විවිධ මුදු සඳහා වෙනස් ස්වරූපයක් ඇති බවයි. උදාහරණය 3. Laurent ශ්‍රේණියේ 8 Laurent ශ්‍රේණියේ විසංයෝජනය සොයන්න Laurent ශ්‍රේණියේ හුදකලා ඒකීය ලක්ෂ්ය සහ වළයාකාර කලාපයේ ඒවායේ වර්ගීකරණය A අපි f (z) ශ්රිතයේ නිරූපණය පහත ආකාරයෙන් භාවිතා කරමු: සහ දෙවන පදය භාවිතා කරමින් පරිවර්තනය කරන්න. ජ්‍යාමිතික ප්‍රගතියක නියමවල එකතුව සඳහා සූත්රය, අපි සොයාගත් ප්‍රකාශන සූත්‍රයට (22) ආදේශ කරමින් ලබා ගනිමු, අපට උදාහරණ 4 ඇත. සිහින් zq = 0 අසල්වැසි ප්‍රදේශයේ ලෝරන්ට් ශ්‍රේණියක ශ්රිතය පුළුල් කරන්න. ඕනෑම සංකීර්ණ එකක් සඳහා , අපට ඉඩ මෙම ප්රසාරණය ඕනෑම ලක්ෂ්යයක් සඳහා වලංගු වේ z Ф 0. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, වළයාකාර කලාපය යනු එක් ලක්ෂ්යයක් සහිත සම්පූර්ණ සංකීර්ණ තලයයි - 0. මෙම කලාපය පහත සම්බන්ධතාවය මගින් අර්ථ දැක්විය හැක: මෙම ශ්රිතය විශ්ලේෂණාත්මක වේ. කලාපය තුළ ලෝරන්ට් ශ්‍රේණියේ සංගුණක සඳහා සූත්ර (13) වෙතින්, පෙර ඡේදයේ ඇති එකම තර්කයෙන්, කෙනෙකුට Kouiw අසමානතා ලබා ගත හැකිය. F(z) ශ්රිතය කවයක් මත මායිම් කර ඇත්නම්, M යනු නියතයකි), එවිට හුදකලා ඒකීය ලක්ෂ්ය A ලක්ෂ්යය f(z) ශ්රිතයේ හුදකලා ඒකීය ලක්ෂ්යයක් ලෙස හැඳින්වේ නම් ලක්ෂ්යයේ වළයාකාර අසල්වැසි ප්රදේශයක් පවතී නම් ( මෙම කට්ටලය සමහර විට 2o ලක්ෂ්යයේ සිදුරු අසල්වැසි ලෙසද හැඳින්වේ, එහිදී f(z) ශ්රිතය තනි අගයක් සහ විශ්ලේෂණාත්මක වේ. zo ලක්ෂ්‍යයේදීම, ශ්රිතය අර්ථ දක්වා නැත, නැතහොත් තනි අගයක් සහ විශ්ලේෂණාත්මක නොවේ. zo ලක්ෂ්යයට ළඟා වන විට /(z) ශ්රිතයේ හැසිරීම අනුව ඒකීය ලක්ෂ්ය වර්ග තුනක් වෙන්කර හඳුනාගත හැකිය. හුදකලා ඒකීය ලක්ෂ්යයක් ලෙස හැඳින්වේ: 1) පරිමිතයක් තිබේ නම් ඉවත් කළ හැකි 2) pmusach නම් 3) f(z) ශ්‍රිතයට සීමාවක් නොමැති නම් අත්යවශ්යයෙන්ම ඒකීය ලක්ෂ්‍යයකි. ප්රමේයය 16. f(z) ශ්‍රිතයක හුදකලා ඒකීය ලක්ෂ්යයක් z0 ඉවත් කළ හැකි ඒකීය ලක්ෂ්යයක් වන්නේ zo ලක්ෂ්යයේ අසල්වැසි ස්ථානයක f(z) ශ්රිතයේ ලෝරන්ට් ප්රසාරණය ප්රධාන කොටසක් අඩංගු නොවේ නම් සහ නම් පමණි, එනම්. Let zo ආකෘතිය ඇත - ඉවත් කළ හැකි ඒකවචන ලක්ෂ්යය. එවිට පරිමිත එකක් පවතින අතර, එබැවින් f(z) ශ්රිතය r ලක්ෂ්යයේ ප්‍රොකොලොජිකල් අසල්වැසි ප්‍රදේශයකට සීමා වේ. අපි Cauchy අසමානතාවයන් අනුව සකසන්නෙමු p ලෙස අත්තනෝමතික ලෙස කුඩා ලෙස තෝරා ගත හැකි බැවින්, පසුව සියලු සංගුණක සෘණ බල (z - 20) ශුන්‍යයට සමාන වේ: ප්‍රතිවිරුද්ධව, zq ලක්ෂ්යයේ අසල්වැසි ප්රදේශයක /(r) ශ්රිතයේ ප්රසාරණය ලෝරන්ට්ට ඉඩ දෙන්න, නිවැරදි කොටස පමණක් අඩංගු වේ, එනම් එයට පෝරමය (23) ඇත, එබැවින් , ටේලර් ය. z -* z0 සඳහා /(r) ශ්‍රිතයට සීමා අගයක් ඇති බව දැකීම පහසුය: ප්රමේයය 17. f(z) ශ්රිතයේ හුදකලා ඒකීය ලක්ෂ්ය zq ඉවත් කළ හැක්කේ J(z) ශ්රිතය නම් සහ පමණි. zq ලක්ෂ්යයේ යම් සිදුරු සහිත අසල්වැසි ප්‍රදේශයකට සීමා වී ඇත, Zgmechai නොවේ. r0 f(r) හි ඉවත් කළ හැකි ඒකීය ලක්ෂ්යයක් වේවා. අපි හිතමු f(r) ශ්රිතය th ලක්ෂ්යයේ කේන්ද්‍ර කරගත් යම් කවයක විශ්ලේෂණාත්මක බව. මෙය ලක්ෂ්යයේ නම නිර්වචනය කරයි - ඉවත දැමිය හැකි. ප්රමේයය 18. f(z) ශ්‍රිතයක හුදකලා ඒකීය ලක්ෂ්යයක් zq ධ්රැවයක් වන්නේ ලක්ෂ්යයේ අසල්වැසි ස්ථානයක f(z) ශ්රිතයේ ලෝරන්ට් ප්‍රසාරණයේ ප්රධාන කොටසේ සීමිත (සහ ධන) සංඛ්යාවක් තිබේ නම් සහ පමණි. ශුන්ය නොවන පදවල, එනම්, පෝරමය 4 ඇත, z0 ධ්රැවයක් වේවා. එතැන් සිට f(z) ශ්රිතය විශ්ලේෂණාත්මක සහ ශුන්ය නොවන z0 ලක්ෂ්යයේ සිදුරු සහිත අසල්වැසි ප්රදේශයක් පවතී. එවිට මෙම අසල්වැසි ප්‍රදේශයේ විශ්ලේෂණ ශ්රිතයක් අර්ථ දක්වා ඇති අතර, එබැවින්, zq ලක්ෂ්යය ශ්රිතයේ ඉවත් කළ හැකි ඒකීය ලක්ෂ්යයක් (ශුන්ය) හෝ h(z) විශ්ලේෂණ ශ්රිතයක් වන විට, h(z0) ∩ 0. අසල්වැසි ස්ථානයක විශ්ලේෂණාත්මක වේ. zq ලක්ෂ්යයේ, සහ එහෙයින්, අපි එය ලබා ගන්නේ කොතැනින්ද යන්න අපි දැන් උපකල්පනය කරමු f(z) ශ්රිතය zo ලක්ෂ්යයේ සිදුරු සහිත අසල්වැසි ප්රදේශයක (24) ආකෘතියේ වියෝජනයක් ඇති බව. මෙයින් අදහස් කරන්නේ මෙම අසල්වැසි ස්ථානයේ f(z) ශ්රිතය ශ්රිතය සමඟ විශ්ලේෂණාත්මක වන බවයි. g(z) ශ්රිතය සඳහා ප්රසාරණය වලංගු වන අතර එයින් පැහැදිලි වන්නේ zq යනු g(z) ශ්රිතයේ ඉවත් කළ හැකි ඒකීය ලක්ෂ්යයක් බවත් පවතින බවත් එවිට ශ්රිතය 0 ට නැඹුරු වේ - ශ්රිතයේ ධ්රැවය තවත් සරල එකක් ඇත. ඇත්ත. Zq ලක්ෂ්යය f(z) ශ්රිතයේ ධ්රැවයක් වේ නම් සහ g(z) = y ශ්රිතය g(z0) = 0 ලෙස සැකසීමෙන් zq ලක්ෂ්යයේ අසල්වැසි ප්රදේශයක විශ්ලේෂණ ශ්රිතයක් දක්වා දීර්ඝ කළ හැකි නම් පමණි. අනුපිළිවෙල f(z) ශ්රිතයේ ධ්රැවයේ jfa ශ්රිතයේ ශුන්ය අනුපිළිවෙල ලෙස හැඳින්වේ. 16 සහ 18 න්‍යායන් පහත ප්‍රකාශය ගම්‍ය කරයි. ප්රමේයය 19. මෙම ලක්ෂ්යයේ සිදුරු සහිත අසල්වැසි ප්රදේශයක ලෝරන්ට් ප්‍රසාරණයේ ප්රධාන කොටස අනන්තවත් ශුන්ය නොවන පද අඩංගු වන්නේ නම් සහ හුදකලා වූ ඒකීය සිහින් අත්යවශ්යයෙන්ම ඒකීය වේ. උදාහරණ 5. ශ්රිතයේ ඒකවචන ලක්ෂ්යය zo = 0 වේ. අපට Laurent Series Isolated singular points ඇති අතර ඒවායේ වර්ගීකරණය නිසා zo = 0 යනු ඉවත් කළ හැකි ඒකීය ලක්ෂ්‍යයකි. ශුන්ය ලක්ෂ්යය ආසන්නයේ ලෝරන්ට් ශ්‍රේණියේ /(z) ශ්රිතයේ ප්‍රසාරණයේ අඩංගු වන්නේ නිවැරදි කොටස පමණි: උදාහරණ7. f(z) = f(z) ශ්රිතයේ ඒකීය ලක්ෂ්යය zq = 0 වේ. මෙම ශ්රිතයේ තාත්වික සහ මනඃකල්පිත අක්ෂවල හැසිරීම සලකා බලන්න: තාත්වික අක්ෂය x 0 හිදී, මනඃකල්පිත අක්ෂය මත එබැවින්, පරිමිත හෝ නැත. z -* 0 හි f(z) අනන්ත සීමාව නොපවතී. එබැවින් r0 = 0 ලක්ෂ්යය f(z) ශ්රිතයේ අත්යවශ්යයෙන්ම ඒකීය ලක්ෂ්‍යයකි. අපි ශුන්ය ලක්ෂ්යයේ අසල්වැසි ස්ථානයක f(z) ශ්රිතයේ Laurent ප්රසාරණය සොයා ගනිමු. ඕනෑම සංකීර්ණ C සඳහා අපි සකසා ඇත. එවිට ලෝරන්ට් ප්‍රසාරණයෙහි z සෘණ බලය සහිත පද අනන්ත සංඛ්යාවක් අඩංගු වේ.
අර්ථ දැක්වීම.ශ්රිතයේ ඒකීය ලක්ෂ්යය ලෙස හැඳින්වේ හුදකලා, මෙම ලක්ෂ්යයේ යම් ප්රදේශයක විශ්ලේෂණ ශ්රිතයක් නම් (එනම්, වළල්ලේ විශ්ලේෂණාත්මක).
ශ්‍රිතයක හුදකලා ඒකීය ලක්ෂ්ය වර්ගීකරණය තනි ලක්ෂ්‍යයක අසල්වැසි ප්රදේශයක මෙම ශ්රිතයේ හැසිරීම හා සම්බන්ධ වේ.
අර්ථ දැක්වීම.ලක්ෂ්යය ලෙස හැඳින්වේ ඉවත දැමිය හැකි හිදී මෙම ශ්රිතයේ සීමිත සීමාවක් තිබේ නම් ශ්‍රිතයක ඒකීය ලක්ෂ්‍යයකි.
උදාහරණ 5ලක්ෂ්‍යයක දී ශ්‍රිතයට ඉවත් කළ හැකි ඒකීයත්වයක් ඇති බව පෙන්වන්න.
විසඳුමක්.පළමු කැපී පෙනෙන සීමාව සිහිපත් කරමින්, අපි ගණනය කරමු
මෙයින් අදහස් කරන්නේ දී ඇති ශ්‍රිතයට ලක්ෂ්යයේ ඉවත් කළ හැකි ඒකීයත්වයක් ඇති බවයි.
කාර්යය 4.ලක්ෂ්යය සඳහා ඉවත් කළ හැකි බව පෙන්වන්න.
අර්ථ දැක්වීම.ලක්ෂ්යය ලෙස හැඳින්වේ පොල්ල ශ්රිතය සඳහා මෙම ශ්රිතය දින නියමයක් නොමැතිව වැඩි වේ නම්, එනම් .
විශ්ලේෂණ ශ්‍රිතයක ශුන්ය සහ ධ්රැවය යන සංකල්ප අතර සම්බන්ධය කෙරෙහි අවධානය යොමු කරමු. ලෙස ශ්රිතය නිරූපණය කරමු.
ලක්ෂ්යයක් ශ්‍රිතයක සරල ශුන්යයක් නම්, ශ්‍රිතයට සරල ධ්රැවයක් ඇත
ලක්ෂ්යය ශ්රිතය සඳහා ශුන්ය අනුපිළිවෙල නම්, ශ්රිතය සඳහා එය ධ්රැවය වේ නියෝග.
උදාහරණය 6ශ්‍රිතයට ලක්ෂ්‍යයක තුන්වන අනුපිළිවෙලක් ඇති බව පෙන්වන්න.
විසඳුමක්.උපකල්පනය කිරීම, අපට ලැබේ. අපි ශුන්‍යයට නැඹුරු වන විට, ඕනෑම නීතියකට අනුව, අපට . එවිට , සහ ඒ සමඟම ශ්රිතය දින නියමයක් නොමැතිව වැඩි වේ. එබැවින්, එනම්, ඒකීය ලක්ෂ්යය ධ්රැවයකි. ශ්රිතයක් සඳහා, මෙම ලක්ෂ්යය පැහැදිලිවම ත්‍රිත්ව ශුන්‍යයකි. එබැවින්, මෙම කාර්යය සඳහා, ලක්ෂ්යය තුන්වන අනුපිළිවෙලෙහි ධ්රැවයකි.
කාර්යය 5.ලක්ෂ්යයට සරල ධ්රැවයක් ඇති බව පෙන්වන්න.
අර්ථ දැක්වීම.ලක්ෂ්යය ලෙස හැඳින්වේ අත්යවශ්යයෙන්ම විශේෂ ශ්රිතයේ ලක්ෂ්යය මෙම අවස්ථාවේදී ශ්රිතයේ පරිමිත හෝ අසීමිත සීමාවක් නොමැති නම් (ශ්රිතයේ හැසිරීම අර්ථ දක්වා නැත).
ශ්රිතයේ අත්යවශ්ය ඒකීය ලක්ෂ්යයක් වීමට ඉඩ දෙන්න. එවිට ඕනෑම පෙර පවරන ලද සංකීර්ණ සංඛ්යාවක් සඳහා අභිසාරී වන ලක්ෂ්ය අනුපිළිවෙලක් ඇත, ඒ සමඟ අගයන් නැඹුරු වන්නේ: ( සොචෝකිගේ ප්රමේයය).
උදාහරණ 7ලක්ෂ්‍යයක ශ්‍රිතයකට අත්යවශ්ය ඒකීයත්වයක් ඇති බව පෙන්වන්න.
විසඳුමක්.ලක්ෂ්යය ආසන්නයේ දී ඇති ශ්‍රිතයක හැසිරීම සලකා බලන්න. සැබෑ අක්ෂයේ ධනාත්මක කොටස දිගේ (එනම්) අප සතුව සහ ; සැබෑ අක්ෂයේ සෘණ කොටස දිගේ නම් (එනම්), එවිට සහ . එබැවින් සීමාවක් නොමැත. නිර්වචනය අනුව, ශ්‍රිතයකට ලක්ෂ්‍යයක අත්යවශ්ය ඒකීයත්වයක් ඇත.
Sochocki ප්රමේයයේ දෘෂ්ටි කෝණයෙන් ශුන්යයේ ශ්රිතයේ හැසිරීම සලකා බලමු. ශුන්ය සහ අනන්තය හැර වෙනත් ඕනෑම සංකීර්ණ සංඛ්යාවක් වේවා.
සමානාත්මතාවයෙන් අපි සොයා ගනිමු. උපකල්පනය කරමින්, අපි ලකුණු අනුපිළිවෙලක් ලබා ගනිමු, . පැහැදිලිවම, . මෙම අනුපිළිවෙලෙහි එක් එක් ලක්ෂ්යයේ දී, ශ්රිතය සමාන වේ , සහ ඒ නිසා
කාර්යය 6.ලක්ෂ්‍යයක ශ්‍රිතයට අත්යවශ්ය ඒකීයත්වයක් ඇති බව පෙන්වන්න.
අනන්තයේ ලක්ෂ්යයක් සෑම විටම ශ්රිතය සඳහා විශේෂ ලෙස සැලකේ. මෙම ශ්‍රිතයට මූලාරම්භය කේන්ද්‍ර කරගත් යම් කවයකින් පිටත වෙනත් ඒකීය ලක්ෂ්යයක් නොමැති නම් ලක්ෂ්යයක් ශ්‍රිතයක හුදකලා ඒකීය ලක්ෂ්යයක් ලෙස හැඳින්වේ.
හුදකලා ඒකීය ලක්ෂ්ය වර්ගීකරණය ද නඩුව දක්වා දීර්ඝ කළ හැකිය.
උදාහරණ 8ශ්‍රිතයට අනන්තයේදී ද්විත්ව ධ්රැවයක් ඇති බව පෙන්වන්න.
විසඳුමක්.ශ්රිතය සලකා බලන්න, ලක්ෂ්යයේ අසල්වැසි ස්ථානයක විශ්ලේෂණ ශ්රිතයක් කොහිද, සහ . මෙයින් අදහස් කරන්නේ ශ්‍රිතයට අනන්තයේ ද්විත්ව ශුන්යයක් ඇති නමුත්, ශ්රිතය සඳහා ලක්ෂ්යය ද්විත්ව ධ්රැවයක් බවයි.
උදාහරණ 9ශ්‍රිතයට අනන්තයේදී අත්යවශ්ය ඒකීයත්වයක් ඇති බව පෙන්වන්න.
විසඳුමක්.සමාන ගැටළුවක් pr.7 හි සලකා බලනු ලැබේ. අපරිමිත දුරස්ථ ලක්ෂ්‍යයක අසල්වැසි ශ්‍රිතයක හැසිරීම සලකා බලන්න. සැබෑ අක්ෂයේ ධනාත්මක කොටස දිගේ සහ සැබෑ අක්ෂයේ සෘණ කොටස දිගේ. මෙයින් අදහස් කරන්නේ යම් ලක්ෂ්‍යයක ශ්රිතයේ සීමාවක් නොමැති බවත්, අර්ථ දැක්වීම අනුව, මෙම ලක්ෂ්යය අත්යවශ්යයෙන්ම ඒකීය බවත්ය.
ලක්ෂ්‍යයක ශ්‍රිතයක ඒකීයත්වයේ ස්වභාවය විනිශ්චය කළ හැක ප්රධාන කොටස මෙම ලක්ෂ්යයේ අසල්වැසි ප්රදේශයක ලෝරන්ට් ව්‍යාප්තිය.
ප්රමේයය 1.කාරණය සඳහා ඉවත දැමිය හැකි ශ්රිතයේ ඒකීය ලක්ෂ්යය , එය අවශ්ය සහ ප්රමාණවත් වන්නේ අනුරූප ලෝරන්ට් ප්රසාරණය වීමයි ප්රධාන කොටස අඩංගු නොවීය.
කාර්යය 6.ලක්ෂ්යයේ අසල්වැසි ප්රදේශයක ශ්රිතයේ ටේලර් ප්රසාරණය භාවිතා කරමින්, එය ශුන්‍යයේදී ඉවත් කළ හැකි ඒකීයත්වයක් ඇති බව පෙන්වන්න.
ප්රමේයය 2.කාරණය සඳහා පොල්ල කාර්යයන් , අවශ්ය සහ ප්රමාණවත් වේ ප්රධාන කොටස අනුරූප ලෝරන්ට් ප්රසාරණය සීමිත සාමාජිකයින් සංඛ්යාවක් අඩංගු විය :
ඉහළම සෘණ පදයේ අංකය ධ්රැවයේ අනුපිළිවෙල තීරණය කරයි.
මෙම අවස්ථාවේදී, ශ්රිතය ලෙස නිරූපණය කළ හැක
ලක්ෂ්යයේ විශ්ලේෂණ ශ්රිතය කොහිද, ධ්රැවයේ අනුපිළිවෙල වේ.
උදාහරණ 10ශ්‍රිතයට ලක්ෂ්‍යවල සරල ධ්රැව ඇති බව පෙන්වන්න.
විසඳුමක්.අපි කරුණක් සලකා බලමු. අපි උදාහරණ 2 හි ලබාගත් මෙම ලක්ෂ්යය ආසන්නයේ මෙම ශ්රිතයේ Laurent ප්රසාරණය භාවිතා කරමු:
මෙම ව්යාප්තියේ ප්රධාන කොටසෙහි ඉහළම (සහ එකම) සෘණ බලය එකකට සමාන වන බැවින්, ලක්ෂ්යය මෙම කාර්යයේ සරල ධ්රැවයකි.
මේ ප්‍රතිඵලය වෙනත් ක්‍රමයකින් ලබාගන්න තිබුණා. අපි ස්වරූපයෙන් නිරූපණය කරමු සහ තැබීම - මෙය ලක්ෂ්යයේ දී විශ්ලේෂණාත්මක වන ශ්‍රිතයකි සහ . එබැවින්, (8) නිසා මෙම ශ්‍රිතයට ලක්ෂ්යයේ සරල ධ්රැවයක් ඇත.
තවත් ක්රමයක්: ලක්ෂ්යයේ සරල ශුන්යයක් ඇති ශ්රිතයක් සලකා බලන්න. එබැවින්, මෙම අවස්ථාවේදී එය සරල ධ්රැවයක් ඇත.
ඒ හා සමානව, අපි ශ්රිතය පෝරමයේ ලියන්නේ නම්, ලක්ෂ්යයේ ශ්රිතයක් විශ්ලේෂණාත්මකව සහ , එවිට ලක්ෂ්යය ශ්රිතයේ සරල ධ්රැවයක් බව වහාම පැහැදිලි වේ.
කාර්යය 7.ශ්රිතයේ ලක්ෂ්යයේ 2 වන අනුපිළිවෙලෙහි ධ්රැවයක් සහ ලක්ෂ්යයේ 4 වන අනුපිළිවෙලෙහි ධ්රැවයක් ඇති බව පෙන්වන්න.
ප්රමේයය 3.කාරණය සඳහා අත්යවශ්යයෙන්ම විශේෂ කාර්යයේ ලක්ෂ්යය, එය අවශ්ය සහ ප්රමාණවත් වේ ප්රධාන කොටස ලක්ෂ්යයේ අසල්වැසි ප්රදේශයක ලෝරන්ට් ප්රසාරණය සාමාජිකයන් අනන්ත සංඛ්යාවක් අඩංගු විය .
උදාහරණ 11.ශ්රිතයේ ලක්ෂ්යයේ ඒකීයත්වයේ ස්වභාවය තීරණය කරන්න
විසඳුමක්.කොසයිනයේ සුප්‍රසිද්ධ ප්‍රසාරණයේදී, අපි ඒ වෙනුවට තැබුවෙමු:
එබැවින්, ලක්ෂ්‍යයක අසල්වැසි ප්රදේශයක ලෝරන්ට් ප්‍රසාරණයට ස්වරූපය ඇත
මෙහි නිවැරදි කොටස එක් පදයකි. තවද ප්රධාන කොටසෙහි අසීමිත පද සංඛ්යාවක් අඩංගු වේ, එබැවින් ලක්ෂ්යය අත්යවශ්යයෙන්ම ඒකීය වේ.
කාර්යය 8.යම් අවස්ථාවක ශ්‍රිතයට අත්යවශ්ය ඒකීයත්වයක් ඇති බව පෙන්වන්න.
යම් කාර්යයක් සලකා බලා එහි Laurent ප්රසාරණය ලක්ෂ්යයේ ලියන්න:
ලක්ෂ්යය ලක්ෂ්යයට යන අතරතුර අපි ආදේශකයක් කරමු. දැන්, අනන්තයේ ලක්ෂ්‍යයක අසල්වැසි ප්රදේශයක, අපට තිබේ
එය නව තනතුරක් හඳුන්වා දීමට ඉතිරිව ඇත. අපිට ලැබෙනවා
ප්රධාන කොටස කොහිද, සහ අසීමිත දුරස්ථ ලක්ෂ්‍යයක අසල්වැසි ප්‍රදේශයේ ශ්රිතයේ ලෝරන්ට් ප්‍රසාරණයේ නිත්‍ය කොටස වේ. මේ අනුව, ලක්ෂ්‍යයක අසල්වැසි ශ්‍රිතයක ලෝරන්ට් ප්‍රසාරණයේ දී, ප්රධාන කොටස ධන බල ශ්‍රේණියක් වන අතර නිවැරදි කොටස සෘණ බල ශ්‍රේණියක් වේ. මෙය සැලකිල්ලට ගනිමින්
කෙසේ වෙතත්, ඒකීයත්වයේ ස්වභාවය තීරණය කිරීම සඳහා ඉහත නිර්ණායක අසීමිත දුරස්ථ ලක්ෂ්යයක් සඳහා වලංගු වේ.
උදාහරණ 12.ලක්ෂ්යයේ ශ්රිතයේ ඒකීයත්වයේ ස්වභාවය සොයා ගන්න. , එවිට යම් අවස්ථාවක එය හුදකලා නොවන බවට හැරවිය හැක.
උදාහරණ 15අසීමිත දුරස්ථ ලක්ෂ්‍යයක ශ්‍රිතයට අත්යවශ්ය ඒකීයත්වයක් ඇත. ශ්රිතය සඳහා ලක්ෂ්යය හුදකලා ඒකීය ලක්ෂ්යයක් නොවන බව පෙන්වන්න.
විසඳුමක්.ශ්‍රිතයට හරයේ ශුන්‍යවල, එනම් ලක්ෂ්‍යවල, අනන්ත ධ්රැව සංඛ්යාවක් ඇත. මක්නිසාද යත්, පොලු ඇති ඕනෑම අසල්වැසි ප්රදේශයක ලක්ෂ්යය ධ්රැව සඳහා සීමා ලක්ෂ්යය වේ.
මූලික සංකල්ප සහ අර්ථ දැක්වීම්:
f(z) විශ්ලේෂණ ශ්රිතයේ ශුන්‍යය යනු f(a)=0 සඳහා “a” ලක්ෂ්යය වේ.
f(z) ශ්රිතයේ "n" අනුපිළිවෙලෙහි ශුන්‍යය "a" ලක්ෂ්යය නම් නමුත් fn(a)¹0 වේ.
"a" ඒකවචන ලක්ෂ්යයක් f(z) ශ්රිතයේ හුදකලා ඒකීය ලක්ෂ්යයක් ලෙස හඳුන්වනු ලබන්නේ "a" හැර වෙනත් ඒකීය ලක්ෂ්ය නොමැති මෙම ලක්ෂ්යයේ අසල්වැසි ප්රදේශයක් පවතී නම්.
හුදකලා ඒකීය ලක්ෂ්ය වර්ග තුනකි:
1 ඉවත් කළ හැකි විශේෂ ලකුණු;
අත්යවශ්ය ඒකීය කරුණු 3ක්.
සොයාගත් ඒකීය ලක්ෂ්යයේ දී ඇති ශ්රිතයේ හැසිරීම මත මෙන්ම, සොයාගත් ඒකීය ලක්ෂ්යයේ අසල්වැසි ශ්රිතය සඳහා ලබාගත් ලෝරන්ට් ශ්‍රේණියේ ස්වරූපය මත පදනම්ව ඒකීය ලක්ෂ්‍යයක වර්ගය තීරණය කළ හැකිය.
එහි ඇති ශ්රිතයේ හැසිරීම අනුව ඒකීය ලක්ෂ්‍යයක වර්ගය තීරණය කිරීම.
1. ඉවත් කළ හැකි ඒකීය ලකුණු.
f(z) ශ්රිතයේ හුදකලා ඒකීය ලක්ෂ්යයක් සීමිත සීමාවක් තිබේ නම් ඉවත් කළ හැකි ලෙස හැඳින්වේ.
2. පොලු.
f(z) ශ්රිතයේ හුදකලා ඒකීය ලක්ෂ්යයක් නම් ධ්රැවයක් නම් වේ 
.
3. සැලකිය යුතු ඒකීය ලකුණු.
f(z) ශ්‍රිතයක හුදකලා ඒකීය ලක්ෂ්යයක් පරිමිත හෝ අනන්ත නොමැති නම් අත්යවශ්ය ඒකීය ලක්ෂ්යයක් ලෙස හැඳින්වේ.
ශ්රිතයේ ශුන්ය සහ ධ්රැව අතර පහත සම්බන්ධය සිදුවේ.
a ලක්ෂ්යයක් f(Z) ශ්රිතයේ n අනුපිළිවෙලෙහි ධ්රැවයක් වීමට නම්, ශ්රිතය සඳහා මෙම ලක්ෂ්යය n අනුපිළිවෙලෙහි ශුන්යයක් වීම අවශ්ය සහ ප්රමාණවත් වේ.
n=1 නම් ධ්රැවය සරල ලෙස හැඳින්වේ.
අර්ථ දැක්වීම:තනි අගයක් ඇති අක්ෂරයක හුදකලා ඒකීය ලක්ෂ්යයක් ලෙස හැඳින්වේ:
අ) වියෝජනයේ ප්රධාන කොටස නොමැති නම් ඉවත් කළ හැකි;
ආ) ප්රධාන කොටසෙහි සීමිත සාමාජිකයින් සංඛ්යාවක් අඩංගු නම් කණුවක්;
ඇ) ප්රධාන කොටසෙහි අනන්ත පද සංඛ්යාවක් අඩංගු නම් අත්යවශ්යයෙන්ම ඒකීය ලක්ෂ්‍යයකි.
අ) මේ අනුව, ඉවත් කළ හැකි ඒකීය ලක්ෂ්‍යයක අසල්වැසි ප්රදේශයක, ප්‍රසාරණයට ස්වරූපය ඇත:
එය රවුමේ සියලුම ලක්ෂ්‍යවල ශ්රිතය ප්‍රකාශ කරයි |z-a| z=a කේන්ද්‍රයේ, සමානාත්මතාවය අසත්‍ය වේ, මන්ද z=a හි ශ්‍රිතයට අඛණ්ඩතාවයක් ඇති අතර දකුණු පැත්ත අඛණ්ඩ වේ. මධ්යයේ ශ්රිතයේ අගය වෙනස් කළහොත්, එය දකුණු පැත්තේ අගයට සමාන වේ, එවිට පරතරය ඉවත් කරනු ලැබේ - එබැවින් නම - ඉවත් කළ හැකිය. b) m අනුපිළිවෙලෙහි ධ්‍රැවයක අසල්වැසි ප්‍රදේශයේ, ලෝරන්ට් ශ්‍රේණියේ ප්‍රසාරණයට පෝරමය ඇත: ඇ) සරල පොල්ලක අසල්වැසි ප්රදේශයක ඔවුන්ගේ ගණනය සඳහා අඩු කිරීම් සහ සූත්ර. හුදකලා ඒකීය ලක්ෂ්‍යයක z 0 හි විශ්ලේෂණ ශ්‍රිතයක f(z) අවශේෂය අනුකලයේ අගයට සමාන සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවකි. හුදකලා ඒකීය ලක්ෂ්යයක් z 0 හි f(z) ශ්රිතයේ අවශේෂය Res f(z 0) හෝ Res (f(z); z 0) සංකේතයෙන් දැක්වේ. මේ ක්රමයෙන්, Resf(z0)= අපි සූත්‍රයේ (22.15.1) n=-1 දැමුවොත් අපට ලැබෙන්නේ: C-1= හෝ Res f(z 0)= C -1 , එම. z 0 ඒකීය ලක්ෂ්යයට අදාළව f(z) ශ්රිතයේ අවශේෂය ලෝරන්ට් ශ්‍රේණියක f(z) ශ්රිතයේ ප්‍රසාරණයේදී සෘණ ඝාතකයක් සහිත පළමු පදයේ සංගුණකයට සමාන වේ. අඩු කිරීම් ගණනය කිරීම. නිත්‍ය හෝ ඉවත් කළ හැකි ඒකවචන ලකුණු. නිසැකවම, z=z 0 යනු f(z) ශ්රිතයේ නිත්‍ය හෝ ඉවත් කළ හැකි ඒකීය ලක්ෂ්යයක් නම්, Res f(z 0)=0 (මෙම අවස්ථා වලදී ලෝරන්ට් වියෝජනයේ ප්රධාන කොටසක් නොමැත, එබැවින් c-1= 0) පොල්ල. z 0 ලක්ෂ්යය f(z) ශ්රිතයේ සරල ධ්රැවයක් වේවා. එවිට z 0 ලක්ෂ්යයේ අසල්වැසි ස්ථානයක f(z) ශ්රිතය සඳහා ලෝරන්ට් ශ්‍රේණියට පෝරමය ඇත: මෙතැන් සිට එබැවින්, මෙම සමානාත්මතාවය z --z 0 ලෙස සීමාව දක්වා ගමන් කිරීමෙන්, අපි ලබා ගනිමු Res f(z0)= අත්යවශ්යයෙන්ම විශේෂ කරුණක්. z 0 ලක්ෂ්යය f(z) ශ්රිතයේ අත්යවශ්යයෙන්ම ඒකීය ලක්ෂ්යයක් නම්, මෙම ලක්ෂ්යයේ ශ්රිතයේ ඉතිරිය ගණනය කිරීම සඳහා, සාමාන්‍යයෙන් ලෝරන්ට් ශ්‍රේණියේ ශ්රිතයේ ප්‍රසාරණයේදී c-1 සංගුණකය සෘජුවම තීරණය කරයි. සිදුවීම් වර්ගීකරණය. එකතුව, සිදුවීම්වල නිෂ්පාදිතය, ඒවායේ ගුණාංග, චිත්රක නිරූපණය. සිදුවීම් බෙදා ඇත: 1. අහඹු 2. විශ්වසනීය 3. නොහැකියි විශ්වසනීය - මෙය මෙම තත්වයන් තුළ අනිවාර්යයෙන්ම සිදුවන සිදුවීමකි (රාත්‍රිය පසුව උදෑසන). අහඹු සිදුවීම (විභාගයක් සමත් වීම) සිදු විය හැකි හෝ සිදු නොවිය හැකි සිදුවීමකි. කළ නොහැක්කක් යනු ලබා දී ඇති කොන්දේසි යටතේ සිදු නොවන සිදුවීමකි (රතු පමණක් ඇති කොටුවෙන් කොළ පැන්සලක් ලබා ගන්න).
, f(z) ශ්රිතයේ විශ්ලේෂණ කලාපය තුළ පිහිටා ඇති z 0 ලක්ෂ්යයේ කේන්ද්‍රගත වූ L කවය දිගේ ධනාත්මක දිශාවට ගෙන ඇත (එනම්, වළල්ලේ 0<|z-z0| . (22.15.1)
