අවකල කලනය ක්‍රම මගින් ශ්‍රිත විමර්ශනය කිරීම. ශ්‍රිතයක් ගවේෂණය කර ප්‍රස්තාර කරන්නේ කෙසේද
ශ්‍රිත අධ්යයනය කිරීමේදී සහ ඒවායේ ප්‍රස්ථාර තැනීමේදී යොමු ලක්ෂ්‍ය ලාක්ෂණික ලක්ෂ්‍ය වේ - විසන්ධි කිරීමේ ලක්ෂ්‍ය, අන්තය, ආවර්තනය, ඛණ්ඩාංක අක්ෂ සමඟ ඡේදනය වීම. අවකල ගණනය ආධාරයෙන්, කෙනෙකුට ස්ථාපිත කළ හැකිය ලක්ෂණක්‍රියාකාරී වෙනස්කම්: වැඩි වීම සහ අඩුවීම, උපරිම සහ අවම, ප්රස්ථාරයේ උත්තල සහ අවතල දිශාව, අසමමිතිය පැවතීම.
ශ්‍රිත ප්රස්ථාරයේ දළ සටහනක් රෝග ලක්ෂණ සහ අන්ත ලක්ෂ්‍ය සොයා ගැනීමෙන් පසු (සහ කළ යුතු) සටහන් කළ හැකි අතර, අධ්යයනය අතරතුර ශ්රිතය පිළිබඳ අධ්‍යයනයේ සාරාංශ වගුව පිරවීමට පහසු වේ.
සාමාන්‍යයෙන්, පහත සඳහන් ක්රියාකාරී පර්යේෂණ යෝජනා ක්‍රමය භාවිතා වේ.
1.ශ්‍රිතයක වසම, අඛණ්ඩ කාල අන්තරයන් සහ බිඳුම් ලක්ෂ්‍ය සොයන්න.
2.ඉරට්ටේ හෝ ඔත්තේ සඳහා ශ්රිතය පරීක්ෂා කරන්න (අක්ෂීය හෝ මධ්යම සමමිතියග්රැෆික් කලා.
3.අසමමිතික (සිරස්, තිරස් හෝ ආනත) සොයන්න.
4.ශ්රිතයේ වැඩි වීමේ සහ අඩුවීමේ කාල අන්තරයන්, එහි අන්ත ලක්ෂ්‍ය සොයා විමර්ශනය කරන්න.
5.වක්‍රයේ උත්තල සහ අවතලතාවයේ කාල අන්තරයන්, එහි විවර්තන ස්ථාන සොයන්න.
6.ඛණ්ඩාංක අක්ෂ සමඟ වක්‍රයේ ඡේදනය වන ස්ථාන තිබේ නම් ඒවා සොයා ගන්න.
7.අධ්‍යයනයේ සාරාංශ වගුවක් සම්පාදනය කරන්න.
8.ඉහත කරුණු අනුව සිදු කරන ලද ශ්රිතය අධ්යයනය කිරීම සැලකිල්ලට ගනිමින් ප්‍රස්ථාරයක් සාදන්න.
උදාහරණයක්.කාර්යය ගවේෂණය කරන්න
සහ එය කුමන්ත්රණය කරන්න.
7. අපි ශ්රිතය අධ්යයනය කිරීමේ සාරාංශ වගුවක් සාදන්නෙමු, එහිදී අපි සියලුම ලාක්ෂණික ලක්ෂ්‍ය සහ ඒවා අතර විරාම ඇතුළත් කරන්නෙමු. ශ්රිතයේ සමානාත්මතාවය අනුව, අපට පහත වගුව ලැබේ:
ප්‍රස්ථාර විශේෂාංග |
||||
[-1, 0[ |
වැඩි වෙනවා |
උත්තල |
||
(0; 1) - උපරිම ලක්ෂ්යය |
||||
]0, 1[ |
අඩු කරයි |
උත්තල |
||
විවර්තන ලක්ෂ්යය, අක්ෂය සමඟ සාදයි ගොනා obtuse කෝණය |
කාර්යය පිළිබඳ සම්පූර්ණ අධ්‍යයනයක් සහ එහි ප්රස්ථාරය සැලසුම් කිරීම සඳහා, පහත යෝජනා ක්‍රමය භාවිතා කිරීම රෙකමදාරු කරනු ලැබේ:
1) කාර්යයේ විෂය පථය සොයා ගන්න;
2) ශ්රිතයේ විසන්ධිතා ලක්ෂ්‍ය සහ සිරස් අසමමිතිය (ඒවා පවතී නම්) සොයා ගන්න;
3) අනන්තයේ ශ්රිතයේ හැසිරීම විමර්ශනය කිරීම, තිරස් සහ වක්‍ර අසමමිතිය සොයා ගැනීම;
4) ඒකාකාර (අමුතුකම) සහ ආවර්තිතා (ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත සඳහා) සඳහා ශ්රිතය විමර්ශනය කරන්න;
5) ශ්රිතයේ ඒකාකාරී බවේ අන්ත සහ අන්තරයන් සොයා ගන්න;
6) උත්තල සහ විවර්තන ලක්ෂ්යවල අන්තරයන් තීරණය කරන්න;
7) හැකි නම් ඛණ්ඩාංක අක්ෂ සමඟ ඡේදනය වන ස්ථාන සහ ප්රස්ථාරය පිරිපහදු කරන අමතර කරුණු සොයා ගන්න.
ශ්රිතය අධ්යයනය කිරීම එහි ප්රස්ථාරය ගොඩනැගීම සමඟ සමගාමීව සිදු කෙරේ.
උදාහරණ 9කාර්යය ගවේෂණය කර ප්‍රස්ථාරයක් සාදන්න.
1. අර්ථ දැක්වීමේ වසම: ;
2. ශ්රිතය ලක්ෂ්යවලදී කැඩී යයි 
,
;
සිරස් අසමමිතිය පැවතීම සඳහා අපි කාර්යය විමර්ශනය කරමු.
;
,
─ සිරස් රෝග ලක්ෂණ.
;
,
─ සිරස් රෝග ලක්ෂණ.
3. අපි ආනත සහ තිරස් අසමමිතිය පැවතීම සඳහා කාර්යය විමර්ශනය කරමු.
කෙලින්ම 
─ ආනත රෝග ලක්ෂණ, නම් 
,
.
,
.
කෙලින්ම 
─ තිරස් අසමමිතිය.
4. කාර්යය ඉරට්ටේ නිසා 
. ශ්රිතයේ සමානාත්මතාවය y-අක්ෂයට අදාළව ප්රස්ථාරයේ සමමිතිය පෙන්නුම් කරයි.
5. ශ්රිතයේ ඒකාකාරීත්වයේ සහ අන්තයේ අන්තරයන් සොයන්න.
අපි තීරණාත්මක කරුණු සොයා බලමු, i.e. ව්යුත්පන්නය 0 හෝ නොපවතින ලකුණු: 
;
. අපට කරුණු තුනක් තිබේ 
;
. මෙම ලක්ෂ්‍ය මුළු සැබෑ අක්ෂයම කාල අන්තරයන් හතරකට බෙදයි. අපි සංඥා නිර්වචනය කරමු 
ඔවුන් එක් එක් මත.
(-∞; -1) සහ (-1; 0) අන්තරයන් මත ශ්රිතය වැඩි වේ, (0; 1) සහ (1; +∞) කාල පරතරයන් මත එය අඩු වේ. ලක්ෂ්යයක් හරහා ගමන් කරන විට 
ව්යුත්පන්න වෙනස්කම් ලකුණ plus සිට minus දක්වා, එබැවින්, මෙම අවස්ථාවේදී, ශ්‍රිතයට උපරිමයක් ඇත 
.
6. උත්තල අන්තරයන්, විවර්තන ස්ථාන සොයා ගනිමු.
අපි ලකුණු සොයා බලමු 
0 වේ, හෝ නොපවතියි.
සැබෑ මූලයන් නොමැත. 
,
,
ලකුණු 
හා 
සැබෑ අක්ෂය කාල අන්තර තුනකට බෙදන්න. අපි ලකුණ නිර්වචනය කරමු 
සෑම පරතරයකදීම.
මේ අනුව, අන්තරයන් මත වක්රය 
හා 
උත්තල පහළට, අන්තරයේ (-1;1) උත්තල ඉහළට; ලක්ෂ්යවල ශ්රිතය නිසා විභේදන ලක්ෂ්‍ය නොමැත 
හා 
තීරණය නොවන.
7. අක්ෂ සමඟ ඡේදනය වීමේ ස්ථාන සොයා ගන්න.
අක්ෂය සමඟ 
ශ්රිතයේ ප්රස්ථාරය ලක්ෂ්‍යයේ (0; -1) සහ අක්ෂය සමඟ ඡේදනය වේ 
ප්රස්ථාරය ඡේදනය නොවේ, මන්ද මෙම ශ්රිතයේ අංකනයට සැබෑ මූලයන් නොමැත.
ලබා දී ඇති ශ්රිතයේ ප්රස්ථාරය රූප සටහන 1 හි දැක්වේ.
රූපය 1 ─ ශ්රිතයේ ප්රස්ථාරය 
ආර්ථික විද්‍යාවේ ව්යුත්පන්න සංකල්පය යෙදීම. ක්රියාකාරී ප්රත්යාස්ථතාව
ආර්ථික ක්‍රියාවලීන් අධ්යයනය කිරීම සහ අනෙකුත් ඒවා විසඳීම අදාළ කාර්යයන්ශ්රිතයක ප්රත්යාස්ථතා සංකල්පය බොහෝ විට භාවිතා වේ.
අර්ථ දැක්වීම.ක්රියාකාරී ප්රත්යාස්ථතාව 
ශ්රිතයේ සාපේක්ෂ වර්ධකයේ අනුපාතයේ සීමාව ලෙස හැඳින්වේ 
විචල්‍යයේ සාපේක්ෂ වැඩිවීමට 
හිදී 
, . (VII)
ශ්‍රිතයක ප්රත්යාස්ථතාව දළ වශයෙන් ශ්රිතය සියයට කීයක් වෙනස් වේද යන්න පෙන්වයි 
ස්වාධීන විචල්යය වෙනස් කිරීමේදී 
1% කින්.
ඉල්ලුම සහ පරිභෝජනය විශ්ලේෂණය කිරීමේදී ශ්‍රිතයක ප්රත්යාස්ථතාව භාවිතා වේ. ඉල්ලුමේ නම්‍යතාවය නම් (නිරපේක්ෂ අගයෙන්) 
, එවිට ඉල්ලුම නම් ප්රත්යාස්ථ ලෙස සලකනු ලැබේ 
─ මධ්යස්ථ නම් 
─ මිල (හෝ ආදායම) සම්බන්ධයෙන් අනම්ය.
උදාහරණ 10ශ්‍රිතයක ප්රත්යාස්ථතාව ගණනය කරන්න 
සඳහා ප්රත්යාස්ථතා දර්ශකයේ අගය සොයා ගන්න 
= 3.
විසඳුම: සූත්රය (VII) අනුව ශ්රිතයේ ප්රත්යාස්ථතාව:
එවිට x=3 කරමු 
මෙයින් අදහස් කරන්නේ ස්වාධීන විචල්යය 1% කින් වැඩි වුවහොත්, පරායත්ත විචල්‍යයේ අගය 1.42% කින් වැඩි වන බවයි.
උදාහරණ 11ඉල්ලුම ක්‍රියාත්මක වීමට ඉඩ දෙන්න 
මිල සම්බන්ධයෙන් 
ආකෘතිය ඇත 
, කොහෙද 
─ නියත සාධකය. ඉල්ලුම ශ්රිතයේ ප්රත්යාස්ථතා දර්ශකයේ අගය x = 3 den මිලෙන් සොයන්න. ඒකක
විසඳුම: සූත්රය (VII) භාවිතයෙන් ඉල්ලුම ශ්රිතයේ නම්‍යතාවය ගණනය කරන්න
උපකල්පනය කරනවා 
මුදල් ඒකක, අපට ලැබෙනවා 
. මෙයින් අදහස් කරන්නේ මිලට බවයි 
මුදල් ඒකකයක් 1% ක මිල වැඩිවීමක් ඉල්ලුම 6% කින් අඩුවීමට හේතු වේ, i.e. ඉල්ලුම ප්රත්යාස්ථ වේ.
උපදෙස්
කාර්යයේ විෂය පථය සොයා ගන්න. උදාහරණයක් ලෙස, sin(x) ශ්රිතය -∞ සිට +∞ දක්වා සම්පූර්ණ පරතරය මත අර්ථ දක්වා ඇති අතර, x = 0 ලක්ෂ්යය හැර 1/x ශ්රිතය -∞ සිට +∞ දක්වා අර්ථ දක්වා ඇත.
අඛණ්ඩතාව සහ කඩඉම් ස්ථාන නිර්වචනය කරන්න. සාමාන්‍යයෙන් ශ්‍රිතයක් එය අර්ථ දක්වා ඇති වසම තුළම අඛණ්ඩව පවතී. විසන්ධි කිරීම් හඳුනා ගැනීමට, අර්ථ දැක්වීමේ වසම තුළ තර්කය හුදකලා ලක්ෂ්‍ය වෙත ළඟා වන විට ඔබ ගණනය කළ යුතුය. උදාහරණයක් ලෙස, 1/x ශ්රිතය x→0+ විට අනන්තයට ද x→0- විට අනන්තය අඩු කිරීමට ද නැඹුරු වේ. මෙයින් අදහස් කරන්නේ x = 0 ලක්ෂ්‍යයේදී එය දෙවන ආකාරයේ අඛණ්ඩ පැවැත්මක් ඇති බවයි.
විසන්ධි කිරීමේ ලක්ෂ්‍යයේ සීමාවන් සීමිත නමුත් සමාන නොවේ නම්, මෙය පළමු ආකාරයේ අත්හිටුවීමකි. ඒවා සමාන නම්, ශ්රිතය තුළ වුවද අඛණ්ඩව සලකනු ලැබේ හුදකලා ලක්ෂ්යයඇය නිර්වචනය කර නැත.
සිරස් රෝග ලක්ෂණ ඇත්නම් ඒවා සොයන්න. සිරස් අසමමිතිය සෑම විටම පාහේ දෙවන ආකාරයේ අක්‍රමිකතා ලක්ෂ්‍යයේ පවතින බැවින් පෙර පියවරේ ගණනය කිරීම් ඔබට මෙහි උපකාරී වනු ඇත. කෙසේ වෙතත්, සමහර විට එය අර්ථ දැක්වීමේ වසමෙන් බැහැර කරනු ලබන තනි ලක්ෂ්යයන් නොවේ, නමුත් ලක්ෂ්යවල සම්පූර්ණ කාල අන්තරයන්, පසුව සිරස් අසමමිතිය මෙම අන්තරයන්හි දාරවල ස්ථානගත කළ හැකිය.
කාර්යය තිබේදැයි පරීක්ෂා කරන්න විශේෂ ගුණාංග: ඉරට්ටේ, ඔත්තේ සහ ආවර්තිතා.
f(x) = f(-x) වසමේ ඕනෑම x සඳහා වුවද ශ්රිතය වනු ඇත. උදාහරණයක් ලෙස cos(x) සහ x^2 - පවා කාර්යයන්.
ආවර්තිතා යනු ඕනෑම x f(x) = f(x + T) සඳහා කාලපරිච්ඡේදයක් ලෙස හැඳින්වෙන නිශ්චිත සංඛ්‍යාවක් T ඇති බව පවසන ගුණයකි. උදාහරණයක් ලෙස, සියලු ප්රධාන ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත(සයින්, කෝසයින්, ස්පර්ශක) - ආවර්තිතා.
ලකුණු සොයන්න. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, ව්යුත්පන්නය ගණනය කරන්න ලබා දී ඇති කාර්යයසහ එම x අගයන් අතුරුදහන් වන තැන සොයා ගන්න. උදාහරණයක් ලෙස, f(x) = x^3 + 9x^2 -15 ශ්රිතයේ g(x) = 3x^2 + 18x ව්‍යුත්පන්නයක් ඇති අතර එය x = 0 සහ x = -6 හිදී අතුරුදහන් වේ.
කුමන අන්ත ලක්ෂ්‍ය උපරිමද සහ ඒවා අවමද යන්න තීරණය කිරීමට, සොයාගත් ශුන්‍යවල ව්‍යුත්පන්නයේ සලකුණුවල වෙනස සොයා ගන්න. g(x) ලකුණ x = -6 හි ප්ලස් සිට සහ ආපසු x = 0 හිදී සෘණ සිට plus දක්වා වෙනස් කරයි. එබැවින්, f(x) ශ්‍රිතයට පළමු ලක්ෂ්‍යයේ අවම අගයක් සහ දෙවන ස්ථානයේ අවම අගයක් ඇත.
මේ අනුව, ඔබ ඒකාකාරීත්වයේ ප්‍රදේශ ද සොයාගෙන ඇත: f(x) පරතරය -∞;-6 මත ඒකාකාරී ලෙස වැඩි වේ, -6;0 මත ඒකාකාරී ලෙස අඩු වන අතර 0;+∞ මත නැවත වැඩි වේ.
දෙවන ව්යුත්පන්නය සොයන්න. ලබා දී ඇති ශ්‍රිතයක ප්රස්ථාරය උත්තල වන්නේ කොතැනද සහ එය අවතල වන්නේ කොතැනද යන්න එහි මූලයන් පෙන්වයි. උදාහරණයක් ලෙස, f(x) ශ්රිතයේ දෙවන ව්යුත්පන්නය h(x) = 6x + 18 වේ. එය x = -3 හිදී අතුරුදහන් වේ, එහි ලකුණ සෘණ සිට plus දක්වා වෙනස් වේ. එබැවින්, මෙම ලක්ෂ්‍යයට පෙර f (x) ප්රස්ථාරය උත්තල වනු ඇත, ඊට පසු - අවතල, සහ මෙම ලක්ෂ්යය ම විභේදන ලක්ෂ්යයක් වනු ඇත.
ශ්‍රිතයකට සිරස් ඒවා හැර වෙනත් අසමමිතික තිබිය හැක, නමුත් එහි නිර්වචන වසම ඇතුළත් වන්නේ නම් පමණි. ඒවා සොයා ගැනීමට, x→∞ හෝ x→-∞ විට f(x) හි සීමාව ගණනය කරන්න. එය සීමිත නම්, ඔබ තිරස් අසමමිතිය සොයාගෙන ඇත.
ආනත අසමමිතිය යනු kx + b ආකෘතියේ සරල රේඛාවකි. k සොයා ගැනීමට, f(x)/x හි සීමාව x→∞ ලෙස ගණනය කරන්න. එකම x→∞ සමඟ b - සීමාව (f(x) – kx) සොයා ගැනීමට.
ගණනය කළ දත්ත මත ශ්රිතය සැලසුම් කරන්න. රෝග ලක්ෂණ ඇත්නම් ඒවා ලේබල් කරන්න. අන්ත ලක්ෂ්‍ය සහ ඒවායේ ක්රියාකාරී අගයන් සලකුණු කරන්න. ප්රස්ථාරයේ වැඩි නිරවද්‍යතාවයක් සඳහා, තවත් අතරමැදි ලක්ෂ්‍ය කිහිපයක ක්රියාකාරී අගයන් ගණනය කරන්න. පර්යේෂණ අවසන්.
අද අපි ඔබට අප සමඟ ක්රියාකාරී ප්‍රස්ථාරයක් ගවේෂණය කිරීමට සහ සැලසුම් කිරීමට ආරාධනා කරන්නෙමු. මෙම ලිපිය හොඳින් අධ්යයනය කිරීමෙන් පසු, මෙවැනි කාර්යයක් සම්පූර්ණ කිරීමට ඔබට දිගු වේලාවක් දහඩිය දැමීමට සිදු නොවේ. ශ්‍රිතයක ප්‍රස්ථාරයක් ගවේෂණය කිරීම සහ ගොඩ නැගීම පහසු නැත, කාර්යය විශාල වේ, ගණනය කිරීම් වල උපරිම අවධානය සහ නිරවද්‍යතාවය අවශ්ය වේ. ද්රව්යයේ සංජානනය පහසු කිරීම සඳහා, අපි ක්රමයෙන් එකම කාර්යය අධ්යයනය කරමු, අපගේ සියලු ක්රියාවන් සහ ගණනය කිරීම් පැහැදිලි කරන්න. ගණිතයේ විශ්මයජනක හා ආකර්ෂණීය ලෝකයට සාදරයෙන් පිළිගනිමු! යන්න!
වසම්
කාර්යයක් ගවේෂණය කිරීම සහ සැලසුම් කිරීම සඳහා, ඔබ අර්ථ දැක්වීම් කිහිපයක් දැන සිටිය යුතුය. ශ්‍රිතයක් යනු ගණිතයේ මූලික (මූලික) සංකල්ප වලින් එකකි. එය වෙනස්කම් සමඟ විචල්ය කිහිපයක් (දෙකක්, තුනක් හෝ වැඩි) අතර යැපීම පිළිබිඹු කරයි. ශ්රිතය කට්ටලවල යැපීම ද පෙන්වයි.
අපට යම් වෙනස් පරාසයක් ඇති විචල්ය දෙකක් ඇති බව සිතන්න. එබැවින්, y යනු x හි ශ්‍රිතයකි, දෙවන විචල්‍යයේ සෑම අගයක්ම තත්පරයේ එක් අගයකට අනුරූප වේ. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, y විචල්යය රඳා පවතින අතර එය ශ්‍රිතයක් ලෙස හැඳින්වේ. x සහ y විචල්‍යයන් පවතින බව පැවසීම සිරිතකි, මෙම යැපීම පිළිබඳ වැඩි පැහැදිලිකම සඳහා, ශ්රිතයේ ප්‍රස්ථාරයක් ගොඩනගා ඇත. ශ්‍රිත ප්‍රස්ථාරයක් යනු කුමක්ද? මෙය ඛණ්ඩාංක තලයේ ලක්ෂ්‍ය සමූහයකි, x හි සෑම අගයක්ම y හි එක් අගයකට අනුරූප වේ. ප්‍රස්ථාර වෙනස් විය හැකිය - සරල රේඛාවක්, හයිපර්බෝලා, පැරබෝලා, සයිනසයිඩ් සහ යනාදිය.
ගවේෂණයකින් තොරව ශ්‍රිත ප්‍රස්ථාරයක් සැලසුම් කළ නොහැක. අද අපි පර්යේෂණ සිදු කරන්නේ කෙසේද සහ ශ්‍රිත ප්‍රස්ථාරයක් සැලසුම් කරන්නේ කෙසේදැයි ඉගෙන ගනිමු. පාඩම් කිරීමේදී සටහන් තැබීම ඉතා වැදගත් වේ. එබැවින් කාර්යය සමඟ සාර්ථකව කටයුතු කිරීම වඩාත් පහසු වනු ඇත. වඩාත් පහසු අධ්යයන සැලැස්ම:
- වසම්.
- අඛණ්ඩ පැවැත්ම.
- ඉරට්ටේ හෝ ඔත්තේ.
- ආවර්තිතා.
- රෝග ලක්ෂණ.
- බිංදු.
- ස්ථාවරත්වය.
- නැඟීම සහ බැසීම.
- අන්ත.
- උත්තල සහ concavity.
අපි පළමු කරුණෙන් පටන් ගනිමු. අපි නිර්වචනයේ වසම සොයා ගනිමු, එනම් අපගේ ශ්රිතය පවතින්නේ කුමන කාල පරතරයන් මතද යන්න: y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36). අපගේ නඩුවේදී, x හි ඕනෑම අගයක් සඳහා ශ්රිතය පවතී, එනම් අර්ථ දැක්වීමේ වසම R වේ. මෙය xOR ලෙස ලිවිය හැක.
අඛණ්ඩ පැවැත්ම
දැන් අපි discontinuity ශ්රිතය ගවේෂණය කරන්නෙමු. ගණිතයේ දී, "අඛණ්ඩත්වය" යන පදය චලිතයේ නීති අධ්‍යයනයේ ප්‍රතිඵලයක් ලෙස දර්ශනය විය. අනන්තය යනු කුමක්ද? අවකාශය, කාලය, සමහර පරායත්තතා (උදාහරණයක් නම් චලන ගැටළු වල S සහ t විචල්‍යවල යැපීම), රත් වූ වස්තුවේ උෂ්ණත්වය (ජලය, කබලෙන් ලිපට, උෂ්ණත්වමානය සහ යනාදිය), අඛණ්ඩ රේඛාවක් (එනම් එකක් ෂීට් පැන්සලෙන් ඉවතට නොගෙන ඇද ගත හැකි බව).
ප්‍රස්ථාරයක් යම් අවස්ථාවක නොකැඩෙන්නේ නම් අඛණ්ඩ ලෙස සලකනු ලැබේ. වඩාත්ම එකකි හොඳ උදාහරණඑවැනි ප්‍රස්ථාරයක් සයින් තරංගයක් වන අතර එය ඔබට මෙම කොටසේ පින්තූරයේ දැකිය හැකිය. කොන්දේසි ගණනාවක් සපුරා ඇත්නම් ශ්රිතය යම් අවස්ථාවක x0 අඛණ්ඩව පවතී:
- යම් ලක්ෂ්යයක ශ්‍රිතයක් අර්ථ දක්වා ඇත;
- ලක්ෂ්යයක දකුණු සහ වම් සීමාවන් සමාන වේ;
- සීමාව වටිනාකමට සමාන වේ x0 ලක්ෂ්‍යයේ ක්‍රියා කරයි.
අවම වශයෙන් එක් කොන්දේසියක්වත් සපුරා නොමැති නම්, කාර්යය කැඩී යයි කියනු ලැබේ. තවද ශ්රිතය බිඳ වැටෙන ලක්ෂ්‍ය බිඳුම් ලක්ෂ්‍ය ලෙස හැඳින්වේ. චිත්‍රක ලෙස පෙන්වන විට "කැඩෙන" ශ්‍රිතයක උදාහරණයක් වන්නේ: y=(x+4)/(x-3). එපමණක් නොව, x = 3 ලක්ෂ්‍යයේ y නොපවතියි (ශුන්‍යයෙන් බෙදීමට නොහැකි බැවින්).
අප අධ්යයනය කරන ශ්රිතයේ (y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)) ප්රස්ථාරය අඛණ්ඩව පවතින බැවින් සියල්ල සරල විය.
ඉරට්ටේ, ඔත්තේ
දැන් සමානාත්මතාවය සඳහා කාර්යය පරීක්ෂා කරන්න. අපි පොඩි තියරියකින් පටන් ගමු. ඉරට්ටේ ශ්‍රිතයක් යනු x (අගය පරාසයෙන්) විචල්‍යයේ ඕනෑම අගයක් සඳහා f (-x) = f (x) කොන්දේසිය තෘප්තිමත් කරන ශ්‍රිතයකි. උදාහරණ වන්නේ:
- මොඩියුලය x (ප්රස්ථාරය ජැක්ඩෝවක් මෙන් පෙනේ, ප්රස්ථාරයේ පළමු සහ දෙවන කාර්තු දෙකෙහි ද්වි අංශය);
- x වර්ග (parabola);
- කොසයින් x (කොසයින් තරංගය).
y අක්ෂය සම්බන්ධයෙන් බලන විට මෙම ප්‍රස්ථාර සියල්ල සමමිතික බව සලකන්න.
එසේ නම් ඔත්තේ ශ්‍රිතයක් ලෙස හඳුන්වන්නේ කුමක්ද? කොන්දේසිය තෘප්තිමත් කරන ශ්‍රිත මේවාය: x විචල්‍යයේ ඕනෑම අගයක් සඳහා f (-x) \u003d - f (x). උදාහරණ:
- හයිපර්බෝලා;
- ඝන පැරබෝලා;
- sinusoid;
- ස්පර්ශක සහ එසේ ය.
මෙම ශ්‍රිතයන් ලක්ෂ්යය (0:0), එනම් මූලාරම්භය සම්බන්ධයෙන් සමමිතික බව කරුණාවෙන් සලකන්න. ලිපියේ මෙම කොටසේ සඳහන් කර ඇති දේ මත පදනම්ව, ඉරට්ටේ සහ ඔත්තේ ශ්‍රිතයකට ගුණය තිබිය යුතුය: x නිර්වචන කට්ටලයට අයත් වන අතර -x ද වේ.
අපි සමානාත්මතාවය සඳහා කාර්යය පරීක්ෂා කරමු. ඇය කිසිදු විස්තරයකට නොගැලපෙන බව අපට පෙනේ. එබැවින් අපගේ කාර්යය ඉරට්ටේ හෝ ඔත්තේ නොවේ.
රෝග ලක්ෂණ
අපි අර්ථ දැක්වීමකින් පටන් ගනිමු. අසමමිතිය යනු ප්‍රස්ථාරයට හැකි තරම් සමීප වන වක්‍රයකි, එනම්, යම් ස්ථානයක සිට දුර ශුන්‍යයට නැඹුරු වේ. රෝග ලක්ෂණ වර්ග තුනක් තිබේ:
- සිරස්, එනම් y අක්ෂයට සමාන්තරව;
- තිරස්, එනම් x-අක්ෂයට සමාන්තරව;
- ආනත.
පළමු වර්ගය සම්බන්ධයෙන් ගත් කල, මෙම රේඛා සමහර කරුණු කෙරෙහි අවධානය යොමු කළ යුතුය:
- පරතරය;
- වසමේ කෙළවර.
අපගේ නඩුවේදී, ශ්රිතය අඛණ්ඩව පවතින අතර, නිර්වචනයේ වසම R. එබැවින්, සිරස් අසමමිතික නොමැත.
ශ්‍රිතයක ප්‍රස්ථාරයට තිරස් අසමමිතියක් ඇත, එය පහත අවශ්‍යතාවය සපුරාලයි: x අනන්තයට හෝ සෘණ අනන්තයට නැඹුරු නම් සහ සීමාව නිශ්චිත සංඛ්‍යාවකට සමාන වේ (උදාහරණයක් ලෙස, a). හිදී මෙම නඩුව y=a යනු තිරස් අසමමිතියයි. අප අධ්යයනය කරන ශ්රිතයේ තිරස් රෝග ලක්ෂණ නොමැත.
ආනත රෝග ලක්ෂණයක් පවතින්නේ කොන්දේසි දෙකක් සපුරා ඇත්නම් පමණි:
- lim(f(x))/x=k;
- ලිම් f(x)-kx=b.
එවිට එය සූත්රය මගින් සොයාගත හැක: y=kx+b. නැවතත්, අපගේ නඩුවේ ආනත රෝග ලක්ෂණ නොමැත.
ශ්‍රිත ශුන්‍ය
ඊළඟ පියවර වන්නේ ශුන්‍ය සඳහා ශ්රිතයේ ප්රස්ථාරය පරීක්ෂා කිරීමයි. ශ්‍රිතයක ශුන්‍ය සොයා ගැනීම හා සම්බන්ධ කාර්යය ශ්‍රිත ප්‍රස්ථාරයක් අධ්යයනය කිරීමේදී සහ ගොඩනැගීමේදී පමණක් නොව ස්වාධීන කාර්යයක් ලෙසද අසමානතා විසඳීමට මාර්ගයක් ලෙසද සිදුවන බව සැලකිල්ලට ගැනීම ඉතා වැදගත් වේ. ඔබට ප්‍රස්ථාරයක ශ්‍රිතයක ශුන්‍ය සෙවීමට හෝ ගණිතමය අංකනය භාවිතා කිරීමට අවශ්ය විය හැක.
මෙම අගයන් සොයා ගැනීමෙන් ඔබට කාර්යය වඩාත් නිවැරදිව සැලසුම් කිරීමට උපකාරී වනු ඇත. කතා කිරීමට නම් සරල භාෂාව, එවිට ශ්රිතයේ ශුන්‍යය යනු y=0 වන x විචල්‍යයේ අගයයි. ඔබ ප්‍රස්ථාරයක ශ්‍රිතයක ශුන්‍ය සොයන්නේ නම්, ප්රස්ථාරය x-අක්ෂය සමඟ ඡේදනය වන ලක්ෂ්‍ය කෙරෙහි අවධානය යොමු කළ යුතුය.
ශ්රිතයේ ශුන්‍ය සෙවීමට, ඔබ පහත සමීකරණය විසඳිය යුතුය: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. අවශ්ය ගණනය කිරීම් කිරීමෙන් පසු, අපට පහත පිළිතුර ලැබේ:
සංඥා ස්ථාවරත්වය
ශ්‍රිතයක් (ග්‍රැෆික්ස්) අධ්යයනය සහ ගොඩනැගීමේ මීළඟ අදියර වන්නේ සංඥා ස්ථාවරත්වයේ විරාමයන් සොයා ගැනීමයි. මෙයින් අදහස් කරන්නේ අපි ශ්‍රිතයට ගතවන කාල අන්තරයන් මත තීරණය කළ යුතු බවයි ධනාත්මක අගය, සහ සමහර මත - සෘණ. පෙර කොටසේ සොයාගත් ශ්‍රිතවල ශුන්‍ය මෙය කිරීමට අපට උපකාරී වනු ඇත. එබැවින්, අපි සරල රේඛාවක් අඳින්න අවශ්යයි (ප්රස්ථාරයෙන් වෙන්ව) සහ ඇතුළත නිවැරදි පිළිවෙලඑය මත ශ්රිතයේ ශුන්‍ය කුඩාම සිට විශාලතම දක්වා බෙදා හරින්න. දැන් ඔබට "+" ලකුණක් ඇති ප්‍රති result ලය කුමන අන්තරාලයද සහ "-" ඇත්තේ කොතැනද යන්න තීරණය කළ යුතුය.
අපගේ නඩුවේදී, ශ්රිතය කාල අන්තරයන් මත ධනාත්මක අගයක් ගනී:
- 1 සිට 4 දක්වා;
- 9 සිට අනන්තය දක්වා.
සෘණ අර්ථය:
- සෘණ අනන්තයේ සිට 1 දක්වා;
- 4 සිට 9 දක්වා.
මෙය තීරණය කිරීම තරමක් පහසුය. ශ්‍රිතයට අන්තරයේ සිට ඕනෑම සංඛ්‍යාවක් ආදේශ කර පිළිතුර කුමන ලකුණදැයි බලන්න (අඩු හෝ වැඩි).
ශ්රිතය ඉහල යාම සහ අඩුවීම
ශ්‍රිතයක් ගවේෂණය කිරීම සහ ගොඩ නැගීම සඳහා, ප්රස්ථාරය වැඩි වන්නේ කොතැනින්ද (Oy මත ඉහළට යන්න), සහ එය වැටෙන්නේ කොතැනද (y-අක්ෂය දිගේ පහළට රිංගා) යන්න අප දැනගත යුතුය.
ශ්රිතය වැඩි වන්නේ x විචල්‍යයේ විශාල අගය y හි විශාල අගයට අනුරූප වන්නේ නම් පමණි. එනම්, x2 x1 ට වඩා වැඩි වන අතර f(x2) f(x1) ට වඩා වැඩි වේ. අඩුවන ශ්‍රිතයක (x වැඩි, අඩු y) අපි සම්පූර්ණයෙන්ම ප්‍රතිවිරුද්ධ සංසිද්ධියක් නිරීක්ෂණය කරමු. වැඩිවීමේ හා අඩුවීමේ කාල පරතරයන් තීරණය කිරීම සඳහා, ඔබ පහත සඳහන් දෑ සොයා ගත යුතුය:
- විෂය පථය (අපට දැනටමත් එය තිබේ);
- ව්යුත්පන්න (අපගේ නඩුවේ: 1/3(3x^2-28x+49);
- 1/3(3x^2-28x+49)=0 සමීකරණය විසඳන්න.
ගණනය කිරීම් වලින් පසුව, අපි ප්රතිඵලය ලබා ගනිමු:
අපට ලැබෙන්නේ: ශ්රිතය සෘණ අනන්තයේ සිට 7/3 දක්වා සහ 7 සිට අනන්තය දක්වා කාල පරතරයන් මත වැඩි වන අතර 7/3 සිට 7 දක්වා පරතරය මත අඩු වේ.
අන්ත
විමර්ශනය කරන ලද ශ්රිතය y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) අඛණ්ඩ වන අතර x විචල්‍යයේ ඕනෑම අගයක් සඳහා පවතී. අන්ත ලක්ෂ්යය මෙම ශ්රිතයේ උපරිම සහ අවම අගය පෙන්වයි. අපගේ නඩුවේදී, ඉදිකිරීම් කාර්යය බෙහෙවින් සරල කරන කිසිවක් නොමැත. එසේ නොමැති නම්, ඒවා ව්යුත්පන්න ශ්රිතය භාවිතයෙන් ද සොයා ගැනේ. සොයා ගැනීමෙන් පසු, ඒවා ප්රස්ථාරයේ සලකුණු කිරීමට අමතක නොකරන්න.
උත්තල සහ concavity
අපි y(x) ශ්රිතය දිගටම අධ්යයනය කරන්නෙමු. දැන් අපි එය convexity සහ concavity සඳහා පරීක්ෂා කළ යුතුය. මෙම සංකල්පවල අර්ථ දැක්වීම් වටහා ගැනීම තරමක් අපහසුය, උදාහරණ සමඟ සියල්ල විශ්ලේෂණය කිරීම වඩා හොඳය. පරීක්ෂණය සඳහා: ශ්‍රිතයක් අඩු නොවන ශ්‍රිතයක් නම් උත්තල වේ. එකඟ වන්න, මෙය තේරුම්ගත නොහැකි ය!
අපි දෙවන අනුපිළිවෙල ශ්රිතයේ ව්යුත්පන්නය සොයා ගත යුතුයි. අපට ලැබෙන්නේ: y=1/3(6x-28). දැන් සමාන කරන්න දකුණු පැත්තශුන්ය කිරීමට සහ සමීකරණය විසඳන්න. පිළිතුර: x=14/3. ප්රස්ථාරය උත්තල සිට අවතල දක්වා හෝ අනෙක් අතට වෙනස් වන ස්ථානය අපි සොයා ගෙන ඇත. සෘණ අනන්තයේ සිට 14/3 දක්වා පරතරය මත, ශ්රිතය උත්තල වන අතර 14/3 සිට අනන්තය දක්වා එය අවතල වේ. ප්රස්ථාරයේ ආවර්ත ලක්ෂ්යය සුමට හා මෘදු විය යුතුය, තියුණු කොනක් නොතිබිය යුතු බව සටහන් කිරීම ඉතා වැදගත් වේ.
අතිරේක ලකුණු අර්ථ දැක්වීම
අපගේ කාර්යය වන්නේ ශ්‍රිත ප්රස්ථාරය ගවේෂණය කිරීම සහ සැලසුම් කිරීමයි. අපි අධ්යයනය සම්පූර්ණ කර ඇත, දැන් කාර්යය සැලසුම් කිරීම අපහසු නොවනු ඇත. ඛණ්ඩාංක තලය මත වක්රයක් හෝ සරල රේඛාවක් වඩාත් නිවැරදි හා සවිස්තරාත්මක ප්රතිනිෂ්පාදනය සඳහා, ඔබට සහායක කරුණු කිහිපයක් සොයාගත හැකිය. ඒවා ගණනය කිරීම තරමක් පහසුය. උදාහරණයක් ලෙස, අපි x=3 ගෙන, ලැබෙන සමීකරණය විසඳා y=4 සොයා ගනිමු. නැතහොත් x=5 සහ y=-5 යනාදිය. ඔබට ගොඩනගා ගැනීමට අවශ්ය තරම් අමතර ලකුණු ප්‍රමාණයක් ගත හැකිය. ඔවුන්ගෙන් අවම වශයෙන් 3-5 ක් සොයා ගත හැකිය.
කුමන්ත්රණය කිරීම
අපට ශ්රිතය විමර්ශනය කිරීමට අවශ්ය විය (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y. ගණනය කිරීම් වලදී අවශ්ය සියලු ලකුණු ඛණ්ඩාංක තලය මත සිදු කරන ලදී. කිරීමට ඉතිරිව ඇත්තේ ප්‍රස්ථාරයක් තැනීමයි, එනම් සියලුම කරුණු එකිනෙක සම්බන්ධ කිරීමයි. තිත් සම්බන්ධ කිරීම සුමට හා නිවැරදියි, මෙය දක්ෂතාවයේ කාරණයක් - කුඩා පුහුණුවක් සහ ඔබේ කාලසටහන පරිපූර්ණ වනු ඇත.
