නියත සංගුණක සහිත දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි රේඛීය සමජාතීය සමීකරණ. දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි සහ ඉහළ අනුපිළිවෙලෙහි අවකල සමීකරණ. නියත සංගුණක සහිත දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි රේඛීය DE. විසඳුම් උදාහරණ
දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි රේඛීය අවකල සමීකරණය පෝරමයේ සමීකරණයක් ලෙස හැඳින්වේ
වයි"" + පි(x)වයි" + q(x)වයි = f(x) ,
කොහෙද වයිසොයා ගත යුතු කාර්යය වේ, සහ පි(x) , q(x) හා f(x) යම් කාල පරතරයක් මත අඛණ්ඩ ශ්‍රිත වේ ( a, b) .
අ දකුණු කොටසසමීකරණය බිංදුව ( f(x) = 0 ), එවිට සමීකරණය ලෙස හැඳින්වේ රේඛීය සමජාතීය සමීකරණය . එවැනි සමීකරණ ප්රධාන වශයෙන් මෙම පාඩමෙහි ප්රායෝගික කොටස සඳහා කැප කරනු ඇත. සමීකරණයේ දකුණු පැත්ත ශුන්යයට සමාන නොවේ නම් ( f(x) ≠ 0 ), එවිට සමීකරණය ලෙස හැඳින්වේ.
කාර්යයන් වලදී, අපි සම්බන්ධයෙන් සමීකරණය විසඳීමට අවශ්ය වේ වයි"" :
වයි"" = −පි(x)වයි" − q(x)වයි + f(x) .
රේඛීය අවකල සමීකරණදෙවන අනුපිළිවෙලට අද්විතීය විසඳුමක් ඇත Cauchy ගැටළු .
දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණය සහ එහි විසඳුම
දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණයක් සලකා බලන්න:
වයි"" + පි(x)වයි" + q(x)වයි = 0 .
අ වයි1 (x) හා වයි2 (x) මෙම සමීකරණයේ විශේෂිත විසඳුම් වේ, එවිට පහත ප්‍රකාශ සත්‍ය වේ:
1) වයි1 (x) + වයි 2 (x) - මෙම සමීකරණයට විසඳුමක් ද වේ;
2) සයි1 (x) , කොහෙද සී- අත්තනෝමතික නියතයක් (ස්ථාවර), මෙම සමීකරණයට විසඳුමක් ද වේ.
මෙම ප්‍රකාශ දෙකෙන් එය ක්‍රියාත්මක වන බව පෙනේ
සී1 වයි 1 (x) + සී 2 වයි 2 (x)
යන්න ද මෙම සමීකරණයට විසඳුමකි.
සාධාරණ ප්රශ්නයක් පැන නගී: මෙය විසඳුමද? දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණයක පොදු විසඳුම , එනම්, විවිධ අගයන් සඳහා එවැනි විසඳුමක් සී1 හා සී2 සමීකරණයේ සියලු විසඳුම් ලබා ගත හැකිද?
මෙම ප්රශ්නයට පිළිතුර: එය කළ හැකිය, නමුත් යම් කොන්දේසි යටතේ. එය විශේෂිත විසඳුම්වල තිබිය යුතු ගුණාංග මොනවාද යන්න පිළිබඳ කොන්දේසිය වයි1 (x) හා වයි2 (x) .
තවද මෙම තත්වය තත්වය ලෙස හැඳින්වේ රේඛීය ස්වාධීනත්වයපෞද්ගලික තීරණ.
ප්රමේයය. කාර්යය සී1 වයි 1 (x) + සී 2 වයි 2 (x) ශ්‍රිත නම් දෙවන පෙළ රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණයක සාමාන්ය විසඳුමකි වයි1 (x) හා වයි2 (x) රේඛීයව ස්වාධීන වේ.
අර්ථ දැක්වීම. කාර්යයන් වයි1 (x) හා වයි2 (x) ඒවායේ අනුපාතය ශුන්‍ය නොවන නියතයක් නම් රේඛීයව ස්වාධීන ලෙස හැඳින්වේ.
වයි1 (x)/වයි 2 (x) = කේ ; කේ = const ; කේ ≠ 0 .
කෙසේ වෙතත්, මෙම ශ්‍රිතයන් රේඛීයව ස්වාධීනද යන්න නිර්වචනය මගින් තහවුරු කිරීම බොහෝ විට ඉතා අපහසු වේ. Wronsky determinant භාවිතයෙන් රේඛීය ස්වාධීනත්වය ස්ථාපිත කිරීමට ක්රමයක් තිබේ ඩබ්ලිව්(x) :
Wronsky නිර්ණායකය ශුන්යයට සමාන නොවේ නම්, විසඳුම් රේඛීයව ස්වාධීන වේ . Wronsky නිර්ණායකය ශුන්යයට සමාන නම්, විසඳුම් රේඛීයව රඳා පවතී.
උදාහරණ 1සොයන්න පොදු තීරණයරේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණය.
විසඳුමක්. අපි දෙවරක් අනුකලනය කරන අතර, එය දැකීමට පහසු වන පරිදි, ශ්‍රිතයේ දෙවන ව්‍යුත්පන්නයේ වෙනස සහ ශ්‍රිතයේම ශුන්යයට සමාන වීමට නම්, විසඳුම් ව්‍යුත්පන්නයට සමාන වන ඝාතකයක් සමඟ සම්බන්ධ විය යුතුය. එනම් පුද්ගලික විසඳුම් යනු සහ .
Vronsky නිර්ණායකයේ සිට
ශුන්යයට සමාන නොවේ, එවිට මෙම විසඳුම් රේඛීයව ස්වාධීන වේ. එබැවින් මෙම සමීකරණයේ පොදු විසඳුම ලෙස ලිවිය හැකිය
.
නියත සංගුණක සහිත දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණ: න්යාය සහ භාවිතය
සමඟ දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණය නියත සංගුණක පෝරමයේ සමීකරණයක් ලෙස හැඳින්වේ
වයි"" + py" + qy = 0 ,
කොහෙද පිහා qනියත අගයන් වේ.
මෙය දෙවන අනුපිළිවෙල සමීකරණයක් බව පෙන්නුම් කරන්නේ අපේක්ෂිත ශ්‍රිතයේ දෙවන ව්‍යුත්පන්නය තිබීමෙන් වන අතර එහි සමජාතීයතාවය දකුණු පැත්තේ ශුන්‍යයෙන් දැක්වේ. ඉහත දැනටමත් සඳහන් කර ඇති ප්රමාණයන් නියත සංගුණක ලෙස හැඳින්වේ.
වෙත නියත සංගුණක සමඟ දෙවන පෙළ රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණයක් විසඳන්න , ඔබ මුලින්ම පෝරමයේ ඊනියා ලාක්ෂණික සමීකරණය විසඳිය යුතුය
කේ² + pq + q = 0 ,
දැකිය හැකි පරිදි, සාමාන්ය චතුරස්ර සමීකරණයකි.
විසඳුම මත රඳා පවතී ලක්ෂණ සමීකරණයවිවිධ විකල්ප තුනක් හැකි ය නියත සංගුණක සහිත දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණයක විසඳුම , අපි දැන් විශ්ලේෂණය කරනු ඇත. සම්පූර්ණ නිශ්චිතභාවය සඳහා, සියලුම විශේෂිත විසඳුම් Vronsky determinant විසින් පරීක්ෂා කර ඇති අතර සෑම අවස්ථාවකදීම එය ශුන්යයට සමාන නොවන බව අපි උපකල්පනය කරමු. කෙසේ වෙතත්, සැක කරන්නන්ට එය තමන්ටම පරීක්ෂා කළ හැකිය.
ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලයන් - සැබෑ සහ වෙනස්
වෙනත් විදිහකින්, . මෙම අවස්ථාවෙහිදී, නියත සංගුණක සහිත දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණයක විසඳුමෙහි ස්වරූපය ඇත
.
උදාහරණ 2. රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණයක් විසඳන්න
.
උදාහරණ 3. රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණයක් විසඳන්න
.
විසඳුමක්. ලාක්ෂණික සමීකරණයේ ස්වරූපය, එහි මූලයන් ඇති අතර සැබෑ සහ වෙනස් වේ. සමීකරණයේ අනුරූප විශේෂිත විසඳුම්: සහ . මෙම අවකල සමීකරණයේ සාමාන්ය විසඳුමේ ස්වරූපය ඇත
.
ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලයන් - සැබෑ සහ සමාන
එනම්, . මෙම අවස්ථාවෙහිදී, නියත සංගුණක සහිත දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණයක විසඳුමෙහි ස්වරූපය ඇත
.
උදාහරණ 4. රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණයක් විසඳන්න
.
විසඳුමක්. ලාක්ෂණික සමීකරණය 
සමාන මූලයන් ඇත. සමීකරණයේ අනුරූප විශේෂිත විසඳුම්: සහ . මෙම අවකල සමීකරණයේ සාමාන්ය විසඳුමේ ස්වරූපය ඇත
උදාහරණ 5. රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණයක් විසඳන්න
.
විසඳුමක්. ලාක්ෂණික සමීකරණයට සමාන මූලයන් ඇත. සමීකරණයේ අනුරූප විශේෂිත විසඳුම්: සහ . මෙම අවකල සමීකරණයේ සාමාන්ය විසඳුමේ ස්වරූපය ඇත
2 වන අනුපිළිවෙල අවකල සමීකරණ
§එක. සමීකරණයක අනුපිළිවෙල අඩු කිරීමේ ක්‍රම.
2 වන අනුපිළිවෙල අවකල සමීකරණයට පෝරමය ඇත:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="119" height="25 src="> ( හෝ අවකලනය" href="/text/category/differentcial/" rel="bookmark">2 වන අනුපිළිවෙල අවකල සමීකරණය). 2 වන අනුපිළිවෙල අවකල සමීකරණය සඳහා Cauchy ගැටළුව (1..gif" width="85" height= "25 src= ">.gif" width="85" height="25 src=">.gif" height="25 src=">.
2 වන අනුපිළිවෙල අවකල සමීකරණයට ඉඩ දෙන්න: https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" height="25 src=">..gif" width="39" height=" 25 src=">.gif" width="265" height="28 src=">.
මේ අනුව, 2 වන අනුපිළිවෙල සමීකරණය https://pandia.ru/text/78/516/images/image015_28.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="118" height =" 25 src=">.gif" width="117" height="25 src=">.gif" width="34" height="25 src=">. එය විසඳීමෙන්, අපි අත්තනෝමතික නියතයන් දෙකක් මත පදනම්ව මුල් අවකල සමීකරණයේ සාමාන්ය අනුකලනය ලබා ගනිමු: https://pandia.ru/text/78/516/images/image020_23.gif" width="95" height="25 src =">. gif" width="76" height="25 src=">.
විසඳුමක්.
මුල් සමීකරණයේ පැහැදිලි තර්කයක් නොමැති බැවින් https://pandia.ru/text/78/516/images/image011_39.gif" height="25 src=">.gif" width="35" height="25 src=">..gif" width="35" height="25 src=">.gif" width="82" height="38 src="> ..gif" width="99" height="38 src=">.
https://pandia.ru/text/78/516/images/image029_18.gif" width="85" height="25 src=">.gif" width="42" height="38 src= "> සිට .gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="68" height="35 src=">..gif" height="25 src=">.
2 වන අනුපිළිවෙල අවකල සමීකරණයට ඉඩ දෙන්න: https://pandia.ru/text/78/516/images/image011_39.gif" height="25 src=">..gif" width="161" height=" 25 src=">.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="33" height="25 src=">..gif" width="225" height="25 src =">..gif" width="150" height="25 src=">.
උදාහරණ 2සමීකරණයේ සාමාන්ය විසඳුම සොයන්න: https://pandia.ru/text/78/516/images/image015_28.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="107" උස ="25 src=">..gif" width="100" height="27 src=">.gif" width="130" height="37 src=">.gif" width="34" height= "25 src = ">.gif" පළල = "183" උස = 36 src = ">.
3. https://pandia.ru/text/78/516/images/image052_13.gif අනුව සමීකරණයේ කොටස් දෙකම සම්පූර්ණ ව්‍යුත්පන්නයන් බවට පත්වන ආකාරයේ ස්වරූපයකට පරිවර්තනය කළ හැකි නම් උපාධියේ අනුපිළිවෙල අඩු වේ. " width="92" height="25 src=">..gif" width="98" height="48 src=">.gif" width="138" height="25 src=">.gif" පළල="282" උස="25 src=">, (2.1)
එහිදී https://pandia.ru/text/78/516/images/image060_12.gif" width="42" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src="> - පූර්ව නිශ්චිත කාර්යයන්, විසඳුම සොයන පරතරය මත අඛණ්ඩව. a0(x) ≠ 0 උපකල්පනය කරමින්, (2..gif" width="215" height="25 src="> (2.2) න් බෙදන්න
සාක්ෂි නොමැතිව උපකල්පනය කරන්න (2..gif" width="82" height="25 src=">.gif" width="38" height="25 src=">.gif" width="65" height= " 25 src=">, එවිට සමීකරණය (2.2) සමජාතීය ලෙස හැඳින්වේ, සහ සමීකරණය (2.2) වෙනත් ආකාරයකින් සමජාතීය ලෙස හැඳින්වේ.
2 වන අනුපිළිවෙල ලෝඩු සඳහා විසඳුම්වල ගුණාංග අපි සලකා බලමු.
අර්ථ දැක්වීම.ශ්‍රිතවල රේඛීය සංයෝජනය https://pandia.ru/text/78/516/images/image071_10.gif" width="93" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src = ">.gif" width="195" height="25 src=">, (2.3)
ඉන්පසු ඔවුන්ගේ රේඛීය සංයෝජනය https://pandia.ru/text/78/516/images/image076_10.gif" width="182" height="25 src="> (2.3) හි ප්‍රතිඵලය අනන්‍යතාවයක් බව පෙන්වන්න:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image078_10.gif" width="368" height="25 src=">.
https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" height="25 src="> යන ශ්‍රිතයන් සමීකරණයේ විසඳුම් (2.3) බැවින්, එක් එක් වරහන් අවසාන සමීකරණය ඔප්පු කළ යුතු ශුන්යයට සමාන වේ.
ප්රතිවිපාකය 1.එය https://pandia.ru/text/78/516/images/image080_10.gif" width="77" height="25 src="> හි ඔප්පු කරන ලද ප්‍රමේයයෙන් අනුගමනය කරයි – සමීකරණයේ විසඳුම (2..gif " width=" 97" height="25 src=">.gif" width="165" height = අනිත් අය.
ශ්‍රිත දෙකකදී https://pandia.ru/text/78/516/images/image085_11.gif" width="119" height="25 src=">, i.e..gif" width="77" height= "47 src=">.gif" width="187" height="43 src=">.gif" width="42" height="25 src=">. මේ අනුව, රේඛීය ස්වාධීන ශ්‍රිත දෙකක් සඳහා වන Wronsky නිර්ණායකය ශුන්යයට සමාන විය නොහැක.
ඉඩ දෙන්න https://pandia.ru/text/78/516/images/image091_10.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src="> .gif" width="605" height="50">..gif" width="18" height="25 src="> සමීකරණය තෘප්තිමත් කරන්න (2..gif" width="42" height="25 src = "> – සමීකරණයේ විසඳුම (3.1)..gif" width="87" height="28 src=">..gif" width="182" height="34 src=">..gif" width= "162" උස="42 src=">.gif" width="51" height="25 src="> සමාන වේ. මේ අනුව,
https://pandia.ru/text/78/516/images/image107_7.gif" width="18" height="25 src=">, සමීකරණයේ රේඛීය ස්වාධීන විසඳුම් සඳහා නිර්ණායකය (2..gif " width= "42" height="25 src=">.gif" height="25 src="> සූත්‍රයේ (3.2) දකුණු පැත්තේ ඇති සාධක දෙකම ශුන්‍ය නොවේ.
§හතර. 2 වන අනුපිළිවෙල ලොඩ් සඳහා පොදු විසඳුමේ ව්යුහය.
ප්රමේයය. https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" height="25 src="> සමීකරණයේ රේඛීය ස්වාධීන විසඳුම් නම් (2..gif" width=" 19" height="25 src=">.gif" width="129" height="25 src="> යනු සමීකරණයට (2.3) විසඳුමකි, 2 වන අනුපිළිවෙලෙහි ලෝදු විසඳුම්වල ගුණ පිළිබඳ ප්‍රමේයයෙන් පහත දැක්වේ..gif " width="85 "height="25 src=">.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="220" height="47">
මෙම රේඛීය වීජීය සමීකරණ පද්ධතියෙන් නියත https://pandia.ru/text/78/516/images/image003_79.gif" width="19" height="25 src="> නිශ්චය කරන බැවින්, අනන්‍ය ලෙස නිර්ණය කරනු ලැබේ. මෙම පද්ධතිය https: //pandia.ru/text/78/516/images/image006_56.gif" width="51" height="25 src=">:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image116_7.gif" width="138" height="25 src=">.gif" width="19" height="25 src=">. gif" width="69" height="25 src=">.gif" width="235" height="48 src=">..gif" width="143" height="25 src="> (5 ..gif" width="77" height="25 src=">. පෙර ඡේදයට අනුව, මෙම සමීකරණයේ රේඛීය ස්වාධීන අර්ධ විසඳුම් දෙකක් දන්නේ නම්, 2 වන අනුපිළිවෙල ලෝදු සඳහා සාමාන්ය විසඳුම පහසුවෙන් තීරණය වේ.සරල ක්රමයක් L. Euler..gif" width="25" height="26 src="> විසින් යෝජනා කරන ලද නියත සංගුණක සහිත සමීකරණයකට අර්ධ විසඳුම් සෙවීම සඳහා, අපට ලැබේ වීජීය සමීකරණය, එය ලක්ෂණ ලෙස හැඳින්වේ:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image124_5.gif" width="59" height="26 src="> සමීකරණයට විසඳුමක් වනු ඇත (5.1) k හි එම අගයන් සඳහා පමණි එනම් ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලයන් (5.2)..gif" width="49" height="25 src=">..gif" width="76" height="28 src=">.gif" width= "205" උස="47 src="> සහ සාමාන්ය විසඳුම (5..gif" width="45" height="25 src=">..gif" width="74" height="26 src=" >..gif" width="83 " height="26 src=">. මෙම ශ්‍රිතය සමීකරණය (5.1)..gif" width="190" height="26 src="> තෘප්තිමත් වේද යන්න පරීක්ෂා කරන්න. මෙම ප්‍රකාශන ආදේශ කිරීම සමීකරණය (5.1), අපි ලබා ගනිමු
https://pandia.ru/text/78/516/images/image141_6.gif" width="328" height="26 src=">, because.gif" width="137" height="26 src=" >.
පුද්ගලික විසඳුම් https://pandia.ru/text/78/516/images/image145_6.gif" width="86" height="28 src="> රේඛීයව ස්වාධීන වේ, මන්ද.gif" width="166" height= "26 src=">.gif" width="45" height="25 src=">..gif" width="65" height="33 src=">.gif" width="134" උස =" 25 src=">.gif" width="267" height="25 src=">.gif" width="474" height="25 src=">.
මෙම සමානාත්මතාවයේ වම් පැත්තේ ඇති වරහන් දෙකම ශුන්යයට සමාන වේ..gif" width="174" height="25 src=">..gif" width="132" height="25 src="> යනු සමීකරණයේ විසඳුම (5.1) ..gif" width="129" height="25 src="> මෙලෙස පෙනෙනු ඇත:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image162_6.gif" width="179" height="25 src="> f(x) (6.1)
සාමාන්ය විසඳුමේ එකතුව ලෙස නිරූපණය කෙරේ https://pandia.ru/text/78/516/images/image164_6.gif" width="195" height="25 src="> (6.2)
සහ ඕනෑම විශේෂිත විසඳුමක් https://pandia.ru/text/78/516/images/image166_6.gif" width="87" height="25 src="> සමීකරණයට විසඳුමක් වනු ඇත (6.1)..gif" පළල = "272" උස = "25 src="> f(x). මෙම සමානාත්මතාවය අනන්‍යතාවයක් වන නිසා..gif" width="128" height="25 src="> f(x).එබැවින්.gif" width="85" height="25 src=">.gif" width= "138" height="25 src=">.gif" width="18" height="25 src="> මෙම සමීකරණයට රේඛීයව ස්වාධීන විසඳුම් වේ. මේ ක්රමයෙන්:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image173_5.gif" width="289" height="48 src=">
https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="11" height="25 src=">. gif" width="51" height="25 src=">, සහ එවැනි නිර්ණායකයක්, අප ඉහත දුටු පරිදි, පද්ධතියෙන් ශුන්‍ය..gif" width="19" height="25 src="> ට වඩා වෙනස් වේ සමීකරණවල (6 ..gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="140" height="25 src ="> සමීකරණයේ විසඳුම වනු ඇත
https://pandia.ru/text/78/516/images/image179_5.gif" width="91" height="25 src="> සමීකරණයට (6.5), අපි ලබා ගනිමු
https://pandia.ru/text/78/516/images/image181_5.gif" width="140" height="25 src=">.gif" width="128" height="25 src="> f (x) (7.1)
මෙහි https://pandia.ru/text/78/516/images/image185_5.gif" width="34" height="25 src="> සමීකරණයේ (7.1) දකුණු පස f(x) ඇත විශේෂ ආකාරයේ. මෙම ක්රමය අවිනිශ්චිත සංගුණක ක්රමය ලෙස හැඳින්වෙන අතර f(x) හි දකුණු පැත්තේ ස්වරූපය අනුව විශේෂිත විසඳුමක් තෝරාගැනීමෙන් සමන්විත වේ. පහත පෝරමයේ නිවැරදි කොටස් සලකා බලන්න:
1..gif" width="282" height="25 src=">.gif" width="53" height="25 src="> ශුන්‍ය විය හැක. මෙම නඩුවේ විශේෂිත විසඳුම ගත යුතු ආකෘතිය අපි දක්වන්නෙමු.
අ) අංකය නම් https://pandia.ru/text/78/516/images/image191_5.gif" width="393" height="25 src=">.gif" width="157" height=" 25 src = ">.
විසඳුමක්.
සමීකරණය සඳහා https://pandia.ru/text/78/516/images/image195_4.gif" width="86" height="25 src=">..gif" width="62" height="25 src = ">..gif" width="101" height="25 src=">.gif" width="153" height="25 src=">.gif" width="383" height="25 src= " >.
අපි සමානාත්මතාවයේ වම් සහ දකුණු කොටස් වල https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" height="25 src="> මගින් කොටස් දෙකම කෙටි කරමු
https://pandia.ru/text/78/516/images/image206_5.gif" width="111" height="40 src=">
ලැබෙන සමීකරණ පද්ධතියෙන් අපට හමුවන්නේ: https://pandia.ru/text/78/516/images/image208_5.gif" width="189" height="25 src=">, සහ සාමාන්ය විසඳුම ලබා දී ඇති සමීකරණයඅර තියෙන්නේ:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image190_5.gif" width="11" height="25 src=">.gif" width="423" height="25 src=">,
එහිදී https://pandia.ru/text/78/516/images/image212_5.gif" width="158" height="25 src=">.
විසඳුමක්.
අනුරූප ලාක්ෂණික සමීකරණයේ ස්වරූපය ඇත:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image214_6.gif" width="53" height="25 src=">.gif" width="85" height="25 src=">. gif" width="45" height="25 src=">.gif" width="219" height="25 src=">..gif" width="184" height="35 src=">. අවසානයේ සාමාන්ය විසඳුම සඳහා අපට පහත ප්‍රකාශනය ඇත:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image223_4.gif" width="170" height="25 src=">.gif" width="13" height="25 src="> විශිෂ්ටයි බිංදුවෙන්. මෙම නඩුවේ විශේෂිත විසඳුමක ස්වරූපය අපි දක්වන්නෙමු.
අ) අංකය https://pandia.ru/text/78/516/images/image227_5.gif" width="204" height="25 src="> නම්,
මෙහි https://pandia.ru/text/78/516/images/image226_5.gif" width="16" height="25 src="> යනු සමීකරණය සඳහා ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මුල (5..gif" පළල වේ ="229 "උස="25 src=">,
එහිදී https://pandia.ru/text/78/516/images/image229_5.gif" width="147" height="25 src=">.
විසඳුමක්.
සමීකරණය සඳහා ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලයන් https://pandia.ru/text/78/516/images/image231_4.gif" width="58" height="25 src=">.gif" width="203" උස = "25 src = ">.
උදාහරණ 3 හි දක්වා ඇති සමීකරණයේ දකුණු පැත්තට විශේෂ ආකාරයක් ඇත: f(x) https://pandia.ru/text/78/516/images/image235_3.gif" width="50" height="25 src= ">.gif " width="55" height="25 src=">.gif" width="229" height="25 src=">.
අර්ථ දැක්වීමට https://pandia.ru/text/78/516/images/image240_2.gif" width="11" height="25 src=">.gif" width="43" height="25 src=" > සහ දී ඇති සමීකරණයට ආදේශ කරන්න:
සමාන නියමයන් ගෙන ඒම, https://pandia.ru/text/78/516/images/image245_2.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="100" height= හි සංගුණක සමාන කිරීම "25 src=">.
ලබා දී ඇති සමීකරණයේ අවසාන පොදු විසඳුම වන්නේ: https://pandia.ru/text/78/516/images/image249_2.gif" width="281" height="25 src=">.gif" width="47 " උස ="25 src=">.gif" width="10" height="25 src="> පිළිවෙලින්, සහ මෙම බහුපද වලින් එකක් ශුන්යයට සමාන විය හැක. අපි මෙම සාමාන්‍යයේ විශේෂිත විසඳුමක ස්වරූපය දක්වන්නෙමු. නඩුව.
අ) අංකය නම් https://pandia.ru/text/78/516/images/image255_2.gif" width="605" height="51">, (7.2)
එහිදී https://pandia.ru/text/78/516/images/image257_2.gif" width="121" height="25 src=">.
ආ) අංකය https://pandia.ru/text/78/516/images/image210_5.gif" width="80" height="25 src="> නම්, විශේෂිත විසඳුමක් පෙනෙන්නේ:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image259_2.gif" width="17" height="25 src=">. ප්‍රකාශනයේ (7..gif" width="121" height= " 25 src=">.
උදාහරණය 4සමීකරණය සඳහා විශේෂිත විසඳුම් වර්ගය සඳහන් කරන්න
https://pandia.ru/text/78/516/images/image262_2.gif" width="129" height="25 src=">..gif" width="95" height="25 src="> . ලොඩ් සඳහා පොදු විසඳුම පෝරමය ඇත:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image266_2.gif" width="183" height="25 src=">..gif" width="42" height="25 src="> ..gif" width="36" height="25 src=">.gif" width="351" height="25 src=">.
වැඩිදුර සංගුණක https://pandia.ru/text/78/516/images/image273_2.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="42" height="28 src=" > සමග සමීකරණයට විශේෂිත විසඳුමක් ඇත දකුණු පැත්ත f1(x), සහ විචලනය" href="/text/category/variatciya/" rel="bookmark">අත්තනෝමතික නියතයන්ගේ වෙනස්කම් (Lagrange ක්රමය).
නියත සංගුණක සහිත සමීකරණයක් හැරුණු විට රේඛාවකට නිශ්චිත විසඳුමක් සෘජුව සොයා ගැනීම සහ ඊට අමතරව විශේෂ නියත නියමයන් සමඟ විශාල දුෂ්කරතා ඇති කරයි. එබැවින්, lindu සඳහා සාමාන්ය විසඳුම සොයා ගැනීම සඳහා, අත්තනෝමතික නියතයන්ගේ විචලනය කිරීමේ ක්රමය සාමාන්‍යයෙන් භාවිතා වේ, එමඟින් සෑම විටම lindu සඳහා සාමාන්ය විසඳුම චතුරස්ර වලින් සොයා ගැනීමට හැකි වේ. මූලික පද්ධතියඅනුරූප සමජාතීය සමීකරණයේ විසඳුම්. මෙම ක්රමය පහත පරිදි වේ.
ඉහත සඳහන් පරිදි, රේඛීය සමජාතීය සමීකරණයේ පොදු විසඳුම වන්නේ:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image278_2.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="51" height="25 src="> – නියත නොවේ, නමුත් f(x) හි සමහර, තවමත් නොදන්නා, ශ්‍රිත . අන්තරයෙන් ගත යුතුය. ඇත්ත වශයෙන්ම, මෙම අවස්ථාවෙහිදී, Wronsky නිර්ණායකය අන්තරයේ සියලුම ස්ථානවල ශුන්‍ය නොවේ, එනම්, සම්පූර්ණ අවකාශය තුළ, එය ලාක්ෂණික සමීකරණයේ සංකීර්ණ මූලය වේ..gif" width="20" height="25 src="> පෝරමයේ රේඛීය ස්වාධීන විශේෂිත විසඳුම්:
සාමාන්ය විසඳුම් සූත්රය තුළ, මෙම මූල ආකෘතියේ ප්රකාශනයකට අනුරූප වේ.
නියත සංගුණක සහිත දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණයපොදු විසඳුමක් ඇත 
, කොහෙද 
හා 
මෙම සමීකරණයේ රේඛීයව ස්වාධීන විශේෂිත විසඳුම්.
නියත සංගුණක සහිත දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි සමජාතීය අවකල සමීකරණයක විසඳුම්වල පොදු ආකාරය 
, ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලයන් මත රඳා පවතී 
.
|
ලක්ෂණයේ මූලයන් සමීකරණ |
සාමාන්ය විසඳුමක් වර්ගය |
|
මුල් |
|
|
මුල් වලංගු සහ සමාන |
|
|
සංකීර්ණ මූලයන් |
හා 
වලංගු සහ විවිධ
=
=
,
උදාහරණයක්
නියත සංගුණක සමඟ දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණවල පොදු විසඳුම සොයන්න:
1)
විසඳුමක්:
.
එය විසඳා ගැනීමෙන් පසු, අපි මූලයන් සොයා ගනිමු 
,
වලංගු සහ වෙනස්. එබැවින්, පොදු විසඳුම වන්නේ: 
.
2)
විසඳුමක්:
අපි ලාක්ෂණික සමීකරණය කරමු: 
.
එය විසඳා ගැනීමෙන් පසු, අපි මූලයන් සොයා ගනිමු 
වලංගු සහ සමාන. එබැවින්, පොදු විසඳුම වන්නේ: 
.
3)
විසඳුමක්:
අපි ලාක්ෂණික සමීකරණය කරමු: 
.
එය විසඳා ගැනීමෙන් පසු, අපි මූලයන් සොයා ගනිමු 
සංකීර්ණ. එබැවින්, පොදු විසඳුම වන්නේ:
නියත සංගුණක සහිත රේඛීය සමජාතීය දෙවන අනුපිළිවෙල අවකල සමීකරණයආකෘතිය ඇත
කොහෙද 
. (1)
රේඛීය සමජාතීය දෙවන අනුපිළිවෙල අවකල සමීකරණයක සාමාන්ය විසඳුමේ ස්වරූපය ඇත 
, කොහෙද 
මෙම සමීකරණයේ විශේෂිත විසඳුමකි, අනුරූප සමජාතීය සමීකරණයේ පොදු විසඳුමකි, i.e. සමීකරණ.
පුද්ගලික විසඳුම් වර්ගය 
සමජාතීය සමීකරණය(1) දකුණු පැත්තට අනුව 
:
|
දකුණු කොටස |
පුද්ගලික විසඳුම |
|
|
|
|
|
|
|
කොහෙද |
|
|
කොහෙද |
- උපාධිය බහුපද 
, කොහෙද 
ශුන්යයට සමාන ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූල ගණන වේ.
, කොහෙද 
=
ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මුල වේ.
සමපාත වන ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූල ගණනට සමාන අංකයකි 
.
සමග සමපාත වන ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලයන් ගණන වේ 
.රේඛීය සමජාතීය නොවන අවකල සමීකරණයක විවිධ වර්ගයේ දකුණු පස සලකා බලන්න:
1.
, උපාධියේ බහුපදයක් කොහෙද 
. ඉන්පසු විශේෂිත විසඳුමක් 
ආකෘතියෙන් සෙවිය හැක 
, කොහෙද 
, ඒ 
ශුන්යයට සමාන ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූල ගණන වේ.
උදාහරණයක්
පොදු විසඳුමක් සොයන්න 
.
විසඳුමක්:
.
B) සමීකරණයේ දකුණු පැත්ත පළමු උපාධියේ බහුපදයක් වන අතර ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලයන් කිසිවක් නොවේ. 
බිංදුවට සමාන නොවේ ( 
), ඉන්පසුව අපි විශේෂිත විසඳුමක් සොයන්නෙමු එහිදී ආකෘතියෙන් 
හා 
නොදන්නා සංගුණක වේ. දෙවරක් වෙනස් කිරීම 
සහ ආදේශ කිරීම 
,
හා 
මුල් සමීකරණයට, අපි සොයා ගනිමු.
එකම බලතලවල සංගුණක සමාන කිරීම 
සමීකරණයේ දෙපැත්තේ 
,
, අපි සොයා ගනිමු 
,
. එබැවින්, මෙම සමීකරණයේ විශේෂිත විසඳුමක ස්වරූපය ඇත 
, සහ එහි පොදු විසඳුම.
2.
දකුණු පැත්ත පෙනෙන්න ඉඩ දෙන්න 
, උපාධියේ බහුපදයක් කොහෙද 
. ඉන්පසු විශේෂිත විසඳුමක් 
ආකෘතියෙන් සෙවිය හැක 
, කොහෙද 
සමාන උපාධියේ බහුපදයකි 
, ඒ 
- කොපමණ වාර ගණනක් පෙන්නුම් කරන අංකයක් 
ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මුල වේ.
උදාහරණයක්
පොදු විසඳුමක් සොයන්න 
.
විසඳුමක්:
A) අනුරූප සමජාතීය සමීකරණයේ පොදු විසඳුම සොයා ගන්න 
. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි ලාක්ෂණික සමීකරණය ලියන්නෙමු 
. අවසාන සමීකරණයේ මූලයන් සොයා ගනිමු 
. එබැවින්, සමජාතීය සමීකරණයේ පොදු විසඳුම ආකෘතිය ඇත 
.
ලක්ෂණ සමීකරණය 
, කොහෙද 
නොදන්නා සංගුණකය වේ. දෙවරක් වෙනස් කිරීම 
සහ ආදේශ කිරීම 
,
හා 
මුල් සමීකරණයට, අපි සොයා ගනිමු. කොහෙද 
, එනම් 
හෝ 
.
එබැවින්, මෙම සමීකරණයේ විශේෂිත විසඳුමක ස්වරූපය ඇත 
, සහ එහි පොදු විසඳුම 
.
3.
දකුණු පැත්ත පෙනෙන්න ඉඩ දෙන්න, කොහෙද 
හා 
- ලබා දී ඇති අංක. ඉන්පසු විශේෂිත විසඳුමක් 
යන ආකාරයෙන් සෙවිය හැක 
හා 
නොදන්නා සංගුණක වේ, සහ 
සමපාත වන ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූල ගණනට සමාන අංකයකි 
. ශ්‍රිත ප්‍රකාශනයක නම් 
අවම වශයෙන් එක් කාර්යයක් ඇතුළත් කරන්න 
හෝ 
, පසුව ඇතුල් 
සෑම විටම ඇතුළත් කළ යුතුය දෙකමකාර්යයන්.
උදාහරණයක්
පොදු විසඳුමක් සොයන්න.
විසඳුමක්:
A) අනුරූප සමජාතීය සමීකරණයේ පොදු විසඳුම සොයා ගන්න 
. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි ලාක්ෂණික සමීකරණය ලියන්නෙමු 
. අවසාන සමීකරණයේ මූලයන් සොයා ගනිමු 
. එබැවින්, සමජාතීය සමීකරණයේ පොදු විසඳුම ආකෘතිය ඇත 
.
B) සමීකරණයේ දකුණු පැත්ත ශ්‍රිතයක් වන බැවින් 
, එවිට මෙම සමීකරණයේ පාලන අංකය, එය මූලයන් සමග සමපාත නොවේ 
ලක්ෂණ සමීකරණය 
. එවිට අපි පෝරමයේ විශේෂිත විසඳුමක් සොයමු
කොහෙද 
හා 
නොදන්නා සංගුණක වේ. දෙවරක් වෙනස් කිරීම, අපි ලබා ගනිමු. ආදේශ කරනවා 
,
හා 
මුල් සමීකරණයට, අපි සොයා ගනිමු
.
සමාන කොන්දේසි එකට ගෙන ඒම, අපට ලැබේ
.
අපි සංගුණක සමාන කරමු 
හා 
සමීකරණයේ දකුණු සහ වම් පැතිවල පිළිවෙලින්. අපි පද්ධතිය ලබා ගනිමු 
. එය විසඳීම, අපි සොයා ගනිමු 
,
.
එබැවින්, මුල් අවකල සමීකරණයේ විශේෂිත විසඳුමක ස්වරූපය ඇත.
මුල් අවකල සමීකරණයේ සාමාන්ය විසඳුමේ ස්වරූපය ඇත.
සමීකරණය
අන්තරය තුළ පවතින සහ අඛණ්ඩ ශ්‍රිත සමජාතීය දෙවන පෙළ රේඛීය අවකල සමීකරණයක් ලෙස හැඳින්වේ, ශ්‍රිත සහ එහි සංගුණක වේ. මෙම පරතරය තුළ නම්, සමීකරණය පෝරමය ගනී:
සහ දෙවන අනුපිළිවෙල සමජාතීය රේඛීය අවකල සමීකරණයක් ලෙස හැඳින්වේ. සමීකරණයට (**) සමාන සංගුණක සහ සමීකරණය (*) ලෙස තිබේ නම්, එය සමජාතීය නොවන සමීකරණයකට (*) අනුරූප වන සමජාතීය සමීකරණයක් ලෙස හැඳින්වේ.
සමජාතීය දෙවන පෙළ රේඛීය අවකල සමීකරණ
රේඛීය සමීකරණයට ඉඩ දෙන්න
සහ නියත තාත්වික සංඛ්යා වේ.
අපි ශ්‍රිතයක ස්වරූපයෙන් සමීකරණයේ විශේෂිත විසඳුමක් සොයන්නෙමු, සැබෑ හෝ සංකීර්ණ අංකයතීරණය කළ යුතුය. ට සාපේක්ෂව වෙනස් කිරීම, අපට ලැබෙන්නේ:
මුල් අවකල සමීකරණයට ආදේශ කිරීමෙන් අපට ලැබෙන්නේ:
එබැවින්, එය සැලකිල්ලට ගනිමින්, අපට ඇත්තේ:
මෙම සමීකරණය සමජාතීය රේඛීය අවකල සමීකරණයක ලාක්ෂණික සමීකරණය ලෙස හැඳින්වේ. ලාක්ෂණික සමීකරණය ද එය සොයා ගැනීමට හැකි වේ. මෙය දෙවන උපාධි සමීකරණයකි, එබැවින් එයට මූලයන් දෙකක් ඇත. සහ මගින් ඒවා දක්වමු. අවස්ථා තුනක් හැකි ය:
1) මූලයන් සැබෑ සහ වෙනස් වේ. මෙම අවස්ථාවේදී, සමීකරණයට පොදු විසඳුම වන්නේ:
උදාහරණ 1
2) මූලයන් සැබෑ සහ සමාන වේ. මෙම අවස්ථාවේදී, සමීකරණයට පොදු විසඳුම වන්නේ:
උදාහරණයක්2
විභාගයකදී හෝ පරීක්ෂණයකදී ගැටලුවක් විසඳීමට උත්සාහ කරන අතරතුර මෙම පිටුවට ගොඩවැදුණේද? ඔබට තවමත් විභාගය සමත් වීමට නොහැකි නම් - ඊළඟ වතාවේ, උසස් ගණිතය සඳහා මාර්ගගත උදව් ගැන වෙබ් අඩවියේ කල්තියා සූදානම් කරන්න.
ලාක්ෂණික සමීකරණයේ ස්වරූපය ඇත:
ලාක්ෂණික සමීකරණයේ විසඳුම:
මුල් අවකල සමීකරණයේ පොදු විසඳුම:
3) සංකීර්ණ මූලයන්. මෙම අවස්ථාවේදී, සමීකරණයට පොදු විසඳුම වන්නේ:
උදාහරණය 3
ලාක්ෂණික සමීකරණයේ ස්වරූපය ඇත:
ලාක්ෂණික සමීකරණයේ විසඳුම:
මුල් අවකල සමීකරණයේ පොදු විසඳුම:
අසමජාතීය දෙවන පෙළ රේඛීය අවකල සමීකරණ
නියත සංගුණක සහිත රේඛීය සමජාතීය දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි සමහර වර්ගවල විසඳුම අපි දැන් සලකා බලමු.
එහිදී සහ නියත තාත්වික සංඛ්යා යනු පරතරය තුළ දන්නා අඛණ්ඩ ශ්‍රිතයකි. එවැනි අවකල්‍ය සමීකරණයක සාමාන්ය විසඳුම සොයා ගැනීම සඳහා අදාළ සමජාතීය අවකල සමීකරණයේ සාමාන්ය විසඳුම සහ විශේෂිත විසඳුම දැනගැනීම අවශ්ය වේ. සමහර අවස්ථා සලකා බලමු:
අපි වර්ග ත්‍රිපදයක ආකාරයෙන් අවකල සමීකරණයේ විශේෂිත විසඳුමක් ද සොයමින් සිටිමු:
0 යනු ලාක්ෂණික සමීකරණයේ තනි මූලයක් නම්, එසේ නම්
0 යනු ලාක්ෂණික සමීකරණයේ ද්විත්ව මූලයක් නම්, එසේ නම්
අත්තනෝමතික උපාධියේ බහුපදයක් නම් තත්වය සමාන වේ
උදාහරණය 4
අපි අනුරූප සමජාතීය සමීකරණය විසඳන්නෙමු.
ලාක්ෂණික සමීකරණය:
සමජාතීය සමීකරණයේ පොදු විසඳුම:
අපි සමජාතීය විභේදනය සඳහා විශේෂිත විසඳුමක් සොයා ගනිමු:
සොයාගත් ව්‍යුත්පන්නයන් මුල් අවකල සමීකරණයට ආදේශ කිරීම, අපි ලබා ගන්නේ:
අපේක්ෂිත විශේෂිත විසඳුම:
මුල් අවකල සමීකරණයේ පොදු විසඳුම:
අවිනිශ්චිත සංගුණකයක් ඇති ආකෘතියෙන් අපි විශේෂිත විසඳුමක් සොයමු.
මුල් අවකල සමීකරණයට ආදේශ කිරීමෙන්, අපි සංගුණකය සොයා ගන්නා අනන්‍යතාවයක් ලබා ගනිමු.
ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලය නම්, අපි මුල් අවකල සමීකරණයේ විශේෂිත විසඳුමක් සොයන්නෙමු , තනි මූලයක් වන විට සහ , ද්විත්ව මූලයක් වන විට.
උදාහරණ 5
ලාක්ෂණික සමීකරණය:
අනුරූප සමජාතීය අවකල සමීකරණයේ පොදු විසඳුම වන්නේ:
අනුරූප අසමජාතීය අවකල සමීකරණයේ විශේෂිත විසඳුමක් අපි සොයා ගනිමු:
අවකල සමීකරණයේ පොදු විසඳුම:
මෙම අවස්ථාවේදී, අපි ත්‍රිකෝණමිතික ද්විපදයක ස්වරූපයෙන් විශේෂිත විසඳුමක් සොයමු:
කොහෙද සහ අවිනිශ්චිත සංගුණක
මුල් අවකල සමීකරණයට ආදේශ කිරීමෙන්, අපි සංගුණක සොයා ගන්නා අනන්‍යතාවයක් ලබා ගනිමු.
මෙම සමීකරණ සංගුණක තීරණය කරන අතර (හෝ ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලයන් වන විට) අවස්ථාව හැර. අවසාන අවස්ථාවෙහිදී, අපි ආකෘතියේ අවකල සමීකරණයේ විශේෂිත විසඳුමක් සොයමු:
උදාහරණයක්6
ලාක්ෂණික සමීකරණය:
අනුරූප සමජාතීය අවකල සමීකරණයේ පොදු විසඳුම වන්නේ:
අපි සමජාතීය විභේදනය-සමීකරණයේ විශේෂිත විසඳුමක් සොයා ගනිමු
මුල් අවකල සමීකරණයට ආදේශ කිරීමෙන් අපට ලැබෙන්නේ:
මුල් අවකල සමීකරණයේ පොදු විසඳුම:
සංඛ්යා ශ්‍රේණි අභිසාරී වීම
ශ්‍රේණියක අභිසාරීතාව පිළිබඳ නිර්වචනයක් ලබා දී ඇති අතර සංඛ්‍යාත්මක ශ්‍රේණිවල අභිසාරීතාවය අධ්‍යයනය සඳහා වන ගැටළු සවිස්තරාත්මකව සලකා බලනු ලැබේ - සංසන්දනාත්මක නිර්ණායක, d'Alembert අභිසාරී නිර්ණායකය, Cauchy අභිසාරී නිර්ණායකය සහ සමෝධානික Cauchy අභිසාරී නිර්ණායක.
මාලාවක නිරපේක්ෂ සහ කොන්දේසි සහිත අභිසාරීතාව
පිටුව ප්‍රත්‍යාවර්ත ශ්‍රේණි, ඒවායේ කොන්දේසි සහිත සහ නිරපේක්ෂ අභිසාරීතාවය, ප්‍රත්‍යාවර්ත ශ්‍රේණි සඳහා ලයිබ්නිස් අභිසාරී පරීක්ෂණය - අඩංගු වේ කෙටි න්යායමාතෘකාව සහ ගැටළුව විසඳීම සඳහා උදාහරණයක්.
භෞතික විද්‍යාවේ සමහර ගැටළු වලදී, ක්‍රියාවලිය විස්තර කරන ප්‍රමාණ අතර සෘජු සම්බන්ධයක් ස්ථාපිත කළ නොහැක. නමුත් අධ්‍යයනයට ලක්වන ශ්‍රිතවල ව්‍යුත්පන්නයන් අඩංගු සමානාත්මතාවයක් ලබා ගැනීමේ හැකියාව පවතී. අවකල සමීකරණ පැනනගින ආකාරය සහ නොදන්නා ශ්‍රිතයක් සොයා ගැනීම සඳහා ඒවා විසඳීමේ අවශ්‍යතාවය මෙයයි.
නොදන්නා ශ්‍රිතය එක් විචල්‍යයක ශ්‍රිතයක් වන අවකල සමීකරණයක් විසඳීමේ ගැටලුවට මුහුණ දෙන අය සඳහා මෙම ලිපිය අදහස් කෙරේ. න්යාය ගොඩනඟා ඇත්තේ අවකල සමීකරණ පිළිබඳ ශුන්‍ය අවබෝධයකින් ඔබට ඔබේ කාර්යය කළ හැකි ආකාරයට ය.
සෑම වර්ගයකම අවකල සමීකරණ සවිස්තරාත්මක පැහැදිලි කිරීම් සහ සාමාන්ය උදාහරණ සහ ගැටළු සඳහා විසඳුම් සමඟ විසඳුම් ක්රමයක් සමඟ සම්බන්ධ වේ. ඔබට ඇත්තේ ඔබේ ගැටලුවේ අවකල සමීකරණයේ වර්ගය තීරණය කිරීම, සමාන විශ්ලේෂණය කළ උදාහරණයක් සොයා ගැනීම සහ සමාන ක්‍රියා සිදු කිරීම පමණි.
ඔබේ පැත්තෙන් අවකල සමීකරණ සාර්ථකව විසඳීමට, ඔබට ප්‍රතිව්‍යුත්පන්න කට්ටල සොයා ගැනීමේ හැකියාවද අවශ්ය වනු ඇත ( අවිනිශ්චිත අනුකලනය) විවිධ කාර්යයන්. අවශ්ය නම්, ඔබ කොටස වෙත යොමු කරන ලෙස අපි නිර්දේශ කරමු.
පළමුව, ව්‍යුත්පන්නයට අදාළව විසඳිය හැකි පළමු පෙළ සාමාන්ය අවකල සමීකරණ වර්ග සලකා බලන්න, ඉන්පසු අපි දෙවන පෙළ ODE වෙත යමු, පසුව අපි ඉහළ අනුපිළිවෙලෙහි සමීකරණ මත වාසය කර අවකල සමීකරණ පද්ධති සමඟ අවසන් කරන්නෙමු.
y යනු තර්කයේ ශ්‍රිතයක් නම් x .
පළමු අනුපිළිවෙල අවකල සමීකරණ.
පෝරමයේ පළමු අනුපිළිවෙලෙහි සරලම අවකල සමීකරණ .
එවැනි DE සඳහා උදාහරණ කිහිපයක් අපි ලියන්නෙමු 
.
අවකල සමීකරණ 
සමානාත්මතාවයේ දෙපැත්තම f(x) මගින් බෙදීමෙන් ව්‍යුත්පන්නය සම්බන්ධයෙන් විසඳිය හැක. මෙම අවස්ථාවේදී, අපි සමීකරණයට පැමිණෙමු, එය f(x) ≠ 0 සඳහා මුල් එකට සමාන වනු ඇත. එවැනි ODE සඳහා උදාහරණ වේ.
f(x) සහ g(x) යන ශ්‍රිතයන් එකවර අතුරුදහන් වන තර්කයේ x අගයන් තිබේ නම්, අමතර විසඳුම් දිස්වේ. අතිරේක විසඳුම්සමීකරණ 
ලබා දී ඇති x යනු එම තර්ක අගයන් සඳහා අර්ථ දක්වා ඇති ඕනෑම ශ්‍රිතයකි. එවැනි අවකල සමීකරණ සඳහා උදාහරණ වේ.
දෙවන අනුපිළිවෙල අවකල සමීකරණ.
දෙවන අනුපිළිවෙල නියත සංගුණක සමඟ රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණ.
නියත සංගුණක සහිත LODE යනු ඉතා සුලභ ආකාරයේ අවකල සමීකරණ වර්ගයකි. ඔවුන්ගේ විසඳුම විශේෂයෙන් දුෂ්කර නොවේ. පළමුව, ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලයන් සොයා ගනී 
. විවිධ p සහ q සඳහා අවස්ථා තුනක් හැකි ය: ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලයන් සැබෑ සහ වෙනස්, සැබෑ සහ සමපාත විය හැක. 
හෝ සංකීර්ණ සංයෝජන. ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලයන්ගේ අගයන් මත පදනම්ව, අවකල සමීකරණයේ පොදු විසඳුම ලියා ඇත 
, හෝ 
, හෝ පිළිවෙලින්.
උදාහරණයක් ලෙස, නියත සංගුණක සහිත දෙවන පෙළ රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණයක් සලකා බලන්න. ඔහුගේ ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලයන් k 1 = -3 සහ k 2 = 0 වේ. මූලයන් සැබෑ සහ වෙනස් වේ, එබැවින්, නියත සංගුණක සහිත LDE සඳහා පොදු විසඳුම වේ
නියත සංගුණක සහිත රේඛීය සමජාතීය නොවන දෙවන අනුපිළිවෙල අවකල සමීකරණ.
y නියත සංගුණක සහිත දෙවන පෙළ LIDE හි සාමාන්ය විසඳුම අදාළ LODE හි සාමාන්ය විසඳුමේ එකතුව ලෙස සොයයි. 
සහ මුල් සමජාතීය සමීකරණයේ විශේෂිත විසඳුමක්, එනම්, . පෙර ඡේදය නියත සංගුණක සහිත සමජාතීය අවකල සමීකරණයකට පොදු විසඳුමක් සෙවීම සඳහා කැප කර ඇත. තවද නිශ්චිත විසඳුමක් තීරණය කරනු ලබන්නේ f (x) ශ්‍රිතයේ නිශ්චිත ආකාරයක් සඳහා අවිනිශ්චිත සංගුණක ක්රමය මගින් , මුල් සමීකරණයේ දකුණු පැත්තේ සිටගෙන හෝ අත්තනෝමතික නියත විචලනය කිරීමේ ක්රමය මගිනි.
නියත සංගුණක සහිත දෙවන පෙළ LID වල උදාහරණ ලෙස, අපි ඉදිරිපත් කරමු 
න්යාය තේරුම් ගෙන ඔබ ගැන හුරුපුරුදු වන්න සවිස්තරාත්මක තීරණනියත සංගුණක සහිත දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණ පිටුවෙහි උදාහරණ අපි ඔබට පිරිනමන්නෙමු.
රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණ (LODEs) 
සහ දෙවන පෙළ රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණ (LNDEs).
මෙම වර්ගයේ අවකල සමීකරණවල විශේෂ අවස්ථාවක් වන්නේ නියත සංගුණක සහිත LODE සහ LODE වේ.
යම් කාල පරතරයක් මත LODE හි සාමාන්ය විසඳුම මෙම සමීකරණයේ y 1 සහ y 2 යන රේඛීය ස්වාධීන විශේෂිත විසඳුම් දෙකක රේඛීය සංයෝජනයකින් නිරූපණය කෙරේ, එනම්, 
.
ප්රධාන දුෂ්කරතාවය වන්නේ මෙම වර්ගයේ අවකල සමීකරණයේ රේඛීයව ස්වාධීන අර්ධ විසඳුම් සෙවීමයි. සාමාන්‍යයෙන්, විශේෂිත විසඳුම් තෝරාගනු ලබන්නේ පහත සඳහන් රේඛීය ස්වාධීන ශ්‍රිත පද්ධති වලින්: 
කෙසේ වෙතත්, විශේෂිත විසඳුම් සෑම විටම මෙම ආකෘතියෙන් ඉදිරිපත් නොකෙරේ.
LODU සඳහා උදාහරණයක් වේ 
.
LIDE හි සාමාන්ය විසඳුම ආකෘතියෙන් සොයනු ලැබේ , අනුරූප LODE හි සාමාන්ය විසඳුම වන අතර එය මුල් අවකල සමීකරණයේ විශේෂිත විසඳුමකි. අපි සොයා ගැනීම ගැන කතා කළා, නමුත් අත්තනෝමතික නියතයන් වෙනස් කිරීමේ ක්රමය භාවිතයෙන් එය තීරණය කළ හැකිය.
LNDE සඳහා උදාහරණයක් වේ 
.
ඉහළ අනුපිළිවෙල අවකල සමීකරණ.
අනුපිළිවෙල අඩු කිරීම පිළිගන්නා අවකල සමීකරණ.
අවකල සමීකරණයේ අනුපිළිවෙල 
, k-1 අනුපිළිවෙල දක්වා අපේක්ෂිත ශ්‍රිතය සහ එහි ව්‍යුත්පන්න අඩංගු නොවන, ප්‍රතිස්ථාපනය කිරීමෙන් n-k දක්වා අඩු කළ හැක.
මෙම අවස්ථාවෙහිදී, සහ මුල් අවකල සමීකරණය දක්වා අඩු වේ. එහි විසඳුම p(x) සොයා ගැනීමෙන් පසුව, එය ප්‍රතිස්ථාපනය වෙත ආපසු ගොස් නොදන්නා ශ්‍රිතය තීරණය කිරීමට y .
උදාහරණයක් ලෙස, අවකල සමීකරණය 
ප්‍රතිස්ථාපනය වෙන් කළ හැකි සමීකරණයක් බවට පත් වූ පසු, එහි අනුපිළිවෙල තුන්වන සිට පළමු දක්වා අඩු වේ.
