රේඛීය යැපුම් ස්වාධීනත්වය. රේඛීයව යැපෙන සහ රේඛීයව ස්වාධීන දෛශික

දෛශික පද්ධතියක් රේඛීයව රඳා පවතින්නේ දැයි පරීක්ෂා කිරීම සඳහා, මෙම දෛශිකවල රේඛීය සංයෝජනයක් රචනා කිරීම සහ අවම වශයෙන් එක් සංගුණකයක් ශුන්‍ය නම් එය ශුන්‍ය විය හැකිද යන්න පරීක්ෂා කිරීම අවශ්‍ය වේ.

නඩුව 1. දෛශික පද්ධතිය දෛශික මගින් ලබා දී ඇත

අපි රේඛීය සංයෝජනයක් සාදන්නෙමු

අපි සමජාතීය සමීකරණ පද්ධතියක් ලබාගෙන ඇත. එහි ශුන්‍ය නොවන ද්‍රාවණයක් තිබේ නම්, නිර්ණායකය ශුන්‍යයට සමාන විය යුතුය. අපි නිර්ණායකයක් සාදා එහි වටිනාකම සොයා ගනිමු.

නිර්ණායකය ශුන්‍ය වේ, එබැවින් දෛශික රේඛීයව රඳා පවතී.

අවස්ථාව 2. දෛශික පද්ධතිය විශ්ලේෂණ ශ්‍රිත මගින් ලබා දී ඇත:

ඒ)
, අනන්‍යතාවය සත්‍ය නම්, පද්ධතිය රේඛීයව රඳා පවතී.

අපි රේඛීය සංයෝජනයක් කරමු.

ලබා දී ඇති ප්‍රකාශනය ශුන්‍යයට සමාන වන එවැනි a, b, c (අවම වශයෙන් එකක්වත් බිංදුවට සමාන නොවේ) තිබේ දැයි පරීක්ෂා කිරීම අවශ්‍ය වේ.

අපි අධිබල ශ්‍රිත ලියන්නෙමු

,
, එවිට

එවිට දෛශිකවල රේඛීය සංයෝජනය ස්වරූපය ගනී:

කොහෙද
, උදාහරණයක් ලෙස ගන්න, එවිට රේඛීය සංයෝජනය ශුන්‍යයට සමාන වේ, එබැවින් පද්ධතිය රේඛීයව රඳා පවතී.

පිළිතුර: පද්ධතිය රේඛීයව රඳා පවතී.

බී)
, අපි රේඛීය සංයෝජනයක් සම්පාදනය කරමු

දෛශික රේඛීය සංයෝජනයක්, x හි ඕනෑම අගයක් සඳහා ශුන්‍ය විය යුතුය.

විශේෂ අවස්ථා සඳහා පරීක්ෂා කරමු.

දෛශිකවල රේඛීය සංයෝජනයක් ශුන්‍ය වන්නේ සියලු සංගුණක ශුන්‍ය නම් පමණි.

එබැවින් පද්ධතිය රේඛීයව ස්වාධීන වේ.

පිළිතුර: පද්ධතිය රේඛීයව ස්වාධීන වේ.

5.3 යම් පදනමක් සොයාගෙන විසඳුම්වල රේඛීය අවකාශයේ මානය තීරණය කරන්න.

අපි දිගු කළ න්‍යාසයක් සාදා එය Gauss ක්‍රමය භාවිතා කර trapezoid ස්වරූපයට ගමු.

යම් පදනමක් ලබා ගැනීම සඳහා, අපි අත්තනෝමතික අගයන් ආදේශ කරමු:

ඉතිරි ඛණ්ඩාංක ලබා ගන්න

පිළිතුර:

5.4 X දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක පදනමෙන් ලබා දී ඇත්නම්, එය පදනමේ සොයන්න.

නව පදනමේ දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක සොයා ගැනීම සමීකරණ පද්ධතිය විසඳීම දක්වා අඩු වේ.

ක්රමය 1. සංක්‍රාන්ති අනුකෘතිය භාවිතයෙන් සොයා ගැනීම

සංක්‍රාන්ති අනුකෘතිය රචනා කරන්න

සූත්‍රය මගින් නව පදනමේ දෛශිකය සොයා ගනිමු

ප්‍රතිලෝම න්‍යාසය සොයාගෙන ගුණ කිරීම කරන්න

,

ක්රමය 2. සමීකරණ පද්ධතියක් සම්පාදනය කිරීමෙන් සොයා ගැනීම.

පදනමේ සංගුණක වලින් පදනම් දෛශික සම්පාදනය කරන්න

,
,

නව පදනමකින් දෛශිකයක් සොයා ගැනීම සඳහා පෝරමය ඇත

, කොහෙද ඈලබා දී ඇති දෛශිකය වේ x.

ප්රතිඵලයක් වශයෙන් සමීකරණය ඕනෑම ආකාරයකින් විසඳා ගත හැකිය, පිළිතුර සමාන වනු ඇත.

පිළිතුර: නව පදනමක දෛශිකය
.

5.5 x = ඉඩ දෙන්න (x 1 , x 2 , x 3 ) . පහත පරිවර්තන රේඛීය වේ.

දී ඇති දෛශිකවල සංගුණක වලින් රේඛීය ක්‍රියාකරුවන්ගේ න්‍යාස රචනා කරමු.

රේඛීය ක්‍රියාකරුගේ එක් එක් න්‍යාසය සඳහා රේඛීය මෙහෙයුම්වල ගුණය අපි පරීක්ෂා කරමු.

වම් පැත්ත න්‍යාස ගුණ කිරීම මගින් සොයා ගැනේ නමුත්දෛශිකයකට

දී ඇති දෛශිකය අදිශයකින් ගුණ කිරීමෙන් අපි දකුණු පැත්ත සොයා ගනිමු
.

අපි ඒක දකිනවා
එබැවින් පරිවර්තනය රේඛීය නොවේ.

අපි වෙනත් දෛශික පරීක්ෂා කරමු.

, පරිවර්තනය රේඛීය නොවේ.

, පරිවර්තනය රේඛීය වේ.

පිළිතුර: ඔහ්- නැහැ රේඛීය පරිවර්තනය, Vx- රේඛීය නොවේ Cx- රේඛීය.

සටහන.ලබා දී ඇති දෛශික දෙස හොඳින් බැලීමෙන් ඔබට මෙම කාර්යය වඩාත් පහසු කර ගත හැක. හිදී ඔහ්මූලද්රව්ය අඩංගු නොවන පද ඇති බව අපට පෙනේ x, රේඛීය මෙහෙයුමක ප්රතිඵලයක් ලෙස ලබා ගත නොහැකි විය. හිදී Vxමූලද්රව්යයක් තිබේ xදෛශිකයකින් ගුණ කිරීමෙන් ලබා ගත නොහැකි තුන්වන බලයට x.

5.6 ලබා දී ඇත x = { x 1 , x 2 , x 3 } , පොරව = { x 2 – x 3 , x 1 , x 1 + x 3 } , bx = { x 2 , 2 x 3 , x 1 } . ලබා දී ඇති මෙහෙයුම සිදු කරන්න: ( ඒ ( බී – ඒ )) x .

අපි රේඛීය ක්‍රියාකරුවන්ගේ න්‍යාස සටහන් කරමු.

අපි matrices මත මෙහෙයුමක් කරමු

ප්රතිඵලය වන න්යාසය X මගින් ගුණ කරන විට, අපට ලැබේ

පිළිතුර:

කාර්යය 1.දෛශික පද්ධතිය රේඛීයව ස්වාධීනද යන්න සොයා බලන්න. දෛශික පද්ධතිය පද්ධතියේ න්‍යාසය මගින් නිර්වචනය කරනු ලැබේ, එහි තීරු දෛශික ඛණ්ඩාංක වලින් සමන්විත වේ.

.

විසඳුමක්.රේඛීය සංයෝජනයට ඉඩ දෙන්න ශුන්යයට සමාන වේ. මෙම සමානාත්මතාවය ඛණ්ඩාංකවල ලිවීමෙන් පසු, අපි පහත සමීකරණ පද්ධතිය ලබා ගනිමු:

.

එවැනි සමීකරණ පද්ධතියක් ත්රිකෝණාකාර ලෙස හැඳින්වේ. ඇයට ඇත්තේ එකම විසඳුමයි. . එබැවින් දෛශික රේඛීයව ස්වාධීන වේ.

කාර්යය 2.දෛශික පද්ධතිය රේඛීයව ස්වාධීනද යන්න සොයා බලන්න.

.

විසඳුමක්.දෛශික රේඛීයව ස්වාධීන වේ (ගැටලු 1 බලන්න). දෛශිකය යනු දෛශිකවල රේඛීය සංයෝගයක් බව ඔප්පු කරමු . දෛශික විස්තාරණ සංගුණක සමීකරණ පද්ධතියෙන් තීරණය වේ

.

මෙම පද්ධතිය, ත්රිකෝණාකාර එකක් මෙන්, අද්විතීය විසඳුමක් ඇත.

එබැවින්, දෛශික පද්ධතිය රේඛීයව රඳා පවතී.

අදහස් දක්වන්න. ගැටළු 1 හි වැනි න්‍යාස හැඳින්වේ ත්රිකෝණාකාර , සහ ගැටලුව 2 හි - පියවර ත්රිකෝණාකාර . මෙම දෛශිකවල ඛණ්ඩාංක වලින් සමන්විත න්‍යාසය පියවරෙන් පියවර ත්‍රිකෝණාකාර නම්, දෛශික පද්ධතියක රේඛීය යැපීම පිළිබඳ ප්‍රශ්නය පහසුවෙන් විසඳනු ලැබේ. අනුකෘතිය එසේ නොවේ නම් විශේෂ ආකාරයේ, පසුව භාවිතා කරන්න මූලික තන්තු පරිවර්තනය , තීරු අතර රේඛීය සම්බන්ධතා සංරක්ෂණය කිරීම, එය පියවරෙන් පියවර ත්රිකෝණාකාර ආකෘතියකට අඩු කළ හැකිය.

මූලික තන්තු පරිවර්තනයන්‍යාස (EPS) න්‍යාසයේ පහත සඳහන් ක්‍රියා ලෙස හැඳින්වේ.

1) රේඛා විකෘති කිරීම;

2) ශුන්‍ය නොවන සංඛ්‍යාවකින් තන්තුවක් ගුණ කිරීම;

3) අත්තනෝමතික අංකයකින් ගුණ කරන ලද තවත් තන්තුවක් තන්තුවට එකතු කිරීම.

කාර්යය 3.උපරිම රේඛීය ස්වාධීන උප පද්ධතියක් සොයාගෙන දෛශික පද්ධතියේ ශ්‍රේණිය ගණනය කරන්න

.

විසඳුමක්.අපි EPS ආධාරයෙන් පද්ධතියේ අනුකෘතිය පියවර-ත්‍රිකෝණාකාර ආකෘතියකට අඩු කරමු. ක්රියා පටිපාටිය පැහැදිලි කිරීම සඳහා, පරිවර්තනය කළ යුතු න්යාසයේ අංකය සහිත රේඛාව සංකේතය මගින් දක්වනු ලැබේ. ඊතලයට පසුව ඇති තීරුව නව න්‍යාසයේ පේළි ලබා ගැනීම සඳහා පරිවර්තනය කරන ලද න්‍යාසයේ පේළි මත සිදු කළ යුතු ක්‍රියා පෙන්වයි.

.

නිසැකවම, ලැබෙන න්‍යාසයේ පළමු තීරු දෙක රේඛීයව ස්වාධීන වන අතර තුන්වන තීරුව ඒවායේ රේඛීය සංයෝජනය වන අතර හතරවන එක පළමු දෙක මත රඳා නොපවතී. දෛශික මූලික ලෙස හැඳින්වේ. ඔවුන් පද්ධතියේ උපරිම රේඛීය ස්වාධීන උප පද්ධතියක් සාදයි , සහ පද්ධතියේ ශ්රේණිය තුනකි.

පදනම, ඛණ්ඩාංක

කාර්යය 4.තත්ත්‍වය තෘප්තිමත් කරන ජ්‍යාමිතික දෛශික කට්ටලය මත මෙම පදනමේ ඇති දෛශිකවල පදනම සහ ඛණ්ඩාංක සොයන්න .

විසඳුමක්. කට්ටලය සම්භවය හරහා ගමන් කරන ගුවන් යානයකි. තලය මත අත්තනෝමතික පදනමක් collinear නොවන දෛශික දෙකකින් සමන්විත වේ. තෝරාගත් පදනමේ දෛශිකයන්ගේ ඛණ්ඩාංක තීරණය කරනු ලබන්නේ රේඛීය සමීකරණවල අනුරූප පද්ධතිය විසඳීමෙනි.

ඔබට ඛණ්ඩාංක මගින් පදනම සොයාගත හැකි විට, මෙම ගැටළුව විසඳීමට තවත් ක්රමයක් තිබේ.

ඛණ්ඩාංක අභ්‍යවකාශ තලයේ ඛණ්ඩාංක නොවේ, මන්ද ඒවා සම්බන්ධතාවයෙන් සම්බන්ධ වේ , එනම් ඔවුන් ස්වාධීන නොවේ. ස්වාධීන විචල්‍යයන් සහ (ඒවා නිදහස් ලෙස හැඳින්වේ) තලයේ දෛශිකය අනන්‍ය ලෙස තීරණය කරන අතර, එබැවින් ඒවා ඛණ්ඩාංක ලෙස තෝරා ගත හැකිය. එවිට පදනම නිදහස් විචල්‍ය කට්ටල වලට අනුරූප වන වාහක වලින් සමන්විත වේ හා , එනම් .

කාර්යය 5.ඔත්තේ ඛණ්ඩාංක එකිනෙකට සමාන වන අවකාශයේ ඇති සියලුම දෛශික සමූහය මත මෙම පදනමේ ඇති දෛශිකවල පදනම සහ ඛණ්ඩාංක සොයන්න.

විසඳුමක්. අපි කලින් ගැටලුවේ දී මෙන්, අභ්යවකාශයේ ඛණ්ඩාංක තෝරා ගනිමු .

නිසා , පසුව නිදහස් විචල්යයන් දෛශිකයක් අනන්‍ය ලෙස නිර්වචනය කරන්න, එබැවින් ඛණ්ඩාංක වේ. අනුරූප පදනම දෛශික වලින් සමන්විත වේ.

කාර්යය 6.පෝරමයේ සියලුම න්‍යාසවල කට්ටලය මත මෙම පදනමේ දෛශිකවල පදනම සහ ඛණ්ඩාංක සොයන්න , කොහෙද අත්තනෝමතික සංඛ්යා වේ.

විසඳුමක්. සෑම අනුකෘතියක්ම අනන්‍ය ලෙස නිරූපණය කළ හැක:

මෙම සම්බන්ධතාවය පදනම අනුව දෛශිකයේ ප්‍රසාරණය වේ
ඛණ්ඩාංක සමඟ .

කාර්යය 7.දෛශික පද්ධතියක රේඛීය පරාසයේ මානය සහ පදනම සොයන්න

.

විසඳුමක්. EPS භාවිතා කරමින්, අපි පද්ධති දෛශිකවල ඛණ්ඩාංකවල සිට න්‍යාසය පියවර-ත්‍රිකෝණාකාර ස්වරූපයකට පරිවර්තනය කරමු.

.

තීරු අවසාන අනුකෘතියේ රේඛීයව ස්වාධීන වන අතර තීරු ඒවා හරහා රේඛීයව ප්‍රකාශ වේ. එබැවින් දෛශික පදනම සාදයි , හා .

අදහස් දක්වන්න. පදනම අපැහැදිලි ලෙස තෝරාගෙන ඇත. උදාහරණයක් ලෙස, දෛශික පදනම ද සාදයි .

මෙම ලිපියෙන් අපි ආවරණය කරන්නෙමු:

• කොලිනියර් දෛශික යනු කවරේද;
• collinear දෛශික සඳහා කොන්දේසි කවරේද;
• collinear දෛශිකවල ගුණ කවරේද;
• කොලිනියර් දෛශිකවල රේඛීය යැපීම යනු කුමක්ද?

Yandex.RTB R-A-339285-1 අර්ථ දැක්වීම 1

Collinear දෛශික යනු එකම රේඛාවකට සමාන්තර හෝ එකම රේඛාවක පිහිටා ඇති දෛශික වේ.

උදාහරණ 1

collinear දෛශික සඳහා කොන්දේසි

පහත සඳහන් කොන්දේසිවලින් එකක් සත්‍ය නම් දෛශික දෙකක් collinear වේ:

• කොන්දේසිය 1 . දෛශික a සහ b λ අංකයක් තිබේ නම් a = λ b ;
• කොන්දේසිය 2 . දෛශික a සහ b ඛණ්ඩාංකවල සමාන අනුපාතයක් සහිත collinear වේ:

a = (a 1 ; a 2), b = (b 1 ; b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

• කොන්දේසිය 3 . දෛශික නිෂ්පාදනය සහ ශුන්‍ය දෛශිකය සමාන නම්, a සහ b දෛශික වේ:

a ∥ b ⇔ a , b = 0

සටහන 1

කොන්දේසිය 2 දෛශික ඛණ්ඩාංක වලින් එකක් ශුන්‍ය නම් අදාළ නොවේ.

සටහන 2

කොන්දේසිය 3 අභ්‍යවකාශයේ ලබා දී ඇති දෛශික සඳහා පමණක් අදාළ වේ.

දෛශිකවල සහසම්බන්ධතාවය පිළිබඳ අධ්‍යයනය සඳහා ගැටළු සඳහා උදාහරණ

උදාහරණ 1

අපි සහසම්බන්ධතාවය සඳහා a \u003d (1; 3) සහ b \u003d (2; 1) දෛශික පරීක්ෂා කරන්නෙමු.

තීරණය කරන්නේ කෙසේද?

හිදී මෙම නඩුව collinearity හි 2 වන කොන්දේසිය භාවිතා කිරීම අවශ්ය වේ. ලබා දී ඇති දෛශික සඳහා, එය මෙසේ පෙනේ:

සමානාත්මතාවය වැරදියි. මෙයින් අපට නිගමනය කළ හැක්කේ a සහ b දෛශික collinear නොවන බවයි.

පිළිතුර : a | | බී

උදාහරණය 2

දෛශික collinear වීමට a = (1 ; 2) සහ b = (- 1 ; m) දෛශිකයේ m අගය කුමක්ද?

තීරණය කරන්නේ කෙසේද?

දෙවන collinear තත්ත්වය භාවිතා කරමින්, දෛශික ඔවුන්ගේ ඛණ්ඩාංක සමානුපාතික නම් ඒවා collinear වේ:

මෙයින් පෙන්නුම් කරන්නේ m = - 2 බවයි.

පිළිතුර: m = - 2 .

දෛශික පද්ධතිවල රේඛීය යැපීම සහ රේඛීය ස්වාධීනත්වය සඳහා වන නිර්ණායක

ප්රමේයය

දෛශික අවකාශයක දෛශික පද්ධතියක් රේඛීයව රඳා පවතින්නේ පද්ධතියේ එක් දෛශිකයක් පද්ධතියේ ඉතිරි දෛශික අනුව ප්‍රකාශ කළ හැකි නම් පමණි.

සාක්ෂි

පද්ධතිය e 1 , e 2 , . . . , e n රේඛීයව රඳා පවතී. ශුන්‍ය දෛශිකයට සමාන මෙම පද්ධතියේ රේඛීය සංයෝජනය අපි ලියන්නෙමු:

a 1 e 1 + a 2 e 2 + . . . + a n e n = 0

සංයෝජනවල අවම වශයෙන් එක් සංගුණකයක් ශුන්‍යයට සමාන නොවේ.

a k ≠ 0 k ∈ 1 , 2 , . . . , එන් .

අපි සමානාත්මතාවයේ දෙපැත්තම ශුන්‍ය නොවන සංගුණකයකින් බෙදන්නෙමු:

a k - 1 (a k - 1 a 1) e 1 + (a k - 1 a k) e k + . . . + (a k - 1 a n) e n = 0

දක්වන්න:

A k - 1 a m, m ∈ 1, 2, . . . , k - 1 , k + 1 , n

මේ අවස්ථාවේ දී:

β 1 e 1 + . . . + β k - 1 e k - 1 + β k + 1 e k + 1 + . . . + βn e n = 0

හෝ e k = (- β 1) e 1 + . . . + (- β k - 1) e k - 1 + (- β k + 1) e k + 1 + . . . + (- β n) e n

එය පහත දැක්වෙන්නේ පද්ධතියේ එක් දෛශිකයක් පද්ධතියේ අනෙකුත් සියලුම දෛශික අනුව ප්‍රකාශ වන බවයි. ඔප්පු කිරීමට අවශ්‍ය වූයේ කුමක්ද (p.t.d.).

ප්රමාණවත් බව

පද්ධතියේ අනෙකුත් සියලුම දෛශික අනුව එක් දෛශිකයක් රේඛීයව ප්‍රකාශ කිරීමට ඉඩ දෙන්න:

e k = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

අපි දෛශිකය e k වෙත මාරු කරමු දකුණු පැත්තමෙම සමානාත්මතාවය:

0 = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 - e k + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

දෛශිකයේ සංගුණකය e k - 1 ≠ 0 ට සමාන වන බැවින්, අපි දෛශික පද්ධතියක් මගින් ශුන්‍යයේ සුළු නොවන නිරූපණයක් ලබා ගනිමු e 1 , e 2 , . . . , e n , සහ මෙය, අනෙක් අතට, එයින් අදහස් වේ මෙම පද්ධතියදෛශික රේඛීයව රඳා පවතී. ඔප්පු කිරීමට අවශ්‍ය වූයේ කුමක්ද (p.t.d.).

ප්රතිවිපාක:

• දෛශික පද්ධතියක් රේඛීයව ස්වාධීන වන්නේ එහි දෛශික කිසිවක් පද්ධතියේ අනෙකුත් සියලුම දෛශික අනුව ප්‍රකාශ කළ නොහැකි විටය.
• ශුන්‍ය දෛශිකයක් හෝ සමාන දෛශික දෙකක් අඩංගු දෛශික පද්ධතියක් රේඛීයව රඳා පවතී.

රේඛීයව යැපෙන දෛශිකවල ගුණ

1. 2- සහ 3-මාන දෛශික සඳහා, කොන්දේසිය සපුරා ඇත: රේඛීයව යැපෙන දෛශික දෙකක් collinear වේ. collinear දෛශික දෙකක් රේඛීයව රඳා පවතී.
2. 3-මාන දෛශික සඳහා, කොන්දේසිය සපුරා ඇත: රේඛීය තුනක් යැපෙන දෛශික- coplanar. (3 coplanar දෛශික - රේඛීයව රඳා පවතී).
3. n-මාන දෛශික සඳහා, කොන්දේසිය සපුරා ඇත: n + 1 දෛශික සෑම විටම රේඛීයව රඳා පවතී.

දෛශිකවල රේඛීය යැපීම හෝ රේඛීය ස්වාධීනත්වය සඳහා ගැටළු විසඳීමේ උදාහරණ

උදාහරණය 3

රේඛීය ස්වාධීනත්වය සඳහා a = 3 , 4 , 5 , b = - 3 , 0 , 5 , c = 4 , 4 , 4 , d = 3 , 4 , 0 දෛශික පරීක්ෂා කරමු.

විසඳුමක්. දෛශික වල මානය දෛශික ගණනට වඩා අඩු බැවින් දෛශික රේඛීයව රඳා පවතී.

උදාහරණය 4

රේඛීය ස්වාධීනත්වය සඳහා a = 1 , 1 , 1 , b = 1 , 2 , 0 , c = 0 , - 1 , 1 දෛශික පරීක්ෂා කරමු.

විසඳුමක්. රේඛීය සංයෝජනය ශුන්‍ය දෛශිකයට සමාන වන සංගුණකවල අගයන් අපි සොයා ගනිමු:

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

අපි දෛශික සමීකරණය රේඛීය ස්වරූපයෙන් ලියන්නෙමු:

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

අපි මෙම පද්ධතිය විසඳන්නේ Gauss ක්‍රමය භාවිතා කරමිනි:

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

2 වන පේළියේ සිට අපි 1 වන පේළිය, 3 සිට 1 දක්වා අඩු කරන්නෙමු:

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

1 වන පේළියේ සිට 2 වෙනි එක අඩු කරන්න, 2 වෙනි පේළියේ සිට 3 වෙනි එකට එකතු කරන්න:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

පද්ධතියට බොහෝ විසඳුම් ඇති බව විසඳුමෙන් එය අනුගමනය කරයි. මෙයින් අදහස් කරන්නේ x 1 , x 2 , x 3 වැනි සංඛ්‍යා වල අගයන්හි ශුන්‍ය නොවන සංයෝජනයක් ඇති අතර ඒ සඳහා රේඛීය සංයෝජනය a , b , c ශුන්‍ය දෛශිකයට සමාන වේ. එබැවින් දෛශික a , b , c වේ රේඛීයව රඳා පවතී.

ඔබ පෙළෙහි වරදක් දුටුවහොත්, කරුණාකර එය උද්දීපනය කර Ctrl+Enter ඔබන්න

දෛශික, ඒවායේ ගුණාංග සහ ඒවා සමඟ ක්රියා

දෛශික, දෛශික සමඟ ක්රියා, රේඛීය දෛශික අවකාශය.

දෛශික යනු තාත්වික සංඛ්‍යා සීමිත සංඛ්‍යාවක ඇණවුම් එකතුවකි.

ක්‍රියා: 1. අංකයකින් දෛශිකයක් ගුණ කිරීම: lambda * දෛශිකය x \u003d (lamda * x 1, lambda * x 2 ... lambda * x n). (3.4, 0. 7) * 3 \u003d (9, 12,0.21 )

2. දෛශික එකතු කිරීම (ඒවා එකම දෛශික අවකාශයට අයත් වේ) දෛශිකය x + දෛශිකය y \u003d (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ... x n + y n,)

3. දෛශිකය 0=(0,0...0)---n E n – n-මාන (රේඛීය අවකාශය) දෛශිකය x + දෛශිකය 0 = දෛශිකය x

ප්රමේයය. n-මාන රේඛීය අවකාශයක n දෛශික පද්ධතියක් රේඛීයව රඳා පැවතීම සඳහා, එක් දෛශිකයක් අනෙක් ඒවායේ රේඛීය සංයෝජනයක් වීම අවශ්‍ය සහ ප්‍රමාණවත් වේ.

ප්රමේයය. n-මාන රේඛීය අවකාශය yavl හි n+ 1 වැනි දෛශිකයේ ඕනෑම කට්ටලයක්. රේඛීයව රඳා පවතී.

දෛශික එකතු කිරීම, දෛශික සංඛ්‍යා වලින් ගුණ කිරීම. දෛශික අඩු කිරීම.

දෛශික දෙකක එකතුව දෛශිකයේ ආරම්භයේ සිට දෛශිකයේ අවසානය දක්වා යොමු කරන ලද දෛශිකය වේ, ආරම්භය දෛශිකයේ අවසානය සමග සමපාත වේ. දෛශික පාදක දෛශික අනුව ඒවායේ ප්‍රසාරණය මගින් ලබා දෙන්නේ නම්, දෛශික එකතු කිරීමෙන් ඒවායේ අනුරූප ඛණ්ඩාංක එකතු වේ.

Cartesian ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක උදාහරණය භාවිතා කර මෙය සලකා බලමු. ඉඩ

අපි ඒක පෙන්නමු

රූප සටහන 3 එය පෙන්වයි

ඕනෑම සීමිත දෛශික සංඛ්‍යාවක එකතුව බහුඅස්‍ර රීතිය භාවිතයෙන් සොයාගත හැක (රූපය 4): සීමිත දෛශික සංඛ්‍යාවක එකතුව ගොඩනැගීමට, එක් එක් පසු දෛශිකයේ ආරම්භය පෙර එකෙහි අවසානය සමඟ ගැලපීම ප්‍රමාණවත් වේ. සහ පළමු දෛශිකයේ ආරම්භය සහ අවසාන දෛශිකයේ අවසානය සම්බන්ධ කරන දෛශිකයක් සාදන්න.

දෛශික එකතු කිරීමේ මෙහෙයුමේ ගුණාංග:

මෙම ප්‍රකාශනවල m, n යනු සංඛ්‍යා වේ.

දෛශිකවල වෙනස දෛශිකය ලෙස හැඳින්වේ.දෙවන පදය දෛශිකයට දිශාවට විරුද්ධ දෛශිකයකි, නමුත් දිගට සමාන වේ.

මේ අනුව, දෛශික අඩු කිරීමේ මෙහෙයුම එකතු කිරීමේ මෙහෙයුම මගින් ප්රතිස්ථාපනය වේ

දෛශිකය, එහි ආරම්භය ඛණ්ඩාංකවල මූලාරම්භයේ සහ අවසානය A (x1, y1, z1) ලක්ෂ්‍යයේ අවසානය A ලක්ෂ්‍යයේ අරය දෛශිකය ලෙස හඳුන්වනු ලබන අතර එය නිරූපිත හෝ සරලව දක්වයි. එහි ඛණ්ඩාංක A ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක සමග සමපාත වන බැවින්, දෛශික අනුව එහි ප්‍රසාරණයට ස්වරූපය ඇත

A(x1, y1, z1) ලක්ෂ්‍යයෙන් පටන් ගෙන B(x2, y2, z2) ලක්ෂ්‍යයෙන් අවසන් වන දෛශිකයක් මෙසේ ලිවිය හැක.

මෙහි r 2 යනු B ලක්ෂ්‍යයේ අරය දෛශිකය වේ; r 1 - ලක්ෂ්‍යයේ අරය දෛශිකය.

එබැවින් orts අනුව දෛශිකයේ ප්‍රසාරණය ආකෘතිය ඇත

එහි දිග A සහ ​​B ලකුණු අතර දුරට සමාන වේ

ගුණ කිරීම

එබැවින් පැතලි ගැටලුවකදී, දෛශිකයක ගුණිතය a = (ax; ay) සහ b අංකයකින් සූත්‍රයෙන් සොයා ගනී.

a b = (ax b; ay b)

උදාහරණය 1. දෛශිකයේ ගුණිතය a = (1; 2) 3 න් සොයන්න.

3 a = (3 1; 3 2) = (3; 6)

එබැවින් අවකාශීය ගැටලුවකදී, දෛශිකයේ ගුණිතය a = (ax; ay; az) සහ b අංකය සූත්‍රයෙන් සොයා ගනී.

a b = (ax b; ay b; az b)

උදාහරණ 1. දෛශිකයේ ගුණිතය a = (1; 2; -5) 2 න් සොයන්න.

2 a = (2 1; 2 2; 2 (-5)) = (2; 4; -10)

දෛශික වල තිත් නිෂ්පාදනය සහ දෛශික අතර කෝණය කොහිද සහ; එක්කෝ නම්, එසේ නම්

පරිමාණ නිෂ්පාදනයේ නිර්වචනය අනුව, එය පහත දැක්වේ

උදාහරණයක් ලෙස, දෛශිකයේ දිශාවට දෛශිකයේ ප්රක්ෂේපණයේ අගය වේ.

දෛශිකයක අදිශ වර්ග:

තිත් නිෂ්පාදන ගුණාංග:

ඛණ්ඩාංකවල තිත් නිෂ්පාදනය

අ එවිට

දෛශික අතර කෝණය

දෛශික අතර කෝණය - මෙම දෛශිකවල දිශාවන් අතර කෝණය (කුඩාම කෝණය).

දෛශික නිෂ්පාදනය (දෛශික දෙකක දෛශික නිෂ්පාදනය.)-ත්‍රිමාන යුක්ලීඩීය අවකාශයේ දෛශික මත "දෛශික ගුණ කිරීමේ" ද්විමය මෙහෙයුමේ ප්‍රතිඵලයක් වන සාධක දෙකකින් ගොඩනගා ඇති තලයට ලම්බක වූ ව්‍යාජ දෛශිකයකි. නිෂ්පාදිතය සංක්‍රමණික හෝ ආශ්‍රිත නොවන (එය ප්‍රති-සන්නිවේදක වේ) සහ දෛශිකවල තිත් නිෂ්පාදනයට වඩා වෙනස් වේ. ඉංජිනේරු සහ භෞතික විද්‍යාවේ බොහෝ ගැටලු වලදී, දැනට පවතින ඒවා දෙකකට ලම්බකව දෛශිකයක් තැනීමට හැකි වීම අවශ්‍ය වේ. දෛශික නිෂ්පාදනයමෙම අවස්ථාව ලබා දෙයි. දෛශිකවල ලම්බකතාව "මිනීමට" හරස් නිෂ්පාදනය ප්‍රයෝජනවත් වේ - දෛශික දෙකක හරස් නිෂ්පාදනයේ දිග ඒවා ලම්බක නම් ඒවායේ දිග වල ගුණිතයට සමාන වන අතර දෛශික සමාන්තර හෝ ප්‍රති-සමාන්තර නම් ශුන්‍යයට අඩු වේ.

දෛශික නිෂ්පාදනය නිර්වචනය කරනු ලබන්නේ ත්‍රිමාණ සහ සත්මාන අවකාශයන්හි පමණි. දෛශික නිෂ්පාදනයේ ප්‍රතිඵලය, අදිශ නිෂ්පාදනය මෙන්, යුක්ලීඩීය අවකාශයේ මෙට්‍රික් මත රඳා පවතී.

ත්‍රිමාණ සෘජුකෝණාස්‍රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක දෛශිකවල ඛණ්ඩාංක වලින් තිත් නිෂ්පාදනය ගණනය කිරීමේ සූත්‍රය මෙන් නොව, හරස් නිෂ්පාදනයේ සූත්‍රය දිශානතිය මත රඳා පවතී. සෘජුකෝණාස්රාකාර පද්ධතියඛණ්ඩාංක හෝ, වෙනත් වචනවලින් කිවහොත්, එහි "චිරාලිටි"

දෛශිකවල සහසම්බන්ධතාවය.

ශුන්‍ය නොවන (0 ට සමාන නොවන) දෛශික දෙකක් සමාන්තර රේඛාවල හෝ එකම රේඛාවක පිහිටා තිබේ නම් ඒවා කොලීනියර් ලෙස හැඳින්වේ. අපි ඉඩ දෙන්නෙමු, නමුත් නිර්දේශ නොකරයි, සමාන පදයක් - "සමාන්තර" දෛශික. කොලිනියර් දෛශික එකම දිශාවට ("සහ-අධ්‍යක්ෂණය") හෝ ප්‍රතිවිරුද්ධව යොමු කළ හැක (අවසාන අවස්ථාවේ දී ඒවා සමහර විට "ප්‍රතිකොලීනියර්" හෝ "ප්‍රතිසමාන්තර" ලෙස හැඳින්වේ).

දෛශික මිශ්‍ර නිෂ්පාදිතය( a,b,c)- දෛශික a සහ දෛශික b සහ c වල දෛශික නිෂ්පාදනයේ අදිශ නිෂ්පාදනය:

(a,b,c)=a ⋅(b×c)

සමහර විට ත්රිත්ව ලෙස හැඳින්වේ පරිමාණ නිෂ්පාදනයක්දෛශික, පෙනෙන විදිහට ප්‍රති result ලය අදිශයක් (වඩාත් නිවැරදිව, ව්‍යාජ ස්කැලර්) නිසා ය.

ජ්‍යාමිතික අර්ථය: මිශ්‍ර නිෂ්පාදනයේ මාපාංකය සංඛ්‍යාත්මකව දෛශික මගින් සාදනු ලබන සමාන්තර නල පරිමාවට සමාන වේ. (a,b,c) .

දේපළ

මිශ්‍ර නිෂ්පාදනයක් එහි සියලු තර්කවලට සාපේක්ෂව සමමිතික වේ: එනම්, e. කිසියම් සාධක දෙකක ප්‍රගමනයක් නිෂ්පාදනයේ ලකුණ වෙනස් කරයි. නිවැරදි කාටිසියානු ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ මිශ්‍ර නිෂ්පාදිතය (සාමාන්‍ය පදනමකින්) දෛශිකවලින් සමන්විත න්‍යාසයේ නිර්ණායකයට සමාන වන අතර:

වම් කාටිසියානු ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ මිශ්‍ර නිෂ්පාදිතය (සාමාන්‍ය පදනමකින්) දෛශික වලින් සමන්විත න්‍යාසයක නිර්ණායකයට සමාන වන අතර ඍණ ලකුණක් සමඟ ගනු ලැබේ:

විශේෂයෙන්ම,

ඕනෑම දෛශික දෙකක් සමාන්තර නම්, ඕනෑම තුන්වන දෛශිකයක් සමඟ ඒවා ශුන්‍යයට සමාන මිශ්‍ර නිෂ්පාදනයක් සාදයි.

දෛශික තුනක් රේඛීයව රඳා පවතී නම් (එනම්, coplanar, එකම තලයේ පිහිටා ඇත), එවිට ඔවුන්ගේ මිශ්ර නිෂ්පාදිතය ශුන්ය වේ.

ජ්‍යාමිතික අර්ථය - නිරපේක්ෂ අගයේ මිශ්‍ර නිෂ්පාදිතය දෛශික මගින් සාදන ලද සමාන්තර පයිප්පයේ පරිමාවට සමාන වේ (රූපය බලන්න). මෙම දෛශික ත්‍රිත්ව දෛශික ත්‍රිත්ව දකුණද වමද යන්න මත ලකුණ රඳා පවතී.

දෛශිකයන්ගේ සංයුක්තතාවය.

දෛශික තුනක් (හෝ ඊට වැඩි) පොදු සම්භවයක් දක්වා අඩු වී එකම තලයක පිහිටා තිබේ නම් ඒවා coplanar ලෙස හැඳින්වේ.

සංයුක්ත ගුණාංග

අවම වශයෙන් එකක් නම් දෛශික තුනක්- ශුන්‍යය, එවිට දෛශික තුන ද coplanar ලෙස සැලකේ.

කොලිනියර් දෛශික යුගලයක් අඩංගු දෛශික ත්‍රිත්වයක් කොප්ලැනර් වේ.

කොප්ලැනර් දෛශිකවල මිශ්‍ර නිෂ්පාදනයක්. මෙය දෛශික තුනක coplanarity සඳහා නිර්ණායකයකි.

කොප්ලැනර් දෛශික රේඛීයව රඳා පවතී. මෙය ද coplanarity සඳහා නිර්ණායකයකි.

ත්‍රිමාන අවකාශයේ, කොප්ලැනර් නොවන දෛශික 3ක් පදනමක් සාදයි

රේඛීයව යැපෙන සහ රේඛීයව ස්වාධීන දෛශික.

රේඛීය රඳා සහ ස්වාධීන පද්ධතිදෛශික.අර්ථ දැක්වීම. දෛශික පද්ධතිය ලෙස හැඳින්වේ රේඛීයව රඳා පවතී, ශුන්‍ය දෛශිකයට සමාන මෙම දෛශිකවල අවම වශයෙන් එක් සුළු නොවන රේඛීය සංයෝජනයක් තිබේ නම්. එසේ නොමැති නම්, i.e. ලබා දී ඇති දෛශිකවල සුළු රේඛීය සංයෝජනයක් පමණක් ශුන්‍ය දෛශිකයට සමාන නම්, දෛශික ලෙස හැඳින්වේ රේඛීයව ස්වාධීන.

ප්‍රමේයය (රේඛීය යැපීම් නිර්ණායක). රේඛීය අවකාශයක දෛශික පද්ධතියක් රේඛීයව රඳා පැවතීම සඳහා, අවම වශයෙන් මෙම දෛශිකවලින් එකක් හෝ අනෙක් ඒවායේ රේඛීය සංයෝජනයක් වීම අවශ්‍ය සහ ප්‍රමාණවත් වේ.

1) දෛශික අතර අවම වශයෙන් එක් ශුන්‍ය දෛශිකයක් තිබේ නම්, සමස්ත දෛශික පද්ධතියම රේඛීයව රඳා පවතී.

ඇත්ත වශයෙන්ම, උදාහරණයක් ලෙස, , එසේ නම්, උපකල්පනය කරන්නේ නම්, අපට සුළු නොවන රේඛීය සංයෝජනයක් තිබේ .▲

2) සමහර දෛශික රේඛීයව යැපෙන පද්ධතියක් සාදනු ලබන්නේ නම්, සමස්ත පද්ධතියම රේඛීයව රඳා පවතී.

ඇත්ත වශයෙන්ම, දෛශික , , රේඛීයව රඳා පවතීවා. එබැවින් ශුන්‍ය දෛශිකයට සමාන සුළු නොවන රේඛීය සංයෝජනයක් පවතී. නමුත් පසුව, උපකල්පනය , අපි ශුන්‍ය දෛශිකයට සමාන සුළු නොවන රේඛීය සංයෝජනයක් ද ලබා ගනිමු.

2. පදනම සහ මානය. අර්ථ දැක්වීම. රේඛීය ස්වාධීන දෛශික පද්ධතිය දෛශික අවකාශය ලෙස හැඳින්වේ පදනමමෙම අවකාශය, ඕනෑම දෛශිකයක් මෙම පද්ධතියේ දෛශිකවල රේඛීය සංයෝජනයක් ලෙස නිරූපණය කළ හැකි නම්, i.e. එක් එක් දෛශිකය සඳහා තාත්වික සංඛ්‍යා ඇත සමානාත්මතාවය පවතින පරිදි මෙම සමානාත්මතාවය ලෙස හැඳින්වේ දෛශික වියෝජනයපදනම සහ අංක අනුව කියලා පදනමට සාපේක්ෂව දෛශික ඛණ්ඩාංක(හෝ පදනමින්) .

ප්‍රමේයය (පදනම අනුව ප්‍රසාරණයේ සුවිශේෂත්වය මත). සෑම අභ්‍යවකාශ දෛශිකයක්ම පදනම අනුව පුළුල් කළ හැක අද්විතීය ආකාරයකින්, i.e. පදනමේ එක් එක් දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක නොපැහැදිලි ලෙස අර්ථ දක්වා ඇත.