දෛශිකවල රේඛීය ස්වාධීනත්වයේ ලකුණ. රේඛීයව යැපෙන සහ රේඛීයව ස්වාධීන දෛශික
දෛශික පද්ධතියක් රේඛීයව රඳා පවතින්නේද යන්න පරීක්ෂා කිරීම සඳහා, මෙම දෛශිකවල රේඛීය සංයෝගයක් රචනා කිරීම අවශ්‍ය වන අතර, අවම වශයෙන් එක් සංගුණකයක් ශුන්යයට සමාන නම් එය ශුන්ය විය හැකිද යන්න පරීක්ෂා කරන්න.
නඩුව 1. දෛශික පද්ධතියක් දෛශික මගින් ලබා දෙනු ලැබේ
රේඛීය සංයෝජනයක් සෑදීම
අපි සමජාතීය සමීකරණ පද්ධතියක් ලබාගෙන ඇත. එහි ශුන්ය නොවන ද්‍රාවණයක් තිබේ නම්, නිර්ණායකය ශුන්යයට සමාන විය යුතුය. අපි නිර්ණායකයක් රචනා කර එහි වටිනාකම සොයා ගනිමු.
නිර්ණායකය ශුන්ය වේ, එබැවින් දෛශික රේඛීයව රඳා පවතී.
අවස්ථාව 2. දෛශික පද්ධතිය විශ්ලේෂණාත්මක කාර්යයන් මගින් නිර්වචනය කෙරේ:
ඒ) 
, අනන්‍යතාවය සත්‍ය නම්, පද්ධතිය රේඛීයව රඳා පවතී.
අපි රේඛීය සංයෝජනයක් කරමු.
මෙම ප්‍රකාශනය ශුන්යයට සමාන වන a, b, c (අවම වශයෙන් එකක්වත් බිංදුවට සමාන නොවේ) තිබේදැයි පරීක්ෂා කිරීම අවශ්‍ය වේ.
අපි අධිබල ශ්‍රිත ලියමු
,
, ඉන්පසු
එවිට දෛශිකවල රේඛීය සංයෝජනය ස්වරූපය ගනී:
කොහෙද 
, උදාහරණයක් ලෙස ගන්න, එවිට රේඛීය සංයෝජනය ශුන්ය වේ, එබැවින් පද්ධතිය රේඛීයව රඳා පවතී.
පිළිතුර: පද්ධතිය රේඛීයව රඳා පවතී.
බී) 
, අපි රේඛීය සංයෝජනයක් කරමු
x හි ඕනෑම අගයක් සඳහා දෛශික රේඛීය සංයෝජනයක් ශුන්යයට සමාන විය යුතුය.
විශේෂ අවස්ථා සඳහා පරීක්ෂා කරමු.
දෛශිකවල රේඛීය සංයෝජනයක් ශුන්යයට සමාන වන්නේ සියලු සංගුණක ශුන්යයට සමාන නම් පමණි.
එබැවින් පද්ධතිය රේඛීයව ස්වාධීන වේ.
පිළිතුර: පද්ධතිය රේඛීයව ස්වාධීන වේ.
5.3 යම් පදනමක් සොයාගෙන රේඛීය විසඳුම් අවකාශයේ මානය තීරණය කරන්න.
අපි දිගු කළ න්‍යාසයක් සාදා එය Gaussian ක්රමය භාවිතා කර trapezoid ආකාරය දක්වා අඩු කරමු.
යම් පදනමක් ලබා ගැනීම සඳහා, අපි අත්තනෝමතික අගයන් ආදේශ කරමු:
ඉතිරි ඛණ්ඩාංක ලබා ගනිමු
පිළිතුර: 
5.4 දෛශික X හි ඛණ්ඩාංක පදනමෙන් ලබා දී ඇත්නම්, එය පදනමෙන් සොයන්න.
දෛශික ඛණ්ඩාංක නව පදනමකින් සොයා ගැනීම සමීකරණ පද්ධතිය විසඳීම දක්වා පැමිණේ
ක්රමය 1. සංක්‍රාන්ති අනුකෘතිය භාවිතයෙන් සොයා ගැනීම
අපි සංක්‍රාන්ති අනුකෘතියක් නිර්මාණය කරමු
සූත්‍රය භාවිතා කර නව පදනමේ දෛශිකය සොයා ගනිමු
අපි ප්‍රතිලෝම න්‍යාසය සොයාගෙන ගුණ කිරීම සිදු කරමු
, 
ක්රමය 2. සමීකරණ පද්ධතියක් සම්පාදනය කිරීමෙන් සොයා ගැනීම.
පදනම් සංගුණක වලින් පදනම් දෛශික සම්පාදනය කරමු 
,
,
නව පදනමේ දෛශිකය සොයා ගැනීම සඳහා පෝරමය ඇත
, කොහෙද ඈමෙය ලබා දී ඇති දෛශිකයකි x.
ප්රතිඵලයක් ලෙස සමීකරණය ඕනෑම ආකාරයකින් විසඳා ගත හැකිය, පිළිතුර සමාන වනු ඇත.
පිළිතුර: නව පදනමක දෛශිකය 
.
5.5 x = ඉඩ දෙන්න (x 1 , x 2 , x 3 ) . පහත පරිවර්තන රේඛීයද?
දී ඇති දෛශිකවල සංගුණක වලින් රේඛීය ක්‍රියාකරුවන්ගේ න්‍යාස රචනා කරමු.
එක් එක් රේඛීය ක්‍රියාකරු න්‍යාසය සඳහා රේඛීය මෙහෙයුම්වල ගුණය පරීක්ෂා කරමු.
අපි වම් පැත්ත සොයා ගන්නේ matrix ගුණ කිරීමෙන් ඒදෛශිකයට
දී ඇති දෛශිකය අදිශයකින් ගුණ කිරීමෙන් අපි දකුණු පැත්ත සොයා ගනිමු 
.
අපි ඒක දකිනවා 
මෙයින් අදහස් කරන්නේ පරිවර්තනය රේඛීය නොවන බවයි.
අපි වෙනත් දෛශික පරීක්ෂා කරමු.
, පරිවර්තනය රේඛීය නොවේ.
, පරිවර්තනය රේඛීය වේ.
පිළිතුර: ඔහ්- නැත රේඛීය පරිවර්තනය, තුල- රේඛීය නොවේ, Cx- රේඛීය.
සටහන.ලබා දී ඇති දෛශික දෙස හොඳින් බැලීමෙන් ඔබට මෙම කාර්යය වඩාත් පහසු කර ගත හැක. තුල ඔහ්මූලද්රව්ය අඩංගු නොවන පද ඇති බව අපට පෙනේ x, රේඛීය මෙහෙයුමක ප්රතිඵලයක් ලෙස ලබා ගත නොහැකි විය. තුල තුලමූලද්රව්යයක් තිබේ xදෛශිකයකින් ගුණ කිරීමෙන් ලබා ගත නොහැකි තුන්වන බලයට x.
5.6 ලබා දී ඇත x = { x 1 , x 2 , x 3 } , පොරව = { x 2 – x 3 , x 1 , x 1 + x 3 } , Bx = { x 2 , 2 x 3 , x 1 } . නිශ්චිත මෙහෙයුම සිදු කරන්න: ( ඒ ( බී – ඒ )) x .
අපි රේඛීය ක්‍රියාකරුවන්ගේ න්‍යාස සටහන් කරමු.
අපි matrices මත මෙහෙයුමක් කරමු 
ලැබෙන න්‍යාසය X මගින් ගුණ කළ විට අපට ලැබේ
පිළිතුර: 
දෛශික පද්ධතිය ලෙස හැඳින්වේ රේඛීයව රඳා පවතී, සමානාත්මතාවය https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src= ලෙස අවම වශයෙන් එකක් හෝ ශුන්යයට වඩා වෙනස් වන සංඛ්‍යා තිබේ නම් " >.
මෙම සමානාත්මතාවය සෑහීමකට පත්වේ නම්, සියලු අවස්ථාවන්හිදී පමණක්, දෛශික පද්ධතිය ලෙස හැඳින්වේ රේඛීය ස්වාධීන.
ප්රමේයය.දෛශික පද්ධතිය වනු ඇත රේඛීයව රඳා පවතීඅවම වශයෙන් එහි එක් දෛශිකයක් අනෙක් ඒවායේ රේඛීය සංයෝජනයක් නම් සහ පමණි.
උදාහරණ 1.බහුපද 
යනු බහුපද වල රේඛීය සංයෝගයකි https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. බහුපදයන් රේඛීය ස්වාධීන පද්ධතියක් සාදයි, සිට බහුපද https: //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.
උදාහරණය 2.න්‍යාස පද්ධතිය, , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> රේඛීයව ස්වාධීන වේ, මන්ද රේඛීය සංයෝජනයක් සමාන වේ ශුන්ය න්‍යාසය https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text විටදී පමණි /78/624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> රේඛීයව රඳා පවතී.
විසඳුමක්.
අපි මෙම දෛශික වල රේඛීය සංයෝජනයක් කරමු https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" උස = "22">.
සමාන දෛශිකවල එකම ඛණ්ඩාංක සමාන කරමින්, අපට https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69"> ලැබේ
අන්තිමට අපිට ලැබෙනවා
සහ
පද්ධතියට අද්විතීය සුළු විසඳුමක් ඇත, එබැවින් මෙම දෛශිකවල රේඛීය සංයෝජනයක් ශුන්යයට සමාන වන්නේ සියලු සංගුණක ශුන්යයට සමාන වන අවස්ථාවකදී පමණි. ඒක තමයි මෙම පද්ධතියදෛශික රේඛීයව ස්වාධීන වේ.
උදාහරණ 4.දෛශික රේඛීයව ස්වාධීන වේ. දෛශික පද්ධති කෙබඳු වේවිද?
ඒ).
;
බී).
?
විසඳුමක්.
ඒ).අපි රේඛීය සංයෝජනයක් සාදා එය ශුන්යයට සමාන කරමු
රේඛීය අවකාශයේ දෛශික සමඟ මෙහෙයුම් වල ගුණාංග භාවිතා කරමින්, අපි ආකෘතියේ අවසාන සමානාත්මතාවය නැවත ලියන්නෙමු
දෛශික රේඛීයව ස්වාධීන බැවින්, හි සංගුණක ශුන්යයට සමාන විය යුතුය, එනම්..gif" width="12" height="23 src=">
ප්රතිඵලයක් ලෙස සමීකරණ පද්ධතියට අද්විතීය සුළු විසඳුමක් ඇත 
.
සමානාත්මතාවයේ සිට (*) https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> විට පමණක් ක්‍රියාත්මක වේ – රේඛීයව ස්වාධීන;
බී).අපි සමානාත්මතාවයක් ඇති කරමු https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)
සමාන තර්ක යෙදීමෙන්, අපි ලබා ගනිමු
Gauss ක්රමය මගින් සමීකරණ පද්ධතිය විසඳීම, අපි ලබා ගනිමු
හෝ
අවසාන පද්ධතියට අසීමිත විසඳුම් ගණනාවක් ඇත https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. මේ අනුව, නොවන එකක් ඇත. සමානාත්මතාවය දරන සංගුණක ශුන්ය කට්ටලයක් (**)
. එබැවින්, දෛශික පද්ධතිය - රේඛීයව රඳා පවතී.
උදාහරණ 5දෛශික පද්ධතියක් රේඛීයව ස්වාධීන වන අතර දෛශික පද්ධතියක් රේඛීයව රඳා පවතී..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)
සමානාත්මතාවය තුළ (***) . ඇත්ත වශයෙන්ම, දී, පද්ධතිය රේඛීයව රඳා පවතී.
සම්බන්ධයෙනි (***)
අපට ලැබෙනවා 
හෝ 
අපි සටහන් කරමු 
.
අපිට ලැබෙනවා 
සඳහා කාර්යයන් ස්වාධීන තීරණය(ප්‍රේක්ෂකාගාරයේ)
1. ශුන්ය දෛශිකයක් අඩංගු පද්ධතියක් රේඛීයව රඳා පවතී.
2. එක් දෛශිකයකින් සමන්විත පද්ධතිය ඒ, රේඛීයව රඳා පවතින්නේ නම් සහ පමණක් නම්, a=0.
3. දෛශික දෙකකින් සමන්විත පද්ධතියක් රේඛීයව රඳා පවතින්නේ දෛශික සමානුපාතික නම් සහ පමණි (එනම්, ඒවායින් එකක් සංඛ්‍යාවකින් ගුණ කිරීමෙන් අනෙකෙන් ලබා ගනී).
4. ඔබ රේඛීය පරායත්ත පද්ධතියකට දෛශිකයක් එකතු කළහොත්, ඔබට රේඛීය පරායත්ත පද්ධතියක් ලැබේ.
5. රේඛීය ස්වාධීන පද්ධතියකින් දෛශිකයක් ඉවත් කරන්නේ නම්, එවිට ලැබෙන දෛශික පද්ධතිය රේඛීයව ස්වාධීන වේ.
6. පද්ධතිය නම් එස්රේඛීයව ස්වාධීන වේ, නමුත් දෛශිකයක් එකතු කිරීමේදී රේඛීයව රඳා පවතී බී, පසුව දෛශිකය බීපද්ධති දෛශික හරහා රේඛීයව ප්‍රකාශ වේ එස්.
c)න්‍යාස පද්ධතිය, , දෙවන පෙළ න්‍යාසවල අවකාශයේ.
10. දෛශික පද්ධතියට ඉඩ දෙන්න ඒ,බී,cදෛශික අවකාශය රේඛීයව ස්වාධීන වේ. පහත දෛශික පද්ධතිවල රේඛීය ස්වාධීනත්වය ඔප්පු කරන්න:
ඒ).a+b, b, c.
බී).a+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">–අත්තනෝමතික අංකය
c)a+b, a+c, b+c.
11. ඉඩ ඒ,බී,c- ත්‍රිකෝණයක් සෑදිය හැකි තලයේ දෛශික තුනක්. මෙම දෛශික රේඛීයව රඳා පවතීද?
12. දෛශික දෙකක් ලබා දී ඇත a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). තවත් සිව්මාන දෛශික දෙකක් සොයන්න a3 සහa4ඒ නිසා පද්ධතිය a1,a2,a3,a4රේඛීයව ස්වාධීන විය .
දෛශික, ඔවුන්ගේ ගුණාංග සහ ඔවුන් සමඟ ක්රියා
දෛශික, දෛශික සමඟ ක්රියා, රේඛීය දෛශික අවකාශය.
දෛශික යනු තාත්වික සංඛ්‍යා සීමිත සංඛ්‍යාවක ඇණවුම් එකතුවකි.
ක්රියා: 1.දෛශිකයක් අංකයකින් ගුණ කිරීම: lambda*vector x=(lamda*x 1, lambda*x 2 ... lambda*x n).(3.4, 0, 7)*3=(9, 12,0.21)
2. දෛශික එකතු කිරීම (එකම දෛශික අවකාශයට අයත්) දෛශිකය x + දෛශිකය y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ... x n + y n,)
3. දෛශිකය 0=(0,0...0)---n E n – n-මාන (රේඛීය අවකාශය) දෛශිකය x + දෛශිකය 0 = දෛශිකය x
ප්රමේයය. n දෛශික පද්ධතියක්, n-මාන රේඛීය අවකාශයක්, රේඛීයව රඳා පැවතීම සඳහා, එක් දෛශිකයක් අනෙක් ඒවායේ රේඛීය සංයෝජනයක් වීම අවශ්‍ය සහ ප්‍රමාණවත් වේ.
ප්රමේයය. සංසිද්ධිවල n-මාන රේඛීය අවකාශයේ ඕනෑම n+ 1 වැනි දෛශික කට්ටලයක්. රේඛීයව රඳා පවතී.
දෛශික එකතු කිරීම, දෛශික සංඛ්‍යා වලින් ගුණ කිරීම. දෛශික අඩු කිරීම.
දෛශික දෙකක එකතුව දෛශිකයේ ආරම්භයේ සිට දෛශිකයේ අවසානය දක්වා යොමු කරන ලද දෛශිකයකි, ආරම්භය දෛශිකයේ අවසානය සමග සමපාත වේ. දෛශික පාදක ඒකක දෛශිකවල ප්රසාරණය මගින් ලබා දෙන්නේ නම්, දෛශික එකතු කරන විට, ඒවාට අනුරූප ඛණ්ඩාංක එකතු වේ.
Cartesian ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක උදාහරණය භාවිතා කර මෙය සලකා බලමු. ඉඩ
ඒක පෙන්නමු
3 වන රූපයෙන් එය පැහැදිලිය 
බහුඅස්‍ර නියමය භාවිතයෙන් ඕනෑම සීමිත දෛශික සංඛ්‍යාවක එකතුව සොයාගත හැකිය (රූපය 4): සීමිත දෛශික සංඛ්‍යාවක එකතුව ගොඩනැගීමට, එක් එක් පසු දෛශිකයේ ආරම්භය පෙර එකෙහි අවසානය සමඟ ඒකාබද්ධ කිරීම ප්‍රමාණවත් වේ. සහ පළමු දෛශිකයේ ආරම්භය හා අවසාන අවසානය සම්බන්ධ කරන දෛශිකයක් සාදන්න.
දෛශික එකතු කිරීමේ මෙහෙයුමේ ගුණාංග:
මෙම ප්‍රකාශනවල m, n යනු සංඛ්‍යා වේ.
දෛශික අතර වෙනස දෛශිකයක් ලෙස හැඳින්වේ, දෙවන පදය දෛශිකයට ප්රතිවිරුද්ධ දිශාවට, නමුත් දිගට සමාන වේ.
මේ අනුව, දෛශික අඩු කිරීමේ ක්‍රියාකාරිත්වය එකතු කිරීමේ මෙහෙයුමකින් ප්‍රතිස්ථාපනය වේ
ආරම්භයේ ආරම්භය සහ A ලක්ෂ්‍යයේ අවසානය (x1, y1, z1) ඇති දෛශිකයක් A ලක්ෂ්‍යයේ අරය දෛශිකය ලෙස හඳුන්වනු ලබන අතර එය සරලව දක්වා ඇත. එහි ඛණ්ඩාංක A ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක සමග සමපාත වන බැවින්, ඒකක දෛශිකවල එහි ප්‍රසාරණයට ස්වරූපය ඇත
A(x1, y1, z1) ලක්ෂ්‍යයෙන් ආරම්භ වී B(x2, y2, z2) ලක්ෂ්‍යයෙන් අවසන් වන දෛශිකයක් මෙසේ ලිවිය හැක. 
මෙහි r 2 යනු B ලක්ෂ්‍යයේ අරය දෛශිකය වේ; r 1 - ලක්ෂ්‍යයේ අරය දෛශිකය.
එබැවින්, ඒකක දෛශිකවල දෛශිකයේ ප්රසාරණය ආකෘතිය ඇත
එහි දිග A සහ B ලකුණු අතර දුරට සමාන වේ
ගුණ කිරීම
එබැවින් තලයේ ගැටලුවකදී, දෛශිකයක ගුණිතය a = (ax; ay) b අංකයෙන් සූත්‍රයෙන් සොයා ගනී.
a b = (ax b; ay b)
උදාහරණය 1. දෛශිකයේ ගුණිතය a = (1; 2) 3 න් සොයන්න.
3 a = (3 1; 3 2) = (3; 6)
ඉතින්, අවකාශීය ගැටලුවකදී, දෛශිකයේ ගුණිතය a = (ax; ay; az) b අංකයෙන් සූත්‍රයෙන් සොයා ගනී.
a b = (ax b; ay b; az b)
උදාහරණ 1. දෛශිකයේ ගුණිතය a = (1; 2; -5) 2 න් සොයන්න.
2 a = (2 1; 2 2; 2 (-5)) = (2; 4; -10)
දෛශික වල තිත් නිෂ්පාදනය සහ 
දෛශික අතර කෝණය කොහිද සහ; එක්කෝ නම්, එසේ නම්
පරිමාණ නිෂ්පාදනයේ නිර්වචනයෙන් එය අනුගමනය කරයි 
උදාහරණයක් ලෙස, දෛශිකයේ දිශාවට දෛශිකයේ ප්රක්ෂේපණයේ විශාලත්වය වේ.
අදිශ වර්ග දෛශිකය:
තිත් නිෂ්පාදනයේ ගුණ:
ඛණ්ඩාංකවල තිත් නිෂ්පාදනය
නම් 
එම 
දෛශික අතර කෝණය
දෛශික අතර කෝණය - මෙම දෛශිකවල දිශාවන් අතර කෝණය (කුඩාම කෝණය).
හරස් නිෂ්පාදනය (දෛශික දෙකක හරස් නිෂ්පාදනය.) -මෙය ත්රිමාණ යුක්ලීඩීය අවකාශයේ දෛශික මත “දෛශික ගුණ කිරීමේ” ද්විමය මෙහෙයුමේ ප්රතිඵලයක් වන සාධක දෙකකින් සාදන ලද තලයකට ලම්බක වූ ව්‍යාජ දෛශිකයකි. නිෂ්පාදිතය සංක්‍රමණික හෝ ආශ්‍රිත නොවන (එය ප්‍රති-සන්නිවේදක වේ) සහ දෛශිකවල තිත් නිෂ්පාදනයට වඩා වෙනස් වේ. බොහෝ ඉංජිනේරු සහ භෞතික විද්‍යා ගැටළු වලදී, පවතින ඒවා දෙකකට ලම්බකව දෛශිකයක් තැනීමට ඔබට හැකි විය යුතුය - දෛශික නිෂ්පාදනයමෙම අවස්ථාව ලබා දෙයි. දෛශිකවල ලම්බකතාව "මිනීමට" හරස් නිෂ්පාදනය ප්‍රයෝජනවත් වේ - දෛශික දෙකක හරස් නිෂ්පාදනයේ දිග ඒවා ලම්බක නම් ඒවායේ දිගේ ගුණිතයට සමාන වන අතර දෛශික සමාන්තර හෝ ප්රතිවිරුද්ධ නම් ශුන්යයට අඩු වේ.
හරස් නිෂ්පාදනය නිර්වචනය කරනු ලබන්නේ ත්රිමාණ සහ සත්මාන අවකාශයන් තුළ පමණි. දෛශික නිෂ්පාදනයක ප්‍රතිඵලය, අදිශ නිෂ්පාදනයක් වැනි, යුක්ලීඩීය අවකාශයේ මෙට්‍රික් මත රඳා පවතී.
ත්රිමාණ සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක තිත් නිෂ්පාදන දෛශිකවල ඛණ්ඩාංක ගණනය කිරීමේ සූත්‍රය මෙන් නොව, හරස් නිෂ්පාදනයේ සූත්‍රය දිශානතිය මත රඳා පවතී. සෘජුකෝණාස්රාකාර පද්ධතියඛණ්ඩාංක හෝ, වෙනත් වචනවලින් කිවහොත්, එහි "chirality"
දෛශිකවල සහසම්බන්ධතාවය.
ශුන්ය නොවන (0 ට සමාන නොවන) දෛශික දෙකක් සමාන්තර රේඛාවල හෝ එකම රේඛාවක පිහිටා තිබේ නම් ඒවා කොලීනියර් ලෙස හැඳින්වේ. පිළිගත හැකි, නමුත් නිර්දේශ නොකළ, සමාන පදයක් "සමාන්තර" දෛශික වේ. කොලිනියර් දෛශික එක සමානව යොමු කළ හැකිය ("සහ දිශානතිය") හෝ ප්රතිවිරුද්ධ ලෙස යොමු කළ හැකිය (අවසාන අවස්ථාවේ දී ඒවා සමහර විට "ප්‍රතිකොලිනියර්" හෝ "ප්‍රතිසමාන්තර" ලෙස හැඳින්වේ).
දෛශික මිශ්ර නිෂ්පාදිතය( a, b, c)- දෛශික a හි අදිශ ගුණිතය සහ b සහ c දෛශිකවල දෛශික නිෂ්පාදනය:
(a,b,c)=a ⋅(b ×c)
සමහර විට ත්රිත්ව ලෙස හැඳින්වේ පරිමාණ නිෂ්පාදනයක්දෛශික, බොහෝ දුරට ප්‍රති result ලය අදිශයක් (වඩාත් නිවැරදිව, ව්‍යාජ ස්කැලර්) නිසා විය හැකිය.
ජ්යාමිතික අර්ථය: මිශ්ර නිෂ්පාදනයේ මාපාංකය සංඛ්‍යාත්මකව දෛශික මගින් සාදනු ලබන සමාන්තර නල පරිමාවට සමාන වේ. (a,b,c) .
දේපළ
මිශ්ර නිෂ්පාදනයක් එහි සියලු තර්කවලට සාපේක්ෂව සමමිතික වේ: i.e. e. කිසියම් සාධක දෙකක් නැවත සකස් කිරීම නිෂ්පාදනයේ ලකුණ වෙනස් කරයි. නිවැරදි කාටිසියානු ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ මිශ්ර නිෂ්පාදිතය (සාමාන්‍ය පදනමකින්) දෛශික වලින් සමන්විත න්‍යාසයක නිර්ණායකයට සමාන වන අතර:
වම් කාටිසියානු ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ මිශ්ර නිෂ්පාදිතය (සාමාන්‍ය පදනමක් තුළ) දෛශික වලින් සමන්විත න්‍යාසයේ නිර්ණායකයට සමාන වන අතර, අඩු ලකුණක් සමඟ ගනු ලැබේ:
විශේෂයෙන්ම,
ඕනෑම දෛශික දෙකක් සමාන්තර නම්, ඕනෑම තුන්වන දෛශිකයක් සමඟ ඒවා ශුන්යයට සමාන මිශ්ර නිෂ්පාදනයක් සාදයි.
දෛශික තුනක් රේඛීයව රඳා පවතී නම් (එනම්, කොප්ලැනර්, එකම තලයක වැතිර සිටී), එවිට ඒවායේ මිශ්ර නිෂ්පාදිතය ශුන්යයට සමාන වේ.
ජ්යාමිතික අර්ථය - මිශ්ර නිෂ්පාදන දෛශික විසින් පිහිටුවන ලද parallelepiped (රූපය බලන්න) පරිමාව නිරපේක්ෂ අගය සමාන වේ සහ; මෙම දෛශික ත්රිත්ව දකුණු අත ද වම් අත ද යන්න මත ලකුණ රඳා පවතී.
දෛශික වල කෝප්ලැනරිටි.
දෛශික තුනක් (හෝ ඊට වැඩි) පොදු සම්භවයක් දක්වා අඩු වී එකම තලයක පිහිටා තිබේ නම් ඒවා coplanar ලෙස හැඳින්වේ.
coplanarity හි ගුණාංග
අවම වශයෙන් දෛශික තුනෙන් එකක් ශුන්ය නම්, දෛශික තුන ද coplanar ලෙස සැලකේ.
කොලිනියර් දෛශික යුගලයක් අඩංගු දෛශික ත්‍රිත්වයක් කොප්ලැනර් වේ.
කොප්ලැනර් දෛශිකවල මිශ්ර නිෂ්පාදනයක්. මෙය දෛශික තුනක coplanarity සඳහා නිර්ණායකයකි.
කොප්ලැනර් දෛශික රේඛීයව රඳා පවතී. මෙය ද coplanarity සඳහා නිර්ණායකයකි.
ත්‍රිමාන අවකාශයේ, කොප්ලැනර් නොවන දෛශික 3ක් පදනමක් සාදයි
රේඛීයව යැපෙන සහ රේඛීයව ස්වාධීන දෛශික.
රේඛීයව යැපෙන සහ ස්වාධීන පද්ධතිදෛශික.අර්ථ දැක්වීම. දෛශික පද්ධතිය ලෙස හැඳින්වේ රේඛීයව රඳා පවතී, ශුන්ය දෛශිකයට සමාන මෙම දෛශිකවල අවම වශයෙන් එක් සුළු නොවන රේඛීය සංයෝජනයක් තිබේ නම්. එසේ නොමැති නම්, i.e. ලබා දී ඇති දෛශිකවල සුළු රේඛීය සංයෝජනයක් පමණක් ශුන්ය දෛශිකයට සමාන වන්නේ නම්, දෛශික ලෙස හැඳින්වේ රේඛීය ස්වාධීන.
ප්රමේයය (රේඛීය යැපීම් නිර්ණායක). රේඛීය අවකාශයක දෛශික පද්ධතියක් රේඛීයව රඳා පැවතීම සඳහා, අවම වශයෙන් මෙම දෛශිකවලින් එකක් හෝ අනෙක් ඒවායේ රේඛීය සංයෝජනයක් වීම අවශ්‍ය සහ ප්‍රමාණවත් වේ.
1) දෛශික අතර අවම වශයෙන් එක් ශුන්ය දෛශිකයක් තිබේ නම්, සමස්ත දෛශික පද්ධතියම රේඛීයව රඳා පවතී.
ඇත්ත වශයෙන්ම, උදාහරණයක් ලෙස, , එසේ නම්, උපකල්පනය කරන්නේ නම්, අපට සුළු නොවන රේඛීය සංයෝජනයක් තිබේ .▲
2) දෛශික අතර සමහරක් රේඛීයව යැපෙන පද්ධතියක් සාදනු ලබන්නේ නම්, සමස්ත පද්ධතියම රේඛීයව රඳා පවතී.
ඇත්ත වශයෙන්ම, දෛශික , , රේඛීයව රඳා පවතීවා. මෙයින් අදහස් කරන්නේ ශුන්ය දෛශිකයට සමාන සුළු නොවන රේඛීය සංයෝජනයක් ඇති බවයි. නමුත් පසුව, උපකල්පනය 
, අපි ශුන්ය දෛශිකයට සමාන සුළු නොවන රේඛීය සංයෝජනයක් ද ලබා ගනිමු.
2. පදනම සහ මානය. අර්ථ දැක්වීම. රේඛීය ස්වාධීන දෛශික පද්ධතිය 
දෛශික අවකාශය ලෙස හැඳින්වේ පදනමමෙම අවකාශයේ ඕනෑම දෛශිකයක් මෙම පද්ධතියේ දෛශිකවල රේඛීය සංයෝජනයක් ලෙස නිරූපණය කළ හැකි නම්, i.e. එක් එක් දෛශිකය සඳහා තාත්වික සංඛ්‍යා ඇත 
මෙම සමානාත්මතාවය ලෙස හැඳින්වේ දෛශික වියෝජනයපදනම සහ අංක අනුව යනුවෙන් හැඳින්වේ පදනමට සාපේක්ෂව දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක(හෝ පදනම තුළ) .
ප්රමේයය (පදනම සම්බන්ධයෙන් ප්‍රසාරණයේ සුවිශේෂත්වය මත). අභ්‍යවකාශයේ ඇති සෑම දෛශිකයක්ම පදනමක් දක්වා පුළුල් කළ හැක එකම ආකාරයෙන්, i.e. පදනමේ එක් එක් දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක නොපැහැදිලි ලෙස තීරණය කරනු ලැබේ.
අර්ථ දැක්වීම. දෛශිකවල රේඛීය සංයෝජනය a 1 , ..., a n සංගුණක x 1 , ..., x n දෛශිකයක් ලෙස හැඳින්වේ
x 1 a 1 + ... + x n a n .
සුළු සුළුය, සියලුම සංගුණක x 1, ..., x n ශුන්යයට සමාන නම්.
අර්ථ දැක්වීම. රේඛීය සංයෝජනය x 1 a 1 + ... + x n a n ලෙස හැඳින්වේසුළු නොවන
රේඛීය ස්වාධීන, අවම වශයෙන් එක් සංගුණක x 1, ..., x n ශුන්යයට සමාන නොවේ නම්. , ට සමාන මෙම දෛශිකවල සුළු නොවන සංයෝජනයක් නොමැති නම්.
ශුන්ය දෛශිකය
එනම්, a 1, ..., a n දෛශික රේඛීයව ස්වාධීන වන්නේ x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 නම් සහ x 1 = 0, ..., x n = 0 නම් පමණි. අර්ථ දැක්වීම.දෛශික a 1, ..., a n ලෙස හැඳින්වේ , ට සමාන මෙම දෛශිකවල සුළු නොවන සංයෝජනයක් නොමැති නම්.
රේඛීයව රඳා පවතී
n-මාන දෛශික සඳහා.
n + 1 දෛශික සෑම විටම රේඛීයව රඳා පවතී.
, ට සමාන මෙම දෛශිකවල සුළු නොවන සංයෝජනයක් තිබේ නම්
රේඛීයව යැපෙන දෛශික දෙකක් collinear වේ. (කොලීනියර් දෛශික රේඛීයව රඳා පවතී.)
3-මාන දෛශික සඳහා.
රේඛීයව යැපෙන දෛශික තුනක් coplanar වේ. (කොප්ලැනර් දෛශික තුනක් රේඛීයව රඳා පවතී.)
දෛශිකවල රේඛීය යැපීම සහ රේඛීය ස්වාධීනත්වය පිළිබඳ ගැටළු සඳහා උදාහරණ:
උදාහරණ 1. දෛශික a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) රේඛීයව ස්වාධීන ද යන්න පරීක්ෂා කරන්න. .
විසඳුමක්:
දෛශිකවල මානය දෛශික ගණනට වඩා අඩු බැවින් දෛශික රේඛීයව රඳා පවතී.
උදාහරණ 2. දෛශික a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) රේඛීයව ස්වාධීන ද යන්න පරීක්ෂා කරන්න.
විසඳුමක්:
| x 1 + x 2 = 0 | |
| x 1 + 2x 2 - x 3 = 0 | |
| x 1 + x 3 = 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | ||
| 1 | 2 | -1 | 0 | |||
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| ~ | 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | ||||
| 1 - 1 | 2 - 1 | -1 - 0 | 0 - 0 | 0 | 1 | -1 | 0 | |||||||
| 1 - 1 | 0 - 1 | 1 - 0 | 0 - 0 | 0 | -1 | 1 | 0 |
පළමු පේළියෙන් දෙවැන්න අඩු කරන්න; තුන්වන පේළියට දෙවන පේළියක් එක් කරන්න:
| ~ | 1 - 0 | 1 - 1 | 0 - (-1) | 0 - 0 | ~ | 1 | 0 | 1 | 0 | ||||
| 0 | 1 | -1 | 0 | 0 | 1 | -1 | 0 | ||||||
| 0 + 0 | -1 + 1 | 1 + (-1) | 0 + 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
මෙම විසඳුම පෙන්නුම් කරන්නේ පද්ධතියට බොහෝ විසඳුම් ඇති බවයි, එනම් x 1, x 2, x 3 යන සංඛ්‍යා වල අගයන්හි ශුන්ය නොවන සංයෝජනයක් ඇති අතර එමඟින් දෛශිකවල රේඛීය සංයෝජනය a, b, c සමාන වේ. ශුන්ය දෛශිකය, උදාහරණයක් ලෙස:
A + b + c = 0
එනම් a, b, c දෛශික රේඛීයව රඳා පවතී.
පිළිතුර:දෛශික a, b, c රේඛීයව රඳා පවතී.
උදාහරණ 3. දෛශික a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2) රේඛීයව ස්වාධීන ද යන්න පරීක්ෂා කරන්න.
විසඳුමක්:මෙම දෛශිකවල රේඛීය සංයෝජනය ශුන්ය දෛශිකයට සමාන වන සංගුණකවල අගයන් අපි සොයා ගනිමු.
x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0මෙම දෛශික සමීකරණය පද්ධතියක් ලෙස ලිවිය හැක රේඛීය සමීකරණ
| x 1 + x 2 = 0 | |
| x 1 + 2x 2 - x 3 = 0 | |
| x 1 + 2x 3 = 0 |
Gauss ක්රමය භාවිතා කර මෙම ක්රමය විසඳා ගනිමු
| 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | ||
| 1 | 2 | -1 | 0 | |||
| 1 | 0 | 2 | 0 |
දෙවන පේළියෙන් පළමුවැන්න අඩු කරන්න; තුන්වන පේළියෙන් පළමුවැන්න අඩු කරන්න:
| ~ | 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | ||||
| 1 - 1 | 2 - 1 | -1 - 0 | 0 - 0 | 0 | 1 | -1 | 0 | |||||||
| 1 - 1 | 0 - 1 | 2 - 0 | 0 - 0 | 0 | -1 | 2 | 0 |
පළමු පේළියෙන් දෙවැන්න අඩු කරන්න; තුන්වන පේළියට තත්පරයක් එකතු කරන්න.
