සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක හරස් නිෂ්පාදනය සොයා ගැනීම. දෛශික වල දෛශික නිෂ්පාදනය. දෛශිකවල මිශ්‍ර නිෂ්පාදනයක්

Yandex.RTB R-A-339285-1

දෛශික නිෂ්පාදනයක් පිළිබඳ සංකල්පය ලබා දීමට පෙර, අපි ත්‍රිමාණ අවකාශයේ a → , b → , c → යන ත්‍රිත්ව දෛශිකයේ දිශානතිය පිළිබඳ ප්‍රශ්නය වෙත හැරෙමු.

ආරම්භ කිරීම සඳහා, දෛශික a → , b → , c → එක් ලක්ෂ්‍යයකින් වෙන් කරමු. ත්‍රිත්ව a → , b → , c → දෛශිකයේ දිශානතිය අනුව c → දකුණ හෝ වම වේ. දෛශිකයේ සිට a → සිට b → දක්වා කෙටිම හැරීම සිදු කරන දිශාවෙන් c → දෛශිකයේ කෙළවරේ සිට, a → , b → , c → යන ත්‍රිත්ව ස්වරූපය තීරණය වේ.

කෙටිම භ්‍රමණය වාමාවර්තව නම්, දෛශික ත්‍රිත්ව a → , b → , c → ලෙස හැඳින්වේ. හරිදක්ෂිණාවර්තව නම් - අත්හැරියා.

මීළඟට, a → සහ b → collinear නොවන දෛශික දෙකක් ගන්න. ඉන්පසුව A B → = a → සහ A C → = b → යන දෛශික A ලක්ෂ්‍යයෙන් කල් දමමු. අපි A D → = c → දෛශිකයක් ගොඩනඟමු, එය A B → සහ A C → යන දෙකටම එකවර ලම්බක වේ. මේ අනුව, A D → = c → දෛශිකය තැනීමේදී, අපට දේවල් දෙකක් කළ හැකිය, එය එක් දිශාවකට හෝ ප්රතිවිරුද්ධ දිශාවට ලබා දෙයි (නිදර්ශනය බලන්න).

දෛශිකයේ දිශානතිය අනුව පිළිවෙලට ඇති a → , b → , c → ත්‍රිත්වය, අප සොයා ගත් පරිදි දකුණට හෝ වමට විය හැක.

ඉහතින්, දෛශික නිෂ්පාදනයක් පිළිබඳ නිර්වචනය අපට හඳුන්වා දිය හැකිය. මෙම නිර්වචනයත්රිමාණ අවකාශයේ සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක අර්ථ දක්වා ඇති දෛශික දෙකක් සඳහා ලබා දී ඇත.

අර්ථ දැක්වීම 1

a → සහ b → දෛශික දෙකක දෛශික ගුණිතය ත්‍රිමාන අවකාශයේ සෘජුකෝණාස්‍රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක ලබා දී ඇති එවැනි දෛශිකයක් අපි හඳුන්වන්නේ:

• දෛශික a → සහ b → ඛණ්ඩක නම්, එය ශුන්‍ය වේ;
• එය දෛශික a → සහ දෛශික b → යන දෙකටම ලම්බක වනු ඇත i.e. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
• එහි දිග සූත්‍රය මගින් තීරණය වේ: c → = a → b → sin ∠ a → , b → ;
• දෛශික ත්‍රිත්ව a → , b → , c → සඳහා දිශානතියම ඇත මෙම පද්ධතියඛණ්ඩාංක.

දෛශික නිෂ්පාදනයදෛශික a → සහ b → පහත සඳහන් අංකනය ඇත: a → × b → .

හරස් නිෂ්පාදන ඛණ්ඩාංක

ඕනෑම දෛශිකයකට ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ නිශ්චිත ඛණ්ඩාංක ඇති බැවින්, හරස් නිෂ්පාදනයේ දෙවන නිර්වචනයක් හඳුන්වා දිය හැකිය, එමඟින් දෛශිකවල දී ඇති ඛණ්ඩාංක වලින් එහි ඛණ්ඩාංක සොයා ගැනීමට ඔබට ඉඩ සලසයි.

අර්ථ දැක්වීම 2

ත්රිමාණ අවකාශයේ සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක දෛශික දෙකක දෛශික ගුණිතය a → = (a x ; a y ; a z) සහ b → = (b x ; b y ; b z) දෛශිකය අමතන්න c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , i → co , din → , j

දෛශික නිෂ්පාදනය නිර්ණායකයක් ලෙස දැක්විය හැක හතරැස් අනුකෘතියතුන්වන අනුපිළිවෙලෙහි, පළමු පේළිය දෛශික වන i → , j → , k → , දෙවන පේළියේ a → දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක අඩංගු වන අතර තුන්වන පේළියේ දී ඇති සෘජුකෝණාස්‍රාකාර ඛණ්ඩාංකයක b → දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක අඩංගු වේ. පද්ධතිය, මෙම න්‍යාස නිර්ණායකය මෙලෙස දිස්වේ: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

පළමු පේළියේ මූලද්‍රව්‍ය මත මෙම නිර්ණායකය පුළුල් කිරීම, අපි සමානාත්මතාවය ලබා ගනිමු: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z i = x → a a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

හරස් නිෂ්පාදන ගුණාංග

ඛණ්ඩාංකවල ඇති දෛශික නිෂ්පාදිතය c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z න්‍යාසයේ නිර්ණායකය ලෙස නිරූපනය වන බව දන්නා කරුණකි. matrix determinant propertiesපසුව එන දෛශික නිෂ්පාදන ගුණාංග:

1. ප්‍රතිප්‍රවාහක a → × b → = - b → × a → ;
2. බෙදාහැරීමේ හැකියාව a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → හෝ a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. ආශ්‍රය λ a → × b → = λ a → × b → හෝ a → × (λ b →) = λ a → × b → , λ යනු අත්තනෝමතික තාත්වික සංඛ්‍යාවකි.

මෙම ගුණාංගවල සංකීර්ණ සාක්ෂි නොමැත.

උදාහරණයක් ලෙස, අපට දෛශික නිෂ්පාදනයක ප්‍රති-ප්‍රවාහක ගුණය ඔප්පු කළ හැක.

ප්‍රති-ප්‍රවාහකත්වය පිළිබඳ සාධනය

නිර්වචනය අනුව, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z සහ b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z. තවද න්‍යාසයේ පේළි දෙකක් එකිනෙකට හුවමාරු වන්නේ නම්, න්‍යාසයේ නිර්ණායකයේ අගය ප්‍රතිවිරුද්ධ අගයට වෙනස් විය යුතුය, එබැවින්, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → b x ax - b → × a → , එය සහ දෛශික නිෂ්පාදනයේ ප්‍රති-ප්‍රවාහක බව සනාථ කරයි.

දෛශික නිෂ්පාදන - උදාහරණ සහ විසඳුම්

බොහෝ අවස්ථාවලදී, කාර්යයන් වර්ග තුනක් ඇත.

පළමු වර්ගයේ ගැටළු වලදී, දෛශික දෙකක දිග සහ ඒවා අතර කෝණය සාමාන්යයෙන් ලබා දී ඇත, නමුත් ඔබ හරස් නිෂ්පාදනයේ දිග සොයා ගත යුතුය. මෙම අවස්ථාවේදී, c → = a → b → sin ∠ a → , b → සූත්‍රය භාවිතා කරන්න.

උදාහරණ 1

a → = 3 , b → = 5 , ∠ a → , b → = π 4 දන්නේ නම් a → සහ b → දෛශිකවල හරස් නිෂ්පාදනයේ දිග සොයන්න.

විසඳුමක්

දෛශික a → සහ b → දෛශික නිෂ්පාදනයේ දිග නිර්වචනය භාවිතා කරමින්, අපි මෙම ගැටළුව විසඳන්නෙමු: a → × b → = a → b → sin ∠ a → , b → = 3 5 sin π 4 = 15 2 2 .

පිළිතුර: 15 2 2 .

දෙවන වර්ගයේ කාර්යයන් දෛශික ඛණ්ඩාංක සමඟ සම්බන්ධයක් ඇත, ඒවායේ දෛශික නිෂ්පාදනයක්, එහි දිග යනාදිය අඩංගු වේ. ලබා දී ඇති දෛශිකවල දන්නා ඛණ්ඩාංක හරහා සොයනු ලැබේ a → = (a x ; a y ; a z) හා b → = (b x ; b y ; b z) .

මෙම ආකාරයේ කාර්යයක් සඳහා, ඔබට කාර්යයන් සඳහා විකල්ප බොහොමයක් විසඳා ගත හැකිය. උදාහරණයක් ලෙස, a → සහ b → දෛශිකවල ඛණ්ඩාංක නොව, ඒවායේ ප්‍රසාරණය අනුව සම්බන්ධීකරණ දෛශිකකාරුණික b → = b x i → + b y j → + b z k → සහ c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , හෝ දෛශික a → සහ b මගින් ලබා දිය හැක ආරම්භක සහ අවසන් ලකුණු.

පහත උදාහරණ සලකා බලන්න.

උදාහරණ 2

සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක දෛශික දෙකක් සකසා ඇත a → = (2 ; 1 ; - 3), b → = (0 ; - 1 ; 1) . ඔවුන්ගේ දෛශික නිෂ්පාදනය සොයා ගන්න.

විසඳුමක්

දෙවන නිර්වචනයට අනුව, දී ඇති ඛණ්ඩාංකවල දෛශික දෙකක දෛශික ගුණිතය අපට හමු වේ: a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y → x) k (1 1 - (- 3) (- 1)) i → + ((- 3) 0 - 2 1) j → + (2 (- 1) - 1 0) k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

අපි න්‍යාස නිර්ණායකයට අනුව හරස් නිෂ්පාදනය ලියන්නේ නම්, විසඳුම මෙම උදාහරණයමේ ආකාරයට පෙනේ: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → →

පිළිතුර: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

උදාහරණය 3

i → - j → සහ i → + j → + k → , i → , j → , k → - සෘජුකෝණාස්‍රාකාර කාටිසියානු ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ orts යන දෛශිකවල හරස් නිෂ්පාදනයේ දිග සොයන්න.

විසඳුමක්

පළමුව, ලබා දී ඇති සෘජුකෝණාස්‍රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ i → - j → × i → + j → + k → දෛශික නිෂ්පාදනයේ ඛණ්ඩාංක සොයා ගනිමු.

i → - j → සහ i → + j → + k → දෛශිකවලට පිළිවෙලින් ඛණ්ඩාංක (1 ; - 1 ; 0) සහ (1 ; 1 ; 1) ඇති බව දන්නා කරුණකි. matrix determinant භාවිතයෙන් දෛශික නිෂ්පාදනයේ දිග සොයන්න, එවිට අපට i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

එබැවින්, දෛශික නිෂ්පාදන i → - j → × i → + j → + k → ලබා දී ඇති ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ ඛණ්ඩාංක (- 1 ; - 1 ; 2) ඇත.

අපි දෛශික නිෂ්පාදනයේ දිග සූත්‍රය මගින් සොයා ගනිමු (දෛශිකයේ දිග සොයා ගැනීමේ කොටස බලන්න): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6 .

පිළිතුර: i → - j → × i → + j → + k → = 6 . .

උදාහරණය 4

A (1 , 0 , 1) , B (0 , 2 , 3) ​​C (1 , 4 , 2) යන කරුණු තුනක ඛණ්ඩාංක සෘජුකෝණාස්රාකාර කාටිසියානු ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක දී ඇත. A B → සහ A C → ට ලම්බකව යම් දෛශිකයක් එකවර සොයන්න.

විසඳුමක්

දෛශික A B → සහ A C → පිළිවෙළින් පහත ඛණ්ඩාංක (- 1 ; 2 ; 2) සහ (0 ; 4 ; 1) ඇත. A B → සහ A C → දෛශිකවල දෛශික ගුණය සොයා ගැනීමෙන්, එය A B → සහ A C → යන දෙකටම අර්ථ දැක්වීම අනුව ලම්බක දෛශිකයක් බව පැහැදිලිය, එනම් එය අපගේ ගැටලුවට විසඳුමයි. එය සොයන්න A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

පිළිතුර: - 6 i → + j → - 4 k → . ලම්බක දෛශික වලින් එකකි.

තුන්වන වර්ගයේ ගැටළු දෛශිකයන්ගේ දෛශික නිෂ්පාදනයේ ගුණාංග භාවිතා කිරීම කෙරෙහි අවධානය යොමු කර ඇත. එය යෙදීමෙන් පසු, ලබා දී ඇති ගැටලුවට අපි විසඳුමක් ලබා ගනිමු.

උදාහරණ 5

a → සහ b → දෛශික ලම්බක වන අතර ඒවායේ දිග පිළිවෙලින් 3 සහ 4 වේ. හරස් නිෂ්පාදනයේ දිග සොයන්න 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → .

විසඳුමක්

දෛශික නිෂ්පාදනයේ බෙදාහැරීමේ ගුණය අනුව, අපට 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 ලිවිය හැක. a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

ආශ්‍රිත ගුණය අනුව, අපි අවසාන ප්‍රකාශනයේ දෛශික නිෂ්පාදනවල ලකුණෙන් ඔබ්බට සංඛ්‍යාත්මක සංගුණක ඉවත් කරමු: 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 (- 2) a → × b → + (- 1) b → × a → + (- 1) (- 2) b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

දෛශික නිෂ්පාදන a → × a → සහ b → × b → 0 ට සමාන වේ, a → × a → = a → a → sin 0 = 0 සහ b → × b → = b → b → sin 0 = 0 පසුව 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b → = - 6 a → × b → - b → × a → . .

දෛශික නිෂ්පාදනයේ ප්‍රති-ප්‍රවාහයෙන් එය පහත දැක්වේ - 6 a → × b → - b → × a → = - 6 a → × b → - (- 1) a → × b → = - 5 a → × b → . .

දෛශික නිෂ්පාදනයේ ගුණාංග භාවිතා කරමින්, අපි සමානාත්මතාවය 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → ලබා ගනිමු.

කොන්දේසිය අනුව, දෛශික a → සහ b → ලම්බක වේ, එනම්, ඒවා අතර කෝණය π 2 ට සමාන වේ. දැන් එය ඉතිරිව ඇත්තේ සොයාගත් අගයන් අනුරූප සූත්‍රවලට ආදේශ කිරීම පමණි: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → sin (a →, b →) = 5 3 4 sin π 2 = 60.

පිළිතුර: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60 .

නිර්වචනය අනුව දෛශිකවල හරස් නිෂ්පාදනයේ දිග a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . ත්‍රිකෝණයක වර්ගඵලය එහි පැති දෙකේ දිග ප්‍රමාණයේ ගුණිතයෙන් අඩකට සමාන වන බව දැනටමත් (පාසල් පාඨමාලාවෙන්) දන්නා බැවින් මෙම පැති අතර කෝණයේ සයිනයෙන් ගුණ කළ යුතුය. එබැවින්, දෛශික නිෂ්පාදනයේ දිග සමාන්තර චලිතයක ප්‍රදේශයට සමාන වේ - ද්විත්ව ත්‍රිකෝණය, එනම්, දෛශික ස්වරූපයෙන් පැතිවල ගුණිතය a → සහ b → , සයින් විසින් එක් ලක්ෂ්‍යයකින් ඉවත් කර ඇත. ඒවා අතර කෝණය sin ∠ a → , b → .

දෛශික නිෂ්පාදනයේ ජ්‍යාමිතික අර්ථය මෙයයි.

දෛශික නිෂ්පාදනයේ භෞතික අර්ථය

යාන්ත්‍ර විද්‍යාවේදී, භෞතික විද්‍යාවේ එක් ශාඛාවක්, දෛශික නිෂ්පාදනයට ස්තූතිවන්ත වන අතර, අභ්‍යවකාශයේ ලක්ෂ්‍යයකට සාපේක්ෂව බලයේ මොහොත තීරණය කළ හැකිය.

අර්ථ දැක්වීම 3

A ලක්ෂයට සාපේක්ෂව F → බලයේ මොහොත යටතේ, B ලක්ෂ්‍යයට යොදන විට, අපි පහත දෛශික නිෂ්පාදනය A B → × F → තේරුම් ගනිමු.

ඔබ පෙළෙහි වරදක් දුටුවහොත්, කරුණාකර එය උද්දීපනය කර Ctrl+Enter ඔබන්න

ඒකක දෛශිකය- මෙය දෛශිකය, නිරපේක්ෂ අගය (මොඩියුලය) එකකට සමාන වේ. ඒකක දෛශිකයක් දැක්වීමට, අපි උපස්ක්‍රිප්ට් e භාවිතා කරන්නෙමු, එබැවින්, දෛශිකයක් ලබා දෙන්නේ නම් ඒ, එවිට එහි ඒකක දෛශිකය දෛශිකය වනු ඇත ඒ e. මෙම ඒකක දෛශිකය දෛශිකයේ දිශාවටම යොමු කරයි ඒ, සහ එහි මාපාංකය එකකට සමාන වේ, එනම් e \u003d 1.

පැහැදිලිවම, ඒ= a ඒඉ (අ - දෛශික මාපාංකය ඒ). මෙය දෛශිකයකින් අදිශයක් ගුණ කිරීමේ ක්‍රියාව සිදු කරන රීතියෙන් අනුගමනය කරයි.

ඒකක දෛශිකබොහෝ විට සම්බන්ධීකරණ පද්ධතියේ ඛණ්ඩාංක අක්ෂ සමඟ සම්බන්ධ වේ (විශේෂයෙන්, කාටිසියානු ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ අක්ෂ සමඟ). මේවායේ දිශාවන් දෛශිකඅනුරූප අක්ෂයන්හි දිශාවන් සමග සමපාත වන අතර, ඒවායේ මූලාරම්භය බොහෝ විට සම්බන්ධීකරණ පද්ධතියේ මූලාරම්භය සමඟ සංයුක්ත වේ.

ඒක මතක් කරන්නම් කාටිසියානු ඛණ්ඩාංක පද්ධතියඅභ්‍යවකාශයේ සම්ප්‍රදායිකව සම්භවය නම් ලක්ෂ්‍යයක ඡේදනය වන අන්‍යෝන්‍ය වශයෙන් ලම්බක අක්ෂ ත්‍රිත්ව ලෙස හැඳින්වේ. ඛණ්ඩාංක අක්ෂ සාමාන්‍යයෙන් X, Y, Z අක්ෂර වලින් දැක්වෙන අතර ඒවා පිළිවෙලින් abscissa අක්ෂය, ordinate අක්ෂය සහ යෙදුම් අක්ෂය ලෙස හැඳින්වේ. ඩෙකාට් විසින්ම භාවිතා කළේ එක් අක්ෂයක් පමණක් වන අතර, එය මත අබ්සිසාස් සැලසුම් කර ඇත. භාවිතයේ කුසලතාව පද්ධතිඅක්ෂය ඔහුගේ සිසුන්ට අයත් වේ. එබැවින් වැකිය කාටිසියානු ඛණ්ඩාංක පද්ධතියඓතිහාසිකව වැරදියි. වඩා හොඳ කතා සෘජුකෝණාස්රාකාර සම්බන්ධීකරණ පද්ධතියහෝ විකලාංග ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය. එසේ වුවද, අපි සම්ප්‍රදායන් වෙනස් නොකරන අතර අනාගතයේදී අපි කාටීසියානු සහ සෘජුකෝණාස්‍රාකාර (විකලාශ්‍ර) ඛණ්ඩාංක පද්ධති එක හා සමාන යැයි උපකල්පනය කරමු.

ඒකක දෛශිකය, X අක්ෂය ඔස්සේ යොමු කර ඇත, දැක්වේ මම, ඒකක දෛශිකය, Y අක්ෂය ඔස්සේ යොමු කර ඇත, දැක්වේ j, ඒ ඒකක දෛශිකය, Z අක්ෂය ඔස්සේ යොමු කර ඇත, දැක්වේ කේ. දෛශික මම, j, කේකියලා orts(රූපය 12, වම්), ඔවුන් තනි මොඩියුල ඇත, එනම්
i = 1, j = 1, k = 1.

අක්ෂ සහ orts සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියසමහර අවස්ථාවලදී ඔවුන්ට වෙනත් නම් සහ තනතුරු ඇත. එබැවින්, abscissa අක්ෂය X ස්පර්ශක අක්ෂය ලෙස හැඳින්විය හැකි අතර එහි ඒකක දෛශිකය දක්වනු ලැබේ. τ (ග්‍රීක කුඩා අකුර tau), y-අක්ෂය සාමාන්‍ය අක්ෂය වේ, එහි ඒකක දෛශිකය දක්වනු ලැබේ n, යෙදවුම් අක්ෂය ද්විසාමාන්‍යයේ අක්ෂය වේ, එහි ඒකක දෛශිකය දක්වනු ලැබේ බී. සාරය එලෙසම පවතී නම් නම් වෙනස් කරන්නේ ඇයි?

කාරණය නම්, උදාහරණයක් ලෙස, යාන්ත්‍ර විද්‍යාවේදී, ශරීර චලනය අධ්‍යයනය කිරීමේදී, සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක් බොහෝ විට භාවිතා වේ. එබැවින්, ඛණ්ඩාංක පද්ධතියම චලිත නොවේ නම් සහ චලනය වන වස්තුවක ඛණ්ඩාංක වෙනස් වීම මෙම චලන පද්ධතිය තුළ නිරීක්ෂණය කරනු ලැබේ නම්, සාමාන්යයෙන් අක්ෂ X, Y, Z සහ ඒවායේ ortsපිළිවෙලින් මම, j, කේ.

නමුත් බොහෝ විට, වස්තුවක් යම් ආකාරයක වක්‍ර රේඛීය පථයක් දිගේ ගමන් කරන විට (උදාහරණයක් ලෙස, රවුමක් දිගේ), එය සලකා බැලීම වඩාත් පහසු වේ. යාන්ත්රික ක්රියාවලීන්මෙම වස්තුව සමඟ චලනය වන ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ. එවැනි චලනය වන ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක් සඳහා අක්ෂවල වෙනත් නම් සහ ඒවායේ ඒකක දෛශික භාවිතා වේ. එය නිකම්ම පිළිගෙන ඇත. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, X-අක්ෂය දැනට මෙම වස්තුව පිහිටා ඇති ස්ථානයේ ගමන් පථයට ස්පර්ශක ලෙස යොමු කෙරේ. එවිට මෙම අක්ෂය තවදුරටත් X අක්ෂය ලෙස හැඳින්වෙන්නේ නැත, නමුත් ස්පර්ශක අක්ෂය, සහ එහි ඒකක දෛශිකය තවදුරටත් සඳහන් නොවේ. මම, ඒ τ . Y අක්ෂය ගමන් පථයේ වක්‍ර අරය දිගේ යොමු කෙරේ (රවුමක චලනය වන විට - රවුමේ මැදට). තවද අරය ස්පර්ශකයට ලම්බක වන බැවින්, අක්ෂය සාමාන්‍යයේ අක්ෂය ලෙස හැඳින්වේ (ලම්බක සහ සාමාන්‍යය එකම දෙයකි). මෙම අක්ෂයේ ort තවදුරටත් සඳහන් නොවේ j, ඒ n. තුන්වන අක්ෂය (පෙර Z) පෙර තිබූ දෙකට ලම්බක වේ. මෙය දෛශිකයක් සහිත ද්විසාමාන්‍යයකි බී(රූපය 12, දකුණ). මාර්ගය වන විට, මෙම නඩුවේ සෘජුකෝණාස්රාකාර පද්ධතියඛණ්ඩාංකබොහෝ විට "ස්වාභාවික" හෝ ස්වභාවික ලෙස හැඳින්වේ.

අර්ථ දැක්වීම නියම සංඛ්‍යාවලින් ඇණවුම් කළ එකතුවක් (x 1 , x 2 , ... , x n) n ලෙස හැඳින්වේ. n-මාන දෛශිකය, සහ අංක x i (i = ) - සංරචකහෝ ඛණ්ඩාංක,

උදාහරණයක්. උදාහරණයක් ලෙස, යම් මෝටර් රථ කම්හලක් 50 ක් නිෂ්පාදනය කළ යුතු නම් මෝටර් රථ, ට්‍රක් රථ 100 ක්, බස් රථ 10 ක්, මෝටර් රථ කොටස් කට්ටල 50 ක් සහ ට්‍රක් රථ සහ බස් කට්ටල 150 ක්, එවිට මෙම බලාගාරයේ නිෂ්පාදන වැඩසටහන සංරචක පහක් සහිත දෛශිකයක් (50, 100, 10, 50, 150) ලෙස ලිවිය හැකිය.

අංකනය. දෛශික තද අකුරින් දැක්වේ කුඩා නඩුවහෝ ඉහළින් තීරුවක් හෝ ඊතලයක් සහිත අකුරු, උදාහරණයක් ලෙස, ඒහෝ. දෛශික දෙක හැඳින්වේ සමානඒවාට එකම සංරචක සංඛ්‍යාවක් තිබේ නම් සහ ඒවාට අනුරූප සංරචක සමාන වේ.

දෛශික සංරචක එකිනෙකට හුවමාරු කළ නොහැක, උදා. (3, 2, 5, 0, 1)සහ (2, 3, 5, 0, 1) විවිධ දෛශික.
දෛශික මත මෙහෙයුම්.කාර්යය x= (x 1 , x 2 , ... ,x n) තාත්වික අංකයකටλ දෛශිකය ලෙස හැඳින්වේλ x= (λ x 1, λ x 2, ..., λ x n).

එකතුවx= (x 1 , x 2 , ... ,x n) සහ වයි= (y 1 , y 2 , ... ,y n) දෛශිකයක් ලෙස හැඳින්වේ x+y= (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , ... , x n + + y n).

දෛශික අවකාශය.එන් -මාන දෛශික අවකාශය ආර් n යනු තාත්වික සංඛ්‍යා සහ එකතු කිරීම මගින් ගුණ කිරීමේ මෙහෙයුම් නිර්වචනය කරන සියලුම n-මාන දෛශික සමූහයක් ලෙස අර්ථ දැක්වේ.

ආර්ථික නිදර්ශනය. n-මාන දෛශික අවකාශයක ආර්ථික නිදර්ශනයක්: භාණ්ඩ අවකාශය (භාණ්ඩ) යටතේ වෙළඳ භාණ්ඩයක්යම් ස්ථානයක නිශ්චිත වේලාවක විකිණීමට ඇති යම් භාණ්ඩයක් හෝ සේවාවක් අපට වැටහෙනු ඇත. n ලබා ගත හැකි සීමිත භාණ්ඩ ප්‍රමාණයක් ඇතැයි උපකල්පනය කරන්න; පාරිභෝගිකයා විසින් මිලදී ගන්නා ලද එක් එක් ප්රමාණයන් භාණ්ඩ කට්ටලයක් මගින් සංලක්ෂිත වේ

x= (x 1 , x 2 , ..., x n),

එහිදී x i යන්නෙන් අදහස් කරන්නේ පාරිභෝගිකයා විසින් මිලදී ගන්නා ලද i-th භාණ්ඩයේ ප්‍රමාණයයි. සියලුම භාණ්ඩවල අත්තනෝමතික බෙදීමේ දේපල ඇති බව අපි උපකල්පනය කරමු, එවිට ඒවායින් ඕනෑම සෘණ නොවන ප්‍රමාණයක් මිලදී ගත හැකිය. එවිට හැකි සියලුම භාණ්ඩ කට්ටල භාණ්ඩ අවකාශයේ දෛශික වේ C = ( x= (x 1 , x 2 , ... , x n) x i ≥ 0, i = ).

රේඛීය ස්වාධීනත්වය. පද්ධතිය ඊ 1 , ඊ 2 , ... , ඊ m n-මාන දෛශික ලෙස හැඳින්වේ රේඛීයව රඳා පවතීඑවැනි සංඛ්යා තිබේ නම්λ 1, λ 2, ..., එම් , අවම වශයෙන් එකක් වත් ශුන්‍ය නොවන අතර, එය සමානාත්මතාවය තෘප්තිමත් කරයිλ1 ඊ 1 + λ2 ඊ 2+...+λm ඊ m = 0; එසේ නොමැති නම්, මෙම දෛශික පද්ධතිය ලෙස හැඳින්වේ රේඛීයව ස්වාධීන, එනම්, මෙම සමානාත්මතාවය හැකි වන්නේ සියලු විට පමණි . ජ්යාමිතික හැඟීම රේඛීය යැපීමතුළ දෛශික ආර් 3, අධ්‍යක්ෂණය කරන ලද කොටස් ලෙස අර්ථකථනය කර, පහත ප්‍රමේයයන් පැහැදිලි කරන්න.

ප්රමේයය 1. තනි දෛශිකයකින් සමන්විත පද්ධතියක් රේඛීයව රඳා පවතින්නේ මෙම දෛශිකය ශුන්‍ය නම් සහ පමණි.

ප්රමේයය 2. දෛශික දෙකක් රේඛීයව රඳා පැවතීමට නම්, ඒවා collinear (සමාන්තර) වීම අවශ්‍ය සහ ප්‍රමාණවත් වේ.

ප්රමේයය 3 . දෛශික තුනක් රේඛීයව රඳා පැවතීමට නම්, ඒවා කොප්ලැනර් (එකම තලයක වැතිර සිටීම) අවශ්‍ය සහ ප්‍රමාණවත් වේ.

වාහකවල වම් සහ දකුණු ත්‍රිත්ව. කොප්ලැනර් නොවන දෛශික ත්‍රිත්ව a, b, cකියලා හරි, ඔවුන්ගේ පොදු සම්භවයෙන් නිරීක්ෂකයා දෛශිකයන්ගේ කෙළවර මඟ හරින්නේ නම් a, b, cඑම අනුපිළිවෙලෙහි දක්ෂිණාවර්තව ඉදිරියට යන බව පෙනේ. නැතිනම් a, b, c -ඉතිරි ත්රිත්ව. දෛශික ත්‍රිත්ව දකුණු (හෝ වම්) ලෙස හැඳින්වේ සමානව දිශානුගත.

පදනම සහ ඛණ්ඩාංක. ට්රොයිකා ඊ 1, ඊ 2 , ඊකොප්ලැනර් නොවන දෛශික 3 ක් ඇත ආර් 3 ඇමතුවා පදනම, සහ දෛශික ම ඊ 1, ඊ 2 , ඊ 3 - මූලික. ඕනෑම දෛශිකයක් ඒපදනම් දෛශික අනුව අද්විතීය ආකාරයකින් පුළුල් කළ හැකිය, එනම්, එය ස්වරූපයෙන් නිරූපණය කළ හැකිය

ඒ= x 1 ඊ 1 + x2 ඊ 2 + x 3 ඊ 3, (1.1)

ප්‍රසාරණයේ (1.1) සංඛ්‍යා x 1 , x 2 , x 3 ලෙස හැඳින්වේ ඛණ්ඩාංකඒපදනමින් ඊ 1, ඊ 2 , ඊ 3 සහ දක්වා ඇත ඒ(x 1, x 2, x 3).

විකලාංග පදනම. දෛශික නම් ඊ 1, ඊ 2 , ඊ 3 යුගල වශයෙන් ලම්බක වන අතර ඒවායේ එක් එක් දිග එකකට සමාන වේ, එවිට පදනම ලෙස හැඳින්වේ විකලාංග, සහ ඛණ්ඩාංක x 1 , x 2 , x 3 - සෘජුකෝණාස්රාකාර.විකලාංග පදනමක පාදක දෛශික දක්වනු ලැබේ i, j, k.

අපි එය අභ්‍යවකාශයේදී උපකල්පනය කරමු ආර් 3 දකුණු අත කාටිසියානු පද්ධතිය තෝරා ඇත සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක {0, i, j, k}.

දෛශික නිෂ්පාදනය. දෛශික කලාව ඒදෛශිකයකට බීදෛශිකය ලෙස හැඳින්වේ c, පහත සඳහන් කොන්දේසි තුනෙන් තීරණය වේ:

1. දෛශික දිග cදෛශික මත ගොඩනගා ඇති සමාන්තර චලිතයේ ප්‍රදේශයට සංඛ්‍යාත්මකව සමාන වේ ඒහා බී, i.e.
c= |a||b|පව් ( ඒ^බී).

2. දෛශිකය cඑක් එක් දෛශිකයට ලම්බකව ඒහා බී.

3. දෛශික ඒ, බීහා c, එම අනුපිළිවෙලට ගත්, නිවැරදි ත්‍රිත්ව සාදයි.

දෛශික නිෂ්පාදනය සඳහා cතනතුර හඳුන්වා දෙනු ලැබේ c=[ab] හෝ
c = a × බී.

දෛශික නම් ඒහා බීකෝලිනියර් වේ, පසුව පව් ( a^b) = 0 සහ [ ab] = 0, විශේෂයෙන්ම, [ aa] = 0. orts හි දෛශික නිෂ්පාදන: [ ij]=k, [jk] = මම, [කි]=j.

දෛශික නම් ඒහා බීපදනමින් ලබා දී ඇත i, j, kඛණ්ඩාංක ඒ(a 1, a 2, a 3), බී(b 1 , b 2 , b 3), එවිට

මිශ්ර වැඩ. දෛශික දෙකක හරස් නිෂ්පාදනයක් නම් ඒහා බීඅදිශය තුන්වන දෛශිකයෙන් ගුණ කරයි c,එවිට දෛශික තුනක එවැනි නිෂ්පාදනයක් ලෙස හැඳින්වේ මිශ්ර නිෂ්පාදනසහ සංකේතයෙන් දැක්වේ ඒ ක්‍රි.පූ.

දෛශික නම් a, bහා cපදනමින් i, j, kඔවුන්ගේ ඛණ්ඩාංක මගින් සකසා ඇත
ඒ(a 1, a 2, a 3), බී(b 1 , b 2 , b 3) c(c 1 , c 2 , c 3), එවිට

.

මිශ්‍ර නිෂ්පාදනයට සරල ජ්‍යාමිතික අර්ථකථනයක් ඇත - එය අනුව එය අදිශයකි නිරපේක්ෂ වටිනාකමලබා දී ඇති දෛශික තුනක් මත ගොඩනගා ඇති සමාන්තර නල පරිමාවට සමාන වේ.

දෛශික නිවැරදි ත්‍රිත්ව සාදයි නම්, ඔවුන්ගේ මිශ්ර නිෂ්පාදනනිශ්චිත පරිමාවට සමාන ධන අංකයකි; තුන නම් a, b, c -වම්, පසුව a b c<0 и V = - a b c, එබැවින් V =|a b c|.

පළමු පරිච්ඡේදයේ ගැටළු වලදී හමු වූ දෛශිකයන්ගේ ඛණ්ඩාංක නිවැරදි විකලාංග පදනමට සාපේක්ෂව ලබා දී ඇතැයි උපකල්පනය කෙරේ. ඒකක දෛශික සහ දෛශික දෛශිකය ඒ,සංකේතයෙන් දැක්වේ ඒපිළිබඳ. සංකේතය ආර්=OM M ලක්ෂ්‍යයේ අරය දෛශිකයෙන් දක්වනු ලැබේ, a, AB හෝ සංකේත|අ|, | AB |දෛශික මොඩියුලයන් දක්වා ඇත ඒහා AB.

උදාහරණයක් 1.2. දෛශික අතර කෝණය සොයන්න ඒ= 2එම්+4nහා බී= m-n, කොහෙද එම්හා n-ඒකක දෛශික සහ කෝණය අතර එම්හා n 120 o ට සමාන වේ.

විසඳුමක්. අපට ඇත්තේ: cos φ = ab/ab, ab=(2එම්+4n) (m-n) = 2එම් 2 - 4n 2 +2mn=
= 2 - 4+2cos120 o = - 2 + 2(-0.5) = -3; a = ; ඒ 2 = (2එම්+4n) (2එම්+4n) =
= 4එම් 2 +16mn+16n 2 = 4+16(-0.5)+16=12, ඒ නිසා a = . b= ; බී 2 =
= (m-n)(m-n) = එම් 2 -2mn+n 2 = 1-2(-0.5)+1 = 3, ඒ නිසා b = . අවසාන වශයෙන් අපට ඇත්තේ: cosφ \u003d -1/2, φ \u003d 120 o.

උදාහරණය 1.3.දෛශික දැන ගැනීම AB(-3,-2.6) සහ ක්රි.පූ(-2,4,4), ABC ත්‍රිකෝණයේ උස AD ගණනය කරන්න.

විසඳුමක්. ABC ත්‍රිකෝණයේ ප්‍රදේශය S මගින් දැක්වීමෙන් අපට ලැබෙන්නේ:
S = 1/2 ක්රි.පූ. ක්රි.ව. ඉන්පසු AD=2S/BC, BC== = 6,
S = 1/2| AB ×AC|. AC=AB+BC, ඉතින් දෛශිකය ACඛණ්ඩාංක ඇත
. .

උදාහරණයක් 1.4 . දෛශික දෙකක් ලබා දී ඇත ඒ(11,10,2) සහ බී(4,0,3). ඒකක දෛශිකය සොයන්න c,වාහකයන්ට විකලාංග ඒහා බීසහ දෛශික ත්‍රිත්ව අනුපිළිවෙලට යොමු කරන ලෙස a, b, cනිවැරදි විය.

විසඳුමක්.අපි දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක දක්වන්නෙමු c x, y, z අනුව ලබා දී ඇති නිවැරදි විකලාංග පදනම සම්බන්ධයෙන්.

මන්දයත් c ⊥ a, c ⊥බී, එවිට ca= 0, cb= 0. ගැටලුවේ තත්ත්වය අනුව, c = 1 සහ a b c >0.

සඳහා සමීකරණ පද්ධතියක් අප සතුව ඇත x,y,z සොයා ගැනීම: 11x +10y + 2z = 0, 4x+3z=0, x 2 + y 2 + z 2 = 0.

පද්ධතියේ පළමු සහ දෙවන සමීකරණ වලින් අපට z = -4/3 x, y = -5/6 x ලැබේ. තුන්වන සමීකරණයට y සහ z ආදේශ කිරීම, අපට ලැබෙන්නේ: x 2 = 36/125, කොහෙන්ද
x=± . කොන්දේසිය භාවිතා කිරීම a b c > 0, අපි අසමානතාවය ලබා ගනිමු

z සහ y සඳහා වන ප්‍රකාශන සැලකිල්ලට ගනිමින්, ප්‍රතිඵලය වන අසමානතාවය අපි නැවත ලියන්නෙමු: 625/6 x > 0, එය x>0 අනුගමනය කරයි. එබැවින් x = , y = - , z = - .

අර්ථ දැක්වීම. දෛශිකයක (ගුණකය) දෛශිකයේ දෛශික ගුණිතය දෛශිකයක් (ගුණකය) එයට සම්බන්ධ නොවන තුන්වන දෛශික c (නිෂ්පාදනය), එය පහත පරිදි ගොඩනගා ඇත:

1) එහි මොඩියුලය සංඛ්‍යාත්මක වේ ප්රදේශයට සමාන වේරූපයේ සමාන්තර චලිතය. 155), දෛශික මත ගොඩනගා ඇත, එනම්, එය සඳහන් සමාන්තර චලිතයේ තලයට ලම්බක දිශාවට සමාන වේ;

3) මෙම අවස්ථාවෙහිදී, c දෛශිකයේ දිශාව තෝරා ගනු ලැබේ (හැකි ඒවා දෙකකින්) එවිට c දෛශික දකුණු අත පද්ධතියක් සාදයි (§ 110).

තනතුර: හෝ

නිර්වචනයට අතිරේකය. දෛශික ඛණ්ඩක නම්, රූපය (කොන්දේසි සහිත) සමාන්තර චලිතයක් ලෙස සලකා, ශුන්‍ය ප්‍රදේශයක් පැවරීම ස්වාභාවිකය. එබැවින්, collinear දෛශිකවල දෛශික ගුණය ශුන්‍ය දෛශිකයට සමාන ලෙස සැලකේ.

ශුන්‍ය දෛශිකයට ඕනෑම දිශාවක් පැවරිය හැකි බැවින්, මෙම සම්මුතිය අර්ථ දැක්වීමේ 2 සහ 3 අයිතමවලට පටහැනි නොවේ.

සටහන 1. "දෛශික නිෂ්පාදනය" යන යෙදුමේ, පළමු වචනයෙන් පෙන්නුම් කරන්නේ ක්‍රියාවක ප්‍රතිඵලය දෛශිකයක් බවයි (විරුද්ධව තිත් නිෂ්පාදනය; cf. § 104, සටහන 1).

උදාහරණ 1. නිවැරදි ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ ප්‍රධාන දෛශික ඇති දෛශික නිෂ්පාදනය සොයා ගන්න (රූපය 156).

1. ප්‍රධාන දෛශිකවල දිග පරිමාණ ඒකකයට සමාන බැවින්, සමාන්තර චලිතයේ (චතුරස්‍රය) ප්‍රදේශය සංඛ්‍යාත්මකව එකකට සමාන වේ. එබැවින්, දෛශික නිෂ්පාදනයේ මාපාංකය එකකට සමාන වේ.

2. තලයට ලම්බකව අක්ෂය වන බැවින්, අපේක්ෂිත දෛශික නිෂ්පාදිතය දෛශික k ට දෛශික collinear වේ; සහ ඒ දෙකටම මාපාංක 1 ඇති බැවින්, අවශ්‍ය හරස් නිෂ්පාදනය k හෝ -k වේ.

3. මෙම විය හැකි දෛශික දෙකෙන්, පළමුවැන්න තෝරාගත යුතුය, මන්ද දෛශික k නිවැරදි පද්ධතියක් සාදයි (සහ දෛශික වම් එකක් සාදයි).

උදාහරණ 2. හරස් නිෂ්පාදනය සොයා ගන්න

විසඳුමක්. උදාහරණ 1 හි මෙන්, දෛශිකය k හෝ -k බව අපි නිගමනය කරමු. නමුත් දැන් අපි -k තෝරාගත යුතුයි, මන්ද දෛශික නිවැරදි පද්ධතිය සාදයි (සහ දෛශික වම සාදයි). ඒ නිසා,

උදාහරණ 3 දෛශිකවල දිග පිළිවෙලින් 80 සහ 50 සෙ.මී., සහ 30 ° ක කෝණයක් සාදයි. මීටරයක් ​​දිග ඒකකයක් ලෙස ගෙන, දෛශික නිෂ්පාදනයේ දිග සොයන්න a

විසඳුමක්. දෛශික මත ගොඩනගා ඇති සමාන්තර චලිතයක වර්ගඵලය සමාන වේ අපේක්ෂිත දෛශික නිෂ්පාදනයේ දිග සමාන වේ

උදාහරණ 4. දිග ඒකකයක් ලෙස සෙන්ටිමීටරයක් ​​ගනිමින් එම දෛශිකවල හරස් නිෂ්පාදනයේ දිග සොයන්න.

විසඳුමක්. දෛශික මත ගොඩනගා ඇති සමාන්තර චලිතයේ වර්ගඵලය දෛශික නිෂ්පාදනයේ දිග 2000 cm වන බැවින්, i.e.

උදාහරණ 3 සහ 4 සංසන්දනය කිරීමෙන් පෙන්නුම් කරන්නේ දෛශිකයේ දිග සාධකවල දිග මත පමණක් නොව, දිග ඒකකයේ තේරීම මත රඳා පවතින බවයි.

දෛශික නිෂ්පාදනයේ භෞතික අර්ථය.දෛශික නිෂ්පාදනයෙන් නියෝජනය වන බොහෝ භෞතික ප්රමාණවලින්, අපි බලයේ මොහොත පමණක් සලකා බලමු.

A යනු බලය යොදන ලක්ෂ්‍යය වේවා, O ලක්ෂ්‍යයට සාපේක්ෂව බලයේ මොහොත දෛශික නිෂ්පාදනය ලෙස හැඳින්වේ.මෙම දෛශික නිෂ්පාදනයේ මොඩියුලය සංඛ්‍යාත්මකව සමාන්තර චලිතයේ ප්‍රදේශයට සමාන වන බැවින් (රූපය 157), මොහොතේ මොඩියුලය උසින් පාදයේ ගුණිතයට සමාන වේ, එනම් O ලක්ෂ්‍යයේ සිට බලය ක්‍රියා කරන සරල රේඛාව දක්වා ඇති දුරින් බලය ගුණ කරනු ලැබේ.

යාන්ත්‍ර විද්‍යාවේදී, සමතුලිතතාවය සඳහා බව ඔප්පු වේ ඝන ශරීරයශරීරයට යොදන බලවේග නියෝජනය කරන දෛශික එකතුව ශුන්‍යයට සමාන වීම පමණක් නොව, බලවේගවල අවස්ථා වල එකතුව ද අවශ්‍ය වේ. සියලුම බලවේග එකම තලයකට සමාන්තර වන විට, අවස්ථා නියෝජනය කරන දෛශික එකතු කිරීම ඒවායේ මාපාංක එකතු කිරීම සහ අඩු කිරීම මගින් ප්‍රතිස්ථාපනය කළ හැකිය. නමුත් බලවේගවල අත්තනෝමතික දිශාවන් සඳහා, එවැනි ප්රතිස්ථාපනයක් කළ නොහැකි ය. මෙයට අනුකූලව, හරස් නිෂ්පාදනය නිශ්චිතවම නිර්වචනය කරනු ලබන්නේ දෛශිකයක් ලෙස මිස අංකයක් ලෙස නොවේ.

7.1 හරස් නිෂ්පාදනයේ අර්ථ දැක්වීම

තුන්වන දෛශිකයේ අග සිට පළමු දෛශිකයේ සිට දෙවන දෛශිකය b දක්වා කෙටිම හැරීම වාමාවර්තව පෙනෙන්නේ නම්, දක්වන ලද අනුපිළිවෙලට ගත් a , b සහ c නොවන coplanar දෛශික තුනක් දකුණු ත්‍රිත්ව සාදයි. දක්ෂිණාවර්තව නම් වම් එකක් (රූපය 16 බලන්න).

දෛශික a සහ b දෛශිකයේ දෛශික නිෂ්පාදනය දෛශික c ලෙස හැඳින්වේ, එනම්:

1. දෛශික a සහ b සඳහා ලම්බකව, එනම් c ^ a සහ c ^ බී;

2. එය දෛශික මත ගොඩනගා ඇති සමාන්තර චලිතයේ ප්‍රදේශයට සංඛ්‍යාත්මකව සමාන දිගක් ඇත a සහබීපැතිවල මෙන් (රූපය 17 බලන්න), i.e.

3. දෛශික a , b සහ c නිවැරදි ත්‍රිත්ව සාදයි.

දෛශික නිෂ්පාදනය x b හෝ [a,b] ලෙස දැක්වේ. දෛශික නිෂ්පාදනයක් අර්ථ දැක්වීමෙන්, orts අතර පහත සම්බන්ධතා මම සෘජුවම අනුගමනය කරමි, jහා කේ(රූපය 18 බලන්න):

i x j \u003d k, j x k \u003d i, k x i \u003d j.
උදාහරණයක් ලෙස, අපි ඔප්පු කරමු i xj \u003d k.

1) k ^ i , k ^ j;

2) |k |=1, නමුත් | i x j| = |i | |ජේ| sin(90°)=1;

3) දෛශික i , j සහ කේනිවැරදි ත්රිත්ව සාදන්න (රූපය 16 බලන්න).

7.2 හරස් නිෂ්පාදන ගුණාංග

1. සාධක නැවත සකස් කරන විට, දෛශික නිෂ්පාදන ලකුණ වෙනස් වේ, i.e. සහ xb \u003d (b xa) (රූපය 19 බලන්න).

දෛශික a xb සහ b xa collinear වේ, එකම මොඩියුල ඇත (සමාන්තර චලිතයේ ප්‍රදේශය නොවෙනස්ව පවතී), නමුත් ප්‍රතිවිරුද්ධව යොමු කෙරේ (ත්‍රිත්ව a, b, සහ xb සහ a, b, b x a ප්‍රතිවිරුද්ධ දිශානතිය). එනම් axb = -(bxa).

2. දෛශික නිෂ්පාදනයට අදිශ සාධකයක් සම්බන්ධයෙන් සංයෝජන ගුණයක් ඇත, එනම් l (a xb) \u003d (l a) x b \u003d a x (l b).

l >0 ඉඩ දෙන්න. දෛශිකය l (a xb) a සහ b දෛශිකවලට ලම්බක වේ. දෛශිකය ( එල් a) x බීදෛශික a සහ ලම්බක වේ බී(දෛශික a, එල්නමුත් එකම ගුවන් යානයක සැතපෙන්න). එබැවින් දෛශික එල්(axb) සහ ( එල් a) x බී collinear. ඔවුන්ගේ දිශාවන් සමපාත වන බව පැහැදිලිය. ඒවාට සමාන දිගක් ඇත:

ඒක තමයි එල්(a xb)= එල් xb. එය ඒ හා සමානව ඔප්පු කර ඇත එල්<0.

3. ශුන්‍ය නොවන දෛශික දෙකක් a සහ බී collinear වේ නම් සහ ඒවායේ දෛශික නිෂ්පාදනය ශුන්‍ය දෛශිකයට සමාන නම් පමණි, එනම්, සහ ||b<=>සහ xb \u003d 0.

විශේෂයෙන්ම, i *i =j *j =k *k =0 .

4. දෛශික නිෂ්පාදනයට බෙදා හැරීමේ ගුණයක් ඇත:

(a+b) xs = a xs + බී xs

සාක්ෂි නොමැතිව පිළිගන්න.

7.3 ඛණ්ඩාංක අනුව හරස් නිෂ්පාදන ප්‍රකාශනය

අපි දෛශික හරස් නිෂ්පාදන වගුව භාවිතා කරන්නෙමු i , jසහ කේ:

පළමු දෛශිකයේ සිට දෙවැන්න දක්වා ඇති කෙටිම මාර්ගයේ දිශාව ඊතලයේ දිශාවට සමපාත වේ නම්, නිෂ්පාදිතය තුන්වන දෛශිකයට සමාන වේ, එය නොගැලපේ නම්, තුන්වන දෛශිකය සෘණ ලකුණක් සමඟ ගනු ලැබේ.

දෛශික දෙකක් a =a x i +a y කරමු j+az කේසහ b=bx මම+ විසින් j+bz කේ. මෙම දෛශික බහුපද ලෙස ගුණ කිරීමෙන් (දෛශික නිෂ්පාදනයේ ගුණ අනුව) දෛශික ගුණය සොයා ගනිමු:

ලැබෙන සූත්‍රය ඊටත් වඩා කෙටියෙන් ලිවිය හැක.

සමානාත්මතාවයේ දකුණු පැත්ත (7.1) පළමු පේළියේ මූලද්‍රව්‍ය අනුව තුන්වන අනුපිළිවෙල නිර්ණය කිරීමේ ප්‍රසාරණයට අනුරූප වන බැවින් සමානාත්මතාවය (7.2) මතක තබා ගැනීම පහසුය.

7.4 හරස් නිෂ්පාදනයේ සමහර යෙදුම්

දෛශිකවල සහසම්බන්ධතාවය ස්ථාපිත කිරීම

සමාන්තර චලිතයක සහ ත්‍රිකෝණයක ප්‍රදේශය සොයා ගැනීම

දෛශික වල හරස් නිෂ්පාදනයේ නිර්වචනය අනුව ඒසහ බී |a xb | =| අ | * |b |sin g , i.e. S par = |a x b |. සහ, එබැවින්, D S \u003d 1/2 | a x b |.

ලක්ෂ්යයක් ගැන බලයේ මොහොත තීරණය කිරීම

A ලක්ෂ්‍යයේ බලයක් යොදන්න F = ABඑයට යන්න දෙන්න ඕ- අවකාශයේ යම් ස්ථානයක් (රූපය 20 බලන්න).

එය භෞතික විද්‍යාවෙන් දන්නා කරුණකි ව්යවර්ථය එෆ් කාරණයට සාපේක්ෂව ඕදෛශිකය ලෙස හැඳින්වේ එම් ,ලක්ෂ්යය හරහා ගමන් කරන ඕහා:

1) ලකුණු හරහා ගමන් කරන තලයට ලම්බකව O, A, B;

2) සංඛ්‍යාත්මකව බලයේ සහ හස්තයේ ගුණිතයට සමාන වේ

3) OA සහ A B දෛශික සමඟ දකුණු ත්‍රිත්ව සාදයි.

එබැවින්, M \u003d OA x F.

භ්රමණය වන රේඛීය වේගය සොයා ගැනීම

වේගය vකෝණික ප්‍රවේගයකින් භ්‍රමණය වන දෘඩ සිරුරක M ලක්ෂ්‍යය wස්ථාවර අක්ෂයක් වටා, Euler සූත්‍රය v \u003d w x r මගින් තීරණය වේ, එහිදී r \u003d OM, O යනු අක්ෂයේ යම් ස්ථාවර ලක්ෂ්‍යයක් වේ (රූපය 21 බලන්න).