ඇණවුම් 4 ක වර්ග අනුකෘතිය. නිර්ණායක ගණනය කිරීම

දේශනය 6

matrices

6.1 මූලික සංකල්ප

අර්ථ දැක්වීම 1.න්‍යාසයක් යනු සෘජුකෝණාස්‍රාකාර සංඛ්‍යා වගුවකි.

අනුකෘතියක් දැක්වීමට වරහන් හෝ ද්විත්ව සිරස් රේඛා භාවිතා වේ:

අනුකෘතියක් සෑදෙන සංඛ්‍යා එහි ලෙස හැඳින්වේ මූලද්රව්ය, මූලද්රව්යය matrices ඇය තුළ පිහිටා ඇත -වන පේළිය සහ -වන තීරුව.

අංක හා (න්‍යාසයක පේළි සහ තීරු ගණන) එහි ඇණවුම් ලෙස හැඳින්වේ.

කියලත් කියනවා - matrix ප්රමාණය
.

අ
, matrix කියලා හතරැස්.

කෙටි අංකනය සඳහා, අංකනය ද භාවිතා වේ
(හෝ
) සහ පසුව එය කෙතරම් දුරට දක්වා ඇත හා , උදාහරණ වශයෙන්,
,
,
. (ඇතුලත් කිරීම මෙසේය: matrix මූලද්රව්ය සමඟ ,සිට වෙනස් වේ කලින් ,- සිට කලින් .)

වර්ග matrices අතර, අපි සටහන් කරමු විකර්ණ matrices, ඒ සඳහා අසමාන දර්ශක සහිත සියලුම මූලද්‍රව්‍ය (
) ශුන්‍යයට සමාන වේ:

.

මූලද්රව්ය බව අපි කියමු
ප්රධාන විකර්ණය මත පිහිටා ඇත.

විකර්ණ දසුන් අනුකෘතිය

කියලා තනි matrix.

පහත දැක්වෙන දේ තුළ, පෝරමයේ න්‍යාස ඇත

හා
,

යනුවෙන් හඳුන්වනු ලැබේ ත්රිකෝණාකාර matrices, මෙන්ම එක් තීරුවකින් සමන්විත matrices:

සහ එක් පේළියක්:

(matrix-column සහ matrix-row).

සියලුම මූලද්‍රව්‍ය ශුන්‍යයට සමාන වන න්‍යාසයක් ලෙස හැඳින්වේ null.

6.2 ඇණවුම් නිර්ණායක n

අනුපිළිවෙලෙහි හතරැස් න්‍යාසයකට ඉඩ දෙන්න :

. (6.1)

අපි සියලු ආකාරයේ දේවල් නිර්මාණය කරමු න්‍යාස මූලද්‍රව්‍ය විවිධ පේළිවල සහ විවිධ තීරුවල පිහිටා ඇත, i.e. පෝරමයේ නිෂ්පාදන

. (6.2)

පෝරමයේ නිෂ්පාදන ගණන (6.2) වේ (සාක්ෂි නොමැතිව අපි මෙම කරුණ පිළිගනිමු).

අපි මෙම සියලු නිෂ්පාදන ඇණවුම් නිර්ණායකයේ සාමාජිකයන් ලෙස සලකමු matrix (6.1) ට අනුරූප වේ.

(6.2) හි ඇති සාධකවල දෙවන දර්ශක පළමු හි ප්‍රතිවර්තනයක් සාදයි ස්වභාවික සංඛ්යා
.

ඔවුන් ගණන් කියනවා හා විකෘතියක වේ පෙරළීම, නම්
, සහ විපර්යාසය තුළ පෙර පිහිටා ඇත .

උදාහරණ 1සංඛ්‍යා හයක ප්‍රගමනයකදී,
, අංක හා ,හා ,හා ,හා ,හා ප්රතිලෝම සාදයි.

විපර්යාසය ලෙස හැඳින්වේ පවා, එහි ඇති ප්‍රතිලෝම ගණන ඉරට්ටේ නම් සහ අමුතුඑහි ඇති ප්‍රතිලෝම ගණන ඔත්තේ නම්.

උදාහරණ 2විපර්යාසය
- ඔත්තේ සහ විපර්යාසය
- පවා ( ප්රතිලෝම).

අර්ථ දැක්වීම 2.ඇණවුම තීරණය කරන්නා ,අනුකෘතියට අනුරූප වේ(6.1), වීජීය එකතුව ලෙස හැඳින්වේ සාමාජිකයින්,පහත පරිදි රචනා කර ඇත:නිර්ණායකයේ නියමයන් සියල්ල හැකි නිෂ්පාදන වේ matrix මූලද්රව්ය,සෑම පේළියකින්ම සහ එක් එක් තීරුවෙන්ම එකක් ගත්තා,එහිදී ලකුණ සමඟ පදය ගනු ලැබේ"+",දෙවන දර්ශක කට්ටලය සංඛ්‍යාවල ඒකාකාර ප්‍රගමනයක් නම්
,සහ ලකුණ සමඟ"–",ඔත්තේ නම්.

matrix determinant (6.1) පහත පරිදි දැක්වේ:

.

අදහස් දක්වන්න. අර්ථ දැක්වීම 2 සඳහා
හා
දැනටමත් හුරුපුරුදු 2 වන සහ 3 වන අනුපිළිවෙල නිර්ණායක වෙත යොමු කරයි:

,

මාරු කිරීම matrix හි ප්රධාන විකර්ණය වටා අනුකෘතියට සංක්‍රමණය ලෙස හැඳින්වේ
, න්‍යාස පේළි සඳහා තීරු වන අතර තීරු පේළි වේ:

.

අපි කියන්නම් නිර්ණායකය
නිර්ණායකය මාරු කිරීමෙන් ලබා ගන්නා ලදී .

ඇණවුම නිර්ණය කිරීමේ ගුණ n:

1.
(ප්‍රධාන විකර්ණය වටා මාරු කිරීමේදී නිර්ණායකය වෙනස් නොවේ).

2. නිර්ණායකයේ එක් පේළියක් ශුන්‍ය වලින් සමන්විත නම්, නිර්ණය ශුන්‍යයට සමාන වේ.

3. තන්තු දෙකක පර්මියුටේෂන් සිට, නිර්ණායකය ලකුණ පමණක් වෙනස් කරයි.

4. සමාන නූල් දෙකක් අඩංගු නිර්ණායකය ශුන්‍යයට සමාන වේ.

5. නිර්ණායකයේ කිසියම් පේළියක සියලුම මූලද්‍රව්‍ය සංඛ්‍යාවකින් ගුණ කළහොත් , නිර්ණායකය ගුණ කරනු ලැබේ .

6. සමානුපාතික පේළි දෙකක් අඩංගු නිර්ණායකය ශුන්‍යයට සමාන වේ.

7. සියලුම මූලද්රව්ය නම් - නිර්ණායකයේ පේළිය එකතුවක් ලෙස ඉදිරිපත් කෙරේ
, පසුව නිර්ණායකය එකතුවට සමාන වේහැර අනෙකුත් සියලුම පේළි ඇති නිර්ණායක දෙකක් -th, මුල් නිර්ණායකයට සමාන වේ, සහ එක් නිර්ණායකයක -වන පේළිය සමන්විත වේ , සහ අනෙක් - සිට .

අර්ථ දැක්වීම 3.නිර්ණායකයේ -වන පේළිය එහි ඉතිරි පේළිවල රේඛීය සංයෝජනයක් ලෙස හැඳින්වේ,එවැනි නම්,ගුණ කිරීමෙන් බව -වන පේළිය මත ,ඉන්පසු සියලු රේඛා එකතු කිරීම,ඊට අමතරව th,අපට ලැබෙනවා -වන පේළිය.

8. නිර්ණායකයේ එක් පේළියක් එහි ඉතිරි පේළිවල රේඛීය සංයෝජනයක් නම්, නිර්ණය ශුන්‍යයට සමාන වේ.

9. එහි එක් රේඛාවක මූලද්‍රව්‍ය තවත් එකක අනුරූප මූලද්‍රව්‍යවලට එම සංඛ්‍යාවෙන් ගුණ කළහොත් නිර්ණායකය වෙනස් නොවේ.

අදහස් දක්වන්න. අපි නූල් සඳහා නිර්ණායකයේ ගුණාංග සකස් කර ඇත. දේපල 1 නිසා (
) ඒවා තීරු සඳහා ද වලංගු වේ.

සඳහා ප්රායෝගික පන්ති වලදී ඉහත සියලු ගුණාංග ඔප්පු කර ඇත
; අත්තනෝමතික සඳහා සාක්ෂි නොමැතිව ඒවා පිළිගන්න.

නිර්ණායකයේ නම් නියෝග මූලද්රව්යය තෝරන්න සහ පිහිටා ඇති මංසන්ධියේ තීරුව සහ පේළිය හරස් කරන්න , ඉතිරි පේළි සහ තීරු අනුපිළිවෙලෙහි නිර්ණායකය සාදයි
, ලෙස හැඳින්වේ සුළුනිර්ණායකය මූලද්රව්යයට අනුරූප වේ .

උදාහරණය 3නිර්ණායකයේ

සුළු මූලද්රව්යය
නිර්ණායකය වේ
.

අර්ථ දැක්වීම 4.වීජ ගණිත එකතු කිරීම මූලද්රව්යය නිර්ණායකය ඔහුගේ බාලවයස්කාරයා ලෙස හැඳින්වේ,ගුණ කර ඇත
,කොහෙද - රේඛා අංකය, - තීරු අංකය,තෝරාගත් මූලද්රව්යය පිහිටා ඇති .

උදාහරණය 4නිර්ණායකයේ

වීජීය එකතු කිරීම
.

න්‍යාය 1 (තන්තු ප්‍රසාරණය මත).නිර්ණායකය ඕනෑම පේළියක සියලුම මූලද්‍රව්‍යවල නිෂ්පාදනවල එකතුවට සහ ඒවායේ වීජීය අනුපූරකයට සමාන වේ.

ප්රමේයය 1 අපට අනුපිළිවෙල නිර්ණය කිරීමේ ගණනය අඩු කිරීමට ඉඩ සලසයි ගණනය කිරීමට ඇණවුම් නිර්ණායක
.

උදාහරණ 5. සිව්වන අනුපිළිවෙල නිර්ණායකය ගණනය කරන්න:

.

අපි ප්‍රමේයය 1 භාවිතා කර නිර්ණායකය පුළුල් කරමු 4 වන පේළියේ:

අදහස් දක්වන්න. කෙනෙකුට ප්‍රථමයෙන් 9 ගුණය භාවිතා කිරීමෙන් නිර්ණායකය සරල කළ හැක, පසුව ප්‍රමේයය 1 භාවිතා කරන්න. ඉන්පසු අනුපිළිවෙලෙහි නිර්ණායකය ගණනය කිරීම ගණනය කිරීම දක්වා අඩු කරයි එකඇණවුම් නිර්ණායකය
.

උදාහරණය 6ගණනය කරන්න

.

පළමු තීරුව දෙවැන්නට එකතු කරමු සහ පළමු තීරුවෙන් ගුණ කරමු (
), තෙවනුව දක්වා, ප්රතිඵලයක් ලෙස අපි ලබා ගනිමු

.

දැන් අපි ප්‍රමේයය 1 යොදලා අවසාන පේළිය දිගහරින්නෙමු:

,

4 වන අනුපිළිවෙල නිර්ණායකයේ ගණනය කිරීම 3 වන අනුපිළිවෙල නිර්ණායකයක් පමණක් ගණනය කිරීම දක්වා අඩු කරන ලදී.

,

තුන්වන අනුපිළිවෙල නිර්ණායකයේ ගණනය කිරීම දෙවන අනුපිළිවෙල නිර්ණායකයක ගණනය කිරීම දක්වා අඩු කරන ලදී.

උදාහරණ 7ඇණවුම් නිර්ණායකය ගණනය කරන්න :

.

අපි පළමු පේළිය දෙවන, තුන්වන, ආදියට එකතු කරමු. -වන පේළිය. නිර්ණායකයට එන්න

.

ත්රිකෝණාකාර නිර්ණායකයක් ලබා ගනී.

අදාළ වේ
වාර ප්‍රමේයය 1 (පළමු තීරුවේ පුළුල් කරන්න) සහ ලබා ගන්න

.

අදහස් දක්වන්න. ත්රිකෝණාකාර නිර්ණායකය ප්රධාන විකර්ණයේ මූලද්රව්යවල ගුණිතයට සමාන වේ.

6.3 matrices මත මූලික මෙහෙයුම්

අර්ථ දැක්වීම 5.න්‍යාස දෙකක්
,
,
,හා
,
,
,සමාන නම් ලෙස හැඳින්වේ
.

කෙටි පිවිසුම:
.

මේ අනුව, න්‍යාස දෙකක් සමාන ලෙස සලකනු ලබන්නේ ඒවාට සමාන අනුපිළිවෙලක් ඇත්නම් සහ ඒවාට අනුරූප මූලද්‍රව්‍ය සමාන වේ.

අර්ථ දැක්වීම 6.න්‍යාස දෙකක එකතුව
,
,
,හා
,
,
,එවැනි අනුකෘතියක් ලෙස හැඳින්වේ
,
,
,කුමක්
.

වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, එකම ඇණවුම්වල න්‍යාස පමණක් එකතු කළ හැකි අතර, එකතු කිරීම මූලද්‍රව්‍ය අනුව සිදු කෙරේ.

උදාහරණ 8න්‍යාසවල එකතුව සොයන්න

හා
.

6 වන අර්ථ දැක්වීමට අනුව, අපි සොයා ගනිමු

.

න්‍යාස එකතු කිරීමේ රීතිය ඕනෑම සීමිත පද ගණනක එකතුවට අදාළ වේ.

අර්ථ දැක්වීම 7.Matrix නිෂ්පාදනය
,
,
,සැබෑ අංකයකට එවැනි අනුකෘතියක් ලෙස හැඳින්වේ
,
,
,සඳහා
.

වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, න්‍යාසයක් අංකයකින් ගුණ කිරීම සඳහා, ඔබ එහි සියලුම මූලද්‍රව්‍ය මෙම අංකයෙන් ගුණ කළ යුතු අතර ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන නිෂ්පාදන ඒවායේ මුල් ස්ථානවල තැබිය යුතුය.

උදාහරණ 9රේඛීය සංයෝජනය සොයන්න
matrices

හා
.

අර්ථ දැක්වීම 7 භාවිතා කරමින්, අපි ලබා ගනිමු

,
,

.

Matrix එකතු කිරීමේ මෙහෙයුම් වල ගුණාංග

සහ අංකයකින් ගුණ කිරීම:

1. එකතු කිරීම සංක්‍රමණ වේ:
.

2. එකතු කිරීම ආශ්‍රිත:.

3. ශුන්‍ය න්‍යාසයක් ඇත
, කොන්දේසිය තෘප්තිමත් කිරීම
සියල්ල සඳහා නමුත්.

4. ඕනෑම matrix සඳහා නමුත්ප්රතිවිරුද්ධ matrix ඇත හිදී, කොන්දේසිය තෘප්තිමත් කිරීම
.

ඕනෑම matrices සඳහා නමුත්හා හිදීසහ ඕනෑම සැබෑ සංඛ්යා
සමානාත්මතාවයන් සිදු වේ:

5.
.

6.
.

7.
.

8.
.

දේපල පරීක්ෂා කරන්න 1. දක්වන්න
,
. ඉඩ
,

,
. අපිට තියනවා

සහ සමානාත්මතාවය අත්තනෝමතික මූලද්‍රව්‍යයක් සඳහා ඔප්පු කර ඇති බැවින්, 5 අර්ථ දැක්වීමට අනුව
. දේපල 1 ඔප්පු කර ඇත.

දේපල 2 ඒ හා සමානව ඔප්පු කර ඇත.

අනුකෘතියක් ලෙස ඇණවුම් matrix ගන්න
, ශුන්‍යයට සමාන වන සියලුම මූලද්‍රව්‍ය.

නැවී තිබීම ඕනෑම matrix සමඟ අර්ථ දැක්වීම 6 හි දක්වා ඇති රීතියට අනුව, අපට matrix ඇත වෙනස් නොකරන්න, සහ දේපල 3 සත්‍ය වේ.

අපි දේපල පරීක්ෂා කරමු 4. ඉඩ දෙන්න
. දාමු
. ඉන්පසු
, එබැවින් දේපල 4 සත්‍ය වේ.

අපි දේපල 5 - 8 පරීක්ෂා කිරීම අත්හරිමු.

අර්ථ දැක්වීම 8.Matrix නිෂ්පාදනය
,
,
,matrix වෙත
,
,
,matrix ලෙස හැඳින්වේ
,
,
,මූලද්රව්ය සමඟ
.

කෙටි පිවිසුම:
.

උදාහරණ 10න්‍යාසවල නිෂ්පාදන සොයන්න

හා
.

අර්ථ දැක්වීම 8 ට අනුව, අපි සොයා ගනිමු

උදාහරණ 11.න්‍යාස ගුණ කරන්න

හා
.

සටහන 1. අනුකෘති පේළියක ඇති මූලද්‍රව්‍ය ගණන න්‍යාස තීරුවේ ඇති මූලද්‍රව්‍ය ගණනට සමාන වේ (න්‍යාස තීරු ගණන matrix පේළි ගණනට සමාන වේ ).

සටහන 2. අනුකෘතියේ
න්‍යාසයේ තරම් පේළි ගණනක් , සහ එහි ඇති තරම් තීරු ඇත .

සටහන 3. පොදුවේ ගත් කල,
(න්‍යාස ගුණ කිරීම සංක්‍රමණ නොවන)

Remark 3 සාධාරණීකරණය කිරීම සඳහා, අවම වශයෙන් එක් උදාහරණයක් ලබා දීම ප්රමාණවත් වේ.

උදාහරණ 12.න්‍යාසවල ප්‍රතිලෝම අනුපිළිවෙලින් ගුණ කරන්න හා උදාහරණ 10 සිට.

මේ අනුව, තුළ සාමාන්ය නඩුව
.

විශේෂිත අවස්ථාවක සමානාත්මතාවය බව සලකන්න
සමහර විට.

matrices හා , ඒ සඳහා සමානාත්මතාවය
, ලෙස හැඳින්වේ විකෘති කිරීම,හෝ ගමන් කරනවා.

අභ්යාස.

1. ලබා දී ඇති එක සමඟ ගමන් කරන සියලුම matrices සොයන්න:

ඒ)
; බී)
.

2. දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි සියලුම න්‍යාස සොයන්න, එහි වර්ග ශුන්‍ය න්‍යාසයට සමාන වේ.

3. එය ඔප්පු කරන්න
.

Matrix ගුණ කිරීමේ ගුණාංග:

ගුණ කිරීම බෙදා හැරීමකි.

සිව්වන සහ ඉහළ ඇණවුම් වල නිර්ණායකසරල කළ යෝජනා ක්‍රම අනුව ගණනය කළ හැකි අතර, එය පේළි හෝ තීරුවල මූලද්‍රව්‍ය මගින් ප්‍රසාරණය කිරීම හෝ ත්‍රිකෝණාකාර ස්වරූපයකට අඩු කිරීම සමන්විත වේ. පැහැදිලිකම සඳහා ක්රම දෙකම සාකච්ඡා කරනු ඇත. 4 වන අනුපිළිවෙල matrices.

පේළි හෝ තීරු වියෝජන ක්රමය

සියලුම අතරමැදි ක්රියාවන් පිළිබඳ සවිස්තරාත්මක පැහැදිලි කිරීම් සමඟ අපි පළමු උදාහරණය සලකා බලමු.

උදාහරණ 1 විස්තාරණ ක්රමය මගින් නිර්ණායකය ගණනය කරන්න.

විසඳුමක්. ගණනය කිරීම් සරල කිරීම සඳහා, අපි පළමු පේළියේ මූලද්රව්ය (ශුන්ය මූලද්රව්යයක් අඩංගු) අනුව හතරවන අනුපිළිවෙල නිර්ණය කිරීම පුළුල් කරමු. ඒවා සෑදී ඇත්තේ ඒවායේ අනුරූප එකතු කිරීම් මගින් මූලද්‍රව්‍ය ගුණ කිරීමෙනි (පේළි සහ තීරු මකාදැමීම් ඒවා ගණනය කරනු ලබන මූලද්‍රව්‍යයේ මංසන්ධියේදී සෑදී ඇත - රතු පැහැයෙන් උද්දීපනය කර ඇත)

එහි ප්‍රතිඵලයක් වශයෙන්, ත්‍රිකෝණ රීතිය මගින් අප සොයා ගන්නා තුන්වන අනුපිළිවෙලෙහි නිර්ණායක තුනක් සොයා ගැනීම දක්වා ගණනය කිරීම් අඩු කරනු ඇත.

සොයාගත් අගයන් නිමැවුම් නිර්ණායකයට ආදේශ කරනු ලැබේ

ප්රතිඵලය matrix කැල්ක්යුලේටරය සමඟ පරීක්ෂා කිරීම පහසුය YukhymCALC. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, කැල්කියුලේටරයේ Matrix-Matrix Determinant අයිතමය තෝරන්න, matrix ප්රමාණය 4 * 4 ලෙස සකසන්න.

ප්රතිඵල සමාන වේ, එබැවින් ගණනය කිරීම් නිවැරදි වේ.

උදාහරණ 2 හතරවන අනුපිළිවෙලෙහි න්‍යාසයක නිර්ණායකය ගණනය කරන්න.

පෙර කාර්යයේ දී මෙන්, අපි වියෝජන ක්රමය මගින් ගණනය කිරීම් සිදු කරන්නෙමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, පළමු තීරුවේ මූලද්රව්ය තෝරන්න. සරල කළහොත්, පෝරමයේ ඇති තුන්වන අනුපිළිවෙලෙහි නිර්ණායක හතරක එකතුව හරහා නිර්ණායකය ලබා දිය හැක.

ගණනය කිරීම් ඉතා සංකීර්ණ නොවේ, ප්රධාන දෙය වන්නේ සංඥා සහ ත්රිකෝණ සමඟ පටලවා නොගැනීමයි. අපි සොයාගත් අගයන් ප්‍රධාන නිර්ණායකයට ආදේශ කර සාරාංශ කරමු

රේඛීය වීජ ගණිතයේ ගමන් මගෙහි නිර්ණය කිරීමේ සංකල්පය ප්‍රධාන එකකි. මෙම සංකල්පය චතුරස්රාකාර අනුකෘති වලට පමණක් ආවේනික වන අතර, මෙම ලිපිය මෙම සංකල්පය සඳහා කැප කර ඇත. මෙහි මූලද්‍රව්‍ය සැබෑ (හෝ සංකීර්ණ) සංඛ්‍යා වන න්‍යාසවල නිර්ණායක ගැන කතා කරමු. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, නිර්ණායකය සැබෑ (හෝ සංකීර්ණ) අංකයකි. සියලුම වැඩිදුර ඉදිරිපත් කිරීම් නිර්ණායකය ගණනය කරන්නේ කෙසේද සහ එහි ඇති ගුණාංග මොනවාද යන ප්‍රශ්නවලට පිළිතුරක් වනු ඇත.

පළමුව, අපි න්‍යාස මූලද්‍රව්‍යවල ප්‍රතිවර්තන නිෂ්පාදනවල එකතුව ලෙස n මගින් n අනුපිළිවෙලෙහි වර්ග න්‍යාසයක නිර්ණායකයේ නිර්වචනය ලබා දෙමු. මෙම නිර්වචනය මත පදනම්ව, අපි පළමු, දෙවන සහ තෙවන ඇණවුම්වල න්‍යාසවල නිර්ණායක ගණනය කිරීම සඳහා සූත්‍ර ලියන අතර උදාහරණ කිහිපයක විසඳුම් විස්තරාත්මකව විශ්ලේෂණය කරමු.

මීලඟට, අපි නිර්ණායකයේ ගුණාංග වෙත හැරෙමු, අපි ඔප්පු කිරීමකින් තොරව ප්රමේය ආකාරයෙන් සකස් කරමු. මෙහිදී, පේළියක හෝ තීරුවක මූලද්‍රව්‍ය හරහා එහි ප්‍රසාරණය හරහා නිර්ණායකය ගණනය කිරීමේ ක්‍රමයක් ලබා ගනී. මෙම ක්‍රමය මඟින් අනුපිළිවෙලෙහි න්‍යාසයක න්‍යාසයේ නිර්ණායකය n මගින් 3 අනුපිළිවෙලෙහි න්‍යාසයේ නිර්ණායක ගණනය කිරීම 3 හෝ ඊට අඩු ගණනය කිරීම දක්වා අඩු කරයි. උදාහරණ කිහිපයකට විසඳුම් පෙන්වීමට වග බලා ගන්න.

අවසාන වශයෙන්, අපි Gauss ක්රමය මගින් නිර්ණායකය ගණනය කිරීම මත වාසය කරමු. මෙම ක්‍රමය 3 ට 3 ට වඩා වැඩි අනුපිළිවෙලෙහි න්‍යාසවල නිර්ණායක සොයා ගැනීම සඳහා හොඳ වේ මන්ද එයට අඩු ගණනය කිරීමේ උත්සාහයක් අවශ්‍ය වේ. අපි උදාහරණ විසඳුම ද විශ්ලේෂණය කරන්නෙමු.

පිටු සංචලනය.

න්‍යාස නිර්ණායකයේ අර්ථ දැක්වීම, නිර්වචනය අනුව න්‍යාස නිර්ණායකය ගණනය කිරීම.

අපි සහායක සංකල්ප කිහිපයක් සිහිපත් කරමු.

අර්ථ දැක්වීම.

ඇණවුම ප්‍රගමනය කිරීම n n මූලද්‍රව්‍ය වලින් සමන්විත, ඇණවුම් කළ සංඛ්‍යා කට්ටලයක් ලෙස හැඳින්වේ.

n මූලද්‍රව්‍ය අඩංගු කට්ටලයක් සඳහා, n ඇත! (n සාධකමය) අනුපිළිවෙලෙහි ප්‍රතිවර්තන n. ප්‍රගමනය එකිනෙකට වෙනස් වන්නේ මූලද්‍රව්‍ය අනුපිළිවෙලින් පමණි.

උදාහරණයක් ලෙස, අංක තුනකින් සමන්විත කට්ටලයක් සලකා බලන්න: . අපි සියලුම ප්‍රතිවර්තන ලියන්නෙමු (මුළු හයක් ඇත, සිට ):

අර්ථ දැක්වීම.

අනුපිළිවෙලෙහි ප්‍රතිලෝමනය nඕනෑම p සහ q දර්ශක යුගලයක් හඳුන්වනු ලබන අතර, ඒ සඳහා ප්‍රගමනයේ p-th මූලද්‍රව්‍යය q-th ට වඩා වැඩි වේ.

පෙර උදාහරණයේ දී, 4 , 9 , 7 යන ප්‍රතිලෝමයේ ප්‍රතිලෝමය p=2 , q=3 වේ, මන්ද ප්‍රගමනයේ දෙවන මූලද්‍රව්‍යය 9 වන අතර එය 7 වන තුන්වන මූලද්‍රව්‍යයට වඩා විශාල වේ. 9, 7, 4 ප්‍රතිලෝමයේ ප්‍රතිලෝමය යුගල තුනක් වනු ඇත: p=1 , q=2 (9>7 ); p=1, q=3 (9>4) සහ p=2, q=3 (7>4).

අපි ප්‍රතිලෝමයට වඩා, ප්‍රතිවර්තනයක ඇති ප්‍රතිලෝම ගණන ගැන උනන්දු වෙමු.

තාත්වික (හෝ සංකීර්ණ) සංඛ්‍යා ක්ෂේත්‍රයට ඉහළින් n අනුපිළිවෙලෙහි වර්ග න්‍යාසයක් වේවා. කුලකයේ n අනුපිළිවෙලෙහි සියලුම ප්‍රතිවර්තන කුලකයට ඉඩ දෙන්න. කට්ටලයේ n අඩංගු වේ! විකෘති කිරීම්. කුලකයේ kth ප්‍රගමනය , සහ kth ප්‍රතිවර්තනයේ ඇති ප්‍රතිලෝම ගණන ලෙස දක්වමු.

අර්ථ දැක්වීම.

Matrix නිර්ණායකයසහ සමාන සංඛ්යාවක් ඇත .

මෙම සූත්‍රය වචන වලින් විස්තර කරමු. n අනුපිළිවෙලෙහි වර්ග න්‍යාසයක නිර්ණායකය n මගින් n අඩංගු එකතුවයි! කොන්දේසි. සෑම පදයක්ම න්‍යාසයේ n මූලද්‍රව්‍යවල ප්‍රතිඵලයක් වන අතර, සෑම නිෂ්පාදනයකම A න්‍යාසයේ එක් එක් පේළියෙන් සහ එක් එක් තීරුවෙන් මූලද්‍රව්‍යයක් අඩංගු වේ. නිෂ්පාදනයේ ඇති න්‍යාසයේ A මූලද්‍රව්‍ය පේළි අංකයෙන් අනුපිළිවෙලට සකස් කර ඇත්නම් සහ තීරු සංඛ්‍යා කුලකයේ kth ප්‍රතිවර්තනයේ ප්‍රතිලෝම ගණන ඔත්තේ නම් සංගුණකයක් (-1) kth පදයට පෙර දිස්වේ.

A න්‍යාසයක නිර්ණායකය සාමාන්‍යයෙන් දැක්වෙන්නේ , det(A) ද භාවිතා වේ. නිර්ණායකයට නිර්ණායකය යැයි කියනු ද අසන්නට පුළුවන.

ඒ නිසා, .

මෙයින් පෙන්නුම් කරන්නේ පළමු අනුපිළිවෙලෙහි න්‍යාසයේ නිර්ණායකය මෙම න්‍යාසයේ මූලද්‍රව්‍යය බවයි.

දෙවන අනුපිළිවෙල වර්ග න්‍යාසයක නිර්ණායකය ගණනය කිරීම - සූත්‍රය සහ උදාහරණය.

සාමාන්යයෙන් 2 සිට 2 දක්වා.

මෙම අවස්ථාවේදී n=2 , එබැවින් n!=2!=2 .

.

අපිට තියනවා

මේ අනුව, අපි අනුපිළිවෙල 2 න් 2 අනුකෘතියක නිර්ණායකය ගණනය කිරීම සඳහා සූත්‍රයක් ලබා ගෙන ඇත, එහි ආකෘතිය ඇත .

උදාහරණයක්.

නියෝග.

විසඳුමක්.

අපගේ උදාහරණයේ. අපි ප්රතිඵලය සූත්රය යොදන්නෙමු :

තුන්වන අනුපිළිවෙලෙහි වර්ග න්‍යාසයක නිර්ණායකය ගණනය කිරීම - සූත්‍රය සහ උදාහරණය.

වර්ග න්‍යාසයක නිර්ණායකය සොයා ගනිමු සාමාන්යයෙන් 3 සිට 3 දක්වා.

මෙම අවස්ථාවේදී n=3 , එබැවින් n!=3!=6 .

සූත්‍රය යෙදීම සඳහා අවශ්‍ය දත්ත වගුවක ආකාරයෙන් සකස් කරමු .

අපිට තියනවා

මේ අනුව, අපි අනුපිළිවෙල 3 න් 3 අනුකෘතියක නිර්ණායකය ගණනය කිරීම සඳහා සූත්‍රයක් ලබා ගෙන ඇත, එහි ආකෘතිය ඇත

ඒ හා සමානව, කෙනෙකුට 4 න් 4, 5 න් 5 සහ ඉහළ අනුපිළිවෙලෙහි න්‍යාසවල නිර්ණායක ගණනය කිරීම සඳහා සූත්‍ර ලබා ගත හැකිය. ඔවුන් ඉතා විශාල ලෙස පෙනෙනු ඇත.

උදාහරණයක්.

වර්ග න්‍යාසයේ ගණනය කිරීමේ නිර්ණායකය 3 න් 3 පමණ.

විසඳුමක්.

අපගේ උදාහරණයේ

තෙවන අනුපිළිවෙලෙහි නිර්ණායකය ගණනය කිරීම සඳහා අපි ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන සූත්‍රය යොදන්නෙමු:

දෙවන සහ තෙවන ඇණවුම්වල වර්ග න්‍යාසවල නිර්ණායක ගණනය කිරීම සඳහා සූත්‍ර බොහෝ විට භාවිතා වේ, එබැවින් ඔබ ඒවා මතක තබා ගන්නා ලෙස අපි නිර්දේශ කරමු.

න්‍යාස නිර්ණායකයක ගුණ, ගුණාංග භාවිතයෙන් අනුකෘති නිර්ණයක ගණනය කිරීම.

ඉහත නිර්වචනය මත පදනම්ව, පහත සඳහන් දෑ සත්‍ය වේ. matrix determinant properties.

A න්‍යාසයේ නිර්ණායකය ප්‍රතිවර්තිත න්‍යාසයේ නිර්ණායකයට සමාන වේ A T , එනම්, .

උදාහරණයක්.

matrix determinant වග බලා ගන්න මාරු කළ න්‍යාසයේ නිර්ණායකයට සමාන වේ.

විසඳුමක්.

අනුපිළිවෙල 3 න් 3 හි න්‍යාසයක නිර්ණායකය ගණනය කිරීමට සූත්‍රය භාවිතා කරමු:



අපි matrix A මාරු කරමු:


මාරු කළ න්‍යාසයේ නිර්ණායකය ගණනය කරන්න:



ඇත්ත වශයෙන්ම, මාරු කළ න්‍යාසයේ නිර්ණායකය මුල් න්‍යාසයේ නිර්ණායකයට සමාන වේ.

හතරැස් න්‍යාසයක අවම වශයෙන් එක් පේළියක (තීරු වලින් එකක්) සියලුම මූලද්‍රව්‍ය ශුන්‍ය නම්, එවැනි න්‍යාසයක නිර්ණායකය ශුන්‍යයට සමාන වේ.

උදාහරණයක්.

matrix determinant දැයි පරීක්ෂා කරන්න අනුපිළිවෙල 3 by 3 බිංදුවයි.

විසඳුමක්.




ඇත්ත වශයෙන්ම, ශුන්‍ය තීරුවක් සහිත න්‍යාසයක නිර්ණායකය ශුන්‍ය වේ.

ඔබ වර්ග න්‍යාසයක කිසියම් පේළි දෙකක් (තීරු) මාරු කරන්නේ නම්, ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන න්‍යාසයේ නිර්ණායකය මුල් එකට ප්‍රතිවිරුද්ධ වේ (එනම් ලකුණ වෙනස් වේ).

උදාහරණයක්.

3 න් 3 අනුපිළිවෙලෙහි වර්ග න්‍යාස දෙකක් ලබා දී ඇත හා . ඔවුන්ගේ නිර්ණායක ප්රතිවිරුද්ධ බව පෙන්වන්න.

විසඳුමක්.

Matrix B න්‍යාසය A වෙතින් ලබාගනු ලබන්නේ තුන්වන පේළිය පළමුවැන්නෙන්ද, පළමුවැන්න තෙවනුවෙන්ද ප්‍රතිස්ථාපනය කිරීමෙනි. සලකා බලන ලද දේපල අනුව, එවැනි න්‍යාසවල නිර්ණායක ලකුණෙන් වෙනස් විය යුතුය. සුප්‍රසිද්ධ සූත්‍රයක් භාවිතයෙන් නිර්ණායක ගණනය කිරීමෙන් මෙය පරීක්ෂා කරමු.



ඇත්තටම, .

වර්ග න්‍යාසයක අවම වශයෙන් පේළි දෙකක් (තීරු දෙකක්) සමාන නම්, එහි නිර්ණායකය ශුන්‍යයට සමාන වේ.

උදාහරණයක්.

matrix determinant බව පෙන්වන්න ශුන්යයට සමාන වේ.

විසඳුමක්.

මෙම න්‍යාසයේ, දෙවන සහ තුන්වන තීරු සමාන වේ, එබැවින්, සලකා බලන ලද දේපල අනුව, එහි නිර්ණායකය ශුන්‍යයට සමාන විය යුතුය. අපි එය පරීක්ෂා කර බලමු.



ඇත්ත වශයෙන්ම, සමාන තීරු දෙකක් සහිත න්‍යාසයක නිර්ණායකය ශුන්‍ය වේ.

හතරැස් න්‍යාසයක ඕනෑම පේළියක (තීරුවක) සියලුම මූලද්‍රව්‍ය කිසියම් සංඛ්‍යාවක් k මගින් ගුණ කළහොත්, ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන න්‍යාසයේ නිර්ණායකය මුල් න්‍යාසයේ නිර්ණායකයට සමාන වේ, එය k මගින් ගුණ කරනු ලැබේ. උදාහරණ වශයෙන්,



උදාහරණයක්.

matrix determinant බව ඔප්පු කරන්න න්‍යාසයේ නිර්ණායකය මෙන් තුන් ගුණයකට සමාන වේ .

විසඳුමක්.

න්‍යාසය B හි පළමු තීරුවේ මූලද්‍රව්‍ය න්‍යාස A හි පළමු තීරුවේ අනුරූප මූලද්‍රව්‍ය වලින් 3 න් ගුණ කිරීමෙන් ලබා ගනී. එවිට, සලකා බලන ලද දේපල අනුව, සමානාත්මතාවය පැවතිය යුතුය. A සහ B න්‍යාසවල නිර්ණායක ගණනය කිරීමෙන් මෙය පරීක්ෂා කරමු.



එබැවින්, ඔප්පු කිරීමට නියමිතව තිබුණි.

සටහන.

matrix සහ determinant යන සංකල්ප පටලවා නොගන්න. න්‍යාසයක නිර්ණායකයේ සලකා බලන ලද ගුණය සහ න්‍යාසයක් සංඛ්‍යාවකින් ගුණ කිරීමේ ක්‍රියාකාරිත්වය එකම දෙයකින් බොහෝ දුරස් වේ.
, නමුත් .

වර්ග න්‍යාසයක ඕනෑම පේළියක (තීරුවක) සියලුම මූලද්‍රව්‍ය s පදවල එකතුව නම් (s - ස්වභාවික අංකය, එකකට වඩා වැඩි), එවිට එවැනි න්‍යාසයක නිර්ණායකය පේළියක (තීරුවක) මූලද්‍රව්‍ය ලෙස එක් පදයක් ඉතිරි වුවහොත්, මුල් එකෙන් ලබාගත් න්‍යාසවල නිර්ණායකවල එකතුවට සමාන වේ. උදාහරණ වශයෙන්,


උදාහරණයක්.

න්‍යාසයක නිර්ණායකය න්‍යාසයේ නිර්ණායකවල එකතුවට සමාන බව ඔප්පු කරන්න .

විසඳුමක්.

අපගේ උදාහරණයේ , එබැවින්, න්‍යාස නිර්ණායකයේ සලකා බලන ලද දේපල හේතුවෙන්, සමානාත්මතාවය . සූත්‍රය භාවිතා කරමින් 2 සිට 2 අනුපිළිවෙලෙහි න්‍යාසවල අනුරූප නිර්ණායක ගණනය කිරීමෙන් අපි එය පරීක්ෂා කරමු. .


ලැබෙන ප්‍රතිඵල අනුව ඒ බව පෙනෙනවා . මෙය සාක්ෂිය සම්පූර්ණ කරයි.

අපි න්‍යාසයේ කිසියම් පේළියක (තීරුවක) මූලද්‍රව්‍යවලට වෙනත් පේළියක (තීරුවක) අනුරූප මූලද්‍රව්‍ය එකතු කළහොත්, k අත්තනෝමතික අංකයකින් ගුණ කළහොත්, ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන න්‍යාසයේ නිර්ණායකය මුල් න්‍යාසයේ නිර්ණායකයට සමාන වේ.

උදාහරණයක්.

න්‍යාසයේ තුන්වන තීරුවේ මූලද්‍රව්‍ය නම් බවට වග බලා ගන්න මෙම න්‍යාසයේ දෙවන තීරුවේ අනුරූප මූලද්‍රව්‍ය එකතු කරන්න, (-2) ගුණ කර, අනුකෘතියේ පළමු තීරුවේ අනුරූප මූලද්‍රව්‍ය එකතු කරන්න, අත්තනෝමතික තාත්වික සංඛ්‍යාවකින් ගුණ කරන්න, එවිට ලැබෙන න්‍යාසයේ නිර්ණායකය සමාන වේ මුල් අනුකෘතියේ නිර්ණායකය.

විසඳුමක්.

අපි නිර්ණායකයේ සලකා බලන ලද දේපලෙන් ආරම්භ කරන්නේ නම්, ගැටලුවේ දක්වා ඇති සියලුම පරිවර්තනයන්ගෙන් පසුව ලබාගත් න්‍යාසයේ නිර්ණායකය A න්‍යාසයේ නිර්ණායකයට සමාන වේ.

පළමුව, අපි මුල් අනුකෘතිය A හි නිර්ණායකය ගණනය කරමු:



දැන් අපි A matrix හි අවශ්ය පරිවර්තනයන් සිදු කරමු.

න්‍යාසයේ තුන්වන තීරුවේ මූලද්‍රව්‍යවලට න්‍යාසයේ දෙවන තීරුවේ අනුරූප මූලද්‍රව්‍ය, කලින් ඒවා (-2) න් ගුණ කර එකතු කරමු. ඊට පසු, අනුකෘතිය මේ ආකාරයෙන් පෙනෙනු ඇත:


ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන න්‍යාසයේ තුන්වන තීරුවේ මූලද්‍රව්‍යවලට, අපි පළමු තීරුවේ අනුරූප මූලද්‍රව්‍ය එකතු කරන්නෙමු, එය ගුණ කිරීම:


ලැබෙන න්‍යාසයේ නිර්ණායකය ගණනය කර එය A න්‍යාසයේ නිර්ණායකයට සමාන බව තහවුරු කර ගන්න, එනම් -24:



වර්ග න්‍යාසයක නිර්ණායකය යනු ඕනෑම පේළියක (තීරුවක) මූලද්‍රව්‍යවල නිෂ්පාදනවල එකතුවයි. වීජීය එකතු කිරීම්.



න්‍යාස මූලද්‍රව්‍යයේ වීජීය අනුපූරකය මෙන්න, .

මෙම ගුණාංගය අනුපිළිවෙල න්‍යාස 3 ට වඩා වැඩි අනුපිළිවෙලෙහි නිර්ණායක ගණනය කිරීමට ඉඩ සලසයි. වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, මෙය ඕනෑම අනුපිළිවෙලක වර්ග න්‍යාසයක නිර්ණායකය ගණනය කිරීම සඳහා පුනරාවර්තන සූත්‍රයකි. එහි බහුලව භාවිතා වන බැවින් එය මතක තබා ගැනීමට අපි නිර්දේශ කරමු.

අපි උදාහරණ කිහිපයක් බලමු.

උදාහරණයක්.

4 සිට 4 දක්වා ඇණවුම් කරන්න, එය පුළුල් කරන්න

• 3 වන පේළියේ මූලද්රව්ය මගින්,
• 2 වන තීරුවේ මූලද්රව්ය මගින්.

විසඳුමක්.

3 වන පේළියේ මූලද්රව්ය මගින් නිර්ණායකය පුළුල් කිරීම සඳහා අපි සූත්රය භාවිතා කරමු



අපිට තියනවා



එබැවින් අනුපිළිවෙල 4 න් 4 න්‍යාසයක නිර්ණායකය සොයා ගැනීමේ ගැටළුව 3 න් 3 අනුපිළිවෙලෙහි න්‍යාසයේ නිර්ණායක තුනක් ගණනය කිරීම දක්වා අඩු කරන ලදී:



ලබාගත් අගයන් ආදේශ කිරීම, අපි ප්රතිඵලය වෙත පැමිණෙමු:


2 වන තීරුවේ මූලද්රව්ය මගින් නිර්ණායකය පුළුල් කිරීම සඳහා අපි සූත්රය භාවිතා කරමු


අපි ඒ ආකාරයෙන්ම ක්රියා කරමු.

තුන්වන අනුපිළිවෙලෙහි න්‍යාසවල නිර්ණායක ගණනය කිරීම අපි විස්තරාත්මකව විස්තර නොකරමු.



උදාහරණයක්.

න්‍යාස නිර්ණය ගණනය කරන්න 4 න් 4 පමණ.

විසඳුමක්.

න්‍යාසයක නිර්ණායකය ඕනෑම තීරුවක හෝ ඕනෑම පේළියක මූලද්‍රව්‍ය බවට වියෝජනය කළ හැකි නමුත් අඩංගු පේළියක් හෝ තීරුවක් තෝරා ගැනීම වඩාත් වාසිදායක වේ. විශාලතම සංඛ්යාවශුන්ය මූලද්රව්ය, මෙය අනවශ්ය ගණනය කිරීම් වළක්වා ගැනීමට උපකාරී වනු ඇත. පළමු පේළියේ මූලද්රව්ය මගින් නිර්ණායකය පුළුල් කරමු:



අප දන්නා සූත්‍රයට අනුව 3 වන අනුපිළිවෙලෙහි න්‍යාසවල ලබාගත් නිර්ණායක අපි ගණනය කරමු:



අපි ප්රතිඵල ආදේශ කර අපේක්ෂිත අගය ලබා ගනිමු


උදාහරණයක්.

න්‍යාස නිර්ණය ගණනය කරන්න 5 න් 5 පමණ.

විසඳුමක්.

න්‍යාසයේ සිව්වන පේළියේ සියලුම පේළි සහ තීරු අතර විශාලතම ශුන්‍ය මූලද්‍රව්‍ය සංඛ්‍යාව ඇත, එබැවින් මෙම අවස්ථාවේ දී අපට අඩු ගණනය කිරීම් අවශ්‍ය බැවින් න්‍යාස නිර්ණායකය හරියටම සිව්වන පේළියේ මූලද්‍රව්‍ය මගින් පුළුල් කිරීම සුදුසුය.



4 න් 4 අනුපිළිවෙලෙහි න්‍යාසවල ලබාගත් නිර්ණායක පෙර උදාහරණ වලින් සොයා ගන්නා ලදී, එබැවින් අපි සූදානම් කළ ප්‍රති results ල භාවිතා කරන්නෙමු:



උදාහරණයක්.

න්‍යාස නිර්ණය ගණනය කරන්න 7 න් 7 පමණ.

විසඳුමක්.

කිසියම් පේළියක හෝ තීරුවක මූලද්‍රව්‍ය මගින් නිර්ණායකය දිරාපත් කිරීමට ඔබ වහාම ඉක්මන් නොවිය යුතුය. ඔබ න්‍යාසය දෙස හොඳින් බැලුවහොත්, දෙවන පේළියේ අනුරූප මූලද්‍රව්‍ය දෙකකින් ගුණ කිරීමෙන් න්‍යාසයේ හයවන පේළියේ මූලද්‍රව්‍ය ලබා ගත හැකි බව ඔබට පෙනෙනු ඇත. එනම්, අපි හයවන පේළියේ මූලද්‍රව්‍යවලට (-2) ගුණ කළ දෙවන පේළියේ අනුරූප මූලද්‍රව්‍ය එකතු කළහොත්, හත්වන ගුණය හේතුවෙන් නිර්ණායකය වෙනස් නොවන අතර, ලැබෙන න්‍යාසයේ හයවන පේළිය සමන්විත වේ. බිංදු. එවැනි න්‍යාසයක නිර්ණායකය දෙවන ගුණයෙන් ශුන්‍යයට සමාන වේ.

පිළිතුර:

සලකා බලන ලද දේපල මඟින් ඕනෑම අනුපිළිවෙලක න්‍යාසයේ නිර්ණායක ගණනය කිරීමට කෙනෙකුට ඉඩ ලබා දෙන බව සැලකිල්ලට ගත යුතුය, කෙසේ වෙතත්, කෙනෙකුට ගණනය කිරීමේ මෙහෙයුම් රාශියක් සිදු කිරීමට සිදුවේ. බොහෝ අවස්ථාවන්හීදී, අපි පහත සලකා බලනු ලබන Gauss ක්‍රමය මගින් තුන්වන අනුපිළිවෙලට වඩා ඉහළ අනුපිළිවෙලෙහි න්‍යාස නිර්ණය කිරීම වඩාත් වාසිදායක වේ.

වර්ග න්‍යාසයක ඕනෑම පේළියක (තීරුවක) මූලද්‍රව්‍යවල සහ වෙනත් පේළියක (තීරුවක) අනුරූප මූලද්‍රව්‍යවල වීජීය අනුපූරකවල නිෂ්පාදන එකතුව ශුන්‍යයට සමාන වේ.


උදාහරණයක්.

අනුකෘතියේ තුන්වන තීරුවේ මූලද්‍රව්‍යවල නිෂ්පාදනවල එකතුව බව පෙන්වන්න පළමු තීරුවේ අනුරූප මූලද්රව්යවල වීජීය අනුපූරක මත ශුන්යයට සමාන වේ.

විසඳුමක්.




එකම අනුපිළිවෙලෙහි වර්ග න්‍යාසවල ගුණිතයේ නිර්ණායකය ඒවායේ නිර්ණායකවල ගුණිතයට සමාන වේ, එනම්, , m යනු එකකට වඩා වැඩි ස්වභාවික සංඛ්‍යාවක් වන විට, A k , k=1,2,...,m යනු එකම අනුපිළිවෙලෙහි වර්ග න්‍යාස වේ.

උදාහරණයක්.

න්‍යාස දෙකක නිෂ්පාදනයේ නිර්ණායකය බවට වග බලා ගන්න සහ ඒවායේ නිර්ණායකවල නිෂ්පාදිතයට සමාන වේ.

විසඳුමක්.

අපි මුලින්ම A සහ ​​B න්‍යාසවල නිර්ණායකවල ගුණිතය සොයා ගනිමු:


දැන් අපි matrix ගුණ කිරීම සිදු කර ලැබෙන න්‍යාසයේ නිර්ණායකය ගණනය කරමු:



මේ ක්රමයෙන්, , පෙන්වීමට නියමිතව තිබුණි.

Gauss ක්රමය මගින් matrix determinant ගණනය කිරීම.

මෙම ක්රමයේ සාරය අපි විස්තර කරමු. මූලික පරිවර්තන භාවිතා කරමින්, න්‍යාසය A එවැනි ආකාරයකට අඩු කරනු ලබන අතර පළමු තීරුවේ හැර අනෙකුත් සියලුම මූලද්‍රව්‍ය ශුන්‍ය බවට පත්වේ (A න්‍යාසයේ නිර්ණායකය ශුන්‍ය නොවන නම් මෙය සැමවිටම කළ හැකිය). අපි මෙම ක්රියා පටිපාටිය ටිකක් පසුව විස්තර කරන්නෙමු, නමුත් මෙය සිදු කරන්නේ මන්දැයි දැන් අපි පැහැදිලි කරන්නෙමු. ශුන්‍ය මූලද්‍රව්‍ය පළමු තීරුවේ මූලද්‍රව්‍ය මත නිර්ණය කිරීමේ සරලම ප්‍රසාරණය ලබා ගැනීම සඳහා ලබා ගනී. A matrix හි එවැනි පරිවර්තනයකින් පසුව, අටවන දේපල සැලකිල්ලට ගනිමින් සහ , අපි ලබා ගනිමු

කොහෙද - සුළු (n-1)-වන අනුපිළිවෙල, එහි පළමු පේළියේ සහ පළමු තීරුවේ මූලද්‍රව්‍ය මකා දැමීමෙන් A matrix වෙතින් ලබා ගන්නා ලදී.

බාලවය අනුරූප වන matrix සමඟ, පළමු තීරුවේ ශුන්ය මූලද්රව්ය ලබා ගැනීම සඳහා එකම ක්රියා පටිපාටිය සිදු කරනු ලැබේ. නිර්ණායකයේ අවසාන ගණනය කිරීම දක්වා එසේ ය.

දැන් එය ප්රශ්නයට පිළිතුරු දීමට ඉතිරිව ඇත: "පළමු තීරුවේ ශුන්ය මූලද්රව්ය ලබා ගන්නේ කෙසේද"?

ක්රියාවන්ගේ ඇල්ගොරිතම විස්තර කරමු.

නම්, න්‍යාසයේ පළමු පේළියේ මූලද්‍රව්‍ය kth පේළියේ අනුරූප මූලද්‍රව්‍යවලට එකතු කරනු ලැබේ, එහි . (ව්‍යතිරේකයකින් තොරව A අනුකෘතියේ පළමු තීරුවේ සියලුම මූලද්‍රව්‍ය ශුන්‍ය නම්, එහි නිර්ණායකය දෙවන ගුණයෙන් ශුන්‍ය වන අතර ගවුසියානු ක්‍රමයක් අවශ්‍ය නොවේ). එවැනි පරිවර්තනයකින් පසුව, "නව" මූලද්රව්යය ශුන්යයට වඩා වෙනස් වනු ඇත. හත්වන ගුණය හේතුවෙන් "නව" න්‍යාසයේ නිර්ණායකය මුල් න්‍යාසයේ නිර්ණායකයට සමාන වේ.

දැන් අපට ඇති matrix එකක් තිබේ. දෙවන පේළියේ මූලද්රව්යවලට විට, අපි පළමු පේළියේ අනුරූප මූලද්රව්ය එකතු කරන්නෙමු, ගුණ කිරීම , තුන්වන පේළියේ මූලද්රව්ය සඳහා, පළමු පේළියේ අනුරූප මූලද්රව්ය, ගුණ කිරීම. සහ යනාදි. අවසාන වශයෙන්, n වන පේළියේ මූලද්‍රව්‍යවලට, අපි පළමු පේළියේ අනුරූප මූලද්‍රව්‍ය එකතු කරන්නෙමු, . එබැවින් පරිවර්තනය කරන ලද න්‍යාසය A ලබා ගනු ඇත, හැරුණු විට පළමු තීරුවේ සියලුම මූලද්‍රව්‍ය ශුන්‍ය වේ. හත්වන ගුණය හේතුවෙන් ලැබෙන න්‍යාසයේ නිර්ණායකය මුල් න්‍යාසයේ නිර්ණායකයට සමාන වේ.

උදාහරණයක් විසඳීමේදී ක්‍රමය විශ්ලේෂණය කරමු, එවිට එය වඩාත් පැහැදිලි වනු ඇත.

උදාහරණයක්.

අනුපිළිවෙල 5 න් 5 අනුකෘතියක නිර්ණායකය ගණනය කරන්න .

විසඳුමක්.

අපි Gauss ක්රමය භාවිතා කරමු. න්‍යාසය A හැර එහි පළමු තීරුවේ සියලුම මූලද්‍රව්‍ය ශුන්‍ය වන පරිදි පරිවර්තනය කරමු.

මූලද්‍රව්‍යය මුලින් වන බැවින්, අපි අනුකෘතියේ පළමු පේළියේ මූලද්‍රව්‍යවලට අනුරූප මූලද්‍රව්‍ය එකතු කරමු, උදාහරණයක් ලෙස, දෙවන පේළිය, මන්ද:

"~" ලකුණෙන් අදහස් කරන්නේ සමානාත්මතාවයයි.

දැන් අපි දෙවන පේළියේ මූලද්රව්යවලට පළමු පේළියේ අනුරූප මූලද්රව්ය එකතු කරන්නෙමු, ගුණ කිරීම , තුන්වන පේළියේ මූලද්රව්ය වෙත - පළමු පේළියේ අනුරූප මූලද්රව්ය, ගුණ කිරීම , සහ හයවන පේළිය දක්වා එලෙසම ඉදිරියට යන්න:

අපිට ලැබෙනවා

matrix සමඟ පළමු තීරුවේ ශුන්‍ය මූලද්‍රව්‍ය ලබා ගැනීම සඳහා අපි එකම ක්‍රියා පටිපාටිය සිදු කරමු:

ප්රතිඵලයක් වශයෙන්,

දැන් අපි matrix සමඟ පරිවර්තන සිදු කරමු :

අදහස් දක්වන්න.

Gauss ක්‍රමය මගින් න්‍යාස පරිවර්තනයේ යම් අදියරකදී, න්‍යාසයේ අවසාන පේළි කිහිපයේ සියලුම මූලද්‍රව්‍ය ශුන්‍ය බවට පත්වන විට තත්වයක් ඇතිවිය හැක. මෙය ශුන්‍යයට නිර්ණායකයේ සමානාත්මතාවය ගැන කතා කරනු ඇත.

සාරාංශ කරන්න.

මූලද්‍රව්‍ය සංඛ්‍යා වන වර්ග න්‍යාසයක නිර්ණායකය සංඛ්‍යාවකි. නිර්ණායකය ගණනය කිරීමට අපි ක්රම තුනක් සලකා බලමු:

1. අනුකෘති මූලද්රව්යවල සංයෝජනවල නිෂ්පාදන එකතුව හරහා;
2. න්‍යාසයේ පේළියේ හෝ තීරුවේ මූලද්‍රව්‍ය මගින් නිර්ණායකයේ ප්‍රසාරණය හරහා;
3. න්‍යාසය ඉහළ ත්‍රිකෝණාකාර එකට අඩු කිරීමේ ක්‍රමය (ගවුස් ක්‍රමය මගින්).

අනුපිළිවෙල 2 න් 2 සහ 3 න් 3 න්‍යාසවල නිර්ණායක ගණනය කිරීම සඳහා සූත්‍ර ලබා ගන්නා ලදී.

අපි matrix determinant හි ගුණාංග විශ්ලේෂණය කර ඇත. ඒවායින් සමහරක් නිර්ණායකය ශුන්‍ය බව ඉක්මනින් තේරුම් ගැනීමට ඔබට ඉඩ සලසයි.

3 න් 3 ට වඩා වැඩි අනුපිළිවෙලෙහි න්‍යාසවල නිර්ණායක ගණනය කිරීමේදී, Gauss ක්‍රමය භාවිතා කිරීම සුදුසුය: න්‍යාසයේ මූලික පරිවර්තනයන් සිදු කර එය ඉහළ ත්‍රිකෝණාකාර එකට ගෙන එන්න. එවැනි න්‍යාසයක නිර්ණායකය ප්‍රධාන විකර්ණයේ ඇති සියලුම මූලද්‍රව්‍යවල ගුණිතයට සමාන වේ.

“ඔබට පිහිනීමට ඉගෙන ගැනීමට අවශ්‍ය නම්, නිර්භීතව ජලයට ඇතුළු වන්න, ඔබට ඉගෙන ගැනීමට අවශ්‍ය නම් ගැටළු විසඳීමට, එවිට ඒවා විසඳන්න.»
ඩී. පෝය (1887-1985)

(ගණිතඥයා. ගණිතය ප්‍රචලිත කිරීමට විශාල දායකත්වයක් ලබා දුන්නේය. ගැටළු විසඳන ආකාරය සහ ගැටළු විසඳන ආකාරය උගන්වන ආකාරය පිළිබඳ පොත් කිහිපයක් ලිවීය.)

එක් එක් වර්ග න්‍යාසය සමඟ සම්බන්ධ වේ අංකය. මෙම අංකය හැඳින්වේ නිර්ණායකය matrices. නිර්ණායකය විශේෂ නීතිවලට අනුව ගණනය කරනු ලබන අතර |A|, මගින් දැක්වේ det ඒ, ΔA.

නිර්ණායකයක පේළි ගණන (තීරු) එහි ලෙස හැඳින්වේ පිළිවෙළින්.

පළමු ඇණවුම් නිර්ණායකය matrix මූලද්රව්යයට සමාන වේ a 11: |A|=a 11

පළමු අනුපිළිවෙල නිර්ණය කිරීම මාපාංකය සමඟ පටලවා නොගන්න.

දෙවන අනුපිළිවෙල නිර්ණයසංකේතයෙන් දැක්වේ

හා සමාන වේ |A|=a 11 a 22 -a 12 a 21

3 වන අනුපිළිවෙල නිර්ණායකයසංකේතයෙන් දැක්වේ

මෙම සූත්‍රය කටපාඩම් කිරීම සඳහා, ක්‍රමානුකූල නීති භාවිතා කරනු ලැබේ ( ත්රිකෝණ රීතිය හෝ සර්රස්)

සර්රස් පාලනය.

ත්රිකෝණ රීතිය.

මෙම නීති භාවිතා කරන ආකාරය පිළිබඳ උදාහරණයක් බලමු.

උදාහරණයක්:

සර්රස් පාලනය

අපි පළමු තීරු දෙක නිර්ණායකයට එකතු කරමු.

ත්රිකෝණ රීතිය

මෙම නිර්ණායක ගණනය කිරීමේ ක්‍රමය 4 වන අනුපිළිවෙලෙහි සහ ඊට ඉහළ නිර්ණායක සඳහා සුදුසු නොවේ. ඕනෑම අනුපිළිවෙලක නිර්ණායක සොයා ගැනීමට ඉඩ සලසන රීතියක් නියම කිරීමට පෙර, අපි න්‍යාස මූලද්‍රව්‍යයක වීජීය අනුපූරකය පිළිබඳ සංකල්පය සලකා බලමු.

වීජ ගණිත එකතු කිරීම (සහ ij) මූලද්රව්යය සහ ij matrix determinant නමුත්(-1) i + j (පේළි අංකයේ බලය සහ මෙම මූලද්‍රව්‍යයේ තීරු අංකය) යන ගුණිතයට සමාන සංඛ්‍යාවක් ලෙස හඳුන්වනු ලබන අතර, එය පේළිය මකා දැමීමේ ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ලබා දී ඇති එකකින් සහ මෙම මූලද්රව්යය පවතින තීරුව.

උදාහරණයක්:

වීජීය අනුපූරකය ගණනය කරන්න ඒ 21මූලද්රව්යය a 21 .

විසඳුමක්:

වීජීය අනුපූරකයේ නිර්වචනය අනුව

අත්තනෝමතික නියෝගයක නිර්ණායකය ගණනය කිරීම. නිර්ණායකය එහි ඕනෑම පේළියක (හෝ තීරු) මූලද්‍රව්‍යවල නිෂ්පාදන එකතුවට සහ ඊට අනුරූප වීජීය එකතු කිරීම්වලට සමාන වේ.

, පළමු පේළියේ 4 වන අනුපිළිවෙල නිර්ණය කිරීමේ ප්රසාරණය පහත පරිදි වේ:

දෙවන අනුපිළිවෙල ප්‍රධාන විකර්ණය සාදන සංඛ්‍යාවල ගුණිතය සහ පැත්තේ විකර්ණයේ ඇති සංඛ්‍යාවල ගුණිතය අතර වෙනසට සමාන අංකයකි, ඔබට නිර්ණායකයේ පහත තනතුරු සොයාගත හැකිය: ; ; ; detA(නිර්ණය කරන්නා).

.

උදාහරණයක්:
.

තුන්වන අනුපිළිවෙලෙහි න්‍යාසයක නිර්ණායකයපහත දැක්වෙන රීතිය අනුව ගණනය කරනු ලබන අංකයක් හෝ ගණිතමය ප්‍රකාශනයක් හැඳින්වේ

තුන්වන අනුපිළිවෙලෙහි නිර්ණායකය ගණනය කිරීමේ සරලම ක්රමය වන්නේ පහතින් පළමු පේළි දෙකෙහි නිර්ණායකය එකතු කිරීමයි.

සාදන ලද සංඛ්‍යා වගුවේ, ප්‍රධාන විකර්ණයේ සහ ප්‍රධාන එකට සමාන්තරව විකර්ණවල ඇති මූලද්‍රව්‍ය ගුණ කරනු ලැබේ, නිෂ්පාදනයේ ප්‍රතිඵලයේ ලකුණ වෙනස් නොවේ. ඊළඟ පියවරගණනය කිරීම් යනු ද්විතියික විකර්ණය මත සහ ඊට සමාන්තරව පවතින මූලද්‍රව්‍යවල සමාන ගුණ කිරීමකි. නිෂ්පාදන ප්රතිඵලවල සංඥා ආපසු හැරේ. ඉන්පසු ලැබෙන පද හය එකතු කරන්න.

උදාහරණයක්:

යම් පේළියක (තීරු) මූලද්රව්ය මගින් නිර්ණය කිරීම වියෝජනය කිරීම.

සුළු M ijමූලද්රව්යය සහ ijහතරැස් අනුකෘතිය නමුත්න්‍යාසයේ මූලද්‍රව්‍ය වලින් සමන්විත නිර්ණායකය ලෙස හැඳින්වේ නමුත්, මකා දැමීමෙන් පසු ඉතිරි වේ මම-ඔහ් රේඛාව සහ j-වන තීරුව.

උදාහරණයක් ලෙස, කුඩා මූලද්රව්යයකට a 21තෙවන අනුපිළිවෙල matrices
නිර්ණායකයක් වනු ඇත
.

මූලද්රව්යය බව අපි කියමු සහ ijනම් ඉරට්ටේ ස්ථානයක් ගනී i+j(මෙම මූලද්‍රව්‍යය පිහිටා ඇති මංසන්ධියේ ඇති පේළියේ සහ තීරු සංඛ්‍යාවල එකතුව) - ඉරට්ටේ අංකයක්, ඔත්තේ ස්ථානයක්, නම් i+j- ඔත්තේ සංඛ්යා.

වීජ ගණිත එකතු කිරීම සහ ijමූලද්රව්යය සහ ijහතරැස් අනුකෘතිය නමුත්ප්රකාශනය ලෙස හැඳින්වේ (හෝ න්‍යාස මූලද්‍රව්‍යය ඉරට්ටේ ස්ථානයක් ගනී නම් “+” ලකුණෙන් ද, මූලද්‍රව්‍යය ඔත්තේ ස්ථානයක් ගන්නේ නම් “-” ලකුණෙන් ද ගනු ලබන අනුරූප බාල අගයේ අගය).

උදාහරණයක්:

a 23= 4;

- මූලද්‍රව්‍යයක වීජීය අනුපූරකය a 22= 1.

ලැප්ලේස් ප්‍රමේයය. නිර්ණායකය යම් පේළියක (තීරුවක) මූලද්‍රව්‍යවල නිෂ්පාදනවල එකතුවට සහ ඒවාට අනුරූප වීජීය එකතු කිරීම්වලට සමාන වේ.

තුන්වන අනුපිළිවෙලෙහි නිර්ණායකයක උදාහරණයෙන් අපි නිදර්ශනය කරමු. පහත දැක්වෙන පරිදි පළමු පේළිය දිග හැරීමෙන් ඔබට තුන්වන අනුපිළිවෙලෙහි නිර්ණායකය ගණනය කළ හැකිය

ඒ හා සමානව, ඔබට ඕනෑම පේළියක් හෝ තීරුවක් හරහා ප්‍රසාරණය කිරීමෙන් තුන්වන අනුපිළිවෙල නිර්ණය ගණනය කළ හැකිය. වැඩි ශුන්‍ය අඩංගු පේළිය (හෝ තීරුව) දිගේ නිර්ණායකය පුළුල් කිරීම පහසුය.

උදාහරණයක්:

මේ අනුව, 3 වන අනුපිළිවෙල නිර්ණායකයේ ගණනය කිරීම දෙවන අනුපිළිවෙල නිර්ණායක 3 ගණනය කිරීම දක්වා අඩු වේ. සාමාන්‍ය අවස්ථාවෙහිදී, කෙනෙකුට වර්ග න්‍යාසයක නිර්ණායකය ගණනය කළ හැක n-වන අනුපිළිවෙල, එය ගණනය කිරීම දක්වා අඩු කිරීම nනිර්ණායක ( n-1) වන නියෝගය

අදහස් දක්වන්න.නොපවතී සරල ක්රමනිර්ණායක ගණනය කිරීමට ඉහළ නියෝගයක්, 2 වන සහ 3 වන අනුපිළිවෙලෙහි නිර්ණායක ගණනය කිරීමේ ක්රම වලට සමාන වේ. එබැවින්, තුන්වන අනුපිළිවෙලට ඉහලින් නිර්ණායක ගණනය කිරීම සඳහා වියෝජන ක්රමය පමණක් භාවිතා කළ හැකිය.

උදාහරණයක්. සිව්වන අනුපිළිවෙල නිර්ණායකය ගණනය කරන්න.

තුන්වන පේළියේ මූලද්රව්ය මගින් නිර්ණායකය පුළුල් කරන්න

නිර්ණායකවල ගුණ:

1. එහි පේළි තීරු සහ අනෙක් අතට ප්‍රතිස්ථාපනය කළහොත් නිර්ණායකය වෙනස් නොවේ.

2. යාබද පේළි දෙකක් (තීරු) ප්‍රතිවර්තනය කරන විට, නිර්ණායකය ප්‍රතිවිරුද්ධ ලකුණට වෙනස් කරයි.

3. සමාන පේළි දෙකක් (තීරු) සහිත නිර්ණායකය 0 වේ.

4. නිර්ණායකයේ කිසියම් පේළියක (තීරුවක) සියලුම මූලද්‍රව්‍යවල පොදු සාධකය නිර්ණායකයේ ලකුණෙන් පිටතට ගත හැක.

5. වෙනත් කිසියම් තීරුවක (පේළියක) අනුරූප මූලද්‍රව්‍ය යම් සංඛ්‍යාවකින් ගුණ කළහොත් එහි එක් තීරුවක (පේළි) මූලද්‍රව්‍යවලට එකතු කළහොත් නිර්ණායකය වෙනස් නොවේ.