2 වන අනුපිළිවෙලෙහි රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණවල විසඳුම. දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි සහ ඉහළ අනුපිළිවෙලෙහි අවකල සමීකරණ. නියත සංගුණක සහිත දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි රේඛීය DE. විසඳුම් උදාහරණ

මෙම ලිපිය රේඛීය සමජාතීය විසඳීමේ ප්රශ්නය හෙළි කරයි අවකල සමීකරණසමඟ දෙවන නියෝගය නියත සංගුණක. ලබා දී ඇති ගැටළු පිළිබඳ උදාහරණ සමඟ න්‍යාය සලකා බලනු ඇත. තේරුම්ගත නොහැකි නියමයන් විකේතනය කිරීම සඳහා, අවකල සමීකරණ න්‍යායේ මූලික අර්ථ දැක්වීම් සහ සංකල්ප යන මාතෘකාවට යොමු කිරීම අවශ්‍ය වේ.

y "" + p y " + q y \u003d f (x) ආකෘතියේ නියත සංගුණක සහිත දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි රේඛීය අවකල සමීකරණයක් (LDE) සලකා බලන්න, p සහ q යනු අත්තනෝමතික සංඛ්‍යා වන අතර පවතින ශ්‍රිතය f (x) වේ. අනුකලනය x මත අඛණ්ඩව.

අපි LIDE සඳහා සාමාන්‍ය විසඳුම් ප්‍රමේයය සැකසීමට යමු.

Yandex.RTB R-A-339285-1

LDNU සඳහා සාමාන්‍ය විසඳුම් ප්‍රමේයය

ප්රමේයය 1

y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + ආකෘතියේ සමජාතීය අවකල සමීකරණයක x අන්තරය මත පිහිටා ඇති සාමාන්‍ය විසඳුම. . . + f 0 (x) y = f (x) x පරතරය මත අඛණ්ඩ ඒකාබද්ධතා සංගුණක සමඟ f 0 (x) , f 1 (x) , . . . , f n - 1 (x) සහ අඛණ්ඩ ක්රියාකාරිත්වය f (x) සාමාන්‍ය ද්‍රාවණයේ එකතුවට සමාන වේ y 0 , එය LODE ට අනුරූප වන අතර මුල් ඒවා නොවන y ~ සමජාතීය සමීකරණය y = y 0 + y ~ වේ.

මෙයින් පෙන්නුම් කරන්නේ එවැනි දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි විසඳුමෙහි y = y 0 + y ~ ආකෘතිය ඇති බවයි. y 0 සොයා ගැනීම සඳහා ඇල්ගොරිතම නියත සංගුණක සහිත දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණ පිළිබඳ ලිපියෙහි සලකා බලනු ලැබේ. ඊට පසු, යමෙකු y ~ හි අර්ථ දැක්වීමට යා යුතුය.

LIDE සඳහා විශේෂිත විසඳුමක් තෝරාගැනීම සමීකරණයේ දකුණු පැත්තේ පිහිටා ඇති f (x) ශ්‍රිතයේ වර්ගය මත රඳා පවතී. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, නියත සංගුණක සහිත දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණවල විසඳුම් වෙන වෙනම සලකා බැලීම අවශ්ය වේ.

f (x) යනු n වැනි අංශක f (x) = P n (x) හි බහුපදයක් ලෙස සලකන විට, LIDE හි නිශ්චිත විසඳුමක් y ~ = Q n (x) ආකෘතියේ සූත්‍රයකින් සොයා ගන්නා බව පහත දැක්වේ. ) x γ , Q n (x) යනු n උපාධියේ බහුපදයක් වන අතර, r යනු ලාක්ෂණික සමීකරණයේ ශුන්‍ය මූල ගණනයි. y ~ හි අගය විශේෂිත විසඳුමකි y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) , පසුව පවතින සංගුණක, බහුපදයෙන් අර්ථ දක්වා ඇත.
Q n (x), y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) සමානාත්මතාවයෙන් අවිනිශ්චිත සංගුණක ක්‍රමය භාවිතා කරන බව අපි සොයා ගනිමු.

උදාහරණ 1

Cauchy ප්‍රමේයය y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 භාවිතා කරමින් ගණනය කරන්න.

විසඳුමක්

වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, නියත සංගුණක y "" - 2 y " = x 2 + 1 සමඟ දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි රේඛීය අසමජාතීය අවකල සමීකරණයක විශේෂිත විසඳුමක් වෙත ගමන් කිරීම අවශ්ය වේ, එය ලබා දී ඇති කොන්දේසි සපුරාලනු ඇත y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .

රේඛීය පොදු විසඳුම සමජාතීය සමීකරණයයනු y 0 සමීකරණයට අනුරූප වන සාමාන්‍ය ද්‍රාවණයේ එකතුව හෝ y ~ සමජාතීය සමීකරණයේ විශේෂිත විසඳුමකි, එනම් y = y 0 + y ~ .

පළමුව, අපි LNDE සඳහා පොදු විසඳුමක් සොයා ගනිමු, පසුව විශේෂිත එකක්.

අපි y 0 සෙවීමට යමු. ලාක්ෂණික සමීකරණය ලිවීම මූලයන් සොයා ගැනීමට උපකාරී වේ. අපිට ඒක ලැබෙනවා

k 2 - 2 k \u003d 0 k (k - 2) \u003d 0 k 1 \u003d 0, k 2 \u003d 2

මූලයන් වෙනස් හා සැබෑ බව අපට පෙනී ගියේය. එබැවින් අපි ලියන්නෙමු

y 0 \u003d C 1 e 0 x + C 2 e 2 x \u003d C 1 + C 2 e 2 x.

අපි y ~ සොයා ගනිමු. ඒක පැහැදිලියි දකුණු කොටස ලබා දී ඇති සමීකරණයයනු දෙවන උපාධිය බහුපදයකි, එවිට එක් මූලයක් ශුන්‍යයට සමාන වේ. මෙතැන් සිට අපට y ~ සඳහා විශේෂිත විසඳුමක් ලැබෙනු ඇත

y ~ = Q 2 (x) x γ \u003d (A x 2 + B x + C) x \u003d A x 3 + B x 2 + C x, A, B, C හි අගයන් නිර්වචනය නොකළ සංගුණක ගන්න.

අපි ඒවා y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 පෝරමයේ සමානාත්මතාවයකින් සොයා ගනිමු.

එවිට අපට එය ලැබේ:

y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C "- 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1

එකම ඝාතකයන් සමඟ සංගුණක සමාන කිරීම x , අපි රේඛීය ප්රකාශන පද්ධතියක් ලබා ගනිමු - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1 . ඕනෑම ආකාරයකින් විසඳන විට, අපි සංගුණක සොයාගෙන ලියන්නෙමු: A \u003d - 1 6, B \u003d - 1 4, C \u003d - 3 4 සහ y ~ \u003d A x 3 + B x 2 + C x \u003d - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x .

මෙම ප්‍රවේශය නියත සංගුණක සහිත මුල් රේඛීය සමජාතීය දෙවන අනුපිළිවෙල අවකල සමීකරණයේ සාමාන්‍ය විසඳුම ලෙස හැඳින්වේ.

y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 කොන්දේසි සපුරාලන විශේෂිත විසඳුමක් සොයා ගැනීමට, අගයන් තීරණය කිරීම අවශ්ය වේ C1හා C2, y \u003d C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x පෝරමයේ සමානාත්මතාවයක් මත පදනම්ව.

අපට එය ලැබෙන්නේ:

y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y "(0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x "x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4

අපි C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4 ආකෘතියේ සමීකරණ පද්ධතිය සමඟ වැඩ කරන්නෙමු, එහිදී C 1 = 3 2, C 2 = 1 2 .

කෞචි ප්‍රමේයය යෙදීමෙන් අපට එය තිබේ

y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x

පිළිතුර: 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .

f (x) ශ්‍රිතය n උපාධියක් සහ f (x) = P n (x) e a x ඝාතකයක් සහිත බහුපදයක ගුණිතයක් ලෙස නිරූපණය වන විට, මෙතැන් සිට අපි දෙවන අනුපිළිවෙල LIDE හි නිශ්චිත විසඳුමක් ලබා ගනිමු. y ~ = e a x Q n ( x) · x γ ආකෘතියේ සමීකරණයකි , Q n (x) යනු n වන උපාධියේ බහුපදයක් වන අතර r යනු α ට සමාන ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූල ගණන වේ.

Q n (x) ට අයත් සංගුණක y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) සමානාත්මතාවයෙන් සොයා ගනී.

උදාහරණ 2

y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x ආකෘතියේ අවකල සමීකරණයක පොදු විසඳුම සොයන්න.

විසඳුමක්

සමීකරණය සාමාන්ය දැක්ම y = y 0 + y ~ . දක්වා ඇති සමීකරණය LOD y "" - 2 y " = 0 ට අනුරූප වේ. පෙර උදාහරණය පෙන්නුම් කරන්නේ එහි මූලයන් k1 = 0සහ k 2 = 2 සහ y 0 = C 1 + C 2 e 2 x ලාක්ෂණික සමීකරණයට අනුව.

ඒක පැහැදිලියි දකුණු පැත්තසමීකරණයේ x 2 + 1 · e x වේ. මෙතැන් සිට, LNDE y ~ = e a x Q n (x) x γ හරහා සොයා ගැනේ, මෙහි Q n (x) , එය දෙවන උපාධියේ බහුපදයක් වන අතර, α = 1 සහ r = 0 , ලාක්ෂණික සමීකරණය නොමැති නිසා 1 ට සමාන මූලයක් ඇත. එබැවින් අපට එය ලැබේ

y ~ = e a x Q n (x) x γ = e x A x 2 + B x + C x 0 = e x A x 2 + B x + C .

A, B, C යනු නොදන්නා සංගුණක වන අතර, y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x සමානාත්මතාවයෙන් සොයාගත හැකිය.

තේරුණා

y ~ "= e x A x 2 + B x + C" = e x A x 2 + B x + C + e x 2 A x + B == e x A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x 2 A x + 2 A + B = = e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C

y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 e x ⇔ e x - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) e x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = 1 x 2 + 0 x + 1

අපි එකම සංගුණක සඳහා දර්ශක සමාන කර රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියක් ලබා ගනිමු. මෙතැන් සිට අපි A, B, C සොයා ගනිමු:

A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ A = - 1 B = 0 C = - 3

පිළිතුර: y ~ = e x (A x 2 + B x + C) = e x - x 2 + 0 x - 3 = - e x x 2 + 3 යනු LIDE හි විශේෂිත විසඳුමක් වන අතර y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3

ශ්‍රිතය f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x ලෙස ලියා ඇති විට, සහ A 1හා IN 1සංඛ්‍යා වේ, පසුව y ~ = A cos β x + B sin β x x γ ආකෘතියේ සමීකරණයකි, මෙහි A සහ ​​B අවිනිශ්චිත සංගුණක ලෙස සලකනු ලැබේ, සහ r ලාක්ෂණික සමීකරණයට අදාළ සංකීර්ණ සංයුජ මූල සංඛ්‍යාව, සමාන වේ ± i β. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, සංගුණක සඳහා සෙවීම සිදු කරනු ලබන්නේ සමානාත්මතාවයෙන් y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

උදාහරණය 3

y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ආකෘතියේ අවකල සමීකරණයක පොදු විසඳුම සොයන්න.

විසඳුමක්

ලාක්ෂණික සමීකරණය ලිවීමට පෙර, අපි y 0 සොයා ගනිමු. ඉන්පසු

k 2 + 4 \u003d 0 k 2 \u003d - 4 k 1 \u003d 2 i, k 2 \u003d - 2 i

අපට සංකීර්ණ සංයුජ මූල යුගලයක් ඇත. අපි පරිවර්තනය කර ලබා ගනිමු:

y 0 \u003d e 0 (C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x)) \u003d C 1 cos 2 x + C 2 sin (2 x)

ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලයන් සංයුජ යුගලයක් ලෙස සලකනු ලැබේ ± 2 i , පසුව f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x) . මෙයින් පෙන්නුම් කරන්නේ y ~ සඳහා සෙවීම y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x වලින් බව. නොදන්නා සංගුණක A සහ ​​B y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ආකෘතියේ සමානාත්මතාවයකින් සොයනු ඇත.

අපි පරිවර්තනය කරමු:

y ~ " = ((A cos (2 x) + B sin (2 x) x) " = = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x) y ~ "" = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x)

එතකොට ඒක පේනවා

y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ - 4 A sin (2 x) + 4B cos(2x) = cos(2x) + 3 sin(2x)

සයින් සහ කෝසයිනවල සංගුණක සමාන කිරීම අවශ්ය වේ. අපි පෝරමයේ පද්ධතියක් ලබා ගනිමු:

4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = - 3 4 B = 1 4

එය පහත දැක්වෙන්නේ y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x .

පිළිතුර:නියත සංගුණක සහිත දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි මුල් LIDE හි පොදු විසඳුම ලෙස සැලකේ

y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x

f (x) = e a x P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x) , එවිට y ~ = e a x (L m (x) sin (β x) + N m (x ) cos (β x) x γ අපට ඇත්තේ r යනු ලාක්ෂණික සමීකරණයට අදාළ මූල සංකීර්ණ සංයුජ යුගල ගණන වන අතර, α ± i β ට සමාන වන අතර P n (x) , Q k (x) , L m ( x) සහ N m (x) n, k, m යන උපාධියේ බහුපද වේ m = m a x (n, k). සංගුණක සොයා ගැනීම L m (x)හා N m (x)සමානාත්මතාවය මත නිපදවනු ලැබේ y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

උදාහරණය 4

සාමාන්‍ය විසඳුම සොයන්න y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) .

විසඳුමක්

බව කොන්දේසියෙන් පැහැදිලි වේ

α = 3 , β = 5 , P n (x) = - 38 x - 45 , Q k (x) = - 8 x + 5 , n = 1 , k = 1

එවිට m = m a x (n , k) = 1 . පෝරමයේ ලාක්ෂණික සමීකරණය මුලින්ම ලිවීමෙන් අපි y 0 සොයා ගනිමු:

k 2 - 3 k + 2 = 0 D = 3 2 - 4 1 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1, k 2 = 3 + 1 2 = 2

මූලයන් සැබෑ සහ වෙනස් බව අපට පෙනී ගියේය. එබැවින් y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x . ඊළඟට, පෝරමයේ y ~ සමජාතීය සමීකරණයක් මත පදනම් වූ පොදු විසඳුමක් සොයා බැලීම අවශ්ය වේ.

y ~ = e α x (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))

α ± i β = 3 ± 5 · i සමඟ ලාක්ෂණික සමීකරණයට අදාළ සංයුජ මූල යුගලයක් නොමැති නිසා A, B, C සංගුණක, r = 0 බව දන්නා කරුණකි. මෙම සංගුණක ප්රතිඵල සමානාත්මතාවයෙන් සොයාගත හැකිය:

y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (( A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) "" - - 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))

ව්යුත්පන්න සහ සමාන පද සොයා ගැනීම ලබා දෙයි

E 3 x ((15 A + 23 C) x sin (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) sin (5 x) + + (23 A - 15 C) x cos (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) cos (5 x)) = = - e 3 x (38 x sin (5 x) + 45 sin (5 x) + + 8 x cos ( 5 x) - 5 cos (5 x))

සංගුණක සමීකරණය කිරීමෙන් පසුව, අපි පෝරමයේ පද්ධතියක් ලබා ගනිමු

15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 D = 1

සියල්ලෙන් එය පහත දැක්වේ

y ~= e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) == e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x +1)පව්(5x))

පිළිතුර:දැන් ලබා දී ඇති පොදු විසඳුම රේඛීය සමීකරණය:

y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))

LDNU විසඳීම සඳහා ඇල්ගොරිතම

අර්ථ දැක්වීම 1

විසඳුම සඳහා වෙනත් ඕනෑම ආකාරයක f (x) ශ්‍රිතයක් විසඳුම් ඇල්ගොරිතම සඳහා සපයයි:

• y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2 , එහිදී අනුරූප රේඛීය සමජාතීය සමීකරණයේ පොදු විසඳුම සොයා ගැනීම y 1හා y2 LODE හි රේඛීයව ස්වාධීන විශේෂිත විසඳුම් වේ, 1 සිටහා 2 සිටඅත්තනෝමතික නියතයන් ලෙස සලකනු ලැබේ;
• LIDE y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2 හි පොදු විසඳුමක් ලෙස පිළිගැනීම;
• C 1 "(x) + y 1 (x) + C 2 "(x) y 2 (x) = 0 C 1 "(x) + y 1" (x) ආකෘතියේ පද්ධතියක් හරහා ශ්‍රිතයක ව්‍යුත්පන්න අර්ථ දැක්වීම ) + C 2 "(x) y 2 "(x) = f (x) , සහ ශ්‍රිත සොයාගැනීම C 1 (x)සහ C 2 (x) ඒකාබද්ධ කිරීම හරහා.

උදාහරණ 5

y "" + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x සඳහා පොදු විසඳුම සොයන්න.

විසඳුමක්

අපි කලින් y 0 , y "" + 36 y = 0 ලියා ඇති ලාක්ෂණික සමීකරණය ලිවීමට ඉදිරියට යමු. අපි ලියා විසඳමු:

k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i , k 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = පාපය (6 x)

ලබා දී ඇති සමීකරණයේ සාමාන්‍ය විසඳුමේ වාර්තාව y = C 1 (x) cos (6 x) + C 2 (x) sin (6 x) ආකාරය ගන්නා බව අපට තිබේ. ව්යුත්පන්න ශ්රිතවල නිර්වචනය වෙත ගමන් කිරීම අවශ්ය වේ C 1 (x)හා C2(x)සමීකරණ සමඟ පද්ධතියට අනුව:

C 1 "(x) cos (6 x) + C 2" (x) sin (6 x) = 0 C 1 "(x) (cos (6 x))" + C 2 "(x) (sin (6) x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) cos (6 x) + C 2 " (x) sin (6 x) = 0 C 1 " (x) (- 6 sin (6 x) + C 2 " (x) (6 cos (6 x)) \u003d \u003d 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x

යන්න සම්බන්ධයෙන් තීරණයක් ගත යුතුය C 1 "(x)හා C2" (x)ඕනෑම ක්රමයක් භාවිතා කිරීම. එවිට අපි මෙසේ ලියමු.

C 1 "(x) \u003d - 4 sin 2 (6 x) + 2 sin (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x sin (6 x) C 2 "(x) \u003d 4 sin (6 x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)

සෑම සමීකරණයක්ම ඒකාබද්ධ කළ යුතුය. එවිට අපි ප්රතිඵල සමීකරණ ලියන්නෙමු:

C 1 (x) = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4

සාමාන්‍ය විසඳුමට පෝරමය ඇති බව පහත දැක්වේ:

y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4 sin (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6 x)

පිළිතුර: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6x)

ඔබ පෙළෙහි වරදක් දුටුවහොත්, කරුණාකර එය උද්දීපනය කර Ctrl+Enter ඔබන්න

භෞතික විද්‍යාවේ සමහර ගැටළු වලදී, ක්‍රියාවලිය විස්තර කරන ප්‍රමාණ අතර සෘජු සම්බන්ධයක් ස්ථාපිත කළ නොහැක. නමුත් අධ්‍යයනයට ලක්වන ශ්‍රිතවල ව්‍යුත්පන්නයන් අඩංගු සමානාත්මතාවයක් ලබා ගැනීමේ හැකියාව පවතී. අවකල සමීකරණ පැනනගින ආකාරය සහ නොදන්නා ශ්‍රිතයක් සොයා ගැනීම සඳහා ඒවා විසඳීමේ අවශ්‍යතාවය මෙයයි.

නොදන්නා ශ්‍රිතය එක් විචල්‍යයක ශ්‍රිතයක් වන අවකල සමීකරණයක් විසඳීමේ ගැටලුවට මුහුණ දෙන අය සඳහා මෙම ලිපිය අදහස් කෙරේ. න්‍යාය ගොඩනඟා ඇත්තේ අවකල සමීකරණ පිළිබඳ ශුන්‍ය අවබෝධයකින්, ඔබට ඔබේ කාර්යය කළ හැකි ආකාරයට ය.

සෑම වර්ගයකම අවකල සමීකරණ සවිස්තරාත්මක පැහැදිලි කිරීම් සහ සාමාන්‍ය උදාහරණ සහ ගැටළු සඳහා විසඳුම් සමඟ විසඳුම් ක්‍රමයක් සමඟ සම්බන්ධ වේ. ඔබට ඇත්තේ ඔබේ ගැටලුවේ අවකල සමීකරණයේ වර්ගය තීරණය කිරීම, සමාන විශ්ලේෂණය කළ උදාහරණයක් සොයා ගැනීම සහ සමාන ක්‍රියා සිදු කිරීම පමණි.

ඔබේ පැත්තෙන් අවකල සමීකරණ සාර්ථකව විසඳීමට, ඔබට ප්‍රතිව්‍යුත්පන්න කට්ටල සොයා ගැනීමේ හැකියාවද අවශ්‍ය වනු ඇත ( අවිනිශ්චිත අනුකලනය) විවිධ කාර්යයන්. අවශ්ය නම්, ඔබ කොටස වෙත යොමු කරන ලෙස අපි නිර්දේශ කරමු.

පළමුව, ව්‍යුත්පන්නයට අදාළව විසඳිය හැකි පළමු පෙළ සාමාන්‍ය අවකල සමීකරණ වර්ග සලකා බලන්න, ඉන්පසු අපි දෙවන පෙළ ODE වෙත යමු, පසුව අපි ඉහළ අනුපිළිවෙලෙහි සමීකරණ මත වාසය කර අවකල සමීකරණ පද්ධති සමඟ අවසන් කරන්නෙමු.

y යනු තර්කයේ ශ්‍රිතයක් නම් x .

පළමු අනුපිළිවෙල අවකල සමීකරණ.

පෝරමයේ පළමු අනුපිළිවෙලෙහි සරලම අවකල සමීකරණ .

එවැනි DE සඳහා උදාහරණ කිහිපයක් අපි ලියන්නෙමු .

අවකල සමීකරණ සමානාත්මතාවයේ දෙපැත්තම f(x) මගින් බෙදීමෙන් ව්‍යුත්පන්නය සම්බන්ධයෙන් විසඳිය හැක. මෙම අවස්ථාවේදී, අපි සමීකරණයට පැමිණෙමු, එය f(x) ≠ 0 සඳහා මුල් එකට සමාන වනු ඇත. එවැනි ODE සඳහා උදාහරණ වේ.

f(x) සහ g(x) යන ශ්‍රිතයන් එකවර අතුරුදහන් වන තර්කයේ x අගයන් තිබේ නම්, අමතර විසඳුම් දිස්වේ. අතිරේක විසඳුම්සමීකරණ ලබා දී ඇති x යනු එම තර්ක අගයන් සඳහා අර්ථ දක්වා ඇති ඕනෑම ශ්‍රිතයකි. එවැනි අවකල සමීකරණ සඳහා උදාහරණ වේ.

දෙවන අනුපිළිවෙල අවකල සමීකරණ.

දෙවන අනුපිළිවෙල නියත සංගුණක සමඟ රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණ.

නියත සංගුණක සහිත LODE යනු ඉතා සුලභ ආකාරයේ අවකල සමීකරණ වර්ගයකි. ඔවුන්ගේ විසඳුම විශේෂයෙන් දුෂ්කර නොවේ. පළමුව, ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලයන් සොයා ගනී . විවිධ p සහ q සඳහා අවස්ථා තුනක් හැකි ය: ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලයන් සැබෑ සහ වෙනස්, සැබෑ සහ සමපාත විය හැක. හෝ සංකීර්ණ සංයෝජන. ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලයන්ගේ අගයන් මත පදනම්ව, අවකල සමීකරණයේ පොදු විසඳුම ලියා ඇත , හෝ , හෝ පිළිවෙලින්.

උදාහරණයක් ලෙස, නියත සංගුණක සහිත දෙවන පෙළ රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණයක් සලකා බලන්න. ඔහුගේ ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලයන් k 1 = -3 සහ k 2 = 0 වේ. මූලයන් සැබෑ සහ වෙනස් වේ, එබැවින්, නියත සංගුණක සහිත LDE සඳහා පොදු විසඳුම වේ


නියත සංගුණක සහිත රේඛීය සමජාතීය නොවන දෙවන අනුපිළිවෙල අවකල සමීකරණ.

පොදු තීරණය y නියත සංගුණක සහිත දෙවන අනුපිළිවෙල LIDE අනුරූප LODE හි සාමාන්‍ය විසඳුමේ එකතුව ලෙස සොයයි සහ මුල් සමජාතීය සමීකරණයේ විශේෂිත විසඳුමක්, එනම්, . පෙර ඡේදය නියත සංගුණක සහිත සමජාතීය අවකල සමීකරණයකට පොදු විසඳුමක් සෙවීම සඳහා කැප කර ඇත. තවද නිශ්චිත විසඳුමක් තීරණය කරනු ලබන්නේ f (x) ශ්‍රිතයේ නිශ්චිත ආකාරයක් සඳහා අවිනිශ්චිත සංගුණක ක්‍රමය මගින් , මුල් සමීකරණයේ දකුණු පැත්තේ සිටගෙන හෝ අත්තනෝමතික නියත විචලනය කිරීමේ ක්‍රමය මගිනි.

නියත සංගුණක සහිත දෙවන පෙළ LID වල උදාහරණ ලෙස, අපි ඉදිරිපත් කරමු


න්‍යාය තේරුම් ගෙන ඔබ ගැන හුරුපුරුදු වන්න සවිස්තරාත්මක තීරණනියත සංගුණක සහිත දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණ පිටුවෙහි උදාහරණ අපි ඔබට පිරිනමන්නෙමු.

රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණ (LODEs) සහ දෙවන පෙළ රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණ (LNDEs).

මෙම වර්ගයේ අවකල සමීකරණවල විශේෂ අවස්ථාවක් වන්නේ නියත සංගුණක සහිත LODE සහ LODE වේ.

යම් කාල පරතරයක් මත LODE හි සාමාන්‍ය විසඳුම මෙම සමීකරණයේ y 1 සහ y 2 යන රේඛීය ස්වාධීන විශේෂිත විසඳුම් දෙකක රේඛීය සංයෝජනයකින් නිරූපණය කෙරේ, එනම්, .

ප්‍රධාන දුෂ්කරතාවය වන්නේ මෙම වර්ගයේ අවකල සමීකරණයේ රේඛීයව ස්වාධීන අර්ධ විසඳුම් සෙවීමයි. සාමාන්‍යයෙන්, විශේෂිත විසඳුම් තෝරාගනු ලබන්නේ පහත සඳහන් රේඛීය ස්වාධීන ශ්‍රිත පද්ධති වලින්:


කෙසේ වෙතත්, විශේෂිත විසඳුම් සෑම විටම මෙම ආකෘතියෙන් ඉදිරිපත් නොකෙරේ.

LODU සඳහා උදාහරණයක් වේ .

LIDE හි සාමාන්‍ය විසඳුම ආකෘතියෙන් සොයනු ලැබේ , අනුරූප LODE හි සාමාන්‍ය විසඳුම වන අතර එය මුල් අවකල සමීකරණයේ විශේෂිත විසඳුමකි. අපි සොයා ගැනීම ගැන කතා කළා, නමුත් අත්තනෝමතික නියතයන් වෙනස් කිරීමේ ක්‍රමය භාවිතයෙන් එය තීරණය කළ හැකිය.

LNDE සඳහා උදාහරණයක් වේ .

ඉහළ අනුපිළිවෙල අවකල සමීකරණ.

අනුපිළිවෙල අඩු කිරීම පිළිගන්නා අවකල සමීකරණ.

අවකල සමීකරණයේ අනුපිළිවෙල , k-1 අනුපිළිවෙල දක්වා අපේක්ෂිත ශ්‍රිතය සහ එහි ව්‍යුත්පන්න අඩංගු නොවන, ප්‍රතිස්ථාපනය කිරීමෙන් n-k දක්වා අඩු කළ හැක.

මෙම අවස්ථාවෙහිදී, සහ මුල් අවකල සමීකරණය දක්වා අඩු වේ. එහි විසඳුම p(x) සොයා ගැනීමෙන් පසුව, එය ප්‍රතිස්ථාපනය වෙත ආපසු ගොස් නොදන්නා ශ්‍රිතය තීරණය කිරීමට y .

උදාහරණයක් ලෙස, අවකල සමීකරණය ආදේශනය වෙන් කළ හැකි සමීකරණයක් බවට පත් වූ පසු, එහි අනුපිළිවෙල තුන්වන සිට පළමු දක්වා අඩු වේ.

අධ්යාපනික ආයතනය "බෙලාරුසියානු රාජ්යය

කෘෂිකාර්මික ඇකඩමිය"

උසස් ගණිත දෙපාර්තමේන්තුව

මාර්ගෝපදේශ

"දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි රේඛීය අවකල්‍ය සමීකරණ" යන මාතෘකාව අධ්‍යයනය කිරීම මත අධ්‍යාපන ලිපි හුවමාරු ආකෘතියේ (NISPO) ගිණුම්කරණ දෙපාර්තමේන්තුවේ සිසුන්

ගෝර්කි, 2013

රේඛීය අවකල සමීකරණ

නියත සමග දෙවන අනුපිළිවෙලසංගුණක

රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණ

නියත සංගුණක සහිත දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි රේඛීය අවකල සමීකරණය පෝරමයේ සමීකරණයක් ලෙස හැඳින්වේ

එම. අපේක්ෂිත ශ්‍රිතය සහ එහි ව්‍යුත්පන්නයන් පළමු මට්ටම දක්වා පමණක් අඩංගු වන සහ ඒවායේ නිෂ්පාදන අඩංගු නොවන සමීකරණයකි. මෙම සමීකරණය තුළ හා
සමහර සංඛ්‍යා සහ ශ්‍රිතය වේ
යම් කාල පරතරයක් මත ලබා දී ඇත
.

අ
පරතරය මත
, පසුව සමීකරණය (1) පෝරමය ගනීවි

, (2)

සහ ඇමතුවා රේඛීය සමජාතීය . එසේ නොමැති නම්, සමීකරණය (1) ලෙස හැඳින්වේ රේඛීය සමජාතීය .

සංකීර්ණ කාර්යය සලකා බලන්න

, (3)

කොහෙද
හා
සැබෑ කාර්යයන් වේ. ශ්රිතය (3) සමීකරණයේ (2) සංකීර්ණ විසඳුමක් නම්, සැබෑ කොටස
, සහ මනඃකල්පිත කොටස
විසඳුම්
වෙන් වෙන් වශයෙන් ගනු ලබන්නේ එකම සමජාතීය සමීකරණයේ විසඳුම් වේ. මේ අනුව, සෑම සම්පූර්ණ විසඳුමසමීකරණය (2) මෙම සමීකරණයේ සැබෑ විසඳුම් දෙකක් ජනනය කරයි.

සමජාතීය රේඛීය සමීකරණයක විසඳුම් පහත ගුණාංග ඇත:

අ සමීකරණයට විසඳුම (2), පසුව ශ්රිතය
, කොහෙද සිට- අත්තනෝමතික නියතයක්, සමීකරණයට විසඳුමක් ද වනු ඇත (2);

අ හා සමීකරණයේ විසඳුම් (2), පසුව ශ්රිතය
සමීකරණයට විසඳුමක් ද වනු ඇත (2);

අ හා සමීකරණයේ විසඳුම් (2), පසුව ඒවායේ රේඛීය සංයෝජනය වේ
(2) සමීකරණයට ද විසඳුමක් වනු ඇත, එහිදී හා
අත්තනෝමතික නියත වේ.

කාර්යයන්
හා
කියලා රේඛීයව රඳා පවතී පරතරය මත
එවැනි සංඛ්යා තිබේ නම් හා
, එම අවස්ථාවේදීම බිංදුවට සමාන නොවන, මෙම පරතරය මත සමානාත්මතාවය

සමානාත්මතාවය (4) පවතින්නේ නම් පමණි
හා
, පසුව කාර්යයන්
හා
කියලා රේඛීයව ස්වාධීන පරතරය මත
.

උදාහරණ 1 . කාර්යයන්
හා
රේඛීයව රඳා පවතී, සිට
සම්පූර්ණ සංඛ්යා රේඛාව ඔස්සේ. මෙම උදාහරණයේ
.

උදාහරණ 2 . කාර්යයන්
හා
සමානාත්මතාවයේ සිට ඕනෑම අන්තරයක් මත රේඛීයව ස්වාධීන වේ
හැකි නම් සහ නම් පමණි
, හා
.

රේඛීය සමජාතීය සාමාන්ය විසඳුමක් ඉදිකිරීම

සමීකරණ

(2) සමීකරණයට සාමාන්‍ය විසඳුමක් සෙවීම සඳහා එහි රේඛීයව ස්වාධීන විසඳුම් දෙකක් සොයාගත යුතුය. හා . මෙම විසඳුම්වල රේඛීය සංයෝජනය
, කොහෙද හා
අත්තනෝමතික නියතයන් වන අතර, රේඛීය සමජාතීය සමීකරණයක පොදු විසඳුම ලබා දෙනු ඇත.

සම (2) හි රේඛීය ස්වාධීන විසඳුම් ආකෘති පත්‍රයෙන් සොයනු ඇත

, (5)

කොහෙද - යම් අංකයක්. ඉන්පසු
,
. අපි මෙම ප්‍රකාශන (2) සමීකරණයට ආදේශ කරමු:

හෝ
.

නිසා
, එවිට
. එබැවින් කාර්යය
සමීකරණයට විසඳුමක් වනු ඇත (2) if සමීකරණය තෘප්තිමත් කරනු ඇත

. (6)

සමීකරණය (6) ලෙස හැඳින්වේ ලක්ෂණ සමීකරණය සමීකරණය සඳහා (2). මෙම සමීකරණය වීජීය වේ චතුරස්රාකාර සමීකරණය.

ඉඩ හා මෙම සමීකරණයේ මූලයන් වේ. ඒවා සැබෑ සහ වෙනස් හෝ සංකීර්ණ හෝ සැබෑ සහ සමාන විය හැකිය. මෙම අවස්ථා සලකා බලමු.

මුල්වලට ඉඩ දෙන්න හා ලාක්ෂණික සමීකරණ සැබෑ සහ වෙනස් වේ. එවිට සමීකරණයේ (2) විසඳුම් ශ්‍රිත වේ
හා
. සමානාත්මතාවයේ සිට මෙම විසඳුම් රේඛීයව ස්වාධීන වේ
සිදු කළ හැක්කේ විට පමණි
, හා
. එබැවින්, සම (2) හි පොදු විසඳුමෙහි ආකෘතිය ඇත

,

කොහෙද හා
අත්තනෝමතික නියත වේ.

උදාහරණය 3
.

විසඳුමක් . මෙම අවකලනය සඳහා ලාක්ෂණික සමීකරණය වනු ඇත
. මෙම චතුරස්රාකාර සමීකරණය විසඳීම, අපි එහි මූලයන් සොයා ගනිමු
හා
. කාර්යයන්
හා
අවකල සමීකරණයේ විසඳුම් වේ. මෙම සමීකරණයේ පොදු විසඳුමේ ස්වරූපය ඇත
.

සංකීර්ණ අංකය ආකෘතියේ ප්රකාශනයක් ලෙස හැඳින්වේ
, කොහෙද හා සැබෑ සංඛ්යා වේ, සහ
මනඃකල්පිත ඒකකය ලෙස හැඳින්වේ. අ
, පසුව අංකය
තනිකරම මනඃකල්පිත ලෙස හැඳින්වේ. නම්
, පසුව අංකය
තාත්වික අංකයකින් හඳුනාගෙන ඇත .

අංකය සංකීර්ණ අංකයේ සැබෑ කොටස ලෙස හැඳින්වේ, සහ - මනඃකල්පිත කොටස. සංකීර්ණ සංඛ්‍යා දෙකක් එකිනෙකට වෙනස් වන්නේ මනඃකල්පිත කොටසේ ලකුණෙන් පමණක් නම්, ඒවා සංයුජ ලෙස හැඳින්වේ:
,
.

උදාහරණය 4 . චතුරස්රාකාර සමීකරණයක් විසඳන්න
.

විසඳුමක් . සමීකරණය වෙනස් කොට සැලකීම
. ඉන්පසු. එලෙසම,
. මේ අනුව, මෙම චතුරස්රාකාර සමීකරණයට සංයුක්ත සංකීර්ණ මූලයන් ඇත.

ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලයන් සංකීර්ණ වීමට ඉඩ දෙන්න, i.e.
,
, කොහෙද
. (2) සමීකරණයට විසඳුම් ලෙස ලිවිය හැක
,
හෝ
,
. ඉයුලර්ගේ සූත්‍රවලට අනුව

,
.

ඉන්පසු ,. දන්නා පරිදි, සංකීර්ණ ශ්‍රිතයක් රේඛීය සමජාතීය සමීකරණයක විසඳුමක් නම්, මෙම සමීකරණයේ විසඳුම් මෙම ශ්‍රිතයේ සැබෑ සහ මනඃකල්පිත කොටස් දෙකම වේ. මේ අනුව, සමීකරණයේ විසඳුම් (2) කාර්යයන් වනු ඇත
හා
. සමානාත්මතාවයේ සිට

සිදු කළ හැක්කේ නම් පමණි
හා
, එවිට මෙම විසඳුම් රේඛීයව ස්වාධීන වේ. එබැවින්, සමීකරණයේ පොදු විසඳුම (2) ආකෘතිය ඇත

කොහෙද හා
අත්තනෝමතික නියත වේ.

උදාහරණ 5 . අවකල සමීකරණයේ පොදු විසඳුම සොයන්න
.

විසඳුමක් . සමීකරණය
දී ඇති අවකලනය සඳහා ලක්ෂණයකි. අපි එය විසඳා සංකීර්ණ මූලයන් ලබා ගනිමු
,
. කාර්යයන්
හා
අවකල සමීකරණයේ රේඛීය ස්වාධීන විසඳුම් වේ. මෙම සමීකරණයේ පොදු විසඳුමේ ස්වරූපය ඇත.

ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලයන් සැබෑ සහ සමාන වීමට ඉඩ දෙන්න, i.e.
. එවිට සමීකරණයේ (2) විසඳුම් ශ්‍රිත වේ
හා
. මෙම විසඳුම් රේඛීයව ස්වාධීන වේ, ප්‍රකාශනය ශුන්‍යයට සමාන විය හැක්කේ විට පමණි
හා
. එබැවින්, සමීකරණයේ පොදු විසඳුම (2) ආකෘතිය ඇත
.

උදාහරණය 6 . අවකල සමීකරණයේ පොදු විසඳුම සොයන්න
.

විසඳුමක් . ලාක්ෂණික සමීකරණය
සමාන මූලයන් ඇත
. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, අවකල සමීකරණයේ රේඛීය ස්වාධීන විසඳුම් කාර්යයන් වේ
හා
. සාමාන්ය විසඳුම ආකෘතිය ඇත
.

නියත සංගුණක සහිත අසමජාතීය දෙවන පෙළ රේඛීය අවකල සමීකරණ

සහ විශේෂ දකුණු පැත්ත

රේඛීය සමජාතීය සමීකරණයේ (1) පොදු විසඳුම පොදු විසඳුමේ එකතුවට සමාන වේ
අනුරූප සමජාතීය සමීකරණය සහ ඕනෑම විශේෂිත විසඳුමක්
සමජාතීය සමීකරණය:
.

සමහර අවස්ථාවලදී, සමජාතීය සමීකරණයක විශේෂිත විසඳුමක් දකුණු පැත්තේ ආකෘතියෙන් සරලව සොයාගත හැකිය.
සමීකරණ (1). හැකි විට අවස්ථා සලකා බලමු.

එම. සමජාතීය සමීකරණයේ දකුණු පැත්ත උපාධියේ බහුපදයකි එම්. අ
ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලයක් නොවේ, එවිට සමජාතීය සමීකරණයේ විශේෂිත විසඳුමක් උපාධි බහුපද ස්වරූපයෙන් සෙවිය යුතුය එම්, i.e.

අසමතුලිතතාවය
විශේෂිත විසඳුමක් සෙවීමේ ක්රියාවලියේදී තීරණය කරනු ලැබේ.

නම්
ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මුල වේ, එවිට සමජාතීය සමීකරණයේ විශේෂිත විසඳුමක් ආකාරයෙන් සෙවිය යුතුය

උදාහරණ 7 . අවකල සමීකරණයේ පොදු විසඳුම සොයන්න
.

විසඳුමක් . මෙම සමීකරණය සඳහා අනුරූප සමජාතීය සමීකරණය වේ
. එහි ලාක්ෂණික සමීකරණය
මූලයන් ඇත
හා
. සමජාතීය සමීකරණයේ පොදු විසඳුම ආකෘතිය ඇත
.

නිසා
ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලයක් නොවේ, එවිට අපි ශ්‍රිතයක ස්වරූපයෙන් සමජාතීය සමීකරණයේ විශේෂිත විසඳුමක් සොයමු
. මෙම ශ්‍රිතයේ ව්‍යුත්පන්න සොයන්න
,
සහ ඒවා මෙම සමීකරණයට ආදේශ කරන්න:

හෝ . හි සංගුණක සමාන කරන්න සහ නිදහස් සාමාජිකයන්:
තීරණය කරනවා මෙම පද්ධතිය, අපිට ලැබෙනවා
,
. එවිට සමජාතීය සමීකරණයේ විශේෂිත විසඳුමක ස්වරූපය ඇත
, සහ මෙම සමජාතීය සමීකරණයේ සාමාන්‍ය විසඳුම වනුයේ අනුරූප සමජාතීය සමීකරණයේ සාමාන්‍ය විසඳුමේ සහ සමජාතීය එකෙහි විශේෂිත විසඳුමේ එකතුවයි:
.

සමජාතීය සමීකරණයට ආකෘතිය තිබිය යුතුය

අ
ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලයක් නොවේ, එවිට සමජාතීය සමීකරණයේ විශේෂිත විසඳුමක් ආකාරයෙන් සෙවිය යුතුය. නම්
ලාක්ෂණික ගුණාකාර සමීකරණයේ මුල වේ කේ (කේ=1 හෝ කේ=2), එවිට මෙම අවස්ථාවේ දී සමජාතීය සමීකරණයේ විශේෂිත විසඳුමේ ස්වරූපය ඇත .

උදාහරණ 8 . අවකල සමීකරණයේ පොදු විසඳුම සොයන්න
.

විසඳුමක් . අනුරූප සමජාතීය සමීකරණය සඳහා ලාක්ෂණික සමීකරණයේ ස්වරූපය ඇත
. එහි මුල්
,
. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, අනුරූප සමජාතීය සමීකරණයේ පොදු විසඳුම ලෙස ලියා ඇත
.

ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මුල අංක 3 නොවන බැවින්, සමජාතීය සමීකරණයේ විශේෂිත විසඳුමක් ආකෘතියෙන් සෙවිය යුතුය.
. පළමු සහ දෙවන ඇණවුම් වල ව්‍යුත්පන්නයන් සොයා ගනිමු :,

අවකල සමීකරණයට ආදේශ කරන්න:
+ +,
+,.

හි සංගුණක සමාන කරන්න සහ නිදහස් සාමාජිකයන්:

මෙතැන් සිට
,
. එවිට මෙම සමීකරණයේ විශේෂිත විසඳුමක ස්වරූපය ඇත
, සහ පොදු විසඳුම

.

අත්තනෝමතික නියතයන් වෙනස් කිරීමේ Lagrange ක්රමය

අත්තනෝමතික නියතවල විචලනය කිරීමේ ක්‍රමය දකුණු පැත්තේ ස්වරූපය කුමක් වුවත් නියත සංගුණක සහිත ඕනෑම සමජාතීය රේඛීය සමීකරණයකට යෙදිය හැකිය. මෙම ක්‍රමය මඟින් සමජාතීය සමීකරණයේ සාමාන්‍ය විසඳුම දන්නේ නම් සමජාතීය සමීකරණයකට සාමාන්‍ය විසඳුමක් සැමවිටම සොයා ගැනීමට හැකි වේ.

ඉඩ
හා
සම (2) හි රේඛීය ස්වාධීන විසඳුම් වේ. එවිට මෙම සමීකරණයට පොදු විසඳුම වේ
, කොහෙද හා
අත්තනෝමතික නියත වේ. අත්තනෝමතික නියතවල විචලනය කිරීමේ ක්‍රමයේ සාරය නම් (1) සමීකරණයේ සාමාන්‍ය විසඳුම ආකෘතියෙන් සොයයි

කොහෙද
හා
- නව නොදන්නා විශේෂාංග සොයා ගැනීමට. නොදන්නා ශ්‍රිත දෙකක් ඇති බැවින් ඒවා සෙවීමට මෙම ශ්‍රිත අඩංගු සමීකරණ දෙකක් අවශ්‍ය වේ. මෙම සමීකරණ දෙක පද්ධතිය සෑදෙයි

සම්බන්ධ රේඛීය වීජීය සමීකරණ පද්ධතියකි
හා
. මෙම පද්ධතිය විසඳීම, අපි සොයා ගනිමු
හා
. ලබාගත් සමානාත්මතාවයේ කොටස් දෙකම ඒකාබද්ධ කිරීම, අපි සොයා ගනිමු

හා
.

මෙම ප්‍රකාශන (9) වෙත ආදේශ කිරීම, අපි සමජාතීය රේඛීය සමීකරණයේ (1) පොදු විසඳුම ලබා ගනිමු.

උදාහරණ 9 . අවකල සමීකරණයේ පොදු විසඳුම සොයන්න
.

විසඳුමක්. දී ඇති අවකල සමීකරණයට අනුරූප වන සමජාතීය සමීකරණය සඳහා ලාක්ෂණික සමීකරණය වේ
. එහි මූලයන් සංකීර්ණ වේ
,
. නිසා
හා
, එවිට
,
, සහ සමජාතීය සමීකරණයේ පොදු විසඳුම ආකෘතිය ඇත එවිට මෙම සමජාතීය සමීකරණයේ සාමාන්‍ය විසඳුම කොතැනද යන ආකාරයෙන් සොයනු ඇත
හා
- නොදන්නා කාර්යයන්.

මෙම නොදන්නා ශ්‍රිත සොයා ගැනීම සඳහා වන සමීකරණ පද්ධතියට ආකෘතිය ඇත

මෙම පද්ධතිය විසඳීම, අපි සොයා ගනිමු
,
. ඉන්පසු

,
. අපි සාමාන්‍ය විසඳුම් සූත්‍රයට ලබාගත් ප්‍රකාශන ආදේශ කරමු:

Lagrange ක්‍රමය මගින් ලබා ගන්නා මෙම අවකල සමීකරණයේ සාමාන්‍ය විසඳුම මෙයයි.

දැනුම ස්වයං පාලනය සඳහා ප්රශ්න

නියත සංගුණක සහිත දෙවන පෙළ රේඛීය අවකල සමීකරණයක් ලෙස හඳුන්වන අවකල සමීකරණය කුමක්ද?

සමජාතීය ලෙස හඳුන්වන රේඛීය අවකල සමීකරණය සහ සමජාතීය නොවන ලෙස හඳුන්වන්නේ කුමක්ද?

රේඛීය සමජාතීය සමීකරණයක ගුණාංග මොනවාද?

රේඛීය අවකල සමීකරණයක් සඳහා ලාක්ෂණික ලෙස හඳුන්වන සමීකරණය කුමක්ද සහ එය ලබා ගන්නේ කෙසේද?

ලාක්ෂණික සමීකරණයේ විවිධ මූලයන් සම්බන්ධයෙන් නියත සංගුණක සහිත රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණයක සාමාන්‍ය විසඳුම ලියා ඇත්තේ කුමන ආකාරයෙන්ද?

ලාක්ෂණික සමීකරණයේ සමාන මූලයන් සම්බන්ධයෙන් නියත සංගුණක සහිත රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණයක සාමාන්‍ය විසඳුම ලියා ඇත්තේ කුමන ආකාරයෙන්ද?

ලාක්ෂණික සමීකරණයේ සංකීර්ණ මූලයන් සම්බන්ධයෙන් නියත සංගුණක සහිත රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණයක සාමාන්‍ය විසඳුම ලියා ඇත්තේ කුමන ආකාරයෙන්ද?

රේඛීය සමජාතීය සමීකරණයක සාමාන්‍ය විසඳුම ලියා ඇත්තේ කෙසේද?

ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලයන් වෙනස් සහ ශුන්‍යයට සමාන නොවේ නම් සහ සමීකරණයේ දකුණු පැත්ත අංශකයේ බහුපදයක් නම් රේඛීය සමජාතීය සමීකරණයක විශේෂිත විසඳුමක් සොයන්නේ කුමන ආකාරයෙන්ද? එම්?

ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලයන් අතර එක් ශුන්‍යයක් තිබේ නම් සහ සමීකරණයේ දකුණු පැත්ත අංශක බහුපදයක් නම් රේඛීය අසමජාතී සමීකරණයක විශේෂිත විසඳුමක් සොයන්නේ කුමන ආකාරයෙන්ද? එම්?

Lagrange ක්රමයේ සාරය කුමක්ද?

මෙම ඡේදය සලකා බලනු ඇත විශේෂ අවස්ථාවක්දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි රේඛීය සමීකරණ, සමීකරණයේ සංගුණක නියත වන විට, එනම් ඒවා සංඛ්යා වේ. එවැනි සමීකරණ නියත සංගුණක සහිත සමීකරණ ලෙස හැඳින්වේ. මෙම වර්ගයේ සමීකරණය විශේෂයෙන් පුළුල් යෙදුමක් සොයා ගනී.

1. රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණ

නියත සංගුණක සහිත දෙවන අනුපිළිවෙල

සමීකරණය සලකා බලන්න

එහිදී සංගුණක නියත වේ. සමීකරණයේ සියලුම නියමයන් බෙදීම සහ දැක්වීම යැයි උපකල්පනය කිරීම

අපි මෙම සමීකරණය පෝරමයේ ලියන්නෙමු

දන්නා පරිදි, දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි රේඛීය සමජාතීය සමීකරණයක සාමාන්‍ය විසඳුම සොයා ගැනීමට, එය දැන ගැනීම ප්‍රමාණවත් වේ. මූලික පද්ධතියපෞද්ගලික තීරණ. නියත සංගුණක සහිත සමජාතීය රේඛීය අවකල සමීකරණයක් සඳහා විශේෂිත විසඳුම්වල මූලික පද්ධතිය සොයා ගන්නා ආකාරය අපි පෙන්වමු. මෙම සමීකරණයේ විශේෂිත විසඳුමක් අපි ස්වරූපයෙන් සොයමු

මෙම ශ්‍රිතය දෙවතාවක් වෙනස් කර සමීකරණයට (59) යන ප්‍රකාශන ආදේශ කිරීමෙන් අපි ලබා ගනිමු.

එතැන් සිට, අඩු කිරීමෙන් අපට සමීකරණය ලැබේ

මෙම සමීකරණයෙන්, k හි එම අගයන් තීරණය වන්නේ ශ්‍රිතය සමීකරණයට විසඳුමක් වන (59).

k සංගුණකය නිර්ණය කිරීම සඳහා වීජීය සමීකරණය (61) ලබා දී ඇති අවකල සමීකරණයේ (59) ලාක්ෂණික සමීකරණය ලෙස හැඳින්වේ.

ලාක්ෂණික සමීකරණය යනු දෙවන උපාධියේ සමීකරණයක් වන අතර එබැවින් මූලයන් දෙකක් ඇත. මෙම මූලයන් සැබෑ වෙනස් හෝ සැබෑ සහ සමාන හෝ සංකීර්ණ සංයුක්ත විය හැක.

මෙම එක් එක් අවස්ථාවන්හි අර්ධ විසඳුම්වල මූලික පද්ධතියේ ස්වරූපය අපි සලකා බලමු.

1. ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලයන් සැබෑ සහ වෙනස් ය: . මෙම අවස්ථාවේදී, සූත්රය (60) අනුව, අපි විශේෂිත විසඳුම් දෙකක් සොයා ගනිමු:

Wronsky නිර්ණායකය කිසි විටෙකත් අතුරුදහන් නොවන බැවින් මෙම විශේෂිත විසඳුම් දෙක සම්පූර්ණ සංඛ්‍යා අක්ෂයේ මූලික විසඳුම් පද්ධතියක් සාදයි:

එබැවින්, සූත්රය (48) අනුව සමීකරණයේ සාමාන්ය විසඳුම ආකෘතිය ඇත

2. ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලයන් සමාන වේ: . මෙම අවස්ථාවේ දී, මූලයන් දෙකම සැබෑ වනු ඇත. සූත්රය (60) මගින් අපි ලබා ගන්නේ එක් විශේෂිත විසඳුමක් පමණි

පළමු විසඳුම සමඟ මූලික පද්ධතියක් සාදන දෙවන විශේෂිත විසඳුමේ ස්වරූපය ඇති බව අපි පෙන්වමු

පළමුවෙන්ම, අපි ශ්‍රිතය සමීකරණයේ විසඳුමක් දැයි පරීක්ෂා කරන්නෙමු (59). ඇත්තටම,

නමුත් , ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලය (61) වේ. මීට අමතරව, Vieta ප්රමේයය අනුව, එබැවින් . එබැවින්, එනම්, ශ්‍රිතය ඇත්ත වශයෙන්ම සමීකරණයේ විසඳුමකි (59).

සොයාගත් විශේෂිත විසඳුම් මූලික විසඳුම් පද්ධතියක් සාදන බව අපි දැන් පෙන්වමු. ඇත්තටම,

මේ අනුව, මෙම අවස්ථාවේ දී සමජාතීය රේඛීය සමීකරණයේ පොදු විසඳුම ආකෘතිය ඇත

3. ලක්ෂණ සමීකරණයේ මූලයන් සංකීර්ණ වේ. දන්නා පරිදි, තථ්‍ය සංගුණක සහිත චතුරස්‍ර සමීකරණයක සංකීර්ණ මූලයන් සංයුක්ත වේ. සංකීර්ණ සංඛ්යා, එනම් පෝරමය ඇත: . මෙම අවස්ථාවෙහිදී, සූත්‍රය (60) අනුව (59) සමීකරණයේ විශේෂිත විසඳුම් වලට පෝරමය ඇත:

Euler සූත්‍ර භාවිතා කරමින් (Ch. XI, § 5 p. 3 බලන්න), සඳහා ප්‍රකාශන පෝරමයේ ලිවිය හැක:

මෙම විසඳුම් සංකීර්ණ වේ. සැබෑ විසඳුම් ලබා ගැනීම සඳහා, නව කාර්යයන් සලකා බලන්න

ඒවා විසඳුම්වල රේඛීය සංයෝජන වන අතර, එබැවින්, සමීකරණයේ විසඳුම් (59) (§ 3, අයිතමය 2, ප්රමේයය 1 බලන්න).

මෙම විසඳුම් සඳහා Wronsky නිර්ණායකය ශුන්‍යයට වඩා වෙනස් බව පෙන්වීමට පහසු වන අතර, එබැවින් විසඳුම් මූලික විසඳුම් පද්ධතියක් සාදයි.

මේ අනුව, ලාක්ෂණික සමීකරණයේ සංකීර්ණ මූලයන් සම්බන්ධයෙන් සමජාතීය රේඛීය අවකල සමීකරණයක සාමාන්‍ය විසඳුමේ ස්වරූපය ඇත.

අවසාන වශයෙන්, ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලයන්ගේ ස්වරූපය අනුව සමීකරණයේ (59) පොදු විසඳුම සඳහා සූත්‍ර වගුවක් අපි ලබා දෙමු.

දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි රේඛීය අවකල සමීකරණය පෝරමයේ සමීකරණයක් ලෙස හැඳින්වේ

වයි"" + පි(x)වයි" + q(x)වයි = f(x) ,

කොහෙද වයිසොයා ගත යුතු කාර්යය වේ, සහ පි(x) , q(x) හා f(x) යම් කාල පරතරයක් මත අඛණ්ඩ ශ්‍රිත වේ ( a, b) .

සමීකරණයේ දකුණු පැත්ත ශුන්‍ය නම් ( f(x) = 0 ), එවිට සමීකරණය ලෙස හැඳින්වේ රේඛීය සමජාතීය සමීකරණය . එවැනි සමීකරණ ප්රධාන වශයෙන් මෙම පාඩමෙහි ප්රායෝගික කොටස සඳහා කැප කරනු ඇත. සමීකරණයේ දකුණු පැත්ත ශුන්‍යයට සමාන නොවේ නම් ( f(x) ≠ 0 ), එවිට සමීකරණය ලෙස හැඳින්වේ.

කාර්යයන් වලදී, අපි සම්බන්ධයෙන් සමීකරණය විසඳීමට අවශ්ය වේ වයි"" :

වයි"" = −පි(x)වයි" − q(x)වයි + f(x) .

දෙවන පෙළ රේඛීය අවකල සමීකරණවලට අද්විතීය විසඳුමක් ඇත Cauchy ගැටළු .

දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණය සහ එහි විසඳුම

දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණයක් සලකා බලන්න:

වයි"" + පි(x)වයි" + q(x)වයි = 0 .

අ වයි1 (x) හා වයි2 (x) මෙම සමීකරණයේ විශේෂිත විසඳුම් වේ, එවිට පහත ප්‍රකාශ සත්‍ය වේ:

1) වයි1 (x) + වයි 2 (x) - මෙම සමීකරණයට විසඳුමක් ද වේ;

2) සයි1 (x) , කොහෙද සී- අත්තනෝමතික නියතයක් (ස්ථාවර), මෙම සමීකරණයට විසඳුමක් ද වේ.

මෙම ප්‍රකාශ දෙකෙන් එය ක්‍රියාත්මක වන බව පෙනේ

සී1 වයි 1 (x) + සී 2 වයි 2 (x)

යන්න ද මෙම සමීකරණයට විසඳුමකි.

සාධාරණ ප්රශ්නයක් පැන නගී: මෙය විසඳුමද? දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණයක පොදු විසඳුම , එනම්, විවිධ අගයන් සඳහා එවැනි විසඳුමක් සී1 හා සී2 සමීකරණයේ සියලු විසඳුම් ලබා ගත හැකිද?

මෙම ප්රශ්නයට පිළිතුර: එය කළ හැකිය, නමුත් යම් කොන්දේසි යටතේ. එය විශේෂිත විසඳුම්වල තිබිය යුතු ගුණාංග මොනවාද යන්න පිළිබඳ කොන්දේසිය වයි1 (x) හා වයි2 (x) .

තවද මෙම තත්වය තත්වය ලෙස හැඳින්වේ රේඛීය ස්වාධීනත්වයපෞද්ගලික තීරණ.

ප්රමේයය. කාර්යය සී1 වයි 1 (x) + සී 2 වයි 2 (x) ශ්‍රිත නම් දෙවන පෙළ රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණයක සාමාන්‍ය විසඳුමකි වයි1 (x) හා වයි2 (x) රේඛීයව ස්වාධීන වේ.

අර්ථ දැක්වීම. කාර්යයන් වයි1 (x) හා වයි2 (x) ඒවායේ අනුපාතය ශුන්‍ය නොවන නියතයක් නම් රේඛීයව ස්වාධීන ලෙස හැඳින්වේ.

වයි1 (x)/වයි 2 (x) = කේ ; කේ = const ; කේ ≠ 0 .

කෙසේ වෙතත්, මෙම ශ්‍රිතයන් රේඛීයව ස්වාධීනද යන්න නිර්වචනය මගින් තහවුරු කිරීම බොහෝ විට ඉතා අපහසු වේ. Wronsky determinant භාවිතයෙන් රේඛීය ස්වාධීනත්වය ස්ථාපිත කිරීමට ක්රමයක් තිබේ ඩබ්ලිව්(x) :

Wronsky නිර්ණායකය ශුන්‍යයට සමාන නොවේ නම්, විසඳුම් රේඛීයව ස්වාධීන වේ . Wronsky නිර්ණායකය ශුන්‍යයට සමාන නම්, විසඳුම් රේඛීයව රඳා පවතී.

උදාහරණ 1රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණයක පොදු විසඳුම සොයන්න.

විසඳුමක්. අපි දෙවරක් අනුකලනය කරන අතර, එය දැකීමට පහසු වන පරිදි, ශ්‍රිතයේ දෙවන ව්‍යුත්පන්නයේ වෙනස සහ ශ්‍රිතයේම ශුන්‍යයට සමාන වීමට නම්, විසඳුම් ව්‍යුත්පන්නයට සමාන වන ඝාතකයක් සමඟ සම්බන්ධ විය යුතුය. එනම් පුද්ගලික විසඳුම් යනු සහ .

Vronsky නිර්ණායකයේ සිට

ශුන්‍යයට සමාන නොවේ, එවිට මෙම විසඳුම් රේඛීයව ස්වාධීන වේ. එබැවින් මෙම සමීකරණයේ පොදු විසඳුම ලෙස ලිවිය හැකිය

.

නියත සංගුණක සහිත දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණ: න්යාය සහ භාවිතය

නියත සංගුණක සහිත දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණය පෝරමයේ සමීකරණයක් ලෙස හැඳින්වේ

වයි"" + py" + qy = 0 ,

කොහෙද පිහා qනියත අගයන් වේ.

මෙය දෙවන අනුපිළිවෙල සමීකරණයක් බව පෙන්නුම් කරන්නේ අපේක්ෂිත ශ්‍රිතයේ දෙවන ව්‍යුත්පන්නය තිබීමෙන් වන අතර එහි සමජාතීයතාවය දකුණු පැත්තේ ශුන්‍යයෙන් දැක්වේ. ඉහත දැනටමත් සඳහන් කර ඇති ප්රමාණයන් නියත සංගුණක ලෙස හැඳින්වේ.

වෙත නියත සංගුණක සමඟ දෙවන පෙළ රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණයක් විසඳන්න , ඔබ මුලින්ම පෝරමයේ ඊනියා ලාක්ෂණික සමීකරණය විසඳිය යුතුය

කේ² + pq + q = 0 ,

දැකිය හැකි පරිදි, සාමාන්‍ය චතුරස්‍ර සමීකරණයකි.

ලාක්ෂණික සමීකරණයේ විසඳුම මත පදනම්ව, විවිධ විකල්ප තුනක් හැකි ය නියත සංගුණක සහිත දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණයක විසඳුම , අපි දැන් විශ්ලේෂණය කරනු ඇත. සම්පූර්ණ නිශ්චිතභාවය සඳහා, සියලුම විශේෂිත විසඳුම් Vronsky determinant විසින් පරීක්ෂා කර ඇති අතර සෑම අවස්ථාවකදීම එය ශුන්යයට සමාන නොවන බව අපි උපකල්පනය කරමු. කෙසේ වෙතත්, සැක කරන්නන්ට එය තමන්ටම පරීක්ෂා කළ හැකිය.

ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලයන් - සැබෑ සහ වෙනස්

වෙනත් විදිහකින්, . මෙම අවස්ථාවෙහිදී, නියත සංගුණක සහිත දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණයක විසඳුමෙහි ස්වරූපය ඇත

.

උදාහරණ 2. රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණයක් විසඳන්න

.

උදාහරණ 3. රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණයක් විසඳන්න

.

විසඳුමක්. ලාක්ෂණික සමීකරණයේ ස්වරූපය, එහි මූලයන් ඇති අතර සැබෑ සහ වෙනස් වේ. සමීකරණයේ අනුරූප විශේෂිත විසඳුම්: සහ . මෙම අවකල සමීකරණයේ සාමාන්‍ය විසඳුමේ ස්වරූපය ඇත

.

ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලයන් - සැබෑ සහ සමාන

එනම්, . මෙම අවස්ථාවෙහිදී, නියත සංගුණක සහිත දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණයක විසඳුමෙහි ස්වරූපය ඇත

.

උදාහරණ 4. රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණයක් විසඳන්න

.

විසඳුමක්. ලාක්ෂණික සමීකරණය සමාන මූලයන් ඇත. සමීකරණයේ අනුරූප විශේෂිත විසඳුම්: සහ . මෙම අවකල සමීකරණයේ සාමාන්‍ය විසඳුමේ ස්වරූපය ඇත

උදාහරණ 5. රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණයක් විසඳන්න

.

විසඳුමක්. ලාක්ෂණික සමීකරණයට සමාන මූලයන් ඇත. සමීකරණයේ අනුරූප විශේෂිත විසඳුම්: සහ . මෙම අවකල සමීකරණයේ සාමාන්‍ය විසඳුමේ ස්වරූපය ඇත