රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණයක පොදු විසඳුම. සමජාතීය දෙවන අනුපිළිවෙල අවකල සමීකරණ

අධ්යාපනික ආයතනය "බෙලාරුසියානු රාජ්යය

කෘෂිකාර්මික ඇකඩමිය"

උසස් ගණිත දෙපාර්තමේන්තුව

මාර්ගෝපදේශ

"දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි රේඛීය අවකල්‍ය සමීකරණ" යන මාතෘකාව අධ්‍යයනය කිරීම මත අධ්‍යාපන ලිපි හුවමාරු ආකෘතියේ (NISPO) ගිණුම්කරණ දෙපාර්තමේන්තුවේ සිසුන්

ගෝර්කි, 2013

රේඛීය අවකල සමීකරණ

නියත සමග දෙවන අනුපිළිවෙලසංගුණක

රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණ

සමග දෙවන පෙළ රේඛීය අවකල සමීකරණය නියත සංගුණක පෝරමයේ සමීකරණයක් ලෙස හැඳින්වේ

එම. අපේක්ෂිත ශ්‍රිතය සහ එහි ව්‍යුත්පන්නයන් පළමු මට්ටම දක්වා පමණක් අඩංගු වන සහ ඒවායේ නිෂ්පාදන අඩංගු නොවන සමීකරණයකි. මෙම සමීකරණය තුළ හා
සමහර සංඛ්‍යා සහ ශ්‍රිතය වේ
යම් කාල පරතරයක් මත ලබා දී ඇත
.

අ
පරතරය මත
, පසුව සමීකරණය (1) පෝරමය ගනීවි

, (2)

සහ ඇමතුවා රේඛීය සමජාතීය . එසේ නොමැති නම්, සමීකරණය (1) ලෙස හැඳින්වේ රේඛීය සමජාතීය .

සංකීර්ණ කාර්යය සලකා බලන්න

, (3)

කොහෙද
හා
සැබෑ කාර්යයන් වේ. ශ්රිතය (3) සමීකරණයේ (2) සංකීර්ණ විසඳුමක් නම්, සැබෑ කොටස
, සහ මනඃකල්පිත කොටස
විසඳුම්
වෙන වෙනම ගනු ලබන්නේ එකම සමජාතීය සමීකරණයේ විසඳුම් වේ. මේ අනුව, සෑම සම්පූර්ණ විසඳුමසමීකරණය (2) මෙම සමීකරණයේ සැබෑ විසඳුම් දෙකක් ජනනය කරයි.

සමජාතීය රේඛීය සමීකරණයක විසඳුම් පහත ගුණාංග ඇත:

අ සමීකරණයට විසඳුම (2), පසුව ශ්රිතය
, කොහෙද සිට- අත්තනෝමතික නියතයක්, සමීකරණයට විසඳුමක් ද වනු ඇත (2);

අ හා සමීකරණයේ විසඳුම් (2), පසුව ශ්රිතය
සමීකරණයට විසඳුමක් ද වනු ඇත (2);

අ හා සමීකරණයේ විසඳුම් (2), පසුව ඒවායේ රේඛීය සංයෝජනය වේ
(2) සමීකරණයට ද විසඳුමක් වනු ඇත, එහිදී හා
අත්තනෝමතික නියත වේ.

කාර්යයන්
හා
කියලා රේඛීයව රඳා පවතී පරතරය මත
එවැනි සංඛ්යා තිබේ නම් හා
, එම අවස්ථාවේදීම බිංදුවට සමාන නොවන, මෙම පරතරය මත සමානාත්මතාවය

සමානාත්මතාවය (4) පවතින්නේ නම් පමණි
හා
, පසුව කාර්යයන්
හා
කියලා රේඛීයව ස්වාධීන පරතරය මත
.

උදාහරණ 1 . කාර්යයන්
හා
රේඛීයව රඳා පවතී, සිට
සම්පූර්ණ සංඛ්යා රේඛාව ඔස්සේ. මෙම උදාහරණයේ
.

උදාහරණය 2 . කාර්යයන්
හා
සමානාත්මතාවයේ සිට ඕනෑම අන්තරයක් මත රේඛීයව ස්වාධීන වේ
හැකි නම් සහ නම් පමණි
, හා
.

ගොඩනැගිල්ල පොදු විසඳුමරේඛීය සමජාතීය

සමීකරණ

(2) සමීකරණයට සාමාන්‍ය විසඳුමක් සෙවීම සඳහා එහි රේඛීයව ස්වාධීන විසඳුම් දෙකක් සොයාගත යුතුය. හා . මෙම විසඳුම්වල රේඛීය සංයෝජනය
, කොහෙද හා
අත්තනෝමතික නියතයන් වන අතර, රේඛීය සමජාතීය සමීකරණයක පොදු විසඳුම ලබා දෙනු ඇත.

සම (2) හි රේඛීය ස්වාධීන විසඳුම් ආකෘති පත්‍රයෙන් සොයනු ඇත

, (5)

කොහෙද - යම් අංකයක්. ඉන්පසු
,
. අපි මෙම ප්‍රකාශන (2) සමීකරණයට ආදේශ කරමු:

හෝ
.

නිසා
, එවිට
. එබැවින් කාර්යය
සමීකරණයට විසඳුමක් වනු ඇත (2) if සමීකරණය තෘප්තිමත් කරනු ඇත

. (6)

සමීකරණය (6) ලෙස හැඳින්වේ ලක්ෂණ සමීකරණය සමීකරණය සඳහා (2). මෙම සමීකරණය වීජීය චතුරස්‍ර සමීකරණයකි.

ඉඩ හා මෙම සමීකරණයේ මූලයන් වේ. ඒවා සැබෑ සහ වෙනස් හෝ සංකීර්ණ හෝ සැබෑ සහ සමාන විය හැකිය. මෙම අවස්ථා සලකා බලමු.

මුල්වලට ඉඩ දෙන්න හා ලාක්ෂණික සමීකරණ සැබෑ සහ වෙනස් වේ. එවිට සමීකරණයේ (2) විසඳුම් ශ්‍රිත වේ
හා
. සමානාත්මතාවයේ සිට මෙම විසඳුම් රේඛීයව ස්වාධීන වේ
සිදු කළ හැක්කේ විට පමණි
, හා
. එබැවින්, සම (2) හි පොදු විසඳුමෙහි ආකෘතිය ඇත

,

කොහෙද හා
අත්තනෝමතික නියත වේ.

උදාහරණය 3
.

විසඳුමක් . මෙම අවකලනය සඳහා ලාක්ෂණික සමීකරණය වනු ඇත
. මෙම චතුරස්රාකාර සමීකරණය විසඳීම, අපි එහි මූලයන් සොයා ගනිමු
හා
. කාර්යයන්
හා
අවකල සමීකරණයේ විසඳුම් වේ. මෙම සමීකරණයේ පොදු විසඳුමේ ස්වරූපය ඇත
.

සංකීර්ණ අංකය ආකෘතියේ ප්රකාශනයක් ලෙස හැඳින්වේ
, කොහෙද හා සැබෑ සංඛ්යා වේ, සහ
මනඃකල්පිත ඒකකය ලෙස හැඳින්වේ. අ
, පසුව අංකය
තනිකරම මනඃකල්පිත ලෙස හැඳින්වේ. නම්
, පසුව අංකය
තාත්වික අංකයකින් හඳුනාගෙන ඇත .

අංකය සංකීර්ණ අංකයේ සැබෑ කොටස ලෙස හැඳින්වේ, සහ - මනඃකල්පිත කොටස. සංකීර්ණ සංඛ්‍යා දෙකක් එකිනෙකට වෙනස් වන්නේ මනඃකල්පිත කොටසේ ලකුණෙන් පමණක් නම්, ඒවා සංයුජ ලෙස හැඳින්වේ:
,
.

උදාහරණය 4 . චතුරස්රාකාර සමීකරණයක් විසඳන්න
.

විසඳුමක් . සමීකරණය වෙනස් කොට සැලකීම
. ඉන්පසු. එලෙසම,
. මේ අනුව, මෙම චතුරස්රාකාර සමීකරණයට සංයුක්ත සංකීර්ණ මූලයන් ඇත.

ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලයන් සංකීර්ණ වීමට ඉඩ දෙන්න, i.e.
,
, කොහෙද
. (2) සමීකරණයට විසඳුම් ලෙස ලිවිය හැක
,
හෝ
,
. ඉයුලර්ගේ සූත්‍රවලට අනුව

,
.

ඉන්පසු ,. දන්නා පරිදි, සංකීර්ණ ශ්‍රිතයක් රේඛීය සමජාතීය සමීකරණයක විසඳුමක් නම්, මෙම සමීකරණයේ විසඳුම් මෙම ශ්‍රිතයේ සැබෑ සහ මනඃකල්පිත කොටස් දෙකම වේ. මේ අනුව, සමීකරණයේ විසඳුම් (2) කාර්යයන් වනු ඇත
හා
. සමානාත්මතාවයේ සිට

සිදු කළ හැක්කේ නම් පමණි
හා
, එවිට මෙම විසඳුම් රේඛීයව ස්වාධීන වේ. එබැවින්, සමීකරණයේ පොදු විසඳුම (2) ආකෘතිය ඇත

කොහෙද හා
අත්තනෝමතික නියත වේ.

උදාහරණ 5 . අවකල සමීකරණයේ පොදු විසඳුම සොයන්න
.

විසඳුමක් . සමීකරණය
දී ඇති අවකලනය සඳහා ලක්ෂණයකි. අපි එය විසඳා සංකීර්ණ මූලයන් ලබා ගනිමු
,
. කාර්යයන්
හා
අවකල සමීකරණයේ රේඛීය ස්වාධීන විසඳුම් වේ. මෙම සමීකරණයේ පොදු විසඳුමේ ස්වරූපය ඇත.

ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලයන් සැබෑ සහ සමාන වීමට ඉඩ දෙන්න, i.e.
. එවිට සමීකරණයේ (2) විසඳුම් ශ්‍රිත වේ
හා
. මෙම විසඳුම් රේඛීයව ස්වාධීන වේ, ප්‍රකාශනය ශුන්‍යයට සමාන විය හැක්කේ විට පමණි
හා
. එබැවින්, සමීකරණයේ පොදු විසඳුම (2) ආකෘතිය ඇත
.

උදාහරණය 6 . අවකල සමීකරණයේ පොදු විසඳුම සොයන්න
.

විසඳුමක් . ලාක්ෂණික සමීකරණය
සමාන මූලයන් ඇත
. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, අවකල සමීකරණයේ රේඛීය ස්වාධීන විසඳුම් කාර්යයන් වේ
හා
. සාමාන්ය විසඳුම ආකෘතිය ඇත
.

නියත සංගුණක සහිත අසමජාතීය දෙවන පෙළ රේඛීය අවකල සමීකරණ

සහ විශේෂ දකුණු පැත්ත

රේඛීය සමජාතීය සමීකරණයේ (1) පොදු විසඳුම පොදු විසඳුමේ එකතුවට සමාන වේ
අනුරූප සමජාතීය සමීකරණය සහ ඕනෑම විශේෂිත විසඳුමක්
සමජාතීය සමීකරණය:
.

සමහර අවස්ථාවලදී, සමජාතීය සමීකරණයක විශේෂිත විසඳුමක් දකුණු පැත්තේ ආකෘතියෙන් සරලව සොයාගත හැකිය.
සමීකරණ (1). හැකි විට අවස්ථා සලකා බලමු.

එම. දකුණු කොටසසමජාතීය නොවන සමීකරණය උපාධියේ බහුපදයකි එම්. අ
ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලයක් නොවේ, එවිට සමජාතීය සමීකරණයේ විශේෂිත විසඳුමක් උපාධි බහුපද ස්වරූපයෙන් සෙවිය යුතුය එම්, i.e.

අසමතුලිතතාවය
විශේෂිත විසඳුමක් සෙවීමේ ක්රියාවලියේදී තීරණය කරනු ලැබේ.

නම්
ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මුල වේ, එවිට සමජාතීය සමීකරණයේ විශේෂිත විසඳුමක් ආකාරයෙන් සෙවිය යුතුය

උදාහරණ 7 . අවකල සමීකරණයේ පොදු විසඳුම සොයන්න
.

විසඳුමක් . මෙම සමීකරණය සඳහා අනුරූප සමජාතීය සමීකරණය වේ
. ඔහුගේ ලක්ෂණ සමීකරණය
මූලයන් ඇත
හා
. සමජාතීය සමීකරණයේ පොදු විසඳුම ආකෘතිය ඇත
.

නිසා
ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලයක් නොවේ, එවිට අපි ශ්‍රිතයක ස්වරූපයෙන් සමජාතීය සමීකරණයේ විශේෂිත විසඳුමක් සොයමු
. මෙම ශ්‍රිතයේ ව්‍යුත්පන්න සොයන්න
,
සහ ඒවා මෙම සමීකරණයට ආදේශ කරන්න:

හෝ . හි සංගුණක සමාන කරන්න සහ නිදහස් සාමාජිකයන්:
තීරණය කරනවා මෙම පද්ධතිය, අපිට ලැබෙනවා
,
. එවිට සමජාතීය සමීකරණයේ විශේෂිත විසඳුමක ස්වරූපය ඇත
, සහ මෙම සමජාතීය සමීකරණයේ සාමාන්‍ය විසඳුම වනුයේ අනුරූප සමජාතීය සමීකරණයේ සාමාන්‍ය විසඳුමේ සහ සමජාතීය එකෙහි විශේෂිත විසඳුමේ එකතුවයි:
.

ඉඩ දෙන්න එපා සමජාතීය සමීකරණයආකෘතිය ඇත

අ
ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලයක් නොවේ, එවිට සමජාතීය සමීකරණයේ විශේෂිත විසඳුමක් ආකාරයෙන් සෙවිය යුතුය. නම්
ලාක්ෂණික ගුණාකාර සමීකරණයේ මුල වේ කේ (කේ=1 හෝ කේ=2), එවිට මෙම අවස්ථාවේ දී සමජාතීය සමීකරණයේ විශේෂිත විසඳුමේ ස්වරූපය ඇත .

උදාහරණ 8 . අවකල සමීකරණයේ පොදු විසඳුම සොයන්න
.

විසඳුමක් . අනුරූප සමජාතීය සමීකරණය සඳහා ලාක්ෂණික සමීකරණයේ ස්වරූපය ඇත
. එහි මුල්
,
. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, අනුරූප සමජාතීය සමීකරණයේ පොදු විසඳුම ලෙස ලියා ඇත
.

ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මුල අංක 3 නොවන බැවින්, සමජාතීය සමීකරණයේ විශේෂිත විසඳුමක් ආකෘතියෙන් සෙවිය යුතුය.
. පළමු සහ දෙවන ඇණවුම් වල ව්‍යුත්පන්නයන් සොයා ගනිමු :,

අවකල සමීකරණයට ආදේශ කරන්න:
+ +,
+,.

හි සංගුණක සමාන කරන්න සහ නිදහස් සාමාජිකයන්:

මෙතැන් සිට
,
. එවිට මෙම සමීකරණයේ විශේෂිත විසඳුමක ස්වරූපය ඇත
, සහ පොදු විසඳුම

.

අත්තනෝමතික නියතයන් වෙනස් කිරීමේ Lagrange ක්රමය

අත්තනෝමතික නියතවල විචලනය කිරීමේ ක්‍රමය දකුණු පැත්තේ ස්වරූපය කුමක් වුවත් නියත සංගුණක සහිත ඕනෑම සමජාතීය රේඛීය සමීකරණයකට යෙදිය හැකිය. මෙම ක්‍රමය මඟින් සමජාතීය සමීකරණයේ සාමාන්‍ය විසඳුම දන්නේ නම් සමජාතීය සමීකරණයකට සාමාන්‍ය විසඳුමක් සැමවිටම සොයා ගැනීමට හැකි වේ.

ඉඩ
හා
සම (2) හි රේඛීය ස්වාධීන විසඳුම් වේ. එවිට මෙම සමීකරණයට පොදු විසඳුම වේ
, කොහෙද හා
අත්තනෝමතික නියත වේ. අත්තනෝමතික නියතවල විචලනය කිරීමේ ක්‍රමයේ සාරය නම් (1) සමීකරණයේ සාමාන්‍ය විසඳුම ආකෘතියෙන් සොයයි

කොහෙද
හා
- නව නොදන්නා විශේෂාංග සොයා ගැනීමට. නොදන්නා ශ්‍රිත දෙකක් ඇති බැවින් ඒවා සෙවීමට මෙම ශ්‍රිත අඩංගු සමීකරණ දෙකක් අවශ්‍ය වේ. මෙම සමීකරණ දෙක පද්ධතිය සෑදෙයි

සම්බන්ධ රේඛීය වීජීය සමීකරණ පද්ධතියකි
හා
. මෙම පද්ධතිය විසඳීම, අපි සොයා ගනිමු
හා
. ලබාගත් සමානාත්මතාවයේ කොටස් දෙකම ඒකාබද්ධ කිරීම, අපි සොයා ගනිමු

හා
.

මෙම ප්‍රකාශන (9) වෙත ආදේශ කිරීම, අපි සමජාතීය රේඛීය සමීකරණයේ (1) පොදු විසඳුම ලබා ගනිමු.

උදාහරණ 9 . අවකල සමීකරණයේ පොදු විසඳුම සොයන්න
.

විසඳුමක්. දී ඇති අවකල සමීකරණයට අනුරූප වන සමජාතීය සමීකරණය සඳහා ලාක්ෂණික සමීකරණය වේ
. එහි මූලයන් සංකීර්ණ වේ
,
. නිසා
හා
, එවිට
,
, සහ සමජාතීය සමීකරණයේ පොදු විසඳුම ආකෘතිය ඇත එවිට මෙම සමජාතීය සමීකරණයේ සාමාන්‍ය විසඳුම කොතැනද යන ආකාරයෙන් සොයනු ඇත
හා
- නොදන්නා කාර්යයන්.

මෙම නොදන්නා ශ්‍රිත සොයා ගැනීම සඳහා වන සමීකරණ පද්ධතියට ආකෘතිය ඇත

මෙම පද්ධතිය විසඳීම, අපි සොයා ගනිමු
,
. ඉන්පසු

,
. අපි සාමාන්‍ය විසඳුම් සූත්‍රයට ලබාගත් ප්‍රකාශන ආදේශ කරමු:

Lagrange ක්‍රමය මගින් ලබා ගන්නා මෙම අවකල සමීකරණයේ සාමාන්‍ය විසඳුම මෙයයි.

දැනුම ස්වයං පාලනය සඳහා ප්රශ්න

නියත සංගුණක සහිත දෙවන පෙළ රේඛීය අවකල සමීකරණයක් ලෙස හඳුන්වන අවකල සමීකරණය කුමක්ද?

සමජාතීය ලෙස හඳුන්වන රේඛීය අවකල සමීකරණය සහ සමජාතීය නොවන ලෙස හඳුන්වන්නේ කුමක්ද?

රේඛීය සමජාතීය සමීකරණයක ගුණාංග මොනවාද?

රේඛීය අවකල සමීකරණයක් සඳහා ලාක්ෂණික ලෙස හඳුන්වන සමීකරණය කුමක්ද සහ එය ලබා ගන්නේ කෙසේද?

ලාක්ෂණික සමීකරණයේ විවිධ මූලයන් සම්බන්ධයෙන් නියත සංගුණක සහිත රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණයක සාමාන්‍ය විසඳුම ලියා ඇත්තේ කුමන ආකාරයෙන්ද?

ලාක්ෂණික සමීකරණයේ සමාන මූලයන් සම්බන්ධයෙන් නියත සංගුණක සහිත රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණයක සාමාන්‍ය විසඳුම ලියා ඇත්තේ කුමන ආකාරයෙන්ද?

ලාක්ෂණික සමීකරණයේ සංකීර්ණ මූලයන් සම්බන්ධයෙන් නියත සංගුණක සහිත රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණයක සාමාන්‍ය විසඳුම ලියා ඇත්තේ කුමන ආකාරයෙන්ද?

රේඛීය සමජාතීය සමීකරණයක සාමාන්‍ය විසඳුම ලියා ඇත්තේ කෙසේද?

ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලයන් වෙනස් සහ ශුන්‍යයට සමාන නොවේ නම් සහ සමීකරණයේ දකුණු පැත්ත අංශකයේ බහුපදයක් නම් රේඛීය සමජාතීය සමීකරණයක විශේෂිත විසඳුමක් සොයන්නේ කුමන ආකාරයෙන්ද? එම්?

ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලයන් අතර එක් ශුන්‍යයක් තිබේ නම් සහ සමීකරණයේ දකුණු පැත්ත අංශක බහුපදයක් නම් රේඛීය අසමජාතී සමීකරණයක විශේෂිත විසඳුමක් සොයන්නේ කුමන ආකාරයෙන්ද? එම්?

Lagrange ක්රමයේ සාරය කුමක්ද?

නියත සංගුණක (PC) සහිත දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි (LNDE-2) රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණ විසඳීමේ මූලික කරුණු

නියත සංගුණක $p$ සහ $q$ සහිත දෙවන පෙළ CLDE එකකට $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$ පෝරමය ඇත, එහිදී $f\left( x \right)$ යනු අඛණ්ඩ ශ්‍රිතයකි.

PC සමඟ 2nd LNDE සම්බන්ධයෙන් පහත ප්‍රකාශ දෙක සත්‍ය වේ.

සමහර ශ්‍රිතය $U$ යනු සමජාතීය අවකල සමීකරණයක අත්තනෝමතික විශේෂිත විසඳුමක් යැයි උපකල්පනය කරන්න. සමහර ශ්‍රිතය $Y$ යනු අනුරූප රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණයේ (LODE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$ හි සාමාන්‍ය විසඳුමක් (OR) යැයි උපකල්පනය කරමු. එවිට OR හි LHDE-2 දක්වා ඇති පුද්ගලික සහ සාමාන්‍ය විසඳුම්වල එකතුවට සමාන වේ, එනම් $y=U+Y$.

2 වන අනුපිළිවෙල LIDE හි දකුණු පැත්ත ශ්‍රිතවල එකතුව නම්, එනම් $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x\right )+. $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$, සහ ඉන් පසුව ලියන්න LNDE-2 PD ලෙස $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $.

PC සමඟ 2nd order LNDE විසඳුම

පැහැදිලිවම, ලබා දී ඇති LNDE-2 හි PD $U$ එකක හෝ තවත් PD ආකෘතියක් එහි දකුණු පස $f\වම(x\දකුණ)$ හි නිශ්චිත ආකෘතිය මත රඳා පවතී. LNDE-2 හි PD සෙවීමේ සරලම අවස්ථා පහත සඳහන් නීති හතරක් ලෙස සකස් කර ඇත.

රීති අංක 1.

LNDE-2 හි දකුණු පැත්තේ $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$ පෝරමය ඇත, මෙහි $P_(n) \left(x\right)=a_(0 ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, එනම් එය a ලෙස හැඳින්වේ. $n$ උපාධියේ බහුපද. එවිට එහි PR $U$ සොයන්නේ $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $ ආකාරයෙන්, මෙහි $Q_(n) \left(x\right)$ යනු තවත් එකක් වේ. $P_(n) \left(x\right)$ ට සමාන උපාධියේ බහුපද, සහ $r$ යනු අදාල LODE-2 හි ලාක්ෂණික සමීකරණයේ ශුන්‍ය මූල ගණනයි. බහුපද $Q_(n) \left(x\right)$ හි සංගුණක සොයාගනු ලබන්නේ අවිනිශ්චිත සංගුණක (NC) ක්‍රමය මගිනි.

රීති අංක 2.

LNDE-2 හි දකුණු පැත්තේ $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$ පෝරමය ඇත, එහිදී $P_(n) \left( x\right)$ යනු $n$ උපාධියේ බහුපදයකි. එවිට එහි PD $U$ සොයන්නේ $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $ ආකාරයෙන්, එහිදී $Q_(n ) \ left(x\right)$ යනු $P_(n) \left(x\right)$ ට සමාන උපාධියේ තවත් බහුපදයක් වන අතර $r$ යනු අදාල LODE-2 හි ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූල ගණන වේ. $\alpha $ ට සමාන වේ. බහුපද $Q_(n) \left(x\right)$ හි සංගුණක NK ක්‍රමය මගින් සොයා ගැනේ.

රීති අංක 3.

LNDE-2 හි දකුණු කොටසෙහි $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x පෝරමය ඇත. \right) $, මෙහි $a$, $b$ සහ $\beta $ දන්නා සංඛ්‍යා වේ. එවිට එහි PD $U$ සොයන්නේ $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right යන පෝරමයෙනි. )\දකුණ )\cdot x^(r) $, මෙහි $A$ සහ $B$ නොදන්නා සංගුණක වන අතර $r$ යනු $i\cdot ට සමාන අනුරූප LODE-2 හි ලක්ෂණ සමීකරණයේ මූල ගණනයි. \beta $. $A$ සහ $B$ යන සංගුණක සොයාගනු ලබන්නේ NDT ක්‍රමය මගිනි.

රීති අංක 4.

LNDE-2 හි දකුණු පැත්තේ $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$ පෝරමය ඇත, මෙහි $P_(n) \left(x\right)$ වේ $ n$ උපාධියේ බහුපදයක්, සහ $P_(m) \left(x\right)$ යනු $m$ උපාධියේ බහුපදයකි. එවිට එහි PD $U$ සොයන්නේ $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $ ආකාරයෙන්, එහිදී $Q_(s) \left(x\right) $ සහ $ R_(s) \left(x\right)$ යනු $s$ උපාධියේ බහුපද, $s$ යනු $n$ සහ $m$ යන උපරිම සංඛ්‍යා දෙක වන අතර $r$ යනු සංඛ්‍යාවයි. $\alpha +i\cdot \beta $ ට සමාන, අනුරූප LODE-2 හි ලක්ෂණ සමීකරණයේ මූලයන්. බහුපද $Q_(s) \left(x\right)$ සහ $R_(s) \left(x\right)$ වල සංගුණක NK ක්‍රමය මගින් සොයා ගැනේ.

NDT ක්රමය අයදුම් කිරීමේදී සමන්විත වේ ඊළඟ රීතිය. LNDE-2 සමජාතීය අවකල සමීකරණයේ විශේෂිත විසඳුමේ කොටසක් වන බහුපදයේ නොදන්නා සංගුණක සොයා ගැනීම සඳහා, එය අවශ්‍ය වේ:

• සාමාන්‍ය ආකාරයෙන් ලියා ඇති PD $U$ වෙනුවට ආදේශ කරන්න වම් පැත්ත LNDU-2;
• LNDE-2 හි වම් පැත්තේ, $x$ එකම බලතල සහිත සරල කිරීම් සහ කණ්ඩායම් නියමයන් සිදු කරන්න;
• ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන අනන්‍යතාවයේ, වාම සහ දකුණු පැතිවල $x$ සමාන බලතල සහිත නියමවල සංගුණක සමාන කරන්න;
• නොදන්නා සංගුණක සඳහා ලැබෙන රේඛීය සමීකරණ පද්ධතිය විසඳන්න.

උදාහරණ 1

කාර්යය: OR LNDE-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\දකුණ)\cdot e^(3\cdot x) $ සොයා ගන්න. එසේම සොයා ගන්න PR, $x=0$ සඳහා $y=6$ සහ $x=0$ සඳහා $y"=1$ යන මූලික කොන්දේසි සපුරාලයි.

අදාළ LODA-2 ලියන්න: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.

ලාක්ෂණික සමීකරණය: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලයන්: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. මෙම මූලයන් සැබෑ සහ වෙනස් වේ. මේ අනුව, අදාළ LODE-2 හි OR හි පෝරමය ඇත: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.

මෙම LNDE-2 හි දකුණු කොටසෙහි $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ පෝරමය ඇත. $\alpha =3$ හි ඝාතකයේ සංගුණකය සලකා බැලීම අවශ්‍ය වේ. මෙම සංගුණකය ලාක්ෂණික සමීකරණයේ කිසිදු මූලයක් සමඟ සමපාත නොවේ. එබැවින් මෙම LNDE-2 හි PR හි $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ පෝරමය ඇත.

අපි NK ක්‍රමය භාවිතයෙන් $A$, $B$ යන සංගුණක සොයන්නෙමු.

අපි CR හි පළමු ව්‍යුත්පන්නය සොයා ගනිමු:

$U"=\left(A\cdot x+B\right)^(") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^(") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\වම(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

අපි CR හි දෙවන ව්‍යුත්පන්නය සොයා ගනිමු:

$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^(") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^(") ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\වම(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

අපි ලබා දී ඇති LNDE-2 $y""-3\cdot y" වෙත $y""$, $y"$ සහ $y$ වෙනුවට $U""$, $U"$ සහ $U$ යන ශ්‍රිත ආදේශ කරමු. -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\දකුණ)\cdot e^(3\cdot x).$ ඒ සමගම $e^(3\cdot x) $ ඝාතකය ඇතුලත් වන බැවින් සියලුම සංරචකවල සාධකයක් ලෙස, එවිට එය මඟ හැරිය හැක.

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \වම(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$

ප්රතිඵලය සමානාත්මතාවයේ වම් පැත්තෙන් අපි ක්රියාවන් සිදු කරන්නෙමු:

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

අපි NC ක්රමය භාවිතා කරමු. නොදන්නා කරුණු දෙකක් සහිත රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියක් අපට ලැබේ:

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

මෙම පද්ධතියට විසඳුම වන්නේ: $A=-2$, $B=-1$.

අපගේ ගැටලුව සඳහා CR $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ මෙසේ දිස්වේ: $U=\left(-2\cdot x-1\right ) \cdot e^(3\cdot x) $.

අපගේ ගැටලුව සඳහා OR $y=Y+U$ මෙසේ දිස්වේ: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ වම් (-2\cdot x-1\දකුණ)\cdot e^(3\cdot x) $.

ලබා දී ඇති මූලික කොන්දේසි තෘප්තිමත් කරන PD එකක් සෙවීම සඳහා, අපි $y"$ හෝ ව්‍යුත්පන්නය සොයා ගනිමු:

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\වම(-2\cdot x-1\දකුණ)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

අපි $x=0$ සඳහා $y=6$ සඳහා $y$ සහ $y"$ සහ $x=0$ සඳහා $y"=1$ යන ආරම්භක කොන්දේසි ආදේශ කරමු:

$6=C_(1) +C_(2) -1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

අපට සමීකරණ පද්ධතියක් තිබේ:

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$

අපි ඒක විසඳනවා. අපි ක්‍රේමර්ගේ සූත්‍රය භාවිතයෙන් $C_(1) $ සොයා ගන්නා අතර $C_(2) $ පළමු සමීකරණයෙන් තීරණය වේ:

$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ start(array)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(array)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$

මේ අනුව, මෙම අවකල සමීකරණයේ PD: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right )\cdot e^(3\cdot x) $.

නියත සංගුණක සමඟ දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණ විසඳීමේ ප්රශ්නය මෙම ලිපියෙන් හෙළි කරයි. ලබා දී ඇති ගැටළු පිළිබඳ උදාහරණ සමඟ න්‍යාය සලකා බලනු ඇත. තේරුම්ගත නොහැකි නියමයන් විකේතනය කිරීම සඳහා, අවකල සමීකරණ න්‍යායේ මූලික අර්ථ දැක්වීම් සහ සංකල්ප යන මාතෘකාවට යොමු කිරීම අවශ්‍ය වේ.

y "" + p y " + q y \u003d f (x) ආකෘතියේ නියත සංගුණක සහිත දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි රේඛීය අවකල සමීකරණයක් (LDE) සලකා බලන්න, p සහ q යනු අත්තනෝමතික සංඛ්‍යා වන අතර පවතින ශ්‍රිතය f (x) වේ. අනුකලනය x මත අඛණ්ඩව.

අපි LIDE සඳහා සාමාන්‍ය විසඳුම් ප්‍රමේයය සැකසීමට යමු.

Yandex.RTB R-A-339285-1

LDNU සඳහා සාමාන්‍ය විසඳුම් ප්‍රමේයය

ප්රමේයය 1

y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + ආකෘතියේ සමජාතීය අවකල සමීකරණයක x අන්තරය මත පිහිටා ඇති සාමාන්‍ය විසඳුම. . . + f 0 (x) y = f (x) x පරතරය මත අඛණ්ඩ ඒකාබද්ධතා සංගුණක සමඟ f 0 (x) , f 1 (x) , . . . , f n - 1 (x) සහ අඛණ්ඩ ශ්‍රිතයක් f (x) යනු LODE ට අනුරූප වන සාමාන්‍ය ද්‍රාවණ y 0 හි එකතුවට සමාන වන අතර, මුල් සමජාතීය සමීකරණය y = y 0 වන සමහර විශේෂිත විසඳුමක් y ~ + y ~ .

මෙයින් පෙන්නුම් කරන්නේ එවැනි දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි විසඳුමෙහි y = y 0 + y ~ ආකෘතිය ඇති බවයි. y 0 සොයා ගැනීම සඳහා ඇල්ගොරිතම නියත සංගුණක සහිත දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණ පිළිබඳ ලිපියෙහි සලකා බලනු ලැබේ. ඊට පසු, යමෙකු y ~ හි අර්ථ දැක්වීමට යා යුතුය.

LIDE සඳහා විශේෂිත විසඳුමක් තෝරාගැනීම සමීකරණයේ දකුණු පැත්තේ පිහිටා ඇති f (x) ශ්‍රිතයේ වර්ගය මත රඳා පවතී. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, නියත සංගුණක සහිත දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණවල විසඳුම් වෙන වෙනම සලකා බැලීම අවශ්ය වේ.

f (x) යනු n වැනි අංශක f (x) = P n (x) හි බහුපදයක් ලෙස සලකන විට, LIDE හි නිශ්චිත විසඳුමක් y ~ = Q n (x) ආකෘතියේ සූත්‍රයකින් සොයා ගන්නා බව පහත දැක්වේ. ) x γ , Q n (x) යනු n උපාධියේ බහුපදයක් වන අතර, r යනු ලාක්ෂණික සමීකරණයේ ශුන්‍ය මූල ගණනයි. y ~ හි අගය විශේෂිත විසඳුමකි y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) , පසුව පවතින සංගුණක, බහුපදයෙන් අර්ථ දක්වා ඇත.
Q n (x), y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) සමානාත්මතාවයෙන් අවිනිශ්චිත සංගුණක ක්‍රමය භාවිතා කරන බව අපි සොයා ගනිමු.

උදාහරණ 1

Cauchy ප්‍රමේයය y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 භාවිතා කරමින් ගණනය කරන්න.

විසඳුමක්

වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, නියත සංගුණක y "" - 2 y " = x 2 + 1 සමඟ දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි රේඛීය අසමජාතීය අවකල සමීකරණයක විශේෂිත විසඳුමක් වෙත ගමන් කිරීම අවශ්ය වේ, එය ලබා දී ඇති කොන්දේසි සපුරාලනු ඇත y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .

රේඛීය සමජාතීය සමීකරණයක සාමාන්‍ය විසඳුම y 0 සමීකරණයට අනුරූප වන සාමාන්‍ය ද්‍රාවණයේ එකතුව හෝ සමජාතීය සමීකරණයේ y ~ , එනම් y = y 0 + y ~ .

පළමුව, අපි LNDE සඳහා පොදු විසඳුමක් සොයා ගනිමු, පසුව විශේෂිත එකක්.

අපි y 0 සෙවීමට යමු. ලාක්ෂණික සමීකරණය ලිවීම මූලයන් සොයා ගැනීමට උපකාරී වේ. අපිට ඒක ලැබෙනවා

k 2 - 2 k \u003d 0 k (k - 2) \u003d 0 k 1 \u003d 0, k 2 \u003d 2

මූලයන් වෙනස් හා සැබෑ බව අපට පෙනී ගියේය. එබැවින් අපි ලියන්නෙමු

y 0 \u003d C 1 e 0 x + C 2 e 2 x \u003d C 1 + C 2 e 2 x.

අපි y ~ සොයා ගනිමු. දකුණු පැත්ත බව පෙනේ ලබා දී ඇති සමීකරණයදෙවන උපාධිය බහුපදයකි, එවිට එක් මූලයක් ශුන්‍යයට සමාන වේ. මෙතැන් සිට අපට y ~ සඳහා විශේෂිත විසඳුමක් ලැබෙනු ඇත

y ~ = Q 2 (x) x γ \u003d (A x 2 + B x + C) x \u003d A x 3 + B x 2 + C x, A, B, C හි අගයන් නිර්වචනය නොකළ සංගුණක ගන්න.

අපි ඒවා y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 පෝරමයේ සමානාත්මතාවයකින් සොයා ගනිමු.

එවිට අපට එය ලැබේ:

y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C "- 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1

එකම ඝාතකයන් සමඟ සංගුණක සමාන කිරීම x , අපි රේඛීය ප්රකාශන පද්ධතියක් ලබා ගනිමු - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1 . ඕනෑම ආකාරයකින් විසඳන විට, අපි සංගුණක සොයාගෙන ලියන්නෙමු: A \u003d - 1 6, B \u003d - 1 4, C \u003d - 3 4 සහ y ~ \u003d A x 3 + B x 2 + C x \u003d - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x .

මෙම ප්‍රවේශය නියත සංගුණක සහිත මුල් රේඛීය සමජාතීය දෙවන අනුපිළිවෙල අවකල සමීකරණයේ සාමාන්‍ය විසඳුම ලෙස හැඳින්වේ.

y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 කොන්දේසි සපුරාලන විශේෂිත විසඳුමක් සොයා ගැනීමට, අගයන් තීරණය කිරීම අවශ්ය වේ C1හා C2, y \u003d C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x පෝරමයේ සමානාත්මතාවයක් මත පදනම්ව.

අපට එය ලැබෙන්නේ:

y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y "(0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x "x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4

අපි C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4 ආකෘතියේ සමීකරණ පද්ධතිය සමඟ වැඩ කරන්නෙමු, එහිදී C 1 = 3 2, C 2 = 1 2 .

කෞචි ප්‍රමේයය යෙදීමෙන් අපට එය තිබේ

y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x

පිළිතුර: 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .

f (x) ශ්‍රිතය n උපාධියක් සහිත බහුපදයක ගුණිතයක් ලෙස සහ f (x) = P n (x) e a x ඝාතකයක් ලෙස නිරූපණය කරන විට, මෙතැන් සිට අපි දෙවන අනුපිළිවෙල LIDE හි නිශ්චිත විසඳුමක් ලබා ගනිමු. y ~ = e a x Q n ( x) · x γ ආකෘතියේ සමීකරණයකි , Q n (x) යනු n වන උපාධියේ බහුපදයක් වන අතර r යනු α ට සමාන ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූල ගණන වේ.

Q n (x) ට අයත් සංගුණක y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) සමානාත්මතාවයෙන් සොයා ගනී.

උදාහරණය 2

y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x ආකෘතියේ අවකල සමීකරණයක පොදු විසඳුම සොයන්න.

විසඳුමක්

සමීකරණය සාමාන්ය දැක්ම y = y 0 + y ~ . දක්වා ඇති සමීකරණය LOD y "" - 2 y " = 0 ට අනුරූප වේ. පෙර උදාහරණය පෙන්නුම් කරන්නේ එහි මූලයන් k1 = 0සහ k 2 = 2 සහ y 0 = C 1 + C 2 e 2 x ලාක්ෂණික සමීකරණයට අනුව.

සමීකරණයේ දකුණු පැත්ත x 2 + 1 · e x බව දැකිය හැකිය. මෙතැන් සිට, LNDE y ~ = e a x Q n (x) x γ හරහා සොයා ගනු ලැබේ, මෙහි Q n (x) , එය දෙවන උපාධියේ බහුපදයක් වන අතර, α = 1 සහ r = 0 , ලාක්ෂණික සමීකරණය නොමැති නිසා 1 ට සමාන මූලයක් ඇත. එබැවින් අපට එය ලැබේ

y ~ = e a x Q n (x) x γ = e x A x 2 + B x + C x 0 = e x A x 2 + B x + C .

A, B, C යනු නොදන්නා සංගුණක වන අතර, y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x සමානාත්මතාවයෙන් සොයාගත හැකිය.

තේරුණා

y ~ "= e x A x 2 + B x + C" = e x A x 2 + B x + C + e x 2 A x + B == e x A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x 2 A x + 2 A + B = = e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C

y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 e x ⇔ e x - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) e x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = 1 x 2 + 0 x + 1

අපි එකම සංගුණක සඳහා දර්ශක සමාන කර රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියක් ලබා ගනිමු. මෙතැන් සිට අපි A, B, C සොයා ගනිමු:

A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ A = - 1 B = 0 C = - 3

පිළිතුර: y ~ = e x (A x 2 + B x + C) = e x - x 2 + 0 x - 3 = - e x x 2 + 3 යනු LIDE හි විශේෂිත විසඳුමක් වන අතර y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3

ශ්‍රිතය f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x ලෙස ලියා ඇති විට, සහ A 1හා IN 1සංඛ්‍යා වේ, පසුව y ~ = A cos β x + B sin β x x γ ආකෘතියේ සමීකරණයකි, මෙහි A සහ ​​B අවිනිශ්චිත සංගුණක ලෙස සලකනු ලැබේ, සහ r ලාක්ෂණික සමීකරණයට අදාළ සංකීර්ණ සංයුජ මූල සංඛ්‍යාව, සමාන වේ ± i β. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, සංගුණක සඳහා සෙවීම සිදු කරනු ලබන්නේ සමානාත්මතාවයෙන් y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

උදාහරණය 3

y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ආකෘතියේ අවකල සමීකරණයක පොදු විසඳුම සොයන්න.

විසඳුමක්

ලාක්ෂණික සමීකරණය ලිවීමට පෙර, අපි y 0 සොයා ගනිමු. ඉන්පසු

k 2 + 4 \u003d 0 k 2 \u003d - 4 k 1 \u003d 2 i, k 2 \u003d - 2 i

අපට සංකීර්ණ සංයුජ මූල යුගලයක් ඇත. අපි පරිවර්තනය කර ලබා ගනිමු:

y 0 \u003d e 0 (C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x)) \u003d C 1 cos 2 x + C 2 sin (2 x)

ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලයන් සංයුජ යුගලයක් ලෙස සලකනු ලැබේ ± 2 i , පසුව f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x) . මෙයින් පෙන්නුම් කරන්නේ y ~ සඳහා සෙවීම y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x වලින් බව. නොදන්නා සංගුණක A සහ ​​B y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ආකෘතියේ සමානාත්මතාවයකින් සොයනු ඇත.

අපි පරිවර්තනය කරමු:

y ~ " = ((A cos (2 x) + B sin (2 x) x) " = = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x) y ~ "" = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x)

එතකොට ඒක පේනවා

y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ - 4 A sin (2 x) + 4B cos(2x) = cos(2x) + 3 sin(2x)

සයින් සහ කෝසයිනවල සංගුණක සමාන කිරීම අවශ්ය වේ. අපි පෝරමයේ පද්ධතියක් ලබා ගනිමු:

4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = - 3 4 B = 1 4

එය පහත දැක්වෙන්නේ y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x .

පිළිතුර:නියත සංගුණක සහිත දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි මුල් LIDE හි පොදු විසඳුම ලෙස සැලකේ

y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x

f (x) = e a x P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x) , එවිට y ~ = e a x (L m (x) sin (β x) + N m (x ) cos (β x) x γ අපට ඇත්තේ r යනු ලාක්ෂණික සමීකරණයට අදාළ මූල සංකීර්ණ සංයුජ යුගල ගණන වන අතර, α ± i β ට සමාන වන අතර P n (x) , Q k (x) , L m ( x) සහ N m (x) n, k, m යන උපාධියේ බහුපද වේ m = m a x (n, k). සංගුණක සොයා ගැනීම L m (x)හා N m (x)සමානාත්මතාවය මත නිපදවනු ලැබේ y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

උදාහරණය 4

සාමාන්‍ය විසඳුම සොයන්න y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) .

විසඳුමක්

බව කොන්දේසියෙන් පැහැදිලි වේ

α = 3 , β = 5 , P n (x) = - 38 x - 45 , Q k (x) = - 8 x + 5 , n = 1 , k = 1

එවිට m = m a x (n , k) = 1 . පෝරමයේ ලාක්ෂණික සමීකරණය මුලින්ම ලිවීමෙන් අපි y 0 සොයා ගනිමු:

k 2 - 3 k + 2 = 0 D = 3 2 - 4 1 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1, k 2 = 3 + 1 2 = 2

මූලයන් සැබෑ සහ වෙනස් බව අපට පෙනී ගියේය. එබැවින් y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x . ඊළඟට, පෝරමයේ y ~ සමජාතීය සමීකරණයක් මත පදනම් වූ පොදු විසඳුමක් සොයා බැලීම අවශ්ය වේ.

y ~ = e α x (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))

α ± i β = 3 ± 5 · i සමඟ ලාක්ෂණික සමීකරණයට අදාළ සංයුජ මූල යුගලයක් නොමැති නිසා A, B, C සංගුණක, r = 0 බව දන්නා කරුණකි. මෙම සංගුණක ප්රතිඵල සමානාත්මතාවයෙන් සොයාගත හැකිය:

y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (( A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) "" - - 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))

ව්යුත්පන්න සහ සමාන පද සොයා ගැනීම ලබා දෙයි

E 3 x ((15 A + 23 C) x sin (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) sin (5 x) + + (23 A - 15 C) x cos (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) cos (5 x)) = = - e 3 x (38 x sin (5 x) + 45 sin (5 x) + + 8 x cos ( 5 x) - 5 cos (5 x))

සංගුණක සමීකරණය කිරීමෙන් පසුව, අපි පෝරමයේ පද්ධතියක් ලබා ගනිමු

15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 D = 1

සියල්ලෙන් එය පහත දැක්වේ

y ~= e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) == e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x +1)පව්(5x))

පිළිතුර:දැන් ලබා දී ඇති රේඛීය සමීකරණයේ පොදු විසඳුම ලබාගෙන ඇත:

y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))

LDNU විසඳීම සඳහා ඇල්ගොරිතම

අර්ථ දැක්වීම 1

විසඳුම සඳහා වෙනත් ඕනෑම ආකාරයක f (x) ශ්‍රිතයක් විසඳුම් ඇල්ගොරිතම සඳහා සපයයි:

• y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2 , එහිදී අනුරූප රේඛීය සමජාතීය සමීකරණයේ පොදු විසඳුම සොයා ගැනීම y 1හා y2 LODE හි රේඛීයව ස්වාධීන විශේෂිත විසඳුම් වේ, 1 සිටහා 2 සිටඅත්තනෝමතික නියතයන් ලෙස සලකනු ලැබේ;
• LIDE y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2 හි පොදු විසඳුමක් ලෙස පිළිගැනීම;
• C 1 "(x) + y 1 (x) + C 2 "(x) y 2 (x) = 0 C 1 "(x) + y 1" (x) ආකෘතියේ පද්ධතියක් හරහා ශ්‍රිතයක ව්‍යුත්පන්න අර්ථ දැක්වීම ) + C 2 "(x) y 2 "(x) = f (x) , සහ ශ්‍රිත සොයාගැනීම C 1 (x)සහ C 2 (x) ඒකාබද්ධ කිරීම හරහා.

උදාහරණ 5

y "" + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x සඳහා පොදු විසඳුම සොයන්න.

විසඳුමක්

අපි කලින් y 0 , y "" + 36 y = 0 ලියා ඇති ලාක්ෂණික සමීකරණය ලිවීමට ඉදිරියට යමු. අපි ලියා විසඳමු:

k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i , k 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = පාපය (6 x)

ලබා දී ඇති සමීකරණයේ සාමාන්‍ය විසඳුමේ වාර්තාව y = C 1 (x) cos (6 x) + C 2 (x) sin (6 x) ආකාරය ගන්නා බව අපට තිබේ. ව්යුත්පන්න ශ්රිතවල නිර්වචනය වෙත ගමන් කිරීම අවශ්ය වේ C 1 (x)හා C2(x)සමීකරණ සමඟ පද්ධතියට අනුව:

C 1 "(x) cos (6 x) + C 2" (x) sin (6 x) = 0 C 1 "(x) (cos (6 x))" + C 2 "(x) (sin (6) x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) cos (6 x) + C 2 " (x) sin (6 x) = 0 C 1 " (x) (- 6 sin (6 x) + C 2 " (x) (6 cos (6 x)) \u003d \u003d 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x

යන්න සම්බන්ධයෙන් තීරණයක් ගත යුතුය C 1 "(x)හා C2" (x)ඕනෑම ක්රමයක් භාවිතා කිරීම. එවිට අපි මෙසේ ලියමු.

C 1 "(x) \u003d - 4 sin 2 (6 x) + 2 sin (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x sin (6 x) C 2 "(x) \u003d 4 sin (6 x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)

සෑම සමීකරණයක්ම ඒකාබද්ධ කළ යුතුය. එවිට අපි ප්රතිඵල සමීකරණ ලියන්නෙමු:

C 1 (x) = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4

සාමාන්‍ය විසඳුමට පෝරමය ඇති බව පහත දැක්වේ:

y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4 sin (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6 x)

පිළිතුර: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6x)

ඔබ පෙළෙහි වරදක් දුටුවහොත්, කරුණාකර එය උද්දීපනය කර Ctrl+Enter ඔබන්න

රේඛීය සමජාතීය සමීකරණයක සාමාන්‍ය විසඳුම දන්නා විට, අත්තනෝමතික නියත විචලනය කිරීමේ ක්‍රමය මගින් සමජාතීය සමීකරණයක සාමාන්‍ය විසඳුමක් සොයාගත හැකි බව අපි දැක ඇත්තෙමු. කෙසේ වෙතත්, සමජාතීය සමීකරණයේ පොදු විසඳුම සොයා ගන්නේ කෙසේද යන ප්රශ්නය විවෘතව පැවතුනි. විශේෂිත අවස්ථාවක, රේඛීය අවකල සමීකරණයේ (3) සියලුම සංගුණක ඇති විට p i(x)= a i - නියතයන්, එය ඒකාබද්ධ කිරීමකින් තොරව පවා සරලව විසඳනු ලැබේ.

නියත සංගුණක සහිත රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණයක් සලකා බලන්න, එනම්, පෝරමයේ සමීකරණ

y (n) + a 1 y (n – 1) + ... අ n – 1 y " + a n y = 0, (14)

කොහෙද a i- නියතයන් (මම= 1, 2, ...,n).

දන්නා පරිදි, 1 වන අනුපිළිවෙලෙහි රේඛීය සමජාතීය සමීකරණයක් සඳහා, විසඳුම පෝරමයේ ශ්‍රිතයකි. ඊ kxඅපි පෝරමයේ සම (14) සඳහා විසඳුමක් සොයමු j (x) = ඊ kx.

අපි ශ්‍රිතය (14) සමීකරණයට ආදේශ කරමු j (x) සහ එහි ඇණවුම් ව්‍යුත්පන්න එම් (1 £ එම්£ n)j (එම්) (x) = k m e kx. ලබාගන්න

(k n + a 1 k n – 1 +… සහ එන් – 1 k + a n)e kx = 0,

නමුත් ඊ k x ¹ ඕනෑම දෙයක් සඳහා 0 x, ඒක තමයි

k n + a 1 k n – 1 + ... අ n – 1 k + a n = 0. (15)

සමීකරණය (15) ලෙස හැඳින්වේ ලක්ෂණ සමීකරණය, වම් පැත්තේ බහුපද,- ලක්ෂණ බහුපද , එහි මූලයන්- ලක්ෂණ මූලයන් අවකල සමීකරණය (14).

නිගමනය:

කාර්යයj (x) = ඊ kx - රේඛීය සමජාතීය සමීකරණයේ විසඳුම (14) නම් සහ අංකය නම් පමණි කේ - ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මුල (15).

මේ අනුව, රේඛීය සමජාතීය සමීකරණය (14) විසඳීමේ ක්‍රියාවලිය වීජීය සමීකරණය (15) විසඳීම දක්වා අඩු වේ.

ලාක්ෂණික මුල්වල විවිධ අවස්ථා තිබේ.

1.ලාක්ෂණික සමීකරණයේ සියලුම මූලයන් සැබෑ සහ වෙනස් වේ.

මේ අවස්ථාවේ දී nවිවිධ ලක්ෂණ මූලයන් කේ 1 ,කේ 2 ,..., කේ එන්අනුරූප වේ nසමජාතීය සමීකරණයේ විවිධ විසඳුම් (14)

මෙම විසඳුම් රේඛීයව ස්වාධීන වන අතර එම නිසා එය සෑදිය හැකි බව පෙන්විය හැක මූලික පද්ධතියවිසඳුම්. මේ අනුව, සමීකරණයට පොදු විසඳුම ශ්රිතය වේ

කොහෙද සිට 1 , සී 2 , ..., ~ එන් - අත්තනෝමතික නියතයන්.

උදාහරණ 7. රේඛීය සමජාතීය සමීකරණයේ පොදු විසඳුම සොයන්න:

ඒ) හිදී¢ ¢ (x) - 6හිදී¢ (x) + 8හිදී(x) = 0,b) හිදී¢ ¢ ¢ (x) + 2හිදී¢ ¢ (x) - 3හිදී¢ (x) = 0.

විසඳුමක්. අපි ලාක්ෂණික සමීකරණයක් කරමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි ඇණවුම් ව්යුත්පන්නය ප්රතිස්ථාපනය කරමු එම්කාර්යයන් y(x) අනුරූප උපාධියට

කේ(හිදී (එම්) (x) « k m),

ක්‍රියාකාරීත්වය අතරතුර හිදී(x) ශුන්‍ය අනුපිළිවෙල ව්‍යුත්පන්නය මගින් ප්‍රතිස්ථාපනය වන පරිදි කේ 0 = 1.

නඩුව (a), ලාක්ෂණික සමීකරණයට ස්වරූපය ඇත කේ 2 - 6k + 8 = 0. එහි මූලයන් චතුරස්රාකාර සමීකරණය කේ 1 = 2,කේ 2 = 4. ඒවා සැබෑ සහ වෙනස් බැවින්, පොදු විසඳුමේ ස්වරූපය ඇත j (x)= සී 1 ඊ 2x + 2 සිට ඊ 4x.

නඩුව (b) සඳහා ලාක්ෂණික සමීකරණය තුන්වන අංශක සමීකරණය වේ කේ 3 + 2කේ 2 - 3k = 0. මෙම සමීකරණයේ මූලයන් සොයන්න:

කේ(කේ 2 + 2 කේ - 3)= 0 Þ කේ = 0i කේ 2 + 2 කේ - 3 = 0 Þ කේ = 0, (කේ - 1)(කේ + 3) = 0,

ටී . ඊ . කේ 1 = 0, කේ 2 = 1, කේ 3 = - 3.

මෙම ලාක්ෂණික මූලයන් අවකල සමීකරණයේ විසඳුම්වල මූලික පද්ධතියට අනුරූප වේ:

j 1 (x)= ඊ 0x = 1, j 2 (x) = e x, j 3 (x)= ඊ - 3x .

පොදු විසඳුම, සූත්රය (9) අනුව ශ්රිතය වේ

j (x)= සී 1 + සී 2 e x + C 3 ඊ - 3x .

II . ලාක්ෂණික සමීකරණයේ සියලුම මූලයන් වෙනස් වේ, නමුත් ඒවායින් සමහරක් සංකීර්ණ වේ.

අවකල සමීකරණයේ (14) සියලුම සංගුණක, සහ එහි ප්‍රතිඵලයක් ලෙස එහි ලාක්ෂණික සමීකරණයේ (15)- තාත්වික සංඛ්‍යා, එවිට c නම් ලක්ෂණ මූලයන් අතර සංකීර්ණ මූලයක් ඇත කේ 1 = a + ib,එනම් එහි සංයුජ මූලය කේ 2 = ` කේ 1 = a- ib.පළමු මූල කේ 1 අවකල සමීකරණයේ විසඳුමට අනුරූප වේ (14)

j 1 (x)= ඊ (a+ib)x = e a x e ibx = e ax(cosbx + isinbx)

(අපි Euler සූත්‍රය භාවිතා කළෙමු e i x = cosx + isinx) ඒ හා සමානව, මූල කේ 2 = a- ibතීරණයට අනුරූප වේ

j 2 (x)= ඊ (a - -ib)x = e a x e - ib x= ඊ පොරව(cosbx - isinbx).

මෙම විසඳුම් සංකීර්ණ වේ. ඔවුන්ගෙන් සැබෑ විසඳුම් ලබා ගැනීම සඳහා, අපි රේඛීය සමජාතීය සමීකරණයක විසඳුම්වල ගුණාංග භාවිතා කරමු (13.2 බලන්න). කාර්යයන්

සමීකරණයේ සැබෑ විසඳුම් වේ (14). එසේම, මෙම විසඳුම් රේඛීයව ස්වාධීන වේ. මේ අනුව, පහත නිගමන උකහා ගත හැකිය.

රීතිය 1.සංයුජ සංකීර්ණ මූල යුගලයක් a± රේඛීය සමජාතීය සමීකරණයේ (14) FSR හි ලාක්ෂණික සමීකරණයේ ib සැබෑ විශේෂිත විසඳුම් දෙකකට අනුරූප වේහා .

උදාහරණ 8. සමීකරණයේ පොදු විසඳුම සොයන්න:

ඒ) හිදී¢ ¢ (x) - 2හිදී ¢ (x) + 5හිදී(x) = 0 ;බී) හිදී¢ ¢ ¢ (x) - හිදී¢ ¢ (x) + 4හිදී ¢ (x) - 4හිදී(x) = 0.

විසඳුමක්. (a) සමීකරණයේ දී, ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලයන් කේ 2 - 2k + 5 = 0 යනු සංයුජ සංකීර්ණ සංඛ්‍යා දෙකකි

කේ 1, 2 = .

එබැවින්, රීතිය 1 ට අනුව, ඒවා සැබෑ රේඛීය ස්වාධීන විසඳුම් දෙකකට අනුරූප වේ: සහ , සහ සමීකරණයේ පොදු විසඳුම ශ්‍රිතය වේ.

j (x)= සී 1 e x cos 2x + C 2 e x පව් 2x.

(b) අවස්ථාවෙහිදී, ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලයන් සොයා ගැනීමට කේ 3 - කේ 2 + 4කේ- 4 = 0, අපි එහි වම් පැත්ත සාධකකරණය කරමු:

කේ 2 (කේ - 1) + 4(කේ - 1) = 0 Þ (කේ - 1)(කේ 2 + 4) = 0 Þ (කේ - 1) = 0, (කේ 2 + 4) = 0.

එබැවින්, අපට ලාක්ෂණික මූලයන් තුනක් ඇත: කේ 1 = 1,k2 , 3 = ± 2මම.කෝර්නු කේ 1 තීරණයට අනුරූප වේ , සහ සංයුජ සංකීර්ණ මූල යුගලයක් කේ 2, 3 = ± 2i = 0 ± 2මම- සැබෑ විසඳුම් දෙකක්: සහ . අපි සමීකරණයේ පොදු විසඳුම සකස් කරමු:

j (x)= සී 1 e x + C 2 cos 2x + C 3 පව් 2x.

III . ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලයන් අතර ගුණාකාර ඇත.

ඉඩ කේ 1 - බහුත්වයේ සැබෑ මූලය එම්ලාක්ෂණික සමීකරණය (15), එනම් මූලයන් අතර ඇත එම්සමාන මූලයන්. ඒ සෑම එකක්ම අවකල සමීකරණයේ එකම විසඳුමට අනුරූප වේ (14) කෙසේ වෙතත්, ඇතුළත් කරන්න එම් FSR හි සමාන විසඳුම් කළ නොහැක, මන්ද ඒවා රේඛීයව රඳා පවතින ශ්‍රිත පද්ධතියකි.

බහු මූලයක් සම්බන්ධයෙන් එය පෙන්විය හැක k 1සමීකරණයේ විසඳුම් (14), ශ්‍රිතයට අමතරව, ශ්‍රිත වේ

ශ්‍රිත සම්පූර්ණ සංඛ්‍යා අක්ෂය මත රේඛීයව ස්වාධීන වේ, එනම්, ඒවා FSR හි ඇතුළත් කළ හැකි බැවිනි.

රීතිය 2 සැබෑ ලක්ෂණ මූල කේ 1 ගුණාකාරයන් එම් FSR හි අනුරූප වේ එම්විසඳුම්:

අ කේ 1 - බහුත්වයේ සංකීර්ණ මූලය එම්ලාක්ෂණික සමීකරණය (15), එවිට සංයුජ මූලයක් ඇත කේ 1 ගුණාකාරයන් එම්. සාදෘශ්‍යයෙන්, අපට පහත රීතිය ලැබේ.

රීතිය 3. සංයුජ සංකීර්ණ මූල යුගලයක් a± FSR හි ib 2m සැබෑ රේඛීය ස්වාධීන විසඳුම් වලට අනුරූප වේ:

, , ..., ,

, , ..., .

උදාහරණ 9. සමීකරණයේ පොදු විසඳුම සොයන්න:

ඒ) හිදී¢ ¢ ¢ (x) + 3හිදී¢ ¢ (x) + 3හිදී¢ (x)+ වයි ( x)= 0;b) IV(x) + 6හිදී¢ ¢ (x) + 9හිදී(x) = 0.

විසඳුමක්. නඩුව (a), ලාක්ෂණික සමීකරණයට ස්වරූපය ඇත

කේ 3 + 3 කේ 2 + 3 කේ + 1 = 0

(k + 1) 3 = 0,

i.e. k =- 1 - බහුත්ව මූල 3. රීතිය 2 මත පදනම්ව, අපි පොදු විසඳුම ලියන්නෙමු:

j (x)= සී 1 + සී 2 x + C 3 x 2 .

(b) නඩුවේ ලාක්ෂණික සමීකරණය වන්නේ සමීකරණයයි

කේ 4 + 6කේ 2 + 9 = 0

හෝ, එසේ නොමැති නම්,

(කේ 2 + 3) 2 = 0 Þ කේ 2 = - 3 Þ කේ 1, 2 = ± මම .

අපට සංයුජ සංකීර්ණ මූල යුගලයක් ඇත, එක් එක් ගුණාකාර 2. රීතිය 3 අනුව, සාමාන්‍ය විසඳුම ලියා ඇත්තේ මෙසේය.

j (x)= සී 1 + සී 2 x + C 3 + සී 4 x .

නියත සංගුණක සහිත ඕනෑම රේඛීය සමජාතීය සමීකරණයක් සඳහා, කෙනෙකුට මූලික විසඳුම් පද්ධතියක් සොයාගත හැකි අතර සාමාන්‍ය විසඳුමක් සෑදිය හැකි බව ඉහත සඳහන් කර ඇත. එබැවින්, ඕනෑම එකක් සඳහා අනුරූප අසමසම සමීකරණයේ විසඳුම අඛණ්ඩ ක්රියාකාරිත්වය f(x) දකුණු පැත්තේ අත්තනෝමතික නියතයන්ගේ විචලනය කිරීමේ ක්රමය භාවිතා කර සොයාගත හැකිය (5.3 වගන්තිය බලන්න).

උදාහරණය r10. විචලනය කිරීමේ ක්‍රමය භාවිතා කරමින්, සමජාතීය සමීකරණයේ සාමාන්‍ය විසඳුම සොයන්න හිදී¢ ¢ (x) - හිදී¢ (x) - 6හිදී(x) = x ඊ 2x .

විසඳුමක්. පළමුව, අපි අනුරූප සමජාතීය සමීකරණයේ පොදු විසඳුම සොයා ගනිමු හිදී¢ ¢ (x) - හිදී¢ (x) - 6හිදී(x) = 0. ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලයන් කේ 2 - කේ- 6 = 0 වේ කේ 1 = 3,කේ 2 = - 2, ඒ සමජාතීය සමීකරණයේ පොදු විසඳුම - කාර්යය ` හිදී ( x) = සී 1 ඊ 3x + සී 2 ඊ - 2x .

අපි ආකෘතියේ අසමසම සමීකරණයට විසඳුමක් සොයමු

හිදී( x) = සිට 1 (x)ඊ 3x + සී 2 (x)ඊ 2x . (*)

අපි Vronsky නිර්ණායකය සොයා ගනිමු

ඩබ්ලිව්[ඊ 3x , ඊ 2x ] = .

නොදන්නා ශ්‍රිතවල ව්‍යුත්පන්නයන් සම්බන්ධයෙන් සමීකරණ පද්ධතිය (12) සම්පාදනය කරමු. සිට ¢ 1 (x) හා සිට¢ 2 (x):

ක්‍රේමර්ගේ සූත්‍ර භාවිතයෙන් පද්ධතිය විසඳීම, අපි ලබා ගනිමු

ඒකාබද්ධ කිරීම, අපි සොයා ගනිමු සිට 1 (x) හා සිට 2 (x):

කාර්යයන් ආදේශ කිරීම සිට 1 (x) හා සිට 2 (x) සමානාත්මතාවයට (*), අපි සමීකරණයේ පොදු විසඳුම ලබා ගනිමු හිදී¢ ¢ (x) - හිදී¢ (x) - 6හිදී(x) = x ඊ 2x :

නියත සංගුණක සහිත රේඛීය සමජාතීය සමීකරණයක දකුණු පැත්ත ඇති විට විශේෂ ආකාරයේ, අත්තනෝමතික නියතයන්ගේ විචලනය කිරීමේ ක්‍රමයට යොමු නොවී සමජාතීය සමීකරණයක විශේෂිත විසඳුමක් සොයාගත හැකිය.

නියත සංගුණක සමඟ සමීකරණය සලකා බලන්න

y (n) + a 1 y (n– 1) + ... අ n – 1 y " + a n y = f (x), (16)

f( x) = ඊපොරව(පී එන්(x)cosbx + Rm(x)sinbx), (17)

කොහෙද පී එන්(x) හා ආර් එම්(x) - උපාධි බහුපද n හා එම්පිළිවෙලින්.

පෞද්ගලික තීරණය y*(x) සමීකරණයේ (16) සූත්රය මගින් තීරණය වේ

හිදී* (x) = x sඊ පොරව(මහතා(x)cosbx + Nr(x)sinbx), (18)

කොහෙද මහතා(x) හා එන් ආර්(x) - උපාධි බහුපද r = උපරිම(n, m) අවිනිශ්චිත සංගුණක සමඟ , ඒ sමූලයේ ගුණයට සමාන වේ කේ 0 = a + ibසමීකරණයේ ලාක්ෂණික බහුපද (16), එය උපකල්පනය කර ඇත s= 0 නම් කේ 0 යනු ලාක්ෂණික මූලයක් නොවේ.

සූත්‍රය (18) භාවිතයෙන් විශේෂිත විසඳුමක් සැකසීමට, අපට පරාමිති හතරක් සොයාගත යුතුය - a, b, rහා s.පළමු තුන සමීකරණයේ දකුණු පැත්තේ සිට තීරණය කරනු ලැබේ ආර්- එය ඇත්ත වශයෙන්ම ඉහළම වේ xදකුණු පැත්තේ හමු විය. පරාමිතිය sඅංකය සංසන්දනය කිරීමෙන් සොයා ගනී කේ 0 = a + ibහා අනුරූප සමජාතීය සමීකරණය විසඳීමේදී සොයා ගන්නා සමීකරණයේ (16) ලාක්ෂණික මූලයන් සියල්ල (ගුණ කිරීම් සැලකිල්ලට ගනිමින්) කට්ටලය.

අපි ශ්‍රිතයේ ස්වරූපයේ විශේෂිත අවස්ථා සලකා බලමු (17):

1) දී ඒ ¹ 0, බී= 0f(x)= e ax P n(x);

2) කවදාද ඒ= 0, බී ¹ 0f(x)= පී එන්(x) සමඟosbx + Rm(x)sinbx;

3) කවදාද ඒ = 0, බී = 0f(x)=Pn(x).

සටහන 1. P n (x) නම් º 0 හෝ R m (x)º 0, පසුව සමීකරණයේ දකුණු පැත්ත f(x) = e ax P n (x)с osbx හෝ f(x) = e ax R m (x)sinbx, එනම් ශ්‍රිත වලින් එකක් පමණක් අඩංගු වේ - කොසයින් හෝ සයින්. නමුත් විශේෂිත විසඳුමක අංකනය කිරීමේදී, ඒවා දෙකම තිබිය යුතුය, සූත්‍රය (18) අනුව, ඒ සෑම එකක්ම එකම අංශකයේ r = max(n, m) අවිනිශ්චිත සංගුණක සහිත බහුපදයකින් ගුණ කරනු ලැබේ.

උදාහරණ 11. සමීකරණයේ දකුණු පැත්ත දන්නේ නම්, නියත සංගුණක සහිත 4 වන අනුපිළිවෙලෙහි රේඛීය සමජාතීය සමීකරණයකට විශේෂිත විසඳුමක ස්වරූපය තීරණය කරන්න. f(x) = e x(2xcos 3x +(x 2 + 1)පව් 3x) සහ ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලයන්:

ඒ ) කේ 1 = කි 2 = 1, කේ 3 = 3,කේ 4 = - 1;

බී ) කේ 1, 2 = 1 ± 3මම,කේ 3, 4 = ± 1;

තුල ) කේ 1, 2 = 1 ± 3මම,කේ 3, 4 = 1 ± 3මම.

විසඳුමක්. දකුණු පැත්තේ, අපි එය විශේෂිත විසඳුමේ සොයා ගනිමු හිදී*(x), සූත්‍රය (18), පරාමිති මගින් තීරණය කරනු ලැබේ: ඒ= 1, බී= 3, r= 2. අවස්ථා තුන සඳහාම ඒවා එලෙසම පවතී, එබැවින් සංඛ්‍යාව කේ 0, අවසාන පරාමිතිය සඳහන් කරයි sසූත්රය (18) සමාන වේ කේ 0 = 1+ 3මම. (අ) ලාක්ෂණික මූලයන් අතර අංකයක් නොමැති නම් කේ 0 = 1 + 3මම,අදහස් කරන්නේ, s= 0, සහ විශේෂිත විසඳුමේ පෝරමය ඇත

y*(x) = x 0 ඉ x(එම් 2 (x)cos 3x + N 2 (x)පව් 3x) =

= ඊx( (පොරව 2 + Bx + C)cos 3x +(ඒ 1 x 2 +B 1 x + C 1)පව් 3x.

නඩුව (ආ) නම් අංකය කේ 0 = 1 + 3මමලාක්ෂණික මූලයන් අතර එක් වරක් පමණක් සිදු වේ, එයින් අදහස් වන්නේ එයයි s= 1 හා

y*(x) = x e x((පොරව 2 + Bx + C)cos 3x +(ඒ 1 x 2 +B 1 x + C 1)පව් 3x.

නඩුව (ඇ) සඳහා අප සතුව ඇත s= 2 සහ

y*(x) = x 2 ඉ x((පොරව 2 + Bx + C)cos 3x +(A 1 x 2 +B 1 x + C 1)පව් 3x.

උදාහරණ 11 හි, නිශ්චිත විසඳුමේ වාර්තාවේ අවිනිශ්චිත සංගුණක සහිත 2 වන උපාධියේ බහුපද දෙකක් ඇත. විසඳුමක් සොයා ගැනීම සඳහා, ඔබ මෙම සංගුණකවල සංඛ්‍යාත්මක අගයන් තීරණය කළ යුතුය. අපි පොදු රීතියක් සකස් කරමු.

බහුපදවල නොදන්නා සංගුණක තීරණය කිරීමට මහතා(x) හා එන් ආර්(x) සමානාත්මතාවය (17) අවශ්ය වාර ගණන වෙනස් වේ, ශ්රිතය ආදේශ කරනු ලැබේ y*(x) සහ එහි ව්‍යුත්පන්න සමීකරණයට (16). එහි වම් සහ දකුණු කොටස් සංසන්දනය කිරීම, අපි පද්ධතිය ලබා ගනිමු වීජීය සමීකරණසංගුණක සොයා ගැනීමට.

උදාහරණ 12. සමීකරණයට විසඳුමක් සොයන්න හිදී¢ ¢ (x) - හිදී¢ (x) - 6හිදී(x) = xe 2x, දකුණු පැත්තේ ස්වරූපය අනුව සමජාතීය සමීකරණයේ විශේෂිත විසඳුමක් තීරණය කර ඇත.

විසඳුමක්. සමජාතීය සමීකරණයේ පොදු විසඳුම ආකෘතිය ඇත

හිදී( x) = ` හිදී(x)+ y*(x),

කොහෙද ` හිදී ( x) - අනුරූප සමජාතීය සමීකරණයේ පොදු විසඳුම, සහ y*(x) - සමජාතීය සමීකරණයක විශේෂිත විසඳුමක්.

පළමුව අපි සමජාතීය සමීකරණය විසඳන්නෙමු හිදී¢ ¢ (x) - හිදී¢ (x) - 6හිදී(x) = 0. එහි ලාක්ෂණික සමීකරණය කේ 2 - කේ- 6 = 0 මූල දෙකක් ඇත කේ 1 = 3,කේ 2 = - 2, ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, ` හිදී ( x) = සී 1 ඊ 3x + සී 2 ඊ - 2x .

විශේෂිත විසඳුමේ වර්ගය තීරණය කිරීම සඳහා අපි සූත්‍රය (18) භාවිතා කරමු හිදී*(x) කාර්යය f(x) = xe 2x නියෝජනය කරයි විශේෂ අවස්ථාවක්(අ) සූත්‍ර (17), අතරතුර a = 2,b= 0 හා r= 1, i.e. කේ 0 = 2 + 0i = 2. ලාක්ෂණික මූලයන් සමඟ සසඳන විට, අපි එය නිගමනය කරමු s= 0. සියලුම පරාමිතිවල අගයන් සූත්‍රයට (18) ආදේශ කිරීම, අපට තිබේ y*(x) = (ආ + බී)ඊ 2x .

අගයන් සොයා ගැනීමට නමුත්හා හිදී, ශ්‍රිතයේ පළමු සහ දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි ව්‍යුත්පන්නයන් සොයන්න y*(x) = (ආ + බී)ඊ 2x :

y*¢ (x)= Ae 2x + 2(ආ + බී)ඊ 2x = (2Ah + A + 2බී)ඊ 2x,

y*¢ ¢ (x) = 2Ae 2x + 2(2Ah + A + 2බී)ඊ 2x = (4අහ් + 4A+ 4බී)ඊ 2x .

ශ්රිතය ආදේශ කිරීමෙන් පසුව y*(x) සහ එහි ව්‍යුත්පන්නයන් අප සතුව ඇති සමීකරණයට

(4අහ් + 4A+ 4බී)ඊ 2x - (2Ah + A + 2බී)ඊ 2x - 6(ආ + බී)ඊ 2x =xe 2x Þ Þ A=- 1/4,B=- 3/16.

මේ අනුව, සමජාතීය සමීකරණයේ විශේෂිත විසඳුමක් ආකෘතිය ඇත

y*(x) = (- 1/4x- 3/16)ඊ 2x ,

සහ පොදු විසඳුම - හිදී ( x) = සී 1 ඊ 3x + සී 2 ඊ - 2x + (- 1/4x- 3/16)ඊ 2x .

සටහන 2.සමජාතීය සමීකරණයක් සඳහා Cauchy ගැටළුව මතු වූ විට, යමෙකු මුලින්ම සමීකරණයට පොදු විසඳුමක් සොයාගත යුතුය.

හිදී( x) = ,

සංගුණකවල සියලුම සංඛ්‍යාත්මක අගයන් තීරණය කර ඇත හිදී*(x) ඉන්පසු මූලික කොන්දේසි භාවිතා කර ඒවා සාමාන්‍ය විසඳුමට ආදේශ කරන්න (සහ තුළට නොවේ y*(x)), නියත අගයන් සොයා ගන්න සී අයි.

උදාහරණ 13. Cauchy ගැටලුවට විසඳුමක් සොයන්න:

හිදී¢ ¢ (x) - හිදී¢ (x) - 6හිදී(x) = xe 2x ,වයි(0) = 0, වයි ¢ (x) = 0.

විසඳුමක්. මෙම සමීකරණයේ පොදු විසඳුම

හිදී(x) = සී 1 ඊ 3x + සී 2 ඊ - 2x + (- 1/4x- 3/16)ඊ 2x

උදාහරණ 12 හි සොයා ගන්නා ලදී. ලබා දී ඇති Cauchy ගැටලුවේ ආරම්භක කොන්දේසි තෘප්තිමත් වන විශේෂිත විසඳුමක් සොයා ගැනීමට, අපි සමීකරණ පද්ධතිය ලබා ගනිමු

එය විසඳීම, අපට තිබේ සී 1 = 1/8, සී 2 = 1/16. එබැවින්, කෞචි ගැටලුවට විසඳුම කාර්යය වේ

හිදී(x) = 1/8ඊ 3x + 1/16ඊ - 2x + (- 1/4x- 3/16)ඊ 2x .

සටහන 3(superposition මූලධර්මය). ඇතුලේ නම් රේඛීය සමීකරණය එල් එන්[y(x)]= f(x), කොහෙද f(x) = f 1 (x)+ f 2 (x) හා y* 1 (x) - සමීකරණයේ විසඳුම එල් එන්[y(x)]= f 1 (x), ඒ y* 2 (x) - සමීකරණයේ විසඳුම එල් එන්[y(x)]= f 2 (x), පසුව කාර්යය y*(x)= y* 1 (x)+ y* 2 (x) වේ සමීකරණයේ විසඳුම එල් එන්[y(x)]= f(x).

උදාහරණ 14. රේඛීය සමීකරණයේ පොදු විසඳුමේ ස්වරූපය දක්වන්න

හිදී¢ ¢ (x) + 4හිදී(x) = x + sinx.

විසඳුමක්. අනුරූප සමජාතීය සමීකරණයේ පොදු විසඳුම

` හිදී(x) = සී 1 cos 2x + C 2 පව් 2x,

ලාක්ෂණික සමීකරණයේ සිට කේ 2 + 4 = 0 මූලයන් ඇත කේ 1, 2 = ± 2මම.සමීකරණයේ දකුණු පැත්ත සූත්‍රය (17) ට අනුරූප නොවේ, නමුත් අපි අංකනය හඳුන්වා දෙන්නේ නම් f 1 (x) = x, f 2 (x) = sinxසහ superposition මූලධර්මය භාවිතා කරන්න , එවිට සමජාතීය සමීකරණයේ විශේෂිත විසඳුමක් ආකාරයෙන් සොයාගත හැකිය y*(x)= y* 1 (x)+ y* 2 (x), කොහෙද y* 1 (x) - සමීකරණයේ විසඳුම හිදී¢ ¢ (x) + 4හිදී(x) = x, ඒ y* 2 (x) - සමීකරණයේ විසඳුම හිදී¢ ¢ (x) + 4හිදී(x) = sinx.සූත්‍රය අනුව (18)

y* 1 (x) = පොරව + බී,y* 2 (x) = Ccosx + Dsinx.

ඉන්පසු විශේෂිත විසඳුමක්

y*(x) \u003d Ax + B + Ccosx + Dsinx,

එබැවින් පොදු විසඳුමට ආකෘතියක් ඇත

හිදී(x) = සී 1 cos 2x + C 2 ඊ - 2x + ඒ x + B + Ccosx + Dsinx.

උදාහරණ 15. විද්යුත් පරිපථය emf සමඟ ශ්රේණිගත සම්බන්ධිත ධාරා ප්රභවයකින් සමන්විත වේ ඊ(ටී) = ඊ පව්wටී,ප්රේරණය එල්සහ බහාලුම් සිට, හා