ලාක්ෂණික සමීකරණ විසඳන්නේ කෙසේද? අවකල සමීකරණ වර්ග, විසඳුම් ක්රම

සමීකරණය

අන්තරය තුළ පවතින සහ අඛණ්ඩ ශ්‍රිත සමජාතීය දෙවන පෙළ රේඛීය අවකල සමීකරණයක් ලෙස හැඳින්වේ, ශ්‍රිත සහ එහි සංගුණක වේ. මෙම පරතරය තුළ නම්, සමීකරණය පෝරමය ගනී:

සහ දෙවන අනුපිළිවෙල සමජාතීය රේඛීය අවකල සමීකරණයක් ලෙස හැඳින්වේ. සමීකරණයට (**) සමාන සංගුණක සහ සමීකරණය (*) ලෙස තිබේ නම්, එය සමජාතීය නොවන සමීකරණයකට (*) අනුරූප වන සමජාතීය සමීකරණයක් ලෙස හැඳින්වේ.

සමජාතීය දෙවන පෙළ රේඛීය අවකල සමීකරණ

රේඛීය සමීකරණයට ඉඩ දෙන්න

සහ නියත තාත්වික සංඛ්යා වේ.

අපි නියම හෝ සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් තීරණය කළ යුතු ශ්‍රිතයක ස්වරූපයෙන් සමීකරණයේ විශේෂිත විසඳුමක් සොයමු. ට සාපේක්ෂව වෙනස් කිරීම, අපට ලැබෙන්නේ:

මුල් අවකල සමීකරණයට ආදේශ කිරීමෙන් අපට ලැබෙන්නේ:

එබැවින්, එය සැලකිල්ලට ගනිමින්, අපට ඇත්තේ:

මෙම සමීකරණය සමජාතීය රේඛීය අවකල සමීකරණයක ලාක්ෂණික සමීකරණය ලෙස හැඳින්වේ. ලාක්ෂණික සමීකරණය ද එය සොයා ගැනීමට හැකි වේ. මෙය දෙවන උපාධි සමීකරණයකි, එබැවින් එයට මූලයන් දෙකක් ඇත. සහ මගින් ඒවා දක්වමු. අවස්ථා තුනක් හැකි ය:

1) මූලයන් සැබෑ සහ වෙනස් වේ. මෙම අවස්ථාවේදී, සමීකරණයට පොදු විසඳුම වන්නේ:

උදාහරණ 1

2) මූලයන් සැබෑ සහ සමාන වේ. මෙම අවස්ථාවේදී, සමීකරණයට පොදු විසඳුම වන්නේ:

උදාහරණයක්2

විභාගයකදී හෝ පරීක්ෂණයකදී ගැටලුවක් විසඳීමට උත්සාහ කරන අතරතුර මෙම පිටුවට ගොඩවැදුණේද? ඔබට තවමත් විභාගය සමත් වීමට නොහැකි නම් - ඊළඟ වතාවේ, උසස් ගණිතය සඳහා මාර්ගගත උදව් ගැන වෙබ් අඩවියේ කල්තියා සූදානම් කරන්න.

ලාක්ෂණික සමීකරණයේ ස්වරූපය ඇත:

ලාක්ෂණික සමීකරණයේ විසඳුම:

මුල් අවකල සමීකරණයේ පොදු විසඳුම:

3) සංකීර්ණ මූලයන්. මෙම අවස්ථාවේදී, සමීකරණයට පොදු විසඳුම වන්නේ:

උදාහරණය 3

ලාක්ෂණික සමීකරණයේ ස්වරූපය ඇත:

ලාක්ෂණික සමීකරණයේ විසඳුම:

මුල් අවකල සමීකරණයේ පොදු විසඳුම:

අසමජාතීය දෙවන පෙළ රේඛීය අවකල සමීකරණ

සමහර රේඛීය වර්ගවල විසඳුම දැන් සලකා බලන්න සමජාතීය සමීකරණයනියත සංගුණක සහිත දෙවන අනුපිළිවෙල

එහිදී සහ නියත තාත්වික සංඛ්‍යා යනු පරතරය තුළ දන්නා අඛණ්ඩ ශ්‍රිතයකි. එවැනි අවකල්‍ය සමීකරණයක සාමාන්‍ය විසඳුම සොයා ගැනීම සඳහා, අදාළ සමජාතීය අවකල සමීකරණයේ සාමාන්‍ය විසඳුම සහ විශේෂිත විසඳුම දැනගැනීම අවශ්‍ය වේ. සමහර අවස්ථා සලකා බලමු:

අපි වර්ග ත්‍රිපදයක ආකාරයෙන් අවකල සමීකරණයේ විශේෂිත විසඳුමක් ද සොයමින් සිටිමු:

0 යනු ලාක්ෂණික සමීකරණයේ තනි මූලයක් නම්, එසේ නම්

0 යනු ලාක්ෂණික සමීකරණයේ ද්විත්ව මූලයක් නම්, එසේ නම්

අත්තනෝමතික උපාධියේ බහුපදයක් නම් තත්වය සමාන වේ

උදාහරණය 4

අපි අනුරූප විසඳන්නෙමු සමජාතීය සමීකරණය.

ලාක්ෂණික සමීකරණය:

සමජාතීය සමීකරණයේ පොදු විසඳුම:

අපි සමජාතීය විභේදනය සඳහා විශේෂිත විසඳුමක් සොයා ගනිමු:

සොයාගත් ව්‍යුත්පන්නයන් මුල් අවකල සමීකරණයට ආදේශ කිරීම, අපි ලබා ගන්නේ:

අපේක්ෂිත විශේෂිත විසඳුම:

මුල් අවකල සමීකරණයේ පොදු විසඳුම:

අවිනිශ්චිත සංගුණකයක් ඇති ආකෘතියෙන් අපි විශේෂිත විසඳුමක් සොයමු.

මුල් අවකල සමීකරණයට ආදේශ කිරීමෙන්, අපි සංගුණකය සොයා ගන්නා අනන්‍යතාවයක් ලබා ගනිමු.

ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලය නම්, අපි මුල් අවකල සමීකරණයේ විශේෂිත විසඳුමක් සොයන්නෙමු , තනි මූලයක් වන විට සහ , ද්විත්ව මූලයක් වන විට.

උදාහරණ 5

ලාක්ෂණික සමීකරණය:

අනුරූප සමජාතීය අවකල සමීකරණයේ පොදු විසඳුම වන්නේ:

අනුරූප අසමජාතීය අවකල සමීකරණයේ විශේෂිත විසඳුමක් අපි සොයා ගනිමු:

අවකල සමීකරණයේ පොදු විසඳුම:

මෙම අවස්ථාවේදී, අපි ත්‍රිකෝණමිතික ද්විපදයක ස්වරූපයෙන් විශේෂිත විසඳුමක් සොයමු:

කොහෙද සහ අවිනිශ්චිත සංගුණක

මුල් අවකල සමීකරණයට ආදේශ කිරීමෙන්, අපි සංගුණක සොයා ගන්නා අනන්‍යතාවයක් ලබා ගනිමු.

මෙම සමීකරණ සංගුණක තීරණය කරන අතර (හෝ ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලයන් වන විට) අවස්ථාව හැර. අවසාන අවස්ථාවෙහිදී, අපි ආකෘතියේ අවකල සමීකරණයේ විශේෂිත විසඳුමක් සොයමු:

උදාහරණයක්6

ලාක්ෂණික සමීකරණය:

අනුරූප සමජාතීය අවකල සමීකරණයේ පොදු විසඳුම වන්නේ:

අපි සමජාතීය විභේදනය-සමීකරණයේ විශේෂිත විසඳුමක් සොයා ගනිමු

මුල් අවකල සමීකරණයට ආදේශ කිරීමෙන් අපට ලැබෙන්නේ:

මුල් අවකල සමීකරණයේ පොදු විසඳුම:

සංඛ්‍යා ශ්‍රේණි අභිසාරී වීම
ශ්‍රේණියක අභිසාරීතාව පිළිබඳ නිර්වචනයක් ලබා දී ඇති අතර සංඛ්‍යාත්මක ශ්‍රේණිවල අභිසාරීතාවය අධ්‍යයනය සඳහා වන ගැටළු සවිස්තරාත්මකව සලකා බලනු ලැබේ - සංසන්දනාත්මක නිර්ණායක, d'Alembert අභිසාරී නිර්ණායකය, Cauchy අභිසාරී නිර්ණායකය සහ සමෝධානික Cauchy අභිසාරී නිර්ණායක⁡.

මාලාවක නිරපේක්ෂ සහ කොන්දේසි සහිත අභිසාරීතාව
පිටුව ප්‍රත්‍යාවර්ත ශ්‍රේණි, ඒවායේ කොන්දේසි සහිත සහ නිරපේක්ෂ අභිසාරීතාවය, ප්‍රත්‍යාවර්ත ශ්‍රේණි සඳහා ලයිබ්නිස් අභිසාරී පරීක්ෂණය - අඩංගු වේ කෙටි න්යායමාතෘකාව සහ ගැටළුව විසඳීම සඳහා උදාහරණයක්.

2 වන අනුපිළිවෙල අවකල සමීකරණ

§එක. සමීකරණයක අනුපිළිවෙල අඩු කිරීමේ ක්‍රම.

2 වන අනුපිළිවෙල අවකල සමීකරණයට පෝරමය ඇත:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="119" height="25 src="> ( හෝ අවකලනය" href="/text/category/differentcial/" rel="bookmark">2වන අනුපිළිවෙල අවකල සමීකරණය). 2වන අනුපිළිවෙල අවකල සමීකරණය සඳහා Cauchy ගැටළුව (1..gif" width="85" height= "25 src= ">.gif" width="85" height="25 src=">.gif" height="25 src=">.

2 වන අනුපිළිවෙල අවකල සමීකරණයට ඉඩ දෙන්න: https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" height="25 src=">..gif" width="39" height=" 25 src=">.gif" width="265" height="28 src=">.

මේ අනුව, 2 වන අනුපිළිවෙල සමීකරණය https://pandia.ru/text/78/516/images/image015_28.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="118" height =" 25 src=">.gif" width="117" height="25 src=">.gif" width="34" height="25 src=">. එය විසඳීමෙන්, අපි අත්තනෝමතික නියතයන් දෙකක් මත පදනම්ව මුල් අවකල සමීකරණයේ සාමාන්‍ය අනුකලනය ලබා ගනිමු: https://pandia.ru/text/78/516/images/image020_23.gif" width="95" height="25 src =">. gif" width="76" height="25 src=">.

විසඳුමක්.

මුල් සමීකරණයේ පැහැදිලි තර්කයක් නොමැති බැවින් https://pandia.ru/text/78/516/images/image011_39.gif" height="25 src=">.gif" width="35" height="25 src=">..gif" width="35" height="25 src=">.gif" width="82" height="38 src="> ..gif" width="99" height="38 src=">.

https://pandia.ru/text/78/516/images/image029_18.gif" width="85" height="25 src=">.gif" width="42" height="38 src= "> සිට .gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="68" height="35 src=">..gif" height="25 src=">.

2 වන අනුපිළිවෙල අවකල සමීකරණයට ඉඩ දෙන්න: https://pandia.ru/text/78/516/images/image011_39.gif" height="25 src=">..gif" width="161" height=" 25 src=">.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="33" height="25 src=">..gif" width="225" height="25 src =">..gif" width="150" height="25 src=">.

උදාහරණ 2සමීකරණයේ සාමාන්‍ය විසඳුම සොයන්න: https://pandia.ru/text/78/516/images/image015_28.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="107" උස ="25 src=">..gif" width="100" height="27 src=">.gif" width="130" height="37 src=">.gif" width="34" height= "25 src = ">.gif" පළල = "183" උස = 36 src = ">.

3. https://pandia.ru/text/78/516/images/image052_13.gif අනුව සමීකරණයේ කොටස් දෙකම සම්පූර්ණ ව්‍යුත්පන්නයන් බවට පත්වන ආකාරයේ ස්වරූපයකට පරිවර්තනය කළ හැකි නම් උපාධියේ අනුපිළිවෙල අඩු වේ. " width="92" height="25 src=">..gif" width="98" height="48 src=">.gif" width="138" height="25 src=">.gif" පළල="282" උස="25 src=">, (2.1)

එහිදී https://pandia.ru/text/78/516/images/image060_12.gif" width="42" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src="> - පූර්ව නිශ්චිත කාර්යයන්, විසඳුම සොයන පරතරය මත අඛණ්ඩව. a0(x) ≠ 0 උපකල්පනය කරමින්, (2..gif" width="215" height="25 src="> (2.2) න් බෙදන්න

සාක්ෂි නොමැතිව උපකල්පනය කරන්න (2..gif" width="82" height="25 src=">.gif" width="38" height="25 src=">.gif" width="65" height= " 25 src=">, එවිට සමීකරණය (2.2) සමජාතීය ලෙස හැඳින්වේ, සහ සමීකරණය (2.2) වෙනත් ආකාරයකින් සමජාතීය ලෙස හැඳින්වේ.

2 වන අනුපිළිවෙල ලෝඩු සඳහා විසඳුම්වල ගුණාංග අපි සලකා බලමු.

අර්ථ දැක්වීම.ශ්‍රිතවල රේඛීය සංයෝජනය https://pandia.ru/text/78/516/images/image071_10.gif" width="93" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src = ">.gif" width="195" height="25 src=">, (2.3)

ඉන්පසු ඔවුන්ගේ රේඛීය සංයෝජනය https://pandia.ru/text/78/516/images/image076_10.gif" width="182" height="25 src="> (2.3) හි ප්‍රතිඵලය අනන්‍යතාවයක් බව පෙන්වන්න:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image078_10.gif" width="368" height="25 src=">.

https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" height="25 src="> යන ශ්‍රිතයන් සමීකරණයේ විසඳුම් (2.3) බැවින්, එක් එක් වරහන් අවසාන සමීකරණය ඔප්පු කළ යුතු ශුන්‍යයට සමාන වේ.

ප්රතිවිපාකය 1.එය https://pandia.ru/text/78/516/images/image080_10.gif" width="77" height="25 src="> හි ඔප්පු කරන ලද ප්‍රමේයයෙන් අනුගමනය කරයි – සමීකරණයේ විසඳුම (2..gif " width=" 97" height="25 src=">.gif" width="165" height = අනෙක් අය.

ශ්‍රිත දෙකකදී https://pandia.ru/text/78/516/images/image085_11.gif" width="119" height="25 src=">, i.e..gif" width="77" height= "47 src=">.gif" width="187" height="43 src=">.gif" width="42" height="25 src=">. මේ අනුව, රේඛීය ස්වාධීන ශ්‍රිත දෙකක් සඳහා වන Wronsky නිර්ණායකය ශුන්‍යයට සමාන විය නොහැක.

ඉඩ දෙන්න https://pandia.ru/text/78/516/images/image091_10.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src="> .gif" width="605" height="50">..gif" width="18" height="25 src="> සමීකරණය තෘප්තිමත් කරන්න (2..gif" width="42" height="25 src = "> – සමීකරණයේ විසඳුම (3.1)..gif" width="87" height="28 src=">..gif" width="182" height="34 src=">..gif" width= "162" උස="42 src=">.gif" width="51" height="25 src="> සමාන වේ. මේ අනුව,

https://pandia.ru/text/78/516/images/image107_7.gif" width="18" height="25 src=">, සමීකරණයේ රේඛීය ස්වාධීන විසඳුම් සඳහා නිර්ණායකය (2..gif " width= "42" height="25 src=">.gif" height="25 src="> සූත්‍රයේ (3.2) දකුණු පැත්තේ ඇති සාධක දෙකම ශුන්‍ය නොවේ.

§හතර. 2 වන අනුපිළිවෙල ලොඩ් සඳහා පොදු විසඳුමේ ව්යුහය.

ප්රමේයය. https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" height="25 src="> සමීකරණයේ රේඛීය ස්වාධීන විසඳුම් නම් (2..gif" width=" 19" height="25 src=">.gif" width="129" height="25 src="> යනු සමීකරණයට (2.3) විසඳුමකි, 2 වන අනුපිළිවෙලෙහි ලෝදු විසඳුම්වල ගුණ පිළිබඳ ප්‍රමේයයෙන් පහත දැක්වේ..gif " width="85 "height="25 src=">.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="220" height="47">

මෙම රේඛීය වීජීය සමීකරණ පද්ධතියෙන් නියත https://pandia.ru/text/78/516/images/image003_79.gif" width="19" height="25 src="> නිශ්චය කරන බැවින්, අනන්‍ය ලෙස නිර්ණය කරනු ලැබේ. මෙම පද්ධතිය https: //pandia.ru/text/78/516/images/image006_56.gif" width="51" height="25 src=">:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image116_7.gif" width="138" height="25 src=">.gif" width="19" height="25 src=">. gif" width="69" height="25 src=">.gif" width="235" height="48 src=">..gif" width="143" height="25 src="> (5 ..gif" width="77" height="25 src=">. පෙර ඡේදයට අනුව, මෙම සමීකරණයේ රේඛීයව ස්වාධීන විශේෂිත විසඳුම් දෙකක් දන්නේ නම්, 2 වන අනුපිළිවෙල ලෝඩු සඳහා සාමාන්‍ය විසඳුම පහසුවෙන් තීරණය කළ හැකිය. සරල ක්‍රමයක් සමග සමීකරණයකට විශේෂිත විසඳුම් සෙවීම සඳහා නියත සංගුණක L. Euler විසින් යෝජනා කරන ලදී..gif" width="25" height="26 src=">, අපට ලැබේ වීජීය සමීකරණය, එය ලක්ෂණ ලෙස හැඳින්වේ:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image124_5.gif" width="59" height="26 src="> සමීකරණයට විසඳුමක් වනු ඇත (5.1) k හි එම අගයන් සඳහා පමණි එනම් ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලයන් (5.2)..gif" width="49" height="25 src=">..gif" width="76" height="28 src=">.gif" width= "205" උස="47 src="> සහ සාමාන්‍ය විසඳුම (5..gif" width="45" height="25 src=">..gif" width="74" height="26 src=" >..gif" width="83 " height="26 src=">. මෙම ශ්‍රිතය සමීකරණය (5.1)..gif" width="190" height="26 src="> තෘප්තිමත් වේද යන්න පරීක්ෂා කරන්න. මෙම ප්‍රකාශන ආදේශ කිරීම සමීකරණය (5.1), අපි ලබා ගනිමු

https://pandia.ru/text/78/516/images/image141_6.gif" width="328" height="26 src=">, because.gif" width="137" height="26 src=" >.

පුද්ගලික විසඳුම් https://pandia.ru/text/78/516/images/image145_6.gif" width="86" height="28 src="> රේඛීයව ස්වාධීන වේ, මන්ද.gif" width="166" height= "26 src=">.gif" width="45" height="25 src=">..gif" width="65" height="33 src=">.gif" width="134" උස =" 25 src=">.gif" width="267" height="25 src=">.gif" width="474" height="25 src=">.

මෙම සමානාත්මතාවයේ වම් පැත්තේ ඇති වරහන් දෙකම ශුන්‍යයට සමාන වේ..gif" width="174" height="25 src=">..gif" width="132" height="25 src="> යනු සමීකරණයේ විසඳුම (5.1) ..gif" width="129" height="25 src="> මෙලෙස පෙනෙනු ඇත:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image162_6.gif" width="179" height="25 src="> f(x) (6.1)

සාමාන්‍ය විසඳුමේ එකතුව ලෙස නිරූපණය කෙරේ https://pandia.ru/text/78/516/images/image164_6.gif" width="195" height="25 src="> (6.2)

සහ ඕනෑම විශේෂිත විසඳුමක් https://pandia.ru/text/78/516/images/image166_6.gif" width="87" height="25 src="> සමීකරණයට විසඳුමක් වනු ඇත (6.1)..gif" පළල = "272" උස = "25 src="> f(x). මෙම සමානාත්මතාවය අනන්‍යතාවයක් වන නිසා..gif" width="128" height="25 src="> f(x).එබැවින්.gif" width="85" height="25 src=">.gif" width= "138" height="25 src=">.gif" width="18" height="25 src="> මෙම සමීකරණයට රේඛීයව ස්වාධීන විසඳුම් වේ. මේ ක්රමයෙන්:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image173_5.gif" width="289" height="48 src=">

https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="11" height="25 src=">. gif" width="51" height="25 src=">, සහ එවැනි නිර්ණායකයක්, අප ඉහත දුටු පරිදි, පද්ධතියෙන් ශුන්‍ය..gif" width="19" height="25 src="> ට වෙනස් වේ සමීකරණවල (6 ..gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="140" height="25 src ="> සමීකරණයේ විසඳුම වනු ඇත

https://pandia.ru/text/78/516/images/image179_5.gif" width="91" height="25 src="> සමීකරණයට (6.5), අපි ලබා ගනිමු

https://pandia.ru/text/78/516/images/image181_5.gif" width="140" height="25 src=">.gif" width="128" height="25 src="> f (x) (7.1)

මෙහි https://pandia.ru/text/78/516/images/image185_5.gif" width="34" height="25 src="> සමීකරණයේ (7.1) දකුණු පස f(x) ඇත විශේෂ ආකාරයේ. මෙම ක්‍රමය අවිනිශ්චිත සංගුණක ක්‍රමය ලෙස හැඳින්වෙන අතර f(x) හි දකුණු පැත්තේ ස්වරූපය අනුව විශේෂිත විසඳුමක් තෝරාගැනීමෙන් සමන්විත වේ. පහත පෝරමයේ නිවැරදි කොටස් සලකා බලන්න:

1..gif" width="282" height="25 src=">.gif" width="53" height="25 src="> ශුන්‍ය විය හැක. මෙම නඩුවේ විශේෂිත විසඳුම ගත යුතු ආකෘතිය අපි දක්වන්නෙමු.

අ) අංකය නම් https://pandia.ru/text/78/516/images/image191_5.gif" width="393" height="25 src=">.gif" width="157" height=" 25 src = ">.

විසඳුමක්.

සමීකරණය සඳහා https://pandia.ru/text/78/516/images/image195_4.gif" width="86" height="25 src=">..gif" width="62" height="25 src = ">..gif" width="101" height="25 src=">.gif" width="153" height="25 src=">.gif" width="383" height="25 src= " >.

අපි සමානාත්මතාවයේ වම් සහ දකුණු කොටස් වල https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" height="25 src="> මගින් කොටස් දෙකම කෙටි කරමු

https://pandia.ru/text/78/516/images/image206_5.gif" width="111" height="40 src=">

ලැබෙන සමීකරණ පද්ධතියෙන් අපට හමුවන්නේ: https://pandia.ru/text/78/516/images/image208_5.gif" width="189" height="25 src=">, සහ සාමාන්‍ය විසඳුම ලබා දී ඇති සමීකරණයඅර තියෙන්නේ:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image190_5.gif" width="11" height="25 src=">.gif" width="423" height="25 src=">,

එහිදී https://pandia.ru/text/78/516/images/image212_5.gif" width="158" height="25 src=">.

විසඳුමක්.

අනුරූප ලාක්ෂණික සමීකරණයේ ස්වරූපය ඇත:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image214_6.gif" width="53" height="25 src=">.gif" width="85" height="25 src=">. gif" width="45" height="25 src=">.gif" width="219" height="25 src=">..gif" width="184" height="35 src=">. අවසානයේ සාමාන්‍ය විසඳුම සඳහා අපට පහත ප්‍රකාශනය ඇත:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image223_4.gif" width="170" height="25 src=">.gif" width="13" height="25 src="> විශිෂ්ටයි බිංදුවෙන්. මෙම නඩුවේ විශේෂිත විසඳුමක ස්වරූපය අපි දක්වන්නෙමු.

අ) අංකය https://pandia.ru/text/78/516/images/image227_5.gif" width="204" height="25 src="> නම්,

මෙහි https://pandia.ru/text/78/516/images/image226_5.gif" width="16" height="25 src="> යනු සමීකරණය සඳහා ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මුල (5..gif" පළල වේ ="229 "උස="25 src=">,

එහිදී https://pandia.ru/text/78/516/images/image229_5.gif" width="147" height="25 src=">.

විසඳුමක්.

සමීකරණය සඳහා ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලයන් https://pandia.ru/text/78/516/images/image231_4.gif" width="58" height="25 src=">.gif" width="203" උස = "25 src = ">.

දකුණු කොටසඋදාහරණ 3 හි දී ඇති සමීකරණයට විශේෂ ආකාරයක් ඇත: f(x) https://pandia.ru/text/78/516/images/image235_3.gif" width="50" height="25 src=">.gif "පළල ="55" උස="25 src=">.gif" width="229" height="25 src=">.

අර්ථ දැක්වීමට https://pandia.ru/text/78/516/images/image240_2.gif" width="11" height="25 src=">.gif" width="43" height="25 src=" > සහ දී ඇති සමීකරණයට ආදේශ කරන්න:

සමාන නියමයන් ගෙන ඒම, https://pandia.ru/text/78/516/images/image245_2.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="100" height= හි සංගුණක සමාන කිරීම "25 src=">.

ලබා දී ඇති සමීකරණයේ අවසාන පොදු විසඳුම වන්නේ: https://pandia.ru/text/78/516/images/image249_2.gif" width="281" height="25 src=">.gif" width="47 " උස ="25 src=">.gif" width="10" height="25 src="> පිළිවෙලින්, සහ මෙම බහුපද වලින් එකක් ශුන්‍යයට සමාන විය හැක. අපි මෙම සාමාන්‍යයේ විශේෂිත විසඳුමක ස්වරූපය දක්වන්නෙමු. නඩුව.

අ) අංකය නම් https://pandia.ru/text/78/516/images/image255_2.gif" width="605" height="51">, (7.2)

එහිදී https://pandia.ru/text/78/516/images/image257_2.gif" width="121" height="25 src=">.

ආ) අංකය https://pandia.ru/text/78/516/images/image210_5.gif" width="80" height="25 src="> නම්, විශේෂිත විසඳුමක් පෙනෙන්නේ:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image259_2.gif" width="17" height="25 src=">. ප්‍රකාශනයේ (7..gif" width="121" height= " 25 src=">.

උදාහරණය 4සමීකරණය සඳහා විශේෂිත විසඳුම් වර්ගය සඳහන් කරන්න

https://pandia.ru/text/78/516/images/image262_2.gif" width="129" height="25 src=">..gif" width="95" height="25 src="> . ලොඩ් සඳහා පොදු විසඳුම පෝරමය ඇත:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image266_2.gif" width="183" height="25 src=">..gif" width="42" height="25 src="> ..gif" width="36" height="25 src=">.gif" width="351" height="25 src=">.

වැඩිදුර සංගුණක https://pandia.ru/text/78/516/images/image273_2.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="42" height="28 src=" > සමග සමීකරණයට විශේෂිත විසඳුමක් ඇත දකුණු පැත්ත f1(x), සහ විචලනය" href="/text/category/variatciya/" rel="bookmark">අත්තනෝමතික නියතයන්ගේ වෙනස්කම් (Lagrange ක්රමය).

නියත සංගුණක සහිත සමීකරණයක් හැරුණු විට රේඛාවකට නිශ්චිත විසඳුමක් සෘජුව සොයා ගැනීම සහ ඊට අමතරව විශේෂ නියත නියමයන් සමඟ විශාල දුෂ්කරතා ඇති කරයි. එබැවින්, රේඛාවකට සාමාන්‍ය විසඳුමක් සෙවීම සඳහා, යමෙකු සාමාන්‍යයෙන් අත්තනෝමතික නියත විචලනය කිරීමේ ක්‍රමය භාවිතා කරයි, එමඟින් අනුරූප සමජාතීය සමීකරණයේ විසඳුම්වල මූලික පද්ධතිය නම් චතුරස්රාකාර රේඛාවකට සාමාන්‍ය විසඳුමක් සෙවීමට සැමවිටම හැකි වේ. දන්නා බව ය. මෙම ක්රමය පහත පරිදි වේ.

ඉහත සඳහන් පරිදි, රේඛීය සමජාතීය සමීකරණයේ පොදු විසඳුම වන්නේ:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image278_2.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="51" height="25 src="> – නියත නොවේ, නමුත් f(x) හි සමහර, තවමත් නොදන්නා, ශ්‍රිත . අන්තරයෙන් ගත යුතුය. ඇත්ත වශයෙන්ම, මෙම අවස්ථාවෙහිදී, Wronsky නිර්ණායකය අන්තරයේ සියලුම ස්ථානවල ශුන්‍ය නොවේ, එනම්, සම්පූර්ණ අවකාශය තුළ, එය ලාක්ෂණික සමීකරණයේ සංකීර්ණ මූලය වේ..gif" width="20" height="25 src="> පෝරමයේ රේඛීය ස්වාධීන විශේෂිත විසඳුම්:

සාමාන්ය විසඳුම් සූත්රය තුළ, මෙම මූල ආකෘතියේ ප්රකාශනයකට අනුරූප වේ.

මෙම ඡේදය සලකා බලනු ඇත විශේෂ අවස්ථාවක් රේඛීය සමීකරණදෙවන අනුපිළිවෙල, සමීකරණයේ සංගුණක නියත වන විට, එනම්, ඒවා සංඛ්යා වේ. එවැනි සමීකරණ නියත සංගුණක සහිත සමීකරණ ලෙස හැඳින්වේ. මෙම වර්ගයේ සමීකරණය විශේෂයෙන් පුළුල් යෙදුමක් සොයා ගනී.

1. රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණ

නියත සංගුණක සහිත දෙවන අනුපිළිවෙල

සමීකරණය සලකා බලන්න

එහිදී සංගුණක නියත වේ. සමීකරණයේ සියලුම නියමයන් බෙදීම සහ දැක්වීම යැයි උපකල්පනය කිරීම

අපි මෙම සමීකරණය පෝරමයේ ලියන්නෙමු

දන්නා පරිදි, දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි රේඛීය සමජාතීය සමීකරණයක සාමාන්‍ය විසඳුම සොයා ගැනීමට, එය දැන ගැනීම ප්‍රමාණවත් වේ. මූලික පද්ධතියපෞද්ගලික තීරණ. නියත සංගුණක සහිත සමජාතීය රේඛීය අවකල සමීකරණයක් සඳහා විශේෂිත විසඳුම්වල මූලික පද්ධතිය සොයා ගන්නා ආකාරය අපි පෙන්වමු. මෙම සමීකරණයේ විශේෂිත විසඳුමක් අපි ස්වරූපයෙන් සොයමු

මෙම ශ්‍රිතය දෙවතාවක් වෙනස් කර සමීකරණයට (59) යන ප්‍රකාශන ආදේශ කිරීමෙන් අපි ලබා ගනිමු.

එතැන් සිට, අඩු කිරීමෙන් අපට සමීකරණය ලැබේ

මෙම සමීකරණයෙන්, k හි එම අගයන් තීරණය වන්නේ ශ්‍රිතය සමීකරණයට විසඳුමක් වන (59).

k සංගුණකය නිර්ණය කිරීම සඳහා වීජීය සමීකරණය (61) ලබා දී ඇති අවකල සමීකරණයේ (59) ලාක්ෂණික සමීකරණය ලෙස හැඳින්වේ.

ලාක්ෂණික සමීකරණය යනු දෙවන උපාධියේ සමීකරණයක් වන අතර එබැවින් මූලයන් දෙකක් ඇත. මෙම මූලයන් සැබෑ වෙනස් හෝ සැබෑ සහ සමාන හෝ සංකීර්ණ සංයුක්ත විය හැක.

මෙම එක් එක් අවස්ථාවන්හි අර්ධ විසඳුම්වල මූලික පද්ධතියේ ස්වරූපය අපි සලකා බලමු.

1. ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලයන් සැබෑ සහ වෙනස් ය: . මෙම අවස්ථාවේදී, සූත්රය (60) අනුව, අපි විශේෂිත විසඳුම් දෙකක් සොයා ගනිමු:

Wronsky නිර්ණායකය කිසි විටෙකත් අතුරුදහන් නොවන බැවින් මෙම විශේෂිත විසඳුම් දෙක සම්පූර්ණ සංඛ්‍යා අක්ෂයේ මූලික විසඳුම් පද්ධතියක් සාදයි:

එබැවින්, සූත්රය (48) අනුව සමීකරණයේ සාමාන්ය විසඳුම ආකෘතිය ඇත

2. ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලයන් සමාන වේ: . මෙම අවස්ථාවේ දී, මූලයන් දෙකම සැබෑ වනු ඇත. සූත්රය (60) මගින් අපි ලබා ගන්නේ එක් විශේෂිත විසඳුමක් පමණි

පළමු විසඳුම සමඟ මූලික පද්ධතියක් සාදන දෙවන විශේෂිත විසඳුමේ ස්වරූපය ඇති බව අපි පෙන්වමු

පළමුවෙන්ම, අපි ශ්‍රිතය සමීකරණයේ විසඳුමක් දැයි පරීක්ෂා කරන්නෙමු (59). ඇත්තටම,

නමුත් , ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලය (61) වේ. මීට අමතරව, Vieta ප්රමේයය අනුව, එබැවින් . එබැවින්, එනම්, ශ්‍රිතය ඇත්ත වශයෙන්ම සමීකරණයේ විසඳුමකි (59).

සොයාගත් විශේෂිත විසඳුම් මූලික විසඳුම් පද්ධතියක් සාදන බව අපි දැන් පෙන්වමු. ඇත්තටම,

මේ අනුව, මෙම අවස්ථාවේ දී සමජාතීය රේඛීය සමීකරණයේ පොදු විසඳුම ආකෘතිය ඇත

3. ලක්ෂණ සමීකරණයේ මූලයන් සංකීර්ණ වේ. දන්නා පරිදි, තථ්‍ය සංගුණක සහිත චතුරස්‍ර සමීකරණයක සංකීර්ණ මූලයන් සංයුක්ත වේ. සංකීර්ණ සංඛ්යා, එනම් පෝරමය ඇත: . මෙම අවස්ථාවෙහිදී, සූත්‍රය (60) අනුව (59) සමීකරණයේ විශේෂිත විසඳුම් වලට පෝරමය ඇත:

Euler සූත්‍ර භාවිතා කරමින් (Ch. XI, § 5 p. 3 බලන්න), සඳහා ප්‍රකාශන පෝරමයේ ලිවිය හැක:

මෙම විසඳුම් සංකීර්ණ වේ. සැබෑ විසඳුම් ලබා ගැනීම සඳහා, නව කාර්යයන් සලකා බලන්න

ඒවා විසඳුම්වල රේඛීය සංයෝජන වන අතර, එබැවින්, සමීකරණයේ විසඳුම් (59) (§ 3, අයිතමය 2, ප්රමේයය 1 බලන්න).

මෙම විසඳුම් සඳහා Wronsky නිර්ණායකය ශුන්‍යයට වඩා වෙනස් බව පෙන්වීමට පහසු වන අතර, එබැවින් විසඳුම් මූලික විසඳුම් පද්ධතියක් සාදයි.

මේ අනුව, ලාක්ෂණික සමීකරණයේ සංකීර්ණ මූලයන් සම්බන්ධයෙන් සමජාතීය රේඛීය අවකල සමීකරණයක සාමාන්‍ය විසඳුමේ ස්වරූපය ඇත.

අවසාන වශයෙන්, ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලයන්ගේ ස්වරූපය අනුව සමීකරණයේ (59) පොදු විසඳුම සඳහා සූත්‍ර වගුවක් අපි ලබා දෙමු.

දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි සහ ඉහළ අනුපිළිවෙලෙහි අවකල සමීකරණ.
නියත සංගුණක සහිත දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි රේඛීය DE.
විසඳුම් උදාහරණ.

අපි දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි අවකල සමීකරණ සහ ඉහළ ඇණවුම්වල අවකල සමීකරණ සලකා බලමු. අවකල සමීකරණයක් යනු කුමක්ද යන්න පිළිබඳ නොපැහැදිලි අදහසක් ඔබට තිබේ නම් (නැතහොත් එය කුමක්දැයි වටහා නොගන්නේ නම්), එවිට මම පාඩම සමඟ ආරම්භ කිරීමට නිර්දේශ කරමි. පළමු අනුපිළිවෙල අවකල සමීකරණ. විසඳුම් උදාහරණ. තීරණයේ බොහෝ මූලධර්ම සහ මූලික සංකල්පපළමු-ඇණවුමේ විභේදක ස්වයංක්‍රීයව දිගු වේ අවකල සමීකරණඉහළ අනුපිළිවෙල, එසේ පළමු අනුපිළිවෙල සමීකරණ තේරුම් ගැනීම ඉතා වැදගත් වේ.

බොහෝ පාඨකයන්ට 2, 3, සහ අනෙකුත් ඇණවුම් වල DE ප්‍රගුණ කිරීම සඳහා ඉතා අපහසු සහ ප්‍රවේශ විය නොහැකි දෙයක් බවට අගතියක් තිබිය හැක. මෙය සත්ය නොවේ . විසරණයන් විසඳීමට ඉගෙන ගන්න උසස් මට්ටමේ නියෝගයක්"සාමාන්‍ය" 1 වන අනුපිළිවෙල DE වලට වඩා සංකීර්ණ නොවේ. පාසල් විෂය මාලාවේ තොරතුරු තීරණ වලදී සක්‍රියව භාවිතා කරන බැවින් සමහර ස්ථානවල එය වඩාත් පහසු වේ.

වඩාත්ම ජනප්රියයි දෙවන අනුපිළිවෙල අවකල සමීකරණ. දෙවන අනුපිළිවෙල අවකල සමීකරණයකට අවශ්යයෙන්මදෙවන ව්යුත්පන්න සහ ඇතුළත් වේ ඇතුළත් නොවේ

සමහර ළදරුවන් (සහ එකවරම) සමීකරණයෙන් අතුරුදහන් විය හැකි බව සැලකිල්ලට ගත යුතුය, පියා නිවසේ සිටි බව වැදගත් වේ. වඩාත්ම ප්‍රාථමික දෙවන අනුපිළිවෙල අවකල සමීකරණය මේ වගේ ය:

මගේ ආත්මීය නිරීක්ෂණ වලට අනුව, ප්‍රායෝගික කාර්යයන්හි තුන්වන අනුපිළිවෙල අවකල සමීකරණ බොහෝ සෙයින් අඩු ය. රාජ්ය ඩූමාඔවුන්ට 3-4% ක ඡන්ද ප්‍රතිශතයක් ලැබෙනු ඇත.

තුන්වන අනුපිළිවෙල අවකල සමීකරණයකට අවශ්යයෙන්මතුන්වන ව්‍යුත්පන්න සහ ඇතුළත් වේ ඇතුළත් නොවේඉහළ ඇණවුම් වල ව්‍යුත්පන්න:

තුන්වන අනුපිළිවෙලෙහි සරලම අවකල සමීකරණය මේ වගේ ය: - තාත්තා ගෙදර ඉන්නවා, ළමයි ඔක්කොම ඇවිදින්න යනවා.

ඒ හා සමානව, 4, 5 සහ ඉහළ අනුපිළිවෙලෙහි අවකල සමීකරණ අර්ථ දැක්විය හැක. ප්‍රායෝගික ගැටළු වලදී, එවැනි DE ලිස්සා යන්නේ ඉතා කලාතුරකිනි, කෙසේ වෙතත්, මම අදාළ උදාහරණ දීමට උත්සාහ කරමි.

ප්‍රායෝගික ගැටළු වලදී යෝජිත ඉහල අනුපිළිවෙල අවකල සමීකරණ ප්‍රධාන කණ්ඩායම් දෙකකට බෙදිය හැක.

1) පළමු කණ්ඩායම - ඊනියා පහළ අනුපිළිවෙල සමීකරණ. පියාසර!

2) දෙවන කණ්ඩායම - නියත සංගුණක සහිත ඉහළ පෙළ රේඛීය සමීකරණ. අපි දැන් සලකා බැලීමට පටන් ගනිමු.

දෙවන අනුපිළිවෙල රේඛීය අවකල සමීකරණ
නියත සංගුණක සමඟ

න්‍යාය සහ ප්‍රායෝගිකව, එවැනි සමීකරණ වර්ග දෙකක් වෙන්කර හඳුනාගත හැකිය - සමජාතීය සමීකරණයහා සමජාතීය සමීකරණය.

නියත සංගුණක සහිත දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි සමජාතීය DEඑයට තිබෙනවා ඊළඟ දර්ශනය:
, කොහෙද සහ නියතයන් (සංඛ්‍යා), සහ දකුණු පැත්තේ - දැඩි ලෙසශුන්ය.

ඔබට පෙනෙන පරිදි, සමජාතීය සමීකරණ සමඟ විශේෂ දුෂ්කරතා නොමැත, ප්රධාන දෙය එයයි නිවැරදිව තීරණය කරන්න චතුරස්රාකාර සමීකරණය .

සමහර විට සම්මත නොවන සමජාතීය සමීකරණ ඇත, උදාහරණයක් ලෙස, ස්වරූපයෙන් සමීකරණයක් , දෙවන ව්‍යුත්පන්නයේ යම් නියතයක් ඇත , එකමුතුවෙන් වෙනස් (සහ, ඇත්ත වශයෙන්ම, ශුන්‍යයට වඩා වෙනස්). විසඳුම් ඇල්ගොරිතම කිසිසේත් වෙනස් නොවේ, කෙනෙකු සන්සුන්ව ලාක්ෂණික සමීකරණය සම්පාදනය කර එහි මූලයන් සොයා ගත යුතුය. ලාක්ෂණික සමීකරණය නම් විවිධ සැබෑ මූලයන් දෙකක් ඇත, උදාහරණයක් ලෙස: , එවිට පොදු විසඳුම ලෙස ලිවිය හැක සුපුරුදු රටාව: .

සමහර අවස්ථාවලදී, තත්වයේ ඇති ටයිප් එක නිසා, "නරක" මූලයන් හැරවිය හැක, වැනි දෙයක් . කුමක් කළ යුතුද, පිළිතුර මේ ආකාරයෙන් ලිවිය යුතුය:

වැනි "නරක" සංයුක්ත මූලයන් සමඟ ගැටලුවක් නැත, පොදු විසඳුම:

එනම්, ඕනෑම අවස්ථාවක පොදු විසඳුමක් පවතී. ඕනෑම චතුරස්රාකාර සමීකරණයකට මූලයන් දෙකක් ඇති බැවිනි.

අවසාන ඡේදයේ, මා පොරොන්දු වූ පරිදි, අපි කෙටියෙන් සලකා බලමු:

ඉහළ අනුපිළිවෙල රේඛීය සමජාතීය සමීකරණ

සෑම දෙයක්ම ඉතා සමාන ය.

තුන්වන අනුපිළිවෙලෙහි රේඛීය සමජාතීය සමීකරණයට පහත ස්වරූපය ඇත:
, නියතයන් කොහෙද.
මෙම සමීකරණය සඳහා, ඔබ ද ලාක්ෂණික සමීකරණයක් සකස් කර එහි මූලයන් සොයා ගත යුතුය. බොහෝ අය අනුමාන කර ඇති පරිදි ලාක්ෂණික සමීකරණය මේ ආකාරයෙන් පෙනේ:
, සහ එය කෙසේ හෝඑයට තිබෙනවා හරියටම තුනක්මූල.

උදාහරණයක් ලෙස, සියලු මූලයන් සැබෑ සහ වෙනස් විය යුතුය: , එවිට පොදු විසඳුම පහත පරිදි ලිවිය හැකිය:

එක් මූලයක් සැබෑ නම් සහ අනෙක් දෙක සංයුක්ත සංකීර්ණ නම්, අපි පොදු විසඳුම පහත පරිදි ලියන්නෙමු:

විශේෂ අවස්ථාවක් වන්නේ මූල තුනම ගුණාකාර (එකම) වීමයි. හුදකලා පියෙකු සමඟ 3 වන අනුපිළිවෙලෙහි සරලම සමජාතීය DE සලකා බලමු: . ලාක්ෂණික සමීකරණයට අහඹු ශුන්‍ය මූල තුනක් ඇත. අපි පොදු විසඳුම පහත පරිදි ලියන්නෙමු:

ලාක්ෂණික සමීකරණය නම් උදාහරණයක් ලෙස බහු මූල තුනක් ඇත, පසුව සාමාන්‍ය විසඳුම පිළිවෙලින්:

උදාහරණ 9

තුන්වන අනුපිළිවෙලෙහි සමජාතීය අවකල සමීකරණයක් විසඳන්න

විසඳුමක්:අපි ලාක්ෂණික සමීකරණය සම්පාදනය කර විසඳන්නෙමු:

, - එක් සැබෑ මූලයක් සහ සංයුක්ත සංකීර්ණ මූලයන් දෙකක් ලබා ගනී.

පිළිතුර:පොදු තීරණය

ඒ හා සමානව, අපට නියත සංගුණක සමඟ රේඛීය සමජාතීය සිව්වන අනුපිළිවෙල සමීකරණයක් සලකා බැලිය හැකිය: , නියතයන් කොහෙද.

නියත සංගුණක (PC) සහිත දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි (LNDE-2) රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණ විසඳීමේ මූලික කරුණු

නියත සංගුණක $p$ සහ $q$ සහිත දෙවන පෙළ CLDE එකකට $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$ පෝරමය ඇත, එහිදී $f\left( x \right)$ යනු අඛණ්ඩ ශ්‍රිතයකි.

PC සමඟ 2nd LNDE සම්බන්ධයෙන් පහත ප්‍රකාශ දෙක සත්‍ය වේ.

සමහර ශ්‍රිතය $U$ යනු සමජාතීය අවකල සමීකරණයක අත්තනෝමතික විශේෂිත විසඳුමක් යැයි උපකල්පනය කරන්න. සමහර ශ්‍රිතය $Y$ යනු අනුරූප රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණයේ (LODE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$ හි සාමාන්‍ය විසඳුමක් (OR) යැයි උපකල්පනය කරමු. එවිට OR හි LHDE-2 දක්වා ඇති පුද්ගලික එකතුවට සමාන වේ පොදු තීරණ, එනම් $y=U+Y$.

2 වන අනුපිළිවෙල LIDE හි දකුණු පැත්ත ශ්‍රිතවල එකතුව නම්, එනම් $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x\right )+. $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$, සහ ඉන් පසුව ලියන්න LNDE-2 PD ලෙස $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $.

PC සමඟ 2nd order LNDE විසඳුම

පැහැදිලිවම, ලබා දී ඇති LNDE-2 හි PD $U$ එකක හෝ තවත් PD ආකෘතියක් එහි දකුණු පස $f\වම(x\දකුණ)$ හි නිශ්චිත ආකෘතිය මත රඳා පවතී. LNDE-2 හි PD සෙවීමේ සරලම අවස්ථා පහත සඳහන් නීති හතරක් ලෙස සකස් කර ඇත.

රීති අංක 1.

LNDE-2 හි දකුණු පැත්තේ $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$ පෝරමය ඇත, මෙහි $P_(n) \left(x\right)=a_(0 ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, එනම් එය a ලෙස හැඳින්වේ. $n$ උපාධියේ බහුපද. එවිට එහි PR $U$ සොයන්නේ $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $ ආකාරයෙන්, මෙහි $Q_(n) \left(x\right)$ යනු තවත් එකක් වේ. $P_(n) \left(x\right)$ ට සමාන උපාධියේ බහුපද, සහ $r$ යනු අදාල LODE-2 හි ලාක්ෂණික සමීකරණයේ ශුන්‍ය මූල ගණනයි. බහුපද $Q_(n) \left(x\right)$ හි සංගුණක සොයාගනු ලබන්නේ අවිනිශ්චිත සංගුණක (NC) ක්‍රමය මගිනි.

රීති අංක 2.

LNDE-2 හි දකුණු පැත්තේ $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$ පෝරමය ඇත, එහිදී $P_(n) \left( x\right)$ යනු $n$ උපාධියේ බහුපදයකි. එවිට එහි PD $U$ සොයන්නේ $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $ ආකාරයෙන්, එහිදී $Q_(n ) \ left(x\right)$ යනු $P_(n) \left(x\right)$ ට සමාන උපාධියේ තවත් බහුපදයක් වන අතර $r$ යනු අදාල LODE-2 හි ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූල ගණනයි. $\alpha $ ට සමාන වේ. බහුපද $Q_(n) \left(x\right)$ හි සංගුණක NK ක්‍රමය මගින් සොයා ගැනේ.

රීති අංක 3.

LNDE-2 හි දකුණු කොටසෙහි $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x පෝරමය ඇත. \right) $, මෙහි $a$, $b$ සහ $\beta $ දන්නා සංඛ්‍යා වේ. එවිට එහි PD $U$ සොයන්නේ $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right යන පෝරමයෙනි. )\දකුණ )\cdot x^(r) $, මෙහි $A$ සහ $B$ නොදන්නා සංගුණක වන අතර $r$ යනු $i\cdot ට සමාන අනුරූප LODE-2 හි ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූල ගණනයි. \beta $. $A$ සහ $B$ යන සංගුණක සොයාගනු ලබන්නේ NDT ක්‍රමය මගිනි.

රීති අංක 4.

LNDE-2 හි දකුණු පැත්තේ $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$ පෝරමය ඇත, මෙහි $P_(n) \left(x\right)$ වේ $ n$ උපාධියේ බහුපදයක්, සහ $P_(m) \left(x\right)$ යනු $m$ උපාධියේ බහුපදයකි. එවිට එහි PD $U$ සොයන්නේ $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $ ආකාරයෙන්, එහිදී $Q_(s) \left(x\right) $ සහ $ R_(s) \left(x\right)$ යනු $s$ උපාධියේ බහුපද, $s$ යනු $n$ සහ $m$ යන උපරිම සංඛ්‍යා දෙක වන අතර $r$ යනු සංඛ්‍යාවයි. $\alpha +i\cdot \beta $ ට සමාන, අනුරූප LODE-2 හි ලක්ෂණ සමීකරණයේ මූලයන්. බහුපද $Q_(s) \left(x\right)$ සහ $R_(s) \left(x\right)$ වල සංගුණක NK ක්‍රමය මගින් සොයා ගැනේ.

NDT ක්රමය අයදුම් කිරීමේදී සමන්විත වේ ඊළඟ රීතිය. LNDE-2 සමජාතීය අවකල සමීකරණයේ විශේෂිත විසඳුමේ කොටසක් වන බහුපදයේ නොදන්නා සංගුණක සොයා ගැනීම සඳහා, එය අවශ්‍ය වේ:

• ලියා ඇති PD $U$ ආදේශ කරන්න සාමාන්ය දැක්ම, තුල වම් පැත්ත LNDU-2;
• LNDE-2 හි වම් පැත්තේ, $x$ එකම බලතල සහිත සරල කිරීම් සහ කණ්ඩායම් නියමයන් සිදු කරන්න;
• ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන අනන්‍යතාවයේ, වාම සහ දකුණු පැතිවල $x$ සමාන බලතල සහිත නියමවල සංගුණක සමාන කරන්න;
• නොදන්නා සංගුණක සඳහා ලැබෙන රේඛීය සමීකරණ පද්ධතිය විසඳන්න.

උදාහරණ 1

කාර්යය: OR LNDE-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\දකුණ)\cdot e^(3\cdot x) $ සොයා ගන්න. එසේම සොයා ගන්න PR, $x=0$ සඳහා $y=6$ සහ $x=0$ සඳහා $y"=1$ යන මූලික කොන්දේසි සපුරාලයි.

අදාළ LODA-2 ලියන්න: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.

ලාක්ෂණික සමීකරණය: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලයන්: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. මෙම මූලයන් සැබෑ සහ වෙනස් වේ. මේ අනුව, අදාළ LODE-2 හි OR හි පෝරමය ඇත: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.

මෙම LNDE-2 හි දකුණු කොටසෙහි $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ පෝරමය ඇත. $\alpha =3$ හි ඝාතකයේ සංගුණකය සලකා බැලීම අවශ්‍ය වේ. මෙම සංගුණකය ලාක්ෂණික සමීකරණයේ කිසිදු මූලයක් සමඟ සමපාත නොවේ. එබැවින් මෙම LNDE-2 හි PR හි $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ පෝරමය ඇත.

අපි NK ක්‍රමය භාවිතයෙන් $A$, $B$ යන සංගුණක සොයන්නෙමු.

අපි CR හි පළමු ව්‍යුත්පන්නය සොයා ගනිමු:

$U"=\left(A\cdot x+B\right)^(") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^(") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\වම(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

අපි CR හි දෙවන ව්‍යුත්පන්නය සොයා ගනිමු:

$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^(") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^(") ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\වම(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

අපි ලබා දී ඇති LNDE-2 $y""-3\cdot y" වෙත $y""$, $y"$ සහ $y$ වෙනුවට $U""$, $U"$ සහ $U$ යන ශ්‍රිත ආදේශ කරමු. -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\දකුණ)\cdot e^(3\cdot x).$ ඒ සමගම $e^(3\cdot x) $ ඝාතකය ඇතුලත් වන බැවින් සියලුම සංරචකවල සාධකයක් ලෙස, එවිට එය මඟ හැරිය හැක.

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \වම(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$

ප්රතිඵලය සමානාත්මතාවයේ වම් පැත්තෙන් අපි ක්රියාවන් සිදු කරන්නෙමු:

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

අපි NC ක්රමය භාවිතා කරමු. නොදන්නා කරුණු දෙකක් සහිත රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියක් අපට ලැබේ:

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

මෙම පද්ධතියට විසඳුම වන්නේ: $A=-2$, $B=-1$.

අපගේ ගැටලුව සඳහා CR $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ මෙසේ දිස්වේ: $U=\left(-2\cdot x-1\right ) \cdot e^(3\cdot x) $.

අපගේ ගැටලුව සඳහා OR $y=Y+U$ මෙසේ දිස්වේ: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ වම් (-2\cdot x-1\දකුණ)\cdot e^(3\cdot x) $.

ලබා දී ඇති මූලික කොන්දේසි තෘප්තිමත් කරන PD එකක් සෙවීම සඳහා, අපි $y"$ හෝ ව්‍යුත්පන්නය සොයා ගනිමු:

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\වම(-2\cdot x-1\දකුණ)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

අපි $x=0$ සඳහා $y=6$ සඳහා $y$ සහ $y"$ සහ $x=0$ සඳහා $y"=1$ යන ආරම්භක කොන්දේසි ආදේශ කරමු:

$6=C_(1) +C_(2) -1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

අපට සමීකරණ පද්ධතියක් තිබේ:

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$

අපි ඒක විසඳනවා. අපි ක්‍රේමර්ගේ සූත්‍රය භාවිතයෙන් $C_(1) $ සොයා ගන්නා අතර $C_(2) $ පළමු සමීකරණයෙන් තීරණය වේ:

$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ start(array)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(array)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$

මේ අනුව, මෙම අවකල සමීකරණයේ PD වන්නේ: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right )\cdot e^(3\cdot x) $.