රේඛීය වීජීය සමීකරණ පද්ධති විසඳීම, විසඳුම් ක්රම, උදාහරණ. §5 n නොදන්නා අයගෙන් n සමීකරණ පද්ධති විසඳීම
මෙම ගණිතමය වැඩසටහන සමඟ ඔබට දෙකේ පද්ධතිය විසඳිය හැකිය රේඛීය සමීකරණදෙකක් සමඟ විචල්ය ක්රමය ohm ආදේශ කිරීම සහ එකතු කිරීමේ ක්රමය.
වැඩසටහන ගැටලුවට පිළිතුර ලබා දෙනවා පමණක් නොව, නායකත්වය ද ලබා දෙයි සවිස්තරාත්මක විසඳුමක්රම දෙකකින් විසඳුම් පියවර පැහැදිලි කිරීම් සමඟ: ආදේශන ක්රමය සහ එකතු කිරීමේ ක්රමය.
මෙම වැඩසටහනසූදානම් වීමේදී උසස් පාසැල් සිසුන්ට ප්රයෝජනවත් විය හැකිය පාලන වැඩසහ විභාග, විභාගයට පෙර දැනුම පරීක්ෂා කරන විට, ගණිතය සහ වීජ ගණිතයේ බොහෝ ගැටලු විසඳීම පාලනය කිරීමට දෙමාපියන්. එසේත් නැතිනම් ඔබට උපදේශකයෙකු කුලියට ගැනීම හෝ නව පෙළපොත් මිලදී ගැනීම මිල අධිකද? නැත්නම් ඔබට එය හැකි ඉක්මනින් කර ගැනීමට අවශ්‍යද? ගෙදර වැඩගණිතය හෝ වීජ ගණිතය? මෙම අවස්ථාවේදී, ඔබට සවිස්තරාත්මක විසඳුමක් සමඟ අපගේ වැඩසටහන් භාවිතා කළ හැකිය.
මේ ආකාරයෙන්, විසඳිය යුතු කාර්යයන් ක්ෂේත්‍රයේ අධ්යාපන මට්ටම වැඩි වන අතරම, ඔබට ඔබේම පුහුණුව සහ/හෝ ඔබේ බාල සහෝදර සහෝදරියන්ගේ පුහුණුව පැවැත්විය හැකිය.
සමීකරණ ඇතුළත් කිරීම සඳහා රීති
ඕනෑම ලතින් අකුරක් විචල්යයක් ලෙස ක්රියා කළ හැක.
උදාහරණයක් ලෙස: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) ආදිය.
සමීකරණ ඇතුල් කරන විට ඔබට වරහන් භාවිතා කළ හැකිය. මෙම අවස්ථාවේදී, සමීකරණ මුලින්ම සරල කරනු ලැබේ. සරල කිරීමෙන් පසු සමීකරණ රේඛීය විය යුතුය, i.e. මූලද්‍රව්‍යවල අනුපිළිවෙලෙහි නිරවද්‍යතාවය සමඟ ax+by+c=0 ආකෘතියේ.
උදාහරණයක් ලෙස: 6x+1 = 5(x+y)+2
සමීකරණවලදී, ඔබට පූර්ණ සංඛ්යා පමණක් නොව, භාවිතා කළ හැකිය භාගික සංඛ්යාදශම සහ පොදු කොටස් ලෙස.
දශම භාග ඇතුළත් කිරීම සඳහා නීති.
නිඛිල සහ භාගික කොටස දශම භාගතිතකින් හෝ කොමාවකින් වෙන් කළ හැක.
උදාහරණයක් ලෙස: 2.1n + 3.5m = 55
සාමාන්ය භාග ඇතුළත් කිරීම සඳහා නීති.
භාගයක සංඛ්යාව, හරය සහ පූර්ණ සංඛ්යාව ලෙස ක්රියා කළ හැක්කේ පූර්ණ සංඛ්‍යාවකට පමණි.
හරය සෘණ විය නොහැක.
සංඛ්යාත්මක භාගයක් ඇතුළත් කිරීමේදී, සංඛ්‍යාංකය බෙදුම් ලකුණකින් හරයෙන් වෙන් කරනු ලැබේ: /
පූර්ණ සංඛ්යා කොටස කොටසෙන් වෙන් කර ඇත්තේ ඇම්පර්සන්ඩ් එකකින්: &
උදාහරණ.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2.1p + 55 = -2/7(3.5p - 2&1/8q)
සමීකරණ පද්ධතියක් විසඳන්න
මෙම කාර්යය විසඳීමට අවශ්ය සමහර ස්ක්‍රිප්ට් පූරණය කර නොමැති බව සොයා ගන්නා ලද අතර, වැඩසටහන ක්රියා නොකරනු ඇත.
ඔබට AdBlock සක්‍රීය කර තිබිය හැක.
මෙම අවස්ථාවේදී, එය අක්රිය කර පිටුව නැවුම් කරන්න.
විසඳුම දිස්වීමට JavaScript සක්රිය කළ යුතුය.
ඔබගේ බ්‍රවුසරයේ JavaScript සක්‍රීය කරන්නේ කෙසේද යන්න පිළිබඳ උපදෙස් මෙන්න.
නිසා ප්‍රශ්නය විසඳන්න ඕන ගොඩක් අය ඉන්නවා, ඔයාගේ ඉල්ලීම පෝලිමේ.
තත්පර කිහිපයකට පසු, විසඳුම පහත දිස්වනු ඇත.
කරුණාකර ඉන්න තත්පර...
ඔබ නම් විසඳුමේ දෝෂයක් දක්නට ලැබුණි, එවිට ඔබට ඒ ගැන ප්‍රතිපෝෂණ පෝරමයේ ලිවිය හැක.
අමතක කරන්න එපා කුමන කාර්යයද යන්න දක්වන්නඔබ තීරණය කරන්න ක්ෂේත්ර තුළට ඇතුල් කරන්න.
අපගේ ක්‍රීඩා, ප්‍රහේලිකා, ඉමුලේටර්:
න්යාය ටිකක්.
රේඛීය සමීකරණ පද්ධති විසඳීම. ආදේශන ක්රමය
ආදේශන ක්රමය මගින් රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියක් විසඳන විට ක්රියා අනුපිළිවෙල:
1) එක් විචල්යයක් පද්ධතියේ යම් සමීකරණයකින් තවත් එකක් අනුව ප්රකාශ කරන්න;
2) මෙම විචල්යය වෙනුවට පද්ධතියේ වෙනත් සමීකරණයකින් ලැබෙන ප්රකාශනය ආදේශ කරන්න;
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \ right. $$
පළමු සමීකරණයෙන් y සිට x හරහා ප්රකාශ කරමු: y = 7-3x. y වෙනුවට 7-3x ප්රකාශනය දෙවන සමීකරණයට ආදේශ කිරීමෙන් අපට පද්ධතිය ලැබේ:
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \ right. $$
පළමු හා දෙවන පද්ධති එකම විසඳුම් ඇති බව පෙන්වීම පහසුය. දෙවන පද්ධතියේ, දෙවන සමීකරණයේ අඩංගු වන්නේ එක් විචල්යයක් පමණි. අපි මෙම සමීකරණය විසඳමු:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Rightarrow -5x+14-6x=3 \Rightarrow -11x=-11 \Rightarrow x=1 $$
y=7-3x සමීකරණයට x වෙනුවට අංක 1 ආදේශ කිරීම, අපි y හි අනුරූප අගය සොයා ගනිමු:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$
යුගල (1;4) - පද්ධතියේ විසඳුම
එකම විසඳුම් ඇති විචල්ය දෙකක සමීකරණ පද්ධති ලෙස හැඳින්වේ සමාන. විසඳුම් නොමැති පද්ධති ද සමාන ලෙස සැලකේ.
එකතු කිරීම මගින් රේඛීය සමීකරණ පද්ධති විසඳීම
රේඛීය සමීකරණ පද්ධති විසඳීමට තවත් ක්රමයක් සලකා බලන්න - එකතු කිරීමේ ක්රමය. මේ ආකාරයට පද්ධති විසඳන විට මෙන්ම ආදේශන ක්රමය මඟින් විසඳන විට, අපි දී ඇති පද්ධතියක සිට එයට සමාන වෙනත් පද්ධතියකට යමු, එහි එක් සමීකරණයක එක් විචල්යයක් පමණක් අඩංගු වේ.
එකතු කිරීමේ ක්රමය මගින් රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියක් විසඳන විට ක්රියා අනුපිළිවෙල:
1) එක් විචල්‍යයක සංගුණක ප්රතිවිරුද්ධ සංඛ්යා බවට පත් වන පරිදි සාධක තෝරාගැනීම, පදයෙන් පද්ධති පදයේ සමීකරණ ගුණ කිරීම;
2) පද්ධතියේ සමීකරණවල වම් සහ දකුණු කොටස් පදයෙන් පදය එකතු කරන්න;
3) එක් විචල්යයක් සමඟ ප්රතිඵලය සමීකරණය විසඳන්න;
4) දෙවන විචල්යයේ අනුරූප අගය සොයා ගන්න.
උදාහරණයක්. අපි සමීකරණ පද්ධතිය විසඳමු:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \ right. $$
මෙම පද්ධතියේ සමීකරණවලදී, y හි සංගුණක ප්රතිවිරුද්ධ සංඛ්යා වේ. සමීකරණවල වම් සහ දකුණු කොටස් පදයෙන් පද එකතු කිරීමෙන්, අපි 3x=33 විචල්යයක් සහිත සමීකරණයක් ලබා ගනිමු. අපි පද්ධතියේ එක් සමීකරණයක් ආදේශ කරමු, උදාහරණයක් ලෙස පළමු එක, 3x=33 සමීකරණය සමඟ. අපි පද්ධතිය ලබා ගනිමු
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \ right. $$
3x=33 සමීකරණයෙන් අපි x=11 සොයා ගනිමු. මෙම x අගය \(x-3y=38 \) සමීකරණයට ආදේශ කිරීමෙන් අපට y විචල්යය සමඟ සමීකරණයක් ලැබේ: \(11-3y=38 \). අපි මෙම සමීකරණය විසඳමු:
\(-3y=27 \Rightarrow y=-9 \)
මේ අනුව, අපි එකතු කිරීමෙන් සමීකරණ පද්ධතියට විසඳුම සොයා ගත්තෙමු: \(x=11; y=-9 \) හෝ \((11; -9) \)
පද්ධතියේ සමීකරණවල y හි සංගුණක ප්රතිවිරුද්ධ සංඛ්යා වේ යන කාරණයෙන් ප්‍රයෝජන ගනිමින්, අපි එහි විසඳුම සමාන පද්ධතියක විසඳුමකට අඩු කළෙමු (මුල් සමීකරණයේ එක් එක් සමීකරණයේ කොටස් දෙකම සාරාංශ කිරීමෙන්), එයින් එකක් සමීකරණවල අඩංගු වන්නේ එක් විචල්යයක් පමණි.
පොත් (පෙළපොත්) ඒකාබද්ධ රාජ්‍ය විභාගයේ සාරාංශ සහ OGE මාර්ගගත පරීක්ෂණ ක්‍රීඩා, ප්‍රහේලිකා කාර්යයන් ප්‍රස්ථාර ඉදිකිරීම රුසියානු භාෂා ශබ්දකෝෂය අක්ෂර වින්‍යාසය රුසියානු භාෂා ශබ්දකෝෂය රුසියානු පාසල් නාමාවලිය රුසියාවේ ද්විතීයික පාසල් නාමාවලිය රුසියානු විශ්ව විද්‍යාල නාමාවලිය කාර්ය ලැයිස්තුවලැබුණු සමීකරණ පද්ධති පුළුල් යෙදුමආර්ථික අංශයේ ගණිතමය ආකෘති නිර්මාණය විවිධ ක්රියාවලීන්. උදාහරණයක් ලෙස, නිෂ්පාදන කළමනාකරණය සහ සැලසුම් කිරීමේ ගැටළු විසඳීමේදී, සැපයුම් මාර්ග (ප්රවාහන ගැටළුව) හෝ උපකරණ ස්ථානගත කිරීම.
ජනගහන ප්‍රමාණය සොයා ගැනීමේ ගැටළු විසඳීමේදී සමීකරණ පද්ධති ගණිත ක්ෂේත්‍රයේ පමණක් නොව භෞතික විද්‍යාව, රසායන විද්‍යාව සහ ජීව විද්‍යාව යන අංශවලද භාවිතා වේ.
රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියක් සොයා ගැනීමට අවශ්ය විචල්ය කිහිපයක් සහිත සමීකරණ දෙකක් හෝ වැඩි ගණනක් ලෙස හැඳින්වේ. පොදු තීරණය. සියලුම සමීකරණ සැබෑ සමානාත්මතා බවට පත් වන හෝ අනුපිළිවෙල නොපවතින බව ඔප්පු කරන එවැනි සංඛ්යා අනුපිළිවෙලක්.
රේඛීය සමීකරණය
ax+by=c ආකාරයේ සමීකරණ රේඛීය ලෙස හැඳින්වේ. x, y යන තනතුරු යනු නොදන්නා ඒවා වන අතර, එහි අගය සොයාගත යුතුය, b, a යනු විචල්‍යවල සංගුණක වේ, c යනු සමීකරණයේ නිදහස් පදයයි.
එහි ප්‍රස්ථාරය සැලසුම් කිරීමෙන් සමීකරණය විසඳීම සරල රේඛාවක් මෙන් පෙනෙනු ඇත, එහි සියලුම ලක්ෂ්‍ය බහුපදයේ විසඳුම වේ.
රේඛීය සමීකරණ පද්ධති වර්ග
සරලම වන්නේ X සහ Y විචල්ය දෙකක් සහිත රේඛීය සමීකරණ පද්ධති සඳහා උදාහරණ වේ.
F1(x, y) = 0 සහ F2(x, y) = 0, මෙහි F1,2 ශ්‍රිත වන අතර (x, y) ශ්‍රිත විචල්ය වේ.
සමීකරණ පද්ධතියක් විසඳන්න - එයින් අදහස් කරන්නේ පද්ධතිය සැබෑ සමානාත්මතාවයක් බවට පත්වන එවැනි අගයන් (x, y) සොයා ගැනීම හෝ x සහ y හි සුදුසු අගයන් නොමැති බව තහවුරු කිරීමයි.
ලක්ෂ්‍ය ඛණ්ඩාංක ලෙස ලියා ඇති අගයන් යුගලයක් (x, y), රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියකට විසඳුමක් ලෙස හැඳින්වේ.
පද්ධතිවලට එක් පොදු විසඳුමක් තිබේ නම් හෝ විසඳුමක් නොමැති නම්, ඒවා සමාන ලෙස හැඳින්වේ.
රේඛීය සමීකරණවල සමජාතීය පද්ධති යනු දකුණු පැත්ත ශුන්යයට සමාන වන පද්ධති වේ. "සමාන" ලකුණෙන් පසු දකුණු කොටසෙහි අගයක් තිබේ නම් හෝ ශ්රිතයක් මගින් ප්රකාශිත නම්, එවැනි පද්ධතියක් සමජාතීය නොවේ.
විචල්ය ගණන දෙකකට වඩා වැඩි විය හැකිය, එවිට අපි විචල්ය තුනක් හෝ ඊට වැඩි රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියක උදාහරණයක් ගැන කතා කළ යුතුය.
පද්ධතිවලට මුහුණ දෙන පාසල් සිසුන් උපකල්පනය කරන්නේ සමීකරණ ගණන අනිවාර්යයෙන්ම නොදන්නා සංඛ්යාව සමඟ සමපාත විය යුතු බවයි, නමුත් මෙය එසේ නොවේ. පද්ධතියේ සමීකරණ ගණන විචල්යයන් මත රඳා නොපවතී, ඒවායින් අත්තනෝමතික ලෙස විශාල සංඛ්‍යාවක් තිබිය හැකිය.
සමීකරණ පද්ධති විසඳීම සඳහා සරල හා සංකීර්ණ ක්රම
එවැනි පද්ධති විසඳීම සඳහා සාමාන්ය විශ්ලේෂණ ක්රමයක් නොමැත, සියලු ක්රම පදනම් වේ සංඛ්යාත්මක විසඳුම්. පාසල් ගණිත පාඨමාලාවේ ප්‍රමිතිකරණය, වීජීය එකතු කිරීම, ආදේශනය, මෙන්ම චිත්‍රක සහ matrix ක්රමය, Gauss ක්රමය මගින් විසඳුම.
විසඳීමේ ක්රම ඉගැන්වීමේ ප්රධාන කාර්යය වන්නේ පද්ධතිය නිවැරදිව විශ්ලේෂණය කරන්නේ කෙසේද යන්න ඉගැන්වීම සහ එක් එක් උදාහරණ සඳහා ප්‍රශස්ත විසඳුම් ඇල්ගොරිතම සොයා ගැනීමයි. ප්රධාන දෙය වන්නේ එක් එක් ක්රමය සඳහා නීති රීති සහ ක්රියා පද්ධතියක් මතක තබා ගැනීම නොව, විශේෂිත ක්රමයක් යෙදීමේ මූලධර්ම තේරුම් ගැනීමයි.
වැඩසටහනේ 7 වන පන්තියේ රේඛීය සමීකරණ පද්ධති පිළිබඳ උදාහරණ විසඳීම ද්විතීයික පාසලතරමක් සරල සහ ඉතා විස්තරාත්මකව පැහැදිලි කර ඇත. ගණිතය පිළිබඳ ඕනෑම පෙළපොතක, මෙම කොටසට ප්රමාණවත් අවධානයක් ලබා දී ඇත. Gauss සහ Cramer ක්රමය මගින් රේඛීය සමීකරණ පද්ධතිවල උදාහරණ විසඳුම උසස් අධ්යාපන ආයතනවල පළමු පාඨමාලා වලදී වඩාත් විස්තරාත්මකව අධ්යයනය කරනු ලැබේ.
ආදේශන ක්රමය මගින් පද්ධති විසඳුම
ආදේශන ක්රමයේ ක්රියාවන් ඉලක්ක කර ඇත්තේ එක් විචල්‍යයක අගය දෙවැන්න හරහා ප්රකාශ කිරීමයි. ප්රකාශනය ඉතිරි සමීකරණයට ආදේශ කරනු ලැබේ, පසුව එය තනි විචල්ය ස්වරූපයකට අඩු වේ. පද්ධතියේ නොදන්නා සංඛ්යාව අනුව ක්රියාව නැවත නැවතත් සිදු කෙරේ
ආදේශන ක්රමය මගින් 7 වන පන්තියේ රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියක උදාහරණයක් දෙන්නෙමු:
උදාහරණයෙන් දැකිය හැකි පරිදි, x විචල්යය F(X) = 7 + Y හරහා ප්රකාශ විය. X වෙනුවට පද්ධතියේ 2 වන සමීකරණයට ආදේශ කරන ලද ප්රතිඵල ප්රකාශනය, 2 වන සමීකරණයේ Y විචල්යයක් ලබා ගැනීමට උපකාරී විය. . මෙම උදාහරණයේ විසඳුම දුෂ්කරතා ඇති නොකරන අතර Y අගය ලබා ගැනීමට ඔබට ඉඩ සලසයි. අවසාන පියවරමෙය ලැබුණු අගයන් පරීක්ෂා කිරීමකි.
ආදේශ කිරීම මගින් රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියක උදාහරණයක් විසඳීම සැමවිටම කළ නොහැක. සමීකරණ සංකීර්ණ විය හැකි අතර දෙවන නොදන්නා අනුව විචල්යයේ ප්රකාශනය වැඩිදුර ගණනය කිරීම් සඳහා ඉතා අපහසු වනු ඇත. පද්ධතිය තුළ නොදන්නා 3 කට වඩා ඇති විට, ආදේශන විසඳුම ද ප්‍රායෝගික නොවේ.
රේඛීය පද්ධතියක උදාහරණයේ විසඳුම සමජාතීය සමීකරණ:
වීජීය එකතු කිරීම භාවිතයෙන් විසඳුම
එකතු කිරීමේ ක්රමය, පදයෙන් වාර එකතු කිරීම සහ සමීකරණ ගුණ කිරීම මගින් පද්ධති සඳහා විසඳුමක් සොයන විට විවිධ සංඛ්යා. අවසාන ඉලක්කය ගණිතමය මෙහෙයුම්යනු එක් විචල්යයක් සහිත සමීකරණයකි.
අයදුම්පත් සඳහා මෙම ක්රමයඑය පුහුණුවීම් සහ නිරීක්ෂණ අවශ්ය වේ. 3 හෝ ඊට වැඩි විචල්ය සංඛ්‍යාවක් සහිත එකතු කිරීමේ ක්රමය භාවිතයෙන් රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියක් විසඳීම පහසු නොවේ. සමීකරණවල භාග සහ දශම සංඛ්යා අඩංගු වන විට වීජීය එකතු කිරීම ප්රයෝජනවත් වේ.
විසඳුම් ක්රියාකාරී ඇල්ගොරිතම:
- සමීකරණයේ දෙපැත්තම යම් සංඛ්‍යාවකින් ගුණ කරන්න. අංක ගණිත ක්‍රියාකාරිත්වයේ ප්රතිඵලයක් ලෙස, විචල්යයේ එක් සංගුණකයක් 1 ට සමාන විය යුතුය.
- ප්රතිඵලය වන ප්‍රකාශන පදය පදයෙන් එකතු කර නොදන්නා ඒවායින් එකක් සොයා ගන්න.
- ඉතිරි විචල්යය සොයා ගැනීම සඳහා ලැබෙන අගය පද්ධතියේ 2වන සමීකරණයට ආදේශ කරන්න.
නව විචල්යයක් හඳුන්වා දීමෙන් විසඳුම් ක්රමය
පද්ධතියට සමීකරණ දෙකකට වඩා වැඩි විසඳුමක් සෙවීමට අවශ්ය නම් නව විචල්යයක් හඳුන්වා දිය හැක, නොදන්නා සංඛ්යාව ද දෙකකට වඩා වැඩි නොවිය යුතුය.
නව විචල්යයක් හඳුන්වා දීමෙන් එක් සමීකරණයක් සරල කිරීමට ක්රමය භාවිතා කරයි. නව සමීකරණය ඇතුළත් කළ නොදන්නා දේ සම්බන්ධයෙන් විසඳනු ලබන අතර, එහි ප්රතිඵලය වන අගය මුල් විචල්යය තීරණය කිරීමට භාවිතා කරයි.
t නව විචල්යයක් හඳුන්වා දීමෙන් පද්ධතියේ 1 වන සමීකරණය සම්මත වර්ග ත්‍රිපදයකට අඩු කිරීමට හැකි වූ බව උදාහරණයෙන් දැක ගත හැක. වෙනස්කම් කරන්නා සොයා ගැනීමෙන් ඔබට බහුපදයක් විසඳිය හැකිය.
විසින් වෙනස්කම් කරන්නාගේ වටිනාකම සොයා ගැනීම අවශ්ය වේ සුප්රසිද්ධ සූත්රය: D = b2 - 4*a*c, D යනු අපේක්ෂිත වෙනස්කම් කිරීම, b, a, c යනු බහුපදයේ ගුණකය වේ. හිදී එක් මෙම උදාහරණය a=1, b=16, c=39, එබැවින් D=100. වෙනස්කම් කරන්නා ශුන්යයට වඩා වැඩි නම්, විසඳුම් දෙකක් තිබේ: t = -b±√D / 2*a, වෙනස් කොට සැලකීම ශුන්යයට වඩා අඩු නම්, එවිට ඇත්තේ එකම විසඳුමකි: x= -b / 2*a.
ප්රතිඵල පද්ධති සඳහා විසඳුම එකතු කිරීමේ ක්රමය මගින් සොයා ගනී.
පද්ධති විසඳීම සඳහා දෘශ්ය ක්රමයක්
සමීකරණ 3 ක් සහිත පද්ධති සඳහා සුදුසු වේ. ක්රමය සමන්විත වන්නේ ඛණ්ඩාංක අක්ෂය මත පද්ධතියට ඇතුළත් කර ඇති එක් එක් සමීකරණයේ ප්‍රස්ථාර සැකසීමයි. වක්‍රවල ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යවල ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ සාමාන්ය විසඳුම වනු ඇත.
ග්රැෆික් ක්‍රමයට සූක්ෂ්මතා ගණනාවක් ඇත. දෘශ්ය ආකාරයෙන් රේඛීය සමීකරණ පද්ධති විසඳීමේ උදාහරණ කිහිපයක් සලකා බලන්න.
උදාහරණයෙන් පෙනෙන පරිදි, එක් එක් පේළිය සඳහා ලක්ෂ්‍ය දෙකක් ඉදිකර ඇති අතර, x විචල්යයේ අගයන් අත්තනෝමතික ලෙස තෝරා ගන්නා ලදී: 0 සහ 3. x හි අගයන් මත පදනම්ව, y සඳහා අගයන් සොයා ගන්නා ලදී: 3 සහ 0. ඛණ්ඩාංක (0, 3) සහ (3, 0) සහිත ලකුණු ප්‍රස්ථාරයේ සලකුණු කර රේඛාවකින් සම්බන්ධ කර ඇත.
දෙවන සමීකරණය සඳහා පියවර නැවත නැවතත් කළ යුතුය. රේඛාවල ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්යය පද්ධතියේ විසඳුමයි.
පහත උදාහරණය සොයා ගැනීමට අවශ්ය වේ ග්රැෆික් විසඳුමරේඛීය සමීකරණ පද්ධති: 0.5x-y+2=0 සහ 0.5x-y-1=0.
උදාහරණයෙන් දැකිය හැකි පරිදි, ප්‍රස්ථාර සමාන්තර වන අතර ඒවායේ සම්පූර්ණ දිග දිගේ ඡේදනය නොවන නිසා පද්ධතියට විසඳුමක් නොමැත.
උදාහරණ 2 සහ 3 හි පද්ධති සමාන වේ, නමුත් ගොඩනඟන විට, ඒවායේ විසඳුම් වෙනස් බව පැහැදිලි වේ. පද්ධතියට විසඳුමක් තිබේද නැද්ද යන්න සැමවිටම පැවසිය නොහැකි බව මතක තබා ගත යුතුය, එය සෑම විටම ප්රස්ථාරයක් තැනීමට අවශ්ය වේ.
Matrix සහ එහි වර්ග
රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියක් කෙටියෙන් ලිවීමට න්‍යාස භාවිතා වේ. වගුවක් matrix ලෙස හැඳින්වේ. විශේෂ ආකාරයේඉලක්කම් වලින් පිරී ඇත. n*m හි n - පේළි සහ m - තීරු ඇත.
තීරු සහ පේළි ගණන සමාන වන විට න්‍යාසයක් හතරැස් වේ. න්‍යාසයක් - දෛශිකයක් යනු අසීමිත ලෙස එක් තීරුවක න්‍යාසයකි හැකි අංකයරේඛා විකර්ණ වලින් එකක් සහ අනෙකුත් ශුන්ය මූලද්‍රව්‍ය ඔස්සේ ඒකක සහිත න්‍යාසයක් අනන්‍යතාවය ලෙස හැඳින්වේ.
ප්රතිලෝම න්‍යාසයක් යනු එවැනි න්‍යාසයකි, මුල් එක ඒකක එකක් බවට පත් වන විට ගුණ කළ විට, එවැනි න්‍යාසයක් පවතින්නේ මුල් හතරැස් එකට පමණි.
සමීකරණ පද්ධතියක් අනුකෘතියක් බවට පරිවර්තනය කිරීම සඳහා රීති
සමීකරණ පද්ධති සම්බන්ධයෙන්, සමීකරණවල සංගුණක සහ නිදහස් සාමාජිකයන් න්‍යාසයේ සංඛ්යා ලෙස ලියා ඇත, එක් සමීකරණයක් න්‍යාසයේ එක් පේළියකි.
පේළියේ අවම වශයෙන් එක් මූලද්‍රව්‍යයක් ශුන්යයට සමාන නොවේ නම් න්‍යාස පේළියක් ශුන්ය නොවන ලෙස හැඳින්වේ. එබැවින්, කිසියම් සමීකරණයක විචල්ය සංඛ්යාව වෙනස් වන්නේ නම්, අතුරුදහන් වූ නොදන්නා තැන වෙනුවට ශුන්‍යය ඇතුළත් කිරීම අවශ්ය වේ.
න්‍යාසයේ තීරු විචල්‍යයන්ට තදින් අනුරූප විය යුතුය. මෙයින් අදහස් කරන්නේ x විචල්යයේ සංගුණක ලිවිය හැක්කේ එක් තීරුවක පමණක් බවයි, උදාහරණයක් ලෙස පළමු, නොදන්නා y හි සංගුණකය - දෙවනුව පමණි.
න්‍යාසයක් ගුණ කරන විට, සියලුම න්‍යාස මූලද්‍රව්‍ය අනුක්‍රමිකව සංඛ්‍යාවකින් ගුණ කරනු ලැබේ.
ප්රතිලෝම න්යාසය සොයා ගැනීම සඳහා විකල්ප
සූත්රය සොයා ගැනීම ප්රතිලෝම න්යාසයඉතා සරලයි: K -1 = 1 / |K|, K -1 යනු ප්රතිලෝම න්යාසය සහ |K| - matrix determinant. |කේ| ශුන්යයට සමාන නොවිය යුතුය, එවිට පද්ධතියට විසඳුමක් ඇත.
න්‍යාස දෙකෙන් දෙක සඳහා නිර්ණායකය පහසුවෙන් ගණනය කළ හැකිය, අවශ්ය වන්නේ මූලද්‍රව්‍ය විකර්ණ ලෙස එකිනෙකින් ගුණ කිරීම පමණි. "තුනෙන් තුනෙන්" විකල්පය සඳහා, |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c සූත්‍රයක් ඇත 3 + a 3 b 2 c 1 . ඔබට සූත්රය භාවිතා කළ හැකිය, නැතහොත් නිෂ්පාදනයේ මූලද්‍රව්‍යවල තීරු සහ පේළි අංක නැවත සිදු නොවන පරිදි එක් එක් පේළියෙන් සහ එක් එක් තීරුවෙන් එක් මූලද්‍රව්‍යයක් ගත යුතු බව ඔබට මතක තබා ගත හැකිය.
අනුකෘති ක්රමය මගින් රේඛීය සමීකරණ පද්ධති සඳහා උදාහරණ විසදීම
විසඳුමක් සෙවීමේ matrix ක්රමය මඟින් විචල්ය සහ සමීකරණ විශාල සංඛ්‍යාවක් සහිත පද්ධති විසඳීමේදී අපහසු ඇතුළත් කිරීම් අඩු කිරීමට හැකි වේ.
උදාහරණයේ දී, a nm යනු සමීකරණවල සංගුණක වේ, න්යාසය දෛශිකයක් වේ x n යනු විචල්යයන් වන අතර b n යනු නිදහස් පද වේ.
Gauss ක්රමය මගින් පද්ධති විසඳුම
උසස් ගණිතයේ දී, Gauss ක්රමය ක්රේමර් ක්රමය සමඟ අධ්යයනය කරනු ලබන අතර, පද්ධති සඳහා විසඳුම් සෙවීමේ ක්රියාවලිය Gauss-Cramer ක්රමය ලෙස හැඳින්වේ. සොයා ගැනීමට මෙම ක්රම භාවිතා කරනු ලැබේ පද්ධති විචල්යයන්රේඛීය සමීකරණ ගොඩක් සමඟ.
Gaussian ක්රමය ආදේශන සහ වීජීය එකතු කිරීමේ විසඳුම් වලට බෙහෙවින් සමාන නමුත් වඩා ක්‍රමානුකූල වේ. පාසල් පාඨමාලාවේ දී, Gaussian විසඳුම 3 සහ 4 සමීකරණ පද්ධති සඳහා භාවිතා වේ. ක්රමයේ අරමුණ වන්නේ පද්ධතිය ප්රතිලෝම trapezoid ස්වරූපයට ගෙන ඒමයි. වීජීය පරිවර්තනයන් සහ ආදේශන මගින්, එක් විචල්‍යයක අගය පද්ධතියේ එක් සමීකරණයක දක්නට ලැබේ. දෙවන සමීකරණය යනු නොදන්නා 2 ක් සහ 3 සහ 4 - පිළිවෙලින් 3 සහ 4 විචල්යයන් සහිත ප්‍රකාශනයකි.
පද්ධතිය විස්තර කරන ලද ආකෘතියට ගෙන ඒමෙන් පසු, වැඩිදුර විසඳුම පද්ධතියේ සමීකරණවලට දන්නා විචල්යයන් අනුක්‍රමික ආදේශනය දක්වා අඩු කරනු ලැබේ.
7 ශ්‍රේණිය සඳහා පාසල් පෙළපොත් වල, Gaussian විසඳුමක උදාහරණයක් පහත පරිදි විස්තර කෙරේ:
උදාහරණයෙන් දැකිය හැකි පරිදි, (3) පියවරේදී 3x 3 -2x 4 =11 සහ 3x 3 +2x 4 =7 සමීකරණ දෙකක් ලබා ගන්නා ලදී. ඕනෑම සමීකරණයක විසඳුම x n විචල්ය වලින් එකක් සොයා ගැනීමට ඔබට ඉඩ සලසයි.
පෙළෙහි සඳහන් වන 5 වන ප්රමේයය, පද්ධතියේ එක් සමීකරණයක් සමාන එකක් මගින් ප්‍රතිස්ථාපනය කළහොත්, ප්රතිඵලය වන පද්ධතිය ද මුල් එකට සමාන වන බව පවසයි.
Gaussian ක්රමය මධ්‍යම පාසල් සිසුන්ට තේරුම් ගැනීමට අපහසු නමුත් එය වඩාත්ම එකකි රසවත් ක්රමවැඩසටහනට ඇතුළත් වූ දරුවන්ගේ දක්ෂතා වර්ධනය කිරීම ගැඹුරු අධ්යයනයගණිත හා භෞතික විද්‍යා පන්තිවල.
ගණනය කිරීම් පටිගත කිරීමේ පහසුව සඳහා, පහත සඳහන් දෑ කිරීම සිරිතකි:
සමීකරණ සංගුණක සහ නිදහස් නියමයන් න්‍යාසයක ස්වරූපයෙන් ලියා ඇත, එහිදී න්‍යාසයේ සෑම පේළියක්ම පද්ධතියේ එක් සමීකරණයකට අනුරූප වේ. සමීකරණයේ වම් පැත්ත දකුණු පැත්තෙන් වෙන් කරයි. රෝම ඉලක්කම් මඟින් පද්ධතියේ සමීකරණ සංඛ්යා දක්වයි.
පළමුව, ඔවුන් වැඩ කළ යුතු අනුකෘතිය ලියා ඇත, පසුව එක් පේළියකින් සිදු කරන ලද සියලුම ක්රියාවන්. ප්රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන න්යාසය "ඊතලය" ලකුණෙන් පසුව ලියා ඇති අතර ප්‍රති result ලය ලබා ගන්නා තෙක් අවශ්ය වීජීය මෙහෙයුම් දිගටම කරගෙන යන්න.
එහි ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, එක් විකර්ණයක් 1 වන න්‍යාසයක් ලබා ගත යුතු අතර අනෙක් සියලුම සංගුණක ශුන්යයට සමාන වේ, එනම් න්යාසය තනි ස්වරූපයකට අඩු වේ. සමීකරණයේ දෙපැත්තේ සංඛ්යා සමඟ ගණනය කිරීම් සිදු කිරීමට අප අමතක නොකළ යුතුය.
මෙම අංකනය අපහසුතා අඩු වන අතර නොදන්නා බොහෝ දේ ලැයිස්තුගත කිරීමෙන් අවධානය වෙනතකට යොමු නොකිරීමට ඔබට ඉඩ සලසයි.
විසඳුමේ ඕනෑම ක්රමයක් නොමිලේ යෙදීම සඳහා රැකවරණය සහ යම් අත්දැකීමක් අවශ්ය වනු ඇත. සියලුම ක්රම අදාළ නොවේ. මිනිස් ක්‍රියාකාරකම්වල විශේෂිත ක්ෂේත්‍රයක් තුළ විසඳුම් සෙවීමේ සමහර ක්රම වඩාත් සුදුසු වන අතර අනෙක් ඒවා ඉගෙනීමේ අරමුණ සඳහා පවතී.
- පද්ධති එම්සමඟ රේඛීය සමීකරණ nනොදන්නා.
රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියක් විසඳීමඑවැනි සංඛ්යා කට්ටලයක් ( x 1, x 2, ..., x n), පද්ධතියේ එක් එක් සමීකරණයට ආදේශ කිරීම, නිවැරදි සමානාත්මතාවය ලබා ගනී.
කොහෙද a ij, i = 1, ..., m; j = 1,…, nපද්ධතියේ සංගුණක වේ;
b i, i = 1, ..., m- නිදහස් සාමාජිකයන්;
x j , j = 1, ..., n- නොදන්නා.
ඉහත පද්ධතිය matrix ආකාරයෙන් ලිවිය හැක: A X = B,
කොහෙද ( ඒ|බී) පද්ධතියේ ප්රධාන අනුකෘතිය වේ;
ඒ- පද්ධතියේ විස්තීර්ණ අනුකෘතිය;
x- නොදන්නා තීරුව;
බීනිදහස් සාමාජිකයින්ගේ තීරුවකි.
matrix නම් බීශුන්‍ය න්‍යාසයක් නොවේ ∅, එවිට මෙම රේඛීය සමීකරණ පද්ධතිය සමජාතීය ලෙස හැඳින්වේ.
matrix නම් බී= ∅, එවිට මෙම රේඛීය සමීකරණ පද්ධතිය සමජාතීය ලෙස හැඳින්වේ. සමජාතීය පද්ධතියකට සෑම විටම ශුන්ය (සුළු) විසඳුමක් ඇත: x 1 \u003d x 2 \u003d ..., x n \u003d 0.
රේඛීය සමීකරණවල ඒකාබද්ධ පද්ධතියවිසඳුමක් ඇති රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියකි.
රේඛීය සමීකරණවල නොගැලපෙන පද්ධතියවිසඳුමක් නොමැති රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියකි.
රේඛීය සමීකරණවල යම් පද්ධතියක්අද්විතීය විසඳුමක් ඇති රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියකි.
රේඛීය සමීකරණ අවිනිශ්චිත පද්ධතියයනු අසීමිත විසඳුම් සංඛ්‍යාවක් ඇති රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියකි. - n නොදන්නා n සමඟ රේඛීය සමීකරණ පද්ධති
නොදන්නා සංඛ්යාව සමීකරණ ගණනට සමාන නම්, න්යාසය හතරැස් වේ. න්‍යාස නිර්ණායකය රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියේ ප්රධාන නිර්ණායකය ලෙස හැඳින්වෙන අතර එය Δ සංකේතයෙන් දැක්වේ.
ක්රේමර් ක්රමයවිසඳුම් පද්ධති සඳහා nසමඟ රේඛීය සමීකරණ nනොදන්නා.
ක්රේමර්ගේ රීතිය.
රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියක ප්රධාන නිර්ණායකය ශුන්යයට සමාන නොවේ නම්, පද්ධතිය ස්ථාවර සහ අර්ථ දක්වා ඇති අතර එකම විසඳුම ක්රේමර් සූත්ර භාවිතයෙන් ගණනය කෙරේ:
මෙහි Δ i යනු පද්ධතියේ ප්රධාන නිර්ණායකයෙන් Δ ප්‍රතිස්ථාපනය කිරීමෙන් ලබාගත් නිර්ණායක වේ මම th තීරුව නිදහස් සාමාජිකයින්ගේ තීරුවට. . - n නොදන්නා n සමඟ m රේඛීය සමීකරණ පද්ධති
Kronecker-Cappelli theorem.
මෙම රේඛීය සමීකරණ පද්ධතිය ස්ථාවර වීමට නම්, පද්ධතියේ න්‍යාසයේ ශ්‍රේණිය පද්ධතියේ විස්තීරණ න්‍යාසයේ ශ්‍රේණියට සමාන වීම අවශ්ය සහ ප්රමාණවත් වේ. ශ්‍රේණිය(Α) = ශ්‍රේණිය(Α|B).
අ rang(Α) ≠ rang(Α|B), එවිට පද්ධතියට පැහැදිලිවම විසඳුම් නොමැත.
නම් ශ්‍රේණිය(Α) = ශ්‍රේණිය(Α|B), එවිට අවස්ථා දෙකක් හැකි ය:
1) rang(Α) = n(නොදන්නා සංඛ්යාවට) - විසඳුම අද්විතීය වන අතර Cramer's සූත්ර මගින් ලබා ගත හැක;
2) නිලය (Α)< n - අසීමිත විසඳුම් ඇත. - Gauss ක්රමයරේඛීය සමීකරණ පද්ධති විසඳීම සඳහා
අපි වර්ධක අනුකෘතිය රචනා කරමු ( ඒ|බී) නොදන්නා සහ දකුණු පස ඇති සංගුණක පද්ධතියේ ලබා දී ඇත.
Gaussian ක්රමය හෝ නොදන්නා ක්රමය තුරන් කිරීම සමන්විත වන්නේ augmented matrix ( ඒ|බී) එහි පේළි හරහා විකර්ණ ස්වරූපයකට (ඉහළ ත්‍රිකෝණාකාර ස්වරූපයකට) මූලික පරිවර්තනයන් ආධාරයෙන්. සමීකරණ පද්ධතියට නැවත පැමිණීම, සියලු නොදන්නා දේ තීරණය වේ.
තන්තු මත මූලික පරිවර්තනයන් පහත සඳහන් දේ ඇතුළත් වේ:
1) පේළි දෙකක් මාරු කිරීම;
2) 0 හැර වෙනත් අංකයකින් තන්තුවක් ගුණ කිරීම;
3) අත්තනෝමතික අංකයකින් ගුණ කරන ලද තවත් තන්තුවක් තන්තුවට එකතු කිරීම;
4) ශුන්ය නූලක් ඉවතලීම.
විකර්ණ ස්වරූපයකට අඩු කරන ලද විස්තීරණ අනුකෘතියක් අනුරූප වේ රේඛීය පද්ධතිය, ලබා දී ඇති එකට සමාන වන අතර, එහි විසඳුම දුෂ්කරතා ඇති නොකරයි. . - සමජාතීය රේඛීය සමීකරණ පද්ධතිය.
සමජාතීය පද්ධතියට ආකෘතියක් ඇත:
එය matrix සමීකරණයට අනුරූප වේ A X = 0.
1) සමජාතීය පද්ධතියක් සෑම විටම ස්ථාවර වේ r(A) = r(A|B), සෑම විටම ශුන්ය විසඳුමක් (0, 0, ..., 0) ඇත.
2) සමජාතීය පද්ධතියකට ශුන්ය නොවන ද්‍රාවණයක් තිබීම සඳහා එය අවශ්ය සහ ප්රමාණවත් වේ r = r(A)< n , එය Δ = 0 ට සමාන වේ.
3) නම් ආර්< n , එවිට Δ = 0, එවිට නොමිලේ නොදන්නා ඒවා ඇත c 1, c 2, ..., c n-r, පද්ධතිය සතුව ඇත සුළු නොවන විසඳුම්, සහ ඒවායින් අනන්තවත් ඇත.
4) පොදු විසඳුම xහිදී ආර්< n පහත පරිදි matrix ආකාරයෙන් ලිවිය හැක:
X \u003d c 1 X 1 + c 2 X 2 + ... + c n-r X n-r,
කෝ විසඳුම් X 1 , X 2 , …, X n-rමූලික විසඳුම් පද්ධතියක් සාදන්න.
5) මූලික පද්ධතියපොදු විසඳුමෙන් විසඳුම් ලබා ගත හැකිය සමජාතීය පද්ධතිය:
,
අපි අනුපිළිවෙලින් පරාමිතිවල අගයන් (1, 0, ..., 0), (0, 1, ..., 0), ..., (0, 0, ..., 1) ලෙස උපකල්පනය කරන්නේ නම්.
මූලික විසඳුම් පද්ධතිය අනුව පොදු විසඳුම වියෝජනය කිරීමමූලික පද්ධතියට අයත් විසඳුම්වල රේඛීය සංයෝජනයක් ලෙස පොදු විසඳුම පිළිබඳ වාර්තාවකි.
ප්රමේයය. රේඛීය සමජාතීය සමීකරණ පද්ධතියකට ශුන්ය නොවන ද්‍රාවණයක් තිබීම සඳහා Δ ≠ 0 අවශ්ය සහ ප්රමාණවත් වේ.
එබැවින්, නිර්ණායකය Δ ≠ 0 නම්, පද්ධතියට අද්විතීය විසඳුමක් ඇත.
Δ ≠ 0 නම්, රේඛීය සමජාතීය සමීකරණ පද්ධතියට අසීමිත විසඳුම් ගණනාවක් ඇත.
ප්රමේයය. සමජාතීය පද්ධතියකට ශුන්ය නොවන ද්‍රාවණයක් තිබීම සඳහා, එය අවශ්ය සහ ප්රමාණවත් වේ ආර්(අ)< n .
සාක්ෂි:
1) ආර්වැඩි වෙන්න බෑ n(න්‍යාස ශ්‍රේණිය තීරු හෝ පේළි ගණන ඉක්මවා නොයයි);
2) ආර්< n , නිසා නම් r=n, එවිට පද්ධතියේ ප්රධාන නිර්ණායකය Δ ≠ 0, සහ, ක්රේමර්ගේ සූත්‍රවලට අනුව, අද්විතීය සුළු විසඳුමක් ඇත. x 1 \u003d x 2 \u003d ... \u003d x n \u003d 0, කොන්දේසියට පටහැනියි. අදහස්, ආර්(අ)< n .
ප්රතිවිපාකය. සමජාතීය පද්ධතියක් සඳහා nසමඟ රේඛීය සමීකරණ nනොදන්නා අයට ශුන්ය නොවන ද්‍රාවණයක් ඇත, එය Δ = 0 වීම අවශ්ය සහ ප්රමාණවත් වේ.
රේඛීය පද්ධතිවල විසඳුම වීජීය සමීකරණ(SLAE) යනු රේඛීය වීජ ගණිත පාඨමාලාවේ වැදගත්ම මාතෘකාව බවට සැකයක් නැත. ගණිතයේ සියලුම ශාඛා වලින් විශාල ගැටළු රාශියක් රේඛීය සමීකරණ පද්ධති විසඳීමට අඩු වේ. මෙම කරුණු මෙම ලිපිය නිර්මාණය කිරීමට හේතුව පැහැදිලි කරයි. ලිපියේ ද්රව්ය තෝරාගෙන සකස් කර ඇති අතර එමඟින් ඔබට උපකාර කළ හැකිය
- ඔබේ රේඛීය වීජීය සමීකරණ පද්ධතිය විසඳීම සඳහා ප්‍රශස්ත ක්රමය තෝරන්න,
- තෝරාගත් ක්රමයේ න්යාය අධ්යයනය කිරීම,
- සාමාන්ය උදාහරණ සහ ගැටළු වල විසඳුම් විස්තරාත්මකව සලකා බැලීමෙන් ඔබේ රේඛීය සමීකරණ පද්ධතිය විසඳන්න.
ලිපියේ ද්රව්ය පිළිබඳ කෙටි විස්තරයක්.
පළමුව, අපි අවශ්ය සියලු අර්ථ දැක්වීම්, සංකල්ප ලබා දී යම් අංකනයක් හඳුන්වා දෙමු.
ඊළඟට, අපි සමීකරණ ගණන නොදන්නා විචල්ය ගණනට සමාන වන සහ අද්විතීය විසඳුමක් ඇති රේඛීය වීජීය සමීකරණ පද්ධති විසඳීම සඳහා ක්රම සලකා බලමු. පළමුව, අපි Cramer ක්රමය කෙරෙහි අවධානය යොමු කරමු, දෙවනුව, අපි එවැනි සමීකරණ පද්ධති විසඳීම සඳහා matrix ක්රමය පෙන්වමු, තෙවනුව, අපි Gauss ක්රමය විශ්ලේෂණය කරන්නෙමු (නොදන්නා විචල්යයන් අනුක්‍රමිකව ඉවත් කිරීමේ ක්රමය). න්යාය තහවුරු කිරීම සඳහා, අපි අනිවාර්යයෙන්ම SLAEs කිහිපයක් විවිධ ආකාරවලින් විසඳන්නෙමු.
ඊට පසු, අපි රේඛීය වීජීය සමීකරණවල විසඳුම් පද්ධති වෙත හැරෙමු සාමාන්ය දැක්ම, සමීකරණ ගණන නොදන්නා විචල්ය සංඛ්යාව සමඟ නොගැලපෙන හෝ පද්ධතියේ ප්රධාන න්යාසය පිරිහී ඇත. අපි ක්‍රොනෙකර්-කැපෙලි ප්රමේයය සකස් කරමු, එය අපට SLAE වල ගැළපුම තහවුරු කිරීමට ඉඩ සලසයි. සංකල්පය භාවිතයෙන් පද්ධතිවල විසඳුම (ඒවායේ ගැළපුම සම්බන්ධයෙන්) අපි විශ්ලේෂණය කරමු මූලික සුළු matrices. අපි Gauss ක්රමය ද සලකා බලනු ලබන අතර උදාහරණවල විසඳුම් විස්තරාත්මකව විස්තර කරමු.
රේඛීය වීජීය සමීකරණවල සමජාතීය හා සමජාතීය පද්ධතිවල පොදු විසඳුමේ ව්යුහය මත වාසය කිරීමට වග බලා ගන්න. අපි මූලික විසඳුම් පද්ධතියක් පිළිබඳ සංකල්පය ලබා දී මූලික විසඳුම් පද්ධතියේ දෛශික භාවිතයෙන් SLAE හි සාමාන්ය විසඳුම ලියා ඇති ආකාරය පෙන්වමු. වඩා හොඳ අවබෝධයක් සඳහා, අපි උදාහරණ කිහිපයක් බලමු.
අවසාන වශයෙන්, අපි SLAEs පැන නගින විවිධ ගැටළු මෙන්ම, රේඛීය ඒවාට අඩු කරන ලද සමීකරණ පද්ධති සලකා බලමු.
පිටු සංචලනය.
අර්ථ දැක්වීම්, සංකල්ප, තනතුරු.
ආකෘති පත්‍රයේ n නොදන්නා විචල්ය (p n ට සමාන විය හැක) සහිත p රේඛීය වීජීය සමීකරණ පද්ධති අපි සලකා බලමු.
නොදන්නා විචල්ය, - සංගුණක (සමහර සැබෑ හෝ සංකීර්ණ සංඛ්යා), - නිදහස් සාමාජිකයින් (තත්‍ය හෝ සංකීර්ණ සංඛ්යා ද).
SLAE හි මෙම ස්වරූපය හැඳින්වේ සම්බන්ධීකරණය.
හිදී matrix ආකෘතියමෙම සමීකරණ පද්ධතියට ආකෘතිය ඇත,
කොහෙද 
- පද්ධතියේ ප්රධාන න්යාසය, - නොදන්නා විචල්‍යවල න්‍යාස-තීරුව, - නිදහස් සාමාජිකයින්ගේ න්‍යාස-තීරුව.
අපි න්‍යාසයට A (n + 1)-th තීරුව ලෙස නිදහස් පදවල න්‍යාස-තීරුව ලෙස එකතු කළහොත්, අපට ඊනියා ලැබේ. පුළුල් කළ න්‍යාසයරේඛීය සමීකරණ පද්ධති. සාමාන්‍යයෙන්, වර්ධක න්යාසය T අකුරින් දැක්වෙන අතර නිදහස් සාමාජිකයින්ගේ තීරුව ඉතිරි තීරු වලින් සිරස් රේඛාවකින් වෙන් කරනු ලැබේ, එනම්, 
රේඛීය වීජීය සමීකරණ පද්ධතියක් විසඳීමෙන්පද්ධතියේ සියලුම සමීකරණ අනන්‍යතා බවට පත් කරන නොදන්නා විචල්‍යවල අගයන් සමූහයක් ලෙස හැඳින්වේ. න්‍යාස සමීකරණයමක්නිසාද යත් නොදන්නා විචල්‍යවල ලබා දී ඇති අගයන් ද අනන්‍යතාවයක් බවට පත්වේ.
සමීකරණ පද්ධතියකට අවම වශයෙන් එක් විසඳුමක් තිබේ නම්, එය හැඳින්වේ ඒකාබද්ධ.
සමීකරණ පද්ධතියට විසඳුම් නොමැති නම්, එය හැඳින්වේ නොගැලපෙන.
SLAE හි අද්විතීය විසඳුමක් තිබේ නම්, එය හැඳින්වේ සමහර; විසඳුම් එකකට වඩා තිබේ නම් - අවිනිශ්චිත.
පද්ධතියේ සියලුම සමීකරණවල නිදහස් නියමයන් ශුන්යයට සමාන වේ නම් 
, එවිට පද්ධතිය හැඳින්වේ සමජාතීය, එසේ නොමැතිනම් - විෂමජාතීය.
රේඛීය වීජීය සමීකරණවල මූලික පද්ධතිවල විසඳුම.
පද්ධති සමීකරණ ගණන නොදන්නා විචල්ය ගණනට සමාන නම් සහ එහි ප්රධාන න්‍යාසයේ නිර්ණායකය ශුන්යයට සමාන නොවේ නම්, අපි එවැනි SLAEs ලෙස හඳුන්වමු. ප්රාථමික. එවැනි සමීකරණ පද්ධති අද්විතීය විසඳුමක් ඇති අතර, සමජාතීය පද්ධතියක දී, සියලු නොදන්නා විචල්යයන් ශුන්යයට සමාන වේ.
අපි එවැනි SLAEs අධ්යයනය කිරීමට පටන් ගත්තෙමු උසස් පාසල. ඒවා විසඳන විට, අපි එක් සමීකරණයක් ගෙන, එක් නොදන්නා විචල්යයක් අනෙක් අනුව ප්රකාශ කර එය ඉතිරි සමීකරණවලට ආදේශ කර, ඊළඟ සමීකරණය ගෙන, ඊළඟ නොදන්නා විචල්යය ප්රකාශ කර වෙනත් සමීකරණවලට ආදේශ කළෙමු. නැතහොත් ඔවුන් එකතු කිරීමේ ක්රමය භාවිතා කළහ, එනම් සමහර නොදන්නා විචල්යයන් ඉවත් කිරීමට සමීකරණ දෙකක් හෝ වැඩි ගණනක් එකතු කළහ. මෙම ක්රම මූලික වශයෙන් Gauss ක්රමයේ වෙනස් කිරීම් වන බැවින් අපි ඒවා ගැන විස්තරාත්මකව වාසය නොකරමු.
රේඛීය සමීකරණවල මූලික පද්ධති විසඳීම සඳහා ප්රධාන ක්රම වනුයේ Cramer ක්රමය, matrix ක්රමය සහ Gauss ක්රමයයි. අපි ඒවා නිරාකරණය කරමු.
ක්රේමර්ගේ ක්රමය මගින් රේඛීය සමීකරණ පද්ධති විසඳීම.
රේඛීය වීජීය සමීකරණ පද්ධතියක් විසඳීමට අපට අවශ්ය වේ 
එහි සමීකරණ ගණන නොදන්නා විචල්ය ගණනට සමාන වන අතර පද්ධතියේ ප්රධාන න්‍යාසයේ නිර්ණායකය ශුන්යයට වඩා වෙනස් වේ, එනම්, .
පද්ධතියේ ප්රධාන න්‍යාසයේ නිර්ණායකය වෙමු, සහ 
ප්‍රතිස්ථාපනය කිරීමෙන් A වෙතින් ලබා ගන්නා න්‍යාසවල නිර්ණායක වේ 1 වන, 2 වන, ..., nthනිදහස් සාමාජිකයින්ගේ තීරුවට පිළිවෙලින් තීරුව: 
එවැනි අංකනයකින්, නොදන්නා විචල්යයන් ක්රේමර් ක්රමයේ සූත්ර මගින් ගණනය කරනු ලැබේ 
. ක්රේමර් ක්රමය මගින් රේඛීය වීජීය සමීකරණ පද්ධතියක විසඳුම සොයා ගන්නේ එලෙසය.
උදාහරණයක්.
ක්රේමර් ක්රමය 
.
විසඳුමක්.
පද්ධතියේ ප්රධාන අනුකෘතිය ආකෘතිය ඇත 
. එහි නිර්ණායකය ගණනය කරන්න (අවශ්ය නම්, ලිපිය බලන්න): 
පද්ධතියේ ප්රධාන න්‍යාසයේ නිර්ණායකය ශුන්ය නොවන බැවින්, පද්ධතියට ක්රේමර් ක්රමය මගින් සොයාගත හැකි අද්විතීය විසඳුමක් ඇත.
අවශ්ය නිර්ණායක සම්පාදනය කර ගණනය කරන්න 
(නිශ්චයකාරකය න්යාසය A හි පළමු තීරුව නිදහස් සාමාජිකයින්ගේ තීරුවක් සමඟ ප්‍රතිස්ථාපනය කිරීමෙන් ලබා ගනී, නිර්ණායකය - දෙවන තීරුව නිදහස් සාමාජිකයින්ගේ තීරුවක් සමඟ ප්‍රතිස්ථාපනය කිරීමෙන්, - න්යාසය A හි තෙවන තීරුව නිදහස් සාමාජිකයින්ගේ තීරුවක් සමඟ ප්‍රතිස්ථාපනය කිරීමෙන් ): 
සූත්ර භාවිතයෙන් නොදන්නා විචල්යයන් සෙවීම 
:
පිළිතුර:
Cramer's ක්රමයේ ප්රධාන අවාසිය (එය අවාසියක් ලෙස හැඳින්විය හැකි නම්) පද්ධති සමීකරණ ගණන තුනකට වඩා වැඩි වන විට නිර්ණායක ගණනය කිරීමේ සංකීර්ණතාවයයි.
අනුකෘති ක්රමය මගින් රේඛීය වීජීය සමීකරණ පද්ධති විසඳීම (ප්රතිලෝම න්යාසය භාවිතා කිරීම).
රේඛීය වීජීය සමීකරණ පද්ධතිය න්‍යාස ආකාරයෙන් ලබා දෙමු, එහිදී A න්‍යාසයේ මානය n n වන අතර එහි නිර්ණායකය ශුන්ය නොවේ.
න්යාසය A ප්රතිලෝම වන බැවින්, එනම් ප්රතිලෝම න්‍යාසයක් ඇත. අපි සමානාත්මතාවයේ කොටස් දෙකම වම් පසින් ගුණ කළහොත්, නොදන්නා විචල්‍යවල තීරු න්යාසය සෙවීම සඳහා අපට සූත්‍රයක් ලැබේ. එබැවින් රේඛීය වීජීය සමීකරණ පද්ධතියේ විසඳුම අපට matrix ක්රමය මගින් ලබා ගත හැකි විය.
උදාහරණයක්.
රේඛීය සමීකරණ පද්ධතිය විසඳන්න matrix ක්රමය.
විසඳුමක්.
අනුකෘති ආකාරයෙන් සමීකරණ පද්ධතිය නැවත ලියමු: 
නිසා
එවිට SLAE matrix ක්රමය මගින් විසඳිය හැක. ප්රතිලෝම න්යාසය භාවිතා කරමින්, මෙම ක්‍රමයට විසඳුම ලෙස සෙවිය හැක 
.
න්යාසය භාවිතා කර ප්රතිලෝම න්යාසය ගොඩනගමු වීජීය එකතු කිරීම් matrix A හි මූලද්‍රව්‍ය (අවශ්ය නම්, ලිපිය බලන්න): 
එය ගණනය කිරීමට ඉතිරිව ඇත - ප්රතිලෝම න්යාසය ගුණ කිරීමෙන් නොදන්නා විචල්‍යයන්ගේ න්යාසය 
නිදහස් සාමාජිකයින්ගේ matrix-තීරුව මත (අවශ්ය නම්, ලිපිය බලන්න): 
පිළිතුර:
හෝ වෙනත් අංකනයකින් x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.
න්‍යාස ක්රමය මගින් රේඛීය වීජීය සමීකරණ පද්ධති සඳහා විසඳුමක් සෙවීමේ ප්රධාන ගැටලුව වන්නේ ප්රතිලෝම න්යාසය සෙවීමේ සංකීර්ණත්වයයි, විශේෂයෙන්ම හතරැස් matricesතුන්වන එකට වඩා වැඩි නියෝගයක්.
Gauss ක්රමය මගින් රේඛීය සමීකරණ පද්ධති විසඳීම.
අපි n නොදන්නා විචල්යයන් සහිත n රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියකට විසඳුමක් සෙවිය යුතු යැයි සිතමු. 
ප්රධාන න්‍යාසයේ නිර්ණායකය ශුන්යයට වඩා වෙනස් වේ.
Gauss ක්රමයේ සාරයනොදන්නා විචල්යයන් අනුක්‍රමික බැහැර කිරීමකින් සමන්විත වේ: පළමුව, x 1 පද්ධතියේ සියලුම සමීකරණ වලින් බැහැර කරනු ලැබේ, දෙවැන්නෙන් ආරම්භ වේ, පසුව x 2 සියලු සමීකරණ වලින් බැහැර කරනු ලැබේ, තෙවන සිට ආරම්භ වේ, සහ නොදන්නා විචල්යය පමණක් දක්වා x n අවසාන සමීකරණයේ පවතී. නොදන්නා විචල්යයන් අඛණ්ඩව ඉවත් කිරීම සඳහා පද්ධතියේ සමීකරණ පරිවර්තනය කිරීමේ එවැනි ක්‍රියාවලියක් ලෙස හැඳින්වේ. සෘජු Gauss ක්රමය. Gaussian ක්රමයේ ඉදිරි ධාවනය අවසන් වූ පසු, අවසාන සමීකරණයෙන් x n, මෙම අගය භාවිතා කරමින් අවසාන සමීකරණයෙන් x n-1 ගණනය කරනු ලැබේ, සහ පළමු සමීකරණයෙන් x 1 සොයා ගැනේ. පද්ධතියේ අවසාන සමීකරණයේ සිට පළමු සමීකරණය දක්වා ගමන් කිරීමේදී නොදන්නා විචල්යයන් ගණනය කිරීමේ ක්රියාවලිය ලෙස හැඳින්වේ. ප්රතිලෝම Gauss ක්රමය.
නොදන්නා විචල්යයන් ඉවත් කිරීමේ ඇල්ගොරිතම කෙටියෙන් විස්තර කරමු.
පද්ධතියේ සමීකරණ නැවත සකස් කිරීමෙන් අපට මෙය සැමවිටම සාක්ෂාත් කරගත හැකි බැවින් අපි එය උපකල්පනය කරමු. අපි නොදන්නා විචල්යය x 1 පද්ධතියේ සියලුම සමීකරණ වලින් බැහැර කරමු, දෙවැන්නෙන් ආරම්භ වේ. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, පද්ධතියේ දෙවන සමීකරණයට පළමු ගුණ කළ සමීකරණය එකතු කරන්න, තුන්වන සමීකරණයට පළමු ගුණනය එකතු කරන්න, සහ යනාදිය, පළමු ගුණ කළ සමීකරණයට n වන සමීකරණයට එකතු කරන්න. එවැනි පරිවර්තනයකින් පසු සමීකරණ පද්ධතිය ස්වරූපය ගනී 
කොහෙද, a 
.
අපි පද්ධතියේ පළමු සමීකරණයේ වෙනත් නොදන්නා විචල්යයන් අනුව x 1 ප්රකාශ කළහොත් සහ ලැබෙන ප්රකාශනය අනෙකුත් සියලුම සමීකරණවලට ආදේශ කළහොත් අපි එම ප්‍රතිඵලයටම පැමිණේ. මේ අනුව, x 1 විචල්යය දෙවන සිට ආරම්භ වන සියලුම සමීකරණ වලින් බැහැර කරනු ලැබේ.
ඊළඟට, අපි සමාන ලෙස ක්රියා කරමු, නමුත් රූපයේ සලකුණු කර ඇති ප්රතිඵල පද්ධතියේ කොටසක් සමඟ පමණි 
මෙය සිදු කිරීම සඳහා, පද්ධතියේ තුන්වන සමීකරණයට දෙවන ගුණිතය එකතු කරන්න, සිව්වන සමීකරණයට දෙවැන්න එකතු කරන්න, සහ යනාදිය, n වන සමීකරණයට දෙවැන්න එකතු කරන්න. එවැනි පරිවර්තනයකින් පසු සමීකරණ පද්ධතිය ස්වරූපය ගනී 
කොහෙද, a 
. මේ අනුව, x 2 විචල්යය තුන්වන සිට ආරම්භ වන සියලුම සමීකරණ වලින් බැහැර කරනු ලැබේ.
ඊළඟට, රූපයේ සලකුණු කර ඇති පද්ධතියේ කොටස සමඟ සමානව ක්රියා කරන අතරම, අපි නොදන්නා x 3 ඉවත් කිරීමට ඉදිරියට යමු. 
එබැවින් පද්ධතිය ආකෘතිය ගන්නා තෙක් අපි ගවුස් ක්රමයේ සෘජු පාඨමාලාව දිගටම කරගෙන යන්නෙමු 
මේ මොහොතේ සිට, අපි Gauss ක්රමයේ ප්රතිලෝම පාඨමාලාව ආරම්භ කරමු: අපි අවසාන සමීකරණයෙන් x n ගණනය කරන්නෙමු, ලබාගත් අගය x n භාවිතා කරමින් අපි අවසාන සමීකරණයෙන් x n-1 සොයා ගනිමු, සහ යනාදිය, අපි පළමු සිට x 1 සොයා ගනිමු. සමීකරණය.
උදාහරණයක්.
රේඛීය සමීකරණ පද්ධතිය විසඳන්න Gaussian ක්රමය.
විසඳුමක්.
නොදන්නා විචල්යය x 1 පද්ධතියේ දෙවන සහ තෙවන සමීකරණ වලින් බැහැර කරමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, දෙවන සහ තුන්වන සමීකරණවල කොටස් දෙකටම, අපි පළමු සමීකරණයේ අනුරූප කොටස් එකතු කරමු, පිළිවෙලින් ගුණ කිරීම සහ ගුණ කිරීම: 
දැන් අපි තුන්වන සමීකරණයෙන් x 2 බැහැර කරන්නේ එහි වම් සහ දකුණු කොටස් වලට දෙවන සමීකරණයේ වම් සහ දකුණු කොටස් එකතු කිරීමෙන්, ගුණ කිරීම: 
මේ මත, Gauss ක්රමයේ ඉදිරි පාඨමාලාව සම්පූර්ණ කර ඇත, අපි ප්රතිලෝම පාඨමාලාව ආරම්භ කරමු.
ලැබෙන සමීකරණ පද්ධතියේ අවසාන සමීකරණයෙන්, අපි x 3 සොයා ගනිමු: 
දෙවන සමීකරණයෙන් අපට ලැබේ.
පළමු සමීකරණයෙන් අපි ඉතිරි නොදන්නා විචල්යය සොයා ගන්නා අතර මෙය Gauss ක්රමයේ ප්රතිලෝම පාඨමාලාව සම්පූර්ණ කරයි.
පිළිතුර:
X 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.
සාමාන්ය ආකෘතියේ රේඛීය වීජීය සමීකරණ පද්ධති විසඳීම.
හිදී සාමාන්ය නඩුවපද්ධති සමීකරණ ගණන p නොදන්නා විචල්ය ගණනට නොගැලපේ n:
එවැනි SLAE වලට විසඳුම් නොමැති වීම, තනි විසඳුමක් තිබීම හෝ අනන්තවත් විසඳුම් තිබිය හැක. මෙම ප්‍රකාශය ප්රධාන න්යාසය හතරැස් සහ පරිහානියට පත් වූ සමීකරණ පද්ධති සඳහා ද අදාළ වේ.
ක්‍රොනෙකර්-කැපෙලි ප්රමේයය.
රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියකට විසඳුමක් සොයා ගැනීමට පෙර, එහි අනුකූලතාව තහවුරු කිරීම අවශ්ය වේ. SLAE අනුකූල වන්නේ කවදාද සහ එය නොගැලපෙන විට යන ප්‍රශ්නයට පිළිතුර ලබා දෙයි ක්‍රොනෙකර්-කැපෙලි ප්රමේයය:
n නොදන්නා n සහිත p සමීකරණ පද්ධතියක් (p n ට සමාන විය හැක) අනුකූල වීම සඳහා පද්ධතියේ ප්රධාන න්‍යාසයේ ශ්‍රේණිය විස්තීරණ න්‍යාසයේ ශ්‍රේණියට සමාන වීම අවශ්ය සහ ප්රමාණවත් වේ, එනම් ශ්රේණිගත කිරීම A)=Rank(T) .
උදාහරණයක් ලෙස රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියක ගැළපුම නිර්ණය කිරීම සඳහා Kronecker-Cappelli ප්රමේයය භාවිතා කිරීම අපි සලකා බලමු.
උදාහරණයක්.
රේඛීය සමීකරණ පද්ධතිය තිබේදැයි සොයා බලන්න 
විසඳුම්.
විසඳුමක්.
. අපි බාලවයස්කරුවන් මායිම් කිරීමේ ක්රමය භාවිතා කරමු. දෙවන නියෝගයේ සුළු 
බිංදුවට වඩා වෙනස්. එය වටා ඇති තුන්වන පෙළ බාල වයස්කරුවන් වෙත යමු: 
මායිම් වන සියලුම තෙවන පෙළ බාල වයස්කරුවන් ශුන්යයට සමාන බැවින්, ප්රධාන අනුකෘතියේ ශ්‍රේණිය දෙකකි.
අනෙක් අතට, වර්ධක අනුකෘතියේ ශ්‍රේණිය 
තුන්වන අනුපිළිවෙලෙහි බාලයා බැවින් තුනට සමාන වේ 
බිංදුවට වඩා වෙනස්.
මේ ක්රමයෙන්, Rang(A) , එබැවින්, ක්‍රොනෙකර්-කැපෙලි ප්රමේයය අනුව, රේඛීය සමීකරණවල මුල් පද්ධතිය නොගැලපෙන බව අපට නිගමනය කළ හැක.
පිළිතුර:
විසඳුම් ක්රමයක් නැහැ.
එබැවින්, ක්‍රොනෙකර්-කැපෙලි ප්රමේයය භාවිතා කරමින් පද්ධතියේ නොගැලපීම තහවුරු කිරීමට අපි ඉගෙන ගෙන ඇත්තෙමු.
නමුත් එහි ගැළපුම ස්ථාපිත කර ඇත්නම් SLAE හි විසඳුම සොයා ගන්නේ කෙසේද?
මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපට න්‍යාසයක මූලික කුඩා සංකල්පය සහ න්‍යාසයක ශ්‍රේණිය පිළිබඳ ප්රමේයය අවශ්ය වේ.
සුළු ඉහළම නියෝගයශුන්‍ය නොවන matrix A ලෙස හැඳින්වේ මූලික.
එහි අනුපිළිවෙල න්‍යාසයේ තරාතිරමට සමාන බව පදනම් සුළු නිර්වචනයෙන් එය අනුගමනය කරයි. ශුන්ය නොවන න්‍යාස A සඳහා, මූලික බාලවයස්කරුවන් කිහිප දෙනෙකු සිටිය හැක; සෑම විටම එක් මූලික සුළු පිරිසක් සිටී.
උදාහරණයක් ලෙස, matrix සලකා බලන්න 
.
මෙම න්‍යාසයේ තුන්වන පේළියේ මූලද්‍රව්‍ය පළමු සහ දෙවන පේළිවල අනුරූප මූලද්‍රව්‍යවල එකතුව වන බැවින් මෙම න්‍යාසයේ සියලුම තුන්වන අනුපිළිවෙලෙහි බාල වයස්කරුවන් ශුන්යයට සමාන වේ.
දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි පහත බාල වයස්කරුවන් ශුන්ය නොවන බැවින් මූලික වේ 
බාලවයස්කාරයන් 
ඒවා ශුන්යයට සමාන බැවින් ඒවා මූලික නොවේ.
Matrix ශ්රේණිගත ප්රමේයය.
n මගින් p අනුපිළිවෙලෙහි න්‍යාසයක ශ්‍රේණිය r නම්, තෝරාගත් පදනම සුළු නොවන න්‍යාසයේ පේළිවල (සහ තීරු) සියලුම මූලද්‍රව්‍ය පේළිවල (සහ තීරු) අනුරූප මූලද්‍රව්‍ය අනුව රේඛීයව ප්රකාශ වේ. ) එය පදනම සුළු වේ.
matrix ශ්රේණිගත ප්රමේයය අපට ලබා දෙන්නේ කුමක්ද?
ක්‍රොනෙකර්-කැපෙලි ප්රමේයය මගින්, අපි පද්ධතියේ ගැළපුම තහවුරු කර ඇත්නම්, අපි පද්ධතියේ ප්රධාන න්‍යාසයේ ඕනෑම මූලික සුළු එකක් තෝරා ගනිමු (එහි අනුපිළිවෙල r ට සමාන වේ), සහ පද්ධතියෙන් නොවන සියලුම සමීකරණ ඉවත් කරන්න. තෝරාගත් මූලික බාලවය. ඉවතලන සමීකරණ තවමත් අතිරික්ත බැවින් (matrix ශ්රේණිගත ප්‍රමේයයට අනුව, ඒවා ඉතිරි සමීකරණවල රේඛීය එකතුවකි) මේ ආකාරයෙන් ලබාගත් SLAE මුල් එකට සමාන වේ.
ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, පද්ධතියේ අධික සමීකරණ ඉවත දැමීමෙන් පසුව, අවස්ථා දෙකක් හැකි ය.
ඵලදායි පද්ධතියේ r සමීකරණ ගණන නොදන්නා විචල්ය ගණනට සමාන නම්, එය නිශ්චිත වන අතර එකම විසඳුම Cramer ක්රමය, matrix ක්රමය හෝ Gauss ක්රමය මගින් සොයාගත හැකිය.
උදාහරණයක්.
.
විසඳුමක්.
පද්ධතියේ ප්රධාන අනුකෘතියේ ශ්රේණිගත කිරීම 
දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි බාලයා බැවින්, දෙකකට සමාන වේ 
බිංදුවට වඩා වෙනස්. විස්තීරණ න්‍යාස ශ්‍රේණිය 
තුන්වන අනුපිළිවෙලෙහි එකම බාලය ශුන්යයට සමාන බැවින්, දෙකට සමාන වේ 
සහ ඉහත සලකා බැලූ දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි සුළු අගය බිංදුවට වඩා වෙනස් වේ. ක්‍රොනෙකර්-කැපෙලි ප්රමේයය මත පදනම්ව, ශ්රේණිගත කිරීම(A)=Rank(T)=2 බැවින්, රේඛීය සමීකරණවල මුල් පද්ධතියේ ගැළපුම කෙනෙකුට ප්රකාශ කළ හැක.
පදනම සුළු වශයෙන්, අපි ගන්නෙමු . එය පළමු හා දෙවන සමීකරණවල සංගුණක මගින් සෑදී ඇත: 
පද්ධතියේ තුන්වන සමීකරණය මූලික සුළු ගොඩනැගීමට සහභාගී නොවේ, එබැවින් අපි එය matrix ශ්රේණියේ ප්රමේයය මත පදනම්ව පද්ධතියෙන් බැහැර කරමු: 
මේ අනුව අපි රේඛීය වීජීය සමීකරණවල මූලික පද්ධතියක් ලබා ගෙන ඇත. ක්රේමර්ගේ ක්රමය මගින් එය විසඳමු: 
පිළිතුර:
x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.
ලැබෙන SLAE හි සමීකරණ ගණන r නම් සංඛ්යාවට වඩා අඩුයනොදන්නා විචල්ය n, පසුව සමීකරණවල වම් පැත්තේ අපි මූලික සුළු වශයෙන් සාදන නියමයන් අත්හැර, ප්රතිවිරුද්ධ ලකුණ සමඟ පද්ධතියේ සමීකරණවල දකුණු පසට ඉතිරි නියමයන් මාරු කරමු.
සමීකරණවල වම් පැත්තේ ඉතිරිව ඇති නොදන්නා විචල්ය (ඒවායේ r ඇත) ලෙස හැඳින්වේ. ප්රධාන.
දකුණු පසින් අවසන් වූ නොදන්නා විචල්ය (ඒවායේ n - r ඇත) ලෙස හැඳින්වේ. නිදහස්.
දැන් අපි උපකල්පනය කරන්නේ නිදහස් නොදන්නා විචල්‍යයන්ට අත්තනෝමතික අගයන් ගත හැකි අතර r ප්රධාන නොදන්නා විචල්යයන් නිදහස් නොදන්නා විචල්යයන් අනුව අද්විතීය ආකාරයකින් ප්රකාශ වනු ඇති බවයි. ඒවායේ ප්රකාශනය Cramer ක්රමය, matrix ක්රමය හෝ Gauss ක්රමය මගින් ලැබෙන SLAE විසදීමෙන් සොයා ගත හැක.
අපි උදාහරණයක් ගනිමු.
උදාහරණයක්.
රේඛීය වීජීය සමීකරණ පද්ධතිය විසඳන්න 
.
විසඳුමක්.
පද්ධතියේ ප්රධාන අනුකෘතියේ ශ්‍රේණිය සොයන්න 
මායිම් බාල වයස්කාර ක්රමය මගින්. අපි 1 1 = 1 ශුන්ය නොවන පළමු අනුපිළිවෙල සුළු වශයෙන් ගනිමු. මෙම බාලවයස්කාරයා වටා ශුන්ය නොවන දෙවන පෙළ බාල වයස්කරුවෙකු සෙවීම ආරම්භ කරමු: 
එබැවින් අපට දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි ශුන්ය නොවන බාල වයස්කරුවෙකු හමු විය. තුන්වන අනුපිළිවෙලෙහි ශුන්ය නොවන මායිම් සුළු එකක් සෙවීම ආරම්භ කරමු: 
මේ අනුව, ප්රධාන අනුකෘතියේ ශ්‍රේණිය තුනකි. වර්ධක අනුකෘතියේ ශ්‍රේණිය ද තුනට සමාන වේ, එනම් පද්ධතිය ස්ථාවර වේ.
තුන්වන අනුපිළිවෙලෙහි සොයාගත් ශුන්ය නොවන සුළු අගය මූලික එක ලෙස ගනු ලැබේ.
පැහැදිලිකම සඳහා, අපි කුඩා පදනම සාදන මූලද්‍රව්‍ය පෙන්වමු: 
අපි පද්ධතියේ සමීකරණවල වම් පැත්තේ මූලික කුඩාවට සහභාගී වන නියමයන් තබමු, ඉතිරිය ප්රතිවිරුද්ධ සලකුණු සමඟ දකුණු පැතිවලට මාරු කරමු: 
අපි නොමිලේ නොදන්නා විචල්ය x 2 සහ x 5 අත්තනෝමතික අගයන් ලබා දෙමු, එනම් අපි ගනිමු 
, අත්තනෝමතික අංක කොහෙද. මෙම අවස්ථාවේදී, SLAE ආකෘතිය ගනී 
අපි ක්රේමර් ක්රමය මගින් ලබාගත් රේඛීය වීජීය සමීකරණවල මූලික පද්ධතිය විසඳන්නෙමු: 
ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, .
පිළිතුරෙහි, නොමිලේ නොදන්නා විචල්යයන් දැක්වීමට අමතක නොකරන්න.
පිළිතුර:
කෝ අත්තනෝමතික ඉලක්කම්.
සාරාංශ කරන්න.
සාමාන්ය ස්වරූපයක රේඛීය වීජීය සමීකරණ පද්ධතියක් විසඳීම සඳහා, අපි මුලින්ම Kronecker-Capelli ප්රමේයය භාවිතයෙන් එහි ගැළපුම සොයා ගනිමු. ප්රධාන න්‍යාසයේ ශ්‍රේණිය විස්තීරණ න්‍යාසයේ ශ්‍රේණියට සමාන නොවේ නම්, අපි නිගමනය කරන්නේ පද්ධතිය නොගැලපෙන බවයි.
ප්රධාන න්‍යාසයේ ශ්‍රේණිය විස්තීරණ න්‍යාසයේ ශ්‍රේණියට සමාන නම්, අපි මූලික සුළු එක තෝරාගෙන තෝරාගත් මූලික සුළු එක සෑදීමට සහභාගී නොවන පද්ධතියේ සමීකරණ ඉවතලන්නෙමු.
කුඩා පදනමේ අනුපිළිවෙල නොදන්නා විචල්ය ගණනට සමාන නම්, SLAE සතුව අද්විතීය විසඳුමක් ඇත, එය අප දන්නා ඕනෑම ක්‍රමයකින් සොයාගත හැකිය.
කුඩා පදනමේ අනුපිළිවෙල නොදන්නා විචල්ය ගණනට වඩා අඩු නම්, අපි පද්ධතියේ සමීකරණවල වම් පැත්තේ ප්රධාන නොදන්නා විචල්යයන් සමඟ නියමයන් තබමු, ඉතිරි නියමයන් දකුණු පැත්තට මාරු කර අත්තනෝමතික අගයන් පවරමු. නොමිලේ නොදන්නා විචල්යයන් වෙත. රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියෙන්, අපි Cramer ක්රමය, matrix ක්රමය හෝ Gauss ක්රමය මගින් ප්රධාන නොදන්නා විචල්යයන් සොයා ගනිමු.
සාමාන්ය ආකෘතියේ රේඛීය වීජීය සමීකරණ පද්ධති විසඳීම සඳහා Gauss ක්රමය.
Gauss ක්රමය භාවිතා කරමින්, ඕනෑම ආකාරයක රේඛීය වීජීය සමීකරණ පද්ධති ගැළපීම සඳහා මූලික විමර්ශනයකින් තොරව විසඳාගත හැක. නොදන්නා විචල්යයන් අනුක්‍රමිකව ඉවත් කිරීමේ ක්රියාවලිය SLAE හි ගැළපුම සහ නොගැලපීම යන දෙකම පිළිබඳව නිගමනයකට එළඹීමට හැකි වන අතර, විසඳුමක් තිබේ නම්, එය සොයා ගැනීමට හැකි වේ.
ගණනය කිරීමේ කාර්යයේ දෘෂ්ටි කෝණයෙන්, Gaussian ක්රමය වඩාත් සුදුසුය.
එය නරඹන්න විස්තරාත්මක සටහනසහ සාමාන්ය ස්වරූපයේ රේඛීය වීජීය සමීකරණ පද්ධති විසඳීම සඳහා Gauss ක්රමය ලිපියේ උදාහරණ විශ්ලේෂණය කර ඇත.
මූලික විසඳුම් පද්ධතියේ දෛශික භාවිතා කරමින් සමජාතීය හා සමජාතීය රේඛීය වීජීය පද්ධතිවල පොදු විසඳුම සටහන් කිරීම.
මෙම කොටසේදී, අප අවධානය යොමු කරන්නේ අනන්ත විසඳුම් ඇති රේඛීය වීජීය සමීකරණවල ඒකාබද්ධ සමජාතීය සහ සමජාතීය නොවන පද්ධති කෙරෙහි ය.
අපි මුලින්ම සමජාතීය පද්ධති සමඟ කටයුතු කරමු.
මූලික තීරණ පද්ධතිය n නොදන්නා විචල්ය සහිත p රේඛීය වීජීය සමීකරණවල සමජාතීය පද්ධතියක් යනු මෙම පද්ධතියේ රේඛීය ස්වාධීන විසඳුම් සමූහයකි.
අපි සමජාතීය SLAE එකක රේඛීය ස්වාධීන විසඳුම් X (1) , X (2) , ..., X (n-r) (X (1) , X (2) , ..., X (n-r) ලෙස නම් කරන්නේ නම් n මානයේ න්‍යාස තීරු වේ. 1 කින්) , එවිට මෙම සමජාතීය පද්ධතියේ සාමාන්ය විසඳුම අත්තනෝමතික විසඳුම් සහිත මූලික පද්ධතියේ දෛශිකවල රේඛීය සංයෝජනයක් ලෙස නිරූපණය කෙරේ. නියත සංගුණකС 1 , С 2 , …, С (n-r) , එනම්, .
රේඛීය වීජීය සමීකරණ (oroslau) සමජාතීය පද්ධතියක පොදු විසඳුම යන යෙදුමෙන් අදහස් කරන්නේ කුමක්ද?
තේරුම සරලයි: සූත්රය සියල්ල සකසයි හැකි විසඳුම්මුල් SLAE, වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, අත්තනෝමතික නියතයන්ගේ ඕනෑම අගයක් С 1 , С 2 , ..., С (n-r) , සූත්‍රයට අනුව අපට මුල් සමජාතීය SLAE හි විසඳුම් වලින් එකක් ලැබේ.
මේ අනුව, අපි මූලික විසඳුම් පද්ධතියක් සොයා ගන්නේ නම්, අපට මෙම සමජාතීය SLAE හි සියලුම විසඳුම් ලෙස සැකසිය හැක.
සමජාතීය SLAE සඳහා මූලික විසඳුම් පද්ධතියක් ගොඩනැගීමේ ක්රියාවලිය අපි පෙන්වමු.
අපි රේඛීය සමීකරණවල මුල් පද්ධතියේ මූලික සුළු කොටස තෝරාගෙන, අනෙකුත් සියලුම සමීකරණ පද්ධතියෙන් බැහැර කර, නිදහස් නොදන්නා විචල්යයන් අඩංගු සියලුම පද ප්රතිවිරුද්ධ සලකුණු සමඟ පද්ධතියේ සමීකරණවල දකුණු පසට මාරු කරමු. අපි නොමිලේ නොදන්නා විචල්යයන් සඳහා 1,0,0,...,0 අගයන් ලබා දී ප්රධාන නොදන්නා දේ ගණනය කර ප්රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන රේඛීය සමීකරණවල ප්රාථමික පද්ධතිය ඕනෑම ආකාරයකින් විසඳා ගනිමු, උදාහරණයක් ලෙස, ක්රේමර් ක්රමය මගින්. මේ අනුව, X (1) ලබා ගනු ඇත - මූලික පද්ධතියේ පළමු විසඳුම. අපි නොමිලේ නොදන්නා අයට 0,1,0,0,...,0 අගයන් ලබා දී ප්රධාන නොදන්නා ඒවා ගණනය කළහොත් අපට X (2) ලැබේ. සහ යනාදි. අපි නොමිලේ නොදන්නා විචල්‍යයන්ට 0,0,…,0,1 අගයන් ලබා දී ප්රධාන නොදන්නා ඒවා ගණනය කළහොත් අපට X (n-r) ලැබේ. සමජාතීය SLAE හි මූලික විසඳුම් පද්ධතිය ගොඩනඟනු ලබන්නේ මේ ආකාරයට වන අතර එහි පොදු විසඳුම ආකෘතියෙන් ලිවිය හැකිය.
රේඛීය වීජීය සමීකරණවල සමජාතීය පද්ධති සඳහා, සාමාන්ය විසඳුම නිරූපණය කරනු ලබන්නේ
අපි උදාහරණ බලමු.
උදාහරණයක්.
මූලික විසඳුම් පද්ධතිය සහ රේඛීය වීජීය සමීකරණවල සමජාතීය පද්ධතියක පොදු විසඳුම සොයන්න 
.
විසඳුමක්.
රේඛීය සමීකරණවල සමජාතීය පද්ධතිවල ප්රධාන න්‍යාසයේ ශ්‍රේණිය සෑම විටම විස්තීර්ණ න්‍යාසයේ ශ්‍රේණියට සමාන වේ. බාලවයස්කාරයන් ෆ්‍රින්ග් කිරීමේ ක්රමය මගින් ප්රධාන අනුකෘතියේ ශ්‍රේණිය සොයා ගනිමු. පළමු අනුපිළිවෙලෙහි ශුන්ය නොවන සුළු වශයෙන්, අපි පද්ධතියේ ප්රධාන අනුකෘතියේ 1 1 = 9 මූලද්‍රව්‍යය ගනිමු. දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි මායිම් ශුන්ය නොවන සුළු සොයන්න: 
බිංදුවට වඩා වෙනස්, දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි බාල වයස්කරුවෙකු හමු වේ. ශුන්ය නොවන එකක් සෙවීම සඳහා එයට මායිම්ව ඇති තුන්වන අනුපිළිවෙල බාල වයස්කරුවන් හරහා යමු: 
තුන්වන අනුපිළිවෙලෙහි සියලුම මායිම් බාල වයස්කරුවන් ශුන්යයට සමාන වේ, එබැවින් ප්රධාන සහ දිගු න්‍යාසයේ ශ්‍රේණිය දෙකකි. අපි මූලික බාලවය ගනිමු. පැහැදිලිකම සඳහා, එය සාදන පද්ධතියේ අංග අපි සටහන් කරමු: 
මුල් SLAE හි තුන්වන සමීකරණය මූලික සුළු ගොඩනැගීමට සහභාගී නොවේ, එබැවින් එය බැහැර කළ හැකිය: 
අපි සමීකරණවල දකුණු පස ඇති ප්රධාන නොදන්නා කරුණු අඩංගු නියමයන් තබා, නිදහස් නොදන්නා වචන සමඟ නියමයන් දකුණු පසට මාරු කරමු:
රේඛීය සමීකරණවල මුල් සමජාතීය පද්ධතියට අපි මූලික විසඳුම් පද්ධතියක් ගොඩනඟමු. මෙම SLAE හි මූලික විසඳුම් පද්ධතිය විසඳුම් දෙකකින් සමන්විත වේ, මන්ද මුල් SLAE හි නොදන්නා විචල්ය හතරක් අඩංගු වන අතර එහි මූලික සුළු අනුපිළිවෙල දෙකකි. X (1) සොයා ගැනීම සඳහා, අපි නොමිලේ නොදන්නා විචල්‍යයන්ට x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0 අගයන් ලබා දෙන්නෙමු, එවිට අපි සමීකරණ පද්ධතියෙන් ප්රධාන නොදන්නා දේ සොයා ගනිමු. 
.
විචල්ය දෙකක් සහිත රේඛීය සමීකරණ
පාසැලේදී දිවා ආහාරය ගැනීමට ශිෂ්‍යයාට රුබල් 200 ක් ඇත. කේක් එකක මිල රුබල් 25 ක් වන අතර කෝපි කෝප්පයක මිල රුබල් 10 කි. ඔබට රූබල් 200 කට කේක් සහ කෝපි කෝප්ප කීයක් මිලදී ගත හැකිද?
හරහා කේක් ගණන දක්වන්න x, සහ කෝපි කෝප්ප ගණන හරහා වයි. එවිට කේක් වල මිල 25 යන ප්‍රකාශයෙන් දැක්වේ x, සහ කෝපි කෝප්ප 10 කින් මිල වයි .
25x-මිල xකේක්
10y-මිල වයිකෝපි කෝප්ප
මුළු මුදල රූබල් 200 ක් විය යුතුය. එවිට අපට විචල්ය දෙකක් සහිත සමීකරණයක් ලැබේ xහා වයි
25x+ 10වයි= 200
මෙම සමීකරණයට මූලයන් කීයක් තිබේද?
ඒ සියල්ල සිසුන්ගේ ආහාර රුචිය මත රඳා පවතී. ඔහු කේක් 6 ක් සහ කෝපි කෝප්ප 5 ක් මිලදී ගන්නේ නම්, සමීකරණයේ මූලයන් අංක 6 සහ 5 වනු ඇත.
6 සහ 5 යන අගයන් යුගලය 25 සමීකරණයේ මූලයන් ලෙස සැලකේ x+ 10වයි= 200 . (6; 5) ලෙස ලියා ඇත, පළමු අංකය විචල්යයේ අගය වේ x, සහ දෙවන - විචල්යයේ අගය වයි .
6 සහ 5 සමීකරණය 25 ආපසු හරවන එකම මූලයන් නොවේ x+ 10වයි= 200 අනන්‍යතාවයට. අවශ්ය නම්, එම රූබල් 200 සඳහා, ශිෂ්යයෙකුට කේක් 4 ක් සහ කෝපි කෝප්ප 10 ක් මිලදී ගත හැකිය:
මෙම අවස්ථාවේදී, 25 සමීකරණයේ මූලයන් x+ 10වයි= 200 යනු අගයන් යුගලය (4; 10) .
එපමණක්ද නොව, සිසුවෙකුට කෝපි කිසිසේත් මිලදී නොගත හැකි නමුත් රූබල් 200 සඳහා කේක් මිලදී ගන්න. එවිට සමීකරණයේ මූලයන් 25 x+ 10වයි= 200 යනු 8 සහ 0 අගයන් වේ
නැතහොත් අනෙක් අතට, කේක් මිලදී නොගන්න, නමුත් රූබල් 200 සඳහා කෝපි මිලදී ගන්න. එවිට සමීකරණයේ මූලයන් 25 x+ 10වයි= 200 යනු 0 සහ 20 අගයන් වේ
25 සමීකරණයේ ඇති සියලුම මූලයන් ලැයිස්තුගත කිරීමට උත්සාහ කරමු x+ 10වයි= 200 . අගයන් බව අපි එකඟ වෙමු xහා වයිපූර්ණ සංඛ්යා සමූහයට අයත් වේ. තවද මෙම අගයන් ශුන්යයට වඩා වැඩි හෝ සමාන වීමට ඉඩ දෙන්න:
x∈Z, y∈ Z;
x ≥ 0, y ≥ 0
එබැවින් එය ශිෂ්යයාටම පහසු වනු ඇත. උදාහරණයක් ලෙස සම්පූර්ණ කේක් කිහිපයක් සහ කේක් අඩකට වඩා කේක් සම්පූර්ණයෙන්ම මිලදී ගැනීමට පහසුය. නිදසුනක් වශයෙන්, සම්පූර්ණ කෝප්ප කිහිපයක් සහ කෝප්ප භාගයකට වඩා කෝපි සම්පූර්ණ කෝප්පවල ගැනීම වඩාත් පහසු වේ.
ඔත්තේ සඳහා බව සලකන්න xකිසිවකු යටතේ සමානාත්මතාවය ලබා ගැනීමට නොහැකි ය වයි. එවිට අගයන් xපහත අංක 0, 2, 4, 6, 8 වනු ඇත. සහ දැනගැනීම xපහසුවෙන් තීරණය කළ හැකිය වයි
මේ අනුව, අපි පහත අගයන් යුගල ලබා ගත්තා (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). මෙම යුගල 25 සමීකරණයේ විසඳුම් හෝ මූලයන් වේ x+ 10වයි= 200. ඔවුන් මෙම සමීකරණය අනන්‍යතාවයක් බවට පත් කරයි.
සමීකරණය වර්ගය ax + by = cකියලා විචල්ය දෙකක් සහිත රේඛීය සමීකරණය. මෙම සමීකරණයේ විසඳුමක් හෝ මූලයන් යනු අගයන් යුගලයකි ( x; වයි), එය අනන්‍යතාවයක් බවට පත් කරයි.
විචල්ය දෙකක් සහිත රේඛීය සමීකරණයක් ලෙස ලියා ඇත්නම් බව ද සලකන්න ax + b y = c,එවිට ඔවුන් පවසන්නේ එය ලියා ඇති බවයි කැනොනිකල්(සාමාන්ය) ආකෘතිය.
විචල්ය දෙකක සමහර රේඛීය සමීකරණ කැනොනිකල් ස්වරූපයට අඩු කළ හැක.
උදාහරණයක් ලෙස, සමීකරණය 2(16x+ 3y- 4) = 2(12 + 8x − වයි) මනසට ගෙන යා හැකිය ax + by = c. මෙම සමීකරණයේ කොටස් දෙකෙහිම වරහන් විවෘත කරමු, අපට ලැබේ 32x + 6වයි − 8 = 24 + 16x − 2වයි . නොදන්නා වචන අඩංගු පද සමීකරණයේ වම් පැත්තේ කාණ්ඩගත කර ඇති අතර, නොදන්නා වචනවලින් තොර පද දකුණු පසින් කාණ්ඩගත කර ඇත. එතකොට අපිට ලැබෙනවා 32x - 16x+ 6වයි+ 2වයි = 24 + 8 . අපි කොටස් දෙකෙහිම සමාන පද ගෙන එන්නෙමු, අපට සමීකරණය 16 ලැබේ x+ 8වයි= 32. මෙම සමීකරණය ආකෘතියට අඩු වේ ax + by = cසහ කැනොනිකල් වේ.
25 සමීකරණය කලින් සලකා බලන ලදී x+ 10වයි= 200 යනු කැනොනිකල් ආකාරයෙන් ද්වි-විචල්ය රේඛීය සමීකරණයකි. මෙම සමීකරණයේදී, පරාමිතීන් ඒ , බීහා cපිළිවෙලින් 25, 10 සහ 200 අගයන්ට සමාන වේ.
ඇත්තටම සමීකරණය ax + by = cඅනන්ත විසඳුම් ඇත. සමීකරණය විසඳීම 25x+ 10වයි= 200, අපි එහි මූලයන් සෙව්වේ පූර්ණ සංඛ්යා සමූහය මත පමණි. එහි ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, මෙම සමීකරණය අනන්‍යතාවයක් බවට පත් කළ අගයන් යුගල කිහිපයක් අපි ලබා ගත්තෙමු. නමුත් තාර්කික සංඛ්යා සමීකරණය 25 මත x+ 10වයි= 200 විසඳුම් අනන්ත ගණනක් ඇත.
නව අගයන් යුගල ලබා ගැනීමට, ඔබ සඳහා අත්තනෝමතික අගයක් ගත යුතුය x, පසුව ප්රකාශ කරන්න වයි. උදාහරණයක් ලෙස, අපි විචල්යයක් ගනිමු xඅගය 7. එවිට අපට එක් විචල්යයක් සමඟ සමීකරණයක් ලැබේ 25×7 + 10වයි= 200 ප්රකාශ කිරීමට වයි
ඉඩ x= 15 . එවිට සමීකරණය 25x+ 10වයි= 200 25 × 15 බවට පත් වේ + 10වයි= 200. මෙතැන් සිට අපි එය සොයා ගනිමු වයි = −17,5
ඉඩ x= -3 . එවිට සමීකරණය 25x+ 10වයි= 200 25 × (-3) වෙයි + 10වයි= 200. මෙතැන් සිට අපි එය සොයා ගනිමු වයි = −27,5
විචල්ය දෙකක් සහිත රේඛීය සමීකරණ දෙකක පද්ධතිය
සමීකරණය සඳහා ax + by = cඔබට ඕනෑම වාර ගණනක් අත්තනෝමතික අගයන් ගත හැක xසහ සඳහා අගයන් සොයන්න වයි. වෙන් වෙන් වශයෙන් ගත් විට, එවැනි සමීකරණයකට විසඳුම් අනන්ත ගණනක් ඇත.
නමුත් එය විචල්යයන් බව ද සිදු වේ xහා වයිඑකකින් නොව සමීකරණ දෙකකින් සම්බන්ධ වේ. මෙම අවස්ථාවේ දී, ඔවුන් ඊනියා සාදයි විචල්ය දෙකක් සහිත රේඛීය සමීකරණ පද්ධතිය. එවැනි සමීකරණ පද්ධතියකට එක් අගයන් යුගලයක් තිබිය හැකිය (හෝ වෙනත් වචන වලින්: "එක් විසඳුමක්").
පද්ධතියට කිසිසේත්ම විසඳුම් නොමැති වීම ද සිදුවිය හැකිය. රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියකට දුර්ලභ හා සුවිශේෂී අවස්ථා වලදී අසීමිත විසඳුම් ගණනක් තිබිය හැක.
අගයන් ඇති විට රේඛීය සමීකරණ දෙකක් පද්ධතියක් සාදයි xහා වයිමෙම එක් එක් සමීකරණයට ඇතුළත් වේ.
අපි පළමු සමීකරණය 25 වෙත ආපසු යමු x+ 10වයි= 200 . මෙම සමීකරණය සඳහා වූ අගයන් යුගලවලින් එකක් වූයේ යුගලය (6; 5) . රූබල් 200 කට කේක් 6 ක් සහ කෝපි කෝප්ප 5 ක් මිලදී ගත හැකි අවස්ථාව මෙයයි.
25 සමීකරණය සඳහා යුගලය (6; 5) එකම විසඳුම බවට පත් වන පරිදි අපි ගැටලුව සම්පාදනය කරමු. x+ 10වයි= 200 . මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි එයම සම්බන්ධ කරන තවත් සමීකරණයක් සම්පාදනය කරමු xකේක් සහ වයිකෝපි කෝප්ප.
කාර්යයේ පෙළ පහත පරිදි තබමු:
“පාසල් සිසුවෙක් රූබල් 200 කට කේක් කිහිපයක් සහ කෝපි කෝප්ප කිහිපයක් මිලදී ගත්තා. කේක් එකක මිල රුබල් 25 ක් වන අතර කෝපි කෝප්පයක මිල රුබල් 10 කි. කේක් ගණන කෝපි කෝප්ප ගණනට වඩා එකක් වැඩි බව දන්නේ නම් සිසුවා කේක් සහ කෝපි කෝප්ප කීයක් මිලදී ගත්තාද?
අපට දැනටමත් පළමු සමීකරණය තිබේ. මෙය සමීකරණය 25 වේ x+ 10වයි= 200 . දැන් අපි කොන්දේසිය සඳහා සමීකරණයක් ලියමු "කේක් ගණන කෝපි කෝප්ප ගණනට වඩා එක ඒකකයක් වැඩියි" .
කේක් ගණන වේ x, සහ කෝපි කෝප්ප ගණන වේ වයි. සමීකරණය භාවිතයෙන් ඔබට මෙම වාක්‍ය ඛණ්ඩය ලිවිය හැකිය x - y= 1. මෙම සමීකරණයෙන් අදහස් වන්නේ කේක් සහ කෝපි අතර වෙනස 1 බවයි.
x=y+ 1 . මෙම සමීකරණයෙන් අදහස් වන්නේ කේක් ගණන කෝපි කෝප්ප ගණනට වඩා එකකි. එබැවින්, සමානාත්මතාවය ලබා ගැනීම සඳහා, කෝපි කෝප්ප ගණනට එකක් එකතු කරනු ලැබේ. සරලම ගැටළු අධ්යයනය කිරීමේදී අප සලකා බැලූ බර ආකෘතිය භාවිතා කරන්නේ නම් මෙය පහසුවෙන් තේරුම් ගත හැකිය:
සමීකරණ දෙකක් ලැබුණා: 25 x+ 10වයි= 200 සහ x=y+ 1. අගයන් සිට xහා වයි, එනම් 6 සහ 5 මෙම එක් එක් සමීකරණයට ඇතුළත් වේ, පසුව ඒවා එක්ව පද්ධතියක් සාදයි. අපි මේ ක්රමය ලියමු. සමීකරණ පද්ධතියක් සාදයි නම්, ඒවා පද්ධතියේ ලකුණෙන් රාමු කර ඇත. පද්ධති ලකුණ රැලි සහිත වරහනකි:
අපි තීරණය කරමු මෙම පද්ධතිය. 6 සහ 5 අගයන් වෙත අප පැමිණෙන්නේ කෙසේදැයි බැලීමට මෙය අපට ඉඩ සලසයි. එවැනි පද්ධති විසඳීම සඳහා බොහෝ ක්රම තිබේ. ඔවුන්ගෙන් වඩාත් ජනප්රිය සලකා බලන්න.
ආදේශන ක්රමය
මෙම ක්රමයේ නම තමාටම කතා කරයි. එහි සාරය නම් එක් විචල්යයක් කලින් ප්රකාශ කර ඇති අතර එක් සමීකරණයක් තවත් එකකට ආදේශ කිරීමයි.
අපගේ පද්ධතිය තුළ, කිසිවක් ප්රකාශ කිරීමට අවශ්ය නොවේ. දෙවන සමීකරණයේ x = වයි+ 1 විචල්යයක් xදැනටමත් ප්රකාශ කර ඇත. මෙම විචල්යය ප්රකාශනයට සමාන වේ වයි+ 1 . එවිට ඔබට මෙම ප්රකාශනය විචල්යය වෙනුවට පළමු සමීකරණයේ ආදේශ කළ හැකිය x
ප්රකාශනය ආදේශ කිරීමෙන් පසුව වයි+ 1 වෙනුවට පළමු සමීකරණයට x, අපි සමීකරණය ලබා ගනිමු 25(වයි+ 1) + 10වයි= 200 . මෙය එක් විචල්යයක් සහිත රේඛීය සමීකරණයකි. මෙම සමීකරණය විසඳීමට බෙහෙවින් පහසුය:
අපි විචල්යයේ අගය සොයා ගත්තෙමු වයි. දැන් අපි මෙම අගය එක් සමීකරණයකට ආදේශ කර අගය සොයා ගනිමු x. මේ සඳහා, දෙවන සමීකරණය භාවිතා කිරීම පහසුය x = වයි+ 1 . අපි එහි වටිනාකම දමමු වයි
එබැවින් යුගලය (6; 5) අප අදහස් කළ පරිදි සමීකරණ පද්ධතියට විසඳුමකි. යුගලය (6; 5) පද්ධතිය තෘප්තිමත් කරන්නේ දැයි අපි පරීක්ෂා කර සහතික කරමු:
උදාහරණ 2
පළමු සමීකරණය ආදේශ කරන්න x= 2 + වයිදෙවන සමීකරණයට 3 x - 2වයි= 9 . පළමු සමීකරණයේ, විචල්යය x 2 + ප්රකාශනයට සමාන වේ වයි. අපි මෙම ප්රකාශනය වෙනුවට දෙවන සමීකරණයට ආදේශ කරමු x
දැන් අපි වටිනාකම සොයා ගනිමු x. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අගය ආදේශ කරන්න වයිපළමු සමීකරණයට x= 2 + වයි
එබැවින් පද්ධතියේ විසඳුම වන්නේ යුගල අගයයි (5; 3)
උදාහරණය 3. ආදේශන ක්රමය භාවිතයෙන් පහත සමීකරණ පද්ධතිය විසඳන්න:
මෙහිදී, පෙර උදාහරණ මෙන් නොව, එක් විචල්යයක් පැහැදිලිව ප්රකාශ නොවේ.
එක් සමීකරණයක් තවත් සමීකරණයකට ආදේශ කිරීම සඳහා, ඔබට පළමුව අවශ්ය වේ.
එකක සංගුණකයක් ඇති විචල්යය ප්රකාශ කිරීම සුදුසුය. සංගුණක ඒකකයට විචල්යයක් ඇත x, පළමු සමීකරණයේ අඩංගු වේ x+ 2වයි= 11 . අපි මෙම විචල්යය ප්රකාශ කරමු.
විචල්ය ප්‍රකාශනයකින් පසුව x, අපගේ පද්ධතිය මේ ආකාරයෙන් පෙනෙනු ඇත:
දැන් අපි පළමු සමීකරණය දෙවැන්නට ආදේශ කර අගය සොයා ගනිමු වයි
ආදේශ කරන්න වයි x
එබැවින් පද්ධතියේ විසඳුම අගයන් යුගලයකි (3; 4)
ඇත්ත වශයෙන්ම, ඔබට විචල්යයක් ද ප්රකාශ කළ හැකිය වයි. මූලයන් වෙනස් නොවනු ඇත. නමුත් ඔබ ප්රකාශ කරන්නේ නම් y,ප්රතිඵලය ඉතා සරල සමීකරණයක් නොවේ, විසඳුම වැඩි කාලයක් ගතවනු ඇත. එය මේ ආකාරයෙන් පෙනෙනු ඇත:
එය ප්රකාශ කිරීමට මෙම උදාහරණයෙන් අපට පෙනේ xප්රකාශ කිරීමට වඩා බෙහෙවින් පහසු ය වයි .
උදාහරණය 4. ආදේශන ක්රමය භාවිතයෙන් පහත සමීකරණ පද්ධතිය විසඳන්න:
පළමු සමීකරණයේ ප්රකාශ කරන්න x. එවිට පද්ධතිය පෝරමය ගනී:
වයි
ආදේශ කරන්න වයිපළමු සමීකරණයට සහ සොයා ගන්න x. ඔබට මුල් සමීකරණය 7 භාවිතා කළ හැකිය x+ 9වයි= 8 , හෝ විචල්යය ප්රකාශිත සමීකරණය භාවිතා කරන්න x. එය පහසු බැවින් අපි මෙම සමීකරණය භාවිතා කරන්නෙමු:
එබැවින් පද්ධතියේ විසඳුම වන්නේ අගයන් යුගලය (5; -3)
එකතු කිරීමේ ක්රමය
එකතු කිරීමේ ක්රමය නම් පද්ධතියට ඇතුළත් කර ඇති සමීකරණ පදයෙන් පද එකතු කිරීමයි. මෙම එකතු කිරීම නව එක්-විචල්ය සමීකරණයක් ඇති කරයි. තවද මෙම සමීකරණය විසඳීම ඉතා පහසුය.
පහත සමීකරණ පද්ධතිය විසඳමු:
පළමු සමීකරණයේ වම් පැත්ත දෙවන සමීකරණයේ වම් පැත්තට එකතු කරන්න. නමුත් දකුණු පැත්තසමඟ පළමු සමීකරණය දකුණු පැත්තදෙවන සමීකරණය. අපි පහත සමානාත්මතාවය ලබා ගනිමු:
මෙන්න සමාන නියමයන්:
ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, අපි සරලම සමීකරණය 3 ලබා ගත්තා x= 27 එහි මූලය 9. අගය දැන ගැනීම xඔබට වටිනාකම සොයාගත හැකිය වයි. අගය ආදේශ කරන්න xදෙවන සමීකරණයට x - y= 3 . අපට 9 - ලැබේ වයි= 3 . මෙතැන් සිට වයි= 6 .
එබැවින් පද්ධතියේ විසඳුම අගයන් යුගලයකි (9; 6)
උදාහරණ 2
පළමු සමීකරණයේ වම් පැත්ත දෙවන සමීකරණයේ වම් පැත්තට එකතු කරන්න. සහ පළමු සමීකරණයේ දකුණු පැත්ත සහ දෙවන සමීකරණයේ දකුණු පැත්ත. ප්රතිඵලයක් ලෙස සමානාත්මතාවයේ දී, අපි පහත සඳහන් කොන්දේසි ඉදිරිපත් කරමු:
එහි ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, අපට සරලම සමීකරණය 5 ලැබුණි x= 20, එහි මූලය 4. අගය දැන ගැනීම xඔබට වටිනාකම සොයාගත හැකිය වයි. අගය ආදේශ කරන්න xපළමු සමීකරණයට 2 x+y= 11 . අපි 8 + ලබා ගනිමු වයි= 11 . මෙතැන් සිට වයි= 3 .
එබැවින් පද්ධතියේ විසඳුම වන්නේ අගයන් යුගලය (4;3)
එකතු කිරීමේ ක්රියාවලිය විස්තරාත්මකව විස්තර කර නැත. එය සිතින් කළ යුත්තකි. එකතු කරන විට, සමීකරණ දෙකම කැනොනිකල් ආකෘතියට අඩු කළ යුතුය. එනම් මනසට ය ac+by=c .
සලකා බැලූ උදාහරණ වලින්, සමීකරණ එකතු කිරීමේ ප්රධාන අරමුණ එක් විචල්යයක් ඉවත් කිරීම බව පෙනේ. නමුත් එකතු කිරීමේ ක්රමය මගින් සමීකරණ පද්ධතිය වහාම විසඳීමට සැමවිටම නොහැකි ය. බොහෝ විට, පද්ධතිය මූලික වශයෙන් මෙම පද්ධතියට ඇතුළත් කර ඇති සමීකරණ එකතු කළ හැකි ආකෘතියකට ගෙන එනු ලැබේ.
උදාහරණයක් ලෙස, පද්ධතිය 
එකතු කිරීමේ ක්රමය මගින් සෘජුවම විසඳා ගත හැක. සමීකරණ දෙකම එකතු කරන විට, නියමයන් වයිහා −yඒවායේ එකතුව ශුන්ය වන නිසා අතුරුදහන් වේ. ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, සරලම සමීකරණය 11 සෑදී ඇත x= 22 , එහි මූලය 2. එවිට එය තීරණය කිරීමට හැකි වනු ඇත වයි 5 ට සමාන වේ.
සහ සමීකරණ පද්ධතිය 
එකතු කිරීමේ ක්රමය වහාම විසඳිය නොහැක, මන්ද මෙය එක් විචල්යයක් අතුරුදහන් වීමට හේතු නොවන බැවිනි. එකතු කිරීමෙන් සමීකරණය 8 ලැබේ x+ වයි= 28 , එහි අසීමිත විසඳුම් ඇත.
සමීකරණයේ කොටස් දෙකම ශුන්යයට සමාන නොවන එකම සංඛ්‍යාවකින් ගුණ කළහොත් හෝ බෙදුවහොත්, ලබා දී ඇති එකට සමාන සමීකරණයක් ලැබේ. මෙම නියමය විචල්ය දෙකක් සහිත රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියකට ද වලංගු වේ. සමීකරණ වලින් එකක් (හෝ සමීකරණ දෙකම) යම් අංකයකින් ගුණ කළ හැක. ප්රතිඵලය සමාන පද්ධතියකි, එහි මූලයන් පෙර එකට සමපාත වේ.
ශිෂ්‍යයා කේක් සහ කෝපි කෝප්ප කීයක් මිල දී ගෙන ඇත්දැයි විස්තර කළ පළමු ක්‍රමයට නැවත යමු. මෙම පද්ධතියේ විසඳුම අගයන් යුගලයක් (6; 5) විය.
අපි මෙම පද්ධතියේ ඇතුළත් සමීකරණ දෙකම සමහර සංඛ්යා වලින් ගුණ කරමු. අපි හිතමු අපි පළමු සමීකරණය 2න් සහ දෙවැන්න 3න් ගුණ කරනවා කියලා
ප්රතිඵලය වන්නේ පද්ධතියකි 
මෙම පද්ධතියට විසඳුම තවමත් අගයන් යුගලය (6; 5)
මෙයින් අදහස් කරන්නේ පද්ධතියට ඇතුළත් කර ඇති සමීකරණ එකතු කිරීමේ ක්රමය යෙදීම සඳහා සුදුසු පෝරමයක් දක්වා අඩු කළ හැකි බවයි.
පද්ධතිය වෙත ආපසු , එකතු කිරීමේ ක්රමය මගින් අපට විසඳා ගත නොහැකි විය.
පළමු සමීකරණය 6 න් සහ දෙවැන්න −2 න් ගුණ කරන්න
එවිට අපි පහත පද්ධතිය ලබා ගනිමු:
අපි මෙම පද්ධතියට ඇතුළත් කර ඇති සමීකරණ එකතු කරමු. සංරචක එකතු කිරීම 12 xසහ -12 xප්රතිඵලය 0, එකතු කිරීම 18 වයිසහ 4 වයි 22 ක් ලබා දෙනු ඇත වයි, සහ 108 සහ −20 එකතු කිරීමෙන් 88 ලැබේ. එවිට ඔබට 22 සමීකරණය ලැබේ වයි= 88, එබැවින් වයි = 4 .
මුලදී ඔබේ මනසෙහි සමීකරණ එකතු කිරීමට අපහසු නම්, එය එකතු වන ආකාරය ඔබට ලිවිය හැකිය වම් පැත්තදෙවන සමීකරණයේ වම් පැත්ත සමඟ පළමු සමීකරණයේ, සහ දෙවන සමීකරණයේ දකුණු පැත්තේ පළමු සමීකරණයේ දකුණු පැත්තේ:
විචල්යයේ අගය බව දැන සිටීම වයි 4 වේ, ඔබට අගය සොයාගත හැකිය x. ආදේශ කරන්න වයිසමීකරණ වලින් එකකට, උදාහරණයක් ලෙස පළමු සමීකරණයට 2 x+ 3වයි= 18 . එවිට අපට 2 විචල්යයක් සමඟ සමීකරණයක් ලැබේ x+ 12 = 18 . අපි 12 දකුණු පැත්තට මාරු කරමු, ලකුණ වෙනස් කරන්න, අපට 2 ලැබේ x= 6, එබැවින් x = 3 .
උදාහරණය 4. එකතු කිරීමේ ක්රමය භාවිතයෙන් පහත සමීකරණ පද්ධතිය විසඳන්න:
දෙවන සමීකරණය −1 න් ගුණ කරන්න. එවිට පද්ධතිය පහත ස්වරූපය ගනී:
අපි සමීකරණ දෙකම එකතු කරමු. සංරචක එකතු කිරීම xහා -xප්රතිඵලය 0, එකතු කිරීම 5 වයිසහ 3 වයි 8 ක් ලබා දෙනු ඇත වයි, සහ 7 සහ 1 එකතු කිරීමෙන් 8 ලැබේ. ප්රතිඵලය 8 සමීකරණය වේ වයි= 8 , එහි මූලය 1. අගය බව දැන සිටීම වයි 1 වේ, ඔබට අගය සොයාගත හැකිය x .
ආදේශ කරන්න වයිපළමු සමීකරණයට, අපි ලබා ගනිමු x+ 5 = 7 , එබැවින් x= 2
උදාහරණ 5. එකතු කිරීමේ ක්රමය භාවිතයෙන් පහත සමීකරණ පද්ධතිය විසඳන්න:
එකම විචල්යයන් අඩංගු නියමයන් එකකට එකක් යටතේ පිහිටා තිබීම යෝග්‍ය වේ. එබැවින්, දෙවන සමීකරණයේ, නියමයන් 5 වයිසහ -2 xස්ථාන වෙනස් කරන්න. එහි ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, පද්ධතිය පෝරමය ගනී:
දෙවන සමීකරණය 3 න් ගුණ කරන්න. එවිට පද්ධතිය පෝරමය ගනී:
දැන් අපි සමීකරණ දෙකම එකතු කරමු. එකතු කිරීමේ ප්රතිඵලයක් ලෙස අපට 8 සමීකරණය ලැබේ වයි= 16, එහි මූලය 2 වේ.
ආදේශ කරන්න වයිපළමු සමීකරණයට, අපට 6 ලැබේ x- 14 = 40 . අපි −14 යන පදය දකුණු පැත්තට මාරු කරමු, ලකුණ වෙනස් කරන්න, අපට 6 ලැබේ x= 54. මෙතැන් සිට x= 9.
උදාහරණය 6. එකතු කිරීමේ ක්රමය භාවිතයෙන් පහත සමීකරණ පද්ධතිය විසඳන්න:
අපි භාග ඉවත් කරමු. පළමු සමීකරණය 36 න් සහ දෙවැන්න 12 න් ගුණ කරන්න
ප්රතිඵලයක් ලෙස පද්ධතිය තුළ 
පළමු සමීකරණය −5 න් ද දෙවැන්න 8 න් ද ගුණ කළ හැක
ලැබෙන පද්ධතියේ සමීකරණ එකතු කරමු. එවිට අපට −13 සරලම සමීකරණය ලැබේ වයි= -156 . මෙතැන් සිට වයි= 12 . ආදේශ කරන්න වයිපළමු සමීකරණයට සහ සොයා ගන්න x
උදාහරණ 7. එකතු කිරීමේ ක්රමය භාවිතයෙන් පහත සමීකරණ පද්ධතිය විසඳන්න:
අපි සමීකරණ දෙකම සාමාන්ය ආකෘතියට ගෙන එන්නෙමු. මෙහිදී සමීකරණ දෙකෙහිම සමානුපාතික රීතිය යෙදීම පහසුය. පළමු සමීකරණයේ දකුණු පැත්ත , සහ දෙවන සමීකරණයේ දකුණු පැත්ත , ලෙස නිරූපණය කරන්නේ නම්, පද්ධතිය පෝරමය ගනී:
අපට සමානුපාතයක් තිබේ. අපි එහි අන්ත සහ මැද පද ගුණ කරමු. එවිට පද්ධතිය පෝරමය ගනී:
අපි පළමු සමීකරණය −3 න් ගුණ කර, දෙවැන්නෙහි වරහන් විවෘත කරමු:
දැන් අපි සමීකරණ දෙකම එකතු කරමු. මෙම සමීකරණ එකතු කිරීමේ ප්‍රති result ලයක් ලෙස, අපට සමානත්වයක් ලැබේ, කොටස් දෙකෙහිම ශුන්ය වනු ඇත:
පද්ධතියට අසීමිත විසඳුම් ඇති බව පෙනී යයි.
නමුත් අපට සරලවම අහසින් අත්තනෝමතික අගයන් ගත නොහැක xහා වයි. අපට එක් අගයක් නියම කළ හැකි අතර, අනෙක් අගය අප සඳහන් කරන අගය අනුව තීරණය වේ. උදාහරණයක් ලෙස, ඉඩ දෙන්න x= 2 . මෙම අගය පද්ධතියට ආදේශ කරන්න:
එක් සමීකරණයක් විසඳීමේ ප්රතිඵලයක් ලෙස, සඳහා අගය වයි, සමීකරණ දෙකම තෘප්තිමත් වනු ඇත:
ප්රතිඵලය වන අගයන් යුගලය (2; -2) පද්ධතිය තෘප්තිමත් කරනු ඇත:
අපි තවත් අගයන් යුගලයක් සොයා ගනිමු. ඉඩ x= 4. මෙම අගය පද්ධතියට ආදේශ කරන්න:
එය ඇසින් තීරණය කළ හැකිය වයිශුන්යයට සමාන වේ. එවිට අපට අපගේ පද්ධතිය තෘප්තිමත් කරන අගයන් යුගලයක් (4; 0) ලැබේ:
උදාහරණ 8. එකතු කිරීමේ ක්රමය භාවිතයෙන් පහත සමීකරණ පද්ධතිය විසඳන්න:
පළමු සමීකරණය 6 න් සහ දෙවැන්න 12 න් ගුණ කරන්න
ඉතිරිව ඇති දේ නැවත ලියමු:
පළමු සමීකරණය −1 න් ගුණ කරන්න. එවිට පද්ධතිය පෝරමය ගනී:
දැන් අපි සමීකරණ දෙකම එකතු කරමු. එකතු කිරීමේ ප්රතිඵලයක් ලෙස, 6 සමීකරණය සෑදී ඇත බී= 48 , එහි මූලය 8. ආදේශකය බීපළමු සමීකරණයට සහ සොයා ගන්න ඒ
විචල්ය තුනක් සහිත රේඛීය සමීකරණ පද්ධතිය
විචල්ය තුනක් සහිත රේඛීය සමීකරණයකට සංගුණක සහිත විචල්ය තුනක් මෙන්ම අන්තර් ඡේදයක් ද ඇතුළත් වේ. කැනොනිකල් ආකාරයෙන්, එය පහත පරිදි ලිවිය හැකිය:
ax + by + cz = d
මෙම සමීකරණයට අනන්ත විසඳුම් ඇත. විචල්ය දෙකක් ලබා දීම විවිධ අර්ථ, ඔබට තුන්වන අගය සොයාගත හැකිය. මෙම නඩුවේ විසඳුම අගයන් ත්රිත්ව වේ ( x; y; z) සමීකරණය අනන්‍යතාවයක් බවට පත් කරයි.
විචල්ය නම් x, y, zසමීකරණ තුනකින් අන්තර් සම්බන්ධිත වේ, එවිට විචල්ය තුනක් සහිත රේඛීය සමීකරණ තුනක පද්ධතියක් සාදනු ලැබේ. එවැනි පද්ධතියක් විසඳීම සඳහා, ඔබට විචල්ය දෙකක් සහිත රේඛීය සමීකරණ සඳහා අදාළ වන ක්රම යෙදිය හැකිය: ආදේශන ක්රමය සහ එකතු කිරීමේ ක්රමය.
උදාහරණ 1. ආදේශන ක්රමය භාවිතයෙන් පහත සමීකරණ පද්ධතිය විසඳන්න:
අපි තුන්වන සමීකරණයේ ප්රකාශ කරමු x. එවිට පද්ධතිය පෝරමය ගනී:
දැන් අපි ආදේශනය කරමු. විචල්ය xප්රකාශනයට සමාන වේ 3 − 2වයි − 2z . මෙම ප්රකාශනය පළමු හා දෙවන සමීකරණවලට ආදේශ කරන්න:
අපි සමීකරණ දෙකෙහිම වරහන් විවෘත කර කොන්දේසි දෙමු:
අපි විචල්ය දෙකක් සහිත රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියකට පැමිණ ඇත. හිදී මෙම නඩුවඑකතු කිරීමේ ක්රමය යෙදීම පහසුය. එහි ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, විචල්යය වයිඅතුරුදහන් වනු ඇති අතර අපට විචල්යයේ අගය සොයාගත හැකිය z
දැන් අපි වටිනාකම සොයා ගනිමු වයි. මේ සඳහා, - සමීකරණය භාවිතා කිරීම පහසුය වයි+ z= 4. අගය ආදේශ කරන්න z
දැන් අපි වටිනාකම සොයා ගනිමු x. මේ සඳහා, සමීකරණය භාවිතා කිරීම පහසුය x= 3 − 2වයි − 2z . එහි අගයන් ආදේශ කරන්න වයිහා z
මේ අනුව, අගයන් ත්රිත්ව (3; -2; 2) අපගේ පද්ධතියට විසඳුමයි. පරීක්ෂා කිරීමෙන්, අපි මෙම අගයන් පද්ධතිය තෘප්තිමත් කරන බවට වග බලා ගන්නෙමු:
උදාහරණ 2. එකතු කිරීමේ ක්රමය මගින් පද්ධතිය විසඳන්න
පළමු සමීකරණය දෙවැන්න −2 න් ගුණ කළ විට එකතු කරමු.
දෙවන සමීකරණය −2 න් ගුණ කළහොත්, එය ස්වරූපය ගනී −6x+ 6y- 4z = −4 . දැන් එය පළමු සමීකරණයට එකතු කරන්න:
මූලික පරිවර්තනයන්හි ප්රතිඵලයක් ලෙස විචල්යයේ අගය තීරණය වූ බව අපට පෙනේ x. එය එකකට සමාන වේ.
නැවතත් ප්රධාන පද්ධතිය. දෙවෙනි සමීකරණය තුන්වෙනි එක −1 න් ගුණ කර එකතු කරමු. තුන්වන සමීකරණය −1 න් ගුණ කළහොත් එය ස්වරූපය ගනී −4x + 5වයි − 2z = −1 . දැන් එය දෙවන සමීකරණයට එකතු කරන්න:
සමීකරණය ලැබුණා x - 2වයි= -1 . එහි අගය ආදේශ කරන්න xඅපි කලින් සොයා ගත්. එවිට අපට වටිනාකම තීරණය කළ හැකිය වයි
අපි දැන් අගයන් දන්නවා xහා වයි. මෙය ඔබට අගය තීරණය කිරීමට ඉඩ සලසයි z. අපි පද්ධතියට ඇතුළත් කර ඇති සමීකරණ වලින් එකක් භාවිතා කරමු:
මේ අනුව, අගයන් ත්රිත්ව (1; 1; 1) අපගේ පද්ධතියට විසඳුමයි. පරීක්ෂා කිරීමෙන්, අපි මෙම අගයන් පද්ධතිය තෘප්තිමත් කරන බවට වග බලා ගන්නෙමු:
රේඛීය සමීකරණ පද්ධති සම්පාදනය කිරීමේ කාර්යයන්
සමීකරණ පද්ධති සම්පාදනය කිරීමේ කාර්යය විචල්ය කිහිපයක් හඳුන්වා දීමෙන් විසඳනු ලැබේ. ඊළඟට, ගැටලුවේ කොන්දේසි මත පදනම්ව සමීකරණ සම්පාදනය කරනු ලැබේ. සම්පාදනය කරන ලද සමීකරණ වලින්, ඔවුන් පද්ධතියක් සාදා එය විසඳයි. පද්ධතිය විසඳා ගැනීමෙන් පසු, එහි විසඳුම ගැටලුවේ කොන්දේසි තෘප්තිමත් වේද යන්න පරීක්ෂා කිරීම අවශ්ය වේ.
කාර්යය 1. වොල්ගා මෝටර් රථයක් සාමූහික ගොවිපල වෙත නගරයෙන් පිටත් විය. පළමු මාර්ගයට වඩා කිලෝමීටර 5 ක් කෙටි වූ වෙනත් මාර්ගයක් ඔස්සේ ඇය ආපසු පැමිණියාය. සමස්තයක් වශයෙන්, මෝටර් රථය දෙපැත්තටම කිලෝමීටර 35 ක් ධාවනය කළේය. එක් මාර්ගයක් කිලෝමීටර් කීයක් දිග ද?
විසඳුමක්
ඉඩ x-පළමු මාර්ගයේ දිග, වයි- දෙවන දිග. මෝටර් රථය දෙපැත්තටම කිලෝමීටර 35 ක් ධාවනය කළේ නම්, පළමු සමීකරණය මෙසේ ලිවිය හැකිය x+ වයි= 35. මෙම සමීකරණය මාර්ග දෙකෙහිම දිගේ එකතුව විස්තර කරයි.
මෝටර් රථය පළමු එකට වඩා කිලෝමීටර 5 කින් කෙටි වූ මාර්ගය දිගේ ආපසු පැමිණෙමින් තිබූ බව පැවසේ. එවිට දෙවන සමීකරණය මෙසේ ලිවිය හැක x− වයි= 5. මෙම සමීකරණය පෙන්නුම් කරන්නේ මාර්ගවල දිග අතර වෙනස කි.මී.
නැතහොත් දෙවන සමීකරණය ලෙස ලිවිය හැකිය x= වයි+ 5 . අපි මෙම සමීකරණය භාවිතා කරන්නෙමු.
විචල්යයන් සිට xහා වයිසමීකරණ දෙකෙහිම එකම අංකයක් දක්වයි, එවිට අපට ඒවායින් පද්ධතියක් සෑදිය හැකිය:
කලින් අධ්යයනය කළ ක්රමයක් භාවිතා කර මෙම ක්රමය විසඳා ගනිමු. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, දෙවන සමීකරණයේ විචල්යය වන බැවින්, ආදේශන ක්රමය භාවිතා කිරීම පහසුය xදැනටමත් ප්රකාශ කර ඇත.
දෙවන සමීකරණය පළමු එකට ආදේශ කර සොයා ගන්න වයි
සොයාගත් අගය ආදේශ කරන්න වයිදෙවන සමීකරණයට x= වයි+ 5 සහ සොයා ගන්න x
පළමු මාර්ගයේ දිග විචල්‍යයෙන් දක්වා ඇත x. දැන් අපි එහි තේරුම සොයාගෙන ඇත. විචල්ය x 20 වේ. එබැවින් පළමු මාර්ගයේ දිග කිලෝමීටර 20 කි.
දෙවන මාර්ගයේ දිග පෙන්නුම් කළේ ය වයි. මේ විචල්යයේ අගය 15. ඉතින් දෙවැනි පාරේ දිග කිලෝමීටර් 15යි.
අපි චෙක් එකක් කරමු. පළමුව, පද්ධතිය නිවැරදිව විසඳා ඇති බවට වග බලා ගන්න:
දැන් අපි බලමු විසඳුම (20; 15) ගැටලුවේ කොන්දේසි තෘප්තිමත් කරයිද යන්න.
මුළු මෝටර් රථය දෙපැත්තටම කිලෝමීටර 35 ක් ධාවනය කළ බව පැවසේ. අපි මාර්ග දෙකේම දිග එකතු කර විසඳුම (20; 15) තෘප්තිමත් වන බවට වග බලා ගන්න මෙම කොන්දේසිය: 20 km + 15 km = 35 km
ඊළඟ කොන්දේසිය: පළමු මාර්ගයට වඩා කිලෝමීටර 5 ක් කෙටි වූ වෙනත් මාර්ගයක් ඔස්සේ මෝටර් රථය ආපසු පැමිණියේය . කිලෝමීටර 15 ක් කිලෝමීටර 20 ත් 5 ත් වඩා කෙටි බැවින් විසඳුම (20; 15) ද මෙම කොන්දේසිය සපුරාලන බව අපට පෙනේ: 20 km - 15 km = 5 km
පද්ධතියක් සම්පාදනය කිරීමේදී, මෙම පද්ධතියට ඇතුළත් කර ඇති සියලුම සමීකරණවල විචල්යයන් එකම සංඛ්යා දැක්වීම වැදගත් වේ.
එබැවින් අපගේ පද්ධතිය සමීකරණ දෙකක් අඩංගු වේ. මෙම සමීකරණවල අනෙක් අතට විචල්යයන් අඩංගු වේ xහා වයි, එය සමීකරණ දෙකෙහිම එකම සංඛ්යා දක්වයි, එනම් කිලෝමීටර 20 සහ කිලෝමීටර 15 ට සමාන මාර්ගවල දිග.
කාර්යය 2. ඕක් සහ පයින් සිල්පර වේදිකාවට පටවා ඇති අතර, මුළු සිල්පර 300 ක්. සියලුම ඕක් සිල්පර වල බර සියලුම පයින් සිල්පර වලට වඩා ටොන් 1 ක් අඩු බව දන්නා කරුණකි. එක් එක් ඕක් සිල්පර කිලෝග්‍රෑම් 46 ක් සහ එක් එක් පයින් සිල්පර කිලෝග්‍රෑම් 28 ක් බරින් යුක්ත නම්, ඕක් සහ පයින් සිල්පර කී දෙනෙක් වෙන වෙනම තීරණය කරන්න.
විසඳුමක්
ඉඩ xඕක් සහ වයිපයින් සිල්පර වේදිකාවට පටවා ඇත. මුළු සිල්පර 300 ක් තිබුනේ නම්, පළමු සමීකරණය මෙසේ ලිවිය හැකිය x+y = 300 .
සියලුම ඕක් සිල්පර බර 46 කි xකිලෝ ග්රෑම්, සහ පයින් බර 28 කි වයි kg. ඕක් සිල්පර වල බර පයින් සිල්පර වලට වඩා ටොන් 1 ක් අඩු බැවින්, දෙවන සමීකරණය මෙසේ ලිවිය හැක. 28y- 46x= 1000 . මෙම සමීකරණය පෙන්නුම් කරන්නේ ඕක් සහ පයින් සිල්පර අතර ස්කන්ධ වෙනස කිලෝ ග්රෑම් 1000 ක් බවයි.
ඕක් සහ පයින් සිල්පර වල ස්කන්ධය කිලෝග්‍රෑම් වලින් මනිනු ලබන නිසා ටොන් කිලෝග්‍රෑම් බවට පරිවර්තනය වී ඇත.
ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, අපි පද්ධතිය සාදන සමීකරණ දෙකක් ලබා ගනිමු
අපි මේ ක්රමය විසඳමු. පළමු සමීකරණයේ ප්රකාශ කරන්න x. එවිට පද්ධතිය පෝරමය ගනී:
පළමු සමීකරණය දෙවැන්නට ආදේශ කර සොයා ගන්න වයි
ආදේශ කරන්න වයිසමීකරණය තුළට x= 300 − වයිසහ කුමක්දැයි සොයා බලන්න x
මෙයින් අදහස් කරන්නේ ඕක් 100 ක් සහ පයින් සිල්පර 200 ක් වේදිකාවට පටවා ඇති බවයි.
විසඳුම (100; 200) ගැටලුවේ කොන්දේසි තෘප්තිමත් වේද යන්න පරීක්ෂා කර බලමු. පළමුව, පද්ධතිය නිවැරදිව විසඳා ඇති බවට වග බලා ගන්න:
මුළු සිල්පර 300 ක් හිටියා කිව්වා. අපි ඕක් සහ පයින් සිල්පර ගණන එකතු කර විසඳුම (100; 200) මෙම කොන්දේසිය සපුරාලන බවට වග බලා ගන්න: 100 + 200 = 300.
ඊළඟ කොන්දේසිය: සියලුම ඕක් සිල්පර වල බර සියලුම පයින් වලට වඩා ටොන් 1 ක් අඩුය . ඕක් සිල්පර කිලෝග්‍රෑම් 46 × 100 පයින් සිල්පර කිලෝග්‍රෑම් 28 × 200 ට වඩා සැහැල්ලු බැවින් ද්‍රාවණය (100; 200) ද මෙම කොන්දේසිය සපුරාලන බව අපට පෙනේ: 5600 kg - 4600 kg = 1000 kg.
කාර්යය 3. අපි බරින් 2: 1, 3: 1 සහ 5: 1 අනුපාතයකින් තඹ සහ නිකල් මිශ්‍ර ලෝහ කැබලි තුනක් ගත්තා. මෙයින්, කිලෝග්‍රෑම් 12 ක් බර කැබැල්ලක් තඹ සහ නිකල් අන්තර්ගතය 4: 1 අනුපාතයකින් විලයනය කර ඇත. ඒවායින් පළමු කොටසෙහි ස්කන්ධය දෙවැන්නේ ස්කන්ධය මෙන් දෙගුණයක් නම් එක් එක් මුල් කොටසෙහි ස්කන්ධය සොයන්න.
