ප්රතිලෝම අනුකෘතියක් භාවිතා කිරීම. රේඛීය වීජීය සමීකරණ පද්ධතියක් විසඳීම සඳහා අනුකෘති ක්‍රමය

එම මාර්ගගත කැල්ක්යුලේටරයරේඛීය සමීකරණ පද්ධතියක් විසඳයි matrix ක්රමය. එය ඉතා ලබා දී ඇත සවිස්තරාත්මක විසඳුම. රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියක් විසඳීම සඳහා, විචල්‍ය ගණන තෝරන්න. ප්රතිලෝම අනුකෘතිය ගණනය කිරීම සඳහා ක්රමයක් තෝරන්න. ඉන්පසු සෛල තුළ දත්ත ඇතුළත් කර "ගණනය කරන්න" බොත්තම මත ක්ලික් කරන්න.

×

අවවාදයයි

සියලුම සෛල හිස් කරන්නද?

Close Clear

දත්ත ඇතුළත් කිරීමේ උපදෙස්.සංඛ්‍යා පූර්ණ සංඛ්‍යා (උදාහරණ: 487, 5, -7623, ආදිය), දශම (උදා. 67., 102.54, ආදිය) හෝ භාග ලෙස ඇතුළත් කර ඇත. කොටස a/b ආකාරයෙන් ඇතුළත් කළ යුතුය, මෙහි a සහ b පූර්ණ සංඛ්‍යා හෝ දශම සංඛ්යා. උදාහරණ 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7, ආදිය.

රේඛීය සමීකරණ පද්ධති විසඳීම සඳහා Matrix ක්රමය

පහත රේඛීය සමීකරණ පද්ධතිය සලකා බලන්න:

ප්‍රතිලෝම න්‍යාසයක අර්ථ දැක්වීම අනුව, අපට තිබේ ඒ −1 ඒ=ඊ, කොහෙද ඊ- අනන්යතා අනුකෘතිය. එබැවින් (4) පහත පරිදි ලිවිය හැකිය:

මේ අනුව, රේඛීය සමීකරණ පද්ධතිය විසඳීම සඳහා (1) (හෝ (2)), එය ප්රතිලෝම ගුණ කිරීම ප්රමාණවත් වේ. ඒසීමා සහිත දෛශිකයකට අනුකෘතිය බී.

අනුකෘති ක්‍රමය භාවිතයෙන් රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියක් විසඳීමේ උදාහරණ

උදාහරණ 1. න්‍යාස ක්‍රමය භාවිතයෙන් පහත රේඛීය සමීකරණ පද්ධතිය විසඳන්න:

අපි ජෝර්ඩන්-ගවුස් ක්‍රමය භාවිතයෙන් A අනුකෘතියේ ප්‍රතිලෝමය සොයා ගනිමු. සමග දකුණු පැත්ත matrices ඒඅපි ලියමු අනන්යතා අනුකෘතිය:

ප්‍රධාන විකර්ණයට පහළින් ඇති න්‍යාසයේ 1 වන තීරුවේ මූලද්‍රව්‍ය බැහැර කරමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, 1 පේළිය සමඟ 2,3 පේළි එකතු කරන්න, පිළිවෙලින් -1/3, -1/3 න් ගුණ කරන්න:

ප්‍රධාන විකර්ණයට පහළින් ඇති න්‍යාසයේ 2 වන තීරුවේ මූලද්‍රව්‍ය බැහැර කරමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, පේළිය 3 සමඟින් 2 පේළිය -24/51 න් ගුණ කරන්න:

ප්‍රධාන විකර්ණයට ඉහළින් ඇති න්‍යාසයේ 2 වන තීරුවේ මූලද්‍රව්‍ය බැහැර කරමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, පේළිය 1 සමඟ 2 පේළිය -3/17 න් ගුණ කරන්න:

අනුකෘතියේ දකුණු පැත්ත වෙන් කරන්න. ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන න්‍යාසය යනු ප්‍රතිලෝම න්‍යාසයයි ඒ :

රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියක් ලිවීමේ අනුකෘති ආකාරය: Ax=b, කොහෙද

අපි සියල්ල ගණනය කරමු වීජීය එකතු කිරීම් matrices ඒ:

,

,

,

,

,

,

,

,

.

ප්‍රතිලෝම න්‍යාසය ගණනය කරනු ලබන්නේ පහත ප්‍රකාශනයෙනි.

සේවාවේ අරමුණ. මෙම මාර්ගගත කැල්කියුලේටරය භාවිතා කරමින්, නොදන්නා (x 1, x 2, ..., x n) සමීකරණ පද්ධතියකින් ගණනය කෙරේ. තීරණය ක්රියාත්මක වේ ප්රතිලෝම matrix ක්රමය. එහි:

• A අනුකෘතියේ නිර්ණායකය ගණනය කරනු ලැබේ;
• වීජීය එකතු කිරීම් හරහා කෙනෙකු සොයා ගනී ප්රතිලෝම න්යාසය A-1;
• එක්සෙල් හි විසඳුම් අච්චුවක් සාදනු ලැබේ;

තීරණය කෙලින්ම වෙබ් අඩවියේ ගනු ලැබේ (දී සබැඳි මාදිලිය) සහ නොමිලේ. ගණනය කිරීමේ ප්රතිඵල Word වාර්තාවක ඉදිරිපත් කර ඇත (නියැදි ආකෘතිය බලන්න).

උපදෙස්. ප්‍රතිලෝම න්‍යාස ක්‍රමය භාවිතයෙන් විසඳුමක් ලබා ගැනීම සඳහා, ඔබ න්‍යාසයේ මානය සඳහන් කළ යුතුය. ඊළඟට, නව සංවාද කොටුවක, A matrix සහ B ප්‍රතිඵල දෛශිකය පුරවන්න.

විචල්‍ය ගණන 2 3 4 5 6 7 8 9 10

න්‍යාස සමීකරණ විසඳීම ද බලන්න.

විසඳුම් ඇල්ගොරිතම

1. A අනුකෘතියේ නිර්ණායකය ගණනය කෙරේ. නිර්ණායකය ශුන්ය නම්, විසඳුම අවසන් වේ. පද්ධතියට අසීමිත විසඳුම් තිබේ.
2. නිර්ණායකය ශුන්‍යයට වඩා වෙනස් වන විට, වීජීය එකතු කිරීම් හරහා ප්‍රතිලෝම න්‍යාස A -1 සොයා ගනී.
3. ද්‍රාවණ දෛශිකය X =(x 1, x 2, ..., x n) ප්‍රතිලෝම න්‍යාසය B ප්‍රතිඵල දෛශිකයෙන් ගුණ කිරීමෙන් ලබා ගනී.

උදාහරණයක්. matrix ක්‍රමය භාවිතයෙන් පද්ධතියට විසඳුමක් සොයන්න. අපි අනුකෘතිය පෝරමයේ ලියන්නෙමු:
වීජීය එකතු කිරීම්.

A 1,1 = (-1) 1+1

1 2 0 -2

∆ 1,1 = (1 (-2)-0 2) = -2

A 1,2 = (-1) 1+2

3 2 1 -2

∆ 1,2 = -(3 (-2)-1 2) = 8

A 1.3 = (-1) 1+3

3 1 1 0

∆ 1,3 = (3 0-1 1) = -1

A 2,1 = (-1) 2+1

-2 1 0 -2

∆ 2,1 = -(-2 (-2)-0 1) = -4

A 2,2 = (-1) 2+2

2 1 1 -2

∆ 2,2 = (2 (-2)-1 1) = -5

A 2,3 = (-1) 2+3

2 -2 1 0

∆ 2,3 = -(2 0-1 (-2)) = -2

A 3.1 = (-1) 3+1

-2 1 1 2

∆ 3,1 = (-2 2-1 1) = -5

·

3

-2

-1

X T = (1,0,1)
x 1 = -21 / -21 = 1
x 2 = 0 / -21 = 0
x 3 = -21 / -21 = 1
විභාගය:
2 1+3 0+1 1 = 3
-2 1+1 0+0 1 = -2
1 1+2 0+-2 1 = -1

මාතෘකාව 2. රේඛීය වීජීය සමීකරණ පද්ධති.

මූලික සංකල්ප.

අර්ථ දැක්වීම 1. පද්ධති එම්සමඟ රේඛීය සමීකරණ nනොදන්නා යනු පෝරමයේ පද්ධතියකි:

කොහෙද සහ අංක.

අර්ථ දැක්වීම 2. පද්ධතියට විසඳුමක් (I) යනු මෙම පද්ධතියේ සෑම සමීකරණයක්ම අනන්‍යතාවයක් බවට පත්වන නොදන්නා කට්ටලයකි.

අර්ථ දැක්වීම 3. පද්ධතිය (I) ලෙස හැඳින්වේ ඒකාබද්ධ, එය අවම වශයෙන් එක් විසඳුමක් තිබේ නම් සහ ඒකාබද්ධ නොවන, එයට විසඳුම් නොමැති නම්. ඒකාබද්ධ පද්ධතිය ලෙස හැඳින්වේ සමහර, එය අද්විතීය විසඳුමක් තිබේ නම්, සහ අවිනිශ්චිතනොඑසේ නම්.

අර්ථ දැක්වීම 4. පෝරමයේ සමීකරණය

කියලා ශුන්ය, සහ සමීකරණය ආකෘතියේ වේ

කියලා නොගැලපෙන. පැහැදිලිවම, නොගැලපෙන සමීකරණයක් අඩංගු සමීකරණ පද්ධතියක් නොගැලපේ.

අර්ථ දැක්වීම 5. රේඛීය සමීකරණ පද්ධති දෙකක් ලෙස හැඳින්වේ සමාන, එක් පද්ධතියක සෑම විසඳුමක්ම තවත් විසඳුමක් ලෙස සේවය කරන්නේ නම් සහ අනෙක් අතට, දෙවන පද්ධතියේ සෑම විසඳුමක්ම පළමු විසඳුම වේ.

රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියක න්‍යාස නිරූපණය.

අපි පද්ධතිය (I) සලකා බලමු (§1 බලන්න).

අපි සටහන් කරමු:

නොදන්නා අය සඳහා සංගුණක අනුකෘතිය

Matrix - නිදහස් කොන්දේසි තීරුව

Matrix - නොදන්නා තීරුව

.

අර්ථ දැක්වීම 1.අනුකෘතිය ලෙස හැඳින්වේ පද්ධතියේ ප්රධාන අනුකෘතිය(I), සහ න්‍යාසය යනු පද්ධතියේ (I) විස්තීරණ න්‍යාසයයි.

න්‍යාසවල සමානාත්මතාවයේ නිර්වචනය අනුව, පද්ධතිය (I) අනුකෘති සමානාත්මතාවයට අනුරූප වේ:

.

දකුණු පැත්තන්‍යාසවල ගුණිතයේ නිර්වචනය අනුව මෙම සමානාත්මතාවය ( අර්ථ දැක්වීම බලන්න 3 § 5 පරිච්ඡේදය 1) සාධකගත කළ හැක:

, i.e.

සමානාත්මතාවය (2) කියලා පද්ධතියේ අනුකෘති අංකනය (I).

ක්‍රේමර්ගේ ක්‍රමය භාවිතයෙන් රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියක් විසඳීම.

පද්ධතියට ඉඩ දෙන්න (I) (§1 බලන්න) m=n, i.e. සමීකරණ ගණන නොදන්නා සංඛ්‍යාවට සමාන වන අතර පද්ධතියේ ප්‍රධාන න්‍යාසය ඒකීය නොවේ, i.e. . එවිට පද්ධතිය (I) §1 සිට අද්විතීය විසඳුමක් ඇත

කොහෙද Δ = ඒප්රධාන ලෙස හැඳින්වේ පද්ධතියේ නිර්ණායකය(I), Δ මමආදේශ කිරීම මගින් නිර්ණායක Δ වෙතින් ලබා ගනී මම th තීරුව පද්ධතියේ නිදහස් සාමාජිකයින්ගේ තීරුවකට (I).

උදාහරණය: Cramer's ක්‍රමය භාවිතයෙන් පද්ධතිය විසඳන්න:

.

සූත්‍ර මගින් (3) .

අපි පද්ධතියේ නිර්ණායක ගණනය කරමු:

,

,

.

නිර්ණායකය ලබා ගැනීම සඳහා, අපි නිර්ණායකයේ පළමු තීරුව නිදහස් කොන්දේසි සහිත තීරුවක් සමඟ ආදේශ කළෙමු; නිර්ණායකයේ 2 වන තීරුව නිදහස් නියමයන් සහිත තීරුවක් සමඟ ප්රතිස්ථාපනය කිරීම, අපි ලබා ගනිමු; ඒ හා සමාන ආකාරයකින්, නිර්ණායකයේ 3 වන තීරුව නිදහස් නියමයන් සහිත තීරුවක් සමඟ ප්‍රතිස්ථාපනය කිරීමෙන් අපට ලැබේ . පද්ධති විසඳුම:

ප්‍රතිලෝම න්‍යාසයක් භාවිතයෙන් රේඛීය සමීකරණ පද්ධති විසඳීම.

පද්ධතියට ඉඩ දෙන්න (I) (§1 බලන්න) m=nසහ පද්ධතියේ ප්රධාන අනුකෘතිය ඒකීය නොවේ. අපි පද්ධතිය (I) අනුකෘති ආකාරයෙන් ලියන්නෙමු ( §2 බලන්න):

නිසා matrix ඒඒකීය නොවන, එවිට එයට ප්‍රතිලෝම න්‍යාසයක් ඇත ( 1 වන පරිච්ඡේදයේ ප්‍රමේයය 1 §6 බලන්න) සමානාත්මතාවයේ දෙපැත්තම ගුණ කරමු (2) matrix වෙත, පසුව

ප්රතිලෝම න්යාසයක නිර්වචනය අනුව. සමානාත්මතාවයෙන් (3) අපිට තියෙනවා

ප්රතිලෝම අනුකෘතිය භාවිතයෙන් පද්ධතිය විසඳන්න

.

අපි දක්වන්නෙමු

උදාහරණයක් ලෙස (§ 3) අපි නිර්ණායකය ගණනය කළෙමු, එබැවින් අනුකෘතිය ඒප්රතිලෝම න්යාසයක් ඇත. එවිට ක්රියාත්මක වේ (4) , i.e.

. (5)

අපි න්‍යාසය සොයා ගනිමු ( §6 1 පරිච්ඡේදය බලන්න)

, , ,

, , ,

,

.

Gauss ක්රමය.

රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියක් ලබා දෙන්න:

. (මම)

පද්ධතියේ (I) සියලුම විසඳුම් සෙවීමට හෝ පද්ධතිය නොගැලපෙන බවට වග බලා ගැනීමට අවශ්ය වේ.

අර්ථ දැක්වීම 1.අපි පද්ධතියේ මූලික පරිවර්තනය ලෙස හඳුන්වමු(I) ක්‍රියා තුනෙන් ඕනෑම එකක්:

1) ශුන්‍ය සමීකරණය හරස් කිරීම;

2) සමීකරණයේ දෙපැත්තටම වෙනත් සමීකරණයක අනුරූප කොටස් එකතු කිරීම, අංකයෙන් ගුණ කිරීම;

3) සියලුම සමීකරණවල එකම සංඛ්‍යා ඇති නොදන්නා අය එකම ස්ථාන හිමි වන පරිදි පද්ධතියේ සමීකරණවල පද මාරු කිරීම, i.e. උදාහරණයක් ලෙස, 1 වන සමීකරණයේදී අපි 2 වන සහ 3 වන පද වෙනස් කළේ නම්, පද්ධතියේ සියලුම සමීකරණවලදී එයම කළ යුතුය.

Gauss ක්‍රමය සමන්විත වන්නේ ප්‍රාථමික පරිවර්තනවල ආධාරයෙන් පද්ධතිය (I) සමාන පද්ධතියකට අඩු කර ඇති අතර, එහි විසඳුම සෘජුවම සොයා ගැනීම හෝ එහි නොවිසඳීමේ හැකියාව ස්ථාපිත කිරීමයි.

§2 හි විස්තර කර ඇති පරිදි, පද්ධතිය (I) එහි විස්තීරණ න්‍යාසය මගින් අනන්‍ය ලෙස තීරණය කරනු ලබන අතර (I) පද්ධතියේ ඕනෑම මූලික පරිවර්තනයක් විස්තීරණ න්‍යාසයේ මූලික පරිවර්තනයකට අනුරූප වේ:

.

පරිවර්තනය 1) අනුකෘතියේ ශුන්‍ය පේළිය මකා දැමීමට අනුරූප වේ, පරිවර්තනය 2) අනුකෘතියේ අනුරූප පේළියට තවත් පේළියක් එක් කිරීමට සමාන වේ, l අංකයෙන් ගුණ කළ විට, පරිවර්තනය 3) අනුකෘතියේ තීරු නැවත සකස් කිරීමට සමාන වේ.

ඊට පටහැනිව, න්‍යාසයේ සෑම මූලික පරිවර්තනයක්ම පද්ධතියේ (I) මූලික පරිවර්තනයකට අනුරූප වන බව දැකීම පහසුය. ඉහත කරුණු හේතුවෙන්, පද්ධතිය (I) සමඟ මෙහෙයුම් වෙනුවට, අපි මෙම පද්ධතියේ දිගු න්‍යාසය සමඟ වැඩ කරන්නෙමු.

අනුකෘතියේ, 1 වන තීරුව සඳහා සංගුණක වලින් සමන්විත වේ x 1, 2 වන තීරුව - සඳහා සංගුණක වලින් x 2ආදිය තීරු නැවත සකස් කර ඇත්නම්, මෙම කොන්දේසිය උල්ලංඝනය වන බව සැලකිල්ලට ගත යුතුය. උදාහරණයක් ලෙස, අපි 1 වන සහ 2 වන තීරු මාරු කරන්නේ නම්, දැන් 1 වන තීරුවේ සංගුණක අඩංගු වේ x 2, සහ 2 වන තීරුවේ - සඳහා සංගුණක x 1.

අපි Gaussian ක්රමය භාවිතයෙන් පද්ධතිය (I) විසඳන්නෙමු.

1. න්‍යාසයේ ඇති සියලුම ශුන්‍ය පේළි තිබේ නම්, ඒවා හරස් කරන්න (එනම්, පද්ධතියේ (I) සියලුම ශුන්‍ය සමීකරණ හරස් කරන්න.

2. න්‍යාසයේ පේළි අතර අවසාන එක හැර අනෙකුත් සියලුම මූලද්‍රව්‍ය ශුන්‍යයට සමාන වන පේළියක් තිබේදැයි පරීක්ෂා කර බලමු (එවැනි පේළියක් නොගැලපෙන ලෙස හඳුන්වමු). නිසැකවම, එවැනි රේඛාවක් පද්ධතියේ (I) නොගැලපෙන සමීකරණයකට අනුරූප වේ, එබැවින් පද්ධතියට (I) විසඳුම් නොමැති අතර ක්‍රියාවලිය අවසන් වන්නේ මෙයයි.

3. අනුකෘතියේ නොගැලපෙන පේළි (පද්ධතිය (I) අඩංගු නොවේ නොගැලපෙන සමීකරණ) නම් a 11 =0, පසුව අපි 1 වන පේළියේ ශුන්‍ය හැර වෙනත් මූලද්‍රව්‍යයක් (අවසාන එක හැර) සොයාගෙන 1 වන පේළියේ 1 වන ස්ථානයේ ශුන්‍යයක් නොමැති වන පරිදි තීරු නැවත සකස් කරමු. අපි දැන් උපකල්පනය කරමු (එනම්, අපි පද්ධතියේ (I) සමීකරණවල අනුරූප නියමයන් මාරු කරමු).

4. 1 වන පේළිය ගුණ කර 2 වන පේළිය සමඟ ප්‍රති result ලය එක් කරන්න, ඉන්පසු 1 වන පේළිය ගුණ කර ප්‍රතිඵලය 3 වන පේළිය සමඟ එකතු කරන්න, ආදිය. නිසැකවම, මෙම ක්රියාවලිය නොදන්නා දේ ඉවත් කිරීමට සමාන වේ x 1පද්ධතියේ (I) සියලුම සමීකරණ වලින් 1 වෙනි එක හැර. නව න්‍යාසයේ මූලද්‍රව්‍යය යටතේ 1 වන තීරුවේ ශුන්‍ය ලැබේ a 11:

.

5. න්‍යාසයේ ඇති සියලුම ශුන්‍ය පේළි තිබේ නම් ඒවා හරස් කරමු, සහ නොගැලපෙන පේළියක් තිබේදැයි පරීක්ෂා කරන්න (එකක් තිබේ නම්, පද්ධතිය නොගැලපෙන අතර විසඳුම එතැනින් අවසන් වේ). තියෙනවද කියල බලමු a 22 / =0, ඔව් නම්, අපි 2 වන පේළියේ ශුන්‍යය හැර වෙනත් මූලද්‍රව්‍යයක් සොයාගෙන තීරු නැවත සකස් කරමු. ඊළඟට, 2 වන පේළියේ මූලද්රව්ය ගුණ කරන්න සහ 3 වන පේළියේ අනුරූප මූලද්‍රව්‍ය සමඟ එකතු කරන්න, ඉන්පසු - 2 වන පේළියේ මූලද්‍රව්‍ය සහ 4 වන පේළියේ අනුරූප මූලද්‍රව්‍ය සමඟ එකතු කරන්න, යනාදිය, අපට ශුන්‍ය ලැබෙන තෙක්. a 22/

.

ගනු ලබන ක්‍රියාමාර්ග නොදන්නා දේ ඉවත් කිරීමට සමාන වේ x 2 1 සහ 2 හැර පද්ධතියේ (I) සියලුම සමීකරණ වලින්. පේළි ගණන සීමිත බැවින්, පරිමිත පියවර ගණනකට පසුව, පද්ධතිය නොගැලපෙන බව හෝ අපි පියවර න්‍යාසයකින් අවසන් වන බව අපට ලැබේ ( නිර්වචනය 2 §7 පරිච්ඡේදය 1 බලන්න) :

,

අපි න්‍යාසයට අනුරූප සමීකරණ පද්ධතිය ලියන්නෙමු. මෙම පද්ධතිය පද්ධතියට (I) සමාන වේ

.

අපි ප්රකාශ කරන අවසාන සමීකරණයෙන්; පෙර සමීකරණයට ආදේශ කරන්න, අපි ලබා ගන්නා තෙක් සොයා ගන්න, ආදිය.

සටහන 1.මේ අනුව, Gaussian ක්‍රමය භාවිතයෙන් පද්ධතිය (I) විසඳන විට, අපි පහත අවස්ථා වලින් එකකට පැමිණෙමු.

1. පද්ධතිය (I) නොගැලපේ.

2. අනුකෘතියේ පේළි ගණන නොදන්නා () ගණනට සමාන නම් පද්ධතියට (I) අද්විතීය විසඳුමක් ඇත.

3. න්‍යාසයේ ඇති පේළි සංඛ්‍යාව නම් පද්ධතියට (I) අසීමිත විසඳුම් සංඛ්‍යාවක් ඇත අඩු සංඛ්යාවක්නොදන්නා().

එබැවින් පහත ප්‍රමේයය දරයි.

ප්රමේයය.රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියක් එක්කෝ නොගැලපේ, අද්විතීය විසඳුමක් ඇත, නැතහොත් අසීමිත විසඳුම් ගණනක් ඇත.

උදාහරණ. Gauss ක්‍රමය භාවිතයෙන් සමීකරණ පද්ධතිය විසඳන්න හෝ එහි නොගැලපීම ඔප්පු කරන්න:

බී) ;

අ) අපි ලබා දී ඇති පද්ධතිය පෝරමයේ නැවත ලියමු:

.

ගණනය කිරීම් සරල කිරීම සඳහා අපි මුල් පද්ධතියේ 1 වන සහ 2 වන සමීකරණ මාරු කර ඇත (භාග වෙනුවට, අපි මෙම ප්‍රතිසංවිධානය භාවිතයෙන් පූර්ණ සංඛ්‍යා සමඟ පමණක් ක්‍රියා කරන්නෙමු).

අපි පුළුල් කළ අනුකෘතියක් නිර්මාණය කරමු:

.

ශුන්‍ය රේඛා නොමැත; නොගැලපෙන රේඛා නොමැත, ; 1 වෙනි එක හැර පද්ධතියේ සියලුම සමීකරණ වලින් 1 වෙනි නොදන්නා දේ බැහැර කරමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, න්‍යාසයේ 1 වන පේළියේ මූලද්‍රව්‍ය “-2” න් ගුණ කර ඒවා 2 වන පේළියේ අනුරූප මූලද්‍රව්‍ය සමඟ එක් කරන්න, එය 1 වන සමීකරණය “-2” න් ගුණ කිරීමට සහ එය 2 න් එකතු කිරීමට සමාන වේ. සමීකරණය. ඉන්පසුව අපි 1 වන පේළියේ මූලද්රව්ය "-3" මගින් ගුණ කර තුන්වන පේළියේ අනුරූප මූලද්රව්ය සමඟ එකතු කරන්න, i.e. ලබා දී ඇති පද්ධතියේ 2 වන සමීකරණය “-3” මගින් ගුණ කර එය 3 වන සමීකරණයට එක් කරන්න. අපිට ලැබෙනවා

.

අනුකෘතිය සමීකරණ පද්ධතියකට අනුරූප වේ). - (පරිච්ඡේදයේ 3§7 අර්ථ දැක්වීම බලන්න).

අපි සලකා බලමු රේඛීය වීජීය සමීකරණ පද්ධතිය(SLAU) සාපේක්ෂව nනොදන්නා x 1 , x 2 , ..., x n :

මෙම පද්ධතිය "කඩා වැටුණු" ආකාරයෙන් පහත පරිදි ලිවිය හැකිය:

එස් n i=1 ඒ ij x j = ආ මම , i=1,2, ..., n.

අනුකෘති ගුණ කිරීමේ රීතියට අනුකූලව, සලකා බලන රේඛීය සමීකරණ පද්ධතිය ලිවිය හැකිය matrix ආකෘතිය Ax=b, කොහෙද

, ,.

Matrix ඒ, අනුරූප නාඳුනන සඳහා සංගුණක වන තීරු, සහ පේළි අනුරූප සමීකරණයේ නොදන්නා අය සඳහා සංගුණක ලෙස හැඳින්වේ. පද්ධතියේ matrix. තීරු අනුකෘතිය බී, පද්ධතියේ සමීකරණවල දකුණු පස වන මූලද්‍රව්‍ය දකුණු පස න්‍යාසය හෝ සරලව හැඳින්වේ. පද්ධතියේ දකුණු පැත්ත. තීරු අනුකෘතිය x , එහි මූලද්‍රව්‍යයන් නොදන්නා නොදන්නා දේ ලෙස හැඳින්වේ පද්ධති විසඳුම.

පෝරමයේ ලියා ඇති රේඛීය වීජීය සමීකරණ පද්ධතියකි Ax=b, වේ matrix සමීකරණය.

පද්ධති අනුකෘතිය නම් නොපිරිහුණු, එවිට එය ප්රතිලෝම න්යාසයක් ඇති අතර පසුව පද්ධතියට විසඳුම වේ Ax=bසූත්රය මගින් ලබා දී ඇත:

x=A -1 බී.

උදාහරණයක්පද්ධතිය විසඳන්න matrix ක්රමය.

විසඳුමක්පද්ධතියේ සංගුණක න්‍යාසය සඳහා ප්‍රතිලෝම න්‍යාසය සොයා ගනිමු

පළමු පේළිය දිගේ පුළුල් කිරීමෙන් නිර්ණායකය ගණනය කරමු:

මන්දයත් Δ ≠ 0 , එම ඒ -1 පවතී.

ප්රතිලෝම න්යාසය නිවැරදිව සොයා ගන්නා ලදී.

අපි පද්ධතියට විසඳුමක් සොයා ගනිමු

එබැවින්, x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 .

විභාගය:

7. රේඛීය වීජීය සමීකරණ පද්ධතියක ගැළපුම පිළිබඳ ක්‍රොනෙකර්-කැපෙලි ප්‍රමේයය.

රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියපෝරමය ඇත:

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.1)

a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m.

මෙහි a i j සහ b i (i = ; j = ) ලබා දී ඇති අතර x j යනු නොදන්නා තාත්වික සංඛ්‍යා වේ. න්‍යාසවල නිෂ්පාදන සංකල්පය භාවිතා කරමින්, අපට පද්ධතිය (5.1) ආකාරයෙන් නැවත ලිවිය හැකිය:

A = (a i j) යනු පද්ධතියේ නොදන්නා (5.1) සංගුණක වලින් සමන්විත න්‍යාසයකි, එය හැඳින්වේ. පද්ධතියේ matrix, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T යනු පිළිවෙළින් නොදන්නා x j සහ නිදහස් පද b i ගෙන් සමන්විත තීරු දෛශික වේ.

ඇණවුම් කළ එකතුව nසැබෑ සංඛ්යා (c 1, c 2,..., c n) ලෙස හැඳින්වේ පද්ධති විසඳුම(5.1), අනුරූප විචල්‍ය x 1, x 2,..., x n වෙනුවට මෙම සංඛ්‍යා ආදේශ කිරීමේ ප්‍රතිඵලයක් ලෙස, පද්ධතියේ සෑම සමීකරණයක්ම ගණිතමය අනන්‍යතාවයක් බවට පත්වේ නම්; වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, දෛශිකයක් තිබේ නම් C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T AC  B.

පද්ධතිය (5.1) ලෙස හැඳින්වේ ඒකාබද්ධ,හෝ විසඳිය හැකි,එයට අවම වශයෙන් එක් විසඳුමක් තිබේ නම්. පද්ධතිය ලෙස හැඳින්වේ නොගැලපෙන,හෝ විසඳිය නොහැකි, එයට විසඳුම් නොමැති නම්.

,

A න්‍යාසයේ දකුණු පැත්තට නිදහස් පද තීරුවක් ලබා දීමෙන් සාදනු ලැබේ පද්ධතියේ විස්තීරණ අනුකෘතිය.

පද්ධතියේ ගැළපුම පිළිබඳ ප්රශ්නය (5.1) පහත සඳහන් ප්රමේයය මගින් විසඳනු ලැබේ.

ක්‍රොනෙකර්-කැපෙලි ප්‍රමේයය . රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියක් අනුකූල වන්නේ A සහ ​​A න්‍යාසවල ශ්‍රේණි සමපාත වන්නේ නම් සහ පමණි, i.e. r(A) = r(A) = r.

පද්ධතියේ (5.1) විසඳුම් M කට්ටලය සඳහා අවස්ථා තුනක් ඇත:

1) M =  (මෙම අවස්ථාවෙහිදී පද්ධතිය නොගැලපේ);

2) M එක් මූලද්රව්යයකින් සමන්විත වේ, i.e. පද්ධතියට අද්විතීය විසඳුමක් ඇත (මෙම අවස්ථාවෙහිදී පද්ධතිය ලෙස හැඳින්වේ සමහර);

3) M මූලද්රව්ය එකකට වඩා වැඩි ගණනකින් සමන්විත වේ (එවිට පද්ධතිය හැඳින්වේ අවිනිශ්චිත) තෙවන අවස්ථාවෙහිදී, පද්ධතියට (5.1) අසීමිත විසඳුම් ඇත.

පද්ධතියට අද්විතීය විසඳුමක් ඇත්තේ r(A) = n නම් පමණි. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, සමීකරණ ගණන නොදන්නා සංඛ්යාවට වඩා අඩු නොවේ (mn); m>n නම්, එසේ නම් m-n සමීකරණඅන් අයගේ ප්රතිවිපාක වේ. 0 නම්

රේඛීය සමීකරණවල අත්තනෝමතික පද්ධතියක් විසඳීම සඳහා, සමීකරණ ගණන නොදන්නා ගණනට සමාන වන පද්ධති විසඳීමට ඔබට හැකි විය යුතුය - ඊනියා ක්‍රේමර් වර්ගයේ පද්ධති:

a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1,

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.3)

... ... ... ... ... ...

a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n .

පද්ධති (5.3) පහත සඳහන් ක්‍රමවලින් එකකින් විසඳනු ලැබේ: 1) Gauss ක්‍රමය හෝ නොදන්නා දේ ඉවත් කිරීමේ ක්‍රමය; 2) ක්රේමර්ගේ සූත්ර අනුව; 3) matrix ක්රමය.

උදාහරණය 2.12. සමීකරණ පද්ධතිය ගවේෂණය කර එය අනුකූල නම් එය විසඳන්න:

5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7,

2x 1 + x 2 + 4x 3 - 2x 4 = 1,

x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0.

විසඳුමක්.අපි පද්ධතියේ විස්තීරණ අනුකෘතිය ලියන්නෙමු:

 .

පද්ධතියේ ප්‍රධාන අනුකෘතියේ ශ්‍රේණිය ගණනය කරමු. නිදසුනක් වශයෙන්, ඉහළ වම් කෙළවරේ ඇති දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි බාලයා = 7  0 බව පැහැදිලිය; එය අඩංගු තුන්වන අනුපිළිවෙලෙහි බාල වයස්කරුවන් බිංදුවට සමාන වේ:

එහි ප්‍රතිඵලයක් ලෙස, පද්ධතියේ ප්‍රධාන න්‍යාසයේ ශ්‍රේණිය 2 වේ, i.e. r(A) = 2. විස්තීරණ න්‍යාසයේ ශ්‍රේණිය ගණනය කිරීමට A, මායිම් සුළු අගය සලකා බලන්න

මෙයින් අදහස් කරන්නේ විස්තීරණ න්‍යාසයේ ශ්‍රේණිය r(A) = 3. r(A)  r(A) බැවින්, පද්ධතිය නොගැලපේ.

n වන අනුපිළිවෙලෙහි වර්ග න්‍යාසයක් තිබිය යුතුය

Matrix A -1 ලෙස හැඳින්වේ ප්රතිලෝම න්යාසය A න්‍යාසයට අදාළව, A*A -1 = E නම්, E යනු n වන අනුපිළිවෙලෙහි අනන්‍යතා න්‍යාසයයි.

අනන්යතා අනුකෘතිය- ඉහළ වම් කෙළවරේ සිට පහළ දකුණු කෙළවර දක්වා ගමන් කරන ප්‍රධාන විකර්ණය දිගේ ඇති සියලුම මූලද්‍රව්‍ය එකක් වන අතර ඉතිරිය ශුන්‍ය වේ, උදාහරණයක් ලෙස:

ප්රතිලෝම න්යාසයපවතින්න පුළුවන් හතරැස් න්‍යාස සඳහා පමණිඑම. පේළි සහ තීරු ගණන සමපාත වන න්‍යාස සඳහා.

ප්රතිලෝම න්යාසයක පැවැත්මේ තත්ත්වය සඳහා ප්රමේයය

න්‍යාසයකට ප්‍රතිලෝම න්‍යාසයක් තිබීම සඳහා එය ඒකීය නොවන බව අවශ්‍ය සහ ප්‍රමාණවත් වේ.

න්‍යාසය A = (A1, A2,...A n) ලෙස හැඳින්වේ නොපිරිහුණු, තීරු දෛශික රේඛීයව ස්වාධීන නම්. අනුකෘතියක රේඛීය ස්වාධීන තීරු දෛශික ගණන න්‍යාසයේ ශ්‍රේණිය ලෙස හැඳින්වේ. එබැවින්, ප්‍රතිලෝම න්‍යාසයක් පැවතීම සඳහා, න්‍යාසයේ ශ්‍රේණිය එහි මානයට සමාන වීම අවශ්‍ය සහ ප්‍රමාණවත් බව අපට පැවසිය හැකිය, i.e. r = n.

ප්රතිලෝම න්යාසය සොයා ගැනීම සඳහා ඇල්ගොරිතම

1. Gaussian ක්‍රමය භාවිතා කරමින් සමීකරණ පද්ධති විසඳීම සඳහා වගුවේ A න්‍යාසය ලියන්න සහ එයට දකුණු පස ඇති matrix E ලබා දෙන්න (සමීකරණවල දකුණු පස වෙනුවට).
2. ජෝර්දාන් පරිවර්තන භාවිතා කරමින්, න්‍යාසය A ඒකක තීරු වලින් සමන්විත අනුකෘතියකට අඩු කරන්න; මෙම අවස්ථාවේදී, න්‍යාසය E එකවර පරිවර්තනය කිරීම අවශ්‍ය වේ.
3. අවශ්‍ය නම්, අවසාන වගුවේ පේළි (සමීකරණ) නැවත සකස් කරන්න එවිට මුල් වගුවේ A න්‍යාසය යටතේ ඔබට අනන්‍යතා න්‍යාසය E ලැබේ.
4. මුල් වගුවේ E න්‍යාසය යටතේ අවසාන වගුවේ ඇති A -1 ප්‍රතිලෝම න්‍යාසය ලියන්න.

උදාහරණ 1

A න්‍යාසය සඳහා, A -1 ප්‍රතිලෝම න්‍යාසය සොයා ගන්න

විසඳුම: අපි න්‍යාසය A ලියා E අනන්‍යතා න්‍යාසය දකුණට පවරමු.ජෝර්දාන් පරිවර්තන භාවිතා කරමින් අපි න්‍යාසය A අනන්‍යතා න්‍යාසය E වෙත අඩු කරමු. ගණනය කිරීම් 31.1 වගුවේ දක්වා ඇත.

මුල් න්‍යාසය A සහ ​​ප්‍රතිලෝම න්‍යාසය A -1 ගුණ කිරීමෙන් ගණනය කිරීම් වල නිවැරදි බව පරීක්ෂා කරමු.

න්‍යාස ගුණ කිරීමේ ප්‍රතිඵලයක් ලෙස අනන්‍යතා අනුකෘතිය ලබා ගන්නා ලදී. එබැවින් ගණනය කිරීම් නිවැරදිව සිදු කරන ලදී.

පිළිතුර:

අනුකෘති සමීකරණ විසඳීම

න්‍යාස සමීකරණ මේ වගේ විය හැක:

AX = B, HA = B, AXB = C,

මෙහි A, B, C නිශ්චිත න්‍යාස වේ, X යනු අපේක්ෂිත න්‍යාසයයි.

න්‍යාස සමීකරණ විසඳනු ලබන්නේ සමීකරණය ප්‍රතිලෝම න්‍යාස මගින් ගුණ කිරීමෙනි.

උදාහරණයක් ලෙස, සමීකරණයෙන් න්‍යාසය සොයා ගැනීමට, ඔබ මෙම සමීකරණය වමෙන් ගුණ කළ යුතුය.

එබැවින්, සමීකරණයට විසඳුමක් සෙවීම සඳහා, ඔබ ප්රතිලෝම න්යාසය සොයා ගත යුතු අතර සමීකරණයේ දකුණු පැත්තේ ඇති න්යාසයෙන් එය ගුණ කළ යුතුය.

අනෙකුත් සමීකරණ ද එලෙසම විසඳනු ලැබේ.

උදාහරණ 2

AX = B නම් සමීකරණය විසඳන්න

විසඳුමක්: ප්‍රතිලෝම න්‍යාසය සමාන වන බැවින් (උදාහරණ 1 බලන්න)

ආර්ථික විශ්ලේෂණයේ Matrix ක්රමය

අනෙක් අය සමඟ ඒවා ද භාවිතා වේ matrix ක්රම. මෙම ක්‍රම රේඛීය සහ දෛශික-න්‍යාස වීජ ගණිතය මත පදනම් වේ. සංකීර්ණ හා බහුමාන ආර්ථික සංසිද්ධි විශ්ලේෂණය කිරීමේ අරමුණු සඳහා එවැනි ක්රම භාවිතා කරනු ලැබේ. බොහෝ විට, සංවිධානවල ක්රියාකාරිත්වය සහ ඒවායේ ව්යුහාත්මක බෙදීම් පිළිබඳ සංසන්දනාත්මක තක්සේරුවක් කිරීමට අවශ්ය වන විට මෙම ක්රම භාවිතා කරනු ලැබේ.

අනුකෘති විශ්ලේෂණ ක්‍රම යෙදීමේ ක්‍රියාවලියේදී, අදියර කිහිපයක් වෙන්කර හඳුනාගත හැකිය.

පළමු අදියරේදීආර්ථික දර්ශක පද්ධතියක් නිර්මාණය වෙමින් පවතින අතර එහි පදනම මත ආරම්භක දත්තවල අනුකෘතියක් සම්පාදනය කරනු ලැබේ, එය පද්ධති අංක එහි තනි පේළිවල දැක්වෙන වගුවකි. (i = 1,2,....,n), සහ සිරස් තීරු වල - දර්ශක සංඛ්යාව (j = 1,2,....,m).

දෙවන අදියරේදීසෑම සිරස් තීරුවක් සඳහාම, පවතින දර්ශක අගයන්ගෙන් විශාලතම අගය හඳුනාගෙන ඇති අතර එය එකක් ලෙස ගනු ලැබේ.

මෙයින් පසු, මෙම තීරුවේ පිළිබිඹු වන සියලුම ප්‍රමාණ විශාලතම අගයෙන් බෙදනු ලබන අතර ප්‍රමිතිගත සංගුණකවල න්‍යාසයක් සාදනු ලැබේ.

තුන්වන අදියරේදීඅනුකෘතියේ සියලුම සංරචක වර්ග කර ඇත. ඒවාට විවිධ වැදගත්කමක් තිබේ නම්, එක් එක් අනුකෘති දර්ශකයට නිශ්චිත බර සංගුණකයක් පවරනු ලැබේ කේ. දෙවැන්නෙහි වටිනාකම විශේෂඥ මතය අනුව තීරණය වේ.

අන්තිම එකේදී, හතරවන අදියරශ්‍රේණිගත කිරීමේ අගයන් සොයා ගන්නා ලදී ආර් ජේඒවායේ වැඩිවීම හෝ අඩුවීම අනුපිළිවෙලින් කාණ්ඩගත කර ඇත.

විවිධ ආයෝජන ව්‍යාපෘතිවල සංසන්දනාත්මක විශ්ලේෂණයක දී මෙන්ම සංවිධානවල ක්‍රියාකාරකම් පිළිබඳ වෙනත් ආර්ථික දර්ශක තක්සේරු කිරීමේදී ද දක්වා ඇති අනුකෘති ක්‍රම භාවිතා කළ යුතුය.