බර්නූලි ක්රමය භාවිතයෙන් සමීකරණ විසඳන්නේ කෙසේද? පළමු අනුපිළිවෙලෙහි සහ බර්නූලි සමීකරණයේ රේඛීය අවකල සමීකරණ
පළමු අනුපිළිවෙල රේඛීය අවකල සමීකරණයක් යනු නොදන්නා ශ්රිතයක් සහ එහි ව්‍යුත්පන්නය සම්බන්ධයෙන් රේඛීය වන සමීකරණයකි. එය පෙනේ
\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x),
එහිදී p(x) සහ q(x) - නිශ්චිත කාර්යයන් x හි, සමීකරණය (1) අනුකලනය කිරීමට අවශ්‍ය කලාපයේ අඛණ්ඩ
q(x)\equiv0 නම්, සමීකරණය (1) ලෙස හැඳින්වේ රේඛීය සමජාතීය. එය වෙන් කළ හැකි සමීකරණයක් සහ ඇත පොදු තීරණය
Y=C\exp\!\left(-\int(p(x))\,dx\right)\!,
පොදු තීරණය සමජාතීය සමීකරණයසොයාගන්න පුළුවන් අත්තනෝමතික නියතයක විචලනය කිරීමේ ක්රමය, (1) සමීකරණයට විසඳුම ආකෘතියෙන් සොයන කාරනයෙන් සමන්විත වේ
Y=C(x)\exp\!\left(-\int(p(x))\,dx\right), C(x) යනු x හි නව නොදන්නා ශ්‍රිතයකි.
උදාහරණ 1. y"+2xy=2xe^(-x^2) සමීකරණය විසඳන්න.
විසඳුමක්.නියත විචලන ක්රමය භාවිතා කරමු. අපි සලකා බලමු සමජාතීය සමීකරණය y"+2xy=0 මෙම සමජාතීය සමීකරණයට අනුරූප වේ. මෙය වෙන් කළ හැකි විචල්යයන් සහිත සමීකරණයකි. එහි සාමාන්ය විසඳුම y=Ce^(-x^2) වේ.
අපි y=C(x)e^(-x^2) ආකාරයෙන් සමජාතීය සමීකරණයට සාමාන්ය විසඳුමක් සොයමු, එහිදී C(x) යනු x හි නොදන්නා ශ්‍රිතයකි. ආදේශ කිරීමෙන්, අපට ලැබෙන්නේ C"(x)=2x, කොහෙන්ද C(x)=x^2+C. එබැවින්, අසමජාතීය සමීකරණයේ සාමාන්ය විසඳුම y=(x^2+C)e^(-x^ වේ. 2) , C - අනුකලනයේ නියතය.
අදහස් දක්වන්න.එය එසේ විය හැකිය අවකල සමීකරණය y හි ශ්රිතයක් ලෙස x හි රේඛීය. එවැනි සමීකරණයක සාමාන්ය ස්වරූපය වේ
\frac(dx)(dy)+r(y)x=\varphi(y).
උදාහරණය 2.සමීකරණය විසඳන්න \frac(dy)(dx)=\frac(1)(x\cos(y)+\sin2y).
විසඳුමක්.අපි y හි ශ්රිතයක් ලෙස x සලකන්නේ නම් මෙම සමීකරණය රේඛීය වේ:
\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=\sin(2y).
අපි අත්තනෝමතික නියතයක විචලනය කිරීමේ ක්රමය භාවිතා කරමු. පළමුව අපි අනුරූප සමජාතීය සමීකරණය විසඳන්නෙමු
\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=0,
වෙන් කළ හැකි විචල්යයන් සහිත සමීකරණයකි. එහි පොදු විසඳුම ආකෘතිය ඇත x=Ce^(\sin(y)),~C=\text(const).
අපි x=C(y)e^(\sin(y)) ආකාරයෙන් සමීකරණයට පොදු විසඳුමක් සොයමු, එහිදී C(y) යනු y හි නොදන්නා ශ්‍රිතයකි. ආදේශ කිරීම, අපි ලබා ගනිමු
C"(y)e^(\sin(y))=\sin2yහෝ C"(y)=e^(-\sin(y))\sin2y.
මෙතැන් සිට, කොටස් අනුව ඒකාබද්ධ කිරීම, අපට තිබේ
\begin(aligned)C(y)&=\int(e^(-\sin(y))\sin2y)\,dy=2\int(e^(-\sin(y))\cos(y) \sin(y))\,dy=2\int\sin(y)\,d(-e^(-\sin(y)))=\\ &=-2\sin(y)\,e^ (-\sin(y))+2\int(e^(-\sin(y))\cos(y)\,dy=C-2(\sin(y)+1)e^(-\ sin(y)),\අවසන් (පෙළගැසී)
ඒ නිසා,
C(y)=-2e^(-\sin(y))(1+\sin(y))+C.
මෙම සමීකරණය x=C(y)e^(\sin(y)) ලෙස ආදේශ කිරීමෙන්, අපි මුල් සමීකරණයට සාමාන්ය විසඳුමක් ලබා ගනිමු, එබැවින් මෙම සමීකරණයට:
X=Ce^(\sin(y))-2(1+\sin(y))
මුල් සමීකරණය පහත පරිදි අනුකලනය කළ හැක. අපි විශ්වාස කරනවා
Y=u(x)v(x),
u(x) සහ v(x) යනු x හි නොදන්නා ශ්‍රිත වන අතර, ඉන් එකක්, උදාහරණයක් ලෙස v(x) අත්තනෝමතික ලෙස තෝරා ගත හැක.
y=u(x)v(x) ට ආදේශ කිරීම, පරිවර්තනයෙන් පසු අපට ලැබේ
Vu"+(pv+v")u=q(x).
v"+pv=0 කොන්දේසියෙන් v(x) නිර්ණය කිරීම, අපි පසුව vu"+(pv+v")u=q(x) ශ්‍රිතයෙන් u(x) ශ්රිතය සොයා ගන්නා අතර, ඒ අනුව, විසඳුම y=uv සමීකරණය \frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x). v(x) ලෙස අපට සමීකරණයේ ඕනෑම නිරන්තර විසඳුමක් ගත හැක v"+pv=0,~v\not\equiv0.
උදාහරණය 3. Cauchy ගැටලුව විසඳන්න: x(x-1)y"+y=x^2(2x-1),~y|_(x=2)=4.
විසඳුමක්.අපි y=u(x)v(x) ආකාරයෙන් සමීකරණයට පොදු විසඳුමක් සොයමින් සිටිමු; අපට y"=u"v+uv" ඇත. මුල් සමීකරණයට y සහ y සඳහා ප්රකාශනය ආදේශ කිරීම, අපට ලැබේ
X(x-1)(u"v+uv")+uv=x^2(2x-1)හෝ x(x-1)vu"+u=x^2(2x-1)
අපි x(x-1)v"+v=0 කොන්දේසියෙන් v=v(x) ශ්රිතය සොයා ගනිමු. අවසාන සමීකරණයේ ඕනෑම විශේෂිත විසඳුමක් ලබා ගැනීම, උදාහරණයක් ලෙස v=\frac(x)(x-1) සහ එය ආදේශ කිරීමෙන්, අපට u"=2x-1 සමීකරණය ලැබේ, එයින් අපට u(x)=x^2-x+C ශ්රිතය ලැබේ. එබැවින්, සමීකරණයට පොදු විසඳුම x(x-1)y"+y=x^2(2x-1)කැමැත්ත
Y=uv=(x^2-x+C)\frac(x)(x-1),හෝ y=\frac(Cx)(x-1)+x^2.
ආරම්භක කොන්දේසිය y|_(x=2)=4 භාවිතා කරමින්, අපි C සොයා ගැනීම සඳහා සමීකරණය ලබා ගනිමු. 4=\frac(2C)(2-1)+2^2 C=0 ; එබැවින් ප්රකාශිත Cauchy ගැටලුවට විසඳුම y=x^2 ශ්රිතය වනු ඇත.
උදාහරණය 4.ප්‍රතිරෝධය R සහ ස්වයං ප්‍රේරණය L සහිත පරිපථයක වත්මන් i සහ විද්‍යුත් චලන බලය E අතර සම්බන්ධයක් පවතින බව දන්නා කරුණකි. E=Ri+L\frac(di)(dt), මෙහි R සහ L නියතයන් වේ. අපි E යනු t කාලයෙහි ශ්රිතයක් ලෙස සලකන්නේ නම්, වත්මන් ශක්තිය සඳහා අපි රේඛීය අසමජාතී සමීකරණයක් ලබා ගනිමු i:
\frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E(t))(L).
අවස්ථාව සඳහා වත්මන් ශක්තිය i(t) සොයන්න E=E_0=\text(const)සහ i(0)=I_0 .
විසඳුමක්.අපිට තියෙනවා \frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E_0)(L),~i(0)=I_0. මෙම සමීකරණයේ පොදු විසඳුමේ ස්වරූපය ඇත i(t)=\frac(E_0)(R)+Ce^(-(R/L)t). ආරම්භක කොන්දේසිය (13) භාවිතා කරමින්, අපි ලබා ගනිමු C=I_0-\frac(E_0)(R), එබැවින් අපේක්ෂිත විසඳුම වනු ඇත
I(t)=\frac(E_0)(R)+\left(I_0-\frac(E_0)(R)\right)\!e^(-(R/L)t).
මෙයින් පැහැදිලි වන්නේ t\to+\infty හි වත්මන් ශක්තිය i(t) නැඹුරු වන බවයි නියත අගය\frac(E_0)(R) .
උදාහරණ 5. y"+p(x)y=q(x) රේඛීය සමජාතීය සමීකරණයේ අනුකලිත වක්‍රවල C_\ඇල්ෆා පවුලක් ලබා දී ඇත.
රේඛීය සමීකරණය මගින් නිර්වචනය කරන ලද C_\ alpha වක්‍රවලට අනුරූප ලක්ෂ්‍යවල ස්පර්ශක එක් ලක්ෂ්‍යයකින් ඡේදනය වන බව පෙන්වන්න (රූපය 13).
විසඳුමක්. M(x,y) ලක්ෂ්යයේ ඇති ඕනෑම වක්‍රයකට C_\alpha වෙත ස්පර්ශකය සලකා බලන්න
\eta-q(x)(\xi-x)=y, මෙහි \xi,\eta යනු ස්පර්ශක ලක්ෂ්යයේ වත්මන් ඛණ්ඩාංක වේ.
අර්ථ දැක්වීම අනුව, අනුරූප ලක්ෂ්යවලදී x නියත වන අතර y විචල්ය වේ. අනුරූප ලක්ෂ්‍යවල C_\alpha රේඛා වෙත ඕනෑම ස්පර්ශක දෙකක් ගෙන, ඒවායේ ඡේදනය වන S ලක්ෂ්යයේ ඛණ්ඩාංක සඳහා, අපි ලබා ගනිමු
\xi=x+\frac(1)(p(x)), \quad \eta=x+\frac(q(x))(p(x)).
මින් පෙන්නුම් කරන්නේ අදාල ලක්ෂ්‍යවල (x ස්ථාවරයි) C_\alpha වක්‍ර වලට ඇති සියලුම ස්පර්ශක එකම ලක්ෂ්‍යයේදී ඡේදනය වන බවයි.
S\!\වම(x+\frac(1)(p(x));\,x+\frac(q(x))(p(x))\දකුණ).
පද්ධතියේ x තර්කය ඉවත් කිරීම, අපි ලක්ෂ්යයේ පිහිටීමෙහි සමීකරණය ලබා ගනිමු S\colon f(\xi,\eta)=0.
උදාහරණ 6.සමීකරණයට විසඳුම සොයන්න y"-y=\cos(x)-\sin(x), කොන්දේසිය තෘප්තිමත් කිරීම: y y\to+\infty ට සීමා වේ.
විසඳුමක්.මෙම සමීකරණයට පොදු විසඳුම y=Ce^x+\sin(x) වේ. x\to+\infty සඳහා \sin(x) ශ්රිතය සීමා වන අතර e^x\to+\infty වන බැවින් C\ne0 සඳහා සාමාන්ය විසඳුමෙන් ලබා ගන්නා සමීකරණයට ඕනෑම විසඳුමක් අසීමිත වේ. මෙම සමීකරණයට y=\sin(x) අනන්‍ය විසදුමක් ඇති බවත්, එය x\to+\infty ට සීමා කර ඇති බවත්, එය C=0 හි ඇති සාමාන්ය ද්‍රාවණයෙන් ලැබෙන බවත් පහත දැක්වේ.
බර්නූලිගේ සමීකරණය
බර්නූලි අවකල සමීකරණයවගේ පේනවා
\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x)y^n, n\ne0;1 (n=0 සහ n=1 සඳහා මෙම සමීකරණය රේඛීය වේ).
විචල්ය ප්රතිස්ථාපනය භාවිතා කිරීම z=\frac(1)(y^(n-1))බර්නූලිගේ සමීකරණය රේඛීය සමීකරණයකට අඩු කර රේඛීය එකක් ලෙස ඒකාබද්ධ වේ.
උදාහරණ 7.බර්නූලිගේ සමීකරණය y"-xy=-xy^3 විසඳන්න.
විසඳුමක්.සමීකරණයේ දෙපැත්තම y^3 න් බෙදන්න:
\frac(y")(y^3)-\frac(x)(y^2)=-x
විචල්ය වෙනසක් සිදු කිරීම \frac(1)(y^2)=z\Rightarrow-\frac(2y")(y^3)=z", කොහෙද \frac(y")(y^3)=-\frac(z")(2). ආදේශ කිරීමෙන් පසු, අවසාන සමීකරණය රේඛීය සමීකරණයක් බවට පත්වේ
-\frac(z")(2)-xz=-xහෝ z"+2xz=2x, සාමාන්ය විසඳුම z=1+Ce^(-x^2) වේ.
මෙතැන් සිට අපි මෙම සමීකරණයේ පොදු අනුකලනය ලබා ගනිමු
\frac(1)(y^2)=1+Ce^(-x^2)හෝ y^2(1+Ce^(-x^2))=1.
අදහස් දක්වන්න.බර්නූලිගේ සමීකරණය රේඛීය සමීකරණයක් වැනි නියතයක විචලනය කිරීමේ ක්රමය මගින් සහ y(x)=u(x)v(x) ආදේශනය භාවිතයෙන් ද අනුකලනය කළ හැක.
උදාහරණ 8.බර්නූලිගේ සමීකරණය xy"+y=y^2\ln(x) විසඳන්න.
විසඳුමක්.අපි අත්තනෝමතික නියතයක විචලනය කිරීමේ ක්රමය යොදමු. අනුරූප සමජාතීය සමීකරණයේ xy"+y=0 හි සාමාන්ය විසඳුම y=\frac(C)(x) ආකෘතිය ඇත. අපි සමීකරණයේ සාමාන්ය විසඳුම y=\frac(C(x)) ආකාරයෙන් සොයමු. (x) , C(x) - නව නොදන්නා ශ්රිතය මුල් සමීකරණයට ආදේශ කිරීම
C"(x)=C^2(x)\frac(\ln(x))(x^2).
C(x) ශ්රිතය සොයා ගැනීම සඳහා, අපි වෙන් කළ හැකි විචල්යයන් සමඟ සමීකරණයක් ලබා ගනිමු, එයින් විචල්යයන් වෙන් කර අනුකලනය කිරීමෙන් අපි සොයා ගනිමු.
\frac(1)(C(x))=\frac(\ln(x))(x)+\frac(1)(x)+C~\Rightarrow~C(x)=\frac(x)( 1+Cx+\ln(x)).
ඉතින්, මුල් සමීකරණයට පොදු විසඳුම y=\frac(1)(1+Cx+\ln(x)).
ඇතැම් රේඛීය නොවන සමීකරණපළමු අනුපිළිවෙල, විචල්‍යවල සාර්ථකව සොයාගත් වෙනසක ආධාරයෙන්, දක්වා අඩු කරනු ලැබේ රේඛීය සමීකරණනැත්නම් බර්නූලිගේ සමීකරණවලට.
උදාහරණ 9.සමීකරණය විසඳන්න y"+\sin(y)+x\cos(y)+x=0.
විසඳුමක්.අපි මෙම සමීකරණය ආකෘතියෙන් ලියමු y"+2\sin\frac(y)(2)\cos\frac(y)(2)+2x\cos^2\frac(y)(2)=0..
සමීකරණයේ දෙපැත්තම බෙදීම 2\cos^2\frac(y)(2), අපිට ලැබෙනවා \frac(y")(2\cos^2\dfrac(y)(2))+\operatorname(tg)\frac(y)(2)+x=0.
ආදේශ කිරීම \operatorname(tg)\frac(y)(2)=z\Rightarrow\frac(dz)(dx)=\frac(y")(\cos^2\dfrac(y)(2))මෙම සමීකරණය රේඛීය ලෙස අඩු කරයි \frac(dz)(dx)+z=-x, එහි සාමාන්ය විසඳුම z=1-x+Ce^(-x) වේ.
y අනුව එහි ප්රකාශනය මගින් z ප්රතිස්ථාපනය කිරීමෙන්, අපි මෙම සමීකරණයේ සාමාන්ය අනුකලනය ලබා ගනිමු. \operatorname(tg)\frac(y)(2)=1-x+Ce^(-x).
සමහර සමීකරණවලදී, අපේක්ෂිත ශ්රිතය y(x) අනුකලිත ලකුණ යටතේ විය හැක. මෙම අවස්ථා වලදී, සමහර විට මෙම සමීකරණය අවකලනය මගින් අවකල සමීකරණයකට අඩු කළ හැකිය.
උදාහරණ 10.සමීකරණය විසඳන්න x\int\limits_(x)^(0)y(t)\,dt=(x+1)\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt,~x>0.
විසඳුමක්. x ට සාපේක්ෂව මෙම සමීකරණයේ දෙපැත්තම වෙනස් කිරීම, අපට ලැබේ
\int\limits_(0)^(x)y(t)\,dt+xy(x)=\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt+x(x+1)y (x)හෝ තොරතුරු මූලාශ්රය
1 වන අනුපිළිවෙලෙහි රේඛීය අවකල සමීකරණ
සහ බර්නූලිගේ සමීකරණය
පළමු අනුපිළිවෙල රේඛීය අවකල සමීකරණයක් යනු නොදන්නා ශ්රිතයක් සහ එහි ව්‍යුත්පන්නය සම්බන්ධයෙන් රේඛීය වන සමීකරණයකි. එය පෙනේ
\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x),
එහිදී p(x) සහ q(x) x හි ශ්‍රිත ලබා දී ඇති අතර, (1) සමීකරණය අනුකලනය කළ යුතු කලාපයේ අඛණ්ඩ වේ.
q(x)\equiv0 නම්, සමීකරණය (1) ලෙස හැඳින්වේ රේඛීය සමජාතීය. එය වෙන් කළ හැකි සමීකරණයක් වන අතර පොදු විසඳුමක් ඇත
y=C\exp\!\left(-\int(p(x))\,dx\right)\!,
සමජාතීය සමීකරණයට පොදු විසඳුම සොයාගත හැකිය අත්තනෝමතික නියතයක විචලනය කිරීමේ ක්රමය, (1) සමීකරණයට විසඳුම ආකෘතියෙන් සොයන කාරනයෙන් සමන්විත වේ
y=C(x)\exp\!\left(-\int(p(x))\,dx\right), C(x) යනු x හි නව නොදන්නා ශ්‍රිතයකි.
උදාහරණ 1.සමීකරණය විසඳන්න y"+2xy=2xe^(-x^2).
විසඳුමක්.අපි නියතයක විචලනය කිරීමේ ක්රමය යොදමු. මෙම සමජාතීය සමීකරණයට අනුරූප වන y"+2xy=0 යන සමජාතීය සමීකරණය සලකා බලන්න. මෙය වෙන් කළ හැකි විචල්යයන් සහිත සමීකරණයකි. එහි සාමාන්ය විසඳුමෙහි ඇත්තේ y=Ce^(-x^2) ආකාරයයි.
අපි y=C(x)e^(-x^2) ආකාරයෙන් සමජාතීය සමීකරණයට සාමාන්ය විසඳුමක් සොයමු, එහිදී C(x) යනු x හි නොදන්නා ශ්‍රිතයකි. ආදේශ කිරීමෙන්, අපට ලැබෙන්නේ C"(x)=2x, කොහෙන්ද C(x)=x^2+C. එබැවින්, අසමජාතීය සමීකරණයේ සාමාන්ය විසඳුම වනු ඇත. y=(x^2+C)e^(-x^2), C යනු ඒකාබද්ධයේ නියතය වේ.
අදහස් දක්වන්න. y හි ශ්රිතයක් ලෙස අවකල සමීකරණය x හි රේඛීය බව පෙනී යා හැක. එවැනි සමීකරණයක සාමාන්ය ස්වරූපය වේ
\frac(dx)(dy)+r(y)x=\varphi(y).
උදාහරණය 2.සමීකරණය විසඳන්න \frac(dy)(dx)=\frac(1)(x\cos(y)+\sin2y).
විසඳුමක්.අපි y හි ශ්රිතයක් ලෙස x සලකන්නේ නම් මෙම සමීකරණය රේඛීය වේ:
\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=\sin(2y).
අපි අත්තනෝමතික නියතයක විචලනය කිරීමේ ක්රමය භාවිතා කරමු. පළමුව අපි අනුරූප සමජාතීය සමීකරණය විසඳන්නෙමු
\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=0,
වෙන් කළ හැකි විචල්යයන් සහිත සමීකරණයකි. එහි පොදු විසඳුම ආකෘතිය ඇත x=Ce^(\sin(y)),~C=\text(const).
C(y) යනු y හි නොදන්නා ශ්රිතයක් වන පෝරමයේ සමීකරණයට සාමාන්ය විසඳුමක් සොයන්නෙමු. ආදේශ කිරීම, අපි ලබා ගනිමු
C"(y)e^(\sin(y))=\sin2yහෝ C"(y)=e^(-\sin(y))\sin2y.
මෙතැන් සිට, කොටස් අනුව ඒකාබද්ධ කිරීම, අපට තිබේ
\begin(aligned)C(y)&=\int(e^(-\sin(y))\sin2y)\,dy=2\int(e^(-\sin(y))\cos(y) \sin(y))\,dy=2\int\sin(y)\,d(-e^(-\sin(y)))=\\ &=-2\sin(y)\,e^ (-\sin(y))+2\int(e^(-\sin(y))\cos(y)\,dy=C-2(\sin(y)+1)e^(-\ sin(y)),\අවසන් (පෙළගැසී)
C(y)=-2e^(-\sin(y))(1+\sin(y))+C.
මෙම සමීකරණය ආදේශ කිරීම x=C(y)e^(\sin(y)), අපි මුල් සමීකරණයට පොදු විසඳුමක් ලබා ගනිමු, එබැවින් මෙම සමීකරණයට:
x=Ce^(\sin(y))-2(1+\sin(y))
මුල් සමීකරණය පහත පරිදි අනුකලනය කළ හැක. අපි විශ්වාස කරනවා
y=u(x)v(x),
u(x) සහ v(x) යනු x හි නොදන්නා ශ්‍රිත වන අතර, ඉන් එකක්, උදාහරණයක් ලෙස v(x) අත්තනෝමතික ලෙස තෝරා ගත හැක.
y=u(x)v(x) ට ආදේශ කිරීම, පරිවර්තනයෙන් පසු අපට ලැබේ
vu"+(pv+v")u=q(x).
v"+pv=0 කොන්දේසියෙන් v(x) නිර්ණය කිරීම, අපි පසුව සොයා ගනිමු vu"+(pv+v")u=q(x)ශ්රිතය u(x) සහ, ඒ අනුව, සමීකරණයට විසඳුම y=uv \frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x). v(x) ලෙස අපට සමීකරණයේ ඕනෑම නිරන්තර විසඳුමක් ගත හැක v"+pv=0,~v\not\equiv0.
උදාහරණය 3. Cauchy ගැටලුව විසඳන්න: x(x-1)y"+y=x^2(2x-1),~y|_(x=2)=4.
විසඳුමක්.අපි y=u(x)v(x) ආකාරයෙන් සමීකරණයට පොදු විසඳුමක් සොයමින් සිටිමු; අපට y"=u"v+uv" ඇත. මුල් සමීකරණයට y සහ y සඳහා ප්රකාශනය ආදේශ කිරීම, අපට ලැබේ
x(x-1)(u"v+uv")+uv=x^2(2x-1)හෝ x(x-1)vu"+u=x^2(2x-1)
අපි x(x-1)v"+v=0 කොන්දේසියෙන් v=v(x) ශ්රිතය සොයා ගනිමු. අවසාන සමීකරණයේ ඕනෑම විශේෂිත විසඳුමක් ලබා ගැනීම, උදාහරණයක් ලෙස v=\frac(x)(x-1) සහ එය ආදේශ කිරීමෙන්, අපට u"=2x-1 සමීකරණය ලැබේ, එයින් අපට u(x)=x^2-x+C ශ්රිතය ලැබේ. එබැවින්, සමීකරණයට පොදු විසඳුම x(x-1)y"+y=x^2(2x-1)කැමැත්ත
y=uv=(x^2-x+C)\frac(x)(x-1),හෝ y=\frac(Cx)(x-1)+x^2.
ආරම්භක කොන්දේසිය y|_(x=2)=4 භාවිතා කරමින්, අපි C සොයා ගැනීම සඳහා සමීකරණය ලබා ගනිමු. 4=\frac(2C)(2-1)+2^2, C=0 ; එබැවින් ප්රකාශිත Cauchy ගැටලුවට විසඳුම y=x^2 ශ්රිතය වනු ඇත.
උදාහරණය 4.ප්‍රතිරෝධය R සහ ස්වයං ප්‍රේරණය L සහිත පරිපථයක වත්මන් i සහ විද්‍යුත් චලන බලය E අතර සම්බන්ධයක් පවතින බව දන්නා කරුණකි. E=Ri+L\frac(di)(dt), මෙහි R සහ L නියතයන් වේ. අපි E යනු t කාලයෙහි ශ්රිතයක් ලෙස සලකන්නේ නම්, වත්මන් ශක්තිය සඳහා අපි රේඛීය අසමජාතී සමීකරණයක් ලබා ගනිමු i:
\frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E(t))(L).
අවස්ථාව සඳහා වත්මන් ශක්තිය i(t) සොයන්න E=E_0=\text(const)සහ i(0)=I_0 .
විසඳුමක්.අපිට තියෙනවා \frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E_0)(L),~i(0)=I_0. මෙම සමීකරණයේ පොදු විසඳුමේ ස්වරූපය ඇත i(t)=\frac(E_0)(R)+Ce^(-(R/L)t). ආරම්භක කොන්දේසිය (13) භාවිතා කරමින්, අපි ලබා ගනිමු C=I_0-\frac(E_0)(R), එබැවින් අපේක්ෂිත විසඳුම වනු ඇත
i(t)=\frac(E_0)(R)+\left(I_0-\frac(E_0)(R)\right)\!e^(-(R/L)t).
මෙයින් පෙන්නුම් කරන්නේ t\to+\infty හි වත්මන් ශක්තිය i(t) නියත අගය \frac(E_0)(R) වෙත නැඹුරු වන බවයි.
උදාහරණ 5. y"+p(x)y=q(x) රේඛීය සමජාතීය සමීකරණයේ අනුකලිත වක්‍රවල C_\ඇල්ෆා පවුලක් ලබා දී ඇත.
රේඛීය සමීකරණය මගින් නිර්වචනය කරන ලද C_\ alpha වක්‍රවලට අනුරූප ලක්ෂ්‍යවල ස්පර්ශක එක් ලක්ෂ්‍යයකින් ඡේදනය වන බව පෙන්වන්න (රූපය 13).
විසඳුමක්. M(x,y) ලක්ෂ්යයේ ඇති ඕනෑම වක්‍රයකට C_\alpha වෙත ස්පර්ශකය සලකා බලන්න
\eta-q(x)(\xi-x)=y, මෙහි \xi,\eta යනු ස්පර්ශක ලක්ෂ්යයේ වත්මන් ඛණ්ඩාංක වේ.
අර්ථ දැක්වීම අනුව, අනුරූප ලක්ෂ්යවලදී x නියත වන අතර y විචල්ය වේ. අනුරූප ලක්ෂ්‍යවල C_\alpha රේඛා වෙත ඕනෑම ස්පර්ශක දෙකක් ගෙන, ඒවායේ ඡේදනය වන S ලක්ෂ්යයේ ඛණ්ඩාංක සඳහා, අපි ලබා ගනිමු
\xi=x+\frac(1)(p(x)), \quad \eta=x+\frac(q(x))(p(x)).
මින් පෙන්නුම් කරන්නේ අදාල ලක්ෂ්‍යවල (x ස්ථාවරයි) C_\ alpha වක්‍ර වෙත ඇති සියලුම ස්පර්ශක එකම ලක්ෂ්යයේ දී ඡේදනය වන බවයි.
S\!\වම(x+\frac(1)(p(x));\,x+\frac(q(x))(p(x))\දකුණ).
පද්ධතියේ x තර්කය ඉවත් කිරීම, අපි ලක්ෂ්යයේ පිහිටීමෙහි සමීකරණය ලබා ගනිමු S\colon f(\xi,\eta)=0.
උදාහරණ 6.සමීකරණයට විසඳුම සොයන්න y"-y=\cos(x)-\sin(x), කොන්දේසිය තෘප්තිමත් කිරීම: y y\to+\infty ට සීමා වේ.
විසඳුමක්.මෙම සමීකරණයට පොදු විසඳුම y=Ce^x+\sin(x) වේ. x\to+\infty සඳහා \sin(x) ශ්රිතය සීමා වන අතර e^x\to+\infty වන බැවින් C\ne0 සඳහා සාමාන්ය විසඳුමෙන් ලබා ගන්නා සමීකරණයට ඕනෑම විසඳුමක් අසීමිත වේ. මෙම සමීකරණයට C=0 හි සාමාන්ය ද්‍රාවණයෙන් ලැබෙන x\to+\infty ට සීමා වූ y=\sin(x) අද්විතීය විසඳුමක් ඇති බව පහත දැක්වේ.
බර්නූලිගේ සමීකරණය
බර්නූලි අවකල සමීකරණයවගේ පේනවා
\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x)y^n, n\ne0;1 (n=0 සහ n=1 සඳහා මෙම සමීකරණය රේඛීය වේ).
විචල්ය ප්රතිස්ථාපනය භාවිතා කිරීම z=\frac(1)(y^(n-1))බර්නූලිගේ සමීකරණය රේඛීය සමීකරණයකට අඩු කර රේඛීය එකක් ලෙස ඒකාබද්ධ වේ.
උදාහරණ 7.බර්නූලිගේ සමීකරණය y"-xy=-xy^3 විසඳන්න.
විසඳුමක්.සමීකරණයේ දෙපැත්තම y^3 න් බෙදන්න:
\frac(y")(y^3)-\frac(x)(y^2)=-x
විචල්ය වෙනසක් සිදු කිරීම \frac(1)(y^2)=z\Rightarrow-\frac(2y")(y^3)=z", කොහෙද \frac(y")(y^3)=-\frac(z")(2). ආදේශ කිරීමෙන් පසු, අවසාන සමීකරණය රේඛීය සමීකරණයක් බවට පත්වේ
-\frac(z")(2)-xz=-xහෝ z"+2xz=2x, සාමාන්ය විසඳුම z=1+Ce^(-x^2) වේ.
මෙතැන් සිට අපි මෙම සමීකරණයේ පොදු අනුකලනය ලබා ගනිමු
\frac(1)(y^2)=1+Ce^(-x^2)හෝ y^2(1+Ce^(-x^2))=1.
අදහස් දක්වන්න.බර්නූලිගේ සමීකරණය රේඛීය සමීකරණයක් වැනි නියතයක විචලනය කිරීමේ ක්රමය මගින් සහ y(x)=u(x)v(x) ආදේශනය භාවිතයෙන් ද අනුකලනය කළ හැක.
උදාහරණ 8.බර්නූලිගේ සමීකරණය xy"+y=y^2\ln(x) විසඳන්න.
විසඳුමක්.අපි අත්තනෝමතික නියතයක විචලනය කිරීමේ ක්රමය යොදමු. අනුරූප සමජාතීය සමීකරණයේ xy"+y=0 හි සාමාන්ය විසඳුම y=\frac(C)(x) ආකෘතිය ඇත. අපි සමීකරණයේ සාමාන්ය විසඳුම y=\frac(C(x)) ආකාරයෙන් සොයමු. (x) , C(x) - නව නොදන්නා ශ්රිතය මුල් සමීකරණයට ආදේශ කිරීම
C"(x)=C^2(x)\frac(\ln(x))(x^2).
C(x) ශ්රිතය සොයා ගැනීම සඳහා, අපි වෙන් කළ හැකි විචල්යයන් සමඟ සමීකරණයක් ලබා ගනිමු, එයින් විචල්යයන් වෙන් කර අනුකලනය කිරීමෙන් අපි සොයා ගනිමු.
\frac(1)(C(x))=\frac(\ln(x))(x)+\frac(1)(x)+C~\Rightarrow~C(x)=\frac(x)( 1+Cx+\ln(x)).
ඉතින්, මුල් සමීකරණයට පොදු විසඳුම y=\frac(1)(1+Cx+\ln(x)).
සමහර රේඛීය නොවන පළමු අනුපිළිවෙල සමීකරණ රේඛීය සමීකරණ හෝ Bernoulli සමීකරණ වලට සාර්ථකව සොයාගත් විචල්ය වෙනසක් භාවිතයෙන් අඩු කළ හැක.
උදාහරණ 9.සමීකරණය විසඳන්න y"+\sin(y)+x\cos(y)+x=0.
විසඳුමක්.අපි මෙම සමීකරණය ආකෘතියෙන් ලියමු y"+2\sin\frac(y)(2)\cos\frac(y)(2)+2x\cos^2\frac(y)(2)=0..
සමීකරණයේ දෙපැත්තම බෙදීම 2\cos^2\frac(y)(2), අපිට ලැබෙනවා \frac(y")(2\cos^2\dfrac(y)(2))+\operatorname(tg)\frac(y)(2)+x=0.
ආදේශ කිරීම \operatorname(tg)\frac(y)(2)=z\Rightarrow\frac(dz)(dx)=\frac(y")(\cos^2\dfrac(y)(2))මෙම සමීකරණය රේඛීය ලෙස අඩු කරයි \frac(dz)(dx)+z=-x, එහි සාමාන්ය විසඳුම z=1-x+Ce^(-x) වේ.
y අනුව එහි ප්රකාශනය මගින් z ප්රතිස්ථාපනය කිරීමෙන්, අපි මෙම සමීකරණයේ සාමාන්ය අනුකලනය ලබා ගනිමු. \operatorname(tg)\frac(y)(2)=1-x+Ce^(-x).
සමහර සමීකරණවලදී, අපේක්ෂිත ශ්රිතය y(x) අනුකලිත ලකුණ යටතේ විය හැක. මෙම අවස්ථා වලදී, සමහර විට මෙම සමීකරණය අවකලනය මගින් අවකල සමීකරණයකට අඩු කළ හැකිය.
උදාහරණ 10.සමීකරණය විසඳන්න x\int\limits_(x)^(0)y(t)\,dt=(x+1)\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt,~x>0.
විසඳුමක්. x ට සාපේක්ෂව මෙම සමීකරණයේ දෙපැත්තම වෙනස් කිරීම, අපට ලැබේ
\int\limits_(0)^(x)y(t)\,dt+xy(x)=\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt+x(x+1)y (x)හෝ \int\limits_(0)^(x)y(t)\,dx=\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt+x^2y(x).
x සම්බන්ධයෙන් නැවතත් අවකලනය කිරීම, අපට y(x)\colon සම්බන්ධයෙන් රේඛීය සමජාතීය සමීකරණයක් ඇත.
y(x)=xy(x)+x^2y"(x)+2xy(x)හෝ x^2y"(x)+(3x-1)y(x)=0.
විචල්යයන් වෙන් කිරීම සහ ඒකාබද්ධ කිරීම, අපි සොයා ගනිමු y=\frac(C)(x^3)e^(-1/x). මෙම විසඳුම, පහසුවෙන් තහවුරු කළ හැකි පරිදි, මුල් සමීකරණය තෘප්තිමත් කරයි.
y' + P(x)y = Q(x) ආකාරයේ සමීකරණයක්, මෙහි P(x) සහ Q(x) x හි දන්නා ශ්‍රිත වන අතර, y ශ්‍රිතයට සහ එහි ව්‍යුත්පන්න y'ට සාපේක්ෂව රේඛීය ලෙස හැඳින්වේ. පළමු පෙළ රේඛීය අවකල සමීකරණය.
q(x)=0 නම්, සමීකරණය රේඛීය සමජාතීය සමීකරණයක් ලෙස හැඳින්වේ. q(x)=0 – රේඛීය සමජාතීය සමීකරණය.
රේඛීය සමීකරණයක් y = u*v ආදේශනය භාවිතා කරමින් වෙන් කළ හැකි විචල්යයන් සහිත සමීකරණ දෙකකට අඩු කරනු ලැබේ, එහිදී u = u(x) සහ v = v(x) සමහර සහායක අඛණ්ඩ ශ්‍රිත වේ.
ඉතින්, y = u*v, y' = u'*v + u * v' (1),
ඉන්පසුව අපි මුල් සමීකරණය නැවත ලියන්නෙමු: u’*v + u * v’ + P(x)*v = Q(x) (2).
නොදන්නා ශ්රිතය y ශ්‍රිත දෙකක ප්‍රතිඵලයක් ලෙස සොයන බැවින්, ඉන් එකක් අත්තනෝමතික ලෙස තෝරා ගත හැකි අතර, අනෙක සමීකරණය (2) මගින් තීරණය කළ හැක.
අපි v’ + P(x)*v = 0 (3) ලෙස තෝරා ගනිමු. මේ සඳහා, v(x) සමීකරණයේ (3) (C = 0 හි) අර්ධ විසඳුමක් වීම ප්‍රමාණවත් වේ. අපි මෙම විසඳුම සොයා ගනිමු:
V*P(x) ; = -;ln |v| = -;v = (4)
ශ්රිතය (4) (4) සමීකරණය (2) වෙත ආදේශ කිරීමෙන්, අපි වෙන් කළ හැකි විචල්යයන් සහිත දෙවන සමීකරණයක් ලබා ගනිමු, එයින් අපට u (x) ශ්රිතය සොයාගත හැකිය:
u' * = Q(x) ; du = Q(x) *; u = 
+C (5)
අවසානයේ අපට ලැබෙන්නේ:
y(x) = u(x)*v(x) = *( 
+C)
බර්නූලිගේ සමීකරණය:වයි’ + වයි = x* වයි 3
මෙම සමීකරණයට පෝරමය ඇත: y’ + P(x)*y = y’’ * Q(x), මෙහි P(x) සහ Q(x) අඛණ්ඩ ශ්‍රිත වේ.
n = 0 නම්, බර්නූලිගේ සමීකරණය රේඛීය අවකල සමීකරණයක් බවට පත්වේ. n = 1 නම්, සමීකරණය වෙන් කළ හැකි සමීකරණයක් බවට පත්වේ.
සාමාන්යයෙන්, n ≠ 0, 1, eq විට. බර්නූලි ආදේශනය භාවිතයෙන් රේඛීය අවකල සමීකරණයකට අඩු කරනු ලැබේ: z = y 1- n
z(x) ශ්රිතය සඳහා වන නව අවකල සමීකරණයට පෝරමය ඇත: z" + (1-n)P(x)z = (1-n)Q(x) සහ රේඛීය අවකලනය ලෙසම විසඳිය හැක. 1 වන අනුපිළිවෙල සමීකරණ.
20. ඉහළ ඇණවුම්වල අවකල සමීකරණ.
ශ්රිතය පැහැදිලිව අඩංගු නොවන සමීකරණය සලකා බලමු:
|
|
මෙම සමීකරණයේ අනුපිළිවෙල ආදේශනය භාවිතයෙන් එකකින් අඩු කරනු ලැබේ:
ඇත්ත වශයෙන්ම, එසේ නම්:
අනුපිළිවෙල එකකින් අඩු කරන සමීකරණයක් අපට ලැබේ:
වෙනස. දෙවැන්නට වඩා ඉහළ අනුපිළිවෙලෙහි සමීකරණවල ස්වරූපය සහ තාත්වික සංඛ්‍යා ඇති තැන සහ ශ්රිතය ඇත f(x)ඒකාබද්ධ විරාමය මත අඛණ්ඩව x.
එවැනි සමීකරණ විශ්ලේෂණාත්මකව විසඳීම සැමවිටම කළ නොහැකි අතර ආසන්න ක්රම සාමාන්යයෙන් භාවිතා වේ. කෙසේ වෙතත්, සමහර අවස්ථාවලදී සාමාන්ය විසඳුමක් සොයා ගැනීමට හැකි වේ.
ප්රමේයය.
පොදු විසඳුම වයි 0
පරතරය මත රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණය xඅඛණ්ඩ සංගුණක සමඟ xරේඛීය සංයෝජනයකි n LODE හි රේඛීය ස්වාධීන අර්ධ විසඳුම් 
අත්තනෝමතික සමග නියත සංගුණක 
, එනම් 
.
ප්රමේයය.
පොදු තීරණය වයිරේඛීය සමජාතීය අවකලනය
පරතරය මත සමීකරණ xඑකම මත අඛණ්ඩ ඒවා සමඟ
මැද xසංගුණක සහ කාර්යය f(x)ප්රමාණය නියෝජනය කරයි
කොහෙද වයි 0 අනුරූප LODE හි සාමාන්ය විසඳුම වන අතර එය මුල් LODE හි යම් විශේෂිත විසඳුමකි.
මේ අනුව, නියතයන් සමඟ රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණයක පොදු විසඳුම
ස්වරූපයෙන් සංගුණක සොයමින් , කොහෙද - සමහර
ඔහුගේ පෞද්ගලික විසඳුම, සහ 
- අනුරූප සමජාතීය අවකලනයේ පොදු විසඳුම
සමීකරණ
21. පරීක්ෂණ සහ සිදුවීම්. සිදුවීම් වර්ග. උදාහරණ.
පරීක්ෂණ යනු සිදුවීම් සිදුවීම සඳහා යම් කොන්දේසි මාලාවක් නිර්මාණය කිරීමයි. උදාහරණය: කැටයක් විසි කිරීම
සිදුවීම - එක් හෝ තවත් පරීක්ෂණ ප්‍රතිඵලයක් සිදුවීම/නොසිදුවීම; පරීක්ෂණ ප්රතිඵලය. උදාහරණය: අංක 2 පෙරළීම
අහඹු සිදුවීමක් යනු දී ඇති පරීක්ෂණයකදී සිදු විය හැකි හෝ සිදු නොවන සිදුවීමකි. උදාහරණය: 5ට වඩා වැඩි සංඛ්‍යාවක් පෙරළීම
විශ්වසනීය - දී ඇති පරීක්ෂණයකදී අනිවාර්යයෙන්ම සිදුවන සිදුවීමකි. උදාහරණය: 1 ට වඩා වැඩි හෝ සමාන අංකයක් පෙරළීම
හැකි - දී ඇති පරීක්ෂණයකදී සිදුවිය හැකි සිදුවීමක්. උදාහරණය: අංක 6 පෙරළීම
කළ නොහැකි - දී ඇති පරීක්ෂණයකදී සිදු විය නොහැකි සිදුවීමක්. උදාහරණය: අංක 7 පෙරළීම
A යම් සිදුවීමක් වේවා. එයට ප්‍රතිවිරුද්ධ සිදුවීමකින්, A සිදුවීම සිදුනොවීමෙන් සමන්විත සිදුවීමක් අපි තේරුම් ගනිමු. තනතුර: Ᾱ. උදාහරණය: A - අංක 2 රෝල් කර ඇත, Ᾱ - වෙනත් ඕනෑම අංකයක් රෝල් කර ඇත
සිදුවීම් A සහ B ඒවායින් එකක සිදුවීම එකම අත්හදා බැලීමේ දී අනෙකාගේ සිදුවීම බැහැර කරන්නේ නම් නොගැලපේ. උදාහරණය: එක් රෝලයක් තුළ අංක 1 සහ 3 ලබා ගැනීම.
A සහ B සිදුවීම් එක් අත්හදා බැලීමකදී සිදුවිය හැකි නම් ඒකාබද්ධ ලෙස හැඳින්වේ. උදාහරණය: 2ට වඩා වැඩි සංඛ්‍යාවක් සහ එකම රෝලයේ අංක 4 ලබා ගැනීම.
22. සම්පූර්ණ සිදුවීම් සමූහය. උදාහරණ.
සම්පූර්ණ සිදුවීම් සමූහයක් - සිදුවීම් A, B, C, D, ..., L, එක් එක් පරීක්ෂණයේ ප්‍රතිඵලයක් ලෙස, අවම වශයෙන් ඒවායින් එකක් අනිවාර්යයෙන්ම සිදු වුවහොත් හැකි එකම ඒවා ලෙස සැලකේ. උදාහරණය: අංක 1, අංක 2, 3, 4, 5, 6 දාදු කැට මත දිස් වේ.
23. සිදුවීම් සංඛ්යාතය. සම්භාවිතාව පිළිබඳ සංඛ්යානමය අර්ථ දැක්වීම.
n පරීක්ෂණ සිදු කිරීමට ඉඩ දෙන්න, සහ A සිදුවීම m වාරයක් සිදු වේ. මෙම m:n අනුපාතය A සිදුවීමේ වාර ගණන වේ.
ඩෙෆ්. අහඹු සිදුවීමක සම්භාවිතාව යනු දීර්ඝ පරීක්ෂණ මාලාවක දී මෙම සිදුවීම සිදුවීමේ වාර ගණන උච්චාවචනය වන දී ඇති සිදුවීමක් හා සම්බන්ධ නියත සංඛ්‍යාවකි.
අත්හදා බැලීමට පෙර සම්භාවිතාව ගණනය කරනු ලබන අතර, ඉන් පසුව සංඛ්යාතය ගණනය කෙරේ.
24. සම්භාවිතාව පිළිබඳ සම්භාව්ය අර්ථ දැක්වීම. සිදුවීම් සම්භාවිතාව පිළිබඳ ගුණාංග.
x සිදුවීමක සම්භාවිතාව යනු A සිදුවීමට හිතකර ප්රතිඵල සංඛ්‍යාවේ අනුපාතයයි මුළු සංඛ්යාවඅත්හදා බැලීමේ සියලු සමාන විය හැකි යුගල වශයෙන් නොගැලපෙන සහ අද්විතීය විය හැකි ප්රතිඵල. P(A) =
සිදුවීම් සම්භාවිතා ගුණාංග:
ඕනෑම සිදුවීමක් සඳහා A 0<=m<=n
සෑම පදයක්ම n වලින් බෙදීම, අපි ඕනෑම සිදුවීමක සම්භාවිතාව A: 0 ලබා ගනිමු<=Р(А) <=1
m=0 නම්, සිදුවීම කළ නොහැක: P(A)=0
m=n නම්, සිද්ධිය විශ්වාසදායකය: P(A)=1
එම් 25. සම්භාවිතාව පිළිබඳ ජ්යාමිතික අර්ථ දැක්වීම. උදාහරණ. සම්භාවිතාව පිළිබඳ සම්භාව්ය නිර්වචනය සඳහා සීමිත මූලික ප්රතිඵල සංඛ්‍යාවක් සහ ඒ හා සමානව හැකි ඒවා සලකා බැලීම අවශ්‍ය වේ. නමුත් ප්රායෝගිකව බොහෝ විට හැකි ප්රතිඵල සංඛ්යාව අසීමිත වන පරීක්ෂණ තිබේ. ODA. S (මිනුමක් යනු එහි දිග, ප්‍රදේශය හෝ පරිමාව) ඒකමාන, ද්විමාන හෝ ත්‍රිමාණ කලාපයක අහඹු ලෙස ලක්ෂ්‍යයක් දිස්වන්නේ නම්, S මිනුම් කලාපයේ කොටසක එහි පෙනුමේ සම්භාවිතාව සමාන වේ. දක්වා මෙහි S යනු මුළු සංඛ්යාව ප්‍රකාශ කරන ජ්යාමිතික මිනුමක් වේ හැකි සහ සමානව හැකි සියල්ලමෙම නඩු විභාගයේ ප්රතිඵල සහ එස් මම- A සිදුවීමට හිතකර ප්රතිඵල සංඛ්යාව ප්‍රකාශ කරන මිනුමක්. උදාහරණ 1. R අරය කවයක් කුඩා කවයක් තුළ තබා ඇත විශාල කවයට අහඹු ලෙස විසි කරන ලක්ෂ්‍යයක් ද කුඩා කවයට වැටෙනු ඇත. උදාහරණය 2. L දිග කොටසකට L දිග කොටස ඇතුළත් කරමු. A සිදුවීමේ සම්භාවිතාව සොයන්න "අහඹු ලෙස විසි කරන ලද ලක්ෂ්‍යයක් දිග l කොටසකට වැටේ." උදාහරණය 3. රවුමේ අහඹු ලෙස ලක්ෂ්‍යයක් තෝරා ඇත. රවුමේ මැදට එහි දුර අඩකට වඩා වැඩි වීමේ සම්භාවිතාව කුමක්ද? උදාහරණය 4.පස්වරු දෙකත් තුනත් අතර යම් ස්ථානයකදී හමුවීමට දෙදෙනා එකඟ වූහ. මුලින්ම එන කෙනා අනිත් කෙනා එනකන් විනාඩි 10ක් බලාගෙන ඉඳලා යනවා. අනෙක් අය නොසලකා නියමිත පැය තුළ ඕනෑම වේලාවක පැමිණිය හැකි නම්, මෙම පුද්ගලයින් හමුවීමේ සම්භාවිතාව කුමක්ද? 26. සංයෝජන මූලද්රව්ය: ස්ථානගත කිරීම, ප්‍රතිවර්තනය, සංයෝජන. 1) විපර්යාසයසීමිත කට්ටලයක් තුළ ස්ථාපිත අනුපිළිවෙල ලෙස හැඳින්වේ. සියලුම විවිධ ප්‍රතිවර්තන ගණන සූත්‍රය මගින් ගණනය කෙරේ 2) ස්ථානගත කිරීමසිට nවිසින් මූලද්රව්ය එම්ඕනෑම දෙයක් කැඳවා පිළිවෙළකට
m මූලද්රව්ය අඩංගු ප්‍රධාන කට්ටලයේ උප කුලකයක්. 3) සංයෝජනයසිට nවිසින් මූලද්රව්ය එම්ඕනෑම දෙයක් කැඳවා අක්රමිකතා
මූලද්රව්ය අඩංගු ප්‍රධාන කට්ටලයේ උප කුලකයක්. බර්නූලි අවකල සමීකරණය
පෝරමයේ සමීකරණයකි: බර්නූලි අවකල සමීකරණය සලකා බලන්න: අදාළ සමීකරණය (1)
බර්නූලිගේ ක්රමය මගින්ද විසඳිය හැක. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි ශ්‍රිත දෙකක නිෂ්පාදනයක් ආකාරයෙන් මුල් සමීකරණයට විසඳුමක් සොයමු: බැලූ බැල්මට මෙම අවකල සමීකරණය බර්නූලිගේ සමීකරණයට සමාන නොවන බව පෙනේ. අපි x ස්වාධීන විචල්‍යය ලෙසත්, y රඳා පවතින විචල්‍යය ලෙසත් සලකන්නේ නම් (එනම්, y යනු x හි ශ්රිතයක් නම්), මෙය සත්‍ය වේ. නමුත් අපි y ස්වාධීන විචල්‍යය සහ x පරායත්ත විචල්‍යය ලෙස සලකන්නේ නම්, මෙය බර්නූලිගේ සමීකරණය බව දැකීම පහසුය. එබැවින්, x යනු y හි ශ්රිතයක් යැයි අපි උපකල්පනය කරමු. අපි ආදේශ කර ගුණ කරමු: අවකල සමීකරණය y" +a 0 (x)y=b(x)y n ලෙස හැඳින්වේ බර්නූලිගේ සමීකරණය.
සේවාවේ අරමුණ. විසඳුම පරීක්ෂා කිරීම සඳහා මාර්ගගත කැල්ක්යුලේටරය භාවිතා කළ හැකිය බර්නූලි අවකල සමීකරණ. උදාහරණ 1. y" + 2xy = 2xy 3 සමීකරණයට පොදු විසඳුම සොයන්න. මෙය n=3 සඳහා වන බර්නූලිගේ සමීකරණයයි. සමීකරණයේ දෙපැත්තම y 3 න් බෙදීම අපට ලැබේ. වෙනසක් කරන්න. එවිට සමීකරණය -z ලෙස නැවත ලියනු ලැබේ. " + 4xz = 4x. අත්තනෝමතික නියතයක විචලනය කිරීමේ ක්රමය මගින් මෙම සමීකරණය විසඳීම, අපි ලබා ගනිමු උදාහරණය 2. y"+y+y 2 =0 y 2 න් බෙදන්න අපි ආදේශකයක් කරන්නෙමු: අපට ලැබෙන්නේ: -z" + z = -1 හෝ z" - z = 1 උදාහරණය 3. xy'+2y+x 5 y 3 e x =0 
, කොහෙද n ≠ 0
, n ≠ 1
, p සහ q යනු x හි ශ්‍රිත වේ.රේඛීය සමීකරණයකට අඩු කිරීමෙන් බර්නූලිගේ අවකල සමීකරණය විසඳීම
(1)
,
එහිදී n ≠ 0
, n ≠ 1
, p සහ q යනු x හි ශ්‍රිත වේ.
අපි එය y n වලින් බෙදමු. y ≠ විට 0
හෝ එන්< 0
අපිට තියෙනවා:
(2)
.
මෙම සමීකරණය විචල්‍යයේ වෙනසක් භාවිතයෙන් රේඛීය සමීකරණයකට අඩු කළ හැක:
.
අපි එය පෙන්වමු. සංකීර්ණ ශ්‍රිතයක අවකලනය කිරීමේ රීතියට අනුව:
;
.
අපි ආදේශ කරමු (2)
සහ පරිවර්තනය:
;
.
මෙය z ට සාපේක්ෂව රේඛීය, අවකල සමීකරණයකි. එය විසඳීමෙන් පසු, n > සඳහා 0
, අපි y = නඩුව සලකා බැලිය යුතුය 0
. විට n > 0
, y = 0
සමීකරණයට විසඳුමක් ද වේ (1)
සහ පිළිතුරෙහි ඇතුළත් කළ යුතුය.බර්නූලි ක්රමය මගින් විසඳුම
y = u·v,
මෙහි u සහ v x හි ශ්‍රිත වේ. x සම්බන්ධයෙන් වෙනස් කරන්න:
y′ = u′ v + u v′ .
මුල් සමීකරණයට ආදේශ කරන්න (1)
:
;
(3)
.
v ලෙස අපි සමීකරණයේ ශුන්‍ය නොවන ඕනෑම විසඳුමක් ගනිමු:
(4)
.
සමීකරණය (4)
යනු වෙන් කළ හැකි විචල්යයන් සහිත සමීකරණයකි. අපි එය විසඳා v = v විශේෂිත විසඳුමක් සොයා ගනිමු (x). අපි විශේෂිත විසඳුමක් ආදේශ කරමු (3)
. එය සමීකරණය තෘප්තිමත් වන බැවිනි (4)
, එවිට වරහන් තුළ ප්රකාශනය ශුන්‍ය වේ. අපට ලැබෙන්නේ:
;
.
මෙහි v යනු x හි දැනටමත් දන්නා ශ්‍රිතයකි. මෙය වෙන් කළ හැකි විචල්යයන් සහිත සමීකරණයකි. අපි එහි සාමාන්ය විසඳුම සොයා ගන්නා අතර, ඒ සමඟම y = uv මුල් සමීකරණයට විසඳුම.බර්නූලි අවකල සමීකරණය විසඳීමේ උදාහරණයක්
සමීකරණය විසඳන්න
විසඳුමක්
;
;
(P.1) .
n = සමඟ බර්නූලිගේ සමීකරණය මෙයයි 2
. එය ඉහත සාකච්ඡා කළ සමීකරණයෙන් වෙනස් වේ (1)
, විචල්යයන් (y වෙනුවට x) සටහන් කිරීමෙන් පමණි. අපි බර්නූලිගේ ක්රමය මගින් විසඳන්නෙමු. අපි ආදේශකයක් කරමු:
x = u v,
එහිදී u සහ v යනු y හි ශ්‍රිත වේ. y සම්බන්ධයෙන් වෙනස් කරන්න:
.
අපි ආදේශ කරමු (P.1):
;
(P.2) .
අපි ඕනෑම ශුන්‍ය නොවන ශ්රිතයක් සොයන්නෙමු (y), සමීකරණය තෘප්තිමත් කිරීම:
(P.3) .
අපි විචල්යයන් වෙන් කරමු:
;
;
.
C = ඉඩ දෙන්න 0
, අපට සමීකරණයට කිසියම් විසඳුමක් අවශ්‍ය බැවින් (P.3).
;
.
අපි ආදේශ කරමු (P.2)වරහන් තුළ ඇති ප්රකාශනය ශුන්‍යයට සමාන වේ (නිසා (P.3)):
;
;
.
අපි විචල්යයන් වෙන් කරමු. ඔබ ≠ විට 0
අපිට තියෙනවා:
;
(P.4) ;
.
දෙවන අනුකලනය තුළ අපි ආදේශනය කරන්නෙමු:
;
.
n=0 සමඟ රේඛීය සමීකරණයක් ලැබෙන අතර, n=1 - වෙන් කළ හැකි විචල්යයන් සමඟින්, අපි උපකල්පනය කරන්නේ n ≠ 0 සහ n ≠ 1. (1) දෙපස y n න් බෙදන්න. එවිට, තැබීම, අපට තිබේ. මෙම ප්රකාශනය ආදේශ කිරීම, අපි ලබා ගනිමු 
, හෝ, එකම දෙය, z" + (1-n)a 0 (x)z = (1-n)b(x) මෙය අප විසඳන ආකාරය දන්නා රේඛීය සමීකරණයකි.
කොහෙද 
හෝ, එකම දේ, 
.
y"+y = -y 2
y"/y 2 + 1/y = -1
z=1/y n-1 , i.e. z = 1/y 2-1 = 1/y
z = 1/y
z"= -y"/y 2
විසඳුමක්.
a) Bernoulli සමීකරණය හරහා විසඳුම.
අපි එය ආකෘතියෙන් ඉදිරිපත් කරමු: xy’+2y=-x 5 y 3 e x . මෙය n=3 සඳහා බර්නූලිගේ සමීකරණයයි. සමීකරණයේ දෙපැත්තම y 3 න් බෙදීමෙන් අපට ලැබේ: xy"/y 3 +2/y 2 =-x 5 e x. අපි ප්රතිස්ථාපනය කරන්නෙමු: z=1/y 2. ඉන්පසු z"=-2/y 3 එබැවින් සමීකරණය නැවත ලියනු ලැබේ : -xz"/2+2z=-x 5 e x. මෙය සමජාතීය නොවන සමීකරණයකි. අනුරූප සමජාතීය සමීකරණය සලකා බලන්න: -xz"/2+2z=0
1. එය විසඳීම, අපට ලැබෙන්නේ: z"=4z/x
ඒකාබද්ධ කිරීම, අපට ලැබෙන්නේ:
ln(z) = 4ln(z)
z=x4. අපි දැන් මුල් සමීකරණයට විසඳුමක් සොයන්නෙමු: y(x) = C(x)x 4 , y"(x) = C(x)"x 4 + C(x)(x 4)"
-x/2(4C(x) x 3 +C(x)" x 4)+2y=-x 5 e x
-C(x)" x 5/2 = -x 5 e x හෝ C(x)" = 2e x . ඒකාබද්ධ කිරීම, අපට ලැබෙන්නේ: C(x) = ∫2e x dx = 2e x +C
කොන්දේසියෙන් y(x)=C(x)y, අපි ලබා ගන්නේ: y(x) = C(x)y = x 4 (C+2e x) හෝ y = Cx 4 +2x 4 e x. z=1/y 2 නිසා, අපට ලැබෙන්නේ: 1/y 2 = Cx 4 +2x 4 e x
