1 වන අනුපිළිවෙලෙහි සමජාතීය සමීකරණ. සමජාතීය සමීකරණ. විස්තීරණ මාර්ගෝපදේශය (2019)

පළමු අනුපිළිවෙලෙහි සමජාතීය අවකල සමීකරණය ආකෘතියේ සමීකරණයකි
, f යනු ශ්‍රිතයකි.

සමජාතීය අවකල සමීකරණයක් නිර්වචනය කරන්නේ කෙසේද?

පළමු අනුපිළිවෙල අවකල සමීකරණයක් සමජාතීය ද යන්න තීරණය කිරීම සඳහා, නියත t හඳුන්වා දිය යුතු අතර y වෙනුවට ty සහ x වෙනුවට tx: y → ty , x → tx . t අඩු කළහොත්, මෙය සමජාතීය අවකල සමීකරණය. ව්‍යුත්පන්න Y′ එවැනි පරිවර්තනයක් යටතේ වෙනස් නොවේ.
.

උදාහරණයක්

ලබා දී ඇති සමීකරණය සමජාතීය දැයි තීරණය කරන්න

විසඳුමක්

අපි y → ty, x → tx වෙනස් කරන්නෙමු.


t මගින් බෙදන්න 2 .

.
සමීකරණයේ t අඩංගු නොවේ. එබැවින් මෙය සමජාතීය සමීකරණයකි.

සමජාතීය අවකල සමීකරණයක් විසඳීමේ ක්‍රමය

සමජාතීය පළමු අනුපිළිවෙල අවකල සමීකරණයක් y = ux ආදේශනය භාවිතයෙන් වෙන් කළ හැකි විචල්‍යයන් සහිත සමීකරණයකට අඩු වේ. අපි ඒක පෙන්නමු. සමීකරණය සලකා බලන්න:
(මම)
අපි ආදේශකයක් කරන්නෙමු:
y=ux
එහිදී u යනු x හි ශ්‍රිතයකි. x සම්බන්ධයෙන් වෙනස් කරන්න:
y' =
අපි මුල් සමීකරණයට ආදේශ කරමු (මම).
,
,
(ii) .
වෙනම විචල්යයන්. dx වලින් ගුණ කර x වලින් බෙදන්න ( f(u) - u ).

f සඳහා (u) - u ≠ 0සහ x ≠ 0 අපට ලැබෙන්නේ:

අපි ඒකාබද්ධ කරන්නෙමු:

මේ අනුව, අපි සමීකරණයේ පොදු අනුකලනය ලබා ගෙන ඇත (මම)කොටු වලින්:

අපි ඒකාබද්ධ කිරීමේ නියතය C මගින් ප්‍රතිස්ථාපනය කරමු ලොග් සී, එවිට

අපි මොඩියුල ලකුණ අතහරින්නෙමු, මන්ද අපේක්ෂිත ලකුණනියත C හි ලකුණ තේරීමෙන් තීරණය වේ. එවිට සාමාන්‍ය අනුකලනය පෝරමය ගනී:

ඊළඟට, නඩුව f සලකා බලන්න (u) - u = 0.
මෙම සමීකරණයට මූලයන් තිබේ නම්, ඒවා සමීකරණයට විසඳුමක් වේ (ii). සමීකරණයේ සිට (ii)මුල් සමීකරණයට නොගැලපේ, එවිට ඔබ එය සහතික කර ගත යුතුය අතිරේක විසඳුම්මුල් සමීකරණය තෘප්තිමත් කරන්න (මම).

ඕනෑම අවස්ථාවක, පරිවර්තන ක්‍රියාවලියේදී, අපි යම් ශ්‍රිතයකින් ඕනෑම සමීකරණයක් බෙදන්නෙමු, එය අපි g ලෙස දක්වන්නෙමු. (x, y), එවිට වැඩිදුර පරිවර්තනයන් g සඳහා වලංගු වේ (x, y) ≠ 0. එබැවින්, නඩුව ජී (x, y) = 0.

පළමු අනුපිළිවෙල සමජාතීය අවකල සමීකරණයක් විසඳීමේ උදාහරණයක්

සමීකරණය විසඳන්න

විසඳුමක්

මෙම සමීකරණය සමජාතීය දැයි පරීක්ෂා කර බලමු. අපි y → ty, x → tx වෙනස් කරන්නෙමු. මෙම අවස්ථාවේදී, y′ → y′ .
,
,
.
අපි t කින් අඩු කරමු.

නියත ටී අඩු කර ඇත. එබැවින් සමීකරණය සමජාතීය වේ.

අපි y = ux ආදේශනයක් කරන්නෙමු, එහිදී u යනු x හි ශ්‍රිතයකි.
y' = (ux) ′ = u′ x + u (x) ′ = u′ x + u
මුල් සමීකරණයේ ආදේශ කරන්න.
,
,
,
.
x ≥ සඳහා 0 , |x| =x. x ≤ සඳහා 0 , |x| = - x . අපි ලියන්නේ |x| = x යනු ඉහළ ලකුණ x ≥ අගයන් වෙත යොමු කරයි 0 , සහ පහළ එක - x ≤ අගයන් වෙත 0 .
,
dx වලින් ගුණ කර බෙදන්න.

ඔබ වෙනුවෙන් 2 - 1 ≠ 0 අපිට තියනවා:

අපි ඒකාබද්ධ කරන්නෙමු:

වගු අනුකලනය,
.

අපි සූත්‍රය යොදමු:
(a + b)(a - b) = a 2 - b 2.
a = u , .
.
මොඩියුල සහ ලඝුගණක කොටස් දෙකම ගන්න,
.
මෙතැන් සිට
.

මේ අනුව අපට ඇත්තේ:
,
.
නියත C හි ලකුණ තේරීමෙන් අවශ්‍ය ලකුණ ලබා දෙන බැවින්, අපි මාපාංකයේ ලකුණ ඉවත් කරමු.

x න් ගුණ කර ux = y ආදේශ කරන්න.
,
.
අපි එය වර්ග කරමු.
,
,
.

දැන් නඩුව සලකා බලන්න, යූ 2 - 1 = 0 .
මෙම සමීකරණයේ මූලයන්
.
y = x ශ්‍රිත මුල් සමීකරණය තෘප්තිමත් කරන බව දැකීම පහසුය.

පිළිතුර

,
,
.

යොමු:
එන්.එම්. ගුන්තර්, ආර්.ඕ. Kuzmin, උසස් ගණිතයේ ගැටළු එකතුව, Lan, 2003.

උදාහරණයක් ලෙස, කාර්යය
යනු පළමු මානයෙහි සමජාතීය ශ්‍රිතයකි

තුන්වන මානයෙහි සමජාතීය ශ්‍රිතයකි

ශුන්‍ය මානයේ සමජාතීය ශ්‍රිතයක් වේ

, i.e.
.

අර්ථ දැක්වීම 2. පළමු අනුපිළිවෙල අවකල සමීකරණය y" = f(x, y) ශ්‍රිතය නම් සමජාතීය ලෙස හැඳින්වේ f(x, y) සම්බන්ධයෙන් සමජාතීය ශුන්‍ය මාන ශ්‍රිතයකි x හා y, හෝ, ඔවුන් පවසන පරිදි, f(x, y) යනු ශුන්‍ය අංශකයේ සමජාතීය ශ්‍රිතයකි.

ලෙස නිරූපණය කළ හැක

සමජාතීය සමීකරණයක් ආකෘතියට පරිවර්තනය කළ හැකි අවකල සමීකරණයක් ලෙස අර්ථ දැක්වීමට අපට ඉඩ සලසයි (3.3).

ආදේශ කිරීම
වෙන් කළ හැකි විචල්‍යයන් සහිත සමීකරණයකට සමජාතීය සමීකරණයක් අඩු කරයි. ඇත්ත වශයෙන්ම, ආදේශ කිරීමෙන් පසුව y=xzඅපට ලැබෙනවා
,
විචල්යයන් වෙන් කිරීම සහ ඒකාබද්ධ කිරීම, අපි සොයා ගන්නේ:

,

උදාහරණ 1. සමීකරණය විසඳන්න.

Δ අපි උපකල්පනය කරමු y=zx,
අපි මෙම ප්රකාශනයන් ආදේශ කරමු y හා dyමෙම සමීකරණයට:
හෝ
විචල්‍ය වෙන් කිරීම:
සහ ඒකාබද්ධ කරන්න:
,

ආදේශ කිරීම zමත , අපිට ලැබෙනවා
.

උදාහරණය 2 සොයන්න පොදු තීරණයසමීකරණ.

Δ මෙම සමීකරණයේ පී (x,y) =x 2 -2y 2 ,ප්‍රශ්නය(x,y) =2xyදෙවන මානයෙහි සමජාතීය ශ්‍රිත වේ, එබැවින් මෙම සමීකරණය සමජාතීය වේ. ලෙස නිරූපණය කළ හැක
සහ ඉහත ආකාරයටම විසඳන්න. නමුත් අපි වෙනත් අංකනයක් භාවිතා කරමු. දාමු y = zx, කොහෙද dy = zdx + xdz. මෙම ප්‍රකාශන මුල් සමීකරණයට ආදේශ කිරීම, අපට ලැබෙනු ඇත

dx+2 zxdz = 0 .

අපි විචල්යයන් වෙන් කරමු, ගණන් කිරීම

.

අපි මෙම සමීකරණය පදයෙන් පදය අනුකලනය කරමු

, කොහෙද

එනම්
. පැරණි කාර්යය වෙත ආපසු යාම
පොදු විසඳුමක් සොයා ගන්න


උදාහරණය 3 . සමීකරණයට පොදු විසඳුමක් සොයන්න
.

Δ පරිවර්තන දාමය: ,y = zx,
,
,
,
,
,
,
,
, ,
. 

දේශනය 8

4. පළමු අනුපිළිවෙලෙහි රේඛීය අවකල සමීකරණ පළමු අනුපිළිවෙලෙහි රේඛීය අවකල සමීකරණයක ස්වරූපය ඇත

මෙන්න, නිදහස් පදය, සමීකරණයේ දකුණු පැත්ත ලෙසද හැඳින්වේ. මෙම පෝරමයේදී, අපි පහත දැක්වෙන රේඛීය සමීකරණය සලකා බලමු.

අ
0, පසුව සමීකරණය (4.1a) රේඛීය අසමාන ලෙස හැඳින්වේ. නම්
0, එවිට සමීකරණය ස්වරූපය ගනී

සහ රේඛීය සමජාතීය ලෙස හැඳින්වේ.

සමීකරණයේ නම (4.1a) නොදන්නා ශ්‍රිතය යන කාරනය මගින් පැහැදිලි කෙරේ y සහ එහි ව්යුත්පන්නය එය රේඛීයව ඇතුල් කරන්න, i.e. පළමු උපාධිය තුළ.

රේඛීය සමජාතීය සමීකරණයකදී, විචල්යයන් වෙන් කරනු ලැබේ. එය පෝරමයේ නැවත ලිවීම
කොහෙද
සහ ඒකාබද්ධ කිරීම, අපට ලැබෙන්නේ:
,එම.

බෙදූ විට අපට තීරණය අහිමි වේ
. කෙසේ වෙතත්, අපි එය උපකල්පනය කරන්නේ නම් එය සොයාගත් විසඳුම් පවුලට (4.3) ඇතුළත් කළ හැකිය සිට 0 අගය ද ගත හැක.

සමීකරණය (4.1a) විසඳීම සඳහා ක්රම කිහිපයක් තිබේ. අනුව බර්නූලි ක්රමය, විසඳුම සොයන්නේ කාර්යයන් දෙකක නිෂ්පාදනයක් ලෙස ය x:

නිෂ්පාදනය පමණක් බැවින් මෙම කාර්යයන් වලින් එකක් අත්තනෝමතික ලෙස තෝරා ගත හැකිය UV මුල් සමීකරණය තෘප්තිමත් කළ යුතුය, අනෙක සමීකරණයේ (4.1a) පදනම මත තීරණය වේ.

සමානාත්මතාවයේ දෙපැත්තම වෙනස් කිරීම (4.4), අපි සොයා ගනිමු
.

ලැබෙන ව්‍යුත්පන්න ප්‍රකාශනය ආදේශ කිරීම , මෙන්ම වටිනාකම හිදී සමීකරණයට (4.1a), අපි ලබා ගනිමු
, හෝ

එම. කාර්යයක් ලෙස vසමජාතීය රේඛීය සමීකරණයේ විසඳුම ගන්න (4.6):

(මෙතන සීලිවීම අනිවාර්ය වේ, එසේ නොමැතිනම් ඔබට සාමාන්‍ය දෙයක් නොව විශේෂිත විසඳුමක් ලැබෙනු ඇත).

මේ අනුව, භාවිතා කරන ලද ආදේශකයේ (4.4) ප්‍රතිඵලයක් ලෙස, සමීකරණය (4.1a) වෙන් කළ හැකි විචල්‍ය (4.6) සහ (4.7) සමඟ සමීකරණ දෙකකට අඩු වන බව අපට පෙනේ.

ආදේශ කරනවා
හා v(x) සූත්‍රයට (4.4), අපි අවසානයේ ලබා ගනිමු

,

.

උදාහරණ 1 සමීකරණයට පොදු විසඳුමක් සොයන්න

 අපි දැම්මා
, එවිට
. ප්රකාශන ආදේශ කිරීම හා මුල් සමීකරණයට, අපි ලබා ගනිමු
හෝ
(*)

අපි සංගුණකය ශුන්‍යයට සමාන කරමු :

ප්රතිඵලය සමීකරණයේ විචල්යයන් වෙන් කිරීම, අපට තිබේ


(අත්තනෝමතික නියතය සී ලියන්න එපා), ඒ නිසා v= x. වටිනාකමක් සොයා ගත්තා vසමීකරණයට ආදේශ කරන්න (*):

,
,
.

ප්රතිඵලයක් වශයෙන්,
මුල් සමීකරණයේ පොදු විසඳුම.

සමීකරණය (*) සමාන ආකාරයකින් ලිවිය හැකි බව සලකන්න:

.

අහඹු ලෙස කාර්යයක් තෝරා ගැනීම u, නමුත් නැහැ v, අපට උපකල්පනය කළ හැකිය
. මෙම විසඳීමේ ක්‍රමය සලකා බලන ලද ක්‍රමයට වඩා වෙනස් වන්නේ ප්‍රතිස්ථාපනය කිරීමෙන් පමණි vමත u(සහ එබැවින් uමත v), එබැවින් අවසාන අගය හිදීඑකම බවට හැරෙනවා.

ඉහත කරුණු මත පදනම්ව, අපි පළමු පෙළ රේඛීය අවකල සමීකරණයක් විසඳීම සඳහා ඇල්ගොරිතමයක් ලබා ගනිමු.

සමහර විට පළමු අනුපිළිවෙල සමීකරණයක් රේඛීය වන්නේ නම් බව තවදුරටත් සලකන්න හිදීස්වාධීන විචල්යයක් ලෙස සලකනු ලැබේ, සහ x- යැපෙන, i.e. භූමිකාවන් වෙනස් කරන්න x හා y. එය ලබා දී මෙය කළ හැකිය xහා dxසමීකරණය රේඛීයව ඇතුල් කරන්න.

උදාහරණය 2 . සමීකරණය විසඳන්න
.

පෙනුමෙන්, මෙම සමීකරණය ශ්‍රිතයට සාපේක්ෂව රේඛීය නොවේ හිදී.

කෙසේ වෙතත්, අපි සලකා බලන්නේ නම් xකාර්යයක් ලෙස හිදී, පසුව, එය ලබා දී ඇත
, එය පෝරමයට ගෙන යා හැකිය

(4.1 බී)

ආදේශ කිරීම මත , අපිට ලැබෙනවා
හෝ
. අවසාන සමීකරණයේ දෙපැත්තම නිෂ්පාදනයෙන් බෙදීම ydy, එය පෝරමයට ගෙන එන්න

, හෝ
. (**)

මෙහි P(y)=,
. මෙය සම්බන්ධයෙන් රේඛීය සමීකරණයකි x. අපි විශ්වාස කරනවා
,
. මෙම ප්‍රකාශන (**) වෙත ආදේශ කිරීමෙන් අපට ලැබේ

හෝ
.

අපි v තෝරා ගන්නේ එසේ ය
,
, කොහෙද
;
. එතකොට අපිට තියෙනවා
,
,
.

නිසා
, එවිට අපි මෙම සමීකරණයේ පොදු විසඳුම වෙත පැමිණෙමු

.

සමීකරණයේ (4.1a) බව සලකන්න පී(x) හා ප්‍රශ්නය (x) හි කාර්යයන් ලෙස පමණක් සිදු විය හැක x, නමුත් නියතයන් ද: පී= ඒ,ප්‍රශ්නය= බී. රේඛීය සමීකරණය

y= ආදේශනය භාවිතයෙන්ද විසඳිය හැක UV සහ විචල්‍ය වෙන් කිරීම:

;
.

මෙතැන් සිට
;
;
; කොහෙද
. ලඝුගණකයෙන් මිදීමෙන්, අපි සමීකරණයේ පොදු විසඳුම ලබා ගනිමු

(මෙතන
).

හිදී බී= 0 අපි සමීකරණයේ විසඳුම වෙත පැමිණෙමු

( සඳහා ඝාතීය වර්ධන සමීකරණය (2.4) බලන්න
).

පළමුව, අපි අනුරූප සමජාතීය සමීකරණය (4.2) අනුකලනය කරමු. ඉහත දක්වා ඇති පරිදි, එහි විසඳුම ආකෘතිය (4.3) ඇත. අපි සාධකය සලකා බලමු සිට(4.3) හි ශ්රිතයක් මගින් x, i.e. මූලික වශයෙන් විචල්‍ය වෙනසක් සිදු කරයි

කොහෙන්ද, ඒකාබද්ධ කිරීම, අපි සොයා ගනිමු

(4.14) ((4.9) ද බලන්න) අනුව, සමජාතීය රේඛීය සමීකරණයේ සාමාන්‍ය විසඳුම අනුරූප සමජාතීය සමීකරණයේ (4.3) සහ තීරණය කරන ලද සමජාතීය සමීකරණයේ විශේෂ විසඳුමේ එකතුවට සමාන බව සලකන්න. (4.14) (සහ (4.9)) හි දෙවන වාරය මගින්.

නිශ්චිත සමීකරණ විසඳන විට, ඉහත ගණනය කිරීම් නැවත නැවතත් කළ යුතු අතර, අපහසු සූත්රය (4.14) භාවිතා නොකළ යුතුය.

අපි සලකා බලන සමීකරණයට Lagrange ක්‍රමය යොදන්නෙමු උදාහරණ 1 :

.

අපි අනුරූප සමජාතීය සමීකරණය අනුකලනය කරමු
.

විචල්යයන් වෙන් කිරීම, අපි ලබා ගනිමු
සහ ඉන් ඔබ්බට
. සූත්‍රයකින් ප්‍රකාශනයක් විසඳීම y = Cx. මුල් සමීකරණයේ විසඳුම ආකෘතියෙන් සොයනු ලැබේ y = සී(x)x. මෙම ප්‍රකාශනය ලබා දී ඇති සමීකරණයට ආදේශ කිරීම, අපි ලබා ගනිමු
;
;
,
. මුල් සමීකරණයේ පොදු විසඳුමේ ස්වරූපය ඇත

.

අවසාන වශයෙන්, බර්නූලි සමීකරණය රේඛීය සමීකරණයකට අඩු වී ඇති බව අපි සටහන් කරමු.

, ( )

ලෙස ලිවිය හැකි ය

.

ආදේශ කිරීම
එය රේඛීය සමීකරණයකට අඩු වේ:

,
,
.

බර්නූලි සමීකරණ ද ඉහත විස්තර කර ඇති ක්‍රම මගින් විසඳනු ලැබේ.

උදාහරණය 3 . සමීකරණයට පොදු විසඳුමක් සොයන්න
.

 පරිවර්තන දාමය:
,
,,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,


f(x,y) ශ්‍රිතය හැඳින්වේ සමජාතීය කාර්යයඅනන්‍යතාවය නම් ඔවුන්ගේ මානය තර්ක n f(tx,ty) \equiv t^nf(x,y).

උදාහරණයක් ලෙස, f(x,y)=x^2+y^2-xy ශ්‍රිතය දෙවන මානයෙහි සමජාතීය ශ්‍රිතයකි.

F(tx,ty)=(tx)^2+(ty)^2-(tx)(ty)=t^2(x^2+y^2-xy)=t^2f(x,y).

n=0 සඳහා අපට ශුන්‍ය මාන ශ්‍රිතයක් ඇත. උදාහරණ වශයෙන්, \frac(x^2-y^2)(x^2+y^2)සමජාතීය ශුන්‍ය මාන ශ්‍රිතයකි, සිට

(f(tx,ty)=\frac((tx)^2-(ty)^2)((tx)^2+(ty)^2)=\frac(t^2(x^2-y^ 2))(t^2(x^2+y^2))=\frac(x^2-y^2)(x^2+y^2)=f(x,y))

පෝරමයේ අවකල සමීකරණය \frac(dy)(dx)=f(x,y) f(x,y) යනු එහි ශුන්‍ය මාන තර්කවල සමජාතීය ශ්‍රිතයක් නම් x සහ y සම්බන්ධයෙන් සමජාතීය යැයි කියනු ලැබේ. සමජාතීය සමීකරණයක් සෑම විටම ලෙස දැක්විය හැක

\frac(dy)(dx)=\varphi\!\left(\frac(y)(x)\දකුණ).

නව අපේක්ෂිත ශ්‍රිතයක් හඳුන්වා දීමෙන් u=\frac(y)(x) , (1) සමීකරණය විචල්‍ය වෙන් කරන සමීකරණයකට අඩු කළ හැක:

X\frac(du)(dx)=\varphi(u)-u.

u=u_0 යනු \varphi(u)-u=0 සමීකරණයේ මූලය නම්, සමජාතීය සමීකරණයේ විසඳුම u=u_0 හෝ y=u_0x (මූලත්වය හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාව) වේ.

අදහස් දක්වන්න.සමජාතීය සමීකරණ විසඳන විට, ඒවා (1) ආකෘතියට අඩු කිරීම අවශ්ය නොවේ. ඔබට වහාම y=ux ආදේශනය කළ හැක.

උදාහරණ 1සමජාතීය සමීකරණයක් විසඳන්න xy"=\sqrt(x^2-y^2)+y.

විසඳුමක්.අපි පෝරමයේ සමීකරණය ලියන්නෙමු y"=\sqrt(1-(\left(\frac(y)(x)\දකුණ)\^2}+\frac{y}{x} !}එබැවින් දී ඇති සමීකරණය x සහ y සම්බන්ධයෙන් සමජාතීය වේ. අපි u=\frac(y)(x) , හෝ y=ux දමමු. එවිට y"=xu"+u . සමීකරණයට y සහ y සඳහා ප්‍රකාශන ආදේශ කිරීම, අපට ලැබේ x\frac(du)(dx)=\sqrt(1-u^2). විචල්‍ය වෙන් කිරීම: \frac(du)(1-u^2)=\frac(dx)(x). මෙතැන් සිට, ඒකාබද්ධ කිරීම මගින්, අපි සොයා ගනිමු

\arcsin(u)=\ln|x|+\ln(C_1)~(C_1>0), හෝ \arcsin(u)=\ln(C_1|x|).

C_1|x|=\pm(C_1x) , \pm(C_1)=C දැක්වීමෙන් , අපට ලැබේ \arcsin(u)=\ln(Cx), කොහෙද |\ln(Cx)|\leqslant\frac(\pi)(2)හෝ e^(-\pi/2)\leqslant(Cx)\leqslant(e^(\pi/2)). u වෙනුවට \frac(y)(x) , අපට සාමාන්‍ය අනුකලනය ලැබේ \arcsin(y)(x)=\ln(Cx).

එබැවින් පොදු විසඳුම: y=x\sin\ln(Cx) .

විචල්‍යයන් වෙන් කරන විට, අපි සමීකරණයේ දෙපැත්තම x\sqrt(1-u^2) නිෂ්පාදනයෙන් බෙදුවෙමු, එම නිසා මෙම නිෂ්පාදනය බිංදුවට හරවන විසඳුම අපට අහිමි විය හැක.

අපි දැන් x=0 සහ \sqrt(1-u^2)=0 දමමු. නමුත් x\ne0 ආදේශනය නිසා u=\frac(y)(x) , සහ \sqrt(1-u^2)=0 සම්බන්ධතාවයෙන් අපට එය ලැබේ. 1-\frac(y^2)(x^2)=0, කොහෙන්ද y=\pm(x) . සෘජු සත්‍යාපනය මගින්, y=-x සහ y=x යන ශ්‍රිත ද මෙම සමීකරණයට විසඳුම් බව අපි සහතික කර ගනිමු.

උදාහරණය 2සමජාතීය සමීකරණයේ C_\alpha අනුකලිත වක්‍ර පවුල සලකා බලන්න y"=\varphi\!\වම(\frac(y)(x)\දකුණ). මෙම සමජාතීය අවකල සමීකරණය මගින් අර්ථ දක්වා ඇති වක්‍ර වලට අනුරූප ලක්ෂ්‍යවල ස්පර්ශක එකිනෙකට සමාන්තර බව පෙන්වන්න.

සටහන:අපි අමතන්නම් අදාළමූලාරම්භයේ සිට ආරම්භ වන එකම කිරණ මත පිහිටා ඇති C_\ ඇල්ෆා වක්‍ර මත එම ලක්ෂ්‍ය.

විසඳුමක්.අනුරූප ලක්ෂ්යවල නිර්වචනය අනුව, අපට ඇත \frac(y)(x)=\frac(y_1)(x_1), ඒ නිසා, සමීකරණයේම ප්‍රයෝගයෙන්, y"=y"_1, මෙහි y" සහ y"_1 යනු අනුකලිත වක්‍ර වලට ස්පර්ශක බෑවුම් වන C_\alpha සහ C_(\alpha_1) , ලක්ෂ්‍ය M සහ M_1, පිළිවෙලින් (රූපය 12).

සමජාතීය බවට අඩු කිරීම සමීකරණ

නමුත්.පෝරමයේ අවකල සමීකරණයක් සලකා බලන්න

\frac(dy)(dx)=f\!\left (\frac(ax+by+c)(a_1x+b_1y+c_1)\දකුණ).

මෙහි a,b,c,a_1,b_1,c_1 යනු නියතයන් වන අතර f(u) වේ අඛණ්ඩ ක්රියාකාරිත්වයඑහි තර්කය යූ.

c=c_1=0 නම්, සමීකරණය (3) සමජාතීය වන අතර එය ඉහත ආකාරයට අනුකලනය වේ.

අවම වශයෙන් c,c_1 සංඛ්‍යා වලින් එකක් බිංදුවට වඩා වෙනස් නම්, අවස්ථා දෙකක් වෙන්කර හඳුනාගත යුතුය.

1) නිර්ණායකය \Delta=\begin(vmatrix)a&b\\a_1&b_1\end(vmatrix)\ne0. x=\xi+h,~y=\eta+k සූත්‍රවලට අනුව නව විචල්‍යයන් \xi සහ \eta හඳුන්වා දීම, h සහ k තවමත් නිර්වචනය නොකළ නියතයන් වන අතර, අපි පෝරමයට සමීකරණය (3) ගෙන එන්නෙමු.

\frac(d\eta)(d\xi)=f\!\left(\frac(a\xi+b\eta+ah+bk+c)(a_1\xi+b_2\eta+a_1h+b_1k+c_1 )\දකුණ).

පද්ධතියට විසඳුමක් ලෙස h සහ k තෝරා ගැනීම රේඛීය සමීකරණ

\begin(cases)ah+bk+c=0,\\a_1h+b_1k+c_1=0\end(cases)~(\Delta\ne0),

අපි සමජාතීය සමීකරණයක් ලබා ගනිමු \frac(d\eta)(d\xi)=f\!\වම(\frac(a\xi+b\eta)(a_1\xi+b_1\eta)\දකුණ). එහි සාමාන්‍ය අනුකලය සොයාගෙන එහි \xi වෙනුවට x-h සහ \eta වෙනුවට y-k , අපි සමීකරණයේ සාමාන්‍ය අනුකලනය ලබා ගනිමු (3).

2) නිර්ණායකය \Delta=\begin(vmatrix)a&b\\a_1&b_1\end(vmatrix)=0. පද්ධතිය (4) තුළ සාමාන්ය නඩුවවිසඳුම් නොමැති අතර ඉහත ක්‍රමය අදාළ නොවේ; මේ අවස්ථාවේ දී \frac(a_1)(a)=\frac(b_1)(b)=\lambda, සහ, එබැවින්, සමීකරණය (3) ආකෘතිය ඇත \frac(dy)(dx)=f\!\left (\frac(ax+by+c)(\lambda(ax+by)+c_1)\දකුණ). z=ax+by යන ආදේශනය එය වෙන් කළ හැකි විචල්‍ය සමීකරණයකට ගෙන එයි.

උදාහරණය 3සමීකරණය විසඳන්න (x+y-2)\,dx+(x-y+4)\,dy=0.

විසඳුමක්.රේඛීය පද්ධතියක් සලකා බලන්න වීජීය සමීකරණ \begin(cases)x+y-2=0,\\x-y+4=0.\end(cases)

මෙම පද්ධතියේ නිර්ණායකය \Delta=\begin(vmatrix)\hfill1&\hfill1\\\hfill1&\hfill-1\end(vmatrix)=-2\ne0.

පද්ධතියට අද්විතීය විසඳුමක් ඇත x_0=-1,~y_0=3 . අපි x=\xi-1,~y=\eta+3 ආදේශනය කරන්නෙමු. එවිට සමීකරණය (5) ආකෘතිය ගනී

(\xi+\eta)\,d\xi+(\xi-\eta)\,d\eta=0.

මෙම සමීකරණය සමජාතීය සමීකරණයකි. \eta=u\xi සැකසීම, අපට ලැබේ

(\xi+\xi(u))\,d\xi+(\xi-\xi(u))(\xi\,du+u\,d\xi)=0, කොහෙද (1+2u-u^2)\,d\xi+\xi(1-u)\,du=0.

විචල්‍යයන් වෙන් කිරීම \frac(d\xi)(\xi)+\frac(1-u)(1+2u-u^2)\,du=0.

ඒකාබද්ධ කිරීම, අපි සොයා ගනිමු \ln|\xi|+\frac(1)(2)\ln|1+2u-u^2|=\ln(C)හෝ \xi^2(1+2u-u^2)=C .

x,~y විචල්‍ය වෙත ආපසු යාම:

(x+1)^2\left=C_1හෝ x^2+2xy-y^2-4x+8y=C~~(C=C_1+14).

උදාහරණය 4සමීකරණය විසඳන්න (x+y+1)\,dx+(2x+2y-1)\,dy=0.

විසඳුමක්.රේඛීය වීජීය සමීකරණ පද්ධතිය \begin(cases)x+y+1=0,\\2x+2y-1=0\end(cases)නොගැලපෙන. මෙම අවස්ථාවේදී, පෙර උදාහරණයේ භාවිතා කරන ලද ක්රමය සුදුසු නොවේ. සමීකරණය අනුකලනය කිරීම සඳහා, අපි x+y=z, dy=dz-dx ආදේශනය භාවිතා කරමු. සමීකරණය ස්වරූපය ගනීවි

(2-z)\,dx+(2z-1)\,dz=0.

විචල්යයන් වෙන් කිරීම, අපි ලබා ගනිමු

Dx-\frac(2z-1)(z-2)\,dz=0එහෙයින් x-2z-3\ln|z-2|=C.

x,~y විචල්‍ය වෙත ආපසු යාමෙන්, අපි මෙම සමීකරණයේ සාමාන්‍ය අනුකලනය ලබා ගනිමු.

X+2y+3\ln|x+y-2|=C.

බී.සමහර විට y=z^\alpha විචල්‍යය වෙනස් කිරීමෙන් සමීකරණය සමජාතීය එකක් දක්වා අඩු කළ හැක. x විචල්‍යයට 1 මානය ලබා දෙන්නේ නම්, y විචල්‍යයට \alpha මානය ද, \frac(dy)(dx) ව්‍යුත්පන්නය ද ලබා දෙන්නේ නම්, සමීකරණයේ ඇති සියලුම පද එකම මානයක ඇති විට මෙය සිදු වේ. මානය \alpha-1 .

උදාහරණ 5සමීකරණය විසඳන්න (x^2y^2-1)\,dy+2xy^3\,dx=0.

විසඳුමක්.ආදේශනයක් සිදු කිරීම y=z^\alpha,~dy=\alpha(z^(\alpha-1))\,dz, \alpha යනු දැනට අත්තනෝමතික අංකයකි, එය අපි පසුව තෝරා ගනිමු. සමීකරණයට y සහ dy සඳහා ප්‍රකාශන ආදේශ කිරීම, අපට ලැබේ

\alpha(x^2x^(2\alpha)-1)z^(\alpha-1)\,dz+2xz^(3\alpha)\,dx=0හෝ \alpha(x^2z^(3\alpha-1)-z^(\alpha-1))\,dz+2xz^(3\alpha)\,dx=0,

x^2z^(3\alpha-1) මානය ඇති බව සලකන්න 2+3\alpha-1=3\alpha+1, z^(\alpha-1) මානය \alpha-1, xz^(3\alpha) මානය 1+3\alpha . සියලු පදවල මිනුම් සමාන නම්, ප්රතිඵලය සමීකරණය සමජාතීය වනු ඇත, i.e. කොන්දේසිය සපුරා ඇත්නම් 3\alpha+1=\alpha-1, හෝ \alpha-1 .

y=\frac(1)(z) ; මුල් සමීකරණය ස්වරූපය ගනී

\left(\frac(1)(z^2)-\frac(x^2)(z^4)\දකුණ)dz+\frac(2x)(z^3)\,dx=0හෝ (z^2-x^2)\,dz+2xz\,dx=0.

දැන් දාන්නම් z=ux,~dz=u\,dx+x\,du. එවිට මෙම සමීකරණය ස්වරූපය ගනී (u^2-1)(u\,dx+x\,du)+2u\,dx=0, කොහෙද u(u^2+1)\,dx+x(u^2-1)\,du=0.

මෙම සමීකරණයේ විචල්‍යයන් වෙන් කිරීම \frac(dx)(x)+\frac(u^2-1)(u^3+u)\,du=0. ඒකාබද්ධ කිරීම, අපි සොයා ගනිමු

\ln|x|+\ln(u^2+1)-\ln|u|=\ln(C)හෝ \frac(x(u^2+1))(u)=C.

u වෙනුවට \frac(1)(xy) , අපට මෙම සමීකරණයේ සාමාන්‍ය අනුකලනය 1+x^2y^2=Cy ලැබේ.

සමීකරණය ද ඇත පැහැදිලි විසඳුම y=0 , එය C\to\infty හි සාමාන්‍ය අනුකලයෙන් ලබා ගනී, අනුකලය ලියා ඇත්තේ නම් y=\frac(1+x^2y^2)(C), ඉන්පසු C\to\infty හි සීමාවට පනින්න. මේ අනුව, y=0 ශ්‍රිතය මුල් සමීකරණයට විශේෂිත විසඳුමකි.

ඔබගේ බ්‍රවුසරයේ Javascript අක්‍රිය කර ඇත.
ගණනය කිරීම් සිදු කිරීම සඳහා ActiveX පාලන සක්රිය කළ යුතුය!

1 වන අනුපිළිවෙලෙහි සමජාතීය අවකල සමීකරණයක් විසඳීම සඳහා, u=y/x ආදේශනය භාවිතා කරයි, එනම් u යනු x මත රඳා පවතින නව නොදන්නා ශ්‍රිතයකි. එබැවින් y=ux. අපි නිෂ්පාදන අවකලනය රීතිය භාවිතයෙන් y' ව්‍යුත්පන්නය සොයා ගනිමු: y'=(ux)'=u'x+x'u=u'x+u (x'=1 සිට). වෙනත් ලිවීමේ ආකාරයක් සඳහා: dy=udx+xdu, ආදේශ කිරීමෙන් පසුව, අපි සමීකරණය සරල කර වෙන් කළ හැකි විචල්‍යයන් සහිත සමීකරණයකට පැමිණෙමු.

1 වන අනුපිළිවෙලෙහි සමජාතීය අවකල සමීකරණ විසඳීමේ උදාහරණ.

1) සමීකරණය විසඳන්න

මෙම සමීකරණය සමජාතීය දැයි අපි පරීක්ෂා කරමු (සමජාතීය සමීකරණයක් නිර්වචනය කරන්නේ කෙසේදැයි බලන්න). සහතික කර ගනිමින්, අපි u=y/x, කොහෙන්ද y=ux, y'=(ux)'=u'x+x'u=u'x+u ආදේශනය කරන්නෙමු. ආදේශකය: u'x+u=u(1+ln(ux)-lnx). නිෂ්පාදනයේ ලඝුගණකයේ සිට එකතුවට සමාන වේලඝුගණක, ln(ux)=lnu+lnx. මෙතැන් සිට

u'x+u=u(1+lnu+lnx-lnx). සමාන කොන්දේසි ගෙන ඒමෙන් පසු: u'x+u=u(1+lnu). දැන් වරහන් පුළුල් කරන්න

u'x+u=u+u lnu. කොටස් දෙකෙහිම u අඩංගු වේ, එබැවින් u'x=u·lnu. u යනු x හි ශ්‍රිතයක් වන බැවින්, u'=du/dx. ආදේශ කරන්න

අපට වෙන් කළ හැකි විචල්‍යයන් සහිත සමීකරණයක් ලැබුණි. අපි විචල්‍යයන් වෙන් කරමු, ඒ සඳහා අපි කොටස් දෙකම dx මගින් ගුණ කර x u lnu වලින් බෙදන්නෙමු, නිෂ්පාදන x u lnu≠0 ලබා දී ඇත.

අපි ඒකාබද්ධ කරන්නෙමු:

වම් පැත්තේ වගු අනුකලනයක් ඇත. දකුණු පසින්, අපි t=lnu, කොහෙන්ද dt=(lnu)’du=du/u ආදේශනය කරන්නෙමු.

ln│t│=ln│x│+C. නමුත් එවැනි සමීකරණවලදී С වෙනුවට ln│C│ ගැනීම වඩාත් පහසු බව අපි දැනටමත් සාකච්ඡා කර ඇත්තෙමු. ඉන්පසු

ln│t│=ln│x│+ln│C│. ලඝුගණකවල ගුණය අනුව: ln│t│=ln│Сx│. එබැවින් t=Cx. (කොන්දේසි අනුව, x>0). ප්‍රතිලෝම ආදේශනය කිරීමට කාලයයි: lnu=Cx. සහ තවත් ප්‍රතිලෝම ආදේශනයක්:

ලඝුගණකවල ගුණය අනුව:

සමීකරණයේ පොදු අනුකලනය මෙයයි.

තත්ත්ව නිෂ්පාදනය x·u·lnu≠0 (එයින් අදහස් වන්නේ x≠0,u≠0, lnu≠0, කොහෙන්ද u≠1) නමුත් කොන්දේසියෙන් x≠0 u≠1 ලෙස පවතී, එබැවින් x≠y. පැහැදිලිවම, y=x (x>0) සාමාන්‍ය විසඳුමට ඇතුළත් වේ.

2) ආරම්භක කොන්දේසි y(1)=2 තෘප්තිමත් කරමින් y'=x/y+y/x සමීකරණයේ අර්ධ අනුකලය සොයන්න.

පළමුව, මෙම සමීකරණය සමජාතීය දැයි අපි පරීක්ෂා කරමු (y/x සහ x/y යන පද තිබීම දැනටමත් වක්‍රව පෙන්නුම් කරයි). ඉන්පසුව අපි u=y/x, කොහෙන්ද y=ux, y'=(ux)'=u'x+x'u=u'x+u යන ආදේශනය කරන්නෙමු. අපි ප්‍රතිඵල ප්‍රකාශන සමීකරණයට ආදේශ කරමු:

u'x+u=1/u+u. සරල කිරීම:

u'x=1/u. u යනු x හි ශ්‍රිතයක් වන බැවින්, u'=du/dx:

අපට වෙන් කළ හැකි විචල්‍යයන් සහිත සමීකරණයක් ලැබුණි. විචල්‍යයන් වෙන් කිරීම සඳහා, අපි කොටස් දෙකම dx සහ u වලින් ගුණ කර x න් බෙදන්නෙමු (x≠0 කොන්දේසියෙන්, එබැවින් u≠0 ද, එනම් තීරණ වල පාඩුවක් නොමැති බව).

අපි ඒකාබද්ධ කරන්නෙමු:

සහ කොටස් දෙකෙහිම වගු අනුකලනය ඇති බැවින්, අපි වහාම ලබා ගනිමු

ප්‍රතිලෝම ආදේශනයක් සිදු කිරීම:

සමීකරණයේ පොදු අනුකලනය මෙයයි. අපි ආරම්භක කොන්දේසිය y(1)=2 භාවිතා කරමු, එනම්, අපි y=2, x=1 ප්‍රතිඵලය වන විසඳුමට ආදේශ කරමු:

3) සමජාතීය සමීකරණයේ පොදු අනුකලනය සොයන්න:

(x²-y²)dy-2xydx=0.

u=y/x, කොහෙන්ද y=ux, dy=xdu+udx වෙනස් කරන්න. අපි ආදේශ කරන්නෙමු:

(x²-(ux)²)(xdu+udx)-2ux²dx=0. අපි වරහන් වලින් x² ඉවත් කර කොටස් දෙකම එයින් බෙදන්නෙමු (x≠0 උපකල්පනය කර):

x²(1-u²)(xdu+udx)-2ux²dx=0

(1-u²)(xdu+udx)-2udx=0. වරහන් පුළුල් කර සරල කරන්න:

xdu-u²xdu+udx-u³dx-2udx=0,

xdu-u²xdu-u³dx-udx=0. du සහ dx සමඟ කොන්දේසි සමූහගත කිරීම:

(x-u²x)du-(u³+u)dx=0. අපි පොදු සාධක වරහන් වලින් ඉවත් කරමු:

x(1-u²)du-u(u²+1)dx=0. විචල්‍ය වෙන් කිරීම:

x(1-u²)du=u(u²+1)dx. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි සමීකරණයේ කොටස් දෙකම xu(u²+1)≠0 මගින් බෙදන්නෙමු (ඒ අනුව, අපි අවශ්‍යතා x≠0 (දැනටමත් සටහන් කර ඇත), u≠0 එකතු කරමු):

අපි ඒකාබද්ධ කරන්නෙමු:

සමීකරණයේ දකුණු පැත්තේ වගු අනුකලනයක් ඇත, තාර්කික කොටසවම් පැත්තේ, අපි ප්රධාන සාධක බවට දිරාපත් වේ:

(හෝ දෙවන අනුකලයේ දී, අවකල ලකුණ යටතේ උපසිරැසි කිරීම වෙනුවට, t=1+u², dt=2udu - කවුරු කැමති කුමන ආකාරයෙන්ද යන්න ආදේශනය කිරීමට හැකි විය). අපට ලැබෙන්නේ:

ලඝුගණකවල ගුණාංග අනුව:

ආපසු ආදේශ කිරීම

u≠0 කොන්දේසිය සිහිපත් කරන්න. එබැවින් y≠0. C=0 y=0 විට, එවිට විසඳුම් නැතිවීමක් සිදු නොවන අතර, y=0 සාමාන්‍ය අනුකලනයට ඇතුළත් වේ.

අදහස් දක්වන්න

ඔබ වම් පසින් x සමඟ යෙදුම තැබුවහොත් ඔබට විසඳුම වෙනත් ආකාරයකින් ලබා ගත හැක:

මෙම නඩුවේ සමෝධානික වක්‍රයේ ජ්‍යාමිතික අර්ථය Oy අක්ෂය මත කේන්ද්‍රගත වූ සහ මූලාරම්භය හරහා ගමන් කරන රවුම් පවුලකි.

ස්වයං පරීක්ෂණය සඳහා කාර්යයන්:

1) (x²+y²)dx-xydy=0

1) අපි සමීකරණය සමජාතීය දැයි පරීක්ෂා කරන්නෙමු, ඉන්පසු අපි u=y/x, කොහෙන්ද y=ux, dy=xdu+udx ආදේශනය කරන්නෙමු. කොන්දේසියේ ආදේශ කරන්න: (x²+x²u²)dx-x²u(xdu+udx)=0. සමීකරණයේ දෙපැත්තම x²≠0 න් බෙදීම, අපට ලැබෙන්නේ: (1+u²)dx-u(xdu+udx)=0. එබැවින් dx+u²dx-xudu-u²dx=0. සරල කිරීම, අපට ඇත්තේ: dx-xudu=0. එබැවින් xudu=dx, udu=dx/x. අපි කොටස් දෙකම ඒකාබද්ධ කරමු:

නවත්වන්න! අපි සියලු දෙනාම මෙම අපහසු සූත්‍රය තේරුම් ගැනීමට උත්සාහ කරමු.

පළමු ස්ථානයේ යම් සංගුණකයක් සහිත උපාධියෙහි පළමු විචල්යය විය යුතුය. අපගේ නඩුවේදී, මෙය

අපගේ නඩුවේදී එය එසේ ය. අප සොයා ගත් පරිදි, එයින් අදහස් වන්නේ මෙහි පළමු විචල්‍යයේ උපාධිය අභිසාරී වන බවයි. සහ පළමු උපාධියේ දෙවන විචල්යය ස්ථානයේ ඇත. සංගුණකය.

අපිට ඒක තියෙනවා.

පළමු විචල්‍යය ඝාතීය වන අතර දෙවන විචල්‍යය සංගුණකය සමඟ වර්ග කර ඇත. මෙය සමීකරණයේ අවසාන පදයයි.

ඔබට පෙනෙන පරිදි, අපගේ සමීකරණය සූත්රයක ස්වරූපයෙන් අර්ථ දැක්වීමට ගැලපේ.

අර්ථ දැක්වීමේ දෙවන (වාචික) කොටස දෙස බලමු.

අපි නොදන්න දෙදෙනෙක් සහ. එය මෙහි අභිසාරී වේ.

අපි සියලු නියමයන් සලකා බලමු. ඔවුන් තුළ, නොදන්නා උපාධිවල එකතුව සමාන විය යුතුය.

බලවල එකතුව සමාන වේ.

බලවල එකතුව (at සහ at) ට සමාන වේ.

බලවල එකතුව සමාන වේ.

ඔබට පෙනෙන පරිදි, සියල්ල ගැලපේ!

දැන් අපි සමජාතීය සමීකරණ නිර්වචනය කිරීමට පුරුදු වෙමු.

කුමන සමීකරණ සමජාතීය දැයි තීරණය කරන්න:

සමජාතීය සමීකරණ- අංකිත සමීකරණ:

අපි සමීකරණය වෙන වෙනම සලකා බලමු.

අපි එක් එක් පදය එක් එක් පදය ප්‍රසාරණය කිරීමෙන් බෙදුවහොත්, අපට ලැබේ

තවද මෙම සමීකරණය සම්පූර්ණයෙන්ම සමජාතීය සමීකරණවල නිර්වචනය යටතට වැටේ.

සමජාතීය සමීකරණ විසඳන්නේ කෙසේද?

උදාහරණය 2

අපි සමීකරණය බෙදමු.

අපගේ කොන්දේසිය අනුව, y සමාන විය නොහැක. එමනිසා, අපට ආරක්ෂිතව බෙදිය හැකිය

ආදේශ කිරීමෙන්, අපි සරල එකක් ලබා ගනිමු චතුරස්රාකාර සමීකරණය:

මෙය අඩු වූ චතුරස්‍ර සමීකරණයක් බැවින්, අපි Vieta ප්‍රමේයය භාවිතා කරමු:

ප්‍රතිලෝම ආදේශනය කිරීමෙන් අපට පිළිතුර ලැබේ

පිළිතුර:

උදාහරණය 3

(කොන්දේසි අනුව) සමීකරණය බෙදන්න.

පිළිතුර:

උදාහරණය 4

නම් සොයන්න.

මෙහිදී ඔබට බෙදීමට නොව ගුණ කිරීමට අවශ්ය වේ. සම්පූර්ණ සමීකරණය ගුණ කරන්න:

අපි ආදේශනයක් සාදා චතුරස්රාකාර සමීකරණය විසඳමු:

ප්‍රතිලෝම ආදේශනය කිරීමෙන් අපට පිළිතුර ලැබේ:

පිළිතුර:

සමජාතීය ත්රිකෝණමිතික සමීකරණවල විසඳුම.

සමජාතීය ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණවල විසඳුම ඉහත විස්තර කර ඇති විසඳුම් ක්‍රමවලට වඩා වෙනස් නොවේ. මෙහි පමණක්, වෙනත් දේ අතර, ඔබ කුඩා ත්රිකෝණමිතිය දැන සිටිය යුතුය. සහ තීරණය කිරීමට හැකි වේ ත්රිකෝණමිතික සමීකරණ(මේ සඳහා ඔබට කොටස කියවිය හැකිය).

උදාහරණ මත එවැනි සමීකරණ සලකා බලමු.

උදාහරණ 5

සමීකරණය විසඳන්න.

අපි සාමාන්‍ය සමජාතීය සමීකරණයක් දකිමු: සහ නොදන්නා ඒවා වන අතර, එක් එක් පදය තුළ ඔවුන්ගේ බලවල එකතුව සමාන වේ.

සමාන සමජාතීය සමීකරණ විසඳීම අපහසු නැත, නමුත් සමීකරණ බෙදීමට පෙර, අවස්ථාව සලකා බලන්න

මෙම අවස්ථාවේදී, සමීකරණය පෝරමය ගනී: නමුත් සයින් සහ කොසයින් එකවර සමාන විය නොහැක, මන්ද ප්‍රධාන අනුව ත්‍රිකෝණමිතික අනන්‍යතාවය. එබැවින්, අපට එය ආරක්ෂිතව බෙදිය හැකිය:

සමීකරණය අඩු වී ඇති බැවින්, Vieta ප්රමේයය අනුව:

පිළිතුර:

උදාහරණය 6

සමීකරණය විසඳන්න.

උදාහරණයක් ලෙස, ඔබ විසින් සමීකරණය බෙදිය යුතුය. මෙම අවස්ථාව සලකා බලන්න:

නමුත් මූලික ත්‍රිකෝණමිතික අනන්‍යතාවයට අනුව සයින් සහ කෝසයින් එකවිට සමාන විය නොහැක. ඒක තමයි.

අපි ආදේශනයක් සාදා චතුරස්රාකාර සමීකරණය විසඳමු:

අපි ප්‍රතිලෝම ආදේශනය කර සොයා ගනිමු:

පිළිතුර:

සමජාතීය ඝාතීය සමීකරණවල විසඳුම.

සමජාතීය සමීකරණ ඉහත සලකා බැලූ ආකාරයටම විසඳනු ලැබේ. තීරණය කරන්නේ කෙසේදැයි ඔබට අමතක නම් ඝාතීය සමීකරණ- අදාළ කොටස බලන්න ()!

අපි උදාහරණ කිහිපයක් බලමු.

උදාහරණ 7

සමීකරණය විසඳන්න

කෙසේදැයි සිතා බලන්න:

විචල්‍ය දෙකක් සහ බල එකතුවක් සහිත සාමාන්‍ය සමජාතීය සමීකරණයක් අපට පෙනේ. අපි සමීකරණය බෙදමු:

ඔබට පෙනෙන පරිදි, ප්‍රතිස්ථාපනය කිරීමෙන් පසු, අපි අඩු කරන ලද චතුරස්රාකාර සමීකරණය ලබා ගනිමු (මෙම අවස්ථාවේ දී, ශුන්‍යයෙන් බෙදීමට බිය විය යුතු නැත - එය සෑම විටම ශුන්‍යයට වඩා දැඩි ලෙස වැඩි වේ):

වියේටා ප්‍රමේයයට අනුව:

පිළිතුර: .

උදාහරණ 8

සමීකරණය විසඳන්න

කෙසේදැයි සිතා බලන්න:

අපි සමීකරණය බෙදමු:

අපි ආදේශනයක් සාදා චතුරස්රාකාර සමීකරණය විසඳමු:

මූල කොන්දේසිය තෘප්තිමත් නොවේ. අපි ප්‍රතිලෝම ආදේශනය කර සොයා ගනිමු:

පිළිතුර:

සමජාතීය සමීකරණ. සාමාන්‍ය මට්ටම

පළමුව, එක් ගැටලුවක උදාහරණයක් භාවිතා කරමින්, මම ඔබට මතක් කිරීමට ඉඩ දෙන්න සමජාතීය සමීකරණ යනු කුමක්ද සහ සමජාතීය සමීකරණවල විසඳුම කුමක්ද?

ගැටලුව විසඳන්න:

නම් සොයන්න.

මෙහිදී ඔබට කුතුහලය දනවන දෙයක් දැකිය හැකිය: අපි එක් එක් පදය බෙදුවහොත්, අපට ලැබෙන්නේ:

එනම්, දැන් වෙනම නොමැත සහ, - දැන් අපේක්ෂිත අගය සමීකරණයේ විචල්යය වේ. මෙය සාමාන්‍ය චතුරස්‍ර සමීකරණයක් වන අතර එය වියේටා ප්‍රමේයය භාවිතයෙන් පහසුවෙන් විසඳිය හැකිය: මූලයන්ගේ ගුණිතය සමාන වන අතර එකතුව සංඛ්‍යා සහ වේ.

පිළිතුර:

පෝරමයේ සමීකරණ

සමජාතීය ලෙස හැඳින්වේ. එනම්, මෙය නොදන්නා කරුණු දෙකක් සහිත සමීකරණයක් වන අතර, සෑම පදයකම මෙම නොදන්නා අයගේ බලවල එකම එකතුවක් ඇත. උදාහරණයක් ලෙස, ඉහත උදාහරණයේ, මෙම මුදල සමාන වේ. සමජාතීය සමීකරණවල විසඳුම සිදු කරනු ලබන්නේ මෙම උපාධියේ නොදන්නා එකකින් බෙදීමෙනි:

සහ පසුව විචල්‍ය වෙනස් කිරීම: . මේ අනුව, අපි නොදන්නා එක් උපාධියක් සමඟ උපාධි සමීකරණයක් ලබා ගනිමු:

බොහෝ විට, අපට දෙවන උපාධියේ (එනම් චතුරස්රාකාර) සමීකරණ හමුවනු ඇත, අපට ඒවා විසඳා ගත හැකිය:

සම්පූර්ණ සමීකරණය විචල්‍යයකින් බෙදීම (සහ ගුණ කිරීම) කළ හැක්කේ මෙම විචල්‍යය ශුන්‍යයට සමාන විය නොහැකි බව අපට ඒත්තු ගියහොත් පමණක් බව සලකන්න! උදාහරණයක් ලෙස, අපෙන් සොයා ගැනීමට ඉල්ලා සිටියහොත්, එය බෙදීමට නොහැකි බැවින්, අපි වහාම එය තේරුම් ගනිමු. මෙය එතරම් පැහැදිලි නොවන අවස්ථා වලදී, මෙම විචල්‍යය ශුන්‍යයට සමාන වන විට වෙන වෙනම පරීක්ෂා කිරීම අවශ්‍ය වේ. උදාහරණ වශයෙන්:

සමීකරණය විසඳන්න.

විසඳුමක්:

අපි මෙහි සාමාන්‍ය සමජාතීය සමීකරණයක් දකිමු: සහ නොදන්නා ඒවා වන අතර, එක් එක් පදය තුළ ඒවායේ බලවල එකතුව සමාන වේ.

නමුත්, බෙදීමට පෙර සහ චතුරස්රාකාර සමීකරණය ගෞරවයෙන් ලබා ගැනීමට පෙර, අපි නඩුව සලකා බැලිය යුතුය. මෙම අවස්ථාවේදී, සමීකරණය පෝරමය ගනී: , එබැවින්, . නමුත් සයින් සහ කොසයින් එකවර බිංදුවට සමාන විය නොහැක, මන්ද මූලික ත්‍රිකෝණමිතික අනන්‍යතාවයට අනුව :. එබැවින්, අපට එය ආරක්ෂිතව බෙදිය හැකිය:

මෙම විසඳුම සම්පූර්ණයෙන්ම පැහැදිලි යැයි මම බලාපොරොත්තු වෙමි? එසේ නොවේ නම්, කොටස කියවන්න. එය පැමිණියේ කොහෙන්ද යන්න පැහැදිලි නැතිනම්, ඔබ ඊටත් පෙර ආපසු යා යුතුය - කොටස වෙත.

ඔබම තීරණය කරන්න:

1. නම් සොයන්න.
2. නම් සොයන්න.
3. සමීකරණය විසඳන්න.

මෙන්න මම සමජාතීය සමීකරණවල විසඳුම කෙටියෙන් ලියන්නෙමි:

විසඳුම්:

පිළිතුර: .

මෙහිදී බෙදීම නොව ගුණ කිරීම අවශ්‍ය වේ:

පිළිතුර:

ඔබ තවමත් ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ හරහා ගොස් නොමැති නම්, ඔබට මෙම උදාහරණය මඟ හැරිය හැක.

මෙහිදී අපට බෙදිය යුතු බැවින්, අපි පළමුව සියය බිංදුවට සමාන නොවන බවට වග බලා ගන්නෙමු:

තවද මෙය කළ නොහැක්කකි.

පිළිතුර: .

සමජාතීය සමීකරණ. ප්රධාන දේ ගැන කෙටියෙන්

සියලුම සමජාතීය සමීකරණවල විසඳුම අංශකයේ නොදන්නා එකකින් බෙදීම සහ විචල්‍ය තවදුරටත් වෙනස් කිරීම දක්වා අඩු වේ.

ඇල්ගොරිතම:

හොඳයි, මාතෘකාව අවසන්. ඔබ මෙම රේඛා කියවන්නේ නම්, ඔබ ඉතා සිසිල් ය.

මක්නිසාද යත් තනිවම යමක් ප්‍රගුණ කළ හැක්කේ 5% කට පමණි. ඔබ අවසානය දක්වා කියවා ඇත්නම්, ඔබ 5% හි සිටී!

දැන් වැදගත්ම දේ.

ඔබ මෙම මාතෘකාව පිළිබඳ න්‍යාය තේරුම් ගෙන ඇත. සහ, මම නැවතත්, එය ... එය සුපිරි! ඔබ දැනටමත් ඔබේ සම වයසේ මිතුරන්ගෙන් බහුතරයකට වඩා හොඳ ය.

ගැටලුව වන්නේ මෙය ප්රමාණවත් නොවීමයි ...

කුමක් සඳහා ද?

සදහා සාර්ථක බෙදාහැරීමඒකාබද්ධ රාජ්ය විභාගය, අයවැය මත ආයතනයට ඇතුළත් කිරීම සඳහා සහ, වඩාත් වැදගත් ලෙස, ජීවිතය සඳහා.

මම ඔබට කිසිම දෙයක් ඒත්තු ගන්වන්නේ නැහැ, මම එක දෙයක් කියන්නම් ...

ලැබුණු මිනිස්සු හොඳ අධ්යාපනයක්, එය නොලැබූ අයට වඩා බොහෝ සෙයින් උපයන්න. මෙය සංඛ්යා ලේඛන වේ.

නමුත් මෙය ප්රධාන දෙය නොවේ.

ප්රධාන දෙය නම් ඔවුන් වඩාත් සතුටින් සිටීමයි (එවැනි අධ්යයන තිබේ). සමහර විට ඔවුන් ඉදිරියේ තවත් බොහෝ අවස්ථාවන් විවෘත වී ජීවිතය දීප්තිමත් වන නිසාද? දන්නේ නෑ...

නමුත් ඔබම සිතන්න...

විභාගයේදී අනෙක් අයට වඩා හොඳ වීමටත් අවසානයේ ... සතුටින් සිටීමටත් අවශ්‍ය වන්නේ කුමක්ද?

ඔබේ දෑත් පුරවන්න, මෙම මාතෘකාව පිළිබඳ ගැටළු විසඳීම.

විභාගයේදී, ඔබෙන් න්‍යාය අසනු නොලැබේ.

ඔබට අවශ්ය වනු ඇත නියමිත වේලාවට ගැටළු විසඳන්න.

තවද, ඔබ ඒවා විසඳා නොමැති නම් (ගොඩක්!), ඔබ අනිවාර්යයෙන්ම කොහේ හරි මෝඩ වැරැද්දක් කරනු ඇත, නැතහොත් නියමිත වේලාවට එය සිදු නොවනු ඇත.

එය ක්‍රීඩාවේ දී මෙන් - නිසැකවම ජයග්‍රහණය කිරීමට ඔබ බොහෝ වාරයක් පුනරාවර්තනය කළ යුතුය.

ඔබට අවශ්‍ය ඕනෑම තැනක එකතුවක් සොයා ගන්න අවශ්යයෙන්ම විසඳුම් සමඟ සවිස්තරාත්මක විශ්ලේෂණය සහ තීරණය කරන්න, තීරණය කරන්න, තීරණය කරන්න!

ඔබට අපගේ කාර්යයන් භාවිතා කළ හැකිය (අවශ්‍ය නොවේ) සහ අපි ඒවා නිසැකවම නිර්දේශ කරමු.

අපගේ කාර්යයන් සමඟ අත්වැලක් ලබා ගැනීම සඳහා, ඔබ දැනට කියවන YouClever පෙළපොතෙහි ආයු කාලය දීර්ඝ කිරීමට උදව් කළ යුතුය.

කෙසේද? විකල්ප දෙකක් තිබේ:

1. මෙම ලිපියේ සැඟවුණු සියලු කාර්යයන් සඳහා ප්‍රවේශය අගුළු හරින්න - 299 rub.
2. නිබන්ධනයේ සියලුම ලිපි 99 තුළ සැඟවුණු සියලු කාර්යයන් සඳහා ප්‍රවේශය අගුළු හරින්න - 499 rub.

ඔව්, අපට පෙළපොතෙහි එවැනි ලිපි 99 ක් ඇති අතර සියලු කාර්යයන් සඳහා ප්රවේශය සහ ඒවායේ සැඟවුණු පාඨ සියල්ලම වහාම විවෘත කළ හැකිය.

වෙබ් අඩවියේ මුළු ජීවිත කාලය සඳහාම සියලු සැඟවුණු කාර්යයන් සඳහා ප්රවේශය සපයනු ලැබේ.

අවසන් තීරණයේ දී...

ඔබ අපගේ කාර්යයන්ට අකමැති නම්, වෙනත් අය සොයා ගන්න. න්‍යායෙන් විතරක් නවතින්න එපා.

"තේරුණා" සහ "මම විසඳන්නේ කෙසේදැයි මම දනිමි" යනු සම්පූර්ණයෙන්ම වෙනස් කුසලතා වේ. ඔබට දෙකම අවශ්යයි.

ගැටළු සොයාගෙන විසඳන්න!