1 වන අනුපිළිවෙලෙහි සමජාතීය සමීකරණ. සමජාතීය අවකල සමීකරණ
වැනි කීර්තිමත් ගණිතමය මෙවලමක ඉතිහාසයෙන් අප ආරම්භ කළ යුතු යැයි මම සිතමි අවකල සමීකරණ. සියලුම අවකල සහ අනුකලිත කලනය මෙන්ම, මෙම සමීකරණ 17 වන සියවසේ අගභාගයේදී නිව්ටන් විසින් සොයා ගන්නා ලදී. ඔහුගේ මෙම විශේෂිත සොයාගැනීම කොතරම් වැදගත්ද යත්, ඔහු පණිවිඩයක් පවා සංකේතනය කළේය, එය අද මෙවන් දෙයක් පරිවර්තනය කළ හැකිය: "ස්වභාවධර්මයේ සියලුම නීති අවකල සමීකරණ මගින් විස්තර කෙරේ." මෙය අතිශයෝක්තියක් ලෙස පෙනුනද එය සත්‍යයකි. භෞතික විද්‍යාව, රසායන විද්‍යාව, ජීව විද්‍යාව යන ඕනෑම නීතියක් මෙම සමීකරණ මගින් විස්තර කළ හැක.
ගණිතඥයන් වන ඉයුලර් සහ ලග්රෙන්ජ් අවකල සමීකරණ න්‍යාය වර්ධනය කිරීම සහ නිර්මාණය කිරීම සඳහා විශාල දායකත්වයක් ලබා දුන්හ. දැනටමත් 18 වන ශතවර්ෂයේ දී ඔවුන් ජ්යෙෂ්ඨ විශ්ව විද්යාල පාඨමාලා වල දැන් ඉගෙන ගන්නා දේ සොයාගෙන සංවර්ධනය කර ඇත.
අවකල සමීකරණ අධ්‍යයනයේ නව සන්ධිස්ථානයක් හෙන්රි පොයින්කරේට ස්තුතිවන්ත විය. ඔහු "අවකල්‍ය සමීකරණවල ගුණාත්මක න්‍යාය" නිර්මාණය කළ අතර එය සංකීර්ණ විචල්‍යයක ශ්‍රිත න්‍යාය සමඟ ඒකාබද්ධව ස්ථාන විද්‍යාවේ පදනමට සැලකිය යුතු දායකත්වයක් ලබා දුන්නේය - අවකාශයේ විද්‍යාව සහ එහි ගුණාංග.
අවකල සමීකරණ යනු කුමක්ද?
බොහෝ අය එක් වාක්‍ය ඛණ්ඩයකට බිය වෙති, කෙසේ වෙතත්, මෙම ලිපියෙන් අපි මෙම ඉතා ප්රයෝජනවත් ගණිතමය උපකරණයේ සම්පූර්ණ සාරය විස්තර කරමු, එය ඇත්ත වශයෙන්ම නමෙන් පෙනෙන තරම් සංකීර්ණ නොවේ. පළමු අනුපිළිවෙල අවකල සමීකරණ ගැන කතා කිරීම ආරම්භ කිරීම සඳහා, ඔබ මුලින්ම මෙම නිර්වචනය සමඟ සහජයෙන්ම සම්බන්ධ වන මූලික සංකල්ප සමඟ හුරුපුරුදු විය යුතුය. තවද අපි අවකලනය සමඟ ආරම්භ කරමු.
අවකලනය
බොහෝ අය මෙම සංකල්පය පාසලේ සිටම දැන සිටියහ. කෙසේ වෙතත්, අපි එය දෙස සමීපව බලමු. ශ්‍රිතයක ප්‍රස්ථාරය සිතන්න. එහි ඕනෑම කොටසක් සරල රේඛාවක ස්වරූපය ගන්නා තරමට අපට එය වැඩි කළ හැකිය. අපි එය එකිනෙකට අසීමිත ලෙස සමීප වන කරුණු දෙකක් ගනිමු. ඒවායේ ඛණ්ඩාංක (x හෝ y) අතර වෙනස අසීමිත වනු ඇත. එය අවකලනය ලෙස හඳුන්වනු ලබන අතර dy (y හි අවකලනය) සහ dx (x හි අවකලනය) යන සංඥා වලින් දැක්වේ. අවකලනය පරිමිත ප්‍රමාණයක් නොවන බව වටහා ගැනීම ඉතා වැදගත් වන අතර මෙය එහි අර්ථය සහ ප්රධාන කාර්යය වේ.
දැන් අපි ඊළඟ මූලද්රව්යය සලකා බැලිය යුතු අතර, අවකල සමීකරණයේ සංකල්පය පැහැදිලි කිරීමේදී අපට ප්රයෝජනවත් වනු ඇත. මෙය ව්යුත්පන්නයකි.
ව්යුත්පන්න
අපි හැමෝම මේ සංකල්පය පාසලේදී අහලා ඇති. ව්‍යුත්පන්නය යනු ශ්රිතයක් වැඩිවන හෝ අඩුවන වේගයයි. කෙසේ වෙතත්, මෙම අර්ථ දැක්වීමෙන් බොහෝ දේ අපැහැදිලි වේ. අවකලනය හරහා ව්යුත්පන්න පැහැදිලි කිරීමට උත්සාහ කරමු. එකිනෙකින් අවම දුරින් ඇති ලක්ෂ්‍ය දෙකක් සහිත ශ්‍රිතයක අපරිමිත කොටසකට ආපසු යමු. නමුත් මෙම දුරින් වුවද, කාර්යය යම් ප්රමාණයකින් වෙනස් වීමට සමත් වේ. තවද මෙම වෙනස විස්තර කිරීම සඳහා ඔවුන් ව්‍යුත්පන්නයක් ඉදිරිපත් කළ අතර, එය වෙනත් ආකාරයකින් අවකලනයන්හි අනුපාතයක් ලෙස ලිවිය හැකිය: f(x)"=df/dx.
දැන් එය ව්යුත්පන්නයේ මූලික ගුණාංග සලකා බැලීම වටී. ඒවායින් තුනක් පමණක් ඇත:
- එකතුවක හෝ වෙනසක ව්‍යුත්පන්නය ව්‍යුත්පන්නවල එකතුවක් හෝ වෙනසක් ලෙස නිරූපණය කළ හැක: (a+b)"=a"+b" සහ (a-b)"=a"-b".
- දෙවන ගුණය ගුණ කිරීම හා සම්බන්ධ වේ. නිෂ්පාදනයක ව්‍යුත්පන්නය යනු එක් ශ්‍රිතයක නිෂ්පාදනවල එකතුව සහ තවත් ශ්‍රිතයක ව්‍යුත්පන්නයයි: (a*b)"=a"*b+a*b".
- වෙනසෙහි ව්‍යුත්පන්නය පහත සමානාත්මතාවය ලෙස ලිවිය හැක: (a/b)"=(a"*b-a*b")/b 2 .
පළමු පෙළ අවකල සමීකරණ සඳහා විසඳුම් සෙවීම සඳහා මෙම සියලු ගුණාංග අපට ප්රයෝජනවත් වනු ඇත.
අර්ධ ව්යුත්පන්න ද ඇත. x සහ y විචල්යයන් මත රඳා පවතින z ශ්රිතයක් ඇතැයි සිතමු. මෙම ශ්‍රිතයේ අර්ධ ව්‍යුත්පන්නය ගණනය කිරීම සඳහා, x සම්බන්ධයෙන්, අපි y විචල්‍යය නියතයක් ලෙස ගෙන සරලව අවකලනය කළ යුතුය.
අනුකලනය
තවත් වැදගත් සංකල්පයක් වන්නේ අනුකලනයයි. ඇත්ත වශයෙන්ම, මෙය ව්‍යුත්පන්නයක ප්‍රතිවිරුද්ධයයි. අනුකලිත වර්ග කිහිපයක් ඇත, නමුත් සරලම අවකල සමීකරණ විසඳීමට අපට වඩාත්ම සුළු ඒවා අවශ්ය වේ.
ඉතින් අපි හිතමු අපිට x මත f වල යම්කිසි යැපීමක් තියෙනවා කියලා. අපි එයින් අනුකලනය ගෙන F(x) ශ්රිතය ලබා ගනිමු (බොහෝ විට ප්‍රතිව්‍යුත්පන්න ලෙස හැඳින්වේ), එහි ව්‍යුත්පන්නය මුල් ශ්‍රිතයට සමාන වේ. මේ අනුව F(x)"=f(x).එමෙන්ම ව්යුත්පන්නයේ අනුකලනය මුල් ශ්‍රිතයට සමාන වේ.
අවකල සමීකරණ විසඳීමේදී, අනුකලනයේ අර්ථය සහ ක්‍රියාකාරිත්වය අවබෝධ කර ගැනීම ඉතා වැදගත් වේ, මන්ද විසඳුම සොයා ගැනීම සඳහා ඔබට ඒවා බොහෝ විට ගැනීමට සිදුවනු ඇත.
සමීකරණ ඒවායේ ස්වභාවය අනුව වෙනස් වේ. ඊළඟ කොටසේදී, අපි පළමු පෙළ අවකල සමීකරණ වර්ග දෙස බලමු, ඉන්පසු ඒවා විසඳන්නේ කෙසේදැයි ඉගෙන ගනිමු.
අවකල සමීකරණ පන්ති
"Diffurs" ඒවාට සම්බන්ධ වූ ව්යුත්පන්න අනුපිළිවෙල අනුව බෙදී ඇත. මේ අනුව පළමු, දෙවන, තෙවන සහ තවත් අනුපිළිවෙලක් ඇත. ඒවා පන්ති කිහිපයකට බෙදිය හැකිය: සාමාන්ය සහ අර්ධ ව්යුත්පන්න.
මෙම ලිපියෙන් අපි පළමු අනුපිළිවෙල සාමාන්ය අවකල සමීකරණ දෙස බලමු. අපි පහත කොටස් වලින් ඒවා විසඳීමට උදාහරණ සහ ක්‍රම ද සාකච්ඡා කරමු. අපි ODE පමණක් සලකා බලමු, මන්ද මේවා වඩාත් පොදු සමීකරණ වර්ග වේ. සාමාන්ය ඒවා උප විශේෂවලට බෙදා ඇත: වෙන් කළ හැකි විචල්යයන් සමඟ, සමජාතීය සහ විෂමජාතීය. ඊළඟට, ඔවුන් එකිනෙකාගෙන් වෙනස් වන ආකාරය සහ ඒවා විසඳන්නේ කෙසේදැයි ඔබ ඉගෙන ගනු ඇත.
මීට අමතරව, මෙම සමීකරණ ඒකාබද්ධ කළ හැකි අතර එමඟින් අපි පළමු අනුපිළිවෙල අවකල සමීකරණ පද්ධතියකින් අවසන් වේ. අපි එවැනි පද්ධති සලකා බලා ඒවා විසඳන්නේ කෙසේදැයි ඉගෙන ගනිමු.
අපි පළමු ඇණවුම පමණක් සලකා බලන්නේ ඇයි? ඔබ සරල දෙයකින් ආරම්භ කළ යුතු නිසාත්, අවකල සමීකරණවලට අදාළ සියල්ල එක් ලිපියකින් විස්තර කිරීමටත් නොහැකි නිසා.
වෙන් කළ හැකි සමීකරණ
මේවා සමහර විට සරලම පළමු අනුපිළිවෙල අවකල සමීකරණ වේ. මේවාට පහත පරිදි ලිවිය හැකි උදාහරණ ඇතුළත් වේ: y"=f(x)*f(y). මෙම සමීකරණය විසඳීම සඳහා, අපට ව්‍යුත්පන්නය අවකල අනුපාතයක් ලෙස නිරූපණය කිරීම සඳහා සූත්‍රයක් අවශ්ය වේ: y"=dy/dx. එය භාවිතා කිරීමෙන් අපට පහත සමීකරණය ලැබේ: dy/dx=f(x)*f(y). දැන් අපි විසඳුම් ක්රමය වෙත හැරිය හැක සම්මත උදාහරණ: අපි විචල්‍ය කොටස් වලට බෙදමු, එනම්, y විචල්‍යය සමඟ ඇති සියල්ල dy පිහිටා ඇති කොටසට ගෙන යමු, සහ x විචල්‍යය සමඟ ද එයම කරන්න. අපි පෝරමයේ සමීකරණයක් ලබා ගනිමු: dy/f(y)=f(x)dx, එය දෙපැත්තේම අනුකලනය කිරීමෙන් විසඳනු ලැබේ. integral එක ගත්තට පස්සේ set කරන්න ඕන නියතය ගැන අමතක කරන්න එපා.
ඕනෑම "විභේදනයකට" විසඳුම y මත x රඳා පැවැත්මේ ශ්‍රිතයකි (අපගේ නඩුවේදී) හෝ සංඛ්‍යාත්මක තත්වයක් තිබේ නම්, පිළිතුර සංඛ්‍යාවක ස්වරූපයෙන්. අපි බලමු නිශ්චිත උදාහරණයක්සම්පූර්ණ විසඳුම:
අපි විචල්යයන් විවිධ දිශාවලට ගෙන යමු:
දැන් අපි අනුකලනය ගනිමු. ඒවා සියල්ලම අනුකලිත විශේෂ වගුවකින් සොයාගත හැකිය. සහ අපට ලැබෙන්නේ:
ln(y) = -2*cos(x) + C
අවශ්ය නම්, අපට "y" "x" ශ්රිතයක් ලෙස ප්රකාශ කළ හැකිය. දැන් අපට කියන්න පුළුවන් කොන්දේසිය සඳහන් නොකළහොත් අපගේ අවකල සමීකරණය විසඳී ඇති බව. කොන්දේසියක් නියම කළ හැක, උදාහරණයක් ලෙස, y(n/2)=e. එවිට අපි මෙම විචල්‍යවල අගයන් විසඳුමට ආදේශ කර නියතයේ අගය සොයා ගනිමු. අපගේ උදාහරණයේ එය 1 වේ.
පළමු අනුපිළිවෙලෙහි සමජාතීය අවකල සමීකරණ
දැන් අපි වඩාත් දුෂ්කර කොටස වෙත යමු. සමජාතීය පළමු අනුපිළිවෙල අවකල සමීකරණ ලිවිය හැක පොදු දැක්ම so: y"=z(x,y). විචල්‍ය දෙකක නිවැරදි ශ්රිතය සමජාතීය බව සටහන් කළ යුතු අතර, එය පරායත්තතා දෙකකට බෙදිය නොහැක: z මත x සහ z මත y. එය පරීක්ෂා කිරීම තරමක් සරල ය. සමීකරණය සමජාතීය හෝ නොවේ: අපි x=k*x සහ y=k*y ප්රතිස්ථාපනය කරන්නෙමු ඉදිරියට, අපි කියමු: මෙම උදාහරණ විසඳීමේ මූලධර්මය ද ඉතා සරල ය.
අපි ප්‍රතිස්ථාපනයක් කළ යුතුයි: y=t(x)*x, මෙහි t යනු x මත ද රඳා පවතින නිශ්චිත ශ්‍රිතයකි. එවිට අපට ව්‍යුත්පන්නය ප්රකාශ කළ හැක: y"=t"(x)*x+t. මේ සියල්ල අපගේ මුල් සමීකරණයට ආදේශ කර එය සරල කිරීමෙන්, අපට වෙන් කළ හැකි t සහ x විචල්යයන් සමඟ උදාහරණයක් ලැබේ. අපි එය විසඳා t (x) යැපීම ලබා ගනිමු. අපට එය ලැබුණු විට, අපි සරලවම y=t(x)*x අපගේ පෙර ප්‍රතිස්ථාපනයට ආදේශ කරමු. එවිට අපට x මත y හි යැපීම ලැබේ.
එය වඩාත් පැහැදිලි කිරීම සඳහා, අපි උදාහරණයක් බලමු: x*y"=y-x*e y/x .
ප්රතිස්ථාපනය සමඟ පරීක්ෂා කරන විට, සියල්ල අඩු වේ. මෙයින් අදහස් කරන්නේ සමීකරණය සැබවින්ම සමජාතීය බවයි. දැන් අපි කතා කළ තවත් ආදේශකයක් කරන්නෙමු: y=t(x)*x සහ y"=t"(x)*x+t(x). සරල කිරීමෙන් පසු, අපි පහත සමීකරණය ලබා ගනිමු: t"(x)*x=-e t. අපි වෙන් වූ විචල්යයන් සමඟ ප්රතිඵලය වන උදාහරණය විසඳා ලබා ගනිමු: e -t =ln(C*x). අප කළ යුත්තේ ප්රතිස්ථාපනය කිරීමයි. t සමග y/x (සියල්ලට පසු, y =t*x නම්, t=y/x), සහ අපට පිළිතුර ලැබේ: e -y/x =ln(x*C).
පළමු අනුපිළිවෙලෙහි රේඛීය අවකල සමීකරණ
තවත් පුළුල් මාතෘකාවක් දෙස බැලීමට කාලයයි. අපි පළමු අනුපිළිවෙලෙහි සමජාතීය අවකල සමීකරණ විශ්ලේෂණය කරන්නෙමු. ඔවුන් පෙර දෙකට වඩා වෙනස් වන්නේ කෙසේද? අපි එය තේරුම් ගනිමු. සාමාන්ය ආකාරයෙන් පළමු අනුපිළිවෙලෙහි රේඛීය අවකල සමීකරණ පහත පරිදි ලිවිය හැක: y" + g(x)*y=z(x) z(x) සහ g(x) නියත ප්‍රමාණ විය හැකි බව පැහැදිලි කිරීම වටී.
දැන් උදාහරණයක්: y" - y*x=x 2 .
විසඳුම් දෙකක් ඇත, අපි දෙකම පිළිවෙලට බලමු. පළමුවැන්න අත්තනෝමතික නියතයන් වෙනස් කිරීමේ ක්‍රමයයි.
මේ ආකාරයෙන් සමීකරණය විසඳීම සඳහා, ඔබ මුලින්ම දකුණු පැත්ත ශුන්යයට සමාන කළ යුතු අතර එහි ප්රතිඵලය වන සමීකරණය විසඳිය යුතුය, එය කොටස් මාරු කිරීමෙන් පසු පෝරමය ගනු ඇත:
ln|y|=x 2/2 + C;
y=e x2/2 *y C =C 1 *e x2/2 .
දැන් අපි සොයා ගත යුතු v(x) ශ්රිතය සමඟ නියත C 1 වෙනුවට ආදේශ කළ යුතුය.
ව්‍යුත්පන්නය ප්රතිස්ථාපනය කරමු:
y"=v"*e x2/2 -x*v*e x2/2 .
මෙම ප්‍රකාශන මුල් සමීකරණයට ආදේශ කරන්න:
v"*e x2/2 - x*v*e x2/2 + x*v*e x2/2 = x 2 .
වම් පැත්තේ පද දෙකක් අවලංගු කරන බව ඔබට පෙනෙනු ඇත. කිසියම් උදාහරණයකින් මෙය සිදු නොවූයේ නම්, ඔබ වැරදි දෙයක් කර ඇත. අපි දිගටම කරගෙන යමු:
v"*e x2/2 = x 2 .
දැන් අපි විචල්යයන් වෙන් කිරීමට අවශ්ය සුපුරුදු සමීකරණය විසඳන්නෙමු:
dv/dx=x 2 /e x2/2 ;
dv = x 2 * e - x2/2 dx.
අනුකලනය උපුටා ගැනීම සඳහා, අපට මෙහි කොටස් අනුව අනුකලනය යෙදිය යුතුය. කෙසේ වෙතත්, මෙය අපගේ ලිපියේ මාතෘකාව නොවේ. ඔබ උනන්දුවක් දක්වන්නේ නම්, එවැනි ක්රියාවන් ඔබ විසින්ම සිදු කරන්නේ කෙසේදැයි ඔබට ඉගෙන ගත හැකිය. එය අපහසු නැත, ප්රමාණවත් කුසලතා සහ සැලකිල්ලෙන් එය බොහෝ කාලයක් ගත නොවේ.
අපි සමජාතීය සමීකරණ විසඳීමේ දෙවන ක්රමය වෙත හැරෙමු: බර්නූලිගේ ක්රමය. කුමන ප්‍රවේශය වේගවත් සහ පහසුද යන්න තීරණය කිරීම ඔබට භාරයි.
එබැවින්, මෙම ක්රමය භාවිතයෙන් සමීකරණයක් විසඳන විට, අපි ආදේශනයක් කළ යුතුය: y=k*n. මෙහි k සහ n යනු x මත යැපෙන ශ්‍රිත කිහිපයක් වේ. එවිට ව්‍යුත්පන්නය මෙලෙස පෙනෙනු ඇත: y"=k"*n+k*n". අපි ප්‍රතිස්ථාපන දෙකම සමීකරණයට ආදේශ කරමු:
k"*n+k*n"+x*k*n=x 2 .
සමූහගත කිරීම:
k"*n+k*(n"+x*n)=x 2 .
දැන් අපි වරහන් තුළ ඇති දේ ශුන්යයට සම කළ යුතුයි. දැන්, අපි ලැබෙන සමීකරණ දෙක ඒකාබද්ධ කළහොත්, අපට විසඳිය යුතු පළමු අනුපිළිවෙල අවකල සමීකරණ පද්ධතියක් ලැබේ:
අපි පළමු සමානාත්මතාවය සාමාන්ය සමීකරණයක් ලෙස විසඳන්නෙමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, ඔබ විචල්යයන් වෙන් කළ යුතුය:
අපි අනුකලනය ගෙන ලබා ගනිමු: ln(n)=x 2/2. එවිට, අපි n ප්රකාශ කරන්නේ නම්:
දැන් අපි පද්ධතියේ දෙවන සමීකරණයට ප්රතිඵලය වන සමානාත්මතාවය ආදේශ කරමු:
k"*e x2/2 =x 2 .
පරිවර්තනය කිරීමෙන්, පළමු ක්‍රමයට සමාන සමානාත්මතාවය අපට ලැබේ:
dk=x 2 /e x2/2 .
අපි ද විසුරුවා හරිනු නොලැබේ ඉදිරි ක්රියාවන්. මුලින්ම පළමු පෙළ අවකල සමීකරණ විසඳීම සැලකිය යුතු දුෂ්කරතා ඇති කරන බව පැවසීම වටී. කෙසේ වෙතත්, ඔබ මාතෘකාව ගැඹුරින් සොයා බලන විට, එය වඩා හොඳින් හා වඩා හොඳින් වැඩ කිරීමට පටන් ගනී.
අවකල සමීකරණ භාවිතා කරන්නේ කොහේද?
මූලික නීති සියල්ලම පාහේ ලියා ඇති බැවින් අවකල සමීකරණ භෞතික විද්‍යාවේ ඉතා ක්‍රියාකාරීව භාවිතා වේ. අවකල ආකෘතිය, සහ අප දකින සූත්‍ර මෙම සමීකරණ සඳහා විසඳුම වේ. රසායන විද්යාවේදී ඔවුන් එකම හේතුව සඳහා භාවිතා කරනු ලැබේ: මූලික නීති ඔවුන්ගේ උපකාරයෙන් ව්යුත්පන්න කර ඇත. ජීව විද්යාවේදී, විලෝපිකයා සහ ගොදුර වැනි පද්ධතිවල හැසිරීම් ආදර්ශනය කිරීමට අවකල සමීකරණ භාවිතා කරයි. ක්ෂුද්‍ර ජීවීන්ගේ ජනපදයක ප්‍රජනන ආකෘති නිර්මාණය කිරීමට ද ඒවා භාවිතා කළ හැකිය.
අවකල සමීකරණ ඔබට ජීවිතයට උපකාර කරන්නේ කෙසේද?
මෙම ප්රශ්නයට පිළිතුර සරලයි: කිසිසේත් නැත. ඔබ විද්යාඥයෙකු හෝ ඉංජිනේරුවෙකු නොවේ නම්, ඔවුන් ඔබට ප්රයෝජනවත් වනු ඇතැයි සිතිය නොහැක. කෙසේ වෙතත් සඳහා සාමාන්ය සංවර්ධනයඅවකල සමීකරණයක් යනු කුමක්ද සහ එය විසඳන්නේ කෙසේද යන්න දැන ගැනීම හානියක් නොවේ. එවිට පුතාගේ හෝ දුවගේ ප්රශ්නය වන්නේ "අවකල්‍ය සමීකරණයක් යනු කුමක්ද?" ඔබව ව්‍යාකූල නොකරනු ඇත. හොඳයි, ඔබ විද්යාඥයෙකු හෝ ඉංජිනේරුවෙකු නම්, ඕනෑම විද්‍යාවක මෙම මාතෘකාවේ වැදගත්කම ඔබම තේරුම් ගනී. නමුත් වැදගත්ම දෙය නම් දැන් ප්රශ්නය වන්නේ “පළමු පෙළ අවකල සමීකරණයක් විසඳන්නේ කෙසේද?” යන්නයි. ඔබට සැමවිටම පිළිතුරක් දිය හැකිය. එකඟ වන්න, මිනිසුන් තේරුම් ගැනීමට පවා බිය වන දෙයක් ඔබ තේරුම් ගත් විට එය සැමවිටම සතුටක්.
අධ්යයනය කිරීමේදී ප්රධාන ගැටළු
මෙම මාතෘකාව අවබෝධ කර ගැනීමේ ප්රධාන ගැටළුව වන්නේ කාර්යයන් ඒකාබද්ධ කිරීම සහ වෙනස් කිරීම සඳහා දුර්වල කුසලතාවයකි. ඔබ ව්යුත්පන්න සහ අනුකලයන් ගැනීමට නරක නම්, එය අධ්යයනය කිරීම සහ ප්‍රගුණ කිරීම වටී විවිධ ක්රමඒකාබද්ධ කිරීම සහ අවකලනය, සහ පසුව පමණක් ලිපියේ විස්තර කර ඇති ද්රව්ය අධ්යයනය කිරීමට පටන් ගනී.
සමහර අය dx ගෙන යා හැකි බව දැනගත් විට පුදුමයට පත් වේ, මන්ද කලින් (පාසලේදී) dy/dx භාගය බෙදිය නොහැකි බව ප්රකාශ කර ඇත. මෙහිදී ඔබ ව්‍යුත්පන්නය පිළිබඳ සාහිත්යය කියවිය යුතු අතර එය සමීකරණ විසඳීමේදී හැසිරවිය හැකි අසීමිත ප්‍රමාණවල අනුපාතයක් බව තේරුම් ගත යුතුය.
පළමු අනුපිළිවෙල අවකල සමීකරණ විසඳීම බොහෝ විට ගත නොහැකි ශ්රිතයක් හෝ අනුකලනයක් බව බොහෝ අය ක්ෂණිකව වටහා නොගන්නා අතර මෙම වැරදි වැටහීම ඔවුන්ට බොහෝ කරදර ඇති කරයි.
වඩා හොඳ අවබෝධයක් සඳහා ඔබට ඉගෙන ගත හැක්කේ කුමක්ද?
ලෝකයේ තවදුරටත් ගිල්වීම ආරම්භ කිරීම වඩාත් සුදුසුය අවකල ගණනයවිශේෂිත පෙළපොත් වලින්, උදාහරණයක් ලෙස, මත ගණිතමය විශ්ලේෂණයගණිතමය නොවන විශේෂතා සිසුන් සඳහා. එවිට ඔබට වඩාත් විශේෂිත සාහිත්යය වෙත ගමන් කළ හැකිය.
අවකලනයට අමතරව, ද ඇති බව පැවසීම වටී අනුකලිත සමීකරණ, එබැවින් ඔබට සැමවිටම උත්සාහ කිරීමට සහ ඉගෙන ගැනීමට යමක් තිබේ.
නිගමනය
මෙම ලිපිය කියවීමෙන් පසු අවකල සමීකරණ යනු කුමක්ද සහ ඒවා නිවැරදිව විසඳන්නේ කෙසේද යන්න පිළිබඳව ඔබට අදහසක් ඇති බව අපි බලාපොරොත්තු වෙමු.
කොහොමත් ගණිතය අපට ජීවිතයේ යම් ආකාරයකින් ප්රයෝජනවත් වේවි. එය තර්කනය සහ අවධානය වර්ධනය කරයි, එය නොමැතිව සෑම පුද්ගලයෙකුම අත් නොමැතිව සිටී.
f(x,y) ශ්රිතය හැඳින්වේ සමජාතීය කාර්යයඅනන්‍යතාවය සත්‍ය නම්, n මානය පිළිබඳ එහි තර්ක f(tx,ty) \equiv t^nf(x,y).
උදාහරණයක් ලෙස, f(x,y)=x^2+y^2-xy ශ්රිතය දෙවන මානයෙහි සමජාතීය ශ්‍රිතයකි.
F(tx,ty)=(tx)^2+(ty)^2-(tx)(ty)=t^2(x^2+y^2-xy)=t^2f(x,y).
n=0 විට අපට ශුන්‍ය මානයක ශ්රිතයක් ඇත. උදාහරණ වශයෙන්, \frac(x^2-y^2)(x^2+y^2)ශුන්‍ය මානයක සමජාතීය ශ්‍රිතයකි, සිට
(f(tx,ty)=\frac((tx)^2-(ty)^2)((tx)^2+(ty)^2)=\frac(t^2(x^2-y^ 2))(t^2(x^2+y^2))=\frac(x^2-y^2)(x^2+y^2)=f(x,y))
පෝරමයේ අවකල සමීකරණය \frac(dy)(dx)=f(x,y) f(x,y) යනු එහි ශුන්‍ය මාන තර්කවල සමජාතීය ශ්රිතයක් නම් x සහ y සම්බන්ධයෙන් සමජාතීය යැයි කියනු ලැබේ. සමජාතීය සමීකරණයක් සෑම විටම ලෙස දැක්විය හැක
\frac(dy)(dx)=\varphi\!\left(\frac(y)(x)\දකුණ).
නව අවශ්ය ශ්රිතය u=\frac(y)(x) හඳුන්වා දීමෙන්, (1) සමීකරණය විචල්‍ය වෙන් කරන සමීකරණයකට අඩු කළ හැක:
X\frac(du)(dx)=\varphi(u)-u.
u=u_0 යනු \varphi(u)-u=0 සමීකරණයේ මූලය නම්, සමජාතීය සමීකරණයට විසඳුම u=u_0 හෝ y=u_0x (මූලත්වය හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාව) වේ.
අදහස් දක්වන්න.සමජාතීය සමීකරණ විසඳන විට, ඒවා (1) ආකෘතියට අඩු කිරීම අවශ්ය නොවේ. ඔබට වහාම y=ux ආදේශනය කළ හැක.
උදාහරණ 1.තීරණය කරන්න සමජාතීය සමීකරණය xy"=\sqrt(x^2-y^2)+y.
විසඳුමක්.අපි සමීකරණය පෝරමයේ ලියන්නෙමු y"=\sqrt(1-(\left(\frac(y)(x)\දකුණ)\^2}+\frac{y}{x} !}එබැවින් මෙම සමීකරණය x සහ y සම්බන්ධයෙන් සමජාතීය වේ. අපි u=\frac(y)(x) , හෝ y=ux දමමු. එවිට y"=xu"+u . සමීකරණයට y සහ y සඳහා ප්‍රකාශන ආදේශ කිරීම, අපට ලැබේ x\frac(du)(dx)=\sqrt(1-u^2). අපි විචල්යයන් වෙන් කරමු: \frac(du)(1-u^2)=\frac(dx)(x). මෙතැන් සිට අපි ඒකාබද්ධ කිරීම මගින් සොයා ගනිමු
\arcsin(u)=\ln|x|+\ln(C_1)~(C_1>0), හෝ \arcsin(u)=\ln(C_1|x|).
C_1|x|=\pm(C_1x) , එවිට, \pm(C_1)=C දැක්වීමෙන්, අපට ලැබේ \arcsin(u)=\ln(Cx), කොහෙද |\ln(Cx)|\leqslant\frac(\pi)(2)හෝ e^(-\pi/2)\leqslant(Cx)\leqslant(e^(\pi/2)). u වෙනුවට \frac(y)(x) , අපට සාමාන්ය අනුකලනය ඇත \arcsin(y)(x)=\ln(Cx).
මෙතැන් සිට පොදු තීරණය: y=x\sin\ln(Cx) .
විචල්යයන් වෙන් කිරීමේදී, අපි සමීකරණයේ දෙපැත්තම x\sqrt(1-u^2) නිෂ්පාදනයෙන් බෙදුවෙමු, එබැවින් අපට විසඳුම නැති විය හැකි අතර එමඟින් මෙම නිෂ්පාදනය අතුරුදහන් වේ.
අපි දැන් x=0 සහ \sqrt(1-u^2)=0 සකසමු. නමුත් x\ne0 ආදේශනය නිසා u=\frac(y)(x) , සහ \sqrt(1-u^2)=0 සම්බන්ධතාවයෙන් අපට එය ලැබේ. 1-\frac(y^2)(x^2)=0, මෙතැනින් y=\pm(x) . සෘජු සත්‍යාපනය මගින් y=-x සහ y=x යන ශ්‍රිත ද මෙම සමීකරණයට විසඳුම් බව අපට ඒත්තු ගොස් ඇත.
උදාහරණය 2.සමජාතීය සමීකරණයක අනුකලිත වක්‍ර C_\alpha පවුල සලකා බලන්න y"=\varphi\!\වම(\frac(y)(x)\දකුණ). මෙම සමජාතීය අවකල සමීකරණය මගින් අර්ථ දක්වා ඇති වක්‍ර වලට අනුරූප ලක්ෂ්යවල ස්පර්ශක එකිනෙකට සමාන්තර බව පෙන්වන්න.
සටහන:අපි අමතන්නම් සුදුසුමූලාරම්භයෙන් නිකුත් වන එකම කිරණ මත පිහිටා ඇති C_\ alpha වක්‍රවල ඇති එම ලක්ෂ්‍ය.
විසඳුමක්.අප සතුව ඇති අනුරූප ලක්ෂ්යවල නිර්වචනය අනුව \frac(y)(x)=\frac(y_1)(x_1), එබැවින් y"=y"_1 සමීකරණයේ ප්‍රයෝගයෙන්, මෙහි y" සහ y"_1 යනු අනුකලිත වක්‍ර C_\alpha සහ C_(\alpha_1), M සහ M_1 යන ලක්ෂ්යවල ස්පර්ශකවල කෝණික සංගුණක වේ. (රූපය 12).
සමජාතීය බවට අඩු කරන සමීකරණ
ඒ.පෝරමයේ අවකල සමීකරණයක් සලකා බලන්න
\frac(dy)(dx)=f\!\left (\frac(ax+by+c)(a_1x+b_1y+c_1)\දකුණ).
මෙහි a,b,c,a_1,b_1,c_1 නියතයන් වන අතර f(u) යනු අඛණ්ඩ ක්රියාකාරිත්වයඑහි තර්කය යූ.
c=c_1=0 නම්, සමීකරණය (3) සමජාතීය වන අතර එය ඉහත දක්වා ඇති පරිදි අනුකලනය වේ.
අවම වශයෙන් c,c_1 සංඛ්‍යා වලින් එකක් බිංදුවට වඩා වෙනස් නම්, අවස්ථා දෙකක් වෙන්කර හඳුනාගත යුතුය.
1) නිර්ණායකය \Delta=\begin(vmatrix)a&b\\a_1&b_1\end(vmatrix)\ne0. x=\xi+h,~y=\eta+k සූත්‍රවලට අනුව නව විචල්යයන් \xi සහ \eta හඳුන්වා දීම, h සහ k තවමත් නිර්ණය නොකළ නියතයන් වන අතර, අපි සමීකරණය (3) පෝරමයට අඩු කරමු.
\frac(d\eta)(d\xi)=f\!\left(\frac(a\xi+b\eta+ah+bk+c)(a_1\xi+b_2\eta+a_1h+b_1k+c_1 )\දකුණ).
පද්ධතියට විසඳුමක් ලෙස h සහ k තෝරා ගැනීම රේඛීය සමීකරණ
\begin(cases)ah+bk+c=0,\\a_1h+b_1k+c_1=0\end(cases)~(\Delta\ne0),
අපි සමජාතීය සමීකරණයක් ලබා ගනිමු \frac(d\eta)(d\xi)=f\!\වම(\frac(a\xi+b\eta)(a_1\xi+b_1\eta)\දකුණ). එහි සාමාන්ය අනුකලය සොයාගෙන එහි \xi වෙනුවට x-h සහ \eta y-k සමඟ ප්රතිස්ථාපනය කිරීමෙන්, අපි සමීකරණයේ සාමාන්ය අනුකලනය ලබා ගනිමු (3).
2) නිර්ණායකය \Delta=\begin(vmatrix)a&b\\a_1&b_1\end(vmatrix)=0. පද්ධතිය (4) තුළ සාමාන්ය නඩුවවිසඳුම් නොමැති අතර ඉහත දක්වා ඇති ක්රමය අදාළ නොවේ; මේ අවස්ථාවේ දී \frac(a_1)(a)=\frac(b_1)(b)=\lambda, සහ එම නිසා සමීකරණය (3) ආකෘතිය ඇත \frac(dy)(dx)=f\!\left (\frac(ax+by+c)(\lambda(ax+by)+c_1)\දකුණ). z=ax+by ආදේශ කිරීම වෙන් කළ හැකි විචල්යයන් සහිත සමීකරණයකට මග පාදයි.
උදාහරණය 3.සමීකරණය විසඳන්න (x+y-2)\,dx+(x-y+4)\,dy=0.
විසඳුමක්.රේඛීය පද්ධතියක් සලකා බලන්න වීජීය සමීකරණ \begin(cases)x+y-2=0,\\x-y+4=0.\end(cases)
මෙම පද්ධතියේ නිර්ණායකය \Delta=\begin(vmatrix)\hfill1&\hfill1\\\hfill1&\hfill-1\end(vmatrix)=-2\ne0.
පද්ධතියට අද්විතීය විසඳුමක් x_0=-1,~y_0=3 ඇත. අපි x=\xi-1,~y=\eta+3 ආදේශනය කරන්නෙමු. එවිට සමීකරණය (5) ස්වරූපය ගනී
(\xi+\eta)\,d\xi+(\xi-\eta)\,d\eta=0.
මෙම සමීකරණය සමජාතීය සමීකරණයකි. \eta=u\xi සැකසීම, අපට ලැබේ
(\xi+\xi(u))\,d\xi+(\xi-\xi(u))(\xi\,du+u\,d\xi)=0, කොහෙද (1+2u-u^2)\,d\xi+\xi(1-u)\,du=0.
විචල්යයන් වෙන් කිරීම \frac(d\xi)(\xi)+\frac(1-u)(1+2u-u^2)\,du=0.
ඒකාබද්ධ කිරීම, අපි සොයා ගනිමු \ln|\xi|+\frac(1)(2)\ln|1+2u-u^2|=\ln(C)හෝ \xi^2(1+2u-u^2)=C .
අපි x,~y විචල්‍ය වෙත ආපසු යමු:
(x+1)^2\left=C_1හෝ x^2+2xy-y^2-4x+8y=C~~(C=C_1+14).
උදාහරණය 4.සමීකරණය විසඳන්න (x+y+1)\,dx+(2x+2y-1)\,dy=0.
විසඳුමක්.රේඛීය වීජීය සමීකරණ පද්ධතිය \begin(cases)x+y+1=0,\\2x+2y-1=0\end(cases)නොගැලපෙන. මෙම අවස්ථාවේදී, පෙර උදාහරණයේ භාවිතා කරන ලද ක්රමය සුදුසු නොවේ. සමීකරණය අනුකලනය කිරීම සඳහා, අපි x+y=z, dy=dz-dx ආදේශනය භාවිතා කරමු. සමීකරණය ස්වරූපය ගනීවි
(2-z)\,dx+(2z-1)\,dz=0.
විචල්යයන් වෙන් කිරීම, අපි ලබා ගනිමු
Dx-\frac(2z-1)(z-2)\,dz=0එහෙයින් x-2z-3\ln|z-2|=C.
x,~y විචල්‍ය වෙත ආපසු යාම, අපි මෙම සමීකරණයේ සාමාන්ය අනුකලනය ලබා ගනිමු.
X+2y+3\ln|x+y-2|=C.
බී.සමහර විට y=z^\alpha විචල්‍යය ප්රතිස්ථාපනය කිරීමෙන් සමීකරණය සමජාතීය කළ හැක. x විචල්‍යයට මානය 1 නම්, y - මානය \alpha සහ ව්යුත්පන්න \frac(dy)(dx) - මානය \alpha-1 යන විචල්‍යයට නම්, සමීකරණයේ ඇති සියලුම පද එකම මානයක ඇති විට මෙය සිදු වේ.
උදාහරණ 5.සමීකරණය විසඳන්න (x^2y^2-1)\,dy+2xy^3\,dx=0.
විසඳුමක්.ආදේශනයක් සිදු කිරීම y=z^\alpha,~dy=\alpha(z^(\alpha-1))\,dz, \alpha යනු දැනට අත්තනෝමතික අංකයකි, එය අපි පසුව තෝරා ගනිමු. සමීකරණයට y සහ dy සඳහා ප්‍රකාශන ආදේශ කිරීම, අපට ලැබේ
\alpha(x^2x^(2\alpha)-1)z^(\alpha-1)\,dz+2xz^(3\alpha)\,dx=0හෝ \alpha(x^2z^(3\alpha-1)-z^(\alpha-1))\,dz+2xz^(3\alpha)\,dx=0,
x^2z^(3\alpha-1) මානය ඇති බව සලකන්න 2+3\alpha-1=3\alpha+1, z^(\alpha-1) මානය \alpha-1, xz^(3\alpha) මානය 1+3\alpha . සියලු පදවල මිනුම් සමාන නම්, ප්රතිඵලය සමීකරණය සමජාතීය වනු ඇත, i.e. කොන්දේසිය සපුරා ඇත්නම් 3\alpha+1=\alpha-1, හෝ \alpha-1 .
y=\frac(1)(z) ; මුල් සමීකරණය ස්වරූපය ගනී
\left(\frac(1)(z^2)-\frac(x^2)(z^4)\දකුණ)dz+\frac(2x)(z^3)\,dx=0හෝ (z^2-x^2)\,dz+2xz\,dx=0.
අපි දැන් දමමු z=ux,~dz=u\,dx+x\,du. එවිට මෙම සමීකරණය ස්වරූපය ගනී (u^2-1)(u\,dx+x\,du)+2u\,dx=0, කොහෙද u(u^2+1)\,dx+x(u^2-1)\,du=0.
මෙම සමීකරණයේ විචල්යයන් වෙන් කිරීම \frac(dx)(x)+\frac(u^2-1)(u^3+u)\,du=0. ඒකාබද්ධ කිරීම, අපි සොයා ගනිමු
\ln|x|+\ln(u^2+1)-\ln|u|=\ln(C)හෝ \frac(x(u^2+1))(u)=C.
\frac(1)(xy) හරහා u ප්රතිස්ථාපනය කිරීමෙන්, අපි මෙම සමීකරණයේ සාමාන්ය අනුකලනය 1+x^2y^2=Cy ලබා ගනිමු.
සමීකරණය ද ඇත පැහැදිලි විසඳුම y=0 , එය C\to\infty හි සාමාන්ය අනුකලයෙන් ලබා ගනී, අනුකලය පෝරමයේ ලියා තිබේ නම් y=\frac(1+x^2y^2)(C), ඉන්පසු C\to\infty හි සීමාව වෙත යන්න. මේ අනුව, y=0 ශ්රිතය මුල් සමීකරණයට විශේෂිත විසඳුමකි.
ඔබගේ බ්‍රවුසරයේ Javascript අක්‍රිය කර ඇත.ගණනය කිරීම් සිදු කිරීමට, ඔබ ActiveX පාලන සක්රිය කළ යුතුය!
සමජාතීය
මෙම පාඩමේදී අපි ඊනියා දෙස බලමු පළමු අනුපිළිවෙල සමජාතීය අවකල සමීකරණ. මේ සමග වෙන් කළ හැකි සමීකරණසහ රේඛීය සමජාතීය සමීකරණමෙම වර්ගයේ දුරස්ථ පාලකය ඕනෑම තැනක පාහේ දක්නට ලැබේ පරීක්ෂණ වැඩවිසරණ මාතෘකාව මත. ඔබ සෙවුම් යන්ත්‍රයකින් පිටුවට පැමිණියේ නම් හෝ අවකල සමීකරණ තේරුම් ගැනීමට එතරම් විශ්වාසයක් නොමැති නම්, පළමුව මම මාතෘකාව පිළිබඳ හඳුන්වාදීමේ පාඩමක් හරහා වැඩ කිරීමට තරයේ නිර්දේශ කරමි - පළමු අනුපිළිවෙල අවකල සමීකරණ. කාරණය නම් සමජාතීය සමීකරණ විසඳීම සඳහා වන බොහෝ මූලධර්ම සහ භාවිතා කරන ශිල්පීය ක්‍රම වෙන් කළ හැකි විචල්යයන් සහිත සරලම සමීකරණ සඳහා හරියටම සමාන වේ.
සමජාතීය අවකල සමීකරණ සහ වෙනත් ආකාරයේ අවකල සමීකරණ අතර වෙනස කුමක්ද? මෙය වහාම පැහැදිලි කිරීමට පහසුම ක්රමය වන්නේ නිශ්චිත උදාහරණයකි.
උදාහරණ 1
විසඳුමක්:
කුමක් ද මුලින්මතීරණය කිරීමේදී විශ්ලේෂණය කළ යුතුය ඕනෑමඅවකල සමීකරණය පළමු නියෝගය? පළමුවෙන්ම, "පාසල්" ක්රියාවන් භාවිතයෙන් විචල්යයන් වහාම වෙන් කළ හැකිද යන්න පරීක්ෂා කිරීම අවශ්යද? සාමාන්යයෙන් මෙම විශ්ලේෂණය සිදු කරනු ලබන්නේ මානසිකව හෝ කෙටුම්පතක විචල්යයන් වෙන් කිරීමට උත්සාහ කිරීමෙනි.
තුල මෙම උදාහරණයේ විචල්යයන් වෙන් කළ නොහැක(ඔබට කොන්දේසි කොටස් වලින් කොටසට විසි කිරීමට උත්සාහ කළ හැකිය, වරහන් වලින් සාධක මතු කිරීම යනාදිය). මාර්ගය වන විට, මෙම උදාහරණයේ දී, විචල්යයන් බෙදිය නොහැකි බව, ගුණකය තිබීම නිසා ඉතා පැහැදිලිය.
ප්රශ්නය පැනනගින්නේ: මෙම විසිරුණු ගැටළුව විසඳන්නේ කෙසේද?
පරීක්ෂා කිරීමට අවශ්ය සහ මෙම සමීකරණය සමජාතීය නොවේද?? සත්‍යාපනය සරල වන අතර, සත්‍යාපන ඇල්ගොරිතම පහත පරිදි සකස් කළ හැක:
මුල් සමීකරණයට:
වෙනුවටඅපි ආදේශ කරනවා, වෙනුවටඅපි ආදේශ කරනවා, අපි ව්‍යුත්පන්නය ස්පර්ශ නොකරමු:
ලැම්ඩා අක්ෂරය කොන්දේසි සහිත පරාමිතියක් වන අතර මෙහි එය පහත කාර්යභාරය ඉටු කරයි: පරිවර්තනයේ ප්‍රති result ලයක් ලෙස, සියලුම ලැම්ඩාවන් “විනාශ කර” මුල් සමීකරණය ලබා ගත හැකි නම්, මෙම අවකල සමීකරණය සමජාතීය වේ.
ලාම්බඩාවන් ක්ෂණිකව ඝාතය මගින් අඩු කරන බව පැහැදිලිය: 
දැන් දකුණු පැත්තේ අපි ලැම්ඩා වරහන් වලින් ඉවතට ගනිමු: 
සහ කොටස් දෙකම එකම ලැම්ඩාවෙන් බෙදන්න:
ප්රතිඵලයක් වශයෙන් සෑමලැම්ඩාස් සිහිනයක් මෙන්, උදෑසන මීදුම මෙන් අතුරුදහන් වූ අතර, අපට මුල් සමීකරණය ලැබුණි.
නිගමනය:මෙම සමීකරණය සමජාතීය වේ
සමජාතීය අවකල සමීකරණයක් විසඳන්නේ කෙසේද?
මට ඉතා හොඳ ආරංචියක් ඇත. නියත වශයෙන්ම සියලුම සමජාතීය සමීකරණ තනි (!) සම්මත ආදේශකයක් භාවිතයෙන් විසඳා ගත හැක.
"ගේම්" කාර්යය විය යුතුය ආදේශ කරන්න කාර්යයයම් කාර්යයක් ("x" මතද රඳා පවතී)සහ "x":
ඔවුන් සෑම විටම පාහේ කෙටියෙන් මෙසේ ලියයි.
එවැනි ආදේශනයක් සමඟ ව්‍යුත්පන්නය කුමක් බවට පත්වේ දැයි අපි සොයා ගනිමු, අපි නිෂ්පාදනයේ අවකලනය පිළිබඳ රීතිය භාවිතා කරමු. නම්, එසේ නම්:
අපි මුල් සමීකරණයට ආදේශ කරමු:
එවැනි ආදේශකයක් ලබා දෙන්නේ කුමක්ද? මෙම ආදේශන සහ සරල කිරීම් වලින් පසුව, අපි සහතිකයිඅපි වෙන් කළ හැකි විචල්යයන් සමඟ සමීකරණයක් ලබා ගනිමු. මතක තබා ගන්නපළමු ආදරය වගේ :) සහ, ඒ අනුව, .
ආදේශ කිරීමෙන් පසු, අපි උපරිම සරල කිරීම් සිදු කරන්නෙමු: 
"x" මත යැපෙන ශ්රිතයක් බැවින්, එහි ව්‍යුත්පන්නය සම්මත භාගයක් ලෙස ලිවිය හැක: .
මේ අනුව:
අපි විචල්යයන් වෙන් කරමු, වම් පැත්තේ ඔබට එකතු කළ යුත්තේ “te” පමණක් වන අතර දකුණු පැත්තේ “x” පමණි:
විචල්යයන් වෙන් කර ඇත, අපි අනුකලනය කරමු: 
මගේ පළමු අනුව තාක්ෂණික උපදෙස්ලිපියෙන් පළමු අනුපිළිවෙල අවකල සමීකරණබොහෝ අවස්ථාවලදී ලඝුගණක ස්වරූපයෙන් නියතයක් "සූත්රගත කිරීම" යෝග්ය වේ.
සමීකරණය ඒකාබද්ධ කිරීමෙන් පසුව, අපි සිදු කළ යුතුය ආපසු ආදේශ කිරීම, එය සම්මත සහ අද්විතීය වේ:
නම්, එසේ නම්
තුල මේ අවස්ථාවේ දී:
අවස්ථා 20 න් 18-19 කදී සමජාතීය සමීකරණයකට විසඳුම සාමාන්ය අනුකලනයක් ලෙස ලියා ඇත..
පිළිතුර:පොදු අනුකලනය: 
සමජාතීය සමීකරණයකට පිළිතුර සෑම විටම පාහේ සාමාන්ය අනුකලයක ආකාරයෙන් ලබා දෙන්නේ ඇයි?
බොහෝ අවස්ථාවන්හීදී, “ක්‍රීඩාව” පැහැදිලිව ප්රකාශ කළ නොහැක (සාමාන්ය විසඳුමක් ලබා ගැනීම සඳහා), එය හැකි නම්, බොහෝ විට සාමාන්ය විසඳුම අවුල් සහගත හා අවුල් සහගත වේ.
උදාහරණයක් ලෙස, සලකා බැලූ උදාහරණයේ, සාමාන්ය අනුකලනයේ දෙපැත්තේ ලඝුගණක කිරා බැලීමෙන් සාමාන්ය විසඳුමක් ලබා ගත හැකිය: 
- හොඳයි, ඒක හරි. කෙසේ වෙතත්, ඔබ පිළිගත යුතුය, එය තවමත් ටිකක් වංක බව.
මාර්ගය වන විට, මෙම උදාහරණයේදී මම සාමාන්ය අනුකලනය තරමක් “විනීතව” ලියා නැත. එය වරදක් නොවේ, නමුත් “හොඳ” ශෛලියකින්, සාමාන්ය අනුකලනය සාමාන්යයෙන් පෝරමයේ ලියා ඇති බව මම ඔබට මතක් කරමි. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, සමීකරණය අනුකලනය කිරීමෙන් පසු, නියතය කිසිදු ලඝුගණකයකින් තොරව ලිවිය යුතුය (මෙන්න රීතියට ව්‍යතිරේකය!):
ප්‍රතිලෝම ආදේශ කිරීමෙන් පසුව, “සම්භාව්‍ය” ආකාරයෙන් සාමාන්ය අනුකලනය ලබා ගන්න: 
ලැබුණු පිළිතුර පරීක්ෂා කළ හැකිය. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, ඔබ සාමාන්ය අනුකලනය වෙන්කර හඳුනාගත යුතුය, එනම් සොයා ගන්න ව්‍යංගයෙන් නිශ්චිතව දක්වා ඇති ශ්‍රිතයක ව්‍යුත්පන්නය:
සමීකරණයේ සෑම පැත්තක්ම ගුණ කිරීමෙන් අපි භාග ඉවත් කරමු: 
මුල් අවකල සමීකරණය ලබාගෙන ඇති අතර එයින් අදහස් වන්නේ විසඳුම නිවැරදිව සොයාගෙන ඇති බවයි.
සෑම විටම පරීක්ෂා කිරීම සුදුසුය. නමුත් සමජාතීය සමීකරණ අප්‍රසන්න වන්නේ ඒවායේ සාමාන්ය අනුකලයන් පරීක්ෂා කිරීම සාමාන්යයෙන් දුෂ්කර වන බැවිනි - මේ සඳහා ඉතා හොඳ අවකලනය කිරීමේ තාක්ෂණයක් අවශ්ය වේ. සලකා බැලූ උදාහරණයේ, සත්‍යාපනය අතරතුර සරලම ව්‍යුත්පන්නයන් සොයා ගැනීම දැනටමත් අවශ්ය විය (උදාහරණය තරමක් සරල වුවද). ඔබට එය පරීක්ෂා කළ හැකි නම්, එය පරීක්ෂා කරන්න!
උදාහරණය 2
සමජාතීයතාවය සඳහා සමීකරණය පරීක්ෂා කර එහි සාමාන්ය අනුකලනය සොයා ගන්න. 
පෝරමයේ පිළිතුර ලියන්න
මේ සඳහා උදාහරණයක් ස්වාධීන තීරණය- එවිට ඔබ ක්‍රියාවන්හි ඇල්ගොරිතම සමඟම සැපපහසු වනු ඇත. ඔබට ඔබේ විවේකයේදී චෙක්පත සිදු කළ හැකිය, මන්ද ... මෙන්න එය තරමක් සංකීර්ණ වන අතර, මම එය ඉදිරිපත් කිරීමට පවා උත්සාහ කළේ නැත, එසේ නොමැතිනම් ඔබ නැවත එවැනි උමතුවකට නොඑනු ඇත :)
දැන් පොරොන්දු වූ තැනැත්තා වැදගත් කරුණක්, මාතෘකාව ආරම්භයේදීම සඳහන් කර ඇත,
මම තද කළු අකුරින් උද්දීපනය කරමි:
පරිවර්තනයන් අතරතුර අපි ගුණකය "නැවත සකසන්නේ" නම් (ස්ථාවර නොවේ)හරයට, එවිට අපට විසඳුම් අහිමි වීමේ අවදානමක් ඇත!
ඇත්ත වශයෙන්ම, අපට මෙය පළමු උදාහරණයේදී හමු විය අවකල සමීකරණ පිළිබඳ හඳුන්වාදීමේ පාඩම. සමීකරණය විසඳීමේ ක්‍රියාවලියේදී, “y” හරය බවට පත් විය: , නමුත්, පැහැදිලිවම, DE සඳහා විසඳුමක් වන අතර අසමාන පරිවර්තනයක (බෙදීමේ) ප්‍රති result ලයක් ලෙස එය නැතිවීමේ සෑම අවස්ථාවක්ම තිබේ! තවත් දෙයක් නම් එය නියතයේ ශුන්‍ය අගයට සාමාන්ය ද්‍රාවණයට ඇතුළත් කර තිබීමයි. හරය තුළ "X" නැවත පිහිටුවීම ද නොසලකා හැරිය හැක, මන්ද මුල් විසරණය තෘප්තිමත් නොවේ.
එකම පාඩමේ තුන්වන සමීකරණය සමඟ සමාන කතාවක්, විසඳුම අතරතුර අපි හරයට “බැස” ගියෙමු. හරියටම කියනවා නම්, මෙන්න මේ විසරණය විසඳුම දැයි පරීක්ෂා කිරීමට අවශ්ය විය? සියල්ලට පසු, එය! නමුත් මෙහි පවා "සියල්ල හොඳින් සිදු විය", මෙම ශ්රිතය සාමාන්ය අනුකලනයට ඇතුළත් කර ඇති බැවින් 
හිදී .
මෙය බොහෝ විට “වෙන් කළ හැකි” සමීකරණ සමඟ ක්‍රියා කරන්නේ නම්, සමජාතීය සහ වෙනත් විසරණයන් සමඟ එය ක්‍රියා නොකරනු ඇත. බොහෝ දුරට ඉඩ ඇත.
මෙම පාඩමේ දැනටමත් විසඳා ඇති ගැටළු විශ්ලේෂණය කරමු: in උදාහරණ 1 X හි "නැවත පිහිටුවීම" තිබුනද, එය සමීකරණයට විසඳුමක් විය නොහැක. නමුත් තුළ උදාහරණය 2අපි බෙදුවා 
, නමුත් ඔහු "එයින් ගැලවී ගියේය": , විසඳුම් නැති විය නොහැකි බැවින්, ඒවා සරලව මෙහි නොමැත. එහෙත් " සතුටු අවස්ථා“ඇත්ත වශයෙන්ම, මම එය හිතාමතාම සකස් කළ අතර, ප්රායෝගිකව මේවා හමු වන බව සත්‍යයක් නොවේ:
උදාහරණය 3
අවකල සමීකරණය විසඳන්න 
එය සරල උදාහරණයක් නොවේද? ;-)
විසඳුමක්:මෙම සමීකරණයේ සමජාතීයතාවය පැහැදිලිය, නමුත් තවමත් - පළමු පියවර මතවිචල්‍යයන් වෙන් කළ හැකිද යන්න අපි සැමවිටම පරීක්ෂා කරන්නෙමු. මක්නිසාද යත් සමීකරණය ද සමජාතීය වේ, නමුත් එහි ඇති විචල්යයන් පහසුවෙන් වෙන් කරනු ලැබේ. ඔව්, සමහරක් තියෙනවා!
"වෙන්වීමේ හැකියාව" පරීක්ෂා කිරීමෙන් පසු, අපි ආදේශනයක් සිදු කර හැකි තරම් සමීකරණය සරල කරමු: 
අපි විචල්යයන් වෙන් කර, වම් පසින් “te” සහ දකුණු පසින් “x” එකතු කරමු: 
සහ මෙන්න නවතින්න. බෙදීමේදී, අපට එකවර කාර්යයන් දෙකක් අහිමි වීමේ අවදානමක් ඇත. සිට, මේවා කාර්යයන් වේ: 
පළමු ශ්රිතය පැහැදිලිවම සමීකරණයට විසඳුමකි . අපි දෙවැන්න පරීක්ෂා කරමු - අපි එහි ව්‍යුත්පන්නය අපගේ විසරණයට ආදේශ කරමු: 
- නිවැරදි සමානාත්මතාවය ලබා ගනී, එයින් අදහස් වන්නේ කාර්යය විසඳුමක් බවයි.
සහ අපට මෙම තීරණ අහිමි වීමේ අවදානමක් ඇත.
ඊට අමතරව, හරය "X" බවට පත් විය, කෙසේ වෙතත්, ප්‍රතිස්ථාපනයෙන් ඇඟවෙන්නේ එය ශුන්‍ය නොවන බවයි. මෙම කරුණ මතක තබා ගන්න. එහෙත්! පරීක්ෂා කිරීමට වග බලා ගන්න, ORIGINAL අවකල සමීකරණයට විසඳුම වේ. එසේ නොවේ.
අපි මේ සියල්ල සැලකිල්ලට ගෙන ඉදිරියට යමු: 
මම කිව යුතුයි, වම් පැත්තේ අනුකලනය සමඟ මම වාසනාවන්ත විය, එය වඩාත් නරක විය හැකිය.
අපි දකුණු පැත්තේ තනි ලඝුගණකයක් එකතු කර විලංගු විසි කරමු: 
දැන් ප්‍රතිලෝම ආදේශනය පමණි:
අපි සියලු නියමයන් ගුණ කරමු:
දැන් ඔබ පරීක්ෂා කළ යුතුයි - "භයානක" විසඳුම් පොදු අනුකලනයට ඇතුළත් කර තිබේද යන්න. ඔව්, විසඳුම් දෙකම නියතයේ ශුන්‍ය අගයට සාමාන්ය අනුකලයට ඇතුළත් කර ඇත: , එබැවින් ඒවා අතිරේකව දැක්වීමට අවශ්ය නොවේ පිළිතුර:
පොදු අනුකලනය:
විභාගය. පරීක්ෂණයක්වත් නොවේ, නමුත් පිරිසිදු සතුටක් :) 
මුල් අවකල සමීකරණය ලබාගෙන ඇත, එනම් විසඳුම නිවැරදිව සොයාගෙන ඇති බවයි.
එය ඔබම විසඳීමට:
උදාහරණය 4
සමජාතීය පරීක්ෂණයක් සිදු කර අවකල සමීකරණය විසඳන්න 
අවකලනය මගින් සාමාන්ය අනුකලනය පරීක්ෂා කරන්න.
සම්පූර්ණ විසඳුමසහ පාඩම අවසානයේ පිළිතුර.
සූදානම් කළ අවකලනය සමඟ සමජාතීය සමීකරණයක් ලබා දෙන විට අපි උදාහරණ කිහිපයක් සලකා බලමු.
උදාහරණ 5
අවකල සමීකරණය විසඳන්න
මෙය ඉතා රසවත් උදාහරණයක්, සම්පූර්ණ ත්‍රාසජනක චිත්‍රපටයක් පමණි!
විසඳුමක්අපි එය වඩාත් සංයුක්තව සැලසුම් කිරීමට පුරුදු වන්නෙමු. පළමුව, මානසිකව හෝ කෙටුම්පතක් මත, අපි මෙහි විචල්යයන් වෙන් කළ නොහැකි බවට වග බලා ගන්නෙමු, ඉන්පසු අපි සමජාතීයතාවය සඳහා පරීක්ෂණයක් සිදු කරන්නෙමු - මෙය සාමාන්යයෙන් අවසන් කෙටුම්පතක් මත සිදු නොකෙරේ. (විශේෂයෙන් අවශ්ය නම් මිස). මේ අනුව, විසඳුම සෑම විටම පාහේ ඇතුල් වීමෙන් ආරම්භ වේ: " මෙම සමීකරණය සමජාතීය වේ, අපි ආදේශනය කරමු: ...».
සමජාතීය සමීකරණයක සූදානම් කළ අවකලනය තිබේ නම්, එය නවීකරණය කරන ලද ආදේශනයකින් විසඳිය හැකිය:
නමුත් එවැනි ආදේශකයක් භාවිතා කිරීම මම නිර්දේශ නොකරමි, මන්ද එය විශිෂ්ට ප්රතිඵලයක් වනු ඇත චීන බිත්තියඅවකලනය, ඔබට ඇසක් සහ ඇසක් අවශ්ය වේ. තාක්ෂණික දෘෂ්ටි කෝණයකින්, මෙය සිදු කිරීම සඳහා ව්යුත්පන්නයේ “ඉරි සහිත” තනතුරට මාරුවීම වඩාත් වාසිදායක වේ, අපි සමීකරණයේ සියලුම නියමයන් බෙදන්නෙමු: 
මෙන්න අපි දැනටමත් "භයානක" පරිවර්තනයක් කර ඇත!ශුන්‍ය අවකලනය අක්ෂයට සමාන්තරව සරල රේඛා පවුලකට අනුරූප වේ. අපේ DU එකේ මුල උන්ද? අපි මුල් සමීකරණයට ආදේශ කරමු: 
මෙම සමානාත්මතාවය වලංගු වන්නේ, එනම්, බෙදීමේදී විසඳුම අහිමි වීමේ අවදානමක් ඇත්නම්, අපට ඔහු නැති විය- එහි සිට තවදුරටත් සෑහීමකට පත් නොවේප්රතිඵලය සමීකරණය 
.
අප නම් බව සඳහන් කළ යුතුය මුලදීසමීකරණය ලබා දී ඇත , එතකොට මුල ගැන කතා නෑ. නමුත් අපට එය තිබේ, අපි එය නියමිත වේලාවට අල්ලා ගත්තෙමු.
සම්මත ආදේශකයක් සමඟ අපි විසඳුම දිගටම කරගෙන යන්නෙමු:
:
ආදේශ කිරීමෙන් පසු, අපි හැකි තරම් සමීකරණය සරල කරමු: 
අපි විචල්යයන් වෙන් කරමු:
මෙන්න නැවතත් නවත්වන්න: බෙදීමේදී අපට කාර්යයන් දෙකක් අහිමි වීමේ අවදානමක් ඇත. සිට, මේවා කාර්යයන් වේ: 
නිසැකවම, පළමු කාර්යය සමීකරණයට විසඳුමකි . අපි දෙවැන්න පරීක්ෂා කරමු - අපි එහි ව්‍යුත්පන්නය ද ආදේශ කරමු: 
- ලැබී ඇත සැබෑ සමානාත්මතාවය, එනම් ශ්රිතය අවකල සමීකරණයට විසඳුමක් ද වේ.
බෙදීමේදී අපට මෙම විසඳුම් අහිමි වීමේ අවදානමක් ඇත. කෙසේ වෙතත්, ඔවුන්ට පොදු අනුකලනයට ඇතුල් විය හැකිය. නමුත් ඔවුන් ඇතුල් නොවිය හැකිය
අපි මෙය සැලකිල්ලට ගෙන කොටස් දෙකම ඒකාබද්ධ කරමු: 
වම් පසෙහි අනුකලනය සම්මත ආකාරයෙන් විසඳනු ලැබේ සම්පූර්ණ චතුරස්රයක් උද්දීපනය කිරීම, නමුත් එය විසරණවල භාවිතා කිරීම වඩාත් පහසු වේ අවිනිශ්චිත සංගුණක ක්රමය:
අවිනිශ්චිත සංගුණක ක්රමය භාවිතා කරමින්, අපි එකතුවට අනුකලනය පුළුල් කරමු මූලික කොටස්:
මේ අනුව: 
අනුකලනය සොයා ගැනීම: 
- අපි ඇද ඇත්තේ ලඝුගණක පමණක් බැවින්, අපි ලඝුගණකය යටතේ නියතය ද තල්ලු කරමු.
ප්රතිස්ථාපනය කිරීමට පෙර නැවතත් සරල කළ හැකි සියල්ල සරල කිරීම:
දාම නැවත සකස් කිරීම:
සහ ප්‍රතිලෝම ආදේශනය:
දැන් අපි “නැතිවූ දේවල්” ගැන මතක තබා ගනිමු: විසඳුම සාමාන්ය අනුකලනයට ඇතුළත් කර ඇත, නමුත් එය “මුදල් ලේඛනය පසුකර ගියේය”, මන්ද හරය බවට පත් විය. එමනිසා, පිළිතුරේ දී එයට වෙනම වාක්‍ය ඛණ්ඩයක් පිරිනමනු ලබන අතර, ඔව් - නැතිවූ විසඳුම ගැන අමතක නොකරන්න, එය මාර්ගයෙන් ද පහත දක්වා ඇත.
පිළිතුර:පොදු අනුකලනය: 
. තවත් විසඳුම්:
මෙහි සාමාන්ය විසඳුම ප්රකාශ කිරීම එතරම් අපහසු නොවේ.
, නමුත් මෙය දැනටමත් සංදර්ශනයකි.
කෙසේ වෙතත්, පරීක්ෂා කිරීම සඳහා පහසු වේ. අපි ව්‍යුත්පන්නය සොයා ගනිමු:
සහ ආදේශකය 
වී වම් පැත්තසමීකරණ:
- ලැබුණු ප්රතිඵලයක් ලෙස දකුණු කොටසසමීකරණ, පරීක්ෂා කළ යුතු දේ.
පහත විසරණය තමන්ගේම වේ:
උදාහරණය 6
අවකල සමීකරණය විසඳන්න 
සම්පූර්ණ විසඳුම සහ පාඩම අවසානයේ පිළිතුර. ප්රායෝගිකව එකම අවස්ථාවේදීම මෙහි සාමාන්ය විසඳුම ප්රකාශ කිරීමට උත්සාහ කරන්න.
පාඩමේ අවසාන කොටසේදී, අපි මාතෘකාව පිළිබඳ තවත් සාමාන්ය කාර්යයන් කිහිපයක් සලකා බලමු:
උදාහරණ 7
අවකල සමීකරණය විසඳන්න 
විසඳුමක්:ගහපු පාර දිගේ යමු. මෙම සමීකරණය සමජාතීය වේ, අපි ආදේශනය කරමු: 
"X" මෙහි හොඳයි, නමුත් චතුරස්රාකාර ත්රිකෝණය ගැන කුමක් කිව හැකිද? එය සාධක වලට දිරාපත් නොවන බැවින්: , එවිට අපට නියත වශයෙන්ම විසඳුම් අහිමි නොවේ. එය සැමවිටම මේ වගේ වනු ඇත! වම් පැත්තේ සම්පූර්ණ චතුරස්රය තෝරා අනුකලනය කරන්න:
මෙහි සරල කිරීමට කිසිවක් නැත, එබැවින් ප්‍රතිලෝම ප්රතිස්ථාපනය: 
පිළිතුර:පොදු අනුකලනය: 
උදාහරණ 8
අවකල සමීකරණය විසඳන්න 
මෙය ඔබටම විසඳා ගැනීමට ආදර්ශයකි.
ඒ නිසා:
අසමාන පරිවර්තන සඳහා, සෑම විටම පරීක්ෂා කරන්න (අවම වශයෙන් වාචිකව), ඔබට ඔබේ විසඳුම් අහිමි වෙනවාද?මෙම පරිවර්තනයන් මොනවාද? සාමාන්යයෙන් යමක් කෙටි කිරීම හෝ බෙදීම. එබැවින්, උදාහරණයක් ලෙස, බෙදීමේදී, කාර්යයන් අවකල සමීකරණයට විසඳුම් දැයි පරීක්ෂා කළ යුතුය. ඒ සමගම, බෙදීමේදී, එවැනි චෙක්පතක් සඳහා තවදුරටත් අවශ්ය නොවේ - මෙම බෙදුම්කරු ශුන්යයට නොයන කාරනය නිසා.
මෙන්න තවත් එකක් භයානක තත්ත්වය:
මෙන්න, ඉවත් කිරීම, ඔබ DE විසඳුමක් දැයි පරීක්ෂා කළ යුතුය. බොහෝ විට, "x" සහ "y" එවැනි ගුණකයක් ලෙස භාවිතා කරන අතර, ඒවා අඩු කිරීමෙන්, විසඳුම් බවට පත් විය හැකි කාර්යයන් අපට අහිමි වේ.
අනෙක් අතට, යමක් මුලික වශයෙන් හරයේ තිබේ නම්, එවැනි සැලකිල්ලක් දැක්වීමට හේතුවක් නැත. මේ අනුව, සමජාතීය සමීකරණයක් තුළ, එය හරය තුළ "ප්රකාශ කර ඇති" බැවින් ඔබට කාර්යය ගැන කරදර විය යුතු නැත.
ගැටලුවට විශේෂිත විසඳුමක් පමණක් සොයා ගැනීමට අවශ්ය වුවද, ලැයිස්තුගත සියුම්කම් ඒවායේ අදාළත්වය නැති නොවේ. අවශ්ය නිශ්චිත විසඳුම අපට අහිමි වීමට කුඩා අවස්ථාවක් වුවද තිබේ. ඒක ඇත්තක්ද Cauchy ගැටලුවසමජාතීය සමීකරණ සහිත ප්රායෝගික කාර්යයන් වලදී එය ඉතා කලාතුරකින් අසනු ලැබේ. කෙසේ වෙතත්, ලිපියේ එවැනි උදාහරණ තිබේ සමජාතීය බවට අඩු කරන සමීකරණ, ඔබේ විසඳීමේ කුසලතා ශක්තිමත් කිරීම සඳහා "විලුඹ මත උණුසුම්" අධ්යයනය කිරීමට මම නිර්දේශ කරමි.
වඩාත් සංකීර්ණ සමජාතීය සමීකරණ ද ඇත. දුෂ්කරතාවය පවතින්නේ විචල්‍ය වෙනස්කම් හෝ සරල කිරීම් වල නොව, විචල්යයන් වෙන් කිරීමේ ප්රතිඵලයක් ලෙස පැන නගින තරමක් දුෂ්කර හෝ දුර්ලභ අනුකලනයන්හි ය. එවැනි සමජාතීය සමීකරණ සඳහා විසඳුම් සඳහා උදාහරණ මා සතුව ඇත - භයානක අනුකලනය සහ බියජනක පිළිතුරු. නමුත් අපි ඔවුන් ගැන කතා නොකරමු, මන්ද ඊළඟ පාඩම් වලදී (පහත බලන්න)මට තවමත් ඔබට වධ හිංසා කිරීමට කාලය තිබේ, මට ඔබව නැවුම් සහ ශුභවාදී ලෙස දැකීමට අවශ්‍යයි!
ප්‍රීතිමත් උසස්වීමක්!
විසඳුම් සහ පිළිතුරු:
උදාහරණ 2: විසඳුමක්:මුල් සමීකරණයේ මේ සඳහා සමජාතීයතාවය සඳහා සමීකරණය පරීක්ෂා කරමු වෙනුවටඅපි ආදේශ කරමු , සහ වෙනුවටඅපි ආදේශ කරමු: 
ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, මුල් සමීකරණය ලබා ගනී, එයින් අදහස් වන්නේ මෙම DE සමජාතීය බවයි.
දැනට ගණිතය හැදෑරීමේ මූලික මට්ටමට අනුව උසස් පාසලේදී ගණිතය හැදෑරීම සඳහා ලබා දී ඇත්තේ පැය 4ක් පමණි (වීජ ගණිතය පැය 2, ජ්‍යාමිතිය පැය 2). ගම්බද කුඩා පාසල්වල පාසල් සංරචකය නිසා පැය ගණන වැඩි කිරීමට උත්සාහ කරති. නමුත් පන්තිය මානුෂීය නම්, මානව ශාස්ත්‍ර විෂයයන් හැදෑරීම සඳහා පාසල් සංරචකයක් එකතු වේ. කුඩා ගමක, බොහෝ විට එම පන්තියේ ඉගෙනුම ලබන පාසල් ළමයෙකුට තේරීමක් නැත; පාසලේ ඇති. ඔහු නීතිඥයෙකු, ඉතිහාසඥයෙකු හෝ මාධ්යවේදියෙකු වීමට අදහස් නොකරයි (එවැනි අවස්ථා තිබේ), නමුත් ඉංජිනේරුවෙකු හෝ ආර්ථික විද්යාඥයෙකු වීමට අවශ්යය, එබැවින් ඔහු ගණිතය පිළිබඳ ඒකාබද්ධ රාජ්ය විභාගය ඉහළ ලකුණු සමඟ සමත් විය යුතුය. එවැනි තත්වයන් යටතේ, ගණිත ගුරුවරයාට වර්තමාන තත්වයෙන් මිදීමට තමාගේම මාර්ගයක් සොයාගත යුතුය, එපමණක් නොව, කොල්මොගොරොව්ගේ පෙළපොතට අනුව, "සමජාතීය සමීකරණ" යන මාතෘකාව පිළිබඳ අධ්යයනය සපයනු නොලැබේ. පසුගිය වසරවලදී, මෙම මාතෘකාව හඳුන්වා දීමට සහ එය ශක්තිමත් කිරීමට මට ද්විත්ව පාඩම් දෙකක් ගත විය. අවාසනාවකට මෙන්, අපගේ අධ්‍යාපන අධීක්ෂණ පරීක්ෂණය පාසලේ ද්විත්ව පාඩම් තහනම් කර ඇති අතර, එම නිසා අභ්‍යාස ගණන විනාඩි 45 දක්වා අඩු කිරීමට සිදු වූ අතර, ඒ අනුව අභ්‍යාසවල දුෂ්කරතා මට්ටම මධ්‍යම මට්ටමට අඩු විය. 10 වන ශ්‍රේණියේ මෙම මාතෘකාව පිළිබඳ පාඩම් සැලැස්මක් මම ඔබේ අවධානයට යොමු කරමි මූලික මට්ටමකුඩා ගම්බද පාසලක ගණිතය ඉගෙන ගන්නවා.
පාඩම් වර්ගය: සම්ප්රදායික.
ඉලක්කය: සාමාන්ය සමජාතීය සමීකරණ විසඳීමට ඉගෙන ගන්න.
කාර්යයන්:
සංජානනීය:
සංවර්ධනාත්මක:
අධ්යාපනික:
- ඉවසිලිවන්තව කාර්යයන් සම්පූර්ණ කිරීම තුළින් වෙහෙස මහන්සි වී වැඩ කිරීම, යුගල සහ කණ්ඩායම් වශයෙන් වැඩ කිරීම තුළින් සුහදතාවය පිළිබඳ හැඟීමක් ඇති කිරීම.
පන්ති අතරතුර
මම.සංවිධානාත්මක අදියර(විනාඩි 3)
II. නව ද්රව්ය ප්‍රගුණ කිරීමට අවශ්ය දැනුම පරීක්ෂා කිරීම (මිනිත්තු 10)
සම්පූර්ණ කරන ලද කාර්යයන් පිළිබඳ වැඩිදුර විශ්ලේෂණය සමඟ ප්රධාන දුෂ්කරතා හඳුනා ගන්න. පිරිමි ළමයින් විකල්ප තුනක් තෝරා ගනී. ළමුන්ගේ දුෂ්කරතා මට්ටම සහ සූදානම් වීමේ මට්ටම අනුව කාර්යයන් වෙනස් කරනු ලැබේ, පසුව පුවරුවේ පැහැදිලි කිරීම.
පෙළ 1. සමීකරණ විසඳන්න:
- 3(x+4)=12,
- 2(x-15)=2x-30
- 5(2x)=-3x-2(x+5)
- x 2 -10x+21=0 පිළිතුරු: 7;3
2 මට්ටම. සරලම දේ විසඳන්න ත්රිකෝණමිතික සමීකරණසහ ද්විත්ව සමීකරණය: 
පිළිතුරු: 
ආ) x 4 -13x 3 +36=0 පිළිතුරු: -2; 2; -3; 3
3 වන මට්ටම.විචල්‍ය වෙනස් කිරීමෙන් සමීකරණ විසඳීම:
b) x 6 -9x 3 +8=0 පිළිතුරු:
III.මාතෘකාව සන්නිවේදනය කිරීම, ඉලක්ක සහ අරමුණු සැකසීම.
විෂය: සමජාතීය සමීකරණ
ඉලක්කය: සාමාන්ය සමජාතීය සමීකරණ විසඳීමට ඉගෙන ගන්න
කාර්යයන්:
සංජානනීය:
- සමජාතීය සමීකරණ සමඟ දැන හඳුනා ගන්න, එවැනි සමීකරණවල වඩාත් පොදු වර්ග විසඳීමට ඉගෙන ගන්න.
සංවර්ධනාත්මක:
- විශ්ලේෂණාත්මක චින්තනය වර්ධනය කිරීම.
- ගණිතමය කුසලතා වර්ධනය කිරීම: සමජාතීය සමීකරණ අනෙකුත් සමීකරණවලට වඩා වෙනස් වන ප්රධාන ලක්ෂණ හඳුනා ගැනීමට ඉගෙන ගන්න, ඒවායේ විවිධ ප්රකාශනයන් තුළ සමජාතීය සමීකරණවල සමානතාව තහවුරු කිරීමට හැකි වේ.
IV. නව දැනුම ඉගෙනීම (මිනිත්තු 15)
1. දේශන මොහොත.
අර්ථ දැක්වීම 1(එය සටහන් පොතක ලියන්න). P(x;y) සමජාතීය බහුපදයක් නම් P(x;y)=0 ආකාරයේ සමීකරණයක් සමජාතීය ලෙස හැඳින්වේ.
x සහ y විචල්‍ය දෙකක බහුපදයක් එහි එක් එක් පදවල උපාධිය එකම අංකයට සමාන නම් සමජාතීය ලෙස හැඳින්වේ.
අර්ථ දැක්වීම 2(හැඳින්වීමක් පමණි). පෝරමයේ සමීකරණ
u(x) සහ v(x) සම්බන්ධයෙන් n උපාධියේ සමජාතීය සමීකරණයක් ලෙස හැඳින්වේ. සමීකරණයේ දෙපැත්තම (v(x))n මගින් බෙදීමෙන්, අපට සමීකරණය ලබා ගැනීම සඳහා ආදේශකයක් භාවිතා කළ හැකිය.
මුල් සමීකරණය සරල කිරීමට අපට ඉඩ සලසයි. 0 න් බෙදීමට නොහැකි බැවින් v(x)=0 යන අවස්ථාව වෙන වෙනම සලකා බැලිය යුතුය.
2. සමජාතීය සමීකරණ සඳහා උදාහරණ:
පැහැදිලි කරන්න: ඒවා සමජාතීය වන්නේ ඇයි, එවැනි සමීකරණ සඳහා ඔබේ උදාහරණ දෙන්න.
3. සමජාතීය සමීකරණ තීරණය කිරීමේ කාර්යය:
අතර ලබා දී ඇති සමීකරණසමජාතීය සමීකරණ නිර්වචනය කර ඔබේ තේරීම පැහැදිලි කරන්න:
ඔබ ඔබේ තේරීම පැහැදිලි කළ පසු, සමජාතීය සමීකරණයක් විසඳන්නේ කෙසේදැයි පෙන්වීමට උදාහරණ වලින් එකක් භාවිතා කරන්න:
4. ඔබම තීරණය කරන්න:
පිළිතුර: 
b) 2sin x – 3 cos x =0
සමීකරණයේ දෙපැත්තම cos x මගින් බෙදන්න, අපට 2 tg x -3=0, tg x=⅔ , x=arctg⅔ + ලැබේ.
5. විවරණිකාවේ උදාහරණයකට විසඳුම පෙන්වන්න“පී.වී. චුල්කොව්. පාසල් ගණිත පාඨමාලාවේ සමීකරණ සහ අසමානතා. මොස්කව් අධ්යාපනික විශ්ව විද්යාලය "සැප්තැම්බර් පළමු" 2006 p.22." හැකි එකක් ලෙස ඒකාබද්ධ රාජ්ය විභාග උදාහරණමට්ටම C
වී. Bashmakov ගේ පෙළපොත භාවිතා කරමින් තහවුරු කිරීම සඳහා විසඳන්න
පිටුව 183 අංක 59 (1.5) හෝ Kolmogorov විසින් සංස්කරණය කරන ලද පෙළපොත අනුව: පිටුව 81 අංක 169 (a, c)
පිළිතුරු: 
VI. පරීක්ෂණය, ස්වාධීන වැඩ (මිනිත්තු 7)
| 1 විකල්පය | විකල්ප 2 |
| සමීකරණ විසඳන්න: | |
| a) sin 2 x-5sinxcosx+6cos 2 x=0 | a) 3sin 2 x+2sin x cos x-2cos 2 x=0 |
b) cos 2 -3sin 2 =0 |
බී) |
කාර්යයන් සඳහා පිළිතුරු:
විකල්ප 1 අ) පිළිතුර: arctan2+πn,n € Z; ආ) පිළිතුර: ±π/2+ 3πn,n € Z; V) 
විකල්ප 2 අ) පිළිතුර: arctg(-1±31/2)+πn,n € Z; ආ) පිළිතුර: -arctg3+πn, 0.25π+πk, ; ඇ) (-5;-2); (5;2)
VII. ගෙදර වැඩ
Kolmogorov අනුව අංක 169, Bashmakov අනුව අංක 59.
ඊට අමතරව, සමීකරණ පද්ධතිය විසඳන්න:
පිළිතුර: ආක්ටන්(-1±√3) +πn,
යොමු:
- පී.වී. චුල්කොව්. පාසල් ගණිත පාඨමාලාවේ සමීකරණ සහ අසමානතා. - M.: Pedagogical University "සැප්තැම්බර් පළමු", 2006. 22 පි
- A. Merzlyak, V. Polonsky, E. Rabinovich, M. Yakir. ත්රිකෝණමිතිය. - එම්.: "AST-PRESS", 1998, 389 පි
- 8 වැනි ශ්‍රේණිය සඳහා වීජ ගණිතය, සංස්කරණය කළේ N.Ya. විලෙන්කිනා. - එම්.: "බුද්ධත්වය", 1997.
- 9 ශ්‍රේණිය සඳහා වීජ ගණිතය, සංස්කරණය කළේ N.Ya. විලෙන්කිනා. මොස්කව් "බුද්ධත්වය", 2001.
- එම්.අයි. බෂ්මකොව්. වීජ ගණිතය සහ විශ්ලේෂණයේ ආරම්භය. 10-11 ශ්රේණි සඳහා - එම්.: “බුද්ධත්වය” 1993
- Kolmogorov, Abramov, Dudnitsyn. වීජ ගණිතය සහ විශ්ලේෂණයේ ආරම්භය. 10-11 ශ්රේණි සඳහා. - එම්.: "බුද්ධත්වය", 1990.
- ඒ.ජී. මොර්ඩ්කොවිච්. වීජ ගණිතය සහ විශ්ලේෂණයේ ආරම්භය. 1 කොටස 10-11 ශ්රේණි සඳහා පෙළපොත. - එම්.: "Mnemosyne", 2004.
1 වන අනුපිළිවෙලෙහි සමජාතීය අවකල සමීකරණයක් විසඳීමට, u=y/x ආදේශනය භාවිතා කරන්න, එනම් u යනු x මත පදනම්ව නව නොදන්නා ශ්‍රිතයකි. එබැවින් y=ux. අපි නිෂ්පාදන අවකලනය රීතිය භාවිතයෙන් y' ව්‍යුත්පන්නය සොයා ගනිමු: y'=(ux)'=u'x+x'u=u'x+u (x'=1 සිට). වෙනත් ආකාරයේ අංකනයක් සඳහා: dy = udx + xdu ආදේශ කිරීමෙන් පසු, අපි සමීකරණය සරල කර වෙන් කළ හැකි විචල්යයන් සමඟ සමීකරණයකට පැමිණෙමු.
1 වන අනුපිළිවෙලෙහි සමජාතීය අවකල සමීකරණ විසඳීමේ උදාහරණ.
1) සමීකරණය විසඳන්න
මෙම සමීකරණය සමජාතීය බව අපි පරීක්ෂා කරමු (සමජාතීය සමීකරණයක් තීරණය කරන්නේ කෙසේදැයි බලන්න). ඒත්තු ගිය පසු, අපි u=y/x ප්රතිස්ථාපනය කරන්නෙමු, එයින් y=ux, y'=(ux)'=u'x+x'u=u'x+u. ආදේශකය: u'x+u=u(1+ln(ux)-lnx). නිෂ්පාදනයේ ලඝුගණකයේ සිට එකතුවට සමානයිලඝුගණක, ln(ux)=lnu+lnx. මෙතැන් සිට
u'x+u=u(1+lnu+lnx-lnx). සමාන කොන්දේසි ගෙන ඒමෙන් පසු: u'x+u=u(1+lnu). දැන් වරහන් විවෘත කරන්න
u'x+u=u+u·lnu. දෙපැත්තේම u අඩංගු වේ, එබැවින් u'x=u·lnu. u යනු x හි ශ්රිතයක් වන බැවින්, u'=du/dx. අපි ආදේශ කරමු
වෙන් කළ හැකි විචල්යයන් සහිත සමීකරණයක් අප ලබාගෙන ඇත. x·u·lnu≠0 නිෂ්පාදිතය ලබාදී, කොටස් දෙකම dx මගින් ගුණ කිරීමෙන් සහ x·u·lnu වලින් බෙදීමෙන් අපි විචල්‍ය වෙන් කරමු.
අපි ඒකාබද්ධ කරමු:
වම් පැත්තේ වගුව අනුකලනය වේ. දකුණු පසින් - අපි t=lnu ආදේශනය කරන්නෙමු, මෙතැනින් dt=(lnu)’du=du/u
ln│t│=ln│x│+C. නමුත් එවැනි සමීකරණවලදී C වෙනුවට ln│C│ ගැනීම වඩාත් පහසු බව අපි දැනටමත් සාකච්ඡා කර ඇත්තෙමු. ඉන්පසු
ln│t│=ln│x│+ln│C│. ලඝුගණකවල ගුණය අනුව: ln│t│=ln│Сx│. එබැවින් t=Cx. (කොන්දේසි අනුව, x>0). ප්‍රතිලෝම ආදේශනය කිරීමට කාලයයි: lnu=Cx. සහ තවත් එක් ප්‍රතිලෝම ආදේශනයක්:
ලඝුගණකවල ගුණය අනුව:
සමීකරණයේ පොදු අනුකලනය මෙයයි.
අපි නිෂ්පාදන x·u·lnu≠0 (සහ එම නිසා x≠0,u≠0, lnu≠0, කොහෙන්ද u≠1) නිෂ්පාදනයේ තත්ත්වය සිහිපත් කරමු. නමුත් කොන්දේසියෙන් x≠0, u≠1 ඉතිරිව ඇත, එබැවින් x≠y. පැහැදිලිවම, y=x (x>0) සාමාන්ය විසඳුමට ඇතුළත් වේ.
2) ආරම්භක කොන්දේසි y(1)=2 තෘප්තිමත් කරමින් y'=x/y+y/x සමීකරණයේ අර්ධ අනුකලය සොයන්න.
පළමුව, මෙම සමීකරණය සමජාතීය බව අපි පරීක්ෂා කරමු (y/x සහ x/y යන පද තිබීම දැනටමත් වක්‍රව පෙන්නුම් කරයි). එවිට අපි u=y/x ආදේශනය කරන්නෙමු, එයින් y=ux, y'=(ux)'=u'x+x'u=u'x+u. අපි ප්‍රතිඵල ප්‍රකාශන සමීකරණයට ආදේශ කරමු:
u'x+u=1/u+u. අපි සරල කරමු:
u'x=1/u. u යනු x හි ශ්රිතයක් වන බැවින්, u'=du/dx:
වෙන් කළ හැකි විචල්යයන් සහිත සමීකරණයක් අප ලබාගෙන ඇත. විචල්යයන් වෙන් කිරීම සඳහා, අපි දෙපැත්තම dx සහ u වලින් ගුණ කර x න් බෙදන්නෙමු (x≠0 කොන්දේසිය අනුව, එබැවින් u≠0 ද, එනම් විසඳුම් අහිමි නොවේ).
අපි ඒකාබද්ධ කරමු:
සහ දෙපැත්තේම වගු අනුකලනය අඩංගු බැවින්, අපි වහාම ලබා ගනිමු
අපි ප්‍රතිලෝම ප්රතිස්ථාපනය සිදු කරන්නෙමු:
සමීකරණයේ පොදු අනුකලනය මෙයයි. අපි ආරම්භක කොන්දේසිය y(1)=2 භාවිතා කරමු, එනම්, අපි y=2, x=1 ප්රතිඵලය වන විසඳුමට ආදේශ කරමු:
3) සමජාතීය සමීකරණයේ පොදු අනුකලනය සොයන්න:
(x²-y²)dy-2xydx=0.
ප්රතිස්ථාපනය u=y/x, කොහෙන්ද y=ux, dy=xdu+udx. අපි ආදේශ කරමු:
(x²-(ux)²)(xdu+udx)-2ux²dx=0. අපි වරහන් වලින් x² ඉවත් කර කොටස් දෙකම එයින් බෙදන්නෙමු (සපයා ඇති x≠0):
x²(1-u²)(xdu+udx)-2ux²dx=0
(1-u²)(xdu+udx)-2udx=0. වරහන් විවෘත කර සරල කරන්න:
xdu-u²xdu+udx-u³dx-2udx=0,
xdu-u²xdu-u³dx-udx=0. අපි du සහ dx සමඟ නියමයන් කාණ්ඩ කරමු:
(x-u²x)du-(u³+u)dx=0. අපි පොදු සාධක වරහන් වලින් ඉවතට ගනිමු:
x(1-u²)du-u(u²+1)dx=0. අපි විචල්යයන් වෙන් කරමු:
x(1-u²)du=u(u²+1)dx. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි සමීකරණයේ දෙපැත්තම xu(u²+1)≠0 මගින් බෙදන්නෙමු (ඒ අනුව, අපි අවශ්‍යතා x≠0 (දැනටමත් සටහන් කර ඇත), u≠0 එකතු කරමු):
අපි ඒකාබද්ධ කරමු:
සමීකරණයේ දකුණු පැත්තේ වගු අනුකලනයක් ඇත, තාර්කික කොටසවම් පැත්තේ අපි එය ප්රධාන සාධක බවට සාධක කරමු:
(හෝ දෙවන අනුකලයේ දී, අවකල ලකුණ ආදේශ කිරීම වෙනුවට, t=1+u², dt=2udu - වඩා හොඳ කුමන ක්‍රමයට කැමතිද යන්න ප්රතිස්ථාපනය කිරීමට හැකි විය). අපට ලැබෙන්නේ:
ලඝුගණකවල ගුණාංග අනුව:
ආපසු ආදේශ කිරීම
අපි u≠0 කොන්දේසිය සිහිපත් කරමු. එබැවින් y≠0. C=0 y=0 විට, මෙයින් අදහස් වන්නේ විසඳුම් නැතිවීමක් නොමැති බවත්, y=0 සාමාන්ය අනුකලනයට ඇතුළත් වන බවත්ය.
අදහස් දක්වන්න
ඔබ වම් පසින් x සමඟ යෙදුම තැබුවහොත් ඔබට වෙනත් ආකාරයකින් ලියා ඇති විසඳුමක් ලබා ගත හැක:
මෙම නඩුවේ සමෝධානික වක්‍රයේ ජ්‍යාමිතික අර්ථය Oy අක්ෂය මත කේන්ද්‍ර සහිත සහ මූලාරම්භය හරහා ගමන් කරන කව පවුලකි.
ස්වයං පරීක්ෂණ කාර්යයන්:
1) (x²+y²)dx-xydy=0
1) අපි සමීකරණය සමජාතීය දැයි පරීක්ෂා කරන්නෙමු, ඉන්පසු අපි u=y/x, කොහෙන්ද y=ux, dy=xdu+udx ආදේශනය කරන්නෙමු. කොන්දේසියට ආදේශ කරන්න: (x²+x²u²)dx-x²u(xdu+udx)=0. සමීකරණයේ දෙපැත්තම x²≠0 මගින් බෙදීම, අපට ලැබෙන්නේ: (1+u²)dx-u(xdu+udx)=0. එබැවින් dx+u²dx-xudu-u²dx=0. සරල කිරීම, අපට ඇත්තේ: dx-xudu=0. එබැවින් xudu=dx, udu=dx/x. අපි කොටස් දෙකම ඒකාබද්ධ කරමු:
