විවිධ ආකාරයේ අවිනිශ්චිතතාවයන් සහිත සීමාවන් විසඳීම. සීමාවන් විසඳීම සඳහා ක්රම. අවිනිශ්චිතතා, ශ්‍රිතයේ වර්ධනයේ අනුපිළිවෙල. ප්රතිස්ථාපන ක්රමය
වර්ගය සහ ආකෘති අවිනිශ්චිතතාවය යනු සීමාවන් විසඳීමේදී අවධානය යොමු කළ යුතු වඩාත් පොදු අවිනිශ්චිතතාවයන් වේ.
සිසුන්ට පැමිණෙන සීමාවන් පිළිබඳ බොහෝ කාර්යයන් එවැනි අවිනිශ්චිතතාවයන් ගෙන යයි. ඒවා හෙළි කිරීමට හෝ, වඩාත් නිවැරදිව, අපැහැදිලි වළක්වා ගැනීම සඳහා, සීමාව ලකුණ යටතේ ප්රකාශනයක ස්වරූපය පරිවර්තනය කිරීම සඳහා කෘතිම ක්රම කිහිපයක් තිබේ. මෙම ශිල්පීය ක්රම පහත පරිදි වේ: විචල්‍යයේ ඉහළම බලයෙන් සංඛ්‍යා සහ හරය කාලීන වශයෙන් බෙදීම, සංයුජ ප්‍රකාශනයෙන් ගුණ කිරීම සහ විසඳුම් භාවිතයෙන් පසුව අඩු කිරීම සඳහා සාධකකරණය චතුරස්රාකාර සමීකරණසහ සංක්ෂිප්ත ගුණ කිරීමේ සූත්ර.
විශේෂ අවිනිශ්චිතතාවය
උදාහරණ 1
n 2 ට සමාන වේ. එබැවින්, අපි සංඛ්‍යා සහ හරය පදයෙන් බෙදන්නෙමු:
.
ප්රකාශනයේ දකුණු පැත්තේ අදහස් දක්වන්න. ඊතල සහ සංඛ්‍යා පෙන්නුම් කරන්නේ භාග වෙනුවට ආදේශ කිරීමෙන් පසු නැඹුරු වන්නේ කුමක්ද යන්නයි nඅනන්ත අගයන්. මෙන්න, උදාහරණයක් ලෙස 2, උපාධිය nසංඛ්‍යාංකයට වඩා හරය තුළ වැඩි ප්‍රමාණයක් ඇත, එහි ප්රතිඵලයක් ලෙස සම්පූර්ණ භාගය අසීමිත අගයකට හෝ "සුපිරි කුඩා සංඛ්‍යාවකට" නැඹුරු වේ.
අපට පිළිතුර ලැබේ: අනන්තයට නැඹුරු වන විචල්‍යයක් සහිත මෙම ශ්‍රිතයේ සීමාව .
උදාහරණ 2 .
විසඳුමක්. මෙන්න විචල්‍යයේ ඉහළම බලය x 1 ට සමාන වේ. එබැවින්, අපි සංඛ්‍යා සහ හර පදය පදයෙන් බෙදන්නෙමු x:
.
විසඳුමේ පාඨමාලාව පිළිබඳ විවරණය. අංකනයේදී, අපි "x" තුන්වන උපාධියේ මූලය යටතේ ධාවනය කරන අතර, එහි ආරම්භක උපාධිය (1) නොවෙනස්ව පවතින පරිදි, අපි එයට මූලයට සමාන උපාධියක් පවරමු, එනම් 3. ඊතල සහ අතිරේක නොමැත. මෙම ප්‍රවේශයේ ඇති සංඛ්‍යා, එබැවින් මානසිකව උත්සාහ කරන්න, නමුත් පෙර උදාහරණයට සමානව, "x" සඳහා අනන්තය ආදේශ කිරීමෙන් පසු සංඛ්‍යා සහ හරයෙහි ප්‍රකාශන නැඹුරු වන්නේ කුමක් දැයි තීරණය කරන්න.
අපට පිළිතුර ලැබුණි: අනන්තයට නැඹුරු වන විචල්‍යයක් සහිත මෙම ශ්‍රිතයේ සීමාව ශුන්‍යයට සමාන වේ.
විශේෂ අවිනිශ්චිතතාවය
උදාහරණය 3අවිනිශ්චිතතාවය අනාවරණය කර සීමාව සොයා ගන්න.
විසඳුමක්. සංඛ්යාංකය යනු කැටවල වෙනසයි. පාඨමාලා වලින් සංක්ෂිප්ත ගුණ කිරීමේ සූත්‍රය භාවිතා කර එය සාධක වලට වියෝජනය කරමු පාසල් ගණිතය:
හරය යනු හතරැස් ත්‍රිපදයකි, එය චතුරස්‍ර සමීකරණයක් විසඳීමෙන් අපි සාධකකරණය කරමු (නැවතත් චතුරස්‍ර සමීකරණ විසඳීමට යොමු කිරීම):
පරිවර්තනයේ ප්රතිඵලයක් ලෙස ලබාගත් ප්‍රකාශනය ලියා ශ්‍රිතයේ සීමාව සොයා ගනිමු:
උදාහරණය 4අවිනිශ්චිතතාවය අනාවරණය කර සීමාව සොයා ගන්න
විසඳුමක්. quotient සීමා ප්රමේයය මෙහි අදාළ නොවේ, මන්ද
එබැවින්, අපි භාගය සමාන ලෙස පරිවර්තනය කරන්නෙමු: සංඛ්‍යා සහ හරය හරයට ද්විපද සංයුජයෙන් ගුණ කිරීමෙන් සහ අඩු කරන්න x+1. ප්රමේයය 1 හි නිගමනයට අනුව, අපි ප්‍රකාශනයක් ලබා ගනිමු, එය විසඳා අපි අපේක්ෂිත සීමාව සොයා ගනිමු:
උදාහරණ 5අවිනිශ්චිතතාවය අනාවරණය කර සීමාව සොයා ගන්න
විසඳුමක්. සෘජු අගය ආදේශනය x= 0 අඟල් ලබා දී ඇති කාර්යය 0/0 ආකෘතියේ අවිනිශ්චිතතාවයට මග පාදයි. එය හෙළිදරව් කිරීම සඳහා, අපි සමාන පරිවර්තනයන් සිදු කරන අතර, ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, අපි අපේක්ෂිත සීමාව ලබා ගනිමු: 
උදාහරණය 6ගණනය කරන්න 
විසඳුමක්:සීමා සිද්ධාන්ත භාවිතා කරන්න
පිළිතුර: 11
උදාහරණ 7ගණනය කරන්න 
විසඳුමක්:මෙම උදාහරණයේ දී, අංක සහ හරයේ සීමාවන් 0 වේ:
; 
. අපි ලබාගෙන ඇත, එබැවින්, quotient සීමාව ප්රමේයය යෙදිය නොහැක.
ශුන්‍යයට නැඹුරු වන පොදු සාධකයකින් භාගය අඩු කිරීම සඳහා අපි සංඛ්‍යාව සහ හරය සාධකකරණය කරමු, එබැවින් ප්රමේයය 3 යෙදීමට හැකි වේ.
x 1 සහ x 2 ත්‍රිපදයේ මූලයන් වන සූත්‍රය මගින් අපි සංඛ්‍යාංකයේ ඇති වර්ග ත්‍රිපද පුළුල් කරමු. සාධකය සහ හරය, භාගය (x-2) මගින් අඩු කරන්න, ඉන්පසු ප්රමේයය 3 යොදන්න.
පිළිතුර:
උදාහරණ 8ගණනය කරන්න
විසඳුමක්:මක්නිසාද යත්, අංකනය සහ හරය අනන්තයට නැඹුරු වේ, එබැවින් ප්රමේයය 3 සෘජුවම යොදන විට, අපි අවිනිශ්චිතතාවය නියෝජනය කරන ප්‍රකාශනය ලබා ගනිමු. මේ ආකාරයේ අවිනිශ්චිතතාවයෙන් මිදීමට, තර්කයේ ඉහළම බලයෙන් අංකනය සහ හරය බෙදන්න. හිදී මෙම උදාහරණයලෙස බෙදීමට අවශ්ය වේ x:
පිළිතුර:
උදාහරණ 9ගණනය කරන්න 
විසඳුමක්: x 3:
පිළිතුර: 2
උදාහරණ 10ගණනය කරන්න 
විසඳුමක්:අංකනය සහ හරය අනන්තයට නැඹුරු වේ. අපි තර්කයේ ඉහළම බලයෙන් අංකනය සහ හරය බෙදන්නෙමු, i.e. x 5:
= 
භාගයක සංඛ්යාංකය 1 ට, හරය 0 ට නැඹුරු වේ, එබැවින් භාගය අනන්තයට නැඹුරු වේ.
පිළිතුර:
උදාහරණ 11.ගණනය කරන්න
විසඳුමක්:අංකනය සහ හරය අනන්තයට නැඹුරු වේ. අපි තර්කයේ ඉහළම බලයෙන් අංකනය සහ හරය බෙදන්නෙමු, i.e. x 7:
පිළිතුර: 0
ව්යුත්පන්න.
x තර්කයට අදාළව y = f(x) ශ්‍රිතයේ ව්‍යුත්පන්නයඑහි වර්ධකයේ y වර්ධකයේ අනුපාතයේ සීමාව x තර්කයේ x වර්ධකයේ සීමාව ලෙස හඳුන්වනු ලබන්නේ තර්කයේ වර්ධක ශුන්‍යයට නැඹුරු වන විටය: . මෙම සීමාව සීමිත නම්, කාර්යය y = f(x) x ලක්ෂ්‍යයේදී අවකලනය ලෙස හැඳින්වේ. මෙම සීමාව පවතින්නේ නම්, අපි එම කාර්යය බව කියමු y = f(x) x හි අසීමිත ව්‍යුත්පන්නයක් ඇත.
ප්රධාන ව්යුත්පන්න මූලික කාර්යයන්:
1. (අනුපාතය)=0 9. 
3. 11. 
4. 
12. 
5. 13. 
6. 
14. 
අවකලනය කිරීමේ නීති:
ඒ) 
තුල) 
උදාහරණ 1ශ්‍රිතයක ව්‍යුත්පන්නය සොයන්න 
විසඳුමක්:කොටසක අවකලනය කිරීමේ රීතිය මගින් අපි දෙවන පදයේ ව්‍යුත්පන්නය සොයා ගන්නේ නම්, පළමු පදය සංකීර්ණ ශ්‍රිතයක් වන අතර, එහි ව්‍යුත්පන්නය සූත්‍රයෙන් සොයාගත හැකිය:
, කොහෙද 
, එවිට
විසඳන විට, පහත සූත්ර භාවිතා කරන ලදී: 1,2,10, a, c, d.
පිළිතුර:
උදාහරණය 21.ශ්‍රිතයක ව්‍යුත්පන්නය සොයන්න 
විසඳුමක්:කොන්දේසි දෙකම - සංකීර්ණ කාර්යයන්, කොහෙද පළමු සඳහා , සහ දෙවන සඳහා , පසුව
පිළිතුර: 
ව්යුත්පන්න යෙදුම්.
1. වේගය සහ ත්වරණය
ශ්‍රිතය s(t) විස්තර කිරීමට ඉඩ දෙන්න තනතුරයම් අවස්ථාවක ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක වස්තුව t. එවිට s(t) ශ්‍රිතයේ පළමු ව්‍යුත්පන්නය ක්ෂණික වේ වේගයවස්තුව:
v=s′=f′(t)
s(t) ශ්‍රිතයේ දෙවන ව්‍යුත්පන්නය ක්ෂණික වේ ත්වරණයවස්තුව:
w=v′=s′′=f′′(t)
2. ස්පර්ශක සමීකරණය
y−y0=f′(x0)(x−x0),
මෙහි (x0,y0) යනු ස්පර්ශ ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක වේ, f′(x0) යනු ස්පර්ශ ලක්ෂ්‍යයේ f(x) ශ්‍රිතයේ ව්‍යුත්පන්නයේ අගයයි.
3. සාමාන්ය සමීකරණය
y−y0=−1f′(x0)(x−x0),
මෙහි (x0,y0) යනු සාමාන්ය අඳින ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක වේ, f′(x0) යනු දී ඇති ලක්ෂ්‍යයේ f(x) ශ්‍රිතයේ ව්‍යුත්පන්නයේ අගයයි.
4. ශ්‍රිතය ඉහල යාම සහ අඩුවීම
f′(x0)>0 නම්, ශ්‍රිතය x0 ලක්ෂයේදී වැඩිවේ. පහත රූපයේ, ශ්‍රිතය x හි වැඩි වේ
f′(x0) නම්<0, то функция убывает в точке x0 (интервал x1
5. කාර්යයේ දේශීය අන්තය
f(x) ශ්‍රිතය ඇත දේශීය උපරිම x1 ලක්ෂ්‍යයේ දී x1 ලක්ෂ්‍යයේ අසල්වැසි ප්‍රදේශයක් තිබේ නම්, මෙම අසල්වැසියෙන් සියලුම x සඳහා අසමානතාවය f(x1)≥f(x) රඳවා ගනී.
ඒ හා සමානව, f(x) ශ්‍රිතයට ඇත දේශීය අවම x2 ලක්ෂ්‍යයේ දී x2 ලක්ෂ්‍යයේ අසල්වැසි ප්‍රදේශයක් තිබේ නම්, මෙම අසල්වැසි ප්‍රදේශයේ සිට සියලුම x සඳහා අසමානතාවය f(x2)≤f(x) රඳවා ගනී.
6. විවේචනාත්මක කරුණු
ලක්ෂ්යය x0 වේ විවේචනාත්මක ලක්ෂ්යය f(x) ශ්‍රිතය එහි ඇති f′(x0) ව්‍යුත්පන්නය ශුන්‍යයට සමාන නම් හෝ නොපවතියි.
7. අන්තයක පැවැත්ම පිළිබඳ පළමු ප්රමාණවත් සංඥාව
සියලු x සඳහා f(x) ශ්‍රිතය වැඩි වෙමින් පවතී නම් (f′(x)>0) යම් කාල පරතරයකින් (a,x1] සහ අඩු වේ නම් (f′(x)<0) для всех x в интервале и возрастает (f′(x)>0) අන්තරයේ සිට සියලුම x සඳහා)
