සූදානම් චතුරස්රාකාර සමීකරණ. චතුරස්රාකාර සමීකරණ. වෙනස් කොට සලකනවා. විසඳුම, උදාහරණ

මෙම ලිපිය අධ්‍යයනය කිරීමෙන් පසු, සම්පූර්ණ චතුරස්‍ර සමීකරණයක මූලයන් සොයා ගන්නේ කෙසේදැයි ඔබ ඉගෙන ගනු ඇතැයි මම බලාපොරොත්තු වෙමි.

වෙනස්කම් කරන්නාගේ උපකාරය ඇතිව, සම්පූර්ණ චතුරස්රාකාර සමීකරණ පමණක් විසඳනු ලැබේ; අසම්පූර්ණ විසඳීමට චතුරස්රාකාර සමීකරණ"අසම්පූර්ණ චතුරස්රාකාර සමීකරණ විසඳීම" යන ලිපියෙන් ඔබ සොයා ගන්නා වෙනත් ක්රම භාවිතා කරන්න.

සම්පූර්ණ ලෙස හඳුන්වන චතුරස්‍ර සමීකරණ මොනවාද? එය ax 2 + b x + c = 0 පෝරමයේ සමීකරණ, මෙහි සංගුණක a, b සහ c ශුන්‍යයට සමාන නොවේ. එබැවින්, සම්පූර්ණ චතුරස්රාකාර සමීකරණය විසඳීම සඳහා, ඔබ වෙනස් කළ D ගණනය කළ යුතුය.

D \u003d b 2 - 4ac.

වෙනස්කම් කරන්නාට ඇති වටිනාකම මත පදනම්ව, අපි පිළිතුර ලියන්නෙමු.

වෙනස්කම් කරන්නා සෘණ අංකයක් නම් (D< 0),то корней нет.

වෙනස්කම් කරන්නා ශුන්‍ය නම්, x \u003d (-b) / 2a. වෙනස්කම් කරන විට ධනාත්මක අංකය(D > 0),

එවිට x 1 = (-b - √D)/2a, සහ x 2 = (-b + √D)/2a.

උදාහරණ වශයෙන්. සමීකරණය විසඳන්න x 2– 4x + 4= 0.

D \u003d 4 2 - 4 4 \u003d 0

x = (- (-4))/2 = 2

පිළිතුර: 2.

සමීකරණය 2 විසඳන්න x 2 + x + 3 = 0.

D \u003d 1 2 - 4 2 3 \u003d - 23

පිළිතුර: මුල් නැත.

සමීකරණය 2 විසඳන්න x 2 + 5x - 7 = 0.

D \u003d 5 2 - 4 2 (-7) \u003d 81

x 1 \u003d (-5 - √81) / (2 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3.5

x 2 \u003d (-5 + √81) / (2 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1

පිළිතුර: - 3.5; එක.

එබැවින් රූප සටහන 1 හි යෝජනා ක්‍රමය මගින් සම්පූර්ණ චතුරස්‍ර සමීකරණවල විසඳුම සිතමු.

ඕනෑම සම්පූර්ණ චතුරස්‍ර සමීකරණයක් විසඳීමට මෙම සූත්‍ර භාවිතා කළ හැක. ඔබ පමණක් සැලකිලිමත් විය යුතුය සමීකරණය සම්මත ආකෘතියේ බහුපදයක් ලෙස ලියා ඇත

ඒ x 2 + bx + c,එසේ නොමැතිනම් ඔබට වැරැද්දක් කළ හැකිය. උදාහරණයක් ලෙස, x + 3 + 2x 2 = 0 සමීකරණය ලිවීමේදී, ඔබට එය වැරදි ලෙස තීරණය කළ හැකිය.

a = 1, b = 3 සහ c = 2. එවිට

D \u003d 3 2 - 4 1 2 \u003d 1 පසුව සමීකරණයට මූලයන් දෙකක් ඇත. තවද මෙය සත්ය නොවේ. (ඉහත උදාහරණ 2 විසඳුම බලන්න).

එබැවින්, සමීකරණය සම්මත ආකෘතියේ බහුපදයක් ලෙස ලියා නොමැති නම්, පළමුව සම්පූර්ණ චතුරස්රාකාර සමීකරණය සම්මත ආකෘතියේ බහුපදයක් ලෙස ලිවිය යුතුය (පළමු ස්ථානයේ විශාලතම ඝාතය සහිත ඒකපදයක් තිබිය යුතුය, එනම්. ඒ x 2 , පසුව අඩුවෙන් – bx, පසුව නිදහස් පදය සමඟ.

දෙවන වාරය සඳහා ඉරට්ටේ සංගුණකයක් සහිත ඉහත චතුරස්රාකාර සමීකරණය සහ චතුරස්රාකාර සමීකරණය විසඳන විට, වෙනත් සූත්ර ද භාවිතා කළ හැකිය. අපි මේ සූත්‍ර ගැන දැනුවත් වෙමු. දෙවන පදය සමඟ සම්පූර්ණ චතුරස්‍ර සමීකරණයේ සංගුණකය ඉරට්ටේ නම් (b = 2k), එවිට රූප සටහන 2 හි රූප සටහනේ පෙන්වා ඇති සූත්‍ර භාවිතයෙන් සමීකරණය විසඳිය හැකිය.

දී සංගුණකය නම් සම්පූර්ණ චතුරස්රාකාර සමීකරණය අඩු කිරීමක් ලෙස හැඳින්වේ x 2 එකමුතුකමට සමාන වන අතර සමීකරණය ස්වරූපය ගනී x 2 + px + q = 0. එවැනි සමීකරණයක් විසඳීමට ලබා දිය හැකිය, නැතහොත් සමීකරණයේ සියලුම සංගුණක සංගුණකයෙන් බෙදීමෙන් ලබා ගත හැකිය. ඒහි සිටගෙන x 2 .

රූප සටහන 3 හි දැක්වෙන්නේ අඩු කරන ලද චතුරස්රයේ විසඳුමේ රූප සටහනකි
සමීකරණ. මෙම ලිපියේ සාකච්ඡා කර ඇති සූත්‍රවල යෙදුමේ උදාහරණය සලකා බලන්න.

උදාහරණයක්. සමීකරණය විසඳන්න

3x 2 + 6x - 6 = 0.

රූප සටහන 1 හි පෙන්වා ඇති සූත්‍ර භාවිතා කර මෙම සමීකරණය විසඳා ගනිමු.

D \u003d 6 2 - 4 3 (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 \u003d (-6 - 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1- √ (3))) / 6 \u003d -1 - √ 3

x 2 \u003d (-6 + 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1 + √ (3))) / 6 \u003d -1 + √ 3

පිළිතුර: -1 - √3; –1 + √3

මෙම සමීකරණයේ x හි සංගුණකය ඉරට්ටේ අංකයක් බව ඔබට පෙනෙනු ඇත, එනම් b \u003d 6 හෝ b \u003d 2k, කොහෙන්ද k \u003d 3. ඉන්පසු රූප සටහනේ පෙන්වා ඇති සූත්‍ර භාවිතා කර සමීකරණය විසඳීමට උත්සාහ කරමු. D 1 \u003d 3 2 - 3 (- 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + √3

පිළිතුර: -1 - √3; –1 + √3. මෙම චතුරස්‍ර සමීකරණයේ ඇති සියලුම සංගුණක 3 න් බෙදිය හැකි බව සහ බෙදීම නිසා, අපට අඩු වූ චතුරස්‍ර සමීකරණය x 2 + 2x - 2 = 0 ලැබේ
සමීකරණ රූපය 3.

D 2 \u003d 2 2 - 4 (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-2 + 2 √ 3) / 2 \u003d (2 (-1 + √ (3))) / 2 \u003d - 1 + √ 3

පිළිතුර: -1 - √3; –1 + √3.

අපට පෙනෙන පරිදි, මෙම සමීකරණය විසඳන විට විවිධ සූත්රඅපට එකම පිළිතුර ලැබුණි. එබැවින්, රූප සටහන 1 හි දැක්වෙන සූත්‍ර හොඳින් ප්‍රගුණ කිරීමෙන්, ඔබට සෑම විටම ඕනෑම සම්පූර්ණ චතුරස්‍ර සමීකරණයක් විසඳා ගත හැකිය.

blog.site, ද්රව්යයේ සම්පූර්ණ හෝ අර්ධ වශයෙන් පිටපත් කිරීම සමඟ, මූලාශ්රය වෙත සබැඳියක් අවශ්ය වේ.

”, එනම් පළමු උපාධියේ සමීකරණ. මෙම පාඩමේදී අපි ගවේෂණය කරන්නෙමු චතුරස්රාකාර සමීකරණයක් යනු කුමක්ද?සහ එය විසඳන්නේ කෙසේද යන්න.

චතුරස්රාකාර සමීකරණයක් යනු කුමක්ද?

වැදගත්!

සමීකරණයක උපාධිය තීරණය වන්නේ නොදන්නා දේ පවතින ඉහළම මට්ටමෙනි.

නොදන්නා අගයේ උපරිම මට්ටම "2" නම්, ඔබට චතුරස්රාකාර සමීකරණයක් ඇත.

චතුරස්රාකාර සමීකරණ සඳහා උදාහරණ

• 5x2 - 14x + 17 = 0
• -x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x2 + 0.25x = 0
• x 2 - 8 = 0

වැදගත්! චතුරස්රාකාර සමීකරණයේ සාමාන්‍ය ස්වරූපය මේ ආකාරයෙන් පෙනේ:

A x 2 + b x + c = 0

"a", "b" සහ "c" - ලබා දී ඇති අංක.

• "a" - පළමු හෝ ජ්යෙෂ්ඨ සංගුණකය;
• "b" - දෙවන සංගුණකය;
• "c" යනු නිදහස් සාමාජිකයෙකි.

"a", "b" සහ "c" සොයා ගැනීමට ඔබ ඔබේ සමීකරණය "ax 2 + bx + c \u003d 0" චතුරස්‍ර සමීකරණයේ සාමාන්‍ය ස්වරූපය සමඟ සංසන්දනය කළ යුතුය.

චතුරස්‍ර සමීකරණවල "a", "b" සහ "c" යන සංගුණක නිර්ණය කිරීමට පුරුදු වෙමු.

5x2 - 14x + 17 = 0 −7x 2 - 13x + 8 = 0 -x 2 + x +

සමීකරණය	අසමතුලිතතාවය
a=5 b = -14 c = 17
a = -7 b = -13 c = 8

1

3

= 0

• a = -1
• b = 1
• c =

  1

  3

x2 + 0.25x = 0

• a = 1
• b = 0.25
• c = 0

x 2 - 8 = 0

• a = 1
• b = 0
• c = -8

චතුරස්රාකාර සමීකරණ විසඳන්නේ කෙසේද

මෙන් නොව රේඛීය සමීකරණචතුරස්රාකාර සමීකරණ විසඳීමට, විශේෂ මූලයන් සොයා ගැනීම සඳහා සූත්රය.

මතක තබා ගන්න!

චතුරස්රාකාර සමීකරණයක් විසඳීමට ඔබට අවශ්‍ය වන්නේ:

• චතුරස්රාකාර සමීකරණය ගෙන එන්න සාමාන්ය දැක්ම"ax 2 + bx + c = 0". එනම්, දකුණු පැත්තේ පැවතිය යුත්තේ "0" පමණි;
• මූලයන් සඳහා සූත්රය භාවිතා කරන්න:

චතුරස්රාකාර සමීකරණයක මූලයන් සොයා ගැනීම සඳහා සූත්රය යෙදිය යුතු ආකාරය සොයා ගැනීමට උදාහරණයක් භාවිතා කරමු. චතුරස්රාකාර සමීකරණය විසඳමු.

X 2 - 3x - 4 = 0

"x 2 - 3x - 4 = 0" සමීකරණය දැනටමත් "ax 2 + bx + c = 0" යන සාමාන්‍ය ස්වරූපයට අඩු කර ඇති අතර අමතර සරල කිරීම් අවශ්‍ය නොවේ. එය විසඳීමට, අපට අවශ්‍ය වන්නේ අයදුම් කිරීම පමණි චතුරස්රාකාර සමීකරණයක මූලයන් සොයා ගැනීම සඳහා සූත්රය.

මෙම සමීකරණය සඳහා "a", "b" සහ "c" යන සංගුණක නිර්වචනය කරමු.

x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =

එහි ආධාරයෙන්, ඕනෑම චතුරස්රාකාර සමීකරණයක් විසඳනු ලැබේ.

"x 1; 2 \u003d" සූත්‍රයේ මූල ප්‍රකාශනය බොහෝ විට ප්‍රතිස්ථාපනය වේ
"b 2 - 4ac" "D" අකුරට සහ discriminant ලෙස හැඳින්වේ. වෙනස්කම් කරන්නෙකු පිළිබඳ සංකල්පය "වෙනස් කොට සැලකීම යනු කුමක්ද" යන පාඩමෙන් වඩාත් විස්තරාත්මකව සාකච්ඡා කෙරේ.

චතුරස්රාකාර සමීකරණයක තවත් උදාහරණයක් සලකා බලන්න.

x 2 + 9 + x = 7x

මෙම ස්වරූපයෙන්, "a", "b" සහ "c" යන සංගුණක තීරණය කිරීම තරමක් අපහසුය. අපි මුලින්ම සමීකරණය "ax 2 + bx + c \u003d 0" යන සාමාන්‍ය ස්වරූපයට ගෙනෙමු.

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x - 7x = 0
x2 + 9 - 6x = 0
x 2 - 6x + 9 = 0

දැන් ඔබට මූලයන් සඳහා සූත්රය භාවිතා කළ හැකිය.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x=

6

2

x=3
පිළිතුර: x = 3

චතුරස්රාකාර සමීකරණවල මූලයන් නොමැති අවස්ථා තිබේ. මෙම තත්වය ඇති වන්නේ මූලය යටතේ ඇති සූත්‍රයේ සෘණ අංකයක් දිස්වන විටය.

චතුරස්රාකාර සමීකරණ 8 ශ්රේණියේ අධ්යයනය කරනු ලැබේ, එබැවින් මෙහි සංකීර්ණ කිසිවක් නොමැත. ඒවා විසඳීමට ඇති හැකියාව අත්‍යවශ්‍යයි.

චතුරස්රාකාර සමීකරණයක් යනු ax 2 + bx + c = 0 ආකාරයේ සමීකරණයකි, මෙහි සංගුණක a , b සහ c අත්තනෝමතික සංඛ්‍යා වන අතර a ≠ 0 වේ.

නිශ්චිත විසඳුම් ක්‍රම අධ්‍යයනය කිරීමට පෙර, සියලුම චතුරස්‍ර සමීකරණ පන්ති තුනකට බෙදිය හැකි බව අපි සටහන් කරමු:

1. මූලයන් නැත;
2. ඔවුන්ට හරියටම එක් මූලයක් ඇත;
3. ඔවුන්ට විවිධ මූලයන් දෙකක් ඇත.

මෙය චතුරස්රාකාර සහ රේඛීය සමීකරණ අතර වැදගත් වෙනසක් වන අතර, මූලය සැමවිටම පවතින අතර එය අද්විතීය වේ. සමීකරණයකට මූලයන් කීයක් තිබේදැයි තීරණය කරන්නේ කෙසේද? මේ සඳහා අපූරු දෙයක් තිබේ - වෙනස්කම් කරන.

වෙනස් කොට සලකනවා

චතුරස්රාකාර සමීකරණය ax 2 + bx + c = 0 ලබා දීමට ඉඩ දෙන්න, එවිට වෙනස්කම් කිරීම සරලව D = b 2 - 4ac අංකය වේ.

මේ සූත්‍රය හදවතින් දත යුතුයි. එය කොහෙන්ද යන්න දැන් වැදගත් නොවේ. තවත් දෙයක් වැදගත් ය: වෙනස්කම් කරන්නාගේ ලකුණ අනුව, චතුරස්රාකාර සමීකරණයකට මූලයන් කීයක් තිබේද යන්න තීරණය කළ හැකිය. එනම්:

1. ඩී නම්< 0, корней нет;
2. D = 0 නම්, හරියටම එක් මූලයක් ඇත;
3. D > 0 නම්, මූල දෙකක් ඇත.

කරුණාකර සටහන් කරන්න: වෙනස්කම් කරන්නා මූලයන් ගණන පෙන්නුම් කරයි, නමුත් බොහෝ අය සිතන්නේ කිසියම් හේතුවක් නිසා ඒවායේ සලකුණු නොවේ. උදාහරණ දෙස බලන්න, එවිට ඔබට සියල්ල ඔබටම වැටහෙනු ඇත:

කාර්යයක්. චතුරස්රාකාර සමීකරණවලට මූලයන් කීයක් තිබේද:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 - 6x + 9 = 0.

අපි පළමු සමීකරණය සඳහා සංගුණක ලියා වෙනස්කම් කරන්නෙමු:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (-8) 2 - 4 1 12 = 64 - 48 = 16

එබැවින්, වෙනස්කම් කරන්නා ධනාත්මක වේ, එබැවින් සමීකරණයට විවිධ මූලයන් දෙකක් ඇත. අපි දෙවන සමීකරණය එකම ආකාරයකින් විශ්ලේෂණය කරමු:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

වෙනස්කම් කරන්නා සෘණාත්මක ය, මූලයන් නොමැත. අවසාන සමීකරණය ඉතිරිව ඇත:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (-6) 2 - 4 1 9 = 36 - 36 = 0.

වෙනස් කොට සැලකීම ශුන්‍යයට සමාන වේ - මූල එකක් වනු ඇත.

එක් එක් සමීකරණය සඳහා සංගුණක ලියා ඇති බව සලකන්න. ඔව්, එය දිගු, ඔව්, එය වෙහෙසකරයි - නමුත් ඔබ අවාසි මිශ්ර නොකරන අතර මෝඩ වැරදි සිදු නොකරන්න. ඔබම තෝරන්න: වේගය හෝ ගුණාත්මකභාවය.

මාර්ගය වන විට, ඔබ "ඔබේ අත පුරවා" නම්, ටික වේලාවකට පසු ඔබට සියලු සංගුණක ලිවීමට අවශ්ය නොවේ. ඔබ ඔබේ හිසෙහි එවැනි මෙහෙයුම් සිදු කරනු ඇත. බොහෝ අය මෙය කිරීමට පටන් ගන්නේ 50-70 සමීකරණ විසඳා ගැනීමෙන් පසුවය - පොදුවේ, එතරම් නොවේ.

චතුරස්රාකාර සමීකරණයක මූලයන්

දැන් අපි විසඳුම වෙත යමු. වෙනස්කම් D > 0 නම්, සූත්‍ර භාවිතයෙන් මූලයන් සොයා ගත හැක:

චතුරස්රාකාර සමීකරණයක මූලයන් සඳහා මූලික සූත්රය

D = 0 විට, ඔබට මෙම සූත්‍රවලින් ඕනෑම එකක් භාවිතා කළ හැකිය - ඔබට එම අංකයම ලැබේ, එය පිළිතුර වනු ඇත. අවසාන වශයෙන්, ඩී නම්< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

පළමු සමීකරණය:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (-2) 2 - 4 1 (-3) = 16.

D > 0 ⇒ සමීකරණයට මූලයන් දෙකක් ඇත. අපි ඒවා සොයා ගනිමු:

දෙවන සමීකරණය:
15 - 2x - x 2 = 0 ⇒ a = -1; b = -2; c = 15;
D = (-2) 2 - 4 (-1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ සමීකරණයට නැවතත් මූලයන් දෙකක් ඇත. අපි ඒවා සොයා ගනිමු

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \අවසන්(පෙළගැසෙන්න)\]

අවසාන වශයෙන්, තුන්වන සමීකරණය:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 - 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ සමීකරණයට එක් මූලයක් ඇත. ඕනෑම සූත්රයක් භාවිතා කළ හැකිය. උදාහරණයක් ලෙස, පළමු එක:

උදාහරණ වලින් ඔබට පෙනෙන පරිදි, සෑම දෙයක්ම ඉතා සරල ය. සූත්‍ර දැනගෙන ගණන් කරන්න පුළුවන් නම් ප්‍රශ්න ඇති වෙන්නේ නැහැ. බොහෝ විට, සෘණ සංගුණක සූත්‍රයට ආදේශ කරන විට දෝෂ ඇතිවේ. මෙන්න, නැවතත්, ඉහත විස්තර කර ඇති තාක්ෂණය උපකාරී වනු ඇත: සූත්රය වචනානුසාරයෙන් බලන්න, එක් එක් පියවර තීන්ත ආලේප කරන්න - සහ ඉතා ඉක්මනින් වැරදි ඉවත් කරන්න.

අසම්පූර්ණ චතුරස්රාකාර සමීකරණ

චතුරස්රාකාර සමීකරණය අර්ථ දැක්වීමේ දක්වා ඇති දෙයට වඩා තරමක් වෙනස් බව සිදු වේ. උදාහරණ වශයෙන්:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 - 16 = 0.

මෙම සමීකරණවල එක් නියමයක් අතුරුදහන් වී ඇති බව දැකීම පහසුය. එවැනි චතුරස්රාකාර සමීකරණ සම්මත ඒවාට වඩා විසඳීමට පහසු ය: ඒවාට වෙනස්කම් කිරීම ගණනය කිරීමට පවා අවශ්ය නොවේ. එබැවින් අපි නව සංකල්පයක් හඳුන්වා දෙමු:

ax 2 + bx + c = 0 සමීකරණය b = 0 හෝ c = 0 නම් අසම්පූර්ණ චතුරස්‍ර සමීකරණයක් ලෙස හැඳින්වේ, i.e. x විචල්‍යයේ සංගුණකය හෝ නිදහස් මූලද්‍රව්‍ය ශුන්‍යයට සමාන වේ.

ඇත්ත වශයෙන්ම, මෙම සංගුණක දෙකම ශුන්‍යයට සමාන වන විට ඉතා දුෂ්කර අවස්ථාවක් විය හැකිය: b \u003d c \u003d 0. මෙම අවස්ථාවේදී, සමීකරණය පොරව 2 \u003d 0 ආකාරය ගනී. නිසැකවම, එවැනි සමීකරණයකට තනි එකක් ඇත මූල: x \u003d 0.

අපි වෙනත් අවස්ථා සලකා බලමු. b \u003d 0 ට ඉඩ දෙන්න, එවිට අපට ax 2 + c \u003d 0 ආකෘතියේ අසම්පූර්ණ චතුරස්‍ර සමීකරණයක් ලැබේ. අපි එය තරමක් පරිවර්තනය කරමු:

අංක ගණිත වර්ගමූලය පවතින්නේ සෘණ නොවන සංඛ්‍යාවකින් පමණක් බැවින්, අවසාන සමානාත්මතාවය අර්ථවත් වන්නේ (-c / a ) ≥ 0 විට පමණි. නිගමනය:

1. ax 2 + c = 0 ආකාරයේ අසම්පූර්ණ චතුරස්‍ර සමීකරණයක් අසමානතාවය (−c / a ) ≥ 0 තෘප්තිමත් කරන්නේ නම්, මූලයන් දෙකක් ඇත. සූත්‍රය ඉහත දක්වා ඇත;
2. නම් (-c / a )< 0, корней нет.

ඔබට පෙනෙන පරිදි, වෙනස් කොට සැලකීම අවශ්ය නොවේ - අසම්පූර්ණ චතුරස්රාකාර සමීකරණවල සංකීර්ණ ගණනය කිරීම් නොමැත. ඇත්ත වශයෙන්ම, අසමානතාවය (−c / a ) ≥ 0 මතක තබා ගැනීම පවා අවශ්ය නොවේ. x 2 හි අගය ප්රකාශ කිරීම සහ සමාන ලකුණේ අනෙක් පැත්තේ ඇති දේ බැලීම ප්රමාණවත්ය. ධන අංකයක් තිබේ නම්, මූල දෙකක් ඇත. සෘණ නම්, මුලක් නැත.

දැන් අපි නිදහස් මූලද්‍රව්‍යය ශුන්‍යයට සමාන වන ax 2 + bx = 0 පෝරමයේ සමීකරණ සමඟ කටයුතු කරමු. මෙහි සෑම දෙයක්ම සරලයි: සෑම විටම මුල් දෙකක් ඇත. බහුපද සාධකකරණය කිරීම ප්රමාණවත්ය:

පොදු සාධකය වරහනෙන් පිටතට ගැනීම

අවම වශයෙන් එක් සාධකයක් ශුන්‍යයට සමාන වන විට නිෂ්පාදිතය ශුන්‍යයට සමාන වේ. මෙහි මූලයන් පැමිණේ. අවසාන වශයෙන්, අපි මෙම සමීකරණ කිහිපයක් විශ්ලේෂණය කරමු:

කාර්යයක්. චතුරස්රාකාර සමීකරණ විසඳන්න:

1. x2 - 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 - 9 = 0.

x 2 - 7x = 0 ⇒ x (x - 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = -(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. මූලයන් නොමැත, මන්ද චතුරස්රය සෘණ අංකයකට සමාන විය නොහැක.

4x 2 - 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; x 2 \u003d -1.5.

5x (x - 4) = 0

5 x = 0 හෝ x - 4 = 0

x = ± √ 25/4

පළමු උපාධියේ සමීකරණ විසඳීමට ඉගෙන ගත් පසු, ඇත්ත වශයෙන්ම, මට අනෙක් අය සමඟ වැඩ කිරීමට අවශ්‍යයි, විශේෂයෙන්, දෙවන උපාධියේ සමීකරණ සමඟ, වෙනත් ආකාරයකින් චතුරස්රාකාර ලෙස හැඳින්වේ.

චතුරස්රාකාර සමීකරණ යනු ax² + bx + c = 0 වර්ගයේ සමීකරණ වේ, එහිදී විචල්‍යය x වේ, සංඛ්‍යා වනු ඇත - a, b, c, එහිදී a ශුන්‍යයට සමාන නොවේ.

චතුරස්‍ර සමීකරණයක එකක් හෝ වෙනත් සංගුණකය (c හෝ b) ශුන්‍යයට සමාන නම්, මෙම සමීකරණය අසම්පූර්ණ චතුරස්‍ර සමීකරණයකට යොමු වේ.

සිසුන්ට මෙතෙක් පළමු උපාධියේ සමීකරණ විසඳා ගැනීමට හැකි වී ඇත්නම් අසම්පූර්ණ චතුරස්‍ර සමීකරණයක් විසඳන්නේ කෙසේද? අසම්පූර්ණ චතුරස්රාකාර සමීකරණ සලකා බලන්න විවිධ වර්ගහා සරල ක්රමඔවුන්ගේ තීරණ.

a) c සංගුණකය 0 ට සමාන නම් සහ b සංගුණකය ශුන්‍යයට සමාන නොවේ නම්, ax ² + bx + 0 = 0 ax ² + bx = 0 ආකාරයේ සමීකරණයකට අඩු වේ.

එවැනි සමීකරණයක් විසඳීම සඳහා, ඔබ අසම්පූර්ණ චතුරස්රාකාර සමීකරණයක් විසඳීම සඳහා සූත්රය දැන සිටිය යුතුය, එනම් වම් පැත්තඑය සාධකකරණය කර පසුව නිෂ්පාදිතය ශුන්‍යයට සමාන කොන්දේසිය භාවිතා කරන්න.

උදාහරණයක් ලෙස, 5x ² - 20x \u003d 0. අපි සාමාන්‍ය ගණිතමය ක්‍රියාවක් සිදු කරන අතරතුර සමීකරණයේ වම් පැත්ත සාධක කරන්නෙමු: පොදු සාධකය වරහන් වලින් පිටතට ගැනීම

5x (x - 4) = 0

නිෂ්පාදන ශුන්‍යයට සමාන වන කොන්දේසිය අපි භාවිතා කරමු.

5 x = 0 හෝ x - 4 = 0

පිළිතුර වනු ඇත: පළමු මූලය 0 වේ; දෙවන මූලය 4 වේ.

b) b \u003d 0, සහ නිදහස් පදය ශුන්‍යයට සමාන නොවේ නම්, ax ² + 0x + c \u003d 0 සමීකරණය ax ² + c \u003d 0 පෝරමයේ සමීකරණයකට අඩු වේ. සමීකරණ දෙකකින් විසඳන්න මාර්ග: a) වම් පස ඇති සමීකරණයේ බහුපද සාධක බවට වියෝජනය කිරීම; ආ) අංක ගණිතයේ ගුණාංග භාවිතා කිරීම වර්ගමුලය. එවැනි සමීකරණයක් එක් ක්‍රමයකින් විසඳනු ලැබේ, උදාහරණයක් ලෙස:

x = ± √ 25/4

x = ± 5/2. පිළිතුර: පළමු මූලය 5/2; දෙවන මූලය - 5/2.

c) b 0 ට සමාන නම් සහ c 0 ට සමාන නම්, ax² + 0 + 0 = 0 ax² = 0 ආකාරයේ සමීකරණයකට අඩු කරයි. එවැනි සමීකරණයකදී x 0 ට සමාන වේ.

ඔබට පෙනෙන පරිදි, අසම්පූර්ණ චතුරස්රාකාර සමීකරණවලට උපරිම වශයෙන් මූලයන් දෙකක් තිබිය හැකිය.

යන්තම්. සූත්ර සහ පැහැදිලි සරල නීති අනුව. පළමු අදියරේදී

අවශ්ය ලබා දී ඇති සමීකරණයවෙත යොමු කරයි සම්මත ආකෘතිය, i.e. දර්ශනයට:

මෙම ආකෘතියේ සමීකරණය දැනටමත් ඔබට ලබා දී ඇත්නම්, ඔබට පළමු අදියර කිරීමට අවශ්ය නොවේ. වැදගත්ම දේ හරි

සියලුම සංගුණක තීරණය කරන්න ඒ, බීහා c.

චතුරස්‍ර සමීකරණයක මූලයන් සෙවීම සඳහා සූත්‍රය.

මූල ලකුණ යටතේ ප්රකාශනය හැඳින්වේ වෙනස්කම් කරන . ඔබට පෙනෙන පරිදි, x සොයා ගැනීමට, අපි

භාවිත a, b සහ c පමණි. එම. සිට අවාසි චතුරස්රාකාර සමීකරණය. ප්රවේශමෙන් ඇතුල් කරන්න

අගයන් a, b සහ cමෙම සූත්‍රයට සහ ගණන් කරන්න. සමඟ ආදේශ කරන්න ඔවුන්ගේසංඥා!

උදාහරණ වශයෙන්, සමීකරණයේ:

ඒ =1; බී = 3; c = -4.

අගයන් ආදේශ කර ලියන්න:

උදාහරණය පාහේ විසඳා ඇත:

පිළිතුර මෙයයි.

වඩාත්ම පොදු වැරදි වන්නේ වටිනාකම් වල සංඥා සමඟ ව්යාකූලත්වයයි a, bහා සමඟ. ඒ වෙනුවට, ආදේශනය සමඟ

සෘණ අගයන්මූලයන් ගණනය කිරීම සඳහා සූත්රය තුලට. මෙන්න සවිස්තරාත්මක සූත්රය සුරකියි

නිශ්චිත සංඛ්යා සමඟ. ගණනය කිරීම් සමඟ ගැටළු තිබේ නම්, එය කරන්න!

අපි පහත උදාහරණය විසඳිය යුතු යැයි සිතමු:

මෙතන ඒ = -6; බී = -5; c = -1

සියලුම සලකුණු සහ වරහන් සමඟ කිසිවක් අතපසු නොකර අපි සෑම දෙයක්ම විස්තරාත්මකව, ප්‍රවේශමෙන් පින්තාරු කරමු:

බොහෝ විට චතුරස්රාකාර සමීකරණ තරමක් වෙනස් ලෙස පෙනේ. උදාහරණයක් ලෙස, මේ වගේ:

දැන් දෝෂ සංඛ්යාව නාටකාකාර ලෙස අඩු කරන ප්රායෝගික තාක්ෂණික ක්රම සැලකිල්ලට ගන්න.

පළමු පිළිගැනීම. කලින් කම්මැලි වෙන්න එපා චතුරස්රාකාර සමීකරණයක් විසඳීමඑය සම්මත ආකෘතියට ගෙන එන්න.

මෙමගින් කුමක් වෙයිද?

කිසියම් පරිවර්තනයකින් පසු ඔබට පහත සමීකරණය ලැබේ යැයි සිතමු.

මුල්වල සූත්රය ලිවීමට ඉක්මන් නොවන්න! ඔබ නියත වශයෙන්ම අසමතුලිතතාවයන් මිශ්ර කරනු ඇත a, b සහ c.

ආදර්ශය නිවැරදිව ගොඩනඟන්න. පළමුව, x වර්ග, පසුව චතුරස්රයක් නොමැතිව, පසුව නිදහස් සාමාජිකයෙක්. මෙවැනි:

අඩුවෙන් මිදෙන්න. කෙසේද? අපි සම්පූර්ණ සමීකරණය -1 න් ගුණ කළ යුතුයි. අපට ලැබෙන්නේ:

දැන් ඔබට මූලයන් සඳහා සූත්‍රය ආරක්ෂිතව ලිවිය හැකිය, වෙනස් කොට සැලකීම ගණනය කර උදාහරණය සම්පූර්ණ කරන්න.

ඔබම තීරණය කරන්න. ඔබ මූලයන් 2 සහ -1 සමඟ අවසන් කළ යුතුය.

දෙවන පිළිගැනීම.ඔබේ මූලයන් පරීක්ෂා කරන්න! විසින් වියේටා ප්‍රමේයය.

ලබා දී ඇති චතුරස්රාකාර සමීකරණ විසඳීමට, i.e. සංගුණකය නම්

x2+bx+c=0,

එවිටx 1 x 2 =c

x1 +x2 =-බී

සම්පූර්ණ චතුරස්‍ර සමීකරණයක් සඳහා a≠1:

x 2 +බීx+c=0,

සම්පූර්ණ සමීකරණය බෙදන්න ඒ:

→ →

කොහෙද x 1හා x 2 - සමීකරණයේ මූලයන්.

තුන්වන පිළිගැනීම. ඔබේ සමීකරණයට භාගික සංගුණක තිබේ නම්, භාග ඉවත් කරන්න! ගුණ කරන්න

පොදු හරයක් සඳහා සමීකරණය.

නිගමනය. ප්රායෝගික උපදෙස්:

1. විසඳීමට පෙර, අපි චතුරස්රාකාර සමීකරණය සම්මත ආකෘතියට ගෙන ඒම, එය ගොඩනඟන්න හරි.

2. චතුරස්රයේ x ඉදිරිපිට සෘණ සංගුණකයක් තිබේ නම්, අපි එය සියල්ල ගුණ කිරීමෙන් ඉවත් කරමු.

-1 සඳහා සමීකරණ.

3. සංගුණක භාගික නම්, අපි සම්පූර්ණ සමීකරණය අනුරූපයෙන් ගුණ කිරීමෙන් භාග ඉවත් කරමු

සාධකය.

4. x වර්ග පිරිසිදු නම්, එය සඳහා සංගුණකය එකකට සමාන වේ, විසඳුම පහසුවෙන් පරීක්ෂා කළ හැක