චතුරස්රාකාර සමීකරණයක මූලය කුමක්ද. වර්ග මූල: ගණනය කිරීමේ සූත්‍ර. චතුරස්‍ර සමීකරණයක මූලයන් සෙවීමේ සූත්‍රය

චතුරස්රාකාර සමීකරණයක මූලයන් සඳහා සූත්ර. සැබෑ, බහු සහ සංකීර්ණ මූලයන් පිළිබඳ අවස්ථා සලකා බලනු ලැබේ. හතරැස් ත්‍රිකෝණයක සාධකකරණය. ජ්යාමිතික අර්ථ නිරූපණය. මූලයන් නිර්ණය කිරීම සහ සාධකකරණය සඳහා උදාහරණ.

මූලික සූත්ර

චතුරස්රාකාර සමීකරණය සලකා බලන්න:
(1) .
චතුරස්රාකාර සමීකරණයක මූලයන්(1) සූත්ර මගින් තීරණය කරනු ලැබේ:
; .
මෙම සූත්‍ර මේ ආකාරයට ඒකාබද්ධ කළ හැකිය:
.
චතුරස්රාකාර සමීකරණයේ මූලයන් දන්නා විට, දෙවන උපාධියේ බහුපදය සාධකවල (සාධක) නිෂ්පාදනයක් ලෙස නිරූපණය කළ හැකිය:
.

තවද, අපි එය සැබෑ සංඛ්යා යැයි උපකල්පනය කරමු.
සලකා බලන්න චතුරස්රාකාර සමීකරණයක් වෙනස් කිරීම:
.
වෙනස්කම් කරන්නා ධනාත්මක නම්, චතුරස්රාකාර සමීකරණය (1) වෙනස් සැබෑ මූලයන් දෙකක් ඇත:
; .
එවිට වර්ග ත්‍රිපදයේ සාධකකරණයට ස්වරූපය ඇත:
.
වෙනස් කොට සැලකීම ශුන්‍ය නම්, චතුරස්‍ර සමීකරණයට (1) බහු (සමාන) තාත්වික මූලයන් දෙකක් ඇත:
.
සාධකකරණය:
.
වෙනස් කොට සැලකීම සෘණ නම්, චතුරස්රාකාර සමීකරණයට (1) සංකීර්ණ සංයුජ මූලයන් දෙකක් ඇත:
;
.
මෙන්න මනඃකල්පිත ඒකකය, ;
සහ මුල්වල සැබෑ සහ මනඃකල්පිත කොටස් වේ:
; .
ඉන්පසු

.

ග්රැෆික් අර්ථ නිරූපණය

ගොඩනඟන්නේ නම් ශ්රිත ප්රස්ථාරය
,
පරාවලයක් වන අතර, එවිට ප්‍රස්ථාරය අක්ෂය සමඟ ඡේදනය වන ලක්ෂ්‍ය සමීකරණයේ මූලයන් වනු ඇත
.
විට , ප්‍රස්ථාරය abscissa අක්ෂය (අක්ෂය) ස්ථාන දෙකකින් ඡේදනය කරයි.
විට , ප්‍රස්ථාරය එක් ලක්ෂයක x අක්ෂය ස්පර්ශ කරයි.
විට , ප්‍රස්ථාරය x-අක්ෂය හරස් නොකරයි.

එවැනි ප්‍රස්ථාර සඳහා උදාහරණ පහත දැක්වේ.

චතුරස්රාකාර සමීකරණයට අදාළ ප්රයෝජනවත් සූත්ර

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

චතුරස්රාකාර සමීකරණයක මූලයන් සඳහා සූත්‍රයේ ව්‍යුත්පන්නය

අපි පරිවර්තනයන් සිදු කර සූත්‍ර (f.1) සහ (f.3) යොදන්නෙමු:




,
කොහෙද
; .

එබැවින්, අපට දෙවන උපාධියේ බහුපද සඳහා සූත්‍රය ස්වරූපයෙන් ලැබුණි:
.
සමීකරණය බව මෙයින් පෙනේ

දී සිදු කරන ලදී
හා .
එනම්, චතුරස්රාකාර සමීකරණයේ මූලයන් වේ
.

චතුරස්රාකාර සමීකරණයක මූලයන් නිර්ණය කිරීමේ උදාහරණ

උදාහරණ 1

(1.1) .

විසඳුමක්

.
අපගේ සමීකරණය (1.1) සමඟ සසඳන විට, අපි සංගුණකවල අගයන් සොයා ගනිමු:
.
වෙනස්කම් කරන්නා සොයා ගැනීම:
.
වෙනස්කම් කරන්නා ධනාත්මක බැවින්, සමීකරණයට සැබෑ මූලයන් දෙකක් ඇත:
;
;
.

මෙතැන් සිට අපි වර්ග ත්‍රිපදයේ වියෝජනය සාධකවලට ලබා ගනිමු:

.

ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්තාරය y = 2 x 2 + 7 x + 3ලක්ෂ්‍ය දෙකකින් x අක්ෂය හරස් කරයි.

අපි කාර්යය සැලසුම් කරමු
.
මෙම ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරය පරාවලයකි. එය ලක්ෂ්‍ය දෙකකින් x-අක්ෂය (අක්ෂය) තරණය කරයි:
හා .
මෙම කරුණු මුල් සමීකරණයේ මූලයන් වේ (1.1).

පිළිතුර

;
;
.

උදාහරණ 2

චතුරස්රාකාර සමීකරණයක මූලයන් සොයන්න:
(2.1) .

විසඳුමක්

අපි චතුරස්රාකාර සමීකරණය ලියන්නෙමු සාමාන්ය දැක්ම:
.
මුල් සමීකරණය (2.1) සමඟ සසඳන විට, අපි සංගුණකවල අගයන් සොයා ගනිමු:
.
වෙනස්කම් කරන්නා සොයා ගැනීම:
.
වෙනස් කොට සැලකීම ශුන්‍ය වන බැවින්, සමීකරණයට බහු (සමාන) මූලයන් දෙකක් ඇත:
;
.

එවිට ත්‍රිපදයේ සාධකකරණයට ස්වරූපය ඇත:
.

y = x ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්තාරය 2 - 4 x + 4එක් ස්ථානයක x අක්ෂය ස්පර්ශ කරයි.

අපි කාර්යය සැලසුම් කරමු
.
මෙම ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරය පරාවලයකි. එය එක් අවස්ථාවක x-අක්ෂය (අක්ෂය) ස්පර්ශ කරයි:
.
මෙම ලක්ෂ්‍යය මුල් සමීකරණයේ (2.1) මුල වේ. මෙම මූලය දෙවරක් සාධක වන බැවින්:
,
එවිට එවැනි මූලයක් බහු ලෙස හැඳින්වේ. එනම්, සමාන මූලයන් දෙකක් ඇති බව ඔවුන් සලකයි:
.

පිළිතුර

;
.

උදාහරණය 3

චතුරස්රාකාර සමීකරණයක මූලයන් සොයන්න:
(3.1) .

විසඳුමක්

අපි චතුරස්රාකාර සමීකරණය සාමාන්‍ය ස්වරූපයෙන් ලියන්නෙමු:
(1) .
අපි මුල් සමීකරණය නැවත ලියමු (3.1):
.
(1) සමඟ සසඳන විට, අපි සංගුණකවල අගයන් සොයා ගනිමු:
.
වෙනස්කම් කරන්නා සොයා ගැනීම:
.
වෙනස්කම් කරන්නා සෘණාත්මක ය, . එබැවින් සැබෑ මූලයන් නොමැත.

ඔබට සංකීර්ණ මූලයන් සොයාගත හැකිය:
;
;
.

ඉන්පසු


.

ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරය x අක්ෂය හරහා නොයයි. සැබෑ මූලයන් නොමැත.

අපි කාර්යය සැලසුම් කරමු
.
මෙම ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරය පරාවලයකි. එය abscissa (අක්ෂය) තරණය නොකරයි. එබැවින් සැබෑ මූලයන් නොමැත.

පිළිතුර

සැබෑ මූලයන් නොමැත. සංකීර්ණ මූලයන්:
;
;
.

චතුරස්රාකාර සමීකරණ 8 වන ශ්‍රේණියේ ඉගෙන ගන්න, එබැවින් මෙහි සංකීර්ණ කිසිවක් නොමැත. ඒවා විසඳීමට ඇති හැකියාව අත්‍යවශ්‍යයි.

චතුරස්රාකාර සමීකරණයක් යනු ax 2 + bx + c = 0 ආකාරයේ සමීකරණයකි, මෙහි සංගුණක a , b සහ c අත්තනෝමතික සංඛ්‍යා වන අතර a ≠ 0 වේ.

නිශ්චිත විසඳුම් ක්‍රම අධ්‍යයනය කිරීමට පෙර, සියලුම චතුරස්‍ර සමීකරණ පන්ති තුනකට බෙදිය හැකි බව අපි සටහන් කරමු:

1. මූලයන් නැත;
2. ඔවුන්ට හරියටම එක් මූලයක් ඇත;
3. ඔවුන්ට විවිධ මූලයන් දෙකක් ඇත.

මෙය චතුරස්රාකාර සහ රේඛීය සමීකරණ අතර වැදගත් වෙනසක් වන අතර, මූලය සැමවිටම පවතින අතර එය අද්විතීය වේ. සමීකරණයකට මූලයන් කීයක් තිබේදැයි තීරණය කරන්නේ කෙසේද? මේ සඳහා අපූරු දෙයක් තිබේ - වෙනස්කම් කරන.

වෙනස් කොට සලකනවා

චතුරස්රාකාර සමීකරණය ax 2 + bx + c = 0 ලබා දීමට ඉඩ දෙන්න, එවිට වෙනස්කම් කිරීම සරලව D = b 2 - 4ac අංකය වේ.

මේ සූත්‍රය හදවතින් දත යුතුයි. එය කොහෙන්ද යන්න දැන් වැදගත් නොවේ. තවත් දෙයක් වැදගත් ය: වෙනස්කම් කරන්නාගේ ලකුණ අනුව, චතුරස්රාකාර සමීකරණයකට මූලයන් කීයක් තිබේද යන්න තීරණය කළ හැකිය. එනම්:

1. ඩී නම්< 0, корней нет;
2. D = 0 නම්, හරියටම එක් මූලයක් ඇත;
3. D > 0 නම්, මූල දෙකක් ඇත.

කරුණාකර සටහන් කරන්න: වෙනස්කම් කරන්නා මූලයන් ගණන පෙන්නුම් කරයි, නමුත් බොහෝ අය සිතන්නේ කිසියම් හේතුවක් නිසා ඒවායේ සලකුණු නොවේ. උදාහරණ දෙස බලන්න, එවිට ඔබට සියල්ල ඔබටම වැටහෙනු ඇත:

කාර්යයක්. චතුරස්රාකාර සමීකරණවලට මූලයන් කීයක් තිබේද:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 - 6x + 9 = 0.

අපි පළමු සමීකරණය සඳහා සංගුණක ලියා වෙනස්කම් කරන්නෙමු:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (-8) 2 - 4 1 12 = 64 - 48 = 16

එබැවින්, වෙනස්කම් කරන්නා ධනාත්මක වේ, එබැවින් සමීකරණයට විවිධ මූලයන් දෙකක් ඇත. අපි දෙවන සමීකරණය එකම ආකාරයකින් විශ්ලේෂණය කරමු:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

වෙනස්කම් කරන්නා සෘණාත්මක ය, මූලයන් නොමැත. අවසාන සමීකරණය ඉතිරිව ඇත:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (-6) 2 - 4 1 9 = 36 - 36 = 0.

වෙනස් කොට සැලකීම ශුන්‍යයට සමාන වේ - මූල එකක් වනු ඇත.

එක් එක් සමීකරණය සඳහා සංගුණක ලියා ඇති බව සලකන්න. ඔව්, එය දිගු, ඔව්, එය වෙහෙසකරයි - නමුත් ඔබ අවාසි මිශ්ර නොකරන අතර මෝඩ වැරදි සිදු නොකරන්න. ඔබම තෝරන්න: වේගය හෝ ගුණාත්මකභාවය.

මාර්ගය වන විට, ඔබ "ඔබේ අත පුරවා" නම්, ටික වේලාවකට පසු ඔබට සියලු සංගුණක ලිවීමට අවශ්ය නොවේ. ඔබ ඔබේ හිසෙහි එවැනි මෙහෙයුම් සිදු කරනු ඇත. බොහෝ අය මෙය කිරීමට පටන් ගන්නේ 50-70 සමීකරණ විසඳා ගැනීමෙන් පසුවය - පොදුවේ, එතරම් නොවේ.

චතුරස්රාකාර සමීකරණයක මූලයන්

දැන් අපි විසඳුම වෙත යමු. වෙනස්කම් D > 0 නම්, සූත්‍ර භාවිතයෙන් මූලයන් සොයා ගත හැක:

චතුරස්රාකාර සමීකරණයක මූලයන් සඳහා මූලික සූත්රය

D = 0 විට, ඔබට මෙම සූත්‍රවලින් ඕනෑම එකක් භාවිතා කළ හැකිය - ඔබට එම අංකයම ලැබේ, එය පිළිතුර වනු ඇත. අවසාන වශයෙන්, ඩී නම්< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

පළමු සමීකරණය:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (-2) 2 - 4 1 (-3) = 16.

D > 0 ⇒ සමීකරණයට මූලයන් දෙකක් ඇත. අපි ඒවා සොයා ගනිමු:

දෙවන සමීකරණය:
15 - 2x - x 2 = 0 ⇒ a = -1; b = -2; c = 15;
D = (-2) 2 - 4 (-1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ සමීකරණයට නැවතත් මූලයන් දෙකක් ඇත. අපි ඒවා සොයා ගනිමු

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \අවසන්(පෙළගැසෙන්න)\]

අවසාන වශයෙන්, තුන්වන සමීකරණය:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 - 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ සමීකරණයට එක් මූලයක් ඇත. ඕනෑම සූත්රයක් භාවිතා කළ හැකිය. උදාහරණයක් ලෙස, පළමු එක:

උදාහරණ වලින් ඔබට පෙනෙන පරිදි, සෑම දෙයක්ම ඉතා සරල ය. සූත්‍ර දැනගෙන ගණන් කරන්න පුළුවන් නම් ප්‍රශ්න ඇති වෙන්නේ නැහැ. බොහෝ විට, සෘණ සංගුණක සූත්‍රයට ආදේශ කරන විට දෝෂ ඇතිවේ. මෙන්න, නැවතත්, ඉහත විස්තර කර ඇති තාක්ෂණය උපකාරී වනු ඇත: සූත්රය වචනානුසාරයෙන් බලන්න, එක් එක් පියවර තීන්ත ආලේප කරන්න - සහ ඉතා ඉක්මනින් වැරදි ඉවත් කරන්න.

අසම්පූර්ණ චතුරස්රාකාර සමීකරණ

චතුරස්රාකාර සමීකරණය අර්ථ දැක්වීමේ දක්වා ඇති දෙයට වඩා තරමක් වෙනස් බව සිදු වේ. උදාහරණ වශයෙන්:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 - 16 = 0.

මෙම සමීකරණවල එක් නියමයක් අතුරුදහන් වී ඇති බව දැකීම පහසුය. එවැනි චතුරස්රාකාර සමීකරණ සම්මත ඒවාට වඩා විසඳීමට පහසු ය: ඒවාට වෙනස්කම් කිරීම ගණනය කිරීමට පවා අවශ්ය නොවේ. එබැවින් අපි නව සංකල්පයක් හඳුන්වා දෙමු:

ax 2 + bx + c = 0 සමීකරණය b = 0 හෝ c = 0 නම් අසම්පූර්ණ චතුරස්‍ර සමීකරණයක් ලෙස හැඳින්වේ, i.e. x විචල්‍යයේ සංගුණකය හෝ නිදහස් මූලද්‍රව්‍ය ශුන්‍යයට සමාන වේ.

ඇත්ත වශයෙන්ම, මෙම සංගුණක දෙකම ශුන්‍යයට සමාන වන විට ඉතා දුෂ්කර අවස්ථාවක් විය හැකිය: b \u003d c \u003d 0. මෙම අවස්ථාවේදී, සමීකරණය පොරව 2 \u003d 0 ආකාරය ගනී. නිසැකවම, එවැනි සමීකරණයකට තනි එකක් ඇත මූල: x \u003d 0.

අපි වෙනත් අවස්ථා සලකා බලමු. b \u003d 0 ට ඉඩ දෙන්න, එවිට අපට ax 2 + c \u003d 0 ආකෘතියේ අසම්පූර්ණ චතුරස්‍ර සමීකරණයක් ලැබේ. අපි එය තරමක් පරිවර්තනය කරමු:

අංක ගණිතමය වර්ගමූලය පවතින්නේ නැති සිට පමණක් බැවිනි සෘණ අංකය, අවසාන සමානාත්මතාවය අර්ථවත් වන්නේ (−c /a ) ≥ 0 සඳහා පමණි. නිගමනය:

1. ax 2 + c = 0 ආකාරයේ අසම්පූර්ණ චතුරස්‍ර සමීකරණයක් අසමානතාවය (−c / a ) ≥ 0 තෘප්තිමත් කරන්නේ නම්, මූලයන් දෙකක් ඇත. සූත්‍රය ඉහත දක්වා ඇත;
2. නම් (-c / a )< 0, корней нет.

ඔබට පෙනෙන පරිදි, වෙනස් කොට සැලකීම අවශ්ය නොවේ - අසම්පූර්ණ චතුරස්රාකාර සමීකරණවල සංකීර්ණ ගණනය කිරීම් නොමැත. ඇත්ත වශයෙන්ම, අසමානතාවය (−c / a ) ≥ 0 මතක තබා ගැනීම පවා අවශ්ය නොවේ. x 2 හි අගය ප්රකාශ කිරීම සහ සමාන ලකුණේ අනෙක් පැත්තේ ඇති දේ බැලීම ප්රමාණවත්ය. ධන අංකයක් තිබේ නම්, මූල දෙකක් ඇත. සෘණ නම්, මුලක් නැත.

දැන් අපි නිදහස් මූලද්‍රව්‍යය ශුන්‍යයට සමාන වන ax 2 + bx = 0 පෝරමයේ සමීකරණ සමඟ කටයුතු කරමු. මෙහි සෑම දෙයක්ම සරලයි: සෑම විටම මුල් දෙකක් ඇත. බහුපද සාධකකරණය කිරීම ප්රමාණවත්ය:

පොදු සාධකය වරහනෙන් පිටතට ගැනීම

අවම වශයෙන් එක් සාධකයක් ශුන්‍යයට සමාන වන විට නිෂ්පාදිතය ශුන්‍යයට සමාන වේ. මෙහි මූලයන් පැමිණේ. අවසාන වශයෙන්, අපි මෙම සමීකරණ කිහිපයක් විශ්ලේෂණය කරමු:

කාර්යයක්. චතුරස්රාකාර සමීකරණ විසඳන්න:

1. x2 - 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 - 9 = 0.

x 2 - 7x = 0 ⇒ x (x - 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = -(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. මූලයන් නොමැත, මන්ද චතුරස්රය සෘණ අංකයකට සමාන විය නොහැක.

4x 2 - 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; x 2 \u003d -1.5.

ග්‍රන්ථ නාමාවලිය විස්තරය: Gasanov A. R., Kuramshin A. A., Elkov A. A., Shilnenkov N. V., Ulanov D. D., Shmeleva O. V. චතුරස්රාකාර සමීකරණ විසඳීම සඳහා ක්රම // තරුණ විද්යාඥයා. 2016. අංක 6.1. S. 17-20..02.2019).



අපගේ ව්‍යාපෘතිය චතුරස්‍ර සමීකරණ විසඳීමේ ක්‍රම සඳහා කැපවී ඇත. ව්‍යාපෘතියේ අරමුණ: පාසල් විෂය මාලාවට ඇතුළත් නොවන ආකාරවලින් චතුරස්‍ර සමීකරණ විසඳන ආකාරය ඉගෙන ගැනීම. කාර්යය: සියල්ල සොයා ගන්න හැකි ක්රමචතුරස්රාකාර සමීකරණ විසඳා ඒවා ඔබම භාවිතා කරන්නේ කෙසේදැයි ඉගෙන ගෙන මෙම ක්‍රම සඳහා පන්තියේ මිතුරන් හඳුන්වා දෙන්න.

"චතුරස්‍ර සමීකරණ" යනු කුමක්ද?

චතුරස්රාකාර සමීකරණය- පෝරමයේ සමීකරණය පොරව2 + bx + c = 0, කොහෙද ඒ, බී, c- සමහර සංඛ්යා ( a ≠ 0), x- නොදන්නා.

a, b, c යන සංඛ්‍යා හතරැස් සමීකරණයේ සංගුණක ලෙස හැඳින්වේ.

• a පළමු සංගුණකය ලෙස හැඳින්වේ;
• b දෙවන සංගුණකය ලෙස හැඳින්වේ;
• c - නිදහස් සාමාජික.

සහ චතුරස්රාකාර සමීකරණ "නිපදවූ" පළමු පුද්ගලයා කවුද?

රේඛීය සහ චතුරස්‍ර සමීකරණ විසඳීම සඳහා සමහර වීජීය ශිල්පීය ක්‍රම මීට වසර 4000කට පෙර පුරාණ බබිලෝනියේ දී හඳුනාගෙන ඇත. ක්‍රි.පූ. 1800 සහ 1600 අතර කාලයේ දී සොයාගත් පැරණි බැබිලෝනියානු මැටි පුවරු, චතුරස්‍ර සමීකරණ අධ්‍යයනයේ පැරණිතම සාක්ෂි වේ. එම ටැබ්ලට් වල ඇතැම් වර්ගවල චතුරස්‍ර සමීකරණ විසඳීම සඳහා ක්‍රම අඩංගු වේ.

පුරාණ කාලයේ පළමුවැන්න පමණක් නොව දෙවන උපාධියේ සමීකරණ විසඳීමේ අවශ්‍යතාවය ඇති වූයේ ඉඩම් ප්‍රදේශ සොයා ගැනීම හා සම්බන්ධ ගැටළු විසඳීමේ අවශ්‍යතාවය හේතුවෙනි. පස් වැඩමිලිටරි ස්වභාවය, මෙන්ම තාරකා විද්යාව හා ගණිතය සංවර්ධනය සමග.

බබිලෝනියානු ග්‍රන්ථවල දක්වා ඇති මෙම සමීකරණ විසඳීමේ රීතිය අත්‍යවශ්‍යයෙන්ම නූතන එක සමඟ සමපාත වේ, නමුත් බැබිලෝනියානුවන් මෙම රීතියට පැමිණියේ කෙසේදැයි නොදනී. මෙතෙක් සොයාගෙන ඇති සියලුම කියුනිෆෝම් ග්‍රන්ථවල පාහේ ලබා දෙන්නේ ඒවා සොයාගත් ආකාරය පිළිබඳ කිසිදු ඇඟවීමක් නොමැතිව, වට්ටෝරු ආකාරයෙන් ප්‍රකාශ කර ඇති විසඳුම් පිළිබඳ ගැටලු පමණි. නොසලකා ඉහළ මට්ටමේබබිලෝනියේ වීජ ගණිතයේ වර්ධනය, කියුනිෆෝම් පාඨවල සෘණ අංකයක් පිළිබඳ සංකල්පයක් නොමැත. පොදු ක්රමචතුරස්රාකාර සමීකරණවල විසඳුම්.

4 වැනි සියවසේ පමණ සිට බැබිලෝනියානු ගණිතඥයන් ක්‍රි.පූ. ධන මූලයන් සහිත සමීකරණ විසඳීමට වර්ග අනුපූරක ක්‍රමය භාවිතා කරන ලදී. 300 පමණ. යුක්ලිඩ් වඩාත් පොදු ජ්‍යාමිතික විසඳුම් ක්‍රමයක් ඉදිරිපත් කළේය. වීජීය සූත්‍රයක ස්වරූපයෙන් සෘණ මූලයන් සහිත සමීකරණයකට විසඳුම් සොයාගත් පළමු ගණිතඥයා ඉන්දියානු විද්‍යාඥයෙකි. බ්‍රහ්මගුප්ත(ඉන්දියාව, ක්රි.ව. 7 වන සියවස).

බ්‍රහ්මගුප්ත තනි කැනොනිකල් ස්වරූපයකට අඩු කරන ලද චතුරස්‍ර සමීකරණ විසඳීම සඳහා සාමාන්‍ය රීතියක් ගෙනහැර දැක්වීය.

ax2 + bx = c, a>0

මෙම සමීකරණයේදී, සංගුණක ඍණ විය හැක. බ්‍රහ්මගුප්තගේ පාලනය අත්‍යවශ්‍යයෙන්ම අපගේ පාලනය සමඟ සමපාත වේ.

ඉන්දියාවේ, දුෂ්කර ගැටලු විසඳීම සඳහා පොදු තරඟ පොදු විය. එක් පැරණි ඉන්දියානු පොතක, එවැනි තරඟ ගැන පහත සඳහන් වේ: “සූර්‍යයා එහි දීප්තියෙන් තරු අභිබවා යනවා සේම, විද්යාඥ මිනිසාජනප්‍රිය එක්රැස්වීම්වල ග්‍රහණ මහිමය, වීජීය ගැටලු ඉදිරිපත් කිරීම සහ විසඳීම. කාර්යයන් බොහෝ විට කාව්යමය ස්වරූපයෙන් සැරසී ඇත.

වීජීය නිබන්ධනයක අල්-ක්වාරිස්මිරේඛීය සහ හතරැස් සමීකරණ වර්ගීකරණයක් ලබා දී ඇත. කතුවරයා සමීකරණ වර්ග 6 ක් ලැයිස්තුගත කරයි, ඒවා පහත පරිදි ප්‍රකාශ කරයි:

1) "චතුරස්‍ර මුල්වලට සමානයි", එනම් ax2 = bx.

2) "වර්ග ගණනට සමාන වේ", එනම් ax2 = c.

3) "මුල් ගණනට සමාන වේ", එනම් ax2 = c.

4) "චතුරස්‍ර සහ සංඛ්‍යා මුල්වලට සමාන වේ", එනම් ax2 + c = bx.

5) "වර්ග සහ මූලයන් අංකයට සමාන වේ", එනම් ax2 + bx = c.

6) "මුල් සහ සංඛ්‍යා වර්ග වලට සමාන වේ", එනම් bx + c == ax2.

සෘණ සංඛ්‍යා භාවිතයෙන් වැළකුණු අල්-ක්වාරිස්මි සඳහා, මෙම එක් එක් සමීකරණවල නියමයන් එකතු කිරීම් මිස අඩු කිරීම් නොවේ. මෙම අවස්ථාවේ දී, සමීකරණ නොමැති බව පැහැදිලිවම සැලකිල්ලට නොගනී ධනාත්මක තීරණ. කතුවරයා අල්-ජබ්ර් සහ අල්-මුකබාලා යන ක්‍රම භාවිතා කරමින් මෙම සමීකරණ විසඳීමේ ක්‍රම ගෙනහැර දක්වයි. ඔහුගේ තීරණය, ඇත්ත වශයෙන්ම, අපගේ තීරණය සමඟ සම්පූර්ණයෙන්ම සමපාත නොවේ. එය තනිකරම වාචාල බව සඳහන් නොකල යුතුය, නිදසුනක් වශයෙන්, පළමු වර්ගයේ අසම්පූර්ණ චතුරස්‍ර සමීකරණයක් විසඳීමේදී, 17 වන සියවසට පෙර සියලුම ගණිතඥයින් මෙන් අල්-ක්වාරිස්මි ද ශුන්‍යය සැලකිල්ලට නොගන්නා බව සැලකිල්ලට ගත යුතුය. විසඳුම, සමහර විට නිශ්චිත ප්‍රායෝගික කාර්යයන් වලදී එය වැදගත් නොවේ. අල්-ක්වාරිස්මි හි සම්පූර්ණ චතුරස්‍ර සමීකරණ අර්ධ වශයෙන් විසඳන විට සංඛ්යාත්මක උදාහරණතීරන රීති සකසයි, පසුව ඒවායේ ජ්යාමිතික සාක්ෂි.

යුරෝපයේ අල්-ක්වාරිස්මි ආකෘතියේ චතුරස්රාකාර සමීකරණ විසඳීම සඳහා ආකෘති මුලින්ම විස්තර කරන ලද්දේ 1202 දී ලියන ලද "ඇබකස් පොත" ය. ඉතාලි ගණිතඥයෙක් ලෙනාඩ් ෆිබොනාච්චි. කතුවරයා ස්වාධීනව නව කිහිපයක් සංවර්ධනය කළේය වීජීය උදාහරණගැටළු විසඳීම සහ සෘණ සංඛ්යා හඳුන්වාදීමට යුරෝපයේ ප්රථම වරට ප්රවේශ විය.

මෙම පොත ඉතාලියේ පමණක් නොව ජර්මනිය, ප්රංශය සහ අනෙකුත් යුරෝපීය රටවල වීජීය දැනුම ව්යාප්ත කිරීමට දායක විය. මෙම පොතෙන් බොහෝ කාර්යයන් 14-17 සියවස්වල සියලුම යුරෝපීය පෙළපොත් වෙත මාරු කරන ලදී. සාමාන්ය රීතිය x2 + bx = c තනි කැනොනිකල් ආකාරයක් දක්වා අඩු කරන ලද චතුරස්රාකාර සමීකරණවල විසඳුම් 1544 දී යුරෝපයේ සකසන ලද අතර b, c සංගුණකවල හැකි සියලු සංයෝජන සමඟ. එම්. ස්ටීෆල්.

Vieta සතුව චතුරස්‍ර සමීකරණයක් විසඳීම සඳහා සූත්‍රයේ සාමාන්‍ය ව්‍යුත්පන්නයක් ඇත, නමුත් Vieta හඳුනාගෙන ඇත්තේ ධනාත්මක මූලයන් පමණි. ඉතාලි ගණිතඥයන් Tartaglia, Cardano, Bombelli 16 වන සියවසේ පළමු ඒවා අතර. ධනාත්මක සහ සෘණ මූලයන්ට අමතරව, සැලකිල්ලට ගන්න. XVII සියවසේදී පමණි. කාර්යයට ස්තූතියි Girard, Descartes, Newtonසහ අනෙකුත් විද්යාඥයින්, චතුරස්රාකාර සමීකරණ විසඳීමේ මාර්ගය නවීන ස්වරූපයක් ගනී.

චතුරස්රාකාර සමීකරණ විසඳීමට ක්රම කිහිපයක් සලකා බලන්න.

චතුරස්රාකාර සමීකරණ විසඳීමට සම්මත ක්රම පාසල් විෂය මාලාව:

1. සමීකරණයේ වම් පැත්තේ සාධකකරණය.
2. සම්පූර්ණ හතරැස් තේරීමේ ක්රමය.
3. සූත්‍රය මගින් චතුරස්‍ර සමීකරණ විසදීම.
4. ග්රැෆික් විසඳුමචතුරස්රාකාර සමීකරණය.
5. වියේටා ප්‍රමේයය භාවිතා කරමින් සමීකරණ විසදීම.

වියටා ප්‍රමේයය භාවිතා කරමින් අඩු කරන ලද සහ අඩු නොකළ චතුරස්‍ර සමීකරණවල විසඳුම පිළිබඳව අපි වඩාත් විස්තරාත්මකව වාසය කරමු.

ලබා දී ඇති චතුරස්රාකාර සමීකරණ විසඳීමට, එහි ගුණිතය නිදහස් පදයට සමාන වන අතර, එකතුව ප්රතිවිරුද්ධ ලකුණ සහිත දෙවන සංගුණකයට සමාන වන සංඛ්යා දෙකක් සොයා ගැනීමට ප්රමාණවත් බව මතක තබා ගන්න.

උදාහරණයක්.x 2 -5x+6=0

ඔබ නිෂ්පාදන 6 ​​සහ එකතුව 5 වන අංක සොයා ගැනීමට අවශ්‍යයි. මෙම සංඛ්‍යා 3 සහ 2 වනු ඇත.

පිළිතුර: x 1 =2, x 2 =3.

නමුත් ඔබට මෙම ක්‍රමය එකකට සමාන නොවන පළමු සංගුණකය සමඟ සමීකරණ සඳහා භාවිතා කළ හැකිය.

උදාහරණයක්.3x 2 +2x-5=0

අපි පළමු සංගුණකය ගෙන එය නිදහස් පදයෙන් ගුණ කරමු: x 2 +2x-15=0

මෙම සමීකරණයේ මූලයන් වනුයේ නිෂ්පාදිතය - 15 ට සමාන වන සංඛ්‍යා සහ එකතුව - 2 ට සමාන වේ. මෙම සංඛ්‍යා 5 සහ 3 වේ. මුල් සමීකරණයේ මූලයන් සොයා ගැනීම සඳහා, අපි ලබාගත් මූලයන් පළමු සංගුණකයෙන් බෙදන්නෙමු. .

පිළිතුර: x 1 =-5/3, x 2 =1

6. "මාරු" ක්රමය මගින් සමීකරණ විසඳුම.

ax 2 + bx + c = 0, a≠0 යන චතුරස්‍ර සමීකරණය සලකා බලන්න.

එහි කොටස් දෙකම a මගින් ගුණ කිරීමෙන් අපට a 2 x 2 + abx + ac = 0 සමීකරණය ලැබේ.

ax = y, කොහෙන්ද x = y/a; එවිට අපි y 2 + by + ac = 0 සමීකරණයට පැමිණෙමු, එය ලබා දී ඇති එකට සමාන වේ. අපි එහි මූලයන් 1 සහ 2 හිදී සොයා ගන්නේ Vieta theorem භාවිතා කරමිනි.

අවසානයේ අපට x 1 = y 1 /a සහ x 2 = y 2 /a ලැබේ.

මෙම ක්‍රමය සමඟ, සංගුණකය a නිදහස් පදයෙන් ගුණ කරනු ලැබේ, එයට "මාරු කරන ලද" මෙන්, එය "මාරු" ක්‍රමය ලෙස හැඳින්වේ. Vieta ප්‍රමේයය භාවිතා කරමින් සමීකරණයක මූලයන් සොයා ගැනීම පහසු වන විට සහ, වඩාත්ම වැදගත් ලෙස, වෙනස් කොට සැලකීම නිශ්චිත චතුරස්‍රයක් වන විට මෙම ක්‍රමය භාවිතා වේ.

උදාහරණයක්.2x 2 - 11x + 15 = 0.

අපි සංගුණකය 2 නිදහස් පදයට "මාරු" කරමු සහ ආදේශනය කරමින් අපට y 2 - 11y + 30 = 0 සමීකරණය ලැබේ.

වියේටා හි ප්‍රතිලෝම ප්‍රමේයයට අනුව

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2.5; y 2 ​​= 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

පිළිතුර: x 1 =2.5; x 2 = 3.

7. චතුරස්රාකාර සමීකරණයක සංගුණකවල ගුණ.

හතරැස් සමීකරණය ax 2 + bx + c \u003d 0, a ≠ 0 ලබා දෙන්න.

1. a + b + c \u003d 0 (එනම්, සමීකරණයේ සංගුණකවල එකතුව ශුන්‍ය වේ), එවිට x 1 \u003d 1.

2. a - b + c \u003d 0, හෝ b \u003d a + c නම්, x 1 \u003d - 1.

උදාහරණයක්.345x 2 - 137x - 208 = 0.

a + b + c \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0) සිට, පසුව x 1 \u003d 1, x 2 \u003d -208/345.

පිළිතුර: x 1 =1; x 2 = -208/345 .

උදාහරණයක්.132x 2 + 247x + 115 = 0

නිසා a-b + c \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0), ඉන්පසු x 1 \u003d - 1, x 2 \u003d - 115/132

පිළිතුර: x 1 = - 1; x 2 =- 115/132

චතුරස්රාකාර සමීකරණයක සංගුණකවල වෙනත් ගුණාංග තිබේ. නමුත් ඒවායේ භාවිතය වඩාත් සංකීර්ණ වේ.

8. නොමෝග්‍රෑම් භාවිතා කරමින් චතුරස්‍ර සමීකරණ විසඳීම.

රූපය 1. Nomogram

එය පැරණි සහ දැන් අමතක වූ මාර්ගයඑකතුවේ 83 පිටුවේ තබා ඇති චතුරස්රාකාර සමීකරණවල විසඳුම: බ්‍රැඩිස් වී.එම්. ඉලක්කම් හතරේ ගණිතමය වගු. - එම්., අධ්යාපනය, 1990.

වගුව XXII. සමීකරණ විසඳීම සඳහා Nomogram z2 + pz + q = 0. මෙම nomogram මගින් චතුරස්රාකාර සමීකරණය විසඳා නොගෙන, එහි සංගුණක මගින් සමීකරණයේ මූලයන් තීරණය කිරීමට ඉඩ සලසයි.

nomogram හි වක්‍රාකාර පරිමාණය සූත්‍ර අනුව ගොඩනගා ඇත (රූපය 1):

උපකල්පනය කරනවා OS = p, ED = q, OE = a(සියල්ල සෙ.මී.), රූපය 1 සිට ත්රිකෝණවල සමානකම් SANහා සීඩීඑෆ්අපි අනුපාතය ලබා ගනිමු

ආදේශ කිරීම් සහ සරල කිරීම් වලින් පසුව, සමීකරණය පහත දැක්වේ z 2 + pz + q = 0,සහ ලිපිය zවක්‍ර පරිමාණයේ ඕනෑම ලක්ෂයක ලේබලය අදහස් වේ.

සහල්. 2 nomogram භාවිතා කරමින් චතුරස්රාකාර සමීකරණයක් විසඳීම

උදාහරණ.

1) සමීකරණය සඳහා z 2 - 9z + 8 = 0 nomogram මගින් z 1 = 8.0 සහ z 2 = 1.0 යන මූලයන් ලබා දෙයි

පිළිතුර: 8.0; 1.0

2) nomogram භාවිතා කරමින් සමීකරණය විසඳන්න

2z 2 - 9z + 2 = 0.

මෙම සමීකරණයේ සංගුණක 2 න් බෙදන්න, අපට z 2 - 4.5z + 1 = 0 සමීකරණය ලැබේ.

nomogram මගින් z 1 = 4 සහ z 2 = 0.5 යන මූලයන් ලබා දෙයි.

පිළිතුර: 4; 0.5

9. චතුරස්රාකාර සමීකරණ විසඳීම සඳහා ජ්යාමිතික ක්රමය.

උදාහරණයක්.x 2 + 10x = 39.

මුල් පිටපතෙහි, මෙම ගැටළුව පහත පරිදි සකස් කර ඇත: "වර්ග සහ මුල් දහය 39 ට සමාන වේ."

X පැත්තක් සහිත චතුරස්රයක් සලකා බලන්න, එහි දෙපැත්තේ සෘජුකෝණාස්රා ගොඩනගා ඇති අතර එමඟින් එක් එක් පැත්තේ අනෙක් පැත්ත 2.5 වේ, එබැවින්, එක් එක් ප්රදේශය 2.5x වේ. එවිට ලැබෙන රූපය නව වර්ග ABCD එකකට පරිපූරණය කර, කොන් වල සමාන කොටු හතරක් සම්පූර්ණ කරයි, ඒ සෑම එකකම පැත්ත 2.5 වන අතර, ප්‍රදේශය 6.25 වේ.

සහල්. 3 චිත්රක මාර්ගය x 2 + 10x = 39 සමීකරණයේ විසඳුම

වර්ග ABCD හි S ප්‍රදේශය ප්‍රදේශ වල එකතුව ලෙස නිරූපණය කළ හැක: මුල් වර්ග x 2, සෘජුකෝණාස්‍ර හතරක් (4 ∙ 2.5x = 10x) සහ අමුණා ඇති කොටු හතරක් (6.25 ∙ 4 = 25), i.e. S \u003d x 2 + 10x \u003d 25. x 2 + 10x අංක 39 සමඟ ප්‍රතිස්ථාපනය කිරීමෙන්, අපට එම S \u003d 39 + 25 \u003d 64 ලැබේ, එයින් අදහස් කරන්නේ ABCD චතුරස්‍රයේ පැත්ත, i.e. කොටස AB \u003d 8. මුල් චතුරස්‍රයේ අපේක්ෂිත පැත්ත x සඳහා, අපට ලැබේ

10. Bezout ප්‍රමේයය භාවිතා කරමින් සමීකරණ විසදීම.

Bezout ගේ ප්‍රමේයය. බහුපද P(x) x - α ද්විපදයෙන් බෙදීමෙන් පසු ඉතිරිය P(α) ට සමාන වේ (එනම් x = α හි P(x) අගය).

α සංඛ්‍යාව P(x) බහුපදයේ මුල නම්, මෙම බහුපද ශේෂය නොමැතිව x -α මගින් බෙදිය හැකිය.

උදාහරණයක්.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α=1, 1-4+3=0. P(x) (x-1) න් බෙදන්න: (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1, හෝ x-3=0, x=3; පිළිතුර: x1 =2, x2 =3.

නිගමනය:චතුරස්රාකාර සමීකරණ ඉක්මනින් හා තාර්කිකව විසඳීමට ඇති හැකියාව වැඩිපුර විසඳීම සඳහා සරලව අවශ්ය වේ සංකීර්ණ සමීකරණ, උදාහරණයක් ලෙස, භාගික තාර්කික සමීකරණ, ඉහළ අංශක සමීකරණ, ද්වි චතුරශ්‍ර සමීකරණ, සහ උසස් පාසලත්‍රිකෝණමිතික, ඝාතීය සහ ලඝුගණක සමීකරණ. චතුරස්රාකාර සමීකරණ විසඳීම සඳහා සොයාගත් සියලුම ක්‍රම අධ්‍යයනය කිරීමෙන් පසු, අපට අවබෝධය සඳහා වඩාත් ප්‍රවේශ විය හැකි බැවින්, සම්මත ක්‍රමවලට අමතරව, හුවමාරු ක්‍රමය (6) මගින් විසඳා ගැනීමට සහ සංගුණක (7) ගුණයෙන් සමීකරණ විසඳීමට පන්තියේ මිතුරන්ට උපදෙස් දිය හැකිය. .

සාහිත්යය:

1. බ්රැඩිස් වී.එම්. ඉලක්කම් හතරේ ගණිතමය වගු. - එම්., අධ්යාපනය, 1990.
2. වීජ ගණිතය 8 ශ්‍රේණිය: 8 ශ්‍රේණිය සඳහා පෙළපොත. සාමාන්ය අධ්යාපනය ආයතන Makarychev Yu.N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B. ed. S. A. Telyakovsky 15 වන සංස්කරණය, සංශෝධිත. - එම්.: බුද්ධත්වය, 2015
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4. ග්ලේසර් ජී.අයි. පාසලේ ගණිත ඉතිහාසය. ගුරුවරුන් සඳහා මාර්ගෝපදේශයකි. / එඩ්. වී.එන්. බාලයි. - එම්.: බුද්ධත්වය, 1964.

අපි මාතෘකාව දිගටම අධ්යයනය කරමු සමීකරණ විසඳුම". අපි දැනටමත් රේඛීය සමීකරණ සමඟ දැන හඳුනා ගෙන ඇති අතර දැන් අපි දැන හඳුනා ගැනීමට යන්නේ චතුරස්රාකාර සමීකරණ.

පළමුව, අපි චතුරස්රාකාර සමීකරණයක් යනු කුමක්ද, එය සාමාන්‍ය ස්වරූපයෙන් ලියා ඇති ආකාරය සහ අදාළ අර්ථ දැක්වීම් ලබා දෙන්නෙමු. ඊට පසු, උදාහරණ භාවිතා කරමින්, අසම්පූර්ණ චතුරස්රාකාර සමීකරණ විසඳන ආකාරය අපි විස්තරාත්මකව විශ්ලේෂණය කරමු. අපි විසඳුම වෙත යමු. සම්පූර්ණ සමීකරණ, අපි මූලයන්ගේ සූත්‍රය ලබා ගනිමු, චතුරස්‍ර සමීකරණයේ වෙනස්කම් කරන්නා සමඟ දැන හඳුනා ගෙන සාමාන්‍ය උදාහරණවල විසඳුම් සලකා බලමු. අවසාන වශයෙන්, අපි මූලයන් සහ සංගුණක අතර සම්බන්ධතා සොයා ගනිමු.

පිටු සංචලනය.

චතුරස්රාකාර සමීකරණයක් යනු කුමක්ද? ඔවුන්ගේ වර්ග

මුලින්ම ඔබ චතුරස්රාකාර සමීකරණයක් යනු කුමක්දැයි පැහැදිලිව තේරුම් ගත යුතුය. එබැවින්, චතුරස්රාකාර සමීකරණයක නිර්වචනය සමඟ චතුරස්රාකාර සමීකරණ ගැන කතා කිරීම ආරම්භ කිරීම තාර්කික ය, ඒ හා සම්බන්ධ නිර්වචන ද වේ. ඊට පසු, ඔබට චතුරස්රාකාර සමීකරණවල ප්රධාන වර්ග සලකා බැලිය හැකිය: අඩු කරන ලද සහ අඩු නොකළ, මෙන්ම සම්පූර්ණ සහ අසම්පූර්ණ සමීකරණ.

චතුරස්රාකාර සමීකරණවල අර්ථ දැක්වීම සහ උදාහරණ

අර්ථ දැක්වීම.

චතුරස්රාකාර සමීකරණයආකෘතියේ සමීකරණයකි a x 2 +b x+c=0, x යනු විචල්‍යයක් වන අතර, a , b සහ c යනු සමහර සංඛ්‍යා වන අතර a ශුන්‍යයට වඩා වෙනස් වේ.

චතුරස්රාකාර සමීකරණ බොහෝ විට දෙවන උපාධියේ සමීකරණ ලෙස හඳුන්වන බව අපි වහාම කියමු. මෙයට හේතුව චතුරස්රාකාර සමීකරණයයි වීජීය සමීකරණයදෙවන උපාධිය.

ශබ්ද කරන ලද අර්ථ දැක්වීම චතුරස්රාකාර සමීකරණ සඳහා උදාහරණ ලබා දීමට අපට ඉඩ සලසයි. එබැවින් 2 x 2 +6 x+1=0, 0.2 x 2 +2.5 x+0.03=0, ආදිය. හතරැස් සමීකරණ වේ.

අර්ථ දැක්වීම.

අංක a, b සහ c ලෙස හැඳින්වේ චතුරස්රාකාර සමීකරණයේ සංගුණක a x 2 + b x + c \u003d 0, සහ a සංගුණකය පළමු, හෝ ජ්‍යෙෂ්ඨ, හෝ x 2 හි සංගුණකය ලෙස හැඳින්වේ, b යනු දෙවන සංගුණකය හෝ x හි සංගුණකය වන අතර c යනු නිදහස් සාමාජිකයෙකි.

උදාහරණයක් ලෙස, අපි 5 x 2 -2 x−3=0 ආකෘතියේ චතුරස්‍ර සමීකරණයක් ගනිමු, මෙහි ප්‍රමුඛ සංගුණකය 5 වේ, දෙවන සංගුණකය -2 වේ, සහ නිදහස් පදය -3 වේ. සංගුණක b සහ/හෝ c සෘණ වන විට, දැන් ලබා දී ඇති උදාහරණයේ මෙන්, පසුව බව සලකන්න කෙටි යෙදුම 5 x 2 -2 x−3=0 ආකෘති පත්‍රයේ චතුරස්‍ර සමීකරණයක් ලිවීම සහ 5 x 2 +(-2) x+(-3)=0 නොවේ.

සංගුණක a සහ / හෝ b 1 හෝ −1 ට සමාන වන විට, ඒවා සාමාන්‍යයෙන් චතුරස්රාකාර සමීකරණයේ අංකනයෙහි පැහැදිලිව නොපවතින අතර එය එවැනි අංකනයේ සුවිශේෂතා නිසා ඇති බව සඳහන් කිරීම වටී. උදාහරණයක් ලෙස, චතුරස්‍ර සමීකරණයේ y 2 -y+3=0, ප්‍රමුඛ සංගුණකය එකක් වන අතර y හි සංගුණකය −1 වේ.

අඩු කරන ලද සහ අඩු නොකළ චතුරස්රාකාර සමීකරණ

ප්‍රමුඛ සංගුණකයේ අගය අනුව, අඩු කරන ලද සහ අඩු නොකළ චතුරස්‍ර සමීකරණ වෙන්කර හඳුනාගත හැකිය. අපි අනුරූප අර්ථ දැක්වීම් ලබා දෙමු.

අර්ථ දැක්වීම.

ප්‍රමුඛ සංගුණකය 1 වන චතුරස්‍ර සමීකරණයක් ලෙස හැඳින්වේ අඩු කළ චතුරස්රාකාර සමීකරණය. එසේ නොමැති නම්, චතුරස්රාකාර සමීකරණය වේ අඩු නොකළ.

අනුව මෙම අර්ථ දැක්වීම, චතුරස්‍ර සමීකරණ x 2 -3 x+1=0 , x 2 -x−2/3=0, ආදිය. - අඩු කර ඇත, ඒ සෑම එකක් තුළම පළමු සංගුණකය එකකට සමාන වේ. සහ 5 x 2 -x−1=0 , ආදිය. - අඩු නොකළ චතුරස්රාකාර සමීකරණ, ඒවායේ ප්රමුඛ සංගුණක 1 ට වඩා වෙනස් වේ.

ඕනෑම අඩු නොකළ චතුරස්‍ර සමීකරණයකින්, එහි කොටස් දෙකම ප්‍රමුඛ සංගුණකයෙන් බෙදීමෙන්, ඔබට අඩු කළ එක වෙත යා හැකිය. මෙම ක්‍රියාව සමාන පරිවර්තනයකි, එනම්, මේ ආකාරයෙන් ලබා ගන්නා ලද අඩු කරන ලද චතුරස්‍ර සමීකරණයට මුල් අඩු නොකළ චතුරස්‍ර සමීකරණයට සමාන මූලයන් ඇත, නැතහොත්, එය මෙන්, මූලයන් නොමැත.

අඩු නොකළ චතුරස්‍ර සමීකරණයක සිට අඩු කළ සමීකරණයකට සංක්‍රමණය වන ආකාරය පිළිබඳ උදාහරණයක් ගනිමු.

උදාහරණයක්.

3 x 2 +12 x−7=0 සමීකරණයෙන්, අනුරූප අඩු කළ චතුරස්‍ර සමීකරණයට යන්න.

විසඳුමක්.

මුල් සමීකරණයේ කොටස් දෙකම ප්‍රමුඛ සංගුණකය 3 මගින් බෙදීම අපට ප්‍රමාණවත් වේ, එය ශුන්‍ය නොවන බැවින් අපට මෙම ක්‍රියාව සිදු කළ හැකිය. අප සතුව (3 x 2 +12 x−7):3=0:3 , එය (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 , සහ තවත් (3 :3) x 2 +(12:3) x−7:3=0 , කොහෙන්ද . එබැවින් මුල් එකට සමාන වන අඩු කරන ලද චතුරස්රාකාර සමීකරණය අපට ලැබුණි.

පිළිතුර:

සම්පූර්ණ සහ අසම්පූර්ණ චතුරස්රාකාර සමීකරණ

චතුරස්‍ර සමීකරණයක නිර්වචනයේ a≠0 කොන්දේසියක් ඇත. a = 0 සමඟ එය ඇත්ත වශයෙන්ම b x+c=0 පෝරමයේ රේඛීය සමීකරණයක් බවට පත්වන බැවින්, a x 2 +b x+c=0 සමීකරණය හරියටම හතරැස් වීම සඳහා මෙම කොන්දේසිය අවශ්‍ය වේ.

සංගුණක b සහ c සම්බන්ධයෙන් ගත් කල, ඒවා වෙන වෙනම සහ එකට ශුන්‍යයට සමාන විය හැකිය. මෙම අවස්ථා වලදී, චතුරස්රාකාර සමීකරණය අසම්පූර්ණ ලෙස හැඳින්වේ.

අර්ථ දැක්වීම.

චතුරස්‍ර සමීකරණය a x 2 +b x+c=0 ලෙස හැඳින්වේ අසම්පූර්ණයි, අවම වශයෙන් සංගුණක b , c ශුන්‍යයට සමාන නම්.

එහි වාරයේ

අර්ථ දැක්වීම.

සම්පූර්ණ චතුරස්රාකාර සමීකරණයයනු සියලු සංගුණක ශුන්‍යයට වඩා වෙනස් වන සමීකරණයකි.

මෙම නම් අහම්බෙන් ලබා දී නොමැත. එය පහත සාකච්ඡාවෙන් පැහැදිලි වනු ඇත.

b සංගුණකය ශුන්‍යයට සමාන නම්, චතුරස්‍ර සමීකරණය x 2 +0 x+c=0 ආකාරය ගන්නා අතර එය a x 2 +c=0 සමීකරණයට සමාන වේ. c=0 , එනම් චතුරස්‍ර සමීකරණයට x 2 +b x+0=0 ආකෘතිය තිබේ නම්, එය x 2 +b x=0 ලෙස නැවත ලිවිය හැක. සහ b=0 සහ c=0 සමඟින් අපට a·x 2 =0 චතුරස්‍ර සමීකරණය ලැබේ. ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන සමීකරණ සම්පූර්ණ චතුරස්‍ර සමීකරණයෙන් වෙනස් වන්නේ ඒවායේ වම් පසෙහි x විචල්‍ය සහිත පදයක් හෝ නිදහස් පදයක් හෝ දෙකම අඩංගු නොවන බැවිනි. එබැවින් ඔවුන්ගේ නම - අසම්පූර්ණ චතුරස්රාකාර සමීකරණ.

එබැවින් x 2 +x+1=0 සහ -2 x 2 -5 x+0,2=0 යන සමීකරණ සම්පූර්ණ චතුරස්‍ර සමීකරණ සඳහා උදාහරණ වන අතර x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3 =0 , -x 2 −5 x=0 යනු අසම්පූර්ණ චතුරස්‍ර සමීකරණ වේ.

අසම්පූර්ණ චතුරස්රාකාර සමීකරණ විසඳීම

පවතින බව පෙර ඡේදයේ තොරතුරු වලින් එය පහත දැක්වේ අසම්පූර්ණ චතුරස්‍ර සමීකරණ වර්ග තුනක්:

• a x 2 =0 , සංගුණක b=0 සහ c=0 එයට අනුරූප වේ;
• a x 2 +c=0 විට b=0 ;
• සහ a x 2 +b x=0 විට c=0 .

මෙම එක් එක් වර්ගවල අසම්පූර්ණ චතුරස්‍ර සමීකරණ විසඳන ආකාරය අපි පිළිවෙලට විශ්ලේෂණය කරමු.

a x 2 \u003d 0

සංගුණක b සහ c ශුන්‍යයට සමාන වන අසම්පූර්ණ චතුරස්‍ර සමීකරණ විසඳීමෙන් ආරම්භ කරමු, එනම් a x 2 =0 පෝරමයේ සමීකරණ සමඟ. a·x 2 =0 සමීකරණය x 2 =0 සමීකරණයට සමාන වේ, එය මුල් පිටපතෙන් එහි කොටස් දෙකම ශුන්‍ය නොවන අංකයකින් බෙදීමෙන් ලබා ගනී. නිසැකවම, x 2 \u003d 0 සමීකරණයේ මූලය 0 2 \u003d 0 සිට ශුන්‍ය වේ. මෙම සමීකරණයට වෙනත් මූලයන් නොමැත, එය පැහැදිලි කර ඇත, ඇත්ත වශයෙන්ම, ඕනෑම ශුන්‍ය නොවන සංඛ්‍යාවක් සඳහා p 2 >0 අසමානතාවය සිදු වේ, එයින් ගම්‍ය වන්නේ p≠0 සඳහා p 2 =0 සමානාත්මතාවය කිසිවිටෙකත් ලබා ගත නොහැකි බවයි.

එබැවින්, අසම්පූර්ණ චතුරස්රාකාර සමීකරණය a x 2 \u003d 0 තනි මූලයක් x \u003d 0 ඇත.

උදාහරණයක් ලෙස, අපි අසම්පූර්ණ චතුරස්රාකාර සමීකරණයක විසඳුම ලබා දෙන්නෙමු −4·x 2 =0. එය x 2 \u003d 0 සමීකරණයට සමාන වේ, එහි එකම මූලය x \u003d 0 වේ, එබැවින් මුල් සමීකරණයට තනි මූල ශුන්‍යයක් ඇත.

මෙම නඩුවේ කෙටි විසඳුමක් පහත පරිදි නිකුත් කළ හැකිය:
−4 x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x=0

a x 2 +c=0

b සංගුණකය ශුන්‍යයට සමාන වන අසම්පූර්ණ චතුරස්‍ර සමීකරණ විසඳන ආකාරය සහ c≠0, එනම් a x 2 +c=0 පෝරමයේ සමීකරණ විසඳන ආකාරය දැන් සලකා බලන්න. සමීකරණයේ එක් පැත්තක සිට අනෙක් පැත්තට පදයක් ප්‍රතිවිරුද්ධ ලකුණ සමඟ මාරු කිරීම මෙන්ම සමීකරණයේ දෙපැත්තම ශුන්‍ය නොවන සංඛ්‍යාවකින් බෙදීම සමාන සමීකරණයක් ලබා දෙන බව අපි දනිමු. එබැවින්, අසම්පූර්ණ චතුරස්‍ර සමීකරණයේ a x 2 +c=0 හි පහත සමාන පරිවර්තනයන් සිදු කළ හැක:

• c වෙත ගෙන යන්න දකුණු පැත්ත x 2 =-c සමීකරණය ලබා දෙන ,
• සහ එහි කොටස් දෙකම a මගින් බෙදන්න, අපට ලැබේ.

ප්රතිඵලය වන සමීකරණය එහි මූලයන් පිළිබඳ නිගමන උකහා ගැනීමට අපට ඉඩ සලසයි. a සහ c හි අගයන් මත පදනම්ව, ප්‍රකාශනයේ අගය සෘණ විය හැක (උදාහරණයක් ලෙස, a=1 සහ c=2 , එසේ නම් ) හෝ ධන, (උදාහරණයක් ලෙස, a=−2 සහ c=6 නම් , පසුව ), එය ශුන්‍යයට සමාන නොවේ, මන්ද c≠0 කොන්දේසිය අනුව . අපි නඩු වෙන වෙනම විශ්ලේෂණය කරන්නෙමු සහ .

නම්, සමීකරණයට මූලයන් නොමැත. මෙම ප්‍රකාශය අනුගමනය කරන්නේ ඕනෑම සංඛ්‍යාවක වර්ගය සෘණ නොවන සංඛ්‍යාවක් වීමෙනි. මෙයින් කියවෙන්නේ කවදාද , එවිට ඕනෑම අංකයක් සඳහා p සමානාත්මතාවය සත්‍ය විය නොහැකි බවයි.

නම්, සමීකරණයේ මූලයන් සමඟ තත්වය වෙනස් වේ. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, අපි සිහිපත් කරන්නේ නම්, සමීකරණයේ මූලය වහාම පැහැදිලි වේ, එය අංකය වේ. එම සංඛ්‍යාව සමීකරණයේ මුල බව අනුමාන කිරීම පහසුය , ඇත්ත වශයෙන්ම, . මෙම සමීකරණයට වෙනත් මූලයන් නොමැත, උදාහරණයක් ලෙස, පරස්පර විරෝධී ලෙස පෙන්විය හැක. අපි එය කරමු.

x 1 සහ −x 1 ලෙස සමීකරණයේ නිකම් කටහඬ මූලයන් දක්වමු. x 1 සහ −x 1 දක්වා ඇති මූලයන්ට වඩා වෙනස් x 2 සමීකරණයට වෙනත් මූලයක් ඇතැයි සිතමු. එහි මූලයන් x වෙනුවට සමීකරණයට ආදේශ කිරීම සමීකරණය සැබෑ සංඛ්‍යාත්මක සමානතාවයක් බවට පත් කරන බව දන්නා කරුණකි. x 1 සහ −x 1 සඳහා අප සතුව ඇති අතර x 2 සඳහා අප සතුව ඇත. සංඛ්‍යාත්මක සමානාත්මතාවල ගුණ අපට සත්‍ය සංඛ්‍යාත්මක සමානාත්මතාවල පදයෙන්-කාලීන අඩුකිරීම් සිදු කිරීමට ඉඩ සලසයි, එබැවින් සමානාත්මතාවයේ අනුරූප කොටස් අඩු කිරීමෙන් x 1 2 - x 2 2 =0 ලැබේ. සංඛ්‍යා සහිත මෙහෙයුම්වල ගුණ අපට (x 1 - x 2)·(x 1 + x 2)=0 ලෙස ලැබෙන සමානාත්මතාවය නැවත ලිවීමට ඉඩ සලසයි. සංඛ්‍යා දෙකක ගුණිතය ශුන්‍යයට සමාන වන්නේ අවම වශයෙන් එකක් හෝ ශුන්‍යයට සමාන නම් පමණක් බව අපි දනිමු. එබැවින්, ලබාගත් සමානාත්මතාවයෙන් එය අනුගමනය කරන්නේ x 1 -x 2 =0 සහ/හෝ x 1 +x 2 =0 , එය සමාන වන x 2 =x 1 සහ/හෝ x 2 = -x 1 . x 2 සමීකරණයේ මූලය x 1 සහ −x 1 ට වඩා වෙනස් බව ආරම්භයේදීම අපි ප්‍රතිවිරෝධතාවයකට පැමිණ සිටිමු. සහ හැර සමීකරණයට වෙනත් මූලයන් නොමැති බව මෙයින් සනාථ වේ.

මෙම ඡේදයේ තොරතුරු සාරාංශ කරමු. අසම්පූර්ණ චතුරස්‍ර සමීකරණය a x 2 +c=0 සමීකරණයට සමාන වේ.

• මූලයන් නොමැති නම්,
• මූල දෙකක් ඇත සහ නම් .

a·x 2 +c=0 ආකෘතියේ අසම්පූර්ණ චතුරස්‍ර සමීකරණ විසඳීමේ උදාහරණ සලකා බලන්න.

9 x 2 +7=0 චතුරස්‍ර සමීකරණයෙන් පටන් ගනිමු. නිදහස් පදය සමීකරණයේ දකුණු පැත්තට මාරු කිරීමෙන් පසුව, එය 9·x 2 =−7 ආකාරය ගනී. ලැබෙන සමීකරණයේ දෙපැත්තම 9 න් බෙදීම, අපි පැමිණේ. දකුණු පැත්තේ සෘණ අංකයක් ලැබෙන බැවින්, මෙම සමීකරණයට මූලයන් නොමැත, එබැවින් මුල් අසම්පූර්ණ චතුරස්‍ර සමීකරණය 9 x 2 +7=0 ට මූලයන් නොමැත.

අපි තවත් අසම්පූර්ණ චතුරස්‍ර සමීකරණයක් විසඳමු -x 2 +9=0. අපි නවය දකුණු පැත්තට මාරු කරමු: -x 2 \u003d -9. දැන් අපි කොටස් දෙකම −1 මගින් බෙදන්නෙමු, අපට x 2 =9 ලැබේ. දකුණු පැත්තේ ධනාත්මක අංකයක් අඩංගු වේ, එයින් අපි නිගමනය කරන්නේ හෝ . අපි අවසාන පිළිතුර ලිවීමෙන් පසු: අසම්පූර්ණ චතුරස්‍ර සමීකරණය -x 2 +9=0 ට x=3 හෝ x=-3 යන මූලයන් දෙකක් ඇත.

a x 2 +b x=0

c=0 සඳහා වූ අවසාන වර්ගයේ අසම්පූර්ණ චතුරස්‍ර සමීකරණවල විසඳුම සමඟ කටයුතු කිරීමට ඉතිරිව ඇත. a x 2 +b x=0 පෝරමයේ අසම්පූර්ණ චතුරස්‍ර සමීකරණ ඔබට විසදීමට ඉඩ සලසයි සාධකකරණ ක්රමය. නිසැකවම, අපට සමීකරණයේ වම් පැත්තේ පිහිටා ඇති අතර, ඒ සඳහා x යන පොදු සාධකය වරහන් වලින් පිටතට ගැනීම ප්‍රමාණවත් වේ. මෙමගින් අපට මුල් අසම්පූර්ණ චතුරස්‍ර සමීකරණයේ සිට x·(a·x+b)=0 පෝරමයේ සමාන සමීකරණයකට යාමට ඉඩ සලසයි. තවද මෙම සමීකරණය x=0 සහ a x+b=0 යන සමීකරණ දෙකේ කුලකයට සමාන වේ, එහි අවසාන එක රේඛීය වන අතර x=-b/a මූලයක් ඇත.

එබැවින්, අසම්පූර්ණ චතුරස්රාකාර සමීකරණය a x 2 +b x=0 x=0 සහ x=-b/a යන මූලයන් දෙකක් ඇත.

ද්රව්යය ඒකාබද්ධ කිරීම සඳහා, අපි නිශ්චිත උදාහරණයක විසඳුම විශ්ලේෂණය කරන්නෙමු.

උදාහරණයක්.

සමීකරණය විසඳන්න.

විසඳුමක්.

අපි වරහන් වලින් x ගන්නෙමු, මෙය සමීකරණය ලබා දෙයි. එය x=0 සහ සමීකරණ දෙකකට සමාන වේ. අපි ලැබුණු දේ විසඳන්නෙමු රේඛීය සමීකරණය: , සහ බෙදීම මිශ්ර අංකයමත පොදු කොටස, අපි හොයාගන්නවා. එබැවින් මුල් සමීකරණයේ මූලයන් x=0 සහ .

අවශ්‍ය පුහුණුව ලබා ගැනීමෙන් පසු, එවැනි සමීකරණවල විසඳුම් කෙටියෙන් ලිවිය හැකිය:

පිළිතුර:

x=0, .

වෙනස් කොට සැලකීම, චතුරස්රාකාර සමීකරණයක මූලයන් පිළිබඳ සූත්රය

චතුරස්රාකාර සමීකරණ විසඳීම සඳහා, මූල සූත්රයක් ඇත. අපි ලියමු චතුරස්රාකාර සමීකරණයේ මූලයන්ගේ සූත්රය:, කොහෙද D=b 2 -4 a c- ඊනියා චතුරස්රාකාර සමීකරණයක් වෙනස් කිරීම. අංකනය මූලික වශයෙන් අදහස් කරන්නේ එයයි.

මූල සූත්‍රය ලබාගත් ආකාරය සහ චතුරස්‍ර සමීකරණවල මූලයන් සෙවීමේදී එය යෙදෙන ආකාරය දැනගැනීම ප්‍රයෝජනවත් වේ. අපි මේ සමඟ කටයුතු කරමු.

චතුරස්රාකාර සමීකරණයක මූලයන්ගේ සූත්‍රයේ ව්‍යුත්පන්නය

අපි a·x 2 +b·x+c=0 යන චතුරස්‍ර සමීකරණය විසඳීමට අවශ්‍ය වෙමු. අපි සමාන පරිවර්තනයන් කිහිපයක් සිදු කරමු:

• අපට මෙම සමීකරණයේ කොටස් දෙකම ශුන්‍ය නොවන අංකයකින් බෙදිය හැකිය a, එහි ප්‍රතිඵලයක් ලෙස අපට අඩු වූ චතුරස්‍ර සමීකරණය ලැබේ.
• දැන් සම්පූර්ණ චතුරස්රයක් තෝරන්නඑහි වම් පැත්තේ: . ඊට පසු, සමීකරණය පෝරමය ලබා ගනී.
• මෙම අදියරේදී, ප්රතිවිරුද්ධ ලකුණ සමඟ දකුණු පැත්තට අවසාන පද දෙක මාරු කිරීම සිදු කළ හැකිය, අපට තිබේ .
• තවද අපි දකුණු පැත්තේ ප්‍රකාශනය ද පරිවර්තනය කරමු: .

එහි ප්‍රතිඵලයක් වශයෙන්, අපි සමීකරණයට පැමිණෙමු, එය මුල් චතුරස්‍ර සමීකරණය a·x 2 +b·x+c=0 ට සමාන වේ.

අපි විශ්ලේෂණය කරන විට පෙර ඡේදවල ස්වරූපයෙන් සමාන සමීකරණ අපි දැනටමත් විසඳා ඇත. සමීකරණයේ මූලයන් සම්බන්ධයෙන් පහත නිගමන උකහා ගැනීමට මෙය අපට ඉඩ සලසයි:

• නම්, සමීකරණයට සැබෑ විසඳුම් නොමැත;
• , එසේ නම්, සමීකරණයට එහි එකම මූලය පෙනෙන ස්වරූපය ඇත, එබැවින්, ;
• නම් , එසේ නම් හෝ , එය සමාන වේ හෝ , එනම් සමීකරණයට මූලයන් දෙකක් ඇත.

මේ අනුව, සමීකරණයේ මූලයන් පැවතීම හෝ නොපැවතීම සහ එබැවින් මුල් චතුරස්රාකාර සමීකරණය දකුණු පැත්තේ ප්රකාශනයේ ලකුණ මත රඳා පවතී. අනෙක් අතට, 4 a 2 යන හරය සෑම විටම ධනාත්මක වන බැවින්, මෙම ප්‍රකාශනයේ ලකුණ අංකනයේ ලකුණෙන් තීරණය වේ, එනම් b 2 -4 a c ප්‍රකාශනයේ ලකුණ . මෙම ප්රකාශනය b 2 -4 a c ලෙස හැඳින්වේ චතුරස්රාකාර සමීකරණයක් වෙනස් කිරීමසහ අකුරින් සලකුණු කර ඇත ඩී. මෙතැන් සිට, වෙනස් කොට සැලකීමේ සාරය පැහැදිලිය - එහි අගය සහ ලකුණ අනුව, චතුරස්රාකාර සමීකරණයට සැබෑ මූලයන් තිබේද යන්න නිගමනය කරනු ලැබේ, එසේ නම්, ඒවායේ අංකය කුමක්ද - එකක් හෝ දෙකක්.

අපි සමීකරණය වෙත ආපසු යමු, වෙනස් කොට සැලකීමේ අංකනය භාවිතයෙන් එය නැවත ලියන්න: . සහ අපි නිගමනය කරන්නේ:

• ඩී නම්<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• D=0 නම්, මෙම සමීකරණයට තනි මූලයක් ඇත;
• අවසාන වශයෙන්, D>0 නම්, සමීකරණයට මූලයන් දෙකක් ඇත හෝ , එය ආකෘතියෙන් නැවත ලිවිය හැකිය හෝ , සහ භාග ප්‍රසාරණය කර අඩු කිරීමෙන් පසුව පොදු හරයඅපිට ලැබෙනවා.

එබැවින් අපි චතුරස්‍ර සමීකරණයේ මූලයන් සඳහා සූත්‍ර ව්‍යුත්පන්න කළෙමු, ඒවා පෙනෙන්නේ , D = b 2 −4 a c සූත්‍රයෙන් වෙනස් කොට සැලකීම D ගණනය කරනු ලැබේ.

ඔවුන්ගේ උපකාරයෙන්, ධනාත්මක වෙනස්කම් කිරීමකින්, ඔබට චතුරස්රාකාර සමීකරණයක සැබෑ මූලයන් දෙකම ගණනය කළ හැකිය. වෙනස් කොට සැලකීම ශුන්‍යයට සමාන වන විට, සූත්‍ර දෙකම චතුරස්‍ර සමීකරණයේ එකම විසඳුමට අනුරූප වන එකම මූල අගය ලබා දෙයි. සෘණාත්මක වෙනස්කම් කිරීමකින්, චතුරස්රාකාර සමීකරණයක මූලයන් සඳහා සූත්‍රය භාවිතා කිරීමට උත්සාහ කරන විට, අපි පාසල් විෂය මාලාවේ විෂය පථයෙන් ඔබ්බට ගෙන යන ඍණ අංකයකින් වර්ගමූලය නිස්සාරණය කිරීමට මුහුණ දී සිටිමු. සෘණ වෙනස්කම් කිරීමක් සහිතව, චතුරස්රාකාර සමීකරණයට සැබෑ මූලයන් නොමැත, නමුත් යුගලයක් ඇත සංකීර්ණ සංයුක්තමූලයන්, අප ලබාගත් එම මූල සූත්‍ර භාවිතයෙන් සොයා ගත හැක.

මූල සූත්‍ර භාවිතයෙන් චතුරස්‍ර සමීකරණ විසඳීම සඳහා ඇල්ගොරිතම

ප්රායෝගිකව, චතුරස්රාකාර සමීකරණයක් විසඳන විට, ඔබට වහාම ඒවායේ අගයන් ගණනය කිරීම සඳහා මූල සූත්රය භාවිතා කළ හැකිය. නමුත් මෙය වඩාත් සංකීර්ණ මූලයන් සොයා ගැනීමයි.

කෙසේ වෙතත්, පාසල් වීජ ගණිත පාඨමාලාවේදී, අපි සාමාන්‍යයෙන් කතා කරන්නේ සංකීර්ණ ගැන නොව චතුරස්රාකාර සමීකරණයක සැබෑ මූලයන් ගැන ය. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, චතුරස්රාකාර සමීකරණයේ මූලයන් සඳහා සූත්‍ර භාවිතා කිරීමට පෙර, එය ඍණාත්මක නොවන බවට වග බලා ගැනීමට ප්‍රථමයෙන් වෙනස්කම් කරන්නා සොයා ගැනීම යෝග්‍ය වේ (එසේ නොමැති නම්, සමීකරණයට සැබෑ මූලයන් නොමැති බව අපට නිගමනය කළ හැකිය), සහ ඉන් පසුව මුල්වල අගයන් ගණනය කරන්න.

ඉහත තර්කය අපට ලිවීමට ඉඩ සලසයි චතුරස්රාකාර සමීකරණයක් විසඳීම සඳහා ඇල්ගොරිතම. a x 2 + b x + c \u003d 0 චතුරස්‍ර සමීකරණය විසඳීමට, ඔබට අවශ්‍ය වන්නේ:

• වෙනස් සූත්‍රය භාවිතා කරමින් D=b 2 -4 a c එහි අගය ගණනය කරන්න;
• වෙනස්කම් කරන්නා සෘණ නම් චතුරස්රාකාර සමීකරණයට සැබෑ මූලයන් නොමැති බව නිගමනය කරන්න;
• D=0 නම් සූත්‍රය භාවිතා කරමින් සමීකරණයේ එකම මූලය ගණනය කරන්න;
• වෙනස්කම් කරන්නා ධනාත්මක නම් මූල සූත්‍රය භාවිතා කරමින් චතුරස්‍ර සමීකරණයක සැබෑ මූලයන් දෙකක් සොයා ගන්න.

මෙහිදී අපි සටහන් කරන්නේ වෙනස්කම් කිරීම ශුන්‍යයට සමාන නම්, සූත්‍රය ද භාවිතා කළ හැකි අතර, එය ට සමාන අගයක් ලබා දෙන බව පමණි.

චතුරස්රාකාර සමීකරණ විසඳීම සඳහා ඇල්ගොරිතම යෙදීමේ උදාහරණ වෙත ඔබට ගමන් කළ හැකිය.

චතුරස්රාකාර සමීකරණ විසඳීමේ උදාහරණ

ධන, සෘණ සහ ශුන්‍ය වෙනස්කම් සහිත චතුරස්‍ර සමීකරණ තුනක විසඳුම් සලකා බලන්න. ඔවුන්ගේ විසඳුම සමඟ කටයුතු කිරීමෙන් පසු, වෙනත් ඕනෑම චතුරස්රාකාර සමීකරණයක් විසඳීමට හැකි වනු ඇත. පටන් ගමු.

උදාහරණයක්.

x 2 +2 x−6=0 සමීකරණයේ මූලයන් සොයන්න.

විසඳුමක්.

මෙම අවස්ථාවෙහිදී, අපට චතුරස්රාකාර සමීකරණයේ පහත සංගුණක ඇත: a=1 , b=2 සහ c=−6 . ඇල්ගොරිතමයට අනුව, ඔබ මුලින්ම වෙනස් කොට සැලකීම ගණනය කළ යුතුය, මේ සඳහා අපි පෙන්වා ඇති a, b සහ c වෙනස් කොට සැලකීමේ සූත්‍රයට ආදේශ කරමු, අපට ඇත D=b 2 -4 a c=2 2 −4 1 (-6)=4+24=28. 28>0 සිට, එනම්, වෙනස්කම් කිරීම ශුන්‍යයට වඩා වැඩි බැවින්, චතුරස්‍ර සමීකරණයට සැබෑ මූලයන් දෙකක් ඇත. අපි ඒවා මූල සූත්‍රයෙන් සොයා ගනිමු, අපට ලැබේ, මෙහිදී අපට කිරීමෙන් ලබාගත් ප්‍රකාශන සරල කළ හැකිය. මූලයේ ලකුණ සාධක කිරීමභාග අඩු කිරීම අනුගමනය කරයි:

පිළිතුර:

අපි ඊළඟ සාමාන්‍ය උදාහරණයට යමු.

උදාහරණයක්.

චතුරස්රාකාර සමීකරණය විසඳන්න -4 x 2 +28 x−49=0 .

විසඳුමක්.

අපි වෙනස්කම් කරන්නන් සොයා ගැනීමෙන් ආරම්භ කරමු: D=28 2 -4 (-4) (-49)=784−784=0. එමනිසා, මෙම චතුරස්රාකාර සමීකරණයට තනි මූලයක් ඇත, එය අපට , එනම්,

පිළිතුර:

x=3.5

සෘණ වෙනස්කම් සහිත චතුරස්රාකාර සමීකරණවල විසඳුම සලකා බැලීමට ඉතිරිව ඇත.

උදාහරණයක්.

5 y 2 +6 y+2=0 සමීකරණය විසඳන්න.

විසඳුමක්.

චතුරස්‍ර සමීකරණයේ සංගුණක මෙන්න: a=5 , b=6 සහ c=2 . මෙම අගයන් වෙනස් කොට සැලකීමේ සූත්‍රයට ආදේශ කිරීම, අපට තිබේ D=b 2 -4 a c=6 2 -4 5 2=36−40=−4. වෙනස්කම් කරන්නා සෘණාත්මක ය, එබැවින්, මෙම චතුරස්රාකාර සමීකරණයට සැබෑ මූලයන් නොමැත.

සංකීර්ණ මූලයන් දැක්වීමට අවශ්ය නම්, අපි භාවිතා කරමු දන්නා සූත්රයචතුරස්රාකාර සමීකරණයේ මූලයන් , සහ ඉටු කරන්න සමඟ ක්රියා කරයි සංකීර්ණ සංඛ්යා :

පිළිතුර:

සැබෑ මූලයන් නොමැත, සංකීර්ණ මූලයන් වන්නේ: .

නැවත වරක්, චතුරස්රාකාර සමීකරණයේ වෙනස්කම් කිරීම සෘණාත්මක නම්, පාසල සාමාන්‍යයෙන් වහාම පිළිතුර ලියා තබන අතර, එහි සැබෑ මූලයන් නොමැති බව පෙන්නුම් කරන අතර සංකීර්ණ මූලයන් සොයාගත නොහැකි බව අපි සටහන් කරමු.

දෙවන සංගුණක සඳහා පවා මූල සූත්‍රය

චතුරස්‍ර සමීකරණයක මූලයන් සඳහා වන සූත්‍රය, D=b 2 -4 a c මඟින් ඔබට වඩාත් සංයුක්ත සූත්‍රයක් ලබා ගැනීමට ඉඩ සලසයි , උදාහරණයක් ලෙස, හෝ 14 ln5=2 7 ln5 ). අපි ඇයව පිටතට ගෙන යමු.

අපි හිතමු a x 2 +2 n x + c=0 පෝරමයේ චතුරස්‍ර සමීකරණයක් විසඳන්න ඕන කියලා. අපි දන්නා සූත්‍රය භාවිතා කර එහි මූලයන් සොයා ගනිමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි වෙනස්කම් කිරීම ගණනය කරමු D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 -4 a c=4 (n 2 -a c), ඉන්පසු අපි මූල සූත්‍රය භාවිතා කරමු:

n 2 -a c ප්‍රකාශනය D 1 ලෙස දක්වන්න (සමහර විට එය D " ලෙස දක්වා ඇත) එවිට දෙවන සංගුණකය 2 n සමඟ සලකා බලන චතුරස්‍ර සමීකරණයේ මූලයන් සඳහා සූත්‍රය ස්වරූපය ගනී. , D 1 =n 2 -a c .

D=4·D 1 හෝ D 1 =D/4 බව දැකීම පහසුය. වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, D 1 යනු වෙනස්කම් කිරීමේ සිව්වන කොටසයි. D 1 හි ලකුණ D හි ලකුණට සමාන බව පැහැදිලිය. එනම්, D 1 ලකුණ චතුරස්රාකාර සමීකරණයේ මූලයන් තිබීම හෝ නොමැතිකම පිළිබඳ දර්ශකයකි.

එබැවින්, දෙවන සංගුණකය 2 n සමඟ චතුරස්රාකාර සමීකරණයක් විසඳීමට, ඔබට අවශ්ය වේ

• D 1 =n 2 -a·c ගණනය කරන්න;
• D 1 නම්<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• D 1 =0 නම්, සූත්‍රය භාවිතයෙන් සමීකරණයේ එකම මූලය ගණනය කරන්න;
• D 1 >0 නම්, සූත්‍රය භාවිතයෙන් සැබෑ මූල දෙකක් සොයා ගන්න.

මෙම ඡේදයේ ලබාගත් මූල සූත්‍රය භාවිතා කරමින් උදාහරණයේ විසඳුම සලකා බලන්න.

උදාහරණයක්.

චතුරස්‍ර සමීකරණය 5 x 2 -6 x−32=0 විසඳන්න.

විසඳුමක්.

මෙම සමීකරණයේ දෙවන සංගුණකය 2·(−3) ලෙස දැක්විය හැක. එනම්, ඔබට 5 x 2 +2 (−3) x−32=0 ආකාරයෙන් මුල් චතුරස්‍ර සමීකරණය නැවත ලිවිය හැක, මෙහි a=5 , n=−3 සහ c=-32 , සහ හතරවන කොටස ගණනය කරන්න. වෙනස් කොට සලකන: D 1 =n 2 -a c=(-3) 2 −5 (-32)=9+160=169. එහි අගය ධනාත්මක බැවින්, සමීකරණයට සැබෑ මූලයන් දෙකක් ඇත. අනුරූප මූල සූත්‍රය භාවිතයෙන් අපි ඒවා සොයා ගනිමු:

චතුරස්රාකාර සමීකරණයක මූලයන් සඳහා සුපුරුදු සූත්රය භාවිතා කිරීමට හැකි වූ බව සලකන්න, නමුත් මෙම අවස්ථාවෙහිදී, තවත් ගණනය කිරීමේ කාර්යයක් සිදු කිරීමට සිදුවනු ඇත.

පිළිතුර:

චතුරස්රාකාර සමීකරණවල ස්වරූපය සරල කිරීම

සමහර විට, සූත්‍ර භාවිතා කරමින් චතුරස්රාකාර සමීකරණයක මූලයන් ගණනය කිරීමට පෙර, “මෙම සමීකරණයේ ස්වරූපය සරල කළ හැකිද” යන ප්‍රශ්නය ඇසීම හානියක් නොවේද? ගණනය කිරීම් අනුව 1100 x 2 -400 x−600=0 ට වඩා 11 x 2 -4 x -6=0 චතුරස්‍ර සමීකරණය විසඳීම පහසු වනු ඇති බවට එකඟ වන්න.

සාමාන්‍යයෙන්, චතුරස්‍ර සමීකරණයක ස්වරූපය සරල කිරීම සාක්ෂාත් කරගනු ලබන්නේ එහි දෙපැත්තම යම් සංඛ්‍යාවකින් ගුණ කිරීමෙන් හෝ බෙදීමෙනි. උදාහරණයක් ලෙස, පෙර ඡේදයේ, අපි 1100 x 2 -400 x -600=0 සමීකරණයේ 100 න් දෙපස බෙදීම මගින් සරල කිරීමක් ලබා ගැනීමට සමත් විය.

සමාන පරිවර්තනයක් චතුරස්රාකාර සමීකරණ සමඟ සිදු කරනු ලැබේ, සංගුණක නොවේ. සමීකරණයේ දෙපැත්තම බෙදීම සාමාන්‍ය දෙයකි නිරපේක්ෂ අගයන්එහි සංගුණක. උදාහරණයක් ලෙස, අපි 12 x 2 -42 x+48=0 චතුරස්‍ර සමීකරණය ගනිමු. එහි සංගුණකවල නිරපේක්ෂ අගයන්: gcd(12, 42, 48)= gcd(gcd(12, 42), 48)= gcd(6, 48)=6 . මුල් චතුරස්රාකාර සමීකරණයේ කොටස් දෙකම 6 න් බෙදීම, අපි 2 x 2 −7 x+8=0 සමාන චතුරස්රාකාර සමීකරණයට පැමිණේ.

සහ චතුරස්රාකාර සමීකරණයේ කොටස් දෙකෙහිම ගුණ කිරීම සාමාන්යයෙන් භාගික සංගුණක ඉවත් කිරීම සඳහා සිදු කරනු ලැබේ. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, ගුණ කිරීම එහි සංගුණකවල හරයන් මත සිදු කෙරේ. උදාහරණයක් ලෙස, චතුරස්‍ර සමීකරණයක කොටස් දෙකම LCM(6, 3, 1)=6 මගින් ගුණ කළහොත්, එය x 2 +4 x−18=0 සරල ආකාරයක් ගනී.

මෙම ඡේදය අවසානයේ, කොටස් දෙකම −1 න් ගුණ කිරීමට (හෝ බෙදීමට) අනුරූප වන සියලුම පදවල සලකුණු වෙනස් කිරීමෙන් චතුරස්රාකාර සමීකරණයේ ප්‍රමුඛ සංගුණකයේ ඇති අඩුපාඩුව සෑම විටම පාහේ ඉවත් කරන බව අපි සටහන් කරමු. උදාහරණයක් ලෙස, සාමාන්‍යයෙන් −2·x 2 -3·x+7=0 යන චතුරස්‍ර සමීකරණයෙන් 2·x 2 +3·x−7=0 විසඳුම වෙත යන්න.

චතුරස්රාකාර සමීකරණයක මූලයන් සහ සංගුණක අතර සම්බන්ධතාවය

චතුරස්‍ර සමීකරණයක මූලයන් සඳහා වන සූත්‍රය සමීකරණයක මූලයන් එහි සංගුණක අනුව ප්‍රකාශ කරයි. මුල්වල සූත්රය මත පදනම්ව, ඔබට මූලයන් සහ සංගුණක අතර වෙනත් සම්බන්ධතා ලබා ගත හැකිය.

පෝරමයේ Vieta ප්‍රමේයයෙන් වඩාත් ප්‍රසිද්ධ සහ අදාළ සූත්‍ර විශේෂයෙන්, ලබා දී ඇති චතුරස්රාකාර සමීකරණය සඳහා, මුල්වල එකතුව ප්රතිවිරුද්ධ ලකුණ සහිත දෙවන සංගුණකය හා සමාන වන අතර, මූලයන්ගේ ගුණිතය නිදහස් පදය වේ. උදාහරණයක් ලෙස, 3 x 2 −7 x+22=0 යන චතුරස්‍ර සමීකරණයේ ස්වරූපය අනුව, අපට එහි මුල්වල එකතුව 7/3 වන අතර මූලයන්ගේ ගුණිතය 22/3 බව වහාම පැවසිය හැකිය.

දැනටමත් ලියා ඇති සූත්‍ර භාවිතා කරමින්, ඔබට චතුරස්රාකාර සමීකරණයේ මූලයන් සහ සංගුණක අතර වෙනත් සම්බන්ධතා ගණනාවක් ලබා ගත හැකිය. උදාහරණයක් ලෙස, ඔබට චතුරස්‍ර සමීකරණයක මූලයන් වල වර්ගවල එකතුව එහි සංගුණක අනුව ප්‍රකාශ කළ හැක: .

ග්‍රන්ථ නාමාවලිය.

• වීජ ගණිතය:පෙළ පොත සෛල 8 ක් සඳහා. සාමාන්ය අධ්යාපනය ආයතන / [යූ. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; සංස්. S. A. Telyakovsky. - 16 වන සංස්කරණය. - එම්.: අධ්යාපනය, 2008. - 271 පි. : අසනීප. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• මොර්ඩ්කොවිච් ඒ.ජී.වීජ ගණිතය. 8 ශ්රේණිය. සවස 2 ට 1 කොටස. අධ්යාපන ආයතනවල සිසුන් සඳහා පෙළපොතක් / A. G. Mordkovich. - 11 වන සංස්කරණය, මකා දමන ලදී. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: අසනීප. ISBN 978-5-346-01155-2.

යන්තම්. සූත්ර සහ පැහැදිලි සරල නීති අනුව. පළමු අදියරේදී

අවශ්ය ලබා දී ඇති සමීකරණයවෙත යොමු කරයි සම්මත ආකෘතිය, i.e. දර්ශනයට:

මෙම ආකෘතියේ සමීකරණය දැනටමත් ඔබට ලබා දී ඇත්නම්, ඔබට පළමු අදියර කිරීමට අවශ්ය නොවේ. වැදගත්ම දේ හරි

සියලුම සංගුණක තීරණය කරන්න ඒ, බීහා c.

චතුරස්‍ර සමීකරණයක මූලයන් සෙවීම සඳහා සූත්‍රය.

මූල ලකුණ යටතේ ප්රකාශනය හැඳින්වේ වෙනස්කම් කරන . ඔබට පෙනෙන පරිදි, x සොයා ගැනීමට, අපි

භාවිත a, b සහ c පමණි. එම. සිට අවාසි චතුරස්රාකාර සමීකරණය. ප්රවේශමෙන් ඇතුල් කරන්න

අගයන් a, b සහ cමෙම සූත්‍රයට සහ ගණන් කරන්න. සමඟ ආදේශ කරන්න ඔවුන්ගේසංඥා!

උදාහරණ වශයෙන්, සමීකරණයේ:

ඒ =1; බී = 3; c = -4.

අගයන් ආදේශ කර ලියන්න:

උදාහරණය පාහේ විසඳා ඇත:

පිළිතුර මෙයයි.

වඩාත්ම පොදු වැරදි වන්නේ වටිනාකම් වල සංඥා සමඟ ව්යාකූලත්වයයි a, bහා සමඟ. ඒ වෙනුවට, ආදේශනය සමඟ

සෘණ අගයන්මූලයන් ගණනය කිරීම සඳහා සූත්රය තුලට. මෙන්න සවිස්තරාත්මක සූත්රය සුරකියි

නිශ්චිත සංඛ්යා සමඟ. ගණනය කිරීම් සමඟ ගැටළු තිබේ නම්, එය කරන්න!

අපි පහත උදාහරණය විසඳිය යුතු යැයි සිතමු:

මෙතන ඒ = -6; බී = -5; c = -1

සියලුම සලකුණු සහ වරහන් සමඟ කිසිවක් අතපසු නොකර අපි සෑම දෙයක්ම විස්තරාත්මකව, ප්‍රවේශමෙන් පින්තාරු කරමු:

බොහෝ විට චතුරස්රාකාර සමීකරණ තරමක් වෙනස් ලෙස පෙනේ. උදාහරණයක් ලෙස, මේ වගේ:

දැන් දෝෂ සංඛ්යාව නාටකාකාර ලෙස අඩු කරන ප්රායෝගික තාක්ෂණික ක්රම සැලකිල්ලට ගන්න.

පළමු පිළිගැනීම. කලින් කම්මැලි වෙන්න එපා චතුරස්රාකාර සමීකරණයක් විසඳීමඑය සම්මත ආකෘතියට ගෙන එන්න.

මෙමගින් කුමක් වෙයිද?

කිසියම් පරිවර්තනයකින් පසු ඔබට පහත සමීකරණය ලැබේ යැයි සිතමු.

මුල්වල සූත්රය ලිවීමට ඉක්මන් නොවන්න! ඔබ නියත වශයෙන්ම අසමතුලිතතාවයන් මිශ්ර කරනු ඇත a, b සහ c.

ආදර්ශය නිවැරදිව ගොඩනඟන්න. පළමුව, x වර්ග, පසුව චතුරස්රයක් නොමැතිව, පසුව නිදහස් සාමාජිකයෙක්. මෙවැනි:

අඩුවෙන් මිදෙන්න. කෙසේද? අපි සම්පූර්ණ සමීකරණය -1 න් ගුණ කළ යුතුයි. අපට ලැබෙන්නේ:

දැන් ඔබට මූලයන් සඳහා සූත්‍රය ආරක්ෂිතව ලිවිය හැකිය, වෙනස් කොට සැලකීම ගණනය කර උදාහරණය සම්පූර්ණ කරන්න.

ඔබම තීරණය කරන්න. ඔබ මූලයන් 2 සහ -1 සමඟ අවසන් කළ යුතුය.

දෙවන පිළිගැනීම.ඔබේ මූලයන් පරීක්ෂා කරන්න! විසින් වියේටා ප්‍රමේයය.

ලබා දී ඇති චතුරස්රාකාර සමීකරණ විසඳීමට, i.e. සංගුණකය නම්

x2+bx+c=0,

එවිටx 1 x 2 =c

x1 +x2 =-බී

සම්පූර්ණ චතුරස්‍ර සමීකරණයක් සඳහා a≠1:

x 2 +බීx+c=0,

සම්පූර්ණ සමීකරණය බෙදන්න ඒ:

→ →

කොහෙද x 1හා x 2 - සමීකරණයේ මූලයන්.

තුන්වන පිළිගැනීම. ඔබේ සමීකරණයට භාගික සංගුණක තිබේ නම්, භාග ඉවත් කරන්න! ගුණ කරන්න

පොදු හරයක් සඳහා සමීකරණය.

නිගමනය. ප්රායෝගික උපදෙස්:

1. විසඳීමට පෙර, අපි චතුරස්රාකාර සමීකරණය සම්මත ආකෘතියට ගෙන ඒම, එය ගොඩනඟන්න හරි.

2. චතුරස්රයේ x ඉදිරිපිට සෘණ සංගුණකයක් තිබේ නම්, අපි එය සියල්ල ගුණ කිරීමෙන් ඉවත් කරමු.

-1 සඳහා සමීකරණ.

3. සංගුණක භාගික නම්, අපි සම්පූර්ණ සමීකරණය අනුරූපයෙන් ගුණ කිරීමෙන් භාග ඉවත් කරමු

සාධකය.

4. x වර්ග පිරිසිදු නම්, එය සඳහා සංගුණකය එකකට සමාන වේ, විසඳුම පහසුවෙන් පරීක්ෂා කළ හැක