ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ ස්පර්ශක. ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ

මාතෘකාව පිළිබඳ පාඩම සහ ඉදිරිපත් කිරීම: "සරලම ත්රිකෝණමිතික සමීකරණවල විසඳුම"

අතිරේක ද්රව්ය
හිතවත් පරිශීලකයින්, ඔබේ අදහස්, ප්‍රතිපෝෂණ, යෝජනා තැබීමට අමතක නොකරන්න! සියලුම ද්‍රව්‍ය ප්‍රති-වයිරස වැඩසටහනක් මගින් පරීක්ෂා කරනු ලැබේ.

1C සිට 10 ශ්‍රේණිය සඳහා "Integral" ඔන්ලයින් වෙළඳසැලේ අත්පොත් සහ සිමියුලේටර්
අපි ජ්යාමිතිය තුළ ගැටළු විසඳන්නෙමු. අභ්යවකාශයේ ගොඩනැගීම සඳහා අන්තර් ක්රියාකාරී කාර්යයන්
මෘදුකාංග පරිසරය "1C: ගණිතමය ඉදිකිරීම්කරු 6.1"

අපි අධ්යයනය කරන්නේ කුමක්ද:
1. ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ යනු කුමක්ද?

3. ත්රිකෝණමිතික සමීකරණ විසඳීම සඳහා ප්රධාන ක්රම දෙකක්.
4. සමජාතීය ත්රිකෝණමිතික සමීකරණ.
5. උදාහරණ.

ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ මොනවාද?

යාලුවනේ, අපි දැනටමත් arcsine, arccosine, arctangent සහ arccotangent පිළිබඳව අධ්‍යයනය කර ඇත්තෙමු. දැන් අපි පොදුවේ ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ බලමු.

ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ- ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතයේ ලකුණ යටතේ විචල්‍යය අඩංගු සමීකරණයකි.

සරලම ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ විසඳීමේ ආකාරය අපි නැවත කියමු:

1) |A|≤ 1 නම්, cos(x) = a සමීකරණයට විසඳුමක් ඇත:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) |A|≤ 1 නම්, sin(x) = a සමීකරණයට විසඳුමක් ඇත:

3) නම් |a| > 1, එවිට sin(x) = a සහ cos(x) = a සමීකරණයට විසඳුම් නැත 4) tg(x)=a සමීකරණයට විසඳුමක් ඇත: x=arctg(a)+ πk

5) ctg(x)=a සමීකරණයට විසඳුමක් ඇත: x=arcctg(a)+ πk

සියලුම සූත්‍ර සඳහා, k යනු පූර්ණ සංඛ්‍යාවකි

සරලම ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණවල ස්වරූපය ඇත: Т(kx+m)=a, T- ඕනෑම ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතයක්.

උදාහරණයක්.

සමීකරණ විසඳන්න: a) sin(3x)= √3/2

විසඳුමක්:

A) අපි 3x=t සඳහන් කරමු, එවිට අපි අපගේ සමීකරණය නැවත ලියන්නෙමු:

මෙම සමීකරණයට විසඳුම වනුයේ: t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ πn.

අගයන් වගුවෙන් අපට ලැබෙන්නේ: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

අපි අපගේ විචල්‍යය වෙත ආපසු යමු: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

එවිට x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

පිළිතුර: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, මෙහි n යනු පූර්ණ සංඛ්‍යාවකි. (-1)^n - n හි බලයට එකක් අඩු කරන්න.

ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ සඳහා තවත් උදාහරණ.

සමීකරණ විසඳන්න: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

විසඳුමක්:

අ) මෙවර අපි කෙලින්ම සමීකරණයේ මූලයන් ගණනය කිරීමට යමු:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. එවිට x/5= πk => x=5πk

පිළිතුර: x=5πk, මෙහි k යනු පූර්ණ සංඛ්‍යාවකි.

B) අපි පෝරමයේ ලියන්නෙමු: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. අපි එය දනිමු: arctg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

පිළිතුර: x=2π/9 + πk/3, මෙහි k යනු පූර්ණ සංඛ්‍යාවකි.

සමීකරණ විසඳන්න: cos(4x)= √2/2. සහ කොටසේ ඇති සියලුම මූලයන් සොයා ගන්න.

විසඳුමක්:

අපි තුළ තීරණය කරන්නම් සාමාන්ය දැක්මඅපගේ සමීකරණය: 4x= ± ආර්කෝස් (√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

දැන් අපි බලමු අපේ කොටසට වැටෙන මූලයන් මොනවාද කියලා. k සඳහා k=0, x= π/16 සඳහා, අපි ලබා දී ඇති කොටසෙහි සිටිමු.
k=1, x= π/16+ π/2=9π/16 සමඟ, ඔවුන් නැවත පහර දෙයි.
k=2 සඳහා, x= π/16+ π=17π/16, නමුත් මෙහිදී අපි වැදුනේ නැත, එයින් අදහස් වන්නේ අපි විශාල k සඳහාද පහර නොදෙන බවයි.

පිළිතුර: x= π/16, x= 9π/16

ප්රධාන විසඳුම් ක්රම දෙකක්.

අපි සරලම ත්රිකෝණමිතික සමීකරණ සලකා බැලුවෙමු, නමුත් වඩාත් සංකීර්ණ ඒවා තිබේ. ඒවා විසඳීම සඳහා, නව විචල්‍යයක් හඳුන්වාදීමේ ක්‍රමය සහ සාධකකරණ ක්‍රමය භාවිතා වේ. අපි උදාහරණ බලමු.

අපි සමීකරණය විසඳමු:

විසඳුමක්:
අපගේ සමීකරණය විසඳීම සඳහා, අපි නව විචල්‍යයක් හඳුන්වාදීමේ ක්‍රමය භාවිතා කරමු, එය දැක්වේ: t=tg(x).

ප්රතිස්ථාපන ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, අපට ලැබෙන්නේ: t 2 + 2t -1 = 0

චතුරස්රාකාර සමීකරණයේ මූලයන් සොයන්න: t=-1 සහ t=1/3

එවිට tg(x)=-1 සහ tg(x)=1/3, අපට සරලම ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණය ලැබුණි, අපි එහි මූලයන් සොයා ගනිමු.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

පිළිතුර: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

සමීකරණයක් විසඳීමේ උදාහරණයක්

සමීකරණ විසඳන්න: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

විසඳුමක්:

අපි අනන්‍යතාවය භාවිතා කරමු: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

අපගේ සමීකරණය වන්නේ: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

අපි t=cos(x) ආදේශනය හඳුන්වා දෙමු: 2t 2 -3t - 2 = 0

අපගේ චතුරස්රාකාර සමීකරණයට විසඳුම මූලයන් වේ: t=2 සහ t=-1/2

එවිට cos(x)=2 සහ cos(x)=-1/2.

නිසා cosine ට එකකට වඩා වැඩි අගයක් ගත නොහැක, එවිට cos(x)=2ට මූලයන් නොමැත.

cos(x)=-1/2 සඳහා: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

පිළිතුර: x= ±2π/3 + 2πk

සමජාතීය ත්රිකෝණමිතික සමීකරණ.

අර්ථ දැක්වීම: a sin(x)+b cos(x) ආකෘතියේ සමීකරණයක් පළමු උපාධියේ සමජාතීය ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ ලෙස හැඳින්වේ.

පෝරමයේ සමීකරණ

දෙවන උපාධියේ සමජාතීය ත්රිකෝණමිතික සමීකරණ.

පළමු උපාධියේ සමජාතීය ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණයක් විසඳීම සඳහා, අපි එය cos(x) මගින් බෙදන්නෙමු: එය ශුන්‍යයට සමාන නම් කොසයින් මගින් බෙදිය නොහැක, මෙය එසේ නොවන බවට වග බලා ගනිමු:
cos(x)=0, පසුව asin(x)+0=0 => sin(x)=0 ඉඩ දෙන්න, නමුත් sine සහ cosine එකවර බිංදුවට සමාන නොවේ, අපට ප්‍රතිවිරෝධතාවක් ලැබුණි, එබැවින් අපට ආරක්ෂිතව බෙදිය හැකිය. බිංදුවෙන්.

සමීකරණය විසඳන්න:
උදාහරණය: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

විසඳුමක්:

පොදු සාධකය ඉවත් කරන්න: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

එවිට අපට සමීකරණ දෙකක් විසඳිය යුතුය:

cos(x)=0 සහ cos(x)+sin(x)=0

x= π/2 + πk සඳහා Cos(x)=0;

cos(x)+sin(x)=0 සමීකරණය සලකා බලන්න අපගේ සමීකරණය cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

පිළිතුර: x= π/2 + πk සහ x= -π/4+πk

දෙවන උපාධියේ සමජාතීය ත්රිකෝණමිතික සමීකරණ විසඳන්නේ කෙසේද?
යාලුවනේ, සෑම විටම මෙම නීතිවලට ඇලී සිටින්න!

1. a සංගුණකය සමාන වන්නේ කුමක් දැයි බලන්න, a \u003d 0 නම්, අපගේ සමීකරණය cos (x) (bsin (x) + ccos (x) පෝරමය ගනී), පෙර විසඳුමේ උදාහරණයකි. ස්ලයිඩය

2. a≠0 නම්, ඔබට සමීකරණයේ කොටස් දෙකම වර්ග කොසයිනයෙන් බෙදිය යුතුය, අපට ලැබෙන්නේ:

අපි t=tg(x) විචල්‍යයේ වෙනසක් සිදු කරන විට අපට සමීකරණය ලැබේ:

උදාහරණ #:3 විසඳන්න

සමීකරණය විසඳන්න:
විසඳුමක්:

සමීකරණයේ දෙපැත්තම කොසයින් වර්ගයෙන් බෙදන්න:

අපි t=tg(x) විචල්‍යයේ වෙනසක් කරන්නෙමු: t 2 + 2 t - 3 = 0

චතුරස්රාකාර සමීකරණයේ මූලයන් සොයන්න: t=-3 සහ t=1

එවිට: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

පිළිතුර: x=-arctg(3) + πk සහ x= π/4+ πk

උදාහරණ #:4 විසඳන්න

සමීකරණය විසඳන්න:

විසඳුමක්:
අපි අපේ ප්රකාශනය පරිවර්තනය කරමු:

අපට එවැනි සමීකරණ විසඳිය හැකිය: x= - π/4 + 2πk සහ x=5π/4 + 2πk

පිළිතුර: x= - π/4 + 2πk සහ x=5π/4 + 2πk

උදාහරණ #:5 විසඳන්න

සමීකරණය විසඳන්න:

විසඳුමක්:
අපි අපේ ප්රකාශනය පරිවර්තනය කරමු:

අපි tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0 ආදේශනය හඳුන්වා දෙන්නෙමු.

අපගේ චතුරස්රාකාර සමීකරණයට විසඳුම මූලයන් වනු ඇත: t=-2 සහ t=1/2

එවිට අපට ලැබෙන්නේ: tg(2x)=-2 සහ tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

පිළිතුර: x=-arctg(2)/2 + πk/2 සහ x=arctg(1/2)/2+ πk/2

ස්වාධීන විසඳුමක් සඳහා කාර්යයන්.

1) සමීකරණය විසඳන්න

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 e) ctg(0.5x) = -1.7

2) සමීකරණ විසඳන්න: sin(3x)= √3/2. සහ කොටසේ ඇති සියලුම මූලයන් සොයා ගන්න [π/2; π].

3) සමීකරණය විසඳන්න: ctg 2 (x) + 2ctg (x) + 1 =0

4) සමීකරණය විසඳන්න: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) සමීකරණය විසඳන්න: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) සමීකරණය විසඳන්න: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ පහසුම මාතෘකාව නොවේ. වේදනාකාරී ලෙස ඒවා විවිධාකාර වේ.) උදාහරණයක් ලෙස, මේවා:

sin2x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = ctg(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

ආදී...

නමුත් මෙම (සහ අනෙකුත් සියලුම) ත්‍රිකෝණමිතික රාක්ෂයන්ට පොදු සහ අනිවාර්ය ලක්ෂණ දෙකක් ඇත. පළමුව - ඔබ එය විශ්වාස නොකරනු ඇත - සමීකරණවල ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත ඇත.) දෙවනුව: x සමඟ ඇති සියලුම ප්‍රකාශන වේ මෙම එකම කාර්යයන් තුළ.සහ එහි පමණක්! x කොහේ හරි දිස්වන්නේ නම් පිටත,උදාහරණ වශයෙන්, sin2x + 3x = 3,මෙය සමීකරණය වනු ඇත මිශ්ර වර්ගය. එවැනි සමීකරණ අවශ්ය වේ තනි ප්රවේශය. මෙන්න අපි ඒවා සලකා බලන්නේ නැත.

අපි මෙම පාඩමේදී ද දුෂ්ට සමීකරණ විසඳන්නේ නැත.) මෙන්න අපි ගනුදෙනු කරන්නෙමු සරලම ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ.මන්ද? ඔව්, තීරණය නිසා කිසියම්ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ අදියර දෙකකින් සමන්විත වේ. පළමු අදියරේදී, විවිධ පරිවර්තනයන් මගින් දුෂ්ට සමීකරණය සරල එකක් දක්වා අඩු වේ. දෙවනුව - මෙම සරලම සමීකරණය විසඳනු ලැබේ. වෙන මගක් නෑ.

එබැවින්, දෙවන අදියරේදී ඔබට ගැටළු තිබේ නම් - පළමු අදියර විශේෂ අර්ථයනැත.)

මූලික ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ පෙනෙන්නේ කෙසේද?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

මෙතන ඒ ඕනෑම අංකයක් නියෝජනය කරයි. කිසියම්.

මාර්ගය වන විට, ශ්‍රිතය තුළ පිරිසිදු x එකක් නොතිබිය හැකිය, නමුත් යම් ආකාරයක ප්‍රකාශනයක්, වැනි:

cos(3x+π /3) = 1/2

ආදිය මෙය ජීවිතය සංකීර්ණ කරයි, නමුත් ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණය විසඳීමේ ක්‍රමයට බලපාන්නේ නැත.

ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ විසඳන්නේ කෙසේද?

ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ ක්‍රම දෙකකින් විසඳිය හැක. පළමු ආකාරය: තර්කනය සහ ත්‍රිකෝණමිතික කවයක් භාවිතා කිරීම. අපි මෙහි මෙම මාර්ගය ගවේෂණය කරන්නෙමු. දෙවන ආකාරය - මතකය සහ සූත්ර භාවිතා කිරීම - ඊළඟ පාඩමෙන් සලකා බලනු ඇත.

පළමු මාර්ගය පැහැදිලි, විශ්වාසදායක සහ අමතක කිරීමට අපහසුය.) එය ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ, අසමානතා සහ සියලු ආකාරයේ උපක්‍රමශීලී නොවන සම්මත උදාහරණ විසඳීම සඳහා හොඳය. මතකයට වඩා තර්කය ශක්තිමත්!

අපි ත්‍රිකෝණමිතික කවයක් භාවිතයෙන් සමීකරණ විසඳන්නෙමු.

අපි මූලික තර්කනය සහ ත්‍රිකෝණමිතික කවයක් භාවිතා කිරීමේ හැකියාව ඇතුළත් කරමු. ඔයාට බැරිද!? කෙසේ වෙතත්... ත්‍රිකෝණමිතියේදී ඔබට එය අපහසු වනු ඇත...) නමුත් කමක් නැත. "ත්‍රිකෝණමිතික කවය ...... එය කුමක්ද?" යන පාඩම් දෙස බලන්න. සහ "ත්‍රිකෝණමිතික කවයක් මත කෝණ ගණන් කිරීම." එහි සෑම දෙයක්ම සරලයි. පෙළපොත් මෙන් නොව...)

අහ්, ඔබ දන්නවාද!? "ත්‍රිකෝණමිතික කවයක් සහිත ප්‍රායෝගික වැඩ" පවා ප්‍රගුණ කර ඇත!? සුභ පැතුම් පිළිගන්න. මෙම මාතෘකාව ඔබට සමීප සහ තේරුම්ගත හැකි වනු ඇත.) විශේෂයෙන් ප්රසන්න වන්නේ ත්රිකෝණමිතික කවය ඔබ විසඳන්නේ කුමන සමීකරණයද යන්න සැලකිල්ලට නොගැනීමයි. Sine, cosine, tangent, cotangent - සියල්ල ඔහුට සමාන වේ. විසඳුමේ මූලධර්මය සමාන වේ.

එබැවින් අපි ඕනෑම මූලික ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණයක් ගනිමු. අවම වශයෙන් මෙය:

cosx = 0.5

මට X හොයාගන්න ඕන. මිනිස් භාෂාවෙන් කතා කිරීම, ඔබට අවශ්යයි කෝසයින් 0.5 වන කෝණය (x) සොයා ගන්න.

අපි කලින් රවුම භාවිතා කළේ කෙසේද? අපි එය මත කොනක් ඇන්දෙමු. අංශක හෝ රේඩියන වලින්. සහ වහාම දැක්කා මෙම කෝණයෙහි ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත. දැන් අපි විරුද්ධ දේ කරමු. රවුම සහ වහාම 0.5 ට සමාන කෝසයිනයක් අඳින්න අපි බලමු කෙළවරේ. එය ඉතිරිව ඇත්තේ පිළිතුර ලිවීමට පමණි.) ඔව්, ඔව්!

අපි කවයක් අඳින්න සහ 0.5 ට සමාන කොසයින් සලකුණු කරන්න. කොසයින් අක්ෂය මත, ඇත්ත වශයෙන්ම. මෙවැනි:

දැන් අපි මෙම කෝසයින් අපට ලබා දෙන කෝණය ඇද ගනිමු. ඔබේ මූසිකය පින්තූරය මත තබා ගන්න (හෝ ටැබ්ලටයේ පින්තූරය ස්පර්ශ කරන්න), සහ බලන්නමෙම එකම කෙළවරේ X.

0.5 ක කෝසයිනයක් ඇති කෝණය කුමක්ද?

x \u003d π / 3

cos 60°= cos( π /3) = 0,5

සමහර අය සැකයෙන් කොඳුරනු ඇත, ඔව් ... ඔවුන් පවසන්නේ, කෙසේ හෝ සියල්ල පැහැදිලි වූ විට, රවුමට වැටක් දැමීම වටී ද යන්නයි ... ඔබට, ඇත්ත වශයෙන්ම, මැසිවිලි නැඟිය හැකිය ...) නමුත් කාරණය නම් මෙය වැරදි සහගත බවයි. පිළිතුර. එසේත් නැතිනම්, ප්රමාණවත් නොවේ. 0.5 ට සමාන කෝසයිනයක් ලබා දෙන සමස්ත කෝණ පොකුරක් තවමත් පවතින බව රවුමේ රසඥයන් තේරුම් ගනී.

ඔබ චංචල පැත්ත OA හැරුවහොත් සම්පූර්ණ හැරීමක් සඳහා, ලක්ෂ්‍යය A එහි මුල් ස්ථානයට නැවත පැමිණේ. 0.5 ට සමාන එකම කොසයිනය සමඟ. එම. කෝණය වෙනස් වනු ඇත 360° හෝ 2π රේඩියන, සහ cosine නොවේ.නව කෝණය 60° + 360° = 420° ද අපගේ සමීකරණයට විසඳුමක් වනු ඇත, මන්ද

එවැනි සම්පූර්ණ භ්‍රමණයන් අනන්ත ප්‍රමාණයක් ඇත... තවද මෙම නව කෝණ සියල්ල අපගේ ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණයට විසඳුම් වනු ඇත. අනික ඒවා ඔක්කොම කොහොම හරි ලියාගන්න ඕන. සියලුම.එසේ නොමැතිනම්, තීරණය සලකා බලනු නොලැබේ, ඔව් ...)

ගණිතයට මෙය සරලව හා අලංකාර ලෙස කළ හැකිය. එක් කෙටි පිළිතුරකින්, ලියන්න අනන්ත කට්ටලයක්විසඳුම්. අපගේ සමීකරණය සඳහා එය පෙනෙන්නේ කෙසේද යන්න මෙන්න:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

මම විකේතනය කරන්නම්. තවමත් ලියන්න අර්ථවත් ලෙසඅද්භූත අකුරු ටිකක් අඳිනවාට වඩා හොඳයි නේද?)

π /3 අප හා සමාන කෝණයකි දැක්කාරවුම මත සහ හඳුනාගෙන ඇතකොසයින වගුව අනුව.

2π රේඩියනවල එක් සම්පූර්ණ හැරීමකි.

n - මෙය සම්පූර්ණ ගණනයි, i.e. සමස්තවිප්ලව. එය පැහැදිලි වේ n 0, ± 1, ± 2, ± 3.... සහ යනාදිය විය හැක. කෙටි ප්‍රවේශයෙන් දැක්වෙන පරිදි:

n ∈ Z

n අයිති ( ∈ ) පූර්ණ සංඛ්‍යා කට්ටලයට ( Z ) මාර්ගය වන විට, ලිපිය වෙනුවට n අකුරු භාවිතා කළ හැක k, m, t ආදිය

මෙම අංකනය ඔබට ඕනෑම නිඛිලයක් ගත හැකි බවයි n . අවම වශයෙන් -3, අවම වශයෙන් 0, අවම වශයෙන් +55. ඔයාට ඕන කුමක් ද. ඔබ එම අංකය ඔබේ පිළිතුරට සම්බන්ධ කළහොත්, ඔබට නිශ්චිත කෝණයක් ලැබෙනු ඇත, එය අපගේ රළු සමීකරණයට විසඳුම වනු නිසැකය.)

නැතහොත්, වෙනත් වචන වලින්, x \u003d π / 3 අනන්ත කට්ටලයක එකම මූලය වේ. අනෙකුත් සියලුම මූලයන් ලබා ගැනීමට, π / 3 ( n ) රේඩියන වලින්. එම. 2πn රේඩියන්.

සියල්ල? නැත. මම විශේෂයෙන් සතුට දිගු කරමි. හොඳින් මතක තබා ගැනීමට.) අපගේ සමීකරණයට පිළිතුරුවලින් කොටසක් පමණක් අපට ලැබී ඇත. විසඳුමේ පළමු කොටස මම පහත පරිදි ලියන්නෙමි:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - එක් මූලයක් නොවේ, එය කෙටි ස්වරූපයෙන් ලියා ඇති සම්පූර්ණ මූල මාලාවකි.

නමුත් 0.5 ට සමාන කෝසයිනයක් ලබා දෙන වෙනත් කෝණ තිබේ!

අපි අපේ පින්තූරයට ආපසු යමු, ඒ අනුව අපි පිළිතුර ලියා ඇත. එහි ඇය:

රූපය මත මූසිකය ගෙන යන්න සහ බලන්නතවත් කොනක් බව 0.5 ක cosine ද ලබා දෙයි.ඔබ සිතන්නේ එය සමාන වන්නේ කුමක් ද? ත්‍රිකෝණ එකයි... ඔව්! එය කෝණයට සමාන වේ x , සෘණ දිශාවට පමණක් සැලසුම් කර ඇත. මේ කෙළවරයි -X. නමුත් අපි දැනටමත් x ගණනය කර ඇත. π /3 හෝ 60°. එබැවින්, අපට ආරක්ෂිතව ලිවිය හැකිය:

x 2 \u003d - π / 3

තවද, ඇත්ත වශයෙන්ම, අපි සම්පූර්ණ හැරීම් හරහා ලබා ගන්නා සියලුම කෝණ එකතු කරමු:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

දැන් එච්චරයි.) ත්‍රිකෝණමිතික කවයක අපි දැක්කා(ඇත්ත වශයෙන්ම තේරුම් ගන්නා අය)) සෑම 0.5 ට සමාන කෝසයින් ලබා දෙන කෝණ. ඒ වගේම මේ කෝණ කෙටියෙන් ලිව්වා ගණිතමය ස්වරූපය. පිළිතුර අසීමිත මූලයන් දෙකකි:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

මෙය නිවැරදි පිළිතුරයි.

බලාපොරොත්තුව, ත්රිකෝණමිතික සමීකරණ විසඳීම සඳහා පොදු මූලධර්මයරවුමක ආධාරයෙන් තේරුම් ගත හැකිය. අපි රවුමේ දී ඇති සමීකරණයෙන් කෝසයින් (සයින්, ස්පර්ශක, කෝටැන්ජන්ට්) සලකුණු කර, අනුරූප කෝණ අඳින්න සහ පිළිතුර ලියන්න.ඇත්ත වශයෙන්ම, ඔබ අප කුමන ආකාරයේ කොනවල්දැයි සොයා බැලිය යුතුය දැක්කාරවුම මත. සමහර විට එය එතරම් පැහැදිලි නැත. හොඳයි, මම කී පරිදි, මෙහි තර්කනය අවශ්ය වේ.)

උදාහරණයක් ලෙස, අපි තවත් ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණයක් විශ්ලේෂණය කරමු:

සමීකරණවල ඇති හැකි එකම සංඛ්‍යාව 0.5 නොවන බව කරුණාවෙන් සලකන්න!) මුල් සහ භාගවලට වඩා එය ලිවීම මට පහසුයි.

අපි පොදු මූලධර්මය අනුව වැඩ කරන්නෙමු. අපි රවුමක් අඳින්න, සලකුණු කරන්න (සයින් අක්ෂය මත, ඇත්ත වශයෙන්ම!) 0.5. මෙම සයින් එකට අනුරූප වන සියලුම කෝණ අපි එකවර අඳින්නෙමු. අපට මෙම පින්තූරය ලැබේ:

අපි මුලින්ම කෝණය සමඟ කටයුතු කරමු. x පළමු කාර්තුවේදී. අපි සයිනස් වගුව සිහිපත් කර මෙම කෝණයෙහි අගය තීරණය කරමු. කාරණය සරලයි:

x \u003d π / 6

අපි සම්පූර්ණ විප්ලවයන් සහ, සමග සිහිපත් කරමු පැහැදිලි හෘදසාක්ෂිය, අපි පළමු පිළිතුරු මාලාව ලියන්නෙමු:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

වැඩේ බාගයක් ඉවරයි. දැන් අපි නිර්වචනය කළ යුතුයි දෙවන කෙළවර ...මෙය කොසයිනවලට වඩා උපක්‍රමශීලී ය, ඔව් ... නමුත් තර්කනය අපව බේරා ගනු ඇත! දෙවන කෝණය තීරණය කරන්නේ කෙසේද? x හරහා? ඔව් පහසුයි! පින්තූරයේ ඇති ත්රිකෝණ සමාන වන අතර රතු කෙළවරේ x කෝණයට සමාන වේ x . එය පමණක් සෘණ දිශාවට π කෝණයෙන් ගණනය කරනු ලැබේ. එය රතු වන්නේ එබැවිනි.) සහ පිළිතුර සඳහා, අපට ධනාත්මක semiaxis OX වලින් නිවැරදිව මනින ලද කෝණයක් අවශ්‍ය වේ, i.e. අංශක 0 ක කෝණයකින්.

පින්තූරය මත කර්සරය තබා සියල්ල බලන්න. පින්තූරය සංකීර්ණ නොවන පරිදි මම පළමු කෙළවර ඉවත් කළෙමි. අපට උනන්දුවක් දක්වන කෝණය (කොළ පැහැයෙන් අඳින ලද) සමාන වනු ඇත:

π - x

x අපි ඒක දන්නවා π /6 . එබැවින් දෙවන කෝණය වනුයේ:

π - π /6 = 5π /6

නැවතත්, අපි සම්පූර්ණ විප්ලව එකතු කිරීම සිහිපත් කර දෙවන පිළිතුරු මාලාව ලියන්නෙමු:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

එච්චරයි. සම්පූර්ණ පිළිතුරක් මූලයන් දෙකකින් සමන්විත වේ:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ විසඳීම සඳහා එකම පොදු මූලධර්මය භාවිතයෙන් ස්පර්ශක සහ කෝටැන්ජන්ට් සහිත සමීකරණ පහසුවෙන් විසඳා ගත හැක. ඇත්ත වශයෙන්ම, ත්‍රිකෝණමිතික කවයක් මත ස්පර්ශක සහ කෝටැන්ජන්ට් අඳින්නේ කෙසේදැයි ඔබ දන්නේ නම් මිස.

ඉහත උදාහරණවලදී, මම සයින් සහ කොසයින් වල වගු අගය භාවිතා කළෙමි: 0.5. එම. ශිෂ්‍යයා දන්නා එක් අර්ථයක් යුතුය.දැන් අපි අපේ හැකියාවන් පුළුල් කරමු අනෙකුත් සියලුම අගයන්.තීරණය කරන්න, එබැවින් තීරණය කරන්න!)

එබැවින්, අපි පහත ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණය විසඳිය යුතු යැයි සිතමු:

කෙටි වගු වල කොසයින් වල එවැනි අගයක් නොමැත. අපි මේ භයානක සත්‍ය නොසලකා හරිමු. අපි රවුමක් අඳින්න, කෝසයින් අක්ෂය මත 2/3 සලකුණු කර අනුරූප කෝණ අඳින්න. අපිට මේ පින්තූරය ලැබෙනවා.

අපි පළමු කාර්තුවේ කෝණයක් සමඟ ආරම්භකයින් සඳහා තේරුම් ගනිමු. X සමාන වන්නේ කුමක් දැයි දැන ගැනීමට, ඔවුන් වහාම පිළිතුර ලියා ඇත! අපි දන්නේ නැහැ... අසාර්ථකයි!? සන්සුන්! ගණිතය තමන්ගේම කරදරවලට පත් නොකරයි! ඇය මෙම නඩුව සඳහා චාප කෝසයින නිර්මාණය කළාය. දන්නේ නැහැ? නිෂ්ඵලයි. සොයා බලන්න, ඔබ සිතනවාට වඩා එය ඉතා පහසුයි. මෙම සබැඳියේ, "ප්‍රතිලෝම" ගැන එකදු උපක්‍රමශීලී අක්ෂර වින්‍යාසයක්වත් නැත ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත"නෑ... මේ මාතෘකාවේ ඒක අතිරික්තයි.

ඔබ දන්නේ නම්, ඔබටම කියන්න, "X යනු කෝසයින් 2/3 වන කෝණයකි." සහ වහාම, තනිකරම arccosine නිර්වචනය අනුව, අපට ලිවිය හැකිය:

අපි අතිරේක විප්ලවයන් ගැන මතක තබා ගන්නා අතර අපගේ ත්රිකෝණමිතික සමීකරණයේ මුල් මුල් මාලාව සන්සුන්ව ලියන්න:

x 1 = ආර්කෝස් 2/3 + 2π n, n ∈ Z

දෙවන කෝණය සඳහා මුල් දෙවන මාලාව ස්වයංක්රීයව පාහේ ලියා ඇත. සෑම දෙයක්ම එක හා සමානයි, x (arccos 2/3) පමණක් අඩුවක් සමඟ වනු ඇත:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

සහ සියලු දේ! මෙය නිවැරදි පිළිතුරයි. වගු අගයන්ට වඩා පහසුයි. ඔබට කිසිවක් මතක තබා ගැනීමට අවශ්‍ය නැත.) මාර්ගය වන විට, මෙම පින්තූරය චාප කොසයින් හරහා විසඳුම සමඟ ඇති බව වඩාත් අවධානයෙන් සිටින අය දකිනු ඇත. cosx = 0.5 සමීකරණය සඳහා පින්තූරයෙන් සාරභූතව වෙනස් නොවේ.

හරියටම! පොදු මූලධර්මයඑය පොදු වන්නේ එබැවිනි! මම විශේෂයෙන් සමාන පින්තූර දෙකක් ඇන්දා. රවුම අපට කෝණය පෙන්වයි x එහි කොසයින් මගින්. එය වගු කෝසයිනයකි, නැතහොත් - රවුම නොදනී. මෙය කුමන ආකාරයේ කෝණයක්ද, π / 3, හෝ කුමන ආකාරයේ චාප කෝසයිනයක්ද යන්න තීරණය කිරීම අපට භාරයි.

එකම ගීතයක් සමඟ. උදාහරණ වශයෙන්:

නැවතත් අපි රවුමක් අඳින්නෙමු, සයින් 1/3 ට සමාන සලකුණු කරන්න, කොන් අඳින්න. එය මෙම පින්තූරය හැරෙනවා:

නැවතත් පින්තූරය සමීකරණයට සමාන වේ sinx = 0.5.නැවතත් අපි පළමු කාර්තුවේ කෙළවරේ සිට ආරම්භ කරමු. එහි සයිනය 1/3 නම් x සමාන වන්නේ කුමක් ද? කිසිම ප්රශ්නයක් නැ!

එබැවින් මුල්වල පළමු ඇසුරුම සූදානම්:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

අපි දෙවන කෝණය දෙස බලමු. 0.5 වගු අගයක් සහිත උදාහරණයේ, එය සමාන විය:

π - x

එබැවින් මෙහි එය හරියටම සමාන වනු ඇත! x පමණක් වෙනස් වේ, arcsin 1/3. ඉතින් කුමක් ද!? ඔබට ආරක්ෂිතව මුල් දෙවන ඇසුරුම ලිවිය හැකිය:

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

මෙය සම්පූර්ණයෙන්ම නිවැරදි පිළිතුරකි. එය එතරම් හුරුපුරුදු බවක් නොපෙනුණත්. නමුත් එය තේරුම් ගත හැකිය, මම බලාපොරොත්තු වෙමි.)

වෘත්තයක් භාවිතයෙන් ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ විසඳන්නේ එලෙසයි. මෙම මාර්ගය පැහැදිලි සහ තේරුම්ගත හැකි ය. ත්‍රිකෝණමිතික අසමානතාවයන්හිදී, දී ඇති පරතරයක මූලයන් තෝරා ගැනීමත් සමඟ ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණවල ඉතිරි කරන්නේ ඔහුයි - ඒවා සාමාන්‍යයෙන් සෑම විටම පාහේ රවුමක විසඳනු ලැබේ. කෙටියෙන් කිවහොත්, සම්මත ඒවාට වඩා ටිකක් සංකීර්ණ වන ඕනෑම කාර්යයකදී.

දැනුම ක්‍රියාවට නැංවීමද?

ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ විසඳන්න:

මුලදී එය සරලයි, කෙලින්ම මෙම පාඩම මත.

දැන් එය වඩාත් දුෂ්කර ය.

ඉඟිය: මෙහිදී ඔබ කවය ගැන සිතා බැලිය යුතුය. පුද්ගලිකව.)

දැන් බාහිරව අව්‍යාජ ... ඒවා විශේෂ අවස්ථා ලෙසද හැඳින්වේ.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

ඉඟිය: මෙහිදී ඔබට රවුමක පිළිතුරු මාලාවක් දෙකක් ඇති අතර එකක් ඇත්තේ කොතැනදැයි සොයා බැලිය යුතුය ... සහ පිළිතුරු මාලාවක් දෙකක් වෙනුවට එකක් ලියන්නේ කෙසේද. ඔව්, අනන්ත සංඛ්‍යාවකින් එක මූලයක්වත් නැති නොවන පරිදි!)

හොඳයි, තරමක් සරලයි):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

ඉඟිය: මෙහිදී ඔබ ආර්ක්සීන්, ආර්කෝසීන් යනු කුමක්දැයි දැනගත යුතුද? චාප ස්පර්ශක, චාප ස්පර්ශක යනු කුමක්ද? බොහෝ සරල අර්ථ දැක්වීම්. නමුත් මතක තබා ගන්න එපා වගු අගයන්අවශ්ය නැහැ!)

පිළිතුරු, ඇත්ත වශයෙන්ම, අවුල් සහගත ය:

x 1= arcsin0,3 + 2πn, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0.3 + 2

සෑම දෙයක්ම සාර්ථක නොවේද? එය සිදු වේ. පාඩම නැවත කියවන්න. පමනි කල්පනාකාරීව(එහෙම යල්පැන ගිය වචනයක් තියෙනවා...) සහ සබැඳි අනුගමනය කරන්න. ප්‍රධාන සබැඳි රවුම ගැන ය. ත්‍රිකෝණමිතිය තුළ එය නොමැතිව - ඇස් බැඳගෙන පාර තරණය කරන්නේ කෙසේද. සමහර විට එය ක්රියා කරයි.)

ඔබ මෙම අඩවියට කැමති නම්...

මාර්ගය වන විට, මට ඔබ සඳහා තවත් රසවත් අඩවි කිහිපයක් තිබේ.)

ඔබට උදාහරණ විසඳීමට පුරුදු වී ඔබේ මට්ටම සොයා ගත හැකිය. ක්ෂණික සත්‍යාපනය සමඟ පරීක්ෂා කිරීම. ඉගෙනීම - උනන්දුවෙන්!)

ඔබට කාර්යයන් සහ ව්‍යුත්පන්නයන් සමඟ දැන හඳුනා ගත හැකිය.

ඔබගේ පෞද්ගලිකත්වය අපට වැදගත් වේ. මෙම හේතුව නිසා, අපි ඔබේ තොරතුරු භාවිතා කරන සහ ගබඩා කරන ආකාරය විස්තර කරන රහස්‍යතා ප්‍රතිපත්තියක් සකස් කර ඇත. කරුණාකර අපගේ රහස්‍යතා ප්‍රතිපත්තිය කියවා ඔබට කිසියම් ප්‍රශ්නයක් ඇත්නම් අපට දන්වන්න.

පුද්ගලික තොරතුරු රැස් කිරීම සහ භාවිතය

පුද්ගලික තොරතුරු යනු නිශ්චිත පුද්ගලයෙකු හඳුනා ගැනීමට හෝ සම්බන්ධ කර ගැනීමට භාවිතා කළ හැකි දත්ත වේ.

ඔබ අප හා සම්බන්ධ වන ඕනෑම අවස්ථාවක ඔබගේ පුද්ගලික තොරතුරු ලබා දෙන ලෙස ඔබෙන් ඉල්ලා සිටිය හැක.

පහත දැක්වෙන්නේ අප විසින් රැස් කළ හැකි පුද්ගලික තොරතුරු වර්ග සහ අප එම තොරතුරු භාවිතා කළ හැකි ආකාරය පිළිබඳ උදාහරණ කිහිපයකි.

අපි රැස් කරන පුද්ගලික තොරතුරු මොනවාද:

ඔබ වෙබ් අඩවියේ අයදුම්පතක් ඉදිරිපත් කරන විට, අපි එකතු කළ හැක විවිධ තොරතුරුඔබගේ නම, දුරකථන අංකය, ලිපිනය ඇතුළුව විද්යුත් තැපෑලආදිය

අපි ඔබේ පුද්ගලික තොරතුරු භාවිතා කරන ආකාරය:

අප විසින් එකතු කරන ලදී පුද්ගලික තොරතුරුඔබව සම්බන්ධ කර ගැනීමට සහ ඒ පිළිබඳව ඔබව දැනුවත් කිරීමට අපට ඉඩ සලසයි අද්විතීය දීමනා, උසස්වීම් සහ අනෙකුත් සිදුවීම් සහ ඉදිරි සිදුවීම්.
වරින් වර, අපි ඔබට වැදගත් දැනුම්දීම් සහ පණිවිඩ යැවීමට ඔබගේ පුද්ගලික තොරතුරු භාවිතා කළ හැක.
අපි විගණනය, දත්ත විශ්ලේෂණය සහ වැනි අභ්‍යන්තර අරමුණු සඳහා පුද්ගලික තොරතුරු ද භාවිතා කළ හැක විවිධ අධ්යයනඅප සපයන සේවාවන් වැඩිදියුණු කිරීමට සහ අපගේ සේවාවන් සම්බන්ධයෙන් ඔබට නිර්දේශ ලබා දීමට.
ඔබ ත්‍යාග දිනුම් ඇදීමක්, තරඟයක් හෝ ඒ හා සමාන දිරිගැන්වීමක් ඇතුළත් කරන්නේ නම්, එවැනි වැඩසටහන් පරිපාලනය කිරීමට ඔබ සපයන තොරතුරු අපට භාවිතා කළ හැක.

තෙවන පාර්ශවයන්ට හෙළිදරව් කිරීම

අපි ඔබගෙන් ලැබෙන තොරතුරු තෙවන පාර්ශවයකට හෙළි නොකරමු.

ව්යතිරේක:

අවශ්‍ය නම් - නීතියට අනුකූලව, අධිකරණ නියෝගය, නීතිමය ක්‍රියාමාර්ග වලදී සහ / හෝ මහජන ඉල්ලීම් හෝ ඉල්ලීම් මත පදනම්ව රජයේ කාර්යාලරුසියානු සමූහාණ්ඩුවේ භූමිය මත - ඔබගේ පුද්ගලික තොරතුරු හෙළි කරන්න. ආරක්ෂාව, නීතිය බලාත්මක කිරීම හෝ වෙනත් මහජනතාව සඳහා එවැනි හෙළිදරව් කිරීම අවශ්‍ය හෝ සුදුසු බව අපි තීරණය කරන්නේ නම් අපි ඔබ ගැන තොරතුරු හෙළිදරව් කළ හැකිය. වැදගත් අවස්ථා.
ප්‍රතිසංවිධානයක්, ඒකාබද්ධ කිරීමක් හෝ විකිණීමක දී, අපි එකතු කරන පුද්ගලික තොරතුරු අදාළ තෙවන පාර්ශවීය අනුප්‍රාප්තිකයා වෙත මාරු කළ හැකිය.

පුද්ගලික තොරතුරු ආරක්ෂා කිරීම

ඔබගේ පුද්ගලික තොරතුරු අලාභ, සොරකම් සහ අනිසි භාවිතය මෙන්ම අනවසරයෙන් ප්‍රවේශ වීම, හෙළිදරව් කිරීම, වෙනස් කිරීම් සහ විනාශ කිරීම් වලින් ආරක්ෂා කිරීමට - පරිපාලන, තාක්ෂණික සහ භෞතික ඇතුළු - අපි පූර්වාරක්ෂාව ගන්නෙමු.

සමාගම් මට්ටමින් ඔබේ පෞද්ගලිකත්වය පවත්වාගෙන යාම

ඔබගේ පුද්ගලික තොරතුරු සුරක්ෂිත බව සහතික කිරීම සඳහා, අපි අපගේ සේවකයින්ට පෞද්ගලිකත්වය සහ ආරක්ෂක භාවිතයන් සන්නිවේදනය කරන අතර පුද්ගලිකත්ව භාවිතයන් දැඩි ලෙස බලාත්මක කරන්නෙමු.

වීඩියෝ පාඨමාලාව "A ලබා ගන්න" ඔබට අවශ්ය සියලු මාතෘකා ඇතුළත් වේ සාර්ථක බෙදාහැරීමලකුණු 60-65 සඳහා ගණිතය භාවිතා කරන්න. ගණිතයේ පැතිකඩ භාවිතයේ 1-13 සියලු කාර්යයන් සම්පූර්ණ කරන්න. ගණිතයේ මූලික භාවිතය සමත් වීමට ද සුදුසු ය. ඔබට ලකුණු 90-100ක් සමඟ විභාගය සමත් වීමට අවශ්‍ය නම්, ඔබ විනාඩි 30 කින් සහ වැරදි නොමැතිව 1 කොටස විසඳිය යුතුය!

10-11 ශ්‍රේණි සඳහා මෙන්ම ගුරුවරුන් සඳහා විභාගය සඳහා සූදානම් වීමේ පාඨමාලාව. විභාගයේ 1 වන කොටස ගණිතය (පළමු ගැටළු 12) සහ ගැටළු 13 (ත්‍රිකෝණමිතිය) විසඳීමට ඔබට අවශ්‍ය සියල්ල. මෙය ඒකාබද්ධ රාජ්‍ය විභාගයේ ලකුණු 70 කට වඩා වැඩි වන අතර ලකුණු සියයක් ඇති ශිෂ්‍යයෙකුට හෝ මානවවාදියෙකුට ඔවුන් නොමැතිව කළ නොහැක.

අවශ්ය සියලු න්යාය. ඉක්මන් මාර්ගවිභාගයේ විසඳුම්, උගුල් සහ රහස්. FIPI කාර්යයන් බැංකුවේ 1 කොටසෙහි අදාළ සියලු කාර්යයන් විශ්ලේෂණය කර ඇත. පාඨමාලාව USE-2018 හි අවශ්‍යතාවලට සම්පූර්ණයෙන්ම අනුකූල වේ.

පාඨමාලාවේ විශාල මාතෘකා 5 ක්, පැය 2.5 බැගින් අඩංගු වේ. සෑම මාතෘකාවක්ම මුල සිට සරලව හා පැහැදිලිව දක්වා ඇත.

විභාග කාර්යයන් සිය ගණනක්. පෙළ ගැටළු සහ සම්භාවිතා න්‍යාය. සරල සහ මතක තබා ගැනීමට පහසු ගැටළු විසඳීමේ ඇල්ගොරිතම. ජ්යාමිතිය. න්‍යාය, විමර්ශන ද්‍රව්‍ය, සියලු වර්ගවල USE කාර්යයන් විශ්ලේෂණය කිරීම. ස්ටීරියෝමිතිය. විසඳීම සඳහා කපටි උපක්රම, ප්රයෝජනවත් වංචා පත්රිකා, අවකාශීය පරිකල්පනය වර්ධනය කිරීම. මුල සිට ත්‍රිකෝණමිතිය - කාර්යයට 13. තදබදය වෙනුවට අවබෝධය. සංකීර්ණ සංකල්ප පිළිබඳ දෘශ්ය පැහැදිලි කිරීම. වීජ ගණිතය. මූලයන්, බලතල සහ ලඝුගණක, ශ්‍රිතය සහ ව්‍යුත්පන්න. විසඳුම සඳහා පදනම අභියෝගාත්මක කාර්යයන්විභාගයේ කොටස් 2 ක්.

ත්රිකෝණමිතික සමීකරණ විසඳීම සඳහා ක්රම

හැඳින්වීම 2

ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ විසඳීමේ ක්‍රම 5

වීජීය 5

එකම නමේ ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතවල සමානාත්මතාවයේ කොන්දේසිය භාවිතා කරමින් සමීකරණ විසඳීම 7

සාධකය 8

සමජාතීය සමීකරණයකට අඩු කිරීම 10

සහායක කෝණය 11 හඳුන්වාදීම

නිෂ්පාදනය එකතුව 14 ට පරිවර්තනය කරන්න

විශ්ව ආදේශනය 14

නිගමනය 17

හැදින්වීම

දහවන ශ්‍රේණිය දක්වා, ඉලක්කය කරා ගෙන යන බොහෝ අභ්‍යාසවල ක්‍රියා අනුපිළිවෙල, රීතියක් ලෙස, නිසැක ලෙස අර්ථ දක්වා ඇත. උදාහරණයක් ලෙස, රේඛීය සහ චතුරස්‍ර සමීකරණ සහ අසමානතා, භාගික සමීකරණ සහ චතුරස්‍ර වලට අඩු කළ හැකි සමීකරණ යනාදිය. සඳහන් කර ඇති එක් එක් උදාහරණ විසඳීමේ මූලධර්මය විස්තරාත්මකව විශ්ලේෂණය නොකර, ඔවුන්ගේ සාර්ථක විසඳුම සඳහා අවශ්ය වන පොදු දේ අපි සටහන් කරමු.

බොහෝ අවස්ථාවලදී, ඔබ කුමන ආකාරයේ කාර්යයක්ද යන්න තීරණය කළ යුතුය, ඉලක්කය කරා ගෙන යන ක්රියා අනුපිළිවෙල මතක තබා ගන්න, සහ මෙම ක්රියාවන් සිදු කරන්න. සමීකරණ විසඳීමේ ක්‍රම ප්‍රගුණ කිරීමේදී ශිෂ්‍යයාගේ සාර්ථකත්වය හෝ අසාර්ථකත්වය ප්‍රධාන වශයෙන් රඳා පවතින්නේ සමීකරණයේ වර්ගය නිවැරදිව තීරණය කිරීමට සහ එහි විසඳුමේ සියලුම අදියරවල අනුපිළිවෙල මතක තබා ගැනීමට ඔහුට කොපමණ ප්‍රමාණයක් හැකිවේද යන්න මත බව පැහැදිලිය. ඇත්ත වශයෙන්ම, මෙය ශිෂ්යයාට සමාන පරිවර්තනයන් සහ ගණනය කිරීම් සිදු කිරීමට කුසලතා ඇති බව උපකල්පනය කරයි.

ශිෂ්‍යයෙකුට ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ හමු වූ විට සම්පූර්ණයෙන්ම වෙනස් තත්වයක් ඇතිවේ. ඒ සමගම, සමීකරණය ත්රිකෝණමිතික බව තහවුරු කිරීම අපහසු නැත. ධනාත්මක ප්රතිඵලය කරා ගෙන යන ක්රියා මාර්ගයක් සොයා ගැනීමේදී දුෂ්කරතා පැන නගී. තවද මෙහිදී සිසුවා ගැටලු දෙකකට මුහුණ දෙයි. විසින් පෙනුමසමීකරණ වර්ගය තීරණය කිරීමට අපහසු වේ. වර්ගය නොදැන, පවතින දුසිම් කිහිපයකින් අපේක්ෂිත සූත්‍රය තෝරා ගැනීම පාහේ කළ නොහැක්කකි.

සිසුන් සොයා ගැනීමට උපකාර කිරීමට නිවැරදි මාර්ගයත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණවල සංකීර්ණ ලිබ්‍රින්තයක් තුළ, ඒවා මුලින්ම සමීකරණ වෙත හඳුන්වා දෙනු ලබන අතර, නව විචල්‍යයක් හඳුන්වා දීමෙන් පසු ඒවා වර්ග වලට අඩු වේ. ඉන්පසු සමජාතීය සමීකරණ විසඳා ඒවාට අඩු කරන්න. සෑම දෙයක්ම, රීතියක් ලෙස, සමීකරණ සමඟ අවසන් වේ, එය සාධකකරණය කිරීමට අවශ්ය විසඳුම සඳහා වම් පැත්ත, ඉන්පසු එක් එක් සාධක ශුන්‍යයට සම කිරීම.

පාඩම් වල විශ්ලේෂණය කර ඇති සමීකරණ දුසිම් එකහමාරක් පැහැදිලිවම ශිෂ්‍යයාට ත්‍රිකෝණමිතික "මුහුද" මත ස්වාධීනව යාත්‍රා කිරීමට ප්‍රමාණවත් නොවන බව වටහා ගත් ගුරුවරයා තමාගෙන් තවත් නිර්දේශ කිහිපයක් එකතු කරයි.

ත්රිකෝණමිතික සමීකරණය විසඳීම සඳහා, අපි උත්සාහ කළ යුතුය:

සමීකරණයේ ඇතුළත් සියලුම කාර්යයන් "එකම කෝණ" වෙත ගෙන එන්න;

සමීකරණය "එකම කාර්යයන්" වෙත ගෙන එන්න;

සමීකරණයේ වම් පැත්ත සාධක කරන්න, ආදිය.

එහෙත්, ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණවල ප්‍රධාන වර්ග සහ ඒවායේ විසඳුම සෙවීමේ මූලධර්ම කිහිපයක් පිළිබඳ දැනුම තිබියදීත්, බොහෝ සිසුන් තවමත් එක් එක් සමීකරණය ඉදිරිපිට අවුල් සහගත තත්වයක සිටින අතර එය පෙර විසඳන ලද ඒවාට වඩා තරමක් වෙනස් වේ. එක් හෝ තවත් සමීකරණයක් තිබීම, එක් අවස්ථාවක ද්විත්ව කෝණ සූත්‍ර යෙදීම අවශ්‍ය වන්නේ ඇයිද යන්න පැහැදිලි නැත, අනෙක - අර්ධ කෝණය සහ තෙවනුව - එකතු කිරීමේ සූත්‍ර යනාදිය.

අර්ථ දැක්වීම 1.ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණයක් යනු නොදන්නා දේ ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතවල ලකුණ යටතේ අන්තර්ගත වන සමීකරණයකි.

අර්ථ දැක්වීම 2.ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණයක් එහි ඇතුළත් සියලුම ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතවලට සමාන තර්ක තිබේ නම් එකම කෝණ ඇතැයි කියනු ලැබේ. ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණයක් එහි ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතවලින් එකක් පමණක් අඩංගු වන්නේ නම් එම ශ්‍රිතයන් ඇති බව කියනු ලැබේ.

අර්ථ දැක්වීම 3.ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත අඩංගු මොනොමයක උපාධිය යනු එහි ඇතුළත් ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතවල බලවල ඝාතක එකතුවයි.

අර්ථ දැක්වීම 4.සමීකරණයක් සමජාතීය ලෙස හැඳින්වේ, එහි ඇති සියලුම ඒකමතික සමාන උපාධියක් තිබේ නම්. මෙම උපාධිය සමීකරණයේ අනුපිළිවෙල ලෙස හැඳින්වේ.

අර්ථ දැක්වීම 5.ශ්‍රිත පමණක් අඩංගු ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණය පව්හා cos.

ත්රිකෝණමිතික සමීකරණ විසඳීම සඳහා ක්රම.

ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණවල විසඳුම අදියර දෙකකින් සමන්විත වේ: සමීකරණය එහි සරලම ස්වරූපය ලබා ගැනීම සඳහා පරිවර්තනය කිරීම සහ එහි ප්‍රතිඵලයක් ලෙස සරලම ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණයේ විසඳුම. ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ විසඳීම සඳහා මූලික ක්‍රම හතක් ඇත.

මම. වීජීය ක්රමය.මෙම ක්‍රමය වීජ ගණිතයෙන් හොඳින් දනී. (විචල්‍ය ප්‍රතිස්ථාපන ක්‍රමය සහ ආදේශ කිරීම).

සමීකරණ විසඳන්න.

අපි අංකනය හඳුන්වා දෙමු x=2 පව්3 ටී, අපිට ලැබෙනවා

මෙම සමීකරණය විසඳීම, අපට ලැබෙන්නේ:
හෝ

එම. ලිවිය හැක

සංඥා පැමිණීම හේතුවෙන් ලබා ගත් විසඳුම ලියන විට උපාධිය
ලිවීමේ තේරුමක් නැත.

පිළිතුර:

දක්වන්න

අපිට ලැබෙනවා චතුරස්රාකාර සමීකරණය
. එහි මූලයන් සංඛ්‍යා වේ
හා
. එබැවින් මෙම සමීකරණය සරලම ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ දක්වා අඩු වේ
හා
. ඒවා විසඳීම, අපි එය සොයා ගනිමු
හෝ
.

පිළිතුර:
;
.

දක්වන්න

කොන්දේසිය තෘප්තිමත් නොකරයි

අදහස් වේ

පිළිතුර:

අපි සමීකරණයේ වම් පැත්ත පරිවර්තනය කරමු:

මේ අනුව, මෙම ආරම්භක සමීකරණය මෙසේ ලිවිය හැකිය:

, i.e.

හඟවනවා
, අපිට ලැබෙනවා
මෙම චතුරස්රාකාර සමීකරණය විසඳීම, අපට ඇත්තේ:

කොන්දේසිය තෘප්තිමත් නොකරයි

මුල් සමීකරණයේ විසඳුම අපි ලියන්නෙමු:

පිළිතුර:

ආදේශ කිරීම
මෙම සමීකරණය චතුරස්රාකාර සමීකරණයකට අඩු කරයි
. එහි මූලයන් සංඛ්‍යා වේ
හා
. නිසා
, එවිට ලබා දී ඇති සමීකරණයමූලයන් නැත.

පිළිතුර: මුල් නැත.

II. එකම නමේ ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතවල සමානාත්මතාවයේ කොන්දේසිය භාවිතා කරමින් සමීකරණ විසඳීම.

ඒ)
, නම්

බී)
, නම්

තුල)
, නම්

මෙම කොන්දේසි භාවිතා කරමින්, පහත සමීකරණවල විසඳුම සලකා බලන්න:

a) අයිතමයේ සඳහන් කර ඇති දේ භාවිතා කරමින්, සමීකරණයට විසඳුමක් තිබේ නම් සහ එසේ නම් පමණක් බව අපට පෙනී යයි
.

මෙම සමීකරණය විසඳීම, අපි සොයා ගනිමු
.

අපට විසඳුම් කණ්ඩායම් දෙකක් තිබේ:

.

7) සමීකරණය විසඳන්න:
.

b) කොටසෙහි කොන්දේසිය භාවිතා කරමින් අපි එය නිගමනය කරමු
.

මෙම චතුරස්රාකාර සමීකරණ විසඳීම, අපට ලැබෙන්නේ:

8) සමීකරණය විසඳන්න
.

මෙම සමීකරණයෙන් අපි එය නිගමනය කරමු. මෙම චතුරස්රාකාර සමීකරණය විසඳීම, අපි එය සොයා ගනිමු

.

III. සාධකකරණය.

අපි උදාහරණ සමඟ මෙම ක්රමය සලකා බලමු.

9) සමීකරණය විසඳන්න
.

විසඳුමක්. සමීකරණයේ සියලුම නියමයන් වමට ගෙන යමු: .

අපි සමීකරණයේ වම් පැත්තේ ප්‍රකාශනය පරිවර්තනය කර සාධක කරන්නෙමු:
.

1)
2)

නිසා
හා
අගය null ගන්න එපා

ඒ සමඟම, අපි කොටස් දෙකම වෙන් කරමු

සඳහා සමීකරණ
,

පිළිතුර:

10) සමීකරණය විසඳන්න:

විසඳුමක්.

හෝ

පිළිතුර:

11) සමීකරණය විසඳන්න

විසඳුමක්:

1)
2)
3)

පිළිතුර:

IV. සමජාතීය සමීකරණයකට අඩු කිරීම.

විසඳීමට සමජාතීය සමීකරණයඅවශ්ය:

එහි සියලුම සාමාජිකයින් වම් පැත්තට ගෙන යන්න;

සියලුම පොදු සාධක වරහන් වලින් ඉවතට දමන්න;

සියලු සාධක සහ වරහන් බිංදුවට සමාන කරන්න;

ශුන්‍යයට සම කළ වරහන් මගින් බෙදිය යුතු අඩු අංශකයේ සමජාතීය සමීකරණයක් ලබා දෙයි
(හෝ
) ජ්යෙෂ්ඨ උපාධිය තුළ;

විසදුම් ලැබුණා වීජීය සමීකරණයසාපේක්ෂව
.

උදාහරණ සලකා බලන්න:

12) සමීකරණය විසඳන්න:

විසඳුමක්.

සමීකරණයේ දෙපැත්තෙන්ම බෙදන්න
,

අංකනය හඳුන්වා දීම
, නාමය

මෙම සමීකරණයේ මූලයන් වන්නේ:

මෙතැන් සිට 1)
2)

පිළිතුර:

13) සමීකරණය විසඳන්න:

විසඳුමක්. ද්විත්ව කෝණ සූත්‍ර සහ මූලික භාවිතා කිරීම ත්‍රිකෝණමිතික අනන්‍යතාවය, අපි මෙම සමීකරණය අර්ධ තර්කයකට අඩු කරමු:

සමාන නියමයන් අඩු කිරීමෙන් පසු, අපට ඇත්තේ:

සමජාතීය අවසාන සමීකරණය බෙදීම
, අපිට ලැබෙනවා

මම නම් කරන්නම්
, අපි චතුරස්රාකාර සමීකරණය ලබා ගනිමු
, එහි මූලයන් සංඛ්‍යා වේ

මේ ක්රමයෙන්

ප්රකාශනය
දී අතුරුදහන් වේ
, i.e. හිදී
,
.

සමීකරණය සඳහා අපගේ විසඳුම මෙම සංඛ්යා ඇතුළත් නොවේ.

පිළිතුර:
, .

වී. සහායක කෝණයක් හඳුන්වාදීම.

පෝරමයේ සමීකරණයක් සලකා බලන්න

කොහෙද a, b, c- සංගුණක, x- නොදන්නා.

මෙම සමීකරණයේ දෙපැත්තෙන්ම බෙදන්න

දැන් සමීකරණයේ සංගුණක වලට සයින් සහ කෝසයින් වල ගුණ ඇත, එනම්: ඒ සෑම එකකම මාපාංකය එකකට නොවැඩි වන අතර ඒවායේ වර්ගවල එකතුව 1 ට සමාන වේ.

එවිට අපට ඒවා ඒ අනුව ලේබල් කළ හැකියි
(මෙතන - සහායක කෝණය) සහ අපගේ සමීකරණය පෝරමය ගනී: .

ඉන්පසු

සහ ඔහුගේ තීරණය

හඳුන්වා දුන් අංකනය එකිනෙකට හුවමාරු කළ හැකි බව සලකන්න.

14) සමීකරණය විසඳන්න:

විසඳුමක්. මෙතන
, එබැවින් අපි සමීකරණයේ දෙපැත්තම බෙදන්නෙමු

පිළිතුර:

15) සමීකරණය විසඳන්න

විසඳුමක්. නිසා
, එවිට මෙම සමීකරණය සමීකරණයට සමාන වේ

නිසා
, එවිට එවැනි කෝණයක් තිබේ
,
(එම.
).

අපිට තියනවා

නිසා
, එවිට අපට අවසානයේ ලැබෙන්නේ:

පෝරමයේ සමීකරණයකට විසඳුමක් තිබේ නම් සහ එසේ නම් පමණක් බව සලකන්න

16) සමීකරණය විසඳන්න:

මෙම සමීකරණය විසඳීම සඳහා, අපි එකම තර්ක සමඟ ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත සමූහ කරමු

සමීකරණයේ දෙපැත්තම දෙකකින් බෙදන්න

අපි ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතවල එකතුව නිෂ්පාදනයක් බවට පරිවර්තනය කරමු:

පිළිතුර:

VI. නිෂ්පාදනය එකතුවට පරිවර්තනය කරන්න.

ඊට අනුරූප සූත්‍ර මෙහි භාවිතා වේ.

17) සමීකරණය විසඳන්න:

විසඳුමක්. වම් පැත්ත එකතුවක් බවට පරිවර්තනය කරමු:

VII.විශ්ව ආදේශනය.

මෙම සූත්‍ර සියල්ලටම සත්‍ය වේ

ආදේශ කිරීම
විශ්වීය ලෙස හැඳින්වේ.

18) සමීකරණය විසඳන්න:

විසඳුම: ප්රතිස්ථාපනය සහ
හරහා ඔවුන්ගේ ප්රකාශනයට
සහ දක්වන්න
.

අපිට ලැබෙනවා තාර්කික සමීකරණය
, හතරැස් බවට පරිවර්තනය වේ
.

මෙම සමීකරණයේ මූලයන් සංඛ්‍යා වේ
.

එමනිසා, ගැටළුව සමීකරණ දෙකක් විසඳීම දක්වා අඩු විය
.

අපි ඒක හොයාගන්නවා
.

අගය බලන්න
ලබා දී ඇති අගය ආදේශ කිරීම - පරීක්ෂා කිරීම මගින් තහවුරු කරන ලද මුල් සමීකරණය තෘප්තිමත් නොවේ ටීමුල් සමීකරණයට.

පිළිතුර:
.

අදහස් දක්වන්න. 18 සමීකරණය වෙනස් ආකාරයකින් විසඳිය හැකිය.

මෙම සමීකරණයේ දෙපැත්තම 5 න් බෙදන්න (එනම්
):
.

නිසා
, එවිට අංකයක් ඇත
, කුමක්
හා
. එබැවින් සමීකරණය වන්නේ:
හෝ
. මෙතැන් සිට අපි එය සොයා ගනිමු
කොහෙද
.

19) සමීකරණය විසඳන්න
.

විසඳුමක්. කාර්යයන් සිට
හා
ඇති ඉහළම අගය 1 ට සමාන වේ, එවිට ඒවායේ එකතුව 2 ට සමාන වේ
හා
, ඒ සමගම, එනම්
.

පිළිතුර:
.

මෙම සමීකරණය විසඳන විට, ශ්‍රිතවල මායිම් සහ භාවිතා කරන ලදී.

නිගමනය.

"ත්රිකෝණමිතික සමීකරණවල විසඳුම්" යන මාතෘකාව මත වැඩ කිරීම, පහත සඳහන් නිර්දේශ අනුගමනය කිරීම සෑම ගුරුවරයෙකුටම ප්රයෝජනවත් වේ:

ත්රිකෝණමිතික සමීකරණ විසඳීම සඳහා ක්රම ක්රමවත් කරන්න.

සමීකරණයේ විශ්ලේෂණය සිදු කිරීම සඳහා පියවර සහ එක් හෝ වෙනත් විසඳුම් ක්රමයක් භාවිතා කිරීමේ කඩිනම් සංඥා ඔබම තෝරා ගන්න.

ක්‍රමය ක්‍රියාත්මක කිරීමේදී ක්‍රියාකාරකම් ස්වයං පාලනයේ ක්‍රම ගැන සිතීම.

අධ්‍යයනය කරන ලද එක් එක් ක්‍රමය සඳහා "ඔබේ" සමීකරණ සෑදීමට ඉගෙන ගන්න.

අයදුම්පත් අංක 1

සමජාතීය හෝ අඩු කළ හැකි සමීකරණ විසඳන්න.

1.	නියෝජිත
	නියෝජිත

	නියෝජිත
5.	නියෝජිත
	නියෝජිත
7.	නියෝජිත
	නියෝජිත