a කෝණයේ සයින් යනු කුමක්ද? මූලික ත්රිකෝණමිතික අනන්‍යතා
සයිනස් ඉන් ප්රධාන එකකි ත්රිකෝණමිතික ශ්රිත, එහි යෙදුම ජ්‍යාමිතියට පමණක් සීමා නොවේ. ඉංජිනේරු කැල්කියුලේටර වැනි ත්රිකෝණමිතික ශ්රිත ගණනය කිරීම සඳහා වගු සෑම විටම අත ළඟ නැති අතර විවිධ ගැටලු විසඳීමට සයින් ගණනය කිරීම ඇතැම් විට අවශ්ය වේ. පොදුවේ ගත් කල, සයින් ගණනය කිරීම චිත්‍ර ඇඳීමේ කුසලතා සහ ත්රිකෝණමිතික අනන්‍යතා පිළිබඳ දැනුම තහවුරු කිරීමට උපකාරී වේ.
පාලක සහ පැන්සල් ක්රීඩා
සරල කාර්යයක්: කඩදාසි මත ඇඳ ඇති කෝණයක සයින් සොයා ගන්නේ කෙසේද? විසඳීමට, ඔබට නිතිපතා පාලකයෙකු, ත්රිකෝණයක් (හෝ මාලිමා යන්ත්ර) සහ පැන්සලක් අවශ්ය වේ. කෝණයක සයින් ගණනය කිරීමේ සරලම ක්රමය නම් ත්රිකෝණයක දුර කකුල සෘජු කෝණයකින් දිගු පැත්තකින් බෙදීමයි - කර්ණය. මේ අනුව, පළමුව ඔබ කෝණයේ ශීර්ෂයෙන් අත්තනෝමතික දුරින් එක් කිරණකට ලම්බක රේඛාවක් ඇඳීමෙන් සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණයක රූපයට උග්ර කෝණය සම්පූර්ණ කළ යුතුය. හරියටම 90 ° ක කෝණයක් නිරීක්ෂණය කිරීම අවශ්ය වනු ඇත, ඒ සඳහා අපට ලිපිකරු ත්රිකෝණයක් අවශ්ය වේ.
මාලිමා යන්ත්‍රයක් භාවිතා කිරීම තරමක් නිවැරදි නමුත් වැඩි කාලයක් ගතවනු ඇත. එක් කිරණ මත, ඔබට නිශ්චිත දුරකින් ලකුණු 2 ක් සලකුණු කළ යුතුය, මාලිමාවේ අරය සකස් කරන්න, දළ වශයෙන් දුර සමාන වේලක්ෂ්ය අතර, සහ මෙම රේඛාවල ඡේදනය වන තුරු මෙම ලක්ෂ්යවල මධ්යස්ථාන සහිත අර්ධ වෘත්තාකාර අඳින්න. අපගේ කවවල ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍ය එකිනෙක සම්බන්ධ කිරීමෙන්, අපගේ කෝණයේ කිරණට දැඩි ලම්බකයක් ලැබෙනු ඇත, එය ඉතිරිව ඇත්තේ එය වෙනත් කිරණකින් ඡේදනය වන තෙක් රේඛාව දිගු කිරීමට පමණි.
ප්රතිඵලයක් වශයෙන් ත්රිකෝණයේ දී, ඔබ පාලකයෙකු සමඟ එක් කිරණ මත කෙළවරට විරුද්ධ පැත්ත සහ දිගු පැත්ත මැනිය යුතුය. පළමු මිනුමෙහි අනුපාතය දෙවනුවට උග්ර කෝණයේ සයින්හි අපේක්ෂිත අගය වනු ඇත.
90°ට වැඩි කෝණයක් සඳහා සයින් සොයන්න
අඳුරු කෝණයක් සඳහා, කාර්යය වඩා දුෂ්කර නොවේ. අප උනන්දුවක් දක්වන කෝණයේ එක් කිරණ සමඟ සරල රේඛාවක් සෑදීමට පාලකයෙකු භාවිතා කරමින් ප්රතිවිරුද්ධ දිශාවට ශීර්ෂයෙන් කිරණ ඇඳීම අවශ්ය වේ. ප්‍රති result ලය වූ උග්ර කෝණය සමඟ, ඔබ ඉහත විස්තර කර ඇති පරිදි ඉදිරියට යා යුතුය, යාබද කෝණවල සයින, 180 of සංවර්ධිත කෝණයක් සාදයි, සමාන වේ.
අනෙකුත් ත්රිකෝණමිතික ශ්රිත වලින් සයින් ගණනය කිරීම
එසේම, කෝණයේ අනෙකුත් ත්රිකෝණමිතික ශ්රිතවල අගයන් හෝ අවම වශයෙන් ත්රිකෝණයේ පැතිවල දිග දන්නේ නම් සයින් ගණනය කළ හැකිය. ත්රිකෝණමිතික අනන්‍යතා මේ සඳහා අපට උපකාරී වනු ඇත. අපි පොදු උදාහරණ දෙස බලමු.
කෝණයක දන්නා කෝසයින් සමඟ සයින් සොයා ගන්නේ කෙසේද? පයිතගරස් ප්‍රමේයයෙන් එන පළමු ත්රිකෝණමිතික අනන්‍යතාවය පවසන්නේ එකම කෝණයක සයින් සහ කෝසයින් වර්ගවල එකතුව එකකට සමාන බවයි.
දන්නා කෝණයක ස්පර්ශකයක් සහිත සයින් සොයා ගන්නේ කෙසේද? ස්පර්ශකය ලබා ගන්නේ ඈත පාදය ආසන්නයෙන් බෙදීමෙන් හෝ සයින් කොසයින් මගින් බෙදීමෙනි. මේ අනුව, සයින් කෝසයින් සහ ස්පර්ශකයේ ගුණිතය වනු ඇත, සයින් වර්ගය මෙම නිෂ්පාදනයේ වර්ග වේ. අපි පළමු ත්රිකෝණමිතික අනන්‍යතාවයට අනුව ඒකත්වය සහ හතරැස් සයින් අතර වෙනස සමඟ වර්ග කෝසයින් ප්‍රතිස්ථාපනය කරන අතර, සරල උපාමාරු හරහා, අපි සයින් ගණනය කිරීම සඳහා පිළිවෙලින් ස්පර්ශකය හරහා වර්ග සයින් ගණනය කිරීමට සමීකරණය ගෙන එන්නෙමු. ලබාගත් ප්රතිඵලයෙන් root උපුටා ගන්න.
කෝණයක දන්නා කෝටැන්ජන්ට් එකක් සමඟ සයින් සොයා ගන්නේ කෙසේද? කෝටැන්ජන්ට් වල අගය ගණනය කළ හැක්කේ පාදයේ කෝණයෙන් ආසන්නයේ දිග දුරින් ඇති දිගෙන් බෙදීමෙන් සහ කෝසයින් සයිනයෙන් බෙදීමෙනි, එනම් කෝටැන්ජන්ට් යනු ස්පර්ශකයේ ප්‍රතිලෝම ශ්‍රිතයයි. අංක 1 ට අදාළව. සයින් ගණනය කිරීම සඳහා, ඔබට tg α \u003d 1 / ctg α සූත්‍රය භාවිතා කර ස්පර්ශකය ගණනය කළ හැකි අතර දෙවන විකල්පයේ සූත්‍රය භාවිතා කරන්න. ඔබට ස්පර්ශකය සමඟ ප්‍රතිසමයෙන් සෘජු සූත්‍රයක් ද ලබා ගත හැක, එය මේ ආකාරයෙන් පෙනෙනු ඇත.
ත්රිකෝණයක පැති තුනේ සයිනය සොයා ගන්නේ කෙසේද?
ඍජු ත්රිකෝණයක් පමණක් නොව ඕනෑම ත්රිකෝණයක නොදන්නා පැත්තේ දිග සෙවීමට සූත්‍රයක් තිබේ. දන්නා පක්ෂප්රතිවිරුද්ධ කෝණයේ කෝසයිනයේ ත්රිකෝණමිතික ශ්රිතය භාවිතා කිරීම. ඇය මේ වගේ.
පාසල් සිසුන් විශාලතම දුෂ්කරතා සමඟ කටයුතු කරන ගණිතයේ එක් අංශයක් වන්නේ ත්‍රිකෝණමිතියයි. පුදුමයක් නොවේ: මෙම දැනුමේ ක්ෂේත්‍රය නිදහසේ ප්‍රගුණ කිරීම සඳහා, ඔබට අවකාශීය චින්තනය, සූත්ර භාවිතා කරමින් සයින, කෝසයින, ස්පර්ශක, කෝටැන්ජන්ට් සොයා ගැනීමේ හැකියාව, ප්‍රකාශන සරල කිරීම සහ ගණනය කිරීම් වලදී pi අංකය භාවිතා කිරීමට හැකි වීම අවශ්ය වේ. මීට අමතරව, ඔබට ප්රමේය ඔප්පු කිරීමේදී ත්රිකෝණමිතිය යෙදීමට හැකි විය යුතු අතර, මේ සඳහා දියුණු ගණිතමය මතකයක් හෝ සංකීර්ණ තාර්කික දාමයන් අඩු කිරීමේ හැකියාවක් අවශ්ය වේ.
ත්‍රිකෝණමිතියේ මූලාරම්භය
මෙම විද්යාව සමඟ දැන ගැනීම ආරම්භ විය යුත්තේ කෝණයේ සයින්, කෝසයින් සහ ස්පර්ශක නිර්වචනයෙනි, නමුත් පළමුව ඔබ ත්රිකෝණමිතිය සාමාන්‍යයෙන් කරන්නේ කුමක්දැයි සොයා බැලිය යුතුය.
ඓතිහාසික වශයෙන්, ගණිත විද්යාවේ මෙම අංශයේ අධ්‍යයනයේ ප්රධාන අරමුණ වූයේ සෘජුකෝණාස්‍ර ත්රිකෝණ ය. අංශක 90 ක කෝණයක් තිබීම නිසා පැති දෙකක් සහ එක් කෝණයක් හෝ කෝණ දෙකක් සහ එක් පැත්තක් භාවිතා කරමින් සලකා බලනු ලබන රූපයේ සියලුම පරාමිතීන්ගේ අගයන් තීරණය කිරීමට කෙනෙකුට ඉඩ සලසන විවිධ මෙහෙයුම් සිදු කිරීමට හැකි වේ. අතීතයේ දී, මිනිසුන් මෙම රටාව දුටු අතර, ගොඩනැගිලි, නාවික, තාරකා විද්යාව, සහ කලාව ඉදිකිරීම සඳහා ක්රියාශීලීව භාවිතා කිරීමට පටන් ගත්හ.
පළමු අදියර
මුලදී, මිනිසුන් කෝණ සහ පැති සම්බන්ධය ගැන කතා කළේ සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණවල උදාහරණය මත පමණි. එවිට භාවිතයේ සීමාවන් පුළුල් කිරීමට හැකි වන පරිදි විශේෂ සූත්ර සොයා ගන්නා ලදී එදිනෙදා ජීවිතයමෙම ගණිත අංශය.
අද පාසැලේ ත්රිකෝණමිතිය පිළිබඳ අධ්යයනය ආරම්භ වන්නේ සෘජුකෝණාස්‍ර ත්‍රිකෝණවලින් වන අතර ඉන් පසුව ලබාගත් දැනුම භෞතික විද්යාව සහ වියුක්ත ගැටලු විසඳීම සඳහා සිසුන් විසින් භාවිතා කරනු ලැබේ. ත්රිකෝණමිතික සමීකරණ, උසස් පාසලේදී ආරම්භ වන වැඩ.
ගෝලාකාර ත්රිකෝණමිතිය
පසුව, විද්යාව සංවර්ධනයේ මීළඟ මට්ටමට ළඟා වූ විට, වෙනත් නීති අදාළ වන ගෝලාකාර ජ්‍යාමිතිය තුළ සයින්, කෝසයින්, ස්පර්ශක, කෝටැන්ජන්ට් සහිත සූත්ර භාවිතා කිරීමට පටන් ගත් අතර ත්රිකෝණයක කෝණවල එකතුව සෑම විටම අංශක 180 ට වඩා වැඩි වේ. මෙම කොටස පාසැලේදී අධ්යයනය කර නැත, නමුත් එහි පැවැත්ම ගැන දැන ගැනීම අවශ්ය වේ, අවම වශයෙන් පෘථිවි පෘෂ්ඨය සහ වෙනත් ඕනෑම ග්‍රහලෝකයක මතුපිට උත්තල බැවින්, එයින් අදහස් වන්නේ ඕනෑම මතුපිට සලකුණු "චාප හැඩැති" වනු ඇති බවයි. ත්රිමාණ අවකාශය.
ගෝලය සහ නූල් ගන්න. නූල් ගෝලයේ ඇති ඕනෑම ලක්ෂ්‍ය දෙකකට අමුණන්න එවිට එය තද වේ. අවධානය යොමු කරන්න - එය චාපයක හැඩය ලබාගෙන ඇත. භූ විද්යාව, තාරකා විද්යාව සහ අනෙකුත් න්‍යායික සහ ව්‍යවහාරික ක්ෂේත්‍රවල භාවිතා වන ගෝලාකාර ජ්‍යාමිතිය ගනුදෙනු කරන්නේ එවැනි ආකෘති සමඟ ය.
දකුණු ත්රිකෝණය
ත්රිකෝණමිතිය භාවිතා කරන ක්‍රම ගැන ටිකක් ඉගෙන ගත් පසු, සයින්, කෝසයින්, ස්පර්ශක යනු කුමක්ද, ඒවායේ ආධාරයෙන් කළ හැකි ගණනය කිරීම් මොනවාද සහ භාවිතා කළ යුතු සූත්ර මොනවාද යන්න තවදුරටත් අවබෝධ කර ගැනීම සඳහා මූලික ත්රිකෝණමිතිය වෙත ආපසු යමු.
පළමු පියවර වන්නේ සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණයට අදාළ සංකල්ප තේරුම් ගැනීමයි. පළමුව, කර්ණය යනු අංශක 90 ක කෝණයට විරුද්ධ පැත්තයි. ඇය දිගම ය. පයිතගරස් ප්‍රමේයය අනුව එහි සංඛ්‍යාත්මක අගය අනෙක් පැති දෙකේ වර්ගවල එකතුවේ මුලට සමාන බව අපට මතකය.
උදාහරණයක් ලෙස, පැති දෙකක් පිළිවෙලින් සෙන්ටිමීටර 3 සහ 4 නම්, කර්ණයක දිග සෙන්ටිමීටර 5 ක් වේ. මාර්ගය වන විට, පුරාණ ඊජිප්තුවරුන් මීට වසර හතරහමාරකට පමණ පෙර මේ ගැන දැන සිටියහ.
සෘජු කෝණයක් සාදනු ලබන ඉතිරි පැති දෙක කකුල් ලෙස හැඳින්වේ. ඊට අමතරව, ත්රිකෝණයක කෝණවල එකතුව බව අප මතක තබා ගත යුතුය සෘජුකෝණාස්රාකාර පද්ධතියඛණ්ඩාංකය අංශක 180 කි.
අර්ථ දැක්වීම
අවසාන වශයෙන්, ජ්යාමිතික පදනම පිළිබඳ දැඩි අවබෝධයක් ඇතිව, අපට කෝණයක සයින්, කෝසයින් සහ ස්පර්ශක නිර්වචනය වෙත හැරිය හැක.
කෝණයක සයින් යනු ප්රතිවිරුද්ධ පාදයේ (එනම්, අපේක්ෂිත කෝණයට විරුද්ධ පැත්ත) කර්ණයට අනුපාතයයි. කෝණයක කෝසයින් යනු යාබද පාදයේ කර්ණයට අනුපාතයයි.
සයින් හෝ කොසයින් එකකට වඩා වැඩි විය නොහැකි බව මතක තබා ගන්න! මන්ද? මන්ද කර්ණය පෙරනිමියෙන් දිගම වේ.පාදය කෙතරම් දිග වුවත් එය කර්ණයට වඩා කෙටි වේ, එනම් ඔවුන්ගේ අනුපාතය සෑම විටම එකකට වඩා අඩු වනු ඇත. මේ අනුව, ඔබ ගැටලුවට පිළිතුරෙහි 1 ට වඩා වැඩි අගයක් සහිත සයින් හෝ කෝසයින් ලබා ගන්නේ නම්, ගණනය කිරීම් හෝ තර්කනයේ දෝෂයක් සොයන්න. මෙම පිළිතුර පැහැදිලිවම වැරදියි.
අවසාන වශයෙන්, කෝණයක ස්පර්ශකය යනු ප්රතිවිරුද්ධ පැත්තට යාබද පැත්තට ඇති අනුපාතයයි. එම ප්‍රතිඵලයම කොසයින් මගින් සයින් බෙදීම ලබා දෙනු ඇත. බලන්න: සූත්‍රයට අනුකූලව, අපි පැත්තේ දිග කර්ණය මගින් බෙදන්නෙමු, ඉන්පසු අපි දෙවන පැත්තේ දිගෙන් බෙදන අතර උපකල්පිතයෙන් ගුණ කරමු. මේ අනුව, අපට ස්පර්ශක නිර්වචනයේ සමාන අනුපාතයක් ලැබේ.
කෝටැන්ජන්ට් යනු පිළිවෙලින්, කෙළවරට ප්රතිවිරුද්ධ පැත්තට යාබද පැත්තේ අනුපාතයයි. ස්පර්ශකයෙන් ඒකකය බෙදීමෙන් අපි එකම ප්රතිඵලය ලබා ගනිමු.
එබැවින්, අපි සයින්, කෝසයින්, ස්පර්ශක සහ කෝටැන්ජන්ට් යනු කුමක්ද යන්න පිළිබඳ නිර්වචන සලකා බැලූ අතර අපට සූත්ර සමඟ කටයුතු කළ හැකිය.
සරලම සූත්ර
ත්‍රිකෝණමිතියේදී, සූත්ර නොමැතිව කෙනෙකුට කළ නොහැක - ඒවා නොමැතිව සයින්, කෝසයින්, ස්පර්ශක, කෝටැන්ජන්ට් සොයා ගන්නේ කෙසේද? ගැටළු විසඳීමේදී මෙය හරියටම අවශ්ය වේ.
ත්රිකෝණමිතිය හැදෑරීමට පටන් ගැනීමේදී ඔබ දැනගත යුතු පළමු සූත්‍රය පවසන්නේ කෝණයක සයින් සහ කෝසයින් වර්ගවල එකතුව එකකට සමාන බවයි. මෙම සූත්රයයනු පයිතගරස් ප්‍රමේයේ සෘජු ප්‍රතිවිපාකයකි, නමුත් ඔබට කෝණයේ අගය දැන ගැනීමට අවශ්ය නම් කාලය ඉතිරි කරයි, පැත්ත නොවේ.
බොහෝ සිසුන්ට දෙවන සූත්‍රය මතක තබා ගත නොහැක, එය පාසල් ගැටළු විසඳීමේදී ද ඉතා ජනප්රිය වේ: කෝණයක ස්පර්ශකයේ එකක එකතුව සහ වර්ග කෝණයේ කෝසයිනයේ වර්ගයෙන් බෙදූ එකකට සමාන වේ. සමීපව බලන්න: සියල්ලට පසු, මෙය පළමු සූත්‍රයේ ඇති ප්‍රකාශයම වේ, අනන්‍යතාවයේ දෙපැත්තම පමණක් කොසයිනයේ වර්ගයෙන් බෙදනු ලැබේ. සරල ගණිතමය මෙහෙයුමක් ත්රිකෝණමිතික සූත්‍රය සම්පූර්ණයෙන්ම හඳුනාගත නොහැකි බව පෙනේ. මතක තබා ගන්න: සයින්, කෝසයින්, ස්පර්ශක සහ කෝටැන්ජන්ට් යනු කුමක්ද, පරිවර්තන රීති සහ මූලික සූත්ර කිහිපයක් දැන ගැනීමෙන්, ඔබට අවශ්ය තවත් දේ ඕනෑම වේලාවක ලබා ගත හැකිය. සංකීර්ණ සූත්රකඩදාසි කැබැල්ලක් මත.
ද්විත්ව කෝණ සූත්ර සහ තර්ක එකතු කිරීම
ඔබ ඉගෙන ගත යුතු තවත් සූත්ර දෙකක් කෝණවල එකතුව සහ වෙනස සඳහා සයින් සහ කෝසයිනයේ අගයන් හා සම්බන්ධ වේ. ඒවා පහත රූපයේ දැක්වේ. පළමු අවස්ථාවෙහිදී, සයින් සහ කොසයින් දෙවරටම ගුණ කරන අතර, දෙවන අවස්ථාවේදී, සයින් සහ කෝසයින් යුගල වශයෙන් නිෂ්පාදනය එකතු කරන බව කරුණාවෙන් සලකන්න.
ද්විත්ව කෝණ තර්ක හා සම්බන්ධ සූත්ර ද ඇත. ඒවා සම්පූර්ණයෙන්ම පෙර ඒවායින් ව්‍යුත්පන්න වී ඇත - භාවිතයක් ලෙස, ඒවා ඔබම ලබා ගැනීමට උත්සාහ කරන්න, ඇල්ෆා කෝණය බීටා කෝණයට සමාන වේ.
අවසාන වශයෙන්, සයින්, කෝසයින්, ස්පර්ශක ඇල්ෆා මට්ටම අඩු කිරීමට ද්විත්ව කෝණ සූත්ර පරිවර්තනය කළ හැකි බව සලකන්න.
න්‍යායන්
මූලික ත්‍රිකෝණමිතියේ ඇති ප්රධාන ප්රමේය දෙක වන්නේ සයින් ප්‍රමේයය සහ කොසයින් ප්‍රමේයය වේ. මෙම ප්‍රමේයන් ආධාරයෙන්, ඔබට සයින්, කෝසයින් සහ ස්පර්ශක සොයා ගන්නේ කෙසේද යන්න පහසුවෙන් තේරුම් ගත හැකිය, එබැවින් රූපයේ ප්රදේශය සහ එක් එක් පැත්තේ ප්රමාණය යනාදිය.
සයින් ප්‍රමේයය පවසන්නේ ත්රිකෝණයේ එක් එක් පැතිවල දිග ප්රතිවිරුද්ධ කෝණයේ අගයෙන් බෙදීමේ ප්රතිඵලයක් ලෙස අපට එම සංඛ්‍යාව ලැබෙන බවයි. තවද, මෙම සංඛ්‍යාව වටකුරු රවුමේ අරය දෙකකට සමාන වේ, එනම් දී ඇති ත්රිකෝණයේ සියලුම ලක්ෂ්‍ය අඩංගු කවය.
කොසයින් ප්‍රමේයය පයිතගරස් ප්‍රමේයය සාමාන්‍යකරණය කරයි, එය ඕනෑම ත්රිකෝණයකට ප්‍රක්ෂේපණය කරයි. පැති දෙකේ වර්ගවල එකතුවෙන්, ඒවායේ නිෂ්පාදිතය ඒවාට යාබද කෝණයේ ද්විත්ව කෝසයින් ගුණ කිරීමෙන් අඩු කරන්න - එහි ප්රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන අගය තුන්වන පැත්තේ වර්ගයට සමාන වේ. මේ අනුව, පයිතගරස් ප්‍රමේයය කොසයින් ප්‍රමේයයේ විශේෂ අවස්ථාවක් බවට පත්වේ.
නොසැලකිලිමත්කම නිසා වැරදි
සයින්, කෝසයින් සහ ස්පර්ශක යනු කුමක්දැයි දැන සිටියද, මනස නොපැමිණීම හෝ සරලම ගණනය කිරීම් වල දෝෂයක් හේතුවෙන් වැරැද්දක් කිරීම පහසුය. එවැනි වැරදි වළක්වා ගැනීම සඳහා, ඒවායින් වඩාත් ජනප්රිය ලෙස දැන හඳුනා ගනිමු.
පළමුව, අවසාන ප්‍රති result ලය ලැබෙන තෙක් ඔබ සාමාන්ය භාග දශම බවට පරිවර්තනය නොකළ යුතුය - ඔබට පිළිතුර පෝරමයේ තැබිය හැකිය පොදු කොටසකොන්දේසිය වෙනත් ආකාරයකින් සඳහන් කරන්නේ නම් මිස. එවැනි පරිවර්තනයක් වැරැද්දක් ලෙස හැඳින්විය නොහැක, නමුත් ගැටලුවේ සෑම අදියරකදීම නව මූලයන් දිස්විය හැකි බව මතක තබා ගත යුතුය, එය කතුවරයාගේ අදහසට අනුව අඩු කළ යුතුය. මෙම අවස්ථාවේදී, ඔබ අනවශ්ය ගණිතමය මෙහෙයුම් සඳහා කාලය නාස්ති කරනු ඇත. තුනේ හෝ දෙකක මුල වැනි අගයන් සඳහා මෙය විශේෂයෙන්ම සත්‍ය වේ, මන්ද ඒවා සෑම පියවරකදීම කාර්යයන් වලදී සිදු වේ. "කැත" අංක රවුම් කිරීම සඳහා ද මෙය අදාළ වේ.
තවද, කොසයින් ප්‍රමේයය ඕනෑම ත්රිකෝණයකට අදාළ වන නමුත් පයිතගරස් ප්‍රමේයයට අදාළ නොවන බව සලකන්න! ඔබ ඒවා අතර කෝණයේ කෝසයින් ගුණ කරන ලද පැතිවල ගුණිතය දෙගුණයක් අඩු කිරීමට වැරදීමකින් අමතක කළහොත්, ඔබ සම්පූර්ණයෙන්ම වැරදි ප්රතිඵලය ලබා ගැනීම පමණක් නොව, විෂය පිළිබඳ සම්පූර්ණ වැරදි අවබෝධයක් ද පෙන්නුම් කරයි. මෙය නොසැලකිලිමත් වැරැද්දකට වඩා නරක ය.
තෙවනුව, සයින්, කෝසයින්, ස්පර්ශක, කෝටැන්ජන්ට් සඳහා අංශක 30 සහ 60 කෝණ සඳහා අගයන් පටලවා නොගන්න. මෙම අගයන් මතක තබා ගන්න, මන්ද අංශක 30 ක සයින් 60 කෝසයිනයට සමාන වන අතර අනෙක් අතට. ඒවා මිශ්ර කිරීම පහසුය, එහි ප්රතිඵලයක් ලෙස ඔබ අනිවාර්යයෙන්ම වැරදි ප්රතිඵලයක් ලැබෙනු ඇත.
අයදුම්පත
ත්රිකෝණමිතිය හැදෑරීමට බොහෝ සිසුන් ඉක්මන් නොවන්නේ එහි ව්‍යවහාරික අර්ථය ඔවුන්ට නොතේරෙන බැවිනි. ඉංජිනේරුවෙකුට හෝ තාරකා විද්‍යාඥයෙකුට සයින්, කොසයින්, ස්පර්ශක යනු කුමක්ද? මේවා සංකල්ප වන අතර ඔබට දුරස්ථ තාරකා වලට ඇති දුර ගණනය කිරීමට, උල්කාපාත වැටීම පුරෝකථනය කිරීමට, වෙනත් ග්‍රහලෝකයකට පර්යේෂණ පරීක්ෂණයක් යැවීමට හැකිය. ඔවුන් නොමැතිව, ගොඩනැගිල්ලක් තැනීම, මෝටර් රථයක් සැලසුම් කිරීම, මතුපිට බර හෝ වස්තුවක ගමන් පථය ගණනය කිරීම කළ නොහැකිය. මේවා වඩාත් පැහැදිලි උදාහරණ පමණි! සියල්ලට පසු, සංගීතයේ සිට වෛද්‍ය විද්යාව දක්වා සෑම තැනකම එක් ආකාරයකින් හෝ වෙනත් ආකාරයකින් ත්රිකෝණමිතිය භාවිතා වේ.
අවසාන
එබැවින් ඔබ සයින්, කොසයින්, ස්පර්ශක වේ. ඔබට ඒවා ගණනය කිරීම් වලදී භාවිතා කළ හැකි අතර පාසල් ගැටළු සාර්ථකව විසඳා ගත හැකිය.
ත්‍රිකෝණමිතියේ සම්පූර්ණ සාරය ත්රිකෝණයේ දන්නා පරාමිතිවලින් නොදන්නා පරාමිති ගණනය කළ යුතු බව දක්වා පහළට වැටේ. මුළු විකල්ප හයක් ඇත: තුනක දිගපැති සහ ප්රමාණය කොන් තුනක්. කාර්යයන්හි සම්පූර්ණ වෙනස පවතින්නේ විවිධ ආදාන දත්ත ලබා දීමයි.
කකුල් වල දන්නා දිග හෝ කර්ණය මත පදනම්ව සයින්, කොසයින්, ස්පර්ශක සොයා ගන්නේ කෙසේද, ඔබ දැන් දන්නවා. මෙම නියමයන් අනුපාතයකට වඩා වැඩි යමක් අදහස් නොකරන අතර, අනුපාතය යනු භාග වන බැවින්, ත්රිකෝණමිතික ගැටලුවේ ප්රධාන අරමුණ වන්නේ සාමාන්ය සමීකරණයක හෝ සමීකරණ පද්ධතියක මූලයන් සෙවීමයි. මෙහිදී ඔබට සාමාන්ය පාසල් ගණිතය මගින් උපකාර කරනු ඇත.
කෝණයක සයින්, කෝසයින්, ස්පර්ශක, කෝටැන්ජන්ට් යනු කුමක්ද යන්න ඔබට සෘජු ත්රිකෝණයක් තේරුම් ගැනීමට උපකාරී වේ.
සෘජුකෝණාශ්‍රය ත්රිකෝණයක පැති හඳුන්වන්නේ කුමක්ද? ඒක හරි, කර්ණය සහ පාද: කර්ණය යනු සෘජු කෝණයට විරුද්ධ පැත්තයි (අපගේ උදාහරණයේ, මෙය පැත්තයි \ (AC \) ); කකුල් යනු ඉතිරි පැති දෙකයි \ (AB \) සහ \ (BC \) (යාබද ඒවා සෘජු කෝණය), එපමණක් නොව, අපි \ (BC \) කෝණයට සාපේක්ෂව කකුල් සලකන්නේ නම්, \ (AB \) යනු යාබද කකුල වන අතර කකුල \ (BC \) ප්රතිවිරුද්ධ එක වේ. ඉතින්, දැන් අපි ප්‍රශ්නයට පිළිතුරු දෙමු: කෝණයක සයින්, කෝසයින්, ස්පර්ශක සහ කෝටැන්ජන්ට් මොනවාද?
කෝණයක සයින්- මෙය ප්රතිවිරුද්ධ (දුර) කකුලේ කර්ණයට අනුපාතයයි.
අපගේ ත්රිකෝණයේ:
\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]
කෝණයක කෝසයින්- මෙය යාබද (සමීප) කකුලේ කර්ණයට අනුපාතයයි.
අපගේ ත්රිකෝණයේ:
\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]
කෝණ ස්පර්ශකය- මෙය ප්රතිවිරුද්ධ (දුර) කකුලේ යාබද (සමීප) අනුපාතයයි.
අපගේ ත්රිකෝණයේ:
\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]
කෝණයක කෝටැන්ජන්ට්- මෙය යාබද (සමීප) කකුලේ ප්රතිවිරුද්ධ (දුර) අනුපාතයයි.
අපගේ ත්රිකෝණයේ:
\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]
මෙම නිර්වචන අවශ්ය වේ මතක තබා ගන්න! කුමන කකුලෙන් බෙදිය යුතුද යන්න මතක තබා ගැනීම පහසු කිරීම සඳහා, ඔබ එය පැහැදිලිව තේරුම් ගත යුතුය ස්පර්ශකහා කෝටෙන්ජන්ට්කකුල් පමණක් වාඩි වන අතර, උපකල්පනය දිස්වන්නේ එහි පමණි සයිනස්හා කොසයින්. එවිට ඔබට සංගම් දාමයක් ඉදිරිපත් කළ හැකිය. උදාහරණයක් ලෙස, මෙය:
කොසයින්→ස්පර්ශ→ස්පර්ශ→යාබද;
කෝටැන්ජන්ට්→ස්පර්ශ→ස්පර්ශ→යාබද.
පළමුවෙන්ම, ත්රිකෝණයක පැතිවල අනුපාත ලෙස සයින්, කෝසයින්, ස්පර්ශක සහ කෝටැන්ජන්ට් මෙම පැතිවල දිග (එක් කෝණයකින්) මත රඳා නොපවතින බව මතක තබා ගත යුතුය. විශ්වාස කරන්න එපා? ඉන්පසු පින්තූරය දෙස බලා වග බලා ගන්න:
උදාහරණයක් ලෙස, \(\beta \) කෝණයේ කෝසයින් සලකා බලන්න. නිර්වචනය අනුව, ත්‍රිකෝණයකින් \(ABC \) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), නමුත් අපට \(\beta \) කෝණයේ කෝසයිනය ත්‍රිකෝණයෙන් ගණනය කළ හැක \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). ඔබට පෙනේ, පැතිවල දිග වෙනස් වේ, නමුත් එක් කෝණයක කෝසයිනයේ අගය සමාන වේ. මේ අනුව, සයින්, කෝසයින්, ස්පර්ශක සහ කෝටැන්ජන්ට් වල අගයන් රඳා පවතින්නේ කෝණයේ විශාලත්වය මත පමණි.
ඔබ අර්ථ දැක්වීම් තේරුම් ගන්නේ නම්, ඉදිරියට ගොස් ඒවා නිවැරදි කරන්න!
පහත රූපයේ දැක්වෙන ත්රිකෝණය සඳහා \(ABC \) , අපි සොයා ගනිමු \(\sin \\alpha ,\ \cos \\alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).
\(\begin(array)(l)\sin \\alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \\alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0.75\end(array) \)
හොඳයි, ඔබට එය ලැබුණාද? ඉන්පසු එය ඔබම උත්සාහ කරන්න: කෝණය සඳහා එයම ගණනය කරන්න \(\beta \) .
පිළිතුරු: \(\sin \ \beta =0.6;\ \cos \ \beta =0.8;\ tg\ \beta =0.75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).
ඒකක (ත්රිකෝණමිතික) කවය
උපාධිය සහ රේඩියනය පිළිබඳ සංකල්ප අවබෝධ කර ගනිමින්, අපි \ (1 \) ට සමාන අරයක් සහිත කවයක් සලකා බැලුවෙමු. එවැනි කවයක් ලෙස හැඳින්වේ තනි. ත්රිකෝණමිතිය අධ්යයනය කිරීමේදී එය ඉතා ප්රයෝජනවත් වේ. එමනිසා, අපි එය තව ටිකක් විස්තරාත්මකව වාසය කරමු.
ඔබට පෙනෙන පරිදි, මෙම කවය ගොඩනගා ඇත්තේ Cartesian ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය තුළය. රවුමේ අරය එකකට සමාන වන අතර, රවුමේ කේන්ද්රය මූලාරම්භයේ පිහිටා ඇති අතර, අරය දෛශිකයේ ආරම්භක ස්ථානය \(x \) අක්ෂයේ ධනාත්මක දිශාව ඔස්සේ සවි කර ඇත (අපගේ උදාහරණයේ දී, මෙය අරය \(AB \) ).
රවුමේ ඇති සෑම ලක්ෂ්‍යයක්ම සංඛ්‍යා දෙකකට අනුරූප වේ: අක්ෂය \(x \) දිගේ ඛණ්ඩාංකය සහ අක්ෂය දිගේ ඛණ්ඩාංකය \(y \) . මෙම ඛණ්ඩාංක අංක මොනවාද? පොදුවේ ගත් කල, ඔවුන් අත ඇති මාතෘකාව සමඟ කළ යුත්තේ කුමක්ද? මෙය සිදු කිරීම සඳහා, සලකා බැලූ සෘජු කෝණික ත්රිකෝණය ගැන මතක තබා ගන්න. ඉහත රූපයේ, ඔබට සම්පූර්ණ දකුණු ත්රිකෝණ දෙකක් දැකිය හැකිය. ත්රිකෝණය සලකා බලන්න \(ACG \) . \(CG \) \(x \) අක්ෂයට ලම්බක වන නිසා එය සෘජුකෝණාස්‍ර වේ.
ත්රිකෝණයේ \(ACG \) \(\cos \\alpha \) යනු කුමක්ද? ඒක හරි \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). ඊට අමතරව, \(AC \) යනු ඒකක කවයේ අරය බව අපි දනිමු, එබැවින් \(AC=1 \) . මෙම අගය අපගේ කෝසයින් සූත්‍රයට ආදේශ කරන්න. මෙන්න මෙහෙමයි වෙන්නේ:
\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).
සහ ත්රිකෝණයේ \(ACG \) \(\sin \\alpha \) යනු කුමක්ද? හොඳයි, ඇත්තෙන්ම, \(\ sin \alpha =\dfrac(CG)(AC) \)! මෙම සූත්‍රයේ අරය \ (AC \) අගය ආදේශ කර ලබා ගන්න:
\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)
ඉතින්, රවුමට අයත් \(C \) ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක මොනවාදැයි ඔබට මට කියන්න පුළුවන්ද? හොඳයි, කොහෙත්ම නැහැ? නමුත් \(\cos \\alpha \) සහ \(\sin \alpha \) ඉලක්කම් පමණක් බව ඔබට වැටහෙන්නේ නම් කුමක් කළ යුතුද? \(\cos \alpha \) අනුරූප වන්නේ කුමන ඛණ්ඩාංකයටද? හොඳයි, ඇත්ත වශයෙන්ම, ඛණ්ඩාංකය \(x \) ! සහ \(\ sin \alpha \) අනුරූප වන්නේ කුමන ඛණ්ඩාංකයටද? ඒක හරි, \(y \) ඛණ්ඩාංකය! ඉතින් කාරණය \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).
එවිට \(tg \alpha \) සහ \(ctg \alpha \) යනු කුමක්ද? ඒක හරි, අපි ස්පර්ශක සහ කෝටැන්ජන්ට් වල සුදුසු නිර්වචන භාවිතා කර එය ලබා ගනිමු \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), ඒ \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\ sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).
කෝණය විශාල නම් කුමක් කළ යුතුද? මෙන්න, උදාහරණයක් ලෙස, මෙම පින්තූරයේ මෙන්:
තුළ වෙනස් වී ඇති දේ මෙම උදාහරණය? අපි එය තේරුම් ගනිමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි නැවතත් සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණයකට හැරෙමු. ඍජු ත්රිකෝණයක් සලකා බලන්න \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : කෝණයක් (කෝණයට යාබදව \(\beta \) ). කෝණයක් සඳහා sine, cosine, tangent සහ cotangent වල වටිනාකම කුමක්ද \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \\)? ඒක හරි, අපි ත්රිකෝණමිතික ශ්රිතවල අනුරූප නිර්වචනවලට අනුගත වෙමු:
\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\ cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\angle ((C) )_(1))((A)_(1))G=\dfrac((((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\angle ((C)_(1))(A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1) ))G)=\dfrac(x)(y)\end(array) \)
හොඳයි, ඔබට පෙනෙන පරිදි, කෝණයෙහි සයින් අගය තවමත් ඛණ්ඩාංකයට අනුරූප වේ \ (y \) ; කෝණයෙහි කෝසයිනයේ අගය - ඛණ්ඩාංකය \ (x \) ; සහ ස්පර්ශක සහ කෝටැන්ජන්ට් අගයන් අනුරූප අනුපාතවලට. මේ අනුව, මෙම සම්බන්ධතා අරය දෛශිකයේ ඕනෑම භ්‍රමණයකට අදාළ වේ.
අරය දෛශිකයේ ආරම්භක ස්ථානය \(x \) අක්ෂයේ ධනාත්මක දිශාව ඔස්සේ බව දැනටමත් සඳහන් කර ඇත. මෙතෙක් අපි මෙම දෛශිකය වාමාවර්තව කරකවා ඇත, නමුත් අපි එය දක්ෂිණාවර්තව කරකවන්නේ නම් කුමක් සිදුවේද? අසාමාන්ය කිසිවක් නැත, ඔබට යම් ප්රමාණයක කෝණයක් ද ලැබෙනු ඇත, නමුත් එය පමණක් සෘණාත්මක වනු ඇත. මේ අනුව, අරය දෛශිකය වාමාවර්තව භ්රමණය කරන විට, අපි ලබා ගනිමු ධනාත්මක කෝණ, සහ දක්ෂිණාවර්තව කැරකෙන විට - සෘණ.
එබැවින්, රවුම වටා ඇති අරය දෛශිකයේ සම්පූර්ණ විප්ලවය \(360()^\circ \) හෝ \(2\pi \) බව අපි දනිමු. අරය දෛශිකය \(390()^\circ \) මගින් හෝ \(-1140()^\circ \) මගින් කරකැවිය හැකිද? හොඳයි, ඇත්තෙන්ම ඔබට පුළුවන්! පළමු අවස්ථාවේ දී, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), එබැවින් අරය දෛශිකය එක් සම්පූර්ණ භ්‍රමණයක් සිදු කර \(30()^\circ \) හෝ \(\dfrac(\pi )(6) \) හි නතර වනු ඇත.
දෙවන නඩුවේදී, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), එනම් අරය දෛශිකය සම්පූර්ණ විප්ලව තුනක් සිදු කර \(-60()^\circ \) හෝ \(-\dfrac(\pi )(3) \) ස්ථානයේ නතර වේ.
මේ අනුව, ඉහත උදාහරණ වලින්, අපට නිගමනය කළ හැක්කේ \(360()^\circ \cdot m \) හෝ \(2\pi \cdot m \) (\(m \) යනු ඕනෑම නිඛිලයක් වන කෝණ ) අරය දෛශිකයේ එකම ස්ථානයට අනුරූප වේ.
පහත රූපයේ දැක්වෙන්නේ \(\beta =-60()^\circ \) . එකම රූපය කෙළවරට අනුරූප වේ \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \)ආදිය මෙම ලැයිස්තුව දින නියමයක් නොමැතිව දිගටම කරගෙන යා හැක. මෙම සියලු කෝණ සාමාන්ය සූත්‍රය සමඟ ලිවිය හැකිය \(\beta +360()^\circ \cdot m \)හෝ \(\beta +2\pi \cdot m \) (මෙහිදී \(m \) ඕනෑම පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් වේ)
\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(array) \)
දැන්, මූලික ත්රිකෝණමිතික ශ්රිතවල අර්ථ දැක්වීම් දැනගෙන ඒකක කවය භාවිතා කරමින්, අගයන් සමාන වන්නේ කුමක් දැයි පිළිතුරු දීමට උත්සාහ කරන්න:
\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\ text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\ sin \ 180()^\circ =\sin \\pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\ sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\ sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\ sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)
මෙන්න ඔබට උදවු කිරීමට ඒකක කවයක්:
කිසියම් දුෂ්කරතාවයක් තිබේද? එහෙනම් අපි එය තේරුම් ගනිමු. එබැවින් අපි එය දනිමු:
\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\end(array) \)
මෙතැන් සිට, අපි කෝණයේ ඇතැම් මිනුම් වලට අනුරූප වන ලක්ෂ්යවල ඛණ්ඩාංක තීරණය කරමු. හොඳයි, අපි පිළිවෙලට ආරම්භ කරමු: කෙළවරේ \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \)ඛණ්ඩාංක සහිත ලක්ෂ්‍යයකට අනුරූප වේ \(\වම(0;1 \දකුණ) \) , එබැවින්:
\(\ sin 90()^\circ =y=1 \) ;
\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;
\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- නොපවතී;
\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).
තවද, එකම තර්කනයට අනුගත වීමෙන්, කෙළවරේ ඇති බව අපි සොයා ගනිමු \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ )ඛණ්ඩාංක සමඟ ලකුණු වලට අනුරූප වේ \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \දකුණ) \), පිළිවෙලින්. මෙය දැන ගැනීමෙන්, අනුරූප ලක්ෂ්යවල ත්රිකෝණමිතික ශ්රිතවල අගයන් තීරණය කිරීම පහසුය. මුලින්ම එය ඔබම උත්සාහ කරන්න, පසුව පිළිතුරු පරීක්ෂා කරන්න.
පිළිතුරු:
\(\ displaystyle \sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)
\(\displaystyle \cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =-1 \)
\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- නොපවතී
\(\ sin \ 270()^\circ =-1 \)
\(\cos \ 270()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- නොපවතී
\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\ sin \ 360()^\circ =0 \)
\(\cos \ 360()^\circ =1 \)
\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- නොපවතී
\(\ sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)
\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- නොපවතී
\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).
මේ අනුව, අපට පහත වගුව සෑදිය හැකිය:
මෙම සියලු අගයන් මතක තබා ගැනීමට අවශ්ය නැත. ඒකක කවයේ ලක්ෂ්‍ය ඛණ්ඩාංක සහ ත්රිකෝණමිතික ශ්රිතවල අගයන් අතර ලිපි හුවමාරුව මතක තබා ගැනීම ප්‍රමාණවත් වේ:
\(\වම. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(මතක තබා ගැනීමට අවශ්ය හෝ ප්‍රතිදානය කිරීමට හැකි වීම!! \) !}
සහ මෙහි කෝණවල ත්රිකෝණමිතික ශ්රිතවල අගයන් සහ \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4) \)පහත වගුවේ දක්වා ඇති අතර, ඔබ මතක තබා ගත යුතුය:
බිය විය යුතු නැත, දැන් අපි අනුරූප අගයන් තරමක් සරල කටපාඩම් කිරීමේ උදාහරණ වලින් එකක් පෙන්වමු:
මෙම ක්රමය භාවිතා කිරීම සඳහා, සියලු දෙනා සඳහා සයින් අගයන් මතක තබා ගැනීම වැදගත් වේ පියවර තුනක්කෙළවර ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3) \)), මෙන්ම \(30()^\circ \) හි කෝණයේ ස්පර්ශක අගය. මෙම \(4\) අගයන් දැන ගැනීමෙන්, සම්පූර්ණ වගුව නැවත යථා තත්ත්වයට පත් කිරීම තරමක් පහසුය - කෝසයින් අගයන් ඊතල වලට අනුකූලව මාරු කරනු ලැබේ, එනම්:
\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \\\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\ sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\ \ end(array) \)
\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), මෙය දැන ගැනීමෙන්, සඳහා අගයන් නැවත ලබා ගත හැකිය \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). “\(1 \) ” අගය \(\text(tg)\ 45()^\circ \\) , සහ “\(\sqrt(\text(3)) \)” යන හරය ගැලපෙනු ඇත \ (\text (tg)\ 60()^\circ \\) . රූපයේ දැක්වෙන ඊතල වලට අනුකූලව කෝටැන්ජන්ට් අගයන් මාරු කරනු ලැබේ. ඔබ මෙය තේරුම් ගෙන ඊතල සහිත යෝජනා ක්රමය මතක තබා ගන්නේ නම්, මේසයෙන් \(4 \) අගයන් පමණක් මතක තබා ගැනීම ප්‍රමාණවත් වේ.
රවුමක ලක්ෂ්‍යයක ඛණ්ඩාංක
රවුමේ කේන්ද්‍රයේ ඛණ්ඩාංක, එහි අරය සහ භ්‍රමණ කෝණය දැනගෙන රවුමක ලක්ෂ්‍යයක් (එහි ඛණ්ඩාංක) සොයා ගත හැකිද? හොඳයි, ඇත්තෙන්ම ඔබට පුළුවන්! එලියට ගේමු සාමාන්ය සූත්රයලක්ෂ්‍යයක ඛණ්ඩාංක සොයා ගැනීමට. මෙන්න, උදාහරණයක් ලෙස, අපට එවැනි කවයක් තිබේ:
අපට එම කරුණ ලබා දී ඇත \(K((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)රවුමේ කේන්ද්රය වේ. රවුමේ අරය \(1,5 \) වේ. \(O \) ලක්ෂ්‍යය \(\ඩෙල්ටා \) අංශක වලින් කරකැවීමෙන් ලබාගත් \(P \) ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක සොයා ගැනීම අවශ්ය වේ.
රූපයෙන් පෙනෙන පරිදි, \ (P \) ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංකය \ (x \) \ (TP=UQ=UK+KQ \) කොටසේ දිගට අනුරූප වේ. කොටසෙහි දිග \ (UK \) රවුමේ කේන්ද්‍රයේ ඛණ්ඩාංක \ (x \) ට අනුරූප වේ, එනම් එය \ (3 \) ට සමාන වේ. \(KQ \) කොටසෙහි දිග කොසයින් අර්ථ දැක්වීම භාවිතයෙන් ප්‍රකාශ කළ හැක:
\(\cos \\delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \\delta \).
එවිට අපට \(P \) ඛණ්ඩාංකය සඳහා එය තිබේ \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).
එම තර්කයෙන්ම, අපි \(P\) ලක්ෂ්‍යය සඳහා y ඛණ්ඩාංකයේ අගය සොයා ගනිමු. මේ ක්රමයෙන්,
\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).
ඉතින් ඇතුලට සාමාන්ය දැක්මලක්ෂ්ය ඛණ්ඩාංක සූත්ර මගින් තීරණය කරනු ලැබේ:
\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \\delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(array) \), කොහෙද
\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - රවුමේ කේන්ද්‍රයේ ඛණ්ඩාංක,
\(r\) - රවුම් අරය,
\(\ඩෙල්ටා \) - දෛශික අරයේ භ්‍රමණ කෝණය.
ඔබට පෙනෙන පරිදි, අප සලකා බලන ඒකක කවය සඳහා, මෙම සූත්ර සැලකිය යුතු ලෙස අඩු වී ඇත, මන්ද මධ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක ශුන්‍ය වන අතර අරය එකකට සමාන වේ:
\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \\delta =0+1\cdot \cos \\delta =\cos \\delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \\delta =0+1\cdot \sin \\delta =\sin \\delta \end(array) \)
ඔබගේ බ්‍රවුසරයේ Javascript අක්‍රිය කර ඇත.ගණනය කිරීම් සිදු කිරීම සඳහා ActiveX පාලන සක්රිය කළ යුතුය!
ගුරුවරුන් විශ්වාස කරන්නේ සෑම සිසුවෙකුටම ගණනය කිරීම් කිරීමට හැකි විය යුතු බවයි ත්රිකෝණමිතික සූත්ර, නමුත් සෑම ගුරුවරයෙකුම සයින් සහ කොසයින් යනු කුමක්දැයි පැහැදිලි නොකරයි. ඒවායේ තේරුම කුමක්ද, ඒවා භාවිතා කරන්නේ කොහේද? අපි ත්රිකෝණ ගැන කතා කරන්නේ ඇයි, නමුත් පෙළ පොතේ රවුමක් ඇඳ තිබේද? අපි සියලු කරුණු එකට සම්බන්ධ කිරීමට උත්සාහ කරමු.
පාසල් විෂය
ත්රිකෝණමිතිය පිළිබඳ අධ්යයනය සාමාන්‍යයෙන් 7-8 ශ්‍රේණිවල ආරම්භ වේ උසස් පාසල. මෙම අවස්ථාවේදී, සයින් සහ කොසයින් යනු කුමක්දැයි සිසුන්ට පැහැදිලි කර ඇත, මෙම කාර්යයන් භාවිතා කරමින් ජ්යාමිතික ගැටළු විසඳීමට ඔවුන්ට ඉදිරිපත් වේ. පසුව, අවශ්ය වන වඩාත් සංකීර්ණ සූත්ර සහ ප්රකාශනයන් දිස්වේ වීජීය ආකාරයෙන්පරිවර්තනය (ද්විත්ව සහ අර්ධ කෝණ සූත්ර, බල කාර්යයන්), ත්රිකෝණමිතික කවයක් සමඟ වැඩ සිදු කෙරේ.
කෙසේ වෙතත්, භාවිතා කරන සංකල්පවල තේරුම සහ සූත්‍රවල අදාළත්වය පැහැදිලිව පැහැදිලි කිරීමට ගුරුවරුන්ට සැමවිටම නොහැකි ය. එමනිසා, ශිෂ්යයා බොහෝ විට මෙම විෂයයෙහි කාරණය නොපෙනෙන අතර, කටපාඩම් කළ තොරතුරු ඉක්මනින් අමතක වේ. කෙසේ වෙතත්, උසස් පාසැල් සිසුවෙකුට වරක් පැහැදිලි කිරීම වටී, උදාහරණයක් ලෙස, කාර්යය සහ දෝලන චලනය අතර සම්බන්ධතාවය සහ තාර්කික සම්බන්ධතාවය වසර ගණනාවක් මතක තබා ගත හැකි අතර, විෂයයේ නිෂ්ඵලකම පිළිබඳ විහිළු අතීතයේ දෙයක් බවට පත්වනු ඇත. .
භාවිතය
කුතුහලය සඳහා, අපි භෞතික විද්යාවේ විවිධ ශාඛා දෙස බලමු. ප්‍රක්ෂේපණයක පරාසය තීරණය කිරීමට අවශ්‍යද? එසේත් නැතිනම් ඔබ වස්තුවක් සහ යම් පෘෂ්ඨයක් අතර ඝර්ෂණ බලය ගණනය කරන්නේද? පෙන්ඩනයක් පැද්දෙමින්, වීදුරු හරහා ගමන් කරන කිරණ නැරඹීම, ප්‍රේරණය ගණනය කිරීම? ත්රිකෝණමිතික සංකල්ප ඕනෑම සූත්‍රයක පාහේ දක්නට ලැබේ. ඉතින් සයින් සහ කොසයින් යනු කුමක්ද?
අර්ථ දැක්වීම්
කෝණයක සයින් යනු ප්රතිවිරුද්ධ පාදයේ කර්ණයට අනුපාතයයි, යාබද පාදයේ කෝසයිනය එකම කර්ණයටයි. මෙහි සම්පූර්ණයෙන්ම සංකීර්ණ කිසිවක් නොමැත. සමහර විට සිසුන් සාමාන්‍යයෙන් ත්රිකෝණමිතික වගුවේ දකින අගයන් නිසා ව්‍යාකූල වී ඇත, මන්ද එහි වර්ග මූලයන් දිස්වේ. ඔව්, ඒවායින් දශම භාග ලබා ගැනීම එතරම් පහසු නැත, නමුත් ගණිතයේ සියලුම සංඛ්‍යා ඉරට්ටේ විය යුතු යැයි කීවේ කවුද?
ඇත්ත වශයෙන්ම, ත්රිකෝණමිතිය ගැටළු පොත්වල ඔබට විහිලු ඉඟියක් සොයාගත හැකිය: මෙහි ඇති බොහෝ පිළිතුරු සමාන වේ නරකම අවස්ථාවදෙකක් හෝ තුනක මූලයක් අඩංගු වේ. නිගමනය සරලයි: ඔබේ පිළිතුරෙහි "බහු-කතන්දර" කොටසක් ලැබුනේ නම්, ගණනය කිරීම් හෝ තර්කනයේ දෝෂ සඳහා විසඳුම දෙවරක් පරීක්ෂා කරන්න. තවද ඔබ බොහෝ විට ඒවා සොයා ගනු ඇත.
මතක තබා ගත යුතු දේ
ඕනෑම විද්‍යාවක මෙන්ම ත්‍රිකෝණමිතියේද ඉගෙන ගත යුතු දත්ත තිබේ.
පළමුව, ඔබ සයිනස් සඳහා සංඛ්‍යාත්මක අගයන්, සෘජුකෝණාස්‍ර 0 සහ 90 ත්රිකෝණයක කෝසයින් මෙන්ම අංශක 30, 45 සහ 60 මතක තබා ගත යුතුය. මෙම දර්ශක පාසල් කාර්යයන් දහයෙන් නවයක දක්නට ලැබේ. පෙළපොතෙහි මෙම අගයන් බැලීමෙන් ඔබට බොහෝ කාලයක් අහිමි වනු ඇත, පාලනය හෝ විභාගය දෙස බැලීමට තැනක් නොමැත.
කාර්යයන් දෙකෙහිම අගය එකක් නොඉක්මවිය හැකි බව මතක තබා ගත යුතුය. ගණනය කිරීමේදී කොතැනක හෝ ඔබට 0-1 පරාසයෙන් පිටත අගයක් ලැබෙන්නේ නම්, නැවතී ගැටලුව නැවත විසඳන්න.
සයින් සහ කොසයින් වර්ගවල එකතුව එකකට සමාන වේ. ඔබ දැනටමත් එක් අගයක් සොයාගෙන ඇත්නම්, ඉතිරිය සොයා ගැනීමට මෙම සූත්‍රය භාවිතා කරන්න.
න්‍යායන්
මූලික ත්‍රිකෝණමිතියෙහි ප්රධාන ප්රමේය දෙකක් ඇත: සයින් සහ කොසයින්.
පළමුවැන්නා පවසන්නේ ත්රිකෝණයේ එක් එක් පැත්තේ ප්රතිවිරුද්ධ කෝණයේ සයින් අනුපාතය සමාන බවයි. දෙවැන්න නම්, ඉතිරි පැති දෙකේ වර්ග එකතු කිරීමෙන් සහ ඒවායේ නිෂ්පාදිතය මෙන් දෙගුණයක් අඩු කිරීමෙන්, ඒවා අතර ඇති කෝණයේ කෝසයිනයෙන් ගුණ කිරීමෙන් ඕනෑම පැත්තක චතුරස්රය ලබා ගත හැකිය.
මේ අනුව, අපි කෝසයින් ප්‍රමේයය තුළට අංශක 90 ක කෝණ අගය ආදේශ කළහොත්, අපට ලැබෙන්නේ ... පයිතගරස් ප්‍රමේයය. දැන්, ඔබට සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණයක් නොවන රූපයක ප්රදේශය ගණනය කිරීමට අවශ්ය නම්, ඔබට තවදුරටත් කරදර විය නොහැක - සලකා බැලූ ප්රමේය දෙක ගැටලුවේ විසඳුම බෙහෙවින් සරල කරනු ඇත.
ඉලක්ක සහ ඉලක්ක
ඔබ එක් සරල කරුණක් අවබෝධ කරගත් විට ත්රිකෝණමිතිය ඉගෙනීම වඩාත් පහසු වනු ඇත: ඔබ සිදු කරන සියලුම ක්රියාවන් එක් ඉලක්කයක් සාක්ෂාත් කර ගැනීම සඳහා ඉලක්ක කර ඇත. ත්රිකෝණයක ඕනෑම පරාමිතියක් ඔබ ඒ පිළිබඳ අවම තොරතුරු දන්නේ නම් සොයාගත හැකිය - එය එක් කෝණයක අගය සහ පැති දෙකක දිග හෝ, උදාහරණයක් ලෙස, පැති තුනක් විය හැකිය.
ඕනෑම කෝණයක සයින්, කෝසයින්, ස්පර්ශකය තීරණය කිරීම සඳහා, මෙම දත්ත ප්‍රමාණවත් වේ; ඔවුන්ගේ උදව්වෙන්, ඔබට රූපයේ ප්රදේශය පහසුවෙන් ගණනය කළ හැකිය. සෑම විටම පාහේ, සඳහන් කළ අගයන්ගෙන් එකක් පිළිතුරක් ලෙස අවශ්ය වන අතර ඔබට ඒවා එකම සූත්ර භාවිතයෙන් සොයාගත හැකිය.
ත්රිකෝණමිතිය අධ්‍යයනයේ නොගැලපීම්
සිසුන් වැළකී සිටීමට කැමති නොපැහැදිලි ප්‍රශ්නවලින් එකක් වන්නේ ත්‍රිකෝණමිතියේ විවිධ සංකල්ප අතර සම්බන්ධය සොයා ගැනීමයි. කෝණවල සයින් සහ කෝසයින් අධ්යයනය කිරීමට ත්රිකෝණ භාවිතා කරන බව පෙනේ, නමුත් කිසියම් හේතුවක් නිසා සංකේත බොහෝ විට රවුමක රූපයේ දක්නට ලැබේ. මීට අමතරව, sinusoid නමින් හැඳින්වෙන සම්පූර්ණයෙන්ම තේරුම්ගත නොහැකි තරංග-සමාන ප්‍රස්ථාරයක් ඇත, එය වෘත්තයකට හෝ ත්රිකෝණයකට බාහිර සමානකමක් නැත.
තවද, කෝණ අංශක වලින් හෝ රේඩියන වලින් මනිනු ලබන අතර, යම් හේතුවක් නිසා 3.14 (ඒකක නොමැතිව) ලෙස ලියා ඇති Pi අංකය අංශක 180 ට අනුරූප වන සූත්‍රවල දිස් වේ. ඒ සියල්ල සම්බන්ධ වන්නේ කෙසේද?
ඒකක
pi හරියටම 3.14 වන්නේ ඇයි? ඔබට මතකද මෙම අගය කුමක්ද? රවුමෙන් අඩක් මත චාපයට ගැලපෙන අරය ගණන මෙයයි. රවුමේ විෂ්කම්භය සෙන්ටිමීටර 2 ක් නම්, පරිධිය 3.14 * 2 හෝ 6.28 වේ.
දෙවන කරුණ: "රේඩියන්" සහ "අරය" යන වචනවල සමානකම ඔබ දැක ඇති. කාරණය නම්, එක් රේඩියනයක් සංඛ්‍යාත්මකව රවුමේ මධ්‍යයේ සිට එක් අරයක් දිග චාපයක් දක්වා ඇති කෝණයේ අගයට සමාන වේ.
දැන් අපි ලබාගත් දැනුම ඒකාබද්ධ කර ත්‍රිකෝණමිතියේ ඛණ්ඩාංක අක්ෂයේ මුදුනේ “පයි ඉන් අඩකින්” ලියා ඇති අතර “පයි” වම් පසින් ලියා ඇත්තේ මන්දැයි තේරුම් ගනිමු. එය කෝණික විශාලත්වය, රේඩියන වලින් මනිනු ලැබේ, මන්ද අර්ධ වෘත්තාකාරයක් අංශක 180 ක් හෝ රේඩියන 3.14 කි. ඒවගේම උපාධි තියෙන තැන සයිනයි කොසයිනුයි තියෙනවා. ත්රිකෝණය අපේක්ෂිත ලක්ෂ්‍යයෙන් ඇඳීමට පහසු වන අතර, කොටස් කේන්ද්‍රයට සහ ඛණ්ඩාංක අක්ෂයට කල් දමයි.
අපි අනාගතය දෙස බලමු
පාසැලේදී හැදෑරූ ත්රිකෝණමිතිය සෘජු රේඛීය ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක් සමඟ කටයුතු කරයි, එහිදී එය කෙතරම් අමුතු ශබ්දයක් වුවද, රේඛාවක් රේඛාවකි.
නමුත් තව තියෙනවා දුෂ්කර මාර්ගඅවකාශය සමඟ වැඩ කරන්න: මෙහි ත්රිකෝණයේ කෝණවල එකතුව අංශක 180 ට වඩා වැඩි වනු ඇති අතර අපගේ දර්ශනයේ සරල රේඛාව සැබෑ චාපයක් මෙන් පෙනෙනු ඇත.
වචනයෙන් ක්‍රියාවට යමු! ඇපල් ගෙඩියක් ගන්න. පිහියකින් කැපුම් තුනක් කරන්න, එවිට ඉහළින් බැලූ විට ඔබට ත්රිකෝණයක් ලැබේ. එහි ප්රතිඵලයක් ලෙස ඇපල් ගෙඩිය පිටතට ගෙන, පීල් අවසන් වන "ඉළ ඇට" දෙස බලන්න. ඔවුන් කිසිසේත් කෙළින් නැත. ඔබේ අතේ ඇති පලතුරු කොන්දේසි සහිතව වටකුරු ලෙස හැඳින්විය හැකි අතර, දැන් සූත්ර කෙතරම් සංකීර්ණ විය යුතුදැයි සිතන්න, එමඟින් ඔබට කැපූ කැබැල්ලේ ප්රදේශය සොයාගත හැකිය. නමුත් සමහර විශේෂඥයින් දිනපතා එවැනි ගැටළු විසඳයි.
සැබෑ ජීවිතයේ ත්රිකෝණමිතික ශ්රිත
අපගේ ග්‍රහලෝකයේ මතුපිට A ලක්ෂ්‍යයේ සිට B ලක්ෂ්‍යය දක්වා ගුවන් යානයක් සඳහා කෙටිම මාර්ගය උච්චාරණය කරන ලද චාප හැඩයක් ඇති බව ඔබ දැක තිබේද? හේතුව සරලයි: පෘථිවිය ගෝලාකාරයි, එයින් අදහස් කරන්නේ ඔබට ත්රිකෝණ භාවිතයෙන් බොහෝ ගණනය කළ නොහැකි බවයි - මෙහිදී ඔබට වඩාත් සංකීර්ණ සූත්ර භාවිතා කළ යුතුය.
අභ්‍යවකාශයට සම්බන්ධ ඕනෑම කාරණයකදී උග්ර කෝණයක සයින් / කෝසයින් නොමැතිව ඔබට කළ නොහැක. සිත්ගන්නා කරුණ නම්, සාධක රාශියක් මෙහි අභිසාරී වේ: රවුම්, ඉලිප්ස සහ විවිධ ගමන් පථවල ග්‍රහලෝකවල චලිතය ගණනය කිරීමේදී ත්රිකෝණමිතික ශ්රිත අවශ්ය වේ. සංකීර්ණ හැඩතල; රොකට්, චන්ද්‍රිකා, ෂටල, පර්යේෂණ වාහන දියත් කිරීමේ ක්‍රියාවලිය; දුරස්ථ තාරකා නිරීක්ෂණය කිරීම සහ අපේක්ෂා කළ හැකි අනාගතයේ දී මිනිසුන්ට ළඟා විය නොහැකි මන්දාකිණි අධ්යයනය කිරීම.
පොදුවේ ගත් කල, ත්රිකෝණමිතිය හිමි පුද්ගලයෙකුගේ ක්‍රියාකාරකම් සඳහා වන ක්ෂේත්‍රය ඉතා පුළුල් වන අතර, පෙනෙන විදිහට, කාලයත් සමඟ පමණක් පුළුල් වනු ඇත.
නිගමනය
අද අපි ඉගෙන ගත්තා හෝ, ඕනෑම අවස්ථාවක, සයින් සහ කොසයින් යනු කුමක්දැයි නැවත නැවතත් කියමු. මේවා ඔබ බිය විය යුතු නැති සංකල්ප වේ - ඔබට අවශ්ය පමණක් වන අතර ඒවායේ තේරුම ඔබට වැටහෙනු ඇත. ත්රිකෝණමිතිය යනු ඉලක්කයක් නොවන බව මතක තබා ගන්න, නමුත් සැබෑ මිනිස් අවශ්‍යතා සපුරාලීම සඳහා භාවිතා කළ හැකි මෙවලමක් පමණක් බව මතක තබා ගන්න: නිවාස තැනීම, රථවාහන ආරක්ෂාව සහතික කිරීම, විශ්වයේ විස්තාරය පවා ප්‍රගුණ කිරීම.
ඇත්ත වශයෙන්ම, විද්යාව කම්මැලි බවක් පෙනෙන්නට තිබුණත්, ඔබ ඔබේම අරමුණු සාක්ෂාත් කර ගැනීමට මාර්ගයක් සොයාගත් විගසම, ස්වයං අවබෝධය, ඉගෙනීමේ ක්‍රියාවලිය සිත්ගන්නාසුළු වන අතර ඔබේ පුද්ගලික අභිප්‍රේරණය වැඩි වනු ඇත.
පරිදි ගෙදර වැඩඔබට පෞද්ගලිකව උනන්දුවක් දක්වන ක්‍රියාකාරකම් ක්ෂේත්‍රයක ත්රිකෝණමිතික ශ්රිත යෙදිය හැකි ක්‍රම සොයා ගැනීමට උත්සාහ කරන්න. සිහින දකින්න, ඔබේ පරිකල්පනය සක්රිය කරන්න, එවිට අනාගතයේදී නව දැනුම ඔබට ප්රයෝජනවත් වනු ඇති බව නිසැකවම පෙනී යනු ඇත. ඊට අමතරව, ගණිතය ප්රයෝජනවත් වේ සාමාන්ය සංවර්ධනයසිතමින්.
උපදෙස්
පළමු විකල්පය සම්භාව්‍ය වේ, කඩදාසි, ප්‍රොටෙක්ටරයක් සහ පැන්සලක් (හෝ පෑන) භාවිතා කරයි. නිර්වචනය අනුව, සයින් කෝණයඍජු ත්රිකෝණයක කර්ණයට විරුද්ධ පාදයට සමාන වේ. එනම්, අගය ගණනය කිරීම සඳහා, ඔබ සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණයක් තැනීමට ප්රෝටරයක් භාවිතා කළ යුතුය, එහි එක් කෝණයක් ඔබ උනන්දුවක් දක්වන සයින් එකට සමාන වේ. ඉන්පසු කර්ණය සහ ප්රතිවිරුද්ධ පාදයේ දිග මැනීම සහ අපේක්ෂිත නිරවද්යතාවයෙන් දෙවනුව පළමුවැන්නෙන් බෙදන්න.
දෙවන විකල්පය පාසලයි. පාසලේ සිට, සෑම කෙනෙකුටම විවිධ කෝණවලින් ත්රිකෝණමිතික අගයන් දහස් ගණනක් අඩංගු “බ්‍රැඩිස් වගු” මතකයි. ඔබට කඩදාසි සංස්කරණය සහ එහි විද්‍යුත් සහකරු යන දෙකම pdf ආකෘතියෙන් සෙවිය හැකිය - ඒවා අන්තර්ජාලයෙන් ලබා ගත හැකිය. වගු සොයාගත් පසු, අගය සොයා ගන්න සයිනස්අවශ්ය කෝණයඅපහසු නොවනු ඇත.
තුන්වන විකල්පය හොඳම වේ. ඔබට ප්‍රවේශය තිබේ නම්, ඔබට සම්මත වින්ඩෝස් කැල්කියුලේටරය භාවිතා කළ හැකිය. එය උසස් මාදිලියට මාරු කළ යුතුය. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, මෙනුවේ "දර්ශන" කොටසේ, "ඉංජිනේරු" අයිතමය තෝරන්න. කැල්කියුලේටරයේ දර්ශනය වෙනස් වනු ඇත - එය දිස්වනු ඇත, විශේෂයෙන්, ත්රිකෝණමිතික ශ්රිත ගණනය කිරීම සඳහා බොත්තම්, දැන් අගය ඇතුළත් කරන්න කෝණය, ඔබට ගණනය කිරීමට අවශ්ය කාගේ සයින්ද. ඔබට යතුරුපුවරුවෙන් සහ මූසික කර්සරය සමඟ අපේක්ෂිත කැල්කියුලේටර යතුරු ක්ලික් කිරීමෙන් මෙය කළ හැකිය. නැතහොත් ඔබට අවශ්ය අගය (CTRL + C සහ CTRL + V) ඇලවිය හැකිය. ඊට පසු, එය ගණනය කළ යුතු ඒකක තෝරන්න - ත්රිකෝණමිතික ශ්රිත සඳහා, මේවා රේඩියන, අංශක හෝ රේඩ් විය හැක. ගණනය කළ අගයේ ආදාන ක්ෂේත්‍රයට පහළින් ඇති ස්විච් අගයන් තුනෙන් එකක් තේරීමෙන් මෙය සිදු කෙරේ. දැන්, "පව්" ලෙස ලේබල් කර ඇති බොත්තම එබීමෙන්, ඔබේ ප්‍රශ්නයට පිළිතුර ලබා ගන්න.
සිව්වන විකල්පය වඩාත්ම නවීන වේ. අන්තර්ජාලයේ යුගයේ, පැන නගින සෑම ගැටළුවක්ම පාහේ ජාලයේ ඇත. පරිශීලක-හිතකාමී අතුරු මුහුණතක් සහිත ත්රිකෝණමිතික ශ්රිතවල මාර්ගගත ගණක යන්ත්ර, වඩා දියුණු ක්රියාකාරිත්වයකොහෙත්ම සොයා නොගන්න. ඒවායින් හොඳම ඒවා තනි ශ්‍රිතයක අගයන් පමණක් නොව ප්‍රමාණවත් ලෙස ගණනය කිරීමට ඉදිරිපත් වේ සංකීර්ණ ප්රකාශනයන්බහු කාර්යයන් වලින්.
කාර්යයන් සයිනස්සහ සම සයිනස්ත්‍රිකෝණමිතිය ලෙස හැඳින්වෙන ගණිත ක්ෂේත්‍රයට අයත් වන අතර එම නිසා ශ්‍රිතම ත්රිකෝණමිතික ලෙස හැඳින්වේ. පැරණිතම නිර්වචනයට අනුව, ඒවා තියුණු කෝණයක විශාලත්වය ප්‍රකාශ කරයි සෘජු ත්රිකෝණයඑහි පැතිවල දිග අනුපාතය හරහා. අගයන් ගණනය කිරීම සයිනස්සහ ඉලෙක්ට්රොනික තාක්ෂණයේ වත්මන් මට්ටමේ සංවර්ධනය සමඟ - තරමක් සරල කාර්යයක්.
ඔබට අවශ්ය වනු ඇත
- වින්ඩෝස් කැල්ක්යුලේටරය.
උපදෙස්
ගණනය කිරීමට භාවිතා කරන්න සයිනස්සහ කෝණය - ත්රිකෝණමිතික ශ්රිත ගණනය කිරීම ඒවායින් බොහොමයක් සපයනු ලැබේ. බොහෝ වල කැල්කියුලේටරයක් තිබීම නිසා ජංගම දුරකථන, සමහර මැණික් කටුව සහ අනෙකුත් ජංගම උපාංග, පරිගණක ගැන සඳහන් නොකර, මෙය, සමහර විට, දැරිය හැකි මාර්ගයගණනය කිරීම් සයිනස්ඒ. ඔබ පරිගණකයේ මෘදුකාංග කැල්ක්යුලේටරය භාවිතා කිරීමට තීරණය කරන්නේ නම්, එය OS හි ප්රධාන මෙනුව තුළ දියත් කිරීමට සබැඳියක් සොයන්න. එය වින්ඩෝස් නම්, Win බොත්තම ඔබන්න, මෙනුවෙන් "සියලු වැඩසටහන්" තෝරන්න, "උපාංග" උපවගන්තිය වෙත ගොස් "කැල්කියුලේටරය" රේඛාව මත ක්ලික් කරන්න. දියත් කරන ලද යෙදුමේ ත්රිකෝණමිතික ශ්රිත ගණනය කිරීම සඳහා විධාන වෙත ප්‍රවේශ වීමට, Alt + 2 යතුරු සංයෝජනය ඔබන්න.
කෝණයෙහි ආරම්භක අගයෙහි නම්, සයිනස්ඔබට ගණනය කිරීමට අවශ්ය දේ දක්වා ඇත්තේ , කැල්කියුලේටර අතුරුමුහුණතේ "" සෙල්ලිපිය අසල ඇති බවට වග බලා ගන්න
