ලක්ෂ්‍යයක සිට රේඛාවකට ඇති දුර කුමක්ද. ගුවන් යානයක සරල රේඛාවක් සහිත සරලම ගැටළු. රේඛා අන්යෝන්ය සැකැස්ම. රේඛා අතර කෝණය

ලක්ෂ්‍යයක සිට රේඛාවකට ඇති දුර තීරණය කිරීම අවශ්‍ය වේ. ගැටළුව විසඳීම සඳහා පොදු සැලැස්ම:

- දී ඇති ලක්ෂ්‍යයක් හරහා අපි දී ඇති සරල රේඛාවකට ලම්බකව තලයක් අඳින්නෙමු;

- රේඛාවේ රැස්වීම් ස්ථානය සොයා ගන්න

ගුවන් යානයක් සමඟ;

- දුරස්ථ ස්වභාවික අගය තීරණය කරන්න.

දී ඇති ලක්ෂ්‍යයක් හරහා අපි AB රේඛාවට ලම්බකව තලයක් අඳින්නෙමු. තලය ඡේදනය වන තිරස් සහ ඉදිරිපස මගින් සකසා ඇති අතර, එහි ප්‍රක්ෂේපන ලම්බක ඇල්ගොරිතම (ප්‍රතිලෝම ගැටළුව) අනුව ගොඩනගා ඇත.

ගුවන් යානය සමඟ AB රේඛාවේ රැස්වීම් ස්ථානය සොයා ගන්න. මෙය ගුවන් යානයක් සමඟ රේඛාවක් ඡේදනය වීම පිළිබඳ සාමාන්‍ය ගැටළුවකි ("තලයක් සහිත රේඛාවක ඡේදනය" යන කොටස බලන්න).

තලය ලම්බකතාව

ඒවායින් එකක අනෙක් තලයට ලම්බක රේඛාවක් තිබේ නම් ගුවන් යානා එකිනෙකට ලම්බක වේ. එමනිසා, වෙනත් තලයකට ලම්බකව තලයක් ඇඳීම සඳහා, ඔබ මුලින්ම තලයට ලම්බකව ඇඳිය ​​යුතු අතර, පසුව එය හරහා අපේක්ෂිත තලය ඇද ගත යුතුය. රූප සටහනේ, තලය ඡේදනය වන සරල රේඛා දෙකකින් ලබා දී ඇති අතර, ඉන් එකක් ABC තලයට ලම්බක වේ.

ගුවන් යානා හෝඩුවාවන් මගින් ලබා දී ඇත්නම්, පහත සඳහන් අවස්ථා විය හැකිය:

- ලම්බක තල දෙකක් ප්‍රක්ෂේපණය කරන්නේ නම්, ඒවායේ සාමූහික හෝඩුවාවන් අන්‍යෝන්‍ය වශයෙන් ලම්බක වේ;

- ප්‍රක්ෂේපණ තලයේ සාමූහික හෝඩුවාව සාමාන්‍ය ස්ථානයේ ඇති තලයේ එකම නම හෝඩුවාවට ලම්බක නම් සාමාන්‍ය ස්ථානයේ තලයක් සහ ප්‍රක්ෂේපණ තලයක් ලම්බක වේ;

- සාමාන්‍ය ස්ථානයේ ඇති තල දෙකක හෝඩුවාවන් ලම්බක නම්, එම ගුවන් යානා එකිනෙකට ලම්බක නොවේ.

ප්රක්ෂේපණ ගුවන් යානා ප්රතිස්ථාපනය කිරීමේ ක්රමය

	ප්රක්ෂේපණ තල ආදේශන
ගුවන් යානා යන කාරනය තුල පවතී
කොටස් වෙනත් පැතලි මගින් ප්රතිස්ථාපනය වේ
	ඉතින් එතකොට	ජ්යාමිතික
වස්තුව තුළ නව පද්ධතියගුවන් යානා
ප්‍රක්ෂේපණ පුද්ගලිකව ගැනීමට පටන් ගත්තේය
පිහිටීම, එය නැවත සරල කිරීමට හැකි වේ
ගැටළු විසඳීම. අවකාශීය පරිමාණයෙන්
ket මගින් ගුවන් යානය V ප්‍රතිස්ථාපනය කිරීම පෙන්වයි
නව V 1 එය ද පෙන්වා ඇත
මුල් තලවල A ලක්ෂ්යය
ප්රක්ෂේපණ සහ නව ප්රක්ෂේපණ තලයක්
V1. ප්රක්ෂේපණ ගුවන් යානා ප්රතිස්ථාපනය කරන විට
පද්ධතියේ විකලාංග භාවය ආරක්ෂා වේ.

ඊතල දිගේ ගුවන් යානා කරකවමින් අවකාශීය පිරිසැලසුම තල සැකැස්මකට පරිවර්තනය කරමු. අපි එක් තලයකට ඒකාබද්ධව ප්රක්ෂේපණ ගුවන් යානා තුනක් ලබා ගනිමු.

එවිට අපි ප්රක්ෂේපණ ගුවන් යානා සහ ඉවත් කරමු
		ප්රක්ෂේපණ
ලක්ෂ්‍යයේ කුමන්ත්‍රණයෙන් රීතිය අනුගමනය කරයි: කවදාද
සඳහා V වෙනුවට V 1
		ඉදිරිපස
ලක්ෂ්යය, එය නව අක්ෂයේ සිට අවශ්ය වේ
ලබා ගත් අයදුම් ලක්ෂ්‍යය පසෙකට දමන්න
පෙර පැවති ගුවන් යානා පද්ධතිය
කොටස්. ඒ හා සමානව, කෙනෙකුට ඔප්පු කළ හැකිය
	H වෙනුවට H 1 කිරීම අවශ්ය වේ
ලක්ෂ්‍යයේ අනුපිළිවෙල සකසන්න.

ප්රක්ෂේපණ ගුවන් යානා ප්රතිස්ථාපනය කිරීමේ ක්රමයේ පළමු සාමාන්ය ගැටළුව

ප්‍රක්ෂේපණ ගුවන් යානා ප්‍රතිස්ථාපනය කිරීමේ ක්‍රමයේ පළමු සාමාන්‍ය කාර්යය වන්නේ සාමාන්‍ය ස්ථානයේ රේඛාවක්, පළමුව මට්ටමේ රේඛාවක් බවටත් පසුව ප්‍රක්ෂේපණ රේඛාවක් බවටත් පරිවර්තනය කිරීමයි. මෙම ගැටළුව ප්‍රධාන එකකි, එය වෙනත් ගැටළු විසඳීමේදී භාවිතා කරයි, උදාහරණයක් ලෙස, සමාන්තර සහ ඇල රේඛා අතර දුර තීරණය කිරීමේදී, තීරණය කිරීමේදී dihedral කෝණයආදිය

අපි V → V 1 වෙනස් කරන්නෙමු.
අක්ෂය තිරස් අතට සමාන්තරව ඇද ඇත
		ප්රක්ෂේපණ.
ඉදිරිපස ප්රක්ෂේපණය සෘජු, සඳහා
				කල් දමන්න
ලක්ෂ්ය යෙදුම්. නව ඉදිරිපස
සරල රේඛාවක ප්රක්ෂේපණය HB සරල රේඛාවකි.
සරල රේඛාවම ඉදිරිපස බවට පත්වේ.
කෝණය α ° තීරණය වේ.

අපි H → H 1 ආදේශනය කරන්නෙමු. නව අක්ෂය සරල රේඛාවේ ඉදිරිපස ප්රක්ෂේපණයට ලම්බකව ඇඳ ඇත. අපි සරල රේඛාවේ නව තිරස් ප්රක්ෂේපණයක් ගොඩනඟමු, ඒ සඳහා අපි නව අක්ෂයේ සිට ප්රක්ෂේපණ තලවල පෙර පද්ධතියෙන් ලබාගත් සරල රේඛාවේ ඕඩිනේට් වෙන් කරමු. රේඛාව තිරස් අතට ප්රක්ෂේපණය වන රේඛාවක් බවට පත් වන අතර ලක්ෂ්යයක් බවට "පිරිහී යයි".

මෙම ලිපිය මාතෘකාව ගැන කතා කරයි « ලක්ෂ්‍යයෙන් පේළියට දුර », ලක්ෂ්‍යයක සිට රේඛාවකට ඇති දුර නිර්වචනය ඛණ්ඩාංක ක්‍රමය මගින් නිදර්ශන උදාහරණ සමඟ සලකා බලනු ලැබේ. අවසානයේ ඇති සෑම න්‍යායක්ම සමාන ගැටළු විසඳීමේ උදාහරණ පෙන්වා ඇත.

Yandex.RTB R-A-339285-1

ලක්ෂ්‍යයක සිට රේඛාවකට ඇති දුර සොයා ගන්නේ ලක්ෂ්‍යයක සිට ලක්ෂයකට ඇති දුර තීරණය කිරීමෙනි. අපි වඩාත් විස්තරාත්මකව සලකා බලමු.

දී ඇති රේඛාවට අයත් නොවන a රේඛාවක් සහ M 1 ලක්ෂ්‍යයක් තිබිය යුතුය. a රේඛාවට ලම්බකව එය හරහා රේඛාවක් අඳින්න. රේඛාවල ඡේදනය වන ලක්ෂ්‍යය H 1 ලෙස ගන්න. M 1 H 1 ලම්බක බව අපට වැටහේ, එය M 1 ලක්ෂ්‍යයේ සිට a රේඛාව දක්වා පහත් කරන ලදී.

අර්ථ දැක්වීම 1

ලක්ෂ්‍ය M 1 සිට සරල රේඛාව a දක්වා දුරලකුණු M 1 සහ H 1 අතර දුර ලෙස හැඳින්වේ.

ලම්බකයේ දිග රූපය සමඟ අර්ථ දැක්වීමේ වාර්තා තිබේ.

අර්ථ දැක්වීම 2

ලක්ෂ්‍යයෙන් රේඛාවට දුරදී ඇති ලක්ෂ්‍යයක සිට දී ඇති රේඛාවකට ඇද ගන්නා ලම්බක දිග වේ.

අර්ථ දැක්වීම් සමාන වේ. පහත රූපය සලකා බලන්න.

ලක්ෂ්‍යයක සිට සරල රේඛාවකට ඇති දුර හැකි සෑම දෙයකටම වඩා කුඩාම බව දන්නා කරුණකි. අපි මෙය උදාහරණයකින් බලමු.

අපි A රේඛාවේ වැතිර සිටින Q ලක්ෂ්‍යය ගත්තොත්, M 1 ලක්ෂ්‍යයට සමපාත නොවී, M 1 Q ඛණ්ඩය වක්‍ර ලෙස හඳුන්වනු ලබන අතර, M 1 සිට a රේඛාවට පහත් කර ඇත. M 1 ලක්ෂ්‍යයේ සිට ලම්බකව ලක්ෂ්‍යයේ සිට සරල රේඛාවට ඇද ගන්නා වෙනත් ඕනෑම ආනතයකට වඩා අඩු බව දැක්වීම අවශ්‍ය වේ.

මෙය සනාථ කිරීම සඳහා, M 1 Q 1 කර්ණය වන M 1 Q 1 H 1 ත්‍රිකෝණය සලකා බලන්න. එහි දිග සෑම විටම බව දන්නා කරුණකි වැඩි දිගඕනෑම කැතීටර්. එබැවින්, අපට එම M 1 H 1 ඇත< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

ලක්ෂ්‍යයක සිට සරල රේඛාවක් සොයා ගැනීම සඳහා වන මූලික දත්ත විසඳුම් ක්‍රම කිහිපයක් භාවිතා කිරීමට ඉඩ සලසයි: පයිතගරස් ප්‍රමේයය හරහා, සයින්, කෝසයින්, කෝණයක ස්පර්ශක සහ වෙනත් අර්ථ දැක්වීම්. මෙම වර්ගයේ බොහෝ කාර්යයන් ජ්‍යාමිතික පාඩම් වලදී පාසලේදී විසඳනු ලැබේ.

ලක්ෂ්‍යයක සිට රේඛාවකට ඇති දුර සොයා ගැනීමේදී, සෘජුකෝණාස්‍රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියකට ඇතුළු විය හැකි විට, ඛණ්ඩාංක ක්‍රමය භාවිතා වේ. මෙම ඡේදයේ දී, දී ඇති ලක්ෂ්‍යයෙන් අපේක්ෂිත දුර සොයා ගැනීම සඳහා ප්‍රධාන ක්‍රම දෙක අපි සලකා බලමු.

පළමු ක්‍රමයට M 1 සිට a රේඛාව දක්වා ලම්බකව දුර සෙවීම ඇතුළත් වේ. දෙවන ක්රමය භාවිතා කරයි සාමාන්ය සමීකරණයඅපේක්ෂිත දුර සොයා ගැනීමට සරල රේඛාව a.

M 1 (x 1, y 1) ඛණ්ඩාංක සහිත තලයේ ලක්ෂ්‍යයක් තිබේ නම් සෘජුකෝණාස්රාකාර පද්ධතියඛණ්ඩාංක, සරල රේඛාව a, නමුත් එය M 1 H 1 දුර සොයා ගැනීමට අවශ්ය වේ, ඔබට ක්රම දෙකකින් ගණනය කළ හැකිය. අපි ඒවා සලකා බලමු.

පළමු මාර්ගය

x 2, y 2 ට සමාන H 1 ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක තිබේ නම්, ලක්ෂ්‍යයේ සිට රේඛාවට ඇති දුර M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y) සූත්‍රයේ ඛණ්ඩාංක වලින් ගණනය කෙරේ. 2 - y 1) 2.

දැන් අපි H 1 ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක සෙවීමට යමු.

O x y හි සරල රේඛාවක් තලයක සරල රේඛාවක සමීකරණයට අනුරූප වන බව දන්නා කරුණකි. සරල රේඛාවක සාමාන්‍ය සමීකරණයක් හෝ බෑවුමක් සහිත සමීකරණයක් ලිවීම හරහා සරල රේඛාවක් අර්ථ දැක්වීමට ක්‍රමයක් ගනිමු. දී ඇති රේඛාවකට ලම්බකව M 1 ලක්ෂ්‍යය හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවක සමීකරණය අපි සම්පාදනය කරමු a. beech b මගින් රේඛාව නිරූපනය කරමු. H 1 යනු රේඛා a සහ b ඡේදනය වන ලක්ෂ්‍යය, එබැවින් ඛණ්ඩාංක තීරණය කිරීම සඳහා, ඔබ රේඛා දෙකක ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යවල ඛණ්ඩාංක සමඟ කටයුතු කරන ලිපිය භාවිතා කළ යුතුය.

දී ඇති ලක්ෂ්‍යයක සිට M 1 (x 1, y 1) සිට a සරල රේඛාව දක්වා ඇති දුර සෙවීමේ ඇල්ගොරිතම ලක්ෂ්‍ය අනුව සිදු කරන බව දැකිය හැකිය:

අර්ථ දැක්වීම 3

• සරල රේඛාවේ a , A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 ආකෘතිය හෝ y \u003d k 1 x + b 1 ආකෘතිය සහිත බෑවුම් සංගුණකයක් සහිත සමීකරණයක් සොයා ගැනීම;
• A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0 ආකෘතිය ඇති b රේඛාවේ සාමාන්‍ය සමීකරණය ලබා ගැනීම හෝ b රේඛාව M 1 ලක්ෂ්‍යය ඡේදනය කරන්නේ නම් y \u003d k 2 x + b 2 බෑවුමක් සහිත සමීකරණයක් ලබා ගැනීම සහ දී ඇති රේඛාවට ලම්බක වේ a;
• a සහ b හි ඡේදනය වන ලක්ෂ්‍යය වන H 1 ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක x 2, y 2 තීරණය කිරීම, මේ සඳහා පද්ධතිය විසඳනු ලැබේ රේඛීය සමීකරණ A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 හෝ y = k 1 x + b 1 y = k 2 x + b 2 ;
• M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 සූත්‍රය භාවිතා කරමින් ලක්ෂ්‍යයක සිට සරල රේඛාවකට අවශ්‍ය දුර ගණනය කිරීම.

දෙවන මාර්ගය

තලයක දී ඇති ලක්ෂ්‍යයක සිට දී ඇති රේඛාවකට ඇති දුර සෙවීමේ ප්‍රශ්නයට පිළිතුරු දීමට ප්‍රමේයය උපකාරී වේ.

ප්රමේයය

සෘජුකෝණාස්‍රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක O x y හි ලක්ෂ්‍යයක් M 1 (x 1, y 1) ඇත, එයින් cos α x + cos β ආකෘතිය සහිත තලයේ සාමාන්‍ය සමීකරණය මගින් ලබා දෙන තලයට a සරල රේඛාවක් අඳිනු ලැබේ. y - p \u003d 0, x = x 1, y = y 1 හිදී ගණනය කරන ලද සාමාන්‍ය සරල රේඛා සමීකරණයේ වම් පැත්තේ ලබාගත් අගය මොඩියුලයට සමාන වේ, එයින් අදහස් වන්නේ M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - පි.

සාක්ෂි

a රේඛාව cos α x + cos β y - p = 0 ආකාරය ඇති තලයේ සාමාන්‍ය සමීකරණයට අනුරූප වේ, එවිට n → = (cos α , cos β) a රේඛාවේ සාමාන්‍ය දෛශිකයක් ලෙස සැලකේ. මූලාරම්භයේ සිට p ඒකක සහිත a රේඛාව දක්වා ඇති දුර. රූපයේ ඇති සියලුම දත්ත නිරූපණය කිරීම අවශ්ය වේ, M 1 (x 1, y 1) ඛණ්ඩාංක සහිත ලක්ෂ්යයක් එකතු කරන්න , ලක්ෂ්යයේ අරය දෛශිකය M 1 - O M 1 → = (x 1 , y 1) . ලක්ෂ්‍යයක සිට සරල රේඛාවක් දක්වා සරල රේඛාවක් ඇඳීම අවශ්‍ය වේ, එය අපි M 1 H 1 මගින් දක්වනු ඇත. n → = (cos α , cos β ) ආකෘතියේ දිශානත දෛශිකයක් සමඟ O ලක්ෂ්‍යය හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවක් මත M 1 සහ H 2 ලක්ෂ්‍යවල M 2 සහ H 2 ප්‍රක්ෂේපණය සහ සංඛ්‍යාත්මක ප්‍රක්ෂේපණය පෙන්වීම අවශ්‍ය වේ. දෛශිකයේ O M 1 → = (x 1 , y 1) දිශාවට n → = (cos α, cos β) ලෙස n p n → O M 1 → ලෙස දක්වනු ලැබේ.

වෙනස්කම් M 1 ලක්ෂයේ පිහිටීම මත රඳා පවතී. පහත රූපය සලකා බලන්න.

M 1 H 1 = n p n → O M → 1 - p සූත්රය භාවිතයෙන් අපි ප්රතිඵල සවි කරමු. එවිට අපි n p n → O M → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 ලබා ගැනීම සඳහා M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p මෙම ආකෘතියට සමානාත්මතාවය ගෙන එන්නෙමු.

පරිමාණ නිෂ්පාදනයදෛශික ප්‍රතිඵලයක් ලෙස n → , O M → 1 = n → n p n → O M 1 → = 1 n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 → ආකෘතියේ n → , O M 1 → ආකෘතියේ පරිවර්තනය වූ සූත්‍රයක් ලබා දෙයි. → , O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . එබැවින්, අපි n p n → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 ලබා ගනිමු. එය M 1 H 1 = n p n → O M 1 → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p . ප්රමේයය ඔප්පු කර ඇත.

තලයේ M 1 (x 1, y 1) ලක්ෂ්‍යයේ සිට a සරල රේඛාව දක්වා ඇති දුර සොයා ගැනීමට අපට ක්‍රියා කිහිපයක් සිදු කළ යුතු බව අපට ලැබේ:

අර්ථ දැක්වීම 4

• රේඛාවේ සාමාන්ය සමීකරණය ලබා ගැනීම a cos α · x + cos β · y - p = 0, එය කාර්යයේ නොමැති නම්;
• ප්‍රකාශනය ගණනය කිරීම cos α · x 1 + cos β · y 1 - p , මෙහි ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන අගය M 1 H 1 ගනී.

ලක්ෂ්‍යයක සිට තලයකට ඇති දුර සෙවීමේ ගැටළු විසඳීමට මෙම ක්‍රම යොදා ගනිමු.

උදාහරණ 1

M 1 (- 1 , 2) ඛණ්ඩාංක සහිත ලක්ෂ්‍යයේ සිට 4 x - 3 y + 35 = 0 රේඛාව දක්වා ඇති දුර සොයන්න.

විසඳුමක්

විසඳීමට පළමු ක්රමය භාවිතා කරමු.

මෙය සිදු කිරීම සඳහා, ඔබ 4 x - 3 y + 35 = 0 රේඛාවට ලම්බකව M 1 (- 1 , 2) ලක්ෂ්‍යයක් හරහා ගමන් කරන b රේඛාවේ සාමාන්‍ය සමීකරණය සොයා ගත යුතුය. b රේඛාව a රේඛාවට ලම්බක වන අතර, එහි දිශා දෛශිකයට (4, - 3) ට සමාන ඛණ්ඩාංක ඇති බව කොන්දේසියෙන් දැකිය හැකිය. මේ අනුව, B රේඛාවට අයත් M 1 ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක ඇති බැවින්, තලයේ b රේඛාවේ කැනොනිකල් සමීකරණය ලිවීමට අපට අවස්ථාව තිබේ. සෘජු රේඛාවේ සෘජු දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක තීරණය කරමු b . අපි එම x - (- 1) 4 = y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 = y - 2 - 3 ලබා ගනිමු. ප්රතිඵලයක් වශයෙන් කැනොනිකල් සමීකරණය සාමාන්ය එකක් බවට පරිවර්තනය කළ යුතුය. එතකොට අපිට ඒක ලැබෙනවා

x + 1 4 = y - 2 - 3 ⇔ - 3 (x + 1) = 4 (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 = 0

රේඛාවල ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යවල ඛණ්ඩාංක සොයා ගනිමු, එය අපි H 1 ලෙස සලකමු. පරිවර්තනයන් මේ ආකාරයෙන් පෙනේ:

4 x - 3 y + 35 = 0 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 3 3 4 y - 35 4 + 4 y - 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 y - 35 4 y = 5 ⇔ x = 3 4 5 - 35 4 y = 5 ⇔ x = - 5 y = 5

ඉහතින්, අපට H 1 ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක (- 5; 5) වේ.

ලක්ෂ්යය M 1 සිට සරල රේඛාව a දක්වා දුර ගණනය කිරීම අවශ්ය වේ. M 1 (- 1, 2) සහ H 1 (- 5, 5) යන ලක්ෂ්‍යවල ඛණ්ඩාංක අප සතුව ඇත, එවිට අපි දුර සෙවීම සඳහා සූත්‍රයට ආදේශ කර එය ලබා ගනිමු.

M 1 H 1 \u003d (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 \u003d 25 \u003d 5

දෙවන විසඳුම.

වෙනත් ආකාරයකින් විසඳීම සඳහා, සරල රේඛාවක සාමාන්ය සමීකරණය ලබා ගැනීම අවශ්ය වේ. අපි සාමාන්‍යකරණ සාධකයේ අගය ගණනය කර 4 x - 3 y + 35 = 0 සමීකරණයේ දෙපැත්තම ගුණ කරමු. මෙතැන් සිට අපට සාමාන්‍යකරණ සාධකය - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5 වන අතර සාමාන්‍ය සමීකරණය වන්නේ - 1 5 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 0 ⇔ - 4 5 x + 3 5 y - 7 = 0 .

ගණනය කිරීමේ ඇල්ගොරිතමයට අනුව, සරල රේඛාවක සාමාන්ය සමීකරණය ලබා ගැනීම සහ එය x = - 1, y = 2 අගයන් සමඟ ගණනය කිරීම අවශ්ය වේ. එතකොට අපිට ඒක ලැබෙනවා

4 5 - 1 + 3 5 2 - 7 = - 5

මෙතැන් සිට අපට M 1 (- 1 , 2) ලක්ෂ්‍යයේ සිට ලබා දී ඇති සරල රේඛාව 4 x - 3 y + 35 = 0 අගය - 5 = 5 දක්වා ඇති බව අපට ලැබේ.

පිළිතුර: 5 .

තුළ බව පෙනේ මෙම ක්රමයමෙම ක්‍රමය කෙටිම බැවින් සරල රේඛාවක සාමාන්‍ය සමීකරණය භාවිතා කිරීම වැදගත් වේ. නමුත් පළමු ක්‍රමය පහසු වන්නේ එයට වැඩි ගණනය කිරීම් ලකුණු තිබුණද එය ස්ථාවර හා තාර්කික ය.

උදාහරණ 2

තලය මත සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක් O x y ලක්ෂ්යයක් M 1 (8, 0) සහ සරල රේඛාවක් y = 1 2 x + 1 ඇත. දී ඇති ලක්ෂ්‍යයක සිට සරල රේඛාවකට ඇති දුර සොයන්න.

විසඳුමක්

පළමු ආකාරයෙන් විසඳුම අඩු කිරීම අදහස් කරයි ලබා දී ඇති සමීකරණයසමීකරණයට බෑවුමක් සහිතව සාමාන්ය දැක්ම. සරල කිරීම සඳහා, ඔබට එය වෙනස් ආකාරයකින් කළ හැකිය.

ලම්බක රේඛාවල බෑවුම්වල ගුණිතය - 1 නම්, ලබා දී ඇති y = 1 2 x + 1 ට ලම්බක රේඛාවේ බෑවුම 2 වේ. දැන් අපි ඛණ්ඩාංක M 1 (8, 0) සමඟ ලක්ෂ්‍යයක් හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවක සමීකරණය ලබා ගනිමු. අපට y - 0 = - 2 (x - 8) ⇔ y = - 2 x + 16 .

අපි H 1 ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක සොයා ගැනීමට ඉදිරියට යමු, එනම් ඡේදනය වන ලකුණු y \u003d - 2 x + 16 සහ y \u003d 1 2 x + 1. අපි සමීකරණ පද්ධතියක් සකස් කර ලබා ගනිමු:

y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 6 + 1 x \u003d 6 \u003d y \u003d 4 x \u003d 6 ⇒ H 1 (6, 4)

M 1 (8 , 0) ඛණ්ඩාංක සහිත ලක්ෂ්‍යයේ සිට y = 1 2 x + 1 රේඛාව දක්වා ඇති දුර ආරම්භක ලක්ෂ්‍යයේ සහ M 1 (8 , 0) සහ H ඛණ්ඩාංක සහිත අවසාන ලක්ෂ්‍යයේ සිට ඇති දුරට සමාන බව එයින් කියවේ. 1 (6, 4) . අපි ගණනය කර එම M 1 H 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5 ලබා ගනිමු.

දෙවන ආකාරයෙන් විසඳුම වන්නේ සංගුණකයක් සහිත සමීකරණයෙන් එහි සාමාන්ය ස්වරූපයට ගමන් කිරීමයි. එනම්, අපට y \u003d 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 \u003d 0 ලැබේ, එවිට සාමාන්‍යකරණ සාධකයේ අගය වනුයේ - 1 1 2 2 + (- 1) 2 \u003d - 2 5 . සරල රේඛාවක සාමාන්‍ය සමීකරණය - 2 5 1 2 x - y + 1 = - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 යන ස්වරූපය ගනී. ලක්ෂ්‍යයෙන් ගණනය කරමු M 1 8 , 0 පෝරමයේ සරල රේඛාවක් දක්වා - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 . අපට ලැබෙන්නේ:

M 1 H 1 \u003d - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 \u003d - 10 5 \u003d 2 5

පිළිතුර: 2 5 .

උදාහරණය 3

M 1 (- 2 , 4) ඛණ්ඩාංක සහිත ලක්ෂ්යයේ සිට සරල රේඛා 2 x - 3 = 0 සහ y + 1 = 0 දක්වා දුර ගණනය කිරීම අවශ්ය වේ.

විසඳුමක්

2 x - 3 = 0 සරල රේඛාවේ සාමාන්‍ය ස්වරූපයේ සමීකරණය අපට ලැබේ:

2 x - 3 = 0 ⇔ 1 2 2 x - 3 = 1 2 0 ⇔ x - 3 2 = 0

එවිට අපි M 1 - 2, 4 ලක්ෂ්‍යයේ සිට සරල රේඛාව x - 3 2 = 0 දක්වා දුර ගණනය කිරීමට ඉදිරියට යමු. අපට ලැබෙන්නේ:

M 1 H 1 = - 2 - 3 2 = 3 1 2

සරල රේඛා සමීකරණය y + 1 = 0 -1 අගයක් සහිත සාමාන්‍යකරණ සාධකයක් ඇත. මෙයින් අදහස් කරන්නේ සමීකරණය - y - 1 = 0 ආකෘතිය ගන්නා බවයි. ලක්ෂ්යය M 1 (- 2 , 4) සිට සරල රේඛාව දක්වා දුර ප්රමාණය ගණනය කිරීමට අපි ඉදිරියට යන්නෙමු - y - 1 = 0 . අපට එය සමාන වේ - 4 - 1 = 5.

පිළිතුර: 3 1 2 සහ 5 .

තලයේ දී ඇති ලක්ෂ්‍යයක සිට O x සහ O y ඛණ්ඩාංක අක්ෂ දක්වා ඇති දුර තීරණය කිරීම අපි විස්තරාත්මකව සලකා බලමු.

සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක, O ​​y අක්ෂයට සරල රේඛාවක සමීකරණයක් ඇත, එය අසම්පූර්ණ වන අතර x \u003d 0, සහ O x - y \u003d 0 ආකෘතිය ඇත. ඛණ්ඩාංක අක්ෂ සඳහා සමීකරණ සාමාන්‍ය වේ, එවිට ඛණ්ඩාංක M 1 x 1, y 1 සමඟ ලක්ෂ්‍යයේ සිට සරල රේඛා දක්වා දුර සොයා ගැනීම අවශ්‍ය වේ. M 1 H 1 = x 1 සහ M 1 H 1 = y 1 යන සූත්‍ර මත පදනම්ව මෙය සිදු කෙරේ. පහත රූපය සලකා බලන්න.

උදාහරණය 4

M 1 (6, - 7) ලක්ෂ්‍යයේ සිට O x y තලයේ පිහිටා ඇති ඛණ්ඩාංක රේඛා දක්වා දුර සොයන්න.

විසඳුමක්

y \u003d 0 සමීකරණය O x රේඛාවට යොමු වන බැවින්, ඔබට සූත්‍රය භාවිතයෙන් මෙම රේඛාවට ලබා දී ඇති ඛණ්ඩාංක සමඟ M 1 සිට දුර සොයාගත හැකිය. අපිට 6 = 6 ලැබෙනවා.

x \u003d 0 සමීකරණය O y රේඛාවට යොමු වන බැවින්, ඔබට M 1 සිට මෙම රේඛාවට ඇති දුර සූත්‍රය භාවිතයෙන් සොයාගත හැකිය. එවිට අපි එය ලබා ගනිමු - 7 = 7 .

පිළිතුර: M 1 සිට O x දක්වා ඇති දුර 6 අගයක් වන අතර M 1 සිට O y දක්වා 7 අගයක් ඇත.

ත්‍රිමාණ අවකාශයේ අපට M 1 (x 1, y 1, z 1) ඛණ්ඩාංක සහිත ලක්ෂ්‍යයක් ඇති විට, A ලක්ෂ්‍යයේ සිට a රේඛාව දක්වා ඇති දුර සොයා ගැනීම අවශ්‍ය වේ.

අභ්‍යවකාශයේ පිහිටා ඇති ලක්ෂ්‍යයක සිට සරල රේඛාවකට ඇති දුර ගණනය කිරීමට ඔබට ඉඩ සලසන ක්‍රම දෙකක් සලකා බලන්න. පළමු අවස්ථාව M 1 ලක්ෂ්‍යයේ සිට රේඛාව දක්වා ඇති දුර සලකා බලයි, එහිදී රේඛාවේ ලක්ෂ්‍යය H 1 ලෙස හැඳින්වෙන අතර එය M 1 ලක්ෂ්‍යයේ සිට a රේඛාව දක්වා ඇද ගන්නා ලම්බකයේ පාදය වේ. දෙවන අවස්ථාව යෝජනා කරන්නේ මෙම තලයේ ලක්ෂ්‍ය සමාන්තර චලිතයේ උස ලෙස සෙවිය යුතු බවයි.

පළමු මාර්ගය

නිර්වචනයට අනුව, a සරල රේඛාවේ පිහිටා ඇති M 1 ලක්ෂ්‍යයේ සිට ඇති දුර ලම්බක M 1 H 1 හි දිග බව අපට ඇත, එවිට අපට H 1 ලක්ෂ්‍යයේ සොයාගත් ඛණ්ඩාංක සමඟ එය ලැබේ, පසුව අපි දුර සොයා ගනිමු. M 1 (x 1, y 1, z 1 ) සහ H 1 (x 1, y 1, z 1) අතර M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z සූත්‍රය මත පදනම්ව 2 - z 1 2 .

M 1 සිට a රේඛාව දක්වා අඳින ලද ලම්බක පාදයේ ඛණ්ඩාංක සෙවීමට සම්පූර්ණ විසඳුම යන බව අපට වැටහේ. මෙය පහත පරිදි සිදු කෙරේ: H 1 යනු ලබා දී ඇති ලක්ෂ්‍යය හරහා ගමන් කරන තලය සමඟ රේඛාවක් ඡේදනය වන ලක්ෂ්‍යය වේ.

මෙයින් අදහස් කරන්නේ M 1 (x 1, y 1, z 1) ලක්ෂ්‍යයේ සිට අභ්‍යවකාශයේ සරල රේඛාව a දක්වා ඇති දුර නිර්ණය කිරීමේ ඇල්ගොරිතමයෙන් කරුණු කිහිපයක් අදහස් වන බවයි:

අර්ථ දැක්වීම 5

• රේඛාවට ලම්බකව දී ඇති ලක්ෂ්‍යයක් හරහා ගමන් කරන තලයේ සමීකරණයක් ලෙස χ තලයේ සමීකරණය ඇඳීම;
• රේඛාව a සහ තලය χ ඡේදනය වන ලක්ෂ්‍යය වන H 1 ලක්ෂයට අයත් ඛණ්ඩාංක (x 2, y 2, z 2) තීරණය කිරීම;
• M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 සූත්‍රය භාවිතා කරමින් ලක්ෂ්‍යයක සිට රේඛාවකට ඇති දුර ගණනය කිරීම.

දෙවන මාර්ගය

කොන්දේසියෙන් අපට a රේඛාවක් ඇත, එවිට අපට දිශාව දෛශික a → = a x, a y, a z ඛණ්ඩාංක x 3, y 3, z 3 සහ a රේඛාවට අයත් M 3 නිශ්චිත ලක්ෂ්‍යයක් සමඟ තීරණය කළ හැකිය. M 1 (x 1 , y 1) සහ M 3 x 3 , y 3 , z 3 , M 3 M 1 → යන ලක්ෂ්‍යවල ඛණ්ඩාංක අනුව ගණනය කළ හැක:

M 3 M 1 → = (x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3)

M 3 ලක්ෂ්‍යයේ සිට දෛශික a → \u003d a x, a y, a z සහ M 3 M 1 → \u003d x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 කල් දැමීම අවශ්‍ය වේ, සම්බන්ධ කර ලබා ගන්න සමාන්තර චලිත රූපයක්. M 1 H 1 යනු සමාන්තර චලිතයේ උස වේ.

පහත රූපය සලකා බලන්න.

අපට උස M 1 H 1 අපේක්ෂිත දුර වේ, එවිට ඔබ එය සූත්‍රය භාවිතයෙන් සොයා ගත යුතුය. එනම්, අපි M 1 H 1 සොයමින් සිටිමු.

S අකුරින් සමාන්තර චලිතයේ ප්‍රදේශය දක්වන්න, a → = (a x , a y , a z) සහ M 3 M 1 → = x 1 - x 3 සූත්‍රය මගින් සොයා ගනී. y 1 - y 3 , z 1 - z 3 . ප්‍රදේශ සූත්‍රයේ S = a → × M 3 M 1 → ආකෘතිය ඇත. එසේම, රූපයේ වර්ගඵලය එහි පැතිවල දිග සහ උසෙහි ගුණිතයට සමාන වේ, අපට එම S \u003d a → M 1 H 1 → \u003d a x 2 + a y 2 + සමඟ ලැබේ. a z 2, එය දෛශිකයේ දිග a → \u003d (a x, a y, a z) , වීම සමාන පැත්තසමාන්තර චලිතය. එබැවින්, M 1 H 1 යනු ලක්ෂ්‍යයේ සිට රේඛාවට ඇති දුරයි. එය M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → සූත්‍රයෙන් සොයා ගනී.

M 1 (x 1, y 1, z 1) ඛණ්ඩාංක සහිත ලක්ෂ්‍යයක සිට අභ්‍යවකාශයේ a සරල රේඛාවකට ඇති දුර සොයා ගැනීමට, ඔබ ඇල්ගොරිතමයේ කරුණු කිහිපයක් සිදු කළ යුතුය:

අර්ථ දැක්වීම 6

• ඍජු රේඛාවේ දිශා දෛශිකය නිර්ණය කිරීම a - a → = (a x , a y , a z) ;
• දිශාව දෛශිකයේ දිග ගණනය කිරීම a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 ;
• a රේඛාවේ පිහිටා ඇති M 3 ලක්ෂයට අයත් x 3, y 3, z 3 ඛණ්ඩාංක ලබා ගැනීම;
• දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක ගණනය කිරීම M 3 M 1 → ;
• සොයා ගැනීම දෛශික නිෂ්පාදනයදෛශික a → (a x , a y , a z) සහ M 3 M 1 → = x 1 - x 3 , y 1 - y 3 , z 1 - z 3 a → × M 3 M 1 → = i → j→ k a x a y a z x 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 a → × M 3 M 1 → සූත්‍රයට අනුව දිග ලබා ගැනීමට;
• ලක්ෂ්‍යයක සිට රේඛාවකට ඇති දුර ගණනය කිරීම M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

ලබා දී ඇති ලක්ෂ්‍යයක සිට අභ්‍යවකාශයේ දී ඇති සරල රේඛාවකට ඇති දුර සෙවීමේ ගැටළු විසඳීම

උදාහරණ 5

M 1 2, - 4, - 1 යන ඛණ්ඩාංක සහිත ලක්ෂ්‍යයේ සිට x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 රේඛාවට ඇති දුර සොයන්න.

විසඳුමක්

පළමු ක්‍රමය ආරම්භ වන්නේ M 1 හරහා ගමන් කරන χ තලයේ සමීකරණය සහ ලම්බකව ලිවීමෙනි. ලබා දී ඇති ලක්ෂ්යය. අපට මෙවැනි ප්‍රකාශනයක් ලැබේ:

2 (x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

කොන්දේසිය මගින් ලබා දී ඇති සරල රේඛාවට χ තලය සමඟ ඡේදනය වන ලක්ෂ්යය වන H 1 ලක්ෂ්යයේ ඛණ්ඩාංක සොයා ගැනීම අවශ්ය වේ. කැනොනිකල් ආකෘතියේ සිට ඡේදනය වන එක දක්වා ගමන් කිරීම අවශ්ය වේ. එවිට අපට පෝරමයේ සමීකරණ පද්ධතියක් ලැබේ:

x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 (x + 1) = 2 y 5 (x + 1) = 2 (z + 5) 5 y = - 1 (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

පද්ධතිය x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 ගණනය කිරීම අවශ්ය වේ. 2 x - y + 5 z = 3 ක්‍රේමර්ගේ ක්‍රමයට අනුව, අපට එය ලැබේ:

∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ = z - 60 = 0

එබැවින් අපට එම H 1 (1, - 1, 0) ඇත.

M 1 H 1 \u003d 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 \u003d 11

දෙවන ක්‍රමය නම් ඛණ්ඩාංක සෙවීමෙන් ආරම්භ කිරීමයි කැනොනිකල් සමීකරණය. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, භාගයේ හරයන් කෙරෙහි අවධානය යොමු කරන්න. එවිට a → = 2 , - 1 , 5 යනු x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 රේඛාවේ දිශා දෛශිකයයි. a → = 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 30 සූත්‍රය භාවිතයෙන් දිග ගණනය කිරීම අවශ්‍ය වේ.

x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 රේඛාව M 3 (- 1 , 0 , - 5) ලක්ෂ්‍යය ඡේදනය කරන බව පැහැදිලිය, එබැවින් අපට M 3 මූලාරම්භය සහිත දෛශිකය (- 1 , 0) ඇත. , - 5) සහ M 1 2 , - 4 , - 1 ලක්ෂ්‍යයේ එහි අවසානය M 3 M 1 → = 3 , - 4 , 4 . දෛශික නිෂ්පාදන a → = (2, - 1, 5) සහ M 3 M 1 → = (3, - 4, 4) සොයන්න.

a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 j ආකෘතියේ ප්‍රකාශනයක් අපට ලැබේ. → = 16 i → + 7 j → - 5 k →

හරස් නිෂ්පාදනයේ දිග a → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330 බව අපට ලැබේ.

සරල රේඛාවක් සඳහා ලක්ෂ්‍යයක සිට දුර ගණනය කිරීම සඳහා සූත්‍රය භාවිතා කිරීමට සියලු දත්ත අප සතුව ඇත, එබැවින් අපි එය යොදවා ලබා ගනිමු:

M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → = 330 30 = 11

පිළිතුර: 11 .

ඔබ පෙළෙහි වරදක් දුටුවහොත්, කරුණාකර එය උද්දීපනය කර Ctrl+Enter ඔබන්න

155*. සාමාන්ය ස්ථානයේ සරල රේඛාවක AB කොටසෙහි සැබෑ ප්රමාණය තීරණය කරන්න (රූපය 153, a).

විසඳුමක්. ඔබ දන්නා පරිදි, ඕනෑම තලයක සරල රේඛා කොටසක ප්‍රක්ෂේපණය මෙම තලයට සමාන්තර නම්, එම කොටසටම සමාන වේ (ඇඳීමේ පරිමාණය සැලකිල්ලට ගනිමින්),

(රූපය 153, ආ). චිත්‍රය පරිවර්තනය කිරීමෙන් මෙම කොටසෙහි සමාන්තරභාවය සාක්ෂාත් කර ගැනීම අවශ්‍ය බව මින් පහත දැක්වේ. V හෝ pl. H හෝ පද්ධතිය V, H අතිරේකව චතුරස්රයට ලම්බක තවත් තලයක් සමඟ. V හෝ pl වෙත. H සහ එම අවස්ථාවේදීම දී ඇති කොටසට සමාන්තරව.

අත්තික්කා මත. 153, c චතුරස්‍රයට ලම්බකව අතිරේක තලයක් S හඳුන්වාදීම පෙන්වයි. H සහ ලබා දී ඇති කොටස AB ට සමාන්තරව.

a s b s ප්රක්ෂේපණය AB කොටසෙහි ස්වභාවික අගයට සමාන වේ.

අත්තික්කා මත. 153, d තවත් ක්‍රමයක් පෙන්වයි: AB කොටස B ලක්ෂ්‍යය හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවක් වටා භ්‍රමණය වන අතර චතුරස්‍රයට ලම්බක වේ. H, සමාන්තර ස්ථානයකට

වර්ග අඩි V. මෙම අවස්ථාවේදී, B ලක්ෂ්‍යය ස්ථානයේ පවතින අතර A ලක්ෂ්‍යය A 1 නව ස්ථානයක් ගනී. ක්ෂිතිජය නව ස්ථානයක. ප්රක්ෂේපණය a 1 b || x අක්ෂය. "1 b" ප්රක්ෂේපණය AB කොටසෙහි ස්වභාවික අගයට සමාන වේ.

156. පිරමිඩ SABCD ලබා දී ඇත (රූපය 154). ප්‍රක්ෂේපණ තල වෙනස් කිරීමේ ක්‍රමය භාවිතා කරමින් පිරමීඩ දාර AS සහ CS වල ස්වාභාවික ප්‍රමාණය තීරණය කරන්න, භ්‍රමණ ක්‍රමය භාවිතා කරමින් දාර BS සහ DS, සහ චතුරස්‍රයට ලම්බකව භ්‍රමණ අක්ෂය ගන්න. එච්.

157*. A ලක්ෂයේ සිට BC සරල රේඛාව දක්වා දුර තීරණය කරන්න (රූපය 155, a).

විසඳුමක්. ලක්ෂ්‍යයක සිට රේඛාවකට ඇති දුර මනිනු ලබන්නේ ලක්ෂ්‍යයක සිට රේඛාවකට අඳින ලද ලම්බක කොටසකිනි.

රේඛාව ඕනෑම තලයකට ලම්බක නම් (රූපය 155.6), එවිට ලක්ෂ්‍යයේ සිට රේඛාව දක්වා ඇති දුර මනිනු ලබන්නේ ලක්ෂ්‍යයේ ප්‍රක්ෂේපණය සහ මෙම තලයේ රේඛාවේ ප්‍රක්ෂේපණ ලක්ෂ්‍යය අතර දුර මගිනි. V, H පද්ධතියේ රේඛාව පිහිටා තිබේ නම් සාමාන්ය තත්ත්වය, පසුව ප්රක්ෂේපණ තල වෙනස් කිරීම මගින් ලක්ෂ්යයක සිට සරල රේඛාවක් දක්වා දුර තීරණය කිරීම සඳහා, V, H පද්ධතියට අතිරේක ගුවන් යානා දෙකක් හඳුන්වා දීම අවශ්ය වේ.

පළමුව (රූපය 155, c) අපි චතුරස්රයට ඇතුල් වන්නෙමු. S, BC ඛණ්ඩයට සමාන්තරව (නව අක්ෂය S / H ප්රක්ෂේපණය bс ට සමාන්තර වේ), සහ අපි ප්රක්ෂේපණ b s c s සහ a s ගොඩනඟමු. ඉන්පසුව (රූපය 155, ඈ) අපි තවත් චතුරස්රයක් හඳුන්වා දෙන්නෙමු. T ලම්බක රේඛාව BC (නව T/S අක්ෂය b s c s ට ලම්බකව). අපි සරල රේඛාවක් සහ ලක්ෂ්‍යයක ප්‍රක්ෂේපන ගොඩනඟමු - t (b t) සහ t සමඟ. ලක්ෂ්‍ය a t සහ c t (b t) අතර දුර L ලක්ෂ්‍යයේ සිට BC දක්වා ඇති දුරට සමාන වේ.

අත්තික්කා මත. 155e, සමාන්තර චලන ක්‍රමය ලෙස හැඳින්වෙන එහි ආකෘතියේ භ්‍රමණ ක්‍රමය මගින් එම කාර්යයම ඉටු වේ. පළමුව, BC රේඛාව සහ A ලක්ෂ්‍යය, ඒවායේ අන්‍යෝන්‍ය පිහිටීම නොවෙනස්ව තබා ගනිමින්, චතුරස්‍රයට ලම්බකව (ඇඳීමෙහි දක්වා නොමැති) රේඛාවක් හරවන්න. H, එවිට සරල රේඛාව BC චතුරස්රයට සමාන්තර වේ. V. මෙය චතුරස්‍රයට සමාන්තරව තලවල චලනය වන ලක්ෂ්‍ය A, B, C වලට සමාන වේ. H. ඒ අතරම, ක්ෂිතිජය. දී ඇති පද්ධතියක (BC + A) ප්‍රක්ෂේපණය විශාලත්වයෙන් හෝ වින්‍යාසයෙන් වෙනස් නොවේ, x-අක්ෂයට සාපේක්ෂව එහි පිහිටීම පමණක් වෙනස් වේ. ක්ෂිතිජයක් සකසන්න. x අක්ෂයට සමාන්තරව BC සරල රේඛාවේ ප්‍රක්ෂේපනය (ආ 1 c 1 ස්ථානය) සහ ප්‍රක්ෂේපණය a 1 තීරණය කරන්න, c 1 1 1 \u003d c-1 සහ 1 1 1 \u003d a-1, සහ a 1 1 1 ⊥ c 1 1 1. x අක්ෂයට සමාන්තරව b "b" 1, a "a" 1, c "c" 1 සරල රේඛා ඇඳීම, අපි ඔවුන් මත ඉදිරිපස සොයා ගනිමු. ප්‍රක්ෂේපන b "1, a" 1, c "1. මීළඟට, B 2 C 2 ලබා ගැනීම සඳහා, අපි B 1, C 1 සහ A 1 යන ලක්ෂ්‍ය V වර්ග V ට සමාන්තරව (ඒවායේ සාපේක්ෂ පිහිටීම වෙනස් නොකර) සමාන්තරව ගමන් කරමු. ⊥ ප්‍රදේශය H. මෙම අවස්ථාවේ දී, ඉදිරිපසට ඇති සරල රේඛාවේ ප්‍රක්ෂේපනය ලම්බක වනු ඇත අක්ෂ x,b 2 c "2 \u003d b" 1 c "1, සහ a" 2 ප්‍රක්ෂේපණය තැනීමට, ඔබ b "2 2" 2 \u003d b "1 2" 1 ගත යුතුය, 2 "a" 2 ⊥ b " අඳින්න 2 c" 2 සහ a" 2 2" 2 \u003d a" 1 2" 1 පසෙකට දමන්න. දැන්, 1 සිට 2 දක්වා සහ a 1 a 2 || ස්වයිප් කිරීමෙන් x 1 අපි ප්රක්ෂේපණ b 2 c 2 සහ a 2 සහ අපේක්ෂිත දුර l සිට A ලක්ෂයේ සිට BC රේඛාව දක්වා. A ලක්ෂ්‍යයෙන් නිර්වචනය කරන ලද තලය සහ BC සරල රේඛාව මෙම තලයේ තිරස් වටා ඇති T ස්ථානයට හැරවීමෙන් ඔබට A සිට BC දක්වා ඇති දුර තීරණය කළ හැක || වර්ග අඩි එච් (රූපය 155, ඉ).

A ලක්ෂ්‍යය සහ BC සරල රේඛාව මගින් ලබා දී ඇති තලයේ, අපි A-1 තිරස් රේඛාවක් අඳින්නෙමු (රූපය 155, g) සහ B ලක්ෂ්‍යය එය වටා කරකවන්න. B ලක්ෂ්‍යය හතරැස් අතට ගමන් කරයි. A-1 ට ලම්බකව R (R h පහත චිත්‍රයේ දක්වා ඇත; O ලක්ෂ්‍යයේ දී B ලක්ෂ්‍යයේ භ්‍රමණ කේන්ද්‍රය වේ. දැන් අපි VO හි භ්‍රමණ අරයේ ස්වාභාවික අගය තීරණය කරමු (රූපය 155, c). අවශ්ය ස්ථානයේ, එනම් විට pl. A ලක්ෂ්‍යයෙන් අර්ථ දක්වන T සහ BC රේඛාව BC බවට පත්වේ වර්ග අඩි H, ලක්ෂ්‍යය B O ලක්ෂ්‍යයේ සිට Ob 1 දුරින් R h මත හැරෙනු ඇත (එම ධාවන පථයේ R h හි තවත් ස්ථානයක් තිබිය හැකිය, නමුත් O හි අනෙක් පැත්තේ). ලක්ෂ්‍යය b 1 යනු ක්ෂිතිජයයි. B ලක්ෂ්‍යය අභ්‍යවකාශයේ B 1 ස්ථානයට ගෙන යාමෙන් පසුව, A ලක්ෂ්‍යය සහ BC සරල රේඛාව මගින් අර්ථ දක්වා ඇති තලය T ස්ථානය ගත් විට B ලක්ෂ්‍යය ප්‍රක්ෂේපණය කිරීම.

(රූපය 155, සහ) b 1 1 සරල රේඛාව ඇඳීමෙන් පසු, අපට ක්ෂිතිජය ලැබේ. BC සරල රේඛාවේ ප්රක්ෂේපණය, දැනටමත් පිහිටා ඇත || වර්ග අඩි H යනු A හා සමාන තලයේ ය. මෙම ස්ථානයේ, a සිට b 1 1 දක්වා ඇති දුර අපේක්ෂිත දුර l ට සමාන වේ. ලබා දී ඇති මූලද්‍රව්‍ය පවතින P තලය චතුරස්‍රය සමඟ ඒකාබද්ධ කළ හැකිය. H (රූපය 155, j), චතුරස්රය හැරවීම. ඇගේ ක්ෂිතිජය වටා පී. හෝඩුවාවක්. A ලක්ෂ්‍යයෙන් සහ BC රේඛාවෙන් තලය සැකසීමේ සිට BC සහ A-1 රේඛා සැකසීම දක්වා (රූපය 155, l), අපි මෙම රේඛාවල හෝඩුවාවන් සොයාගෙන ඒවා හරහා P ϑ සහ P h හෝඩුවාවන් අඳින්නෙමු. අපි චතුරස්රය සමඟ ඒකාබද්ධව ගොඩනඟමු (රූපය 155, m). H ස්ථානය ඉදිරිපස. හෝඩුවාවක් - P ϑ0 .

a ලක්ෂ්‍යය හරහා ක්ෂිතිජය අඳින්න. ඉදිරිපස ප්රක්ෂේපණය; ඒකාබද්ධ ඉදිරිපස කොටස Π ϑ0 ට සමාන්තරව Р h හෝඩුවාවක් මත 2 ලක්ෂය හරහා ගමන් කරයි. A 0 ලක්ෂ්‍යය - pl සමඟ ඒකාබද්ධ වේ. H යනු A ලක්ෂ්‍යයේ පිහිටීමයි. ඒ හා සමානව, අපි B 0 ලක්ෂ්‍යය සොයා ගනිමු. සෘජු හිරු එළිය pl සමඟ ඒකාබද්ධව. H ස්ථානය B 0 ලක්ෂ්‍යය සහ ලක්ෂ්‍යය m (සරල රේඛාවක තිරස් හෝඩුවාවක්) හරහා ගමන් කරයි.

A 0 ලක්ෂයේ සිට සරල රේඛාව B 0 C 0 දක්වා ඇති දුර අපේක්ෂිත දුර l ට සමාන වේ.

P h (රූපය 155, n සහ o) එක් හෝඩුවාවක් පමණක් සොයා ගැනීමෙන් ඇඟවුම් කර ඇති ඉදිකිරීම් සිදු කළ හැකිය. සම්පූර්ණ ඉදි කිරීම් තිරස් වටා හැරීමට සමාන වේ (රූපය 155, f, c, i බලන්න): P h යනු චතුරස්රයේ තිරස් රේඛා වලින් එකකි. ආර්.

මෙම ගැටළුව විසඳීම සඳහා ලබා දී ඇති චිත්‍රයක් පරිවර්තනය කිරීමේ ක්‍රම අතුරින්, තිරස් හෝ ඉදිරිපස වටා භ්‍රමණය කිරීමේ ක්‍රමය වඩාත් සුදුසුය.

158. පිරමිඩ SABC ලබා දී ඇත (රූපය 156). දුර තීරණය කරන්න:

a) සමාන්තර චලනයේ ක්‍රමය මගින් පාදයේ ඉහළ B සිට එහි පැත්ත AC දක්වා;

ආ) පිරමීඩයේ ඉහළ S සිට පාදයේ BC සහ AB යන දෙපස තිරස් වටා භ්‍රමණය වීම මගින්;

ඇ) ප්‍රක්ෂේපණ ගුවන් යානා වෙනස් කිරීමෙන් පාදයේ ඉහළ S සිට පැත්තේ AC දක්වා.

159. ප්රිස්මයක් ලබා දී ඇත (රූපය 157). දුර තීරණය කරන්න:

a) ප්රක්ෂේපණ ගුවන් යානා වෙනස් කිරීම මගින් AD සහ CF දාර අතර;

b) ඉදිරිපස වටා භ්රමණය වීමෙන් BE සහ CF ඉළ ඇට අතර;

ඇ) සමාන්තර චලනය කිරීමේ ක්රමය මගින් AD සහ BE දාර අතර.

160. හතරැස් ABCD (රූපය 158) චතුරස්රය සමඟ සංයෝජනය කිරීමෙන් සැබෑ ප්රමාණය තීරණය කරන්න. N. ගුවන් යානයේ තිරස් හෝඩුවාවක් පමණක් භාවිතා කරන්න.

161*. ඡේදනය වන රේඛා AB සහ CD (Fig. 159, a) අතර දුර තීරණය කිරීම සහ ඒවාට පොදු ලම්බකයේ ප්රක්ෂේපණ ඉදි කිරීම.

විසඳුමක්. හරස් රේඛා අතර දුර මනිනු ලබන්නේ රේඛා දෙකටම ලම්බකව ඇති කොටස (MN) මගිනි (රූපය 159, b). පැහැදිලිවම, එක් රේඛාවක් ඕනෑම චතුරස්රයකට ලම්බකව තබා තිබේ නම්. එතකොට ටී

රේඛා දෙකටම ලම්බක MN කොටස චතුරස්‍රයට සමාන්තර වේ. මෙම තලය මත එහි ප්රක්ෂේපණය අවශ්ය දුර ප්රදර්ශනය කරනු ඇත. ප්රක්ෂේපණය සෘජු කෝණය maenad MN n AB චතුරස්රය මත. AMN සෘජු කෝණයේ එක් පැත්තක් වන එම්එන් බැවින් T යනු m t n t සහ t b t අතර සෘජු කෝණයක් බවට පත් වේ. චතුරස්රයට සමාන්තරව. ටී.

අත්තික්කා මත. 159, c සහ d, අපේක්ෂිත දුර l තීරණය කරනු ලබන්නේ ප්රක්ෂේපණ ගුවන් යානා වෙනස් කිරීමේ ක්රමය මගිනි. පළමුව, අපි අතිරේක චතුරස්රයක් හඳුන්වා දෙන්නෙමු. ප්රක්ෂේපණ S, චතුරස්රයට ලම්බකව. H සහ සරල රේඛා CD එකට සමාන්තරව (රූපය 159, c). ඉන්පසුව අපි තවත් අතිරේක චතුරස්රයක් හඳුන්වා දෙන්නෙමු. T, චතුරස්රයට ලම්බකව. S සහ එම පේළියේ CD එකට ලම්බකව (රූපය 159, d). දැන් ඔබට a t b t ප්‍රක්ෂේපණයට ලම්බකව c t (d t) ලක්ෂ්‍යයේ සිට m t n t ඇඳීමෙන් පොදු ලම්බක ප්‍රක්ෂේපණයක් ගොඩනගා ගත හැකිය. ලක්ෂ්‍ය m t සහ n t යනු AB සහ CD රේඛා සමඟ මෙම ලම්බක ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යවල ප්‍රක්ෂේපන වේ. ලක්ෂ්‍යයේ සිට m t (රූපය 159, e) අපි s b s මත m s සොයා ගනිමු: ප්‍රක්ෂේපණය m s n s T / S අක්ෂයට සමාන්තර විය යුතුය. තවද, m s සහ n s වලින් අපි ab සහ cd මත m සහ n ද, ඒවායින් m "සහ n" "b" සහ c "d" ද සොයා ගනී.

අත්තික්කා මත. 159, හි සමාන්තර චලනයන් ක්‍රමය මගින් මෙම ගැටලුවට විසඳුම පෙන්වයි. පළමුව, අපි සෘජු රේඛා සංයුක්ත තැටිය චතුරස්රයට සමාන්තරව තබමු. V: ප්රක්ෂේපණය c 1 d 1 || X. මීළඟට, අපි සී 1 ඩී 1 සහ ඒ 1 බී 1 යන ස්ථානවල සිට සී 2 බී 2 සහ ඒ 2 බී 2 යන ස්ථාන වෙත සීඩී සහ AB රේඛා ගෙන යමු, එවිට C 2 D 2 H ට ලම්බක වේ: ප්‍රක්ෂේපණය c "2 d" 2 ⊥ x. අපේක්ෂිත ලම්බක කොටස පිහිටා ඇත || වර්ග අඩි H, සහ, එබැවින්, m 2 n 2 AB සහ CD අතර අපේක්ෂිත දුර l ප්රකාශ කරයි. අපි "2 b" 2 සහ c "2 d" 2 මත m "2, සහ n" 2 යන ප්‍රක්ෂේපණවල පිහිටීම සොයා ගනිමු, පසුව ප්‍රක්ෂේපන සහ m 1 සහ m "1, n 1 සහ n" 1, අවසාන වශයෙන්, ප්රක්ෂේපණ m "සහ n", m සහ n.

162. පිරමිඩ SABC ලබා දී ඇත (රූපය 160). පිරමීඩයේ පාදයේ දාර SB සහ පැති AC අතර දුර නිර්ණය කර ප්‍රක්ෂේපණ තල වෙනස් කිරීමේ ක්‍රමය භාවිතා කරමින් SB සහ AC වලට පොදු ලම්බක ප්‍රක්ෂේපණයන් සාදන්න.

163. පිරමිඩ SABC ලබා දී ඇත (රූපය 161). පිරමීඩයේ පාදයේ දාරය SH සහ BC පැත්ත අතර දුර නිර්ණය කර සමාන්තර විස්ථාපන ක්‍රමය භාවිතා කර SX සහ BC ට පොදු ලම්බකයේ ප්‍රක්ෂේපණයන් ගොඩනඟන්න.

164*. තලය ලබා දී ඇති අවස්ථාවන්හිදී A ලක්ෂ්යයේ සිට තලය දක්වා දුර තීරණය කරන්න: a) ත්රිකෝණය BCD (රූපය 162, a); b) හෝඩුවාවන් (රූපය 162, b).

විසඳුමක්. ඔබ දන්නා පරිදි, ලක්ෂ්‍යයක සිට තලයකට ඇති දුර මනිනු ලබන්නේ ලක්ෂ්‍යයේ සිට තලයට ඇද ගන්නා ලම්බකයේ විශාලත්වය මගිනි. මෙම දුර ඕනෑම චතුරශ්‍රයකට ප්‍රක්ෂේපණය කෙරේ. ජීව ප්‍රමාණයේ ප්‍රක්ෂේපන, දී ඇති තලය චතුරස්‍රයට ලම්බක නම්. ප්රක්ෂේපණ (රූපය 162, c). චිත්රය පරිවර්තනය කිරීමෙන් මෙම තත්වය සාක්ෂාත් කර ගත හැකිය, නිදසුනක් ලෙස, චතුරස්රය වෙනස් කිරීමෙන්. ප්රක්ෂේපණ. අපි චතුරස්රය හඳුන්වා දෙමු. S (රූපය 16ts, d), චතුරස්රයට ලම්බකව. ත්රිකෝණය BCD. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි චතුරස්රයේ වියදම් කරමු. තිරස් B-1 ත්‍රිකෝණය සහ ප්‍රක්ෂේපන S හි අක්ෂය b-1 තිරස් ප්‍රක්ෂේපණයට ලම්බකව ස්ථානගත කරන්න. අපි ලක්ෂ්යයක් සහ තලයක ප්රක්ෂේපණ ගොඩනඟමු - a s සහ කොටස c s d s . a s සිට c s d s දක්වා ඇති දුර තලයට ලක්ෂ්‍යයේ අපේක්ෂිත දුර l ට සමාන වේ.

රියෝ මත. 162, d සමාන්තර චලනය කිරීමේ ක්රමය යොදනු ලැබේ. තලයේ B-1 තිරස් V තලයට ලම්බක වන තෙක් අපි සම්පූර්ණ පද්ධතියම ගෙනයමු: b 1 1 1 ප්රක්ෂේපණය x-අක්ෂයට ලම්බක විය යුතුය. මෙම ස්ථානයේ, ත්රිකෝණයේ තලය ඉදිරිපස-ප්රක්ෂේපණය බවට පත් වනු ඇති අතර, A ලක්ෂයේ සිට l දක්වා ඇති දුර හතරැස් බවට හැරේ. විකෘතියකින් තොරව V.

අත්තික්කා මත. 162b යානය ලබා දී ඇත්තේ හෝඩුවාවන් මගිනි. අපි අතිරේක චතුරස්රයක් (රූපය 162, e) හඳුන්වා දෙන්නෙමු. S, චතුරස්රයට ලම්බකව. P: S/H අක්ෂය P h ට ලම්බක වේ. ඉතිරිය චිත්‍රයෙන් පැහැදිලි වේ. අත්තික්කා මත. 162, හොඳින් එක් විස්ථාපනයක ආධාරයෙන් ගැටළුව විසඳනු ලැබේ: pl. P ස්ථානය P 1 වෙත යයි, එනම් එය ඉදිරිපස-ප්‍රක්ෂේපණය වේ. ලුහුබැඳීම. P 1h x-අක්ෂයට ලම්බක වේ. අපි ගුවන් යානයේ මෙම ස්ථානයේ ඉදිරිපස ගොඩනඟමු. තිරස් හෝඩුවාව n "1, n 1 ලක්ෂ්‍යය වේ. P 1ϑ හෝඩුවාවක් P 1x සහ n 1 හරහා ගමන් කරයි. a" 1 සිට P 1ϑ දක්වා ඇති දුර අපේක්ෂිත දුර l ට සමාන වේ.

165. පිරමිඩ SABC ලබා දී ඇත (රූපය 160 බලන්න). සමාන්තර විස්ථාපන ක්‍රමය භාවිතයෙන් පිරමීඩයේ A ලක්ෂ්‍යයේ සිට මුහුණත SBC දක්වා ඇති දුර තීරණය කරන්න.

166. පිරමිඩ SABC ලබා දී ඇත (රූපය 161 බලන්න). සමාන්තර විස්ථාපන ක්රමය භාවිතා කරමින් පිරමීඩයේ උස තීරණය කරන්න.

167*. ඡේදනය වන රේඛා AB සහ CD අතර දුර තීරණය කරන්න (රූපය 159, a බලන්න) මෙම රේඛා හරහා ඇද ගන්නා ලද සමාන්තර තල අතර දුර ලෙස.

විසඳුමක්. අත්තික්කා මත. 163, සහ P සහ Q ගුවන් යානා එකිනෙකට සමාන්තරව පෙන්වා ඇත, එයින් pl. Q AB ට සමාන්තරව CD හරහා අඳිනු ලැබේ, සහ pl. P - චතුරස්රයට සමාන්තරව AB හරහා. ප්‍රශ්නය - එවැනි ගුවන් යානා අතර ඇති දුර AB සහ CD යන skew lines අතර ඇති දුර ලෙස සැලකේ. කෙසේ වෙතත්, ඔබට එක් ගුවන් යානයක් පමණක් තැනීමට සීමා කළ හැකිය, උදාහරණයක් ලෙස Q, AB ට සමාන්තරව, ඉන්පසු අවම වශයෙන් A ලක්ෂයේ සිට මෙම තලයට ඇති දුර තීරණය කරන්න.

අත්තික්කා මත. 163c AB ට සමාන්තරව CD හරහා Q ගුවන් යානය පෙන්වයි; "e" සමඟ පවත්වන ලද ප්රක්ෂේපණවල || a"b" සහ se || ab. චතුරස්රය වෙනස් කිරීමේ ක්රමය භාවිතා කිරීම. ප්රක්ෂේපණ (රූපය 163, c), අපි අතිරේක චතුරස්රයක් හඳුන්වා දෙන්නෙමු. S, චතුරස්රයට ලම්බකව. V සහ ඒ සමගම

චතුරස්රයට ලම්බකව. Q. S / V අක්ෂය ඇඳීම සඳහා, අපි මෙම තලයේ ඉදිරිපස D-1 ගනිමු. දැන් අපි d "1" (රූපය 163, c) ට ලම්බකව S / V අඳින්නෙමු. Pl. Q චතුරස්රයේ දර්ශනය වනු ඇත. S d s සමඟ සරල රේඛාවක් ලෙස. ඉතිරිය චිත්‍රයෙන් පැහැදිලි වේ.

168. පිරමිඩ SABC ලබා දී ඇත (රූපය 160 බලන්න). SC සහ AB දාර අතර දුර තීරණය කරන්න අයදුම් කරන්න: 1) ප්රදේශය වෙනස් කිරීමේ ක්රමය. ප්රක්ෂේපණ, 2) සමාන්තර චලනය කිරීමේ ක්රමයක්.

169*. සමාන්තර තල අතර දුර තීරණය කරන්න, ඉන් එකක් සරල රේඛා AB සහ AC මගින් ලබා දී ඇති අතර අනෙක DE සහ DF සරල රේඛා මගින් ලබා දෙනු ලැබේ (රූපය 164, a). ගුවන් යානා හෝඩුවාවන් මගින් ලබා දෙන විට නඩුව සඳහා ඉදිකිරීම් ද සිදු කරන්න (රූපය 164, ආ).

විසඳුමක්. සමාන්තර තල අතර දුර (රූපය 164, c) එක් තලයක ඕනෑම ස්ථානයක සිට තවත් තලයකට ලම්බකව ඇඳීමෙන් තීරණය කළ හැකිය. අත්තික්කා මත. 164, g අතිරේක චතුරස්රයක් හඳුන්වා දුන්නේය. S චතුරස්රයට ලම්බකව. H සහ ලබා දී ඇති ගුවන් යානා දෙකටම. S.H අක්ෂය ක්ෂිතිජයට ලම්බක වේ. එක් ගුවන් යානයක අඳින ලද තිරස් රේඛාවක ප්රක්ෂේපණය. අපි මෙම තලයේ ප්‍රක්ෂේපණයක් ගොඩනඟා වර්ග අඩියේ තවත් තලයක ලකුණු කරමු. 5. ලක්ෂ්යයේ දුර d s රේඛාවට l s a s සමාන්තර තල අතර අපේක්ෂිත දුර ප්රමාණයට සමාන වේ.

අත්තික්කා මත. 164, d තවත් ඉදිකිරීමක් ලබා දී ඇත (සමාන්තර චලනය කිරීමේ ක්රමයට අනුව). AB සහ AC ඡේදනය වන රේඛා මගින් ප්‍රකාශිත තලය චතුරස්‍රයට ලම්බක වීම සඳහා. V, ක්ෂිතිජය. අපි මෙම තලයේ තිරස් ප්‍රක්ෂේපණය x-අක්ෂයට ලම්බකව සකසමු: 1 1 2 1 ⊥ x. ඉදිරිපස අතර දුර. D ලක්ෂ්‍යයේ d "1 ප්‍රක්ෂේපණය සහ සරල රේඛාව a" 1 2 "1 (තලයේ ඉදිරිපස ප්‍රක්ෂේපණය) ගුවන් යානා අතර අපේක්ෂිත දුර ප්‍රමාණයට සමාන වේ.

අත්තික්කා මත. 164, e අතිරේක චතුරස්රයක් හඳුන්වාදීම පෙන්වයි. S, pl.H ට ලම්බකව සහ ලබා දී ඇති තලවලට P සහ Q (S/H අක්ෂය P h සහ Q h යන අංශවලට ලම්බක වේ). අපි ට්රේස් ගොඩනඟමු Р s , සහ Q s . ඔවුන් අතර ඇති දුර (රූපය 164, c බලන්න) P සහ Q ගුවන් යානා අතර අපේක්ෂිත දුර l සමාන වේ.

අත්තික්කා මත. 164, g ක්ෂිතිජය වන විට P 1 සහ Q 1 ස්ථානයට P 1 n Q 1 ගුවන් යානා වල චලනය පෙන්වයි. අංශු x-අක්ෂයට ලම්බකව හැරේ. නව පෙරමුණ අතර දුර. අංශු P 1ϑ සහ Q 1ϑ අපේක්ෂිත දුර l ට සමාන වේ.

170. සමාන්තරගත ABCDEFGH ලබා දී ඇත (රූපය 165). දුර ප්රමාණය තීරණය කරන්න: a) සමාන්තර පයිප්පයේ පාද අතර - l 1; b) මුහුණු අතර ABFE සහ DCGH - l 2 ; ඇ) ADHE සහ BCGF-l 3 මුහුණු අතර.

ලක්ෂ්‍යයක සිට රේඛාවකට ඇති දුර යනු ලක්ෂ්‍යයේ සිට රේඛාව දක්වා වූ ලම්බකයේ දිග වේ. විස්තරාත්මක ජ්යාමිතිය තුළ, එය පහත ඇල්ගොරිතමයට අනුව චිත්රක ලෙස තීරණය වේ.

ඇල්ගොරිතම

1. සරල රේඛාව ඕනෑම ප්රක්ෂේපණ තලයකට සමාන්තර වන ස්ථානයකට මාරු කරනු ලැබේ. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, විකලාංග ප්රක්ෂේපණ පරිවර්තනය කිරීමේ ක්රම යොදන්න.
2. ලක්ෂ්‍යයක සිට රේඛාවකට ලම්බක අඳින්න. හරයේ මෙම ඉදිකිරීමසෘජු කෝණ ප්රක්ෂේපණ ප්රමේයය වේ.
3. ලම්බක දිග තීරණය වන්නේ එහි ප්‍රක්ෂේපණ පරිවර්තනය කිරීමෙන් හෝ නිවැරදි ත්‍රිකෝණ ක්‍රමය භාවිතා කිරීමෙනි.

පහත රූපයේ දැක්වෙන්නේ රේඛා ඛණ්ඩ CD මගින් අර්ථ දක්වා ඇති M ලක්ෂ්‍යයේ සහ b රේඛාවේ සංකීර්ණ චිත්‍රයක්. ඔබ ඔවුන් අතර දුර සොයා ගත යුතුය.

අපගේ ඇල්ගොරිතමයට අනුව, මුලින්ම කළ යුත්තේ ප්‍රක්ෂේපණ තලයට සමාන්තර ස්ථානයකට රේඛාව ගෙන යාමයි. පරිවර්තනයෙන් පසුව, ලක්ෂ්යය සහ රේඛාව අතර සැබෑ දුර වෙනස් නොවිය යුතු බව වටහා ගැනීම වැදගත්ය. අභ්‍යවකාශයේ චලනය වන රූප සම්බන්ධ නොවන ගුවන් යානා ප්‍රතිස්ථාපන ක්‍රමය මෙහි භාවිතා කිරීම පහසු වන්නේ එබැවිනි.

ඉදිකිරීම් වල පළමු අදියරේ ප්රතිඵල පහත දැක්වේ. b ට සමාන්තරව අතිරේක ඉදිරිපස තලයක් P 4 හඳුන්වා දෙන ආකාරය රූපයේ දැක්වේ. නව පද්ධතියේ (P 1 , P 4) ලක්ෂ්‍ය C"" 1 , D "" 1 , M"" 1 X 1 අක්ෂයේ සිට C "", D"", M"" ට සමාන දුරින් පිහිටා ඇත. අක්ෂය x.

ඇල්ගොරිතමයේ දෙවන කොටස සිදු කරමින්, M"" 1 සිට අපි ලම්බක M"" 1 N"" 1 සරල රේඛාව b"" 1 දක්වා පහත හෙලමු, මන්ද b සහ MN අතර MND සෘජු කෝණය P 4 තලය මතට ප්‍රක්ෂේපණය වේ. සම්පූර්ණ ප්රමාණයෙන්. අපි සන්නිවේදන රේඛාව ඔස්සේ N" ලක්ෂ්‍යයේ පිහිටීම තීරණය කර MN කොටසේ M"N" ප්‍රක්ෂේපණය අඳින්නෙමු.

මත අවසාන අදියර MN කොටසෙහි අගය එහි M"N" සහ M"" 1 N"" 1 ප්‍රක්ෂේපන මගින් තීරණය කිරීම අවශ්‍ය වේ. මේ සඳහා අපි ගොඩනඟමු සෘජු ත්රිකෝණය M"" 1 N"" 1 N 0 , එහි කකුල N"" 1 N 0 X 1 අක්ෂයෙන් M" සහ N" ලකුණු ඉවත් කිරීමේ වෙනසට (Y M 1 - Y N 1) සමාන වේ. M"" 1 N"" 1 N 0 ත්‍රිකෝණයේ කර්ණය M"" 1 N 0 හි දිග M සිට b දක්වා අපේක්ෂිත දුර ප්‍රමාණයට අනුරූප වේ.

විසඳීමට දෙවන ක්රමය

• සංයුක්ත තැටියට සමාන්තරව අපි නව ඉදිරිපස තලයක් හඳුන්වා දෙන්නෙමු П 4 . එය X 1 අක්ෂය ඔස්සේ P 1 සහ X 1 ∥C"D" ඡේදනය වේ. ගුවන් යානා ප්රතිස්ථාපනය කිරීමේ ක්රමයට අනුකූලව, අපි රූපයේ දැක්වෙන පරිදි C "" 1, D"" 1 සහ M"" 1 යන ලක්ෂ්යවල ප්රක්ෂේපණ තීරණය කරමු.
• C "" 1 D "" 1 ට ලම්බකව අපි අතිරේක තිරස් තලයක් P 5 ගොඩනඟමු, එහි සරල රේඛාව b C" 2 \u003d b" 2 ලක්ෂ්‍යයට ප්‍රක්ෂේපණය කෙරේ.
• M ලක්ෂ්‍යය සහ b සරල රේඛාව අතර දුර තීරණය වන්නේ රතු පැහැයෙන් සලකුණු කර ඇති M "2 C" 2 කොටසේ දිග අනුව ය.

අදාළ කාර්යයන්:

තලයක ලක්ෂ්‍යයක සිට රේඛාවකට ඇති දුර ගණනය කිරීමේ සූත්‍රය

Ax + By + C = 0 රේඛාවේ සමීකරණය ලබා දී ඇත්නම්, M(M x , M y) ලක්ෂ්‍යයේ සිට රේඛාවට ඇති දුර පහත සූත්‍රය භාවිතයෙන් සොයා ගත හැක.

තලයක ලක්ෂ්‍යයක සිට රේඛාවකට ඇති දුර ගණනය කිරීම සඳහා වන කාර්යයන් සඳහා උදාහරණ

උදාහරණ 1

රේඛාව 3x + 4y - 6 = 0 සහ ලක්ෂ්යය M(-1, 3) අතර දුර සොයන්න.

විසඳුමක්.රේඛාවේ සංගුණක සහ ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක සූත්‍රයේ ආදේශ කරන්න

පිළිතුර:ලක්ෂ්‍යයක සිට රේඛාවකට ඇති දුර 0.6 කි.

තලයක දෛශික සාමාන්‍ය සමීකරණයට ලම්බකව ලක්ෂ්‍ය හරහා ගමන් කරන තලයක සමීකරණය

දී ඇති තලයකට ලම්බක ශුන්‍ය නොවන දෛශිකයක් ලෙස හැඳින්වේ සාමාන්ය දෛශිකය (හෝ, කෙටියෙන්, සාමාන්ය ) මෙම ගුවන් යානය සඳහා.

ලබා දී ඇති ඛණ්ඩාංක අවකාශය (සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක) ඉඩ දෙන්න:

a) තිත ;

b) ශුන්ය නොවන දෛශිකයක් (රූපය 4.8, a).

ලක්ෂ්‍යයක් හරහා ගමන් කරන තලයක් සඳහා සමීකරණයක් ලිවීම අවශ්‍ය වේ දෛශිකයට ලම්බකව සාක්ෂියේ අවසානය.

දැන් සලකා බලන්න විවිධ වර්ගගුවන් යානයක සරල රේඛාවක සමීකරණ.

1) ගුවන් යානයේ පොදු සමීකරණයපී .

සමීකරණයේ ව්යුත්පන්නයෙන් එය එම අවස්ථාවේදීම අනුගමනය කරයි ඒ, බීහා සී 0 ට සමාන නොවේ (ඇයි පැහැදිලි කරන්න).

ලක්ෂ්යය ගුවන් යානයට අයත් වේ පීඑහි ඛණ්ඩාංක ගුවන් යානයේ සමීකරණය තෘප්තිමත් කරන්නේ නම් පමණි. සංගුණක මත රඳා පවතී ඒ, බී, සීහා ඩීගුවන් යානය පීඑක් හෝ තවත් තනතුරක් දරයි.

- තලය ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ මූලාරම්භය හරහා ගමන් කරයි, - තලය ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ මූලාරම්භය හරහා ගමන් නොකරයි,

- ගුවන් යානය අක්ෂයට සමාන්තර වේ x,

x,

- ගුවන් යානය අක්ෂයට සමාන්තර වේ වයි,

- ගුවන් යානය අක්ෂයට සමාන්තර නොවේ වයි,

- ගුවන් යානය අක්ෂයට සමාන්තර වේ Z,

- ගුවන් යානය අක්ෂයට සමාන්තර නොවේ Z.

මේ ප්‍රකාශ ඔබම ඔප්පු කරන්න.

සමීකරණය (6) පහසුවෙන් (5) සමීකරණයෙන් ව්‍යුත්පන්න වේ. ඇත්ත වශයෙන්ම, ලක්ෂ්යය තලය මත රැඳී සිටීමට ඉඩ දෙන්න පී. එවිට එහි ඛණ්ඩාංක සමීකරණය තෘප්තිමත් කරයි (5) සමීකරණයෙන් සමීකරණය (7) අඩු කිරීම සහ නියමයන් කාණ්ඩගත කිරීම, අපි සමීකරණය (6) ලබා ගනිමු. පිළිවෙලින් ඛණ්ඩාංක සහිත දෛශික දෙකක් දැන් සලකා බලන්න. එය සූත්‍රයෙන් (6) පහත දැක්වෙන්නේ ඒවායේ අදිශ නිෂ්පාදනය ශුන්‍යයට සමාන බවයි. එබැවින්, දෛශිකය දෛශිකයට ලම්බක වේ, අවසාන දෛශිකයේ ආරම්භය සහ අවසානය පිළිවෙලින් තලයට අයත් ලක්ෂ්‍යවල ඇත. පී. එබැවින් දෛශිකය තලයට ලම්බක වේ පී. ලක්ෂ්‍යයෙන් තලයට ඇති දුර පී, එහි සාමාන්‍ය සමීකරණය වේ සූත්රය මගින් තීරණය කරනු ලැබේ මෙම සූත්‍රයේ සාධනය ලක්ෂ්‍යයක් සහ රේඛාවක් අතර දුර සඳහා සූත්‍රයේ සාක්ෂියට සම්පූර්ණයෙන්ම සමාන වේ (රූපය 2 බලන්න).
සහල්. 2. තලයක් සහ සරල රේඛාවක් අතර දුර සඳහා සූත්‍රයේ ව්‍යුත්පන්නයට.

ඇත්ත වශයෙන්ම, දුර ඈරේඛාවක් සහ ගුවන් යානයක් අතර වේ

ගුවන් යානයක පිහිටා ඇති ලක්ෂ්‍යයක් කොහෙද. මෙතැන් සිට, දේශන අංක 11 හි මෙන්, ඉහත සූත්රය ලබා ගනී. ඒවායේ සාමාන්‍ය දෛශික සමාන්තර නම් ගුවන් යානා දෙකක් සමාන්තර වේ. මෙතැන් සිට අපි ගුවන් යානා දෙකක සමාන්තර තත්ත්වය ලබා ගනිමු - අවාසි සාමාන්ය සමීකරණගුවන් යානා. තල දෙකක් ඒවායේ සාමාන්‍ය දෛශික ලම්බක නම් ලම්බක වේ, එබැවින් ඒවායේ සාමාන්‍ය සමීකරණ දන්නේ නම් අපි තල දෙකක ලම්බක තත්ත්වය ලබා ගනිමු.

කෝනර් fගුවන් යානා දෙකක් අතර කෝණයට සමාන වේඔවුන්ගේ සාමාන්ය දෛශික අතර (රූපය 3 බලන්න) සහ එබැවින් සූත්රයෙන් ගණනය කළ හැක
ගුවන් යානා අතර කෝණය තීරණය කිරීම.

(11)

ලක්ෂ්‍යයක සිට ගුවන් යානයකට ඇති දුර සහ එය සොයා ගන්නේ කෙසේද

ලක්ෂයේ සිට දුර ගුවන් යානයයනු ලක්ෂ්‍යයක සිට මෙම තලයට වැටී ඇති ලම්බකයේ දිග වේ. ලක්ෂ්‍යයක සිට තලයකට ඇති දුර සොයා ගැනීමට අවම වශයෙන් ක්‍රම දෙකක් තිබේ: ජ්යාමිතිකහා වීජීය.

ජ්යාමිතික ක්රමය සමඟලක්ෂ්‍යයක සිට තලයකට ලම්බක පිහිටන්නේ කෙසේදැයි ඔබ මුලින්ම තේරුම් ගත යුතුය: සමහර විට එය යම් පහසු තලයක පිහිටා ඇත, එය යම් පහසු (හෝ එසේ නොවන) ත්‍රිකෝණයක උසක් විය හැකිය, නැතහොත් මෙම ලම්බකය සාමාන්‍යයෙන් යම් පිරමීඩයක උසක් විය හැක. .

මෙම පළමු හා වඩාත්ම දුෂ්කර අදියරෙන් පසුව, ගැටළුව විශේෂිත සැලසුම්මිතික ගැටළු කිහිපයකට කැඩී යයි (සමහර විට විවිධ ගුවන් යානා වල).

වීජීය මාර්ගය සමඟලක්ෂ්‍යයක සිට තලයකට ඇති දුර සොයා ගැනීම සඳහා, ඔබ ඛණ්ඩාංක පද්ධතියකට ඇතුළු විය යුතුය, ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක සහ තලයේ සමීකරණය සොයා ගත යුතුය, ඉන්පසු ලක්ෂ්‍යයේ සිට තලයට ඇති දුර සඳහා සූත්‍රය යෙදිය යුතුය.