ඉලිප්සයේ අක්ෂ මොනවාද. දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි රේඛා. ඉලිප්සය සහ එහි කැනොනිකල් සමීකරණය. කවය

ඉලිප්සයක් යනු තලයක ඇති ලක්ෂ්‍යවල පිහිටීමයි, ඒ සෑම එකක්ම F_1 දී ඇති ලක්ෂ්‍ය දෙකකට ඇති දුරවල එකතුව, සහ F_2 යනු මේවා අතර ඇති දුර (2c) ට වඩා වැඩි නියත අගයකි (2a) ලකුණු ලබා දී ඇත(රූපය 3.36, a). මෙම ජ්යාමිතික අර්ථ දැක්වීම ප්රකාශ කරයි ඉලිප්සයක නාභි ගුණය.

ඉලිප්සියක නාභි ගුණය

F_1 සහ F_2 ලක්ෂ්‍ය ඉලිප්සයේ කේන්ද්‍ර ලෙස හැඳින්වේ, ඒවා අතර දුර 2c=F_1F_2 - නාභීය දිග, F_1F_2 කොටසේ මැද ලක්ෂ්‍යය - ඉලිප්සයේ කේන්ද්‍රය, අංක 2a - ඉලිප්සයේ ප්‍රධාන අක්ෂයේ දිග (පිළිවෙලින්, අංකය a - ඉලිප්සයේ ප්‍රධාන අර්ධ අක්ෂය). ඉලිප්සයේ අත්තනෝමතික ලක්ෂ්‍යයක් M සම්බන්ධ කරන F_1M සහ F_2M කොටස් ලෙස හැඳින්වේ. නාභීය අරයලකුණු එම්. ඉලිප්සයක ලක්ෂ්‍ය දෙකක් සම්බන්ධ කරන රේඛා ඛණ්ඩයක් ඉලිප්සයේ ස්වරය ලෙස හැඳින්වේ.

e=\frac(c)(a) අනුපාතය ඉලිප්සයේ විකේන්ද්‍රිය ලෙස හැඳින්වේ. අර්ථ දැක්වීමෙන් (2a>2c) එය අනුගමනය කරන්නේ 0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).

ඉලිප්සයක ජ්‍යාමිතික අර්ථ දැක්වීම, එහි නාභීය ගුණය ප්‍රකාශ කිරීම, එහි විශ්ලේෂණාත්මක අර්ථ දැක්වීමට සමාන වේ - ඉලිප්සියක කැනොනිකල් සමීකරණය මගින් ලබා දෙන රේඛාවක්:

ඇත්ත වශයෙන්ම, අපි සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක් හඳුන්වා දෙමු (රූපය 3.36, c). ඉලිප්සයේ O කේන්ද්‍රය ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ මූලාරම්භය ලෙස ගනු ලැබේ; නාභිය හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාව (නාභි අක්ෂය හෝ ඉලිප්සයේ පළමු අක්ෂය), අපි abscissa අක්ෂය ලෙස ගනිමු (එය මත ධනාත්මක දිශාව F_1 ලක්ෂයේ සිට F_2 දක්වා); නාභීය අක්ෂයට ලම්බකව සහ ඉලිප්සයේ කේන්ද්‍රය හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවක් (ඉලිප්සයේ දෙවන අක්ෂය), අපි y-අක්ෂය ලෙස ගනිමු (y-අක්ෂයේ දිශාව තෝරාගෙන ඇති පරිදි සෘජුකෝණාස්රාකාර පද්ධතිය Oxy ඛණ්ඩාංක නිවැරදි විය).

නාභි ගුණය ප්‍රකාශ කරන එහි ජ්‍යාමිතික නිර්වචනය භාවිතයෙන් ඉලිප්සයක සමීකරණය සකස් කරමු. තෝරාගත් ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය තුළ, අපි foci හි ඛණ්ඩාංක තීරණය කරමු F_1(-c,0),~F_2(c,0). ඉලිප්සයට අයත් M(x,y) අත්තනෝමතික ලක්ෂ්‍යයක් සඳහා, අපට ඇත්තේ:

\vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a.

මෙම සමානාත්මතාවය ඛණ්ඩාංක ආකාරයෙන් ලිවීමෙන් අපට ලැබෙන්නේ:

\sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a.

අපි දෙවන රැඩිකල් එක දකුණු පැත්තට මාරු කරමු, සමීකරණයේ දෙපැත්තේ වර්ග කර සමාන පද ලබා දෙන්නෙමු:

(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\Leftrightarrow ~4a\sqrt((x-c) )^2+y^2)=4a^2-4cx.

4 න් බෙදීම, අපි සමීකරණයේ දෙපැත්තම වර්ග කරමු:

A^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\Leftrightarrow~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2).

හඟවනවා b=\sqrt(a^2-c^2)>0, අපිට ලැබෙනවා b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. දෙපැත්තම a^2b^2\ne0 මගින් බෙදීම, අපි පැමිණේ කැනොනිකල් සමීකරණයඉලිප්සය:

\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1.

එබැවින්, තෝරාගත් ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය කැනොනිකල් වේ.

ඉලිප්සයේ නාභිය සමපාත වන්නේ නම්, ඉලිප්සය වෘත්තයකි (රූපය 3.36.6), a=b සිට. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, ලක්ෂ්යයේ සම්භවය සහිත ඕනෑම සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක් O\equiv F_1\equiv F_2, සහ x^2+y^2=a^2 සමීකරණය යනු O කේන්ද්‍රය සහ a අරය සහිත වෘත්තයක සමීකරණයයි.

පසුපසට තර්ක කිරීමෙන්, ඛණ්ඩාංක සමීකරණය (3.49) තෘප්තිමත් කරන සියලුම ලක්ෂ්‍යයන් සහ ඒවා පමණක් ඉලිප්සය ලෙස හැඳින්වෙන ලක්ෂ්‍යවල ස්ථානයට අයත් වන බව පෙන්විය හැකිය. වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, ඉලිප්සයක විශ්ලේෂණාත්මක අර්ථ දැක්වීම එහි ජ්‍යාමිතික නිර්වචනයට සමාන වන අතර එය ඉලිප්සයේ නාභි ගුණය ප්‍රකාශ කරයි.

ඉලිප්සයක නාමාවලි ගුණය

ඉලිප්සයක ඩිරෙක්ට්‍රික්ස් යනු කැනොනිකල් ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ කක්ෂීය අක්ෂයට සමාන්තරව ගමන් කරන සරල රේඛා දෙකකි. c=0 සඳහා, ඉලිප්සය වෘත්තයක් වන විට, ඩිරෙක්ට්‍රික්ස් නොමැත (අපට උපකල්පනය කළ හැක්කේ ඩිරෙක්ට්‍රික්ස් අසීමිත ලෙස ඉවත් කර ඇති බවයි).

විකේන්ද්‍රියතාවය 0 සහිත ඉලිප්සය තලයේ ඇති ලක්ෂ්‍යවල පිහිටීම, ඒ සෑම එකක් සඳහාම දී ඇති ලක්ෂ්‍යයකට ඇති දුර අනුපාතය F (අවධානය) සහ දී ඇති ලක්ෂ්‍යයක් හරහා නොයන d (directrix) දක්වා ඇති දුර අනුපාතය නියත වන අතර සමාන වේ විකේන්ද්රිකතාවය e ( ellipse බහලුම දේපල). මෙහි F සහ d යනු ඉලිප්සයේ එක් නාභියක් වන අතර එහි එක් ඩිරෙක්ට්‍රික්ස් එකක් වන අතර එය කැනොනිකල් ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ y-අක්ෂයේ එකම පැත්තේ පිහිටා ඇත, i.e. F_1,d_1 හෝ F_2,d_2 .

ඇත්ත වශයෙන්ම, උදාහරණයක් ලෙස, නාභිගත F_2 සහ directrix d_2 සඳහා (පය. 3.37.6) කොන්දේසිය \frac(r_2)(\rho_2)=eඛණ්ඩාංක ආකාරයෙන් ලිවිය හැකිය:

\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\වම(\frac(a^2)(c)-x\දකුණ)

අතාර්කිකත්වයෙන් මිදීම සහ ආදේශ කිරීම e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2, අපි ඉලිප්සයේ කැනොනිකල් සමීකරණයට පැමිණෙමු (3.49). F_1 ෆෝකස් සහ ඩිරෙක්ට්‍රික්ස් සඳහා සමාන තර්ක සිදු කළ හැක d_1\colon\frac(r_1)(\rho_1)=e.

ධ්‍රැවීය ඛණ්ඩාංකවල ඉලිප්ස සමීකරණය

ධ්‍රැවීය ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ F_1r\varphi (Fig.3.37,c සහ 3.37(2)) හි ඉලිප්ස සමීකරණයට ආකෘතිය ඇත

R=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi)

මෙහි p=\frac(b^2)(a) යනු ඉලිප්සයේ නාභි පරාමිතිය වේ.

ඇත්ත වශයෙන්ම, ධ්‍රැවීය ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ ධ්‍රැවය ලෙස ඉලිප්සයේ වම් නාභිගත F_1 ද, ධ්‍රැවීය අක්ෂය ලෙස F_1F_2 කිරණ ද තෝරා ගනිමු (රූපය 3.37, c). එවිට අත්තනෝමතික ලක්ෂ්‍යයක් සඳහා M(r,\varphi) , ඉලිප්සියක ජ්‍යාමිතික නිර්වචනය (නාභි ගුණය) අනුව, අපට r+MF_2=2a . M(r,\varphi) සහ F_2(2c,0) ලක්ෂ්‍ය අතර දුර අපි ප්‍රකාශ කරමු (සටහන් 2.8 හි 2 වන කරුණ බලන්න):

\begin(aligned)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\end(පෙළගැසී ඇත)

එබැවින්, ඛණ්ඩාංක ආකාරයෙන්, ඉලිප්සයේ සමීකරණයේ F_1M+F_2M=2a ආකෘතිය ඇත

R+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a.

අපි රැඩිකල්, සමීකරණයේ දෙපැත්තේ හතරැස් හුදකලා කර, 4 න් බෙදන්න සහ සමාන පද ලබා දෙන්නෙමු:

R^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2.

අපි ධ්‍රැවීය අරය r ප්‍රකාශ කර ආදේශනය කරන්නෙමු e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a):

R=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1 -e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),

Q.E.D.

ඉලිප්ස සමීකරණයේ සංගුණකවල ජ්යාමිතික අර්ථය

ඛණ්ඩාංක අක්ෂ (zllips හි vertices) සමඟ ඉලිප්සයේ ඡේදනය වන ස්ථාන (රූපය 3.37, a බලන්න) සොයා ගනිමු. සමීකරණයට y=0 ආදේශ කිරීම, අපි abscissa අක්ෂය (නාභි අක්ෂය සමඟ) සමග ඉලිප්සයේ ඡේදනය ස්ථාන සොයා ගනිමු: x=\pm a . එබැවින්, ඉලිප්සය තුළ වසා ඇති නාභීය අක්ෂයේ කොටසෙහි දිග 2a ට සමාන වේ. ඉහත සඳහන් කළ පරිදි මෙම කොටස ඉලිප්සයේ ප්‍රධාන අක්ෂය ලෙස හඳුන්වනු ලබන අතර a යනු ඉලිප්සයේ ප්‍රධාන අර්ධ අක්ෂය වේ. x=0 ආදේශ කිරීමෙන් අපට y=\pm b ලැබේ. එබැවින්, ඉලිප්සයේ ඇතුළත වසා ඇති ඉලිප්සයේ දෙවන අක්ෂයේ කොටසෙහි දිග 2b ට සමාන වේ. මෙම කොටස ඉලිප්සයේ කුඩා අක්ෂය ලෙස හඳුන්වන අතර b අංකය ඉලිප්සයේ කුඩා අර්ධ අක්ෂය ලෙස හැඳින්වේ.

ඇත්තටම, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a, සහ සමානාත්මතාවය b=a ලබා ගන්නේ ඉලිප්සය වෘත්තයක් වන විට c=0 අවස්ථාවෙහි පමණි. ආකල්පය k=\frac(b)(a)\leqslant1ඉලිප්සයේ හැකිලීමේ සාධකය ලෙස හැඳින්වේ.

සටහන් 3.9

1. රේඛා x=\pm a,~y=\pm b ඛණ්ඩාංක තලයේ ප්‍රධාන සෘජුකෝණාස්‍රය සීමා කරයි, එහි ඇතුළත ඉලිප්සය පිහිටා ඇත (රූපය 3.37, a බලන්න).

2. ඉලිප්සයක් ලෙස අර්ථ දැක්විය හැක කවයක් එහි විෂ්කම්භයට හැකිලීමෙන් ලබාගත් ලක්ෂ්‍යවල පිහිටීම.

ඇත්ත වශයෙන්ම, සෘජුකෝණාස්‍රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය Oxy තුළ රවුම් සමීකරණයට x^2+y^2=a^2 ආකෘතිය ඇත. 0 ගුණයකින් x-අක්ෂයට සම්පීඩනය කළ විට

\begin(cases)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end(cases)

රවුමේ සමීකරණයට x=x" සහ y=\frac(1)(k)y" ආදේශ කිරීම, අපි M(x ලක්ෂ්‍යයේ M"(x",y") රූපයේ ඛණ්ඩාංක සඳහා සමීකරණයක් ලබා ගනිමු. ,y):

(x")^2+(\වම(\frac(1)(k)\cdot y"\දකුණ)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1, !}

b=k\cdot a සිට . මෙය ඉලිප්සයේ කැනොනිකල් සමීකරණයයි.

3. ඛණ්ඩාංක අක්ෂ (කැනොනිකල් ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ) යනු ඉලිප්සයේ සමමිතියේ අක්ෂ (ඉලිප්සයේ ප්‍රධාන අක්ෂ ලෙස හැඳින්වේ) වන අතර එහි කේන්ද්‍රය සමමිතියේ කේන්ද්‍රය වේ.

ඇත්ත වශයෙන්ම, M(x,y) ලක්ෂ්‍යය ඉලිප්සයට අයත් වන්නේ නම් . එවිට M"(x,-y) සහ M""(-x,y) ලක්ෂ්‍ය ඛණ්ඩාංක අක්ෂවලට සාපේක්ෂව M ලක්ෂ්‍යයට සමමිතික වන ලකුණු ද එකම ඉලිප්සයට අයත් වේ.

4. ධ්‍රැවීය ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක ඉලිප්සයක සමීකරණයෙන් r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(රූපය 3.37, c බලන්න), නාභීය පරාමිතියෙහි ජ්යාමිතික අර්ථය පැහැදිලි කර ඇත - මෙය නාභීය අක්ෂයට ලම්බකව නාභිගත කිරීම හරහා ගමන් කරන ඉලිප්සයේ ස්වරයේ දිගෙන් අඩක් (r = p at \varphi=\frac(\pi)(2)).

5. විකේන්ද්‍රිය e ඉලිප්සයේ හැඩය, එනම් ඉලිප්සය සහ රවුම අතර වෙනස සංලක්ෂිත කරයි. විශාල e, ඉලිප්සාව වඩාත් දිගු වන අතර, e ශුන්‍යයට සමීප වන තරමට, ඉලිප්සිය රවුමට සමීප වේ (රූපය 3.38, a). ඇත්ත වශයෙන්ම, e=\frac(c)(a) සහ c^2=a^2-b^2 , අපට ලැබේ

E^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\left(\frac(a)(b)\දකුණ )\^2=1-k^2, !}

මෙහි k යනු ඉලිප්සයේ සංකෝචන සාධකය වේ, 0

6. සමීකරණය \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1සඳහා

7. සමීකරණය \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant b O "(x_0, y_0) ලක්ෂ්‍යයේ කේන්ද්‍රගත වූ ඉලිප්සයක් නිර්වචනය කරයි, එහි අක්ෂ ඛණ්ඩාංක අක්ෂවලට සමාන්තර වේ (රූපය 3.38, c). මෙම සමීකරණය සමාන්තර පරිවර්තනය (3.36) භාවිතයෙන් කැනොනිකල් එකට අඩු වේ.

a=b=R සඳහා සමීකරණය (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2 O"(x_0,y_0) ලක්ෂ්‍යයේ කේන්ද්‍රගත වූ R අරය කවයක් විස්තර කරයි.

ඉලිප්සයක පරාමිතික සමීකරණය

ඉලිප්සයක පරාමිතික සමීකරණයකැනොනිකල් ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ ආකෘතිය ඇත

\begin(cases)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(cases)0\leqslant t<2\pi.

ඇත්ත වශයෙන්ම, මෙම ප්‍රකාශන සමීකරණයට ආදේශ කිරීමෙන් (3.49), අපි මූලික ත්‍රිකෝණමිතික අනන්‍යතාව \cos^2t+\sin^2t=1 වෙත ළඟා වෙමු.

උදාහරණය 3.20.ඉලිප්ස අඳින්න \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1කැනොනිකල් ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ ඔක්සි . අර්ධ අක්ෂ, නාභි දුර, විකේන්ද්‍රිය, දර්ශන අනුපාතය, නාභීය පරාමිතිය, ඩිරෙක්ට්‍රික් සමීකරණ සොයන්න.

විසඳුමක්.ලබා දී ඇති සමීකරණය කැනොනිකල් එක සමඟ සංසන්දනය කරමින්, අපි අර්ධ අක්ෂ තීරණය කරමු: a=2 - ප්‍රධාන අර්ධ අක්ෂය, b=1 - ඉලිප්සයේ කුඩා අර්ධ අක්ෂය. අපි ප්‍රධාන සෘජුකෝණාස්‍රය ගොඩනගන්නේ පැති 2a=4,~2b=2 මූලාරම්භය කේන්ද්‍ර කරගෙනයි (Fig.3.39). ඉලිප්සයේ සමමිතිය අනුව, අපි එය ප්රධාන සෘජුකෝණාස්රයට ගැලපේ. අවශ්ය නම්, අපි ඉලිප්සයේ සමහර ලක්ෂ්යවල ඛණ්ඩාංක තීරණය කරමු. උදාහරණයක් ලෙස, ඉලිප්ස සමීකරණයට x=1 ආදේශ කිරීම, අපට ලැබේ

\frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=\frac(3)(4) \quad \Leftrightarrow \ quad y=\pm\frac(\sqrt(3))(2).

එබැවින්, ඛණ්ඩාංක සහිත ලකුණු \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\දකුණ)\!,~\වම(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\දකුණ)- ඉලිප්සයකට අයත් වේ.

සම්පීඩන අනුපාතය ගණනය කරන්න k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); නාභීය දිග 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); විකේන්ද්රිකත්වය e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); නාභීය පරාමිතිය p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). අපි directrix සමීකරණ සම්පාදනය කරමු: x=\pm\frac(a^2)(c)~\Leftrightarrow~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)).
ඔබගේ බ්‍රවුසරයේ Javascript අක්‍රිය කර ඇත.
ගණනය කිරීම් සිදු කිරීම සඳහා ActiveX පාලන සක්රිය කළ යුතුය!
දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි වක්‍රතලයක් මත විචල්‍යය ඛණ්ඩාංක වන සමීකරණ මගින් අර්ථ දක්වා ඇති රේඛා ලෙස හැඳින්වේ xහා වයිදෙවන උපාධියේ අඩංගු වේ. මේවාට ඉලිප්සය, හයිපර්බෝලා සහ පැරබෝලා ඇතුළත් වේ.

දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි වක්‍ර සමීකරණයේ සාමාන්‍ය ස්වරූපය පහත පරිදි වේ:

කොහෙද A, B, C, D, E, F- අංක සහ අවම වශයෙන් එක් සංගුණකයක් ඒ, බී, සීබිංදුවට සමාන නොවේ.

දෙවන පෙළ වක්‍ර සමඟ ගැටලු විසඳන විට, ඉලිප්සියක, හයිපර්බෝලා සහ පැරබෝලාවල කැනොනිකල් සමීකරණ බොහෝ විට සලකා බලනු ලැබේ. සාමාන්‍ය සමීකරණ වලින් ඔවුන් වෙත ගමන් කිරීම පහසුය, ඉලිප්සාකාර ගැටළු පිළිබඳ උදාහරණ 1 මේ සඳහා කැප කෙරේ.

කැනොනිකල් සමීකරණය මගින් ලබා දෙන ඉලිප්සය

ඉලිප්සයක අර්ථ දැක්වීම.ඉලිප්සයක් යනු තලයේ ඇති සියලුම ලක්ෂ්‍යවල කුලකයකි, එම ලක්ෂ්‍යවලට ඇති දුරවල එකතුව foci ලෙස හැඳින්වේ, එය නියත වන අතර නාභිය අතර දුරට වඩා වැඩි වේ.

පහත රූපයේ පරිදි අවධානය යොමු කර ඇත.

ඉලිප්සයක කැනොනිකල් සමීකරණය වන්නේ:

කොහෙද ඒහා බී (ඒ > බී) - අර්ධ අක්ෂවල දිග, එනම්, ඛණ්ඩාංක අක්ෂවල ඉලිප්සාවෙන් කපා දැමූ කොටස්වල දිග අඩක්.

ඉලිප්සයේ නාභිය හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාව එහි සමමිතික අක්ෂය වේ. ඉලිප්සයේ සමමිතියේ තවත් අක්ෂයක් වන්නේ මෙම කොටසට ලම්බකව කොටස මැදින් ගමන් කරන සරල රේඛාවකි. තිත් ඕමෙම රේඛාවල ඡේදනය ඉලිප්සයේ සමමිතියේ කේන්ද්‍රය ලෙස හෝ සරලව ඉලිප්සයේ කේන්ද්‍රය ලෙස ක්‍රියා කරයි.

ඉලිප්සයේ abscissa අක්ෂය ලක්ෂ්‍යවලදී ඡේදනය වේ ( ඒ, ඕ) හා (- ඒ, ඕ), සහ y අක්ෂය ලක්ෂ්‍යවල ඇත ( බී, ඕ) හා (- බී, ඕ) මෙම කරුණු හතර ඉලිප්සයේ සිරස් ලෙස හැඳින්වේ. abscissa අක්ෂය මත ඉලිප්සයේ සිරස් අතර කොටස එහි ප්රධාන අක්ෂය ලෙස හැඳින්වේ, සහ ordinate අක්ෂය මත - සුළු අක්ෂය. ඉලිප්සයේ මුදුනේ සිට මැද දක්වා ඒවායේ කොටස් අර්ධ අක්ෂ ලෙස හැඳින්වේ.

අ ඒ = බී, එවිට ඉලිප්සයේ සමීකරණය ස්වරූපය ගනී . මෙය අරය කවයක් සඳහා වන සමීකරණයයි ඒ, සහ වෘත්තයක් යනු ඉලිප්සියක විශේෂ අවස්ථාවකි. අරය කවයකින් ඉලිප්සයක් ලබා ගත හැක ඒ, ඔබ එය සම්පීඩනය කළහොත් ඒ/බීඅක්ෂය දිගේ වාර ඔයි .

උදාහරණ 1සාමාන්‍ය සමීකරණයෙන් ලබා දී ඇති රේඛාව දැයි පරීක්ෂා කරන්න , ඉලිප්සයක්.

විසඳුමක්. අපි සාමාන්ය සමීකරණයේ පරිවර්තනයන් සිදු කරමු. අපි නිදහස් පදය දකුණු පැත්තට මාරු කිරීම, සමීකරණයේ පදයෙන් කාලීනව බෙදීම එකම අංකයකින් සහ භාග අඩු කිරීම යොදන්නෙමු:

පිළිතුර. ප්රතිඵලයක් වශයෙන් සමීකරණය ඉලිප්සයේ කැනොනිකල් සමීකරණය වේ. එබැවින් මෙම රේඛාව ඉලිප්සයකි.

උදාහරණ 2ඉලිප්සියක අර්ධ අක්ෂ පිළිවෙලින් 5 සහ 4 නම් එහි කැනොනිකල් සමීකරණය ලියන්න.

විසඳුමක්. අපි ඉලිප්සයේ සහ ආදේශකයේ කැනොනිකල් සමීකරණය සඳහා සූත්‍රය දෙස බලමු: අර්ධ ප්‍රධාන අක්ෂය වේ ඒ= 5, සුළු අර්ධ අක්ෂය වේ බී= 4 . අපි ඉලිප්සයේ කැනොනිකල් සමීකරණය ලබා ගනිමු:

ලකුණු සහ ප්‍රධාන අක්ෂයේ කොළ පැහැයෙන් සලකුණු කර ඇත

කියලා උපක්රම.

කියලා විකේන්ද්රිකත්වයඉලිප්සය.

ආකල්පය බී/ඒඉලිප්සයේ "අස්ථි බව" සංලක්ෂිත කරයි. මෙම අනුපාතය කුඩා වන තරමට ඉලිප්සය ප්‍රධාන අක්ෂය දිගේ දිගු වේ. කෙසේ වෙතත්, ඉලිප්සයේ දිගු වීමේ මට්ටම බොහෝ විට විකේන්ද්‍රියතාවය අනුව ප්‍රකාශ වේ, එහි සූත්‍රය ඉහත දක්වා ඇත. විවිධ ඉලිප්ස සඳහා, විකේන්ද්‍රියතාව 0 සිට 1 දක්වා වෙනස් වේ, සෑම විටම එකකට වඩා අඩුවෙන් ඉතිරි වේ.

උදාහරණය 3නාභිය අතර දුර 8 සහ ප්‍රධාන අක්ෂය 10 නම් ඉලිප්සියක කැනොනිකල් සමීකරණය ලියන්න.

විසඳුමක්. අපි සරල නිගමනවලට එළඹෙමු:

ප්රධාන අක්ෂය 10 නම්, එහි භාගය, එනම් අර්ධ අක්ෂය ඒ = 5 ,

foci අතර දුර 8 නම්, අංකය cනාභිගත ඛණ්ඩාංක 4 කි.

ආදේශ කිරීම සහ ගණනය කිරීම:

ප්රතිඵලය වන්නේ ඉලිප්සයේ කැනොනිකල් සමීකරණයයි:

උදාහරණය 4ඉලිප්සියක ප්‍රධාන අක්ෂය 26 සහ විකේන්ද්‍රිය නම් එහි කැනොනිකල් සමීකරණය ලියන්න.

විසඳුමක්. ඉලිප්සයේ ප්‍රධාන අර්ධ අක්ෂය වන ප්‍රධාන අක්ෂයේ ප්‍රමාණය සහ විකේන්ද්‍රිකතා සමීකරණය යන දෙකෙන්ම පහත පරිදි ඒ= 13 . විකේන්ද්රික සමීකරණයෙන් අපි සංඛ්යාව ප්රකාශ කරමු c, සුළු අර්ධ අක්ෂයේ දිග ගණනය කිරීමට අවශ්‍ය වේ:

.

අපි සුළු අර්ධ අක්ෂයේ දිග වර්ග ගණනය කරමු:

අපි ඉලිප්සයේ කැනොනිකල් සමීකරණය සම්පාදනය කරමු:

උදාහරණ 5කැනොනිකල් සමීකරණය මගින් ලබා දී ඇති ඉලිප්සයේ නාභිය තීරණය කරන්න.

විසඳුමක්. අංකයක් සොයා ගැනීමට අවශ්යයි c, ඉලිප්සයේ කේන්ද්‍රයේ පළමු ඛණ්ඩාංක නිර්වචනය කරයි:

.

අපි ඉලිප්සයේ නාභිගත කිරීම් ලබා ගනිමු:

උදාහරණය 6ඉලිප්සයේ නාභිය අක්ෂය මත පිහිටා ඇත ගොනාසම්භවය පිළිබඳ සමමිතික. ඉලිප්සියක කැනොනිකල් සමීකරණය ලියන්න:

1) නාභිය අතර දුර 30 වන අතර ප්රධාන අක්ෂය 34 වේ

2) සුළු අක්ෂය 24 වන අතර, නාභිගත කිරීම් වලින් එකක් ලක්ෂ්‍යයේ (-5; 0) වේ.

3) විකේන්ද්රිකතාවය, සහ එක් කේන්ද්රයක් ලක්ෂ්යයේ (6; 0)

අපි එකට ඉලිප්සයේ ගැටළු විසඳන්නෙමු

නම් - ඉලිප්සයේ අත්තනෝමතික ලක්ෂ්‍යයක් (ඉලිප්සයේ ඉහළ දකුණු කොටසේ චිත්‍රයේ කොළ පැහැයෙන් සලකුණු කර ඇත) සහ - නාභියෙන් මෙම ස්ථානයට ඇති දුර, එවිට දුර සඳහා සූත්‍ර පහත පරිදි වේ:

ඉලිප්සයට අයත් සෑම ලක්ෂ්‍යයක් සඳහාම, නාභියෙන් ඇති දුරවල එකතුව 2 ට සමාන නියත අගයකි. ඒ.

සමීකරණ මගින් අර්ථ දක්වා ඇති සරල රේඛා

කියලා අධ්යක්ෂවරුන්ඉලිප්සය (ඇඳීමෙහි - දාර දිගේ රතු රේඛා).

ඉහත සමීකරණ දෙකෙන් එය ඉලිප්සයේ ඕනෑම ලක්ෂ්‍යයක් සඳහා අනුගමනය කරයි

,

මෙම ලක්ෂ්‍යයේ ඩිරෙක්ට්‍රික්ස් වෙත ඇති දුර කොහිද සහ .

උදාහරණ 7ඉලිප්සයක් ලබා දී ඇත. එහි directrixes සඳහා සමීකරණයක් ලියන්න.

විසඳුමක්. අපි ඩිරෙක්ට්‍රික්ස් සමීකරණය දෙස බලා එය ඉලිප්සයේ විකේන්ද්‍රියතාව සොයා ගැනීමට අවශ්‍ය බව සොයා ගනිමු, i.e. මේ සඳහා සියලු දත්ත වේ. අපි ගණනය කරන්නේ:

.

අපි ඉලිප්සයේ ඩිරෙක්ට්රික්ස් සමීකරණය ලබා ගනිමු:

උදාහරණ 8ඉලිප්සයක නාභිය ලක්ෂ්‍ය නම් සහ ඩිරෙක්ට්‍රික්ස් රේඛා නම් එහි කැනොනිකල් සමීකරණය ලියන්න.

වීජ ගණිතය සහ ජ්‍යාමිතිය පිළිබඳ දේශන. අධ්‍යයන වාරය 1.
දේශනය 15. Ellipse.
15 වන පරිච්ඡේදය
අයිතමය 1. මූලික අර්ථ දැක්වීම්.
අර්ථ දැක්වීම. ඉලිප්සයක් යනු තලයක GMT වේ, තලයේ ස්ථාවර ලක්ෂ්‍ය දෙකකට ඇති දුරවල එකතුව, foci ලෙස හැඳින්වේ, නියත අගයකි.
අර්ථ දැක්වීම. තලයේ අත්තනෝමතික ලක්ෂ්‍යයක් M සිට ඉලිප්සයේ නාභිය දක්වා ඇති දුර M ලක්ෂ්‍යයේ නාභි අරය ලෙස හැඳින්වේ.
තනතුරු:
ඉලිප්සයේ නාභිය වේ,
M ලක්ෂ්‍යයේ කේන්ද්‍රීය අරය වේ.
ඉලිප්සයේ නිර්වචනය අනුව, M ලක්ෂ්‍යය ඉලිප්සයේ ලක්ෂ්‍යයක් නම් සහ එසේ නම් පමණි
නියත අගයකි. මෙම නියතය සාමාන්‍යයෙන් 2a ලෙස දැක්වේ:
. (1)
දැනුම් දෙන්න, ඒක
.
ඉලිප්සයේ නිර්වචනය අනුව, එහි නාභිය ස්ථාවර ලක්ෂ්‍ය වේ, එබැවින් ඒවා අතර දුර ද ලබා දී ඇති ඉලිප්සිය සඳහා නියත අගයකි.
අර්ථ දැක්වීම. ඉලිප්සයක නාභිය අතර දුර නාභීය දුර ලෙස හැඳින්වේ.
තනතුර:
.
ත්රිකෝණයක සිට
එය අනුගමනය කරයි
, i.e.
.
සමාන සංඛ්‍යාව b මගින් දක්වන්න
, i.e.
. (2)
අර්ථ දැක්වීම. ආකල්පය
(3)
ඉලිප්සයේ විකේන්ද්රිකතාව ලෙස හැඳින්වේ.
දී ඇති තලයේ ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක් අපි හඳුන්වා දෙමු, එය අපි ඉලිප්සය සඳහා කැනොනිකල් ලෙස හඳුන්වමු.
අර්ථ දැක්වීම. ඉලිප්සයේ නාභිය පිහිටා ඇති අක්ෂය නාභි අක්ෂය ලෙස හැඳින්වේ.
ඉලිප්සය සඳහා කැනොනිකල් PDSC ගොඩනඟමු, Fig.2 බලන්න.
අපි නාභි අක්ෂය abscissa අක්ෂය ලෙස තෝරාගෙන, කොටසේ මැද හරහා ordinate අක්ෂය අඳින්නෙමු.
නාභි අක්ෂයට ලම්බකව.
එවිට foci ඛණ්ඩාංක ඇත
,
.
අයිතමය 2. ඉලිප්සයක කැනොනිකල් සමීකරණය.
ප්රමේයය. ඉලිප්සයක් සඳහා වන කැනොනිකල් ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ, ඉලිප්ස සමීකරණයේ ස්වරූපය ඇත:
. (4)
සාක්ෂි. අපි ඔප්පු කිරීම අදියර දෙකකින් සිදු කරන්නෙමු. පළමු අදියරේදී, ඉලිප්සයේ ඇති ඕනෑම ලක්ෂ්‍යයක ඛණ්ඩාංක සමීකරණය (4) තෘප්තිමත් කරන බව අපි ඔප්පු කරමු. දෙවන අදියරේදී, සමීකරණයේ ඕනෑම විසඳුමක් (4) ඉලිප්සය මත ඇති ලක්ෂ්‍යයක ඛණ්ඩාංක ලබා දෙන බව අපි ඔප්පු කරමු. මෙතැන් සිට (4) සමීකරණය ඉලිප්සයේ පිහිටා ඇති ඛණ්ඩාංක තලයේ එම ලක්ෂ්‍යවලින් පමණක් තෘප්තිමත් වේ. මෙතැන් සිට සහ වක්‍ර සමීකරණයේ නිර්වචනයෙන්, එය (4) සමීකරණය ඉලිප්ස සමීකරණයක් බව අනුගමනය කරනු ඇත.
1) M(x, y) ලක්ෂ්‍යය ඉලිප්සයේ ලක්ෂ්‍යයක් වේවා, i.e. එහි නාභීය අරයවල එකතුව 2a වේ:
.
අපි ඛණ්ඩාංක තලයේ ලක්ෂ්‍ය දෙකක් අතර දුර සඳහා සූත්‍රය භාවිතා කරන අතර මෙම සූත්‍රය භාවිතයෙන් ලබා දී ඇති M ලක්ෂ්‍යයක නාභීය අරය සොයා ගනිමු:
,
, අපට ලැබෙන තැනින්:
අපි සමානාත්මතාවයේ දකුණු පැත්තට එක් මූලයක් ගෙන එය වර්ග කරමු:
අඩු කිරීමෙන්, අපට ලැබෙන්නේ:
අපි සමාන ඒවා දෙමු, 4 කින් අඩු කර රැඩිකල් හුදකලා කරන්න:
.
අපි හතරැස්
වරහන් විවෘත කර කෙටි කරන්න
:
අපට ලැබෙන තැන:
සමානාත්මතාවය (2) භාවිතයෙන් අපි ලබා ගන්නේ:
.
අවසාන සමානාත්මතාවය බෙදීම
, අපි සමානාත්මතාවය (4), p.t.d.
2) දැන් සංඛ්‍යා යුගලයක් (x, y) සමීකරණය (4) තෘප්තිමත් කිරීමට ඉඩ හරින්න සහ Oxy ඛණ්ඩාංක තලයේ M(x, y) අනුරූප ලක්ෂ්‍යය වීමට ඉඩ දෙන්න.
ඉන්පසු (4) සිට එය පහත පරිදි වේ:
.
අපි මෙම සමානාත්මතාවය M ලක්ෂ්‍යයේ නාභීය අරය සඳහා ප්‍රකාශනයට ආදේශ කරමු:
.
මෙහිදී අපි සමානාත්මතාවය (2) සහ (3) භාවිතා කර ඇත.
මේ ක්රමයෙන්,
. එලෙසම,
.
දැන් එය සමානාත්මතාවයෙන් (4) අනුගමනය කරන බව සලකන්න
හෝ
සහ නිසා
, පසුව පහත අසමානතාවය පහත දැක්වේ:
.
මෙයින්, අනෙක් අතට, එය අනුගමනය කරයි
හෝ
හා
,
. (5)
එය සමානතා (5) වලින් පහත දැක්වේ
, i.e. M(x, y) ලක්ෂ්‍යය ඉලිප්සයේ ලක්ෂ්‍යයක් යනාදියයි.
ප්රමේයය ඔප්පු කර ඇත.
අර්ථ දැක්වීම. සමීකරණය (4) ඉලිප්සයේ කැනොනිකල් සමීකරණය ලෙස හැඳින්වේ.
අර්ථ දැක්වීම. ඉලිප්සය සඳහා වන කැනොනිකල් ඛණ්ඩාංක අක්ෂ ඉලිප්සයේ ප්‍රධාන අක්ෂ ලෙස හැඳින්වේ.
අර්ථ දැක්වීම. ඉලිප්සයක් සඳහා කැනොනිකල් ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ මූලාරම්භය ඉලිප්සයේ කේන්ද්රය ලෙස හැඳින්වේ.
අයිතමය 3. ඉලිප්සාකාර ගුණාංග.
ප්රමේයය. (ඉලිප්සයක ගුණ.)
1. ඉලිප්සය සඳහා කැනොනිකල් ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ, සියල්ල
ඉලිප්සයේ ලක්ෂ්‍ය සෘජුකෝණාස්‍රයේ ඇත
,
.
2. ලකුණු මත පිහිටා ඇත
3. ඉලිප්සයක් යනු සමමිතික වක්‍රයකි
ඔවුන්ගේ ප්රධාන අක්ෂය.
4. ඉලිප්සයේ කේන්ද්‍රය එහි සමමිතික මධ්‍යස්ථානයයි.
සාක්ෂි. 1, 2) ඉලිප්සයේ කැනොනිකල් සමීකරණයෙන් වහාම අනුගමනය කරයි.
3, 4) M(x, y) ඉලිප්සයේ අත්තනෝමතික ලක්ෂ්‍යයක් වේවා. එවිට එහි ඛණ්ඩාංක සමීකරණය (4) තෘප්තිමත් කරයි. නමුත් පසුව ලක්ෂ්‍යවල ඛණ්ඩාංක ද සමීකරණය (4) තෘප්තිමත් කරන අතර, එබැවින්, ප්‍රමේයයේ ප්‍රකාශයන් අනුගමනය කරන ඉලිප්සයේ ලක්ෂ්‍ය වේ.
ප්රමේයය ඔප්පු කර ඇත.
අර්ථ දැක්වීම. 2a ප්‍රමාණය ඉලිප්සයේ ප්‍රධාන අක්ෂය ලෙසද, a ප්‍රමාණය ඉලිප්සයේ ප්‍රධාන අර්ධ අක්ෂය ලෙසද හැඳින්වේ.
අර්ථ දැක්වීම. 2b ප්‍රමාණය ඉලිප්සයේ කුඩා අක්ෂය ලෙසද, b ප්‍රමාණය ඉලිප්සයේ කුඩා අර්ධ අක්ෂය ලෙසද හැඳින්වේ.
අර්ථ දැක්වීම. ඉලිප්සයක ප්‍රධාන අක්ෂ සහිත ඡේදනය වන ස්ථාන ඉලිප්ස සිරස් ලෙස හැඳින්වේ.
අදහස් දක්වන්න. පහත දැක්වෙන ආකාරයෙන් ඉලිප්සයක් සෑදිය හැක. ගුවන් යානයක, අපි උපක්රමවලට "නියපොත්තක් මිටි" කර ඒවාට දිගු නූල් සවි කරමු
. එවිට අපි පැන්සලක් ගෙන නූල් දිගු කිරීමට එය භාවිතා කරමු. එවිට අපි පැන්සල් ඊයම් යානය දිගේ ගෙන යන අතර, නූල් තද තත්වයක පවතින බවට වග බලා ගන්න.
විකේන්ද්රිකතාවයේ අර්ථ දැක්වීමෙන් එය අනුගමනය කරයි
අපි a අංකයක් සවි කර c ශුන්‍යයට නැඹුරු කරමු. එවිට දී
,
හා
. අපට ලැබෙන සීමාව තුළ
හෝ
කව සමීකරණය වේ.
අපි දැන් උත්සාහ කරමු
. ඉන්පසු
,
සීමාව තුළ ඉලිප්සය රේඛා ඛණ්ඩයකට පරිහානියට පත්වන බව අපට පෙනේ
රූප සටහන 3 හි අංකනයෙහි.
අයිතමය 4. ඉලිප්සයක පරාමිතික සමීකරණ.
ප්රමේයය. ඉඩ
අත්තනෝමතික තාත්වික සංඛ්‍යා වේ. එවිට සමීකරණ පද්ධතිය
,
(6)
ඉලිප්සය සඳහා කැනොනිකල් ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ ඉලිප්සයේ පරාමිතික සමීකරණ වේ.
සාක්ෂි. සමීකරණ පද්ධතිය (6) සමීකරණයට (4) සමාන බව ඔප්පු කිරීමට එය ප්රමාණවත් වේ, i.e. ඔවුන්ට ඇත්තේ එකම විසඳුම් සමූහයකි.
1) (x, y) පද්ධතියේ අත්තනෝමතික විසඳුමක් වීමට ඉඩ දෙන්න (6). පළමු සමීකරණය a මගින්ද, දෙවැන්න b මගින්ද බෙදන්න, සමීකරණ දෙකම වර්ග කර එකතු කරන්න:
.
එම. පද්ධතියේ (6) ඕනෑම විසඳුමක් (x, y) සමීකරණය (4) තෘප්තිමත් කරයි.
2) අනෙක් අතට, යුගලය (x, y) සමීකරණයට (4) විසඳුමක් වීමට ඉඩ දෙන්න, i.e.
.
මෙම සමානාත්මතාවයෙන් ඛණ්ඩාංක සහිත ලක්ෂ්යය අනුගමනය කරයි
මූලාරම්භය කේන්ද්‍ර කරගත් ඒකක අරය කවයක් මත පිහිටා ඇත, i.e. යම් කෝණයකට අනුරූප වන ත්රිකෝණමිතික කවයේ ලක්ෂ්යයකි
:
සයින් සහ කොසයින් අර්ථ දැක්වීමෙන් එය වහාම අනුගමනය කරයි
,
, කොහෙද
, යුගලය (x, y) පද්ධතිය (6) ආදියට විසඳුමක් වන්නේ කොතැනින්ද යන්නයි.
ප්රමේයය ඔප්පු කර ඇත.
අදහස් දක්වන්න. abscissa අක්ෂය වෙත අරය a කවයක් ඒකාකාර "සම්පීඩනය" ප්රතිඵලයක් ලෙස ඉලිප්සයක් ලබා ගත හැක.
ඉඩ
මූලාරම්භය කේන්ද්‍ර කරගත් වෘත්තයක සමීකරණය වේ. රවුම abscissa අක්ෂයට "සම්පීඩනය" යනු පහත දැක්වෙන රීතියට අනුව සිදු කරන ලද ඛණ්ඩාංක තලයේ පරිවර්තනයට වඩා වැඩි දෙයක් නොවේ. M(x, y) සෑම ලක්ෂයකටම අපි එකම තලයේ ලක්ෂ්‍යයක් ලිපි හුවමාරු කර ගනිමු
, කොහෙද
,
"සම්පීඩන" සාධකය වේ.
මෙම පරිවර්තනය සමඟින්, රවුමේ සෑම ලක්ෂ්‍යයක්ම තලයේ තවත් ලක්ෂ්‍යයකට "පසුකර යයි", එය එකම abscissa ඇති නමුත් කුඩා ඕඩිනේට් එකක් ඇත. නව එක අනුව ලක්ෂ්‍යයේ පැරණි ආඥාව ප්‍රකාශ කරමු:
සහ රවුම් සමීකරණයට ආදේශ කරන්න:
.
මෙතැන් සිට අපට ලැබෙන්නේ:
. (7)
මෙයින් කියවෙන්නේ, "සම්පීඩනය" පරිවර්තනයට පෙර, M(x, y) ලක්ෂ්‍යය රවුම මත තැබුවහොත්, i.e. එහි ඛණ්ඩාංක කව සමීකරණය තෘප්තිමත් කරයි, පසුව "සම්පීඩනය" පරිවර්තනයෙන් පසුව, මෙම ලක්ෂ්‍යය ලක්ෂ්‍යයට "පසුකර ගියේය"
, එහි ඛණ්ඩාංක ඉලිප්ස සමීකරණය (7) තෘප්තිමත් කරයි. අපට සුළු අර්ධ අක්ෂයක් b සහිත ඉලිප්සයක සමීකරණය ලබා ගැනීමට අවශ්‍ය නම්, අපි සම්පීඩන සාධකය ගත යුතුය.
.
අයිතමය 5. ඉලිප්සයකට ස්පර්ශක.
ප්රමේයය. ඉඩ
- ඉලිප්සයේ අත්තනෝමතික ලක්ෂ්‍යය
.
එවිට ලක්ෂ්‍යයේ මෙම ඉලිප්සයට ස්පර්ශක සමීකරණය
පෙනෙන්නේ:
. (8)
සාක්ෂි. ස්පර්ශක ලක්ෂ්‍යය ඛණ්ඩාංක තලයේ පළමු හෝ දෙවන කාර්තුවේ ඇති විට එය සලකා බැලීම ප්‍රමාණවත් වේ:
. ඉහළ අර්ධ තලයේ ඉලිප්ස සමීකරණයේ ස්වරූපය ඇත:
. (9)
ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරයට ස්පර්ශක සමීකරණය භාවිතා කරමු
ලක්ෂ්යයේ
:
කොහෙද
ලක්ෂ්‍යයේ මෙම ශ්‍රිතයේ ව්‍යුත්පන්නයේ අගය වේ
. පළමු කාර්තුවේ ඉලිප්සය ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරයක් ලෙස දැකිය හැක (8). එහි ව්‍යුත්පන්නය සහ එහි අගය සම්බන්ධතා ස්ථානයේදී සොයා ගනිමු:
,
. මෙතනදී අපි ටච් පොයින්ට් එක ප්‍රයෝජනයට අරන් තියෙනවා
ඉලිප්සයේ ලක්ෂ්‍යයක් වන අතර එම නිසා එහි ඛණ්ඩාංක ඉලිප්සයේ සමීකරණය තෘප්තිමත් කරයි (9), i.e.
.
අපි ව්‍යුත්පන්නයේ සොයාගත් අගය ස්පර්ශක සමීකරණයට ආදේශ කරමු (10):
,
අපට ලැබෙන තැන:
මෙයින් ඇඟවෙන්නේ:
අපි මෙම සමීකරණය බෙදමු
:
.
එය සටහන් කිරීමට ඉතිරිව ඇත
, නිසා තිත
ඉලිප්සයට අයත් වන අතර එහි ඛණ්ඩාංක එහි සමීකරණය තෘප්තිමත් කරයි.
ස්පර්ශක සමීකරණය (8) ඛණ්ඩාංක තලයේ තුන්වන හෝ හතරවන කාර්තුවේ පිහිටා ඇති ස්පර්ශක ලක්ෂ්‍යයේදී සමාන ලෙස ඔප්පු වේ.
තවද, අවසාන වශයෙන්, (8) සමීකරණය මගින් ලක්ෂ්‍යවල ස්පර්ශක සමීකරණය ලබා දෙන බව අපට පහසුවෙන් දැකගත හැක.
,
:
හෝ
, හා
හෝ
.
ප්රමේයය ඔප්පු කර ඇත.
අයිතමය 6. ඉලිප්සයක දර්පණ ගුණය.
ප්රමේයය. ඉලිප්සයේ ස්පර්ශකයට ස්පර්ශක ලක්ෂ්‍යයේ නාභීය අරය සමඟ සමාන කෝණ ඇත.
ඉඩ
- සම්බන්ධතා ස්ථානය
,
ස්පර්ශක ලක්ෂ්‍යයේ නාභීය අරය වේ, P සහ Q යනු ලක්ෂ්‍යයේ ඉලිප්සයට ඇද ගන්නා ලද ස්පර්ශකයේ නාභියේ ප්‍රක්ෂේපන වේ.
.
එම ප්‍රමේයය සඳහන් කරයි
. (11)
මෙම සමානාත්මතාවය එහි අවධානයෙන් මුදා හරින ලද ඉලිප්සයකින් ආලෝක කදම්භයක සිදුවීම් හා පරාවර්තනයේ කෝණවල සමානාත්මතාවය ලෙස අර්ථ දැක්විය හැක. මෙම ගුණය ඉලිප්සයේ දර්පණ ගුණය ලෙස හැඳින්වේ.
ඉලිප්සයේ නාභියෙන් නිකුත් වන ආලෝක කදම්භයක්, ඉලිප්සයේ දර්පණයෙන් පරාවර්තනය වීමෙන් පසුව, ඉලිප්සයේ තවත් නාභියක් හරහා ගමන් කරයි.
ප්රමේයයේ සාධනය. කෝණවල සමානාත්මතාවය ඔප්පු කිරීම සඳහා (11), අපි ත්රිකෝණවල සමානකම ඔප්පු කරමු
හා
, එහි පැති
හා
සමාන වනු ඇත. ත්රිකෝණ සෘජුකෝණාස්රාකාර බැවින්, සමානාත්මතාවය ඔප්පු කිරීමට එය ප්රමාණවත් වේ

අර්ථ දැක්වීම. ඉලිප්සයක් යනු තලයක ඇති ලක්ෂ්‍යවල පිහිටීමයි, මෙම තලයේ දී ඇති ලක්ෂ්‍ය දෙකකින් ඒ සෑම එකක්ම ඇති දුරවල එකතුව, foci ලෙස හැඳින්වේ, නියත අගයකි (මෙම අගය නාභිය අතර දුරට වඩා වැඩි නම්).
අපි ඒවා අතර ඇති දුර - හරහා , සහ ඉලිප්සයේ එක් එක් ලක්ෂ්‍යයේ සිට නාභිය දක්වා ඇති දුරවල එකතුවට සමාන නියත අගයක් (තත්ත්වය අනුව ) දක්වමු.
අපි කාටිසියානු ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක් ගොඩනඟමු, එවිට foci abscissa අක්ෂය මත වන අතර, ඛණ්ඩාංකවල මූලාරම්භය කොටසේ මැද සමග සමපාත වේ (රූපය 44). එවිට අවධානයට පහත ඛණ්ඩාංක ඇත: වම් අවධානය සහ දකුණු නාභිගත කිරීම. අපි තෝරාගත් ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ ඉලිප්සයේ සමීකරණය ව්‍යුත්පන්න කරමු. මේ සඳහා, ඉලිප්සයේ අත්තනෝමතික ලක්ෂ්යයක් සලකා බලන්න. ඉලිප්සයේ නිර්වචනය අනුව, මෙම ලක්ෂ්‍යයේ සිට නාභිය දක්වා ඇති දුරවල එකතුව වන්නේ:
ලක්ෂ්‍ය දෙකක් අතර දුර සඳහා සූත්‍රය භාවිතා කරමින්, අපි ලබා ගනිමු, එබැවින්,

මෙම සමීකරණය සරල කිරීම සඳහා, අපි එය පෝරමයේ ලියන්නෙමු
එවිට සමීකරණයේ දෙපැත්තේ වර්ග කිරීම ලබා දෙයි
හෝ, පැහැදිලි සරල කිරීම් වලින් පසුව:
දැන් නැවතත් අපි සමීකරණයේ දෙපැත්තම වර්ග කරමු, ඉන්පසු අපට ලැබෙනු ඇත:
හෝ, සමාන පරිවර්තනයකින් පසුව:
ඉලිප්සයක නිර්වචනයේ කොන්දේසියට අනුව, එය ධන අංකයකි. අපි අංකනය හඳුන්වා දෙන්නෙමු
එවිට සමීකරණය පහත ස්වරූපය ගනී:
ඉලිප්සයක නිර්වචනය අනුව, එහි ඕනෑම ලක්ෂ්‍යයක ඛණ්ඩාංක සමීකරණය (26) තෘප්තිමත් කරයි. නමුත් සමීකරණය (29) සමීකරණයේ (26) ප්රතිවිපාකයකි. එබැවින්, එය ඉලිප්සයේ ඕනෑම ලක්ෂයක ඛණ්ඩාංක ද තෘප්තිමත් කරයි.
ඉලිප්සය මත නොපවතින ලක්ෂ්යවල ඛණ්ඩාංක සමීකරණය (29) තෘප්තිමත් නොවන බව පෙන්විය හැක. මේ අනුව, සමීකරණය (29) යනු ඉලිප්සයක සමීකරණයයි. එය ඉලිප්සයේ කැනොනිකල් සමීකරණය ලෙස හැඳින්වේ.
එහි කැනොනිකල් සමීකරණය භාවිතයෙන් ඉලිප්සයේ හැඩය තහවුරු කරමු.
පළමුවෙන්ම, මෙම සමීකරණයේ අඩංගු වන්නේ x සහ y යන බලයන් පමණක් බව සලකන්න. මෙයින් අදහස් කරන්නේ කිසියම් ලක්ෂ්‍යයක් ඉලිප්සයකට අයත් වන්නේ නම්, එයට abscissa අක්ෂය වටා ඇති ලක්ෂ්‍යයක් සමඟ සමමිතික ලක්ෂ්‍යයක් සහ y-අක්ෂයේ ලක්ෂ්‍යයක් සමඟ සමමිතික ලක්ෂ්‍යයක් ද ඇතුළත් වන බවයි. මේ අනුව, ඉලිප්සයට අන්‍යෝන්‍ය වශයෙන් ලම්බක සමමිතික අක්ෂ දෙකක් ඇත, එය අප තෝරාගත් ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ ඛණ්ඩාංක අක්ෂ සමඟ සමපාත වේ. ඉලිප්සයේ සමමිතියේ අක්ෂ ඉලිප්සයේ අක්ෂ ලෙස හඳුන්වනු ඇත, සහ ඒවායේ ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්යය - ඉලිප්සයේ කේන්ද්රය. ඉලිප්සයේ නාභිය පිහිටා ඇති අක්ෂය (මෙම අවස්ථාවේදී, abscissa අක්ෂය) නාභි අක්ෂය ලෙස හැඳින්වේ.

පළමු කාර්තුවේදී මුලින්ම ඉලිප්සයේ හැඩය තීරණය කරමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි y සම්බන්ධයෙන් සමීකරණය (28) විසඳන්නෙමු:
y සඳහා මනඃකල්පිත අගයන් ගන්නා බැවින් මෙහි බව පැහැදිලිය. 0 සිට a දක්වා වැඩි වීමත් සමඟ, y b සිට 0 දක්වා අඩු වේ. පළමු කාර්තුවේ වැතිර සිටින ඉලිප්සයේ කොටස B (0; b) ලක්ෂ්‍ය වලින් සීමා වූ චාපයක් වන අතර ඛණ්ඩාංක අක්ෂ මත පිහිටා ඇත (රූපය 45). දැන් ඉලිප්සයේ සමමිතිය භාවිතා කරමින්, ඉලිප්සයේ රූපයේ දැක්වෙන හැඩය ඇති බව අපි නිගමනය කරමු. 45.
ඉලිප්සයේ අක්ෂයන්හි ඡේදනය වන ස්ථාන ඉලිප්සයේ සිරස් ලෙස හැඳින්වේ. එය ඉලිප්සයේ සමමිතියෙන් පහත දැක්වෙන්නේ, සිරස් වලට අමතරව, ඉලිප්සයට තවත් සිරස් දෙකක් ඇති බවයි (රූපය 45 බලන්න).
ඉලිප්සයේ ප්‍රතිවිරුද්ධ සිරස් සම්බන්ධ කරන කොටස් සහ ඒවායේ දිග, පිළිවෙලින් ඉලිප්සයේ ප්‍රධාන සහ කුඩා අක්ෂ ලෙස හැඳින්වේ. a සහ b සංඛ්‍යා පිළිවෙලින් ඉලිප්සයේ ප්‍රධාන සහ කුඩා අර්ධ අක්ෂ ලෙස හැඳින්වේ.
ඉලිප්සයේ අර්ධ-ප්‍රධාන අක්ෂයට නාභිය අතර දුරින් අඩක අනුපාතය ඉලිප්සයේ විකේන්ද්‍රියතාව ලෙස හැඳින්වෙන අතර සාමාන්‍යයෙන් අක්ෂරයෙන් දැක්වේ:
සිට , එවිට ඉලිප්සයේ විකේන්ද්‍රියතාවය එකකට වඩා අඩුය: විකේන්ද්‍රිය ඉලිප්සයේ හැඩය සංලක්ෂිත කරයි. ඇත්ත වශයෙන්ම, එය සූත්‍රයෙන් (28) අනුගමනය කරයි, මෙයින් පෙනෙන්නේ ඉලිප්සයේ විකේන්ද්‍රියතාව කුඩා වන තරමට එහි කුඩා අර්ධ අක්ෂ b ප්‍රධාන අර්ධ අක්ෂයට වඩා අඩුවෙන් වෙනස් වන බවයි, එනම්, ඉලිප්සය දිගු වන තරමට (නාභිය දිගේ) අක්ෂය).
සීමාකාරී අවස්ථාවෙහිදී, ඔබ අරය කවයක් ලබා ගන්නා විට a: , හෝ . ඒ අතරම, ඉලිප්සයේ නාභිය, එක් ස්ථානයක ඒකාබද්ධ වේ - රවුමේ කේන්ද්රය. රවුමේ විකේන්ද්රිකතාවය ශුන්ය වේ:
ඉලිප්සය සහ රවුම අතර සම්බන්ධය වෙනත් දෘෂ්ටි කෝණයකින් ස්ථාපිත කළ හැකිය. a සහ b අර්ධ අක්ෂ සහිත ඉලිප්සයක් a අරය කවයක ප්‍රක්ෂේපණයක් ලෙස සැලකිය හැකි බව පෙන්වමු.

අපි P සහ Q ගුවන් යානා දෙකක් සලකා බලමු, ඔවුන් අතර එවැනි කෝණයක් සාදයි, ඒ සඳහා (රූපය 46). අපි P තලයේ ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක් ගොඩනඟමු, සහ Q තලයේ Oxy පද්ධතියක් සාමාන්‍ය සම්භවයක් සහිත O සහ ගුවන් යානාවල ඡේදනය වීමේ රේඛාව සමඟ සමපාත වන පොදු abscissa අක්ෂය. P තලයේ රවුම සලකා බලන්න
මූලාරම්භය සහ අරය කේන්ද්‍රගත කර ඇත. රවුමේ අත්තනෝමතික ලෙස තෝරාගත් ලක්ෂ්‍යයක් වේවා, Q තලය මත එහි ප්‍රක්ෂේපණය වේවා, සහ M ලක්ෂ්‍යයේ Ox අක්ෂය වෙතට ප්‍රක්ෂේපණය වේවා. ලක්ෂ්‍යය a සහ b අර්ධ අක්ෂ සහිත ඉලිප්සයක් මත පිහිටා ඇති බව අපි පෙන්වමු.

දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි රේඛා.
ඉලිප්සය සහ එහි කැනොනිකල් සමීකරණය. කවය
ගැඹුරු අධ්‍යයනයකින් පසුව ගුවන් යානයේ සරල රේඛාද්විමාන ලෝකයේ ජ්‍යාමිතිය අපි දිගටම අධ්‍යයනය කරන්නෙමු. කොටස් දෙගුණ වී ඇති අතර සාමාන්‍ය නියෝජිතයන් වන ඉලිප්ස්, හයිපර්බෝලා, පැරබෝලා යන මනරම් ගැලරිය නැරඹීමට මම ඔබට ආරාධනා කරමි. දෙවන ඇණවුම් රේඛා. සංචාරය දැනටමත් ආරම්භ වී ඇති අතර, පළමුව, කෞතුකාගාරයේ විවිධ මහල්වල සමස්ත ප්රදර්ශනය පිළිබඳ කෙටි තොරතුරු:

වීජීය රේඛාවක් පිළිබඳ සංකල්පය සහ එහි අනුපිළිවෙල

ගුවන් යානයක රේඛාවක් ලෙස හැඳින්වේ වීජීය, ඇතුලේ නම් affine ඛණ්ඩාංක පද්ධතියඑහි සමීකරණයට පෝරමය ඇත , එහිදී පෝරමයේ නියම වලින් සමන්විත බහුපදයක් ඇත ( තාත්වික සංඛ්‍යාවකි, සෘණ නොවන පූර්ණ සංඛ්‍යා වේ).

ඔබට පෙනෙන පරිදි වීජීය රේඛාවක සමීකරණයේ සයින, කෝසයින, ලඝුගණක සහ අනෙකුත් ක්‍රියාකාරී බියු මොන්ඩේ අඩංගු නොවේ. "x" සහ "y" පමණක් ඇත නිඛිල ඍණ නොවනඋපාධි.

රේඛා අනුපිළිවෙලඑහි ඇතුළත් නියමවල උපරිම අගයට සමාන වේ.

අනුරූප ප්රමේයයට අනුව, වීජීය රේඛාවක් පිළිබඳ සංකල්පය මෙන්ම එහි අනුපිළිවෙල තේරීම මත රඳා නොපවතී. affine ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය, එබැවින්, පැවැත්මේ පහසුව සඳහා, සියලු පසුකාලීන ගණනය කිරීම් සිදු වන බව අපි සලකමු කාටිසියානු ඛණ්ඩාංක.

සාමාන්ය සමීකරණයදෙවන පෙළ රේඛාවේ පෝරමය ඇත , එහිදී අත්තනෝමතික තාත්වික සංඛ්‍යා වේ (ගුණකය සමඟ ලිවීම සිරිතකි - "දෙක"), සහ සංගුණක එකවර ශුන්‍යයට සමාන නොවේ.

නම්, සමීකරණය සරල කරයි , සහ සංගුණක එකවර ශුන්‍යයට සමාන නොවේ නම්, මෙය හරියටම වේ "පැතලි" සරල රේඛාවක පොදු සමීකරණය, නියෝජනය කරන පළමු ඇණවුම් රේඛාව.

බොහෝ අය නව නියමවල තේරුම තේරුම් ගත් නමුත්, කෙසේ වෙතත්, ද්රව්යය 100% උකහා ගැනීම සඳහා, අපි අපගේ ඇඟිලි සොකට් එකට ඇලවීම. රේඛා අනුපිළිවෙල තීරණය කිරීමට, නැවත නැවත කරන්න සියලුම කොන්දේසිඑහි සමීකරණ සහ එක් එක් සඳහා සොයා ගන්න බල එකතුවඑන විචල්‍යයන්.

උදාහරණ වශයෙන්:

පදයේ 1 වන උපාධිය දක්වා "x" අඩංගු වේ;
පදයේ "Y" සිට 1 වන බලය දක්වා ඇත;
පදයේ විචල්‍යයන් නොමැත, එබැවින් ඒවායේ බලවල එකතුව ශුන්‍ය වේ.

සමීකරණය රේඛාව සකසන්නේ මන්දැයි දැන් අපි සොයා බලමු දෙවැනිනියෝග:

පදයේ 2 වන උපාධියේ "x" අඩංගු වේ;
පදයේ විචල්‍යවල අංශකවල එකතුව ඇත: 1 + 1 = 2;
පදයේ 2 වන උපාධියේ "y" අඩංගු වේ;
අනෙකුත් සියලුම නියමයන් - අඩුඋපාධිය.

උපරිම අගය: 2

අපි අතිරේකව අපගේ සමීකරණයට එකතු කළහොත්, කියන්න, එවිට එය දැනටමත් තීරණය කරනු ඇත තුන්වන ඇණවුම් රේඛාව. 3 වන අනුපිළිවෙල රේඛා සමීකරණයේ සාමාන්‍ය ආකෘතියේ "සම්පූර්ණ කට්ටලයක්" අඩංගු වන බව පැහැදිලිය, විචල්‍ය අංශක තුනකට සමාන වන එකතුව:
, සංගුණක එකවර ශුන්‍යයට සමාන නොවේ.

අඩංගු සුදුසු පද එකක් හෝ කිහිපයක් එකතු කරන අවස්ථාවක , එහෙනම් අපි කතා කරමු 4 වන ඇණවුම් රේඛා, ආදිය.

3 වන, 4 වන සහ ඉහළ ඇණවුම් වල වීජීය රේඛා සමඟ අපට එක් වරකට වඩා කටයුතු කිරීමට සිදුවනු ඇත, විශේෂයෙන්, දැන හඳුනා ගැනීමේදී ධ්රැවීය ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය.

කෙසේ වෙතත්, අපි සාමාන්ය සමීකරණය වෙත ආපසු ගොස් එහි සරලම පාසල් වෙනස්කම් සිහිපත් කරමු. උදාහරණ ලෙස සමීකරණය සාමාන්‍ය ස්වරූපයකට පහසුවෙන් අඩු කළ හැකි පැරබෝලා සහ ඊට සමාන සමීකරණයක් සහිත හයිපර්බෝලා වේ. කෙසේ වෙතත්, සෑම දෙයක්ම එතරම් සුමට නොවේ ...

සාමාන්‍ය සමීකරණයේ සැලකිය යුතු පසුබෑමක් වන්නේ එය නිර්වචනය කරන්නේ කුමන රේඛාවද යන්න සෑම විටම පාහේ පැහැදිලි නොවීමයි. සරලම අවස්ථාවක පවා, මෙය අතිශයෝක්තියක් බව ඔබට වහාම වැටහෙන්නේ නැත. එවැනි පිරිසැලසුම් හොඳ වන්නේ වෙස් මුහුණකදී පමණි, එබැවින් විශ්ලේෂණාත්මක ජ්‍යාමිතිය අතරතුර සාමාන්‍ය ගැටළුවක් ලෙස සැලකේ. 2 වන අනුපිළිවෙල රේඛා සමීකරණය කැනොනිකල් ආකෘතියට අඩු කිරීම.

සමීකරණයක කැනොනිකල් ස්වරූපය කුමක්ද?

තත්පර කිහිපයකින් එය නිර්වචනය කරන ජ්යාමිතික වස්තුව කුමක්ද යන්න පැහැදිලි වන විට, සමීකරණයේ සාමාන්යයෙන් පිළිගත් සම්මත ආකෘතිය මෙයයි. මීට අමතරව, බොහෝ ප්රායෝගික ගැටළු විසඳීම සඳහා කැනොනිකල් ආකෘතිය ඉතා පහසු වේ. උදාහරණයක් ලෙස, කැනොනිකල් සමීකරණයට අනුව "පැතලි" කෙළින්ම, පළමුව, මෙය සරල රේඛාවක් බව වහාම පැහැදිලි වන අතර, දෙවනුව, එයට අයත් ලක්ෂ්යය සහ දිශා දෛශිකය සරලව දැකිය හැකිය.

පැහැදිලිවම, ඕනෑම 1 වන ඇණවුම් රේඛාවසරල රේඛාවක් නියෝජනය කරයි. දෙවන මහලේ, තවදුරටත් අප එනතුරු බලා සිටින මුරකරුවෙක් නැත, නමුත් ප්‍රතිමා නවයකින් යුත් වඩාත් විවිධාකාර සමාගමකි:

දෙවන පෙළ රේඛා වර්ගීකරණය

විශේෂ ක්‍රියා සමූහයක ආධාරයෙන්, ඕනෑම දෙවන පෙළ රේඛා සමීකරණයක් පහත දැක්වෙන වර්ග වලින් එකකට අඩු කරනු ලැබේ:

(සහ ධන තාත්වික සංඛ්‍යා වේ)

1) ඉලිප්සයේ කැනොනිකල් සමීකරණය වේ;

2) හයිපර්බෝලාවේ කැනොනිකල් සමීකරණය වේ;

3) පැරබෝලාවේ කැනොනිකල් සමීකරණය වේ;

4) – මනඃකල්පිතඉලිප්සය;

5) - ඡේදනය වන රේඛා යුගලයක්;

6) - යුවල මනඃකල්පිතඡේදනය වන රේඛා (සම්භවයේදී එකම සැබෑ ඡේදනය වන ස්ථානය සමඟ);

7) - සමාන්තර රේඛා යුගලයක්;

8) - යුවල මනඃකල්පිතසමාන්තර රේඛා;

9) යනු සමපාත රේඛා යුගලයකි.

සමහර පාඨකයන්ට ලැයිස්තුව අසම්පූර්ණයි යන හැඟීම ඇති විය හැක. උදාහරණයක් ලෙස, අංක 7 ඡේදයේ, සමීකරණය යුගලය සකසයි සෘජු, අක්ෂයට සමාන්තරව, සහ ප්රශ්නය පැනනගින්නේ: y-අක්ෂයට සමාන්තරව රේඛා තීරණය කරන සමීකරණය කොහෙද? පිළිතුර: එය කැනනය ලෙස නොසැලකේ. සරල රේඛා අංශක 90 කින් භ්රමණය වන එකම සම්මත නඩුව නියෝජනය කරන අතර, මූලික වශයෙන් අලුත් කිසිවක් රැගෙන නොයන බැවින්, වර්ගීකරණයේ අතිරේක ප්රවේශය අතිරික්ත වේ.

මේ අනුව, 2 වන අනුපිළිවෙලෙහි විවිධ වර්ග නවයක් සහ නවයක් පමණක් ඇත, නමුත් ප්රායෝගිකව වඩාත් පොදු වේ ඉලිප්සය, හයිපර්බෝලා සහ පැරබෝලා.

අපි මුලින්ම ඉලිප්සාව බලමු. සුපුරුදු පරිදි, ගැටළු විසඳීම සඳහා ඉතා වැදගත් වන කරුණු කෙරෙහි මම අවධානය යොමු කරමි, ඔබට සූත්‍රවල සවිස්තරාත්මක ව්‍යුත්පන්නයක්, ප්‍රමේයවල සාක්ෂි අවශ්‍ය නම්, කරුණාකර, උදාහරණයක් ලෙස, Bazylev / Atanasyan හෝ Aleksandrov ගේ පෙළපොත වෙත යොමු වන්න.

ඉලිප්සය සහ එහි කැනොනිකල් සමීකරණය

අක්ෂර වින්‍යාසය ... කරුණාකර "ඉලිප්සයක් ගොඩනඟන්නේ කෙසේද", "ඉලිප්සයක් සහ ඕවලාකාරයක් අතර වෙනස" සහ "එලිබ්ස් විකේන්ද්‍රියතාව" ගැන උනන්දුවක් දක්වන සමහර Yandex පරිශීලකයින්ගේ වැරදි නැවත නොකරන්න.

ඉලිප්සයක කැනොනිකල් සමීකරණයට පෝරමය ඇත , ධන තාත්වික සංඛ්‍යා කොහෙද, සහ . මම ඉලිප්සයක නිර්වචනය පසුව සකස් කරමි, නමුත් දැන් කතා කිරීමෙන් විවේකයක් ගෙන පොදු ගැටළුවක් විසඳීමට කාලයයි:

ඉලිප්සයක් සාදා ගන්නේ කෙසේද?

ඔව්, එය ගෙන එය අඳින්න. පැවරුම පොදු වන අතර සිසුන්ගෙන් සැලකිය යුතු කොටසක් චිත්‍රය සමඟ සාර්ථකව කටයුතු නොකරයි:

උදාහරණ 1

සමීකරණයෙන් ලබා දෙන ඉලිප්සයක් සාදන්න

විසඳුමක්: පළමුව අපි සමීකරණය කැනොනිකල් ආකෘතියට ගෙන එන්නෙමු:

ඇයි ගේන්නේ? කැනොනිකල් සමීකරණයේ එක් වාසියක් නම් එය ඔබට ක්ෂණිකව තීරණය කිරීමට ඉඩ සලසයි ellipse vertices, ලක්ෂ්යවල ඇති. මෙම එක් එක් ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක සමීකරණය තෘප්තිමත් කරන බව දැකීම පහසුය.

මේ අවස්ථාවේ දී :

රේඛා කොටසකියලා ප්රධාන අක්ෂයඉලිප්සය;
රේඛා කොටස – සුළු අක්ෂය;
අංකය කියලා අර්ධ-ප්රධාන අක්ෂයඉලිප්සය;
අංකය – අර්ධ කුඩා අක්ෂය.
අපගේ උදාහරණයේ: .

මෙම හෝ එම ඉලිප්සය කෙබඳුදැයි ඉක්මනින් සිතා ගැනීමට, එහි කැනොනිකල් සමීකරණයේ "a" සහ "be" අගයන් දෙස බලන්න.

සෑම දෙයක්ම හොඳයි, පිළිවෙලට හා ලස්සනයි, නමුත් එක් අවවාදයක් තිබේ: මම වැඩසටහන භාවිතයෙන් ඇඳීම සම්පූර්ණ කළෙමි. තවද ඔබට ඕනෑම යෙදුමක් සමඟ ඇඳීමට හැකිය. කෙසේ වෙතත්, කටුක යථාර්ථය නම්, චෙක්පත් කඩදාසි කැබැල්ලක් මේසය මත වැතිර සිටින අතර, මීයන් අපගේ දෑත් වටා නටති. කලාත්මක කුසලතා ඇති පුද්ගලයින්ට ඇත්ත වශයෙන්ම තර්ක කළ හැකිය, නමුත් ඔබට මීයන් ද ඇත (කුඩා ඒවා වුවද). මිනිස් වර්ගයා විසින් චිත්‍ර ඇඳීම සඳහා පාලකයෙකු, මාලිමා යන්ත්‍රයක්, ප්‍රෝටෙක්ටරයක් සහ වෙනත් සරල උපාංග නිර්මාණය කිරීම නිෂ්ඵල නොවේ.

මේ හේතුව නිසා, අපට සිරස් පමණක් දැන ඉලිප්සයක් නිවැරදිව ඇඳීමට නොහැකි වනු ඇත. තවමත් හරි, ඉලිප්සය කුඩා නම්, උදාහරණයක් ලෙස, semiaxes සමඟ. විකල්පයක් ලෙස, ඔබට පරිමාණය අඩු කළ හැකි අතර, ඒ අනුව, චිත්රයේ මානයන්. නමුත් සාමාන්ය නඩුවේ අතිරේක කරුණු සොයා ගැනීම ඉතා යෝග්ය වේ.

ඉලිප්සයක් තැනීමට ප්‍රවේශයන් දෙකක් ඇත - ජ්‍යාමිතික සහ වීජීය. කෙටි ඇල්ගොරිතම සහ චිත්‍රයේ සැලකිය යුතු අවුල් සහගත බව නිසා මාලිමා යන්ත්‍රයක් සහ පාලකයෙකු සමඟ ගොඩනැගීමට මම කැමති නැත. හදිසි අවස්ථාවකදී, කරුණාකර පෙළපොත වෙත යොමු වන්න, නමුත් යථාර්ථයේ දී වීජ ගණිතයේ මෙවලම් භාවිතා කිරීම වඩා තාර්කික ය. කෙටුම්පතේ ඇති ඉලිප්සාකාර සමීකරණයෙන්, අපි ඉක්මනින් ප්රකාශ කරමු:

එවිට සමීකරණය කාර්යයන් දෙකකට බෙදා ඇත:
- ඉලිප්සයේ ඉහළ චාපය නිර්වචනය කරයි;
- ඉලිප්සයේ පහළ චාපය නිර්වචනය කරයි.

කැනොනිකල් සමීකරණය මගින් ලබා දෙන ඉලිප්සය ඛණ්ඩාංක අක්ෂ සම්බන්ධයෙන් මෙන්ම සම්භවය සම්බන්ධයෙන් සමමිතික වේ. එය විශිෂ්ටයි - සමමිතිය සෑම විටම පාහේ නොමිලේ ලබා දීමේ පෙර නිමිත්තකි. නිසැකවම, එය 1 වන සම්බන්ධීකරණ කාර්තුව සමඟ කටයුතු කිරීමට ප්රමාණවත් වේ, එබැවින් අපට කාර්යයක් අවශ්ය වේ . එය abscissas සමඟ අතිරේක ලකුණු සොයා ගැනීමට යෝජනා කරයි . අපි කැල්කියුලේටරය මත SMS තුනක් පහර දුන්නා:

ඇත්ත වශයෙන්ම, ගණනය කිරීම් වලදී බරපතල දෝෂයක් සිදුවුවහොත්, ඉදිකිරීම් අතරතුර මෙය වහාම පැහැදිලි වනු ඇත.

චිත්‍රයේ ලකුණු (රතු පැහැය), අනෙක් චාපවල සමමිතික ලක්ෂ්‍ය (නිල් වර්ණය) සලකුණු කර මුළු සමාගමම පේළියකින් ප්‍රවේශමෙන් සම්බන්ධ කරන්න:

ආරම්භක සටහන සිහින්ව හා සිහින්ව ඇඳීම වඩා හොඳය, පසුව පමණක් පැන්සලට පීඩනය යොදන්න. ප්රතිඵලය තරමක් හොඳ ඉලිප්සයක් විය යුතුය. මාර්ගය වන විට, මෙම වක්‍රය කුමක්දැයි දැන ගැනීමට ඔබ කැමතිද?

ඉලිප්සයක අර්ථ දැක්වීම. Ellipse foci සහ ellipse eccentricity

ඉලිප්සයක් යනු ඕවලාකාරයේ විශේෂ අවස්ථාවකි. "ඕවල්" යන වචනය පිලිස්ති අර්ථයෙන් තේරුම් නොගත යුතුය ("දරුවා ඉලිප්සාකාරයක් ඇද" යනාදිය). මෙය සවිස්තරාත්මක සූත්‍රගත කිරීමක් සහිත ගණිතමය පදයකි. මෙම පාඩමෙහි අරමුණ වන්නේ විශ්ලේෂණාත්මක ජ්යාමිතිය පිළිබඳ සම්මත පාඨමාලාවේ ප්රායෝගිකව අවධානය යොමු නොකරන ලද ඕවලාකාර න්යාය සහ ඒවායේ විවිධ වර්ග සලකා බැලීම නොවේ. තවද, වැඩි වත්මන් අවශ්‍යතා අනුව, අපි වහාම ඉලිප්සයක දැඩි නිර්වචනය වෙත යමු:

ඉලිප්සය- මෙය තලයේ සියලුම ලක්ෂ්‍යවල කුලකයකි, ලබා දී ඇති ලක්ෂ්‍ය දෙකකින් ඒ සෑම එකක් සඳහාම ඇති දුරවල එකතුව, ලෙස හැඳින්වේ. උපක්රම ellipse යනු නියත අගයකි, සංඛ්‍යාත්මකව මෙම ඉලිප්සයේ ප්‍රධාන අක්ෂයේ දිගට සමාන වේ: .
මෙම අවස්ථාවෙහිදී, foci අතර ඇති දුර මෙම අගයට වඩා අඩුය: .

දැන් එය වඩාත් පැහැදිලි වනු ඇත:

නිල් තිත ඉලිප්සයක් මත "පදින්න" යැයි සිතන්න. එබැවින්, අපි ඉලිප්සයේ කුමන ලක්ෂ්‍යයක් ගත්තත්, කොටස්වල දිගවල එකතුව සැමවිටම සමාන වේ:

අපගේ උදාහරණයේ එකතුවේ අගය ඇත්ත වශයෙන්ම අටට සමාන බව සහතික කර ගනිමු. මානසිකව "em" ලක්ෂ්‍යය ඉලිප්සයේ දකුණු ශීර්ෂයේ තබන්න, එවිට: , පරීක්ෂා කිරීමට අවශ්‍ය විය.

ඉලිප්සයක් ඇඳීමට තවත් ක්රමයක් ඉලිප්සයේ නිර්වචනය මත පදනම් වේ. උසස් ගණිතය, සමහර විට, ආතතියට සහ ආතතියට හේතුවයි, එබැවින් තවත් බාගැනීම් සැසියක් කිරීමට කාලයයි. කරුණාකර කඩදාසි කැබැල්ලක් හෝ විශාල කාඩ්බෝඩ් කොලයක් ගෙන එය ඇණ දෙකකින් මේසයට තද කරන්න. මේවා උපක්රම වනු ඇත. නෙරා ඇති නියපොතු හිස් වලට කොළ පැහැති නූල් බැඳ පැන්සලකින් එය ඇද දමන්න. පැන්සලෙහි ගෙල ඉලිප්සයට අයත් වන යම් අවස්ථාවක දී වනු ඇත. දැන් කොළ පැහැති නූල් ඉතා තදින් තබා ගනිමින් කඩදාසි පත්රය හරහා පැන්සල මෙහෙයවීමට පටන් ගන්න. ඔබ ආරම්භක ස්ථානයට ආපසු යන තෙක් ක්‍රියාවලිය දිගටම කරගෙන යන්න ... විශිෂ්ටයි ... චිත්‍රය වෛද්‍යවරයා විසින් ගුරුවරයාට සත්‍යාපනය සඳහා ඉදිරිපත් කළ හැකිය =)

ඉලිප්සයක නාභිය සොයා ගන්නේ කෙසේද?

ඉහත උදාහරණයේ දී, මම "සූදානම්" නාභිගත ලක්ෂ්‍ය නිරූපණය කළ අතර, දැන් අපි ඒවා ජ්‍යාමිතියේ ගැඹුරින් උකහා ගන්නේ කෙසේදැයි ඉගෙන ගනිමු.

ඉලිප්සය ලබා දෙන්නේ කැනොනිකල් සමීකරණයෙන් නම්, එහි කේන්ද්‍රස්ථානයට ඛණ්ඩාංක ඇත , එය කොහේ ද එක් එක් නාභියේ සිට ඉලිප්සයේ සමමිතියේ කේන්ද්‍රය දක්වා දුර.

තැම්බූ ටර්නිප් වලට වඩා ගණනය කිරීම් පහසුය:

! "ce" යන අර්ථයෙන් උපක්‍රමවල නිශ්චිත ඛණ්ඩාංක හඳුනාගත නොහැක!මම නැවත නැවතත්, මෙයයි එක් එක් නාභිගත කිරීමේ සිට මධ්‍යස්ථානයට DISTANCE(සාමාන්‍ය අවස්ථාවෙහිදී එය හරියටම මූලාරම්භයේ පිහිටා තිබිය යුතු නොවේ).
එබැවින්, නාභිය අතර දුර ඉලිප්සයේ කැනොනිකල් ස්ථානයට බැඳිය නොහැක. වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, ඉලිප්සය වෙනත් ස්ථානයකට ගෙන යා හැකි අතර අගය නොවෙනස්ව පවතිනු ඇත, නාභිය ස්වභාවිකවම ඔවුන්ගේ ඛණ්ඩාංක වෙනස් කරයි. ඔබ මාතෘකාව තවදුරටත් ගවේෂණය කරන විට කරුණාකර මෙය මතක තබා ගන්න.

ඉලිප්සයක විකේන්ද්රිකතාවය සහ එහි ජ්යාමිතික අර්ථය

ඉලිප්සයක විකේන්ද්රිකතාවය යනු තුළ අගයන් ගත හැකි අනුපාතයකි.

අපගේ නඩුවේදී:

ඉලිප්සයක හැඩය එහි විකේන්ද්‍රියතාවය මත රඳා පවතින්නේ කෙසේදැයි සොයා බලමු. මේ වෙනුවෙන් වම් සහ දකුණු සිරස් සවි කරන්නසලකා බලනු ලබන ඉලිප්සයේ, එනම් අර්ධ-ප්‍රධාන අක්ෂයේ අගය නියතව පවතිනු ඇත. එවිට විකේන්ද්රිකතා සූත්රය ස්වරූපය ගනී: .

එකමුතුකමේ විකේන්ද්රිකතාවයේ අගය ආසන්න කිරීමට පටන් ගනිමු. මෙය කළ හැක්කේ නම් පමණි. එයින් අදහස් කරන්නේ කුමක් ද? ... උපක්‍රම මතකයි . මෙයින් අදහස් කරන්නේ ඉලිප්සයේ නාභිය abscissa අක්ෂය දිගේ පැති සිරස් වෙත "විසුරුවා හැරීම" බවයි. තවද, "හරිත කොටස් රබර් නොවන" බැවින්, ඉලිප්සය අනිවාර්යයෙන්ම සමතලා වීමට පටන් ගනී, අක්ෂයක් මත සවි කර ඇති සිහින් සහ සිහින් සොසේජස් බවට හැරේ.

මේ ක්රමයෙන්, ඉලිප්සයේ විකේන්ද්‍රියතාවය එකකට ආසන්න වන තරමට ඉලිප්සිය දිගටි වේ.

දැන් අපි ප්රතිවිරුද්ධ ක්රියාවලිය අනුකරණය කරමු: ඉලිප්සයේ කේන්ද්රය මධ්‍යයට ළං වෙමින් එකිනෙකා දෙසට ගියේය. මෙයින් අදහස් වන්නේ "ce" හි අගය කුඩා වන අතර, ඒ අනුව, විකේන්ද්රිකතාවය ශුන්යයට නැඹුරු වන බවයි: .
මෙම අවස්ථාවේ දී, "හරිත කොටස්", ඊට පටහැනිව, "ජනාකීර්ණ" වන අතර, ඔවුන් ඉලිප්සයේ රේඛාව ඉහළට සහ පහළට "තල්ලු" කිරීමට පටන් ගනී.

මේ ක්රමයෙන්, විකේන්ද්‍රික අගය ශුන්‍යයට ආසන්න වන තරමට ඉලිප්සය දිස්වේ... සීමාකාරී අවස්ථාව දෙස බලන්න, මූලාරම්භයේදී නාභිය සාර්ථකව නැවත එක් වූ විට:

වෘත්තයක් යනු ඉලිප්සයක විශේෂ අවස්ථාවකි

ඇත්ත වශයෙන්ම, අර්ධ අක්ෂවල සමානාත්මතාවයේ දී, ඉලිප්සයේ කැනොනිකල් සමීකරණය ස්වරූපය ගනී, එය "a" අරය ආරම්භයේ කේන්ද්‍රය සමඟ පාසලේ සිට සුප්‍රසිද්ධ කව සමීකරණයට ප්‍රත්‍යාවර්තීව පරිවර්තනය වේ.

ප්‍රායෝගිකව, “කතා කරන” අකුර “er” සමඟ අංකනය බොහෝ විට භාවිතා වේ :. අරය ඛණ්ඩයේ දිග ලෙස හැඳින්වේ, රවුමේ සෑම ලක්ෂයක්ම අරය දුරින් මධ්යයේ සිට ඉවත් කරනු ලැබේ.

ඉලිප්සයේ නිර්වචනය සම්පූර්ණයෙන්ම නිවැරදි බව සලකන්න: නාභිය ගැලපේ, සහ රවුමේ එක් එක් ලක්ෂ්‍යය සඳහා ගැළපෙන කොටස්වල දිග එකතුව නියත අගයක් වේ. foci අතර ඇති දුර නිසා ඕනෑම වෘත්තයක විකේන්ද්‍රියතාවය ශුන්‍ය වේ.

කවයක් පහසුවෙන් සහ ඉක්මනින් ගොඩනගා ඇත, එය මාලිමා යන්ත්‍රයකින් සන්නද්ධ වීමට ප්‍රමාණවත් වේ. කෙසේ වෙතත්, සමහර විට එහි සමහර කරුණුවල ඛණ්ඩාංක සොයා ගැනීම අවශ්‍ය වේ, මේ අවස්ථාවේ දී අපි හුරුපුරුදු මාර්ගයට යමු - අපි සමීකරණය සතුටු සිතින් මතාන්ගේ ස්වරූපයට ගෙන එමු:

ඉහළ අර්ධ වෘත්තාකාරයේ කාර්යය වේ;
පහළ අර්ධ වෘත්තාකාරයේ කාර්යය වේ.

එවිට අපි අපේක්ෂිත අගයන් සොයා ගනිමු, වෙනස් කළ හැකි, ඒකාබද්ධ කරන්නසහ වෙනත් හොඳ දේවල් කරන්න.

ලිපිය, ඇත්ත වශයෙන්ම, යොමු කිරීම සඳහා පමණි, නමුත් ලෝකයේ ආදරය නොමැතිව කෙනෙකුට ජීවත් විය හැක්කේ කෙසේද? ස්වාධීන විසඳුමක් සඳහා නිර්මාණාත්මක කාර්යය

උදාහරණ 2

ඉලිප්සයක එක් කේන්ද්‍රයක් සහ අර්ධ-සුළු අක්ෂය දන්නේ නම් (මධ්‍යය මූලාරම්භයේ ඇත) නම් එහි කැනොනිකල් සමීකරණය සම්පාදනය කරන්න. සිරස්, අමතර ලකුණු සොයාගෙන ඇඳීම මත රේඛාවක් අඳින්න. විකේන්ද්රිකතාවය ගණනය කරන්න.

පාඩම අවසානයේ විසඳුම සහ ඇඳීම

අපි ක්‍රියාවක් එකතු කරමු:

ඉලිප්සයක් කරකවන්න සහ පරිවර්තනය කරන්න

මෙම වක්‍රය පිළිබඳ පළමු සඳහනේ සිටම විමසිලිමත් මනසක් වධ හිංසා කරන ප්‍රහේලිකාව වන තත්වයට, එනම්, ඉලිප්සයේ කැනොනිකල් සමීකරණයට නැවත යමු. මෙහිදී අපි ඉලිප්සයක් සලකා බැලුවා , නමුත් ප්රායෝගිකව සමීකරණය කළ නොහැක ? සියල්ලට පසු, මෙන්න, කෙසේ වෙතත්, එය ද ඉලිප්සයක් මෙන් පෙනේ!

එවැනි සමීකරණයක් දුර්ලභ ය, නමුත් එය හමු වේ. තවද එය ඉලිප්සයක් නිර්වචනය කරයි. අපි අද්භූත දේ දුරු කරමු:

ඉදි කිරීමේ ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, අපගේ දේශීය ඉලිප්සය අංශක 90 කින් භ්රමණය වේ. එනම්, - මෙය කැනොනිකල් නොවන ඇතුල්වීමඉලිප්සය . වාර්තාව!- සමීකරණය ඉලිප්සයක නිර්වචනය තෘප්තිමත් කරන අක්ෂයේ ලක්ෂ්‍ය (foci) නොමැති බැවින් වෙනත් ඉලිප්සයක් සඳහන් නොකරයි.

මෙම ලිපිය ඔබේ මිතුරන් සමඟ බෙදා ගන්න:

සමාන ලිපි

පාවාදීම ගැන පාවාදීමේ ශුභාරංචිය

යක්ෂයා පාළුකරයේදී යේසුස්ව සාගින්නෙන් පෙළඹවූ ආකාරය

සම්පීඩක පීඩන ස්විචය