ඉලිප්ස කැනොනිකල් සමීකරණය නාභීය විකේන්ද්රිකතා නාභීය අරය. දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි රේඛා. ඉලිප්සය සහ එහි කැනොනිකල් සමීකරණය. කවය
අර්ථ දැක්වීම. ඉලිප්සයක් යනු තලයක ඇති ලක්ෂ්යවල ජ්යාමිතික ස්ථානය වන අතර, මෙම තලයේ දී ඇති ලක්ෂ්ය දෙකකින් ඇති එක් එක් දුරවල එකතුව, foci ලෙස හැඳින්වේ, නියත අගයකි (මෙම අගය නාභිය අතර දුරට වඩා වැඩි නම්) .
අපි ඒවා අතර ඇති දුර - හරහා , සහ නියත අගයක් හරහා කේන්ද්‍රගත කරමු. ප්රමාණයට සමාන වේඉලිප්සයේ එක් එක් ලක්ෂයේ සිට නාභිය දක්වා ඇති දුර, හරහා (තත්ත්වය අනුව).
අපි කාටිසියානු ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක් ගොඩනඟමු, එවිට නාභිය abscissa අක්ෂය මත වන අතර, ඛණ්ඩාංකවල මූලාරම්භය කොටසේ මැදට සමපාත වේ (රූපය 44). එවිට foci හට පහත ඛණ්ඩාංක ඇත: වම් අවධානය සහ දකුණු අවධානය. අපි තෝරාගත් ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ ඉලිප්සයේ සමීකරණය ව්‍යුත්පන්න කරමු. මෙම කාර්යය සඳහා, ඉලිප්සයේ අත්තනෝමතික ලක්ෂ්යයක් සලකා බලන්න. ඉලිප්සයේ නිර්වචනය අනුව, මෙම ලක්ෂ්යයේ සිට නාභිය දක්වා ඇති දුරවල එකතුව සමාන වේ:
ලක්ෂ්ය දෙකක් අතර දුර සඳහා සූත්රය භාවිතා කරමින්, එබැවින් අපි ලබා ගනිමු
මෙම සමීකරණය සරල කිරීම සඳහා, අපි එය පෝරමයේ ලියන්නෙමු
එවිට සමීකරණයේ දෙපැත්තේ වර්ග කිරීම, අපි ලබා ගනිමු
හෝ, පැහැදිලි සරල කිරීම් වලින් පසුව:
දැන් අපි නැවතත් සමීකරණයේ දෙපැත්තම වර්ග කරමු, ඉන්පසු අපට ඇත්තේ:
හෝ, සමාන පරිවර්තනයකින් පසුව:
ඉලිප්සයේ නිර්වචනයේ කොන්දේසිය අනුව, අංකය ධන වේ. අපි අංකනය හඳුන්වා දෙමු
එවිට සමීකරණය පහත ස්වරූපය ගනී:
ඉලිප්සයක නිර්වචනය අනුව, එහි ඕනෑම ලක්ෂයක ඛණ්ඩාංක සමීකරණය (26) තෘප්තිමත් කරයි. නමුත් සමීකරණය (29) සමීකරණයේ (26) ප්රතිවිපාකයකි. එහි ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, එය ඉලිප්සයේ ඕනෑම ලක්ෂ්‍යයක ඛණ්ඩාංක මගින් ද තෘප්තිමත් වේ.
ඉලිප්සය මත නොපවතින ලක්ෂ්යවල ඛණ්ඩාංක සමීකරණය (29) තෘප්තිමත් නොවන බව පෙන්විය හැක. මේ අනුව, සමීකරණය (29) යනු ඉලිප්සයක සමීකරණයයි. එය ඉලිප්සයේ කැනොනිකල් සමීකරණය ලෙස හැඳින්වේ.
අපි එහි කැනොනිකල් සමීකරණය භාවිතයෙන් ඉලිප්සයේ හැඩය තහවුරු කරමු.
පළමුවෙන්ම, මෙම සමීකරණයේ අඩංගු වන්නේ x සහ y යන බල පවා පමණක් බව අවධානය යොමු කරමු. මෙයින් අදහස් කරන්නේ කිසියම් ලක්ෂ්යයක් ඉලිප්සයකට අයත් වන්නේ නම්, එහි ද abscissa අක්ෂයට සාපේක්ෂව ලක්ෂ්යය සමඟ සමමිතික ලක්ෂ්යයක් සහ ordinate අක්ෂයට සාපේක්ෂව ලක්ෂ්‍යයට සමමිතික ලක්ෂ්යයක් අඩංගු වන බවයි. මේ අනුව, ඉලිප්සයට අන්‍යෝන්‍ය වශයෙන් ලම්බක සමමිතික අක්ෂ දෙකක් ඇත, එය අප තෝරාගත් ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ ඛණ්ඩාංක අක්ෂ සමඟ සමපාත වේ. අපි මෙතැන් සිට ඉලිප්සයේ සමමිතියේ අක්ෂ ඉලිප්සයේ අක්ෂය ලෙසත්, ඒවායේ ඡේදනය වන ලක්ෂ්යය ඉලිප්සයේ කේන්ද්රය ලෙසත් හඳුන්වමු. ඉලිප්සයේ නාභිය පිහිටා ඇති අක්ෂය (හි මේ අවස්ථාවේ දී x-axis) නාභි අක්ෂය ලෙස හැඳින්වේ.
පළමු කාර්තුවේ ඉලිප්සයේ හැඩය මුලින්ම තීරණය කරමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, y සඳහා සමීකරණය (28) විසඳා ගනිමු:
y මනඃකල්පිත අගයන් ගන්නා බැවින් මෙහි බව පැහැදිලිය. ඔබ 0 සිට a දක්වා වැඩි වන විට, y b සිට 0 දක්වා අඩු වේ. පළමු කාර්තුවේ පිහිටා ඇති ඉලිප්සයේ කොටස B (0; b) ලක්ෂ්ය වලින් සීමා වූ චාපයක් වන අතර ඛණ්ඩාංක අක්ෂ මත පිහිටා ඇත (රූපය 45). දැන් ඉලිප්සයේ සමමිතිය භාවිතා කරමින්, ඉලිප්සයේ රූපයේ දැක්වෙන හැඩය ඇති බව අපි නිගමනය කරමු. 45.
ඉලිප්සයේ අක්ෂයන්හි ඡේදනය වන ස්ථාන ඉලිප්සයේ සිරස් ලෙස හැඳින්වේ. ඉලිප්සයේ සමමිතියෙන් එය පහත දැක්වෙන්නේ, සිරස් වලට අමතරව, ඉලිප්සයට තවත් සිරස් දෙකක් ඇති බවයි (රූපය 45 බලන්න).
ඉලිප්සයේ කොටස් සහ සම්බන්ධක ප්රතිවිරුද්ධ සිරස් මෙන්ම ඒවායේ දිග, පිළිවෙලින් ඉලිප්සයේ ප්රධාන සහ කුඩා අක්ෂ ලෙස හැඳින්වේ. a සහ b සංඛ්යා පිළිවෙලින් ඉලිප්සයේ ප්රධාන සහ කුඩා අර්ධ අක්ෂ ලෙස හැඳින්වේ.
ඉලිප්සයේ අර්ධ ප්රධාන අක්ෂයට නාභිය අතර දුරින් අඩක අනුපාතය ඉලිප්සයේ විකේන්ද්‍රියතාව ලෙස හැඳින්වෙන අතර සාමාන්‍යයෙන් අක්ෂරයෙන් දැක්වේ:
ඉලිප්සයේ විකේන්ද්‍රියතාව ඒකීයත්වයට වඩා අඩු බැවින්: විකේන්ද්‍රිය ඉලිප්සයේ හැඩය සංලක්ෂිත කරයි. ඇත්ත වශයෙන්ම, සූත්‍රයෙන් (28) එය අනුගමනය කරන්නේ ඉලිප්සයේ විකේන්ද්‍රියතාව කුඩා වන තරමට එහි අර්ධ-සුළු අක්ෂය b අර්ධ ප්රධාන අක්ෂයට වඩා අඩු වන අතර, එනම්, ඉලිප්සිය අඩු දිගටි (නාභි අක්ෂය දිගේ) වේ.
සීමිත අවස්ථාවෙහිදී, ප්රතිඵලය අරය කවයකි a: , හෝ . ඒ අතරම, ඉලිප්සයේ නාභිය එක් ස්ථානයක ඒකාබද්ධ වන බව පෙනේ - රවුමේ කේන්ද්රය. රවුමේ විකේන්ද්රිකතාවය ශුන්ය වේ:
ඉලිප්සය සහ රවුම අතර සම්බන්ධය වෙනත් දෘෂ්ටි කෝණයකින් ස්ථාපිත කළ හැකිය. a සහ b අර්ධ අක්ෂ සහිත ඉලිප්සයක් a අරය කවයක ප්‍රක්ෂේපණයක් ලෙස සැලකිය හැකි බව පෙන්වමු.
අපි P සහ Q ගුවන් යානා දෙකක් සලකා බලමු, ඔවුන් අතර එවැනි කෝණයක් සාදයි, ඒ සඳහා (රූපය 46). අපි P තලයේ ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක් ගොඩනඟමු, Q තලය තුළ Oxy පද්ධතියක් පොදු සම්භවයක් සහිත O සහ ගුවන් යානාවල ඡේදනය වීමේ රේඛාව සමඟ සමපාත වන පොදු abscissa අක්ෂය. P ගුවන් යානයේ රවුමක් සලකා බලන්න
මූලාරම්භයේ කේන්ද්රය සහ අරය a ට සමාන වේ. රවුම මත අත්තනෝමතික ලෙස තෝරාගත් ලක්ෂ්යයක් වීමට ඉඩ හරින්න, Q තලය මත එහි ප්‍රක්ෂේපනය වීමට සහ Ox අක්ෂය මත M ලක්ෂ්යයේ ප්‍රක්ෂේපනය වීමට ඉඩ දෙන්න. ලක්ෂ්යය a සහ b අර්ධ අක්ෂ සහිත ඉලිප්සයක් මත පිහිටා ඇති බව අපි පෙන්වමු.
දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි රේඛා.
ඉලිප්සය සහ එහි කැනොනිකල් සමීකරණය. කවය
ගැඹුරු අධ්‍යයනයකින් පසුව ගුවන් යානය තුළ සරල රේඛාද්විමාන ලෝකයේ ජ්යාමිතිය අපි දිගටම අධ්යයනය කරමු. කොටස් දෙගුණ වී ඇති අතර සාමාන්ය නියෝජිතයන් වන ඉලිප්ස්, හයිපර්බෝලා, පැරබෝලා යන මනරම් ගැලරිය නැරඹීමට මම ඔබට ආරාධනා කරමි. දෙවන ඇණවුම් රේඛා. විනෝද චාරිකාව දැනටමත් ආරම්භ වී ඇති අතර, පළමුව කෙටි තොරතුරුකෞතුකාගාරයේ විවිධ මහල්වල සමස්ත ප්රදර්ශනය ගැන:
වීජීය රේඛාවක් පිළිබඳ සංකල්පය සහ එහි අනුපිළිවෙල
ගුවන් යානයක රේඛාවක් ලෙස හැඳින්වේ වීජීය, ඇතුලේ නම් affine ඛණ්ඩාංක පද්ධතියඑහි සමීකරණයට පෝරමය ඇත , එහිදී පෝරමයේ නියමයන්ගෙන් සමන්විත බහුපදයක් ඇත (-තාත්වික සංඛ්‍යාව, - සෘණ නොවන පූර්ණ සංඛ්යා).
ඔබට පෙනෙන පරිදි වීජීය රේඛාවක සමීකරණයේ සයින, කෝසයින, ලඝුගණක සහ අනෙකුත් ක්‍රියාකාරී බියු මොන්ඩේ අඩංගු නොවේ. X සහ Y පමණක් ඇත සෘණ නොවන පූර්ණ සංඛ්‍යාඋපාධි.
රේඛා අනුපිළිවෙලඑහි ඇතුළත් නියමවල උපරිම අගයට සමාන වේ.
අනුරූප ප්රමේයයට අනුව, වීජීය රේඛාවක් පිළිබඳ සංකල්පය මෙන්ම එහි අනුපිළිවෙල තේරීම මත රඳා නොපවතී. affine ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය, එබැවින්, පැවැත්මේ පහසුව සඳහා, සියලු පසුකාලීන ගණනය කිරීම් සිදුවනු ඇතැයි අපි උපකල්පනය කරමු කාටිසියානු ඛණ්ඩාංක.
සාමාන්ය සමීකරණයදෙවන ඇණවුම් පේළියේ පෝරමය ඇත, එහිදී 
- අත්තනෝමතික තාත්වික සංඛ්යා (එය 2 ගුණයකින් ලිවීම සිරිතකි), සහ සංගුණක එකවර ශුන්යයට සමාන නොවේ.
නම්, සමීකරණය සරල කරයි 
, සහ සංගුණක එකවර ශුන්යයට සමාන නොවේ නම්, මෙය හරියටම වේ "පැතලි" රේඛාවක පොදු සමීකරණය, නියෝජනය කරන පළමු ඇණවුම් රේඛාව.
බොහෝ අය නව නියමවල තේරුම තේරුම් ගෙන ඇත, නමුත්, කෙසේ වෙතත්, 100% ද්රව්යය ප්රගුණ කිරීම සඳහා, අපි අපගේ ඇඟිලි සොකට් එකට ඇලවීම. රේඛා අනුපිළිවෙල තීරණය කිරීම සඳහා, ඔබ පුනරාවර්තනය කළ යුතුය සියලුම කොන්දේසිඑහි සමීකරණ සහ ඒවා එක් එක් සඳහා සොයා ගන්න උපාධි එකතුවඑන විචල්‍යයන්.
උදාහරණ වශයෙන්:
පදයේ "x" සිට 1 වන බලය දක්වා ඇත;
පදයේ "Y" සිට 1 වන බලය දක්වා ඇත;
පදයේ විචල්‍යයන් නොමැත, එබැවින් ඒවායේ බලවල එකතුව ශුන්ය වේ.
සමීකරණය රේඛාව නිර්වචනය කරන්නේ මන්දැයි දැන් අපි සොයා බලමු දෙවැනිනියෝග:
පදයේ "x" සිට 2 වන බලය දක්වා ඇත;
සාරාංශයට විචල්‍යවල බලවල එකතුව ඇත: 1 + 1 = 2;
පදයේ "Y" සිට 2 වන බලය දක්වා ඇත;
අනෙකුත් සියලුම නියමයන් - අඩුඋපාධි.
උපරිම අගය: 2
අපි අපගේ සමීකරණයට අතිරේකව එකතු කළහොත්, එය දැනටමත් තීරණය කරනු ඇත තුන්වන පෙළ රේඛාව. 3 වන අනුපිළිවෙල රේඛා සමීකරණයේ සාමාන්ය ආකෘතියේ "සම්පූර්ණ කට්ටලයක්" අඩංගු වන බව පැහැදිලිය, විචල්‍යවල බලවල එකතුව තුනට සමාන වේ:
, සංගුණක එකවර බිංදුවට සමාන නොවේ.
ඔබ අඩංගු සුදුසු පද එකක් හෝ කිහිපයක් එකතු කරන අවස්ථාවක 
, එවිට අපි දැනටමත් කතා කරමු 4 වන ඇණවුම් රේඛා, ආදිය.
3 වන, 4 වන සහ ඉහළ ඇණවුම්වල වීජීය රේඛා එක් වරකට වඩා හමුවීමට අපට සිදුවනු ඇත, විශේෂයෙන්, දැන හඳුනා ගැනීමේදී ධ්රැවීය ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය.
කෙසේ වෙතත්, අපි සාමාන්ය සමීකරණය වෙත ආපසු යමු සහ එහි සරලම පාසල් වෙනස්කම් මතක තබා ගනිමු. උදාහරණයක් ලෙස, පරාවලයක් යෝජනා කරයි, එහි සමීකරණය පහසුවෙන් අඩු කළ හැකිය සාමාන්ය පෙනුම, සහ සමාන සමීකරණයක් සහිත හයිපර්බෝලා . කෙසේ වෙතත්, සෑම දෙයක්ම එතරම් සුමට නොවේ ...
සැලකිය යුතු අවාසිය සාමාන්ය සමීකරණයඑය සකසන රේඛාව සෑම විටම පාහේ පැහැදිලි නැත. සරලම අවස්ථාවෙහිදී පවා, මෙය අතිශයෝක්තියක් බව ඔබ වහාම වටහා නොගනු ඇත. එවැනි පිරිසැලසුම් හොඳ වන්නේ වෙස් මුහුණකදී පමණි, එබැවින් විශ්ලේෂණාත්මක ජ්‍යාමිතියේදී සාමාන්ය ගැටළුවක් සලකා බලනු ලැබේ. 2 වන අනුපිළිවෙල රේඛා සමීකරණය කැනොනිකල් ආකෘතියට ගෙන ඒම.
සමීකරණයක කැනොනිකල් ස්වරූපය කුමක්ද?
මෙය පොදුවේ පිළිගැනේ සම්මත දර්ශනයසමීකරණය, තත්පර කිහිපයකින් එය නිර්වචනය කරන ජ්යාමිතික වස්තුව කුමක්ද යන්න පැහැදිලි වේ. මීට අමතරව, බොහෝ ප්රායෝගික කාර්යයන් විසඳීම සඳහා කැනොනිකල් ආකෘතිය ඉතා පහසු වේ. ඉතින්, උදාහරණයක් ලෙස, අනුව කැනොනිකල් සමීකරණය "පැතලි" කෙළින්ම, පළමුව, මෙය සරල රේඛාවක් බව වහාම පැහැදිලි වන අතර, දෙවනුව, එයට අයත් ලක්ෂ්යය සහ දිශාව දෛශිකය පහසුවෙන් දැකගත හැකිය.
ඕනෑම බව පැහැදිලිය 1 වන ඇණවුම් රේඛාවසරල රේඛාවක් වේ. දෙවන මහලේ, එය තවදුරටත් අප එනතුරු බලා සිටින්නේ මුරකරු නොවේ, නමුත් ප්‍රතිමා නවයකින් යුත් වඩාත් විවිධාකාර සමාගමකි:
දෙවන පෙළ රේඛා වර්ගීකරණය
විශේෂ ක්‍රියා මාලාවක් භාවිතා කරමින්, දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි ඕනෑම සමීකරණයක් එකකට අඩු කරනු ලැබේ පහත වර්ග:
(සහ ධන තාත්වික සංඛ්යා වේ)
1) 
- ඉලිප්සයේ කැනොනිකල් සමීකරණය;
2) - හයිපර්බෝලාවක කැනොනිකල් සමීකරණය;
3) 
- පැරබෝලාවක කැනොනිකල් සමීකරණය;
4) – මනඃකල්පිතඉලිප්සය;
5) - ඡේදනය වන රේඛා යුගලයක්;
6) - යුගල මනඃකල්පිතඡේදනය වන රේඛා (සම්භවයේදී ඡේදනය වීමේ තනි වලංගු ලක්ෂ්යයක් සහිත);
7) - සමාන්තර රේඛා යුගලයක්;
8) - යුගල මනඃකල්පිතසමාන්තර රේඛා;
9) - අහඹු රේඛා යුගලයක්.
සමහර පාඨකයන්ට මෙම ලැයිස්තුව අසම්පූර්ණ යැයි හැඟීමක් ඇති විය හැක. උදාහරණයක් ලෙස, අංක 7 ලක්ෂයේ, සමීකරණය යුගලය නියම කරයි සෘජු, අක්ෂයට සමාන්තරව, සහ ප්රශ්නය පැනනගින්නේ: ඕඩිනේට් අක්ෂයට සමාන්තරව රේඛා තීරණය කරන සමීකරණය කොහෙද? පිළිතුර: එය කැනොනිකල් ලෙස නොසැලකේ. සෘජු රේඛා අංශක 90 කින් භ්රමණය වන එකම සම්මත නඩුව නියෝජනය කරන අතර, මූලික වශයෙන් අලුත් කිසිවක් ගෙන නොඑන බැවින් වර්ගීකරණයේ අමතර ප්‍රවේශය අතිරික්ත වේ.
මේ අනුව නවයක් සහ නවයක් පමණි විවිධ වර්ග 2 වන අනුපිළිවෙලෙහි රේඛා, නමුත් ප්රායෝගිකව ඒවා බොහෝ විට දක්නට ලැබේ ඉලිප්සය, හයිපර්බෝලා සහ පැරබෝලා.
අපි මුලින්ම ඉලිප්සාව බලමු. සුපුරුදු පරිදි, මම එම කරුණු කෙරෙහි අවධානය යොමු කරමි විශාල වැදගත්කමක්ගැටළු විසඳීමට, සහ ඔබට සූත්‍රවල සවිස්තරාත්මක ව්‍යුත්පන්නයක් අවශ්ය නම්, ප්‍රමේයයන් පිළිබඳ සාක්ෂි, කරුණාකර, උදාහරණයක් ලෙස, Bazylev/Atanasyan හෝ Aleksandrov ගේ පෙළපොත වෙත යොමු වන්න.
ඉලිප්සය සහ එහි කැනොනිකල් සමීකරණය
අක්ෂර වින්‍යාසය ... කරුණාකර "ඉලිප්සයක් ගොඩනඟන්නේ කෙසේද", "ඉලිප්සයක් සහ ඕවලාකාරයක් අතර වෙනස" සහ "ඉලිප්සයක විකේන්ද්‍රියතාව" ගැන උනන්දුවක් දක්වන සමහර Yandex පරිශීලකයින්ගේ වැරදි නැවත නොකරන්න.
ඉලිප්සයක කැනොනිකල් සමීකරණයට පෝරමය ඇත , ධන තාත්වික සංඛ්යා කොහෙද, සහ . මම ඉලිප්සයක අර්ථ දැක්වීම පසුව සකස් කරමි, නමුත් දැනට කතා කරන සාප්පුවෙන් විවේකයක් ගෙන පොදු ගැටළුවක් විසඳීමට කාලයයි:
ඉලිප්සයක් සාදා ගන්නේ කෙසේද?
ඔව්, එය ගෙන එය අඳින්න. කාර්යය නිතර සිදු වන අතර, සිසුන්ගෙන් සැලකිය යුතු කොටසක් ඇඳීම සමඟ නිවැරදිව කටයුතු නොකරයි:
උදාහරණ 1
ඉලිප්සයක් සාදන්න, සමීකරණය මගින් ලබා දී ඇත
විසඳුමක්: පළමුව, අපි සමීකරණය කැනොනිකල් ස්වරූපයට ගෙනෙමු: 
ඇයි ගේන්නේ? කැනොනිකල් සමීකරණයේ එක් වාසියක් නම් එය ඔබට ක්ෂණිකව තීරණය කිරීමට ඉඩ සලසයි ඉලිප්සයේ ශීර්ෂයන්, ලක්ෂ්යවල පිහිටා ඇති. මෙම එක් එක් ලක්ෂ්යයේ ඛණ්ඩාංක සමීකරණය තෘප්තිමත් කරන බව දැකීම පහසුය.
මේ අවස්ථාවේ දී : 
රේඛා කොටසකියලා ප්රධාන අක්ෂයඉලිප්සය;
රේඛා කොටස – සුළු අක්ෂය;
අංකය 
කියලා අර්ධ ප්රධාන පතුවළඉලිප්සය;
අංකය 
– සුළු අක්ෂය.
අපගේ උදාහරණයේ: .
විශේෂිත ඉලිප්සයක් පෙනෙන්නේ කෙසේද යන්න ඉක්මනින් සිතා ගැනීමට, එහි කැනොනිකල් සමීකරණයේ "a" සහ "be" අගයන් දෙස බලන්න.
සෑම දෙයක්ම හොඳයි, සිනිඳුයි, ලස්සනයි, නමුත් එක් අවවාදයක් තිබේ: මම වැඩසටහන භාවිතයෙන් චිත්රය සෑදුවා. තවද ඔබට ඕනෑම යෙදුමක් භාවිතයෙන් චිත්රය සෑදිය හැක. කෙසේ වෙතත්, කටුක යථාර්ථය නම්, මේසය මත චෙක්පත් කඩදාසි කැබැල්ලක් ඇති අතර, මීයන් අපගේ අත්වල රවුම් නටති. කලාත්මක කුසලතා ඇති පුද්ගලයින්ට, ඇත්ත වශයෙන්ම, තර්ක කළ හැකිය, නමුත් ඔබට මීයන් ද ඇත (කුඩා ඒවා වුවද). මනුෂ්‍යත්වය විසින් චිත්‍ර ඇඳීම සඳහා පාලකය, මාලිමා යන්ත්‍රය, ප්‍රෝටෙක්ටර් සහ වෙනත් සරල උපාංග සොයා ගැනීම නිෂ්ඵල නොවේ.
මේ හේතුව නිසා, අපට සිරස් පමණක් දැන ඉලිප්සයක් නිවැරදිව ඇඳීමට නොහැකි වනු ඇත. ඉලිප්සය කුඩා නම්, උදාහරණයක් ලෙස, අර්ධ අක්ෂ සහිත නම්, සියල්ල හරි. විකල්පයක් ලෙස, ඔබට පරිමාණය අඩු කළ හැකි අතර, ඒ අනුව, චිත්රයේ මානයන්. නමුත් තුළ සාමාන්ය නඩුවඅතිරේක ලකුණු සොයා ගැනීම ඉතා යෝග්ය වේ.
ඉලිප්සයක් තැනීමට ප්‍රවේශයන් දෙකක් ඇත - ජ්යාමිතික සහ වීජීය. ඇල්ගොරිතම කෙටිම නොවන අතර චිත්රය සැලකිය යුතු ලෙස අවුල් වී ඇති නිසා මාලිමා යන්ත්‍රයක් සහ පාලකයෙකු භාවිතා කිරීමට මම කැමති නැත. හදිසි අවස්ථාවකදී, කරුණාකර පෙළපොත වෙත යොමු වන්න, නමුත් යථාර්ථයේ දී වීජ ගණිතයේ මෙවලම් භාවිතා කිරීම වඩා තාර්කික ය. කෙටුම්පතේ ඉලිප්සයේ සමීකරණයෙන් අපි ඉක්මනින් ප්රකාශ කරමු: 
එවිට සමීකරණය කාර්යයන් දෙකකට කැඩී යයි: 
- ඉලිප්සයේ ඉහළ චාපය නිර්වචනය කරයි; 
- ඉලිප්සයේ පහළ චාපය නිර්වචනය කරයි.
කැනොනිකල් සමීකරණය මගින් අර්ථ දක්වා ඇති ඉලිප්සය ඛණ්ඩාංක අක්ෂ සම්බන්ධයෙන් මෙන්ම සම්භවය සම්බන්ධයෙන් සමමිතික වේ. මෙය විශිෂ්ටයි - සමමිතිය සෑම විටම පාහේ නොමිලේ ලබා දීමේ පෙර නිමිත්තකි. නිසැකවම, එය 1 වන සම්බන්ධීකරණ කාර්තුව සමඟ කටයුතු කිරීමට ප්රමාණවත් වේ, එබැවින් අපට කාර්යය අවශ්ය වේ 
. එය abscissas සමඟ අමතර ලකුණු සොයා ගැනීමට අයදියි 
. අපි ගණක යන්ත්‍රයේ SMS පණිවිඩ තුනක් තට්ටු කරමු: 
ඇත්ත වශයෙන්ම, ගණනය කිරීම් වලදී බරපතල වැරැද්දක් සිදුවුවහොත්, ඉදිකිරීම් අතරතුර එය වහාම පැහැදිලි වනු ඇත.
අපි චිත්රයේ ලකුණු (රතු), ඉතිරි චාපවල සමමිතික ලකුණු සලකුණු කරමු ( නිල් වර්ණය) සහ මුළු සමාගමම රේඛාවක් සමඟ ප්රවේශමෙන් සම්බන්ධ කරන්න: 
ආරම්භක සටහන ඉතා තුනී ලෙස ඇඳීම වඩා හොඳය, ඉන්පසු පැන්සලකින් පීඩනය යොදන්න. ප්රතිඵලය තරමක් යහපත් ඉලිප්සයක් විය යුතුය. මාර්ගය වන විට, මෙම වක්‍රය කුමක්දැයි දැන ගැනීමට ඔබ කැමතිද?
ඉලිප්සයක අර්ථ දැක්වීම. Ellipse foci සහ ellipse eccentricity
Ellipse වේ විශේෂ අවස්ථාවක්ඕවලාකාර "ඕවලාකාර" යන වචනය පිලිස්ති අර්ථයෙන් තේරුම් නොගත යුතුය ("දරුවා ඉලිප්සාකාරයක් ඇද" යනාදිය). මෙය සවිස්තරාත්මක සූත්‍රගත කිරීමක් ඇති ගණිතමය පදයකි. මෙම පාඩමේ අරමුණ විශ්ලේෂණාත්මක ජ්යාමිතිය පිළිබඳ සම්මත පාඨමාලාවේ ප්රායෝගිකව අවධානය යොමු නොකරන ලද ඕවලාකාර න්යාය සහ ඒවායේ විවිධ වර්ග සලකා බැලීම නොවේ. තවද, වැඩි වත්මන් අවශ්‍යතාවලට අනුකූලව, අපි වහාම ඉලිප්සයක දැඩි නිර්වචනය වෙත යමු:
ඉලිප්සයයනු තලයේ සියලුම ලක්ෂ්යවල කුලකයක් වන අතර, ලබා දී ඇති ලක්ෂ්ය දෙකකින් ඒ එක් එක් දුරවල එකතුව ලෙස හැඳින්වේ උපක්රම ellipse - සංඛ්‍යාත්මකව නියත ප්‍රමාණයකි දිගට සමාන වේමෙම ඉලිප්සයේ ප්රධාන අක්ෂය: .
මෙම අවස්ථාවෙහිදී, නාභිගත කිරීම් අතර දුර මෙම අගයට වඩා අඩුය: .
දැන් සියල්ල පැහැදිලි වනු ඇත: 
නිල් තිත ඉලිප්සයක් දිගේ "ගමන්" කරන බව සිතන්න. එබැවින්, අපි ඉලිප්සයේ කුමන ලක්ෂ්යයක් ගත්තත්, කොටස්වල දිගවල එකතුව සැමවිටම සමාන වේ:
අපගේ උදාහරණයේ එකතුවේ අගය ඇත්ත වශයෙන්ම අටට සමාන බව සහතික කර ගනිමු. මානසිකව "um" ලක්ෂ්යය ඉලිප්සයේ දකුණු ශීර්ෂයේ තබන්න, පසුව: , පරීක්ෂා කිරීමට අවශ්ය වන්නේ එයයි.
එය ඇඳීමේ තවත් ක්රමයක් ඉලිප්සයේ නිර්වචනය මත පදනම් වේ. උසස් ගණිතය සමහර විට ආතතියට සහ ආතතියට හේතුව වේ, එබැවින් තවත් බාගැනීමේ සැසියක් පැවැත්වීමට කාලයයි. කරුණාකර වොට්මෑන් කඩදාසියක් හෝ විශාල කාඩ්බෝඩ් කොලයක් ගෙන එය ඇණ දෙකකින් මේසයට තද කරන්න. මේවා උපක්රම වනු ඇත. නෙරා ඇති නියපොතු හිස් වලට කොළ පැහැති නූල් බැඳ පැන්සලකින් එය ඇද දමන්න. පැන්සල් ඊයම් ඉලිප්සයට අයත් නිශ්චිත ස්ථානයක අවසන් වේ. දැන් කොළ පැහැති නූල් තදින් තදින් තබා ගනිමින් කඩදාසි පත්රය දිගේ පැන්සල ඇඳීම ආරම්භ කරන්න. ඔබ නැවත ආරම්භක ස්ථානයට පැමිණෙන තෙක් ක්රියාවලිය දිගටම කරගෙන යන්න... නියමයි... චිත්රය වෛද්‍යවරයාට සහ ගුරුවරයාට පරීක්ෂා කළ හැක =)
ඉලිප්සයක නාභිය සොයා ගන්නේ කෙසේද?
ඉහත උදාහරණයේ දී, මම "සූදානම්" කේන්ද්‍රීය ලක්ෂ්ය නිරූපණය කළ අතර, දැන් අපි ඒවා ජ්‍යාමිතියේ ගැඹුරින් උකහා ගන්නේ කෙසේදැයි ඉගෙන ගනිමු.
ඉලිප්සයක් කැනොනිකල් සමීකරණයකින් ලබා දෙන්නේ නම්, එහි කේන්ද්‍රස්ථානයට ඛණ්ඩාංක ඇත 
, එය කොහේ ද එක් එක් නාභිගත කිරීමේ සිට ඉලිප්සයේ සමමිතියේ කේන්ද්රය දක්වා ඇති දුර.
ගණනය කිරීම් සරල වඩා සරල ය: 
! foci හි නිශ්චිත ඛණ්ඩාංක "tse" යන අර්ථයෙන් හඳුනාගත නොහැකිය!මම නැවත නැවතත් කියන්නේ මෙයයි එක් එක් නාභිගත කිරීමේ සිට මධ්‍යස්ථානයට DISTANCE(සාමාන්ය අවස්ථාවෙහිදී මූලාරම්භයේ හරියටම පිහිටා තිබිය යුතු නොවේ).
එබැවින්, නාභිය අතර දුර ද ඉලිප්සයේ කැනොනිකල් ස්ථානයට බැඳිය නොහැක. වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, ඉලිප්සය වෙනත් ස්ථානයකට ගෙන යා හැකි අතර අගය නොවෙනස්ව පවතිනු ඇත, නාභිය ස්වභාවිකවම ඔවුන්ගේ ඛණ්ඩාංක වෙනස් කරයි. ඔබ මාතෘකාව තවදුරටත් ගවේෂණය කරන විට කරුණාකර මෙය සැලකිල්ලට ගන්න.
ඉලිප්ස විකේන්ද්රිකත්වය සහ එහි ජ්යාමිතික අර්ථය
ඉලිප්සයක විකේන්ද්රිකතාවය යනු පරාසය තුළ අගයන් ගත හැකි අනුපාතයකි.
අපගේ නඩුවේදී:
ඉලිප්සයක හැඩය එහි විකේන්ද්‍රියතාවය මත රඳා පවතින්නේ කෙසේදැයි සොයා බලමු. මේ වෙනුවෙන් වම් සහ දකුණු සිරස් සවි කරන්නසලකා බලන ඉලිප්සයේ, එනම් අර්ධ ප්රධාන අක්ෂයේ අගය නියතව පවතිනු ඇත. එවිට විකේන්ද්රික සූත්රය ස්වරූපය ගනී: .
විකේන්ද්රික අගය එක්සත්කමට සමීප කිරීමට පටන් ගනිමු. මෙය කළ හැක්කේ නම් පමණි. එයින් අදහස් කරන්නේ කුමක් ද? ...උපක්රම මතක තියාගන්න 
. මෙයින් අදහස් කරන්නේ ඉලිප්සයේ නාභිය abscissa අක්ෂය දිගේ පැති සිරස් වෙත “ඉවතට” යන බවයි. තවද, "හරිත කොටස් රබර් නොවන" බැවින්, ඉලිප්සය අනිවාර්යයෙන්ම සමතලා වීමට පටන් ගනී, අක්ෂයක් මත සවි කර ඇති සිහින් සහ සිහින් සොසේජස් බවට හැරේ.
මේ අනුව, කෙසේද සමීප අගයඉලිප්සයේ විකේන්ද්රිකතාවය ඒකීය වීම, ඉලිප්සය වඩාත් දිගු වේ.
දැන් අපි ප්රතිවිරුද්ධ ක්රියාවලිය ආදර්ශයට ගනිමු: ඉලිප්සයේ කේන්ද්රය 
මධ්‍යයට ළං වෙමින් එකිනෙකා දෙසට ගමන් කළහ. මෙයින් අදහස් කරන්නේ "ce" හි අගය අඩු හා අඩු වන අතර, ඒ අනුව, විකේන්ද්රිකතාවය ශුන්යයට නැඹුරු වේ: .
මෙම අවස්ථාවේ දී, "හරිත කොටස්", ඊට පටහැනිව, "ජනාකීර්ණ" වන අතර, ඔවුන් ඉලිප්සාකාර රේඛාව ඉහළට සහ පහළට "තල්ලු" කිරීමට පටන් ගනී.
මේ අනුව, විකේන්ද්රික අගය ශුන්යයට ආසන්න වන තරමට ඉලිප්සය සමාන වේ... මූලාරම්භයේ දී නාභිය සාර්ථකව නැවත එක් වූ විට සීමාකාරී අවස්ථාව දෙස බලන්න:
වෘත්තයක් යනු ඉලිප්සයක විශේෂ අවස්ථාවකි
ඇත්ත වශයෙන්ම, අර්ධ අක්ෂවල සමානාත්මතාවයේ දී, ඉලිප්සයේ කැනොනිකල් සමීකරණය ස්වරූපය ගනී , එය ප්රත්යාවර්තකව "a" අරය මූලාරම්භයේ කේන්ද්රයක් සහිත වෘත්තයක සමීකරණයට පරිවර්තනය වේ, එය පාසලේ සිට හොඳින් දන්නා කරුණකි.
ප්රායෝගිකව, "කතා කරන" අකුර "er" සමඟ අංකනය බොහෝ විට භාවිතා වේ: . අරය යනු කොටසක දිග වන අතර, රවුමේ සෑම ලක්ෂයක්ම අරය දුරින් මධ්‍යයේ සිට ඉවත් කෙරේ.
ඉලිප්සයේ නිර්වචනය සම්පූර්ණයෙන්ම නිවැරදි බව සලකන්න: කේන්ද්රය සමපාත වන අතර, රවුමේ එක් එක් ලක්ෂ්ය සඳහා අහඹු කොටස්වල දිග එකතුව නියතයකි. නාභිය අතර දුර නිසා , එවිට ඕනෑම කවයක විකේන්ද්‍රියතාවය ශුන්ය වේ.
කවයක් තැනීම පහසු සහ ඉක්මන්, මාලිමා යන්ත්‍රයක් භාවිතා කරන්න. කෙසේ වෙතත්, සමහර විට එහි සමහර කරුණු වල ඛණ්ඩාංක සොයා ගැනීම අවශ්ය වේ, මේ අවස්ථාවේ දී අපි හුරුපුරුදු මාර්ගයට යමු - අපි සමීකරණය සතුටු සිතින් මතානොව් ආකෘතියට ගෙන එන්නෙමු:
- ඉහළ අර්ධ වෘත්තාකාරයේ කාර්යය;
- පහළ අර්ධ වෘත්තාකාරයේ කාර්යය.
එවිට අපි අවශ්ය අගයන් සොයා ගනිමු, වෙනස් කරන්න, ඒකාබද්ධ කරන්නසහ වෙනත් හොඳ දේවල් කරන්න.
ලිපිය, ඇත්ත වශයෙන්ම, යොමු කිරීම සඳහා පමණි, නමුත් ඔබට ආදරය නොමැතිව ලෝකයේ ජීවත් වන්නේ කෙසේද? නිර්මාණාත්මක කාර්යයසදහා ස්වාධීන තීරණය
උදාහරණ 2
ඉලිප්සයක කේන්ද්‍රීය සහ අර්ධ-සුළු අක්ෂයක් දන්නේ නම් (මධ්‍යය මූලාරම්භයේ) නම් එහි කැනොනිකල් සමීකරණය සම්පාදනය කරන්න. සිරස්, අමතර ලකුණු සොයාගෙන ඇඳීම මත රේඛාවක් අඳින්න. විකේන්ද්රිකතාවය ගණනය කරන්න.
පාඩම අවසානයේ විසඳුම සහ ඇඳීම
අපි ක්‍රියාවක් එකතු කරමු:
ඉලිප්සයක් කරකවන්න සහ සමාන්තරව පරිවර්තනය කරන්න
මෙම වක්‍රය පිළිබඳ පළමු සඳහනේ සිටම ගවේෂණශීලී මනසට වධ දී ඇති අභිරහස, ඉලිප්සයේ කැනොනිකල් සමීකරණය වෙත ආපසු යමු. ඉතින් අපි ඉලිප්සාව බැලුවා 
, නමුත් සමීකරණය සපුරාලීම ප්රායෝගිකව කළ නොහැකිද? 
? සියල්ලට පසු, මෙන්න, කෙසේ වෙතත්, එය ද ඉලිප්සයක් බව පෙනේ!
මෙම ආකාරයේ සමීකරණය දුර්ලභ ය, නමුත් එය හමු වේ. තවද එය ඇත්ත වශයෙන්ම ඉලිප්සයක් නිර්වචනය කරයි. අපි demystify කරමු: 
ඉදි කිරීමේ ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, අපගේ දේශීය ඉලිප්සය අංශක 90 කින් භ්රමණය විය. එනම්, 
- මෙය කැනොනිකල් නොවන ඇතුල්වීමඉලිප්සය 
. වාර්තාව!- සමීකරණය 
ඉලිප්සයක නිර්වචනය තෘප්තිමත් කරන අක්ෂයේ ලක්ෂ්ය (foci) නොමැති බැවින් වෙනත් ඉලිප්සයක් නිර්වචනය නොකරයි.
ඉලිප්සයක් යනු තලයක ඇති ලක්ෂ්යවල ජ්යාමිතික ස්ථානයයි, ඒ සෑම එකක්ම F_1 දී ඇති ලක්ෂ්ය දෙකකට ඇති දුරවල එකතුව, සහ F_2 යනු මේවා අතර ඇති දුර (2c) ට වඩා වැඩි නියත අගයකි (2a) ලකුණු ලබා දී ඇත(රූපය 3.36, a). මෙම ජ්යාමිතික අර්ථ දැක්වීම ප්රකාශ කරයි ඉලිප්සයක නාභි ගුණය.
ඉලිප්සියක නාභි ගුණය
F_1 සහ F_2 ලක්ෂ්ය ඉලිප්සයේ නාභිය ලෙස හැඳින්වේ, ඒවා අතර දුර 2c=F_1F_2 - නාභීය දිග, F_1F_2 කොටසේ මැද O යනු ඉලිප්සයේ කේන්ද්රය වේ, අංක 2a යනු ඉලිප්සයේ ප්රධාන අක්ෂයේ දිග වේ (ඒ අනුව, අංකය යනු ඉලිප්සයේ අර්ධ ප්රධාන අක්ෂයයි). ඉලිප්සයේ අත්තනෝමතික ලක්ෂ්යයක් M සම්බන්ධ කරන F_1M සහ F_2M ඛණ්ඩ එහි නාභිය සමඟ M ලක්ෂ්යයේ නාභීය අරය ලෙස හැඳින්වේ. ඉලිප්සයක ලක්ෂ්ය දෙකක් සම්බන්ධ කරන කොටස ඉලිප්සයේ ස්වරය ලෙස හැඳින්වේ.
e=\frac(c)(a) අනුපාතය ඉලිප්සයේ විකේන්ද්‍රිය ලෙස හැඳින්වේ. අර්ථ දැක්වීමෙන් (2a>2c) එය අනුගමනය කරන්නේ 0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).
ඉලිප්සයේ ජ්යාමිතික අර්ථ දැක්වීම, එහි නාභීය ගුණය ප්රකාශ කිරීම, එහි විශ්ලේෂණාත්මක නිර්වචනයට සමාන වේ - ඉලිප්සයේ කැනොනිකල් සමීකරණය මගින් ලබා දෙන රේඛාව:
ඇත්ත වශයෙන්ම, අපි සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක් හඳුන්වා දෙමු (රූපය 3.36c). අපි ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ මූලාරම්භය ලෙස ඉලිප්සයේ O කේන්ද්රය ගනිමු; අපි foci (නාභි අක්ෂය හෝ ඉලිප්සයේ පළමු අක්ෂය) හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාව abscissa අක්ෂය ලෙස ගනිමු (එය මත ධනාත්මක දිශාව F_1 ලක්ෂයේ සිට F_2 දක්වා); අපි කේන්ද්‍රීය අක්ෂයට ලම්බකව සරල රේඛාවක් ගෙන ඉලිප්සයේ කේන්ද්රය (ඉලිප්සයේ දෙවන අක්ෂය) හරහා ගමන් කරමු (ඕඩිනේට් අක්ෂයේ දිශාව තෝරා ගනු ලැබේ සෘජුකෝණාස්රාකාර පද්ධතිය Oxy ඛණ්ඩාංක නිවැරදි විය).
නාභි ගුණය ප්රකාශ කරන එහි ජ්යාමිතික නිර්වචනය භාවිතා කරමින් ඉලිප්සය සඳහා සමීකරණයක් නිර්මාණය කරමු. තෝරාගත් ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය තුළ, අපි foci හි ඛණ්ඩාංක තීරණය කරමු F_1(-c,0),~F_2(c,0). ඉලිප්සයට අයත් M(x,y) අත්තනෝමතික ලක්ෂ්යයක් සඳහා, අපට ඇත්තේ:
\vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a.
මෙම සමානාත්මතාවය ඛණ්ඩාංක ආකාරයෙන් ලිවීමෙන් අපට ලැබෙන්නේ:
\sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a.
අපි දෙවන රැඩිකල් එක දකුණු පැත්තට ගෙනයමු, සමීකරණයේ දෙපැත්තම වර්ග කර සමාන පද ගෙන එන්නෙමු:
(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\Leftrightarrow ~4a\sqrt((x-c) )^2+y^2)=4a^2-4cx.
4 න් බෙදීම, අපි සමීකරණයේ දෙපැත්තම වර්ග කරමු:
a^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\Leftrightarrow~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2).
නම් කර ඇත b=\sqrt(a^2-c^2)>0, අපිට ලැබෙනවා b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. දෙපැත්තම a^2b^2\ne0 මගින් බෙදීම, අපි ඉලිප්සයේ කැනොනිකල් සමීකරණයට පැමිණෙමු:
\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1.
එබැවින්, තෝරාගත් ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය කැනොනිකල් වේ.
ඉලිප්සයේ නාභිය සමපාත වන්නේ නම්, ඉලිප්සය වෘත්තයකි (රූපය 3.36,6), a=b සිට. මෙම අවස්ථාවේදී, ලක්ෂ්යයේ සම්භවයක් ඇති ඕනෑම සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක් කැනොනිකල් වේ O\equiv F_1\equiv F_2, සහ x^2+y^2=a^2 සමීකරණය යනු O ලක්ෂ්යයේ කේන්ද්රය සහ a ට සමාන අරය සහිත වෘත්තයක සමීකරණයයි.
ප්‍රතිලෝම අනුපිළිවෙලින් තර්ක කිරීම සිදු කිරීමෙන්, ඛණ්ඩාංක සමීකරණය (3.49) තෘප්තිමත් කරන සියලුම ලක්ෂ්‍යයන් සහ ඒවා පමණක් ඉලිප්සයක් ලෙස හැඳින්වෙන ලක්ෂ්යවල ස්ථානයට අයත් බව පෙන්විය හැකිය. වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, ඉලිප්සයේ විශ්ලේෂණාත්මක අර්ථ දැක්වීම එහි ජ්යාමිතික නිර්වචනයට සමාන වන අතර එය ඉලිප්සයේ නාභි ගුණය ප්රකාශ කරයි.
ඉලිප්සයක අධ්‍යක්ෂක ගුණය
ඉලිප්සයක ඩිරෙක්ට්‍රික්ස් යනු කැනොනිකල් ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ කක්ෂීය අක්ෂයට සමාන්තරව ගමන් කරන සරල රේඛා දෙකකි. c=0 හිදී, ඉලිප්සය වෘත්තයක් වන විට, ඩිරෙක්ට්‍රික්ස් නොමැත (අපට උපකල්පනය කළ හැක්කේ ඩිරෙක්ට්‍රික්ස් අනන්තයේ ඇතැයි).
විකේන්ද්‍රිය 0 සහිත ඉලිප්සය
ඇත්ත වශයෙන්ම, උදාහරණයක් ලෙස, නාභිගත F_2 සහ directrix d_2 සඳහා (පය. 3.37,6) කොන්දේසිය \frac(r_2)(\rho_2)=eඛණ්ඩාංක ආකාරයෙන් ලිවිය හැකිය:
\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\වම(\frac(a^2)(c)-x\දකුණ)
අතාර්කිකත්වයෙන් මිදීම සහ ආදේශ කිරීම e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2, අපි කැනොනිකල් ඉලිප්ස සමීකරණයට (3.49) පැමිණෙමු. නාභිගත F_1 සහ අධ්‍යක්ෂ සඳහා සමාන තර්ක සිදු කළ හැක d_1\colon\frac(r_1)(\rho_1)=e.
ධ්රැවීය ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක ඉලිප්සයක සමීකරණය
ධ්රැවීය ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ F_1r\varphi (පය. 3.37, c සහ 3.37 (2)) හි ඉලිප්සයේ සමීකරණයේ ස්වරූපය ඇත.
r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi)
මෙහි p=\frac(b^2)(a) යනු ඉලිප්සයේ නාභි පරාමිතිය වේ.
ඇත්ත වශයෙන්ම, අපි ධ්රැවීය ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ ධ්‍රැවය ලෙස ඉලිප්සයේ වම් නාභිගත F_1 ද, ධ්රැවීය අක්ෂය ලෙස F_1F_2 කිරණ ද තෝරා ගනිමු (රූපය 3.37, c). එවිට අත්තනෝමතික ලක්ෂ්යයක් සඳහා M(r,\varphi), ඉලිප්සියක ජ්යාමිතික අර්ථ දැක්වීමට (නාභි ගුණය) අනුව, අපට r+MF_2=2a ඇත. අපි ලකුණු M(r,\varphi) සහ F_2(2c,0) අතර දුර ප්රකාශ කරමු (බලන්න):
\begin(aligned)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\end(පෙළගැසී ඇත)
එබැවින්, ඛණ්ඩාංක ආකාරයෙන්, ඉලිප්සයේ සමීකරණයේ F_1M+F_2M=2a ආකෘතිය ඇත
r+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a.
අපි රැඩිකල්, සමීකරණයේ දෙපැත්තේ හතරැස් හුදකලා කර, 4 න් බෙදා සමාන පද ඉදිරිපත් කරමු:
r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2.
ධ්රැවීය අරය r ප්රකාශ කර ප්‍රතිස්ථාපනය කරන්න e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a):
r=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1 -e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),
Q.E.D.
ඉලිප්ස සමීකරණයේ සංගුණකවල ජ්යාමිතික අර්ථය
ඛණ්ඩාංක අක්ෂ (ඉලිප්සයේ සිරස්) සමඟ ඉලිප්සයේ ඡේදනය වන ස්ථාන (රූපය 3.37a බලන්න) සොයා ගනිමු. y=0 සමීකරණයට ආදේශ කිරීම, අපි abscissa අක්ෂය (නාභි අක්ෂය සමඟ) සමග ඉලිප්සයේ ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්ය සොයා ගනිමු: x=\pm a. එබැවින්, ඉලිප්සයේ ඇතුළත අඩංගු නාභීය අක්ෂයේ කොටසෙහි දිග 2a ට සමාන වේ. ඉහත සඳහන් කළ පරිදි මෙම කොටස ඉලිප්සයේ ප්රධාන අක්ෂය ලෙස හඳුන්වනු ලබන අතර a යනු ඉලිප්සයේ අර්ධ ප්රධාන අක්ෂය වේ. x=0 ආදේශ කිරීමෙන් අපට y=\pm b ලැබේ. එබැවින්, ඉලිප්සයේ ඇතුළත අඩංගු ඉලිප්සයේ දෙවන අක්ෂයේ කොටසෙහි දිග 2b ට සමාන වේ. මෙම කොටස ඉලිප්සයේ කුඩා අක්ෂය ලෙස හඳුන්වනු ලබන අතර, b අංකය ඉලිප්සයේ අර්ධ කුඩා අක්ෂය වේ.
ඇත්තටම, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a, සහ සමානාත්මතාවය b=a ලබා ගන්නේ c=0 අවස්ථාවෙහිදී, ඉලිප්සය වෘත්තයක් වන විට පමණි. ආකල්පය k=\frac(b)(a)\leqslant1ඉලිප්ස සම්පීඩන අනුපාතය ලෙස හැඳින්වේ.
සටහන් 3.9
1. සරල රේඛා x=\pm a,~y=\pm b ඛණ්ඩාංක තලයේ ප්රධාන සෘජුකෝණාස්රය සීමා කරයි, එහි ඇතුළත ඉලිප්සයක් ඇත (රූපය 3.37, a බලන්න).
2. ඉලිප්සයක් ලෙස අර්ථ දැක්විය හැක රවුමක් එහි විෂ්කම්භයට සම්පීඩනය කිරීමෙන් ලබාගත් ලක්ෂ්යවල පිහිටීම.
ඇත්ත වශයෙන්ම, Oxy සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ වෘත්තයක සමීකරණය x^2+y^2=a^2 වීමට ඉඩ දෙන්න. 0 සංගුණකය සමඟ x-අක්ෂයට සම්පීඩිත විට \begin(cases)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end(cases) සමීකරණයට කව x=x" සහ y=\frac(1)(k)y" ආදේශ කිරීම, අපි M(x,y) ලක්ෂ්යයේ M"(x",y") රූපයේ ඛණ්ඩාංක සඳහා සමීකරණය ලබා ගනිමු. ): (x")^2+(\වම(\frac(1)(k)\cdot y"\දකුණ)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1,
!} b=k\cdot a සිට . මෙය ඉලිප්සයේ කැනොනිකල් සමීකරණයයි. 3. ඛණ්ඩාංක අක්ෂ (කැනොනිකල් ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ) යනු ඉලිප්සයේ සමමිතියේ අක්ෂ (ඉලිප්සයේ ප්රධාන අක්ෂ ලෙස හැඳින්වේ) වන අතර එහි කේන්ද්රය සමමිතියේ කේන්ද්රය වේ. ඇත්ත වශයෙන්ම, M(x,y) ලක්ෂ්යය ඉලිප්සයට අයත් වන්නේ නම් . එවිට ඛණ්ඩාංක අක්ෂවලට සාපේක්ෂව M ලක්ෂ්‍යයට සමමිතික M"(x,-y) සහ M""(-x,y) යන ලක්ෂ්ය ද එකම ඉලිප්සයට අයත් වේ. 4. ධ්රැවීය ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ ඉලිප්සයේ සමීකරණයෙන් r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(රූපය 3.37, c බලන්න), නාභීය පරාමිතියෙහි ජ්යාමිතික අර්ථය පැහැදිලි කර ඇත - මෙය නාභීය අක්ෂයට ලම්බකව නාභිගත කිරීම හරහා ගමන් කරන ඉලිප්සයේ ස්වරයේ දිගෙන් අඩක් (r=p at \varphi=\frac(\pi)(2)). 5. විකේන්ද්‍රිය e ඉලිප්සයේ හැඩය, එනම් ඉලිප්සය සහ රවුම අතර වෙනස සංලක්ෂිත කරයි. විශාල e, ඉලිප්සාව වඩාත් දිගු වන අතර, e ශුන්යයට සමීප වන තරමට, ඉලිප්සිය රවුමකට සමීප වේ (රූපය 3.38a). ඇත්ත වශයෙන්ම, e=\frac(c)(a) සහ c^2=a^2-b^2 බව සැලකිල්ලට ගනිමින්, අපට ලැබෙන්නේ e^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\left(\frac(a)(b)\දකුණ )\^2=1-k^2,
!} මෙහි k යනු ඉලිප්ස සම්පීඩන අනුපාතය, 0 6. සමීකරණය \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1දී a 7. සමීකරණය \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant b O"(x_0,y_0) ලක්ෂ්යයේ කේන්ද්රය සහිත ඉලිප්සයක් නිර්වචනය කරයි, එහි අක්ෂ ඛණ්ඩාංක අක්ෂවලට සමාන්තර වේ (රූපය 3.38, c). මෙම සමීකරණය සමාන්තර පරිවර්තනය (3.36) භාවිතයෙන් කැනොනිකල් එකට අඩු වේ. සමීකරණය a=b=R විට (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2 O"(x_0,y_0) ලක්ෂ්යයේ කේන්ද්රය සහිත R අරය කවයක් විස්තර කරයි. ඉලිප්සයේ පරාමිතික සමීකරණයකැනොනිකල් ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ ආකෘතිය ඇත \begin(cases)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(cases)0\leqslant t<2\pi.
ඇත්ත වශයෙන්ම, මෙම ප්‍රකාශන සමීකරණයට (3.49) ආදේශ කිරීමෙන්, අපි ප්රධාන ත්‍රිකෝණමිතික අනන්‍යතාවයට පැමිණෙමු. \cos^2t+\sin^2t=1. උදාහරණය 3.20.ඉලිප්සයක් අඳින්න \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1කැනොනිකල් ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ ඔක්සි. අර්ධ අක්ෂ, නාභීය දුර, විකේන්ද්රිකතාව, දර්ශන අනුපාතය, නාභීය පරාමිතිය, ඩිරෙක්ට්රික් සමීකරණ සොයන්න. විසඳුමක්.ලබා දී ඇති සමීකරණය කැනොනිකල් එක සමඟ සංසන්දනය කරමින්, අපි අර්ධ අක්ෂ තීරණය කරමු: a=2 - අර්ධ-ප්රධාන අක්ෂය, b=1 - ඉලිප්සයේ අර්ධ කුඩා අක්ෂය. අපි ප්රධාන සෘජුකෝණාස්රය 2a = 4, ~ 2b = 2 සමඟ මූලාරම්භයේ කේන්ද්රය සමඟ ගොඩනඟමු (රූපය 3.39). ඉලිප්සයේ සමමිතිය සැලකිල්ලට ගනිමින්, අපි එය ප්රධාන සෘජුකෝණාස්රයට ගැලපේ. අවශ්ය නම්, ඉලිප්සයේ සමහර ලක්ෂ්යවල ඛණ්ඩාංක තීරණය කරන්න. උදාහරණයක් ලෙස, ඉලිප්සයේ සමීකරණයට x=1 ආදේශ කිරීම, අපට ලැබේ \frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=\frac(3)(4) \quad \Leftrightarrow \ quad y=\pm\frac(\sqrt(3))(2). එබැවින්, ඛණ්ඩාංක සහිත ලකුණු \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\දකුණ)\!,~\වම(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\දකුණ)- ඉලිප්සයට අයත් වේ. සම්පීඩන අනුපාතය ගණනය කිරීම k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); නාභීය දිග 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); විකේන්ද්රිකත්වය e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); නාභීය පරාමිතිය p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). අපි directrix සමීකරණ සම්පාදනය කරමු: x=\pm\frac(a^2)(c)~\Leftrightarrow~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)). ඉලිප්සයක් යනු තලයක ඇති ලක්ෂ්යවල ජ්යාමිතික ස්ථානයයි, ඒ එක් එක් ලක්ෂ්ය දෙකේ සිට F_1 දක්වා ඇති දුරවල එකතුව, සහ F_2 යනු නියත අගයක් (2a), මෙම ලක්ෂ්ය අතර ඇති දුර (2c) ට වඩා වැඩිය (රූපය 3.36, a). මෙම ජ්යාමිතික අර්ථ දැක්වීම ප්රකාශ කරයි ඉලිප්සයක නාභි ගුණය. ලක්ෂ්ය F_1 සහ F_2 ඉලිප්සයේ නාභිය ලෙස හැඳින්වේ, ඒවා අතර දුර 2c=F_1F_2 නාභීය දුර වේ, F_1F_2 කොටසේ මැද O ඉලිප්සයේ කේන්ද්රය වේ, අංක 2a යනු ප්රධාන අක්ෂයේ දිග වේ. ඉලිප්සය (ඒ අනුව, a යනු ඉලිප්සයේ අර්ධ ප්රධාන අක්ෂයයි). ඉලිප්සයේ අත්තනෝමතික ලක්ෂ්යයක් M සම්බන්ධ කරන F_1M සහ F_2M ඛණ්ඩ එහි නාභිය සමඟ M ලක්ෂ්යයේ නාභීය අරය ලෙස හැඳින්වේ. ඉලිප්සයක ලක්ෂ්ය දෙකක් සම්බන්ධ කරන කොටස ඉලිප්සයේ ස්වරය ලෙස හැඳින්වේ. e=\frac(c)(a) අනුපාතය ඉලිප්සයේ විකේන්ද්‍රිය ලෙස හැඳින්වේ. අර්ථ දැක්වීමෙන් (2a>2c) එය අනුගමනය කරන්නේ 0\leqslant e<1
. При e=0
, т.е. при c=0
, фокусы F_1
и F_2
, а также центр O
совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a
(рис.3.36,6). ඉලිප්සයේ ජ්යාමිතික අර්ථ දැක්වීම, එහි නාභීය ගුණය ප්රකාශ කිරීම, එහි විශ්ලේෂණාත්මක නිර්වචනයට සමාන වේ - ඉලිප්සයේ කැනොනිකල් සමීකරණය මගින් ලබා දෙන රේඛාව: ඇත්ත වශයෙන්ම, අපි සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක් හඳුන්වා දෙමු (රූපය 3.36c). අපි ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ මූලාරම්භය ලෙස ඉලිප්සයේ O කේන්ද්රය ගනිමු; අපි foci (නාභි අක්ෂය හෝ ඉලිප්සයේ පළමු අක්ෂය) හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාව abscissa අක්ෂය ලෙස ගනිමු (එය මත ධනාත්මක දිශාව F_1 ලක්ෂයේ සිට F_2 දක්වා); අපි නාභීය අක්ෂයට ලම්බකව සරල රේඛාවක් ගෙන ඉලිප්සයේ කේන්ද්රය (ඉලිප්සයේ දෙවන අක්ෂය) හරහා ගමන් කරමු (ඉලිප්සයේ දෙවන අක්ෂය) ඕඩිනේට් අක්ෂය ලෙස (ඕඩිනේට් අක්ෂයේ දිශාව තෝරාගෙන ඇති අතර එමඟින් සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය Oxy නිවැරදි වේ) . නාභි ගුණය ප්රකාශ කරන එහි ජ්යාමිතික නිර්වචනය භාවිතා කරමින් ඉලිප්සය සඳහා සමීකරණයක් නිර්මාණය කරමු. තෝරාගත් ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය තුළ, අපි foci හි ඛණ්ඩාංක තීරණය කරමු F_1(-c,0),~F_2(c,0). ඉලිප්සයට අයත් M(x,y) අත්තනෝමතික ලක්ෂ්යයක් සඳහා, අපට ඇත්තේ: \vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a. මෙම සමානාත්මතාවය ඛණ්ඩාංක ආකාරයෙන් ලිවීමෙන් අපට ලැබෙන්නේ: \sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a. අපි දෙවන රැඩිකල් එක දකුණු පැත්තට ගෙනයමු, සමීකරණයේ දෙපැත්තම වර්ග කර සමාන පද ගෙන එන්නෙමු: (x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\Leftrightarrow ~4a\sqrt((x-c) )^2+y^2)=4a^2-4cx. 4 න් බෙදීම, අපි සමීකරණයේ දෙපැත්තම වර්ග කරමු: A^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\Leftrightarrow~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2). නම් කර ඇත b=\sqrt(a^2-c^2)>0, අපිට ලැබෙනවා b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. දෙපැත්තම a^2b^2\ne0 මගින් බෙදීම, අපි ඉලිප්සයේ කැනොනිකල් සමීකරණයට පැමිණෙමු: \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1. එබැවින්, තෝරාගත් ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය කැනොනිකල් වේ. ඉලිප්සයේ නාභිය සමපාත වන්නේ නම්, ඉලිප්සය වෘත්තයකි (රූපය 3.36,6), a=b සිට. මෙම අවස්ථාවේදී, ලක්ෂ්යයේ සම්භවයක් ඇති ඕනෑම සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක් කැනොනිකල් වේ O\equiv F_1\equiv F_2, සහ x^2+y^2=a^2 සමීකරණය යනු O ලක්ෂ්යයේ කේන්ද්රය සහ a ට සමාන අරය සහිත වෘත්තයක සමීකරණයයි. ප්‍රතිලෝම අනුපිළිවෙලින් තර්ක කිරීම සිදු කිරීමෙන්, ඛණ්ඩාංක සමීකරණය (3.49) තෘප්තිමත් කරන සියලුම ලක්ෂ්‍යයන් සහ ඒවා පමණක් ඉලිප්සයක් ලෙස හැඳින්වෙන ලක්ෂ්යවල ස්ථානයට අයත් බව පෙන්විය හැකිය. වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, ඉලිප්සයේ විශ්ලේෂණාත්මක අර්ථ දැක්වීම එහි ජ්යාමිතික නිර්වචනයට සමාන වන අතර එය ඉලිප්සයේ නාභි ගුණය ප්රකාශ කරයි. ඉලිප්සයක ඩිරෙක්ට්‍රික්ස් යනු කැනොනිකල් ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ කක්ෂීය අක්ෂයට සමාන්තරව ගමන් කරන සරල රේඛා දෙකකි. c=0 හිදී, ඉලිප්සය වෘත්තයක් වන විට, ඩිරෙක්ට්‍රික්ස් නොමැත (අපට උපකල්පනය කළ හැක්කේ ඩිරෙක්ට්‍රික්ස් අනන්තයේ ඇතැයි). විකේන්ද්‍රිය 0 සහිත ඉලිප්සය ඇත්ත වශයෙන්ම, උදාහරණයක් ලෙස, නාභිගත F_2 සහ directrix d_2 සඳහා (පය. 3.37,6) කොන්දේසිය \frac(r_2)(\rho_2)=eඛණ්ඩාංක ආකාරයෙන් ලිවිය හැකිය: \sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\වම(\frac(a^2)(c)-x\දකුණ) අතාර්කිකත්වයෙන් මිදීම සහ ආදේශ කිරීම e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2, අපි කැනොනිකල් ඉලිප්ස සමීකරණයට (3.49) පැමිණෙමු. නාභිගත F_1 සහ අධ්‍යක්ෂ සඳහා සමාන තර්ක සිදු කළ හැක d_1\colon\frac(r_1)(\rho_1)=e. ධ්රැවීය ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ F_1r\varphi (පය. 3.37, c සහ 3.37 (2)) හි ඉලිප්සයේ සමීකරණයේ ස්වරූපය ඇත. R=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi) මෙහි p=\frac(b^2)(a) යනු ඉලිප්සයේ නාභි පරාමිතිය වේ. ඇත්ත වශයෙන්ම, අපි ධ්රැවීය ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ ධ්‍රැවය ලෙස ඉලිප්සයේ වම් නාභිගත F_1 ද, ධ්රැවීය අක්ෂය ලෙස F_1F_2 කිරණ ද තෝරා ගනිමු (රූපය 3.37, c). එවිට අත්තනෝමතික ලක්ෂ්යයක් සඳහා M(r,\varphi), ඉලිප්සියක ජ්යාමිතික අර්ථ දැක්වීමට (නාභි ගුණය) අනුව, අපට r+MF_2=2a ඇත. M(r,\varphi) සහ F_2(2c,0) ලක්ෂ්ය අතර දුර අපි ප්රකාශ කරන්නෙමු (2.8 ඡේදයේ 2 වන ඡේදය බලන්න): \begin(aligned)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\end(පෙළගැසී ඇත) එබැවින්, ඛණ්ඩාංක ආකාරයෙන්, ඉලිප්සයේ සමීකරණයේ F_1M+F_2M=2a ආකෘතිය ඇත R+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a. අපි රැඩිකල්, සමීකරණයේ දෙපැත්තේ හතරැස් හුදකලා කර, 4 න් බෙදා සමාන පද ඉදිරිපත් කරමු: R^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2. ධ්රැවීය අරය r ප්රකාශ කර ප්‍රතිස්ථාපනය කරන්න e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a): R=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1 -e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi), Q.E.D. ඛණ්ඩාංක අක්ෂ (ඉලිප්සයේ සිරස්) සමඟ ඉලිප්සයේ ඡේදනය වන ස්ථාන (රූපය 3.37a බලන්න) සොයා ගනිමු. y=0 සමීකරණයට ආදේශ කිරීම, අපි abscissa අක්ෂය (නාභි අක්ෂය සමඟ) සමග ඉලිප්සයේ ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්ය සොයා ගනිමු: x=\pm a. එබැවින්, ඉලිප්සයේ ඇතුළත අඩංගු නාභීය අක්ෂයේ කොටසෙහි දිග 2a ට සමාන වේ. ඉහත සඳහන් කළ පරිදි මෙම කොටස ඉලිප්සයේ ප්රධාන අක්ෂය ලෙස හඳුන්වනු ලබන අතර a යනු ඉලිප්සයේ අර්ධ ප්රධාන අක්ෂය වේ. x=0 ආදේශ කිරීමෙන් අපට y=\pm b ලැබේ. එබැවින්, ඉලිප්සයේ ඇතුළත අඩංගු ඉලිප්සයේ දෙවන අක්ෂයේ කොටසෙහි දිග 2b ට සමාන වේ. මෙම කොටස ඉලිප්සයේ කුඩා අක්ෂය ලෙස හඳුන්වනු ලබන අතර, b අංකය ඉලිප්සයේ අර්ධ කුඩා අක්ෂය වේ. ඇත්තටම, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a, සහ සමානාත්මතාවය b=a ලබා ගන්නේ c=0 අවස්ථාවෙහිදී, ඉලිප්සය වෘත්තයක් වන විට පමණි. ආකල්පය k=\frac(b)(a)\leqslant1ඉලිප්ස සම්පීඩන අනුපාතය ලෙස හැඳින්වේ. සටහන් 3.9 1. සරල රේඛා x=\pm a,~y=\pm b ඛණ්ඩාංක තලයේ ප්රධාන සෘජුකෝණාස්රය සීමා කරයි, එහි ඇතුළත ඉලිප්සයක් ඇත (රූපය 3.37, a බලන්න). 2. ඉලිප්සයක් ලෙස අර්ථ දැක්විය හැක රවුමක් එහි විෂ්කම්භයට සම්පීඩනය කිරීමෙන් ලබාගත් ලක්ෂ්යවල පිහිටීම. ඇත්ත වශයෙන්ම, Oxy සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ වෘත්තයක සමීකරණය x^2+y^2=a^2 වේවා. 0 සංගුණකය සමඟ x-අක්ෂයට සම්පීඩිත විට \begin(cases)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end(cases) x=x" සහ y=\frac(1)(k)y" යන කව සමීකරණයට ආදේශ කිරීමෙන්, M(x, ලක්ෂ්යයේ M"(x",y") රූපයේ ඛණ්ඩාංක සඳහා සමීකරණය අපි ලබා ගනිමු. y): (x")^2+(\වම(\frac(1)(k)\cdot y"\දකුණ)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1,
!} b=k\cdot a සිට . මෙය ඉලිප්සයේ කැනොනිකල් සමීකරණයයි. 3. ඛණ්ඩාංක අක්ෂ (කැනොනිකල් ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ) යනු ඉලිප්සයේ සමමිතියේ අක්ෂ (ඉලිප්සයේ ප්රධාන අක්ෂ ලෙස හැඳින්වේ) වන අතර එහි කේන්ද්රය සමමිතියේ කේන්ද්රය වේ. ඇත්ත වශයෙන්ම, M(x,y) ලක්ෂ්යය ඉලිප්සයට අයත් වන්නේ නම් . එවිට ඛණ්ඩාංක අක්ෂවලට සාපේක්ෂව M ලක්ෂ්‍යයට සමමිතික M"(x,-y) සහ M""(-x,y) යන ලක්ෂ්ය ද එකම ඉලිප්සයට අයත් වේ. 4. ධ්රැවීය ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ ඉලිප්සයේ සමීකරණයෙන් r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(රූපය 3.37, c බලන්න), නාභීය පරාමිතියෙහි ජ්යාමිතික අර්ථය පැහැදිලි කර ඇත - මෙය නාභීය අක්ෂයට ලම්බකව නාභිගත කිරීම හරහා ගමන් කරන ඉලිප්සයේ ස්වරයේ දිගෙන් අඩක් (r = p at \varphi=\frac(\pi)(2)). 5. විකේන්ද්‍රිය e ඉලිප්සයේ හැඩය, එනම් ඉලිප්සය සහ රවුම අතර වෙනස සංලක්ෂිත කරයි. විශාල e, ඉලිප්සාව වඩාත් දිගු වන අතර, e ශුන්යයට සමීප වන තරමට, ඉලිප්සිය රවුමකට සමීප වේ (රූපය 3.38a). ඇත්ත වශයෙන්ම, e=\frac(c)(a) සහ c^2=a^2-b^2 බව සැලකිල්ලට ගනිමින්, අපට ලැබෙන්නේ E^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\left(\frac(a)(b)\දකුණ )\^2=1-k^2,
!} මෙහි k යනු ඉලිප්ස සම්පීඩන අනුපාතය, 0 6. සමීකරණය \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1දී a
7. සමීකරණය \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant b O"(x_0,y_0) ලක්ෂ්යයේ කේන්ද්රය සහිත ඉලිප්සයක් නිර්වචනය කරයි, එහි අක්ෂ ඛණ්ඩාංක අක්ෂවලට සමාන්තර වේ (රූපය 3.38, c). මෙම සමීකරණය සමාන්තර පරිවර්තනය (3.36) භාවිතයෙන් කැනොනිකල් එකට අඩු වේ. සමීකරණය a=b=R විට (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2 O"(x_0,y_0) ලක්ෂ්යයේ කේන්ද්රය සහිත R අරය කවයක් විස්තර කරයි. ඉලිප්සයේ පරාමිතික සමීකරණයකැනොනිකල් ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ ආකෘතිය ඇත \begin(cases)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(cases)0\leqslant t<2\pi.
ඇත්ත වශයෙන්ම, මෙම ප්‍රකාශන සමීකරණයට ආදේශ කිරීමෙන් (3.49), අපි ප්රධාන ත්‍රිකෝණමිතික අනන්‍යතාවය \cos^2t+\sin^2t=1 වෙත පැමිණෙමු. උදාහරණය 3.20.ඉලිප්සයක් අඳින්න \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1කැනොනිකල් ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ ඔක්සි. අර්ධ අක්ෂ, නාභීය දුර, විකේන්ද්රිකතාව, දර්ශන අනුපාතය, නාභීය පරාමිතිය, ඩිරෙක්ට්රික් සමීකරණ සොයන්න. විසඳුමක්.ලබා දී ඇති සමීකරණය කැනොනිකල් එක සමඟ සංසන්දනය කරමින්, අපි අර්ධ අක්ෂ තීරණය කරමු: a=2 - අර්ධ-ප්රධාන අක්ෂය, b=1 - ඉලිප්සයේ අර්ධ කුඩා අක්ෂය. අපි ප්රධාන සෘජුකෝණාස්රය 2a = 4, ~ 2b = 2 සමඟ මූලාරම්භයේ කේන්ද්රය සමඟ ගොඩනඟමු (රූපය 3.39). ඉලිප්සයේ සමමිතිය සැලකිල්ලට ගනිමින්, අපි එය ප්රධාන සෘජුකෝණාස්රයට ගැලපේ. අවශ්ය නම්, ඉලිප්සයේ සමහර ලක්ෂ්යවල ඛණ්ඩාංක තීරණය කරන්න. උදාහරණයක් ලෙස, ඉලිප්සයේ සමීකරණයට x=1 ආදේශ කිරීම, අපට ලැබේ \frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=\frac(3)(4) \quad \Leftrightarrow \ quad y=\pm\frac(\sqrt(3))(2). එබැවින්, ඛණ්ඩාංක සහිත ලකුණු \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\දකුණ)\!,~\වම(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\දකුණ)- ඉලිප්සයට අයත් වේ. සම්පීඩන අනුපාතය ගණනය කිරීම k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); නාභීය දිග 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); විකේන්ද්රිකත්වය e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); නාභීය පරාමිතිය p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). අපි directrix සමීකරණ සම්පාදනය කරමු: x=\pm\frac(a^2)(c)~\Leftrightarrow~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)). වීජ ගණිතය සහ ජ්යාමිතිය පිළිබඳ දේශන. අධ්‍යයන වාරය 1. දේශනය 15. Ellipse. 15 වන පරිච්ඡේදය. ඉලිප්සය. 1 වන වගන්තිය. මූලික අර්ථ දැක්වීම්. අර්ථ දැක්වීම. ඉලිප්සයක් යනු තලයක GMT වේ, තලයේ ස්ථාවර ලක්ෂ්ය දෙකකට ඇති දුරවල එකතුව, foci ලෙස හැඳින්වේ, නියත අගයකි. අර්ථ දැක්වීම. තලයේ අත්තනෝමතික ලක්ෂ්යයක් M සිට ඉලිප්සයේ නාභිය දක්වා ඇති දුර M ලක්ෂ්යයේ නාභි අරය ලෙස හැඳින්වේ. තනතුරු: ඉලිප්සයේ නිර්වචනය අනුව, M ලක්ෂ්යය ඉලිප්සයක ලක්ෂ්යයක් නම් සහ එසේ නම් පමණි දැනුම් දෙන්න, ඒක ඉලිප්සයක නිර්වචනය අනුව, එහි නාභිය ස්ථාවර ලක්ෂ්ය වේ, එබැවින් ඒවා අතර දුර ද දී ඇති ඉලිප්සයක් සඳහා නියත අගයකි. අර්ථ දැක්වීම. ඉලිප්සයේ නාභිය අතර දුර නාභීය දුර ලෙස හැඳින්වේ. තනතුර: ත්රිකෝණයක සිට අපි b ට සමාන සංඛ්‍යාවක් දක්වමු අර්ථ දැක්වීම. ආකල්පය ඉලිප්සයේ විකේන්ද්රිකතාව ලෙස හැඳින්වේ. අපි මෙම තලයේ ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක් හඳුන්වා දෙමු, එය අපි ඉලිප්සය සඳහා කැනොනිකල් ලෙස හඳුන්වනු ඇත. අර්ථ දැක්වීම. ඉලිප්සයේ නාභිය පිහිටා ඇති අක්ෂය නාභි අක්ෂය ලෙස හැඳින්වේ. ඉලිප්සය සඳහා කැනොනිකල් PDSC එකක් ගොඩනඟමු, රූපය 2 බලන්න. අපි නාභීය අක්ෂය abscissa අක්ෂය ලෙස තෝරාගෙන, කොටසේ මැද හරහා ordinate අක්ෂය අඳින්නෙමු එවිට foci ඛණ්ඩාංක ඇත 2 වන වගන්තිය. ඉලිප්සයක කැනොනිකල් සමීකරණය. ප්රමේයය. ඉලිප්සයක් සඳහා වන කැනොනිකල් ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ, ඉලිප්සයේ සමීකරණයේ ස්වරූපය ඇත: සාක්ෂි. අපි ඔප්පු කිරීම අදියර දෙකකින් සිදු කරන්නෙමු. පළමු අදියරේදී, ඉලිප්සයේ ඇති ඕනෑම ලක්ෂ්‍යයක ඛණ්ඩාංක සමීකරණය (4) තෘප්තිමත් කරන බව අපි ඔප්පු කරමු. දෙවන අදියරේදී අපි (4) සමීකරණයට ඕනෑම විසඳුමක් ඉලිප්සය මත ඇති ලක්ෂ්‍යයක ඛණ්ඩාංක ලබා දෙන බව ඔප්පු කරන්නෙමු. මෙතැන් සිට එය ඉලිප්සය මත පිහිටා ඇති ඛණ්ඩාංක තලයේ එම සහ එම ලක්ෂ්‍යවලින් පමණක් (4) සමීකරණය තෘප්තිමත් වේ. මෙයින් සහ වක්‍රයක සමීකරණයේ නිර්වචනයෙන් (4) සමීකරණය ඉලිප්සයක සමීකරණයක් බව අනුගමනය කරනු ඇත. 1) M(x, y) ලක්ෂ්යය ඉලිප්සයේ ලක්ෂ්යයක් වේවා, i.e. එහි නාභීය අරයවල එකතුව 2a වේ: ඛණ්ඩාංක තලයේ ලක්ෂ්ය දෙකක් අතර දුර සඳහා සූත්රය භාවිතා කර ලබා දී ඇති ලක්ෂ්‍යයක නාභීය අරය සොයා ගැනීමට මෙම සූත්රය භාවිතා කරමු M: අපි සමානාත්මතාවයේ දකුණු පැත්තට එක් මූලයක් ගෙන එය වර්ග කරමු: අඩු කිරීමෙන්, අපට ලැබෙන්නේ: අපි සමාන ඒවා ඉදිරිපත් කරමු, 4 කින් අඩු කර රැඩිකල් ඉවත් කරන්න: වර්ග කිරීම වරහන් විවෘත කර කෙටි කරන්න අපට ලැබෙන තැන: සමානාත්මතාවය (2) භාවිතයෙන් අපි ලබා ගන්නේ: අවසාන සමානාත්මතාවය බෙදීම 2) දැන් සංඛ්යා යුගලයක් (x, y) සමීකරණය (4) තෘප්තිමත් කර Oxy ඛණ්ඩාංක තලයේ අනුරූප ලක්ෂ්යය M(x, y) වීමට ඉඩ දෙන්න. ඉන්පසු (4) සිට එය පහත පරිදි වේ: අපි මෙම සමානාත්මතාවය M ලක්ෂ්යයේ නාභීය අරය සඳහා ප්‍රකාශනයට ආදේශ කරමු: මෙහිදී අපි සමානාත්මතාවය (2) සහ (3) භාවිතා කළෙමු. මේ අනුව, දැන් සමානාත්මතාවයෙන් (4) එය අනුගමනය කරන බව සලකන්න මෙතැන් සිට එය අනුගමනය කරයි, අනෙක් අතට සමානාත්මතාවයෙන් (5) එය පහත දැක්වේ ප්රමේයය ඔප්පු කර ඇත. අර්ථ දැක්වීම. සමීකරණය (4) ඉලිප්සයේ කැනොනිකල් සමීකරණය ලෙස හැඳින්වේ. අර්ථ දැක්වීම. ඉලිප්සයක් සඳහා වන කැනොනිකල් ඛණ්ඩාංක අක්ෂ ඉලිප්සයේ ප්රධාන අක්ෂ ලෙස හැඳින්වේ. අර්ථ දැක්වීම. ඉලිප්සයක් සඳහා කැනොනිකල් ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ මූලාරම්භය ඉලිප්සයේ කේන්ද්රය ලෙස හැඳින්වේ. වගන්තිය 3. ඉලිප්සයේ ගුණ. ප්රමේයය. (ඉලිප්සයක ගුණ.) 1. ඉලිප්සයක් සඳහා කැනොනිකල් ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ, සියල්ල ඉලිප්සයේ ලක්ෂ්ය සෘජුකෝණාස්‍රයේ ඇත 2. ලකුණු මත පිහිටා ඇත 3. ඉලිප්සයක් යනු සම්බන්ධව සමමිතික වන වක්‍රයකි ඔවුන්ගේ ප්රධාන අක්ෂය. 4. ඉලිප්සයේ කේන්ද්රය එහි සමමිතික මධ්‍යස්ථානයයි. සාක්ෂි. 1, 2) ඉලිප්සයේ කැනොනිකල් සමීකරණයෙන් වහාම අනුගමනය කරයි. 3, 4) M(x, y) ඉලිප්සයේ අත්තනෝමතික ලක්ෂ්යයක් වේවා. එවිට එහි ඛණ්ඩාංක සමීකරණය (4) තෘප්තිමත් කරයි. නමුත් පසුව ලක්ෂ්යවල ඛණ්ඩාංක ද සමීකරණය (4) තෘප්තිමත් කරන අතර, එබැවින්, ප්රමේයයේ ප්රකාශ අනුගමනය කරන ඉලිප්සයේ ලක්ෂ්ය වේ. ප්රමේයය ඔප්පු කර ඇත. අර්ථ දැක්වීම. 2a ප්‍රමාණය ඉලිප්සයේ ප්රධාන අක්ෂය ලෙසද, a ප්‍රමාණය ඉලිප්සයේ අර්ධ ප්රධාන අක්ෂය ලෙසද හැඳින්වේ. අර්ථ දැක්වීම. 2b ප්‍රමාණය ඉලිප්සයේ කුඩා අක්ෂය ලෙසද, b ප්‍රමාණය ඉලිප්සයේ අර්ධ කුඩා අක්ෂය ලෙසද හැඳින්වේ. අර්ථ දැක්වීම. ඉලිප්සයක ප්රධාන අක්ෂ සමඟ ඡේදනය වන ස්ථාන ඉලිප්සයේ සිරස් ලෙස හැඳින්වේ. අදහස් දක්වන්න. පහත පරිදි ඉලිප්සයක් සෑදිය හැක. ගුවන් යානයේදී, අපි "ඇණයක් නාභිගත කර" ඒවාට නූල් දිගක් සවි කරමු විකේන්ද්රිකතාවයේ නිර්වචනයෙන් එය අනුගමනය කරයි අපි a අංකය සවි කර c අංකය ශුන්යයට යොමු කරමු. එවිට දී අපි දැන් යොමු කරමු 4 වන වගන්තිය. ඉලිප්සයේ පරාමිතික සමීකරණ. ප්රමේයය. ඉඩ ඉලිප්සය සඳහා කැනොනිකල් ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ ඉලිප්සියක පරාමිතික සමීකරණ වේ. සාක්ෂි. සමීකරණ පද්ධතිය (6) සමීකරණයට (4) සමාන බව ඔප්පු කිරීමට ප්රමාණවත් වේ, i.e. ඔවුන්ට ඇත්තේ එකම විසඳුම් සමූහයකි. 1) (x, y) පද්ධතියට (6) අත්තනෝමතික විසඳුමක් වීමට ඉඩ දෙන්න. පළමු සමීකරණය a මගින්ද, දෙවැන්න b මගින්ද බෙදන්න, සමීකරණ දෙකම වර්ග කර එකතු කරන්න: එම. පද්ධතියේ (6) ඕනෑම විසඳුමක් (x, y) සමීකරණය (4) තෘප්තිමත් කරයි. 2) අනෙක් අතට, යුගලය (x, y) සමීකරණයට (4) විසඳුමක් වීමට ඉඩ දෙන්න, i.e. මෙම සමානාත්මතාවයෙන් එය ඛණ්ඩාංක සහිත ලක්ෂ්යය අනුගමනය කරයි සයින් සහ කොසයින් අර්ථ දැක්වීමෙන් එය වහාම අනුගමනය කරයි ප්රමේයය ඔප්පු කර ඇත. අදහස් දක්වන්න. abscissa අක්ෂය දෙසට අරය a කවයක් ඒකාකාර "සම්පීඩනය" ප්රතිඵලයක් ලෙස ඉලිප්සයක් ලබා ගත හැක. ඉඩ මෙම පරිවර්තනය සමඟ, රවුමේ ඇති සෑම ලක්ෂ්‍යයක්ම තලයේ තවත් ලක්ෂ්‍යයකට “සංක්‍රමණය” වන අතර, එයට එකම abscissa ඇත, නමුත් කුඩා ඕඩිනේට් ඇත. ලක්ෂ්‍යයක පැරණි ආඥාව අලුත් එක හරහා ප්රකාශ කරමු: සහ සමීකරණයට කව ආදේශ කරන්න: මෙතැන් සිට අපට ලැබෙන්නේ: මෙයින් කියවෙන්නේ “සම්පීඩනය” පරිවර්තනයට පෙර M(x, y) ලක්ෂ්යය රවුම මත තැබුවහොත්, i.e. එහි ඛණ්ඩාංක රවුමේ සමීකරණය තෘප්තිමත් කරයි, පසුව "සම්පීඩනය" පරිවර්තනයෙන් පසුව මෙම ලක්ෂ්යය ලක්ෂ්යය බවට "පරිවර්තනය" විය 5 වන වගන්තිය. ඉලිප්සයකට ස්පර්ශක. ප්රමේයය. ඉඩ එවිට ලක්ෂ්යයේ මෙම ඉලිප්සයට ස්පර්ශක සමීකරණය සාක්ෂි. ස්පර්ශක ලක්ෂ්යය ඛණ්ඩාංක තලයේ පළමු හෝ දෙවන කාර්තුවේ ඇති විට එය සලකා බැලීම ප්රමාණවත් වේ: ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරයට ස්පර්ශක සමීකරණය භාවිතා කරමු කොහෙද අපි ව්‍යුත්පන්නයේ සොයාගත් අගය ස්පර්ශක සමීකරණයට ආදේශ කරමු (10): අපට ලැබෙන තැන: මෙයින් ඇඟවෙන්නේ: අපි මේ සමානාත්මතාවය බෙදමු එය සටහන් කිරීමට ඉතිරිව ඇත ස්පර්ශක සමීකරණය (8) ඛණ්ඩාංක තලයේ තුන්වන හෝ හතරවන කාර්තුවේ පිහිටා ඇති ස්පර්ශක ලක්ෂ්‍යයේදී සමාන ආකාරයකින් ඔප්පු වේ. අවසාන වශයෙන්, සමීකරණය (8) ලක්ෂ්යවල ස්පර්ශක සමීකරණය ලබා දෙන බව අපට පහසුවෙන් සත්‍යාපනය කළ හැකිය. ප්රමේයය ඔප්පු කර ඇත. 6 වන වගන්තිය. ඉලිප්සයක දර්පණ ගුණය. ප්රමේයය. ඉලිප්සයේ ස්පර්ශකයට ස්පර්ශක ලක්ෂ්යයේ නාභීය අරය සමඟ සමාන කෝණ ඇත. ඉඩ එම ප්රමේයය සඳහන් කරයි මෙම සමානාත්මතාවය එහි අවධානයෙන් මුදා හරින ලද ඉලිප්සයකින් ආලෝක කිරණවල සිදුවීම් හා පරාවර්තනයේ කෝණවල සමානාත්මතාවය ලෙස අර්ථ දැක්විය හැක. මෙම ගුණය ඉලිප්සයේ දර්පණ ගුණය ලෙස හැඳින්වේ. ඉලිප්සයේ නාභියෙන් නිකුත් වන ආලෝක කිරණ, ඉලිප්සයේ දර්පණයෙන් පරාවර්තනය වීමෙන් පසුව, ඉලිප්සයේ තවත් නාභියක් හරහා ගමන් කරයි. ප්රමේයයේ සාධනය. කෝණවල සමානාත්මතාවය ඔප්පු කිරීම සඳහා (11), අපි ත්රිකෝණවල සමානකම ඔප්පු කරමු ඉලිප්සයේ පරාමිතික සමීකරණය
ඉලිප්සියක නාභි ගුණය
ඉලිප්සයක අධ්‍යක්ෂක ගුණය
ධ්රැවීය ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක ඉලිප්සයක සමීකරණය
ඉලිප්ස සමීකරණයේ සංගුණකවල ජ්යාමිතික අර්ථය
ඉලිප්සයේ පරාමිතික සමීකරණය
ගණනය කිරීම් සිදු කිරීමට, ඔබ ActiveX පාලන සක්රිය කළ යුතුය!
- ඉලිප්සයේ නාභිය, 
- ලක්ෂ්යයේ කේන්ද්‍රීය අරය එම්.
- නියත අගය. මෙම නියතය සාමාන්‍යයෙන් 2a ලෙස දැක්වේ:
.
(1)
.
.
එය අනුගමනය කරයි 
, i.e.
.
, i.e.
.
(2)
(3)
නාභීය අක්ෂයට ලම්බකව.
,
.
.
(4)
.
,
, අපට ලැබෙන තැනින්:
.
:
.
, අපි සමානාත්මතාවය (4) ලබා ගනිමු.
.
.
. එලෙසම, 
.
හෝ 
සහ නිසා 
, එවිට අසමානතාවය පහත පරිදි වේ:
.
හෝ 
සහ
,
.
(5)
, i.e. M(x, y) ලක්ෂ්යය ඉලිප්සයේ ලක්ෂ්යයක් යනාදියයි.
,
.
. එවිට අපි පැන්සලක් ගෙන නූල් දිගු කිරීමට එය භාවිතා කරමු. ඉන්පසු අපි පැන්සල් ඊයම් යානය දිගේ ගෙන යන අතර නූල් තදින් ඇති බවට වග බලා ගන්න.
,
සහ 
. අපට ලැබෙන සීමාව තුළ
හෝ 
- රවුමක සමීකරණය.
. ඉන්පසු 
,
සීමාව තුළ ඉලිප්සය සරල රේඛා ඛණ්ඩයකට පරිහානියට පත්වන බව අපට පෙනේ 
රූප සටහන 3 හි අංකනයෙහි.
- අත්තනෝමතික තාත්වික සංඛ්යා. එවිට සමීකරණ පද්ධතිය
,
(6)
.
.
මූලාරම්භයේ කේන්ද්රය සහිත ඒකක අරය කවයක් මත පිහිටා ඇත, i.e. ත්‍රිකෝණමිතික කවයක් මත යම් කෝණයකට අනුරූප වන ලක්ෂ්‍යයකි 
:
,
, කොහෙද 
, එයින් පෙන්නුම් කරන්නේ යුගලය (x, y) පද්ධතිය (6) ආදියට විසඳුමක් බවයි.
- මූලාරම්භයේ කේන්ද්රය සහිත කවයක සමීකරණය. කවයක් abscissa අක්ෂයට “සම්පීඩනය” යනු පහත දැක්වෙන රීතියට අනුව සිදු කරන ලද ඛණ්ඩාංක තලයේ පරිවර්තනයකට වඩා වැඩි දෙයක් නොවේ. M(x, y) එක් එක් ලක්ෂ්ය සඳහා අපි එකම තලයක ලක්ෂ්යයක් සම්බන්ධ කරමු 
, කොහෙද 
,
- "සම්පීඩන" සංගුණකය.
.
.
(7)
, එහි ඛණ්ඩාංක ඉලිප්ස සමීකරණය (7) තෘප්තිමත් කරයි. අපට semiminor axisb සමඟ ඉලිප්සයක සමීකරණය ලබා ගැනීමට අවශ්ය නම්, අපි සම්පීඩන සාධකය ගත යුතුයි.
.
- ඉලිප්සයේ අත්තනෝමතික ලක්ෂ්යය
.
පෝරමය ඇත:
.
(8)
. ඉහළ අර්ධ තලයේ ඉලිප්සයේ සමීකරණයේ ස්වරූපය ඇත:
.
(9)
ලක්ෂ්යයේ 
:
- ලක්ෂ්‍යයක දී ඇති ශ්‍රිතයක ව්‍යුත්පන්නයේ අගය 
. පළමු කාර්තුවේ ඉලිප්සය ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරයක් ලෙස සැලකිය හැකිය (8). එහි ව්‍යුත්පන්නය සහ එහි අගය ස්පර්ශක ලක්ෂ්‍යයෙන් සොයා ගනිමු:
,
. මෙහිදී අපි ස්පර්ශක ලක්ෂ්යය යන කාරණයෙන් ප්‍රයෝජන ගත්තෙමු 
ඉලිප්සයේ ලක්ෂ්යයක් වන අතර එම නිසා එහි ඛණ්ඩාංක ඉලිප්ස සමීකරණය (9) තෘප්තිමත් කරයි, i.e.
.
,
:
.
, නිසා තිත 
ඉලිප්සයට අයත් වන අතර එහි ඛණ්ඩාංක එහි සමීකරණය තෘප්තිමත් කරයි.
,
:
හෝ 
, සහ 
හෝ 
.
- සම්බන්ධතා ස්ථානය, 
,
– ස්පර්ශක ලක්ෂ්යයේ නාභීය අරය, P සහ Q – ලක්ෂ්යයේ ඉලිප්සයට ඇද ගන්නා ලද ස්පර්ශකයේ නාභීය ප්‍රක්ෂේපන 
.
.
(11)
සහ 
, එහි පක්ෂ 
සහ 
සමාන වනු ඇත. ත්රිකෝණ සෘජුකෝණාස්රාකාර බැවින්, එය සමානාත්මතාවය ඔප්පු කිරීමට ප්රමාණවත් වේ
