ලකුණු දෙකකින් සරල රේඛාවක් නිර්වචනය කරන්න. සෘජු රේඛාව. සරල රේඛාවක සමීකරණය
සරල රේඛාව M 1 (x 1; y 1) සහ M 2 (x 2; y 2) ලක්ෂ්‍ය හරහා යාමට ඉඩ දෙන්න. M 1 ලක්ෂ්යය හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවක සමීකරණයට y- y 1 \u003d ආකෘතිය ඇත කේ (x - x 1), (10.6)
කොහෙද කේ - තවමත් නොදන්නා සංගුණකය.
සරල රේඛාව M 2 (x 2 y 2) ලක්ෂ්යය හරහා ගමන් කරන බැවින්, මෙම ලක්ෂ්යයේ ඛණ්ඩාංක සමීකරණය (10.6) තෘප්තිමත් කළ යුතුය: y 2 -y 1 \u003d කේ (x 2 -x 1).
මෙතැන් සිට අපට සොයාගත් අගය ආදේශ කිරීම සොයා ගනී කේ
සමීකරණයට (10.6), අපි M 1 සහ M 2 ලක්ෂ්‍ය හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවක සමීකරණය ලබා ගනිමු: 
මෙම සමීකරණයේ x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2 ලෙස උපකල්පනය කෙරේ.
x 1 \u003d x 2 නම්, M 1 (x 1, y I) සහ M 2 (x 2, y 2) යන ලක්ෂ්‍ය හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාව y-අක්ෂයට සමාන්තර වේ. එහි සමීකරණය වේ x = x 1 .
y 2 \u003d y I නම්, සරල රේඛාවේ සමීකරණය y \u003d y 1 ලෙස ලිවිය හැකිය, M 1 M 2 සරල රේඛාව x-අක්ෂයට සමාන්තර වේ.
කොටස්වල සරල රේඛාවක සමීකරණය
M 1 (a; 0) ලක්ෂ්‍යයේදී Ox අක්ෂය ඡේදනය වීමට සරල රේඛාවට ඉඩ දෙන්න, සහ Oy අක්ෂය - M 2 (0; b) ලක්ෂ්‍යයේදී. සමීකරණය පෝරමය ගනී: 
එම. 
. මෙම සමීකරණය ලෙස හැඳින්වේ ඛණ්ඩවල සරල රේඛාවක සමීකරණය, මන්ද අංක a සහ b මඟින් ඛණ්ඩාංක අක්ෂවල සරල රේඛාව කපා හැරෙන්නේ කුමන කොටස්ද යන්න දක්වයි.
දී ඇති දෛශිකයකට ලම්බකව දී ඇති ලක්ෂ්යයක් හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවක සමීකරණය
හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවේ සමීකරණය සොයා ගන්න එක් ලබා දී ඇති ලක්ෂ්යය Mo (x O; y o) ලබා දී ඇති ශුන්‍ය නොවන දෛශිකයට ලම්බක වේ n = (A; B).
සරල රේඛාවේ අත්තනෝමතික ලක්ෂ්යයක් ගෙන M (x; y) සහ දෛශිකය M 0 M (x - x 0; y - y o) සලකා බලන්න (රූපය 1 බලන්න). දෛශික n සහ M o M ලම්බක වන බැවින්, ඒවායේ අදිශ ගුණිතය ශුන්‍යයට සමාන වේ: එනම්,
A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)
සමීකරණය (10.8) ලෙස හැඳින්වේ දී ඇති දෛශිකයකට ලම්බකව දී ඇති ලක්ෂ්යයක් හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවක සමීකරණය .
රේඛාවට ලම්බක n = (A; B) දෛශිකය සාමාන්ය ලෙස හැඳින්වේ මෙම රේඛාවේ සාමාන්ය දෛශිකය .
සමීකරණය (10.8) ලෙස නැවත ලිවිය හැක Ah + Wu + C = 0 , (10.9)
A සහ B යනු සාමාන්ය දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක වේ, C \u003d -Ax o - Vu o - free member. සමීකරණය (10.9) සරල රේඛාවක පොදු සමීකරණය වේ(රූපය 2 බලන්න).
Fig.1 Fig.2
සරල රේඛාවේ කැනොනිකල් සමීකරණ
,
කොහෙද 
රේඛාව ගමන් කරන ලක්ෂ්යයේ ඛණ්ඩාංක වේ, සහ 
- දිශා දෛශිකය.
දෙවන අනුපිළිවෙල කවයේ වක්‍ර
වෘත්තයක් යනු දී ඇති ලක්ෂ්‍යයකට සමාන දුරින් පිහිටි තලයක සියලුම ලක්ෂ්‍ය සමූහයකි, එය කේන්ද්‍රය ලෙස හැඳින්වේ.
අරය කවයක කැනොනිකල් සමීකරණය
ආර් ලක්ෂ්යයක් මත කේන්ද්රගත විය 
:
විශේෂයෙන්, කොටස්වල කේන්ද්‍රය මූලාරම්භය සමඟ සමපාත වන්නේ නම්, සමීකරණය මේ ආකාරයෙන් පෙනෙනු ඇත: 
ඉලිප්සය
ඉලිප්සයක් යනු තලයක ඇති ලක්ෂ්‍ය සමූහයකි, ඒවායින් එක් එක් ලක්ෂ්‍ය දෙකක් දක්වා ඇති දුරවල එකතුව
හා 
, foci ලෙස හඳුන්වනු ලබන්නේ නියත අගයකි 
, foci අතර දුර ප්රමාණයට වඩා වැඩි ය 
.
Ox අක්ෂය මත නාභිය පිහිටා ඇති සහ නාභිය අතර මධ්‍යයේ මූලාරම්භය ඇති ඉලිප්සයක කැනොනිකල් සමීකරණයට ස්වරූපය ඇත 
ජී 
දඒ ප්රධාන අර්ධ අක්ෂයේ දිග;බී කුඩා අර්ධ අක්ෂයේ දිග වේ (රූපය 2).
අර්ථ දැක්වීම.තලයේ ඕනෑම රේඛාවක් පළමු අනුපිළිවෙල සමීකරණයකින් ලබා දිය හැකිය
Ah + Wu + C = 0,
සහ A, B යන නියතයන් එකවර ශුන්‍යයට සමාන නොවේ. මෙම පළමු අනුපිළිවෙල සමීකරණය ලෙස හැඳින්වේ සරල රේඛාවක පොදු සමීකරණය.අගයන් මත රඳා පවතී නියත A, Bසහ C, පහත සඳහන් විශේෂ අවස්ථා විය හැක:
C \u003d 0, A ≠ 0, B ≠ 0 - රේඛාව සම්භවය හරහා ගමන් කරයි
A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (By + C \u003d 0) - රේඛාව Ox අක්ෂයට සමාන්තර වේ
B \u003d 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C \u003d 0) - රේඛාව Oy අක්ෂයට සමාන්තර වේ
B \u003d C \u003d 0, A ≠ 0 - සරල රේඛාව Oy අක්ෂය සමඟ සමපාත වේ
A \u003d C \u003d 0, B ≠ 0 - සරල රේඛාව Ox අක්ෂය සමඟ සමපාත වේ
සරල රේඛාවක සමීකරණය නිරූපණය කළ හැක විවිධ ආකාරඕනෑම ආරම්භක කොන්දේසි මත පදනම්ව.
ලක්ෂ්‍යයකින් සහ සාමාන්ය දෛශිකයකින් සරල රේඛාවක් සමීකරණය
අර්ථ දැක්වීම. Cartesian දී සෘජුකෝණාස්රාකාර පද්ධතියසංරචක (A, B) සමඟ සම්බන්ධීකරණ දෛශිකය රේඛාවට ලම්බක වේ, සමීකරණය මගින් ලබා දී ඇත Ah + Wu + C = 0.
උදාහරණයක්. A(1, 2) ලක්ෂ්යය හරහා (3, -1) ලම්බකව ගමන් කරන සරල රේඛාවක සමීකරණය සොයන්න.
විසඳුමක්. A = 3 සහ B = -1 හිදී, අපි සරල රේඛාවක සමීකරණය සම්පාදනය කරමු: 3x - y + C = 0. සංගුණකය C සොයා ගැනීම සඳහා, අපි ලබා දී ඇති ලක්ෂ්යයේ A හි ඛණ්ඩාංක ප්රතිඵල ප්‍රකාශනයට ආදේශ කරමු. අපට ලැබෙන්නේ: 3 - 2 + C = 0, එබැවින්, C = -1 . එකතුව: අපේක්ෂිත සමීකරණය: 3x - y - 1 \u003d 0.
ලක්ෂ්‍ය දෙකක් හරහා ගමන් කරන රේඛාවක සමීකරණය
M 1 (x 1, y 1, z 1) සහ M 2 (x 2, y 2, z 2) යන ලක්ෂ්‍ය දෙකක් අභ්‍යවකාශයේදී ලබා දෙන්න, එවිට මෙම ලක්ෂ්‍ය හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවක සමීකරණය:
කිසියම් හරයක් ශුන්‍යයට සමාන නම්, අදාළ සංඛ්‍යාව බිංදුවට සමාන ලෙස සැකසිය යුතුය.තලය මත, ඉහත ලියා ඇති සරල රේඛා සමීකරණය සරල කර ඇත:
x 1 ≠ x 2 සහ x = x 1 නම් x 1 = x 2.
භාගය = k ලෙස හැඳින්වේ බෑවුම් සාධකයකෙලින්ම.
උදාහරණයක්. A(1, 2) සහ B(3, 4) ලක්ෂ්‍ය හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවක සමීකරණය සොයන්න.
විසඳුමක්.ඉහත සූත්‍රය යෙදීමෙන් අපට ලැබෙන්නේ:
ලක්ෂ්‍යයකින් සහ බෑවුමකින් සරල රේඛාවක සමීකරණය
සම්පූර්ණ Ax + Wu + C = 0 පෝරමයට යොමු කරන්නේ නම්:
සහ නම් කරන්න 
, එවිට ලැබෙන සමීකරණය ලෙස හැඳින්වේ බෑවුමක් සහිත සරල රේඛාවක සමීකරණයකේ.
ලක්ෂ්යයක් සහ දිශා දෛශිකයක් සහිත සරල රේඛාවක සමීකරණය
සාමාන්ය දෛශිකය හරහා සරල රේඛාවක සමීකරණය සලකා බලන ලක්ෂ්යය සමඟ ප්‍රතිසමයෙන්, ඔබට සරල රේඛාවක ලක්ෂ්යයක් සහ සෘජු රේඛාවක දිශානති දෛශිකයක් හරහා සරල රේඛාවක් පැවරීම ඇතුළත් කළ හැකිය.
අර්ථ දැක්වීම.ශුන්‍ය නොවන සෑම දෛශිකයක්ම (α 1, α 2), A α 1 + B α 2 = 0 කොන්දේසිය සපුරාලන සංරචක රේඛාවේ දිශානත දෛශිකය ලෙස හැඳින්වේ.
Ah + Wu + C = 0.
උදාහරණයක්. දිශා දෛශිකය (1, -1) සහ A(1, 2) ලක්ෂ්යය හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවක සමීකරණය සොයන්න.
විසඳුමක්.අපි අපේක්ෂිත සරල රේඛාවේ සමීකරණයක් ආකාරයෙන් සොයමු: Ax + By + C = 0. නිර්වචනයට අනුකූලව, සංගුණක කොන්දේසි සපුරාලිය යුතුය:
1 * A + (-1) * B = 0, i.e. A = B.
එවිට සරල රේඛාවක සමීකරණයේ ස්වරූපය ඇත: Ax + Ay + C = 0, හෝ x + y + C / A = 0. x = 1, y = 2 සඳහා අපි C / A = -3, i.e. අපේක්ෂිත සමීකරණය:
කොටස්වල සරල රේඛාවක සමීකරණය
Ah + Wu + C = 0 C≠0 සරල රේඛාවේ සාමාන්ය සමීකරණයේ නම්, –C මගින් බෙදීම, අපට ලැබෙන්නේ: 
හෝ
සංගුණකවල ජ්යාමිතික අර්ථය සංගුණකය යන්නයි ඒ x-අක්ෂය සමඟ රේඛාවේ ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්යයේ ඛණ්ඩාංකය වේ, සහ බී- Oy අක්ෂය සමඟ සරල රේඛාවේ ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්යයේ ඛණ්ඩාංකය.
උදාහරණයක්. x - y + 1 = 0 රේඛාවේ සාමාන්ය සමීකරණය ලබා දී ඇත. මෙම රේඛාවේ සමීකරණය කොටස් වලින් සොයා ගන්න.
C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.
සරල රේඛාවක සාමාන්ය සමීකරණය
Ax + Vy + C = 0 සමීකරණයේ දෙපැත්තම අංකයෙන් ගුණ කළහොත් 
, ලෙස හැඳින්වේ සාමාන්යකරණ සාධකය, එතකොට අපිට ලැබෙනවා
xcosφ + ysinφ - p = 0 –
සරල රේඛාවක සාමාන්ය සමීකරණය. සාමාන්යකරණ සාධකයේ ± ලකුණ තෝරාගත යුතු අතර එමඟින් μ * С< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.
උදාහරණයක්. සරල රේඛාවේ සාමාන්ය සමීකරණය අනුව 12x - 5y - 65 \u003d 0. එය ලිවීමට අවශ්ය වේ විවිධ වර්ගමෙම රේඛාවේ සමීකරණ.
කොටස් වශයෙන් මෙම සරල රේඛාවේ සමීකරණය: 
බෑවුම සමඟ මෙම රේඛාවේ සමීකරණය: (5 න් බෙදන්න)
; cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.
සෑම සරල රේඛාවක්ම කොටස්වල සමීකරණයකින් නිරූපණය කළ නොහැකි බව සැලකිල්ලට ගත යුතුය, උදාහරණයක් ලෙස, අක්ෂවලට සමාන්තරව හෝ මූලාරම්භය හරහා ගමන් කරන සරල රේඛා.
උදාහරණයක්. සරල රේඛාව ඛණ්ඩාංක අක්ෂයන්හි සමාන ධනාත්මක කොටස් කපා දමයි. මෙම කොටස් මගින් සාදන ලද ත්‍රිකෝණයේ වර්ගඵලය 8 cm 2 නම් සරල රේඛාවක සමීකරණය ලියන්න.
විසඳුමක්.සරල රේඛා සමීකරණයට පෝරමය ඇත: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.
උදාහරණයක්. A ලක්ෂ්යය (-2, -3) සහ මූලාරම්භය හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවක සමීකරණය ලියන්න.
විසඳුමක්.
සරල රේඛාවක සමීකරණයට ආකෘතියක් ඇත: 
, x 1 \u003d y 1 \u003d 0; x 2 \u003d -2; y 2 \u003d -3.
ගුවන් යානයක රේඛා අතර කෝණය
අර්ථ දැක්වීම.රේඛා දෙකක් y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 ලබා දෙන්නේ නම්, මෙම රේඛා අතර තියුණු කෝණය ලෙස අර්ථ දැක්වේ.
.
k 1 = k 2 නම් පේළි දෙකක් සමාන්තර වේ. k 1 = -1/ k 2 නම් රේඛා දෙකක් ලම්බක වේ.
ප්රමේයය. A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB යන සංගුණක සමානුපාතික වන විට Ax + Vy + C \u003d 0 සහ A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 සරල රේඛා සමාන්තර වේ. С 1 = λС ද නම්, රේඛා සමපාත වේ. රේඛා දෙකක ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්යයේ ඛණ්ඩාංක මෙම රේඛාවල සමීකරණ පද්ධතියට විසඳුමක් ලෙස සොයා ගැනේ.
දී ඇති රේඛාවකට ලම්බකව දී ඇති ලක්ෂ්යයක් හරහා ගමන් කරන රේඛාවක සමීකරණය
අර්ථ දැක්වීම. M 1 (x 1, y 1) ලක්ෂ්යය හරහා ගමන් කරන රේඛාව සහ y \u003d kx + b රේඛාවට ලම්බකව සමීකරණය මගින් නිරූපණය කෙරේ:
ලක්ෂ්‍යයෙන් රේඛාවට දුර
ප්රමේයය. M(x 0, y 0) ලක්ෂ්යයක් ලබා දෙන්නේ නම්, Ax + Vy + C \u003d 0 රේඛාවට ඇති දුර මෙසේ අර්ථ දැක්වේ.
.
සාක්ෂි. M ලක්ෂ්යය M 1 (x 1, y 1) ලක්ෂ්යය M ලක්ෂ්යයේ සිට ලබා දී ඇති රේඛාවට පහත හෙලන ලද ලම්බකයේ පාදය වේවා. එවිට ලකුණු M සහ M 1 අතර දුර:
(1)
සමීකරණ පද්ධතියට විසඳුමක් ලෙස x 1 සහ y 1 ඛණ්ඩාංක සොයාගත හැකිය:
පද්ධතියේ දෙවන සමීකරණය වන්නේ ලබා දී ඇති සරල රේඛාවකට ලම්බකව M 0 ලක්ෂ්යයක් හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවක සමීකරණයයි. අපි පද්ධතියේ පළමු සමීකරණය ආකෘතියට පරිවර්තනය කරන්නේ නම්:
A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
එවිට, විසඳා, අපට ලැබෙන්නේ:
මෙම ප්‍රකාශන (1) සමීකරණයට ආදේශ කිරීමෙන් අපට හමු වන්නේ:
ප්රමේයය ඔප්පු කර ඇත.
උදාහරණයක්. රේඛා අතර කෝණය තීරණය කරන්න: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.
k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = 
; φ= π /4.
උදාහරණයක්. 3x - 5y + 7 = 0 සහ 10x + 6y - 3 = 0 රේඛා ලම්බක බව පෙන්වන්න.
විසඳුමක්. අපට හමු වන්නේ: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, එබැවින් රේඛා ලම්බක වේ.
උදාහරණයක්. A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) ත්‍රිකෝණයේ සිරස් ලබා දී ඇත. C ශීර්ෂයෙන් අඳින ලද උස සඳහා සමීකරණය සොයන්න.
විසඳුමක්. අපි AB පැත්තේ සමීකරණය සොයා ගනිමු: 
; 4 x = 6 y - 6;
2x - 3y + 3 = 0;
අපේක්ෂිත උස සමීකරණය වන්නේ: Ax + By + C = 0 හෝ y = kx + b. k = . එවිට y = . නිසා උස C ලක්ෂ්යය හරහා ගමන් කරයි, එවිට එහි ඛණ්ඩාංක මෙම සමීකරණය තෘප්තිමත් කරයි: 
කොහෙන්ද b = 17. එකතුව: . 
පිළිතුර: 3x + 2y - 34 = 0.
යුක්ලීඩීය ජ්‍යාමිතියේ සරල රේඛාවක ගුණ.
ඕනෑම ලක්ෂයක් හරහා ඇද ගත හැකි රේඛා අනන්තවත් ඇත.
ඕනෑම සමපාත නොවන ලක්ෂ්‍ය දෙකක් හරහා ඇත්තේ එක් සරල රේඛාවක් පමණි.
තලයේ අහඹු නොවන රේඛා දෙකක් එක් ලක්ෂයක ඡේදනය වේ, නැතහොත් වේ
සමාන්තර (පෙර සිට අනුගමනය කරයි).
ත්රිමාණ අවකාශයේ විකල්ප තුනක් ඇත. සාපේක්ෂ පිහිටීමසරල රේඛා දෙකක්:
- රේඛා ඡේදනය;
- සරල රේඛා සමාන්තර වේ;
- සරල රේඛා ඡේදනය වේ.
කෙලින්ම රේඛාව- පළමු අනුපිළිවෙලෙහි වීජීය වක්‍රය: කාටිසියානු ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ, සරල රේඛාවක්
පළමු උපාධිය (රේඛීය සමීකරණය) සමීකරණයක් මගින් තලය මත ලබා දී ඇත.
සරල රේඛාවක පොදු සමීකරණය.
අර්ථ දැක්වීම. තලයේ ඕනෑම රේඛාවක් පළමු අනුපිළිවෙල සමීකරණයකින් ලබා දිය හැකිය
Ah + Wu + C = 0,
සහ නියත ඒ, බීඑකවර බිංදුවට සමාන නොවේ. මෙම පළමු අනුපිළිවෙල සමීකරණය ලෙස හැඳින්වේ ජනරාල්
සරල රේඛා සමීකරණය.නියත අගයන් මත රඳා පවතී ඒ, බීහා සිටපහත සඳහන් විශේෂ අවස්ථා හැකි ය:
. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- රේඛාව සම්භවය හරහා ගමන් කරයි
. A = 0, B ≠0, C ≠0 (B by + C = 0)- අක්ෂයට සමාන්තරව සරල රේඛාව ඔහ්
. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0)- අක්ෂයට සමාන්තරව සරල රේඛාව OU
. B = C = 0, A ≠ 0- රේඛාව අක්ෂය සමඟ සමපාත වේ OU
. A = C = 0, B ≠ 0- රේඛාව අක්ෂය සමඟ සමපාත වේ ඔහ්
සරල රේඛාවක සමීකරණය ඕනෑම දෙයක් මත පදනම්ව විවිධ ආකාරවලින් නිරූපණය කළ හැකිය
ආරම්භක කොන්දේසි.
ලක්ෂ්‍යයකින් සහ සාමාන්ය දෛශිකයකින් සරල රේඛාවක් සමීකරණය.
අර්ථ දැක්වීම. කාටිසියානු සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක, සංරචක සහිත දෛශිකයක් (A, B)
සමීකරණයෙන් ලබා දී ඇති රේඛාවට ලම්බකව
Ah + Wu + C = 0.
උදාහරණයක්. ලක්ෂ්යයක් හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවක සමීකරණය සොයන්න A(1, 2)දෛශිකයට ලම්බකව (3, -1).
විසඳුමක්. සරල රේඛාවේ සමීකරණය A \u003d 3 සහ B \u003d -1 හිදී රචනා කරමු: 3x - y + C \u003d 0. සංගුණකය C සොයා ගැනීමට
අපි ලබා දී ඇති ලක්ෂ්යයේ A හි ඛණ්ඩාංක ප්රතිඵල ප්‍රකාශනයට ආදේශ කරමු, අපට ලැබෙන්නේ: 3 - 2 + C = 0, එබැවින්
C = -1. එකතුව: අපේක්ෂිත සමීකරණය: 3x - y - 1 \u003d 0.
ලකුණු දෙකක් හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවක සමීකරණය.
අවකාශයේ ලකුණු දෙකක් ලබා දෙන්න M 1 (x 1, y 1, z 1)හා M2 (x 2, y 2, z 2),එවිට සරල රේඛා සමීකරණය,
මෙම කරුණු හරහා ගමන් කිරීම:
කිසියම් හරයක් ශුන්‍යයට සමාන නම්, අනුරූප සංඛ්‍යාව බිංදුවට සමාන කළ යුතුය. මත
තලය, ඉහත ලියා ඇති සරල රේඛාවක සමීකරණය සරල කර ඇත:
නම් x 1 ≠ x 2හා x = x 1, නම් x 1 = x 2 .
භාගය = කිකියලා බෑවුම් සාධකය කෙලින්ම.
උදාහරණයක්. A(1, 2) සහ B(3, 4) ලක්ෂ්‍ය හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවක සමීකරණය සොයන්න.
විසඳුමක්. ඉහත සූත්‍රය යෙදීමෙන් අපට ලැබෙන්නේ:
ලක්ෂ්යයක් සහ බෑවුමකින් සරල රේඛාවක සමීකරණය.
සරල රේඛාවක පොදු සමීකරණය නම් Ah + Wu + C = 0පෝරමය වෙත ගෙන එන්න:
සහ නම් කරන්න 
, එවිට ලැබෙන සමීකරණය ලෙස හැඳින්වේ
බෑවුම k සමග සරල රේඛාවක සමීකරණය.
ලක්ෂ්යයක් සහ දිශානති දෛශිකයක් මත සරල රේඛාවක සමීකරණය.
සාමාන්ය දෛශිකය හරහා සරල රේඛාවක සමීකරණය සලකා බලන ලක්ෂ්යය සමඟ ප්‍රතිසමයෙන්, ඔබට කාර්යයට ඇතුළු විය හැකිය.
ලක්ෂ්යයක් හරහා සරල රේඛාවක් සහ සරල රේඛාවක දිශා දෛශිකයක්.
අර්ථ දැක්වීම. ශුන්‍ය නොවන සෑම දෛශිකයක්ම (α 1, α 2), එහි සංරචක තත්ත්වය තෘප්තිමත් කරයි
Aα 1 + Bα 2 = 0කියලා සරල රේඛාවේ දිශා දෛශිකය.
Ah + Wu + C = 0.
උදාහරණයක්. දිශා දෛශිකය (1, -1) සහ A(1, 2) ලක්ෂ්යය හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවක සමීකරණය සොයන්න.
විසඳුමක්. අපි පෝරමයේ අපේක්ෂිත සරල රේඛාවේ සමීකරණය සොයන්නෙමු: Ax + By + C = 0.අර්ථ දැක්වීමට අනුව,
සංගුණක කොන්දේසි සපුරාලිය යුතුය:
1 * A + (-1) * B = 0, i.e. A = B.
එවිට සරල රේඛාවක සමීකරණයේ ස්වරූපය ඇත: Ax + Ay + C = 0,හෝ x + y + C / A = 0.
හිදී x=1, y=2අපට ලැබෙනවා C/ A = -3, i.e. අපේක්ෂිත සමීකරණය:
x + y - 3 = 0
කොටස්වල සරල රේඛාවක සමීකරණය.
Ah + Wu + C = 0 C≠0 සරල රේඛාවේ සාමාන්ය සමීකරණයේ නම්, -C න් බෙදීමේදී, අපට ලැබෙන්නේ:
හෝ , කොහෙද
සංගුණකවල ජ්යාමිතික අර්ථය නම් සංගුණකය a යනු ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්යයේ ඛණ්ඩාංකයයි.
අක්ෂය සමඟ කෙළින්ම ඔහ්,ඒ බී- අක්ෂය සමඟ රේඛාවේ ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්යයේ ඛණ්ඩාංකය OU
උදාහරණයක්. සරල රේඛාවක පොදු සමීකරණය ලබා දී ඇත x - y + 1 = 0.මෙම සරල රේඛාවේ සමීකරණය කොටස් වලින් සොයන්න.
C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.
සාමාන්ය සමීකරණයකෙලින්ම.
සමීකරණයේ දෙපැත්ත නම් Ah + Wu + C = 0අංකයෙන් බෙදන්න 
, යනුවෙන් හඳුන්වනු ලැබේ
සාමාන්යකරණ සාධකය, එතකොට අපිට ලැබෙනවා
xcosφ + ysinφ - p = 0 -සරල රේඛාවක සාමාන්ය සමීකරණය.
සාමාන්යකරණ සාධකයේ ± ලකුණ තෝරාගත යුතුය μ * සී< 0.
ආර්- මූලාරම්භයේ සිට රේඛාව දක්වා පහත වැටී ඇති ලම්බක දිග,
ඒ φ - අක්ෂයේ ධනාත්මක දිශාව සමඟ මෙම ලම්බකව පිහිටුවා ඇති කෝණය ඔහ්.
උදාහරණයක්. සරල රේඛාවක පොදු සමීකරණය ලබා දී ඇත 12x - 5y - 65 = 0. විවිධ ආකාරයේ සමීකරණ ලිවීමට අවශ්ය වේ
මෙම සරල රේඛාව.
ඛණ්ඩවල මෙම සරල රේඛාවේ සමීකරණය:
බෑවුම සහිත මෙම රේඛාවේ සමීකරණය: (5 න් බෙදන්න)
සරල රේඛාවක සමීකරණය:
cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.
සෑම සරල රේඛාවක්ම කොටස්වල සමීකරණයකින් නිරූපණය කළ නොහැකි බව සැලකිල්ලට ගත යුතුය, උදාහරණයක් ලෙස සරල රේඛා,
අක්ෂවලට සමාන්තරව හෝ සම්භවය හරහා ගමන් කරයි.
ගුවන් යානයක රේඛා අතර කෝණය.
අර්ථ දැක්වීම. පේලි දෙකක් දුන්නොත් y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, එවිට මෙම රේඛා අතර තියුණු කෝණය
ලෙස අර්ථ දක්වනු ඇත
රේඛා දෙකක් නම් සමාන්තර වේ k 1 = k 2. රේඛා දෙකක් ලම්බක වේ
නම් k 1 \u003d -1 / k 2 .
ප්රමේයය.
සෘජු Ah + Wu + C = 0හා A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0සංගුණක සමානුපාතික වන විට සමාන්තර වේ
A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. එසේම නම් С 1 \u003d λС, එවිට රේඛා සමපාත වේ. පේළි දෙකක ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්යයේ ඛණ්ඩාංක
මෙම රේඛාවල සමීකරණ පද්ධතියට විසඳුමක් ලෙස සොයාගෙන ඇත.
දී ඇති ලක්ෂ්යයක් හරහා ගමන් කරන රේඛාවක සමීකරණය දී ඇති රේඛාවකට ලම්බක වේ.
අර්ථ දැක්වීම. ලක්ෂ්යයක් හරහා ගමන් කරන රේඛාවක් M 1 (x 1, y 1)සහ රේඛාවට ලම්බකව y = kx + b
සමීකරණය මගින් නිරූපණය කෙරේ:
ලක්ෂ්‍යයක සිට රේඛාවකට ඇති දුර.
ප්රමේයය. පොයින්ට් එකක් දුන්නොත් M(x 0, y 0),එවිට රේඛාවට ඇති දුර Ah + Wu + C = 0ලෙස අර්ථ දක්වා ඇත:
සාක්ෂි. කාරණයට ඉඩ දෙන්න M 1 (x 1, y 1)- ලම්බක පාදය ලක්ෂ්‍යයෙන් පහත වැටී ඇත එම්දී ඇති එකක් සඳහා
සෘජු. එවිට ලකුණු අතර දුර එම්හා එම් 1:
(1)
ඛණ්ඩාංක x 1හා 1සමීකරණ පද්ධතියට විසඳුමක් ලෙස සොයාගත හැකිය:
පද්ධතියේ දෙවන සමීකරණය වන්නේ ලබා දී ඇති ලක්ෂ්යයක් හරහා M 0 ලම්බකව ගමන් කරන සරල රේඛාවක සමීකරණයයි.
ලබා දී ඇති රේඛාව. අපි පද්ධතියේ පළමු සමීකරණය ආකෘතියට පරිවර්තනය කරන්නේ නම්:
A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
එවිට, විසඳා, අපට ලැබෙන්නේ:
මෙම ප්‍රකාශන (1) සමීකරණයට ආදේශ කිරීමෙන් අපට හමු වන්නේ:
ප්රමේයය ඔප්පු කර ඇත.
යුක්ලීඩීය ජ්‍යාමිතියේ සරල රේඛාවක ගුණ.
ඕනෑම ලක්ෂයක් හරහා ඇද ගත හැකි රේඛා අනන්තවත් ඇත.
ඕනෑම සමපාත නොවන ලක්ෂ්‍ය දෙකක් හරහා ඇත්තේ එක් සරල රේඛාවක් පමණි.
තලයේ අහඹු නොවන රේඛා දෙකක් එක් ලක්ෂයක ඡේදනය වේ, නැතහොත් වේ
සමාන්තර (පෙර සිට අනුගමනය කරයි).
ත්රිමාණ අවකාශය තුළ, පේළි දෙකක සාපේක්ෂ පිහිටීම සඳහා විකල්ප තුනක් තිබේ:
- රේඛා ඡේදනය;
- සරල රේඛා සමාන්තර වේ;
- සරල රේඛා ඡේදනය වේ.
කෙලින්ම රේඛාව- පළමු අනුපිළිවෙලෙහි වීජීය වක්‍රය: කාටිසියානු ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ, සරල රේඛාවක්
පළමු උපාධිය (රේඛීය සමීකරණය) සමීකරණයක් මගින් තලය මත ලබා දී ඇත.
සරල රේඛාවක පොදු සමීකරණය.
අර්ථ දැක්වීම. තලයේ ඕනෑම රේඛාවක් පළමු අනුපිළිවෙල සමීකරණයකින් ලබා දිය හැකිය
Ah + Wu + C = 0,
සහ නියත ඒ, බීඑකවර බිංදුවට සමාන නොවේ. මෙම පළමු අනුපිළිවෙල සමීකරණය ලෙස හැඳින්වේ ජනරාල්
සරල රේඛා සමීකරණය.නියත අගයන් මත රඳා පවතී ඒ, බීහා සිටපහත සඳහන් විශේෂ අවස්ථා හැකි ය:
. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- රේඛාව සම්භවය හරහා ගමන් කරයි
. A = 0, B ≠0, C ≠0 (B by + C = 0)- අක්ෂයට සමාන්තරව සරල රේඛාව ඔහ්
. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0)- අක්ෂයට සමාන්තරව සරල රේඛාව OU
. B = C = 0, A ≠ 0- රේඛාව අක්ෂය සමඟ සමපාත වේ OU
. A = C = 0, B ≠ 0- රේඛාව අක්ෂය සමඟ සමපාත වේ ඔහ්
සරල රේඛාවක සමීකරණය ඕනෑම දෙයක් මත පදනම්ව විවිධ ආකාරවලින් නිරූපණය කළ හැකිය
ආරම්භක කොන්දේසි.
ලක්ෂ්‍යයකින් සහ සාමාන්ය දෛශිකයකින් සරල රේඛාවක් සමීකරණය.
අර්ථ දැක්වීම. කාටිසියානු සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක, සංරචක සහිත දෛශිකයක් (A, B)
සමීකරණයෙන් ලබා දී ඇති රේඛාවට ලම්බකව
Ah + Wu + C = 0.
උදාහරණයක්. ලක්ෂ්යයක් හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවක සමීකරණය සොයන්න A(1, 2)දෛශිකයට ලම්බකව (3, -1).
විසඳුමක්. සරල රේඛාවේ සමීකරණය A \u003d 3 සහ B \u003d -1 හිදී රචනා කරමු: 3x - y + C \u003d 0. සංගුණකය C සොයා ගැනීමට
අපි ලබා දී ඇති ලක්ෂ්යයේ A හි ඛණ්ඩාංක ප්රතිඵල ප්‍රකාශනයට ආදේශ කරමු, අපට ලැබෙන්නේ: 3 - 2 + C = 0, එබැවින්
C = -1. එකතුව: අපේක්ෂිත සමීකරණය: 3x - y - 1 \u003d 0.
ලකුණු දෙකක් හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවක සමීකරණය.
අවකාශයේ ලකුණු දෙකක් ලබා දෙන්න M 1 (x 1, y 1, z 1)හා M2 (x 2, y 2, z 2),එවිට සරල රේඛා සමීකරණය,
මෙම කරුණු හරහා ගමන් කිරීම:
කිසියම් හරයක් ශුන්‍යයට සමාන නම්, අනුරූප සංඛ්‍යාව බිංදුවට සමාන කළ යුතුය. මත
තලය, ඉහත ලියා ඇති සරල රේඛාවක සමීකරණය සරල කර ඇත:
නම් x 1 ≠ x 2හා x = x 1, නම් x 1 = x 2 .
භාගය = කිකියලා බෑවුම් සාධකය කෙලින්ම.
උදාහරණයක්. A(1, 2) සහ B(3, 4) ලක්ෂ්‍ය හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවක සමීකරණය සොයන්න.
විසඳුමක්. ඉහත සූත්‍රය යෙදීමෙන් අපට ලැබෙන්නේ:
ලක්ෂ්යයක් සහ බෑවුමකින් සරල රේඛාවක සමීකරණය.
සරල රේඛාවක පොදු සමීකරණය නම් Ah + Wu + C = 0පෝරමය වෙත ගෙන එන්න:
සහ නම් කරන්න , එවිට ලැබෙන සමීකරණය ලෙස හැඳින්වේ
බෑවුම k සමග සරල රේඛාවක සමීකරණය.
ලක්ෂ්යයක් සහ දිශානති දෛශිකයක් මත සරල රේඛාවක සමීකරණය.
සාමාන්ය දෛශිකය හරහා සරල රේඛාවක සමීකරණය සලකා බලන ලක්ෂ්යය සමඟ ප්‍රතිසමයෙන්, ඔබට කාර්යයට ඇතුළු විය හැකිය.
ලක්ෂ්යයක් හරහා සරල රේඛාවක් සහ සරල රේඛාවක දිශා දෛශිකයක්.
අර්ථ දැක්වීම. ශුන්‍ය නොවන සෑම දෛශිකයක්ම (α 1, α 2), එහි සංරචක තත්ත්වය තෘප්තිමත් කරයි
Aα 1 + Bα 2 = 0කියලා සරල රේඛාවේ දිශා දෛශිකය.
Ah + Wu + C = 0.
උදාහරණයක්. දිශා දෛශිකය (1, -1) සහ A(1, 2) ලක්ෂ්යය හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවක සමීකරණය සොයන්න.
විසඳුමක්. අපි පෝරමයේ අපේක්ෂිත සරල රේඛාවේ සමීකරණය සොයන්නෙමු: Ax + By + C = 0.අර්ථ දැක්වීමට අනුව,
සංගුණක කොන්දේසි සපුරාලිය යුතුය:
1 * A + (-1) * B = 0, i.e. A = B.
එවිට සරල රේඛාවක සමීකරණයේ ස්වරූපය ඇත: Ax + Ay + C = 0,හෝ x + y + C / A = 0.
හිදී x=1, y=2අපට ලැබෙනවා C/ A = -3, i.e. අපේක්ෂිත සමීකරණය:
x + y - 3 = 0
කොටස්වල සරල රේඛාවක සමීකරණය.
Ah + Wu + C = 0 C≠0 සරල රේඛාවේ සාමාන්ය සමීකරණයේ නම්, -C න් බෙදීමේදී, අපට ලැබෙන්නේ:
හෝ , කොහෙද
සංගුණකවල ජ්යාමිතික අර්ථය නම් සංගුණකය a යනු ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්යයේ ඛණ්ඩාංකයයි.
අක්ෂය සමඟ කෙළින්ම ඔහ්,ඒ බී- අක්ෂය සමඟ රේඛාවේ ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්යයේ ඛණ්ඩාංකය OU
උදාහරණයක්. සරල රේඛාවක පොදු සමීකරණය ලබා දී ඇත x - y + 1 = 0.මෙම සරල රේඛාවේ සමීකරණය කොටස් වලින් සොයන්න.
C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.
සරල රේඛාවක සාමාන්ය සමීකරණය.
සමීකරණයේ දෙපැත්ත නම් Ah + Wu + C = 0අංකයෙන් බෙදන්න , යනුවෙන් හඳුන්වනු ලැබේ
සාමාන්යකරණ සාධකය, එතකොට අපිට ලැබෙනවා
xcosφ + ysinφ - p = 0 -සරල රේඛාවක සාමාන්ය සමීකරණය.
සාමාන්යකරණ සාධකයේ ± ලකුණ තෝරාගත යුතුය μ * සී< 0.
ආර්- මූලාරම්භයේ සිට රේඛාව දක්වා පහත වැටී ඇති ලම්බක දිග,
ඒ φ - අක්ෂයේ ධනාත්මක දිශාව සමඟ මෙම ලම්බකව පිහිටුවා ඇති කෝණය ඔහ්.
උදාහරණයක්. සරල රේඛාවක පොදු සමීකරණය ලබා දී ඇත 12x - 5y - 65 = 0. විවිධ ආකාරයේ සමීකරණ ලිවීමට අවශ්ය වේ
මෙම සරල රේඛාව.
ඛණ්ඩවල මෙම සරල රේඛාවේ සමීකරණය:
බෑවුම සහිත මෙම රේඛාවේ සමීකරණය: (5 න් බෙදන්න)
සරල රේඛාවක සමීකරණය:
cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.
සෑම සරල රේඛාවක්ම කොටස්වල සමීකරණයකින් නිරූපණය කළ නොහැකි බව සැලකිල්ලට ගත යුතුය, උදාහරණයක් ලෙස සරල රේඛා,
අක්ෂවලට සමාන්තරව හෝ සම්භවය හරහා ගමන් කරයි.
ගුවන් යානයක රේඛා අතර කෝණය.
අර්ථ දැක්වීම. පේලි දෙකක් දුන්නොත් y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, එවිට මෙම රේඛා අතර තියුණු කෝණය
ලෙස අර්ථ දක්වනු ඇත
රේඛා දෙකක් නම් සමාන්තර වේ k 1 = k 2. රේඛා දෙකක් ලම්බක වේ
නම් k 1 \u003d -1 / k 2 .
ප්රමේයය.
සෘජු Ah + Wu + C = 0හා A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0සංගුණක සමානුපාතික වන විට සමාන්තර වේ
A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. එසේම නම් С 1 \u003d λС, එවිට රේඛා සමපාත වේ. පේළි දෙකක ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්යයේ ඛණ්ඩාංක
මෙම රේඛාවල සමීකරණ පද්ධතියට විසඳුමක් ලෙස සොයාගෙන ඇත.
දී ඇති ලක්ෂ්යයක් හරහා ගමන් කරන රේඛාවක සමීකරණය දී ඇති රේඛාවකට ලම්බක වේ.
අර්ථ දැක්වීම. ලක්ෂ්යයක් හරහා ගමන් කරන රේඛාවක් M 1 (x 1, y 1)සහ රේඛාවට ලම්බකව y = kx + b
සමීකරණය මගින් නිරූපණය කෙරේ:
ලක්ෂ්‍යයක සිට රේඛාවකට ඇති දුර.
ප්රමේයය. පොයින්ට් එකක් දුන්නොත් M(x 0, y 0),එවිට රේඛාවට ඇති දුර Ah + Wu + C = 0ලෙස අර්ථ දක්වා ඇත:
සාක්ෂි. කාරණයට ඉඩ දෙන්න M 1 (x 1, y 1)- ලම්බක පාදය ලක්ෂ්‍යයෙන් පහත වැටී ඇත එම්දී ඇති එකක් සඳහා
සෘජු. එවිට ලකුණු අතර දුර එම්හා එම් 1:
(1)
ඛණ්ඩාංක x 1හා 1සමීකරණ පද්ධතියට විසඳුමක් ලෙස සොයාගත හැකිය:
පද්ධතියේ දෙවන සමීකරණය වන්නේ ලබා දී ඇති ලක්ෂ්යයක් හරහා M 0 ලම්බකව ගමන් කරන සරල රේඛාවක සමීකරණයයි.
ලබා දී ඇති රේඛාව. අපි පද්ධතියේ පළමු සමීකරණය ආකෘතියට පරිවර්තනය කරන්නේ නම්:
A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
එවිට, විසඳා, අපට ලැබෙන්නේ:
මෙම ප්‍රකාශන (1) සමීකරණයට ආදේශ කිරීමෙන් අපට හමු වන්නේ:
ප්රමේයය ඔප්පු කර ඇත.
මෙම ලිපිය තලයක සරල රේඛාවක සමීකරණයේ මාතෘකාව දිගටම කරගෙන යයි: සරල රේඛාවක සාමාන්ය සමීකරණය ලෙස එවැනි සමීකරණයක් සලකා බලන්න. අපි ප්‍රමේයයක් නිර්වචනය කර එහි සාධනය දෙමු; සරල රේඛාවක අසම්පූර්ණ සාමාන්ය සමීකරණයක් යනු කුමක්ද සහ සාමාන්ය සමීකරණයක සිට සරල රේඛාවක වෙනත් ආකාරයේ සමීකරණ වෙත සංක්රමණය කරන්නේ කෙසේද යන්න සොයා බලමු. අපි නිදර්ශන සහ ප්‍රායෝගික ගැටළු විසඳීම සමඟ සම්පූර්ණ න්‍යාය ඒකාබද්ධ කරන්නෙමු.
Yandex.RTB R-A-339285-1
තලය මත සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක් O x y ලබා දෙන්න.
ප්රමේයය 1
A x + B y + C \u003d 0 ආකෘතිය සහිත පළමු උපාධියේ ඕනෑම සමීකරණයක්, A, B, C යනු තාත්වික සංඛ්‍යා කිහිපයක් (A සහ B එකවර ශුන්‍යයට සමාන නොවේ) සරල රේඛාවක් අර්ථ දක්වයි. ගුවන් යානයක සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක්. අනෙක් අතට, තලයේ සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ ඕනෑම රේඛාවක් A, B, C යන නිශ්චිත අගයන් සඳහා A x + B y + C = 0 ආකෘතියක් ඇති සමීකරණයකින් තීරණය වේ.
සාක්ෂි
මෙම ප්රමේයය කරුණු දෙකකින් සමන්විත වේ, අපි ඒ සෑම එකක්ම ඔප්පු කරන්නෙමු.
- A x + B y + C = 0 සමීකරණය මගින් තලයේ රේඛාවක් අර්ථ දක්වන බව අපි ඔප්පු කරමු.
ඛණ්ඩාංක A x + B y + C = 0 සමීකරණයට අනුරූප වන M 0 (x 0 , y 0) යම් ලක්ෂ්යයක් වේවා. මෙලෙස: A x 0 + B y 0 + C = 0 . A x + B y + C \u003d 0 සමීකරණවල වම් සහ දකුණු පැතිවලින් A x 0 + B y 0 + C \u003d 0 සමීකරණයේ වම් සහ දකුණු පැති අඩු කරන්න, අපට A මෙන් පෙනෙන නව සමීකරණයක් ලැබේ. (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . එය A x + B y + C = 0 ට සමාන වේ.
ප්රතිඵලයක් ලෙස A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 සමීකරණය අවශ්ය වේ සහ ප්රමාණවත් තත්ත්වයදෛශිකවල ලම්බකතාව n → = (A , B) සහ M 0 M → = (x - x 0 , y - y 0) . මේ අනුව, M (x, y) ලක්ෂ්‍ය කට්ටලය සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක n → = (A, B) දෛශිකයේ දිශාවට ලම්බකව සරල රේඛාවක් අර්ථ දක්වයි. මෙය එසේ නොවන බව අපට උපකල්පනය කළ හැක, නමුත් එවිට දෛශික n → = (A, B) සහ M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) ලම්බක නොවන අතර සමානාත්මතාවය A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 සත්‍ය නොවේ.
එබැවින්, A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 සමීකරණය තලයේ සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක යම් රේඛාවක් අර්ථ දක්වයි, එබැවින් A x + B y + C \u003d 0 සමාන සමීකරණය අර්ථ දක්වයි. එකම රේඛාව. මේ අනුව අපි ප්රමේයයේ පළමු කොටස ඔප්පු කර ඇත.
- තලයක සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක ඕනෑම සරල රේඛාවක් A x + B y + C = 0 යන පළමු අංශකයේ සමීකරණයකින් ලබා දිය හැකි බව අපි ඔප්පු කරමු.
ගුවන් යානයේ සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක සරල රේඛාවක් සකස් කරමු; ලක්ෂ්යය M 0 (x 0 , y 0) මෙම රේඛාව හරහා ගමන් කරයි, මෙන්ම මෙම රේඛාවේ සාමාන්ය දෛශිකය n → = (A , B) .
M (x , y) - රේඛාවේ පාවෙන ලක්ෂ්යයක් ද පවතීවා. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, දෛශික n → = (A, B) සහ M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) එකිනෙකට ලම්බක වන අතර, ඒවායේ පරිමාණ නිෂ්පාදනයශුන්‍ය වේ:
n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0
අපි A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 සමීකරණය නැවත ලියන්න, C: C = - A x 0 - B y 0 නිර්වචනය කර අවසානයේ A x + B y + C = 0 සමීකරණය ලබා ගනිමු.
ඉතින්, අපි ප්රමේයයේ දෙවන කොටස ඔප්පු කර ඇති අතර, අපි සමස්ත ප්රමේයය සමස්තයක් ලෙස ඔප්පු කර ඇත.
අර්ථ දැක්වීම 1
වගේ පෙනෙන සමීකරණයක් A x + B y + C = 0 - මෙය සරල රේඛාවක පොදු සමීකරණයසෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක ගුවන් යානයකO x y.
ඔප්පු කරන ලද ප්රමේයය මත පදනම්ව, ස්ථාවර සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක තලයක ලබා දී ඇති සරල රේඛාවක් සහ එහි සාමාන්ය සමීකරණය වෙන් කළ නොහැකි ලෙස සම්බන්ධ වී ඇති බව අපට නිගමනය කළ හැකිය. වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, මුල් රේඛාව එහි සාමාන්ය සමීකරණයට අනුරූප වේ; සරල රේඛාවක සාමාන්ය සමීකරණය දී ඇති සරල රේඛාවකට අනුරූප වේ.
x සහ y විචල්‍යයන් සඳහා A සහ B යන සංගුණක සරල රේඛාවේ සාමාන්ය දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක වන අතර එය A x + B y + සරල රේඛාවේ සාමාන්ය සමීකරණය මගින් ලබා දී ඇති බව ප්රමේයයේ සාක්ෂියෙන් ද එය පහත දැක්වේ. C = 0 .
සලකා බලන්න නිශ්චිත උදාහරණයක්සරල රේඛාවක පොදු සමීකරණය.
දී ඇති සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක සරල රේඛාවකට අනුරූප වන 2 x + 3 y - 2 = 0 සමීකරණය ලබා දෙන්න. මෙම රේඛාවේ සාමාන්ය දෛශිකය වන්නේ දෛශිකයයි n → = (2 , 3) . චිත්රයේ දී ඇති සරල රේඛාවක් අඳින්න.
පහත කරුණු ද තර්ක කළ හැකිය: දී ඇති සරල රේඛාවක සියලුම ලක්ෂ්‍යවල ඛණ්ඩාංක මෙම සමීකරණයට අනුරූප වන බැවින් චිත්රයේ අප දකින සරල රේඛාව 2 x + 3 y - 2 = 0 යන සාමාන්ය සමීකරණය මගින් තීරණය වේ.
සාමාන්ය සරල රේඛා සමීකරණයේ දෙපැත්තම ශුන්‍ය නොවන සංඛ්‍යාවකින් λ ගුණ කිරීමෙන් අපට λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 සමීකරණය ලබා ගත හැක. ප්රතිඵලය වන සමීකරණය මුල් සාමාන්ය සමීකරණයට සමාන වේ, එබැවින් එය තලයේ එකම රේඛාව විස්තර කරයි.
අර්ථ දැක්වීම 2සරල රේඛාවක සම්පූර්ණ පොදු සමීකරණය- A x + B y + C \u003d 0 රේඛාවේ එවැනි සාමාන්ය සමීකරණයක්, A, B, C සංඛ්‍යා ශුන්‍ය නොවන. එසේ නොමැති නම්, සමීකරණය වේ අසම්පූර්ණයි.
සරල රේඛාවේ අසම්පූර්ණ පොදු සමීකරණයේ සියලු වෙනස්කම් අපි විශ්ලේෂණය කරමු.
- A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 විට, සාමාන්ය සමීකරණය B y + C \u003d 0 බවට පත් වේ. එවැනි අසම්පූර්ණ සාමාන්ය සමීකරණයක් O x අක්ෂයට සමාන්තර වන O x y සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක සරල රේඛාවක් නිර්වචනය කරයි, මන්ද x හි ඕනෑම සැබෑ අගයක් සඳහා y විචල්‍යය අගය ලබා ගනී. - සී බී. වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, A x + B y + C \u003d 0 රේඛාවේ සාමාන්ය සමීකරණය, A \u003d 0, B ≠ 0, ඛණ්ඩාංක එකම සංඛ්‍යාවට සමාන වන ලක්ෂ්‍යවල (x, y) ස්ථානය අර්ථ දක්වයි. - සී බී.
- A \u003d 0, B ≠ 0, C \u003d 0 නම්, සාමාන්ය සමීකරණය y \u003d 0 බවට පත්වේ. එබඳු අසම්පූර්ණ සමීකරණය x අක්ෂය O x නිර්වචනය කරයි.
- A ≠ 0, B \u003d 0, C ≠ 0 විට, අපට අසම්පූර්ණ සාමාන්ය සමීකරණයක් A x + C \u003d 0 ලැබේ, y-අක්ෂයට සමාන්තරව සරල රේඛාවක් අර්ථ දක්වයි.
- A ≠ 0, B \u003d 0, C \u003d 0 ඉඩ දෙන්න, එවිට අසම්පූර්ණ සාමාන්ය සමීකරණය x \u003d 0 ආකාරය ගනී, මෙය O y ඛණ්ඩාංක රේඛාවේ සමීකරණය වේ.
- අවසාන වශයෙන්, A ≠ 0, B ≠ 0, C \u003d 0 විට, අසම්පූර්ණ පොදු සමීකරණය A x + B y \u003d 0 ආකාරය ගනී. තවද මෙම සමීකරණය සම්භවය හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවක් විස්තර කරයි. ඇත්ත වශයෙන්ම, අංක යුගලය (0 , 0) A x + B y = 0 සමානාත්මතාවයට අනුරූප වේ, A · 0 + B · 0 = 0 .
සරල රේඛාවක අසම්පූර්ණ සාමාන්ය සමීකරණයේ ඉහත සඳහන් සියලු වර්ග අපි චිත්‍රකව නිරූපණය කරමු.
උදාහරණ 1
ලබා දී ඇති සරල රේඛාව y-අක්ෂයට සමාන්තර වන අතර 2 7, - 11 ලක්ෂ්යය හරහා ගමන් කරන බව දන්නා කරුණකි. දී ඇති සරල රේඛාවක පොදු සමීකරණය ලිවීමට අවශ්ය වේ.
විසඳුමක්
y-අක්ෂයට සමාන්තරව සරල රේඛාවක් A x + C \u003d 0 ආකාරයේ සමීකරණයකින් ලබා දී ඇත, එහි A ≠ 0. කොන්දේසිය මඟින් රේඛාව ගමන් කරන ලක්ෂ්යයේ ඛණ්ඩාංක ද නියම කරන අතර, මෙම ලක්ෂ්යයේ ඛණ්ඩාංක අසම්පූර්ණ සාමාන්ය සමීකරණයේ කොන්දේසි වලට අනුරූප වේ A x + C = 0 , i.e. සමානාත්මතාවය නිවැරදියි:
A 2 7 + C = 0
A ශුන්‍ය නොවන අගයක් ලබා දීමෙන් එයින් C තීරණය කළ හැක, උදාහරණයක් ලෙස A = 7 . මෙම අවස්ථාවේදී, අපට ලැබෙන්නේ: 7 2 7 + C \u003d 0 ⇔ C \u003d - 2. අපි A සහ C යන සංගුණක දෙකම දනිමු, ඒවා A x + C = 0 සමීකරණයට ආදේශ කර රේඛාවේ අවශ්ය සමීකරණය ලබා ගන්න: 7 x - 2 = 0
පිළිතුර: 7 x - 2 = 0
උදාහරණ 2
ඇඳීම සරල රේඛාවක් පෙන්වයි, එහි සමීකරණය ලිවීමට අවශ්ය වේ.
විසඳුමක්
ලබා දී ඇති ඇඳීම ගැටළුව විසඳීම සඳහා මූලික දත්ත පහසුවෙන් ලබා ගැනීමට අපට ඉඩ සලසයි. ලබා දී ඇති රේඛාව O x අක්ෂයට සමාන්තර වන අතර ලක්ෂ්යය (0 , 3) හරහා ගමන් කරන බව අපි චිත්රයේ දකිමු.
abscissa ට සමාන්තර වන සරල රේඛාව, අසම්පූර්ණ පොදු සමීකරණය B y + С = 0 මගින් තීරණය වේ. B සහ C අගයන් සොයන්න. ලක්ෂ්යයේ ඛණ්ඩාංක (0, 3), දී ඇති සරල රේඛාව එය හරහා ගමන් කරන බැවින්, B y + С = 0 සරල රේඛාවේ සමීකරණය තෘප්තිමත් කරනු ඇත, එවිට සමානාත්මතාවය වලංගු වේ: В · 3 + С = 0. අපි B ශුන්‍යයට වඩා වෙනත් අගයකට සකසමු. අපි B \u003d 1 කියමු, මෙම අවස්ථාවේදී, B · 3 + C \u003d 0 සමානාත්මතාවයෙන් අපට C: C \u003d - 3 සොයාගත හැකිය. අපි පාවිච්චි කරන්නේ දන්නා අගයන් B සහ C, අපි රේඛාවේ අවශ්ය සමීකරණය ලබා ගනිමු: y - 3 = 0.
පිළිතුර: y - 3 = 0 .
තලයේ දී ඇති ලක්ෂ්යයක් හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවක සාමාන්ය සමීකරණය
ලබා දී ඇති රේඛාව M 0 (x 0, y 0) ලක්ෂ්යය හරහා යාමට ඉඩ දෙන්න, එවිට එහි ඛණ්ඩාංක රේඛාවේ සාමාන්ය සමීකරණයට අනුරූප වේ, i.e. සමානාත්මතාවය සත්යයකි: A x 0 + B y 0 + C = 0 . මෙම සමීකරණයේ වම් සහ දකුණු පැති සාමාන්‍යයේ වම් සහ දකුණු පැතිවලින් අඩු කරන්න සම්පූර්ණ සමීකරණයකෙලින්ම. අපට ලැබෙන්නේ: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C \u003d 0, මෙම සමීකරණය මුල් සාමාන්ය එකට සමාන වන අතර M 0 (x 0, y 0) ලක්ෂ්යය හරහා ගමන් කරයි. සාමාන්ය දෛශිකය n → \u003d (A, B) .
අප ලබා ගත් ප්රතිඵලය මඟින් සරල රේඛාවේ සාමාන්ය දෛශිකයේ දන්නා ඛණ්ඩාංක සහ මෙම සරල රේඛාවේ යම් ලක්ෂ්‍යයක ඛණ්ඩාංක සඳහා සරල රේඛාවක සාමාන්ය සමීකරණය ලිවීමට හැකි වේ.
උදාහරණය 3
රේඛාව ගමන් කරන ලක්ෂ්‍ය M 0 (- 3, 4) සහ මෙම රේඛාවේ සාමාන්ය දෛශිකය ලබා දී ඇත n → = (1 , - 2) . දී ඇති සරල රේඛාවක සමීකරණය ලිවීමට අවශ්ය වේ.
විසඳුමක්
මූලික කොන්දේසි සමීකරණය සම්පාදනය කිරීම සඳහා අවශ්ය දත්ත ලබා ගැනීමට අපට ඉඩ සලසයි: A \u003d 1, B \u003d - 2, x 0 \u003d - 3, y 0 \u003d 4. ඉන්පසු:
A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0
ගැටලුව වෙනත් ආකාරයකින් විසඳා ගත හැකිව තිබුණි. සරල රේඛාවක සාමාන්ය සමීකරණයේ A x + B y + C = 0 ආකෘතිය ඇත. ලබා දී ඇති සාමාන්ය දෛශිකය ඔබට A සහ B සංගුණකවල අගයන් ලබා ගැනීමට ඉඩ සලසයි, එවිට:
A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0
දැන් අපි C හි අගය සොයා ගනිමු, ගැටලුවේ කොන්දේසිය මගින් ලබා දී ඇති M 0 (- 3, 4) ලක්ෂ්යය භාවිතා කර, රේඛාව හරහා ගමන් කරයි. මෙම ලක්ෂ්යයේ ඛණ්ඩාංක x - 2 · y + C = 0 සමීකරණයට අනුරූප වේ, i.e. - 3 - 2 4 + C \u003d 0. එබැවින් C = 11. අවශ්ය සරල රේඛා සමීකරණය ස්වරූපය ගනී: x - 2 · y + 11 = 0 .
පිළිතුර: x - 2 y + 11 = 0 .
උදාහරණය 4
මෙම රේඛාව මත 2 3 x - y - 1 2 = 0 රේඛාවක් සහ M 0 ලක්ෂයක් ලබා දී ඇත. මෙම ලක්ෂ්යයේ abscissa පමණක් දන්නා අතර එය - 3 ට සමාන වේ. දී ඇති ලක්ෂ්යයේ අනුපිළිවෙල තීරණය කිරීම අවශ්ය වේ.
විසඳුමක්
M 0 ලක්ෂ්යයේ ඛණ්ඩාංකවල නම් කිරීම x 0 සහ y 0 ලෙස සකසමු. ආරම්භක දත්ත පෙන්නුම් කරන්නේ x 0 \u003d - 3 බවයි. ලක්ෂ්යය දී ඇති රේඛාවකට අයත් වන බැවින්, එහි ඛණ්ඩාංක මෙම රේඛාවේ සාමාන්ය සමීකරණයට අනුරූප වේ. එවිට පහත සමානාත්මතාවය සැබෑ වනු ඇත:
2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0
y 0: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2 අර්ථ දක්වන්න
පිළිතුර: - 5 2
සරල රේඛාවක සාමාන්ය සමීකරණයේ සිට සරල රේඛාවක වෙනත් ආකාරයේ සමීකරණ වෙත සංක්රමණය වීම සහ අනෙක් අතට
අප දන්නා පරිදි, තලයේ එකම සරල රේඛාවේ සමීකරණයේ වර්ග කිහිපයක් තිබේ. සමීකරණ වර්ගය තෝරාගැනීම ගැටලුවේ කොන්දේසි මත රඳා පවතී; එහි විසඳුම සඳහා වඩාත් පහසු එකක් තෝරා ගත හැකිය. එක් වර්ගයක සමීකරණයක් තවත් ආකාරයක සමීකරණයක් බවට පරිවර්තනය කිරීමේ කුසලතාව ඉතා ප්‍රයෝජනවත් වන්නේ මෙහිදීය.
පළමුව, A x + B y + C = 0 ආකෘති පත්‍රයේ සාමාන්ය සමීකරණයේ සිට කැනොනිකල් සමීකරණයට x - x 1 a x = y - y 1 a y දක්වා සංක්රමණය සලකා බලන්න.
A ≠ 0 නම්, අපි B y යන පදය මාරු කරමු දකුණු පැත්තසාමාන්ය සමීකරණය. වම් පැත්තෙන්, අපි වරහන් වලින් A ගන්නෙමු. ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, අපට ලැබෙන්නේ: A x + C A = - B y .
මෙම සමානාත්මතාවය සමානුපාතයක් ලෙස ලිවිය හැක: x + C A - B = y A .
B ≠ 0 නම්, අපි සාමාන්ය සමීකරණයේ වම් පැත්තේ A x යන පදය පමණක් තබමු, අපි අනෙක් ඒවා දකුණු පැත්තට මාරු කරමු, අපට ලැබෙන්නේ: A x \u003d - B y - C. අපි එලියට ගන්නවා - B වරහන් වලින්, පසුව: A x \u003d - B y + C B.
සමානාත්මතාවය සමානුපාතික ලෙස නැවත ලියමු: x - B = y + C B A .
ඇත්ත වශයෙන්ම, ප්රතිඵල සූත්ර කටපාඩම් කිරීම අවශ්ය නොවේ. සාමාන්ය සමීකරණයේ සිට කැනොනිකල් එක දක්වා සංක්රමණය වීමේදී ක්‍රියාවන්හි ඇල්ගොරිතම දැන ගැනීම ප්රමාණවත් වේ.
උදාහරණ 5
3 y - 4 = 0 රේඛාවේ පොදු සමීකරණය ලබා දී ඇත. එය කැනොනිකල් සමීකරණයකට පරිවර්තනය කළ යුතුය.
විසඳුමක්
අපි මුල් සමීකරණය 3 y - 4 = 0 ලෙස ලියන්නෙමු. ඊළඟට, අපි ඇල්ගොරිතමයට අනුව ක්රියා කරන්නෙමු: 0 x යන පදය වම් පැත්තේ පවතී; සහ දකුණු පැත්තෙන් අපි පිටතට ගන්නෙමු - වරහන් වලින් 3 ක්; අපට ලැබෙන්නේ: 0 x = - 3 y - 4 3 .
ප්රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන සමානාත්මතාවය සමානුපාතික ලෙස ලියමු: x - 3 = y - 4 3 0 . මේ අනුව, අපි කැනොනිකල් ආකෘතියේ සමීකරණයක් ලබා ගෙන ඇත.
පිළිතුර: x - 3 = y - 4 3 0.
සරල රේඛාවක සාමාන්ය සමීකරණය පරාමිතික ඒවා බවට පරිවර්තනය කිරීම සඳහා, පළමුව කැනොනිකල් ස්වරූපයට සංක්රමණය සිදු කරනු ලැබේ, පසුව සංක්‍රාන්තිය කැනොනිකල් සමීකරණයපරාමිතික සමීකරණ වෙත සෘජුව.
උදාහරණය 6
සරල රේඛාව 2 x - 5 y - 1 = 0 සමීකරණය මගින් ලබා දී ඇත. මෙම රේඛාවේ පරාමිතික සමීකරණ ලියන්න.
විසඳුමක්
අපි සාමාන්ය සමීකරණයේ සිට කැනොනිකල් එක දක්වා සංක්රමණය කරමු:
2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2
දැන් අපි λ ට සමාන වන කැනොනිකල් සමීකරණයේ කොටස් දෙකම ගනිමු, එවිට:
x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ, λ ∈ R
පිළිතුර:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ, λ ∈ R
සාමාන්ය සමීකරණය y = k x + b බෑවුමක් සහිත සරල රේඛා සමීකරණයකට පරිවර්තනය කළ හැකි නමුත් B ≠ 0 විට පමණි. වම් පැත්තෙහි සංක්රමණය සඳහා, අපි යන පදය අත්හැර දමමු B y , ඉතිරිය දකුණට මාරු කරනු ලැබේ. අපට ලැබෙන්නේ: B y = - A x - C . ශුන්‍යයට වඩා වෙනස් වන B වලින් ලැබෙන සමානාත්මතාවයේ කොටස් දෙකම බෙදමු: y = - A B x - C B .
උදාහරණ 7
සරල රේඛාවක පොදු සමීකරණය ලබා දී ඇත: 2 x + 7 y = 0 . ඔබ එම සමීකරණය බෑවුම් සමීකරණයකට පරිවර්තනය කළ යුතුය.
විසඳුමක්
නිෂ්පාදනය කරමු අවශ්ය ක්රියාඇල්ගොරිතමයට අනුව:
2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x
පිළිතුර: y = - 2 7 x .
සරල රේඛාවක සාමාන්ය සමීකරණයෙන්, x a + y b \u003d 1 පෝරමයේ කොටස් වලින් සමීකරණයක් ලබා ගැනීම ප්රමාණවත් වේ. එවැනි සංක්‍රාන්තියක් සිදු කිරීම සඳහා, අපි C අංකය සමානාත්මතාවයේ දකුණු පැත්තට මාරු කරමු, ලැබෙන සමානාත්මතාවයේ කොටස් දෙකම - С මගින් බෙදන්න සහ අවසාන වශයෙන්, x සහ y විචල්‍යයන් සඳහා සංගුණක හරයන් වෙත මාරු කරන්න:
A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1
උදාහරණ 8
x - 7 y + 1 2 = 0 සරල රේඛාවේ සාමාන්ය සමීකරණය කොටස් වශයෙන් සරල රේඛාවක සමීකරණයට පරිවර්තනය කිරීම අවශ්ය වේ.
විසඳුමක්
අපි 1 2 දකුණු පැත්තට යමු: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .
සමීකරණයේ දෙපැත්තම -1/2 න් බෙදන්න: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .
පිළිතුර: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .
පොදුවේ ගත් කල, ප්‍රතිලෝම සංක්‍රාන්තිය ද පහසු ය: වෙනත් ආකාරයේ සමීකරණ සිට සාමාන්ය එක දක්වා.
ඛණ්ඩවල සරල රේඛාවක සමීකරණය සහ බෑවුමක් සහිත සමීකරණය සමීකරණයේ වම් පැත්තේ ඇති සියලුම පද සරලව එකතු කිරීමෙන් පහසුවෙන් සාමාන්ය එකක් බවට පරිවර්තනය කළ හැකිය:
x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0
පහත යෝජනා ක්‍රමයට අනුව කැනොනිකල් සමීකරණය සාමාන්ය සමීකරණයට පරිවර්තනය වේ:
x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x = 0 y
පරාමිතිකයෙන් ගමන් කිරීම සඳහා, පළමුව කැනොනිකල් වෙත සංක්රමණය සිදු කරනු ලැබේ, පසුව සාමාන්ය එක වෙත:
x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0
උදාහරණ 9
x = - 1 + 2 · λ y = 4 සරල රේඛාවේ පරාමිතික සමීකරණ ලබා දී ඇත. මෙම රේඛාවේ පොදු සමීකරණය ලිවීමට අවශ්ය වේ.
විසඳුමක්
සිට සංක්රමණය කරමු පරාමිතික සමීකරණකැනොනිකල් වෙත:
x = - 1 + 2 λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 λ y = 4 + 0 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0
අපි කැනොනිකල් සිට සාමාන්‍යයට යමු:
x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0
පිළිතුර: y - 4 = 0
උදාහරණ 10
x 3 + y 1 2 = 1 ඛණ්ඩවල සරල රේඛාවක සමීකරණය ලබා දී ඇත. වෙත සංක්රමණය කිරීම අවශ්ය වේ සාමාන්ය දැක්මසමීකරණ.
විසඳුමක්:
අවශ්ය පෝරමයේ සමීකරණය නැවත ලියමු:
x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0
පිළිතුර: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .
සරල රේඛාවක පොදු සමීකරණයක් ඇඳීම
ඉහත අපි කීවේ සාමාන්ය දෛශිකයේ දන්නා ඛණ්ඩාංක සහ රේඛාව ගමන් කරන ලක්ෂ්යයේ ඛණ්ඩාංක සමඟ සාමාන්ය සමීකරණය ලිවිය හැකි බවයි. එවැනි සරල රේඛාවක් A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 සමීකරණය මගින් අර්ථ දැක්වේ. එම ස්ථානයේම අපි අනුරූප උදාහරණය විශ්ලේෂණය කළෙමු.
දැන් අපි තව ටිකක් බලමු සංකීර්ණ උදාහරණ, සාමාන්ය දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක තීරණය කිරීම ප්‍රථමයෙන් අවශ්ය වේ.
උදාහරණ 11
2 x - 3 y + 3 3 = 0 රේඛාවට සමාන්තර රේඛාවක් ලබා දී ඇත. දී ඇති රේඛාව ගමන් කරන ලක්ෂ්යය M 0 (4 , 1) ද දනී. දී ඇති සරල රේඛාවක සමීකරණය ලිවීමට අවශ්ය වේ.
විසඳුමක්
ආරම්භක කොන්දේසි අපට පවසන්නේ රේඛා සමාන්තර වන අතර, සමීකරණය ලිවිය යුතු රේඛාවේ සාමාන්ය දෛශිකයක් ලෙස, අපි රේඛාවේ n → \u003d (2, - 3) : 2 x - 3 හි දිශානති දෛශිකය ගනිමු. y + 3 3 \u003d 0. සරල රේඛාවක සාමාන්ය සමීකරණය සැකසීමට අවශ්ය සියලුම දත්ත දැන් අපි දනිමු:
A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0
පිළිතුර: 2 x - 3 y - 5 = 0 .
උදාහරණ 12
ලබා දී ඇති රේඛාව x - 2 3 = y + 4 5 රේඛාවට ලම්බකව සම්භවය හරහා ගමන් කරයි. දී ඇති සරල රේඛාවක පොදු සමීකරණය ලිවීම අවශ්ය වේ.
විසඳුමක්
ලබා දී ඇති රේඛාවේ සාමාන්ය දෛශිකය x - 2 3 = y + 4 5 රේඛාවේ දිශානති දෛශිකය වනු ඇත.
එවිට n → = (3 , 5) . සරල රේඛාව සම්භවය හරහා ගමන් කරයි, i.e. O ලක්ෂ්යය හරහා (0, 0) . දී ඇති සරල රේඛාවක පොදු සමීකරණය සම්පාදනය කරමු:
A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0
පිළිතුර: 3 x + 5 y = 0 .
ඔබ පෙළෙහි වරදක් දුටුවහොත්, කරුණාකර එය උද්දීපනය කර Ctrl+Enter ඔබන්න
