ලකුණු 2 ක් හරහා තලයක සරල රේඛාවක් සමීකරණය. ලබා දී ඇති කරුණු දෙකක් හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවක සමීකරණය: උදාහරණ, විසඳුම්

ගුවන් යානයක සරල රේඛාවක සමීකරණය.
දිශා දෛශිකය සෘජු ය. සාමාන්ය දෛශිකය

ගුවන් යානයක සරල රේඛාවක් සරලම එකකි ජ්යාමිතික හැඩතල, ප්‍රාථමික ශ්‍රේණිවල සිට ඔබට හුරුපුරුදු වන අතර, අද අපි විශ්ලේෂණාත්මක ජ්‍යාමිතිය ක්‍රම භාවිතා කරමින් එය සමඟ කටයුතු කරන්නේ කෙසේදැයි ඉගෙන ගනිමු. ද්රව්යය ප්රගුණ කිරීම සඳහා, සරල රේඛාවක් තැනීමට හැකි වීම අවශ්ය වේ; සරල රේඛාවක් නිර්වචනය කරන්නේ කුමන සමීකරණයද යන්න දැන ගන්න, විශේෂයෙන්, මූලාරම්භය හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවක් සහ ඛණ්ඩාංක අක්ෂවලට සමාන්තරව සරල රේඛා. මෙම තොරතුරුඅත්පොතෙහි සොයාගත හැකිය මූලික ශ්‍රිතවල ප්‍රස්තාර සහ ගුණ, මම එය matan සඳහා නිර්මාණය කළා, නමුත් ගැන කොටස රේඛීය ශ්රිතයඉතා සාර්ථක හා සවිස්තරාත්මක විය. එමනිසා, ආදරණීය තේ පෝච්චිය, පළමුව එහි උණුසුම් වන්න. ඊට අමතරව, ඔබට තිබිය යුතුය මූලික දැනුමපිළිබඳ දෛශිකඑසේ නොමැති නම් ද්රව්යය පිළිබඳ අවබෝධය අසම්පූර්ණ වනු ඇත.

මෙම පාඩමේදී, තලයක සරල රේඛාවක සමීකරණය ලිවිය හැකි ක්‍රම අපි බලමු. ප්‍රායෝගික උදාහරණ නොසලකා නොහරින ලෙස මම නිර්දේශ කරමි (එය ඉතා සරල බවක් පෙනෙන්නට තිබුණත්), මම ඒවාට ප්‍රාථමික සහ ඒවා සපයනු ඇත. වැදගත් කරුණු, උසස් ගණිතයේ අනෙකුත් අංශ ඇතුළුව අනාගතයේ දී අවශ්ය වනු ඇති තාක්ෂණික ක්රම.

• බෑවුමක් සහිත සරල රේඛාවක සමීකරණය ලියන්නේ කෙසේද?
• කෙසේද ?
• සරල රේඛාවක සාමාන්‍ය සමීකරණය මගින් දිශා දෛශිකය සොයා ගන්නේ කෙසේද?
• ලක්ෂ්‍යයක් සහ සාමාන්‍ය දෛශිකයක් ලබා දී සරල රේඛාවක සමීකරණයක් ලියන්නේ කෙසේද?

සහ අපි ආරම්භ කරමු:

බෑවුම සහිත රේඛා සමීකරණය

සරල රේඛාවක සමීකරණයේ සුප්රසිද්ධ "පාසල්" ආකෘතිය ලෙස හැඳින්වේ බෑවුමක් සහිත සරල රේඛාවක සමීකරණය. උදාහරණයක් ලෙස, සමීකරණය මගින් සරල රේඛාවක් ලබා දෙන්නේ නම්, එහි බෑවුම: . ජ්යාමිතික අර්ථය සලකා බලන්න ලබා දී ඇති සංගුණකයසහ එහි අගය රේඛාවේ පිහිටීම කෙරෙහි බලපාන ආකාරය:

ජ්‍යාමිතියේදී ඒ බව ඔප්පු වෙනවා සරල රේඛාවේ බෑවුම වේ කෝණයක ස්පර්ශකයධනාත්මක අක්ෂ දිශාව අතරසහ ලබා දුන් රේඛාව: , සහ කෙළවරේ වාමාවර්තව "නොදැමූ" වේ.

චිත්‍රය අවුල් නොකිරීමට, මම සරල රේඛා දෙකක් සඳහා පමණක් කෝණ ඇන්දෙමි. "රතු" සරල රේඛාව සහ එහි බෑවුම සලකා බලන්න. ඉහත සඳහන් පරිදි: ("ඇල්ෆා" කෝණය හරිත චාපයකින් දැක්වේ). බෑවුම සහිත "නිල්" සරල රේඛාව සඳහා, සමානාත්මතාවය සත්ය වේ ("බීටා" කෝණය දුඹුරු චාපයෙන් දැක්වේ). තවද කෝණයෙහි ස්පර්ශකය දන්නේ නම්, අවශ්ය නම් එය සොයා ගැනීම පහසුය සහ කෙළවරභාවිතා කිරීම මගින් ප්රතිලෝම ශ්රිතය- ආක්ටෙන්ජන්ට්. ඔවුන් පවසන පරිදි, ත්රිකෝණමිතික වගුවක් හෝ ගණක යන්ත්රයක් අතේ. මේ ක්රමයෙන්, බෑවුම x-අක්ෂයට සරල රේඛාවේ ආනතියේ මට්ටම සංලක්ෂිත කරයි.

ඒ අතරම, එය හැකි ය පහත සඳහන් අවස්ථා:

1) බෑවුම සෘණ නම්: , එවිට රේඛාව, දළ වශයෙන් කථා කිරීම, ඉහළ සිට පහළට යයි. චිත්‍රයේ ඇති "නිල්" සහ "තද රතු" සරල රේඛා උදාහරණ වේ.

2) බෑවුම ධනාත්මක නම්: , එවිට රේඛාව පහළ සිට ඉහළට යයි. චිත්‍රයේ ඇති "කළු" සහ "රතු" සරල රේඛා උදාහරණ වේ.

3) බෑවුම ශුන්‍යයට සමාන නම්: , එවිට සමීකරණය ස්වරූපය ගනී , සහ අනුරූප රේඛාව අක්ෂයට සමාන්තර වේ. උදාහරණයක් ලෙස "කහ" රේඛාව වේ.

4) අක්ෂයට සමාන්තරව සරල රේඛා පවුලක් සඳහා (අක්ෂය හැර චිත්‍රයේ කිසිදු උදාහරණයක් නොමැත), බෑවුම නොපවතී (අංශක 90 ක ස්පර්ශක නිර්වචනය කර නැත).

බෑවුමේ මොඩියුලය වැඩි වන තරමට රේඛා ප්‍රස්ථාරය වැඩි වේ.

උදාහරණයක් ලෙස, සරල රේඛා දෙකක් සලකා බලන්න. මෙන්න, ඒ නිසා සරල රේඛාවට වැඩි බෑවුමක් ඇත. මොඩියුලය ඔබට ලකුණ නොසලකා හැරීමට ඉඩ සලසන බව මම ඔබට මතක් කරමි, අපි උනන්දු වන්නේ පමණි නිරපේක්ෂ අගයන්කෝණික සංගුණක.

අනෙක් අතට, සරල රේඛාවක් සරල රේඛා වලට වඩා බෑවුම් වේ. .

අනෙක් අතට: බෑවුමේ මොඩියුලය කුඩා වන අතර, සරල රේඛාව පැතලි වේ.

සරල රේඛා සඳහා අසමානතාවය සත්‍ය ය, එබැවින් සරල රේඛාව වියනකට වඩා වැඩි ය. ළමුන්ගේ ස්ලයිඩය, තැලීම් සහ ගැටිති රෝපණය නොකිරීමට.

මෙය අවශ්ය වන්නේ ඇයි?

ඔබේ වධ හිංසාව දිගු කරන්න ඉහත කරුණු දැන ගැනීමෙන් ඔබේ වැරදි, විශේෂයෙන්, ප්‍රස්ථාර සැලසුම් කිරීමේදී දෝෂ වහාම දැකීමට ඔබට ඉඩ සලසයි - චිත්‍රය “පැහැදිලිවම යමක් වැරදියි” නම්. එය ඔබ කැමති වේ කෙලින්මනිදසුනක් වශයෙන්, සරල රේඛාවක් ඉතා බෑවුම් වන අතර පහළ සිට ඉහළට යන අතර සරල රේඛාවක් ඉතා පැතලි, අක්ෂයට සමීප වන අතර ඉහළ සිට පහළට යන බව පැහැදිලි විය.

ජ්යාමිතික ගැටළු වලදී, සරල රේඛා කිහිපයක් බොහෝ විට දිස් වේ, එබැවින් ඒවා කෙසේ හෝ දැක්වීම පහසුය.

අංකනය: සරල රේඛා කුඩා ලතින් අක්ෂර වලින් දැක්වේ: . ජනප්‍රිය විකල්පයක් වන්නේ ස්වාභාවික අනුග්‍රහයන් සහිත එකම ලිපියක් නම් කිරීමයි. උදාහරණයක් ලෙස, අප දැන් සලකා බැලූ පේළි පහෙන් දැක්විය හැකිය .

ඕනෑම සරල රේඛාවක් ලක්ෂ්‍ය දෙකකින් අනන්‍යව තීරණය වන බැවින්, එය මෙම ලක්ෂ්‍යවලින් දැක්විය හැක: ආදිය අංකනය පැහැදිලිවම ඇඟවුම් කරන්නේ ලකුණු රේඛාවට අයත් බවයි.

ටිකක් ලිහිල් කිරීමට කාලය:

බෑවුමක් සහිත සරල රේඛාවක සමීකරණය ලියන්නේ කෙසේද?

යම් රේඛාවකට අයත් ලක්ෂ්‍යයක් සහ මෙම රේඛාවේ බෑවුම දන්නේ නම්, මෙම රේඛාවේ සමීකරණය සූත්‍රයෙන් ප්‍රකාශ වේ:

උදාහරණ 1

ලක්ෂ්‍යය මෙම සරල රේඛාවට අයත් බව දන්නේ නම් බෑවුමක් සහිත සරල රේඛාවක සමීකරණය සම්පාදනය කරන්න.

විසඳුමක්: අපි සූත්රය අනුව සරල රේඛාවක සමීකරණය සම්පාදනය කරමු . හිදී මෙම නඩුව:

පිළිතුර:

විභාගයමූලික වශයෙන් සිදු කරන ලදී. පළමුව, අපි ප්රතිඵලය සමීකරණය දෙස බලා අපගේ බෑවුම එහි ස්ථානයේ ඇති බවට වග බලා ගන්න. දෙවනුව, ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක ලබා දී ඇති සමීකරණය තෘප්තිමත් කළ යුතුය. අපි ඒවා සමීකරණයට සම්බන්ධ කරමු:

නිවැරදි සමානාත්මතාවය ලබා ගනී, එයින් අදහස් වන්නේ ලක්ෂ්යය ප්රතිඵලය වන සමීකරණය තෘප්තිමත් කරන බවයි.

නිගමනය: සමීකරණය නිවැරදිව සොයාගෙන ඇත.

සඳහා උපායශීලී උදාහරණයක් ස්වාධීන තීරණය:

උදාහරණ 2

අක්ෂයේ ධනාත්මක දිශාවට එහි නැඹුරු කෝණය , සහ ලක්ෂ්යය මෙම සරල රේඛාවට අයත් බව දන්නේ නම් සරල රේඛාවක සමීකරණය ලියන්න.

ඔබට ගැටලුවක් ඇත්නම්, නැවත කියවන්න න්යායික ද්රව්ය. වඩාත් නිවැරදිව, වඩාත් ප්‍රායෝගික, මට බොහෝ සාක්ෂි මග හැරේ.

නාද කළා අවසාන ඇමතුම, ප්‍රොම් මිය ගොස් ඇත, සහ ගේට්ටුවෙන් පිටත ගෙදර පාසලඇත්ත වශයෙන්ම, අපි විශ්ලේෂණාත්මක ජ්යාමිතිය බලා සිටිමු. විහිළු ඉවරයි... සමහර විට එය ආරම්භ වෙමින් පවතී =)

නොස්ටැල්ජික් ලෙස අපි හසුරුව හුරුපුරුදු අයට ගෙන ගොස් සරල රේඛාවක සාමාන්‍ය සමීකරණය සමඟ දැන හඳුනා ගනිමු. විශ්ලේෂණාත්මක ජ්‍යාමිතියේදී එය හරියටම භාවිතා වන බැවින්:

සරල රේඛාවක පොදු සමීකරණයේ ස්වරූපය ඇත: , සමහර ඉලක්කම් කොහෙද. ඒ සමගම, සංගුණක එකවරමසමීකරණයේ තේරුම නැති වී යන බැවින්, ශුන්‍යයට සමාන නොවේ.

අපි ඇඳුමකින් සැරසී බෑවුමකින් සමීකරණයක් බැඳ තබමු. පළමුව, අපි සියලු නියමයන් වෙත මාරු කරමු වම් පැත්ත:

"x" සමඟ පදය පළමු ස්ථානයේ තැබිය යුතුය:

ප්‍රතිපත්තිමය වශයෙන්, සමීකරණයට දැනටමත් ආකෘතියක් ඇත, නමුත් ගණිතමය ආචාර විධි නීතිවලට අනුව, පළමු පදයේ සංගුණකය (මෙම අවස්ථාවෙහිදී) ධනාත්මක විය යුතුය. වෙනස් කිරීමේ සලකුණු:

මෙය මතක තබා ගන්න තාක්ෂණික ලක්ෂණය! අපි පළමු සංගුණකය (බොහෝ විට ) ධනාත්මක කරන්නෙමු!

විශ්ලේෂණාත්මක ජ්‍යාමිතියේදී, සරල රේඛාවක සමීකරණය සෑම විටම පාහේ සාමාන්‍ය ස්වරූපයෙන් ලබා දෙනු ඇත. හොඳයි, අවශ්ය නම්, එය බෑවුමක් සහිත "පාසල්" ආකෘතියකට ගෙන ඒම පහසුය (y-අක්ෂයට සමාන්තර සරල රේඛා හැර).

මොකක්ද කියලා අපි අපෙන්ම අහමු ඇතිසරල රේඛාවක් හදන්න දන්නවද? කරුණු දෙකක්. නමුත් මෙම ළමා කාලය ගැන පසුව, දැන් ඊතල රීතිය සමඟ බැඳී ඇත. සෑම සරල රේඛාවක්ම හොඳින් අර්ථ දක්වා ඇති බෑවුමක් ඇති අතර, එය "අනුවර්තනය" කිරීමට පහසුය. දෛශිකය.

රේඛාවකට සමාන්තර දෛශිකයක් එම රේඛාවේ දිශා දෛශිකය ලෙස හැඳින්වේ.. නිසැකවම, ඕනෑම සරල රේඛාවක් අසීමිත දිශා දෛශික ඇති අතර, ඒවා සියල්ලම collinear වනු ඇත (සම අධ්යක්ෂණය හෝ නැත - එය ප්රශ්නයක් නොවේ).

මම දිශා දෛශිකය පහත පරිදි දක්වන්නම්: .

නමුත් සරල රේඛාවක් තැනීමට එක් දෛශිකයක් ප්රමාණවත් නොවේ, දෛශිකය නිදහස් වන අතර ගුවන් යානයේ කිසිදු ස්ථානයකට සම්බන්ධ නොවේ. එමනිසා, රේඛාවට අයත් යම් කරුණක් දැන ගැනීම අතිරේකව අවශ්ය වේ.

ලක්ෂ්‍යයක් සහ දිශා දෛශිකයක් ලබා දී සරල රේඛාවක සමීකරණයක් ලියන්නේ කෙසේද?

රේඛාවට අයත් නිශ්චිත ලක්ෂ්‍යයක් සහ මෙම රේඛාවේ දිශානති දෛශිකය දන්නේ නම්, මෙම රේඛාවේ සමීකරණය සූත්‍රය මගින් සම්පාදනය කළ හැකිය:

සමහර විට එය හැඳින්වේ රේඛාවේ කැනොනිකල් සමීකරණය .

කවදා මොනවා කරන්නද ඛණ්ඩාංක වලින් එකක්ශුන්‍ය වේ, අපි පහත ප්‍රායෝගික උදාහරණ දෙස බලමු. මාර්ගය වන විට, සටහන - දෙකම එකවරශුන්‍ය දෛශිකය නිශ්චිත දිශාවක් සඳහන් නොකරන බැවින් ඛණ්ඩාංක ශුන්‍ය විය නොහැක.

උදාහරණය 3

ලක්ෂ්‍යයක් සහ දිශා දෛශිකයක් ලබා දී ඇති සරල රේඛාවක සමීකරණයක් ලියන්න

විසඳුමක්: අපි සූත්රය අනුව සරල රේඛාවක සමීකරණය සම්පාදනය කරමු. මේ අවස්ථාවේ දී:

සමානුපාතික ගුණ භාවිතා කරමින්, අපි භාග ඉවත් කරමු:

ඒ වගේම අපි සමීකරණය ගෙන එනවා සාමාන්ය දැක්ම:

පිළිතුර:

එවැනි උදාහරණ ඇඳීම, රීතියක් ලෙස, අවශ්ය නොවේ, නමුත් අවබෝධය සඳහා:

චිත්රයේ දී, අපි ආරම්භක ලක්ෂ්යය, මුල් දිශා දෛශිකය (එය ගුවන් යානයේ ඕනෑම ස්ථානයක සිට කල් දැමිය හැකිය) සහ ඉදිකරන ලද රේඛාව. මාර්ගය වන විට, බොහෝ අවස්ථාවලදී, බෑවුම් සමීකරණය භාවිතයෙන් සරල රේඛාවක් තැනීම වඩාත් පහසු ලෙස සිදු කෙරේ. අපගේ සමීකරණය පෝරමයට පරිවර්තනය කිරීම පහසු වන අතර කිසිදු ගැටළුවක් නොමැතිව සරල රේඛාවක් ගොඩනැගීමට තවත් එක් ලක්ෂයක් ලබා ගන්න.

කොටසේ ආරම්භයේ සඳහන් කර ඇති පරිදි, රේඛාවක අසීමිත දිශා දෛශික ඇති අතර, ඒවා සියල්ලම collinear වේ. උදාහරණයක් ලෙස, මම එවැනි දෛශික තුනක් ඇද ගත්තෙමි: . අපි තෝරා ගන්නා දිශා දෛශිකය කුමක් වුවත්, ප්‍රතිඵලය සෑම විටම එකම සරල රේඛා සමීකරණය වේ.

අපි සරල රේඛාවක සමීකරණය ලක්ෂ්‍යයකින් සහ දිශානති දෛශිකයකින් සම්පාදනය කරමු:

අනුපාතය බිඳ දැමීම:

දෙපැත්තම -2 න් බෙදන්න සහ හුරුපුරුදු සමීකරණය ලබා ගන්න:

කැමති අයට දෛශික පරීක්‍ෂා කළ හැකියි හෝ වෙනත් කොලිනියර් දෛශිකයක්.

දැන් අපි ප්රතිලෝම ගැටළුව විසඳමු:

සරල රේඛාවක සාමාන්‍ය සමීකරණය මගින් දිශා දෛශිකය සොයා ගන්නේ කෙසේද?

හරිම සරලයි:

රේඛාව සාමාන්‍ය සමීකරණයෙන් ලබා දෙන්නේ නම් සෘජුකෝණාස්රාකාර පද්ධතියඛණ්ඩාංක, එවිට දෛශිකය යනු ලබා දී ඇති රේඛාවේ දිශා දෛශිකය වේ.

සරල රේඛාවල දිශා දෛශික සොයා ගැනීමේ උදාහරණ:

ප්‍රකාශය අපට අනන්ත කට්ටලයකින් එක් දිශා දෛශිකයක් පමණක් සොයා ගැනීමට ඉඩ සලසයි, නමුත් අපට තවත් අවශ්‍ය නොවේ. සමහර අවස්ථාවල දිශා වාහකවල ඛණ්ඩාංක අඩු කිරීම සුදුසු වුවද:

එබැවින්, සමීකරණය අක්ෂයට සමාන්තර වන සරල රේඛාවක් නියම කරන අතර එහි ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන සුක්කානම් දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක පහසුවෙන් -2 න් බෙදනු ලැබේ, හරියටම පාදක දෛශිකය සුක්කානම් දෛශිකය ලෙස ලබා ගනී. තර්කානුකූලව.

ඒ හා සමානව, සමීකරණය අක්ෂයට සමාන්තරව සරල රේඛාවක් නිර්වචනය කරයි, සහ දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක 5 න් බෙදීම, අපි දිශා දෛශිකය ලෙස ort ලබා ගනිමු.

දැන් අපි ක්රියාත්මක කරමු උදාහරණය 3 පරීක්ෂා කරන්න. උදාහරණය ඉහළ ගියේය, එබැවින් අපි ලක්ෂ්‍යයක් සහ දිශා දෛශිකයක් භාවිතයෙන් සරල රේඛාවක සමීකරණය සෑදූ බව මම ඔබට මතක් කරමි.

මුලින්ම, සරල රේඛාවක සමීකරණයට අනුව, අපි එහි දිශානති දෛශිකය යථා තත්වයට පත් කරමු: - සෑම දෙයක්ම හොඳයි, අපට මුල් දෛශිකය ලැබුණි (සමහර අවස්ථාවලදී, එය මුල් දෛශිකයට ඛණ්ඩකයක් බවට පත් විය හැකි අතර, මෙය සාමාන්‍යයෙන් අනුරූප ඛණ්ඩාංකවල සමානුපාතිකත්වය අනුව දැකීමට පහසුය).

දෙවනුව, ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක සමීකරණය තෘප්තිමත් කළ යුතුය. අපි ඒවා සමීකරණයට ආදේශ කරමු:

නිවැරදි සමානාත්මතාවය ලබාගෙන ඇති අතර, එය අප ඉතා සතුටුයි.

නිගමනය: කාර්යය නිවැරදිව නිම කර ඇත.

උදාහරණය 4

ලක්ෂ්‍යයක් සහ දිශා දෛශිකයක් ලබා දී ඇති සරල රේඛාවක සමීකරණයක් ලියන්න

මෙය ඔබ විසින්ම කළ හැකි උදාහරණයකි. පාඩම අවසානයේ විසඳුම සහ පිළිතුර. දැන් සලකා බැලූ ඇල්ගොරිතමයට අනුව චෙක්පතක් සිදු කිරීම ඉතා යෝග්ය වේ. සෑම විටම (හැකි නම්) කෙටුම්පතක් පරීක්ෂා කිරීමට උත්සාහ කරන්න. 100%ක් මග හැරිය හැකි තැන වැරදි කිරීම මෝඩකමකි.

දිශා දෛශිකයේ එක් ඛණ්ඩාංකයක් ශුන්‍ය නම්, එය කිරීම ඉතා සරල ය:

උදාහරණ 5

විසඳුමක්: දකුණු පැත්තේ හරය ශුන්‍ය බැවින් සූත්‍රය වලංගු නොවේ. පිටවීමක් තිබේ! සමානුපාතිකයේ ගුණාංග භාවිතා කරමින්, අපි සූත්‍රය පෝරමයේ නැවත ලියන්නෙමු , ඉතිරිය ගැඹුරු රූට් දිගේ පෙරළේ:

පිළිතුර:

විභාගය:

1) සරල රේඛාවේ දිශා දෛශිකය ප්‍රතිස්ථාපනය කරන්න:
- ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන දෛශිකය මුල් දිශා දෛශිකයට සම්බන්ධ වේ.

2) සමීකරණයේ ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක ආදේශ කරන්න:

නිවැරදි සමානාත්මතාවය ලැබේ

නිගමනය: කාර්යය නිවැරදිව නිම කර ඇත

ප්‍රශ්නය පැන නගින්නේ, කෙසේ වෙතත් ක්‍රියාත්මක වන විශ්වීය අනුවාදයක් තිබේ නම් සූත්‍රය ගැන කරදර වන්නේ ඇයි? හේතු දෙකක් තිබේ. පළමුව, භාගික සූත්රය මතක තබා ගැනීම වඩා හොඳය. දෙවනුව, විශ්වීය සූත්‍රයේ අවාසිය එයයි ව්යාකූලත්වයේ අවදානම සැලකිය යුතු ලෙස වැඩි වීමඛණ්ඩාංක ආදේශ කරන විට.

උදාහරණය 6

ලක්ෂ්‍යයක් සහ දිශා දෛශිකයක් ලබා දී ඇති සරල රේඛාවක සමීකරණය සම්පාදනය කරන්න.

මෙය ඔබ විසින්ම කළ හැකි උදාහරණයකි.

අපි සෑම තැනකම පවතින කරුණු දෙක වෙත ආපසු යමු:

ලකුණු දෙකක් ලබා දී ඇති සරල රේඛාවක සමීකරණය ලියන්නේ කෙසේද?

ලකුණු දෙකක් දන්නේ නම්, මෙම ලක්ෂ්‍ය හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවක සමීකරණය සූත්‍රය භාවිතයෙන් සම්පාදනය කළ හැකිය:

ඇත්ත වශයෙන්ම, මෙය එක්තරා ආකාරයක සූත්‍රයක් වන අතර මෙන්න ඇයි: ලකුණු දෙකක් දන්නේ නම්, දෛශිකය මෙම රේඛාවේ දිශා දෛශිකය වනු ඇත. පාඩම මත ඩමි සඳහා දෛශිකඅපි සලකා බැලුවා සරලම කාර්යය- ලක්ෂ්‍ය දෙකකින් දෛශිකයක ඛණ්ඩාංක සොයා ගන්නේ කෙසේද. මෙම ගැටලුවට අනුව, දිශා දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක:

සටහන : ලකුණු "මාරු කර" සූත්රය භාවිතා කළ හැක . එවැනි තීරණයක් සමාන වනු ඇත.

උදාහරණ 7

ලකුණු දෙකකින් සරල රේඛාවක සමීකරණය ලියන්න .

විසඳුමක්: සූත්රය භාවිතා කරන්න:

අපි හරයන් පීරන්නෙමු:

සහ තට්ටුව මාරු කරන්න:

දැන් එයින් මිදීමට කාලයයි භාගික සංඛ්යා. මෙම අවස්ථාවේදී, ඔබ කොටස් දෙකම 6 න් ගුණ කළ යුතුය:

වරහන් විවෘත කර සමීකරණය මතකයට නඟන්න:

පිළිතුර:

විභාගයපැහැදිලිය - ආරම්භක ලක්ෂ්යවල ඛණ්ඩාංක ප්රතිඵල සමීකරණය තෘප්තිමත් කළ යුතුය:

1) ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක ආදේශ කරන්න:

සැබෑ සමානාත්මතාවය.

2) ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක ආදේශ කරන්න:

සැබෑ සමානාත්මතාවය.

නිගමනය: සරල රේඛාවේ සමීකරණය නිවැරදියි.

අ අවම වශයෙන් එකක්ලකුණු සමීකරණය තෘප්තිමත් නොවේ, දෝෂයක් සොයන්න.

මෙම නඩුවේ චිත්‍රක සත්‍යාපනය දුෂ්කර බව සඳහන් කිරීම වටී, මන්ද රේඛාවක් තැනීම සහ ලකුණු එයට අයත් දැයි බැලීම , එතරම් පහසු නැත.

මම තවත් යුවලක් පෙන්වා දෙන්නම්. තාක්ෂණික ගැටළුවිසඳුම්. සමහර විට මෙම ගැටලුව තුළ දර්පණ සූත්රය භාවිතා කිරීම වඩාත් වාසිදායක වේ සහ, එකම කරුණු සඳහා සමීකරණයක් කරන්න:

අඩු භාග ඇත. ඔබට අවශ්ය නම්, විසඳුම අවසානය දක්වා සම්පූර්ණ කළ හැකිය, ප්රතිඵලය එකම සමීකරණය විය යුතුය.

දෙවන කරුණ වන්නේ අවසාන පිළිතුර දෙස බලා එය තවදුරටත් සරල කළ හැකිද යන්නයි? උදාහරණයක් ලෙස, සමීකරණයක් ලබා ගන්නේ නම්, එය දෙකකින් අඩු කිරීම යෝග්ය වේ: - සමීකරණය එකම සරල රේඛාවක් සකසනු ඇත. කෙසේ වෙතත්, මෙය දැනටමත් සංවාදයේ මාතෘකාවකි සරල රේඛා අන්යෝන්ය සැකැස්ම.

පිළිතුරක් ලැබුණු පසු උදාහරණ 7 හි, යම් අවස්ථාවක දී, සමීකරණයේ සියලුම සංගුණක 2, 3 හෝ 7 න් බෙදිය හැකි දැයි මම පරීක්ෂා කළෙමි. කෙසේ වෙතත්, බොහෝ විට එවැනි අඩු කිරීම් විසඳුම අතරතුර සිදු කෙරේ.

උදාහරණ 8

ලක්ෂ්‍ය හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවක සමීකරණය ලියන්න .

මෙය ස්වාධීන විසඳුමක් සඳහා උදාහරණයක් වන අතර, ගණනය කිරීමේ තාක්ෂණය වඩා හොඳින් අවබෝධ කර ගැනීමට සහ වැඩ කිරීමට ඔබට ඉඩ සලසයි.

පෙර ඡේදයට සමාන: සූත්‍රයේ නම් එක් හරයක් (දිශා දෛශික ඛණ්ඩාංකය) අතුරුදහන් වේ, පසුව අපි එය නැවත ලියන්නෙමු. නැවතත්, ඇය කෙතරම් අමුතු හා ව්‍යාකූල ලෙස පෙනෙන්නට පටන් ගත්තාදැයි බලන්න. මම දකින්නේ නැහැ විශේෂ අර්ථයපදවන්න ප්රායෝගික උදාහරණ, අපි දැනටමත් එවැනි ගැටලුවක් ඇත්ත වශයෙන්ම විසඳා ඇති බැවින් (අංක 5, 6 බලන්න).

සරල රේඛා සාමාන්‍ය දෛශිකය (සාමාන්‍ය දෛශිකය)

සාමාන්ය කුමක්ද? සරල වචන වලින්, සාමාන්යය ලම්බක වේ. එනම් රේඛාවක සාමාන්‍ය දෛශිකය ලබා දී ඇති රේඛාවට ලම්බක වේ. ඕනෑම සරල රේඛාවක් ඒවායේ අසීමිත සංඛ්‍යාවක් ඇති බව පැහැදිලිය (මෙන්ම දෛශික දෛශික), සහ සරල රේඛාවේ සියලුම සාමාන්‍ය දෛශික කෝලිනියර් වනු ඇත (සහ දිශානතිය හෝ නැත - එය වැදගත් නොවේ).

ඒවා සමඟ කටයුතු කිරීම දිශා වාහකයන්ට වඩා පහසු වනු ඇත:

සෘජුකෝණාස්‍රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක සාමාන්‍ය සමීකරණයකින් සරල රේඛාවක් ලබා දෙන්නේ නම්, දෛශිකය මෙම සරල රේඛාවේ සාමාන්‍ය දෛශිකය වේ.

දිශා දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක සමීකරණයෙන් ප්‍රවේශමෙන් “පිටතට” ගත යුතු නම්, සාමාන්‍ය දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක සරලව “ඉවත්” කළ හැකිය.

සාමාන්‍ය දෛශිකය සෑම විටම රේඛාවේ දිශා දෛශිකයට විකලාංග වේ. අපි භාවිතා කරන මෙම දෛශිකවල විකලාංග බව සත්‍යාපනය කරන්නෙමු තිත් නිෂ්පාදනය:

දිශා දෛශිකය සඳහා සමාන සමීකරණ සමඟ මම උදාහරණ දෙන්නෙමි:

එක් ලක්ෂයක් සහ සාමාන්‍ය දෛශිකයක් දැනගෙන සරල රේඛාවක සමීකරණයක් ලිවිය හැකිද? එය හැකි බව හැඟේ. සාමාන්‍ය දෛශිකය දන්නේ නම්, සෘජු රේඛාවේ දිශාව ද අද්විතීය ලෙස තීරණය වේ - මෙය අංශක 90 ක කෝණයක් සහිත “දෘඩ ව්‍යුහයකි”.

ලක්ෂ්‍යයක් සහ සාමාන්‍ය දෛශිකයක් ලබා දී සරල රේඛාවක සමීකරණයක් ලියන්නේ කෙසේද?

රේඛාවට අයත් යම් ලක්ෂ්‍යයක් සහ මෙම රේඛාවේ සාමාන්‍ය දෛශිකය දන්නේ නම්, මෙම රේඛාවේ සමීකරණය සූත්‍රයෙන් ප්‍රකාශ වේ:

මෙහි සෑම දෙයක්ම භාග සහ වෙනත් විස්මයන් නොමැතිව සිදු විය. අපගේ සාමාන්‍ය දෛශිකය එවැන්නකි. එයට ආදරෙයි. සහ ගෞරවය =)

උදාහරණ 9

ලක්ෂ්‍යයක් සහ සාමාන්‍ය දෛශිකයක් ලබා දී ඇති සරල රේඛාවක සමීකරණය සම්පාදනය කරන්න. සරල රේඛාවේ දිශා දෛශිකය සොයා ගන්න.

විසඳුමක්: සූත්රය භාවිතා කරන්න:

සරල රේඛාවේ පොදු සමීකරණය ලබාගෙන ඇත, අපි පරීක්ෂා කරමු:

1) සාමාන්‍ය දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක සමීකරණයෙන් "ඉවත් කරන්න": - ඔව්, ඇත්ත වශයෙන්ම, මුල් දෛශිකය කොන්දේසියෙන් ලබා ගනී (නැතහොත් දෛශිකය මුල් දෛශිකයට කෝලිනියර් විය යුතුය).

2) ලක්ෂ්‍යය සමීකරණය තෘප්තිමත් කරන්නේ දැයි පරීක්ෂා කරන්න:

සැබෑ සමානාත්මතාවය.

සමීකරණය නිවැරදි බව අපට ඒත්තු ගිය පසු, අපි කාර්යයේ දෙවන, පහසු කොටස සම්පූර්ණ කරන්නෙමු. අපි සරල රේඛාවේ දිශා දෛශිකය අදින්නෙමු:

පිළිතුර:

චිත්රයේ, තත්වය පහත පරිදි වේ:

පුහුණු කිරීමේ අරමුණු සඳහා, ස්වාධීන විසඳුමක් සඳහා සමාන කාර්යයක්:

උදාහරණ 10

ලක්ෂ්‍යයක් සහ සාමාන්‍ය දෛශිකයක් ලබා දී ඇති සරල රේඛාවක සමීකරණය සම්පාදනය කරන්න. සරල රේඛාවේ දිශා දෛශිකය සොයා ගන්න.

අවසාන කොටසපාඩම අඩු පොදු, නමුත් ගුවන් යානයක සරල රේඛාවක වැදගත් ආකාරයේ සමීකරණ සඳහා කැප කරනු ඇත

කොටස්වල සරල රේඛාවක සමීකරණය.
පරාමිතික ආකාරයෙන් සරල රේඛාවක සමීකරණය

ඛණ්ඩවල සරල රේඛාවක සමීකරණයේ ස්වරූපය ඇත , ශුන්‍ය නොවන නියතයන් කොහෙද. සමහර වර්ගවල සමීකරණ මෙම ආකෘතියෙන් නිරූපණය කළ නොහැක, උදාහරණයක් ලෙස, සෘජු සමානුපාතිකත්වය (නිදහස් පදය ශුන්ය වන අතර දකුණු පැත්තේ එකක් ලබා ගැනීමට ක්රමයක් නොමැත).

මෙය සංකේතාත්මකව කිවහොත්, "තාක්ෂණික" ආකාරයේ සමීකරණයකි. සුපුරුදු කාර්යය වන්නේ සාමාන්ය සමීකරණයඛණ්ඩවල සරල රේඛාවක සමීකරණයක් ලෙස සරල රේඛාවක් නිරූපණය කරන්න. එය පහසු වන්නේ ඇයි? කොටස්වල සරල රේඛාවක සමීකරණය මඟින් ඛණ්ඩාංක අක්ෂ සහිත සරල රේඛාවක ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍ය ඉක්මනින් සොයා ගැනීමට ඔබට ඉඩ සලසයි, එය ඉහළ ගණිතයේ සමහර ගැටළු වලදී ඉතා වැදගත් වේ.

අක්ෂය සමඟ රේඛාවේ ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්යය සොයා ගන්න. අපි "y" නැවත සකසන්නෙමු, සහ සමීකරණය පෝරමය ගනී. අපේක්ෂිත ලක්ෂ්යය ස්වයංක්රීයව ලබා ගනී: .

අක්ෂය සමඟ සමාන වේ රේඛාව y-අක්ෂය ඡේදනය වන ලක්ෂ්‍යය වේ.

"ජ්යාමිතික ඇල්ගොරිතම" මාලාවෙන් පාඩම

ආයුබෝවන් හිතවත් පාඨකයා!

අද අපි ජ්‍යාමිතිය සම්බන්ධ ඇල්ගොරිතම ඉගෙන ගැනීමට පටන් ගනිමු. කාරණය වන්නේ පරිගණක ජ්‍යාමිතිය හා සම්බන්ධ පරිගණක විද්‍යාවේ ඔලිම්පියාඩ් ගැටළු රාශියක් ඇති අතර එවැනි ගැටළු විසඳීම බොහෝ විට දුෂ්කරතා ඇති කරයි.

පාඩම් කිහිපයකින්, පරිගණක ජ්‍යාමිතිය පිළිබඳ බොහෝ ගැටලු විසඳීමට පදනම් වූ මූලික උප ගැටලු ගණනාවක් අපි සලකා බලමු.

මෙම පාඩමේදී, අපි වැඩසටහනක් ලියන්නෙමු සරල රේඛාවක සමීකරණය සොයා ගැනීමලබා දී ඇති දේ හරහා ගමන් කිරීම තිත් දෙකක්. ජ්යාමිතික ගැටළු විසඳීම සඳහා, අපට පරිගණක ජ්යාමිතිය පිළිබඳ යම් දැනුමක් අවශ්ය වේ. අපි පාඩමේ කොටසක් ඔවුන්ව දැන හඳුනා ගැනීමට කැප කරන්නෙමු.

පරිගණක ජ්යාමිතිය වෙතින් තොරතුරු

පරිගණක ජ්‍යාමිතිය යනු ජ්‍යාමිතික ගැටළු විසඳීම සඳහා ඇල්ගොරිතම අධ්‍යයනය කරන පරිගණක විද්‍යාවේ ශාඛාවකි.

එවැනි ගැටළු සඳහා ආරම්භක දත්ත තලයේ ඇති ලක්ෂ්‍ය සමූහයක්, කොටස් සමූහයක්, බහුඅස්‍රයක් (උදාහරණයක් ලෙස, දක්ෂිණාවර්තව එහි සිරස් ලැයිස්තුවක් මඟින් ලබා දී ඇත) යනාදිය විය හැකිය.

ප්‍රතිඵලය යම් ප්‍රශ්නයකට පිළිතුරක් විය හැක (ලක්ෂ්‍යයක් ඛණ්ඩයකට අයත් වේද, කොටස් දෙකක් ඡේදනය වේද, ...) හෝ යම් ජ්‍යාමිතික වස්තුවක් (උදාහරණයක් ලෙස, සම්බන්ධ වන කුඩාම උත්තල බහුඅස්‍රය) ලකුණු ලබා දී ඇත, බහුඅස්ර ප්රදේශය, ආදිය).

අපි තලය මත පමණක් සහ Cartesian ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ පමණක් පරිගණක ජ්යාමිතිය පිළිබඳ ගැටළු සලකා බලමු.

දෛශික සහ ඛණ්ඩාංක

පරිගණක ජ්‍යාමිතිය ක්‍රම භාවිතා කිරීම සඳහා, ජ්‍යාමිතික රූප සංඛ්‍යා භාෂාවට පරිවර්තනය කිරීම අවශ්‍ය වේ. තලය මත කාටිසියානු ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක් ලබා දී ඇති අතර, වාමාවර්තව භ්‍රමණය වන දිශාව ධනාත්මක ලෙස හැඳින්වේ යැයි අපි උපකල්පනය කරමු.

දැන් ජ්යාමිතික වස්තූන්ට විශ්ලේෂණාත්මක ප්රකාශනයක් ලැබේ. එබැවින්, ලක්ෂ්යයක් සැකසීමට, එහි ඛණ්ඩාංක නියම කිරීමට ප්රමාණවත් වේ: සංඛ්යා යුගලයක් (x; y). ඛණ්ඩයක් එහි කෙළවරේ ඛණ්ඩාංක නියම කිරීමෙන් නියම කළ හැකිය, එහි ලක්ෂ්‍ය යුගලයක ඛණ්ඩාංක නියම කිරීමෙන් සරල රේඛාවක් නියම කළ හැකිය.

නමුත් ගැටළු විසඳීම සඳහා ප්රධාන මෙවලම දෛශික වනු ඇත. ඒ නිසා ඔවුන් ගැන තොරතුරු ටිකක් මතක් කරන්නම්.

රේඛා කොටස AB, කරුණක් ඇති නමුත්ආරම්භය (යෙදුමේ ලක්ෂ්යය) සහ ලක්ෂ්යය ලෙස සැලකේ හිදී- අවසානය දෛශිකයක් ලෙස හැඳින්වේ ABසහ එක්කෝ , හෝ නිර්භීත ලෙස දක්වන්න කුඩා නඩුව, උදාහරණ වශයෙන් ඒ .

දෛශිකයක දිග දැක්වීමට (එනම්, අනුරූප කොටසේ දිග), අපි මොඩියුල සංකේතය භාවිතා කරමු (උදාහරණයක් ලෙස, ).

අත්තනෝමතික දෛශිකයකට එහි අවසානය සහ ආරම්භයේ අනුරූප ඛණ්ඩාංක අතර වෙනසට සමාන ඛණ්ඩාංක ඇත:

,

මෙහි තිත් ඒහා බී ඛණ්ඩාංක ඇත පිළිවෙලින්.

ගණනය කිරීම් සඳහා, අපි සංකල්පය භාවිතා කරමු නැඹුරු කෝණය, එනම්, දෛශිකයන්ගේ සාපේක්ෂ පිහිටීම සැලකිල්ලට ගන්නා කෝණයකි.

දෛශික අතර දිශානුගත කෝණය ඒ හා බී භ්‍රමණය දෛශිකයෙන් ඈත් වන්නේ නම් ධනාත්මක වේ ඒ දෛශිකය වෙත බී ධනාත්මක දිශාවට (වාමාවර්තව) සහ අනෙක් අවස්ථාවෙහි සෘණාත්මකව සිදු කෙරේ. fig.1a, fig.1b බලන්න. දෛශික යුගලයක් බවද පැවසේ ඒ හා බී ධනාත්මකව (සෘණාත්මකව) නැඹුරු.

මේ අනුව, දිශානුගත කෝණයේ අගය දෛශික ගණනය කිරීමේ අනුපිළිවෙල මත රඳා පවතින අතර පරතරය තුළ අගයන් ගත හැකිය.

බොහෝ පරිගණකමය ජ්‍යාමිතික ගැටළු දෛශික වල දෛශික නිෂ්පාදන සංකල්පය භාවිතා කරයි.

දෛශිකවල දෛශික ගුණිතය a සහ b යනු මෙම දෛශිකවල දිග සහ ඒවා අතර කෝණයේ සයින් වල ගුණිතයයි:

.

ඛණ්ඩාංකවල දෛශිකවල දෛශික නිෂ්පාදනය:

දකුණු පස ඇති ප්‍රකාශනය දෙවන පෙළ නිර්ණායකයකි:

විශ්ලේෂණ ජ්‍යාමිතියෙහි දක්වා ඇති නිර්වචනය මෙන් නොව, මෙය අදිශයකි.

අත්සන් කරන්න දෛශික නිෂ්පාදනයඑකිනෙකට සාපේක්ෂව දෛශිකවල පිහිටීම තීරණය කරයි:

ඒ හා බී ධනාත්මකව නැඹුරු.

අගය නම්, දෛශික යුගලය ඒ හා බී සෘණාත්මකව නැඹුරු.

ශුන්‍ය නොවන දෛශිකවල හරස් ගුණිතය ශුන්‍ය වේ නම් සහ ඒවා collinear නම් පමණි ( ) මෙයින් අදහස් කරන්නේ ඔවුන් එකම රේඛාවක හෝ සමාන්තර රේඛාවල පිහිටා ඇති බවයි.

වඩාත් සංකීර්ණ ඒවා විසඳීම සඳහා අවශ්ය සරල කාර්යයන් කිහිපයක් සලකා බලමු.

සරල රේඛාවක සමීකරණය ලක්ෂ්‍ය දෙකක ඛණ්ඩාංක මගින් නිර්වචනය කරමු.

ඒවායේ ඛණ්ඩාංක මගින් ලබා දී ඇති විවිධ ලක්ෂ්‍ය දෙකක් හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවක සමීකරණය.

ඛණ්ඩාංක (x1;y1) සහ ඛණ්ඩාංක සමඟ (x2; y2) සමග සමපාත නොවන ලක්ෂ්‍ය දෙකක් රේඛාව මත ලබා දෙන්න. ඒ අනුව ලක්ෂ්‍යයේ ආරම්භයත් ලක්ෂ්‍යයේ අවසානයත් සහිත දෛශිකයට ඛණ්ඩාංක ඇත (x2-x1, y2-y1). P(x, y) අපගේ රේඛාවේ අත්තනෝමතික ලක්ෂ්‍යයක් නම්, දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක (x-x1, y - y1) වේ.

හරස් නිෂ්පාදනයේ ආධාරයෙන්, දෛශිකවල සහසම්බන්ධතාවය සඳහා කොන්දේසිය සහ පහත පරිදි ලිවිය හැකිය:

එම. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

අපි අවසාන සමීකරණය පහත පරිදි නැවත ලියන්නෙමු:

ax + by + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

එබැවින්, සරල රේඛාව පෝරමයේ (1) සමීකරණයකින් ලබා දිය හැකිය.

කාර්යය 1. කරුණු දෙකක ඛණ්ඩාංක ලබා දී ඇත. එහි නිරූපණය ax + by + c = 0 ආකාරයෙන් සොයන්න.

මෙම පාඩමේදී, අපි පරිගණක ජ්යාමිතිය පිළිබඳ තොරතුරු කිහිපයක් දැන සිටියෙමු. ලක්ෂ්‍ය දෙකක ඛණ්ඩාංක මගින් රේඛාවේ සමීකරණය සොයා ගැනීමේ ගැටලුව අපි විසඳා ගත්තෙමු.

මීළඟ පාඩමේදී අපි අපේ සමීකරණ මගින් ලබා දී ඇති රේඛා දෙකක ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යය සෙවීමට වැඩසටහනක් ලියමු.

ගුවන් යානයක රේඛාවක සමීකරණය.

දන්නා පරිදි, ගුවන් යානයේ ඕනෑම ලක්ෂ්යයක් යම් ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක ඛණ්ඩාංක දෙකක් මගින් තීරණය වේ. පදනම සහ සම්භවය තේරීම අනුව සම්බන්ධීකරණ පද්ධති වෙනස් විය හැකිය.

අර්ථ දැක්වීම. රේඛා සමීකරණයමෙම රේඛාව සෑදෙන ලක්ෂ්‍යවල ඛණ්ඩාංක අතර සම්බන්ධතාවය y = f(x) වේ.

රේඛා සමීකරණය පරාමිතික ආකාරයකින් ප්‍රකාශ කළ හැකි බව සලකන්න, එනම්, එක් එක් ලක්ෂ්‍යයේ එක් එක් ඛණ්ඩාංක යම් ස්වාධීන පරාමිතියක් හරහා ප්‍රකාශ වේ. ටී.

සාමාන්‍ය උදාහරණයක් වන්නේ චලනය වන ලක්ෂ්‍යයක ගමන් පථයයි. මෙම අවස්ථාවේ දී, කාලය පරාමිතියක කාර්යභාරය ඉටු කරයි.

ගුවන් යානයක සරල රේඛාවක සමීකරණය.

අර්ථ දැක්වීම. තලයේ ඕනෑම රේඛාවක් පළමු අනුපිළිවෙල සමීකරණයකින් ලබා දිය හැකිය

Ah + Wu + C = 0,

එපමනක් නොව, A, B නියතයන් එකවර ශුන්‍යයට සමාන නොවේ, i.e. A 2 + B 2  0. මෙම පළමු අනුපිළිවෙල සමීකරණය ලෙස හැඳින්වේ සරල රේඛාවක පොදු සමීකරණය.

A, B සහ C නියතයන්ගේ අගයන් මත පදනම්ව, පහත දැක්වෙන විශේෂ අවස්ථා විය හැකිය:

C \u003d 0, A  0, B  0 - රේඛාව සම්භවය හරහා ගමන් කරයි

A \u003d 0, B  0, C  0 (By + C \u003d 0) - රේඛාව Ox අක්ෂයට සමාන්තර වේ

B \u003d 0, A  0, C  0 ( Ax + C \u003d 0) - රේඛාව Oy අක්ෂයට සමාන්තර වේ

B \u003d C \u003d 0, A  0 - සරල රේඛාව Oy අක්ෂය සමඟ සමපාත වේ

A \u003d C \u003d 0, B  0 - සරල රේඛාව Ox අක්ෂය සමඟ සමපාත වේ

ඕනෑම ආරම්භක කොන්දේසි මත පදනම්ව සරල රේඛාවක සමීකරණය විවිධ ආකාරවලින් ඉදිරිපත් කළ හැකිය.

ලක්ෂ්‍යයකින් සහ සාමාන්‍ය දෛශිකයකින් සරල රේඛාවක් සමීකරණය.

අර්ථ දැක්වීම. කාටිසියානු සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක, සංරචක (A, B) සහිත දෛශිකයක් Ax + By + C = 0 සමීකරණයෙන් ලබා දෙන රේඛාවට ලම්බක වේ.

උදාහරණයක්.දෛශිකයට ලම්බකව A (1, 2) ලක්ෂ්‍යය හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවක සමීකරණය සොයන්න (3, -1).

අපි සරල රේඛාවේ සමීකරණය A \u003d 3 සහ B \u003d -1 හිදී රචනා කරමු: 3x - y + C \u003d 0. සංගුණකය C සොයා ගැනීමට, අපි ලබා දී ඇති ලක්ෂ්‍යයේ A හි ඛණ්ඩාංක ප්‍රතිඵල ප්‍රකාශනයට ආදේශ කරමු.

අපට ලැබෙන්නේ: 3 - 2 + C \u003d 0, එබැවින් C \u003d -1.

එකතුව: අපේක්ෂිත සමීකරණය: 3x - y - 1 \u003d 0.

ලකුණු දෙකක් හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවක සමීකරණය.

M 1 (x 1, y 1, z 1) සහ M 2 (x 2, y 2, z 2) යන ලක්ෂ්‍ය දෙකක් අභ්‍යවකාශයේදී ලබා දෙන්න, එවිට මෙම ලක්ෂ්‍ය හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවක සමීකරණය:

කිසියම් හරයක් ශුන්‍යයට සමාන නම්, අනුරූප සංඛ්‍යාව බිංදුවට සමාන කළ යුතුය.

තලයක, ඉහත ලියා ඇති සරල රේඛාවක සමීකරණය සරල කර ඇත:

x 1  x 2 සහ x \u003d x 1 නම්, x 1 \u003d x 2 නම්.

භාගය
=k ලෙස හැඳින්වේ බෑවුම් සාධකයකෙලින්ම.

උදාහරණයක්. A(1, 2) සහ B(3, 4) ලක්ෂ්‍ය හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවක සමීකරණය සොයන්න.

ඉහත සූත්‍රය යෙදීමෙන් අපට ලැබෙන්නේ:

ලක්ෂ්‍යයක් සහ බෑවුමකින් සරල රේඛාවක සමීකරණය.

Ax + Vy + C = 0 සරල රේඛාවේ සාමාන්‍ය සමීකරණය පෝරමයට යොමු කරයි නම්:

සහ නම් කරන්න
, එවිට ලැබෙන සමීකරණය ලෙස හැඳින්වේ බෑවුමක් සහිත සරල රේඛාවක සමීකරණයකේ.

ලක්ෂ්‍යයක් සහ දිශානති දෛශිකයක් මත සරල රේඛාවක සමීකරණය.

සාමාන්‍ය දෛශිකය හරහා සරල රේඛාවක සමීකරණය සලකා බලන ලක්ෂ්‍යය සමඟ ප්‍රතිසමයෙන්, ඔබට සරල රේඛාවක ලක්ෂ්‍යයක් සහ දිශානති දෛශිකයක් හරහා සරල රේඛාවක් පැවරීම ඇතුළත් කළ හැකිය.

අර්ථ දැක්වීම. ශුන්‍ය නොවන සෑම දෛශිකයක්ම ( 1,  2), A 1 + B 2 = 0 කොන්දේසිය තෘප්තිමත් කරන සංරචක රේඛාවේ දිශානත දෛශිකය ලෙස හැඳින්වේ.

Ah + Wu + C = 0.

උදාහරණයක්.දිශා දෛශිකයක් සහිත සරල රේඛාවක සමීකරණය සොයන්න (1, -1) සහ A (1, 2) ලක්ෂ්‍යය හරහා ගමන් කිරීම.

අපි අපේක්ෂිත සරල රේඛාවේ සමීකරණයක් ආකාරයෙන් සොයමු: Ax + By + C = 0. නිර්වචනයට අනුකූලව, සංගුණක කොන්දේසි සපුරාලිය යුතුය:

1A + (-1)B = 0, i.e. A = B.

එවිට සරල රේඛාවක සමීකරණයේ ස්වරූපය ඇත: Ax + Ay + C = 0, හෝ x + y + C/A = 0.

x = 1, y = 2 දී අපි С/A = -3 ලබා ගනිමු, i.e. අපේක්ෂිත සමීකරණය:

කොටස්වල සරල රේඛාවක සමීකරණය.

සරල රේඛාවේ Ah + Wu + C = 0 C 0 හි සාමාන්‍ය සමීකරණයේ නම්, –C මගින් බෙදීම, අපට ලැබෙන්නේ:
හෝ

, කොහෙද

සංගුණකවල ජ්යාමිතික අර්ථය සංගුණකය යන්නයි ඒ x-අක්ෂය සමඟ රේඛාවේ ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංකය වේ, සහ බී- Oy අක්ෂය සමඟ සරල රේඛාවේ ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්යයේ ඛණ්ඩාංකය.

උදාහරණයක්. x - y + 1 = 0 රේඛාවේ සාමාන්‍ය සමීකරණය ලබා දී ඇත. මෙම රේඛාවේ සමීකරණය කොටස් වලින් සොයා ගන්න.

C \u003d 1,
, a = -1, b = 1.

සරල රේඛාවක සාමාන්‍ය සමීකරණය.

Ax + Wy + C = 0 යන සමීකරණයේ දෙපැත්තම සංඛ්‍යාවෙන් බෙදුවහොත්
, ලෙස හැඳින්වේ සාමාන්යකරණ සාධකය, එතකොට අපිට ලැබෙනවා

xcos + ysin - p = 0 –

සරල රේඛාවක සාමාන්‍ය සමීකරණය.

С වන පරිදි සාමාන්‍යකරණ සාධකයේ ලකුණ  තෝරා ගත යුතුය< 0.

p යනු මූලාරම්භයේ සිට සරල රේඛාව දක්වා පහත වැටී ඇති ලම්බකයේ දිග වන අතර,  යනු Ox අක්ෂයේ ධනාත්මක දිශාව සමඟ මෙම ලම්බකයෙන් සාදන ලද කෝණයයි.

උදාහරණයක්.සරල රේඛාවේ සාමාන්‍ය සමීකරණය අනුව 12x - 5y - 65 \u003d 0. එය ලිවීමට අවශ්‍ය වේ විවිධ වර්ගමෙම රේඛාවේ සමීකරණ.

කොටස් වශයෙන් මෙම සරල රේඛාවේ සමීකරණය:

බෑවුම සමඟ මෙම රේඛාවේ සමීකරණය: (5 න් බෙදන්න)

සරල රේඛාවක සාමාන්‍ය සමීකරණය:

; cos = 12/13; sin = -5/13; p=5.

සෑම සරල රේඛාවක්ම කොටස්වල සමීකරණයකින් නිරූපණය කළ නොහැකි බව සැලකිල්ලට ගත යුතුය, නිදසුනක් ලෙස, අක්ෂවලට සමාන්තරව හෝ මූලාරම්භය හරහා ගමන් කරන සරල රේඛා.

උදාහරණයක්.සරල රේඛාව ඛණ්ඩාංක අක්ෂයන්හි සමාන ධනාත්මක කොටස් කපා දමයි. මෙම කොටස් මගින් සාදන ලද ත්‍රිකෝණයේ වර්ගඵලය 8 cm 2 නම් සරල රේඛාවක සමීකරණය ලියන්න.

සරල රේඛාවක සමීකරණයට ආකෘතියක් ඇත:
, a = b = 1; ab/2 = 8; a = 4; -හතර.

a = -4 ගැටලුවේ තත්වයට නොගැලපේ.

සමස්ත:
හෝ x + y - 4 = 0.

උදාහරණයක්. A ලක්ෂ්‍යය (-2, -3) සහ මූලාරම්භය හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවක සමීකරණය ලියන්න.

සරල රේඛාවක සමීකරණයට ආකෘතියක් ඇත:
, x 1 \u003d y 1 \u003d 0; x 2 \u003d -2; y 2 \u003d -3.

ගුවන් යානයක රේඛා අතර කෝණය.

අර්ථ දැක්වීම. රේඛා දෙකක් y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 ලබා දෙන්නේ නම්, මෙම රේඛා අතර තියුණු කෝණය ලෙස අර්ථ දැක්වේ.

.

k 1 = k 2 නම් පේළි දෙකක් සමාන්තර වේ.

k 1 = -1/k 2 නම් රේඛා දෙකක් ලම්බක වේ.

ප්රමේයය. සෘජු රේඛා Ax + Vy + C = 0 සහ A 1 x + බී 1 y + C 1 = 0 සංගුණක A සමානුපාතික වන විට සමාන්තර වේ 1 =  ඒ, බී 1 =  B. එසේ නම් C 1 =  C, එවිට රේඛා සමපාත වේ.

රේඛා දෙකක ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක මෙම රේඛාවල සමීකරණ පද්ධතියට විසඳුමක් ලෙස සොයා ගැනේ.

හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවක සමීකරණය ලබා දී ඇති ලක්ෂ්යය

මෙම රේඛාවට ලම්බකව.

අර්ථ දැක්වීම. M 1 (x 1, y 1) ලක්ෂ්‍යය හරහා ගමන් කරන රේඛාව සහ y \u003d kx + b රේඛාවට ලම්බකව සමීකරණය මගින් නිරූපණය කෙරේ:

ලක්ෂ්‍යයක සිට රේඛාවකට ඇති දුර.

ප්රමේයය. ලක්ෂ්‍යයක් නම් M(x 0 , වයි 0 ), එවිට Ax + Vy + C = 0 රේඛාවට ඇති දුර ලෙස අර්ථ දැක්වේ

.

සාක්ෂි. M ලක්ෂ්‍යය M 1 (x 1, y 1) ලක්ෂ්‍යය M ලක්ෂ්‍යයේ සිට ලබා දී ඇති රේඛාවට පහත හෙලන ලද ලම්බකයේ පාදය වේවා. එවිට ලකුණු M සහ M 1 අතර දුර:

සමීකරණ පද්ධතියට විසඳුමක් ලෙස x 1 සහ y 1 ඛණ්ඩාංක සොයාගත හැකිය:

පද්ධතියේ දෙවන සමීකරණය වන්නේ ලබා දී ඇති සරල රේඛාවකට ලම්බකව M 0 ලක්ෂ්‍යයක් හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවක සමීකරණයයි.

අපි පද්ධතියේ පළමු සමීකරණය ආකෘතියට පරිවර්තනය කරන්නේ නම්:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

එවිට, විසඳා, අපට ලැබෙන්නේ:

මෙම ප්‍රකාශන (1) සමීකරණයට ආදේශ කිරීමෙන් අපට හමු වන්නේ:

.

ප්රමේයය ඔප්පු කර ඇත.

උදාහරණයක්.රේඛා අතර කෝණය තීරණය කරන්න: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 \u003d -3; k 2 = 2tg =
;  = /4.

උදාහරණයක්. 3x - 5y + 7 = 0 සහ 10x + 6y - 3 = 0 රේඛා ලම්බක බව පෙන්වන්න.

අපට හමු වන්නේ: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 k 2 \u003d -1, එබැවින් රේඛා ලම්බක වේ.

උදාහරණයක්. A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1) යන ත්‍රිකෝණයේ සිරස් ලබා දී ඇත. C ශීර්ෂයෙන් අඳින ලද උස සඳහා සමීකරණය සොයන්න.

අපි AB පැත්තේ සමීකරණය සොයා ගනිමු:
; 4x = 6y - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

අපේක්ෂිත උස සමීකරණය වන්නේ: Ax + By + C = 0 හෝ y = kx + b.

k = . එවිට y =
. නිසා උස C ලක්ෂ්‍යය හරහා ගමන් කරයි, එවිට එහි ඛණ්ඩාංක මෙම සමීකරණය තෘප්තිමත් කරයි:
කොහෙන්ද b = 17. එකතුව:
.

පිළිතුර: 3x + 2y - 34 = 0.

අභ්යවකාශයේ විශ්ලේෂණාත්මක ජ්යාමිතිය.

අවකාශයේ රේඛා සමීකරණය.

ලක්ෂ්‍යයකින් අවකාශයේ සරල රේඛාවක සමීකරණය සහ

දිශාව දෛශිකය.

අත්තනෝමතික රේඛාවක් සහ දෛශිකයක් ගන්න (m, n, p) දී ඇති රේඛාවට සමාන්තරව. දෛශිකය කියලා මාර්ගෝපදේශ දෛශිකයකෙලින්ම.

අපි සරල රේඛාවේ M 0 (x 0 , y 0 , z 0) සහ M(x, y, z) යන අත්තනෝමතික ලක්ෂ්‍ය දෙකක් ගනිමු.

z

M1

අපි මෙම ලක්ෂ්‍යවල අරය දෛශික ලෙස දක්වන්නෙමු හා , ඒක පැහැදිලියි - =
.

නිසා දෛශික
හා collinear වේ, එවිට සම්බන්ධය සත්‍ය වේ
= t, මෙහි t යනු යම් පරාමිතියකි.

සමස්තයක් වශයෙන්, අපට ලිවිය හැකිය: = + ටී.

නිසා මෙම සමීකරණය රේඛාවේ ඕනෑම ලක්ෂ්‍යයක ඛණ්ඩාංක මගින් තෘප්තිමත් වේ, එවිට ලැබෙන සමීකරණය වන්නේ සරල රේඛාවක පරාමිතික සමීකරණය.

මෙම දෛශික සමීකරණය ඛණ්ඩාංක ආකාරයෙන් නිරූපණය කළ හැක:

මෙම පද්ධතිය පරිවර්තනය කිරීම සහ පරාමිතිය t හි අගයන් සමාන කිරීම, අපි ලබා ගනිමු කැනොනිකල් සමීකරණඅභ්‍යවකාශයේ සරල රේඛාව:

.

අර්ථ දැක්වීම. දිශා කොසයිනසෘජු යනු දෛශිකයේ දිශා කෝසයින වේ , සූත්‍ර මගින් ගණනය කළ හැක:

;

.

මෙතැන් සිට අපට ලැබෙන්නේ: m: n: p = cos : cos: cos.

අංක m, n, p ලෙස හැඳින්වේ බෑවුම් සාධකකෙලින්ම. නිසා යනු ශුන්‍ය නොවන දෛශිකයකි, m, n සහ p එකවර ශුන්‍ය විය නොහැක, නමුත් මෙම සංඛ්‍යා වලින් එකක් හෝ දෙකක් ශුන්‍ය විය හැක. මෙම අවස්ථාවේදී, සරල රේඛාවක සමීකරණයේදී, අනුරූප සංඛ්යා ශුන්යයට සමාන කළ යුතුය.

අභ්‍යවකාශය ගමන් කිරීමේදී සරල රේඛාවක සමීකරණය

කරුණු දෙකක් හරහා.

අත්තනෝමතික ලක්ෂ්‍ය දෙකක් M 1 (x 1, y 1, z 1) සහ M 2 (x 2, y 2, z 2) අභ්‍යවකාශයේ සරල රේඛාවක සලකුණු කර ඇත්නම්, මෙම ලක්ෂ්‍යවල ඛණ්ඩාංක මගින් සමීකරණය තෘප්තිමත් කළ යුතුය. ඉහත ලබාගත් සරල රේඛාව:

.

ඊට අමතරව, M 1 ලක්ෂය සඳහා අපට ලිවිය හැකිය:

.

මෙම සමීකරණ එකට විසඳා, අපට ලැබෙන්නේ:

.

මෙය අභ්‍යවකාශයේ ස්ථාන දෙකක් හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවක සමීකරණයයි.

අභ්‍යවකාශයේ සරල රේඛාවක සාමාන්‍ය සමීකරණ.

සරල රේඛාවක සමීකරණය ගුවන් යානා දෙකක ඡේදනය වීමේ රේඛාවක සමීකරණය ලෙස සැලකිය හැකිය.

ඉහත සාකච්ඡා කළ පරිදි, දෛශික ස්වරූපයෙන් තලයක් සමීකරණයෙන් ලබා දිය හැකිය:

+ D = 0, කොහෙද

- ගුවන් යානය සාමාන්ය; - ගුවන් යානයේ අත්තනෝමතික ලක්ෂ්‍යයක අරය-දෛශිකය.

සරල රේඛාව M 1 (x 1; y 1) සහ M 2 (x 2; y 2) ලක්ෂ්‍ය හරහා යාමට ඉඩ දෙන්න. M 1 ලක්ෂ්‍යය හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවක සමීකරණයට y- y 1 \u003d ආකෘතිය ඇත කේ (x - x 1), (10.6)

කොහෙද කේ - තවමත් නොදන්නා සංගුණකය.

සරල රේඛාව M 2 (x 2 y 2) ලක්ෂ්‍යය හරහා ගමන් කරන බැවින්, මෙම ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක සමීකරණය (10.6) තෘප්තිමත් කළ යුතුය: y 2 -y 1 \u003d කේ (x 2 -x 1).

මෙතැන් සිට අපට සොයාගත් අගය ආදේශ කිරීම සොයා ගනී කේ සමීකරණයට (10.6), අපි M 1 සහ M 2 ලක්ෂ්‍ය හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවක සමීකරණය ලබා ගනිමු:

මෙම සමීකරණයේ x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2 ලෙස උපකල්පනය කෙරේ.

x 1 \u003d x 2 නම්, M 1 (x 1, y I) සහ M 2 (x 2, y 2) යන ලක්ෂ්‍ය හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාව y-අක්ෂයට සමාන්තර වේ. එහි සමීකරණය වේ x = x 1 .

y 2 \u003d y I නම්, සරල රේඛාවේ සමීකරණය y \u003d y 1 ලෙස ලිවිය හැකිය, M 1 M 2 සරල රේඛාව x-අක්ෂයට සමාන්තර වේ.

කොටස්වල සරල රේඛාවක සමීකරණය

M 1 (a; 0) ලක්ෂ්‍යයේදී Ox අක්ෂය ඡේදනය වීමට සරල රේඛාවට ඉඩ දෙන්න, සහ Oy අක්ෂය - M 2 (0; b) ලක්ෂ්‍යයේදී. සමීකරණය පෝරමය ගනී:
එම.
. මෙම සමීකරණය ලෙස හැඳින්වේ ඛණ්ඩවල සරල රේඛාවක සමීකරණය, මන්ද අංක a සහ b මඟින් ඛණ්ඩාංක අක්ෂවල සරල රේඛාව කපා හැරෙන්නේ කුමන කොටස්ද යන්න දක්වයි.

දී ඇති දෛශිකයකට ලම්බකව දී ඇති ලක්ෂ්‍යයක් හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවක සමීකරණය

දී ඇති ශුන්‍ය නොවන දෛශිකයකට ලම්බකව Mo (x O; y o) ලක්ෂ්‍යයක් හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවක සමීකරණය n = (A; B) සොයා ගනිමු.

සරල රේඛාවේ අත්තනෝමතික ලක්ෂ්‍යයක් ගෙන M (x; y) සහ දෛශිකය M 0 M (x - x 0; y - y o) සලකා බලන්න (රූපය 1 බලන්න). දෛශික n සහ M o M ලම්බක වන බැවින්, ඒවායේ අදිශ ගුණිතය ශුන්‍යයට සමාන වේ: එනම්,

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

සමීකරණය (10.8) ලෙස හැඳින්වේ දී ඇති දෛශිකයකට ලම්බකව දී ඇති ලක්ෂ්‍යයක් හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවක සමීකරණය .

රේඛාවට ලම්බක n = (A; B) දෛශිකය සාමාන්‍ය ලෙස හැඳින්වේ මෙම රේඛාවේ සාමාන්ය දෛශිකය .

සමීකරණය (10.8) ලෙස නැවත ලිවිය හැක Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

A සහ B යනු සාමාන්‍ය දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක වේ, C \u003d -Ax o - Vu o - free member. සමීකරණය (10.9) සරල රේඛාවක පොදු සමීකරණය වේ(රූපය 2 බලන්න).

Fig.1 Fig.2

සරල රේඛාවේ කැනොනිකල් සමීකරණ

,

කොහෙද
රේඛාව ගමන් කරන ලක්ෂ්යයේ ඛණ්ඩාංක වේ, සහ
- දිශා දෛශිකය.

දෙවන අනුපිළිවෙල කවයේ වක්‍ර

වෘත්තයක් යනු දී ඇති ලක්ෂ්‍යයකට සමාන දුරින් පිහිටි තලයක සියලුම ලක්ෂ්‍ය සමූහයකි, එය කේන්ද්‍රය ලෙස හැඳින්වේ.

අරය කවයක කැනොනිකල් සමීකරණය ආර් ලක්ෂ්යයක් මත කේන්ද්රගත විය
:

විශේෂයෙන්, කොටස්වල කේන්ද්‍රය මූලාරම්භය සමඟ සමපාත වන්නේ නම්, සමීකරණය මේ ආකාරයෙන් පෙනෙනු ඇත:

ඉලිප්සය

ඉලිප්සයක් යනු තලයක ඇති ලක්ෂ්‍ය සමූහයකි, ඒවායින් එක් එක් ලක්ෂ්‍ය දෙකක් දක්වා ඇති දුරවල එකතුව හා , foci ලෙස හඳුන්වනු ලබන්නේ නියත අගයකි
, foci අතර දුර ප්රමාණයට වඩා වැඩි ය
.

Ox අක්ෂය මත නාභිය පිහිටා ඇති සහ නාභිය අතර මධ්‍යයේ මූලාරම්භය ඇති ඉලිප්සයක කැනොනිකල් සමීකරණයට ස්වරූපය ඇත
ජී දඒ ප්රධාන අර්ධ අක්ෂයේ දිග;බී කුඩා අර්ධ අක්ෂයේ දිග වේ (රූපය 2).

යුක්ලීඩීය ජ්‍යාමිතියේ සරල රේඛාවක ගුණ.

ඕනෑම ලක්ෂයක් හරහා ඇද ගත හැකි රේඛා අනන්තවත් ඇත.

ඕනෑම සමපාත නොවන ලක්ෂ්‍ය දෙකක් හරහා ඇත්තේ එක් සරල රේඛාවක් පමණි.

තලයේ අහඹු නොවන රේඛා දෙකක් එක් ලක්ෂයක ඡේදනය වේ, නැතහොත් වේ

සමාන්තර (පෙර සිට අනුගමනය කරයි).

ත්‍රිමාණ අවකාශයේ විකල්ප තුනක් ඇත. සාපේක්ෂ පිහිටීමසරල රේඛා දෙකක්:

• රේඛා ඡේදනය;

• සරල රේඛා සමාන්තර වේ;

• සරල රේඛා ඡේදනය වේ.

කෙලින්ම රේඛාව- පළමු අනුපිළිවෙලෙහි වීජීය වක්‍රය: කාටිසියානු ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ, සරල රේඛාවක්

පළමු උපාධිය (රේඛීය සමීකරණය) සමීකරණයක් මගින් තලය මත ලබා දී ඇත.

සරල රේඛාවක පොදු සමීකරණය.

අර්ථ දැක්වීම. තලයේ ඕනෑම රේඛාවක් පළමු අනුපිළිවෙල සමීකරණයකින් ලබා දිය හැකිය

Ah + Wu + C = 0,

සහ නියත ඒ, බීඑකවර බිංදුවට සමාන නොවේ. මෙම පළමු අනුපිළිවෙල සමීකරණය ලෙස හැඳින්වේ ජනරාල්

සරල රේඛා සමීකරණය.නියත අගයන් මත රඳා පවතී ඒ, බීහා සිටපහත සඳහන් විශේෂ අවස්ථා හැකි ය:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- රේඛාව සම්භවය හරහා ගමන් කරයි

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (B by + C = 0)- අක්ෂයට සමාන්තරව සරල රේඛාව ඔහ්

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0)- අක්ෂයට සමාන්තරව සරල රේඛාව OU

. B = C = 0, A ≠ 0- රේඛාව අක්ෂය සමඟ සමපාත වේ OU

. A = C = 0, B ≠ 0- රේඛාව අක්ෂය සමඟ සමපාත වේ ඔහ්

සරල රේඛාවක සමීකරණය නිරූපණය කළ හැක විවිධ ආකාරලබා දී ඇති ඕනෑම දෙයක් මත පදනම්ව

ආරම්භක කොන්දේසි.

ලක්ෂ්‍යයකින් සහ සාමාන්‍ය දෛශිකයකින් සරල රේඛාවක් සමීකරණය.

අර්ථ දැක්වීම. කාටිසියානු සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක, සංරචක සහිත දෛශිකයක් (A, B)

රේඛාවට ලම්බකව සමීකරණය මගින් ලබා දී ඇත

Ah + Wu + C = 0.

උදාහරණයක්. ලක්ෂ්‍යයක් හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවක සමීකරණය සොයන්න A(1, 2)දෛශිකයට ලම්බකව (3, -1).

විසඳුමක්. සරල රේඛාවේ සමීකරණය A \u003d 3 සහ B \u003d -1 හිදී රචනා කරමු: 3x - y + C \u003d 0. සංගුණකය C සොයා ගැනීමට

අපි ලබා දී ඇති ලක්ෂ්‍යයේ A හි ඛණ්ඩාංක ප්‍රතිඵල ප්‍රකාශනයට ආදේශ කරමු, අපට ලැබෙන්නේ: 3 - 2 + C = 0, එබැවින්

C = -1. එකතුව: අපේක්ෂිත සමීකරණය: 3x - y - 1 \u003d 0.

ලකුණු දෙකක් හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවක සමීකරණය.

අවකාශයේ කරුණු දෙකක් ලබා දෙන්න M 1 (x 1, y 1, z 1)හා M2 (x 2, y 2, z 2),එවිට සරල රේඛා සමීකරණය,

මෙම කරුණු හරහා ගමන් කිරීම:

කිසියම් හරයක් ශුන්‍යයට සමාන නම්, අනුරූප සංඛ්‍යාව බිංදුවට සමාන කළ යුතුය. මත

තලය, ඉහත ලියා ඇති සරල රේඛාවක සමීකරණය සරල කර ඇත:

නම් x 1 ≠ x 2හා x = x 1, නම් x 1 = x 2 .

භාගය = කිකියලා බෑවුම් සාධකය කෙලින්ම.

උදාහරණයක්. A(1, 2) සහ B(3, 4) ලක්ෂ්‍ය හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවක සමීකරණය සොයන්න.

විසඳුමක්. ඉහත සූත්‍රය යෙදීමෙන් අපට ලැබෙන්නේ:

ලක්ෂ්‍යයක් සහ බෑවුමකින් සරල රේඛාවක සමීකරණය.

සරල රේඛාවක පොදු සමීකරණය නම් Ah + Wu + C = 0පෝරමය වෙත ගෙන එන්න:

සහ නම් කරන්න , එවිට ලැබෙන සමීකරණය ලෙස හැඳින්වේ

බෑවුම k සමග සරල රේඛාවක සමීකරණය.

ලක්ෂ්‍යයක් සහ දිශානති දෛශිකයක් මත සරල රේඛාවක සමීකරණය.

සාමාන්‍ය දෛශිකය හරහා සරල රේඛාවක සමීකරණය සලකා බලන ලක්ෂ්‍යය සමඟ ප්‍රතිසමයෙන්, ඔබට කාර්යයට ඇතුළු විය හැකිය.

ලක්ෂ්‍යයක් හරහා සරල රේඛාවක් සහ සරල රේඛාවක දිශා දෛශිකයක්.

අර්ථ දැක්වීම. ශුන්‍ය නොවන සෑම දෛශිකයක්ම (α 1, α 2), එහි සංරචක තත්ත්වය තෘප්තිමත් කරයි

Aα 1 + Bα 2 = 0කියලා සරල රේඛාවේ දිශා දෛශිකය.

Ah + Wu + C = 0.

උදාහරණයක්. දිශා දෛශිකය (1, -1) සහ A(1, 2) ලක්ෂ්‍යය හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවක සමීකරණය සොයන්න.

විසඳුමක්. අපි පෝරමයේ අපේක්ෂිත සරල රේඛාවේ සමීකරණය සොයන්නෙමු: Ax + By + C = 0.අර්ථ දැක්වීමට අනුව,

සංගුණක කොන්දේසි සපුරාලිය යුතුය:

1 * A + (-1) * B = 0, i.e. A = B.

එවිට සරල රේඛාවක සමීකරණයේ ස්වරූපය ඇත: Ax + Ay + C = 0,හෝ x + y + C / A = 0.

හිදී x=1, y=2අපට ලැබෙනවා C/ A = -3, i.e. අපේක්ෂිත සමීකරණය:

x + y - 3 = 0

කොටස්වල සරල රේඛාවක සමීකරණය.

Ah + Wu + C = 0 C≠0 සරල රේඛාවේ සාමාන්‍ය සමීකරණයේ නම්, -C න් බෙදීමේදී, අපට ලැබෙන්නේ:

හෝ , කොහෙද

සංගුණකවල ජ්‍යාමිතික අර්ථය නම් සංගුණකය a යනු ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංකයයි.

අක්ෂය සමඟ කෙළින්ම ඔහ්,ඒ බී- අක්ෂය සමඟ රේඛාවේ ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්යයේ ඛණ්ඩාංකය OU

උදාහරණයක්. සරල රේඛාවක පොදු සමීකරණය ලබා දී ඇත x - y + 1 = 0.මෙම සරල රේඛාවේ සමීකරණය කොටස් වලින් සොයන්න.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

සාමාන්ය සමීකරණයකෙලින්ම.

සමීකරණයේ දෙපැත්ත නම් Ah + Wu + C = 0අංකයෙන් බෙදන්න , යනුවෙන් හඳුන්වනු ලැබේ

සාමාන්යකරණ සාධකය, එතකොට අපිට ලැබෙනවා

xcosφ + ysinφ - p = 0 -සරල රේඛාවක සාමාන්‍ය සමීකරණය.

සාමාන්‍යකරණ සාධකයේ ± ලකුණ තෝරාගත යුතුය μ * සී< 0.

ආර්- මූලාරම්භයේ සිට රේඛාව දක්වා පහත වැටී ඇති ලම්බක දිග,

ඒ φ - අක්ෂයේ ධනාත්මක දිශාව සමඟ මෙම ලම්බකව පිහිටුවා ඇති කෝණය ඔහ්.

උදාහරණයක්. සරල රේඛාවක පොදු සමීකරණය ලබා දී ඇත 12x - 5y - 65 = 0. විවිධ ආකාරයේ සමීකරණ ලිවීමට අවශ්ය වේ

මෙම සරල රේඛාව.

ඛණ්ඩවල මෙම සරල රේඛාවේ සමීකරණය:

බෑවුම සහිත මෙම රේඛාවේ සමීකරණය: (5 න් බෙදන්න)

සරල රේඛාවක සමීකරණය:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.

සෑම සරල රේඛාවක්ම කොටස්වල සමීකරණයකින් නිරූපණය කළ නොහැකි බව සැලකිල්ලට ගත යුතුය, උදාහරණයක් ලෙස සරල රේඛා,

අක්ෂවලට සමාන්තරව හෝ සම්භවය හරහා ගමන් කරයි.

ගුවන් යානයක රේඛා අතර කෝණය.

අර්ථ දැක්වීම. පේලි දෙකක් දුන්නොත් y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, එවිට මෙම රේඛා අතර තියුණු කෝණය

ලෙස අර්ථ දක්වනු ඇත

රේඛා දෙකක් නම් සමාන්තර වේ k 1 = k 2. රේඛා දෙකක් ලම්බක වේ

නම් k 1 \u003d -1 / k 2 .

ප්රමේයය.

සෘජු Ah + Wu + C = 0හා A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0සංගුණක සමානුපාතික වන විට සමාන්තර වේ

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. එසේම නම් С 1 \u003d λС, එවිට රේඛා සමපාත වේ. පේළි දෙකක ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්යයේ ඛණ්ඩාංක

මෙම රේඛාවල සමීකරණ පද්ධතියට විසඳුමක් ලෙස සොයාගෙන ඇත.

දී ඇති ලක්ෂ්‍යයක් හරහා ගමන් කරන රේඛාවක සමීකරණය දී ඇති රේඛාවකට ලම්බක වේ.

අර්ථ දැක්වීම. ලක්ෂ්‍යයක් හරහා ගමන් කරන රේඛාවක් M 1 (x 1, y 1)සහ රේඛාවට ලම්බකව y = kx + b

සමීකරණය මගින් නිරූපණය කෙරේ:

ලක්ෂ්‍යයක සිට රේඛාවකට ඇති දුර.

ප්රමේයය. පොයින්ට් එකක් දුන්නොත් M(x 0, y 0),එවිට රේඛාවට ඇති දුර Ah + Wu + C = 0ලෙස අර්ථ දක්වා ඇත:

සාක්ෂි. කාරණයට ඉඩ දෙන්න M 1 (x 1, y 1)- ලම්බක පාදය ලක්ෂ්‍යයෙන් පහත වැටී ඇත එම්දී ඇති එකක් සඳහා

සෘජු. එවිට ලකුණු අතර දුර එම්හා එම් 1:

(1)

ඛණ්ඩාංක x 1හා 1සමීකරණ පද්ධතියට විසඳුමක් ලෙස සොයාගත හැකිය:

පද්ධතියේ දෙවන සමීකරණය වන්නේ ලබා දී ඇති ලක්ෂ්‍යයක් හරහා M 0 ලම්බකව ගමන් කරන සරල රේඛාවක සමීකරණයයි.

ලබා දී ඇති රේඛාව. අපි පද්ධතියේ පළමු සමීකරණය ආකෘතියට පරිවර්තනය කරන්නේ නම්:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

එවිට, විසඳා, අපට ලැබෙන්නේ:

මෙම ප්‍රකාශන (1) සමීකරණයට ආදේශ කිරීමෙන් අපට හමු වන්නේ:

ප්රමේයය ඔප්පු කර ඇත.