ප්රස්ථාරයට ස්පර්ශක සඳහා සමීකරණයක් ලියන්න. මාර්ගගත ගණක යන්ත්‍රය. දී ඇති ලක්ෂ්‍යයක ශ්‍රිතයක ප්රස්ථාරයට සෘජු ස්පර්ශක සමීකරණය
පහත රූපය සලකා බලන්න:
එය a ලක්ෂ්යයේ දී අවකලනය කළ හැකි y = f(x) යම් ශ්‍රිතයක් නිරූපණය කරයි. ඛණ්ඩාංක සහිත M ලක්ෂ්‍යය (a; f(a)) සලකුණු කර ඇත. දෙවන MR ප්‍රස්ථාරයේ අත්තනෝමතික ලක්ෂ්‍යයක් හරහා P(a + ∆x; f(a + ∆x)) ඇද ගනු ලැබේ.
දැන් P ලක්ෂ්‍යය ප්‍රස්ථාරය දිගේ M ලක්ෂ්‍යයට මාරු කරන්නේ නම්, MR සරල රේඛාව M ලක්ෂ්‍යය වටා භ්‍රමණය වේ. මෙම අවස්ථාවේදී, ∆x ශුන්යයට නැඹුරු වේ. මෙතැන් සිට අපට ශ්‍රිතයක ප්රස්ථාරයට ස්පර්ශක නිර්වචනය සකස් කළ හැක.
ශ්‍රිතයක ප්රස්ථාරයට ස්පර්ශක
ශ්‍රිතයක ප්රස්ථාරයට ස්පර්ශකය යනු තර්කයේ වර්ධකය ශුන්යයට නැඹුරු වන බැවින් තත්පරයේ සීමාකාරී පිහිටීමයි. x0 ලක්ෂ්යයේ f ශ්‍රිතයේ ව්යුත්පන්නයේ පැවැත්මෙන් අදහස් වන්නේ ප්‍රස්ථාරයේ මෙම ලක්ෂ්යයේ පවතින බවයි. ස්පර්ශකඔහුට.
මෙම අවස්ථාවෙහිදී, ස්පර්ශකයේ කෝණික සංගුණකය f'(x0) මෙම ලක්ෂ්යයේ දී මෙම ශ්‍රිතයේ ව්‍යුත්පන්නයට සමාන වේ. ව්යුත්පන්නයේ ජ්යාමිතික අර්ථය මෙයයි. x0 ලක්ෂ්‍යයේදී f අවකලනය කළ හැකි ශ්‍රිතයක ප්රස්ථාරයට ස්පර්ශකය යනු ලක්ෂ්‍යය (x0;f(x0)) හරහා ගමන් කරන සහ කෝණික සංගුණකයක් සහිත f'(x0) සෘජු රේඛාවකි.
ස්පර්ශක සමීකරණය
A(x0; f(x0)) ලක්ෂ්යයේ f යම් ශ්‍රිතයක ප්රස්ථාරයට ස්පර්ශක සමීකරණය ලබා ගැනීමට උත්සාහ කරමු. බෑවුම k සමග සරල රේඛාවක සමීකරණය ඇත ඊළඟ දර්ශනය:
අපගේ බෑවුම් සංගුණකය ව්‍යුත්පන්නයට සමාන බැවින් f'(x0), එවිට සමීකරණය පහත ස්වරූපය ගනී: y = f'(x0)*x + b.
දැන් අපි b හි අගය ගණනය කරමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, ශ්රිතය A ලක්ෂ්‍යය හරහා ගමන් කරන බව අපි භාවිතා කරමු.
f(x0) = f’(x0)*x0 + b, මෙතැන් සිට අපි b ප්‍රකාශ කර b = f(x0) - f’(x0)*x0 ලබා ගනිමු.
ලැබෙන අගය ස්පර්ශක සමීකරණයට අපි ආදේශ කරමු:
y = f'(x0)*x + b = f'(x0)*x + f(x0) - f'(x0)*x0 = f(x0) + f'(x0)*(x - x0).
y = f(x0) + f'(x0)*(x - x0).
පහත උදාහරණය සලකා බලන්න: x = 2 ලක්ෂ්‍යයේදී f(x) = x 3 - 2*x 2 + 1 ශ්‍රිතයේ ප්රස්ථාරයට ස්පර්ශකයේ සමීකරණය සොයා ගන්න.
2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1.
3. f'(x) = 3*x 2 - 4*x.
4. f’(x0) = f’(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.
5. ලබාගත් අගයන් ස්පර්ශක සූත්‍රයට ආදේශ කරන්න, අපට ලැබෙන්නේ: y = 1 + 4*(x - 2). වරහන් විවෘත කර සමාන පද ගෙන ඒමෙන් අපට ලැබේ: y = 4*x - 7.
පිළිතුර: y = 4*x - 7.
ස්පර්ශක සමීකරණය සම්පාදනය කිරීම සඳහා පොදු යෝජනා ක්රමය y = f(x) ශ්‍රිතයේ ප්රස්ථාරයට:
1. x0 නිර්ණය කරන්න.
2. f(x0) ගණනය කරන්න.
3. f’(x) ගණනය කරන්න
ස්පර්ශකයක් යනු සරල රේඛාවකි , එය ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරය එක් ලක්ෂ්‍යයක ස්පර්ශ කරන අතර ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරයෙන් කෙටිම දුරින් ඇති සියලුම ලක්ෂ්‍යයන් වේ. එබැවින්, ස්පර්ශකය යම් කෝණයකින් ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරය වෙත ස්පර්ශකයක් ගමන් කරන අතර, විවිධ කෝණවල ඇති ස්පර්ශක කිහිපයකට ස්පර්ශක ලක්ෂ්‍යය හරහා ගමන් කළ නොහැක. ශ්‍රිතයක ප්රස්ථාරයට ස්පර්ශක සමීකරණ සහ සාමාන්ය සමීකරණ ව්‍යුත්පන්නය භාවිතයෙන් ගොඩනගා ඇත.
ස්පර්ශක සමීකරණය රේඛා සමීකරණයෙන් ව්යුත්පන්න වේ .
අපි ස්පර්ශයේ සමීකරණය ව්යුත්පන්න කරමු, ඉන්පසු ශ්‍රිතයේ ප්රස්ථාරයට සාමාන්‍යයේ සමීකරණය.
y = kx + බී .
ඔහු තුළ කේ- කෝණික සංගුණකය.
මෙතැන් සිට අපට පහත ප්රවේශය ලැබේ:
y - y 0 = කේ(x - x 0 ) .
ව්යුත්පන්න අගය f "(x 0 ) කාර්යයන් y = f(x) ලක්ෂ්යයේ x0 බෑවුමට සමාන වේ කේ= tg φ ලක්ෂ්‍යයක් හරහා ඇද ගන්නා ශ්‍රිතයක ප්රස්ථාරයට ස්පර්ශකය එම්0 (x 0 , y 0 ) , කොහෙද y0 = f(x 0 ) . මෙය ව්යුත්පන්නයේ ජ්යාමිතික අර්ථය .
මේ අනුව, අපට ප්රතිස්ථාපනය කළ හැකිය කේමත f "(x 0 ) සහ පහත දේ ලබා ගන්න ශ්‍රිතයක ප්රස්ථාරයට ස්පර්ශක සමීකරණය :
y - y 0 = f "(x 0 )(x - x 0 ) .
ශ්‍රිතයක ප්රස්ථාරයට ස්පර්ශක සමීකරණය සෑදීම සම්බන්ධ ගැටළු වලදී (අපි ඉක්මනින්ම ඒවා වෙත යන්නෙමු), ඉහත සූත්‍රයෙන් ලබාගත් සමීකරණය අඩු කිරීම අවශ්‍ය වේ. සාමාන්ය ස්වරූපයෙන් සරල රේඛාවක සමීකරණය. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, ඔබ සියලු අකුරු සහ අංක මාරු කළ යුතුය වම් පැත්තසමීකරණය, සහ දකුණු පැත්තේ බිංදුව තබන්න.
දැන් සාමාන්ය සමීකරණය ගැන. සාමාන්යයි - මෙය ස්පර්ශයට ලම්බකව ශ්‍රිතයේ ප්රස්ථාරයට ස්පර්ශක ලක්ෂ්‍යය හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවකි. සාමාන්ය සමීකරණය :
(x - x 0 ) + f "(x 0 )(y - y 0 ) = 0
උණුසුම් වීමට, පළමු උදාහරණය ඔබම විසඳා ගැනීමට ඔබෙන් ඉල්ලා සිටින අතර, පසුව විසඳුම දෙස බලන්න. මෙම කාර්යය අපගේ පාඨකයන්ට "සීතල වැස්සක්" නොවනු ඇතැයි බලාපොරොත්තු වීමට සෑම හේතුවක්ම තිබේ.
උදාහරණය 0.ලක්ෂ්‍යයක ශ්‍රිතයක ප්‍රස්ථාරය සඳහා ස්පර්ශක සමීකරණයක් සහ සාමාන්ය සමීකරණයක් සාදන්න එම් (1, 1) .
උදාහරණ 1.ශ්‍රිතයක ප්රස්ථාරයට ස්පර්ශක සමීකරණයක් සහ සාමාන්ය සමීකරණයක් ලියන්න 
, abscissa ස්පර්ශක නම් .
ශ්‍රිතයේ ව්‍යුත්පන්නය සොයා ගනිමු:
ස්පර්ශක සමීකරණය ලබා ගැනීම සඳහා න්‍යායාත්මක උපකාරයේ දී ඇති ප්‍රවේශයට ආදේශ කළ යුතු සියල්ල දැන් අප සතුව ඇත. අපිට ලැබෙනවා
මෙම උදාහරණයේ දී, අපි වාසනාවන්ත විය: බෑවුම ශුන්‍ය බවට පත් විය, එබැවින් සමීකරණය එහි සාමාන්ය ස්වරූපයට වෙන වෙනම අඩු කිරීමට අවශ්‍ය නොවීය. දැන් අපට සාමාන්ය සමීකරණය සෑදිය හැක:
පහත රූපයේ: බර්ගන්ඩි වර්ණයෙන් ශ්‍රිතයක ප්‍රස්ථාරය, ස්පර්ශක කොළ පාට, තැඹිලි සාමාන්ය.
ඊළඟ උදාහරණය ද සංකීර්ණ නොවේ: ශ්රිතය, පෙරදී මෙන්, බහුපදයක් ද වේ, නමුත් බෑවුම ශුන්යයට සමාන නොවනු ඇත, එබැවින් තවත් එක් පියවරක් එකතු කරනු ලැබේ - සමීකරණය සාමාන්ය ආකෘතියකට ගෙන ඒම.
උදාහරණ 2.
විසඳුමක්. ස්පර්ශක ලක්ෂ්යයේ අනුපිළිවෙල සොයා ගනිමු:
ශ්‍රිතයේ ව්‍යුත්පන්නය සොයා ගනිමු:
.
ස්පර්ශක ලක්ෂ්යයේ ව්යුත්පන්නයේ අගය, එනම් ස්පර්ශකයේ බෑවුම සොයා ගනිමු:
අපි ලබාගත් සියලුම දත්ත “හිස් සූත්‍රය” තුළට ආදේශ කර ස්පර්ශක සමීකරණය ලබා ගනිමු:
අපි සමීකරණය එහි සාමාන්ය ස්වරූපයට ගෙන එන්නෙමු (අපි වම් පැත්තේ ශුන්‍ය හැර අනෙකුත් සියලුම අකුරු සහ අංක එකතු කර දකුණේ ශුන්‍යය තබමු):
අපි සාමාන්ය සමීකරණය සම්පාදනය කරමු:
උදාහරණය 3. abscissa ස්පර්ශක ලක්ෂ්‍යය නම් ශ්‍රිතයේ ප්රස්ථාරයට ස්පර්ශක සමීකරණයක් සහ සාමාන්ය සමීකරණයක් ලියන්න.
විසඳුමක්. ස්පර්ශක ලක්ෂ්යයේ අනුපිළිවෙල සොයා ගනිමු:
ශ්‍රිතයේ ව්‍යුත්පන්නය සොයා ගනිමු:
.
ස්පර්ශක ලක්ෂ්යයේ ව්යුත්පන්නයේ අගය, එනම් ස්පර්ශකයේ බෑවුම සොයා ගනිමු:
.
අපි ස්පර්ශක සමීකරණය සොයා ගනිමු:
සමීකරණය එහි සාමාන්ය ස්වරූපයට ගෙන ඒමට පෙර, ඔබ එය ටිකක් “පනාව” කළ යුතුය: පදයෙන් පදය 4 න් ගුණ කරන්න. අපි මෙය කර සමීකරණය එහි සාමාන්ය ස්වරූපයට ගෙන එන්නෙමු:
අපි සාමාන්ය සමීකරණය සම්පාදනය කරමු:
උදාහරණය 4. abscissa ස්පර්ශක ලක්ෂ්‍යය නම් ශ්‍රිතයේ ප්රස්ථාරයට ස්පර්ශක සමීකරණයක් සහ සාමාන්ය සමීකරණයක් ලියන්න.
විසඳුමක්. ස්පර්ශක ලක්ෂ්යයේ අනුපිළිවෙල සොයා ගනිමු:
.
ශ්‍රිතයේ ව්‍යුත්පන්නය සොයා ගනිමු:
ස්පර්ශක ලක්ෂ්යයේ ව්යුත්පන්නයේ අගය, එනම් ස්පර්ශකයේ බෑවුම සොයා ගනිමු:
.
අපට ස්පර්ශක සමීකරණය ලැබේ:
අපි සමීකරණය එහි සාමාන්ය ස්වරූපයට ගෙන එන්නෙමු:
අපි සාමාන්ය සමීකරණය සම්පාදනය කරමු:
ස්පර්ශක සහ සාමාන්ය සමීකරණ ලිවීමේදී ඇති වන පොදු වැරැද්දක් නම්, උදාහරණයේ දී ඇති ශ්රිතය සංකීර්ණ බව නොදැන එහි ව්‍යුත්පන්නය සරල ශ්‍රිතයක ව්‍යුත්පන්නය ලෙස ගණනය කිරීමයි. පහත උදාහරණ දැනටමත් ඇත සංකීර්ණ කාර්යයන්(අනුරූප පාඩම නව කවුළුවක විවෘත වනු ඇත).
උදාහරණ 5. abscissa ස්පර්ශක ලක්ෂ්‍යය නම් ශ්‍රිතයේ ප්රස්ථාරයට ස්පර්ශක සමීකරණයක් සහ සාමාන්ය සමීකරණයක් ලියන්න.
විසඳුමක්. ස්පර්ශක ලක්ෂ්යයේ අනුපිළිවෙල සොයා ගනිමු:
අවධානය! මෙම කාර්යය- සංකීර්ණ, ස්පර්ශක තර්කයේ සිට (2 x) යනු ශ්‍රිතයකි. එබැවින්, ශ්‍රිතයක ව්‍යුත්පන්නය සංකීර්ණ ශ්‍රිතයක ව්‍යුත්පන්නයක් ලෙස අපට හමු වේ.
යම් අවස්ථාවක x 0 හි පරිමිත ව්‍යුත්පන්නයක් ඇති f (x 0) ශ්‍රිතයක් ලබා දෙමු. එවිට කෝණික සංගුණකය f’(x 0) සහිත ලක්ෂ්‍යය (x 0 ; f (x 0)) හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාව ස්පර්ශකයක් ලෙස හැඳින්වේ.
ව්‍යුත්පන්නය x 0 ලක්ෂ්යයේ නොමැති නම් කුමක් සිදුවේද? විකල්ප දෙකක් තිබේ:
- ප්රස්ථාරයට ද ස්පර්ශකයක් නොමැත. සම්භාව්‍ය උදාහරණයක් වන්නේ y = |x | ශ්‍රිතයයි ලක්ෂ්යයේ (0; 0).
- ස්පර්ශකය සිරස් අතට හැරේ. උදාහරණයක් ලෙස, ලක්ෂ්යයේ (1; π /2) y = arcsin x ශ්රිතය සඳහා මෙය සත්‍ය වේ.
ස්පර්ශක සමීකරණය
ඕනෑම සිරස් නොවන සරල රේඛාවක් y = kx + b ආකෘතියේ සමීකරණයකින් ලබා දී ඇත, මෙහි k යනු බෑවුම වේ. ස්පර්ශකය ද ව්‍යතිරේකයක් නොවන අතර, x 0 යම් ලක්ෂ්‍යයක එහි සමීකරණය සකස් කිරීම සඳහා, මෙම ලක්ෂ්යයේ දී ශ්‍රිතයේ සහ ව්යුත්පන්නයේ අගය දැන ගැනීම ප්‍රමාණවත් වේ.
එබැවින්, කොටසෙහි y = f ’(x) ව්‍යුත්පන්නයක් ඇති y = f (x) ශ්‍රිතයක් ලබා දෙන්න. එවිට ඕනෑම අවස්ථාවක x 0 ∈ (a; b) මෙම ශ්‍රිතයේ ප්රස්ථාරයට ස්පර්ශකයක් ඇද ගත හැක, එය සමීකරණය මගින් ලබා දී ඇත:
y = f ’(x 0) (x - x 0) + f (x 0)
මෙහි f ’(x 0) යනු x 0 ලක්ෂයේ ව්යුත්පන්නයේ අගය වන අතර f (x 0) යනු ශ්‍රිතයේම අගයයි.
කාර්ය. y = x 3 ශ්රිතය ලබා දී ඇත. x 0 = 2 ලක්ෂ්යයේ මෙම ශ්‍රිතයේ ප්රස්ථාරයට ස්පර්ශකය සඳහා සමීකරණයක් ලියන්න.
ස්පර්ශක සමීකරණය: y = f ’(x 0) · (x - x 0) + f (x 0). x 0 = 2 ලක්ෂ්‍යය අපට ලබා දී ඇත, නමුත් f (x 0) සහ f '(x 0) අගයන් ගණනය කිරීමට සිදුවේ.
පළමුව, අපි කාර්යයේ අගය සොයා ගනිමු. මෙහි සෑම දෙයක්ම පහසුය: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
දැන් අපි ව්‍යුත්පන්නය සොයා ගනිමු: f '(x) = (x 3)' = 3x 2;
අපි x 0 = 2 ව්‍යුත්පන්නයට ආදේශ කරමු: f ’(x 0) = f ’(2) = 3 2 2 = 12;
සමස්තයක් වශයෙන් අපට ලැබෙන්නේ: y = 12 · (x - 2) + 8 = 12x - 24 + 8 = 12x - 16.
මෙය ස්පර්ශක සමීකරණයයි.
කාර්ය. x 0 = π /2 ලක්ෂ්යයේ f (x) = 2sin x + 5 ශ්‍රිතයේ ප්රස්ථාරයට ස්පර්ශකය සඳහා සමීකරණයක් ලියන්න.
මෙවර අපි සෑම ක්‍රියාවක්ම විස්තරාත්මකව විස්තර නොකරමු - අපි ප්රධාන පියවර පමණක් දක්වන්නෙමු. අපිට තියෙනවා:
f (x 0) = f (π /2) = 2sin (π /2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f ’(x) = (2sin x + 5)’ = 2cos x;
f ’(x 0) = f ’(π /2) = 2cos (π /2) = 0;
ස්පර්ශක සමීකරණය:
y = 0 · (x - π /2) + 7 ⇒ y = 7
අවසාන අවස්ථාවේ දී, සරල රේඛාව තිරස් අතට හැරුනේ, මන්ද එහි කෝණික සංගුණකය k = 0. මෙහි වරදක් නැත - අපි අන්ත ලක්ෂ්‍යයක් මත පැකිළෙමු.
රැකියා වර්ගය: 7
තත්ත්වය
y=3x+2 සරල රේඛාව y=-12x^2+bx-10 ශ්‍රිතයේ ප්රස්ථාරයට ස්පර්ශ වේ. ස්පර්ශ ලක්ෂ්යයේ abscissa ශුන්යයට වඩා අඩු බැවින් b සොයන්න.
විසඳුම පෙන්වන්නවිසඳුමක්
x_0 මෙම ප්රස්ථාරයට ස්පර්ශකය ගමන් කරන y=-12x^2+bx-10 ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරයේ ලක්ෂ්යයේ abscissa වේ.
x_0 ලක්ෂ්යයේ ව්යුත්පන්නයේ අගය ස්පර්ශකයේ බෑවුමට සමාන වේ, එනම් y"(x_0)=-24x_0+b=3. අනෙක් අතට, ස්පර්ශක ලක්ෂ්‍යය ප්‍රස්ථාර දෙකටම එකවර අයත් වේ. ශ්රිතය සහ ස්පර්ශකය, එනම් -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0+2 අපට සමීකරණ පද්ධතියක් ලැබේ \begin(cases) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \අවසන්(නඩු)
මෙම පද්ධතිය විසඳන විට, අපට x_0^2=1 ලැබේ, එනම් x_0=-1 හෝ x_0=1 යන්නයි. abscissa තත්ත්වය අනුව, ස්පර්ශක ලක්ෂ්‍ය ශුන්යයට වඩා අඩු බැවින් x_0=-1, පසුව b=3+24x_0=-21.
පිළිතුර
රැකියා වර්ගය: 7
මාතෘකාව: ව්යුත්පන්න වල ජ්යාමිතික අර්ථය. ශ්‍රිතයක ප්රස්ථාරයට ස්පර්ශක
තත්ත්වය
සරල රේඛාව y=-3x+4 y=-x^2+5x-7 ශ්‍රිතයේ ප්රස්ථාරයට ස්පර්ශකයට සමාන්තර වේ. ස්පර්ශක ලක්ෂ්යයේ abscissa සොයා ගන්න.
විසඳුම පෙන්වන්නවිසඳුමක්
x_0 අත්තනෝමතික ලක්ෂ්‍යයක දී y=-x^2+5x-7 ශ්‍රිතයේ ප්රස්ථාරයට සෘජු රේඛාවේ කෝණික සංගුණකය y"(x_0) ට සමාන වේ. නමුත් y"=-2x+5, එනම් y" (x_0)=-2x_0+5 තත්ත්වයෙහි දක්වා ඇති y=-3x+4 යන සංගුණකය සමාන්තර රේඛා සමාන වේ, එබැවින් අපට x_0 අගයක් ලැබේ -2x_0 +5=-3.
අපට ලැබෙන්නේ: x_0 = 4.
පිළිතුර
මූලාශ්රය: "ගණිතය. ඒකාබද්ධ රාජ්ය විභාගය 2017 සඳහා සූදානම් වීම. පැතිකඩ මට්ටම." එඩ්. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.
රැකියා වර්ගය: 7
මාතෘකාව: ව්යුත්පන්න වල ජ්යාමිතික අර්ථය. ශ්‍රිතයක ප්රස්ථාරයට ස්පර්ශක
තත්ත්වය
විසඳුම පෙන්වන්නවිසඳුමක්
රූපයෙන් අපි තීරණය කරන්නේ ස්පර්ශකය A(-6; 2) සහ B(-1; 1) ලක්ෂ්‍ය හරහා ගමන් කරන බවයි. අපි C(-6; 1) මගින් x=-6 සහ y=1 යන රේඛාවල ඡේදනය වන ලක්ෂ්‍යය ද, \alpha මගින් ABC කෝණය ද දක්වමු (එය තීව්‍ර බව රූපයේ දැකිය හැක). එවිට සරල රේඛාව AB මඟින් ඕක්ස් අක්ෂයේ ධනාත්මක දිශාව සමඟ \pi -\alpha කෝණයක් සාදයි, එය අශිෂ්ට වේ.
දන්නා පරිදි, tg(\pi -\alpha) යනු x_0 ලක්ෂ්යයේ f(x) ශ්‍රිතයේ ව්යුත්පන්නයේ අගය වනු ඇත. දැනුම් දෙන්න, ඒක tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15.මෙතැන් සිට, අඩු කිරීමේ සූත්‍ර භාවිතා කරමින්, අපට ලැබෙන්නේ: tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0.2.
පිළිතුර
මූලාශ්රය: "ගණිතය. ඒකාබද්ධ රාජ්ය විභාගය 2017 සඳහා සූදානම් වීම. පැතිකඩ මට්ටම." එඩ්. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.
රැකියා වර්ගය: 7
මාතෘකාව: ව්යුත්පන්න වල ජ්යාමිතික අර්ථය. ශ්‍රිතයක ප්රස්ථාරයට ස්පර්ශක
තත්ත්වය
සරල රේඛාව y=-2x-4 y=16x^2+bx+12 ශ්‍රිතයේ ප්රස්ථාරයට ස්පර්ශ වේ. ස්පර්ශ ලක්ෂ්යයේ abscissa ශුන්යයට වඩා වැඩි බැවින් b සොයන්න.
විසඳුම පෙන්වන්නවිසඳුමක්
x_0 යනු y=16x^2+bx+12 ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරයේ ලක්ෂ්යයේ abscissa වේ
මෙම ප්රස්ථාරයට ස්පර්ශ වේ.
x_0 ලක්ෂ්යයේ ඇති ව්යුත්පන්නයේ අගය ස්පර්ශකයේ බෑවුමට සමාන වේ, එනම්, y"(x_0)=32x_0+b=-2. අනෙක් අතට, ස්පර්ශක ලක්ෂ්‍යය ප්‍රස්ථාර දෙකටම එකවර අයත් වේ. ශ්රිතය සහ ස්පර්ශකය, එනම් 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 අපි සමීකරණ පද්ධතියක් ලබා ගනිමු \begin(cases) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \අවසන්(නඩු)
පද්ධතිය විසඳන විට, අපට x_0^2=1 ලැබේ, එනම් x_0=-1 හෝ x_0=1 යන්නයි. abscissa තත්ත්වය අනුව, ස්පර්ශක ලක්ෂ්‍ය ශුන්යයට වඩා වැඩි බැවින් x_0=1, පසුව b=-2-32x_0=-34.
පිළිතුර
මූලාශ්රය: "ගණිතය. ඒකාබද්ධ රාජ්ය විභාගය 2017 සඳහා සූදානම් වීම. පැතිකඩ මට්ටම." එඩ්. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.
රැකියා වර්ගය: 7
මාතෘකාව: ව්යුත්පන්න වල ජ්යාමිතික අර්ථය. ශ්‍රිතයක ප්රස්ථාරයට ස්පර්ශක
තත්ත්වය
රූපයේ දැක්වෙන්නේ අන්තරය (-2; 8) මත අර්ථ දක්වා ඇති y=f(x) ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්තාරයකි. ශ්‍රිතයේ ප්රස්ථාරයට ස්පර්ශක y=6 සරල රේඛාවට සමාන්තර වන ලක්ෂ්‍ය ගණන නිර්ණය කරන්න.
විසඳුමක්
සරල රේඛාව y=6 Ox අක්ෂයට සමාන්තර වේ. එබැවින්, ශ්‍රිතයේ ප්රස්ථාරයට ස්පර්ශක Ox අක්ෂයට සමාන්තර වන ලක්ෂ්‍ය අපට හමු වේ. මෙම ප්‍රස්ථාරයේ, එවැනි ලකුණු අන්ත ලක්ෂ්‍ය (උපරිම හෝ අවම ලකුණු) වේ. ඔබට පෙනෙන පරිදි, අන්ත ලකුණු 4 ක් ඇත.
පිළිතුර
මූලාශ්රය: "ගණිතය. ඒකාබද්ධ රාජ්ය විභාගය 2017 සඳහා සූදානම් වීම. පැතිකඩ මට්ටම." එඩ්. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.
රැකියා වර්ගය: 7
මාතෘකාව: ව්යුත්පන්න වල ජ්යාමිතික අර්ථය. ශ්‍රිතයක ප්රස්ථාරයට ස්පර්ශක
තත්ත්වය
y=4x-6 රේඛාව y=x^2-4x+9 ශ්‍රිතයේ ප්රස්ථාරයට ස්පර්ශකයට සමාන්තර වේ. ස්පර්ශක ලක්ෂ්යයේ abscissa සොයා ගන්න.
විසඳුම පෙන්වන්නවිසඳුමක්
x_0 අත්තනෝමතික ලක්ෂ්‍යයක දී y=x^2-4x+9 ශ්‍රිතයේ ප්රස්ථාරයට ස්පර්ශකයේ බෑවුම y"(x_0) ට සමාන වේ. නමුත් y"=2x-4, එනම් y"(x_0)= 2x_0-4 තත්ත්‍වයේ දක්වා ඇති ස්පර්ශක y =4x-7 හි බෑවුම 4 ට සමාන වේ. සමාන්තර රේඛා එකම කෝණික සංගුණක ඇති බැවින්, අපට 2x_0-4=4 අගයක් ලැබේ.
පිළිතුර
මූලාශ්රය: "ගණිතය. ඒකාබද්ධ රාජ්ය විභාගය 2017 සඳහා සූදානම් වීම. පැතිකඩ මට්ටම." එඩ්. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.
රැකියා වර්ගය: 7
මාතෘකාව: ව්යුත්පන්න වල ජ්යාමිතික අර්ථය. ශ්‍රිතයක ප්රස්ථාරයට ස්පර්ශක
තත්ත්වය
රූපයේ දැක්වෙන්නේ y=f(x) ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරය සහ abscissa x_0 සමඟ ලක්ෂ්යයේ එයට ස්පර්ශකය. x_0 ලක්ෂ්යයේ f(x) ශ්‍රිතයේ ව්යුත්පන්නයේ අගය සොයන්න.
විසඳුමක්
රූපයෙන් අපි තීරණය කරන්නේ ස්පර්ශකය A(1; 1) සහ B(5; 4) ලක්ෂ්‍ය හරහා ගමන් කරන බවයි. අපි C(5; 1) මගින් x=5 සහ y=1 රේඛාවල ඡේදනය වන ලක්ෂ්‍යය සහ \alpha විසින් BAC කෝණය (එය තීව්‍ර බව රූපයේ දැකිය හැක) මගින් දක්වමු. එවිට AB සරල රේඛාව Ox අක්ෂයේ ධනාත්මක දිශාව සමඟ \alpha කෝණයක් සාදයි.
මත නවීන වේදිකාවඅධ්‍යාපනය සංවර්ධනය කිරීම, එහි ප්රධාන කාර්යයක් වන්නේ නිර්මාණශීලීව සිතන පෞරුෂයක් ගොඩනැගීමයි. සිසුන් තුළ නිර්මාණශීලීත්වය සඳහා ඇති හැකියාව වර්ධනය කළ හැක්කේ ඔවුන් පර්යේෂණ ක්‍රියාකාරකම්වල මූලික කරුණු සඳහා ක්රමානුකූලව සම්බන්ධ වුවහොත් පමණි. සිසුන්ට ඔවුන්ගේ නිර්මාණාත්මක බලයන්, හැකියාවන් සහ කුසලතා භාවිතා කිරීමට පදනම සම්පූර්ණ දැනුම හා කුසලතා පිහිටුවා ඇත. මේ සම්බන්ධයෙන්, පද්ධතියක් සැකසීමේ ගැටලුව මූලික දැනුමසහ පාසල් ගණිත පාඨමාලාවේ එක් එක් මාතෘකාව පිළිබඳ කුසලතා කුඩා වැදගත්කමක් නැත. ඒ අතරම, පූර්ණ-පරිපූර්ණ කුසලතා විය යුත්තේ උපදේශාත්මක ඉලක්කය තනි තනි කාර්යයන් නොව, ඒවා හොඳින් සිතා බලා පද්ධතියකි. ඉතා දී පුළුල් අර්ථයකින්පද්ධතියක් යනු අඛණ්ඩතාව සහ ස්ථාවර ව්‍යුහයක් සහිත අන්තර් සම්බන්ධිත අන්තර්ක්‍රියාකාරී මූලද්‍රව්‍ය සමූහයක් ලෙස වටහාගෙන ඇත.
ශ්‍රිතයක ප්රස්ථාරයට ස්පර්ශකයක් සඳහා සමීකරණයක් ලියන ආකාරය සිසුන්ට ඉගැන්වීමේ තාක්ෂණයක් සලකා බලමු. අත්‍යවශ්‍යයෙන්ම, ස්පර්ශක සමීකරණය සොයාගැනීමේ සියලුම ගැටළු යම් අවශ්‍යතාවයක් සපුරාලන රේඛා සමූහයකින් (මිටි, පවුල) තෝරා ගැනීමේ අවශ්‍යතාවය දක්වා පැමිණේ - ඒවා යම් ශ්‍රිතයක ප්රස්ථාරයට ස්පර්ශ වේ. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, තෝරාගැනීම සිදු කරනු ලබන රේඛා කට්ටලය ආකාර දෙකකින් දැක්විය හැක:
a) xOy තලය මත වැතිර සිටින ලක්ෂ්‍යයක් (රේඛා වල මධ්‍යම පැන්සල);
b) කෝණික සංගුණකය (සරල රේඛාවල සමාන්තර කදම්භය).
මේ සම්බන්ධයෙන්, පද්ධතියේ මූලද්‍රව්‍ය හුදකලා කිරීම සඳහා “ශ්‍රිතයක ප්රස්ථාරයට ස්පර්ශය” යන මාතෘකාව අධ්‍යයනය කිරීමේදී, අපි ගැටළු වර්ග දෙකක් හඳුනා ගත්තෙමු:
1) එය ගමන් කරන ලක්ෂ්‍යයෙන් ලබා දෙන ස්පර්ශකයක් මත ඇති ගැටළු;
2) එහි බෑවුම මගින් ලබා දෙන ස්පර්ශකයක් මත ගැටළු.
A.G විසින් යෝජනා කරන ලද ඇල්ගොරිතම භාවිතයෙන් ස්පර්ශක ගැටළු විසඳීමේ පුහුණුව සිදු කරන ලදී. මොර්ඩ්කොවිච්. ඔහුගේ මූලික වෙනසදැනටමත් දන්නා අයගෙන් නම් ස්පර්ශක ලක්ෂ්යයේ abscissa අක්ෂරය a (x0 වෙනුවට) මගින් දක්වනු ලබන අතර, එබැවින් ස්පර්ශකයේ සමීකරණය ස්වරූපය ගනී
y = f(a) + f "(a)(x – a)
(y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0) සමඟ සසඳන්න). මෙම ක්‍රමවේද තාක්‍ෂණය, අපගේ මතය අනුව, වත්මන් ලක්ෂ්යයේ ඛණ්ඩාංක ලියා ඇත්තේ කොතැනදැයි ඉක්මනින් සහ පහසුවෙන් තේරුම් ගැනීමට සිසුන්ට ඉඩ සලසයි. සාමාන්ය ස්පර්ශක සමීකරණය, සහ සම්බන්ධතා ස්ථාන කොහෙද.
y = f(x) ශ්‍රිතයේ ප්රස්ථාරයට ස්පර්ශක සමීකරණය සම්පාදනය කිරීමේ ඇල්ගොරිතම
1. ස්පර්ශක ලක්ෂ්යයේ abscissa අකුර a සමඟ නම් කරන්න.
2. f(a) සොයන්න.
3. f "(x) සහ f "(a) සොයන්න.
4. සොයාගත් අංක a, f(a), f "(a) තුලට ආදේශ කරන්න සාමාන්ය සමීකරණයස්පර්ශක y = f(a) = f "(a)(x – a).
මෙම ඇල්ගොරිතම සිසුන්ගේ මෙහෙයුම් ස්වාධීනව හඳුනා ගැනීම සහ ඒවා ක්රියාත්මක කිරීමේ අනුපිළිවෙල මත පදනම්ව සම්පාදනය කළ හැකිය.
ප්රායෝගිකව පෙන්නුම් කර ඇත අනුක්රමික විසඳුමඇල්ගොරිතමයක් ආධාරයෙන් සෑම ප්රධාන කාර්යයක්ම අදියර වශයෙන් ශ්‍රිතයක ප්රස්ථාරයට ස්පර්ශක සමීකරණයක් ලිවීමේ කුසලතා වර්ධනය කිරීමට ඔබට ඉඩ සලසයි, සහ ඇල්ගොරිතමයේ පියවර ක්රියාවන් සඳහා යොමු ලක්ෂ්‍ය ලෙස සේවය කරයි. මෙම ප්රවේශය P.Ya විසින් වර්ධනය කරන ලද මානසික ක්රියාවන් ක්රමානුකූලව ගොඩනැගීමේ න්යායට අනුරූප වේ. Galperin සහ N.F. ටැලිසිනා.
පළමු වර්ගයේ කාර්යයන් වලදී, ප්රධාන කාර්යයන් දෙකක් හඳුනාගෙන ඇත:
- ස්පර්ශකය වක්‍රය මත පිහිටා ඇති ලක්ෂ්‍යයක් හරහා ගමන් කරයි (ගැටලු 1);
- ස්පර්ශකය වක්‍රය මත නොපවතින ලක්ෂ්‍යයක් හරහා ගමන් කරයි (ගැටලු 2).
කාර්යය 1. ශ්‍රිතයේ ප්රස්ථාරයට ස්පර්ශකය සඳහා සමීකරණයක් ලියන්න 
M(3; – 2) ලක්ෂ්යයේ
විසඳුමක්. M(3; – 2) ලක්ෂ්‍යය යනු ස්පර්ශක ලක්ෂ්‍යයකි
1. a = 3 - ස්පර්ශක ලක්ෂ්යයේ abscissa.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) = x 2 – 4, f "(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – ස්පර්ශක සමීකරණය.
ගැටළුව 2. M(- 3; 6) ලක්ෂ්‍යය හරහා ගමන් කරන y = – x 2 – 4x + 2 ශ්‍රිතයේ ප්රස්ථාරයට සියලුම ස්පර්ශකවල සමීකරණ ලියන්න.
විසඳුමක්. ලක්ෂ්‍යය M(- 3; 6) ස්පර්ශක ලක්ෂ්‍යයක් නොවේ, මන්ද f(- 3) 6 (රූපය 2).
2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) = – 2x – 4, f "(a) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – ස්පර්ශක සමීකරණය.
ස්පර්ශකය M(- 3; 6) ලක්ෂ්‍යය හරහා ගමන් කරයි, එබැවින් එහි ඛණ්ඩාංක ස්පර්ශක සමීකරණය තෘප්තිමත් කරයි.
6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0 ^ a 1 = – 4, a 2 = – 2.
a = – 4 නම්, ස්පර්ශක සමීකරණය y = 4x + 18 වේ.
a = – 2 නම්, ස්පර්ශක සමීකරණයට y = 6 ආකෘතිය ඇත.
දෙවන වර්ගයේ, ප්රධාන කාර්යයන් පහත පරිදි වේ:
- ස්පර්ශකය යම් රේඛාවකට සමාන්තර වේ (ගැටලු 3);
- ස්පර්ශකය ලබා දී ඇති රේඛාවට යම් කෝණයකින් ගමන් කරයි (ගැටලු 4).
ගැටළුව 3. y = 9x + 1 රේඛාවට සමාන්තරව, y = x 3 – 3x 2 + 3 ශ්‍රිතයේ ප්රස්ථාරයට සියලුම ස්පර්ශකවල සමීකරණ ලියන්න.
1. a – ස්පර්ශක ලක්ෂ්යයේ abscissa.
2. f(a) = a 3 – 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 – 6x, f "(a) = 3a 2 – 6a.
නමුත්, අනෙක් අතට, f "(a) = 9 (සමාන්තර තත්ත්වය) මෙයින් අදහස් කරන්නේ අපි 3a 2 – 6a = 9 සමීකරණය විසඳිය යුතු බවයි. එහි මූලයන් a = – 1, a = 3 (රූපය 3) )
4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = - 1 + 9 (x + 1);
y = 9x + 8 - ස්පර්ශක සමීකරණය;
1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9 (x - 3);
y = 9x - 24 - ස්පර්ශක සමීකරණය.
ගැටළුව 4. y = 0.5x 2 - 3x + 1 ශ්‍රිතයේ ප්රස්ථාරයට ස්පර්ශක සමීකරණය ලියන්න, 45 ° කෝණයකින් y = 0 වෙත ගමන් කරයි (රූපය 4).
විසඳුමක්. f "(a) = tan 45° කොන්දේසියෙන් අපට a: a – 3 = 1 ^ a = 4 හමු වේ.
1. a = 4 - ස්පර්ශක ලක්ෂ්යයේ abscissa.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. f "(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1(x – 4).
y = x – 7 – ස්පර්ශක සමීකරණය.
වෙනත් ඕනෑම ගැටළුවක් විසඳීම ප්රධාන ගැටළු එකක් හෝ කිහිපයක් විසඳීම දක්වා පහළ වන බව පෙන්වීම පහසුය. උදාහරණයක් ලෙස පහත ගැටළු දෙක සලකා බලන්න.
1. ස්පර්ශක සමීකරණ y = 2x 2 - 5x - 2 වෙත ලියන්න, ස්පර්ශක සෘජු කෝණවලින් ඡේදනය වන අතර ඉන් එකක් abscissa 3 සමඟ ලක්ෂ්යයේ පරාවලය ස්පර්ශ කරයි (රූපය 5).
විසඳුමක්. ස්පර්ශක ලක්ෂ්යයේ abscissa ලබා දී ඇති බැවින්, විසඳුමේ පළමු කොටස ප්රධාන ගැටළුව 1 දක්වා අඩු වේ.
1. a = 3 - එක් පැත්තක ස්පර්ශක ලක්ෂ්යයේ abscissa සෘජු කෝණය.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) = 4x – 5, f "(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – පළමු ස්පර්ශකයේ සමීකරණය.
පළමු ස්පර්ශකයේ ආනතියේ කෝණය a වේවා. ස්පර්ශක ලම්බක වන බැවින්, දෙවන ස්පර්ශකයේ ආනතියේ කෝණය වේ. පළමු ස්පර්ශකයේ y = 7x – 20 සමීකරණයෙන් අපට tg a = 7 ඇත. අපි සොයා ගනිමු
මෙයින් අදහස් වන්නේ දෙවන ස්පර්ශකයේ බෑවුම සමාන වන බවයි.
වැඩිදුර විසඳුම ප්රධාන කාර්යය 3 වෙත පැමිණේ.
B(c; f(c)) දෙවන පේළියේ ස්පර්ශක ලක්ෂ්‍යය වීමට ඉඩ දෙන්න
1. - ස්පර්ශයේ දෙවන ලක්ෂ්යයේ abscissa.
2. 
3. 
4. 
- දෙවන ස්පර්ශක සමීකරණය.
සටහන. k 1 k 2 = – 1 ලම්බ රේඛාවල සංගුණකවල අනුපාතය සිසුන් දන්නේ නම් ස්පර්ශකයේ කෝණික සංගුණකය වඩාත් පහසුවෙන් සොයාගත හැකිය.
2. සියලුම පොදු ස්පර්ශකවල සමීකරණ ශ්‍රිතවල ප්‍රස්ථාරවලට ලියන්න
විසඳුමක්. ගැටළුව පැමිණෙන්නේ පොදු ස්පර්ශකවල ස්පර්ශක ලක්ෂ්‍යවල abscissa සොයා ගැනීමයි, එනම් ප්රධාන ගැටළුව 1 විසඳීම දක්වා සාමාන්ය දැක්ම, සමීකරණ පද්ධතියක් ඇඳීම සහ එහි පසුකාලීන විසඳුම (රූපය 6).
1. y = x 2 + x + 1 ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරය මත පිහිටා ඇති ස්පර්ශක ලක්ෂ්යයේ abscissa වේ.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2 .
1. c ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරය මත ඇති ස්පර්ශක ලක්ෂ්යයේ abscissa වේ 
2. 
3. f "(c) = c.
4.
ස්පර්ශක සාමාන්ය බැවින්, එසේ නම්
එබැවින් y = x + 1 සහ y = – 3x – 3 පොදු ස්පර්ශක වේ.
සලකා බලන ලද කාර්යයන්හි ප්රධාන ඉලක්කය වන්නේ තවත් විසඳන විට ප්රධාන ගැටලුවේ වර්ගය ස්වාධීනව හඳුනා ගැනීමට සිසුන් සූදානම් කිරීමයි සංකීර්ණ කාර්යයන්, ඇතැම් පර්යේෂණ කුසලතා අවශ්‍ය වේ (විශ්ලේෂණ කිරීමට, සංසන්දනය කිරීමට, සාමාන්‍යකරණය කිරීමට, උපකල්පනයක් ඉදිරිපත් කිරීමට, ආදිය). එවැනි කාර්යයන් සඳහා ප්රධාන කාර්යය සංරචකයක් ලෙස ඇතුළත් කර ඇති ඕනෑම කාර්යයක් ඇතුළත් වේ. අපි උදාහරණයක් ලෙස එහි ස්පර්ශක පවුලෙන් ශ්‍රිතයක් සොයා ගැනීමේ ගැටලුව (ගැටලු 1 ට ප්‍රතිලෝම) සලකා බලමු.
3. y = x 2 + bx + c ශ්‍රිතයේ ප්රස්ථාරයට y = x සහ y = – 2x ස්පර්ශක රේඛා b සහ c යනු කුමක් සඳහාද?
t යනු පරාවලය y = x 2 + bx + c සමඟ සරල රේඛාවේ y = x හි ස්පර්ශක ලක්ෂ්යයේ abscissa වේ; p යනු පරාවලය y = x 2 + bx + c සමඟ y = – 2x සරල රේඛාවේ ස්පර්ශක ලක්ෂ්යයේ abscissa වේ. එවිට ස්පර්ශක සමීකරණය y = x y = (2t + b)x + c – t 2 ස්වරූපය ගනී, සහ y = – 2x ස්පර්ශක සමීකරණය y = (2p + b)x + c – p 2 ආකාරය ගනී. .
අපි සමීකරණ පද්ධතියක් සකස් කර විසඳමු
පිළිතුර: 
