දෛශික අතර දෛශිකය සහ කෝණය සොයන්න. දෛශිකයන්ගේ පරිමාණ නිෂ්පාදනය. දෛශික අතර කෝණය

පරිමාණ නිෂ්පාදනයදෛශික (මෙතැන් සිට SP ලෙස හැඳින්වේ). හිතවත් මිත්‍රවරුනි! ගණිත විභාගයට දෛශික විසඳීම සඳහා ගැටළු සමූහයක් ඇතුළත් වේ. අපි දැනටමත් ගැටළු කිහිපයක් සලකා බැලුවෙමු. ඔබට ඒවා "දෛශික" කාණ්ඩයේ දැකිය හැකිය. සාමාන්යයෙන්, දෛශික න්යාය සරලයි, ප්රධාන දෙය වන්නේ එය නිරන්තරයෙන් අධ්යයනය කිරීමයි. පාසල් ගණිත පාඨමාලාවේ දෛශික සමඟ ගණනය කිරීම් සහ ක්රියාවන් සරලයි, සූත්ර සංකීර්ණ නොවේ. දෙස බලන්න. මෙම ලිපියෙන් අපි දෛශිකයන්ගේ හවුල් ව්‍යාපාරයේ කාර්යයන් විශ්ලේෂණය කරන්නෙමු (විභාගයට ඇතුළත් කර ඇත). දැන් න්‍යාය තුළ "ගිල්වීම":

එච් දෛශිකයක ඛණ්ඩාංක සොයා ගැනීමට, ඔබ එහි අවසානයෙහි ඛණ්ඩාංක වලින් අඩු කළ යුතුයඑහි ආරම්භයේ අනුරූප ඛණ්ඩාංක

සහ තවදුරටත්:

* දෛශික දිග (මොඩියුලය) පහත පරිදි අර්ථ දක්වා ඇත:

මේ සූත්‍ර කටපාඩම් කළ යුතුයි!!!

දෛශික අතර කෝණය පෙන්වමු:

එය 0 සිට 180 0 දක්වා වෙනස් විය හැකි බව පැහැදිලිය(හෝ 0 සිට Pi දක්වා රේඩියන වලින්).

පරිමාණ නිෂ්පාදනයේ සලකුණ පිළිබඳව අපට නිගමන කිහිපයක් ගත හැකිය. දෛශිකවල දිග ධනාත්මක වේ, පැහැදිලිවම. එබැවින් අදිශ නිෂ්පාදනයේ සලකුණ දෛශික අතර කෝණයේ කෝසයිනයේ අගය මත රඳා පවතී.

විය හැකි අවස්ථා:

1. දෛශික අතර කෝණය තියුණු නම් (0 0 සිට 90 0 දක්වා), එවිට කෝණයේ කෝසයින් ධනාත්මක අගයක් ඇත.

2. දෛශික අතර කෝණය නොපැහැදිලි නම් (90 0 සිට 180 0 දක්වා), එවිට කෝණයේ කෝසයිනය සෘණ අගයක් ගනී.

*අංශක ශුන්‍යයේදී, එනම් දෛශිකයට එකම දිශාව ඇති විට, කෝසයිනය එකකට සමාන වන අතර, ඒ අනුව, ප්‍රතිඵලය ධනාත්මක වනු ඇත.

180 o දී, එනම්, දෛශිකවලට ප්‍රතිවිරුද්ධ දිශාවන් ඇති විට, කොසයිනය සෘණ එකකට සමාන වේ.සහ ප්රතිඵලය ඍණාත්මක වනු ඇත.

දැන් වැදගත් කරුණ!

90 o දී, එනම්, දෛශික එකිනෙකට ලම්බක වන විට, කෝසයින් ශුන්ය වන අතර, එබැවින් හවුල් ව්යාපාරය ශුන්ය වේ. මෙම කරුණ (ප්‍රතිවිපාකය, නිගමනය) අප කතා කරන බොහෝ ගැටලු විසඳීමේදී භාවිතා වේ සාපේක්ෂ පිහිටීමදෛශික, ගණිතයේ විවෘත කාර්යයන්හි ඇතුළත් කාර්යයන් ඇතුළුව.

අපි ප්‍රකාශය සකසමු: දී ඇති දෛශික ලම්බක රේඛා මත පිහිටන්නේ නම් සහ පමණක් නම්, අදිශ නිෂ්පාදිතය ශුන්‍යයට සමාන වේ.

එබැවින්, SP දෛශික සඳහා සූත්‍ර:

දෛශිකවල ඛණ්ඩාංක හෝ ඒවායේ ආරම්භයේ සහ කෙළවරේ ලක්ෂ්‍යවල ඛණ්ඩාංක දන්නේ නම්, අපට සෑම විටම දෛශික අතර කෝණය සොයාගත හැකිය:

කාර්යයන් සලකා බලන්න:

27724 දෛශික a සහ b වල අභ්‍යන්තර ගුණය සොයන්න.

අපට සූත්‍ර දෙකෙන් එකක් භාවිතා කරමින් දෛශිකවල අදිශ ගුණිතය සොයාගත හැක:

දෛශික අතර කෝණය නොදන්නා නමුත් අපට පහසුවෙන් දෛශිකවල ඛණ්ඩාංක සොයා ගත හැකි අතර පසුව පළමු සූත්රය භාවිතා කළ හැකිය. දෛශික දෙකෙහිම ආරම්භය සම්භවය සමඟ සමපාත වන බැවින්, මෙම දෛශිකවල ඛණ්ඩාංක ඒවායේ කෙළවරේ ඛණ්ඩාංකවලට සමාන වේ, එනම්

දෛශිකයක ඛණ්ඩාංක සොයා ගන්නා ආකාරය විස්තර කෙරේ.

අපි ගණනය කරන්නේ:

පිළිතුර: 40

දෛශිකවල ඛණ්ඩාංක සොයාගෙන සූත්‍රය භාවිතා කරන්න:

දෛශිකයක ඛණ්ඩාංක සොයා ගැනීම සඳහා, දෛශිකයේ අවසානයෙහි ඛණ්ඩාංක වලින් එහි ආරම්භයේ අනුරූප ඛණ්ඩාංක අඩු කිරීම අවශ්‍ය වේ.

අපි පරිමාණ නිෂ්පාදනය ගණනය කරමු:

පිළිතුර: 40

දෛශික a සහ b අතර කෝණය සොයන්න. ඔබේ පිළිතුර අංශක වලින් දෙන්න.

දෛශිකවල ඛණ්ඩාංකවලට පෝරමය තිබිය යුතුය:

දෛශික අතර කෝණය සොයා ගැනීම සඳහා, අපි දෛශිකවල අදිශ නිෂ්පාදනය සඳහා සූත්‍රය භාවිතා කරමු:

දෛශික අතර කෝණයේ කෝසයින්:

ප්රතිඵලයක් වශයෙන්:

මෙම දෛශිකවල ඛණ්ඩාංක:

අපි ඒවා සූත්‍රයට සම්බන්ධ කරමු:

දෛශික අතර කෝණය අංශක 45 කි.

පිළිතුර: 45

උපදෙස්

තලය මත ශුන්‍ය නොවන දෛශික දෙකක් ලබා දීමට ඉඩ දෙන්න, එක් ලක්ෂ්‍යයකින් සැලසුම් කර ඇත: ඛණ්ඩාංක සහිත දෛශික A (x1, y1) B සමඟ ඛණ්ඩාංක (x2, y2). කෝනර්ඒවා අතර θ ලෙස දැක්වේ. θ කෝණයෙහි අංශක මිනුම සොයා ගැනීමට, ඔබ අදිශ නිෂ්පාදනයේ නිර්වචනය භාවිතා කළ යුතුය.

ශුන්‍ය නොවන දෛශික දෙකක අදිශ ගුණිතය මෙම දෛශිකවල දිග සහ ඒවා අතර කෝණයේ කෝසයිනයෙහි ගුණිතයට සමාන සංඛ්‍යාවකි, එනම් (A,B)=|A|*|B|*cos( θ). දැන් ඔබට මෙයින් කෝණයේ කෝසයින් ප්‍රකාශ කළ යුතුය: cos(θ)=(A,B)/(|A|*|B|).

ශුන්‍ය නොවන දෛශික දෙකක ගුණිතය අනුරූප දෛශිකවල නිෂ්පාදනවල එකතුවට සමාන වන බැවින් (A,B)=x1*x2+y1*y2 සූත්‍රය භාවිතයෙන් ද අදිශ නිෂ්පාදනය සොයා ගත හැක. ශුන්‍ය නොවන දෛශිකවල අදිශ ගුණිතය ශුන්‍යයට සමාන නම්, දෛශික ලම්බක (ඒවා අතර කෝණය අංශක 90) වන අතර වැඩිදුර ගණනය කිරීම් මඟ හැරිය හැක. දෛශික දෙකක අදිශ ගුණිතය ධනාත්මක නම්, මේවා අතර කෝණය දෛශිකඋග්ර, සහ සෘණ නම්, එවිට කෝණය නොපැහැදිලි වේ.

දැන් සූත්‍ර භාවිතා කරමින් A සහ B දෛශිකවල දිග ගණනය කරන්න: |A|=√(x1²+y1²), |B|=√(x2²+y2²). දෛශික දිග ගණනය කරනු ලැබේ වර්ගමුලයඑහි ඛණ්ඩාංකවල වර්ගවල එකතුවෙන්.

අදිශ නිෂ්පාදනයේ සොයාගත් අගයන් සහ දෛශිකවල දිග 2 පියවරේදී ලබාගත් කෝණය සඳහා වන සූත්‍රයට ආදේශ කරන්න, එනම් cos(θ)=(x1*x2+y1*y2)/(√(x1²+) y1²)+√(x2²+y2²)). දැන්, අගය දැන ගැනීම, අතර කෝණයේ අංශක මිනුම සොයා ගැනීමට දෛශිකඔබට බ්‍රැඩිස් වගුව භාවිතා කිරීමට හෝ මෙයින් ගත යුතුය: θ=arccos(cos(θ)).

A සහ B දෛශික ත්‍රිමාන අවකාශයකින් ලබා දී ඇති අතර පිළිවෙලින් ඛණ්ඩාංක (x1, y1, z1) සහ (x2, y2, z2) තිබේ නම්, කෝණයේ කෝසයිනය සොයා ගැනීමේදී තවත් එක් ඛණ්ඩාංකයක් එකතු වේ. මෙම අවස්ථාවෙහිදී cosine: cos(θ)=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/(√(x1²+y1²+z1²)+√(x2²+y2²+z2²)).

ප්රයෝජනවත් උපදෙස්

දෛශික දෙකක් එක් ලක්ෂ්‍යයකින් සැලසුම් කර නොමැති නම්, සමාන්තර පරිවර්තනයකින් ඒවා අතර කෝණය සොයා ගැනීමට, ඔබ මෙම දෛශිකවල ආරම්භය ඒකාබද්ධ කළ යුතුය.
දෛශික දෙකක් අතර කෝණය අංශක 180 ට වඩා වැඩි විය නොහැක.

මූලාශ්‍ර:

දෛශික අතර කෝණය ගණනය කරන්නේ කෙසේද?
රේඛාව සහ තලය අතර කෝණය

භෞතික විද්‍යාවේ සහ රේඛීය වීජ ගණිතයේ යෙදෙන සහ න්‍යායික ගැටළු රාශියක් විසඳීමට දෛශික අතර කෝණය ගණනය කිරීම අවශ්‍ය වේ. මෙම බැලූ බැල්මට සරල කාර්යයක් ඔබ පරිමාණ නිෂ්පාදනයේ සාරය සහ මෙම නිෂ්පාදනයේ ප්‍රති result ලයක් ලෙස පෙනෙන අගය කුමක්ද යන්න පැහැදිලිව වටහා නොගන්නේ නම් දුෂ්කරතා රාශියක් ඇති කළ හැකිය.

උපදෙස්

දෛශික රේඛීය අවකාශයේ දෛශික අතර කෝණය - අවම කෝණයදී, දෛශිකයන්ගේ සම දිශානතිය සාක්ෂාත් කරගනු ලැබේ. එක් දෛශිකයක් එහි ආරම්භක ස්ථානය වටා ගෙන යයි. අර්ථ දැක්වීමෙන්, කෝණයෙහි අගය අංශක 180 නොඉක්මවිය නොහැකි බව පැහැදිලිය (පියවර බලන්න).

මෙම අවස්ථාවෙහිදී, රේඛීය අවකාශයකදී, දෛශික සමාන්තරව මාරු කරන විට, ඒවා අතර කෝණය වෙනස් නොවන බව ඉතා නිවැරදිව උපකල්පනය කරයි. එබැවින්, කෝණයෙහි විශ්ලේෂණාත්මක ගණනය කිරීම සඳහා, දෛශිකවල අවකාශීය දිශානතිය වැදගත් නොවේ.

තිත් නිෂ්පාදනයේ ප්‍රතිඵලය අංකයකි, එසේ නොමැතිනම් අදිශයකි. වැඩිදුර ගණනය කිරීම් වලදී දෝෂ වළක්වා ගැනීම සඳහා මතක තබා ගන්න (මෙය දැන ගැනීම වැදගත් වේ). තලයක හෝ දෛශික අවකාශයේ පිහිටා ඇති අදිශ නිෂ්පාදනයේ සූත්‍රයට පෝරමය ඇත (පියවර සඳහා රූපය බලන්න).

දෛශික අවකාශයේ පිහිටා තිබේ නම්, ගණනය කිරීම සමාන ආකාරයකින් සිදු කරන්න. එකම දෙය ලාභාංශයේ පදයේ පෙනුම වනු ඇත - මෙය අයදුම්කරු සඳහා වන පදය, i.e. දෛශිකයේ තුන්වන සංරචකය. ඒ අනුව, දෛශික මාපාංකය ගණනය කිරීමේදී, z සංරචකය ද සැලකිල්ලට ගත යුතුය, එවිට අභ්‍යවකාශයේ පිහිටා ඇති දෛශික සඳහා, අවසාන ප්‍රකාශනය පහත පරිදි පරිවර්තනය වේ (රූපය 6 සිට පියවර දක්වා බලන්න).

දෛශිකයක් යනු දිශානතියක් සහිත රේඛා ඛණ්ඩයකි. දෛශික අතර කෝණයට භෞතික අර්ථයක් ඇත, උදාහරණයක් ලෙස, දෛශිකයක අක්ෂයක් මතට ප්‍රක්ෂේපණයේ දිග සොයා ගැනීමේදී.

උපදෙස්

තිත් නිෂ්පාදන ගණනය භාවිතයෙන් ශුන්‍ය නොවන දෛශික දෙකක් අතර කෝණය. නිර්වචනය අනුව, නිෂ්පාදිතය දිග සහ ඒවා අතර කෝණයෙහි නිෂ්පාදනයට සමාන වේ. අනෙක් අතට, a ඛණ්ඩාංක (x1; y1) සහ b ඛණ්ඩාංක (x2; y2) සහිත දෛශික දෙකක් සඳහා අභ්‍යන්තර නිෂ්පාදිතය ගණනය කෙරේ: ab = x1x2 + y1y2. මෙම ක්‍රම දෙකෙන්, තිත් නිෂ්පාදනය දෛශික අතර කෝණයට පහසු වේ.

දෛශිකවල දිග හෝ මොඩියුල සොයන්න. අපගේ දෛශික සඳහා a සහ b: |a| = (x1² + y1²)^1/2, |b| = (x2² + y2²)^1/2.

දෛශික වල ඛණ්ඩාංක යුගල වශයෙන් ගුණ කිරීමෙන් ඒවායේ අභ්‍යන්තර නිෂ්පාදිතය සොයන්න: ab = x1x2 + y1y2. තිත් නිෂ්පාදනයේ නිර්වචනයෙන් ab = |a|*|b|*cos α, α යනු දෛශික අතර කෝණයයි. එවිට අපට එම x1x2 + y1y2 = |a|*|b|*cos α ලැබේ. එවිට cos α = (x1x2 + y1y2)/(|a|*|b|) = (x1x2 + y1y2)/((x1² + y1²)(x2² + y2²))^1/2.

Bradys වගු භාවිතයෙන් α කෝණය සොයන්න.

සම්බන්ධ වීඩියෝ දර්ශන

සටහන

අදිශ නිෂ්පාදනය යනු දෛශිකවල දිග සහ ඒවා අතර කෝණයෙහි අදිශ ලක්ෂණයකි.

තලය යනු ජ්‍යාමිතියේ මූලික සංකල්ප වලින් එකකි. තලයක් යනු ප්‍රකාශය සත්‍ය වන මතුපිටකි - එහි ලක්ෂ්‍ය දෙකක් සම්බන්ධ කරන ඕනෑම සරල රේඛාවක් සම්පූර්ණයෙන්ම මෙම මතුපිටට අයත් වේ. ගුවන් යානා සාමාන්‍යයෙන් ග්‍රීක අක්ෂර α, β, γ යනාදිය මගින් දක්වනු ලැබේ. ගුවන් යානා දෙකක් සෑම විටම තල දෙකටම අයත් සරල රේඛාවකින් ඡේදනය වේ.

උපදෙස්

ඡේදනය වන ස්ථානයේ පිහිටුවා ඇති අර්ධ තල α සහ β සලකා බලන්න. සෘජු රේඛාවකින් සාදන ලද කෝණය a සහ අර්ධ-තල දෙකකින් α සහ β ද්විත්ව කෝණයකින් සෑදී ඇත. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, අර්ධ තලයන් මුහුණත අනුව ඩයිහෙඩ්‍රල් කෝණයක් සාදන අතර, එම ගුවන් යානා ඡේදනය වන රේඛාව a දාරයක් ලෙස හැඳින්වේ. dihedral කෝණය.

dihedral කෝණය, වැනි පැතලි කෙළවර, අංශක වලින්. ඩයිහෙඩ්‍රල් කෝණයක් සෑදීම සඳහා එහි මුහුණතෙහි O අත්තනෝමතික ලක්ෂ්‍යයක් තෝරා ගැනීම අවශ්‍ය වේ. දෙකෙහිම a කිරණ දෙකක් O ලක්ෂ්‍යය හරහා ඇද ගනු ලැබේ. මෙහි ප්රතිඵලයක් වශයෙන් AOB කෝණය dihedral කෝණයෙහි රේඛීය කෝණය ලෙස හැඳින්වේ a.

එබැවින්, දෛශිකය V = (a, b, c) සහ A x + B y + C z = 0 තලය ලබා දීමට ඉඩ දෙන්න, එහිදී A, B සහ C සාමාන්‍ය N හි ඛණ්ඩාංක වේ. එවිට කෝණයේ කෝසයිනය V සහ N දෛශික අතර α යනු: cos α \u003d (a + b + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²)).

අංශක හෝ රේඩියනවල කෝණයේ අගය ගණනය කිරීම සඳහා, ඔබට ලැබෙන ප්‍රකාශනයෙන් කොසයිනයට ප්‍රතිලෝම ශ්‍රිතය ගණනය කළ යුතුය, i.e. arccosine: α \u003d arscos ((a + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))).

උදාහරණය: සොයා ගන්න කෙළවරේඅතර දෛශිකය(5, -3, 8) සහ ගුවන් යානය, ලබා දී ඇත සාමාන්ය සමීකරණය 2 x - 5 y + 3 z = 0. විසඳුම: තලයේ N = (2, -5, 3) සාමාන්‍ය දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක ලියන්න. සියල්ල ආදේශ කරන්න දන්නා අගයන්ඉහත සූත්‍රයේ: cos α = (10 + 15 + 24) / √3724 ≈ 0.8 → α = 36.87°.

සම්බන්ධ වීඩියෝ දර්ශන

සමීකරණයක් ලියා එයින් කොසයින් හුදකලා කරන්න. එක් සූත්‍රයකට අනුව, දෛශිකවල අදිශ ගුණිතය ඒවායේ දිග එකිනෙක හා කොසයින් මගින් ගුණ කළ විට සමාන වේ. කෝණය, සහ අනෙක් පැත්තෙන් - එක් එක් අක්ෂය දිගේ ඛණ්ඩාංකවල නිෂ්පාදනවල එකතුව. සූත්‍ර දෙකම සමාන කරමින්, අපට නිගමනය කළ හැක්කේ කොසයින් බව ය කෝණයඛණ්ඩාංකවල නිෂ්පාදන එකතුවේ දෛශිකවල දිග වල ගුණිතයේ අනුපාතයට සමාන විය යුතුය.

ලැබෙන සමීකරණය ලියන්න. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි දෛශික දෙකම නම් කළ යුතුය. අපි හිතමු ඒවා 3D Cartesian පද්ධතියකින් ලබා දී ඇති අතර ඒවායේ ආරම්භක ස්ථාන ග්‍රිඩ් එකක ඇත. පළමු දෛශිකයේ දිශාව සහ විශාලත්වය ලක්ෂ්‍යයෙන් ලබා දෙනු ඇත (X₁,Y₁,Z₁), දෙවන - (X₂,Y₂,Z₂), සහ කෝණය γ අක්ෂරයෙන් දැක්වේ. එවිට එක් එක් දෛශිකයේ දිග, උදාහරණයක් ලෙස, පයිතගරස් ප්‍රමේයය අනුව, එක් එක් ඛණ්ඩාංක අක්ෂ මත ඒවායේ ප්‍රක්ෂේපන මගින් සෑදිය හැක: √(X₁² + Y₁² + Z₁²) සහ √(X₂² + Y₂² + Z₂). පෙර පියවරේදී සකස් කළ සූත්‍රය තුළ මෙම ප්‍රකාශන ආදේශ කරන්න, එවිට ඔබට සමානාත්මතාවය ලැබේ: cos(γ) = (X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂) / (√(X₁² + Y₁² + Z₁²) *∲(X Y₂² + Z₂² )).

වර්ගීකරණයේ එකතුව යන කාරනය භාවිතා කරන්න සයිනස්සහ සම සයිනස්සිට කෝණයඑක් අගයක් සෑම විටම එකක් ලබා දෙයි. එබැවින්, co සඳහා පෙර පියවරේදී ලබාගත් දේ ඉහළ නැංවීමෙන් සයිනස්එකමුතුවෙන් වර්ග කිරීම සහ අඩු කිරීම, පසුව වර්ග මූලය, ඔබ ගැටළුව විසඳයි. අපේක්ෂිත සූත්‍රය ලියන්න සාමාන්ය දැක්ම: sin(γ) = √(1-cos(γ)²) = √(1 - ((X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂) / (√(X₁² + Y₁² + Z₁²) *∲(X Y₂² + Z₂²))²) = √(1 - ((X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂)² / ((X₁² + Y₁² + Z₁²) * (X₂²² + Z₂)).

දෛශික වල තිත් නිෂ්පාදනය

අපි වාහකයන් සමඟ දිගටම කටයුතු කරන්නෙමු. පළමු පාඩමේදී ඩමි සඳහා දෛශිකඅපි දෛශික සංකල්පය, දෛශික සමඟ ක්‍රියා, දෛශික ඛණ්ඩාංක සහ දෛශික සමඟ ඇති සරලම ගැටළු සලකා බැලුවෙමු. ඔබ පළමු වරට සෙවුම් යන්ත්‍රයකින් මෙම පිටුවට පැමිණියේ නම්, ඉහත හඳුන්වාදීමේ ලිපිය කියවීමට මම තරයේ නිර්දේශ කරමි, මන්ද ඔබ මා භාවිතා කරන නියමයන් සහ අංකනය තුළ සැරිසැරීමට අවශ්‍ය ද්‍රව්‍ය උකහා ගැනීම සඳහා, මූලික දැනුමදෛශික ගැන සහ මූලික ගැටළු විසඳීමට හැකි වේ. මෙම පාඩම මාතෘකාවේ තාර්කික අඛණ්ඩ පැවැත්මක් වන අතර, එහි දී මම දෛශිකයන්ගේ පරිමාණ නිෂ්පාදනය භාවිතා කරන සාමාන්‍ය කාර්යයන් විස්තරාත්මකව විශ්ලේෂණය කරමි. මෙය ඉතා වැදගත් ක්‍රියාකාරකම . උදාහරණ මඟ හැරීමට උත්සාහ නොකරන්න, ඔවුන් ප්රයෝජනවත් ප්රසාද දීමනාවක් සමඟ පැමිණේ - විශ්ලේෂණාත්මක ජ්යාමිතිය පිළිබඳ පොදු ගැටළු විසඳීම සඳහා ආවරණය කර ඇති ද්රව්ය ඒකාබද්ධ කිරීමට සහ "ඔබේ අත ලබා ගැනීමට" පුහුණුව ඔබට උපකාර වනු ඇත.

දෛශික එකතු කිරීම, දෛශිකයක් අංකයකින් ගුණ කිරීම.... ගණිතඥයන් වෙනත් දෙයක් ඉදිරිපත් කර නැතැයි සිතීම බොළඳ වනු ඇත. දැනටමත් සලකා බැලූ ක්රියා වලට අමතරව, දෛශික සමඟ තවත් මෙහෙයුම් ගණනාවක් ඇත, එනම්: දෛශික වල dot නිෂ්පාදනය, දෛශික වල හරස් නිෂ්පාදනයහා දෛශික මිශ්‍ර නිෂ්පාදනයක්. දෛශිකවල අදිශ නිෂ්පාදනය පාසලේ සිට අපට හුරුපුරුදු ය, අනෙක් නිෂ්පාදන දෙක සාම්ප්‍රදායිකව උසස් ගණිත පාඨමාලාවට සම්බන්ධ වේ. මාතෘකා සරලයි, බොහෝ ගැටළු විසඳීම සඳහා ඇල්ගොරිතම ඒකාකෘති සහ තේරුම්ගත හැකි ය. එකම දෙය. හොඳ තොරතුරු ප්‍රමාණයක් ඇත, එබැවින් සෑම දෙයක්ම ප්‍රගුණ කිරීමට සහ එකවර විසඳීමට උත්සාහ කිරීම නුසුදුසු ය. මෙය ඩමි සඳහා විශේෂයෙන් සත්‍ය වේ, මාව විශ්වාස කරන්න, කතුවරයාට ගණිතයෙන් චිකාටිලෝ මෙන් දැනීමට අවශ්‍ය නැත. හොඳයි, ගණිතයෙන් නොවේ, ඇත්ත වශයෙන්ම, එක්කෝ =) වැඩිපුර සූදානම් වූ සිසුන්ට අතුරුදහන් වූ දැනුම “අත්පත් කර ගැනීමට” යම් අර්ථයකින් ද්‍රව්‍ය තෝරා බේරා භාවිතා කළ හැකිය, මම ඔබට හානිකර කවුන්ට් ඩ්‍රැකියුලා වන්නෙමි =)

අවසාන වශයෙන්, අපි දොර ටිකක් විවෘත කර දෛශික දෙකක් එකිනෙක හමු වූ විට කුමක් සිදුවේදැයි බලමු.

දෛශිකවල අදිශ නිෂ්පාදනයේ අර්ථ දැක්වීම.
පරිමාණ නිෂ්පාදනයේ ගුණාංග. සාමාන්ය කාර්යයන්

තිත් නිෂ්පාදනයේ සංකල්පය

මුලින්ම ගැන දෛශික අතර කෝණය. දෛශික අතර කෝණය කුමක්දැයි සෑම දෙනාම අවබෝධයෙන් වටහාගෙන ඇතැයි මම සිතමි, නමුත් තව ටිකක්. නොමිලේ ශුන්‍ය නොවන දෛශික සහ . අපි මෙම දෛශික අත්තනෝමතික ලක්ෂ්‍යයෙන් කල් දැමුවහොත්, බොහෝ දෙනෙක් දැනටමත් මානසිකව ඉදිරිපත් කර ඇති පින්තූරයක් අපට ලැබේ:

මම පාපොච්චාරණය කරමි, මෙහි මම තත්වය විස්තර කළේ අවබෝධයේ මට්ටමින් පමණි. ඔබට දෛශික අතර කෝණය පිළිබඳ දැඩි අර්ථ දැක්වීමක් අවශ්ය නම්, කරුණාකර පෙළපොත වෙත යොමු වන්න, නමුත් ප්රායෝගික කාර්යයන් සඳහා, අපි, ප්රතිපත්තිමය වශයෙන්, එය අවශ්ය නොවේ. තවද මෙහි සහ තවදුරටත්, මම සමහර විට ශුන්‍ය දෛශික ඒවායේ අඩු ප්‍රායෝගික වැදගත්කම නිසා නොසලකා හරිමි. පහත සඳහන් සමහර ප්‍රකාශවල න්‍යායික අසම්පූර්ණත්වය සම්බන්ධයෙන් මට දෝෂාරෝපණය කළ හැකි, වෙබ් අඩවියට පැමිණෙන උසස් අමුත්තන් සඳහා මම විශේෂයෙන් වෙන් කිරීමක් කළෙමි.

අංශක 0 සිට 180 දක්වා (0 සිට රේඩියන දක්වා) ඇතුළුව අගයන් ගත හැක. විශ්ලේෂණාත්මකව, මෙම කරුණ ද්විත්ව අසමානතාවයක් ලෙස ලියා ඇත:

හෝ

(රේඩියන වලින්).

සාහිත්යය තුළ, කෝණ නිරූපකය බොහෝ විට අත්හැර දමා සරලව ලියා ඇත.

අර්ථ දැක්වීම:දෛශික දෙකක අදිශ ගුණිතය මෙම දෛශිකවල දිග සහ ඒවා අතර කෝණයේ කෝසයිනයේ ගුණිතයට සමාන NUMBER වේ:

දැන් එය තරමක් දැඩි නිර්වචනයකි.

අපි අත්‍යවශ්‍ය තොරතුරු කෙරෙහි අවධානය යොමු කරමු:

තනතුර:පරිමාණ නිෂ්පාදිතය මගින් හෝ සරලව දක්වා ඇත.

මෙහෙයුමේ ප්‍රතිඵලය NUMBER වේ: අංකයක් ලබා ගැනීමට දෛශිකයකින් දෛශිකයක් ගුණ කරන්න. ඇත්ත වශයෙන්ම, දෛශිකවල දිග සංඛ්‍යා නම්, කෝණයේ කෝසයින් අංකයක් නම්, ඒවායේ නිෂ්පාදනය අංකයක් ද වනු ඇත.

උණුසුම් කිරීමේ උදාහරණ කිහිපයක් පමණි:

උදාහරණ 1

විසඳුමක්:අපි සූත්රය භාවිතා කරමු . හිදී මෙම නඩුව:

පිළිතුර:

කොසයින් අගයන් සොයා ගත හැක ත්රිකෝණමිතික වගුව. මම එය මුද්රණය කිරීමට නිර්දේශ කරමි - එය කුළුණේ සෑම අංශයකම පාහේ අවශ්ය වන අතර බොහෝ වාරයක් අවශ්ය වනු ඇත.

තනිකරම ගණිතමය දෘෂ්ටි කෝණයකින්, අදිශ නිෂ්පාදනය මාන රහිත ය, එනම්, ප්‍රති result ලය, මෙම අවස්ථාවේ දී, සංඛ්‍යාවක් පමණක් වන අතර එය එයයි. භෞතික විද්යාවේ ගැටළු පිළිබඳ දෘෂ්ටි කෝණයෙන් බලන කල, පරිමාණ නිෂ්පාදනයට සෑම විටම නිශ්චිත භෞතික අර්ථයක් ඇත, එනම්, ප්රතිඵලයෙන් පසුව, එක් හෝ තවත් භෞතික ඒකකයක් දැක්විය යුතුය. බලයේ කාර්යය ගණනය කිරීමේ කැනොනිකල් උදාහරණය ඕනෑම පෙළපොතකින් සොයාගත හැකිය (සූත්රය හරියටම තිත් නිෂ්පාදනයකි). බලයක කාර්යය ජූල්ස් වලින් මනිනු ලැබේ, එබැවින් පිළිතුර ඉතා නිශ්චිතව ලියා ඇත, උදාහරණයක් ලෙස.

උදාහරණ 2

නම් සොයන්න , සහ දෛශික අතර කෝණය වේ.

මේ සඳහා උදාහරණයක් ස්වාධීන විසඳුම, පිළිතුර පාඩම අවසානයේ ඇත.

දෛශික අතර කෝණය සහ තිත් නිෂ්පාදන අගය

උදාහරණ 1 හි, පරිමාණ නිෂ්පාදනය ධනාත්මක බවට පත් වූ අතර, උදාහරණ 2 හි, එය ඍණ බවට පත් විය. පරිමාණ නිෂ්පාදනයේ සලකුණ රඳා පවතින්නේ කුමක් දැයි අපි සොයා බලමු. අපගේ සූත්‍රය දෙස බලමු: . ශුන්‍ය නොවන දෛශිකවල දිග සෑම විටම ධනාත්මක වේ: , එබැවින් ලකුණ රඳා පවතින්නේ කොසයිනයේ අගය මත පමණි.

සටහන: පහත තොරතුරු පිළිබඳ වඩා හොඳ අවබෝධයක් සඳහා, අත්පොතෙහි ඇති කොසයින් ප්‍රස්ථාරය අධ්‍යයනය කිරීම වඩා හොඳය ප්‍රස්තාර සහ ක්‍රියාකාරී ගුණාංග. කොසයිනය කොටසෙහි හැසිරෙන ආකාරය බලන්න.

දැනටමත් සඳහන් කර ඇති පරිදි, දෛශික අතර කෝණය වෙනස් විය හැක , සහ ඒ සමගම එය හැකි ය පහත සඳහන් අවස්ථා:

1) නම් කෙළවරේදෛශික අතර කුළුබඩු සහිත: (අංශක 0 සිට 90 දක්වා), පසුව , හා dot නිෂ්පාදනය ධනාත්මක වනු ඇත සම අධ්‍යක්ෂණය කළා, එවිට ඒවා අතර කෝණය ශුන්ය ලෙස සලකනු ලබන අතර, අදිශ නිෂ්පාදනය ද ධනාත්මක වනු ඇත. සිට , එවිට සූත්රය සරල කර ඇත: .

2) නම් කෙළවරේදෛශික අතර මෝඩ: (අංශක 90 සිට 180 දක්වා), පසුව , සහ ඒ අනුව, dot නිෂ්පාදනය ඍණ වේ: . විශේෂ අවස්ථාව: දෛශික නම් ප්රතිවිරුද්ධව යොමු කර ඇත, එවිට ඔවුන් අතර කෝණය සලකනු ලැබේ යොදවා ඇත: (අංශක 180). පරිමාණ නිෂ්පාදනය ද සෘණාත්මක වේ, සිට

ප්‍රතිවිරුද්ධ ප්‍රකාශ ද සත්‍ය වේ:

1) නම්, මෙම දෛශික අතර කෝණය තියුණු වේ. විකල්පයක් ලෙස, දෛශික දෛශික වේ.

2) නම්, මෙම දෛශික අතර කෝණය නොපැහැදිලි වේ. විකල්පයක් ලෙස, දෛශික ප්රතිවිරුද්ධ දිශාවට යොමු කෙරේ.

නමුත් තුන්වන සිද්ධිය විශේෂ උනන්දුවක් දක්වයි:

3) නම් කෙළවරේදෛශික අතර කෙලින්ම: (අංශක 90) පසුව සහ dot නිෂ්පාදන ශුන්‍ය වේ: . ප්රතිලෝම ද සත්ය වේ: නම් , එසේ නම් . සංයුක්ත ප්රකාශය පහත පරිදි සකස් කර ඇත: දෛශික දෙකක අදිශ ගුණිතය ශුන්‍ය වන්නේ ලබා දී ඇති දෛශික විකලාංග නම් සහ පමණි.. කෙටි ගණිත අංකනය:

! සටහන : නැවත ගණිතමය තර්කයේ පදනම්: ද්විත්ව ඒක පාර්ශවීය තාර්කික ප්‍රතිවිපාක නිරූපකය සාමාන්‍යයෙන් කියවනු ලබන්නේ "if and only then", "if and only if" යනුවෙනි. ඔබට පෙනෙන පරිදි, ඊතල දෙපැත්තටම යොමු කර ඇත - "මෙයින් මෙය පහත දැක්වේ, සහ අනෙක් අතට - මෙයින් පහත දැක්වේ." එක් මාර්ගයක් අනුගමනය කිරීමේ නිරූපකයෙන් වෙනස කුමක්ද? අයිකනය හිමිකම් කියයි එය පමණි"මෙයින් මෙය අනුගමනය කරයි" යන්න මිස ප්‍රතිලෝම සත්‍ය බව නොවේ. උදාහරණයක් ලෙස: , නමුත් සෑම සතෙකුම පැන්තර් නොවේ, එබැවින් මෙම අවස්ථාවේදී අයිකනය භාවිතා කළ නොහැක. ඒ සමගම, අයිකනය වෙනුවට පුළුවන්ඒකපාර්ශ්වික නිරූපකය භාවිතා කරන්න. උදාහරණයක් ලෙස, ගැටළුව විසඳීමේදී, දෛශික විකලාංග බව අපි නිගමනය කළෙමු: - එවැනි වාර්තාවක් නිවැරදි වනු ඇත, ඊටත් වඩා සුදුසු ය .

තුන්වන නඩුව ඉතා ප්රායෝගික වැදගත්කමක් දරයි., දෛශික විකලාංග ද නැද්ද යන්න පරීක්ෂා කිරීමට එය ඔබට ඉඩ සලසයි. පාඩමේ දෙවන කොටසේදී අපි මෙම ගැටළුව විසඳන්නෙමු.

තිත් නිෂ්පාදන ගුණාංග

දෛශික දෙකක් ඇති විට අපි තත්වයට යමු සම අධ්‍යක්ෂණය කළා. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, ඒවා අතර කෝණය ශුන්ය වේ, සහ පරිමාණ නිෂ්පාදන සූත්රය ආකෘතිය ගනී: .

දෛශිකයක් තමා විසින්ම ගුණ කළහොත් කුමක් සිදුවේද? දෛශිකය තමා සමඟම සම අධ්‍යක්ෂණය කර ඇති බව පැහැදිලිය, එබැවින් අපි ඉහත සරල කළ සූත්‍රය භාවිතා කරමු:

අංකය කැඳවනු ලැබේ අදිශ චතුරස්රයදෛශිකය , සහ ලෙස දැක්වේ.

මේ ක්රමයෙන්, දෛශිකයේ අදිශ චතුරස්‍රය ලබා දී ඇති දෛශිකයේ දිග වර්ග වලට සමාන වේ:

මෙම සමානාත්මතාවයෙන්, ඔබට දෛශිකයක දිග ගණනය කිරීම සඳහා සූත්රයක් ලබා ගත හැක:

එය නොපැහැදිලි බවක් පෙනෙන්නට තිබුණත්, පාඩමේ කර්තව්යයන් සෑම දෙයක්ම එහි ස්ථානයේ තබනු ඇත. ගැටළු විසඳීම සඳහා, අපට ද අවශ්ය වේ dot නිෂ්පාදන ගුණාංග.

අත්තනෝමතික දෛශික සහ ඕනෑම අංකයක් සඳහා, the පහත ගුණාංග:

1) - විස්ථාපනය කළ හැකි හෝ සංක්රමණිකපරිමාණ නිෂ්පාදන නීතිය.

2) - බෙදා හැරීම හෝ බෙදාහැරීමේපරිමාණ නිෂ්පාදන නීතිය. සරලව කිවහොත්, ඔබට වරහන් විවෘත කළ හැකිය.

3) - සංයෝජනය හෝ ආශ්රිතපරිමාණ නිෂ්පාදන නීතිය. නියතය අදිශ නිෂ්පාදනයෙන් පිටතට ගත හැක.

බොහෝ විට, සියලු වර්ගවල දේපල (ඒවා ඔප්පු කළ යුතුද!) සිසුන් විසින් අනවශ්‍ය කුණු ලෙස සලකනු ලැබේ, එය මතක තබා ගත යුතු අතර විභාගයෙන් පසු වහාම ආරක්ෂිතව අමතක කළ යුතුය. මෙහි වැදගත් දෙය නම්, නිෂ්පාදිතය සාධක ප්‍රතිවර්තනය කිරීමෙන් වෙනස් නොවන බව පළමු ශ්‍රේණියේ සිට සෑම දෙනාම දැනටමත් දන්නා බව පෙනේ :. මම ඔබට අනතුරු ඇඟවිය යුතුයි, එවැනි ප්‍රවේශයක් සමඟ උසස් ගණිතයේදී දේවල් අවුල් කිරීම පහසුය. එබැවින්, උදාහරණයක් ලෙස, සංක්‍රමණ දේපල වලංගු නොවේ වීජීය න්‍යාස. සඳහා එය සත්ය නොවේ දෛශික වල හරස් නිෂ්පාදනය. එමනිසා, කළ හැකි සහ කළ නොහැකි දේ තේරුම් ගැනීම සඳහා උසස් ගණිතයේ දී ඔබට හමු වන ඕනෑම ගුණාංගයක් සොයා බැලීම වඩා හොඳය.

උදාහරණය 3

විසඳුමක්:පළමුව, දෛශිකය සමඟ තත්වය පැහැදිලි කරමු. ඒ සියල්ල කුමක් ගැනද? දෛශිකවල එකතුව සහ හොඳින් නිර්වචනය කරන ලද දෛශිකයක් වන අතර එය . දෛශික සමඟ ක්රියාවන් පිළිබඳ ජ්යාමිතික අර්ථ නිරූපණය ලිපියෙන් සොයාගත හැකිය ඩමි සඳහා දෛශික. දෛශිකයක් සහිත එම parsley දෛශික එකතුව සහ .

එබැවින්, කොන්දේසිය අනුව, පරිමාණ නිෂ්පාදනය සොයා ගැනීම අවශ්ය වේ. අදහස අයදුම් කිරීමයි වැඩ සූත්රය , නමුත් කරදරය වන්නේ දෛශිකවල දිග සහ ඒවා අතර කෝණය අප නොදැන සිටීමයි. නමුත් තත්වය තුළ, දෛශික සඳහා සමාන පරාමිතීන් ලබා දී ඇත, එබැවින් අපි වෙනත් මාර්ගයකට යන්නෙමු:

(1) අපි දෛශික ප්‍රකාශන ආදේශ කරමු.

(2) බහුපද ගුණ කිරීමේ රීතියට අනුව අපි වරහන් විවෘත කරමු, ලිපියේ අසභ්‍ය දිව ඇඹරීමක් සොයාගත හැකිය සංකීර්ණ සංඛ්යාහෝ භාගික තාර්කික ශ්‍රිතයක් ඒකාබද්ධ කිරීම. මම නැවත නැවත නොකියමි =) මාර්ගය වන විට, පරිමාණ නිෂ්පාදනයේ බෙදාහැරීමේ ගුණය අපට වරහන් විවෘත කිරීමට ඉඩ සලසයි. අපිට අයිතිය තියෙනවා.

(3) පළමු සහ අවසාන නියමයන්හිදී, අපි දෛශිකවල අදිශ වර්ග සංයුක්තව ලියන්නෙමු: . දෙවන වාරයේදී, අපි පරිමාණ නිෂ්පාදනයේ සංක්‍රමණ හැකියාව භාවිතා කරමු: .

(4) මෙන්න සමාන නියමයන්:

(5) පළමු වාරයේ දී, අපි බොහෝ කලකට පෙර සඳහන් නොකළ අදිශ වර්ග සූත්‍රය භාවිතා කරමු. අවසාන වාරයේ දී, පිළිවෙලින්, එකම දේ ක්රියා කරයි: . සම්මත සූත්රය අනුව දෙවන පදය පුළුල් වේ .

(6) මෙම කොන්දේසි ආදේශ කරන්න , සහ අවසාන ගණනය කිරීම් ප්රවේශමෙන් සිදු කරන්න.

පිළිතුර:

සෘණ අර්ථය dot නිෂ්පාදන දෛශික අතර කෝණය නොපැහැදිලි බව සඳහන් කරයි.

කාර්යය සාමාන්යයි, ස්වාධීන විසඳුමක් සඳහා උදාහරණයක් මෙන්න:

උදාහරණය 4

දෛශිකවල අදිශ ගුණිතය සොයන්න සහ එය දන්නේ නම් .

දැන් තවත් පොදු කාර්යයක්, නව දෛශික දිග සූත්‍රය සඳහා පමණි. මෙහි ඇති තනතුරු ටිකක් අතිච්ඡාදනය වනු ඇත, එබැවින් පැහැදිලිකම සඳහා, මම එය වෙනත් අකුරකින් නැවත ලියන්නෙමි:

උදාහරණ 5

දෛශිකයේ දිග සොයන්න if .

විසඳුමක්පහත පරිදි වනු ඇත:

(1) අපි දෛශික ප්‍රකාශනය සපයන්නෙමු.

(2) අපි දිග සූත්‍රය භාවිතා කරමු: , අපට "ve" දෛශිකය ලෙස පූර්ණ සංඛ්‍යා ප්‍රකාශනයක් ඇති අතර.

(3) අපි එකතුවේ වර්ග සඳහා පාසල් සූත්‍රය භාවිතා කරමු. එය මෙහි කුතුහලයෙන් ක්‍රියා කරන ආකාරය ගැන අවධානය යොමු කරන්න: - ඇත්ත වශයෙන්ම, මෙය වෙනසෙහි චතුරස්රය වන අතර, ඇත්ත වශයෙන්ම එය එසේ ය. කැමති අයට ස්ථාන වල දෛශික නැවත සකස් කළ හැක: - එය නියමයන් නැවත සකස් කිරීම දක්වා එකම දේ බවට පත් විය.

(4) පහත සඳහන් දේ පෙර ගැටළු දෙකෙන් දැනටමත් හුරුපුරුදුය.

පිළිතුර:

අපි දිග ගැන කතා කරන බැවින්, මානය දැක්වීමට අමතක නොකරන්න - "ඒකක".

උදාහරණය 6

දෛශිකයේ දිග සොයන්න if .

මෙය ඔබ විසින්ම කළ හැකි උදාහරණයකි. සම්පූර්ණ විසඳුමසහ පාඩම අවසානයේ පිළිතුර.

අපි පරිමාණ නිෂ්පාදනයෙන් ප්රයෝජනවත් දේවල් මිරිකා ගැනීම දිගටම කරගෙන යයි. අපි නැවතත් අපගේ සූත්‍රය දෙස බලමු . සමානුපාතික රීතිය අනුව, අපි දෛශිකවල දිග වම් පැත්තේ හරයට නැවත සකසමු:

අපි කොටස් මාරු කරමු:

මෙම සූත්‍රයේ තේරුම කුමක්ද? දෛශික දෙකක දිග සහ ඒවායේ අදිශ නිෂ්පාදිතය දන්නේ නම්, මෙම දෛශික අතර කෝණයේ කෝසයිනය ගණනය කළ හැකි අතර, ඒ අනුව, කෝණයම.

පරිමාණ නිෂ්පාදනය අංකයක්ද? අංකය. දෛශික දිග සංඛ්‍යා ද? අංක. එබැවින් භාගයක් ද අංකයකි. සහ කෝණයේ කෝසයින් දන්නේ නම්: , පසුව භාවිතා කරන්න ප්රතිලෝම ශ්රිතයකෙළවරම සොයා ගැනීම පහසුය: .

උදාහරණ 7

දෛශික අතර කෝණය සොයන්න සහ එය දන්නේ නම්.

විසඳුමක්:අපි සූත්රය භාවිතා කරමු:

මත අවසාන අදියරගණනය කිරීම්, තාක්ෂණයක් භාවිතා කරන ලදී - හරයේ අතාර්කිකත්වය තුරන් කිරීම. අතාර්කික බව නැති කිරීම සඳහා, මම සංඛ්‍යා සහ හරය ගුණ කළෙමි.

එසේ නම් , එවිට:

ප්රතිලෝම අගයන් ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතමගින් සොයා ගත හැක ත්රිකෝණමිතික වගුව. මෙය කලාතුරකින් සිදු වුවද. විශ්ලේෂණාත්මක ජ්‍යාමිතිය පිළිබඳ ගැටළු වලදී, සමහර අවුල් සහගත වලසුන් බොහෝ විට පෙනෙන අතර, කෝණයේ අගය ආසන්න වශයෙන් කැල්කියුලේටරය භාවිතා කර සෙවිය යුතුය. ඇත්ත වශයෙන්ම, අපි මෙම පින්තූරය නැවත නැවතත් දකිනු ඇත.

පිළිතුර:

නැවතත්, මානය නියම කිරීමට අමතක නොකරන්න - රේඩියන සහ අංශක. පුද්ගලිකව, හිතාමතාම “සියලු ප්‍රශ්න ඉවත් කිරීම” සඳහා, මම දෙකම දැක්වීමට කැමැත්තෙමි (ඇත්ත වශයෙන්ම, කොන්දේසිය අනුව, පිළිතුර රේඩියන වලින් පමණක් හෝ අංශක වලින් පමණක් ඉදිරිපත් කිරීමට අවශ්‍ය නොවේ නම්).

දැන් ඔබට වඩාත් දුෂ්කර කාර්යයකට තනිවම මුහුණ දීමට හැකි වනු ඇත:

උදාහරණ 7*

දෛශිකවල දිග සහ ඒවා අතර කෝණය ලබා දී ඇත. දෛශික අතර කෝණය සොයන්න, .

කාර්යය බහු මාර්ගයක් තරම් දුෂ්කර නොවේ.
විසඳුම් ඇල්ගොරිතම විශ්ලේෂණය කරමු:

1) කොන්දේසිය අනුව, දෛශික අතර කෝණය සොයා ගැනීමට අවශ්ය වන අතර, එබැවින් ඔබ සූත්රය භාවිතා කළ යුතුය. .

2) අපි පරිමාණ නිෂ්පාදනය සොයා ගනිමු (උදාහරණ අංක 3, 4 බලන්න).

3) දෛශිකයේ දිග සහ දෛශිකයේ දිග සොයා ගන්න (උදාහරණ අංක 5, 6 බලන්න).

4) විසඳුමේ අවසානය උදාහරණ අංක 7 සමඟ සමපාත වේ - අපි අංකය දනිමු , එයින් අදහස් වන්නේ කෝණය සොයා ගැනීම පහසු බවයි:

පාඩම අවසානයේ කෙටි විසඳුම සහ පිළිතුර.

පාඩමේ දෙවන කොටස එකම තිත් නිෂ්පාදනයට කැප කර ඇත. ඛණ්ඩාංක. එය පළමු කොටසට වඩා පහසු වනු ඇත.

දෛශික වල තිත් නිෂ්පාදනය,
විකලාංග පදනමකින් ඛණ්ඩාංක මගින් ලබා දී ඇත

පිළිතුර:

ඛණ්ඩාංක සමඟ කටයුතු කිරීම වඩාත් ප්රසන්න බව අමුතුවෙන් කිව යුතු නැත.

උදාහරණ 14

දෛශිකවල අදිශ ගුණිතය සහ if සොයන්න

මෙය ඔබ විසින්ම කළ හැකි උදාහරණයකි. මෙහිදී ඔබට මෙහෙයුමේ ආශ්‍රය භාවිතා කළ හැකිය, එනම් ගණන් නොගන්න, නමුත් වහාම පරිමාණ නිෂ්පාදනයෙන් ත්‍රිත්ව ඉවත් කර එය අවසන් වරට ගුණ කරන්න. පාඩම අවසානයේ විසඳුම සහ පිළිතුර.

ඡේදයේ අවසානයේ, දෛශිකයක දිග ගණනය කිරීමේ ප්රකෝපකාරී උදාහරණයක්:

උදාහරණ 15

දෛශික වල දිග සොයන්න , නම්

විසඳුමක්:නැවතත් පෙර කොටසේ ක්‍රමයම යෝජනා කරයි: නමුත් තවත් ක්‍රමයක් තිබේ:

අපි දෛශිකය සොයා ගනිමු:

සහ සුළු සූත්රය අනුව එහි දිග :

පරිමාණ නිෂ්පාදනය මෙහි කිසිසේත්ම අදාළ නොවේ!

දෛශිකයක දිග ගණනය කිරීමේදී එය ව්‍යාපාරයෙන් බැහැර වන්නේ කෙසේද:
නවත්වන්න. දෛශිකයක පැහැදිලි දිග ගුණයෙන් ප්‍රයෝජන නොගන්නේ මන්ද? දෛශිකයේ දිග ගැන කුමක් කිව හැකිද? මෙම දෛශිකය දෛශිකයට වඩා 5 ගුණයක් දිගු වේ. දිශාව ප්‍රතිවිරුද්ධ ය, නමුත් එය වැදගත් නොවේ, මන්ද අපි කතා කරන්නේ දිග ගැන ය. නිසැකවම, දෛශිකයේ දිග නිෂ්පාදනයට සමාන වේ මොඩියුලයදෛශික දිගකට සංඛ්‍යා:
- මොඩියුලයේ ලකුණ "කනවා" අංකයේ විය හැකි අඩුව.

මේ ක්රමයෙන්:

පිළිතුර:

ඛණ්ඩාංක මගින් ලබා දෙන දෛශික අතර කෝණයේ කෝසයින් සඳහා සූත්‍රය

දැන් අපට තිබේ සම්පූර්ණ තොරතුරු, ඒ නිසා දෛශික අතර කෝණයේ කෝසයිනය සඳහා කලින් ව්යුත්පන්න සූත්රය දෛශික ඛණ්ඩාංක අනුව ප්‍රකාශ කරන්න:

තල දෛශික අතර කෝණයේ කෝසයින්සහ, විකලාංග පදනමින් ලබා දී ඇත, සූත්‍රයෙන් ප්‍රකාශ වේ:
.

අවකාශ දෛශික අතර කෝණයේ කෝසයින්, විකලාංග පදනමින් ලබා දී ඇත සූත්‍රයෙන් ප්‍රකාශ වේ:

උදාහරණ 16

ත්රිකෝණයක සිරස් තුනක් ලබා දී ඇත. සොයන්න (ශීර්ෂ කෝණය ).

විසඳුමක්:කොන්දේසිය අනුව, ඇඳීම අවශ්ය නොවේ, නමුත් තවමත්:

අවශ්ය කෝණය හරිත චාපයකින් සලකුණු කර ඇත. කෝණයෙහි පාසල් නම් කිරීම වහාම සිහිපත් කරන්න: - විශේෂ අවධානයමත මැදලිපිය - මෙය අපට අවශ්ය කෝණයෙහි ශීර්ෂයයි. කෙටිකතාව සඳහා, එය සරලව ලිවිය හැකිය.

චිත්‍රයෙන් ත්‍රිකෝණයේ කෝණය දෛශික අතර කෝණය සමඟ සමපාත වන බව සහ වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්: .

මානසිකව සිදු කරන ලද විශ්ලේෂණය සිදු කරන්නේ කෙසේදැයි ඉගෙන ගැනීම යෝග්ය වේ.

අපි දෛශික සොයා ගනිමු:

පරිමාණ නිෂ්පාදනය ගණනය කරමු:

සහ දෛශිකවල දිග:

කෝණයක කෝසයින්:

මම dummies වෙත නිර්දේශ කරන කාර්යයේ මෙම අනුපිළිවෙලයි. වඩාත් දියුණු පාඨකයන්ට "එක් පේළියකින්" ගණනය කිරීම් ලිවිය හැකිය:

මෙන්න "නරක" කොසයින් අගයක උදාහරණයක්. ලැබෙන අගය අවසාන නොවේ, එබැවින් නැත විශේෂ අර්ථයහරය තුළ අහේතුක බවින් මිදෙන්න.

අපි කෝණය සොයා ගනිමු:

ඔබ චිත්රය දෙස බැලුවහොත්, ප්රතිඵලය තරමක් පිළිගත හැකි ය. කෝණය පරීක්ෂා කිරීම සඳහා ප්රෝටරයක් සමඟ ද මැනිය හැක. මොනිටර ආලේපනයට හානි නොකරන්න =)

පිළිතුර:

පිළිතුරෙහි, එය අමතක නොකරන්න ත්‍රිකෝණයේ කෝණය ගැන ඇහුවා(සහ දෛශික අතර කෝණය ගැන නොවේ), නිවැරදි පිළිතුර සඳහන් කිරීමට අමතක නොකරන්න: සහ කෝණයේ ආසන්න අගය: කැල්කියුලේටරය සමඟ සොයා ගන්නා ලදී.

ක්රියාවලිය භුක්ති විඳි අයට කෝණ ගණනය කළ හැකි අතර, කැනොනිකල් සමානාත්මතාවය සත්ය බවට වග බලා ගන්න

උදාහරණ 17

ත්‍රිකෝණයක් එහි සිරස් වල ඛණ්ඩාංක මගින් අවකාශයේ දී ලබා දේ. පැති අතර කෝණය සොයන්න සහ

මෙය ඔබ විසින්ම කළ හැකි උදාහරණයකි. සම්පූර්ණ විසඳුම සහ පාඩම අවසානයේ පිළිතුර

කුඩා අවසාන කොටසප්‍රක්ෂේපණ සඳහා කැප වනු ඇත, අදිශ නිෂ්පාදනය ද “සම්බන්ධ” වේ:

දෛශිකයක් දෛශිකයක් මතට ප්‍රක්ෂේපණය කිරීම. ඛණ්ඩාංක අක්ෂ මත දෛශික ප්රක්ෂේපණය.
දෛශික දිශා කොසයින

දෛශික සලකා බලන්න සහ:

අපි දෛශිකය මතට දෛශිකය ප්‍රක්ෂේපණය කරමු, මේ සඳහා අපි දෛශිකයේ ආරම්භයේ සහ අවසානය මඟ හරිමු. ලම්බකදෛශිකයකට (හරිත තිත් රේඛා). දෛශිකයක් මතට ආලෝක කිරණ ලම්බකව පතිත වන බව සිතන්න. එවිට කොටස (රතු රේඛාව) දෛශිකයේ "සෙවණ" වනු ඇත. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, දෛශිකයක් මත දෛශිකයේ ප්රක්ෂේපණය කොටසෙහි LENGTH වේ. එනම්, PROJECTION යනු අංකයකි.

මෙම NUMBER පහත සඳහන් පරිදි දැක්වේ: , "විශාල දෛශිකය" යන්නෙන් දෛශිකයක් දක්වයි කුමන project, "small subscript vector" යන්නෙන් දෛශිකය දක්වයි මතප්රක්ෂේපණය කරන.

ප්‍රවේශයම මෙසේ කියවේ: “a” දෛශිකයේ ප්‍රක්ෂේපණය “be” දෛශිකය මතට”.

දෛශිකය "be" "ඉතා කෙටි" නම් කුමක් සිදුවේද? අපි "be" දෛශිකය අඩංගු සරල රේඛාවක් අඳින්නෙමු. තවද "a" දෛශිකය දැනටමත් ප්රක්ෂේපණය වනු ඇත දෛශිකයේ දිශාවට "be", සරලව - දෛශිකය "be" අඩංගු සරල රේඛාවක් මත. තිස්වන රාජධානියේ "a" දෛශිකය වෙන් කළහොත් එකම දේ සිදුවනු ඇත - එය තවමත් "be" දෛශිකය අඩංගු රේඛාවට පහසුවෙන් ප්‍රක්ෂේපණය කරනු ඇත.

කෝණය නම්දෛශික අතර කුළුබඩු සහිත(පින්තූරයේ මෙන්), පසුව

දෛශික නම් විකලාංග, එවිට (ප්‍රක්ෂේපණය යනු මානයන් ශුන්‍ය යැයි උපකල්පනය කරන ලක්ෂ්‍යයකි).

කෝණය නම්දෛශික අතර මෝඩ(රූපයේ, දෛශිකයේ ඊතලය මානසිකව නැවත සකස් කරන්න), ඉන්පසු (එකම දිග, නමුත් අඩු ලකුණක් සමඟ ගෙන ඇත).

මෙම දෛශික එක් ලක්ෂයකින් පසෙකට දමන්න:

නිසැකවම, දෛශිකයක් චලනය කරන විට, එහි ප්රක්ෂේපණය වෙනස් නොවේ

ජ්යාමිතිය අධ්යයනය කරන විට, දෛශික මාතෘකාව මත බොහෝ ප්රශ්න පැන නගී. දෛශික අතර කෝණ සොයා ගැනීමට අවශ්‍ය වූ විට ශිෂ්‍යයා විශේෂ දුෂ්කරතාවන්ට මුහුණ දෙයි.

මූලික නියමයන්

දෛශික අතර කෝණ සලකා බැලීමට පෙර, දෛශිකයේ නිර්වචනය සහ දෛශික අතර කෝණය පිළිබඳ සංකල්පය පිළිබඳව ඔබව හුරු කරවීම අවශ්ය වේ.

දෛශිකයක් යනු දිශාවක් ඇති කොටසකි, එනම් එහි ආරම්භය සහ අවසානය අර්ථ දක්වා ඇති කොටසකි.

පොදු සම්භවයක් ඇති තලයක දෛශික දෙකක් අතර කෝණය කුඩා කෝණ වන අතර එමඟින් දෛශිකවලින් එකක් වටා ගමන් කිරීමට අවශ්‍ය වේ. පොදු කරුණ, ඔවුන්ගේ දිශාවන් සමපාත වන තුරු.

විසඳුම් සූත්රය

දෛශිකයක් යනු කුමක්ද සහ එහි කෝණය තීරණය කරන්නේ කෙසේදැයි ඔබ තේරුම් ගත් පසු, ඔබට දෛශික අතර කෝණය ගණනය කළ හැකිය. මේ සඳහා විසඳුම් සූත්රය බෙහෙවින් සරල වන අතර, එහි යෙදුමේ ප්රතිඵලය වනුයේ කෝණයෙහි කෝසයිනයේ අගයයි. නිර්වචනය අනුව, එය දෛශිකවල අදිශ නිෂ්පාදනයේ සහ ඒවායේ දිගෙහි ගුණිතයේ ප්‍රමාණයට සමාන වේ.

දෛශිකවල අදිශ ගුණිතය, එකිනෙකින් ගුණ කරන ලද ගුණක දෛශිකවල අනුරූප ඛණ්ඩාංකවල එකතුව ලෙස සැලකේ. දෛශිකයක දිග හෝ එහි මාපාංකය එහි ඛණ්ඩාංකවල වර්ගවල එකතුවේ වර්ගමූලය ලෙස ගණනය කෙරේ.

කෝණයේ කෝසයිනයේ අගය ලැබුණු පසු, ඔබට කැල්කියුලේටරය භාවිතා කර හෝ ත්‍රිකෝණමිතික වගුවක් භාවිතයෙන් කෝණයේ අගය ගණනය කළ හැකිය.

උදාහරණයක්

දෛශික අතර කෝණය ගණනය කරන්නේ කෙසේදැයි ඔබ සොයා ගත් පසු, අදාළ ගැටලුවට විසඳුම සරල හා සරල වේ. උදාහරණයක් ලෙස, කෝණයක විශාලත්වය සොයා ගැනීමේ සරල ගැටළුව සලකා බලන්න.

පළමුවෙන්ම, දෛශිකවල දිග වල අගයන් සහ විසඳීමට අවශ්‍ය ඒවායේ පරිමාණ නිෂ්පාදනය ගණනය කිරීම වඩාත් පහසු වනු ඇත. ඉහත විස්තරය භාවිතා කරමින්, අපට ලැබෙන්නේ:

ලබාගත් අගයන් සූත්‍රයට ආදේශ කිරීම, අපි අපේක්ෂිත කෝණයේ කෝසයිනයේ අගය ගණනය කරමු:

මෙම අංකය පොදු කෝසයින් අගයන් පහෙන් එකක් නොවේ, එබැවින් කෝණයේ අගය ලබා ගැනීම සඳහා, ඔබට ගණක යන්ත්‍රයක් හෝ බ්‍රැඩිස් ත්‍රිකෝණමිතික වගුව භාවිතා කිරීමට සිදුවේ. නමුත් දෛශික අතර කෝණය ලබා ගැනීමට පෙර, අතිරේක සෘණ ලකුණ ඉවත් කිරීම සඳහා සූත්රය සරල කළ හැක:

නිරවද්‍යතාවය පවත්වා ගැනීම සඳහා අවසාන පිළිතුර මෙම පෝරමයේ තැබිය හැකිය, නැතහොත් ඔබට කෝණයේ අගය අංශක වලින් ගණනය කළ හැකිය. Bradis වගුවට අනුව, එහි අගය ආසන්න වශයෙන් අංශක 116 ක් සහ විනාඩි 70 ක් වන අතර, කැල්කියුලේටරය අංශක 116.57 ක අගයක් පෙන්වනු ඇත.

n-මාන අවකාශයේ කෝණ ගණනය කිරීම

ත්‍රිමාණ අවකාශයේ දෛශික දෙකක් සලකා බැලීමේදී, ඒවා එකම තලයක වැතිර නොසිටින්නේ නම් අප කතා කරන්නේ කුමන කෝණය ගැනද යන්න තේරුම් ගැනීම වඩා දුෂ්කර ය. සංජානනය සරල කිරීම සඳහා, ඔබට ඒවා අතර කුඩාම කෝණය සාදන ඡේදනය වන කොටස් දෙකක් ඇඳිය හැකි අතර එය අපේක්ෂිත එකක් වනු ඇත. දෛශිකයේ තුන්වන ඛණ්ඩාංකයක් පැවතුනද, දෛශික අතර කෝණ ගණනය කරන ආකාරය පිළිබඳ ක්රියාවලිය වෙනස් නොවේ. දෛශිකවල අදිශ නිෂ්පාදනය සහ මොඩියුල ගණනය කරන්න, ඒවායේ කෝටෙන්ට් වල ආර්කෝසීන් සහ මෙම ගැටලුවට පිළිතුර වනු ඇත.

ජ්‍යාමිතියේදී බොහෝ විට මාන තුනකට වඩා වැඩි අවකාශයන් සමඟ ගැටලු ඇතිවේ. නමුත් ඔවුන් සඳහා, පිළිතුර සොයා ගැනීමේ ඇල්ගොරිතම සමාන වේ.

අංශක 0 සහ 180 අතර වෙනස

දෛශික අතර කෝණය ගණනය කිරීම සඳහා නිර්මාණය කර ඇති ගැටලුවකට පිළිතුරක් ලිවීමේදී පොදු වැරැද්දක් වන්නේ දෛශික සමාන්තර බව ලිවීමට තීරණය කිරීමයි, එනම් අපේක්ෂිත කෝණය අංශක 0 හෝ 180 බවට පත් විය. මෙම පිළිතුර වැරදිය.

විසඳුමේ ප්‍රතිඵලයක් ලෙස අංශක 0 ක කෝණ අගයක් ලැබුණු පසු, නිවැරදි පිළිතුර වනුයේ දෛශික සම-දිශානුගත ලෙස නම් කිරීමයි, එනම් දෛශිකවලට එකම දිශාවක් ඇත. අංශක 180 ක් ලබා ගැනීමේදී, දෛශික ප්රතිවිරුද්ධ දිශාවන්හි ස්වභාවය වනු ඇත.

විශේෂිත දෛශික

දෛශික අතර කෝණ සොයා ගැනීමෙන්, ඉහත විස්තර කර ඇති සම-අධ්‍යක්ෂණය සහ ප්‍රතිවිරුද්ධ දිශාවට අමතරව විශේෂ වර්ග වලින් එකක් සොයාගත හැකිය.

එක් තලයකට සමාන්තර දෛශික කිහිපයක් coplanar ලෙස හැඳින්වේ.
දිග සහ දිශාව සමාන වන දෛශික සමාන ලෙස හැඳින්වේ.
දිශාව නොතකා එකම සරල රේඛාවක පිහිටා ඇති දෛශික collinear ලෙස හැඳින්වේ.
දෛශිකයේ දිග ශුන්‍ය නම්, එනම් එහි ආරම්භය සහ අවසානය සමපාත වන්නේ නම්, එය ශුන්‍ය ලෙසත්, එය එකක් නම්, එය එකක් ලෙසත් හැඳින්වේ.

දෛශික දෙකක් අතර කෝණය,:

දෛශික දෙකක් අතර කෝණය තියුණු නම්, ඒවායේ තිත් නිෂ්පාදනය ධනාත්මක වේ; දෛශික අතර කෝණය නොපැහැදිලි නම්, මෙම දෛශිකවල අදිශ ගුණිතය සෘණ වේ. ශුන්‍ය නොවන දෛශික දෙකක අදිශ ගුණිතය ශුන්‍ය වන්නේ මෙම දෛශික විකලාංග නම් සහ පමණි.

ව්යායාම කරන්න.දෛශික අතර කෝණය සොයන්න සහ

විසඳුමක්.අපේක්ෂිත කෝණයෙහි කොසයින්

16. සරල රේඛා, සරල රේඛාවක් සහ තලයක් අතර කෝණය ගණනය කිරීම

රේඛාව සහ තලය අතර කෝණයමෙම රේඛාව ඡේදනය වන අතර එයට ලම්බක නොවී මෙම තලය මත රේඛාව සහ එහි ප්රක්ෂේපණය අතර කෝණය වේ.

රේඛාවක් සහ තලයක් අතර කෝණය තීරණය කිරීම රේඛාවක් සහ තලයක් අතර කෝණය ඡේදනය වන රේඛා දෙකක් අතර කෝණය බව නිගමනය කිරීමට අපට ඉඩ සලසයි: රේඛාවම සහ එහි ප්රක්ෂේපණය තලය මතට. එබැවින් රේඛාවක් සහ තලයක් අතර කෝණය තියුණු කෝණයකි.

ලම්බක රේඛාවක් සහ තලයක් අතර කෝණය සමාන ලෙස සලකනු ලබන අතර සමාන්තර රේඛාවක් සහ තලයක් අතර කෝණය කිසිසේත් තීරණය නොවේ, නැතහොත් සමාන වේ.

§ 69. සරල රේඛා අතර කෝණය ගණනය කිරීම.

අභ්‍යවකාශයේ සරල රේඛා දෙකක් අතර කෝණය ගණනය කිරීමේ ගැටළුව තලයේ (§ 32) ආකාරයටම විසඳනු ලැබේ. රේඛා අතර කෝණය φ මගින් දක්වන්න එල් 1 සහ එල් 2 , සහ ψ හරහා - දිශා දෛශික අතර කෝණය ඒ හා බී මෙම සරල රේඛා.

එවිට නම්

ψ 90 ° (රූපය 206.6), පසුව φ = 180 ° - ψ. අවස්ථා දෙකේදීම සමානාත්මතාවය cos φ = |cos ψ| සත්‍ය බව පැහැදිලිය. සූත්රය (1) § 20 මගින් අපට ඇත

ප්රතිඵලයක් වශයෙන්,

රේඛා ඔවුන්ගේ කැනොනිකල් සමීකරණ මගින් ලබා දෙන්න

එවිට රේඛා අතර φ කෝණය සූත්රය භාවිතයෙන් තීරණය වේ

එක් රේඛාවක් (හෝ දෙකම) කැනොනිකල් නොවන සමීකරණ මගින් ලබා දී ඇත්නම්, කෝණය ගණනය කිරීම සඳහා, ඔබ මෙම රේඛාවල දිශා දෛශිකවල ඛණ්ඩාංක සොයා ගත යුතු අතර, පසුව සූත්රය (1) භාවිතා කරන්න.

17. සමාන්තර රේඛා, සමාන්තර රේඛා මත ප්‍රමේය

අර්ථ දැක්වීම.ගුවන් යානයක රේඛා දෙකක් ලෙස හැඳින්වේ සමාන්තරවඔවුන්ට පොදු කරුණු නොමැති නම්.

ත්‍රිමාන රේඛා දෙකක් ලෙස හැඳින්වේ සමාන්තරවඔවුන් එකම තලයක වැතිර සිටින්නේ නම් සහ පොදු කරුණු නොමැති නම්.

දෛශික දෙකක් අතර කෝණය.

තිත් නිෂ්පාදනයේ අර්ථ දැක්වීමෙන්:

දෛශික දෙකක orthogonality තත්ත්වය:

දෛශික දෙකක් සඳහා සහසම්බන්ධතා තත්ත්වය:

5 - අර්ථ දැක්වීමෙන් පහත දැක්වේ. ඇත්ත වශයෙන්ම, අංකයකින් දෛශිකයක ගුණිතයේ නිර්වචනයේ සිට එය පහත දැක්වේ. එබැවින්, දෛශික සමානතා රීතිය මත පදනම්ව, අපි ලියන්නේ , , , එයින් ගම්‍ය වේ . නමුත් දෛශිකයක් සංඛ්‍යාවකින් ගුණ කිරීමෙන් ලැබෙන දෛශිකය දෛශිකයට කෝලිනියර් වේ.

දෛශිකයෙන් දෛශිකයට ප්‍රක්ෂේපණය:

උදාහරණය 4. ලබා දී ඇති ලකුණු , , , .

පරිමාණ නිෂ්පාදනය සොයා ගන්න.

විසඳුමක්. දෛශිකවල ඛණ්ඩාංක මගින් ලබා දී ඇති අදිශ ගුණිතයේ සූත්‍රයෙන් අපි සොයා ගනිමු. මන්දයත්

, ,

උදාහරණ 5ලබා දී ඇති ලකුණු , , , .

ප්‍රක්ෂේපණය සොයන්න.

විසඳුමක්. මන්දයත්

, ,

ප්රක්ෂේපණ සූත්රය මත පදනම්ව, අපට තිබේ

උදාහරණය 6ලබා දී ඇති ලකුණු , , , .

දෛශික අතර කෝණය සොයන්න සහ .

විසඳුමක්. දෛශික බව සලකන්න

, ,

ඒවායේ ඛණ්ඩාංක සමානුපාතික නොවන බැවින්, ඛණ්ඩාංක නොවේ:

මෙම දෛශික ද ලම්බක නොවේ, මන්ද ඒවායේ තිත් නිෂ්පාදනය .

අපි සොයා ගනිමු,

කෝනර් සූත්‍රයෙන් සොයා ගන්න:

උදාහරණ 7කුමන දෛශික සඳහා සහ තීරණය කරන්න collinear.

විසඳුමක්. සහසම්බන්ධතාවයේ දී, දෛශිකවල අනුරූප ඛණ්ඩාංක සහ සමානුපාතික විය යුතුය, එනම්:

මෙතැන් සිට සහ .

උදාහරණ 8. දෛශිකයේ අගය කුමක්දැයි තීරණය කරන්න හා ලම්බක වේ.

විසඳුමක්. දෛශිකය සහ ඒවායේ තිත් නිෂ්පාදනය ශුන්‍ය නම් ලම්බක වේ. මෙම තත්වයෙන් අපට ලැබෙන්නේ: . එනම්, .

උදාහරණ 9. සොයන්න , නම් , , .

විසඳුමක්. පරිමාණ නිෂ්පාදනයේ ගුණාංග නිසා, අපට ඇත්තේ:

උදාහරණ 10. දෛශික අතර කෝණය සොයන්න සහ , කොහෙද සහ - ඒකක දෛශික සහ දෛශික අතර කෝණය සහ 120o ට සමාන වේ.

විසඳුමක්. අපිට තියනවා: , ,

අවසාන වශයෙන් අපට ඇත්තේ: .

5 බී. දෛශික නිෂ්පාදනය.

අර්ථ දැක්වීම 21.දෛශික කලාවදෛශිකයේ සිට දෛශිකය දෛශික ලෙස හැඳින්වේ, හෝ , පහත දැක්වෙන කොන්දේසි තුනෙන් අර්ථ දැක්වේ:

1) දෛශිකයේ මොඩියුලය , දෛශික අතර කෝණය කොහිද සහ , i.e. .

දෛශික නිෂ්පාදනයේ මාපාංකය සංඛ්‍යාත්මකව බව එයින් කියවේ ප්රදේශයට සමාන වේසමාන්තර චලිතය දෛශික මත සහ පැති මත ගොඩනගා ඇත.

2) දෛශිකය එක් එක් දෛශිකයට ලම්බක වන අතර (;), i.e. දෛශික මත ගොඩනගා ඇති සමාන්තර චලිතයේ තලයට ලම්බකව සහ .

3) දෛශිකය මෙහෙයවනු ලබන්නේ එහි කෙළවරේ සිට බැලුවහොත් දෛශිකයේ සිට දෛශිකය දක්වා කෙටිම හැරීම වාමාවර්තව (දෛශික , , දකුණු ත්‍රිත්ව සාදයි) වන ආකාරයට ය.

දෛශික අතර කෝණ ගණනය කරන්නේ කෙසේද?

මූලික නියමයන්

පොදු සම්භවයක් ඇති තලයක දෛශික දෙකක් අතර කෝණය කුඩා වන කෝණ වන අතර එමඟින් එක් දෛශිකයක් පොදු ලක්ෂ්‍යයක් වටා, ඒවායේ දිශාවන් සමපාත වන ස්ථානයකට ගෙන යාමට අවශ්‍ය වේ.

විසඳුම් සූත්රය

උදාහරණයක්

n-මාන අවකාශයේ කෝණ ගණනය කිරීම

අංශක 0 සහ 180 අතර වෙනස

විශේෂිත දෛශික

එක් තලයකට සමාන්තර දෛශික කිහිපයක් coplanar ලෙස හැඳින්වේ.
දිග සහ දිශාව සමාන වන දෛශික සමාන ලෙස හැඳින්වේ.
දිශාව නොතකා එකම සරල රේඛාවක පිහිටා ඇති දෛශික collinear ලෙස හැඳින්වේ.
දෛශිකයේ දිග ශුන්‍ය නම්, එනම් එහි ආරම්භය සහ අවසානය සමපාත වන්නේ නම්, එය ශුන්‍ය ලෙසත්, එය එකක් නම්, එය එකක් ලෙසත් හැඳින්වේ.

දෛශික අතර කෝණය සොයා ගන්නේ කෙසේද?

කරුණාකර මට උදව් කරන්න! මම සූත්‍රය දන්නවා නමුත් මට එය තේරුම් ගත නොහැක
දෛශික a (8; 10; 4) දෛශික b (5; -20; -10)

ඇලෙක්සැන්ඩර් ටිටෝව්

ඒවායේ ඛණ්ඩාංක මගින් ලබා දෙන දෛශික අතර කෝණය සම්මත ඇල්ගොරිතමයට අනුව සොයාගත හැකිය. පළමුව ඔබ a සහ b දෛශිකවල අදිශ ගුණිතය සොයා ගත යුතුය: (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2. අපි මෙම දෛශිකවල ඛණ්ඩාංක මෙහි ආදේශ කර සලකා බලමු:
(a,b) = 8*5 + 10*(-20) = 4*(-10) = 40 - 200 - 40 = -200.
ඊළඟට, අපි එක් එක් දෛශිකයේ දිග තීරණය කරමු. දෛශිකයක දිග හෝ මාපාංකය යනු එහි ඛණ්ඩාංකවල වර්ගවල එකතුවේ වර්ගමූලයයි:
|අ| = මුල (x1^2 + y1^2 + z1^2) = (8^2 + 10^2 + 4^2) හි මූල = (64 + 100 + 16) හි මූල = 180 හි මූල = 6 මූලයන් 5
|ආ| = වර්ගමූලයේ (x2^2 + y2^2 + z2^2) = වර්ගමූලයේ (5^2 + (-20)^2 + (-10)^2) = වර්ගමූලය (25 + 400 + 100 ) = 525න් වර්ගමූලය = 21න් මුල් 5යි.
අපි මෙම දිග ගුණ කරමු. අපට 105 න් මූල 30 ක් ලැබේ.
අවසාන වශයෙන්, අපි දෛශිකවල අදිශ නිෂ්පාදිතය මෙම දෛශිකවල දිග වල ගුණිතයෙන් බෙදන්නෙමු. අපි -200 / (105 න් 30 මූලයන්) හෝ
- (105 හි මූල 4) / 63. මෙය දෛශික අතර කෝණයේ කෝසයිනයයි. තවද කෝණය මෙම අංකයේ චාප කෝසයිනයට සමාන වේ
f \u003d ආර්කෝස් (105 හි මුල් 4) / 63.
මම නිවැරදිව ගණන් කළා නම්.

දෛශික ඛණ්ඩාංක වලින් දෛශික අතර කෝණයක සයින් ගණනය කරන්නේ කෙසේද

මිහායිල් ටකචෙව්

අපි මෙම දෛශික ගුණ කරමු. ඒවායේ තිත් නිෂ්පාදිතය මෙම දෛශිකවල දිග සහ ඒවා අතර කෝණයේ කෝසයිනයෙහි ගුණිතයට සමාන වේ.
කෝණය අප නොදන්නා නමුත් ඛණ්ඩාංක දනී.
අපි එය ගණිතමය වශයෙන් මෙසේ ලියමු.
ඉඩ දෙන්න, දෛශික a(x1;y1) සහ b(x2;y2)
ඉන්පසු

A*b=|a|*|b|*cosA

CosA=a*b/|a|*|b|

අප තර්ක.
දෛශිකවල a*b-පරිමාණ නිෂ්පාදනය මෙම දෛශිකවල ඛණ්ඩාංකවල අනුරූප ඛණ්ඩාංකවල නිෂ්පාදනවල එකතුවට සමාන වේ, එනම් x1*x2+y1*y2 ට සමාන වේ.

|a|*|b|-දෛශික දිග වල නිෂ්පාදිතය √((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2) ට සමාන වේ.

එබැවින් දෛශික අතර කෝණයේ කෝසයින්:

CosA=(x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)

කෝණයක කෝසයිනය දැන ගැනීමෙන් අපට එහි සයින් ගණනය කළ හැකිය. එය කරන්නේ කෙසේදැයි සාකච්ඡා කරමු:

කෝණයක කෝසයින් ධනාත්මක නම්, මෙම කෝණය කාර්තු 1 හෝ 4 කින් පවතී, එබැවින් එහි සයින් ධන හෝ ඍණ වේ. නමුත් දෛශික අතර කෝණය අංශක 180 ට වඩා අඩු හෝ සමාන වන බැවින්, එහි සයින් ධනාත්මක වේ. කොසයින් සෘණ නම් අපි ඒ හා සමානව තර්ක කරමු.

SinA=√(1-cos^2A)=√(1-((x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+( y2)^2))^2)

එපමණයි)))) එය තේරුම් ගැනීමට වාසනාව)))

දිමිත්‍රි ලෙවිෂෙව්

කෙලින්ම පව් කරන්න බෑ කියන එක ඇත්ත නෙවෙයි.
සූත්‍රයට අමතරව:
(a,b)=|a|*|b|*cos A
මෙහෙමත් එකක් තියෙනවා.
||=|අ|*|ආ|*පව් ඒ
එනම්, පරිමාණ නිෂ්පාදනය වෙනුවට, ඔබට දෛශික නිෂ්පාදනයේ මොඩියුලය ගත හැකිය.