අසම්පූර්ණ චතුරස්‍ර සමීකරණයක වෙනස්කම් සොයා ගන්නේ කෙසේද. වෙනස්කම්: විසඳුම් සඳහා උදාහරණ. වෙනස්කම් කරන්නා හරහා චතුරස්රාකාර සමීකරණ විසඳන්නේ කෙසේද

උදාහරණයක් ලෙස, ත්‍රිකෝණය සඳහා \(3x^2+2x-7\), වෙනස් කොට සලකන්නා \(2^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88\). සහ ත්‍රිකෝණය සඳහා \(x^2-5x+11\), එය \((-5)^2-4\cdot1\cdot11=25-44=-19\) ට සමාන වේ.

වෙනස්කම් කරන්නා \(D\) අක්ෂරයෙන් දැක්වෙන අතර බොහෝ විට විසඳන විට භාවිතා වේ. එසේම, වෙනස්කම් කරන්නාගේ අගය අනුව, ප්‍රස්ථාරය කෙබඳුදැයි ඔබට තේරුම් ගත හැකිය (පහත බලන්න).

වර්ගීකරණ සමීකරණයේ වෙනස්කම් සහ මූලයන්

වෙනස්කම් කරන්නාගේ අගය චතුරස්රාකාර සමීකරණයේ ප්‍රමාණය පෙන්වයි:
- \(D\) ධනාත්මක නම්, සමීකරණයට මූලයන් දෙකක් ඇත;
- \(D\) ශුන්‍යයට සමාන නම් - එක් මූලයක් පමණි;
- \(D\) සෘණ නම්, මූලයන් නොමැත.

මෙය ඉගැන්විය යුතු නැත, එවැනි නිගමනයකට එළැඹීම පහසුය, වෙනස් කොට සැලකීමෙන් (එනම් \(\sqrt(D)\) චතුරස්‍ර සමීකරණයේ මූලයන් ගණනය කිරීමේ සූත්‍රයට ඇතුළත් බව දැන සිටීම පමණි. : \(x_(1)=\)\( \frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) සහ \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D) ))(2a)\) අපි එක් එක් සිද්ධිය තවත් බලමු.

වෙනස්කම් කරන්නා ධනාත්මක නම්

මෙම අවස්ථාවෙහිදී, එහි මූලය යම් ධන සංඛ්‍යාවක් වේ, එනම් \(x_(1)\) සහ \(x_(2)\) අගය වෙනස් වනු ඇත, මන්ද පළමු සූත්‍රයේ \(\sqrt(D) \) එකතු කරනු ලැබේ , සහ දෙවන - අඩු කරනු ලැබේ. ඒ වගේම අපිට විවිධ මූලයන් දෙකක් තියෙනවා.

උදාහරණයක් : සමීකරණයේ මූලයන් සොයන්න \(x^2+2x-3=0\)
විසඳුමක් :

පිළිතුර : \(x_(1)=1\); \(x_(2)=-3\)

වෙනස්කම් කරන්නා ශුන්ය නම්

සහ වෙනස්කම් කරන්නා ශුන්‍ය නම් මූලයන් කීයක් තිබේද? අපි තර්ක කරමු.

මූල සූත්‍ර මේ ආකාරයට පෙනේ: \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) සහ \(x_(2)=\)\(\frac(-- b- \sqrt(D))(2a)\) . තවද වෙනස්කම් කරන්නා ශුන්‍ය නම්, එහි මූලය ද ශුන්‍ය වේ. එවිට එය හැරෙන්නේ:

\(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+\sqrt(0))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

\(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b-\sqrt(0))(2a) \) \(=\)\(\frac(-b-0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

එනම්, ශුන්‍ය එකතු කිරීම හෝ අඩු කිරීම කිසිවක් වෙනස් නොවන නිසා සමීකරණයේ මූලයන්ගේ අගයන් ගැලපේ.

උදාහරණයක් : සමීකරණයේ මූලයන් සොයන්න \(x^2-4x+4=0\)
විසඳුමක් :

\(x^2-4x+4=0\)		අපි සංගුණක ලියන්නෙමු:
\(a=1;\) \(b=-4;\) \(c=4;\)		\(D=b^2-4ac\) සූත්‍රය භාවිතා කරමින් වෙනස්කම් කරන්නා ගණනය කරන්න
\(D=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=\) \(=16-16=0\)		සමීකරණයේ මූලයන් සොයා ගැනීම
\(x_(1)=\) \(\frac(-(-4)+\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\) \(x_(2)=\) \(\frac(-(-4)-\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\)		අපට සමාන මූලයන් දෙකක් තිබේ, එබැවින් ඒවා වෙන වෙනම ලිවීම තේරුමක් නැත - අපි ඒවා එකක් ලෙස ලියා තබමු.

පිළිතුර : \(x=2\)

පාඨමාලාව පුරාම පාසල් විෂය මාලාවවීජ ගණිතය වඩාත් විශාල මාතෘකාවක් වන්නේ චතුරස්රාකාර සමීකරණ මාතෘකාවයි. මෙම අවස්ථාවේ දී, චතුරස්රාකාර සමීකරණයක් ax 2 + bx + c \u003d 0 ආකාරයේ සමීකරණයක් ලෙස වටහා ගනු ලැබේ, එහිදී a ≠ 0 (එය කියවෙන්නේ: x වර්ගයෙන් ගුණ කිරීම x plus be x ce යනු ශුන්‍යයට සමාන වේ, එහිදී a ශුන්‍යයට සමාන නොවේ). මෙම අවස්ථාවෙහිදී, ප්‍රධාන ස්ථානය හිමි වන්නේ නිශ්චිත වර්ගයේ චතුරස්‍ර සමීකරණයක වෙනස්කම් කිරීම සොයා ගැනීම සඳහා වන සූත්‍ර, එය චතුරස්රාකාර සමීකරණයක මූලයන් තිබීම හෝ නොමැතිකම තීරණය කිරීමට ඔබට ඉඩ සලසන ප්‍රකාශනයක් ලෙස වටහාගෙන ඇත. ඔවුන්ගේ අංකය (ඇත්නම්).

චතුරස්රාකාර සමීකරණයක වෙනස්කම් කිරීමේ සූත්රය (සමීකරණය).

චතුරස්‍ර සමීකරණයක වෙනස්කම් කිරීම සඳහා සාමාන්‍යයෙන් පිළිගත් සූත්‍රය පහත පරිදි වේ: D \u003d b 2 - 4ac. දක්වා ඇති සූත්‍රය භාවිතයෙන් වෙනස් කොට සැලකීම ගණනය කිරීමෙන්, කෙනෙකුට චතුරස්රාකාර සමීකරණයක මූලයන් සහ සංඛ්‍යාව තීරණය කිරීම පමණක් නොව, මෙම මූලයන් සොයා ගැනීම සඳහා ක්‍රමයක් තෝරා ගත හැකිය, ඒවායින් චතුරස්රාකාර සමීකරණයේ වර්ගය අනුව කිහිපයක් තිබේ.

වෙනස්කම් කරන්නා ශුන්‍ය නම් \ චතුරස්‍ර සමීකරණයක මූල සූත්‍රය නම් එයින් අදහස් කරන්නේ කුමක්ද?

සූත්‍රයෙන් පහත පරිදි වෙනස් කොට සැලකීම ලතින් අකුර D මගින් දක්වනු ලැබේ. වෙනස් කොට සැලකීම ශුන්‍ය වූ විට, එය නිගමනය කළ යුතුය. චතුරස්රාකාර සමීකරණය ax 2 + bx + c = 0 ආකෘතියේ, a ≠ 0 හි ඇත්තේ එක් මූලයක් පමණි, එය සරල කළ සූත්‍රයක් භාවිතයෙන් ගණනය කෙරේ. මෙම සූත්රයවෙනස් කොට සැලකීම ශුන්‍ය වන විට සහ මේ ආකාරයෙන් පෙනෙන විට පමණක් අදාළ වේ: x = –b/2a, මෙහි x යනු චතුරස්‍ර සමීකරණයේ මූලය වේ, b සහ a යනු චතුරස්‍ර සමීකරණයේ අනුරූප විචල්‍ය වේ. චතුරස්රාකාර සමීකරණයක මූලය සොයා ගැනීමට, එය අවශ්ය වේ සෘණ අර්ථය b විචල්‍යය a විචල්‍යයේ අගය මෙන් දෙගුණයකින් බෙදනු ලැබේ. ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ප්‍රකාශනය චතුරස්‍ර සමීකරණයක විසඳුම වනු ඇත.

වෙනස්කම් කරන්නා හරහා චතුරස්රාකාර සමීකරණයක් විසඳීම

ඉහත සූත්‍රය භාවිතා කරමින් වෙනස්කම් කරන්නා ගණනය කිරීමේදී ධන අගයක් ලබා ගන්නේ නම් (D ශුන්‍යයට වඩා වැඩිය), එවිට චතුරස්‍ර සමීකරණයට මූලයන් දෙකක් ඇත, ඒවා පහත සූත්‍ර භාවිතයෙන් ගණනය කෙරේ: x 1 = (–b + vD) / 2a, x 2 = (–b - vD) /2a. බොහෝ විට, වෙනස් කොට සැලකීම වෙන වෙනම ගණනය නොකෙරේ, නමුත් වෙනස් කොට සැලකීමේ සූත්‍රයක ස්වරූපයෙන් ඇති මූල ප්‍රකාශය සරලව D අගයට ආදේශ කරනු ලැබේ, එයින් මූල උපුටා ගනී. b විචල්‍යයට ඉරට්ටේ අගයක් තිබේ නම්, ax 2 + bx + c = 0 ආකාරයේ චතුරස්‍ර සමීකරණයක මූලයන් ගණනය කිරීම සඳහා, a ≠ 0, ඔබට පහත සූත්‍ර ද භාවිතා කළ හැක: x 1 = (-k + v(k2 – ac))/a , x 2 = (–k + v(k2 – ac))/a, මෙහි k = b/2.

සමහර අවස්ථාවලදී, චතුරස්රාකාර සමීකරණවල ප්රායෝගික විසඳුම සඳහා, ඔබට Vieta ප්රමේයය භාවිතා කළ හැකිය, එය x 2 + px + q \u003d 0 පෝරමයේ චතුරස්රාකාර සමීකරණයක මූලයන්ගේ එකතුව සඳහා, අගය x 1 + x 2 \u003d -p සත්‍ය වනු ඇත, සහ නිශ්චිත සමීකරණයේ මූලයන්ගේ ගුණිතය සඳහා - ප්‍රකාශනය x 1 x x 2 = q.

වෙනස්කම් කරන්නා බිංදුවට වඩා අඩු විය හැකිද?

වෙනස්කම් කරන්නාගේ වටිනාකම ගණනය කිරීමේදී, විස්තර කර ඇති කිසිදු අවස්ථාවකට නොවැටෙන තත්වයක් කෙනෙකුට මුහුණ දිය හැකිය - වෙනස්කම් කරන්නාට සෘණ අගයක් ඇති විට (එනම් බිංදුවට වඩා අඩු). මෙම අවස්ථාවෙහිදී, ax 2 + bx + c = 0 ආකෘති පත්‍රයේ චතුරස්‍ර සමීකරණයට ≠ 0 ට සැබෑ මූලයන් නොමැති බව සලකනු ලැබේ, එබැවින් එහි විසඳුම වෙනස් කොට සැලකීම සහ ඉහත සූත්‍ර ගණනය කිරීමට සීමා වනු ඇත. චතුරස්රාකාර සමීකරණයේ මූලයන් මෙම නඩුවඅදාළ නොවේ. ඒ අතරම, චතුරස්රාකාර සමීකරණයට පිළිතුරෙහි, "සමීකරණයට සැබෑ මූලයන් නොමැත" යනුවෙන් ලියා ඇත.

පැහැදිලි කිරීමේ වීඩියෝව:

මෙම ලිපිය අධ්‍යයනය කිරීමෙන් පසු, සම්පූර්ණ චතුරස්‍ර සමීකරණයක මූලයන් සොයා ගන්නේ කෙසේදැයි ඔබ ඉගෙන ගනු ඇතැයි මම බලාපොරොත්තු වෙමි.

වෙනස්කම් කරන්නාගේ සහාය ඇතිව, සම්පූර්ණ චතුරස්රාකාර සමීකරණ පමණක් විසඳනු ලැබේ; අසම්පූර්ණ චතුරස්රාකාර සමීකරණ විසඳීම සඳහා, වෙනත් ක්රම භාවිතා කරනු ලැබේ, ඔබ "අසම්පූර්ණ චතුරස්රාකාර සමීකරණ විසඳීම" යන ලිපියෙන් සොයා ගනු ඇත.

සම්පූර්ණ ලෙස හඳුන්වන චතුරස්‍ර සමීකරණ මොනවාද? එය ax 2 + b x + c = 0 පෝරමයේ සමීකරණ, මෙහි සංගුණක a, b සහ c ශුන්‍යයට සමාන නොවේ. එබැවින්, සම්පූර්ණ චතුරස්රාකාර සමීකරණය විසඳීම සඳහා, ඔබ වෙනස් කළ D ගණනය කළ යුතුය.

D \u003d b 2 - 4ac.

වෙනස්කම් කරන්නාට ඇති වටිනාකම මත පදනම්ව, අපි පිළිතුර ලියන්නෙමු.

වෙනස්කම් කරන්නා සෘණ අංකයක් නම් (D< 0),то корней нет.

වෙනස්කම් කරන්නා ශුන්‍ය නම්, x \u003d (-b) / 2a. වෙනස්කම් කරන්නා ධනාත්මක අංකයක් වන විට (D > 0),

එවිට x 1 = (-b - √D)/2a, සහ x 2 = (-b + √D)/2a.

උදාහරණ වශයෙන්. සමීකරණය විසඳන්න x 2– 4x + 4= 0.

D \u003d 4 2 - 4 4 \u003d 0

x = (- (-4))/2 = 2

පිළිතුර: 2.

සමීකරණය 2 විසඳන්න x 2 + x + 3 = 0.

D \u003d 1 2 - 4 2 3 \u003d - 23

පිළිතුර: මුල් නැත.

සමීකරණය 2 විසඳන්න x 2 + 5x - 7 = 0.

D \u003d 5 2 - 4 2 (-7) \u003d 81

x 1 \u003d (-5 - √81) / (2 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3.5

x 2 \u003d (-5 + √81) / (2 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1

පිළිතුර: - 3.5; එක.

එබැවින් රූප සටහන 1 හි යෝජනා ක්‍රමය මගින් සම්පූර්ණ චතුරස්‍ර සමීකරණවල විසඳුම සිතමු.

ඕනෑම සම්පූර්ණ චතුරස්‍ර සමීකරණයක් විසඳීමට මෙම සූත්‍ර භාවිතා කළ හැක. ඔබ පමණක් සැලකිලිමත් විය යුතුය සමීකරණය බහුපදයක් ලෙස ලියා ඇත සම්මත දර්ශනය

ඒ x 2 + bx + c,එසේ නොමැතිනම් ඔබට වැරැද්දක් කළ හැකිය. උදාහරණයක් ලෙස, x + 3 + 2x 2 = 0 සමීකරණය ලිවීමේදී, ඔබට එය වැරදි ලෙස තීරණය කළ හැකිය.

a = 1, b = 3 සහ c = 2. එවිට

D \u003d 3 2 - 4 1 2 \u003d 1 පසුව සමීකරණයට මූලයන් දෙකක් ඇත. තවද මෙය සත්ය නොවේ. (ඉහත උදාහරණ 2 විසඳුම බලන්න).

එබැවින්, සමීකරණය සම්මත ආකෘතියේ බහුපදයක් ලෙස ලියා නොමැති නම්, පළමුව සම්පූර්ණ චතුරස්රාකාර සමීකරණය සම්මත ආකෘතියේ බහුපදයක් ලෙස ලිවිය යුතුය (පළමු ස්ථානයේ විශාලතම ඝාතය සහිත ඒකාධිකාරයක් තිබිය යුතුය, එනම්. ඒ x 2 , පසුව අඩුවෙන් – bx, පසුව නිදහස් පදය සමඟ.

දෙවන වාරය සඳහා ඉරට්ටේ සංගුණකයක් සහිත ඉහත චතුරස්රාකාර සමීකරණය සහ චතුරස්රාකාර සමීකරණය විසඳන විට, වෙනත් සූත්ර ද භාවිතා කළ හැකිය. අපි මේ සූත්‍ර ගැන දැනුවත් වෙමු. දෙවන පදය සමඟ සම්පූර්ණ චතුරස්‍ර සමීකරණයේ සංගුණකය ඉරට්ටේ නම් (b = 2k), එවිට රූප සටහන 2 හි රූප සටහනේ පෙන්වා ඇති සූත්‍ර භාවිතයෙන් සමීකරණය විසඳිය හැකිය.

දී සංගුණකය නම් සම්පූර්ණ චතුරස්රාකාර සමීකරණය අඩු කිරීමක් ලෙස හැඳින්වේ x 2 එකමුතුකමට සමාන වන අතර සමීකරණය ස්වරූපය ගනී x 2 + px + q = 0. එවැනි සමීකරණයක් විසඳීමට ලබා දිය හැකිය, නැතහොත් සමීකරණයේ සියලුම සංගුණක සංගුණකයෙන් බෙදීමෙන් ලබා ගත හැකිය. ඒහි සිටගෙන x 2 .

රූප සටහන 3 හි දැක්වෙන්නේ අඩු කරන ලද චතුරස්රයේ විසඳුමේ රූප සටහනකි
සමීකරණ. මෙම ලිපියේ සාකච්ඡා කර ඇති සූත්‍රවල යෙදුමේ උදාහරණය සලකා බලන්න.

උදාහරණයක්. සමීකරණය විසඳන්න

3x 2 + 6x - 6 = 0.

රූප සටහන 1 හි පෙන්වා ඇති සූත්‍ර භාවිතා කර මෙම සමීකරණය විසඳා ගනිමු.

D \u003d 6 2 - 4 3 (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 \u003d (-6 - 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1- √ (3))) / 6 \u003d -1 - √ 3

x 2 \u003d (-6 + 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1 + √ (3))) / 6 \u003d -1 + √ 3

පිළිතුර: -1 - √3; –1 + √3

මෙම සමීකරණයේ x හි සංගුණකය ඉරට්ටේ අංකයක් බව ඔබට පෙනෙනු ඇත, එනම් b \u003d 6 හෝ b \u003d 2k, කොහෙන්ද k \u003d 3. ඉන්පසු රූප සටහනේ පෙන්වා ඇති සූත්‍ර භාවිතා කර සමීකරණය විසඳීමට උත්සාහ කරමු. D 1 \u003d 3 2 - 3 (- 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + √3

පිළිතුර: -1 - √3; –1 + √3. මෙම චතුරස්‍ර සමීකරණයේ ඇති සියලුම සංගුණක 3 න් බෙදිය හැකි බව සහ බෙදීම නිසා, අපට අඩු වූ චතුරස්‍ර සමීකරණය x 2 + 2x - 2 = 0 ලැබේ
සමීකරණ රූපය 3.

D 2 \u003d 2 2 - 4 (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-2 + 2 √ 3) / 2 \u003d (2 (-1 + √ (3))) / 2 \u003d - 1 + √ 3

පිළිතුර: -1 - √3; –1 + √3.

අපට පෙනෙන පරිදි, මෙම සමීකරණය විසඳන විට විවිධ සූත්රඅපට එකම පිළිතුර ලැබුණි. එබැවින්, රූප සටහන 1 හි දැක්වෙන සූත්‍ර හොඳින් ප්‍රගුණ කිරීමෙන්, ඔබට සෑම විටම ඕනෑම සම්පූර්ණ චතුරස්‍ර සමීකරණයක් විසඳා ගත හැකිය.

වෙබ් අඩවිය, ද්රව්යයේ සම්පූර්ණ හෝ අර්ධ වශයෙන් පිටපත් කිරීම සමඟ, මූලාශ්රය වෙත සබැඳියක් අවශ්ය වේ.

අපි මාතෘකාව දිගටම අධ්යයනය කරමු සමීකරණ විසඳුම". අපි දැනටමත් රේඛීය සමීකරණ සමඟ දැන හඳුනා ගෙන ඇති අතර දැන් අපි දැන හඳුනා ගැනීමට යන්නේ චතුරස්රාකාර සමීකරණ.

පළමුව, අපි චතුරස්රාකාර සමීකරණයක් යනු කුමක්ද, එය ලියා ඇත්තේ කෙසේද යන්න විශ්ලේෂණය කරමු සාමාන්ය දැක්ම, සහ අදාළ නිර්වචන දෙන්න. ඊට පසු, උදාහරණ භාවිතා කරමින්, අසම්පූර්ණ චතුරස්රාකාර සමීකරණ විසඳන ආකාරය අපි විස්තරාත්මකව විශ්ලේෂණය කරමු. අපි විසඳුම වෙත යමු. සම්පූර්ණ සමීකරණ, අපි මූලයන්ගේ සූත්‍රය ලබා ගනිමු, චතුරස්‍ර සමීකරණයේ වෙනස්කම් කරන්නා සමඟ දැන හඳුනා ගෙන සාමාන්‍ය උදාහරණවල විසඳුම් සලකා බලමු. අවසාන වශයෙන්, අපි මූලයන් සහ සංගුණක අතර සම්බන්ධතා සොයා ගනිමු.

පිටු සංචලනය.

චතුරස්රාකාර සමීකරණයක් යනු කුමක්ද? ඔවුන්ගේ වර්ග

මුලින්ම ඔබ චතුරස්රාකාර සමීකරණයක් යනු කුමක්දැයි පැහැදිලිව තේරුම් ගත යුතුය. එබැවින්, චතුරස්රාකාර සමීකරණයක නිර්වචනය සමඟ චතුරස්රාකාර සමීකරණ ගැන කතා කිරීම ආරම්භ කිරීම තාර්කික ය, ඒ හා සම්බන්ධ නිර්වචන ද වේ. ඊට පසු, ඔබට චතුරස්රාකාර සමීකරණවල ප්රධාන වර්ග සලකා බැලිය හැකිය: අඩු කරන ලද සහ අඩු නොකළ, මෙන්ම සම්පූර්ණ සහ අසම්පූර්ණ සමීකරණ.

චතුරස්රාකාර සමීකරණවල අර්ථ දැක්වීම සහ උදාහරණ

අර්ථ දැක්වීම.

චතුරස්රාකාර සමීකරණයආකෘතියේ සමීකරණයකි a x 2 +b x+c=0, x යනු විචල්‍යයක් වන අතර, a , b සහ c යනු සමහර සංඛ්‍යා වන අතර a ශුන්‍යයට වඩා වෙනස් වේ.

චතුරස්රාකාර සමීකරණ බොහෝ විට දෙවන උපාධියේ සමීකරණ ලෙස හඳුන්වන බව අපි වහාම කියමු. මෙයට හේතුව චතුරස්රාකාර සමීකරණයයි වීජීය සමීකරණය දෙවන උපාධිය.

ශබ්ද කරන ලද අර්ථ දැක්වීම චතුරස්රාකාර සමීකරණ සඳහා උදාහරණ ලබා දීමට අපට ඉඩ සලසයි. එබැවින් 2 x 2 +6 x+1=0, 0.2 x 2 +2.5 x+0.03=0, ආදිය. හතරැස් සමීකරණ වේ.

අර්ථ දැක්වීම.

අංක a, b සහ c ලෙස හැඳින්වේ චතුරස්රාකාර සමීකරණයේ සංගුණක a x 2 + b x + c \u003d 0, සහ a සංගුණකය පළමු, හෝ ජ්‍යෙෂ්ඨ, හෝ x 2 හි සංගුණකය ලෙස හැඳින්වේ, b යනු දෙවන සංගුණකය හෝ x හි සංගුණකය වන අතර c යනු නිදහස් සාමාජිකයෙකි.

උදාහරණයක් ලෙස, අපි 5 x 2 -2 x−3=0 ආකෘතියේ චතුරස්‍ර සමීකරණයක් ගනිමු, මෙහි ප්‍රමුඛ සංගුණකය 5 වේ, දෙවන සංගුණකය -2 වේ, සහ නිදහස් පදය -3 වේ. සංගුණක b සහ/හෝ c සෘණ වන විට, දැන් ලබා දී ඇති උදාහරණයේ මෙන්, පසුව බව සලකන්න කෙටි යෙදුම 5 x 2 -2 x−3=0 ආකෘති පත්‍රයේ චතුරස්‍ර සමීකරණයක් ලිවීම සහ 5 x 2 +(-2) x+(-3)=0 නොවේ.

සංගුණක a සහ / හෝ b 1 හෝ −1 ට සමාන වන විට, ඒවා සාමාන්‍යයෙන් චතුරස්රාකාර සමීකරණයේ අංකනයෙහි පැහැදිලිව නොපවතින අතර එය එවැනි අංකනයේ සුවිශේෂතා නිසා ඇති බව සඳහන් කිරීම වටී. උදාහරණයක් ලෙස, චතුරස්‍ර සමීකරණයේ y 2 -y+3=0, ප්‍රමුඛ සංගුණකය එකක් වන අතර y හි සංගුණකය −1 වේ.

අඩු කරන ලද සහ අඩු නොකළ චතුරස්රාකාර සමීකරණ

ප්‍රමුඛ සංගුණකයේ අගය අනුව, අඩු කරන ලද සහ අඩු නොකළ චතුරස්‍ර සමීකරණ වෙන්කර හඳුනාගත හැකිය. අපි අනුරූප අර්ථ දැක්වීම් ලබා දෙමු.

අර්ථ දැක්වීම.

ප්‍රමුඛ සංගුණකය 1 වන චතුරස්‍ර සමීකරණයක් ලෙස හැඳින්වේ අඩු කළ චතුරස්රාකාර සමීකරණය. එසේ නොමැති නම්, චතුරස්රාකාර සමීකරණය වේ අඩු නොකළ.

අනුව මෙම අර්ථ දැක්වීම, චතුරස්‍ර සමීකරණ x 2 -3 x+1=0 , x 2 -x−2/3=0, ආදිය. - අඩු කර ඇත, ඒ සෑම එකක් තුළම පළමු සංගුණකය එකකට සමාන වේ. සහ 5 x 2 -x−1=0 , ආදිය. - අඩු නොකළ චතුරස්රාකාර සමීකරණ, ඒවායේ ප්රමුඛ සංගුණක 1 ට වඩා වෙනස් වේ.

ඕනෑම අඩු නොකළ චතුරස්‍ර සමීකරණයකින්, එහි කොටස් දෙකම ප්‍රමුඛ සංගුණකයෙන් බෙදීමෙන්, ඔබට අඩු කළ එක වෙත යා හැකිය. මෙම ක්‍රියාව සමාන පරිවර්තනයකි, එනම්, මේ ආකාරයෙන් ලබා ගන්නා ලද අඩු කරන ලද චතුරස්‍ර සමීකරණයට මුල් අඩු නොකළ චතුරස්‍ර සමීකරණයට සමාන මූලයන් ඇත, නැතහොත්, එය මෙන්, මූලයන් නොමැත.

අඩු නොකළ චතුරස්‍ර සමීකරණයක සිට අඩු කළ සමීකරණයකට සංක්‍රමණය වන ආකාරය පිළිබඳ උදාහරණයක් ගනිමු.

උදාහරණයක්.

3 x 2 +12 x−7=0 සමීකරණයෙන්, අනුරූප අඩු කළ චතුරස්‍ර සමීකරණයට යන්න.

විසඳුමක්.

මුල් සමීකරණයේ කොටස් දෙකම ප්‍රමුඛ සංගුණකය 3 මගින් බෙදීම අපට ප්‍රමාණවත් වේ, එය ශුන්‍ය නොවන බැවින් අපට මෙම ක්‍රියාව සිදු කළ හැකිය. අප සතුව (3 x 2 +12 x−7):3=0:3 , එය (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 , සහ තවත් (3 :3) x 2 +(12:3) x−7:3=0 , කොහෙන්ද . එබැවින් මුල් එකට සමාන වන අඩු කරන ලද චතුරස්රාකාර සමීකරණය අපට ලැබුණි.

පිළිතුර:

සම්පූර්ණ සහ අසම්පූර්ණ චතුරස්රාකාර සමීකරණ

චතුරස්‍ර සමීකරණයක නිර්වචනයේ a≠0 කොන්දේසියක් ඇත. a = 0 සමඟ එය ඇත්ත වශයෙන්ම b x+c=0 පෝරමයේ රේඛීය සමීකරණයක් බවට පත්වන බැවින්, a x 2 +b x+c=0 සමීකරණය හරියටම හතරැස් වීම සඳහා මෙම කොන්දේසිය අවශ්‍ය වේ.

සංගුණක b සහ c සම්බන්ධයෙන් ගත් කල, ඒවා වෙන වෙනම සහ එකට ශුන්‍යයට සමාන විය හැකිය. මෙම අවස්ථා වලදී, චතුරස්රාකාර සමීකරණය අසම්පූර්ණ ලෙස හැඳින්වේ.

අර්ථ දැක්වීම.

චතුරස්‍ර සමීකරණය a x 2 +b x+c=0 ලෙස හැඳින්වේ අසම්පූර්ණයි, අවම වශයෙන් සංගුණක b , c ශුන්‍යයට සමාන නම්.

එහි වාරයේ

අර්ථ දැක්වීම.

සම්පූර්ණ චතුරස්රාකාර සමීකරණයයනු සියලු සංගුණක ශුන්‍යයට වඩා වෙනස් වන සමීකරණයකි.

මෙම නම් අහම්බෙන් ලබා දී නොමැත. එය පහත සාකච්ඡාවෙන් පැහැදිලි වනු ඇත.

b සංගුණකය ශුන්‍යයට සමාන නම්, චතුරස්‍ර සමීකරණය x 2 +0 x+c=0 ආකාරය ගන්නා අතර එය a x 2 +c=0 සමීකරණයට සමාන වේ. c=0 , එනම් චතුරස්‍ර සමීකරණයට x 2 +b x+0=0 ආකෘතිය තිබේ නම්, එය x 2 +b x=0 ලෙස නැවත ලිවිය හැක. සහ b=0 සහ c=0 සමඟින් අපට a·x 2 =0 චතුරස්‍ර සමීකරණය ලැබේ. ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන සමීකරණ සම්පූර්ණ චතුරස්‍ර සමීකරණයෙන් වෙනස් වන්නේ ඒවායේ වම් පසෙහි x විචල්‍ය සහිත පදයක් හෝ නිදහස් පදයක් හෝ දෙකම අඩංගු නොවන බැවිනි. එබැවින් ඔවුන්ගේ නම - අසම්පූර්ණ චතුරස්රාකාර සමීකරණ.

එබැවින් x 2 +x+1=0 සහ -2 x 2 -5 x+0,2=0 යන සමීකරණ සම්පූර්ණ චතුරස්‍ර සමීකරණ සඳහා උදාහරණ වන අතර x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3 =0 , -x 2 −5 x=0 යනු අසම්පූර්ණ චතුරස්‍ර සමීකරණ වේ.

අසම්පූර්ණ චතුරස්රාකාර සමීකරණ විසඳීම

පවතින බව පෙර ඡේදයේ තොරතුරු වලින් එය පහත දැක්වේ අසම්පූර්ණ චතුරස්‍ර සමීකරණ වර්ග තුනක්:

• a x 2 =0 , සංගුණක b=0 සහ c=0 එයට අනුරූප වේ;
• a x 2 +c=0 විට b=0 ;
• සහ a x 2 +b x=0 විට c=0 .

මෙම එක් එක් වර්ගවල අසම්පූර්ණ චතුරස්‍ර සමීකරණ විසඳන ආකාරය අපි පිළිවෙලට විශ්ලේෂණය කරමු.

a x 2 \u003d 0

සංගුණක b සහ c ශුන්‍යයට සමාන වන අසම්පූර්ණ චතුරස්‍ර සමීකරණ විසඳීමෙන් ආරම්භ කරමු, එනම් a x 2 =0 පෝරමයේ සමීකරණ සමඟ. a·x 2 =0 සමීකරණය x 2 =0 සමීකරණයට සමාන වේ, එය මුල් පිටපතෙන් එහි කොටස් දෙකම ශුන්‍ය නොවන අංකයකින් බෙදීමෙන් ලබා ගනී. නිසැකවම, x 2 \u003d 0 සමීකරණයේ මූලය 0 2 \u003d 0 සිට ශුන්‍ය වේ. මෙම සමීකරණයට වෙනත් මූලයන් නොමැත, එය පැහැදිලි කර ඇත, ඇත්ත වශයෙන්ම, ඕනෑම ශුන්‍ය නොවන සංඛ්‍යාවක් සඳහා p 2 >0 අසමානතාවය සිදු වේ, එයින් ගම්‍ය වන්නේ p≠0 සඳහා p 2 =0 සමානාත්මතාවය කිසිවිටෙකත් ලබා ගත නොහැකි බවයි.

එබැවින්, අසම්පූර්ණ චතුරස්රාකාර සමීකරණය a x 2 \u003d 0 තනි මූලයක් x \u003d 0 ඇත.

උදාහරණයක් ලෙස, අපි අසම්පූර්ණ චතුරස්රාකාර සමීකරණයක විසඳුම ලබා දෙන්නෙමු −4·x 2 =0. එය x 2 \u003d 0 සමීකරණයට සමාන වේ, එහි එකම මූලය x \u003d 0 වේ, එබැවින් මුල් සමීකරණයට තනි මූල ශුන්‍යයක් ඇත.

මෙම නඩුවේ කෙටි විසඳුමක් පහත පරිදි නිකුත් කළ හැකිය:
−4 x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x=0

a x 2 +c=0

b සංගුණකය ශුන්‍යයට සමාන වන අසම්පූර්ණ චතුරස්‍ර සමීකරණ විසඳන ආකාරය සහ c≠0, එනම් a x 2 +c=0 පෝරමයේ සමීකරණ විසඳන ආකාරය දැන් සලකා බලන්න. සමීකරණයේ එක් පැත්තක සිට අනෙක් පැත්තට පදයක් ප්‍රතිවිරුද්ධ ලකුණ සමඟ මාරු කිරීම මෙන්ම සමීකරණයේ දෙපැත්තම ශුන්‍ය නොවන සංඛ්‍යාවකින් බෙදීම සමාන සමීකරණයක් ලබා දෙන බව අපි දනිමු. එබැවින්, අසම්පූර්ණ චතුරස්‍ර සමීකරණයේ a x 2 +c=0 හි පහත සමාන පරිවර්තනයන් සිදු කළ හැක:

• c වෙත ගෙන යන්න දකුණු පැත්ත x 2 =-c සමීකරණය ලබා දෙන ,
• සහ එහි කොටස් දෙකම a මගින් බෙදන්න, අපට ලැබේ.

ප්රතිඵලය වන සමීකරණය එහි මූලයන් පිළිබඳ නිගමන උකහා ගැනීමට අපට ඉඩ සලසයි. a සහ c හි අගයන් මත පදනම්ව, ප්‍රකාශනයේ අගය සෘණ විය හැක (උදාහරණයක් ලෙස, a=1 සහ c=2 , එසේ නම් ) හෝ ධන, (උදාහරණයක් ලෙස, a=−2 සහ c=6 නම් , පසුව ), එය ශුන්‍යයට සමාන නොවේ, මන්ද c≠0 කොන්දේසිය අනුව . අපි නඩු වෙන වෙනම විශ්ලේෂණය කරන්නෙමු සහ .

නම්, සමීකරණයට මූලයන් නොමැත. මෙම ප්‍රකාශය අනුගමනය කරන්නේ ඕනෑම සංඛ්‍යාවක වර්ගය සෘණ නොවන සංඛ්‍යාවක් වීමෙනි. මෙයින් කියවෙන්නේ කවදාද , එවිට ඕනෑම අංකයක් සඳහා p සමානාත්මතාවය සත්‍ය විය නොහැකි බවයි.

නම්, සමීකරණයේ මූලයන් සමඟ තත්වය වෙනස් වේ. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, අපි සිහිපත් කරන්නේ නම්, සමීකරණයේ මූලය වහාම පැහැදිලි වේ, එය අංකය වේ. එම සංඛ්‍යාව සමීකරණයේ මුල බව අනුමාන කිරීම පහසුය , ඇත්ත වශයෙන්ම, . මෙම සමීකරණයට වෙනත් මූලයන් නොමැත, උදාහරණයක් ලෙස, පරස්පර විරෝධී ලෙස පෙන්විය හැක. අපි එය කරමු.

x 1 සහ −x 1 ලෙස සමීකරණයේ නිකම් කටහඬ මූලයන් දක්වමු. x 1 සහ −x 1 දක්වා ඇති මූලයන්ට වඩා වෙනස් x 2 සමීකරණයට වෙනත් මූලයක් ඇතැයි සිතමු. එහි මූලයන් x වෙනුවට සමීකරණයට ආදේශ කිරීම සමීකරණය සැබෑ සංඛ්‍යාත්මක සමානතාවයක් බවට පත් කරන බව දන්නා කරුණකි. x 1 සහ −x 1 සඳහා අප සතුව ඇති අතර x 2 සඳහා අප සතුව ඇත. සංඛ්‍යාත්මක සමානාත්මතාවල ගුණ අපට සත්‍ය සංඛ්‍යාත්මක සමානාත්මතාවල පදයෙන්-කාලීන අඩුකිරීම් සිදු කිරීමට ඉඩ සලසයි, එබැවින් සමානාත්මතාවයේ අනුරූප කොටස් අඩු කිරීමෙන් x 1 2 - x 2 2 =0 ලැබේ. සංඛ්‍යා සහිත මෙහෙයුම්වල ගුණ අපට (x 1 - x 2)·(x 1 + x 2)=0 ලෙස ලැබෙන සමානාත්මතාවය නැවත ලිවීමට ඉඩ සලසයි. සංඛ්‍යා දෙකක ගුණිතය ශුන්‍යයට සමාන වන්නේ අවම වශයෙන් එකක් හෝ ශුන්‍යයට සමාන නම් පමණක් බව අපි දනිමු. එබැවින්, ලබාගත් සමානාත්මතාවයෙන් එය අනුගමනය කරන්නේ x 1 -x 2 =0 සහ/හෝ x 1 +x 2 =0 , එය සමාන වන x 2 =x 1 සහ/හෝ x 2 = -x 1 . x 2 සමීකරණයේ මූලය x 1 සහ −x 1 ට වඩා වෙනස් බව ආරම්භයේදීම අපි ප්‍රතිවිරෝධතාවයකට පැමිණ සිටිමු. සහ හැර සමීකරණයට වෙනත් මූලයන් නොමැති බව මෙයින් සනාථ වේ.

මෙම ඡේදයේ තොරතුරු සාරාංශ කරමු. අසම්පූර්ණ චතුරස්‍ර සමීකරණය a x 2 +c=0 සමීකරණයට සමාන වේ.

• මූලයන් නොමැති නම්,
• මූල දෙකක් ඇත සහ නම් .

a·x 2 +c=0 ආකෘතියේ අසම්පූර්ණ චතුරස්‍ර සමීකරණ විසඳීමේ උදාහරණ සලකා බලන්න.

9 x 2 +7=0 චතුරස්‍ර සමීකරණයෙන් පටන් ගනිමු. නිදහස් පදය සමීකරණයේ දකුණු පැත්තට මාරු කිරීමෙන් පසුව, එය 9·x 2 =−7 ආකාරය ගනී. ලැබෙන සමීකරණයේ දෙපැත්තම 9 න් බෙදීම, අපි පැමිණේ. දකුණු පැත්තේ සෘණ අංකයක් ලැබෙන බැවින්, මෙම සමීකරණයට මූලයන් නොමැත, එබැවින් මුල් අසම්පූර්ණ චතුරස්‍ර සමීකරණය 9 x 2 +7=0 ට මූලයන් නොමැත.

අපි තවත් අසම්පූර්ණ චතුරස්‍ර සමීකරණයක් විසඳමු -x 2 +9=0. අපි නවය දකුණු පැත්තට මාරු කරමු: -x 2 \u003d -9. දැන් අපි කොටස් දෙකම −1 මගින් බෙදන්නෙමු, අපට x 2 =9 ලැබේ. දකුණු පැත්තේ ධනාත්මක අංකයක් අඩංගු වේ, එයින් අපි නිගමනය කරන්නේ හෝ . අපි අවසාන පිළිතුර ලිවීමෙන් පසු: අසම්පූර්ණ චතුරස්‍ර සමීකරණය -x 2 +9=0 ට x=3 හෝ x=-3 යන මූලයන් දෙකක් ඇත.

a x 2 +b x=0

c=0 සඳහා වූ අවසාන වර්ගයේ අසම්පූර්ණ චතුරස්‍ර සමීකරණවල විසඳුම සමඟ කටයුතු කිරීමට ඉතිරිව ඇත. a x 2 +b x=0 පෝරමයේ අසම්පූර්ණ චතුරස්‍ර සමීකරණ ඔබට විසදීමට ඉඩ සලසයි සාධකකරණ ක්රමය. නිසැකවම, අපට සමීකරණයේ වම් පැත්තේ පිහිටා ඇති අතර, ඒ සඳහා x යන පොදු සාධකය වරහන් වලින් පිටතට ගැනීම ප්‍රමාණවත් වේ. මෙමගින් අපට මුල් අසම්පූර්ණ චතුරස්‍ර සමීකරණයේ සිට x·(a·x+b)=0 පෝරමයේ සමාන සමීකරණයකට යාමට ඉඩ සලසයි. තවද මෙම සමීකරණය x=0 සහ a x+b=0 යන සමීකරණ දෙකේ කුලකයට සමාන වේ, එහි අවසාන එක රේඛීය වන අතර x=-b/a මූලයක් ඇත.

එබැවින්, අසම්පූර්ණ චතුරස්රාකාර සමීකරණය a x 2 +b x=0 x=0 සහ x=-b/a යන මූලයන් දෙකක් ඇත.

ද්රව්යය ඒකාබද්ධ කිරීම සඳහා, අපි නිශ්චිත උදාහරණයක විසඳුම විශ්ලේෂණය කරන්නෙමු.

උදාහරණයක්.

සමීකරණය විසඳන්න.

විසඳුමක්.

අපි වරහන් වලින් x ගන්නෙමු, මෙය සමීකරණය ලබා දෙයි. එය x=0 සහ සමීකරණ දෙකකට සමාන වේ. අපි ලැබුණු දේ විසඳන්නෙමු රේඛීය සමීකරණය: , සහ බෙදීම මිශ්ර අංකයමත පොදු කොටස, අපි හොයාගන්නවා. එබැවින් මුල් සමීකරණයේ මූලයන් x=0 සහ .

අවශ්‍ය පුහුණුව ලබා ගැනීමෙන් පසු, එවැනි සමීකරණවල විසඳුම් කෙටියෙන් ලිවිය හැකිය:

පිළිතුර:

x=0, .

වෙනස් කොට සැලකීම, චතුරස්රාකාර සමීකරණයක මූලයන් පිළිබඳ සූත්රය

චතුරස්රාකාර සමීකරණ විසඳීම සඳහා, මූල සූත්රයක් ඇත. අපි ලියමු චතුරස්රාකාර සමීකරණයේ මූලයන්ගේ සූත්රය:, කොහෙද D=b 2 -4 a c- ඊනියා චතුරස්රාකාර සමීකරණයක් වෙනස් කිරීම. අංකනය මූලික වශයෙන් අදහස් කරන්නේ එයයි.

මූල සූත්‍රය ලබාගත් ආකාරය සහ චතුරස්‍ර සමීකරණවල මූලයන් සෙවීමේදී එය යෙදෙන ආකාරය දැනගැනීම ප්‍රයෝජනවත් වේ. අපි මේ සමඟ කටයුතු කරමු.

චතුරස්රාකාර සමීකරණයක මූලයන්ගේ සූත්‍රයේ ව්‍යුත්පන්නය

අපි a·x 2 +b·x+c=0 යන චතුරස්‍ර සමීකරණය විසඳීමට අවශ්‍ය වෙමු. අපි සමාන පරිවර්තනයන් කිහිපයක් සිදු කරමු:

• අපට මෙම සමීකරණයේ කොටස් දෙකම ශුන්‍ය නොවන අංකයකින් බෙදිය හැකිය a, එහි ප්‍රතිඵලයක් ලෙස අපට අඩු වූ චතුරස්‍ර සමීකරණය ලැබේ.
• දැන් සම්පූර්ණ චතුරස්රයක් තෝරන්නඑහි වම් පැත්තේ: . ඊට පසු, සමීකරණය පෝරමය ලබා ගනී.
• මෙම අදියරේදී, ප්රතිවිරුද්ධ ලකුණ සමඟ දකුණු පැත්තට අවසාන පද දෙක මාරු කිරීම සිදු කළ හැකිය, අපට තිබේ .
• තවද අපි දකුණු පැත්තේ ප්‍රකාශනය ද පරිවර්තනය කරමු: .

එහි ප්‍රතිඵලයක් වශයෙන්, අපි සමීකරණයට පැමිණෙමු, එය මුල් චතුරස්‍ර සමීකරණය a·x 2 +b·x+c=0 ට සමාන වේ.

අපි විශ්ලේෂණය කරන විට පෙර ඡේදවල ස්වරූපයෙන් සමාන සමීකරණ අපි දැනටමත් විසඳා ඇත. සමීකරණයේ මූලයන් සම්බන්ධයෙන් පහත නිගමන උකහා ගැනීමට මෙය අපට ඉඩ සලසයි:

• නම්, සමීකරණයට සැබෑ විසඳුම් නොමැත;
• , එසේ නම්, සමීකරණයට එහි එකම මූලය පෙනෙන ස්වරූපය ඇත, එබැවින්, ;
• නම් , එසේ නම් හෝ , එය සමාන වේ හෝ , එනම් සමීකරණයට මූලයන් දෙකක් ඇත.

මේ අනුව, සමීකරණයේ මූලයන් පැවතීම හෝ නොපැවතීම සහ එබැවින් මුල් චතුරස්රාකාර සමීකරණය දකුණු පැත්තේ ප්රකාශනයේ ලකුණ මත රඳා පවතී. අනෙක් අතට, 4 a 2 යන හරය සෑම විටම ධනාත්මක වන බැවින්, මෙම ප්‍රකාශනයේ ලකුණ අංකනයේ ලකුණෙන් තීරණය වේ, එනම් b 2 -4 a c ප්‍රකාශනයේ ලකුණ . මෙම ප්රකාශනය b 2 -4 a c ලෙස හැඳින්වේ චතුරස්රාකාර සමීකරණයක් වෙනස් කිරීමසහ අකුරින් සලකුණු කර ඇත ඩී. මෙතැන් සිට, වෙනස් කොට සැලකීමේ සාරය පැහැදිලිය - එහි අගය සහ ලකුණ අනුව, චතුරස්රාකාර සමීකරණයට සැබෑ මූලයන් තිබේද යන්න නිගමනය කරනු ලැබේ, එසේ නම්, ඒවායේ අංකය කුමක්ද - එකක් හෝ දෙකක්.

අපි සමීකරණය වෙත ආපසු යමු, වෙනස් කොට සැලකීමේ අංකනය භාවිතයෙන් එය නැවත ලියන්න: . සහ අපි නිගමනය කරන්නේ:

• ඩී නම්<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• D=0 නම්, මෙම සමීකරණයට තනි මූලයක් ඇත;
• අවසාන වශයෙන්, D>0 නම්, සමීකරණයට මූලයන් දෙකක් ඇත හෝ , එය ආකෘතියෙන් නැවත ලිවිය හැකිය හෝ , සහ භාග ප්‍රසාරණය කර අඩු කිරීමෙන් පසුව පොදු හරයඅපිට ලැබෙනවා.

එබැවින් අපි චතුරස්‍ර සමීකරණයේ මූලයන් සඳහා සූත්‍ර ව්‍යුත්පන්න කළෙමු, ඒවා පෙනෙන්නේ , D = b 2 −4 a c සූත්‍රයෙන් වෙනස් කොට සැලකීම D ගණනය කරනු ලැබේ.

ඔවුන්ගේ උපකාරයෙන්, ධනාත්මක වෙනස්කම් කිරීමකින්, ඔබට චතුරස්රාකාර සමීකරණයක සැබෑ මූලයන් දෙකම ගණනය කළ හැකිය. වෙනස් කොට සැලකීම ශුන්‍යයට සමාන වන විට, සූත්‍ර දෙකම චතුරස්‍ර සමීකරණයේ එකම විසඳුමට අනුරූප වන එකම මූල අගය ලබා දෙයි. සහ ඍණාත්මක වෙනස්කම් කිරීමක් සමඟ, චතුරස්රාකාර සමීකරණයක මූලයන් සඳහා සූත්‍රය භාවිතා කිරීමට උත්සාහ කරන විට, අපට නිස්සාරණයට මුහුණ දීමට සිදුවේ. වර්ගමුලයරාමුවෙන් සහ පාසල් විෂය මාලාවෙන් ඔබ්බට අපව ගෙන යන සෘණ අංකයකින්. සෘණ වෙනස්කම් කිරීමක් සහිතව, චතුරස්රාකාර සමීකරණයට සැබෑ මූලයන් නොමැත, නමුත් යුගලයක් ඇත සංකීර්ණ සංයුක්තමූලයන්, අප ලබාගත් එම මූල සූත්‍ර භාවිතයෙන් සොයා ගත හැක.

මූල සූත්‍ර භාවිතයෙන් චතුරස්‍ර සමීකරණ විසඳීම සඳහා ඇල්ගොරිතම

ප්රායෝගිකව, චතුරස්රාකාර සමීකරණයක් විසඳන විට, ඔබට වහාම ඒවායේ අගයන් ගණනය කිරීම සඳහා මූල සූත්රය භාවිතා කළ හැකිය. නමුත් මෙය වඩාත් සංකීර්ණ මූලයන් සොයා ගැනීමයි.

කෙසේ වෙතත්, පාසල් වීජ ගණිත පාඨමාලාවේදී, අපි සාමාන්‍යයෙන් කතා කරන්නේ සංකීර්ණ ගැන නොව චතුරස්රාකාර සමීකරණයක සැබෑ මූලයන් ගැන ය. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, චතුරස්රාකාර සමීකරණයේ මූලයන් සඳහා සූත්‍ර භාවිතා කිරීමට පෙර, එය ඍණාත්මක නොවන බවට වග බලා ගැනීමට ප්‍රථමයෙන් වෙනස්කම් කරන්නා සොයා ගැනීම යෝග්‍ය වේ (එසේ නොමැති නම්, සමීකරණයට සැබෑ මූලයන් නොමැති බව අපට නිගමනය කළ හැකිය), සහ ඉන් පසුව මුල්වල අගයන් ගණනය කරන්න.

ඉහත තර්කය අපට ලිවීමට ඉඩ සලසයි චතුරස්රාකාර සමීකරණයක් විසඳීම සඳහා ඇල්ගොරිතම. a x 2 + b x + c \u003d 0 චතුරස්‍ර සමීකරණය විසඳීමට, ඔබට අවශ්‍ය වන්නේ:

• වෙනස් සූත්‍රය භාවිතා කරමින් D=b 2 -4 a c එහි අගය ගණනය කරන්න;
• වෙනස්කම් කරන්නා සෘණ නම් චතුරස්රාකාර සමීකරණයට සැබෑ මූලයන් නොමැති බව නිගමනය කරන්න;
• D=0 නම් සූත්‍රය භාවිතා කරමින් සමීකරණයේ එකම මූලය ගණනය කරන්න;
• වෙනස් කොට සැලකීම ධනාත්මක නම් මූල සූත්‍රය භාවිතා කරමින් චතුරස්‍ර සමීකරණයක සැබෑ මූලයන් දෙකක් සොයා ගන්න.

මෙහිදී අපි සටහන් කරන්නේ වෙනස්කම් කිරීම ශුන්‍යයට සමාන නම්, සූත්‍රය ද භාවිතා කළ හැකි අතර, එය ට සමාන අගයක් ලබා දෙන බව පමණි.

චතුරස්රාකාර සමීකරණ විසඳීම සඳහා ඇල්ගොරිතම යෙදීමේ උදාහරණ වෙත ඔබට ගමන් කළ හැකිය.

චතුරස්රාකාර සමීකරණ විසඳීමේ උදාහරණ

ධන, සෘණ සහ ශුන්‍ය වෙනස්කම් සහිත චතුරස්‍ර සමීකරණ තුනක විසඳුම් සලකා බලන්න. ඔවුන්ගේ විසඳුම සමඟ කටයුතු කිරීමෙන් පසු, වෙනත් ඕනෑම චතුරස්රාකාර සමීකරණයක් විසඳීමට හැකි වනු ඇත. පටන් ගමු.

උදාහරණයක්.

x 2 +2 x−6=0 සමීකරණයේ මූලයන් සොයන්න.

විසඳුමක්.

මෙම අවස්ථාවෙහිදී, අපට චතුරස්රාකාර සමීකරණයේ පහත සංගුණක ඇත: a=1 , b=2 සහ c=−6 . ඇල්ගොරිතමයට අනුව, ඔබ මුලින්ම වෙනස් කොට සැලකීම ගණනය කළ යුතුය, මේ සඳහා අපි පෙන්වා ඇති a, b සහ c වෙනස් කොට සැලකීමේ සූත්‍රයට ආදේශ කරමු, අපට ඇත D=b 2 -4 a c=2 2 −4 1 (-6)=4+24=28. 28>0 සිට, එනම්, වෙනස්කම් කිරීම ශුන්‍යයට වඩා වැඩි බැවින්, චතුරස්‍ර සමීකරණයට සැබෑ මූලයන් දෙකක් ඇත. අපි ඒවා මූල සූත්‍රයෙන් සොයා ගනිමු, අපට ලැබේ, මෙහිදී අපට කිරීමෙන් ලබාගත් ප්‍රකාශන සරල කළ හැකිය. මූලයේ ලකුණ සාධක කිරීමභාග අඩු කිරීම අනුගමනය කරයි:

පිළිතුර:

අපි ඊළඟ සාමාන්‍ය උදාහරණයට යමු.

උදාහරණයක්.

චතුරස්රාකාර සමීකරණය විසඳන්න -4 x 2 +28 x−49=0 .

විසඳුමක්.

අපි වෙනස්කම් කරන්නන් සොයා ගැනීමෙන් ආරම්භ කරමු: D=28 2 -4 (-4) (-49)=784−784=0. එමනිසා, මෙම චතුරස්රාකාර සමීකරණයට තනි මූලයක් ඇත, එය අපට , එනම්,

පිළිතුර:

x=3.5

සෘණ වෙනස්කම් සහිත චතුරස්රාකාර සමීකරණවල විසඳුම සලකා බැලීමට ඉතිරිව ඇත.

උදාහරණයක්.

5 y 2 +6 y+2=0 සමීකරණය විසඳන්න.

විසඳුමක්.

චතුරස්‍ර සමීකරණයේ සංගුණක මෙන්න: a=5 , b=6 සහ c=2 . මෙම අගයන් වෙනස් කොට සැලකීමේ සූත්‍රයට ආදේශ කිරීම, අපට තිබේ D=b 2 -4 a c=6 2 -4 5 2=36−40=−4. වෙනස්කම් කරන්නා සෘණාත්මක ය, එබැවින්, මෙම චතුරස්රාකාර සමීකරණයට සැබෑ මූලයන් නොමැත.

සංකීර්ණ මූලයන් දැක්වීමට අවශ්ය නම්, අපි භාවිතා කරමු දන්නා සූත්රයචතුරස්රාකාර සමීකරණයේ මූලයන් , සහ ඉටු කරන්න සංකීර්ණ සංඛ්යා සහිත මෙහෙයුම්:

පිළිතුර:

සැබෑ මූලයන් නොමැත, සංකීර්ණ මූලයන් වන්නේ: .

නැවත වරක්, චතුරස්රාකාර සමීකරණයේ වෙනස්කම් කිරීම සෘණාත්මක නම්, පාසල සාමාන්‍යයෙන් වහාම පිළිතුර ලියා තබන අතර, එහි සැබෑ මූලයන් නොමැති බව පෙන්නුම් කරන අතර සංකීර්ණ මූලයන් සොයාගත නොහැකි බව අපි සටහන් කරමු.

දෙවන සංගුණක සඳහා පවා මූල සූත්‍රය

චතුරස්‍ර සමීකරණයක මූලයන් සඳහා වන සූත්‍රය, D=b 2 -4 a c මඟින් ඔබට වඩාත් සංයුක්ත සූත්‍රයක් ලබා ගැනීමට ඉඩ සලසයි , උදාහරණයක් ලෙස, හෝ 14 ln5=2 7 ln5 ). අපි ඇයව පිටතට ගෙන යමු.

අපි හිතමු a x 2 +2 n x + c=0 පෝරමයේ චතුරස්‍ර සමීකරණයක් විසඳන්න ඕන කියලා. අපි දන්නා සූත්‍රය භාවිතා කර එහි මූලයන් සොයා ගනිමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි වෙනස්කම් කිරීම ගණනය කරමු D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 -4 a c=4 (n 2 -a c), ඉන්පසු අපි මූල සූත්‍රය භාවිතා කරමු:

n 2 -a c ප්‍රකාශනය D 1 ලෙස දක්වන්න (සමහර විට එය D " ලෙස දක්වා ඇත) එවිට දෙවන සංගුණකය 2 n සමඟ සලකා බලන චතුරස්‍ර සමීකරණයේ මූලයන් සඳහා සූත්‍රය ස්වරූපය ගනී. , D 1 =n 2 -a c .

D=4·D 1 හෝ D 1 =D/4 බව දැකීම පහසුය. වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, D 1 යනු වෙනස්කම් කිරීමේ සිව්වන කොටසයි. D 1 හි ලකුණ D හි ලකුණට සමාන බව පැහැදිලිය. එනම්, D 1 ලකුණ චතුරස්රාකාර සමීකරණයේ මූලයන් තිබීම හෝ නොමැතිකම පිළිබඳ දර්ශකයකි.

එබැවින්, දෙවන සංගුණකය 2 n සමඟ චතුරස්රාකාර සමීකරණයක් විසඳීමට, ඔබට අවශ්ය වේ

• D 1 =n 2 -a·c ගණනය කරන්න;
• D 1 නම්<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• D 1 =0 නම්, සූත්‍රය භාවිතයෙන් සමීකරණයේ එකම මූලය ගණනය කරන්න;
• D 1 >0 නම්, සූත්‍රය භාවිතයෙන් සැබෑ මූල දෙකක් සොයා ගන්න.

මෙම ඡේදයේ ලබාගත් මූල සූත්‍රය භාවිතා කරමින් උදාහරණයේ විසඳුම සලකා බලන්න.

උදාහරණයක්.

චතුරස්‍ර සමීකරණය 5 x 2 -6 x−32=0 විසඳන්න.

විසඳුමක්.

මෙම සමීකරණයේ දෙවන සංගුණකය 2·(−3) ලෙස දැක්විය හැක. එනම්, ඔබට 5 x 2 +2 (−3) x−32=0 ආකාරයෙන් මුල් චතුරස්‍ර සමීකරණය නැවත ලිවිය හැක, මෙහි a=5 , n=−3 සහ c=-32 , සහ හතරවන කොටස ගණනය කරන්න. වෙනස් කොට සලකන: D 1 =n 2 -a c=(-3) 2 −5 (-32)=9+160=169. එහි අගය ධනාත්මක බැවින්, සමීකරණයට සැබෑ මූලයන් දෙකක් ඇත. අනුරූප මූල සූත්‍රය භාවිතයෙන් අපි ඒවා සොයා ගනිමු:

චතුරස්රාකාර සමීකරණයක මූලයන් සඳහා සුපුරුදු සූත්රය භාවිතා කිරීමට හැකි වූ බව සලකන්න, නමුත් මෙම අවස්ථාවෙහිදී, තවත් ගණනය කිරීමේ කාර්යයක් සිදු කිරීමට සිදුවනු ඇත.

පිළිතුර:

චතුරස්රාකාර සමීකරණවල ස්වරූපය සරල කිරීම

සමහර විට, සූත්‍ර භාවිතා කරමින් චතුරස්රාකාර සමීකරණයක මූලයන් ගණනය කිරීමට පෙර, “මෙම සමීකරණයේ ස්වරූපය සරල කළ හැකිද” යන ප්‍රශ්නය ඇසීම හානියක් නොවේද? ගණනය කිරීම් අනුව 1100 x 2 -400 x−600=0 ට වඩා 11 x 2 -4 x -6=0 චතුරස්‍ර සමීකරණය විසඳීම පහසු වනු ඇති බවට එකඟ වන්න.

සාමාන්‍යයෙන්, චතුරස්‍ර සමීකරණයක ස්වරූපය සරල කිරීම සාක්ෂාත් කරගනු ලබන්නේ එහි දෙපැත්තම යම් සංඛ්‍යාවකින් ගුණ කිරීමෙන් හෝ බෙදීමෙනි. උදාහරණයක් ලෙස, පෙර ඡේදයේ, අපි 1100 x 2 -400 x -600=0 සමීකරණයේ 100 න් දෙපස බෙදීම මගින් සරල කිරීමක් ලබා ගැනීමට සමත් විය.

සමාන පරිවර්තනයක් චතුරස්රාකාර සමීකරණ සමඟ සිදු කරනු ලැබේ, සංගුණක නොවේ. සමීකරණයේ දෙපැත්තම බෙදීම සාමාන්‍ය දෙයකි නිරපේක්ෂ අගයන්එහි සංගුණක. උදාහරණයක් ලෙස, අපි 12 x 2 -42 x+48=0 චතුරස්‍ර සමීකරණය ගනිමු. එහි සංගුණකවල නිරපේක්ෂ අගයන්: gcd(12, 42, 48)= gcd(gcd(12, 42), 48)= gcd(6, 48)=6 . මුල් චතුරස්රාකාර සමීකරණයේ කොටස් දෙකම 6 න් බෙදීම, අපි 2 x 2 −7 x+8=0 සමාන චතුරස්රාකාර සමීකරණයට පැමිණේ.

සහ චතුරස්රාකාර සමීකරණයේ කොටස් දෙකෙහිම ගුණ කිරීම සාමාන්යයෙන් භාගික සංගුණක ඉවත් කිරීම සඳහා සිදු කරනු ලැබේ. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, ගුණ කිරීම එහි සංගුණකවල හරයන් මත සිදු කෙරේ. උදාහරණයක් ලෙස, චතුරස්‍ර සමීකරණයක කොටස් දෙකම LCM(6, 3, 1)=6 මගින් ගුණ කළහොත්, එය x 2 +4 x−18=0 සරල ආකාරයක් ගනී.

මෙම ඡේදය අවසානයේ, කොටස් දෙකම −1 න් ගුණ කිරීමට (හෝ බෙදීමට) අනුරූප වන සියලුම පදවල සලකුණු වෙනස් කිරීමෙන් චතුරස්රාකාර සමීකරණයේ ප්‍රමුඛ සංගුණකයේ ඇති අඩුපාඩුව සෑම විටම පාහේ ඉවත් කරන බව අපි සටහන් කරමු. උදාහරණයක් ලෙස, සාමාන්‍යයෙන් −2·x 2 -3·x+7=0 යන චතුරස්‍ර සමීකරණයෙන් 2·x 2 +3·x−7=0 විසඳුම වෙත යන්න.

චතුරස්රාකාර සමීකරණයක මූලයන් සහ සංගුණක අතර සම්බන්ධතාවය

චතුරස්‍ර සමීකරණයක මූලයන් සඳහා වන සූත්‍රය සමීකරණයක මූලයන් එහි සංගුණක අනුව ප්‍රකාශ කරයි. මුල්වල සූත්රය මත පදනම්ව, ඔබට මූලයන් සහ සංගුණක අතර වෙනත් සම්බන්ධතා ලබා ගත හැකිය.

පෝරමයේ Vieta ප්‍රමේයයෙන් වඩාත් ප්‍රසිද්ධ සහ අදාළ සූත්‍ර විශේෂයෙන්, ලබා දී ඇති චතුරස්රාකාර සමීකරණය සඳහා, මුල්වල එකතුව ප්රතිවිරුද්ධ ලකුණ සහිත දෙවන සංගුණකය හා සමාන වන අතර, මූලයන්ගේ ගුණිතය නිදහස් පදය වේ. උදාහරණයක් ලෙස, 3 x 2 −7 x+22=0 යන චතුරස්‍ර සමීකරණයේ ස්වරූපය අනුව, අපට එහි මුල්වල එකතුව 7/3 වන අතර මූලයන්ගේ ගුණිතය 22/3 බව වහාම පැවසිය හැකිය.

දැනටමත් ලියා ඇති සූත්‍ර භාවිතා කරමින්, ඔබට චතුරස්රාකාර සමීකරණයේ මූලයන් සහ සංගුණක අතර වෙනත් සම්බන්ධතා ගණනාවක් ලබා ගත හැකිය. උදාහරණයක් ලෙස, ඔබට චතුරස්‍ර සමීකරණයක මූලයන් වල වර්ගවල එකතුව එහි සංගුණක අනුව ප්‍රකාශ කළ හැක: .

ග්රන්ථ නාමාවලිය.

• වීජ ගණිතය:පෙළ පොත සෛල 8 ක් සඳහා. සාමාන්ය අධ්යාපනය ආයතන / [යූ. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; සංස්. S. A. Telyakovsky. - 16 වන සංස්කරණය. - එම්.: අධ්යාපනය, 2008. - 271 පි. : අසනීප. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• මොර්ඩ්කොවිච් ඒ.ජී.වීජ ගණිතය. 8 ශ්රේණිය. සවස 2 ට 1 කොටස. අධ්යාපන ආයතනවල සිසුන් සඳහා පෙළපොතක් / A. G. Mordkovich. - 11 වන සංස්කරණය, මකා දමන ලදී. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: අසනීප. ISBN 978-5-346-01155-2.

සංකීර්ණ අංක XI

§ 253. සෘණ සංඛ්යා වලින් වර්ග මූලයන් උපුටා ගැනීම.
සෘණ වෙනස්කම් සහිත චතුරස්රාකාර සමීකරණ විසඳීම

අප දන්නා පරිදි,

මම 2 = - 1.

කෙසේවෙතත්,

(- මම ) 2 = (- 1 මම ) 2 = (- 1) 2 මම 2 = -1.

මේ අනුව, - 1 හි වර්ගමූල සඳහා අවම වශයෙන් අගයන් දෙකක් තිබේ, එනම් මම හා - මම . නමුත් සමහර විට තවත් ඇත සංකීර්ණ සංඛ්යා, කාගේ වර්ග - 1?

මෙම ප්‍රශ්නය පැහැදිලි කිරීම සඳහා, සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක වර්ගය යැයි සිතමු a + bi සමාන - 1. එවිට

(a + bi ) 2 = - 1,

ඒ 2 + 2අබි - බී 2 = - 1

සංකීර්ණ සංඛ්‍යා දෙකක් සමාන වන්නේ ඒවායේ සැබෑ කොටස් සහ මනඃකල්පිත කොටස්වල සංගුණක සමාන නම් සහ පමණි. ඒක තමයි

{	ඒ 2 - බී 2 = - 1 ab = 0 (1)

පද්ධතියේ (1) දෙවන සමීකරණයට අනුව, අවම වශයෙන් එක් සංඛ්යා ඒ හා බී බිංදුවට සමාන විය යුතුය. අ බී = 0, එවිට පළමු සමීකරණය ලබා දෙයි ඒ 2 = - 1. අංකය ඒ සැබෑ, සහ ඒ නිසා ඒ 2 > 0. සෘණ නොවන අංකය ඒ 2 සමාන කළ නොහැක සෘණ අංකය- 1. එබැවින් සමානාත්මතාවය බී මෙම අවස්ථාවේ දී = 0 කළ නොහැක. එය හඳුනා ගැනීමට ඉතිරිව ඇත ඒ = 0, නමුත් පද්ධතියේ පළමු සමීකරණයෙන් අපට ලැබෙන්නේ: - බී 2 = - 1, බී = ± 1.

එබැවින්, වර්ග -1 වන එකම සංකීර්ණ සංඛ්‍යා සංඛ්‍යා වේ මම හා - මම , මෙය කොන්දේසි සහිතව ලියා ඇත්තේ:

√-1 = ± මම .

සමාන තර්කයක් මගින්, සෘණ අංකයකට සමාන වර්ග ඇති සංඛ්‍යා දෙකක් ඇති බව සිසුන්ට සත්‍යාපනය කළ හැක - ඒ . මෙම අංක √ වේ ඒ මම සහ -√ ඒ මම . සාම්ප්‍රදායිකව, එය මෙසේ ලියා ඇත:

√- ඒ = ± √ ඒ මම .

√ යටතේ ඒ මෙහි අංක ගණිතය, එනම් ධන, මූල අදහස් වේ. උදාහරණයක් ලෙස, √4 = 2, √9 =.3; ඒක තමයි

√-4 = + 2මම , √-9 = ± 3 මම

මීට පෙර, සෘණ වෙනස්කම් සහිත චතුරස්රාකාර සමීකරණ සලකා බැලීමේදී, එවැනි සමීකරණවලට මුල් නොමැති බව අපි කීවෙමු, දැන් එය තවදුරටත් පැවසිය නොහැක. සෘණ වෙනස්කම් සහිත චතුරස්රාකාර සමීකරණ සංකීර්ණ මූලයන් ඇත. මෙම මූලයන් ලබා ගන්නේ අප දන්නා සූත්‍ර මගිනි. උදාහරණයක් ලෙස, සමීකරණය ලබා දෙමු x 2 + 2x + 5 = 0; එවිට

x 1.2 = - 1 ± √1 -5 = - 1 ± √-4 = - 1 ± 2 මම .

එබැවින් මෙම සමීකරණයට මූලයන් දෙකක් ඇත: x 1 = - 1 +2මම , x 2 = - 1 - 2මම . මෙම මූලයන් අන්යෝන්ය වශයෙන් සංයුක්ත වේ. ඒවායේ එකතුව - 2 ට සමාන බව සටහන් කිරීම සිත්ගන්නා කරුණකි, සහ නිෂ්පාදිතය 5 වේ, එබැවින් Vieta හි ප්රමේයය ඉටු වේ.

අභ්යාස

2022. (Us tn o.) සමීකරණ විසඳන්න:

ඒ) x 2 = - 16; බී) x 2 = - 2; 3 ට x 2 = - 5.

2023. වර්ග සමාන වන සියලුම සංකීර්ණ සංඛ්‍යා සොයන්න:

ඒ) මම ; ආ) 1/2 - √ 3/2 මම ;

2024. චතුරස්රාකාර සමීකරණ විසඳන්න:

ඒ) x 2 - 2x + 2 = 0; ආ) 4 x 2 + 4x + 5 = 0; තුල) x 2 - 14x + 74 = 0.

සමීකරණ පද්ධති විසඳන්න (අංක 2025, 2026):

{	x+y = 6 xy = 45

{	2x- 3y = 1 xy = 1

2027. තථ්‍ය සංගුණක සහ සෘණ වෙනස්කම් සහිත චතුරස්‍ර සමීකරණයක මූලයන් අන්‍යෝන්‍ය වශයෙන් සංයෝජන බව ඔප්පු කරන්න.

2028. වියාටාගේ ප්‍රමේයය ඕනෑම චතුරස්‍ර සමීකරණ සඳහා සත්‍ය බව ඔප්පු කරන්න, සෘණ නොවන වෙනස්කම් සහිත සමීකරණ සඳහා පමණක් නොවේ.

2029. තථ්‍ය සංගුණක සමඟ චතුරස්‍ර සමීකරණයක් ලියන්න, ඒවායේ මූලයන්:

ඒ) x 1 = 5 - මම , x 2 = 5 + මම ; බී) x 1 = 3මම , x 2 = - 3මම .

2030. තථ්‍ය සංගුණක සමඟ චතුරස්‍ර සමීකරණයක් සම්පාදනය කරන්න, එහි එක් මූලයක් සමාන වේ (3 - මම ) (2මම - 4).

2031. තථ්‍ය සංගුණක සහිත චතුරස්‍ර සමීකරණයක් ලියන්න, එහි එක් මූලයක් 32 - මම
1- 3මම .