රේඛා අතර කෝණයක කෝසයිනය සොයා ගන්නේ කෙසේද? රේඛා අතර කෝණය සොයා ගැනීම

කෙළවරේඅභ්‍යවකාශයේ සරල රේඛා අතර දත්ත වලට සමාන්තරව අත්තනෝමතික ලක්ෂ්‍යයක් හරහා ඇද ගන්නා ලද සරල රේඛා දෙකකින් සෑදෙන ඕනෑම යාබද කෝණයක් අපි හඳුන්වමු.

අවකාශයේ සරල රේඛා දෙකක් ලබා දෙන්න:

පැහැදිලිවම, රේඛා අතර φ කෝණය ඒවායේ දිශා දෛශික සහ අතර කෝණය ලෙස ගත හැක. සිට , එවිට දෛශික අතර කෝණයේ කෝසයින් සඳහා සූත්රය අනුව අපි ලබා ගනිමු

රේඛා දෙකක සමාන්තර සහ ලම්බක තත්ත්වයන් ඒවායේ දිශා වාහකවල සමාන්තර සහ ලම්බක තත්ත්වයන්ට සමාන වේ:

දෙකක් කෙළින් සමාන්තර වේනම් සහ ඒවායේ අදාළ සංගුණක සමානුපාතික නම් පමණි, i.e. එල් 1 සමාන්තර එල් 2 නම් සහ සමාන්තර නම් පමණි .

දෙකක් කෙළින් ලම්බකඅනුරූප සංගුණකවල නිෂ්පාදනවල එකතුව ශුන්‍යයට සමාන නම් සහ පමණි: .

හිදී රේඛාව සහ තලය අතර ඉලක්කය

රේඛාවට ඉඩ දෙන්න ඈ- තලයට ලම්බක නොවේ θ;
ඈ′− සරල රේඛාවක ප්රක්ෂේපණය ඈගුවන් යානයට θ;
සරල රේඛා අතර ඇති කෝණවලින් කුඩාම ඈහා ඈ"අපි අමතන්නම් රේඛාව සහ තලය අතර කෝණය.
අපි එය φ=( ලෙස දක්වමු ඈ,θ)
අ ඈ⊥θ, පසුව ( ඈ,θ)=π/2

ඕයි→j→කේ→− සෘජුකෝණාස්රාකාර පද්ධතියඛණ්ඩාංක.
තල සමීකරණය:

θ: පොරව+විසින්+cz+ඩී=0

රේඛාව ලක්ෂ්‍යයක් සහ දිශා දෛශිකයකින් ලබා දී ඇති බව අපි සලකමු: ඈ[එම් 0,පි→]
දෛශිකය n→(ඒ,බී,සී)⊥θ
එවිට දෛශික අතර කෝණය සොයා ගැනීමට ඉතිරිව ඇත n→ සහ පි→, එය γ=( ලෙස දක්වන්න n→,පි→).

කෝණය γ නම්<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

කෝණය γ>π/2 නම්, අවශ්‍ය කෝණය φ=γ−π/2

sinφ=පව්(2π−γ)=cosγ

sinφ=පව්(γ−2π)=−cosγ

ඉන්පසු, රේඛාව සහ තලය අතර කෝණයසූත්රය භාවිතයෙන් ගණනය කළ හැක:

sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ap 1+bp 2+cp 3∣ ∣ √ඒ 2+බී 2+සී 2√පි 21+පි 22+පි 23

ප්රශ්නය 29. චතුරස්රාකාර ස්වරූපය පිළිබඳ සංකල්පය. චතුරස්රාකාර ආකාරවල සංඥා-නිශ්චිතතාවය.

චතුරස්‍ර ආකාරය j (x 1, x 2, ..., x n) n සැබෑ විචල්‍ය x 1, x 2, ..., x nපෝරමයේ එකතුවක් ලෙස හැඳින්වේ
, (1)

කොහෙද aij සංගුණක ලෙස හඳුන්වන සමහර සංඛ්යා වේ. සාමාන්‍ය බව නැති නොවී, අපට එය උපකල්පනය කළ හැකිය aij = ජී.

චතුරස්රාකාර ස්වරූපය ලෙස හැඳින්වේ වලංගු,නම් aij O GR. චතුරස්රාකාර ආකෘතියේ අනුකෘතියඑහි සංගුණක වලින් සමන්විත අනුකෘතිය ලෙස හැඳින්වේ. චතුරස්රාකාර ස්වරූපය (1) අද්විතීය සමමිතික අනුකෘතියකට අනුරූප වේ
i.e. A T = A. එබැවින් චතුරස්‍ර ආකාරය (1) න්‍යාස ආකාරයෙන් j ( x) = x ටී ආහ්, කොහෙද x ටී = (x 1 x 2 … x n). (2)

සහ අනෙක් අතට, ඕනෑම සමමිතික න්‍යාසයක් (2) විචල්‍යයන් අංකනය කිරීම දක්වා අද්විතීය චතුරස්‍ර ආකාරයකට අනුරූප වේ.

චතුරස්ර ආකෘතියේ ශ්රේණියඑහි අනුකෘතියේ ශ්‍රේණිය ලෙස හැඳින්වේ. චතුරස්රාකාර ස්වරූපය ලෙස හැඳින්වේ පරිහානියට පත් නොවන,එහි න්‍යාසය ඒකීය නොවන නම් නමුත්. (matrix බව මතක තබා ගන්න නමුත්එහි නිර්ණායකය ශුන්‍ය නොවේ නම් පරිහානිය නොවන ලෙස හැඳින්වේ. නොඑසේ නම් චතුර්විධ රූපය පරිහානියයි.

ධනාත්මක නිශ්චිත(හෝ දැඩි ලෙස ධනාත්මක) නම්

j ( x) > 0 , ඕනෑම කෙනෙකුට x = (x 1 , x 2 , …, x n), ඊට අමතරව x = (0, 0, …, 0).

Matrix නමුත්ධනාත්මක නිශ්චිත චතුරස්ර ආකාරය j ( x) ධනාත්මක නිශ්චිත ලෙසද හැඳින්වේ. එබැවින්, ධනාත්මක නිශ්චිත චතුරස්රාකාර ආකාරයක් අද්විතීය ධනාත්මක නිශ්චිත අනුකෘතියකට අනුරූප වන අතර අනෙක් අතට.

චතුරස්රාකාර ස්වරූපය (1) ලෙස හැඳින්වේ සෘණ නිශ්චිත(හෝ දැඩි සෘණ) නම්

j ( x) < 0, для любого x = (x 1 , x 2 , …, x n), අමතරව x = (0, 0, …, 0).

ඉහත ආකාරයටම, සෘණ-නිශ්චිත චතුරස්‍ර න්‍යාසයක් සෘණ-නිශ්චිත ලෙසද හැඳින්වේ.

එබැවින්, ධනාත්මක (ඍණාත්මක) නිශ්චිත චතුරස්රාකාර ආකාරයකි j ( x) අවම (උපරිම) අගය කරා ළඟා වේ j ( X*) = 0 සඳහා X* = (0, 0, …, 0).

බොහෝ චතුරස්රාකාර ආකාර සංඥා-නිශ්චිත නොවන බව සලකන්න, එනම්, ඒවා ධනාත්මක හෝ ඍණාත්මක නොවන බව සලකන්න. එවැනි චතුරස්රාකාර ආකෘති ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ මූලාරම්භයේදී පමණක් නොව, වෙනත් ස්ථානවලදීද අතුරුදහන් වේ.

කවදා ද n> 2, චතුරස්ර ආකෘතියක ලකුණ-නිශ්චිතභාවය පරීක්ෂා කිරීම සඳහා විශේෂ නිර්ණායක අවශ්ය වේ. අපි ඒවා සලකා බලමු.

මේජර් බාල වයස්කරුවන්චතුරස්රාකාර ස්වරූපය බාල වයස්කරුවන් ලෙස හැඳින්වේ:

එනම්, මොවුන් 1, 2, ..., අනුපිළිවෙලෙහි බාල වයස්කරුවන් වේ. n matrices නමුත්, ඉහළ වම් කෙළවරේ පිහිටා ඇති අතර, ඒවායින් අන්තිමයා අනුකෘතියේ නිර්ණායකය සමඟ සමපාත වේ. නමුත්.

ධනාත්මක නිශ්චිතභාවය සඳහා නිර්ණායකය (සිල්වෙස්ටර් නිර්ණායක)

x) = x ටී ආහ්ධනාත්මක නිශ්චිත වේ, අනුකෘතියේ සියලුම ප්‍රධාන බාලවයස්කරුවන් වීම අවශ්‍ය සහ ප්‍රමාණවත් වේ නමුත්ධනාත්මක විය, එනම්: එම් 1 > 0, එම් 2 > 0, …, එම් එන් > 0. ඍණාත්මක නිශ්චිතභාවය පිළිබඳ නිර්ණායකය චතුරස්රාකාර ස්වරූපය සඳහා j ( x) = x ටී ආහ්සෘණ නිශ්චිත වේ, එහි ඉරට්ටේ අනුපිළිවෙලෙහි ප්‍රධාන බාලයන් ධනාත්මක වීම අවශ්‍ය සහ ප්‍රමාණවත් වන අතර ඔත්තේ අනුපිළිවෙලෙහි ඒවා සෘණ වේ, එනම්: එම් 1 < 0, එම් 2 > 0, එම් 3 < 0, …, (–1)n

මම කෙටියෙන් කියන්නම්. රේඛා දෙකක් අතර කෝණය කෝණයට සමාන වේඔවුන්ගේ දිශාව දෛශික අතර. මේ අනුව, ඔබ දිශාව දෛශික a \u003d (x 1; y 1; z 1) සහ b \u003d (x 2; y 2; z 2) ඛණ්ඩාංක සොයා ගැනීමට සමත් වුවහොත්, ඔබට කෝණය සොයාගත හැකිය. වඩාත් නිවැරදිව, සූත්‍රයට අනුව කෝණයේ කෝසයිනය:

නිශ්චිත උදාහරණ මත මෙම සූත්‍රය ක්‍රියා කරන ආකාරය බලමු:

කාර්යයක්. E සහ F ලක්ෂ්‍ය ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ඝනකයේ සලකුණු කර ඇත - පිළිවෙලින් A 1 B 1 සහ B 1 C 1 දාරවල මැද ලක්ෂ්‍ය. AE සහ BF රේඛා අතර කෝණය සොයන්න.

ඝනකයේ දාරය නිශ්චිතව දක්වා නොමැති බැවින්, අපි AB = 1. හඳුන්වා දෙන්නෙමු සම්මත පද්ධතියඛණ්ඩාංක: මූලාරම්භය A ලක්ෂ්‍යයේ වේ, x, y, z අක්ෂ පිළිවෙලින් AB, AD සහ AA 1 ඔස්සේ යොමු කෙරේ. ඒකක කොටස AB = 1 ට සමාන වේ. දැන් අපි අපගේ රේඛා සඳහා දිශා දෛශිකවල ඛණ්ඩාංක සොයා ගනිමු.

දෛශික AE හි ඛණ්ඩාංක සොයන්න. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපට A = (0; 0; 0) සහ E = (0.5; 0; 1) ලකුණු අවශ්ය වේ. E ලක්ෂ්යය A 1 B 1 කොටසෙහි මැද වන බැවින්, එහි ඛණ්ඩාංක අන්තවල ඛණ්ඩාංකවල අංක ගණිත මධ්යන්යයට සමාන වේ. AE දෛශිකයේ මූලාරම්භය සම්භවය සමඟ සමපාත වන බව සලකන්න, එබැවින් AE = (0.5; 0; 1).

දැන් අපි BF දෛශිකය සමඟ ගනුදෙනු කරමු. ඒ හා සමානව, අපි ලකුණු B = (1; 0; 0) සහ F = (1; 0.5; 1) විශ්ලේෂණය කරන්නෙමු, මන්ද F - B 1 C 1 කොටසේ මැද. අපිට තියනවා:
BF = (1 - 1; 0.5 - 0; 1 - 0) = (0; 0.5; 1).

ඉතින්, දිශා වාහකයන් සූදානම්. රේඛා අතර කෝණයේ කෝසයින් යනු දිශා දෛශික අතර කෝණයේ කෝසයින් වේ, එබැවින් අපට ඇත්තේ:

කාර්යයක්. නිත්‍ය ට්‍රයිහෙඩ්‍රල් ප්‍රිස්මයක ABCA 1 B 1 C 1 , එහි සියලුම දාර 1 ට සමාන වේ, D සහ E ලකුණු සලකුණු කර ඇත - පිළිවෙලින් A 1 B 1 සහ B 1 C 1 දාරවල මැද ලක්ෂ්‍ය. AD සහ BE රේඛා අතර කෝණය සොයන්න.

අපි සම්මත ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක් හඳුන්වා දෙන්නෙමු: මූලාරම්භය A ලක්ෂ්යයේ, x-අක්ෂය AB ඔස්සේ, z - AA 1 ඔස්සේ යොමු කෙරේ. OXY තලය ABC තලය සමඟ සමපාත වන පරිදි අපි y අක්ෂය යොමු කරමු. ඒකක කොටස AB = 1 ට සමාන වේ. අපේක්ෂිත රේඛා සඳහා දිශා දෛශිකවල ඛණ්ඩාංක සොයන්න.

පළමුව, අපි AD දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක සොයා ගනිමු. කරුණු සලකා බලන්න: A = (0; 0; 0) සහ D = (0.5; 0; 1), මන්ද D - A 1 B 1 කොටසේ මැද. AD දෛශිකයේ ආරම්භය සම්භවය සමග සමපාත වන බැවින්, අපි AD = (0.5; 0; 1) ලබා ගනිමු.

දැන් අපි BE දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක සොයා ගනිමු. ලක්ෂ්යය B = (1; 0; 0) ගණනය කිරීම පහසුය. E ලක්ෂ්යය සමඟ - C 1 B 1 කොටසේ මැද - ටිකක් සංකීර්ණයි. අපිට තියනවා:

කෝණයේ කෝසයින් සොයා ගැනීමට එය ඉතිරිව ඇත:

කාර්යයක්. නිත්‍ය ෂඩාස්‍ර ප්‍රිස්මයක ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , එහි සියලුම දාර 1 ට සමාන වේ, K සහ L ලකුණු සලකුණු කර ඇත - A 1 B 1 සහ B 1 C 1 දාරවල මැද ලක්ෂ්‍ය, පිළිවෙලින්. AK සහ BL රේඛා අතර කෝණය සොයන්න.

අපි ප්‍රිස්මයක් සඳහා සම්මත ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක් හඳුන්වා දෙන්නෙමු: අපි ඛණ්ඩාංකවල මූලාරම්භය පහළ පාදයේ මධ්‍යයේ තබමු, x-අක්ෂය FC ඔස්සේ ද, y-අක්ෂය AB සහ DE කොටස්වල මධ්‍ය ලක්ෂ්‍ය හරහා ද, z-අක්ෂය ද යොමු කරමු. සිරස් අතට ඉහළට. ඒකක ඛණ්ඩය නැවතත් AB = 1 ට සමාන වේ. අපට උනන්දුවක් දක්වන කරුණු වල ඛණ්ඩාංක අපි ලියන්නෙමු:

ලක්ෂ්‍ය K සහ L යනු පිළිවෙලින් A 1 B 1 සහ B 1 C 1 යන කොටස්වල මධ්‍ය ලක්ෂ්‍ය වේ, එබැවින් ඒවායේ ඛණ්ඩාංක අංක ගණිත මධ්‍යන්‍යය හරහා සොයා ගැනේ. කරුණු දැන ගැනීමෙන්, AK සහ BL දිශා වාහකවල ඛණ්ඩාංක අපට හමු වේ:

දැන් අපි කෝණයේ කෝසයින් සොයා ගනිමු:

කාර්යයක්. දකුණේ හතරැස් පිරමීඩය SABCD, 1 ට සමාන වන සියලුම දාර, ලකුණු E සහ F සලකුණු කර ඇත - පිළිවෙලින් SB සහ SC යන පැතිවල මැද ලක්ෂ්‍ය. AE සහ BF රේඛා අතර කෝණය සොයන්න.

අපි සම්මත ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක් හඳුන්වා දෙන්නෙමු: මූලාරම්භය A ලක්ෂ්‍යයේ, x සහ y අක්ෂ පිළිවෙලින් AB සහ AD ඔස්සේ යොමු කර ඇති අතර z අක්ෂය සිරස් අතට ඉහළට යොමු කෙරේ. ඒකක කොටස AB = 1 ට සමාන වේ.

E සහ F යන ලක්ෂ්‍ය පිළිවෙළින් SB සහ SC යන කොටස්වල මධ්‍ය ලක්ෂ්‍ය වේ, එබැවින් ඒවායේ ඛණ්ඩාංක අන්තයේ අංක ගණිත මධ්‍යන්‍යය ලෙස දක්නට ලැබේ. අපට උනන්දුවක් දක්වන කරුණු වල ඛණ්ඩාංක අපි ලියන්නෙමු:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)

කරුණු දැන ගැනීමෙන්, AE සහ BF යන දිශා වාහකවල ඛණ්ඩාංක අපට හමු වේ:

AE ලක්ෂ්‍යය මූලාරම්භය වන බැවින් AE දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක E ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක සමග සමපාත වේ. කෝණයේ කෝසයින් සොයා ගැනීමට එය ඉතිරිව ඇත:

ඒ. පේළි දෙකක් ලබා දෙන්න, 1 වන පරිච්ඡේදයේ දක්වා ඇති පරිදි, මෙම රේඛා විවිධාකාර ධනාත්මක සහ සෘණ කෝණ සාදයි, ඒවා තියුණු හෝ නොපැහැදිලි විය හැකිය. මෙම කෝණවලින් එකක් දැන ගැනීමෙන් අපට වෙනත් ඕනෑම කෝණයක් පහසුවෙන් සොයාගත හැකිය.

මාර්ගය වන විට, මෙම සියලු කෝණ සඳහා, ස්පර්ශකයේ සංඛ්‍යාත්මක අගය සමාන වේ, වෙනස විය හැක්කේ ලකුණෙහි පමණි

රේඛා සමීකරණ. සංඛ්‍යා යනු පළමු හා දෙවන පේළිවල දිශානත දෛශිකවල ප්‍රක්ෂේපණය වේ.මෙම දෛශික අතර කෝණය සරල රේඛා මගින් සාදන ලද කෝණවලින් එකකට සමාන වේ. එබැවින්, දෛශික අතර කෝණය තීරණය කිරීම සඳහා ගැටළුව අඩු වේ, අපට ලැබේ

සරල බව සඳහා, තියුණු ධනාත්මක කෝණයක් තේරුම් ගැනීමට සරල රේඛා දෙකක් අතර කෝණයකට එකඟ විය හැකිය (උදාහරණයක් ලෙස, රූපය 53 හි).

එවිට මෙම කෝණයේ ස්පර්ශකය සැමවිටම ධනාත්මක වනු ඇත. මේ අනුව, සූත්‍රයේ (1) දකුණු පසින් අඩු ලකුණක් ලබා ගන්නේ නම්, අපි එය ඉවත දැමිය යුතුය, එනම් නිරපේක්ෂ අගය පමණක් තබා ගන්න.

උදාහරණයක්. රේඛා අතර කෝණය තීරණය කරන්න

සූත්‍රය (1) මගින් අපට ඇත

සමඟ. කෝණයේ පැතිවලින් එහි ආරම්භය සහ එහි අවසානය කුමක්ද යන්න සඳහන් කරන්නේ නම්, සෑම විටම කෝණයේ දිශාව වාමාවර්තව ගණනය කිරීමෙන්, අපට සූත්‍ර (1) වලින් තවත් යමක් උකහා ගත හැකිය. රූපයෙන් දැකීමට පහසු වන පරිදි. 53 (1) සූත්‍රයේ දකුණු පැත්තේ ඇති ලකුණෙන් දැක්වෙන්නේ කුමන එක - තියුණු හෝ නොපැහැදිලි - කෝණයෙන් පළමු රේඛාව සමඟ දෙවන පේළිය සාදයි.

(සැබවින්ම, රූපය 53 සිට අපට පෙනෙන්නේ පළමු සහ දෙවන දිශා දෛශික අතර කෝණය රේඛා අතර අපේක්ෂිත කෝණයට සමාන වන බව හෝ එයින් ± 180°කින් වෙනස් වන බවයි.)

ඈ රේඛා සමාන්තර නම්, ඒවායේ දිශා දෛශික ද සමාන්තර වේ, දෛශික දෙකක සමාන්තරකරණයේ කොන්දේසිය යෙදීමෙන්, අපට ලැබේ!

පේළි දෙකක් සමාන්තරව පැවතීම සඳහා මෙය අවශ්ය සහ ප්රමාණවත් කොන්දේසියකි.

උදාහරණයක්. සෘජු

සමාන්තර නිසා

ඊ. රේඛා ලම්බක නම්, ඒවායේ දිශා දෛශික ද ලම්බක වේ. දෛශික දෙකක ලම්බක තත්ත්වය යෙදීමෙන්, අපි රේඛා දෙකක ලම්බක තත්ත්වය ලබා ගනිමු, එනම්

උදාහරණයක්. සෘජු

ලම්බක නිසා

සමාන්තරකරණය සහ ලම්බකතාවයේ කොන්දේසි සම්බන්ධයෙන්, අපි පහත ගැටළු දෙක විසඳන්නෙමු.

f. ලක්ෂ්‍යයක් හරහා දී ඇති රේඛාවකට සමාන්තරව රේඛාවක් අඳින්න

තීරණය ගනු ලබන්නේ මේ ආකාරයට ය. අපේක්ෂිත රේඛාව ලබා දී ඇති රේඛාවට සමාන්තර වන බැවින්, එහි අධ්‍යක්ෂක දෛශිකය සඳහා අපට ලබා දී ඇති රේඛාවට සමාන එකක් ගත හැකිය, එනම් A සහ ​​B ප්‍රක්ෂේපණ සහිත දෛශිකයක්. එවිට අපේක්ෂිත රේඛාවේ සමීකරණය ලියා ඇත. ස්වරූපයෙන් (§ 1)

උදාහරණයක්. සරල රේඛාවකට සමාන්තරව ලක්ෂ්‍යයක් (1; 3) හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවක සමීකරණය

ඊළඟට වනු ඇත!

g. දී ඇති රේඛාවට ලම්බකව ලක්ෂ්‍යයක් හරහා රේඛාවක් අඳින්න

මෙහිදී A ප්‍රක්ෂේපණ සහිත දෛශිකයක් සහ අධ්‍යක්ෂක දෛශිකයක් ලෙස ගැනීම තවදුරටත් සුදුසු නොවන නමුත් එයට ලම්බකව දෛශිකයක් දිනා ගැනීම අවශ්‍ය වේ. එබැවින් මෙම දෛශිකයේ ප්රක්ෂේපණ දෛශික දෙකම ලම්බක වන කොන්දේසිය අනුව තෝරා ගත යුතුය, එනම් කොන්දේසිය අනුව

මේ කොන්දේසිය අනන්තවත් ක්‍රම වලින් සම්පූර්ණ කරන්න පුලුවන් මොකද මෙතන තියෙන්නේ නොදන්න සමීකරණයක් දෙකක් තියෙන නිසා.ඒත් ලේසිම ක්‍රමය ඒක ගන්න එක.එතකොට කැමති රේඛාවේ සමීකරණය පෝරමයේ ලියවෙනවා.

උදාහරණයක්. ලම්බක රේඛාවක ලක්ෂ්‍යයක් (-7; 2) හරහා ගමන් කරන රේඛාවක සමීකරණය

පහත සඳහන් වනු ඇත (දෙවන සූත්රය අනුව)!

h. පෝරමයේ සමීකරණ මගින් රේඛා ලබා දී ඇති අවස්ථාවක

අර්ථ දැක්වීම.රේඛා දෙකක් y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 ලබා දෙන්නේ නම්, මෙම රේඛා අතර තියුණු කෝණය ලෙස අර්ථ දැක්වේ.

k 1 = k 2 නම් පේළි දෙකක් සමාන්තර වේ. k 1 = -1/ k 2 නම් රේඛා දෙකක් ලම්බක වේ.

ප්රමේයය. A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB යන සංගුණක සමානුපාතික වන විට Ax + Vy + C \u003d 0 සහ A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 සරල රේඛා සමානුපාතික වේ. С 1 = λС ද නම්, රේඛා සමපාත වේ. රේඛා දෙකක ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක මෙම රේඛාවල සමීකරණ පද්ධතියට විසඳුමක් ලෙස සොයා ගැනේ.

හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවක සමීකරණය ලබා දී ඇති ලක්ෂ්යය

මෙම රේඛාවට ලම්බකව

අර්ථ දැක්වීම. M 1 (x 1, y 1) ලක්ෂ්‍යය හරහා ගමන් කරන රේඛාව සහ y \u003d kx + b රේඛාවට ලම්බකව සමීකරණය මගින් නිරූපණය කෙරේ:

ලක්ෂ්‍යයෙන් රේඛාවට දුර

ප්රමේයය. M(x 0, y 0) ලක්ෂ්‍යයක් ලබා දෙන්නේ නම්, Ax + Vy + C \u003d 0 රේඛාවට ඇති දුර මෙසේ අර්ථ දැක්වේ.

.

සාක්ෂි. M ලක්ෂ්‍යය M 1 (x 1, y 1) ලක්ෂ්‍යය M ලක්ෂ්‍යයේ සිට ලබා දී ඇති රේඛාවට පහත හෙලන ලද ලම්බකයේ පාදය වේවා. එවිට ලකුණු M සහ M 1 අතර දුර:

(1)

සමීකරණ පද්ධතියට විසඳුමක් ලෙස x 1 සහ y 1 ඛණ්ඩාංක සොයාගත හැකිය:

පද්ධතියේ දෙවන සමීකරණය වන්නේ සරල රේඛාවක් හරහා ගමන් කරන සමීකරණයයි ලබා දී ඇති ලක්ෂ්යය M 0 දී ඇති රේඛාවකට ලම්බක වේ. අපි පද්ධතියේ පළමු සමීකරණය ආකෘතියට පරිවර්තනය කරන්නේ නම්:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

එවිට, විසඳා, අපට ලැබෙන්නේ:

මෙම ප්‍රකාශන (1) සමීකරණයට ආදේශ කිරීමෙන් අපට හමු වන්නේ:

ප්රමේයය ඔප්පු කර ඇත.

උදාහරණයක්. රේඛා අතර කෝණය තීරණය කරන්න: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= p /4.

උදාහරණයක්. 3x - 5y + 7 = 0 සහ 10x + 6y - 3 = 0 රේඛා ලම්බක බව පෙන්වන්න.

විසඳුමක්. අපට හමු වන්නේ: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, එබැවින් රේඛා ලම්බක වේ.

උදාහරණයක්. A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) ත්‍රිකෝණයේ සිරස් ලබා දී ඇත. C ශීර්ෂයෙන් අඳින ලද උස සඳහා සමීකරණය සොයන්න.

විසඳුමක්. අපි AB පැත්තේ සමීකරණය සොයා ගනිමු: ; 4 x = 6 y - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

අපේක්ෂිත උස සමීකරණය වන්නේ: Ax + By + C = 0 හෝ y = kx + b. k = . එවිට y = . නිසා උස C ලක්ෂ්‍යය හරහා ගමන් කරයි, එවිට එහි ඛණ්ඩාංක මෙම සමීකරණය තෘප්තිමත් කරයි: කොහෙන්ද b = 17. එකතුව: .

පිළිතුර: 3x + 2y - 34 = 0.

දී ඇති දිශාවකට දී ඇති ලක්ෂ්‍යයක් හරහා ගමන් කරන රේඛාවක සමීකරණය. ලබා දී ඇති ලක්ෂ්‍ය දෙකක් හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවක සමීකරණය. රේඛා දෙකක් අතර කෝණය. පේළි දෙකක සමාන්තර සහ ලම්බක තත්ත්වය. පේළි දෙකක ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්යය තීරණය කිරීම

1. දී ඇති ලක්ෂ්‍යයක් හරහා ගමන් කරන රේඛාවක සමීකරණය ඒ(x 1 , වයි 1) දී ඇති දිශාවට, බෑවුම මගින් තීරණය වේ කේ,

වයි - වයි 1 = කේ(x - x 1). (1)

මෙම සමීකරණය ලක්ෂ්‍යයක් හරහා ගමන් කරන රේඛා පැන්සලක් අර්ථ දක්වයි ඒ(x 1 , වයි 1), එය කදම්භයේ කේන්ද්රය ලෙස හැඳින්වේ.

2. ලකුණු දෙකක් හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවක සමීකරණය: ඒ(x 1 , වයි 1) සහ බී(x 2 , වයි 2) මෙසේ ලියා ඇත:

ලබා දී ඇති ලක්ෂ්‍ය දෙකක් හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවක බෑවුම තීරණය වන්නේ සූත්‍රය මගිනි

3. සරල රේඛා අතර කෝණය ඒහා බීපළමු සරල රේඛාව කරකැවිය යුතු කෝණය වේ ඒමෙම රේඛා ඡේදනය වන ස්ථානය වටා එය දෙවන පේළිය සමග සමපාත වන තෙක් වාමාවර්තව බී. බෑවුම් සමීකරණ මගින් රේඛා දෙකක් ලබා දෙන්නේ නම්

වයි = කේ 1 x + බී 1 ,

වයි = කේ 2 x + බී 2 , (4)

එවිට ඒවා අතර කෝණය සූත්රය මගින් තීරණය වේ

භාගයේ සංඛ්‍යාංකයේ, පළමු සරල රේඛාවේ බෑවුම දෙවන සරල රේඛාවේ බෑවුමෙන් අඩු කරන බව සැලකිල්ලට ගත යුතුය.

සරල රේඛාවක සමීකරණ ලබා දී ඇත්නම් සාමාන්ය දැක්ම

ඒ 1 x + බී 1 වයි + සී 1 = 0,

ඒ 2 x + බී 2 වයි + සී 2 = 0, (6)

ඒවා අතර කෝණය තීරණය වන්නේ සූත්රය මගිනි

4. පේළි දෙකක සමාන්තරකරණය සඳහා කොන්දේසි:

a) රේඛා බෑවුමක් සහිත සමීකරණ (4) මගින් ලබා දෙන්නේ නම්, අවශ්ය සහ ප්රමාණවත් තත්ත්වයඒවායේ සමාන්තරතාවය සමන්විත වන්නේ ඒවායේ කෝණික සංගුණකවල සමානාත්මතාවයෙනි:

කේ 1 = කේ 2 . (8)

b) රේඛා සාමාන්‍ය ආකාරයෙන් (6) සමීකරණ මගින් ලබා දෙන අවස්ථාව සඳහා, ඒවායේ සමාන්තරකරණය සඳහා අවශ්‍ය සහ ප්‍රමාණවත් කොන්දේසිය නම්, ඒවායේ සමීකරණවල අනුරූප ධාරා ඛණ්ඩාංකවල සංගුණක සමානුපාතික වේ, i.e.

5. පේළි දෙකක ලම්බකතාව සඳහා කොන්දේසි:

a) රේඛා බෑවුමක් සහිත සමීකරණ (4) මගින් ලබා දී ඇති අවස්ථාවක, ඒවායේ ලම්බකතාව සඳහා අවශ්‍ය සහ ප්‍රමාණවත් කොන්දේසිය නම්, ඒවායේ බෑවුම් විශාලත්වයෙන් ප්‍රත්‍යාවර්තව සහ ලකුණින් ප්‍රතිවිරුද්ධ වීමයි, i.e.

මෙම කොන්දේසිය පෝරමයේ ද ලිවිය හැකිය

කේ 1 කේ 2 = -1. (11)

b) සරල රේඛා වල සමීකරණ සාමාන්‍ය ආකාරයෙන් ලබා දෙන්නේ නම් (6), එවිට ඒවායේ ලම්බකතාව (අවශ්‍ය සහ ප්‍රමාණවත්) සඳහා කොන්දේසිය වන්නේ සමානාත්මතාවය සම්පූර්ණ කිරීමයි.

ඒ 1 ඒ 2 + බී 1 බී 2 = 0. (12)

6. රේඛා දෙකක ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක සොයාගනු ලබන්නේ සමීකරණ පද්ධතිය (6) විසඳීමෙනි. රේඛා (6) නම් සහ නම් පමණක් ඡේදනය වේ

1. M ලක්ෂ්‍යය හරහා ගමන් කරන රේඛාවල සමීකරණ ලියන්න, ඉන් එකක් සමාන්තර වන අතර අනෙක දී ඇති රේඛාවට ලම්බක වේ.