ශ්‍රිත බල ශ්‍රේණි බවට ප්‍රසාරණය කිරීම. Taylor, Maclaurin, Laurent මාලාවක ශ්රිතයක් පුළුල් කිරීම
ප්‍රායෝගික කුසලතා පුහුණු කිරීම සඳහා වෙබ් අඩවියේ Taylor, Maclaurin සහ Laurent මාලාවක ශ්රිතයක් විසංයෝජනය කිරීම. ශ්‍රිතයක මෙම ශ්‍රේණි ප්‍රසාරණය ගණිතඥයින්ට එහි නිර්වචන වසමේ යම් අවස්ථාවක දී ශ්‍රිතයක ආසන්න අගය තක්සේරු කිරීමේ අදහසක් ලබා දෙයි. ශතවර්ෂයේ කල් ඉකුත් වූ බ්‍රෙඩිස් වගුව භාවිතා කිරීම හා සසඳන විට එවැනි ක්රියාකාරී අගයක් ගණනය කිරීම වඩා පහසුය. පරිගණක විද්යාව. ටේලර් ශ්‍රේණියක් දක්වා ශ්රිතයක් පුළුල් කිරීම යනු පෙර සංගුණක ගණනය කිරීමයි රේඛීය කාර්යයන්මෙම පේළිය සහ එය ලියන්න නිවැරදි මාර්ගය. සිසුන් මෙම පේළි දෙක ව්‍යාකූල කරයි, කුමක්ද යන්න තේරුම් නොගනී සාමාන්ය නඩුව, සහ දෙවැන්නෙහි විශේෂ අවස්ථාව කුමක්ද. අපි ඔබට වරක් සහ සියල්ලටම මතක් කර දෙන්නෙමු, Maclaurin මාලාව - විශේෂ අවස්ථාවක්ටේලර් ශ්‍රේණිය, එනම් මෙය ටේලර් ශ්‍රේණියයි, නමුත් x \u003d 0 ලක්ෂ්යයේ දී. දන්නා ශ්‍රිත පුළුල් කිරීම සඳහා වන සියලුම කෙටි සටහන්, එනම් e^x, Sin (x), Cos (x) සහ වෙනත් ඒවා ටේලර් මාලාවේ ප්‍රසාරණය වේ, නමුත් තර්කය සඳහා 0 ලක්ෂයේ. සංකීර්ණ තර්කයක කර්තව්‍යයන් සඳහා, ලෝරන්ට් ශ්‍රේණිය TFKT හි වඩාත් පොදු ගැටළුව වේ, මන්ද එය ද්වි-පාර්ශ්වික අනන්ත ශ්‍රේණියක් නියෝජනය කරයි. එය පේළි දෙකක එකතුවකි. වෙබ් අඩවියේ වෙබ් අඩවියේ කෙලින්ම වියෝජනය පිළිබඳ උදාහරණයක් දෙස බලන ලෙස අපි යෝජනා කරමු, ඕනෑම අංකයක් සමඟ "උදාහරණ" මත ක්ලික් කිරීමෙන් මෙය කිරීම ඉතා පහසු වන අතර පසුව "විසඳුම" බොත්තම ක්ලික් කරන්න. විචල්යය abscissa කලාපයට අයත් වන්නේ නම්, ordinate අක්ෂය ඔස්සේ යම් කලාපයක මුල් ශ්රිතය සීමා කරන, majorizing ශ්‍රේණිය සම්බන්ධ වන්නේ ශ්රිතයක් ශ්‍රේණියක් දක්වා මෙම ප්‍රසාරණයට ය. දෛශික විශ්ලේෂණයගණිතයේ තවත් රසවත් විෂයයක් සංසන්දනය කරයි. සෑම වාරයක්ම විමර්ශනය කළ යුතු බැවින්, ක්රියාවලිය සඳහා බොහෝ කාලයක් අවශ්ය වේ. ඕනෑම Taylor ශ්‍රේණියක් x0 වෙනුවට ශුන්‍ය කිරීමෙන් Maclaurin ශ්‍රේණියක් සමඟ සම්බන්ධ කළ හැක, නමුත් Maclaurin ශ්‍රේණි සඳහා, Taylor ශ්රේණියේ ප්‍රතිලෝම නිරූපණය සමහර විට පැහැදිලි නොවේ. කෙසේ වෙතත්, එය තුළට කිරීමට අවශ්ය නොවේ පිරිසිදු ස්වරූපයනමුත් සාමාන්ය ස්වයං සංවර්ධනය සඳහා රසවත්. සෑම ලෝරන්ට් මාලාවක්ම ද්වි-පාර්ශ්වික අනන්තයකට අනුරූප වේ බල මාලාවසමස්තයක් වශයෙන් z-a බලතල, වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, එකම ටේලර් වර්ගයේ මාලාවක්, නමුත් සංගුණක ගණනය කිරීමේදී තරමක් වෙනස් වේ. න්‍යායාත්මක ගණනය කිරීම් කිහිපයකින් පසුව අපි ලෝරන්ට් ශ්රේණියේ අභිසාරී කලාපය ගැන ටිකක් පසුව කතා කරමු. පසුගිය ශතවර්ෂයේ දී මෙන්, ශ්රිතයක් ශ්‍රේණියක් දක්වා ක්‍රමානුකූලව ප්‍රසාරණය කළ හැක්කේ නියමයන් අඩු කිරීමෙන් පමණි. පොදු හරය, හරයන්හි ශ්‍රිත රේඛීය නොවන බැවින්. ක්රියාකාරී අගය ආසන්න වශයෙන් ගණනය කිරීම ගැටළු සකස් කිරීම අවශ්ය වේ. Taylor ශ්රේණියේ තර්කය රේඛීය විචල්‍යයක් වන විට, ප්‍රසාරණය පියවර කිහිපයකින් සිදු වේ, නමුත් සම්පූර්ණයෙන්ම වෙනස් චිත්‍රයක්, සංකීර්ණ හෝ රේඛීය නොවන ශ්රිතයක් පුළුල් වූ ශ්‍රිතයේ තර්කයක් ලෙස ක්රියා කරන විට, පසුව බල ශ්‍රේණියක එවැනි ශ්රිතයක් නිරූපණය කිරීමේ ක්රියාවලිය පැහැදිලිය, මන්ද, මේ අනුව, එය දළ වශයෙන් වුවද, නිර්වචනයේ වසමේ ඕනෑම ලක්ෂ්‍යයක අගය ගණනය කිරීම පහසුය, අවම දෝෂයක් ඇත. වැඩිදුර ගණනය කිරීම් මත බලපෑම. මෙය Maclaurin මාලාවට ද අදාළ වේ. ශුන්‍ය ලක්ෂ්යයේ ශ්රිතය ගණනය කිරීමට අවශ්ය වූ විට. කෙසේ වෙතත්, ලෝරන්ට් ශ්‍රේණියම මෙහි නිරූපණය වන්නේ මනඃකල්පිත ඒකක සහිත තල ප්‍රසාරණයකිනි. එසේම සාර්ථකත්වයක් නොමැතිව නොවේ නිවැරදි තීරණයකාලය තුළ කාර්යයන් සමස්ත ක්රියාවලිය. ගණිතයේ දී, මෙම ප්රවේශය නොදන්නා නමුත් එය වෛෂයිකව පවතී. එහි ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, ඔබට ඊනියා ලක්ෂ්‍ය උප කුලකවල නිගමනයට පැමිණිය හැකි අතර, ශ්‍රේණියක ශ්රිතයක් ප්‍රසාරණය කිරීමේදී, ව්‍යුත්පන්න න්‍යාය යෙදීම වැනි මෙම ක්රියාවලිය සඳහා දන්නා ක්‍රම යෙදිය යුතුය. පශ්චාත්-ගණන ගණනය කිරීම් වල ප්රතිඵල පිළිබඳව ඔහුගේ උපකල්පන ඉදිරිපත් කළ ගුරුවරයාගේ නිවැරදි බව නැවත වරක් අපට ඒත්තු ගොස් ඇත. ගණිතයේ සියලුම කැනනයන්ට අනුව ලබාගත් ටේලර් ශ්‍රේණිය පවතින අතර එය සමස්ත සංඛ්‍යාත්මක අක්ෂයේම අර්ථ දක්වා ඇති බව සටහන් කරමු, කෙසේ වෙතත්, වෙබ් අඩවි සේවාවේ හිතවත් පරිශීලකයින්, මුල් ශ්‍රිතයේ ස්වරූපය අමතක නොකරන්න, මන්ද එය හැරවිය හැකිය. මුලදී ශ්‍රිතයේ වසම සැකසීමට අවශ්ය වන බව, එනම්, තාත්වික සංඛ්‍යා වල වසම තුළ ශ්රිතය අර්ථ දක්වා නොමැති ලක්ෂ්‍යයන් ලිවීම සහ වැඩිදුර සලකා බැලීම් වලින් බැහැර කිරීම. කතා කිරීමට නම්, මෙය ගැටලුව විසඳීමේ ඔබේ ඉක්මන් බව පෙන්වනු ඇත. තර්කයේ ශුන්‍ය අගයක් සහිත මැක්ලවුරින් ශ්‍රේණිය ගොඩනැගීම පවසා ඇති දෙයට ව්‍යතිරේකයක් නොවනු ඇත. ඒ අතරම, ශ්රිතයක් නිර්වචනය කිරීමේ වසම සොයා ගැනීමේ ක්රියාවලිය කිසිවකු විසින් අවලංගු නොකළ අතර, ඔබ මෙය බැරෑරුම් ලෙස ප්‍රවේශ විය යුතුය. ගණිතමය ක්රියාව. ලෝරන්ට් ශ්රේණියේ ප්‍රධාන කොටස තිබේ නම්, "a" පරාමිතිය හුදකලා ඒකීය ලක්ෂ්‍යයක් ලෙස හඳුන්වනු ලබන අතර, ලෝරන්ට් ශ්‍රේණිය වළල්ලේ පුළුල් වනු ඇත - මෙය එහි කොටස් අභිසාරී වන ප්‍රදේශ වල මංසන්ධියයි. ප්රමේයය අනුගමනය කරනු ඇත. නමුත් අද්දැකීම් අඩු ශිෂ්යයෙකුට මුලින්ම බැලූ බැල්මට පෙනෙන පරිදි සෑම දෙයක්ම අපහසු නැත. ටේලර් ශ්‍රේණිය පමණක් අධ්යයනය කිරීමෙන් කෙනෙකුට ලෝරන්ට් ශ්‍රේණිය පහසුවෙන් තේරුම් ගත හැකිය - සංඛ්‍යා අවකාශය පුළුල් කිරීම සඳහා සාමාන්‍යකරණය කළ අවස්ථාවකි. ශ්‍රේණියක් දක්වා ශ්රිතයක් ඕනෑම ප්‍රසාරණයක් සිදු කළ හැක්කේ ශ්‍රිතයේ වසමේ ලක්ෂ්‍යයක දී පමණි. එවැනි ශ්රිතවල ගුණාංග සැලකිල්ලට ගත යුතුය, උදාහරණයක් ලෙස, ආවර්තිතා හෝ අසීමිත අවකලනය. ටේලර් මාලාවේ සූදානම් පුළුල් කිරීමේ වගුව භාවිතා කිරීමට අපි ඔබට යෝජනා කරමු මූලික කාර්යයන්, එක් ශ්රිතයක් විවිධ බල ශ්‍රේණි දුසිම් ගණනකින් නිරූපණය කළ හැකි බැවින්, එය අපගේ මාර්ගගත ගණක යන්ත්‍රයේ යෙදුමෙන් දැකිය හැකිය. මාර්ගගත පේළියඔබ අද්විතීය අඩවි සේවාව භාවිතා කරන්නේද යන්න තීරණය කිරීම වෙන කවරදාටත් වඩා Maclaurin පහසු වේ, ඔබට නිවැරදි ලිඛිත කාර්යය ඇතුළත් කිරීමට අවශ්ය වන අතර ඉදිරිපත් කරන ලද පිළිතුර තත්පර කිහිපයකින් ඔබට ලැබෙනු ඇත, එය නිවැරදි හා සම්මත ලිඛිත ස්වරූපයෙන් සහතික වනු ඇත. . ගුරුවරයා වෙත ලබා දීම සඳහා පිරිසිදු පිටපතක් තුළ ඔබට වහාම ප්රතිඵලය නැවත ලිවිය හැකිය. මුදු වල සලකා බලනු ලබන ශ්‍රිතයේ විශ්ලේෂණ බව පළමුව නිශ්චය කිරීම නිවැරදි වනු ඇත, පසුව එවැනි සියලු වළලු තුළ එය ලෝරන්ට් ශ්‍රේණියක් තුළ පුළුල් කළ හැකි බව නිසැකව ප්‍රකාශ කරන්න. වැදගත් මොහොතක් වන්නේ සෘණ උපාධි අඩංගු ලෝරන්ට් මාලාවේ සාමාජිකයින්ගේ පෙනීම නැති කර නොගැනීමයි. හැකිතාක් මේ ගැන අවධානය යොමු කරන්න. ශ්රිතයක් පූර්ණ සංඛ්‍යා බල ශ්‍රේණියක් දක්වා ප්‍රසාරණය කිරීම පිළිබඳ ලෝරන්ට් ප්රමේයය හොඳින් භාවිතා කරන්න.
ක්රියාකාරී ශ්‍රේණි අතර, වඩාත්ම වැදගත් ස්ථානය බල ශ්‍රේණි විසින් අල්ලා ගනු ලැබේ.
බල ශ්‍රේණියක් ශ්‍රේණියක් ලෙස හැඳින්වේ
එහි සාමාජිකයින් යනු සෘණ නොවන පූර්ණ සංඛ්‍යා බලය වැඩි කිරීම සඳහා සකස් කර ඇති බල ශ්‍රිත වේ x, ඒ c0 , c 1 , c 2 , c n නියත අගයන් වේ. අංක c1 , c 2 , c n - ශ්රේණියේ සාමාජිකයින්ගේ සංගුණක, c0 - නිදහස් සාමාජික. බල ශ්රේණියේ නියමයන් සම්පූර්ණ සංඛ්‍යා රේඛාව මත අර්ථ දක්වා ඇත.
අපි සංකල්පය සමඟ දැන හඳුනා ගනිමු බල ශ්රේණියේ අභිසාරී කලාපය. මෙය විචල්‍ය අගයන් සමූහයකි xඒ සඳහා මාලාව අභිසාරී වේ. බල ශ්‍රේණිවලට තරමක් සරල අභිසාරී කලාපයක් ඇත. විචල්‍යයක සැබෑ අගයන් සඳහා xඅභිසාරී ප්රදේශය තනි ලක්ෂ්‍යයකින් සමන්විත වේ, නැතහොත් යම් පරතරයක් (අභිසාරී විරාමයක්) හෝ සම්පූර්ණ අක්ෂය සමග සමපාත වේ ගොනා .
බල ශ්‍රේණියක ආදේශ කරන විට, අගයන් x= 0 ඔබට සංඛ්‍යා මාලාවක් ලැබේ
c0 +0+0+...+0+... ,
අභිසාරී වන.
එබැවින්, කවදාද x= 0 ඕනෑම බල ශ්‍රේණියක් අභිසාරී වන අතර, එබැවින්, එහි අභිසාරී ප්රදේශය හිස් කට්ටලයක් විය නොහැක. සියලුම බල ශ්‍රේණිවල අභිසාරී කලාපයේ ව්‍යුහය සමාන වේ. එය පහත ප්රමේයය භාවිතයෙන් ස්ථාපිත කළ හැක.
ප්රමේයය 1 (ආබෙල්ගේ ප්රමේයය). බල ශ්‍රේණිය යම් අගයකින් අභිසාරී වේ නම් x = x 0 , ශුන්‍යයට වඩා වෙනස් වන, පසුව එය අභිසාරී වන අතර, එපමනක් නොව, නියත වශයෙන්ම, සියලු අගයන් සඳහා |x| < |x 0 | . කරුණාකර සටහන් කරන්න: ආරම්භක අගය "x ශුන්‍ය" සහ "x" හි ඕනෑම අගයක් ආරම්භක අගය සමඟ සසඳන විට මොඩියුලය - ලකුණ සැලකිල්ලට නොගෙන ගනු ලැබේ.
ප්රතිවිපාකය. අ බල මාලාව අපසරනය වේ යම් අගයකින් x = x 1 , එවිට එය සියලු අගයන් සඳහා අපසරනය වේ |x| > |x 1 | .
අප කලින් සොයා ගත් පරිදි, ඕනෑම බල ශ්‍රේණියක් අගය සඳහා අභිසාරී වේ x= 0. සඳහා පමණක් අභිසාරී වන බල ශ්‍රේණි ඇත x= 0 සහ වෙනත් අගයන් සඳහා අපසරනය x. මෙම නඩුව සලකා බැලීමෙන් බැහැරව, බල ශ්‍රේණිය යම් අගයකින් අභිසාරී වන බව අපි උපකල්පනය කරමු x = x 0 , බිංදුවට වඩා වෙනස්. ඉන්පසුව, ආබෙල්ගේ ප්රමේයය අනුව, එය ]-| අන්තරයේ සියලුම ස්ථානවල අභිසාරී වේ x0 |, |x 0 |[ (විරාමය, x හි අගයන් වන වම් සහ දකුණු මායිම්, බල ශ්‍රේණිය අභිසාරී වන අතර, පිළිවෙලින් සෘණ ලකුණක් සහ ප්ලස් ලකුණක් සමඟ ගනු ලැබේ), සම්භවය පිළිබඳ සමමිතික වේ.
බල ශ්‍රේණිය යම් අගයකින් අපසරනය වේ නම් x = x 1 , පසුව, ආබෙල්ගේ ප්‍රමේයයේ සහසම්බන්ධය මත පදනම්ව, එය කොටසින් පිටත සෑම ස්ථානයකදීම අපසරනය වේ [-| x1 |, |x 1 |] . ඕනෑම බල ශ්‍රේණියක් සඳහා ප්‍රභවය සම්බන්ධයෙන් සමමිතික විරාමයක් ඇති බව එයින් කියවේ අභිසාරී පරතරය , ශ්‍රේණිය අභිසාරී වන එක් එක් ලක්ෂ්යයේ දී, මායිම්වල අභිසාරී විය හැකිය, නැතහොත් අපසරනය විය හැකි අතර, අවශ්‍යයෙන්ම එකවර නොව, ඛණ්ඩයෙන් පිටත, ශ්‍රේණිය අපසරනය වේ. අංකය ආර්බල ශ්රේණියේ අභිසාරී අරය ලෙස හැඳින්වේ.
විශේෂ අවස්ථා වලදී බල ශ්‍රේණි අභිසාරී පරතරය ලක්ෂ්‍යයකට පරිහානියට පත්විය හැක (එවිට ශ්‍රේණිය අභිසාරී වන්නේ x= 0 සහ එය උපකල්පනය කෙරේ ආර්= 0) හෝ සම්පූර්ණ සංඛ්‍යා රේඛාව නියෝජනය කරයි (එවිට ශ්‍රේණිය සංඛ්‍යා රේඛාවේ සියලුම ලක්ෂ්‍යවල අභිසාරී වන අතර එය උපකල්පනය කෙරේ ).
මේ අනුව, බල ශ්‍රේණියක අභිසාරී කලාපයේ නිර්වචනය එහි නිර්ණය කිරීමයි අභිසාරී අරය ආර්සහ අභිසාරී අන්තරයේ මායිම් මත ශ්රේණියේ අභිසාරීත්වය අධ්යයනය කිරීම ( සඳහා ).
ප්රමේයය 2.සමහරක් වලින් ආරම්භ වන බල ශ්‍රේණියක සියලුම සංගුණක ශුන්‍ය නොවේ නම්, එහි අභිසාරී අරය අනුපාතයේ සීමාවට සමාන වේ. නිරපේක්ෂ අගයන්මාලාවේ පොදු පහත සඳහන් සාමාජිකයින්ගේ සංගුණක, i.e.
උදාහරණ 1. බල ශ්‍රේණියක අභිසාරී කලාපය සොයන්න
විසඳුමක්. මෙතන
සූත්රය (28) භාවිතා කරමින්, අපි මෙම ශ්රේණියේ අභිසාරී අරය සොයා ගනිමු:
අපි අභිසාරී අන්තරයේ අවසානයේ දී ශ්රේණියේ අභිසාරීත්වය අධ්යයනය කරමු. උදාහරණ 13 එය පෙන්නුම් කරයි මෙම මාලාවදී අභිසාරී වේ x= 1 සහ අපසරනය x= -1. එබැවින් අභිසාරී කලාපය අර්ධ අන්තරය වේ.
උදාහරණ 2. බල ශ්‍රේණියක අභිසාරී කලාපය සොයන්න
විසඳුමක්. මාලාවේ සංගුණක ධනාත්මක වේ, සහ
අපි මෙම අනුපාතයේ සීමාව සොයා ගනිමු, i.e. බල ශ්‍රේණි අභිසාරී අරය:
අපි පරතරය අවසානයේ දී මාලාවේ අභිසාරීත්වය විමර්ශනය කරමු. අගය ආදේශ කිරීම x= -1/5 සහ xමෙම ශ්රේණියේ = 1/5 ලබා දෙන්නේ:
මෙම මාලාවේ පළමු එක අභිසාරී වේ (උදාහරණ 5 බලන්න). නමුත් පසුව, "නිරපේක්ෂ අභිසාරී" ඡේදයේ ප්රමේයය අනුව, දෙවන මාලාව ද අභිසාරී වන අතර, එහි අභිසාරී කලාපය කොටස වේ.
උදාහරණ 3. බල ශ්‍රේණියක අභිසාරී කලාපය සොයන්න
විසඳුමක්. මෙතන
සූත්රය (28) භාවිතා කරමින්, අපි ශ්රේණියේ අභිසාරී අරය සොයා ගනිමු:
අගයන් සඳහා ශ්රේණියේ අභිසාරීතාවය අධ්යයනය කරමු. මෙම මාලාවේ ඒවා ආදේශ කිරීම, පිළිවෙලින්, අපි ලබා ගනිමු
පේළි දෙකම අපසරනය වන නිසා අවශ්ය කොන්දේසියඅභිසාරීතාව (ඔවුන්ගේ පොදු පද බිංදුවට නැඹුරු නොවේ ). එබැවින්, අභිසාරී අන්තරයේ අන්ත දෙකෙහිම, මෙම ශ්‍රේණිය අපසරනය වන අතර, එහි අභිසාරී කලාපය වන්නේ විරාමයයි.
උදාහරණ 5. බල ශ්‍රේණියක අභිසාරී කලාපය සොයන්න
විසඳුමක්. අපි සම්බන්ධය සොයා ගනිමු , කොහෙද , සහ 
:
සූත්‍රයට අනුව (28), මෙම ශ්රේණියේ අභිසාරී අරය
,
එනම් මාලාව අභිසාරී වන විට පමණි x= 0 සහ අනෙකුත් අගයන් සඳහා අපසරනය වේ x.
නිදසුන් පෙන්නුම් කරන්නේ අභිසාරී අන්තරයේ අන්තයේ දී ශ්‍රේණි වෙනස් ලෙස හැසිරෙන බවයි. උදාහරණ 1 හි ශ්‍රේණිය අභිසාරී අන්තරයේ එක් කෙළවරක අභිසාරී වන අතර අනෙක් කෙළවරේ අපසරනය වේ, උදාහරණයක් ලෙස 2 එය අන්ත දෙකේදීම අභිසාරී වේ, උදාහරණයක් ලෙස 3 එය අන්ත දෙකේදීම අපසරනය වේ.
බල ශ්‍රේණියක අභිසාරී අරය සඳහා වන සූත්රය ලබා ගන්නේ ශ්රේණියේ නියමවල සියලුම සංගුණක, සමහරක් වලින් ආරම්භ වන අතර ඒවා ශුන්‍ය නොවන බව උපකල්පනය කිරීම යටතේ ය. එබැවින්, සූත්රය (28) යෙදීම අවසර දෙනු ලබන්නේ මෙම අවස්ථා වලදී පමණි. මෙම කොන්දේසිය උල්ලංඝනය වී ඇත්නම්, බල ශ්රේණියේ අභිසාරී අරය භාවිතා කර සෙවිය යුතුය d'Alembert ගේ ලකුණ, හෝ, විචල්‍යයේ වෙනසක් සිදු කිරීමෙන්, ශ්‍රේණිය නිශ්චිත කොන්දේසිය තෘප්තිමත් වන ආකාරයකට පරිවර්තනය කිරීමෙන්.
උදාහරණ 6. බල ශ්‍රේණියක අභිසාරී විරාමය සොයන්න
විසඳුමක්. මෙම ශ්රේණියේ ඔත්තේ අංශක සහිත නියමයන් අඩංගු නොවේ x. එබැවින්, අපි සැකසීමෙන් මාලාව පරිවර්තනය කරමු. එවිට අපි මාලාව ලබා ගනිමු
එහි අභිසාරී අරය සොයා ගැනීමට සූත්රය (28) භාවිතා කළ හැක. සිට , සහ , පසුව මෙම ශ්රේණියේ අභිසාරී අරය
අප ලබා ගන්නා සමානාත්මතාවයෙන්, එබැවින්, මෙම ශ්‍රේණිය විරාමය මත අභිසාරී වේ.
බල ශ්‍රේණි එකතුව. බල ශ්‍රේණිවල වෙනස හා ඒකාබද්ධ කිරීම
බල මාලාවක් සඳහා ඉඩ දෙන්න
අභිසාරී අරය ආර්> 0, i.e. මෙම මාලාව අන්තරය මත අභිසාරී වේ.
එවිට එක් එක් අගය xඅභිසාරී පරතරයේ සිට ශ්රේණියේ යම් එකතුවකට අනුරූප වේ. එබැවින් බල ශ්රේණියේ එකතුව ශ්‍රිතයකි xඅභිසාරී පරතරය මත. හරහා එය දැක්වීම f(x), අපට සමානාත්මතාවය ලිවිය හැකිය
එක් එක් ලක්ෂ්යයේ ශ්රේණියේ එකතුව යන අර්ථයෙන් එය තේරුම් ගැනීම xඅභිසාරී විරාමයේ සිට ශ්‍රිතයේ අගයට සමාන වේ f(x) මෙම මොහොතේ දී. එම අර්ථයෙන් ම, බල ශ්‍රේණිය (29) ශ්‍රිතයට අභිසාරී වන බව අපි කියමු f(x) අභිසාරී පරතරය මත.
අභිසාරී විරාමයෙන් පිටත, සමානාත්මතාවය (30) යන්නෙහි තේරුමක් නැත.
උදාහරණ 7බල ශ්රේණියේ එකතුව සොයන්න
විසඳුමක්. මෙය ජ්යාමිතික මාලාවකි ඒ= 1, සහ q= x. එබැවින් එහි එකතුව ශ්‍රිතයකි 
. ශ්‍රේණිය අභිසාරී වන්නේ නම්, සහ එහි අභිසාරී විරාමයයි. එබැවින් සමානාත්මතාවය
ශ්රිතය වුවද වලංගු වන්නේ අගයන් සඳහා පමණි 
සියලු අගයන් සඳහා අර්ථ දක්වා ඇත x, අමතරව x= 1.
බල ශ්රේණියේ එකතුව බව පෙන්විය හැක f(x) අභිසාරී කාල අන්තරය තුළ, විශේෂයෙන්, ශ්රේණියේ අභිසාරී කාල අන්තරයේ ඕනෑම අවස්ථාවක අඛණ්ඩව සහ වෙනස් කළ හැකිය.
බල ශ්‍රේණිවල පදයෙන් කාලීන අවකලනය සහ අනුකලනය පිළිබඳ ප්‍රමේයයන් ඉදිරිපත් කරමු.
ප්රමේයය 1.එහි අභිසාරී කාල අන්තරයේ ඇති බල ශ්‍රේණිය (30) පදය අනුව අසීමිත වාර ගණනක් වෙනස් කළ හැකි අතර, ප්රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන බල ශ්‍රේණියට මුල් ශ්‍රේණියට සමාන අභිසාරී අරය ඇති අතර ඒවායේ එකතුව පිළිවෙලින් ට සමාන වේ.
ප්රමේයය 2.බල ශ්‍රේණිය (30) 0 සිට පරාසය තුළ අසීමිත වාර ගණනක් වාරය අනුව ඒකාබද්ධ කළ හැක. x, if , සහ ලැබෙන බල ශ්‍රේණියට මුල් ශ්‍රේණියට සමාන අභිසාරී අරය ඇති අතර, ඒවායේ එකතුව පිළිවෙලින් සමාන වේ
ශ්‍රිත බල ශ්‍රේණි බවට ප්‍රසාරණය කිරීම
කාර්යයට ඉඩ දෙන්න f(x), එය බල ශ්‍රේණියක් දක්වා පුළුල් කිරීමට නියමිතය, i.e. පෝරමය (30) නියෝජනය කරන්න:
ගැටළුව වන්නේ සංගුණක තීරණය කිරීමයි 
පේළිය (30). මෙය සිදු කිරීම සඳහා, සමානාත්මතාවය (30) පදය අනුව වෙනස් කිරීම, අපි අනුපිළිවෙලින් සොයා ගනිමු:
……………………………………………….. (31)
සමානාත්මතාවයෙන් උපකල්පනය කිරීම (30) සහ (31) x= 0, අපි සොයා ගනිමු
සොයාගත් ප්‍රකාශන සමානාත්මතාවයට ආදේශ කිරීම (30), අපි ලබා ගනිමු
(32)
සමහර මූලික ශ්රිතවල Maclaurin ශ්‍රේණි ප්‍රසාරණය සොයා ගනිමු.
උදාහරණ 8 Maclaurin මාලාවක් තුළ ශ්රිතය පුළුල් කරන්න
විසඳුමක්. මෙම ශ්‍රිතයේ ව්යුත්පන්නයන් ශ්‍රිතයටම සමාන වේ:
එබැවින්, කවදාද x= 0 අප සතුව ඇත
මෙම අගයන් සූත්‍රයට (32) ආදේශ කිරීමෙන්, අපි අපේක්ෂිත ප්‍රසාරණය ලබා ගනිමු:
(33)
මෙම ශ්‍රේණිය සම්පූර්ණ සංඛ්‍යා රේඛාව මත අභිසාරී වේ (එහි අභිසාරී අරය වේ).
ඇලවිය යුතු ආකාරය ගණිතමය සූත්රවෙබ් අඩවියට?
ඔබට කවදා හෝ වෙබ් පිටුවකට ගණිතමය සූත්‍ර එකක් හෝ දෙකක් එක් කිරීමට අවශ්ය නම්, ලිපියේ විස්තර කර ඇති පරිදි මෙය කිරීමට පහසුම ක්රමය වේ: වුල්ෆ්‍රම් ඇල්ෆා ස්වයංක්‍රීයව ජනනය කරන පින්තූර ආකාරයෙන් ගණිතමය සූත්‍ර පහසුවෙන් වෙබ් අඩවියට ඇතුළු කරනු ලැබේ. සරලත්වයට අමතරව, මෙම විශ්වීය ක්රමය වෙබ් අඩවියේ දෘශ්‍යතාව වැඩි දියුණු කිරීමට උපකාරී වේ සෙවුම් යන්ත්ර. එය දිගු කලක් තිස්සේ වැඩ කර ඇත (සහ එය සදහටම වැඩ කරනු ඇතැයි මම සිතමි), නමුත් එය සදාචාරාත්මකව යල්පැන ඇත.
ඔබ ඔබේ වෙබ් අඩවියේ නිරන්තරයෙන් ගණිත සූත්‍ර භාවිතා කරන්නේ නම්, MathML, LaTeX, හෝ ASCIIMathML මාර්ක්අප් භාවිතා කරමින් වෙබ් බ්‍රවුසරවල ගණිත අංක පෙන්වන විශේෂ JavaScript පුස්තකාලයක් වන MathJax භාවිතා කරන ලෙස මම ඔබට නිර්දේශ කරමි.
MathJax භාවිතා කිරීම ආරම්භ කිරීමට ක්‍රම දෙකක් තිබේ: (1) සරල කේතයක් භාවිතයෙන්, ඔබට ඉක්මනින් MathJax ස්ක්‍රිප්ට් එකක් ඔබේ වෙබ් අඩවියට සම්බන්ධ කළ හැක, එය නිවැරදි වේලාවට දුරස්ථ සේවාදායකයකින් ස්වයංක්‍රීයව පූරණය වේ (සේවාදායක ලැයිස්තුව); (2) MathJax ස්ක්‍රිප්ට් එක දුරස්ථ සේවාදායකයකින් ඔබගේ සේවාදායකයට උඩුගත කර එය ඔබගේ අඩවියේ සියලුම පිටු වෙත සම්බන්ධ කරන්න. දෙවන ක්රමය වඩාත් සංකීර්ණ සහ කාලය ගතවන අතර ඔබේ වෙබ් අඩවියේ පිටු පූරණය කිරීම වේගවත් කිරීමට ඔබට ඉඩ සලසයි, යම් හේතුවක් නිසා මව් MathJax සේවාදායකය තාවකාලිකව ලබා ගත නොහැකි වුවහොත්, මෙය ඔබගේම වෙබ් අඩවියට කිසිදු ආකාරයකින් බලපාන්නේ නැත. මෙම වාසි තිබියදීත්, මම පළමු ක්රමය තෝරා ගත්තේ එය සරල, වේගවත් හා තාක්ෂණික කුසලතා අවශ්ය නොවන බැවිනි. මගේ ආදර්ශය අනුගමනය කරන්න, මිනිත්තු 5 ක් ඇතුළත ඔබට ඔබේ වෙබ් අඩවියේ MathJax හි සියලුම විශේෂාංග භාවිතා කිරීමට හැකි වනු ඇත.
ප්‍රධාන MathJax වෙබ් අඩවියෙන් හෝ ලේඛන පිටුවෙන් ලබාගත් කේත විකල්ප දෙකක් භාවිතයෙන් ඔබට දුරස්ථ සේවාදායකයකින් MathJax පුස්තකාල ස්ක්‍රිප්ට් සම්බන්ධ කළ හැක:
මෙම කේත විකල්පයන්ගෙන් එකක් ඔබේ වෙබ් පිටුවේ කේතයට පිටපත් කර ඇලවිය යුතුය, වඩාත් සුදුසු ටැග් අතර
හානැතහොත් ටැගයට පසුව . පළමු විකල්පයට අනුව, MathJax වේගයෙන් පූරණය වන අතර පිටුව අඩුවෙන් මන්දගාමී වේ. නමුත් දෙවන විකල්පය ස්වයංක්‍රීයව MathJax හි නවතම අනුවාද ලුහුබැඳ පූරණය කරයි. ඔබ පළමු කේතය ඇතුල් කරන්නේ නම්, එය වරින් වර යාවත්කාලීන කිරීමට අවශ්ය වනු ඇත. ඔබ දෙවන කේතය අලවන්නේ නම්, පිටු වඩාත් සෙමින් පූරණය වනු ඇත, නමුත් ඔබට MathJax යාවත්කාලීන කිරීම් නිරන්තරයෙන් නිරීක්ෂණය කිරීමට අවශ්ය නොවනු ඇත.MathJax සම්බන්ධ කිරීමට ඇති පහසුම ක්රමය වන්නේ Blogger හෝ WordPress: අඩවි පාලන පැනලය තුළ, තුන්වන පාර්ශ්ව ජාවාස්ක්‍රිප්ට් කේතය ඇතුළු කිරීමට නිර්මාණය කර ඇති විජට් එකක් එක් කරන්න, ඉහත ලෝඩ් කේතයේ පළමු හෝ දෙවන අනුවාදය එයට පිටපත් කර, විජට් එක ආසන්නයේ තබන්න. අච්චුවේ ආරම්භය (මාර්ගය වන විට, මෙය කිසිසේත්ම අවශ්ය නොවේ , MathJax ස්ක්‍රිප්ට් එක අසමමුහුර්තව පටවා ඇති බැවින්). එච්චරයි. දැන් MathML, LaTeX, සහ ASCIIMathML මාර්ක්අප් සින්ටැක්ස් ඉගෙන ගන්න, ඔබ ඔබේ වෙබ් පිටුවලට ගණිත සූත්‍ර කාවැද්දීමට සූදානම්.
ඕනෑම ෆ්රැක්ටල් ගොඩනගා ඇත නිශ්චිත රීතිය, අනුක්‍රමිකව අසීමිත වාර ගණනක් යොදනු ලැබේ. එවැනි සෑම වේලාවක්ම පුනරාවර්තනයක් ලෙස හැඳින්වේ.
මෙන්ගර් ස්පොන්ජියක් තැනීම සඳහා පුනරාවර්තන ඇල්ගොරිතම තරමක් සරල ය: 1 පැත්ත සහිත මුල් ඝනකයක් එහි මුහුණුවලට සමාන්තරව ගුවන් යානා මගින් සමාන ඝනක 27 කට බෙදා ඇත. එක් මධ්යම ඝනකයක් සහ මුහුණු දිගේ එයට යාබදව ඇති ඝනක 6 ක් එයින් ඉවත් කරනු ලැබේ. එය ඉතිරි කුඩා කැට 20 කින් සමන්විත කට්ටලයක් බවට පත්වේ. මෙම එක් එක් ඝනකයක් සමඟම එසේ කිරීමෙන්, අපට කුඩා කැට 400 කින් සමන්විත කට්ටලයක් ලැබේ. මෙම ක්රියාවලිය දින නියමයක් නොමැතිව දිගටම කරගෙන යාම, අපි මෙන්ගර් ස්පොන්ජිය ලබා ගනිමු.
කාර්යය නම් f(x)ලක්ෂ්‍යයක් අඩංගු යම් කාල පරතරයක් ඇත ඒ, සියලුම ඇණවුම් වල ව්‍යුත්පන්න, එවිට ටේලර් සූත්රය එයට යෙදිය හැක:
කොහෙද rn- ඊනියා අවශේෂ පදය හෝ ශ්රේණියේ ඉතිරිය, එය Lagrange සූත්රය භාවිතයෙන් ඇස්තමේන්තු කළ හැක:
, x අංකය අතර කොටු කර ඇත xහා ඒ.
යම් වටිනාකමක් සඳහා නම් x ආර් එන්®0 ට n®¥, එවිට සීමාව තුළ මෙම අගය සඳහා ටේලර් සූත්රය අභිසාරී සූත්‍රයක් බවට පත් වේ ටේලර් මාලාව:
එබැවින් කාර්යය f(x)සලකා බලන ස්ථානයේ දී ටේලර් මාලාවක් දක්වා පුළුල් කළ හැක x, නම්:
1) එයට සියලුම ඇණවුම් වල ව්‍යුත්පන්න ඇත;
2) ඉදිකරන ලද ශ්‍රේණිය මෙම ස්ථානයේ අභිසාරී වේ.
හිදී ඒ=0 අපට ශ්‍රේණියක් ලැබේ Maclaurin අසල:
උදාහරණ 1 f(x)= 2x.
විසඳුමක්. අපි ශ්‍රිතයේ අගයන් සහ එහි ව්යුත්පන්නයන් සොයා ගනිමු x=0
f(x) = 2x, f( 0) = 2 0 =1;
f¢(x) = 2x ln2, f¢( 0) = 2 0 ln2=ln2;
f¢¢(x) = 2x ln 2 2, f¢¢( 0) = 2 0 ලඝු-සටහන 2 2= ලඝු-සටහන 2 2;
f(n)(x) = 2x ln n 2, f(n)( 0) = 2 0 ln n 2=ln n 2.
ටේලර් ශ්‍රේණි සූත්‍රයට ව්‍යුත්පන්නවල ලබාගත් අගයන් ආදේශ කිරීමෙන් අපට ලැබෙන්නේ:
මෙම ශ්රේණියේ අභිසාරී අරය අනන්තයට සමාන වේ, එබැවින් මෙම ප්‍රසාරණය වලංගු වන්නේ -¥<x<+¥.
උදාහරණය 2 x+4) කාර්යය සඳහා f(x)=ඊ x.
විසඳුමක්. ශ්‍රිතයේ ව්‍යුත්පන්න සොයා ගැනීම e xසහ ලක්ෂ්යයේ ඔවුන්ගේ වටිනාකම් x=-4.
f(x)= ඊ x, f(-4) = ඊ -4 ;
f¢(x)= ඊ x, f¢(-4) = ඊ -4 ;
f¢¢(x)= ඊ x, f¢¢(-4) = ඊ -4 ;
f(n)(x)= ඊ x, f(n)( -4) = ඊ -4 .
එබැවින්, ශ්‍රිතයේ අපේක්ෂිත ටේලර් ශ්‍රේණියට පෝරමය ඇත:
මෙම වියෝජනය -¥ සඳහා ද වලංගු වේ<x<+¥.
උදාහරණය 3 . කාර්යය පුළුල් කරන්න f(x)=ln xඅංශක අනුව මාලාවක් ( X- 1),
(එනම් ලක්ෂ්යය ආසන්නයේ ටේලර් මාලාවක x=1).
විසඳුමක්. මෙම ශ්‍රිතයේ ව්යුත්පන්නයන් අපි සොයා ගනිමු.
මෙම අගයන් සූත්‍රයට ආදේශ කිරීමෙන්, අපි අපේක්ෂිත ටේලර් මාලාව ලබා ගනිමු:
d'Alembert ගේ පරීක්ෂණය ආධාරයෙන්, ශ්‍රේණිය අභිසාරී වන්නේ කවදාදැයි කෙනෙකුට සත්‍යාපනය කළ හැකිය
½ X- 1½<1. Действительно,
මාලාව ½ නම් අභිසාරී වේ X- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При x=2 අපි Leibniz පරීක්ෂණයේ කොන්දේසි තෘප්තිමත් කරන විකල්ප මාලාවක් ලබා ගනිමු. හිදී x=0 ශ්රිතය අර්ථ දක්වා නැත. මේ අනුව, ටේලර් මාලාවේ අභිසාරී කලාපය අර්ධ-විවෘත පරතරය (0;2] වේ.
අපි මේ ආකාරයෙන් ලබාගත් ප්‍රසාරණයන් Maclaurin ශ්රේණියේ (එනම්, ලක්ෂ්යයේ අසල්වැසි ප්‍රදේශයක) ඉදිරිපත් කරමු. x=0) සමහර මූලික කාර්යයන් සඳහා:
(2) 
,
(3) 
,
(අවසාන ප්‍රසාරණය ලෙස හැඳින්වේ ද්විපද මාලාව)
උදාහරණය 4 . ශ්රිතය බල ශ්‍රේණියකට පුළුල් කරන්න
විසඳුමක්. වියෝජනය (1), අපි ප්රතිස්ථාපනය කරමු xමත - x 2, අපට ලැබෙන්නේ:
උදාහරණ 5
. Maclaurin මාලාවක් තුළ ශ්රිතය පුළුල් කරන්න 
විසඳුමක්. අපිට තියනවා 
සූත්රය (4) භාවිතයෙන් අපට ලිවිය හැක:
වෙනුවට ආදේශ කිරීම xසූත්රය තුලට -X, අපට ලැබෙන්නේ:
මෙතැන් සිට අපි සොයා ගන්නේ:
වරහන් පුළුල් කිරීම, ශ්රේණියේ නියමයන් නැවත සකස් කිරීම සහ සමාන නියමයන් අඩු කිරීම, අපට ලැබේ
මෙම ශ්‍රේණිය විරාමයේදී අභිසාරී වේ
(-1;1) එය ව්‍යුත්පන්න වී ඇත්තේ ශ්‍රේණි දෙකකින් වන අතර, ඒ සෑම එකක්ම මෙම පරතරය තුළ අභිසාරී වේ.
අදහස් දක්වන්න .
සූත්‍ර (1)-(5) ටේලර් ශ්‍රේණියක අනුරූප ශ්‍රිත පුළුල් කිරීමට ද භාවිතා කළ හැක, i.e. ධන නිඛිල බලවල ශ්‍රිත පුළුල් කිරීම සඳහා ( හා) මෙය සිදු කිරීම සඳහා, (1) - (5) ශ්‍රිත වලින් එකක් ලබා ගැනීම සඳහා දී ඇති ශ්රිතයක් මත එවැනි සමාන පරිවර්තනයන් සිදු කිරීම අවශ්ය වේ. xපිරිවැය k( හා) m , මෙහි k යනු නියත අංකයක් වන අතර m යනු ධන නිඛිලයකි. විචල්යය වෙනස් කිරීම බොහෝ විට පහසු වේ ටී=හාසහ Maclaurin ශ්රේණියේ t සම්බන්ධයෙන් ලැබෙන ශ්රිතය පුළුල් කරන්න.
මෙම ක්රමය බල ශ්‍රේණියක ශ්‍රිතයක ප්‍රසාරණයේ සුවිශේෂත්වය පිළිබඳ ප්රමේයය නිදර්ශනය කරයි. මෙම ප්‍රමේයේ සාරය නම්, එම ලක්ෂ්යය ආසන්නයේ, එහි ප්‍රසාරණය කෙසේ සිදු කළත්, එකම ශ්‍රිතයකට අභිසාරී වන විවිධ බල ශ්‍රේණි දෙකක් ලබා ගත නොහැකි බවයි.
උදාහරණය 6 . ලක්ෂ්‍යයක අසල්වැසි ප්‍රදේශයක ටේලර් මාලාවක ශ්රිතය පුළුල් කරන්න x=3.
විසඳුමක්. ටේලර් ශ්රේණියේ නිර්වචනය භාවිතා කර පෙර පරිදිම මෙම ගැටළුව විසඳා ගත හැක, ඒ සඳහා ශ්රිතවල ව්යුත්පන්නයන් සහ ඒවායේ අගයන් සොයා ගැනීම අවශ්ය වේ. x=3. කෙසේ වෙතත්, පවතින වියෝජනය (5) භාවිතා කිරීම පහසු වනු ඇත:
එහි ප්රතිඵලයක් ලෙස ශ්‍රේණිය අභිසාරී වේ 
හෝ -3<x- 3<3, 0<x< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.
උදාහරණ 7
. බලයෙන් ටේලර් මාලාවක් ලියන්න ( x-1) විශේෂාංග 
.
විසඳුමක්.
මාලාව අභිසාරී වේ 
, හෝ 2< x£5.
16.1. ටේලර් ශ්රේණියේ ප්‍රාථමික ශ්‍රිත පුළුල් කිරීම සහ
මැක්ලවුරින්
කට්ටලය මත අත්තනෝමතික ශ්රිතයක් නිර්වචනය කර ඇත්නම් අපි පෙන්වමු 
, ලක්ෂ්යය ආසන්නයේ 
බොහෝ ව්‍යුත්පන්න ඇති අතර එය බල ශ්‍රේණියක එකතුවකි:
එවිට ඔබට මෙම ශ්රේණියේ සංගුණක සොයාගත හැකිය.
බල ශ්‍රේණියක ආදේශ කරන්න 
. ඉන්පසු 
.
ශ්‍රිතයේ පළමු ව්‍යුත්පන්නය සොයන්න 
:
හිදී 
:
.
දෙවන ව්‍යුත්පන්නය සඳහා අපට ලැබෙන්නේ:
හිදී 
:
.
මෙම ක්රියා පටිපාටිය දිගටම කරගෙන යාම nඅපට ලැබුණු පසු: 
.
මේ අනුව, අපට පෝරමයේ බල ශ්‍රේණියක් ලැබුණි:
,
යනුවෙන් හඳුන්වනු ලැබේ ටේලර් අසලකාර්යය සඳහා 
ලක්ෂ්යය වටා 
.
Taylor කතා මාලාවේ විශේෂ අවස්ථාවක් මැක්ලවුරින් මාලාවහිදී 
:
Taylor (Maclaurin) ශ්රේණියේ ඉතිරි කොටස ප්‍රධාන ශ්‍රේණි ඉවත දැමීමෙන් ලබා ගනී nපළමු නියමයන් සහ ලෙස දැක්වේ 
. එවිට කාර්යය 
එකතුවක් ලෙස ලිවිය හැක nමාලාවේ පළමු සාමාජිකයන් 
සහ ඉතිරිය 
:,
.
ඉතිරිය සාමාන්යයෙන් වේ 
විවිධ සූත්රවලින් ප්රකාශිතය.
ඒවායින් එකක් Lagrange ආකාරයෙන් ඇත:
, කොහෙද 
.
.
ප්රායෝගිකව Maclaurin මාලාව බොහෝ විට භාවිතා වන බව සලකන්න. මේ අනුව, කාර්යය ලිවීම සඳහා 
බල ශ්‍රේණියක එකතුවක ස්වරූපයෙන්, එය අවශ්ය වේ:
1) Maclaurin (Taylor) ශ්රේණියේ සංගුණක සොයා ගන්න;
2) ලැබෙන බල ශ්රේණියේ අභිසාරී කලාපය සොයා ගන්න;
3) දී ඇති ශ්‍රේණිය ශ්‍රිතයට අභිසාරී වන බව ඔප්පු කරන්න 
.
ප්රමේයය1
(Maclaurin ශ්රේණියේ අභිසාරීතාවය සඳහා අවශ්ය සහ ප්රමාණවත් කොන්දේසියක්). මාලාවේ අභිසාරී අරය ඉඩ දෙන්න 
. මෙම ශ්‍රේණිය පරතරය තුළ අභිසාරී වීම සඳහා 
කාර්යය කිරීමට 
, පහත සඳහන් කොන්දේසිය සපුරාලීම අවශ්ය සහ ප්රමාණවත් වේ: 
නිශ්චිත කාල සීමාව තුළ.
ප්රමේයය 2.ශ්‍රිතයක කිසියම් අනුපිළිවෙලක ව්‍යුත්පන්න නම් 
යම් කාල පරතරයකින් 
නිරපේක්ෂ අගයෙන් එකම අංකයකට සීමා වේ එම්, එනම් 
, පසුව මෙම පරතරය තුළ ශ්රිතය 
Maclaurin මාලාවක් තුළ පුළුල් කළ හැක.
උදාහරණයක්1
.
ලක්ෂ්යය වටා ටේලර් මාලාවක් තුළ පුළුල් කරන්න 
කාර්යය.
විසඳුමක්.
.
,;
,
;
,
;
,
.......................................................................................................................................
,
;
අභිසාරී ප්රදේශය 
.
උදාහරණයක්2
.
කාර්යය පුළුල් කරන්න 
ටේලර් මාලාවක ලක්ෂ්‍යයක් වටා 
.
විසඳුමක්:
අපි ශ්‍රිතයේ අගය සහ එහි ව්යුත්පන්නයන් සොයා ගනිමු 
.
,
;
,
;
...........……………………………
,
.
මෙම අගයන් පේළියකට ආදේශ කරන්න. අපට ලැබෙන්නේ:
හෝ 
.
අපි මෙම ශ්රේණියේ අභිසාරී කලාපය සොයා ගනිමු. d'Alembert පරීක්ෂණයට අනුව, මාලාව අභිසාරී වේ නම්
.
එබැවින්, ඕනෑම දෙයක් සඳහා 
මෙම සීමාව 1 ට වඩා අඩු වන අතර එම නිසා ශ්රේණියේ අභිසාරී ප්රදේශය වනුයේ: 
.
මූලික මූලික ශ්රිතවල මැක්ලවුරින් ශ්‍රේණියට ව්‍යාප්ත වීමේ උදාහරණ කිහිපයක් අපි සලකා බලමු. Maclaurin මාලාව මතක තබා ගන්න:
.
පරතරය මත අභිසාරී වේ 
කාර්යය කිරීමට 
.
ශ්රිතය ශ්‍රේණියක් දක්වා ව්‍යාප්ත කිරීමට අවශ්ය බව සලකන්න:
a) දී ඇති ශ්රිතයක් සඳහා මැක්ලවුරින් ශ්රේණියේ සංගුණක සොයා ගන්න;
ආ) ප්රතිඵල මාලාව සඳහා අභිසාරී අරය ගණනය කිරීම;
c) ලැබෙන ශ්‍රේණිය ශ්‍රිතයට අභිසාරී වන බව ඔප්පු කරන්න 
.
උදාහරණය 3කාර්යය සලකා බලන්න 
.
විසඳුමක්.
අපි ශ්‍රිතයේ අගය සහ එහි ව්යුත්පන්නයන් ගණනය කරමු 
.
එවිට ශ්රේණියේ සංඛ්‍යාත්මක සංගුණකවල ස්වරූපය ඇත:
ඕනෑම කෙනෙකුට n.අපි Maclaurin ශ්රේණියේ සොයාගත් සංගුණක ආදේශ කර ලබා ගනිමු: 
ලැබෙන ශ්රේණියේ අභිසාරී අරය සොයන්න, එනම්:
.
එබැවින්, ශ්‍රේණිය අන්තරය මත අභිසාරී වේ 
.
මෙම ශ්‍රේණිය ශ්‍රිතයට අභිසාරී වේ 
ඕනෑම අගයක් සඳහා 
, ඕනෑම කාල පරතරයක් මත නිසා 
කාර්යය 
සහ එහි නිරපේක්ෂ අගය ව්යුත්පන්නයන් සංඛ්යාවෙන් සීමා වේ 
.
උදාහරණයක්4
.
කාර්යය සලකා බලන්න 
.
විසඳුමක්.
:
ඉරට්ටේ ව්‍යුත්පන්න බව දැකීම පහසුය 
, සහ ඔත්තේ අනුපිළිවෙලෙහි ව්‍යුත්පන්න. අපි Maclaurin ශ්රේණියේ සොයාගත් සංගුණක ආදේශ කර ප්‍රසාරණය ලබා ගනිමු:
අපි මෙම ශ්රේණියේ අභිසාරී විරාමය සොයා ගනිමු. d'Alembert ට අනුව:
ඕනෑම කෙනෙකුට 
. එබැවින්, ශ්‍රේණිය අන්තරය මත අභිසාරී වේ 
.
මෙම ශ්‍රේණිය ශ්‍රිතයට අභිසාරී වේ 
, එහි සියලුම ව්යුත්පන්නයන් එකකට සීමා වන බැවිනි.
උදාහරණයක්5
.
.
විසඳුමක්.
අපි ශ්‍රිතයේ අගය සහ එහි ව්යුත්පන්නයන් සොයා ගනිමු 
:
මේ අනුව, මෙම ශ්රේණියේ සංගුණක: 
හා 
, ප්රතිඵලයක් වශයෙන්:
පෙර ශ්‍රේණිය හා සමානව, අභිසාරී ප්රදේශය 
. ශ්‍රේණිය ශ්‍රිතයට අභිසාරී වේ 
, එහි සියලුම ව්යුත්පන්නයන් එකකට සීමා වන බැවිනි.
කාර්යය බව සලකන්න 
ඔත්තේ සහ ශ්රේණියේ ඔත්තේ බලවල ප්‍රසාරණය, ශ්රිතය 
- ඉරට්ටේ බලයෙන් ශ්‍රේණියක ඉරට්ටේ සහ ප්‍රසාරණය.
උදාහරණයක්6
.
ද්විපද මාලාව: 
.
විසඳුමක්.
අපි ශ්‍රිතයේ අගය සහ එහි ව්යුත්පන්නයන් සොයා ගනිමු 
:
මෙයින් පෙන්නුම් කරන්නේ:
අපි Maclaurin ශ්රේණියේ සංගුණකවල මෙම අගයන් ආදේශ කර බල ශ්‍රේණියක් තුළ මෙම ශ්‍රිතයේ ප්‍රසාරණය ලබා ගනිමු:
මෙම ශ්රේණියේ අභිසාරී අරය සොයා ගනිමු:
එබැවින්, ශ්‍රේණිය අන්තරය මත අභිසාරී වේ 
. දී සීමා ලකුණු දී 
හා 
ශ්‍රේණිය ඝාතය මත පදනම්ව අභිසාරී විය හැක හෝ නොවිය හැක 
.
අධ්යයනය කරන ලද ශ්‍රේණිය විරාමයේදී අභිසාරී වේ 
කාර්යය කිරීමට 
, එනම්, මාලාවේ එකතුව 
හිදී 
.
උදාහරණයක්7
.
අපි Maclaurin මාලාවක් තුළ කාර්යය පුළුල් කරමු 
.
විසඳුමක්.
මෙම ශ්රිතය මාලාවක් දක්වා ව්‍යාප්ත කිරීම සඳහා, අපි ද්විපද ශ්‍රේණිය භාවිතා කරමු 
. අපට ලැබෙන්නේ: 
බල ශ්‍රේණිවල ගුණය මත පදනම්ව (බල ශ්‍රේණියක් එහි අභිසාරී කලාපය තුළ ඒකාබද්ධ කළ හැකිය), මෙම ශ්රේණියේ වම් සහ දකුණු කොටස්වල අනුකලනය අපට හමු වේ:
මෙම ශ්රේණියේ අභිසාරී ප්රදේශය සොයන්න: 
,
එනම් මෙම ශ්රේණියේ අභිසාරී කලාපය අන්තරය වේ 
. පරතරයේ කෙළවරේ ඇති ශ්රේණියේ අභිසාරීතාවය තීරණය කරමු. හිදී 
. මෙම මාලාව හාර්මොනික් මාලාවකි, එනම් එය අපසරනය වේ. හිදී 
අපට පොදු පදයක් සහිත සංඛ්‍යා මාලාවක් ලැබේ 
.
Leibniz මාලාව අභිසාරී වේ. මේ අනුව, මෙම ශ්රේණියේ අභිසාරී කලාපය අන්තරය වේ 
.
16.2 ආසන්න ගණනය කිරීම් වල බල ශ්රේණියේ යෙදීම
ආසන්න ගණනය කිරීම් වලදී බල ශ්‍රේණි අතිශය වැදගත් කාර්යභාරයක් ඉටු කරයි. ඔවුන්ගේ උපකාරයෙන්, ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත වගු, ලඝුගණක වගු, විවිධ දැනුම ක්ෂේත්‍රවල භාවිතා වන වෙනත් ශ්රිතවල අගයන් වගු, උදාහරණයක් ලෙස, සම්භාවිතා න්‍යාය සහ ගණිතමය සංඛ්‍යාලේඛන සම්පාදනය කරන ලදී. මීට අමතරව, බල ශ්‍රේණියක ශ්රිතවල ප්‍රසාරණය ඔවුන්ගේ න්‍යායික අධ්යයනය සඳහා ප්‍රයෝජනවත් වේ. ආසන්න ගණනය කිරීම් වලදී බල ශ්‍රේණි භාවිතා කිරීමේදී ප්‍රධාන ගැටළුව වන්නේ ශ්‍රේණියක එකතුව එහි පළමු එකතුවෙන් ප්රතිස්ථාපනය කිරීමේදී දෝෂය තක්සේරු කිරීමේ ප්‍රශ්නයයි. nසාමාජිකයින්.
අවස්ථා දෙකක් සලකා බලන්න:
ශ්රිතය ප්‍රත්‍යාවර්ත ශ්‍රේණියක් දක්වා ව්‍යාප්ත වේ;
ශ්රිතය නියත-සංඥා ශ්‍රේණියක් දක්වා ව්‍යාප්ත වේ.
විකල්ප ශ්‍රේණි භාවිතා කරමින් ගණනය කිරීම
කාර්යයට ඉඩ දෙන්න 
ප්‍රත්‍යාවර්ත බල ශ්‍රේණියක් දක්වා ව්‍යාප්ත විය. ඉන්පසුව, නිශ්චිත අගයක් සඳහා මෙම ශ්රිතය ගණනය කිරීමේදී 
අපට ලයිබ්නිස් පරීක්ෂණය යෙදිය හැකි සංඛ්‍යා මාලාවක් ලැබේ. මෙම නිර්ණායකයට අනුකූලව, ශ්‍රේණියක එකතුව එහි පළමු එකතුවෙන් ප්රතිස්ථාපනය කරන්නේ නම් nසාමාජිකයින්, එවිට නිරපේක්ෂ දෝෂය මෙම ශ්රේණියේ ඉතිරි කොටසේ පළමු වාරය ඉක්මවා නොයයි, එනම්: 
.
උදාහරණයක්8
.
ගණනය කරන්න 
0.0001 නිරවද්‍යතාවයකින්.
විසඳුමක්.
අපි Maclaurin මාලාව භාවිතා කරමු 
, කෝණයේ අගය රේඩියන වලින් ආදේශ කිරීම:
අපි මාලාවේ පළමු සහ දෙවන සාමාජිකයන් දී ඇති නිරවද්‍යතාවයකින් සංසන්දනය කරන්නේ නම්, එවිට: .
තුන්වන පුළුල් කිරීමේ වාරය:
නිශ්චිත ගණනය කිරීමේ නිරවද්යතාවට වඩා අඩුය. එබැවින්, ගණනය කිරීමට 
මාලාවේ පද දෙකක් තැබීම ප්රමාණවත් වේ, i.e.
.
මේ ක්රමයෙන් 
.
උදාහරණයක්9
.
ගණනය කරන්න 
0.001 ක නිරවද්‍යතාවයකින්.
විසඳුමක්.
අපි ද්විපද ශ්‍රේණි සූත්රය භාවිතා කරමු. මේ සඳහා අපි ලියන්නෙමු 
පරිදි: 
.
මෙම ප්රකාශනයේ 
,
මාලාවේ එක් එක් නියමයන් ලබා දී ඇති නිරවද්‍යතාවය සමඟ සංසන්දනය කරමු. ඒක පැහැදිලියි 
. එබැවින්, ගණනය කිරීමට 
මාලාවේ සාමාජිකයින් තිදෙනෙකු හැර යාමට එය ප්රමාණවත් වේ.
හෝ 
.
සංඥා-ධන ශ්‍රේණි භාවිතයෙන් ගණනය කිරීම
උදාහරණයක්10
.
අංකය ගණනය කරන්න 
0.001 ක නිරවද්‍යතාවයකින්.
විසඳුමක්.
කාර්යයක් සඳහා පේළියක 
ආදේශකයක් 
. අපට ලැබෙන්නේ:
ශ්රේණියේ එකතුව පළමු එකතුවෙන් ප්රතිස්ථාපනය කළ විට ඇතිවන දෝෂය අපි තක්සේරු කරමු 
සාමාජිකයින්. පැහැදිලි අසමානතාවය ලියා තබමු:
එනම් 2<
<3.
Используем формулу остаточного члена
ряда в форме Лагранжа:
,
.
ගැටලුවේ තත්වය අනුව, ඔබ සොයා ගත යුතුය nපහත අසමානතාවය පවතින පරිදි: 
හෝ 
.
එය කවදාදැයි පරීක්ෂා කිරීම පහසුය n= 6:
.
ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, 
.
උදාහරණයක්11
.
ගණනය කරන්න 
0.0001 නිරවද්‍යතාවයකින්.
විසඳුමක්.
ලඝුගණක ගණනය කිරීම සඳහා, ශ්රිතය සඳහා ශ්‍රේණිය යෙදිය හැකි බව සලකන්න 
, නමුත් මෙම ශ්‍රේණිය ඉතා සෙමින් අභිසාරී වන අතර දී ඇති නිරවද්‍යතාවය සාක්ෂාත් කර ගැනීම සඳහා නියමයන් 9999 ක් ගත යුතුය! එබැවින්, ලඝුගණක ගණනය කිරීම සඳහා, රීතියක් ලෙස, ශ්රිතය සඳහා මාලාවක් භාවිතා වේ 
, විරාමය මත අභිසාරී වේ 
.
ගණනය කරන්න 
මෙම පේළිය සමඟ. ඉඩ 
, එවිට 
.
ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, 
,
ගණනය කිරීම සඳහා 
දී ඇති නිරවද්‍යතාවයකින්, පළමු පද හතරේ එකතුව ගන්න: 
.
ඉතිරි පේළිය 
ඉවතලන්න. දෝෂය තක්සේරු කරමු. ඒක පැහැදිලියි 
හෝ 
.
මේ අනුව, ගණනය කිරීම සඳහා භාවිතා කරන ලද ශ්රේණියේ, ශ්රිතය සඳහා ශ්රේණියේ 9999 වෙනුවට පළමු පද හතර පමණක් ගැනීම ප්රමාණවත් විය. 
.
ස්වයං-රෝග විනිශ්චය සඳහා ප්රශ්න
1. ටේලර් මාලාවක් යනු කුමක්ද?
2. Maclaurin සතුව තිබුණේ කුමන ආකාරයේ මාලාවක්ද?
3. ටේලර් ශ්‍රේණියක ශ්‍රිතයක ප්‍රසාරණය පිළිබඳ ප්‍රමේයයක් සකස් කරන්න.
4. ප්‍රධාන ශ්රිතවල Maclaurin ශ්රේණියේ ප්‍රසාරණය ලියන්න.
5. සලකා බලන ලද ශ්රේණියේ අභිසාරී ප්‍රදේශ දක්වන්න.
6. බල ශ්‍රේණි භාවිතයෙන් ආසන්න ගණනය කිරීම් වල දෝෂය තක්සේරු කරන්නේ කෙසේද?
