විරාම විචල්ය මාලාවක් රචනා කර හිස්ටෝග්රෑම් එකක් සාදන්න. අඛණ්ඩ ප්රමාණාත්මක දත්ත සඳහා විරාම විචල්ය මාලාවක් තැනීම
රසායනාගාර කටයුතු අංක 1. ප්රාථමික සැකසුම් සංඛ්යාන දත්ත
බෙදාහැරීමේ මාලාවක් ඉදිකිරීම
ඕනෑම එක් ගුණාංගයකට අනුව ජනගහන ඒකක කණ්ඩායම් වශයෙන් බෙදා හැරීම ලෙස හැඳින්වේ ආසන්න බෙදා හැරීම . මෙම අවස්ථාවෙහිදී, ලකුණ ප්රමාණාත්මක දෙකම විය හැකිය, එවිට මාලාව හැඳින්වේ විචල්ය , සහ ගුණාත්මක, එවිට මාලාව හැඳින්වේ ආරෝපණය . එබැවින්, උදාහරණයක් ලෙස, නගරයක ජනගහනය විචල්ය ශ්‍රේණියක වයස් කාණ්ඩ අනුව හෝ ගුණාංග මාලාවක වෘත්තීය අනුබද්ධතාවය අනුව බෙදා හැරිය හැකිය (ඇත්ත වශයෙන්ම, බෙදා හැරීම් මාලාවක් ඉදිකිරීම සඳහා තවත් බොහෝ ගුණාත්මක හා ප්රමාණාත්මක ලක්ෂණ යෝජනා කළ හැකිය. විශේෂාංගය තෝරා ගැනීම සංඛ්යාන පර්යේෂණ කාර්යය මගින් තීරණය වේ).
ඕනෑම බෙදාහැරීමේ මාලාවක් මූලද්රව්ය දෙකකින් සංලක්ෂිත වේ:
- විකල්පය(x i) - මේවා නියැදි ජනගහනයේ ඒකකවල ගුණාංගයේ තනි අගයන් වේ. සදහා විචලනය මාලාවක්ප්‍රභේදය ආරෝපණය සඳහා සංඛ්යාත්මක අගයන් ගනී - ගුණාත්මක (උදාහරණයක් ලෙස, х="සිවිල් සේවක");
- සංඛ්යාතය(n මම) යනු මෙම හෝ එම විශේෂාංග අගය කොපමණ වාර ගණනක් සිදු වේද යන්න පෙන්වන අංකයකි. සංඛ්යාතය සාපේක්ෂ සංඛ්යාවක් ලෙස ප්‍රකාශ කරන්නේ නම් (එනම්, ජනගහනයේ මුළු පරිමාවේ විකල්පවල දී ඇති අගයකට අනුරූප වන ජනගහන මූලද්රව්යවල අනුපාතය), එවිට එය හැඳින්වේ. සාපේක්ෂ සංඛ්යාතයහෝ සංඛ්යාතය.
විචල්ය මාලාව විය හැක්කේ:
- විවික්තඅධ්‍යයනයට ලක්වන ලක්ෂණය නිශ්චිත සංඛ්‍යාවකින් (සාමාන්යයෙන් පූර්ණ සංඛ්‍යාවකින්) සංලක්ෂිත වන විට.
- පරතරයඅඛණ්ඩ විචල්ය ලක්ෂණයක් සඳහා "සිට" සහ "ට" මායිම් නිර්වචනය කරන විට. විවික්ත විචල්ය ලක්ෂණයක අගයන් සමූහය විශාල නම් විරාම ශ්‍රේණියක් ද ගොඩනගා ඇත.
අන්තර ශ්‍රේණියක් ප්‍රාන්තර සමඟ ගොඩනගා ගත හැක සමාන දිග(සමාන-විරාම ශ්රේණි) සහ අසමාන කාල පරතරයන් සමඟ, මෙය සංඛ්යාන අධ්‍යයනයේ කොන්දේසි මගින් නියම කරනු ලැබුවහොත්. උදාහරණයක් ලෙස, පහත සඳහන් කාල පරතරයන් සහිත ජනගහනයේ ආදායම් බෙදා හැරීමේ මාලාවක් සලකා බැලිය හැකිය:<5тыс р., 5-10 тыс р., 10-20 тыс.р., 20-50 тыс р., и т.д. Если цель исследования не определяет способ построения интервального ряда, то строится равноинтервальный ряд, число интервалов в котором определяется по формуле Стерджесса:
මෙහි k යනු විරාම ගණනයි, n යනු නියැදි ප්‍රමාණයයි. (ඇත්ත වශයෙන්ම, සූත්රය සාමාන්යයෙන් භාගික සංඛ්යාවක් ලබා දෙන අතර, ලැබෙන සංඛ්‍යාවට ආසන්නතම පූර්ණ සංඛ්යාව පරතරයන් ගණන ලෙස තෝරා ගනු ලැබේ.) මෙම අවස්ථාවෙහි පරතරයේ දිග තීරණය වන්නේ සූත්රය මගිනි.
.
රූපමය වශයෙන්, විචල්ය ශ්රේණි ලෙස නිරූපණය කළ හැක histograms(මෙම අන්තරයේ සංඛ්‍යාතයට අනුරූප උස "තීරුවක්" විරාම ශ්‍රේණියේ එක් එක් කාල පරතරයට ඉහළින් ගොඩනගා ඇත) බෙදාහැරීමේ ප්රදේශය(කැඩුණු රේඛා සම්බන්ධක ස්ථාන ( x i;n i) හෝ සමුච්චය කරයි(සමුච්චිත සංඛ්යාත අනුව ගොඩනගා ඇත, එනම් ගුණාංගයේ එක් එක් අගය සඳහා, ලබා දී ඇති අගයට වඩා අඩු අගයක් සහිත වස්තු සමූහයේ සිදුවීමේ සංඛ්යාතය ගනු ලැබේ).
එක්සෙල් හි වැඩ කරන විට, විචල්ය ශ්රේණි ගොඩනැගීමට පහත සඳහන් කාර්යයන් භාවිතා කළ හැකිය:
චෙක් පත( දත්ත අරාව) - නියැදි ප්රමාණය තීරණය කිරීමට. තර්කය යනු නියැදි දත්ත අඩංගු සෛල පරාසයයි.
COUNTIF( පරාසය; නිර්ණායකය) - ගුණාංගයක් හෝ විචල්ය මාලාවක් තැනීමට භාවිතා කළ හැක. තර්ක යනු ගුණාංග නියැදි අගයන් අරාවේ පරාසය සහ නිර්ණායකය - ගුණාංගයේ සංඛ්යාත්මක හෝ පෙළ අගය හෝ එය පිහිටා ඇති කොටුවේ අංකයයි. ප්රතිඵලය වන්නේ නියැදියේ එම අගය ඇතිවීමේ සංඛ්යාතයයි.
සංඛ්යාතය( දත්ත අරාව; interval array) - විචල්ය මාලාවක් ගොඩනැගීමට. තර්ක යනු නියැදි දත්ත අරාවේ පරාසය සහ අන්තර තීරුවයි. විවික්ත ශ්‍රේණියක් තැනීමට අවශ්ය නම්, විකල්පවල අගයන් මෙහි දක්වා ඇත, එය පරතරය නම්, ඉන්ටර්වල් වල ඉහළ මායිම් (ඒවා "සාක්කු" ලෙසද හැඳින්වේ). ප්රතිඵලය සංඛ්යාත තීරුවක් වන බැවින්, CTRL+SHIFT+ENTER යතුරු සංයෝජනය එබීමෙන් ශ්රිතය හඳුන්වාදීම සම්පූර්ණ කළ යුතුය. ශ්‍රිතයක් හඳුන්වාදීමේදී විරාම පරාසයක් සැකසීමේදී, එහි ඇති අවසාන අගය මඟ හැරිය හැකි බව සලකන්න - පෙර "සාක්කුවලට" නොවැටුණු සියලුම අගයන් අනුරූප "සාක්කුවේ" තබනු ඇත. මෙය සමහර විට විශාලතම නියැදි අගය ස්වයංක්‍රීයව අවසාන "සාක්කුවේ" තබා නොමැති දෝෂය මඟහරවා ගැනීමට උපකාරී වේ.
මීට අමතරව, සංකීර්ණ කණ්ඩායම් සඳහා (නිර්ණායක කිහිපයක් අනුව), "pivot tables" මෙවලම භාවිතා වේ. ගුණාංග සහ විචල්ය ශ්රේණි ගොඩනැගීමට ද ඒවා භාවිතා කළ හැකිය, නමුත් මෙය අනවශ්‍ය ලෙස කාර්යය සංකීර්ණ කරයි. එසේම, විචල්ය මාලාවක් සහ හිස්ටෝග්රෑම් එකක් තැනීම සඳහා, “විශ්ලේෂණ පැකේජය” ඇඩෝනයෙන් “හිස්ටෝග්රෑම්” ක්රියා පටිපාටියක් ඇත (එක්සෙල් හි ඇඩෝන භාවිතා කිරීමට, ඔබ පළමුව ඒවා බාගත කළ යුතුය, ඒවා පෙරනිමියෙන් ස්ථාපනය කර නොමැත)
අපි පහත උදාහරණ සමඟ ප්රාථමික දත්ත සැකසීමේ ක්‍රියාවලිය නිදර්ශනය කරමු.
උදාහරණය 1.1. පවුල් 60 ක ප්රමාණාත්මක සංයුතිය පිළිබඳ දත්ත තිබේ.
විචල්ය මාලාවක් සහ බෙදාහැරීමේ බහුඅස්‍රයක් සාදන්න
විසඳුමක්.
අපි Excel පැතුරුම්පත් විවෘත කරමු. A1:L5 පරාසය තුළ දත්ත මාලාවක් ඇතුළත් කරමු. ඔබ විද්‍යුත් ස්වරූපයෙන් ලේඛනයක් අධ්යයනය කරන්නේ නම් (උදාහරණයක් ලෙස, Word ආකෘතියෙන්), ඔබ කළ යුත්තේ දත්ත සහිත වගුවක් තෝරා එය ක්ලිප්බෝඩ් එකට පිටපත් කරන්න, ඉන්පසු සෛල A1 තෝරා දත්ත අලවන්න - ඒවා ස්වයංක්‍රීයව අල්ලා ගනු ඇත. සුදුසු පරාසය. අපි නියැදි ප්රමාණය ගණනය කරමු n - නියැදි දත්ත සංඛ්යාව, මේ සඳහා, සෛල B7 හි, සූත්රය = COUNT (A1: L5) ඇතුළත් කරන්න. සූත්‍රයට අපේක්ෂිත පරාසය ඇතුළත් කිරීම සඳහා, යතුරුපුවරුවෙන් එහි තනතුර ඇතුළත් කිරීම අවශ්ය නොවන බව සලකන්න, එය තෝරා ගැනීමට ප්‍රමාණවත් වේ. =MIN(A1:L5) සූත්රය B8 කොටුවට සහ B9 කොටුවට: =MAX(A1:L5) ඇතුළත් කිරීමෙන් නියැදියේ අවම සහ උපරිම අගයන් තීරණය කරමු.
Fig.1.1 උදාහරණය 1. Excel වගු වල සංඛ්යාන දත්ත ප්රාථමික සැකසීම
ඊළඟට, විරාම තීරුව (විචල්ය අගයන්) සහ සංඛ්යාත තීරුව සඳහා නම් ඇතුළත් කිරීමෙන් විචල්ය ශ්‍රේණියක් ගොඩනැගීම සඳහා වගුවක් සකස් කරමු. කාල පරතරයන් තීරුවේ, B12:B17 පරාසය අල්ලා ගනිමින්, අවම (1) සිට උපරිම (6) දක්වා ගුණාංගයේ අගයන් ඇතුළත් කරන්න. සංඛ්යාත තීරුව තෝරන්න, =FREQUENCY(A1:L5;B12:B17) සූත්රය ඇතුළත් කර CTRL+SHIFT+ENTER යතුරු සංයෝජනය ඔබන්න
Fig.1.2 උදාහරණය 1. විචල්ය මාලාවක් ඉදිකිරීම
පාලනය සඳහා, අපි SUM ශ්රිතය භාවිතයෙන් සංඛ්යාත එකතුව ගණනය කරමු (මුල් පිටුව පටිත්තෙහි සංස්කරණ සමූහයේ S ශ්‍රිත නිරූපකය), ගණනය කළ එකතුව B7 කොටුවේ කලින් ගණනය කළ නියැදි ප්‍රමාණයට අනුරූප විය යුතුය.
දැන් අපි බහුඅස්‍රයක් ගොඩනඟමු: ලැබෙන සංඛ්යාත පරාසය තෝරාගෙන, "ඇතුළු කරන්න" ටැබය මත "ප්‍රස්තාර" විධානය තෝරන්න. පෙරනිමියෙන්, තිරස් අක්ෂයේ අගයන් සාමාන්ය සංඛ්යා වනු ඇත - අපගේ නඩුවේදී, 1 සිට 6 දක්වා, එය විකල්පවල අගයන් සමඟ සමපාත වේ (තීරුබදු කාණ්ඩ ගණන).
ප්‍රස්ථාර “1 මාලාවේ” ශ්‍රේණියේ නම “නිර්මාණකරු” ටැබයේ ඇති “දත්ත තෝරන්න” විකල්පය භාවිතයෙන් වෙනස් කළ හැකිය, නැතහොත් සරලව මකා දැමිය හැකිය.
Fig.1.3. උදාහරණ 1. සංඛ්යාත බහුඅස්‍රයක් ගොඩනැගීම
උදාහරණය 1.2. මූලාශ්‍ර 50කින් දූෂක විමෝචනය පිළිබඳ දත්ත තිබේ:
| 10,4 | 18,6 | 10,3 | 26,0 | 45,0 | 18,2 | 17,3 | 19,2 | 25,8 | 18,7 |
| 28,2 | 25,2 | 18,4 | 17,5 | 41,8 | 14,6 | 10,0 | 37,8 | 10,5 | 16,0 |
| 18,1 | 16,8 | 38,5 | 37,7 | 17,9 | 29,0 | 10,1 | 28,0 | 12,0 | 14,0 |
| 14,2 | 20,8 | 13,5 | 42,4 | 15,5 | 17,9 | 19, | 10,8 | 12,1 | 12,4 |
| 12,9 | 12,6 | 16,8 | 19,7 | 18,3 | 36,8 | 15,0 | 37,0 | 13,0 | 19,5 |
සමාන විරාම ශ්‍රේණියක් සම්පාදනය කරන්න, හිස්ටෝග්රෑම් එකක් සාදන්න
විසඳුමක්
අපි එක්සෙල් පත්‍රයකට දත්ත මාලාවක් එකතු කරමු, එය A1:J5 පරාසය අල්ලා ගනු ඇත, පෙර කාර්යයේ දී මෙන්, අපි නියැදි ප්රමාණය n, නියැදියේ අවම සහ උපරිම අගයන් තීරණය කරන්නෙමු. දැන් අපට අවශ්ය වන්නේ විවික්ත නොවේ, නමුත් විරාම ශ්‍රේණියක් වන අතර, ගැටලුවේ විරාම ගණන නිශ්චිතව දක්වා නොමැති බැවින්, අපි ස්ටර්ගස් සූත්රය භාවිතයෙන් k කාල අන්තර ගණන ගණනය කරමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, B10 කොටුවේ, =1+3.322*LOG10(B7) සූත්රය ඇතුළත් කරන්න.
Fig.1.4. උදාහරණ 2. සමාන විරාම මාලාවක් ඉදිකිරීම
ලැබෙන අගය නිඛිලයක් නොවේ, එය ආසන්න වශයෙන් 6.64 වේ. k=7 සඳහා ප්‍රාන්තරවල දිග පූර්ණ සංඛ්යාවක් ලෙස ප්‍රකාශ වන බැවින් (k=6 අවස්ථාවට ප්‍රතිවිරුද්ධව), අපි මෙම අගය C10 කොටුවට ඇතුළත් කිරීමෙන් k=7 තෝරා ගනිමු. අපි = (B9-B8) / C10 සූත්රය ඇතුළත් කිරීමෙන් B11 කොටුවේ d පරතරයේ දිග ගණනය කරමු.
එක් එක් කාල අන්තර 7 සඳහා ඉහළ මායිම සඳහන් කරමින් විරාම අරාවක් නිර්වචනය කරමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, E8 කොටුවේ, =B8+B11 සූත්රය ඇතුළත් කිරීමෙන් පළමු අන්තරයේ ඉහළ සීමාව ගණනය කරන්න; E9 කොටුවේ =E8+B11 සූත්රය ඇතුළත් කිරීමෙන් දෙවන අන්තරයේ ඉහළ සීමාව. අන්තරවල ඉහළ සීමාවන්හි ඉතිරි අගයන් ගණනය කිරීම සඳහා, අපි $ ලකුණ භාවිතා කර ඇතුළත් කළ සූත්‍රයේ B11 සෛල ගණන සවි කරමු, එවිට E9 කොටුවේ සූත්රය =E8+B$11 බවට පත් වී එහි අන්තර්ගතය පිටපත් කරන්න. සෛල E9 සිට සෛල E10-E14 දක්වා. ලබාගත් අවසාන අගය සෛල B9 හි කලින් ගණනය කරන ලද නියැදියේ උපරිම අගයට සමාන වේ.
Fig.1.5. උදාහරණ 2. සමාන විරාම මාලාවක් ඉදිකිරීම
දැන් අපි උදාහරණ 1 හි සිදු කළ පරිදි FREQUENCY ශ්රිතය භාවිතයෙන් "සාක්කු" අරාව පුරවමු.
Fig.1.6. උදාහරණ 2. සමාන විරාම මාලාවක් ඉදිකිරීම
ප්රතිඵලය වන විචල්ය මාලාව මත පදනම්ව, අපි හිස්ටෝග්රෑම් එකක් ගොඩනඟමු: සංඛ්යාත තීරුව තෝරන්න සහ "ඇතුළු කරන්න" ටැබය මත "Histogram" තෝරන්න. හිස්ටෝග්රෑම් ලැබීමෙන් පසු, අපි එහි ඇති තිරස් අක්ෂයේ ලේබල කාල පරාසයේ අගයන් වෙත වෙනස් කරන්නෙමු, මේ සඳහා අපි “නිර්මාණකරු” ටැබයේ “දත්ත තෝරන්න” විකල්පය තෝරා ගනිමු. දිස්වන කවුළුවෙහි, "තිරස් අක්ෂ ලේබල්" කොටස සඳහා "වෙනස් කරන්න" විධානය තෝරන්න සහ "මූසිකය" සමඟ තේරීමෙන් අගයන් පරාසය ඇතුළත් කරන්න.
Fig.1.7. උදාහරණ 2. හිස්ටෝග්රෑම් ගොඩනැගීම
Fig.1.8. උදාහරණ 2. හිස්ටෝග්රෑම් ගොඩනැගීම
ගණිත සංඛ්යා ලේඛන- විද්‍යාත්මක හා ප්රායෝගික නිගමන සඳහා සංඛ්යාන දත්ත සැකසීම, ක්‍රමානුකූල කිරීම සහ භාවිතය පිළිබඳ ගණිතමය ක්රම සඳහා කැප වූ ගණිත අංශයකි.
3.1 ගණිතමය සංඛ්යාලේඛනවල මූලික සංකල්ප
ජෛව වෛද්ය ගැටළු වලදී, බොහෝ විට පුද්ගලයන් විශාල සංඛ්යාවක් සඳහා එක් හෝ තවත් ලක්ෂණයක් බෙදා හැරීම විමර්ශනය කිරීම අවශ්ය වේ. විවිධ පුද්ගලයන් සඳහා, මෙම විශේෂාංගය වෙනස් අර්ථයක් ඇත, එබැවින් එය අහඹු විචල්යයකි. නිදසුනක් වශයෙන්, ඕනෑම චිකිත්සක ඖෂධයක් විවිධ රෝගීන්ට අදාළ වන විට විවිධ කාර්යක්ෂමතාවයක් ඇත. කෙසේ වෙතත්, මෙම ඖෂධයේ ඵලදායීතාවය පිළිබඳ අදහසක් ලබා ගැනීම සඳහා, එය යෙදීම අවශ්ය නොවේ හැමෝමඅසනීපයි. සාපේක්ෂ වශයෙන් කුඩා රෝගීන් පිරිසක් සඳහා ඖෂධ භාවිතා කිරීමේ ප්රතිඵල සොයා ගැනීමට හැකි වන අතර, ලබාගත් දත්ත මත පදනම්ව, ප්රතිකාර ක්රියාවලියේ අත්යවශ්ය ලක්ෂණ (කාර්යක්ෂමතාව, ප්රතිවිරෝධතා) හඳුනා ගැනීමට හැකි වේ.
ජනගහන- අධ්යයනය කළ යුතු සමජාතීය මූලද්රව්ය සමූහයක්, යම් ලක්ෂණයකින් සංලක්ෂිත වේ. මෙම ලකුණ අඛණ්ඩබෙදාහැරීමේ ඝනත්වය සමඟ අහඹු විචල්යය f(x)
නිදසුනක් වශයෙන්, යම් කලාපයක රෝගයක් පැතිරීම ගැන අප උනන්දු වන්නේ නම්, සාමාන්ය ජනගහනය කලාපයේ සමස්ත ජනගහනයයි. මෙම රෝගයට ගොදුරු වීමේ හැකියාව පිරිමින්ට සහ කාන්තාවන්ට වෙන වෙනම සොයා ගැනීමට අවශ්ය නම්, සාමාන්ය ජනගහන දෙකක් සලකා බැලිය යුතුය.
ගුණාංග අධ්යයනය කිරීමට ජනගහනයඑහි සමහර අංග තෝරන්න.
නියැදිය- විභාගය (ප්රතිකාර) සඳහා තෝරාගත් සාමාන්ය ජනගහනයෙන් කොටසක්.
මෙය ව්යාකූලත්වයට හේතු නොවේ නම්, නියැදිය ලෙස හැඳින්වේ වස්තූන් එකතුවවිභාගය සඳහා තෝරාගෙන, සහ සම්පූර්ණත්වය
අගයන්විභාගය අතරතුර ලබාගත් අධ්‍යයනයට ලක්ව ඇති ලක්ෂණය. මෙම අගයන් ආකාර කිහිපයකින් නිරූපණය කළ හැක.
සරල සංඛ්යාන මාලාව -අධ්‍යයනයට ලක්ව ඇති ගතිලක්ෂණවල අගයන්, ඒවා ලබාගත් අනුපිළිවෙලෙහි සටහන් කර ඇත.
රෝගීන් 20 දෙනෙකුගේ නළල සමෙහි මතුපිට තරංග ප්‍රවේගය (m/s) මැනීමෙන් ලබාගත් සරල සංඛ්යාන මාලාවක උදාහරණයක් වගුවේ දක්වා ඇත. 3.1
වගුව 3.1.සරල සංඛ්යාන මාලාව
සරල සංඛ්යා ලේඛන මාලාවක් සමීක්ෂණ ප්රතිඵල වාර්තා කිරීමට ප්රධාන සහ වඩාත්ම සම්පූර්ණ මාර්ගය වේ. එහි මූලද්රව්ය සිය ගණනක් අඩංගු විය හැකිය. බැලූ බැල්මට එවැනි සමස්තයක් දෙස බැලීම ඉතා අපහසුය. එමනිසා, විශාල සාම්පල සාමාන්යයෙන් කණ්ඩායම් වලට බෙදී ඇත. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, ගුණාංග වෙනස් කිරීමේ ප්රදේශය (N) කිහිපයකට බෙදා ඇත. විරාමයන්සමාන පළල සහ මෙම කාල අන්තරයන්ට වැටෙන ලක්ෂණයේ සාපේක්ෂ සංඛ්යාත (n/n) ගණනය කරන්න. එක් එක් පරතරයේ පළල:
විරාම වල මායිම් වලට පහත අර්ථයන් ඇත:
නියැදියේ කිසියම් මූලද්‍රව්‍යයක් යාබද කාල පරතරයන් දෙකක් අතර මායිම වේ නම්, එය හඳුන්වනු ලැබේ අත්හැරියාපරතරය. මේ ආකාරයට කාණ්ඩගත කළ දත්ත ලෙස හැඳින්වේ අන්තර සංඛ්යාන මාලාව.
- මෙය ලක්ෂණයේ අගයන් සහ මෙම කාල අන්තරයන්ට වැටෙන ලක්ෂණයේ සාපේක්ෂ සංඛ්යාතයන් පෙන්වන වගුවකි.
අපගේ නඩුවේදී, අපට එවැනි විරාම සංඛ්යාන ශ්‍රේණියක් සෑදිය හැකිය (N = 5, ඈ= 4), ටැබ්. 3.2
වගුව 3.2.අන්තර සංඛ්යාන මාලාව
මෙහිදී, 28 ට සමාන අගයන් දෙකක් 28-32 (වගුව 3.1) ට පවරනු ලැබේ, සහ 32, 33, 34 සහ 35 අගයන් 32-36 පරතරයට පවරා ඇත.
විරාම සංඛ්යාන මාලාවක් චිත්‍රක ලෙස නිරූපණය කළ හැක. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, abscissa අක්ෂය දිගේ ලාක්ෂණික අගයන්හි පරතරයන් සැලසුම් කර ඇති අතර, ඒ සෑම එකක් මතම, පදනම මත, සාපේක්ෂ සංඛ්‍යාතයට සමාන උසකින් සෘජුකෝණාස්රයක් ගොඩනගා ඇත. ප්රතිඵලයක් ලෙස තීරු ප්රස්ථාරය ලෙස හැඳින්වේ histogram.
සහල්. 3.1තීරු වගුව
හිස්ටෝග්රෑම් හි, විශේෂාංගයේ ව්‍යාප්තියේ සංඛ්යාන රටා ඉතා පැහැදිලිව දක්නට ලැබේ.
විශාල නියැදි ප්රමාණය (දහසක්) සහ තීරු වල කුඩා පළලක් සහිතව, හිස්ටෝග්‍රැම් වල හැඩය ප්රස්ථාරයේ හැඩයට ආසන්න වේ. බෙදාහැරීමේ ඝනත්වයලකුණ.
පහත සූත්රය භාවිතයෙන් හිස්ටෝග්රෑම් තීරු ගණන තෝරා ගත හැක:
හිස්ටෝග්රෑම් එකක් අතින් තැනීම දිගු ක්‍රියාවලියකි. එබැවින් ඒවායේ ස්වයංක්‍රීය ඉදිකිරීම් සඳහා පරිගණක වැඩසටහන් නිර්මාණය කර ඇත.
3.2 සංඛ්යානමය ශ්‍රේණිවල සංඛ්යාත්මක ලක්ෂණ
බොහෝ සංඛ්යාන ක්රියා පටිපාටි ජනගහනයේ මධ්යන්ය සහ විචලනය (හෝ සම්මත අපගමනය) සඳහා නියැදි ඇස්තමේන්තු භාවිතා කරයි.
නියැදි මධ්යන්ය(X) යනු සරල සංඛ්යාන ශ්‍රේණියක සියලුම මූලද්රව්යවල අංක ගණිත මධ්යන්යය වේ:
අපගේ උදාහරණය සඳහා x= 37.05 (m/s).
නියැදි මධ්යන්යය වේවිශිෂ්ටමසාමාන්ය සාමාන්යය ඇස්තමේන්තු කිරීමඑම්.
නියැදි විචලනය s 2නියැදි මධ්‍යන්‍යයෙන් බෙදූ මූලද්රව්යවල වර්ග අපගමනවල එකතුවට සමාන වේ n- 1:
අපගේ උදාහරණයේ, s 2 \u003d 25.2 (m / s) 2.
නියැදි විචලනය ගණනය කිරීමේදී, සූත්‍රයේ හරය නියැදි ප්රමාණය n නොව n-1 බව කරුණාවෙන් සලකන්න. මෙයට හේතුව සූත්‍රයේ (3.3) අපගමනය ගණනය කිරීමේදී නොදන්නා ගණිතමය අපේක්ෂාවක් වෙනුවට එහි ඇස්තමේන්තුව භාවිතා කිරීමයි - නියැදි මධ්යන්ය.
නියැදි විචලනය වේ විශිෂ්ටමසාමාන්‍ය විචල්‍යයේ ඇස්තමේන්තුව (σ 2).
නියැදි සම්මත අපගමනය(s) යනු නියැදි විචලනයේ වර්ගමූලය වේ:
අපගේ උදාහරණය සඳහා s= 5.02 (m/s).
වරණාත්මක rmsඅපගමනය සාමාන්ය RMSE (σ) හි හොඳම තක්සේරුවයි.
නියැදි ප්‍රමාණයේ අසීමිත වැඩිවීමක් සමඟ, සියලුම නියැදි ලක්ෂණ සාමාන්ය ජනගහනයේ අනුරූප ලක්ෂණ වලට නැඹුරු වේ.
නියැදි ලක්ෂණ ගණනය කිරීම සඳහා, පරිගණක සූත්ර භාවිතා කරනු ලැබේ. එක්සෙල් හි, මෙම ගණනය කිරීම් සාමාන්ය, VARR සංඛ්යාන කාර්යයන් ඉටු කරයි. STDEV.
3.3 අන්තර ඇස්තමේන්තුව
සියලුම නියැදි ලක්ෂණ වේ අහඹු විචල්යයන්.මෙයින් අදහස් කරන්නේ එකම ප්‍රමාණයේ තවත් නියැදියක් සඳහා, නියැදි ලක්ෂණවල අගයන් වෙනස් වන බවයි. මේ අනුව, තෝරාගත්
ලක්ෂණ පමණි ඇස්තමේන්තුපොදු ජනගහනයේ අදාළ ලක්ෂණ.
එය තෝරාගත් ඇගයීමේ අඩුපාඩු සඳහා වන්දි ලබා දේ පරතරය ඇස්තමේන්තු කිරීම,නියෝජනය කරනවා සංඛ්යා පරතරය,ලබා දී ඇති සම්භාවිතාවක් සහිත ඇතුළත ආර් ඩීඇස්තමේන්තුගත පරාමිතියෙහි සත්‍ය අගය සොයාගත හැකිය.
ඉඩ U r - සාමාන්ය ජනගහනයේ සමහර පරාමිතිය (සාමාන්ය මධ්යන්ය, සාමාන්ය විචලනය, ආදිය).
පරතරය ඇස්තමේන්තු කිරීමපරාමිතිය U r පරතරය ලෙස හැඳින්වේ (U 1, U 2),කොන්දේසිය තෘප්තිමත් කිරීම:
පී(යූ < Ur < U2) = Рд. (3.5)
සම්භාවිතාව ආර් ඩීකියලා විශ්වාස සම්භාවිතාව.
විශ්වාස සම්භාවිතාව Pඈ - ඇස්තමේන්තුගත ප්‍රමාණයේ සත්‍ය අගය වීමේ සම්භාවිතාව තුලනිශ්චිත කාල පරතරය.
ඒ සමගම, පරතරය (U 1, U 2)කියලා විශ්වාස අන්තරයඇස්තමේන්තුගත පරාමිතිය සඳහා.
බොහෝ විට, විශ්වාස සම්භාවිතාව වෙනුවට, සම්බන්ධිත අගය α = 1 - R d, එය හැඳින්වේ වැදගත්කම මට්ටම.
වැදගත්කම මට්ටමඇස්තමේන්තුගත පරාමිතියෙහි සත්‍ය අගය වීමේ සම්භාවිතාව වේ පිටතවිශ්වාස අන්තරය.
සමහර විට α සහ R d ප්‍රතිශතයක් ලෙස ප්‍රකාශ වේ, උදාහරණයක් ලෙස, 0.05 වෙනුවට 5% සහ 0.95 වෙනුවට 95%.
පරතරය ඇස්තමේන්තු කිරීමේදී, පළමුව සුදුසු දේ තෝරන්න විශ්වාසය මට්ටමේ(සාමාන්යයෙන් 0.95 හෝ 0.99), ඉන්පසු ඇස්තමේන්තුගත පරාමිතියේ අගයන්හි අනුරූප පරතරය සොයා ගන්න.
විරාම ඇස්තමේන්තු වල සාමාන්ය ගුණාංග කිහිපයක් අපි සටහන් කරමු.
1. අඩු වැදගත්කම මට්ටම (වැඩි ආර් ඩී),පරතරය ඇස්තමේන්තුව පුළුල් වේ. එබැවින්, 0.05 ක වැදගත් මට්ටමේ නම්, සාමාන්ය මධ්‍යන්‍යයේ අන්තර ඇස්තමේන්තුව 34.7 වේ.< එම්< 39,4, то для уровня 0,01 она будет гораздо шире: 33,85 < එම්< 40,25.
2. නියැදි ප්රමාණය විශාල වේ n,තෝරාගත් වැදගත්කමේ මට්ටම සමඟ පරතරය ඇස්තමේන්තුව පටු වේ. උදාහරණයක් ලෙස, අයිතම 20ක නියැදියකින් ලබාගත් සාමාන්ය සාමාන්‍යයේ (β=0.05) ප්‍රතිශත ඇස්තමේන්තුව 5 ලෙස සලකමු, පසුව 34.7< එම්< 39,4.
නියැදි ප්රමාණය 80 දක්වා වැඩි කිරීමෙන්, එම වැදගත් මට්ටමේම වඩාත් නිවැරදි තක්සේරුවක් අපට ලැබෙනු ඇත: 35.5< එම්< 38,6.
සාමාන්ය අවස්ථාවෙහිදී, විශ්වාසදායක විශ්වාසනීය ඇස්තමේන්තු ගොඩනැගීම සඳහා සාමාන්ය ජනගහනය තුළ ඇස්තමේන්තුගත අහඹු ලක්ෂණය බෙදා හරිනු ලබන නීතිය පිළිබඳ දැනුම අවශ්ය වේ. විරාම ඇස්තමේන්තුව ගොඩනඟන ආකාරය සලකා බලන්න සාමාන්ය සාමාන්යයලක්ෂණය, අනුව සාමාන්ය ජනතාව අතර බෙදා හරිනු ලැබේ සාමාන්යනීතිය.
3.4 සාමාන්ය බෙදාහැරීමේ නීතිය සඳහා සාමාන්ය මධ්‍යන්‍යයේ අන්තර ඇස්තමේන්තුව
සාමාන්ය බෙදාහැරීමේ නීතියක් සහිත සාමාන්ය ජනගහනයක් සඳහා සාමාන්ය මධ්යන්ය M හි අන්තර ඇස්තමේන්තුවක් ගොඩනැගීම පහත දේපල මත පදනම් වේ. පරිමාව නියැදීම සඳහා nආකල්පය
නිදහසේ අංශක ගණන සමඟ ශිෂ්‍ය ව්‍යාප්තියට අවනත වේ ν = n- 1.
මෙතන xනියැදි මධ්යන්යය, සහ s- තෝරාගත් සම්මත අපගමනය.
ශිෂ්යයාගේ බෙදාහැරීමේ වගු හෝ ඔවුන්ගේ පරිගණක ප්‍රතිසමයක් භාවිතා කරමින්, ලබා දී ඇති විශ්වාසනීය සම්භාවිතාවක් සමඟ පහත අසමානතාවය තෘප්තිමත් වන මායිම් අගයක් සොයාගත හැකිය:
මෙම අසමානතාවය M සඳහා අසමානතාවයට අනුරූප වේ:
කොහෙද ε යනු විශ්වාස පරතරයේ අර්ධ-පළල වේ.
මේ අනුව, M සඳහා විශ්වාසනීය පරතරයක් ගොඩනැගීම පහත අනුපිළිවෙලින් සිදු කෙරේ.
1. විශ්වාස සම්භාවිතාව P d (සාමාන්යයෙන් 0.95 හෝ 0.99) තෝරන්න සහ ඒ සඳහා, ශිෂ්‍ය බෙදාහැරීමේ වගුවට අනුව, පරාමිතිය t හමු වේ.
2. විශ්වාස පරතරයේ අර්ධ-පළල ගණනය කරන්න ε:
3. තෝරාගත් විශ්වාස සම්භාවිතාව සමඟ සාමාන්ය සාමාන්‍යයේ විරාම ඇස්තමේන්තුවක් ලබා ගනී:
කෙටියෙන් ලියා ඇත්තේ මෙසේය.
අන්තර ඇස්තමේන්තු සොයා ගැනීම සඳහා පරිගණක ක්රියා පටිපාටි සකස් කර ඇත.
ශිෂ්‍ය බෙදාහැරීමේ වගුව භාවිතා කරන ආකාරය පැහැදිලි කරමු. මෙම වගුවේ "ඇතුල්වීම්" දෙකක් ඇත: වම් තීරුව, නිදහසේ අංශක ගණන ලෙස හැඳින්වේ ν = n- 1, සහ ඉහළ පේළිය වැදගත්කම මට්ටම α වේ. අනුරූප පේළියේ සහ තීරුවේ මංසන්ධියේදී, ශිෂ්‍ය සංගුණකය හමු වේ ටී.
මෙම ක්රමය අපගේ සාම්පලයට යොදමු. සිසුන්ගේ බෙදාහැරීමේ වගුවේ කොටසක් පහත දැක්වේ.
වගුව 3.3. සිසුන්ගේ බෙදාහැරීමේ වගුවේ කොටස
පුද්ගලයන් 20 දෙනෙකුගේ නියැදියක් සඳහා සරල සංඛ්යාන මාලාවක් (n= 20, ν =19) වගුවේ දක්වා ඇත. 3.1 මෙම ශ්‍රේණිය සඳහා, සූත්ර (3.1-3.3) භාවිතා කරන ගණනය කිරීම් ලබා දෙන්නේ: x= 37,05; s= 5,02.
අපි තෝරා ගනිමු α = 0.05 (P d = 0.95). "19" පේළියේ සහ "0.05" තීරුවේ මංසන්ධියේදී අපි සොයා ගනිමු ටී= 2,09.
අපි සූත්රය (3.6) මගින් ඇස්තමේන්තු නිරවද්‍යතාවය ගණනය කරමු: ε = 2.09?5.02/λ /20 = 2.34.
අපි අන්තර ඇස්තමේන්තුවක් ගොඩනඟමු: 95% ක සම්භාවිතාවක් සහිතව, නොදන්නා සාමාන්ය මධ්යන්යය අසමානතාවය තෘප්තිමත් කරයි:
37,05 - 2,34 < එම්< 37,05 + 2,34, или එම්= 37.05 ± 2.34 (m/s), Р d = 0.95.
3.5 සංඛ්යානමය උපකල්පන සත්‍යාපනය කිරීමේ ක්රම
සංඛ්යාන උපකල්පන
සංඛ්යානමය කල්පිතයක් යනු කුමක්දැයි සැකසීමට පෙර පහත උදාහරණය සලකා බලන්න.
යම් රෝගයකට ප්රතිකාර කිරීමේ ක්රම දෙකක් සංසන්දනය කිරීම සඳහා, පුද්ගලයන් 20 දෙනෙකුගෙන් යුත් රෝගීන් කණ්ඩායම් දෙකක් තෝරාගෙන ඇති අතර, මෙම ක්‍රමවලට අනුව ප්රතිකාර සිදු කරන ලදී. එක් එක් රෝගියා සඳහා, a ක්රියා පටිපාටි ගණනධනාත්මක බලපෑමක් අනුගමනය කරයි. මෙම දත්ත වලට අනුව, එක් එක් කණ්ඩායම සඳහා, අපි නියැදි මාධ්‍යයන් (X), නියැදි විචල්යයන් සොයා ගත්තෙමු (s 2)සහ සාම්පල RMS (ය)
ප්රතිඵල වගුවේ දක්වා ඇත. 3.4
වගුව 3.4
ධනාත්මක බලපෑමක් ලබා ගැනීමට අවශ්ය ක්රියා පටිපාටි ගණන අහඹු විචල්‍යයක් වන අතර, ඒ පිළිබඳ සියලු තොරතුරු දැනට ඉහත නියැදියේ අඩංගු වේ.
මේසයෙන්. 3.4 පෙන්නුම් කරන්නේ පළමු කණ්ඩායමේ නියැදි මධ්යන්යය දෙවන කණ්ඩායමට වඩා අඩු බවයි. සාමාන්ය සාමාන්යයන් සඳහා එම අනුපාතයම පවතින බව මෙයින් අදහස් කරන්නේද: M 1< М 2 ? Достаточно ли статистических данных для такого вывода? Ответы на эти вопросы и дает උපකල්පනවල සංඛ්යානමය පරීක්ෂණ.
සංඛ්යාන උපකල්පනය- එය ජනගහනයේ දේපල පිළිබඳ උපකල්පනයකි.
අපි දේපල පිළිබඳ උපකල්පන සලකා බලමු දෙකසාමාන්ය ජනගහනය.
ජනගහනය තිබේ නම් දන්නා, එකමඇස්තමේන්තු කර ඇති අගය බෙදා හැරීම සහ උපකල්පන ප්රමාණ ගැන සැලකිලිමත් වේ සමහර පරාමිතියමෙම ව්යාප්තිය, පසුව උපකල්පන ලෙස හැඳින්වේ පරාමිතික.උදාහරණයක් ලෙස, සාම්පල ලබා ගන්නේ ජනගහනයෙන් සාමාන්ය නීතියබෙදා හැරීම සහ සමාන විචලනය. එය සොයා ගැනීමට අවශ්ය වේ ඒවා ඒක සමානයිමෙම ජනගහනයේ සාමාන්ය සාමාන්යයන්.
සාමාන්ය ජනගහනය බෙදා හැරීමේ නීති ගැන කිසිවක් නොදන්නේ නම්, ඔවුන්ගේ දේපල පිළිබඳ උපකල්පන ලෙස හැඳින්වේ පරාමිතික නොවන.උදාහරණ වශයෙන්, ඒවා ඒක සමානයිසාම්පල ලබා ගන්නා ජනගහනයේ බෙදා හැරීමේ නීති.
ශුන්‍ය සහ විකල්ප උපකල්පන.
උපකල්පන පරීක්ෂා කිරීමේ කාර්යය. වැදගත්කම මට්ටම
උපකල්පන පරීක්ෂාවේදී භාවිතා කරන පාරිභාෂිතය ගැන අපි දැන හඳුනා ගනිමු.
H 0 - null කල්පිතය (සංශය උපකල්පනය) - මෙය උපකල්පනයකි කිසිම වෙනසක් ගැනසංසන්දනාත්මක සාම්පල අතර. සංශයවාදීන් විශ්වාස කරන්නේ පර්යේෂණයේ ප්රතිඵල වලින් ලබාගත් නියැදි ඇස්තමේන්තු අතර වෙනස්කම් අහඹු ලෙස සිදු වන බවයි;
H 1- විකල්ප කල්පිතයක් (ශුභවාදී කල්පිතය) යනු සංසන්දනාත්මක සාම්පල අතර වෙනස්කම් පැවතීම පිළිබඳ උපකල්පනයකි. නියැදි ඇස්තමේන්තු අතර ඇති වෙනස්කම් වෛෂයික හේතූන් නිසා ඇති වන අතර සාමාන්ය ජනගහනයේ වෙනස්කම් වලට අනුරූප වන බව ශුභවාදී විශ්වාස කරයි.
සංඛ්යානමය උපකල්පන පරීක්ෂා කිරීම ශක්‍ය වන්නේ සංසන්දනය කරන ලද සාම්පලවල මූලද්රව්ය සමහරක් රචනා කිරීමට භාවිතා කළ හැකි විට පමණි. අගය(නිර්ණායක), සාධාරණත්වය සම්බන්ධයෙන් බෙදා හැරීමේ නීතිය H 0දන්නා. එවිට, මෙම ප්රමාණය සඳහා, කෙනෙකුට නියම කළ හැකිය විශ්වාස පරතරය,දී ඇති සම්භාවිතාවක් සමඟ ආර් ඩීඑහි වටිනාකම ලැබේ. මෙම විරාමය ලෙස හැඳින්වේ විවේචනාත්මක ප්රදේශය.නිර්ණායක අගය විවේචනාත්මක කලාපයට වැටේ නම්, උපකල්පනය පිළිගනු ලැබේ H 0එසේ නොමැති නම්, H 1 උපකල්පනය පිළිගනු ලැබේ.
වෛද්ය පර්යේෂණවලදී, P d = 0.95 හෝ P d = 0.99 භාවිතා වේ. මෙම අගයන් අනුරූප වේ වැදගත්කම මට්ටම්α = 0.05 හෝ α = 0.01.
සංඛ්යාන උපකල්පන පරීක්ෂා කරන විටවැදගත්කම මට්ටම(α) ශුන්‍ය කල්පිතය සත්‍ය වූ විට එය ප්‍රතික්ෂේප කිරීමේ සම්භාවිතාව වේ.
එහි හරය, උපකල්පිත පරීක්ෂණ ක්රියා පටිපාටිය ඉලක්ක කර ඇති බව සලකන්න වෙනස හඳුනාගැනීම,ඔවුන්ගේ නොපැමිණීම තහවුරු කිරීමට නොවේ. නිර්ණායක අගය තීරණාත්මක ප්‍රදේශයෙන් ඔබ්බට ගිය විට, අපට පිරිසිදු හදවතකින් “සංශයවාදී” යැයි පැවසිය හැකිය - හොඳයි, ඔබට තවත් අවශ්ය කුමක්ද?! වෙනස්කම් නොමැති නම්, 95% (හෝ 99%) සම්භාවිතාවක් සමඟ ගණනය කළ අගය නිශ්චිත සීමාවන් තුළ වනු ඇත. ඉතින් නෑ..!
හොඳයි, නිර්ණායකයේ අගය විවේචනාත්මක කලාපයට වැටෙන්නේ නම්, H 0 උපකල්පනය නිවැරදි බව විශ්වාස කිරීමට හේතුවක් නැත. මෙය බොහෝ දුරට විය හැකි හේතු දෙකෙන් එකක් පෙන්වා දෙයි.
1. නියැදි ප්රමාණ වෙනස්කම් හඳුනා ගැනීමට ප්‍රමාණවත් නොවේ. අඛණ්ඩ අත්හදා බැලීම් සාර්ථක වනු ඇතැයි සිතිය හැකිය.
2. වෙනස්කම් ඇත. නමුත් ඒවා ඉතා කුඩා වන අතර ඒවාට ප්රායෝගික වැදගත්කමක් නැත. මෙම අවස්ථාවේ දී, අත්හදා බැලීම් දිගටම කරගෙන යාම අර්ථවත් නොවේ.
වෛද්ය පර්යේෂණවල භාවිතා වන සංඛ්යාන උපකල්පන කිහිපයක් සලකා බැලීමට අපි ඉදිරියට යමු.
3.6 විචල්‍යයන්ගේ සමානාත්මතාවය පිළිබඳ උපකල්පන පරීක්ෂා කිරීම, ෆිෂර් එෆ්-නිර්ණායක
සමහර සායනික අධ්යයන වලදී, ධනාත්මක බලපෑමක් පෙන්නුම් කරන්නේ එතරම් නොවේ විශාලත්වයඅධ්යයනය යටතේ පරාමිතිය, කොපමණ ස්ථාවර කිරීම,එහි උච්චාවචනයන් අඩු කිරීම. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, නියැදි සමීක්ෂණයේ ප්රතිඵල මත පදනම්ව සාමාන්ය විචල්යයන් දෙකක් සංසන්දනය කිරීමේ ප්රශ්නය පැන නගී. භාවිතයෙන් මෙම කාර්යය විසඳා ගත හැකිය ධීවරයාගේ නිර්ණායකය.
ගැටලුව සකස් කිරීම
සාමාන්ය නීතියබෙදා හැරීම. සාම්පල ප්රමාණ -
n 1හා n2,ඒ නියැදි විචලනයන්සමාන s 1 සහ s 2 2 සාමාන්ය වෙනස්කම්.
පරීක්ෂා කරන ලද උපකල්පන:
H 0- සාමාන්ය වෙනස්කම් ඒවා ඒක සමානයි;
H 1- සාමාන්ය වෙනස්කම් වෙනස්.
සමඟ ජනගහනයෙන් සාම්පල ලබා ගන්නේ නම් පෙන්වයි සාමාන්ය නීතියබෙදා හැරීම, එවිට උපකල්පනය සත්‍ය නම් H 0නියැදි විචල්‍යතා අනුපාතය ධීවර ව්‍යාප්තියට අවනත වේ. එබැවින්, වලංගුභාවය පරීක්ෂා කිරීම සඳහා නිර්ණායකයක් ලෙස H 0අගය ගනු ලැබේ එෆ්,සූත්රය මගින් ගණනය කරනු ලැබේ:
කොහෙද s 1 සහ s 2 - නියැදි විචලනයන්.
මෙම අනුපාතය ν 1 = සංඛ්‍යාවේ නිදහස් අංශක ගණන සමඟ ෆිෂර් ව්‍යාප්තියට අවනත වේ. n 1- 1 සහ හරයේ නිදහසේ අංශක ගණන ν 2 = n 2 - 1. තීරනාත්මක කලාපයේ මායිම් ෆිෂර්ගේ බෙදා හැරීමේ වගු අනුව හෝ පරිගණක ශ්රිතය BRASPOBR භාවිතා කර ඇත.
වගුවේ දක්වා ඇති උදාහරණය සඳහා. 3.4, අපට ලැබෙන්නේ: ν 1 \u003d ν 2 \u003d 20 - 1 \u003d 19; එෆ්= 2.16/4.05 = 0.53. α = 0.05 දී, විවේචනාත්මක කලාපයේ මායිම් පිළිවෙලින් සමාන වේ: = 0.40, = 2.53.
නිර්ණායක අගය විවේචනාත්මක කලාපයට වැටුණි, එබැවින් උපකල්පනය පිළිගනු ලැබේ H 0:සාමාන්ය නියැදි විචලනයන් ඒවා ඒක සමානයි.
3.7 සාමාන්‍යවල සමානාත්මතාවය පිළිබඳ උපකල්පන පරීක්ෂාව, ශිෂ්‍ය ටී-පරීක්ෂණය
සංසන්දනය කිරීමේ ගැටලුව මධ්යමඑය වූ විට සාමාන්ය ජනගහන දෙකක් ඇතිවේ විශාලත්වයඅධ්යයනය යටතේ පවතින ලක්ෂණය. උදාහරණයක් ලෙස, විවිධ ක්රම දෙකක් හෝ ඔවුන්ගේ භාවිතයෙන් පැන නගින සංකූලතා සංඛ්යාව සමඟ ප්රතිකාර කාලය සංසන්දනය කරන විට. මෙම අවස්ථාවේදී, ශිෂ්යයාගේ ටී-පරීක්ෂණය භාවිතා කළ හැක.
ගැටලුව සකස් කිරීම
සමඟ ජනගහනයෙන් සාම්පල දෙකක් (X 1 ) සහ (X 2 ) ලබා ගන්නා ලදී සාමාන්ය නීතියබෙදා හැරීම සහ එකම විසුරුම.නියැදි ප්රමාණ - n 1 සහ n 2 , නියැදි අදහස් X 1 සහ X 2 ට සමාන වේ, සහ නියැදි විචලනයන්- s 1 2 සහ s 2 2පිළිවෙලින්. සංසන්දනය කිරීම අවශ්ය වේ සාමාන්ය සාමාන්යයන්.
පරීක්ෂා කරන ලද උපකල්පන:
H 0- සාමාන්ය සාමාන්යයන් ඒවා ඒක සමානයි;
H 1- සාමාන්ය සාමාන්යයන් වෙනස්.
උපකල්පනය සත්‍ය නම් බව පෙන්වයි H 0 t හි අගය, සූත්රය මගින් ගණනය කරනු ලැබේ:
ශිෂ්‍ය නීතියට අනුව නිදහසේ අංශක ගණන ν = ν 1 + + ν2 - 2 සමඟ බෙදා හරිනු ලැබේ.
මෙහි ν 1 = n 1 - 1 - පළමු නියැදිය සඳහා නිදහසේ අංශක ගණන; v2 = n 2 - 1 - දෙවන නියැදිය සඳහා නිදහසේ අංශක ගණන.
තීරනාත්මක කලාපයේ මායිම් t-බෙදාහැරීමේ වගු වලින් හෝ පරිගණක ශ්රිතය STUDRASP භාවිතා කර ඇත. ශිෂ්යයාගේ ව්යාප්තිය ශුන්‍යයට සමමිතික වේ, එබැවින් තීරණාත්මක කලාපයේ වම් සහ දකුණු මායිම් නිරපේක්ෂ අගයෙන් සමාන වන අතර ලකුණෙහි ප්‍රතිවිරුද්ධ වේ: -සහ
වගුවේ දක්වා ඇති උදාහරණය සඳහා. 3.4, අපට ලැබෙන්නේ:
v 1 \u003d v 2 \u003d 20 - 1 \u003d 19; v = 38, ටී= -2.51. α = 0.05 = 2.02 සමඟ.
නිර්ණායක අගය විවේචනාත්මක කලාපයේ වම් මායිමෙන් ඔබ්බට යයි, එබැවින් අපි උපකල්පනය පිළිගනිමු H 1:සාමාන්ය සාමාන්යයන් වෙනස්.ඒ අතරම, සාමාන්ය ජනගහනයේ සාමාන්යය පළමු නියැදියඅඩු.
සිසුන්ගේ ටී-පරීක්‍ෂණයේ අදාළත්වය
ශිෂ්යයාගේ ටී-පරීක්ෂණය අදාළ වන්නේ සාම්පල සඳහා පමණි සාමාන්යසමඟ එකතු වේ එකම පොදු වෙනස්කම්.අවම වශයෙන් එක් කොන්දේසියක් හෝ උල්ලංඝනය කර ඇත්නම්, නිර්ණායකයේ අදාළත්වය සැක සහිත ය. සාමාන්ය ජනගහනයේ සාමාන්ය අවශ්‍යතාවය සාමාන්යයෙන් නොසලකා හරිනු ලැබේ මධ්යම සීමාව ප්රමේයය.ඇත්ත වශයෙන්ම, නියැදි මාධ්‍යයේ වෙනස, සංඛ්‍යාවේ (3.10) සාමාන්යයෙන් ν > 30 සඳහා බෙදා හැරිය හැකි බව සැලකිය හැකිය. නමුත් විචල්‍යයන්ගේ සමානාත්මතාවය පිළිබඳ ප්රශ්නය සත්‍යාපනයට යටත් නොවන අතර, ධීවරයා යන කාරණයට යොමු වේ. පරීක්ෂණයෙන් වෙනස්කම් හඳුනාගෙන නොමැත, සැලකිල්ලට ගත නොහැක. එසේ වුවද, ප්‍රමාණවත් සාක්ෂි නොමැති වුවද, ජනගහන මාධ්‍යවල වෙනස්කම් හඳුනා ගැනීමට ටී-පරීක්ෂණය බහුලව භාවිතා වේ.
පහත සලකා බලනු ලැබේ පරාමිතික නොවන නිර්ණායක,එකම අරමුණු සඳහා සාර්ථකව භාවිතා කරන සහ කිසිවක් අවශ්ය නොවේ සාමාන්ය බව,වත් නැත විචල්‍යයන්ගේ සමානාත්මතාවය.
3.8 නියැදි දෙකෙහි පරාමිතික නොවන සංසන්දනය: මැන්-විට්නි පරීක්ෂණය
පරාමිතික නොවන නිර්ණායක සැලසුම් කර ඇත්තේ සාමාන්ය ජනගහන දෙකක බෙදා හැරීමේ නීතිවල වෙනස්කම් හඳුනා ගැනීමට ය. සාමාන්යයෙන් වෙනස්කම් වලට සංවේදී වන නිර්ණායක මධ්යම,නිර්ණායක ලෙස හැඳින්වේ මාරු කිරීම.සාමාන්යයෙන් වෙනස්කම් වලට සංවේදී වන නිර්ණායක විසුරුම,නිර්ණායක ලෙස හැඳින්වේ පරිමාණ. Mann-Whitney පරීක්ෂණය නිර්ණායකයට යොමු කරයි කැපීමසහ ඉදිරිපත් කර ඇති නියැදි, ජනගහන දෙකක මාධ්‍යවල වෙනස්කම් හඳුනා ගැනීමට භාවිතා කරයි ශ්රේණිගත කිරීමේ පරිමාණය.මනින ලද සලකුණු මෙම පරිමාණයේ ආරෝහණ අනුපිළිවෙලින් පිහිටා ඇති අතර පසුව නිඛිල 1, 2 සමඟ අංක කර ඇත ... මෙම සංඛ්යා හැඳින්වේ නිලයන්.සමාන අගයන් එකම නිලයන් පවරනු ලැබේ. එය වැදගත් වන්නේ ගුණාංගයේ වටිනාකම නොවේ, නමුත් පමණි නියම ස්ථානය,එය අනෙකුත් අගයන් අතර හිමි වේ.
වගුවේ. 3.5 වගුව 3.4 හි පළමු කණ්ඩායම පුළුල් කළ ආකාරයෙන් (පේළිය 1) ඉදිරිපත් කර ඇත, ශ්රේණිගත කිරීම (පේළිය 2) ට යටත් වේ, පසුව එම අගයන්හි ශ්රේණි අංක ගණිත මධ්යන්ය අගයන් මගින් ප්‍රතිස්ථාපනය වේ. උදාහරණයක් ලෙස, පළමු පේළියේ 4 සහ 4 මූලද්‍රව්‍යවලට 2 සහ 3 ශ්රේණි ලබා දී ඇති අතර ඒවා 2.5 හි එකම අගයන් සමඟ ප්‍රතිස්ථාපනය විය.
වගුව 3.5
ගැටලුව සකස් කිරීම
ස්වාධීන සාම්පල (X 1)හා (X 2)නොදන්නා බෙදාහැරීමේ නීති සහිත ජනගහනයෙන් උපුටා ගන්නා ලදී. සාම්පල ප්රමාණ n 1හා n 2පිළිවෙලින්. සාම්පලවල මූලද්රව්යවල අගයන් ඉදිරිපත් කර ඇත ශ්රේණිගත කිරීමේ පරිමාණය.මෙම සාමාන්ය ජනගහන එකිනෙකට වෙනස් දැයි පරීක්ෂා කිරීම අවශ්‍යද?
පරීක්ෂා කරන ලද උපකල්පන:
H 0- සාම්පල එකම පොදු ජනගහනයට අයත් වේ; H 1- සාම්පල විවිධ සාමාන්ය ජනගහනයට අයත් වේ.
එවැනි උපකල්පන පරීක්ෂා කිරීම සඳහා, (/-Mann-Whitney පරීක්ෂණය භාවිතා වේ.
පළමුව, ඒකාබද්ධ සාම්පලයක් (X) සාම්පල දෙකකින් සාදා ඇති අතර, ඒවායේ මූලද්රව්ය ශ්රේණිගත කර ඇත. එවිට පළමු නියැදියේ මූලද්‍රව්‍යවලට අනුරූප ශ්‍රේණිවල එකතුව හමු වේ. මෙම එකතුව උපකල්පන පරීක්ෂා කිරීමේ නිර්ණායකය වේ.
යූ= පළමු නියැදියේ ශ්‍රේණිවල එකතුව. (3.11)
20 ට වඩා විශාල ස්වාධීන සාම්පල සඳහා, අගය යූකීකරු වෙනවා සාමාන්ය බෙදාහැරීමේ, අපේක්ෂිත අගයසහ RMS සමාන වේ:
එබැවින්, විවේචනාත්මක කලාපයේ මායිම් සාමාන්ය බෙදාහැරීමේ වගු වලට අනුව දක්නට ලැබේ.
වගුවේ දක්වා ඇති උදාහරණය සඳහා. 3.4, අපට ලැබෙන්නේ: ν 1 \u003d ν 2 \u003d 20 - 1 \u003d 19, යූ= 339, μ = 410, σ = 37. α = 0.05 සඳහා අපට ලැබේ: වම් = 338 සහ දකුණ = 482.
නිර්ණායකයේ අගය විවේචනාත්මක කලාපයේ වම් මායිමෙන් ඔබ්බට යයි, එබැවින් H 1 උපකල්පනය පිළිගනු ලැබේ: සාමාන්ය ජනගහනයට විවිධ බෙදා හැරීමේ නීති ඇත. ඒ අතරම, සාමාන්ය ජනගහනයේ සාමාන්යය පළමු නියැදියඅඩු.
ඒවා බෙදාහැරීමේ ශ්‍රේණියේ ස්වරූපයෙන් ඉදිරිපත් කර ඇති අතර ඒවා ලෙස හැඩගස්වා ඇත.
බෙදාහැරීමේ මාලාවක් යනු එක් වර්ගයක සමූහකරණයකි.
බෙදා හැරීමේ පරාසය- අධ්යයනය කරන ලද ජනගහනයේ ඒකක යම් වෙනස් ගුණාංගයකට අනුව කණ්ඩායම්වලට බෙදා හැරීමක් නිරූපණය කරයි.
බෙදාහැරීමේ මාලාවක් ගොඩනැගීමට යටින් පවතින ලක්ෂණය මත පදනම්ව, ඇත ආරෝපණය සහ විචල්යබෙදාහැරීමේ ශ්රේණි:
- ආරෝපණය- ගුණාත්මක හේතූන් මත ගොඩනගා ඇති බෙදාහැරීමේ මාලාව අමතන්න.
- ප්රමාණාත්මක ගුණාංගයක අගයන්හි ආරෝහණ හෝ අවරෝහණ අනුපිළිවෙලින් ගොඩනගා ඇති බෙදා හැරීම් ශ්රේණි ලෙස හැඳින්වේ. විචල්ය.
පළමු තීරුවේ හඳුන්වනු ලබන විචල්ය ලක්ෂණයේ ප්රමාණාත්මක අගයන් අඩංගු වේ විකල්පසහ සලකුණු කර ඇත. විවික්ත ප්රභේදය - පූර්ණ සංඛ්යාවක් ලෙස ප්රකාශිතය. විරාම විකල්පය සිට සහ දක්වා පරාසය තුළ ඇත. විචල්ය වර්ග අනුව, විවික්ත හෝ අන්තරාල විචල්ය මාලාවක් තැනීමට හැකිය.
දෙවන තීරුවේ අඩංගු වේ ප්රමාණය නිශ්චිත විකල්පය
, සංඛ්යාත හෝ සංඛ්යාත අනුව ප්‍රකාශිත:
සංඛ්යාත- මේවා නිරපේක්ෂ සංඛ්යා වන අතර, එම ලක්ෂනයේ දී ඇති අගය සමස්ථයේ කොපමණ වාර ගණනක් සිදු වේද යන්න පෙන්නුම් කරයි. සියලුම සංඛ්යාතවල එකතුව මුළු ජනගහනයේ ඒකක ගණනට සමාන විය යුතුය.
සංඛ්යාත() යනු සමස්තයේ ප්‍රතිශතයක් ලෙස ප්‍රකාශිත සංඛ්යාත වේ. ප්‍රතිශතයක් ලෙස ප්‍රකාශිත සියලුම සංඛ්යාතවල එකතුව එකක භාගවලින් 100% ට සමාන විය යුතුය.
බෙදාහැරීමේ ශ්‍රේණිවල චිත්‍රක නිරූපණය
බෙදාහැරීමේ මාලාව ග්‍රැෆික් රූප භාවිතයෙන් දෘශ්‍යමාන වේ.
බෙදාහැරීමේ මාලාව පහත පරිදි පෙන්වනු ලැබේ:- බහුඅස්රය
- හිස්ටෝග්රෑම්
- සමුච්චය කරයි
- දෙනවා
බහුඅස්රය
බහුඅස්‍රයක් තැනීමේදී, තිරස් අක්ෂය (abscissa) මත විචල්ය ගුණාංගයේ අගයන් සැලසුම් කර ඇති අතර සිරස් අක්ෂයේ (ordinate) - සංඛ්යාත හෝ සංඛ්යාත.
අත්තික්කා වල බහුඅස්රය. 1994 දී රුසියාවේ ජනගහනයේ ක්ෂුද්ර සංගණනයට අනුව 6.1 ගොඩනගා ඇත.
තත්ත්වය: එක් ව්යවසායක සේවකයින් 25 දෙනෙකු තීරුබදු කාණ්ඩ අනුව බෙදා හැරීම පිළිබඳ දත්ත ලබා දී ඇත:
4; 2; 4; 6; 5; 6; 4; 1; 3; 1; 2; 5; 2; 6; 3; 1; 2; 3; 4; 5; 4; 6; 2; 3; 4
කාර්යයක්: විවික්ත විචල්ය මාලාවක් ගොඩනඟා එය බෙදාහැරීමේ බහුඅස්‍රයක් ලෙස චිත්‍රක ලෙස නිරූපණය කරන්න.
විසඳුමක්:
හිදී මෙම උදාහරණයවිකල්ප වේ තීරුබදු කාණ්ඩයසේවකයා. සංඛ්යාත තීරණය කිරීම සඳහා, සුදුසු වැටුප් කාණ්ඩයක් සහිත සේවකයින් සංඛ්යාව ගණනය කිරීම අවශ්ය වේ.
විවික්ත විචල්ය ශ්රේණි සඳහා බහුඅස්රය භාවිතා වේ.
බෙදා හැරීමේ බහුඅස්‍රයක් තැනීම සඳහා (රූපය 1), abscissa (X) දිගේ, අපි විවිධ ගතිලක්ෂණවල ප්රමාණාත්මක අගයන් - ප්‍රභේද, සහ ඕඩිනේට් - සංඛ්යාත හෝ සංඛ්යාත ඔස්සේ සැලසුම් කරමු.
ලාක්ෂණික අගයන් අන්තරයන් ලෙස ප්‍රකාශ කරන්නේ නම්, එවැනි ශ්‍රේණියක් විරාම ශ්‍රේණියක් ලෙස හැඳින්වේ.
විරාම මාලාවබෙදාහැරීම් හිස්ටෝග්රෑම්, සමුච්චිත හෝ ogive ලෙස චිත්‍රක ලෙස පෙන්වයි.
සංඛ්යාන වගුව
තත්ත්වය: තැන්පතු 20 ප්රමාණය පිළිබඳ දත්ත ලබා දී ඇත පුද්ගලයින්එක් බැංකුවක (රූබල් දහසක්) 60; 25; 12; දහය; 68; 35; 2; 17; 51; 9; 3; 130; 24; 85; 100; 152; 6; දහඅට; 7; 42.
කාර්යයක්: සමාන කාල අන්තරයන් සහිත විරාම විචල්ය මාලාවක් සාදන්න.
විසඳුමක්:
- ආරම්භක ජනගහනය ඒකක 20 කින් සමන්විත වේ (N = 20).
- Sturgess සූත්රය භාවිතා කරමින්, අපි නිර්වචනය කරමු අවශ්ය ප්රමාණයභාවිතා කරන ලද කණ්ඩායම්: n=1+3.322*lg20=5
- අපි අගය ගණනය කරමු සමාන පරතරය: i \u003d (152 - 2) / 5 \u003d රූබල් 30 දහසක්
- අපි ආරම්භක ජනගහනය රූබල් 30,000 ක පරතරයකින් කණ්ඩායම් 5 කට බෙදා දෙමු.
- කණ්ඩායම් ප්රතිඵල වගුවේ දක්වා ඇත:
එවැනි අඛණ්ඩ විශේෂාංගයක් පටිගත කිරීමත් සමඟ, එකම අගය දෙවරක් සිදු වන විට (එක් අන්තරයක ඉහළ සීමාව සහ තවත් අන්තරයක පහළ සීමාව ලෙස), මෙම අගය මෙම අගය ඉහළ සීමාව ලෙස ක්රියා කරන කණ්ඩායමට අයත් වේ.
තීරු වගුව
abscissa දිගේ හිස්ටෝග්‍රැම් එකක් තැනීම සඳහා, අන්තරාලවල මායිම්වල අගයන් දක්වන්න සහ ඒවායේ පදනම මත, සංඛ්‍යාතවලට (හෝ සංඛ්යාත) උස සමානුපාතික වන සෘජුකෝණාස්රා සාදන්න.
අත්තික්කා මත. 6.2 වයස් කාණ්ඩ අනුව 1997 දී රුසියාවේ ජනගහනය බෙදා හැරීමේ ඉතිහාසය පෙන්වයි.
තත්ත්වය: මාසික වැටුප් ප්රමාණය අනුව සමාගමේ සේවකයින් 30 දෙනෙකුගේ බෙදා හැරීම ලබා දෙනු ලැබේ
කාර්යයක්: විරාම විචල්ය ශ්‍රේණිය චිත්‍රක ලෙස හිස්ටෝග්රෑම් එකක් ලෙස සංදර්ශන කර සමුච්චය කරන්න.
විසඳුමක්:
- විවෘත (පළමු) පරතරයේ නොදන්නා මායිම තීරණය වන්නේ දෙවන පරතරයේ අගය අනුව ය: 7000 - 5000 = 2000 rubles. එකම අගය සමඟ, අපි පළමු පරතරයේ පහළ සීමාව සොයා ගනිමු: 5000 - 2000 = 3000 rubles.
- abscissa අක්ෂය දිගේ සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක හිස්ටෝග්රෑම් එකක් තැනීම සඳහා, අපි ප්‍රභේද ශ්‍රේණියේ කාල පරතරයන්ට අනුරූප වන අගයන් වෙන් කරමු.
මෙම කොටස් පහළ පදනම ලෙස සේවය කරන අතර, අනුරූප සංඛ්යාතය (සංඛ්යාතය) පිහිටුවා ඇති සෘජුකෝණාස්රයේ උස ලෙස සේවය කරයි. - අපි ඉතිහාස සටහනක් ගොඩනඟමු:
සමුච්චිතය ඉදි කිරීම සඳහා, සමුච්චිත සංඛ්යාත (සංඛ්යාත) ගණනය කිරීම අවශ්ය වේ. ඒවා තීරණය කරනු ලබන්නේ පෙර කාල අන්තරවල සංඛ්යාත (සංඛ්යාත) අනුක්‍රමික සමාකලනය මගින් වන අතර S මගින් දක්වනු ලැබේ. සමුච්චිත සංඛ්යාත මගින් ජනගහනයේ ඒකක කීයකට වඩා වැඩි විශේෂාංග අගයක් තිබේද යන්න පෙන්වයි.
සමුච්චය කරන්න
සමුච්චිත සංඛ්යාත (සංඛ්යාත) අනුව විචල්ය ශ්‍රේණියක ලක්ෂණයක් බෙදා හැරීම සමුච්චය භාවිතයෙන් නිරූපණය කෙරේ.
සමුච්චය කරන්නහෝ සමුච්චිත වක්රය, බහුඅස්‍රයට ප්‍රතිවිරුද්ධව, සමුච්චිත සංඛ්යාත හෝ සංඛ්යාත මත ගොඩනගා ඇත. ඒ සමගම, ලක්ෂණයේ අගයන් abscissa අක්ෂය මත තබා ඇති අතර, සමුච්චිත සංඛ්යාත හෝ සංඛ්යාතයන් ordinate අක්ෂය මත තබා ඇත (රූපය 6.3).
4. සමුච්චිත සංඛ්යාත ගණනය කරන්න:
පළමු අන්තරයේ දණහිස් සංඛ්යාතය පහත පරිදි ගණනය කෙරේ: 0 + 4 = 4, දෙවන සඳහා: 4 + 12 = 16; තෙවනුව සඳහා: 4 + 12 + 8 = 24, ආදිය.
සමුච්චිතය තැනීමේදී, අනුරූප පරතරයේ සමුච්චිත සංඛ්යාතය (සංඛ්යාතය) එහි ඉහළ සීමාවට පවරා ඇත:
ඔගිවා
ඔගිවාසමුච්චිතයට සමාන ලෙස ගොඩනගා ඇත්තේ සමුච්චිත සංඛ්යාත abscissa අක්ෂය මත තබා ඇති අතර විශේෂාංග අගයන් ordinate අක්ෂය මත තබා ඇති එකම වෙනස සමඟිනි.
සමුච්චිතයේ විචලනය වන්නේ සාන්ද්රණ වක්රය හෝ ලොරෙන්ස් කුමන්ත්‍රණයයි. අක්ෂ දෙකෙහිම සාන්ද්රණ වක්රය සැලසුම් කිරීමට සෘජුකෝණාස්රාකාර පද්ධතියඛණ්ඩාංක, 0 සිට 100 දක්වා ප්‍රතිශතයකින් පරිමාණ පරිමාණයක් යොදනු ලැබේ. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, abscissa සමුච්චිත සංඛ්යාත පෙන්නුම් කරයි, සහ ordinate ලක්ෂණයේ පරිමාව අනුව කොටසෙහි සමුච්චිත අගයන් (සියයට අනුව) දක්වයි.
ලකුණෙහි ඒකාකාර ව්යාප්තිය ප්රස්ථාරයේ චතුරස්රයේ විකර්ණයට අනුරූප වේ (රූපය 6.4). අසමාන ව්‍යාප්තියක් සහිතව, ප්රස්ථාරය යනු ලක්ෂණයේ සාන්ද්රණ මට්ටම අනුව අවතල වක්‍රයකි.
සමාජ-ආර්ථික සංසිද්ධි සහ ක්‍රියාවලීන් අධ්යයනය කිරීමේ වැදගත්ම අදියර වන්නේ ප්රාථමික දත්ත ක්‍රමානුකූල කිරීම සහ මෙම පදනම මත, ප්රාථමික සංඛ්යානමය ද්‍රව්‍ය සාරාංශ කිරීම සහ කාණ්ඩගත කිරීම මගින් සාක්ෂාත් කරගනු ලබන සාමාන්‍යකරණ දර්ශක භාවිතා කරමින් සමස්ත වස්තුවේ සාරාංශ ලක්ෂණයක් ලබා ගැනීමයි.
සංඛ්යානමය සාරාංශය - මෙය සමස්තයක් ලෙස අධ්‍යයනයට ලක්වන සංසිද්ධියට ආවේණික වූ සාමාන්ය ලක්ෂණ සහ රටා හඳුනා ගැනීමට, කට්ටලයක් සාදන නිශ්චිත තනි කරුණු සාමාන්යකරණය කිරීමට අනුක්‍රමික මෙහෙයුම් සංකීර්ණයකි. සංඛ්යානමය සාරාංශයක් පැවැත්වීම ඇතුළත් වේ ඊළඟ පියවර :
- කණ්ඩායම් විශේෂාංගය තෝරා ගැනීම;
- කණ්ඩායම් පිහිටුවීමේ අනුපිළිවෙල තීරණය කිරීම;
- කණ්ඩායම් සහ සමස්තයක් ලෙස වස්තුව ගුනාංගීකරනය කිරීම සඳහා සංඛ්යානමය දර්ශක පද්ධතියක් සංවර්ධනය කිරීම;
- සාරාංශ ප්රතිඵල ඉදිරිපත් කිරීම සඳහා සංඛ්යාන වගු වල පිරිසැලසුම් සංවර්ධනය කිරීම.
සංඛ්යානමය කණ්ඩායම්කරණය අධ්යයනය කරන ලද ජනගහනයේ ඒකක ඔවුන්ට අත්යවශ්ය ඇතැම් ලක්ෂණ අනුව සමජාතීය කණ්ඩායම්වලට බෙදීම ලෙස හැඳින්වේ. කණ්ඩායම්කරණය වඩාත් වැදගත් වේ සංඛ්යානමය ක්රමයසංඛ්යාන දත්ත සාමාන්යකරණය කිරීම, සංඛ්යානමය දර්ශක නිවැරදිව ගණනය කිරීම සඳහා පදනම.
වෙන්කර හඳුනා ගන්න පහත වර්ගකණ්ඩායම්: typological, ව්යුහාත්මක, විශ්ලේෂණාත්මක. වස්තුවේ ඒකක යම් ගුණාංගයකට අනුව කණ්ඩායම් වලට බෙදී ඇති නිසා මෙම සියලු කණ්ඩායම් ඒකාබද්ධ වේ.
කණ්ඩායම් ලකුණ ජනගහනයේ ඒකක වෙනම කණ්ඩායම් වලට බෙදා ඇති ලකුණ ලෙස හැඳින්වේ. සිට නිවැරදි තේරීමකණ්ඩායම් ලක්ෂණය සංඛ්යාන අධ්‍යයනයේ නිගමන මත රඳා පවතී. සමූහගත කිරීම සඳහා පදනමක් ලෙස, සැලකිය යුතු, න්යායිකව තහවුරු කළ ලක්ෂණ (ප්රමාණාත්මක හෝ ගුණාත්මක) භාවිතා කිරීම අවශ්ය වේ.
සමූහගත වීමේ ප්රමාණාත්මක සංඥා සංඛ්යාත්මක ප්‍රකාශනයක් ඇත (වෙළඳාමේ පරිමාව, පුද්ගලයෙකුගේ වයස, පවුලේ ආදායම, ආදිය), සහ සමූහයේ ගුණාත්මක ලක්ෂණ ජනගහන ඒකකයේ තත්වය පිළිබිඹු කරයි (ලිංගික, විවාහක අවිවාහක බව, ව්යවසායයේ කර්මාන්ත අනුබද්ධය, එහි හිමිකාරිත්වය, ආදිය).
කණ්ඩායම්කරණයේ පදනම තීරණය කිරීමෙන් පසුව, අධ්යයන ජනගහනය බෙදිය යුතු කණ්ඩායම් සංඛ්යාව පිළිබඳ ප්රශ්නය තීරණය කළ යුතුය. කණ්ඩායම් සංඛ්යාව අධ්‍යයනයේ අරමුණු සහ කණ්ඩායම්කරණයට යටින් පවතින දර්ශක වර්ගය, ජනගහනයේ පරිමාව, ගතිලක්ෂණයේ විචලනයේ ප්රමාණය මත රඳා පවතී.
නිදසුනක් ලෙස, හිමිකාරිත්වයේ ආකෘති අනුව ව්යවසායන් කාණ්ඩගත කිරීම, නාගරික, ෆෙඩරල් සහ සම්මේලනයේ විෂයයන්හි දේපල සැලකිල්ලට ගනී. කණ්ඩායම්කරණය ප්රමාණාත්මක පදනමක් මත සිදු කරන්නේ නම්, එය ප්‍රතිලෝම කිරීම අවශ්ය වේ විශේෂ අවධානයඅධ්‍යයනයට ලක්ව ඇති වස්තුවේ ඒකක ගණන සහ කණ්ඩායම් ගුණාංගයේ උච්චාවචන මට්ටම මත.
කණ්ඩායම් ගණන තීරණය කරන විට, කණ්ඩායම් කාල පරතරයන් තීරණය කළ යුතුය. අන්තරය - මේවා යම් සීමාවන් තුළ පවතින විචල්ය ලක්ෂණයක අගයන් වේ. සෑම විරාමයකටම තමන්ගේම අගයක්, ඉහළ සහ පහළ සීමාවන් හෝ අවම වශයෙන් ඒවායින් එකක්වත් ඇත.
අන්තරයේ පහළ මායිම අන්තරයේ ඇති ගුණාංගයේ කුඩාම අගය ලෙස හැඳින්වේ, සහ ඉහල සීමාව - අන්තරයේ ඇති ගුණාංගයේ විශාලතම අගය. අන්තර අගය යනු ඉහළ සහ පහළ සීමාවන් අතර වෙනසයි.
කාණ්ඩගත කිරීමේ කාල පරතරයන්, ඒවායේ විශාලත්වය අනුව, සමාන සහ අසමාන වේ. ලක්ෂණයේ විචලනය සාපේක්ෂ පටු සීමාවන් තුළ විදහා දක්වයි නම් සහ බෙදා හැරීම ඒකාකාරී නම්, සමූහගත කිරීමක් සමාන කාල පරාසයන් සමඟ ගොඩනගා ඇත. සමාන විරාමයක අගය පහත සූත්රය මගින් තීරණය වේ :
එහිදී Xmax, Xmin - සමස්තයේ ඇති ගුණාංගයේ උපරිම සහ අවම අගයන්; n යනු කණ්ඩායම් ගණනයි.
තෝරාගත් සෑම කණ්ඩායමක්ම එක් දර්ශකයකින් සංලක්ෂිත වන සරලම කණ්ඩායම්කරණය බෙදාහැරීමේ මාලාවකි.
සංඛ්යාන මාලාවබෙදා හැරීම - මෙය නිශ්චිත ගුණාංගයකට අනුව ජනගහන ඒකක කණ්ඩායම් වලට බෙදා හැරීමකි. බෙදාහැරීමේ මාලාවක් ගොඩනැගීමට පාදක වන ලක්ෂණය මත පදනම්ව, ආරෝපණය සහ විචල්ය බෙදාහැරීමේ ශ්රේණි වෙන්කර හඳුනාගත හැකිය.
ආරෝපණය ඔවුන් ගුණාත්මක ලක්ෂණ අනුව ගොඩනගා ඇති බෙදාහැරීමේ මාලාවක් ලෙස හැඳින්වේ, එනම් සංඛ්යාත්මක ප්‍රකාශනයක් නොමැති සලකුණු (ශ්‍රමය අනුව බෙදා හැරීම, ලිංගිකත්වය, වෘත්තියෙන් යනාදිය). ගුණාංග බෙදා හැරීමේ මාලාව එක් හෝ තවත් අත්යවශ්ය ලක්ෂණයක් අනුව ජනගහනයේ සංයුතිය සංලක්ෂිත වේ. කාල පරිච්ඡේද කිහිපයකින් ගත් විට, මෙම දත්ත ව්යුහයේ වෙනස අධ්යයනය කිරීමට අපට ඉඩ සලසයි.
විචලන පේළි ප්රමාණාත්මක පදනමක් මත ගොඩනගා ඇති බෙදාහැරීමේ ශ්රේණි ලෙස හැඳින්වේ. ඕනෑම විචල්ය ශ්‍රේණියක් මූලද්රව්ය දෙකකින් සමන්විත වේ: ප්‍රභේද සහ සංඛ්යාත. විකල්ප විචල්ය ශ්‍රේණියේ එය ගන්නා ගුණාංගයේ තනි අගයන් ලෙස හැඳින්වේ, එනම් විචල්ය ගුණාංගයේ නිශ්චිත අගය.
සංඛ්යාත තනි ප්‍රභේද සංඛ්යාව හෝ විචල්ය ශ්‍රේණියේ එක් එක් කාණ්ඩය ලෙස හැඳින්වේ, එනම් මේවා බෙදාහැරීමේ ශ්‍රේණියේ ඇතැම් ප්‍රභේද කොපමණ වාරයක් සිදුවේදැයි පෙන්වන සංඛ්යා වේ. සියලුම සංඛ්යාතවල එකතුව සමස්ත ජනගහනයේ ප්රමාණය, එහි පරිමාව තීරණය කරයි. සංඛ්යාත සංඛ්යාත කැඳවනු ලැබේ, ඒකකයක භාග වලින් හෝ සම්පූර්ණයෙන් ප්‍රතිශතයක් ලෙස ප්‍රකාශ වේ. ඒ අනුව, සංඛ්යාතවල එකතුව 1 හෝ 100% ට සමාන වේ.
ලක්ෂණයේ විචලනයේ ස්වභාවය අනුව, විචල්ය ශ්‍රේණියේ ආකාර තුනක් වෙන්කර හඳුනාගත හැකිය: ශ්රේණිගත ශ්‍රේණියක්, විවික්ත ශ්‍රේණියක් සහ විරාම ශ්‍රේණියක්.
ශ්රේණිගත කළ විචල්ය මාලාව - මෙය අධ්‍යයනයට ලක්ව ඇති ලක්ෂණයේ ආරෝහණ හෝ අවරෝහණ අනුපිළිවෙලෙහි ජනගහනයේ තනි ඒකක බෙදා හැරීමයි. ශ්රේණිගත කිරීම ප්රමාණාත්මක දත්ත කණ්ඩායම් වලට බෙදීම පහසු කරයි, කුඩාම සහ වහාම හඳුනා ගන්න විශාලතම වටිනාකමවිශේෂාංගය, බොහෝ විට පුනරාවර්තනය වන අගයන් ඉස්මතු කරන්න.
විවික්ත විචලන මාලාව නිඛිල අගයන් පමණක් ගන්නා විවික්ත ගුණාංගයකට අනුව ජනගහන ඒකක බෙදා හැරීම සංලක්ෂිත කරයි. උදාහරණයක් ලෙස, තීරුබදු කාණ්ඩය, පවුලේ දරුවන්ගේ සංඛ්යාව, ව්යවසායයේ සේවකයින් සංඛ්යාව, ආදිය.
ලකුණකට අඛණ්ඩ වෙනසක් තිබේ නම්, යම් සීමාවන් තුළ ඕනෑම අගයක් ("සිට - දක්වා") ගත හැකි නම්, මෙම ලකුණ සඳහා ඔබ ගොඩනගා ගත යුතුය විරාම විචලන මාලාව . උදාහරණයක් ලෙස, ආදායම් ප්රමාණය, සේවා පළපුරුද්ද, ව්යවසායයේ ස්ථාවර වත්කම්වල පිරිවැය, ආදිය.
"සංඛ්යාන සාරාංශය සහ සමූහගත කිරීම" යන මාතෘකාව පිළිබඳ ගැටළු විසඳීමේ උදාහරණ
කාර්යය 1 . පසුගිය අධ්යයන වර්ෂය සඳහා දායකත්වයෙන් සිසුන්ට ලැබුණු පොත් සංඛ්යාව පිළිබඳ තොරතුරු තිබේ.
ශ්‍රේණියේ මූලද්රව්ය දැක්වෙන පරාසයක සහ විවික්ත විචල්ය බෙදාහැරීමේ මාලාවක් ගොඩනඟන්න.
විසඳුමක්
මෙම කට්ටලය සිසුන්ට ලැබෙන පොත් ගණන සඳහා විකල්ප කට්ටලයකි. අපි එවැනි ප්‍රභේද ගණන ගණන් කර ඒවා විචල්ය ශ්රේණිගත සහ විචල්ය ආකාරයෙන් සකස් කරමු. විවික්ත මාලාවක්බෙදා හැරීම.
කාර්යය 2 . ව්යවසායන් 50 ක්, රූබල් දහසක් සඳහා ස්ථාවර වත්කම්වල වටිනාකම පිළිබඳ දත්ත තිබේ.
ව්යවසාය කණ්ඩායම් 5ක් (සමාන කාල පරතරයකින්) ඉස්මතු කරමින් බෙදාහැරීමේ මාලාවක් සාදන්න.
විසඳුමක්
විසඳුම සඳහා, අපි ව්යවසායක ස්ථාවර වත්කම්වල පිරිවැයේ විශාලතම හා කුඩාම අගයන් තෝරා ගනිමු. මේවා රූබල් 30.0 සහ 10.2 දහසක්.
පරතරයේ ප්රමාණය සොයා ගන්න: h \u003d (30.0-10.2): 5 \u003d රූබල් 3.96 දහසක්.
එවිට පළමු කණ්ඩායමට ව්යවසායන් ඇතුළත් වනු ඇත, එහි ස්ථාවර වත්කම් ප්රමාණය රුබල් 10.2 දහසකි. 10.2 + 3.96 = 14.16 දහසක් දක්වා රුබල්. එවැනි ව්යවසායන් 9 ක් ඇත, දෙවන කණ්ඩායමට ව්යවසායන් ඇතුළත් වනු ඇත, ස්ථාවර වත්කම් ප්රමාණය රුබල් 14.16 දහසක් වනු ඇත. 14.16 + 3.96 = 18.12 දහසක් දක්වා රුබල්. එවැනි ව්යවසායන් 16 ක් ඇත.එසේම තුන්වන, හතරවන සහ පස්වන කණ්ඩායම්වලට ඇතුළත් කර ඇති ව්යවසායන් සංඛ්යාව අපට හමු වේ.
ප්රතිඵලයක් ලෙස බෙදාහැරීමේ මාලාව වගුවේ තබා ඇත.
කාර්යය 3 . ව්යවසායන් ගණනාවක් සඳහා සැහැල්ලු කර්මාන්තයපහත දත්ත ලැබී ඇත:
සේවක සංඛ්යාව අනුව ව්යවසායන් සමූහයක් සාදන්න, සමාන කාල පරතරයකින් කණ්ඩායම් 6 ක් සාදන්න. එක් එක් කණ්ඩායම සඳහා ගණන් කරන්න:
1. ව්යවසාය සංඛ්යාව
2. කම්කරුවන් සංඛ්යාව
3. වසරකට නිෂ්පාදිත නිෂ්පාදන පරිමාව
4. සේවකයෙකු සඳහා සාමාන්ය සත්‍ය නිමැවුම
5. ස්ථාවර වත්කම් ප්රමාණය
6. එක් ව්යවසායක ස්ථාවර වත්කම්වල සාමාන්ය ප්රමාණය
7. එක් ව්යවසායයක් විසින් නිෂ්පාදිත නිෂ්පාදනවල සාමාන්ය අගය
වගු වල ගණනය කිරීමේ ප්රතිඵල සටහන් කරන්න. ඔබේම නිගමන උකහා ගන්න.
විසඳුමක්
විසඳුම සඳහා, අපි ව්යවසායයේ සාමාන්ය සේවකයින් සංඛ්‍යාවේ විශාලතම හා කුඩාම අගයන් තෝරා ගනිමු. මේවා 43 සහ 256 වේ.
පරතරයේ විශාලත්වය සොයන්න: h = (256-43): 6 = 35.5
එවිට පළමු කණ්ඩායමට 43 සිට 43 + 35.5 = 78.5 දක්වා වූ සාමාන්ය සේවක සංඛ්යාවක් සහිත ව්යවසායන් ඇතුළත් වේ. එවැනි ව්යවසායන් 5 ක් ඇත.දෙවන කණ්ඩායමට ව්යවසායන් ඇතුළත් වනු ඇත, සාමාන්ය සේවක සංඛ්යාව 78.5 සිට 78.5 + 35.5 = 114 දක්වා වේ. එවැනි ව්යවසායන් 12 ක් ඇත.එසේම තුන්වන, හතරවන, පස්වන සහ හයවන කණ්ඩායම්වලට ඇතුළත් කර ඇති ව්යවසායන් සංඛ්යාව අපට හමු වේ.
ප්රතිඵලයක් ලෙස බෙදාහැරීමේ ශ්‍රේණිය අපි වගුවක තබා එක් එක් කණ්ඩායම සඳහා අවශ්ය දර්ශක ගණනය කරමු:
නිගමනය : වගුවෙන් දැකිය හැකි පරිදි, ව්යවසායන් දෙවන කණ්ඩායම වඩාත් බහුල වේ. එයට ව්යවසායන් 12 ක් ඇතුළත් වේ. කුඩාම වන්නේ පස්වන සහ හයවන කණ්ඩායම් (ව්යවසායන් දෙක බැගින්). මේවා විශාලතම ව්යවසායන් වේ (කම්කරුවන්ගේ සංඛ්යාව අනුව).
දෙවන කණ්ඩායම වැඩිපුරම සිටින බැවින්, මෙම කණ්ඩායමේ ව්යවසායන් විසින් වසරකට නිමැවුම් පරිමාව සහ ස්ථාවර වත්කම් පරිමාව අනෙක් ඒවාට වඩා බෙහෙවින් වැඩි ය. ඒ අතරම, මෙම කණ්ඩායමේ ව්යවසායන්හි එක් සේවකයෙකුගේ සාමාන්ය සැබෑ ප්රතිදානය ඉහළම නොවේ. සිව්වන කණ්ඩායමේ ව්යවසායන් මෙහි පෙරමුණ ගෙන ඇත. මෙම සමූහය ස්ථාවර වත්කම් ප්රමාණය ද තරමක් විශාලය.
අවසාන වශයෙන්, අපි ස්ථාවර වත්කම්වල සාමාන්ය ප්රමාණය සහ සාමාන්ය අගයඑක් ව්‍යවසායයක නිෂ්පාදිත නිෂ්පාදන ව්යවසායයේ ප්‍රමාණයට සෘජුව සමානුපාතික වේ (කම්කරුවන්ගේ සංඛ්යාව අනුව).
රසායනාගාර අංක 1
විසින් ගණිතමය සංඛ්යා ලේඛන
මාතෘකාව: පර්යේෂණාත්මක දත්තවල මූලික සැකසුම්
3. ලකුණු වලින් ඇගයීම. එක
5. පරීක්ෂණ ප්රශ්න.. 2
6. ක්රියාත්මක කිරීමේ ක්රමය රසායනාගාර කටයුතු.. 3
අරමුණ
ගණිතමය සංඛ්‍යාලේඛන ක්රම මගින් ආනුභවික දත්ත ප්රාථමික සැකසීමේ කුසලතා අත්පත් කර ගැනීම.
පර්යේෂණාත්මක දත්ත සමූහයක් මත පදනම්ව, පහත සඳහන් කාර්යයන් ඉටු කරන්න:
අභ්‍යාස 1.බෙදා හැරීමේ විරාම විචල්ය මාලාවක් සාදන්න.
කාර්යය 2.විරාම විචල්ය ශ්‍රේණියේ සංඛ්යාතවල හිස්ටෝග්රෑම් එකක් සාදන්න.
කාර්යය 3.ආනුභවික බෙදාහැරීමේ කාර්යයක් සහ කුමන්ත්‍රණයක් සම්පාදනය කරන්න.
a) මාදිලිය සහ මධ්යන්ය;
ආ) කොන්දේසි සහිත ආරම්භක අවස්ථා;
ඇ) නියැදි මධ්යන්ය;
ඈ) නියැදි විචලනය, නිවැරදි කරන ලද ජනගහන විචලනය, නිවැරදි කරන ලද මධ්යන්යය සම්මත අපගමනය;
e) විචලනයේ සංගුණකය;
e) අසමමිතිය;
g) kurtosis;
කාර්යය 5.අධ්යයනය කරන ලද සංඛ්යාත්මක ලක්ෂණවල සැබෑ අගයන් වල මායිම් තීරණය කරන්න අහඹු විචල්යයලබා දී ඇති විශ්වසනීයත්වය සමඟ.
කාර්යය 6.ගැටලුවේ තත්ත්වය අනුව ප්රාථමික සැකසීමේ ප්රතිඵල අර්ථවත් ලෙස අර්ථ දැක්වීම.
ලකුණු වලින් ලකුණු කරන්න
කාර්යයන් 1-5 – ලකුණු 6 යි
කාර්යය 6 – ලකුණු 2ක්
රසායනාගාර ආරක්ෂණය(පාලක ප්රශ්න සහ රසායනාගාර කටයුතු පිළිබඳ වාචික සම්මුඛ සාකච්ඡාව) - ලකුණු 2ක්
කාර්යය A4 පත්‍රවල ලිඛිතව ඉදිරිපත් කර ඇති අතර ඒවාට ඇතුළත් වන්නේ:
1) මාතෘකා පිටුව(ඇමුණුම 1)
2) මූලික දත්ත.
3) නිශ්චිත නියැදිය අනුව වැඩ ඉදිරිපත් කිරීම.
4) නිශ්චිත අනුපිළිවෙලෙහි ගණනය කිරීමේ ප්රතිඵල (අතින් සහ/හෝ MS Excel භාවිතයෙන් සිදු කරනු ලැබේ).
5) නිගමන - ගැටලුවේ තත්ත්වය අනුව ප්රාථමික සැකසීමේ ප්රතිඵල අර්ථවත් ලෙස අර්ථකථනය කිරීම.
6) වාචික සම්මුඛ පරීක්ෂණයවැඩ සහ පාලන ගැටළු මත.
5. ආරක්ෂක ප්රශ්න
රසායනාගාර කටයුතු සිදු කිරීම සඳහා වූ ක්රමවේදය
කාර්යය 1. බෙදා හැරීමේ විරාම විචල්ය මාලාවක් ගොඩනඟන්න
සමාන පරතරයක් ඇති ප්‍රභේද සහිත විචල්ය ශ්‍රේණියක සංඛ්යාන දත්ත ඉදිරිපත් කිරීම සඳහා, එය අවශ්ය වේ:
1. මුල් දත්ත වගුවේ, කුඩාම සහ විශාලතම අගයන් සොයා ගන්න.
2. තීරණය කරන්න විචලනය පරාසය :
3. පරතරය h හි දිග තීරණය කරන්න, නියැදියේ දත්ත 1000 ක් දක්වා තිබේ නම්, සූත්රය භාවිතා කරන්න: 
, එහිදී n - නියැදි ප්රමාණය - නියැදියේ දත්ත ප්රමාණය; lgn ගණනය කිරීම් සඳහා ගනු ලැබේ).
ගණනය කළ අනුපාතය දක්වා වට කර ඇත පහසු පූර්ණ සංඛ්යා අගය .
4. ඉරට්ටේ කාල පරතරයන් සඳහා පළමු අන්තරයේ ආරම්භය තීරණය කිරීම සඳහා, අගය ගැනීම නිර්දේශ කරනු ලැබේ; සහ ඔත්තේ සංඛ්‍යාවක අන්තරයන් සඳහා .
5. කණ්ඩායම් කාල පරතරයන් වාර්තා කර මායිම්වල ආරෝහණ අනුපිළිවෙලට ඒවා සකස් කරන්න
, 
,………., ,
පළමු අන්තරයේ පහළ මායිම කොහෙද. පහසු අංකයක් නොඉක්මවන සඳහා ගනු ලැබේ, අවසාන පරතරයේ ඉහළ සීමාව ට නොඅඩු විය යුතුය. විරාමවල අහඹු විචල්‍යයේ ආරම්භක අගයන් අඩංගු වන අතර ඒවායින් වෙන් කිරීම නිර්දේශ කෙරේ 5 සිට 20 දක්වාවිරාමයන්.
6. කණ්ඩායම්වල කාල පරතරයන් පිළිබඳ ආරම්භක දත්ත ලියන්න, i.e. නියමිත කාල සීමාවන් තුළට වැටෙන අහඹු විචල්‍යයක අගයන් සංඛ්යාව මුල් වගුවෙන් ගණනය කරන්න. සමහර අගයන් අන්තරාලවල මායිම් සමඟ සමපාත වේ නම්, එවිට ඒවා ආරෝපණය කරනු ලබන්නේ පෙර එකට පමණක් හෝ පසුව ඇති විරාමයට පමණි.
සටහන 1.විරාම දිග සමාන නොවිය යුතුය. අගයන් ඝනත්වය වැඩි ප්‍රදේශවල, කුඩා කෙටි කාල පරතරයන් ගැනීම වඩාත් පහසු වන අතර, අඩු වාර ගණනක් - විශාල ඒවා වේ.
සටහන 2.සමහර අගයන් සඳහා "ශුන්‍ය" හෝ කුඩා සංඛ්යාත අගයන් ලබා ගන්නේ නම්, දත්ත නැවත සකස් කිරීම, පරතරයන් විශාල කිරීම (පියවර වැඩි කිරීම) අවශ්ය වේ.
