සාමාන්ය අගය සූත්රය මගින් තීරණය වේ. සාමාන්යය ගණනය කරන්නේ කෙසේද
සාමාන්ය අගය- මෙය යම් ප්රමාණාත්මක ගුණාංගයකට අනුව ගුණාත්මකව සමජාතීය ජනගහනයක් සංලක්ෂිත සාමාන්යකරණ දර්ශකයකි. උදාහරණ වශයෙන්, සාමාන්ය වයස අවුරුදුසොරකම් සම්බන්ධයෙන් වරදකරුවන් වූ පුද්ගලයන්.
අධිකරණ සංඛ්‍යාලේඛනවලදී, සාමාන්යයන් ගුනාංගීකරනය කිරීමට භාවිතා කරයි:
මෙම කාණ්ඩයේ නඩු සලකා බැලීමේ සාමාන්ය නියමයන්;
මධ්යම ප්රමාණයේ හිමිකම්;
එක් නඩුවකට සාමාන්ය විත්තිකරුවන් සංඛ්යාව;
හානියේ සාමාන්ය ප්රමාණය;
විනිසුරුවන්ගේ සාමාන්ය වැඩ ප්රමාණය, ආදිය.
සාමාන්ය අගය සෑම විටම නම් කර ඇති අතර ජනගහනයේ වෙනම ඒකකයක ගුණාංගයට සමාන මානයක් ඇත. සෑම සාමාන්ය අගයක්ම අධ්යයනය කරන ලද ජනගහනය එක් වෙනස් ගුණාංගයකට අනුව සංලක්ෂිත කරයි, එබැවින් ඕනෑම සාමාන්‍යයකට පිටුපසින්, අධ්යයනය කරන ලද ගුණාංගයට අනුව මෙම ජනගහනයේ ඒකක බෙදා හැරීමේ මාලාවක් ඇත. සාමාන්ය වර්ගය තෝරාගැනීම දර්ශකයේ අන්තර්ගතය සහ සාමාන්යය ගණනය කිරීම සඳහා ආරම්භක දත්ත මගින් තීරණය කරනු ලැබේ.
සංඛ්යාන අධ්‍යයනයන්හි භාවිතා වන සියලුම සාමාන්ය වර්ග වර්ග දෙකකට අයත් වේ:
1) බලශක්ති සාමාන්යයන්;
2) ව්යුහාත්මක සාමාන්යයන්.
සාමාන්ය පළමු කාණ්ඩයට ඇතුළත් වන්නේ: අංක ගණිත මධ්යන්යය, හාර්මොනික් මධ්යන්ය, ජ්යාමිතික මධ්යන්ය හා මූල අදහස් කරන්නේ හතරැස් . දෙවන කාණ්ඩය වන්නේ විලාසිතාහා මධ්යන්ය. එපමණක් නොව, ලැයිස්තුගත කර ඇති එක් එක් බල සාමාන්ය වර්ග දෙකට ආකාර දෙකක් තිබිය හැකිය: සරල හා බර කර ඇත . සරල ආකෘතියසමූහගත නොකළ සංඛ්යාන දත්ත මත ගණනය කිරීම සිදු කරන විට හෝ ජනගහනයේ එක් එක් ප්‍රභේදය එක් වරක් පමණක් සිදු වන විට අධ්යයනය කරන ලද ලක්ෂණයේ සාමාන්ය අගය ලබා ගැනීමට මධ්යන්ය අගය භාවිතා වේ. බරිත සාමාන්ය අගයන් ලෙස හඳුන්වනු ලබන්නේ විශේෂාංගයක අගයන් සඳහා වන විකල්පයන්ට විවිධ සංඛ්යා තිබිය හැකි බව සැලකිල්ලට ගන්නා අගයන් වන අතර එම නිසා එක් එක් විකල්පය අනුරූප සංඛ්‍යාතයෙන් ගුණ කළ යුතුය. වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, එක් එක් විකල්පය එහි සංඛ්යාතය මගින් "බර" වේ. සංඛ්යාතය සංඛ්යාන බර ලෙස හැඳින්වේ.
සරල අංක ගණිත මධ්යන්යය- වඩාත් පොදු මාධ්ය වර්ගය. එය බෙදී ඇති තනි ලක්ෂණ අගයන්හි එකතුවට සමාන වේ මුළු සංඛ්යාවමෙම අගයන්:
කොහෙද x 1 , x 2 , ... , x N- විචල්ය ගුණාංගයේ තනි අගයන් (විකල්ප) සහ N - ජනගහන ඒකක ගණන.
අංක ගණිතමය බර සහිත සාමාන්යයදත්ත බෙදාහැරීමේ ශ්‍රේණි හෝ කණ්ඩායම් ආකාරයෙන් ඉදිරිපත් කරන විට භාවිතා වේ. එය ගණනය කරනු ලබන්නේ විකල්පවල නිෂ්පාදනවල එකතුව සහ ඒවාට අනුරූප සංඛ්යාතය, සියලු විකල්පවල සංඛ්යාතවල එකතුවෙන් බෙදීම:
කොහෙද x i- අර්ථය මමවිශේෂාංගයේ -වන ප්රභේද; fi- සංඛ්යාතය මම th විකල්ප.
මේ අනුව, සෑම විචල්ය අගයක්ම එහි සංඛ්යාතය මගින් බර කරනු ලැබේ, එම නිසා සංඛ්යාත සමහර විට සංඛ්යාන බර ලෙස හැඳින්වේ.
අදහස් දක්වන්න.එහි වර්ගය සඳහන් නොකර අංක ගණිත මධ්යන්යය වෙත පැමිණෙන විට, සරල ගණිත මධ්යන්යය අදහස් වේ.
වගුව 12
විසඳුමක්.ගණනය කිරීම සඳහා, අපි ගණිතමය බර සහිත සාමාන්යයේ සූත්රය භාවිතා කරමු:
මේ අනුව, සාමාන්යයෙන් එක් අපරාධ නඩුවකට විත්තිකරුවන් දෙදෙනෙකි.
සාමාන්ය අගය ගණනය කිරීම සිදු කරනු ලබන්නේ විරාම බෙදා හැරීමේ ශ්රේණියේ ස්වරූපයෙන් කාණ්ඩගත කර ඇති දත්ත වලට අනුව නම්, පළමුව ඔබ එක් එක් කාල පරතරය x "i හි මධ්ය අගයන් තීරණය කළ යුතුය, ඉන්පසු බරිත අගය භාවිතා කර සාමාන්ය අගය ගණනය කරන්න. අංක ගණිත මධ්යන්ය සූත්රය, x i වෙනුවට x" i ආදේශ කර ඇත.
උදාහරණයක්.සොරකම සම්බන්ධයෙන් වරදකරුවන් වූ අපරාධකරුවන්ගේ වයස පිළිබඳ දත්ත වගුවේ දක්වා ඇත:
වගුව 13
සොරකම සම්බන්ධයෙන් වරදකරු වූ අපරාධකරුවන්ගේ සාමාන්ය වයස තීරණය කරන්න.
විසඳුමක්.විරාම විචල්ය ශ්‍රේණිය මත පදනම්ව අපරාධකරුවන්ගේ සාමාන්ය වයස තීරණය කිරීම සඳහා, ඔබ ප්‍රථමයෙන් විරාමවල මධ්ය අගයන් සොයා ගත යුතුය. විවෘත පළමු සහ අවසාන කාල අන්තරයන් සහිත විරාම ශ්‍රේණියක් ලබා දී ඇති බැවින්, මෙම විරාම වල අගයන් යාබද සංවෘත කාල අන්තරවල අගයන්ට සමාන වේ. අපගේ නඩුවේදී, පළමු සහ අවසාන කාල පරතරයේ අගය 10 කි.
බර අංක ගණිත මධ්යන්ය සූත්රය භාවිතා කරන අපරාධකරුවන්ගේ සාමාන්ය වයස දැන් අපි සොයා ගනිමු:
මේ අනුව, සොරකම් සඳහා වරදකරුවන් වන වැරදිකරුවන්ගේ සාමාන්ය වයස අවුරුදු 27 ක් පමණ වේ.
සාමාන්ය හාර්මොනික් සරලයි හි අංක ගණිත මධ්යන්යයේ අන්යෝන්ය වේ අන්යෝන්ය අගයන්ලකුණ:
කොහෙද 1/ x iවිකල්පවල අන්යෝන්ය අගයන් වන අතර N යනු ජනගහන ඒකක ගණනයි.
උදාහරණයක්.අපරාධ නඩු සලකා බැලීමේදී දිස්ත්රික් උසාවියේ විනිසුරුවන් සඳහා සාමාන්ය වාර්ෂික වැඩ ප්රමාණය තීරණය කිරීම සඳහා, මෙම උසාවියේ විනිසුරුවරුන් 5 දෙනෙකුගේ කාර්ය භාරය පිළිබඳ සමීක්ෂණයක් පවත්වන ලදී. සමීක්‍ෂණයට ලක් වූ සෑම විනිසුරුවරයකු සඳහාම එක් අපරාධ නඩුවක් සඳහා ගත කළ සාමාන්ය කාලය සමාන විය (දිනවලින්): 6, 0, 5, 6, 6, 3, 4, 9, 5, 4. එක් අයකු සඳහා සාමාන්ය පිරිවැය සොයන්න අපරාධ නඩු සහ අපරාධ නඩු සලකා බැලීමේදී මෙම දිස්ත්රික් උසාවියේ විනිසුරුවන් මත සාමාන්ය වාර්ෂික වැඩ ප්රමාණය.
විසඳුමක්.එක් අපරාධ නඩුවක් සඳහා ගත කරන සාමාන්ය කාලය තීරණය කිරීම සඳහා, අපි සරල සූත්රය භාවිතා කරමු:
උදාහරණයේ ගණනය කිරීම් සරල කිරීම සඳහා, සති අන්තයන් ඇතුළුව වසරක දින ගණන 365 ට සමාන කරමු (මෙය ගණනය කිරීමේ ක්‍රමයට බලපාන්නේ නැත, ප්රායෝගිකව සමාන දර්ශකයක් ගණනය කිරීමේදී, වැඩ කරන සංඛ්යාව ආදේශ කිරීම අවශ්ය වේ. දින 365 වෙනුවට යම් වර්ෂයක දින). අපරාධ නඩු සලකා බැලීමේදී මෙම දිස්ත්රික් උසාවියේ විනිසුරුවන් සඳහා සාමාන්ය වාර්ෂික වැඩ ප්රමාණය වනුයේ: 365 (දින): 5.56 ≈ 65.6 (නඩු).
එක් අපරාධ නඩුවක් සඳහා ගත කරන සාමාන්ය කාලය තීරණය කිරීම සඳහා අපි සරල ගණිත මධ්යන්ය සූත්රය භාවිතා කළහොත්, අපට ලැබෙන්නේ:
365 (දින): 5.64 ≈ 64.7 (අවස්ථා), i.e. විනිසුරුවන් සඳහා සාමාන්ය වැඩ ප්රමාණය අඩු විය.
මෙම ප්රවේශයේ වලංගු භාවය පරීක්ෂා කරමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි එක් එක් විනිසුරුවරයා සඳහා එක් අපරාධ නඩුවක් සඳහා ගත කළ කාලය පිළිබඳ දත්ත භාවිතා කරන අතර ඔවුන් එක් එක් වර්ෂය සඳහා සලකා බලන අපරාධ නඩු ගණන ගණනය කරමු.
ඒ අනුව අපට ලැබෙනවා:
365(දින) : 6 ≈ 61 (නඩුව), 365 (දින) : 5.6 ≈ 65.2 (නඩුව), 365 (දින) : 6.3 ≈ 58 (නඩුව),
365(දින) : 4.9 ≈ 74.5 (අවස්ථා), 365 (දින) : 5.4 ≈ 68 (අවස්ථා).
දැන් අපි අපරාධ නඩු සලකා බැලීමේදී මෙම දිස්ත්රික් උසාවියේ විනිසුරුවන් සඳහා සාමාන්ය වාර්ෂික වැඩ ප්රමාණය ගණනය කරමු:
එම. සාමාන්ය වාර්ෂික බර හාර්මොනික් මධ්යන්යය භාවිතා කරන විට සමාන වේ.
මේ අනුව, මෙම නඩුවේ අංක ගණිත මධ්යන්යය භාවිතා කිරීම නීති විරෝධී ය.
විශේෂාංගයක ප්රභේද දන්නා අවස්ථාවන්හිදී, ඒවායේ පරිමාමිතික අගයන් (සංඛ්යාතය අනුව ප්‍රභේදවල ගුණිතය), නමුත් සංඛ්‍යාතයන්ම නොදන්නා විට, හාර්මොනික් බරිත සාමාන්ය සූත්රය යොදනු ලැබේ:
,
කොහෙද x iලක්ෂණ විකල්පවල අගයන් වන අතර w i යනු විකල්පවල පරිමාමිතික අගයන් වේ ( w i = x i f i).
උදාහරණයක්.සිර දඬුවම් පද්ධතියේ විවිධ ආයතන විසින් නිෂ්පාදනය කරන ලද එකම වර්ගයේ භාණ්ඩ ඒකකයක මිල පිළිබඳ දත්ත සහ එය ක්රියාත්මක කිරීමේ පරිමාව පිළිබඳ දත්ත 14 වගුවේ දක්වා ඇත.
වගුව 14
සොයන්න සාමාන්ය මිලභාණ්ඩ විකිණීම.
විසඳුමක්.සාමාන්ය මිල ගණනය කිරීමේදී, අපි විකුණන ලද ඒකක ගණනට විකුණන ලද මුදලේ අනුපාතය භාවිතා කළ යුතුය. විකුණන ලද ඒකක ගණන අපි නොදනිමු, නමුත් අපි භාණ්ඩ විකුණුම් ප්රමාණය දනිමු. එබැවින්, විකුණන ලද භාණ්ඩවල සාමාන්ය මිල සොයා ගැනීම සඳහා, අපි හරාත්මක බර සහිත සාමාන්ය සූත්රය භාවිතා කරමු. අපිට ලැබෙනවා
ඔබ මෙහි අංක ගණිත මධ්යන්ය සූත්රය භාවිතා කරන්නේ නම්, ඔබට යථාර්ථවාදී නොවන සාමාන්ය මිලක් ලබා ගත හැක:
ජ්යාමිතික මධ්යන්යවිශේෂාංග විකල්පවල සියලුම අගයන්හි ගුණිතයෙන් N උපාධියේ මූලය උපුටා ගැනීමෙන් ගණනය කෙරේ:
,
කොහෙද x 1 , x 2 , ... , x N- විචල්ය ලක්ෂණයේ තනි අගයන් (විකල්ප), සහ
එන්- ජනගහන ඒකක ගණන.
කාල ශ්රේණියේ සාමාන්ය වර්ධන වේගයන් ගණනය කිරීම සඳහා මෙම සාමාන්යය භාවිතා වේ.
මූල අදහස් කරන්නේ හතරැස්සම්මත අපගමනය ගණනය කිරීම සඳහා භාවිතා කරනු ලැබේ, එය විචලනය පිළිබඳ දර්ශකයක් වන අතර එය පහත සාකච්ඡා කරනු ඇත.
ජනගහනයේ ව්යුහය තීරණය කිරීම සඳහා, විශේෂ සාමාන්යයන් භාවිතා කරනු ලැබේ, ඒවාට ඇතුළත් වේ මධ්යන්ය හා විලාසිතා , හෝ ඊනියා ව්යුහාත්මක සාමාන්යයන්. ගණිතමය මධ්යන්යය ගණනය කරනු ලබන්නේ ගුණාංග අගයන්හි සියලුම ප්‍රභේදවල භාවිතය මත පදනම්ව නම්, මධ්යස්ථ සහ ප්රකාරය ශ්රේණිගත (ඇණවුම් කරන ලද) ශ්රේණියේ යම් සාමාන්ය ස්ථානයක් හිමි ප්‍රභේදයේ අගය සංලක්ෂිත කරයි. සංඛ්‍යාලේඛන ජනගහනයේ ඒකක අනුපිළිවෙල අධ්‍යයනයට ලක්ව ඇති ලක්ෂණයේ ප්‍රභේදවල ආරෝහණ හෝ අවරෝහණ අනුපිළිවෙලින් සිදු කළ හැක.
මධ්ය (මම)ශ්රේණිගත ශ්රේණියේ මැද ඇති ප්‍රභේදයට අනුරූප වන අගය වේ. මේ අනුව, මධ්‍යස්ථය යනු ශ්රේණිගත ශ්රේණියේ එම ප්‍රභේදය වන අතර එහි දෙපසම වේ මෙම පේළියජනගහන ඒකක සමාන සංඛ්‍යාවක් තිබිය යුතුය.
මධ්යන්යය සොයා ගැනීමට, ඔබ මුලින්ම සූත්රය භාවිතයෙන් ශ්රේණිගත ශ්රේණියේ එහි අනුක්රමික අංකය තීරණය කළ යුතුය:
මෙහි N යනු ශ්රේණියේ පරිමාවයි (ජනගහන ඒකක ගණන).
ශ්‍රේණිය ඔත්තේ සාමාජිකයන් සංඛ්‍යාවකින් සමන්විත නම්, මධ්‍යස්ථය N Me අංකය සහිත ප්‍රභේදයට සමාන වේ. ශ්‍රේණිය ඉරට්ටේ සාමාජිකයින් සංඛ්‍යාවකින් සමන්විත නම්, මධ්‍යස්ථය මධ්‍යයේ පිහිටා ඇති යාබද විකල්ප දෙකක අංක ගණිත මධ්යන්යය ලෙස අර්ථ දැක්වේ.
උදාහරණයක්. 1, 2, 3, 3, 6, 7, 9, 9, 10 ශ්රේණිගත ශ්‍රේණියක් ලබා දී ඇත. ශ්රේණියේ පරිමාව N = 9 වේ, එයින් අදහස් වන්නේ N Me = (9 + 1) / 2 = 5. එබැවින්, Me = 6, එනම්. පස්වන විකල්පය. පේළියක් 1, 5, 7, 9, 11, 14, 15, 16 ලබා දෙන්නේ නම්, i.e. ඉරට්ටේ සාමාජිකයින් සංඛ්‍යාවක් සහිත ශ්‍රේණි (N = 8), පසුව N Me = (8 + 1) / 2 = 4.5. එබැවින් මධ්යන්ය හතරවන සහ පස්වන විකල්පවල එකතුවෙන් අඩකට සමාන වේ, i.e. මම = (9 + 11) / 2 = 10.
විවික්ත විචල්ය ශ්‍රේණියක මධ්‍යස්ථය තීරණය වන්නේ සමුච්චිත සංඛ්යාත මගිනි. ප්රභේද සංඛ්යාත, පළමු එක සමඟින් ආරම්භ වන අතර, මධ්ය සංඛ්යාව ඉක්මවන තෙක් සාරාංශ කරනු ලැබේ. අවසාන සාරාංශගත විකල්පවල අගය මධ්යන්ය වනු ඇත.
උදාහරණයක්. 12 වගුවේ දත්ත භාවිතා කරමින් අපරාධ නඩුවකට විත්තිකරුවන්ගේ මධ්ය සංඛ්යාව සොයන්න.
විසඳුමක්.මෙම අවස්ථාවෙහිදී, විචල්ය ශ්රේණියේ පරිමාව N = 154 වේ, එබැවින්, N Me = (154 + 1) / 2 = 77.5. පළමු සහ දෙවන විකල්පයන්හි සංඛ්යාතයන් සාරාංශගත කිරීම, අපට ලැබෙන්නේ: 75 + 43 = 118, i.e. අපි මධ්යන්ය සංඛ්යාව ඉක්මවා ඇත. ඉතින් මම = 2.
බෙදා හැරීමේ විරාම විචල්ය ශ්රේණියේ, ප්‍රථමයෙන් මධ්‍යස්ථය පිහිටන විරාමය දක්වන්න. ඔහු කැඳවනු ලැබේ මධ්යන්ය . සමුච්චිත සංඛ්යාතය විරාම විචල්ය ශ්රේණියේ පරිමාවෙන් අඩක් ඉක්මවන පළමු අන්තරය මෙයයි. එවිට මධ්යන්යයේ සංඛ්යාත්මක අගය සූත්රය මගින් තීරණය වේ:
කොහෙද x මම- මධ්යන්ය අන්තරයේ පහළ සීමාව; i - මධ්යන්ය අන්තරයේ අගය; S Me-1- මධ්යන්යයට පෙර ඇති පරතරයෙහි සමුච්චිත සංඛ්යාතය; f මම- මධ්යන්ය අන්තරයේ සංඛ්යාතය.
උදාහරණයක්. 13 වගුවේ දක්වා ඇති සංඛ්‍යාලේඛන මත පදනම්ව, සොරකම සම්බන්ධයෙන් වරදකරුවන් වූ වැරදිකරුවන්ගේ මධ්ය වයස සොයන්න.
විසඳුමක්.සංඛ්‍යාලේඛන දත්ත පරතරය මගින් ඉදිරිපත් කෙරේ විචල්ය මාලාවක්, එබැවින් අපි මුලින්ම මධ්යස්ථ පරතරය තීරණය කරමු. ජනගහනයේ පරිමාව N = 162, එබැවින්, මධ්යන්ය පරතරය 18-28 අතර වේ, මන්ද මෙය පළමු විරාමයයි, එහි සමුච්චිත සංඛ්යාතය (15 + 90 = 105) විරාම විචල්ය ශ්රේණියේ පරිමාවෙන් අඩක් (162: 2 = 81) ඉක්මවයි. දැන් මධ්යන්යයේ සංඛ්යාත්මක අගය ඉහත සූත්රය මගින් තීරණය වේ.
මේ අනුව, සොරකම්වලට වරදකරුවන් වන අයගෙන් අඩක් වයස අවුරුදු 25 ට අඩු ය.
විලාසිතා (Mo)ජනගහනයේ ඒකකවල බොහෝ විට දක්නට ලැබෙන ගුණාංගයේ අගය නම් කරන්න. විශාලතම ව්යාප්තිය ඇති ලක්ෂණයේ වටිනාකම හඳුනා ගැනීමට විලාසිතා භාවිතා වේ. විවික්ත ශ්‍රේණියක් සඳහා, මාදිලිය ඉහළම සංඛ්යාතය සහිත ප්‍රභේදය වනු ඇත. උදාහරණයක් ලෙස, වගුව 3 හි ඉදිරිපත් කර ඇති විවික්ත මාලාවක් සඳහා මෝ= 1, විකල්පවල මෙම අගය ඉහළම සංඛ්‍යාතයට අනුරූප වන බැවින් - 75. විරාම ශ්රේණියේ මාදිලිය තීරණය කිරීම සඳහා, පළමුව තීරණය කරන්න මාදිලිය විරාමය (ඉහළම සංඛ්යාතය සහිත විරාමය). එවිට, මෙම කාල පරතරය තුළ, විශේෂාංගයේ අගය සොයා ගනු ලැබේ, එය මාදිලියක් විය හැකිය.
එහි අගය සූත්රය මගින් සොයා ගනු ලැබේ:
කොහෙද x මෝ- මාදිලියේ පරතරයේ පහළ සීමාව; i - මාදිලියේ පරතරයේ අගය; f Mo- මාදිලි විරාම සංඛ්යාතය; f Mo-1- මාදිලියට පෙර පරතරයේ සංඛ්යාතය; f Mo+1- මාදිලිය අනුගමනය කරන පරතරයේ සංඛ්යාතය.
උදාහරණයක්. 13 වගුවේ දක්වා ඇති දත්ත සොරකමට වරදකරුවන් වූ අපරාධකරුවන්ගේ වයස් මාදිලිය සොයන්න.
විසඳුමක්.ඉහළම සංඛ්යාතය 18-28 අතර පරතරයට අනුරූප වේ, එබැවින් මාදිලිය මෙම පරතරය තුළ තිබිය යුතුය. එහි අගය තීරණය වන්නේ ඉහත සූත්රය මගිනි.
මේ අනුව, සොරකම් සම්බන්ධයෙන් වරදකරුවන් වූ විශාලතම අපරාධකරුවන් සංඛ්යාව අවුරුදු 24 කි.
සාමාන්ය අගය අධ්‍යයනයට ලක්ව ඇති සංසිද්ධියෙහි සම්පූර්ණත්වය පිළිබඳ සාමාන්යකරණය කිරීමේ ලක්ෂණයක් ලබා දෙයි. කෙසේ වෙතත්, අධ්යයනය කරන ලද ලක්ෂණයේ අගයෙහි උච්චාවචන (විචලනය) මට්ටම අනුව එකම මධ්ය අගයන් සහිත ජනගහන දෙකක් එකිනෙකට සැලකිය යුතු ලෙස වෙනස් විය හැකිය. නිදසුනක් වශයෙන්, එක් අධිකරණයක පහත සඳහන් සිර දඬුවම් නියම කර ඇත: 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 12, 12, 15 වසර, සහ තවත් - 5, 5, 6, 6, 7, 7 , වයස අවුරුදු 7, 8, 8, 8. අවස්ථා දෙකේදීම, අංක ගණිත මධ්යන්යය වසර 6.7 කි. කෙසේ වෙතත්, මෙම සමස්ථයන් සාමාන්ය අගයට සාපේක්ෂව පවරා ඇති සිරදඬුවම් කාල සීමාවේ තනි අගයන් ව්‍යාප්ත කිරීමේදී එකිනෙකට සැලකිය යුතු ලෙස වෙනස් වේ.
මෙම විචලනය තරමක් විශාල වන පළමු අධිකරණය සඳහා, සිරගත කිරීමේ සාමාන්ය වාරය මුළු ජනගහනයම හොඳින් පිළිබිඹු නොකරයි. මේ අනුව, ගුණාංගයේ තනි අගයන් එකිනෙකින් සුළු වශයෙන් වෙනස් වන්නේ නම්, අංක ගණිත මධ්යන්යය මෙම ජනගහනයේ ගුණාංගවල තරමක් දර්ශක ලක්ෂණයක් වනු ඇත. එසේ නොමැති නම්, අංක ගණිත මධ්යන්යය මෙම ජනගහනයේ විශ්වාස කළ නොහැකි ලක්ෂණයක් වනු ඇති අතර එය ප්රායෝගිකව භාවිතා කිරීම අකාර්යක්ෂමයි. එබැවින්, අධ්යයනය කරන ලද ලක්ෂණයේ අගයන්හි විචලනය සැලකිල්ලට ගැනීම අවශ්ය වේ.
විචලනය- මේවා එකම කාල පරිච්ෙඡ්දය තුළ හෝ කාලය තුළ දී ඇති ජනගහනයේ විවිධ ඒකකවල ලක්ෂණයක අගයන්හි වෙනස්කම් වේ. "විචලනය" යන පදය ලතින් සම්භවයක් ඇත - variatio, එනම් වෙනස, වෙනස් වීම, උච්චාවචනය වේ. එය පැන නගින්නේ එක් එක් අවස්ථාවන්හි විවිධ ආකාරවලින් ඒකාබද්ධ වන විවිධ සාධක (කොන්දේසි) වල ඒකාබද්ධ බලපෑම යටතේ ගුණාංගයේ තනි අගයන් සෑදී ඇති බැවිනි. ලක්ෂණයක විචලනය මැනීමට, විවිධ නිරපේක්ෂ සහ සාපේක්ෂ කාර්ය සාධනය.
විචලනය පිළිබඳ ප්රධාන දර්ශක පහත දැක්වේ:
1) විචලනය පරාසය;
2) සාමාන්යය රේඛීය අපගමනය;
3) විසරණය;
4) සම්මත අපගමනය;
5) විචලනයේ සංගුණකය.
අපි ඒ එක් එක් ගැන කෙටියෙන් වාසය කරමු.
ස්පන් විචලනය R යනු ගණනය කිරීමේ පහසුව අනුව වඩාත්ම ප්‍රවේශ විය හැකි නිරපේක්ෂ දර්ශකය වන අතර එය මෙම ජනගහනයේ ඒකක සඳහා වන ගුණාංගයේ විශාලතම හා කුඩාම අගයන් අතර වෙනස ලෙස අර්ථ දැක්වේ:
විචලන පරාසය (උච්චාවචන පරාසය) - වැදගත් දර්ශකයලකුණෙහි උච්චාවචනයන්, නමුත් එය එහි යෙදුමේ විෂය පථය සීමා කරන ආන්තික අපගමනයන් පමණක් දැකීමට හැකි වේ. එහි උච්චාවචනය මත පදනම් වූ ගති ලක්ෂණවල විචලනය වඩාත් නිවැරදි ගුනාංගීකරනය සඳහා, වෙනත් දර්ශක භාවිතා කරනු ලැබේ.
සාමාන්ය රේඛීය අපගමනයසාමාන්‍යයෙන් ගතිලක්ෂණයේ තනි අගයන්හි අපගමනයන්හි නිරපේක්ෂ අගයන්හි අංක ගණිත මධ්යන්යය නියෝජනය කරන අතර එය සූත්ර මගින් තීරණය වේ:
1) සදහා සමූහගත නොකළ දත්ත
2) සදහා විචලනය මාලාවක්
කෙසේ වෙතත්, විචලනය සඳහා වඩාත් බහුලව භාවිතා වන මිනුම වේ විසුරුම . එය එහි සාමාන්ය අගයට සාපේක්ෂව අධ්යයනය කරන ලද ලක්ෂණයේ අගයන් පැතිරීමේ මිනුම සංලක්ෂිත කරයි. විචලනය වර්ගීකරණය කරන ලද අපගමනවල සාමාන්යය ලෙස අර්ථ දැක්වේ.
සරල විචලනයසමූහගත නොකළ දත්ත සඳහා:
.
බරැති විචලනයවෙනස්කම් මාලාව සඳහා:
අදහස් දක්වන්න.ප්රායෝගිකව, විචලනය ගණනය කිරීම සඳහා පහත සූත්ර භාවිතා කිරීම වඩා හොඳය:
සරල විචලනය සඳහා
.
බර සහිත විචලනය සඳහා
සම්මත අපගමනයවිචලනයේ වර්ගමූලය:
සම්මත අපගමනය මධ්යන්යයේ විශ්වසනීයත්වයේ මිනුමක් වේ. සම්මත අපගමනය කුඩා වන තරමට ජනගහනය සමජාතීය වන අතර වඩා හොඳ අංක ගණිත මධ්යන්යය සමස්ත ජනගහනයම පිළිබිඹු කරයි.
ඉහත සලකා බැලූ විසරණ මිනුම් (විචල්ය පරාසය, විචලනය, සම්මත අපගමනය) නිරපේක්ෂ දර්ශක වන අතර, එමඟින් ලක්ෂණයක උච්චාවචන මට්ටම විනිශ්චය කිරීමට සැමවිටම නොහැකි ය. සමහර ගැටළු වලදී, සාපේක්ෂ විසිරුම් දර්ශක භාවිතා කිරීම අවශ්ය වේ, ඉන් එකක් විචලනයේ සංගුණකය.
විචලනයේ සංගුණකය- අංක ගණිත මධ්යන්යයට සම්මත අපගමනයේ අනුපාතයේ ප්‍රතිශතයක් ලෙස ප්රකාශ වේ:
විචලනයේ සංගුණකය විවිධ ජනගහනවල විවිධ ලක්ෂණ හෝ එකම ගති ලක්ෂණවල විචලනය පිළිබඳ සංසන්දනාත්මක තක්සේරුවක් සඳහා පමණක් නොව, ජනගහනයේ සමජාතීයතාවය සංලක්ෂිත කිරීම සඳහා ද භාවිතා වේ. විචලනයේ සංගුණකය 33% නොඉක්මවන (සාමාන්ය ව්‍යාප්තියට ආසන්න බෙදාහැරීම් සඳහා) සංඛ්යානමය ජනගහනය ප්‍රමාණාත්මකව සමජාතීය ලෙස සැලකේ.
උදාහරණයක්.සිර දඬුවම් පද්ධතියේ නිවැරදි කිරීමේ ආයතනයක උසාවිය විසින් නියම කරන ලද දඬුවම් නියම කිරීම සඳහා වරදකරුවන් 50 දෙනෙකුගේ සිරගත කිරීමේ කොන්දේසි පිළිබඳ පහත දත්ත තිබේ: 5, 4, 2, 1, 6, 3, 4, 3, 2, 2 , 5, 6, 4, 3, 10, 5, 4, 1, 2, 3, 3, 4, 1, 6, 5, 3, 4, 3, 5, 12, 4, 3, 2, 4, 6 , 4, 4, 3, 1 , 5, 4, 3, 12, 6, 7, 3, 4, 5, 5, 3.
1. සිරගත කිරීමේ කොන්දේසි අනුව බෙදාහැරීමේ මාලාවක් ගොඩනඟන්න.
2. මධ්යන්ය, විචලනය සහ සම්මත අපගමනය සොයන්න.
3. විචලනයේ සංගුණකය ගණනය කිරීම සහ අධ්යයනය කරන ලද ජනගහනයේ සමජාතීයතාවය හෝ විෂමතාවය පිළිබඳ නිගමනයකට එළඹීම.
විසඳුමක්.විවික්ත බෙදාහැරීමේ මාලාවක් තැනීම සඳහා, ප්රභේද සහ සංඛ්යාත තීරණය කිරීම අවශ්ය වේ. මෙම ගැටලුවේ ප්‍රභේදය සිරගත කිරීමේ කාල සීමාව වන අතර සංඛ්යාතය යනු තනි ප්රභේද ගණනයි. සංඛ්යාත ගණනය කිරීමෙන් පසු, අපි පහත විවික්ත බෙදාහැරීමේ මාලාවක් ලබා ගනිමු:
මධ්යන්යය සහ විචලනය සොයන්න. සංඛ්යාන දත්ත විවික්ත විචල්ය ශ්‍රේණියක් මගින් නිරූපණය වන බැවින්, අපි ඒවා ගණනය කිරීම සඳහා අංක ගණිතමය බරිත සාමාන්ය සහ විචලනය යන සූත්ර භාවිතා කරමු. අපට ලැබෙන්නේ:
= 
= 4,1;
= 
5,21.
දැන් අපි සම්මත අපගමනය ගණනය කරමු:
විචලනයේ සංගුණකය අපි සොයා ගනිමු:
එහි ප්රතිඵලයක් ලෙස සංඛ්යානමය ජනගහනය ප්‍රමාණාත්මකව විෂම වේ.
5.1 සාමාන්ය සංකල්පය
සාමාන්ය අගය -මෙය සංසිද්ධියේ සාමාන්ය මට්ටම සංලක්ෂිත සාමාන්යකරණ දර්ශකයකි. එය ජනගහනයේ ඒකකයට අදාළ ගුණාංගයේ වටිනාකම ප්රකාශ කරයි.
සාමාන්යය සෑම විටම ලක්ෂණයේ ප්රමාණාත්මක විචලනය සාමාන්යකරණය කරයි, i.e. සාමාන්ය අගයන්හිදී, අහඹු තත්වයන් හේතුවෙන් ජනගහනයේ ඒකකවල තනි වෙනස්කම් අවලංගු වේ. සාමාන්‍යයට ප්‍රතිවිරුද්ධව, ජනගහනයේ තනි ඒකකයක ලක්ෂණයක මට්ටම සංලක්ෂිත නිරපේක්ෂ අගය විවිධ ජනගහනවලට අයත් ඒකක සඳහා විශේෂාංගයේ අගයන් සංසන්දනය කිරීමට ඉඩ නොදේ. එබැවින්, ඔබට ව්යවසාය දෙකක සේවකයින්ගේ වැටුප් මට්ටම් සංසන්දනය කිරීමට අවශ්ය නම්, ඔබට මෙම පදනම මත විවිධ ව්යවසායක සේවකයින් දෙදෙනෙකු සැසඳිය නොහැක. සංසන්දනය කිරීම සඳහා තෝරාගත් කම්කරුවන්ගේ වැටුප් මෙම ව්යවසායන් සඳහා සාමාන්ය නොවිය හැක. අපි සලකා බලනු ලබන ව්‍යවසායන්හි වැටුප් අරමුදල් ප්රමාණය සංසන්දනය කරන්නේ නම්, සේවක සංඛ්යාව සැලකිල්ලට නොගන්නා අතර, එබැවින් වැටුප් මට්ටම වැඩි වන්නේ කොතැනද යන්න තීරණය කළ නොහැක. අවසාන වශයෙන්, සැසඳිය හැක්කේ සාමාන්යයන් පමණි, i.e. එක් එක් සමාගමක එක් සේවකයෙකු සාමාන්යයෙන් කොපමණ මුදලක් උපයනවාද? මේ අනුව, ජනගහනයේ සාමාන්යකරණ ලක්ෂණයක් ලෙස සාමාන්ය අගය ගණනය කිරීම අවශ්ය වේ.
සාමාන්යය ගණනය කිරීම එක් පොදු සාමාන්යකරණ තාක්ෂණයකි; සාමාන්ය දර්ශකය අධ්යයනය කරන ලද ජනගහනයේ සියලුම ඒකක සඳහා සාමාන්ය (සාමාන්ය) සාමාන්යය ප්‍රතික්ෂේප කරයි, ඒ සමඟම එය තනි ඒකක අතර වෙනස්කම් නොසලකා හරියි. සෑම සංසිද්ධියකම සහ එහි වර්ධනය තුළ අවස්ථාව සහ අවශ්‍යතාවයේ සංකලනයක් පවතී. සාමාන්යයන් ගණනය කිරීමේදී, විශාල සංඛ්යා නීතියේ ක්‍රියාකාරිත්වය හේතුවෙන්, අහඹු බව එකිනෙක අවලංගු කරයි, සමතුලිත වේ, එබැවින් සංසිද්ධියේ නොවැදගත් ලක්ෂණ වලින්, එක් එක් විශේෂිත ගුණාංගවල ප්රමාණාත්මක අගයන්ගෙන් වියුක්ත කළ හැකිය. නඩුව. තනි අගයන්, උච්චාවචනවල අහඹු බවෙන් වියුක්ත වීමේ හැකියාව තුළ, සාමාන්ය අගයන්හි විද්යාත්මක අගය සමස්ථවල සාමාන්යකරණය වන ලක්ෂණ ලෙස පවතී.
සාමාන්යය සත්ය වශයෙන්ම ටයිප් කිරීම සඳහා, එය ඇතැම් මූලධර්ම සැලකිල්ලට ගනිමින් ගණනය කළ යුතුය.
අපි සමහරක් මත වාසය කරමු පොදු මූලධර්මසාමාන්ය භාවිතය.
1. ගුණාත්මකව සමජාතීය ඒකක වලින් සමන්විත ජනගහනය සඳහා සාමාන්යය තීරණය කළ යුතුය.
2. ප්රමාණවත් තරම් විශාල ඒකක ගණනකින් සමන්විත ජනගහනයක් සඳහා සාමාන්යය ගණනය කළ යුතුය.
3. ජනගහනය සඳහා සාමාන්යය ගණනය කළ යුතු අතර, එහි ඒකක සාමාන්ය ස්වභාවික තත්වයක පවතී.
4. අධ්යයනය යටතේ දර්ශකයේ ආර්ථික අන්තර්ගතය සැලකිල්ලට ගනිමින් සාමාන්යය ගණනය කළ යුතුය.
5.2 සාමාන්ය වර්ග සහ ඒවා ගණනය කිරීම සඳහා ක්රම
අපි දැන් සාමාන්ය වර්ග, ඒවායේ ගණනය කිරීමේ ලක්ෂණ සහ යෙදුම් ක්ෂේත්ර සලකා බලමු. සාමාන්ය අගයන් විශාල පන්ති දෙකකට බෙදා ඇත: බල සාමාන්ය, ව්යුහාත්මක සාමාන්ය.
වෙත බලය අදහස්ජ්‍යාමිතික මධ්යන්ය, අංක ගණිත මධ්යන්ය සහ මධ්යන්ය වර්ග වැනි වඩාත් ප්‍රසිද්ධ සහ බහුලව භාවිතා වන වර්ග ඇතුළත් කරන්න.
පරිදි ව්යුහාත්මක සාමාන්යයන්මාදිලිය සහ මධ්යන්ය ලෙස සැලකේ.
අපි බල සාමාන්යයන් මත වාසය කරමු. ආරම්භක දත්ත ඉදිරිපත් කිරීම මත බල සාමාන්යයන් සරල හා බර විය හැක. සරල සාමාන්යයසමූහගත නොකළ දත්ත වලින් ගණනය කරනු ලබන අතර පහත දැක්වෙන සාමාන්ය පෝරමය ඇත:
මෙහි X i යනු සාමාන්ය ලක්ෂණයේ ප්‍රභේදය (අගය) වේ;
n යනු විකල්ප ගණනයි.
බර සහිත සාමාන්යයකණ්ඩායම් දත්ත මගින් ගණනය කරනු ලබන අතර සාමාන්ය ආකෘතියක් ඇත
,
මෙහි X i යනු සාමාන්ය ලක්ෂණයේ ප්‍රභේදය (අගය) හෝ ප්‍රභේදය මනිනු ලබන පරතරයේ මැද අගයයි;
m යනු මධ්යන්යයේ ඝාතකය;
f i - සාමාන්ය ලක්ෂණයේ i-e අගය කොපමණ වාරයක් සිදු වේද යන්න පෙන්වන සංඛ්යාතය.
පුද්ගලයන් 20 දෙනෙකුගෙන් යුත් කණ්ඩායමක සිසුන්ගේ සාමාන්ය වයස ගණනය කිරීම උදාහරණයක් ලෙස ලබා දෙමු:
අපි සරල සාමාන්ය සූත්රය භාවිතයෙන් සාමාන්ය වයස ගණනය කරමු:
මූලාශ්‍ර දත්ත සමූහගත කරමු. අපි පහත බෙදාහැරීමේ මාලාව ලබා ගනිමු:
සමූහගත කිරීමේ ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, අපි නව දර්ශකයක් ලබා ගනිමු - සංඛ්යාතය, X වයස අවුරුදු සිසුන් සංඛ්යාව පෙන්නුම් කරයි. එබැවින්, කණ්ඩායමේ සිසුන්ගේ සාමාන්ය වයස බරිත සාමාන්ය සූත්රය භාවිතයෙන් ගණනය කෙරේ:
ඝාතීය සාමාන්ය ගණනය කිරීමේ සාමාන්ය සූත්‍රවල ඝාතකයක් (m) ඇත. එය ගන්නා අගය මත පදනම්ව, පහත ආකාරයේ බල සාමාන්යයන් වෙන්කර හඳුනාගත හැකිය:
හාර්මොනික් මධ්යන්ය නම් m = -1;
ජ්යාමිතික මධ්යන්ය නම් m –> 0;
m = 1 නම් අංක ගණිත මධ්යන්යය;
m = 2 නම් මූල මධ්යන්ය වර්ග;
m = 3 නම් ඝනකයක් අදහස් වේ.
බල මධ්යන්ය සූත්ර වගුවේ දක්වා ඇත. 4.4
එකම ආරම්භක දත්ත සඳහා අපි සියලු වර්ගවල සාමාන්ය ගණනය කරන්නේ නම්, ඒවායේ අගයන් සමාන නොවේ. මෙහිදී සාමාන්යයේ ප්රධාන රීතිය අදාළ වේ: m ඝාතකයේ වැඩි වීමක් සමඟ, අනුරූප සාමාන්ය අගය ද වැඩි වේ:
සංඛ්යානමය පරිචයේ දී, අනෙකුත් බරිත සාමාන්ය වර්ග වලට වඩා බොහෝ විට, අංක ගණිතමය සහ සුසංයෝගී බරිත සාමාන්ය භාවිතා වේ.
වගුව 5.1
බලය වර්ග
| බල වර්ගය මැද |
දර්ශකය අංශක (m) |
ගණනය කිරීමේ සූත්රය | |
| සරල | බර කර ඇත | ||
| හාර්මොනික් | -1 | ||
| ජ්යාමිතික | 0 |  |
 |
| අංක ගණිතය | 1 | ||
| චතුරස්රාකාර | 2 | ||
| ඝනක | 3 | ||
හාර්මොනික් මීන් එක වැඩියි සංකීර්ණ ව්යුහයඅංක ගණිත මධ්යන්යයට වඩා. බර ජනගහණයේ ඒකක නොවන විට ගණනය කිරීම් සඳහා හාර්මොනික් මධ්යන්යය භාවිතා වේ - ගතිලක්ෂණයේ වාහකයන්, නමුත් මෙම ඒකකවල නිෂ්පාදන සහ ලක්ෂණයේ අගයන් (එනම් m = Xf). සාමාන්ය හාර්මොනික් අක්‍රීය කාලය තීරණය කිරීමේ අවස්ථා වලදී භාවිතා කළ යුතුය, උදාහරණයක් ලෙස, සාමාන්ය ශ්‍රමයේ පිරිවැය, කාලය, නිෂ්පාදන ඒකකයකට ද්රව්ය, එක් කොටසකට (තුන, හතර, ආදිය) ව්යවසායන්, නිෂ්පාදනයේ නියැලී සිටින කම්කරුවන්. එකම වර්ගයේ නිෂ්පාදන, එකම කොටස, නිෂ්පාදනය.
සාමාන්ය අගය ගණනය කිරීම සඳහා සූත්රය සඳහා ප්රධාන අවශ්යතාව වන්නේ ගණනය කිරීමේ සියලු අදියරයන් සැබෑ අර්ථවත් යුක්තිසහගත කිරීමක් ඇත; එහි ප්රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන සාමාන්ය අගය තනි සහ සාරාංශ දර්ශක අතර සම්බන්ධය බිඳ නොදැමීමෙන් එක් එක් වස්තුව සඳහා ගුණාංගයේ තනි අගයන් ප්රතිස්ථාපනය කළ යුතුය. වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, සාමාන්ය අගය ගණනය කළ යුත්තේ සාමාන්ය දර්ශකයේ එක් එක් අගය එහි සාමාන්ය අගයෙන් ප්රතිස්ථාපනය කරන විට, සාමාන්ය අගය සමඟ එක් ආකාරයකින් හෝ වෙනත් ආකාරයකින් සම්බන්ධ වූ සමහර අවසාන සාරාංශ දර්ශකය නොවෙනස්ව පවතින ආකාරයටය. මෙම ප්රතිඵලය ලෙස හැඳින්වේ තීරණය කිරීමතනි අගයන් සමඟ එහි සම්බන්ධතාවයේ ස්වභාවය සාමාන්ය අගය ගණනය කිරීම සඳහා නිශ්චිත සූත්රය තීරණය කරයි. ජ්යාමිතික මධ්යන්යයේ උදාහරණයෙන් මෙම රීතිය පෙන්වමු.
ජ්යාමිතික මධ්යන්ය සූත්රය
ගතිකයේ තනි සාපේක්ෂ අගයන්හි සාමාන්ය අගය ගණනය කිරීමේදී බොහෝ විට භාවිතා වේ.
ගතිකයේ දාම සාපේක්ෂ අගයන් අනුපිළිවෙලක් ලබා දෙන්නේ නම්, ජ්යාමිතික මධ්යන්යය භාවිතා වේ, උදාහරණයක් ලෙස, පෙර වසරේ මට්ටමට සාපේක්ෂව නිෂ්පාදනයේ වැඩි වීමක් පෙන්නුම් කරයි: i 1 , i 2 , i 3 ,... , තුල . නිෂ්පාදනයේ පරිමාව බව පැහැදිලිය ගිය අවුරුද්දේඑහි ආරම්භක මට්ටම (q 0) සහ වසර ගණනාවක් තුළ පසුව වර්ධනය තීරණය වේ:
q n =q 0 × i 1 × i 2 ×...×i n .
q n නිර්වචන දර්ශකයක් ලෙස ගෙන ගතික දර්ශකවල තනි අගයන් සාමාන්ය අගයන් සමඟ ප්රතිස්ථාපනය කිරීමෙන් අපි සම්බන්ධතාවයට පැමිණෙමු.
මෙතැන් සිට 
5.3 ව්යුහාත්මක සාමාන්යයන්
විශේෂ ආකාරයේ සාමාන්ය අගයන් - ව්යුහාත්මක සාමාන්යයන් - ගුණාංග අගයන් බෙදා හැරීමේ ශ්රේණියේ අභ්‍යන්තර ව්යුහය අධ්යයනය කිරීමට මෙන්ම පවතින සංඛ්‍යාලේඛන දත්ත වලට අනුව සාමාන්ය අගය (බල වර්ගය) තක්සේරු කිරීමට භාවිතා කරයි. එහි ගණනය කිරීම සිදු කළ නොහැක (නිදසුනක් ලෙස, සලකා බැලූ උදාහරණයේ දත්ත නොමැති නම්) සහ නිෂ්පාදන පරිමාව සහ ව්යවසාය කණ්ඩායම් විසින් පිරිවැය ප්රමාණය මත).
දර්ශක බොහෝ විට ව්යුහාත්මක සාමාන්යයන් ලෙස භාවිතා වේ. විලාසිතා -නිතර නිතර පුනරාවර්තනය වන විශේෂාංග අගය - සහ මධ්යන්ය -එහි අගයන්හි ඇණවුම් කළ අනුපිළිවෙල සංඛ්යාවෙන් සමාන කොටස් දෙකකට බෙදන විශේෂාංගයක අගය. එහි ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, ජනගහන ඒකකවලින් අඩක් තුළ, ගුණාංගයේ අගය මධ්යන්ය මට්ටම ඉක්මවා නොයන අතර, අනෙක් භාගය එය වඩා අඩු නොවේ.
අධ්යයනය යටතේ ඇති විශේෂාංගය විවික්ත අගයන් තිබේ නම්, මාදිලිය සහ මධ්යන්ය ගණනය කිරීමේදී විශේෂ දුෂ්කරතා නොමැත. X ගුණාංගයේ අගයන් පිළිබඳ දත්ත එහි වෙනස් කිරීමේ (අන්තර් ශ්රේණියේ) ඇණවුම් කළ කාලාන්තරවල ස්වරූපයෙන් ඉදිරිපත් කරන්නේ නම්, මාදිලිය සහ මධ්‍යනය ගණනය කිරීම තරමක් සංකීර්ණ වේ. මධ්ය අගය මුළු ජනගහනයම සංඛ්යාවෙන් සමාන කොටස් දෙකකට බෙදන බැවින්, එය X විශේෂාංගයේ එක් කාල අන්තරයකින් අවසන් වේ. අන්තර් ඛණ්ඩනය භාවිතයෙන්, මධ්ය අගය මෙම මධ්ය ප්‍රාන්තරයෙහි දක්නට ලැබේ:
,
මෙහි X Me යනු මධ්ය අන්තරයේ පහළ සීමාවයි;
h මම එහි වටිනාකම;
(සමූහය m) / 2 - සාමාන්ය අගය ගණනය කිරීම සඳහා සූත්‍රවල බර තැබීමක් ලෙස භාවිතා කරන මුළු නිරීක්ෂණ සංඛ්යාවෙන් අඩක් හෝ දර්ශකයේ පරිමාවෙන් අඩක් (නිරපේක්ෂ හෝ සාපේක්ෂ වශයෙන්);
S Me-1 යනු මධ්ය අන්තරය ආරම්භ වීමට පෙර රැස් කරන ලද නිරීක්ෂණ එකතුව (හෝ බර තැබීමේ ලක්ෂණයේ පරිමාව);
m Me යනු නිරීක්ෂණ සංඛ්යාව හෝ මධ්ය පරතරයේ (නිරපේක්ෂ හෝ සාපේක්ෂ වශයෙන්) බර තැබීමේ ලක්ෂණයේ පරිමාවයි.
අපගේ උදාහරණයේ දී, මධ්ය අගයන් තුනක් පවා ලබා ගත හැකිය - ව්යවසායන් ගණන, නිෂ්පාදන පරිමාව සහ නිෂ්පාදන පිරිවැයේ මුළු ප්රමාණයේ සලකුණු මත පදනම්ව:
මේ අනුව, ව්‍යවසායන්ගෙන් අඩක් සඳහා, නිෂ්පාදන ඒකකයක පිරිවැය රූබල් 125.19 දහස ඉක්මවයි, මුළු නිෂ්පාදන පරිමාවෙන් අඩක් නිෂ්පාදනය කරනු ලබන්නේ එක් නිෂ්පාදනයක් සඳහා රුබල් 124.79 දහසකට වඩා වැඩි පිරිවැයක් සමඟ ය. සහ මුළු පිරිවැයෙන් 50% ක් රුබල් 125.07 දහසකට වඩා වැඩි එක් නිෂ්පාදනයක පිරිවැය මට්ටමින් පිහිටුවා ඇත. Me 2 = රූබල් 124.79 දහසක් වන අතර සාමාන්ය මට්ටම රූබල් 123.15 දහසක් වන බැවින් පිරිවැයේ යම් ඉහළ ප්‍රවණතාවයක් ඇති බව අපි සටහන් කරමු.
විරාම ශ්රේණියේ දත්ත අනුව විශේෂාංගයක මාදිලියේ අගය ගණනය කිරීමේදී, X විශේෂාංගයේ අගයන්හි සංඛ්‍යාතයේ දර්ශකය රඳා පවතින බැවින්, විරාමයන් සමාන බව කෙරෙහි අවධානය යොමු කිරීම අවශ්ය වේ. මෙය. සමග විරාම මාලාවක් සඳහා සමාන කාල පරතරයන්හිදීමාදිලියේ අගය ලෙස අර්ථ දක්වා ඇත
මෙහි X Mo යනු මාදිලියේ පරතරයේ පහළ අගයයි;
m Mo යනු නිරීක්ෂණ ගණන හෝ මොඩල් පරතරයේ බර තැබීමේ ලක්ෂණයේ පරිමාව (නිරපේක්ෂ හෝ සාපේක්ෂ වශයෙන්);
m Mo -1 - මාදිලියට පෙර පරතරය සඳහා සමාන වේ;
m Mo+1 - මාදිලිය අනුගමනය කරන පරතරය සඳහා සමාන වේ;
h යනු කණ්ඩායම්වල ගති ලක්ෂණ වෙනස් කිරීමේ පරතරයේ අගයයි.
අපගේ උදාහරණය සඳහා, අපට තුනක් ගණනය කළ හැකිය මාදිලි අගයන්ව්යවසායන් සංඛ්යාව, නිෂ්පාදන පරිමාව සහ පිරිවැය ප්රමාණයේ ලක්ෂණ මත පදනම්ව. අවස්ථා තුනේදීම, මාදිලි පරතරය සමාන වේ, මන්ද එකම කාල පරිච්ඡේදයක් සඳහා ව්යවසාය ගණන, නිෂ්පාදන පරිමාව සහ නිෂ්පාදන පිරිවැය යන දෙකම විශාලතම වේ:
මේ අනුව, රූබල් 126.75 දහසක පිරිවැය මට්ටමක් සහිත ව්යවසායන් බොහෝ විට හමු වන අතර, රූබල් 126.69 දහසක් සහිත නිෂ්පාදන බොහෝ විට නිෂ්පාදනය කරනු ලබන අතර බොහෝ විට නිෂ්පාදන පිරිවැය රූබල් 123.73 දහසක පිරිවැය මට්ටමකින් පැහැදිලි කෙරේ.
5.4 විචලන දර්ශක
එක් එක් අධ්යයනය කරන ලද වස්තූන් පිහිටා ඇති විශේෂිත කොන්දේසි මෙන්ම ඒවායේ ලක්ෂණ තමන්ගේම සංවර්ධනය(සමාජ, ආර්ථික, ආදිය) අනුරූප සංඛ්යා මට්ටම් මගින් ප්රකාශ කරනු ලැබේ සංඛ්යාන දර්ශක. මේ ක්රමයෙන්, විචලනය,එම. විවිධ වස්තූන්හි එකම දර්ශකයේ මට්ටම් අතර විෂමතාවය වෛෂයික වන අතර අධ්යයනය යටතේ ඇති සංසිද්ධියෙහි සාරය තේරුම් ගැනීමට උපකාරී වේ.
සංඛ්යා ලේඛනවල විචලනය මැනීමට ක්රම කිහිපයක් තිබේ.
සරලම වන්නේ දර්ශකය ගණනය කිරීමයි span විචලනයලක්ෂණයේ නිරීක්ෂණය කළ අගයන් උපරිම (X max) සහ අවම (X min) අතර වෙනස ලෙස H:
H=X උපරිම - X මිනිත්තු .
කෙසේ වෙතත්, විචලනය පරාසය පෙන්නුම් කරන්නේ ලක්ෂණයේ ආන්තික අගයන් පමණි. අතරමැදි අගයන්හි පුනරාවර්තන හැකියාව මෙහි සැලකිල්ලට නොගනී.
වඩාත් දැඩි ලක්ෂණ යනු ගුණාංගයේ සාමාන්ය මට්ටමට සාපේක්ෂව උච්චාවචනය වීමේ දර්ශක වේ. මෙම වර්ගයේ සරලම දර්ශකය වන්නේ රේඛීය අපගමනය අදහස් වේ L යනු එහි සාමාන්ය මට්ටමේ සිට ලක්ෂණයක නිරපේක්ෂ අපගමනයක අංක ගණිත මධ්යන්යය ලෙස:
X හි තනි අගයන් පුනරාවර්තනය වීමත් සමඟ, බර අංක ගණිත මධ්යන්ය සූත්රය භාවිතා වේ:
(මධ්යන්ය මට්ටමේ සිට අපගමනයන්හි වීජීය එකතුව ශුන්ය බව සිහිපත් කරන්න.)
සොයාගත් සාමාන්ය රේඛීය අපගමනය පිළිබඳ දර්ශකය පුළුල් යෙදුමප්රායෝගිකව. එහි ආධාරයෙන්, උදාහරණයක් ලෙස, කම්කරුවන්ගේ සංයුතිය, නිෂ්පාදනයේ රිද්මය, ද්රව්ය සැපයීමේ ඒකාකාරිත්වය විශ්ලේෂණය කරනු ලබන අතර, ද්රව්යමය දිරිගැන්වීම් පද්ධති සංවර්ධනය කරනු ලැබේ. එහෙත්, අවාසනාවකට මෙන්, මෙම දර්ශකය සම්භාවිතා වර්ගයක ගණනය කිරීම් සංකීර්ණ කරයි, ක්රම යෙදීම දුෂ්කර කරයි ගණිතමය සංඛ්යා ලේඛන. එබැවින්, සංඛ්යා ලේඛන තුළ විද්යාත්මක පර්යේෂණවිචලනය සඳහා බහුලව භාවිතා වන මිනුම වේ විසුරුම.
ලක්ෂණ විචලනය (s 2) චතුරස්රාකාර බල මධ්යන්ය මත පදනම්ව තීරණය කරනු ලැබේ:
.
s සමාන වන ඝාතකයක් ලෙස හැඳින්වේ සම්මත අපගමනය.
හිදී සාමාන්ය න්යායසංඛ්‍යාලේඛනවලදී, විචල්‍යතා දර්ශකය යනු එකම නමේ සම්භාවිතා න්‍යාය දර්ශකයේ ඇස්තමේන්තුවක් වන අතර (වර්ග අපගමනයන්හි එකතුව ලෙස) ගණිතමය සංඛ්යාලේඛනවල විචලනය පිළිබඳ ඇස්තමේන්තුවකි, එමඟින් මෙම න්යායික විෂයයන් හි විධිවිධාන භාවිතා කිරීමට හැකි වේ. සමාජ-ආර්ථික ක්රියාවලීන් විශ්ලේෂණය කිරීම.
අසීමිත සාමාන්ය ජනගහනයකින් ලබාගත් නිරීක්ෂණ කුඩා සංඛ්‍යාවකින් විචලනය ඇස්තමේන්තු කරන්නේ නම්, විශේෂාංගයේ සාමාන්ය අගය යම් දෝෂයක් සමඟ තීරණය වේ. විසරණයේ ගණනය කළ අගය පහළට මාරු වී ඇති බව පෙනේ. අපක්ෂපාතී ඇස්තමේන්තුවක් ලබා ගැනීම සඳහා, ඉහත සූත්‍රවලින් ලබාගත් නියැදි විචලනය n / (n - 1) මගින් ගුණ කළ යුතුය. එහි ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, නිරීක්ෂණ කුඩා සංඛ්‍යාවක් සහිතව (< 30) дисперсию признака рекомендуется вычислять по формуле
සාමාන්යයෙන් දැනටමත් n > (15÷20) හි පක්ෂග්රාහී සහ අපක්ෂපාතී ඇස්තමේන්තු අතර විෂමතාව නොවැදගත් වේ. එම හේතුව නිසාම, විචල්‍යතා එකතු කිරීමේ සූත්‍රයේ සාමාන්යයෙන් පක්ෂග්‍රාහීත්වය සැලකිල්ලට නොගනී.
සාමාන්ය ජනගහනයෙන් සාම්පල කිහිපයක් ලබාගෙන සෑම අවස්ථාවකම ගුණාංගයේ සාමාන්ය අගය තීරණය කරන්නේ නම්, සාමාන්‍යවල විචල්‍යතාවය තක්සේරු කිරීමේ ගැටළුව පැන නගී. ඇස්තමේන්තුගත විචලනය මධ්යන්ය අගයසූත්‍රයට අනුව එක් නියැදි නිරීක්ෂණයක් මත ද පදනම් විය හැක
,
මෙහි n යනු නියැදි ප්‍රමාණයයි; s 2 යනු නියැදි දත්ත වලින් ගණනය කරන ලද විශේෂාංගයේ විචලනයයි.
වටිනාකම 
යනුවෙන් හැඳින්වේ සාමාන්ය දෝෂයසාම්පලසහ X විශේෂාංගයේ නියැදි මධ්යන්ය අගය එහි සැබෑ මධ්යන්ය අගයෙන් අපගමනය වීමේ ලක්ෂණයකි. නියැදි නිරීක්ෂණ ප්රතිඵලවල විශ්වසනීයත්වය තක්සේරු කිරීමේදී සාමාන්ය දෝෂ දර්ශකය භාවිතා වේ.
සාපේක්ෂ විසරණ දර්ශක.අධ්‍යයනයට ලක්ව ඇති ලක්ෂණයේ උච්චාවචන මිනුම සංලක්ෂිත කිරීම සඳහා, උච්චාවචන දර්ශක සාපේක්ෂ වශයෙන් ගණනය කෙරේ. විවිධ ව්‍යාප්තියන්හි විසරණයේ ස්වභාවය සංසන්දනය කිරීමට ඒවා ඔබට ඉඩ සලසයි (ජනගහන දෙකක එකම ලක්ෂණයක් නිරීක්ෂණය කිරීමේ විවිධ ඒකක, විවිධ අගයන්විෂමජාතීය ජනගහනය සංසන්දනය කිරීමේදී සාමාන්යය). සාපේක්ෂ විසරණය මැනීමේ දර්ශක ගණනය කිරීම නිරපේක්ෂ විසරණ දර්ශකයේ අංක ගණිත මධ්යන්යයට අනුපාතය ලෙස 100% කින් ගුණ කරනු ලැබේ.
1. දෝලන සංගුණකයසාමාන්යය වටා ඇති ලක්ෂණයේ ආන්තික අගයන්හි සාපේක්ෂ උච්චාවචනය පිළිබිඹු කරයි
.
2. සාපේක්ෂ රේඛීය වසා දැමීම සාමාන්ය අගයෙන් නිරපේක්ෂ අපගමනයක ලකුණෙහි සාමාන්ය අගයේ කොටස සංලක්ෂිත කරයි
.
3. විචලනයේ සංගුණකය:
සාමාන්ය වල සාමාන්ය බව තක්සේරු කිරීමට භාවිතා කරන වඩාත් පොදු විචල්ය මිනුම වේ.
සංඛ්යා ලේඛනවලදී, 30-35% ට වඩා වැඩි විචල්ය සංගුණකයක් සහිත ජනගහනය විෂමජාතීය ලෙස සැලකේ.
විචලනය ඇස්තමේන්තු කිරීමේ මෙම ක්රමය ද සැලකිය යුතු පසුබෑමක් ඇත. ඇත්ත වශයෙන්ම, උදාහරණයක් ලෙස, වසර 15 ක සාමාන්ය සේවා කාලයක් සහිත, සම්මත අපගමනය s = අවුරුදු 10 ක් සහිත, තවත් අවුරුදු 15 කින් "වයස්ගත" කම්කරුවන්ගේ ආරම්භක ජනගහනය සලකා බලමු. දැන් = අවුරුදු 30, සහ සම්මත අපගමනය තවමත් 10. පෙර විෂම ජනගහනය (10/15 × 100 =
66.7%), මෙසේ කාලයත් සමඟ තරමක් සමජාතීය වේ (10/30 × 100 = 33.3%).
බෝයාර්ස්කි ඒ.යා. න්යායික අධ්යයනසංඛ්යා ලේඛන අනුව: සෙන. විද්යාත්මක ක්‍රියාදාමයන් - එම්.: සංඛ්‍යාලේඛන, 1974. පිටු 19-57.
| කලින් |
සාමාන්ය අගයන් ගැන කතා කිරීමට පටන් ගත් විට, බොහෝ විට ඔවුන් පාසලෙන් උපාධිය ලබා ඇතුළු වූ ආකාරය සිහිපත් කරති අධ්යාපන ආයතනය. ඊට පස්සේ, සහතිකය අනුව, මම ගණනය කළා GPA: සියලුම ලකුණු (හොඳ සහ එතරම් හොඳ නොවන) එකතු කරන ලදී, ප්රතිඵලය ප්රමාණය ඔවුන්ගේ සංඛ්යාවෙන් බෙදනු ලැබේ. සරලම ගණිතමය සාමාන්යය ලෙස හැඳින්වෙන සරලම සාමාන්ය වර්ගය ගණනය කරන්නේ මේ ආකාරයටයි. ප්රායෝගිකව, සංඛ්යාලේඛනවල විවිධ ආකාරයේ සාමාන්යයන් භාවිතා වේ: අංක ගණිතය, හරවත්, ජ්යාමිතික, චතුරස්‍ර, ව්යුහාත්මක සාමාන්ය. දත්තවල ස්වභාවය සහ අධ්‍යයනයේ අරමුණු අනුව ඒවායේ එක් හෝ තවත් වර්ගයක් භාවිතා වේ.
සාමාන්ය අගයයනු වඩාත් පොදු සංඛ්යාන දර්ශකය වන අතර, එහි ආධාරයෙන් එකම වර්ගයේ සංසිද්ධිවල සමස්ථයේ සාමාන්යකරණය කිරීමේ ලක්ෂණයක් වෙනස් වන එක් ලකුණකට අනුව ලබා දෙනු ලැබේ. එය ජනගහන ඒකකයකට ගුණාංගයේ මට්ටම පෙන්වයි. සාමාන්ය අගයන් ආධාරයෙන්, විවිධ ලක්ෂණ අනුව විවිධ සමස්ථයන් සංසන්දනය කිරීම සිදු කරනු ලබන අතර, සමාජ ජීවිතයේ සංසිද්ධි සහ ක්රියාවලීන් වර්ධනය කිරීමේ රටා අධ්යයනය කරනු ලැබේ.
සංඛ්යා ලේඛනවලදී, සාමාන්ය පන්ති දෙකක් භාවිතා වේ: බලය (විශ්ලේෂණාත්මක) සහ ව්යුහාත්මක. විචල්ය ශ්රේණියේ ව්යුහය සංලක්ෂිත කිරීමට දෙවැන්න භාවිතා වන අතර එය පරිච්ඡේදයේ තවදුරටත් සාකච්ඡා කෙරේ. අට.
බල මාධ්ය සමූහයට අංක ගණිතය, හරවත්, ජ්යාමිතික, චතුරස්‍ර ඇතුළත් වේ. ඒවා ගණනය කිරීම සඳහා තනි සූත්ර සියලු බල සාමාන්යයන් සඳහා පොදු ආකෘතියට අඩු කළ හැකිය, එනම්
m යනු බල මධ්යන්යයේ ඝාතකයා වේ: m = 1 සමඟ අපි ගණිත මධ්‍යය ගණනය කිරීම සඳහා සූත්‍රයක් ලබා ගනිමු, m = 0 සමඟ - ජ්යාමිතික මධ්යන්යය, m = -1 - හර මධ්‍යය, m = 2 සමඟ - මධ්යන්ය චතුරස්රය ;
x i - විකල්ප (ගුණාංගය ගන්නා අගයන්);
fi - සංඛ්යාත.
සංඛ්යානමය විශ්ලේෂණයේදී බල-නීතිය භාවිතා කළ හැකි ප්රධාන කොන්දේසිය වන්නේ ජනගහනයේ සමජාතීයතාවයයි, ඒවායේ ප්රමාණාත්මක අගයෙන් තියුනු ලෙස වෙනස් වන මූලික දත්ත අඩංගු නොවිය යුතුය (සාහිත්‍යයේ ඒවා විෂම නිරීක්ෂණ ලෙස හැඳින්වේ).
පහත උදාහරණයෙන් මෙම තත්වයේ වැදගත්කම පෙන්නුම් කරමු.
උදාහරණය 6.1. කුඩා ව්යවසායක සේවකයින්ගේ සාමාන්ය වැටුප ගණනය කරන්න.
| අංක p / p | වැටුප්, rub. | අංක p / p | වැටුප්, rub. |
|---|---|---|---|
| 1 | 5 950 | 11 | 7 000 |
| 2 | 6 790 | 12 | 5 950 |
| 3 | 6 790 | 13 | 6 790 |
| 4 | 5 950 | 14 | 5 950 |
| 5 | 7 000 | 5 | 6 790 |
| 6 | 6 790 | 16 | 7 000 |
| 7 | 5 950 | 17 | 6 790 |
| 8 | 7 000 | 18 | 7 000 |
| 9 | 6 790 | 19 | 7 000 |
| 10 | 6 790 | 20 | 5 950 |
සාමාන්යය ගණනය කිරීමට වැටුප්ව්යවසායයේ සියලුම සේවකයින් සඳහා උපචිත වැටුප් සාරාංශ කිරීම අවශ්ය වේ (එනම් වැටුප් අරමුදල සොයා ගැනීම), සහ සේවකයින් සංඛ්යාවෙන් බෙදන්න:
දැන් අපි අපගේ මුළු එකතුවට එකතු කරමු එක් පුද්ගලයෙක් (මෙම ව්යවසායයේ අධ්‍යක්ෂ), නමුත් රූබල් 50,000 ක වැටුපක් සමඟ. මෙම අවස්ථාවේදී, ගණනය කළ සාමාන්යය සම්පූර්ණයෙන්ම වෙනස් වනු ඇත:
ඔබට පෙනෙන පරිදි, එය රූබල් 7,000 ඉක්මවයි. එය එක් නිරීක්ෂණයක් හැර, විශේෂාංගයේ සියලුම අගයන්ට වඩා වැඩිය.
එවැනි අවස්ථාවන් ප්රායෝගිකව සිදු නොවීමට සහ සාමාන්‍යයට එහි අර්ථය නැති නොවීමට (උදාහරණයක් ලෙස 6.1 එය ජනගහනයේ සාමාන්යකරණය කිරීමේ ලක්ෂණයක භූමිකාව තවදුරටත් ඉටු නොකරයි, එය විය යුතුය), සාමාන්යය ගණනය කිරීමේදී, විෂම, බාහිර නිරීක්ෂණ විශ්ලේෂණයෙන් බැහැර කළ යුතු අතර පසුව ජනගහනය සමජාතීය බවට පත් කිරීම හෝ ජනගහනය සමජාතීය කණ්ඩායම් වලට බෙදීම සහ එක් එක් කණ්ඩායම සඳහා සාමාන්ය අගයන් ගණනය කිරීම සහ සමස්ත සාමාන්යය නොව කණ්ඩායම් සාමාන්යය විශ්ලේෂණය කිරීම.
6.1 අංක ගණිත මධ්යන්යය සහ එහි ගුණාංග
ගණිත මධ්යන්යය සරල අගයක් ලෙස හෝ බර අගයක් ලෙස ගණනය කෙරේ.
උදාහරණ 6.1 වගුවට අනුව සාමාන්ය වැටුප ගණනය කිරීමේදී, අපි ගුණාංගයේ සියලුම අගයන් එකතු කර ඒවායේ අංකයෙන් බෙදන්නෙමු. අපි අපගේ ගණනය කිරීම් වල පාඨමාලා ලියන්නේ සරල වල අංක ගණිත මධ්යන්යය සඳහා සූත්රයක ස්වරූපයෙන් ය
එහිදී x i - විකල්ප (ගුණාංගයේ තනි අගයන්);
n යනු ජනගහනයේ ඒකක ගණනයි.
උදාහරණය 6.2. දැන් අපි උදාහරණ 6.1 වැනි වගුවෙන් අපගේ දත්ත කාණ්ඩ කරමු. වැටුප් මට්ටමට අනුව කම්කරුවන් බෙදා හැරීමේ විවික්ත විචල්ය මාලාවක් ගොඩනඟමු. කණ්ඩායම් ප්රතිඵල වගුවේ දක්වා ඇත.
සාමාන්ය වැටුප් මට්ටම ගණනය කිරීම සඳහා ප්‍රකාශනය වඩාත් සංයුක්ත ආකාරයකින් ලියන්නෙමු:
උදාහරණ 6.2 හි, බර අංක ගණිත මධ්යන්ය සූත්රය යොදන ලදී
මෙහි f i - සංඛ්යාත පෙන්නුම් කරන්නේ x i y ලක්ෂණයේ අගය මෙන් කී ගුණයක් ජනගහන ඒකක වේ.
පහත දැක්වෙන පරිදි අංක ගණිතමය බර සහිත සාමාන්යය ගණනය කිරීම වගුවේ පහසුවෙන් සිදු කෙරේ (වගුව 6.3):
| මූලික දත්ත | ඇස්තමේන්තුගත දර්ශකය | |
| වැටුප්, rub. | සේවකයින් සංඛ්යාව, මිනිසුන් | වැටුප් අරමුදල, rub. |
| x i | fi | x i f i |
| 5 950 | 6 | 35 760 |
| 6 790 | 8 | 54 320 |
| 7 000 | 6 | 42 000 |
| සමස්ත | 20 | 132 080 |
දත්ත සමූහගත හෝ සමූහගත නොවන අවස්ථා වලදී සරල අංක ගණිත මධ්යන්යය භාවිතා වන නමුත් සියලු සංඛ්යාත එකිනෙක සමාන වන බව සටහන් කළ යුතුය.
බොහෝ විට නිරීක්ෂණ ප්රතිඵල විරාම බෙදාහැරීමේ මාලාවක් ලෙස ඉදිරිපත් කෙරේ (උදාහරණ 6.4 වගුව බලන්න). එවිට, සාමාන්යය ගණනය කිරීමේදී, විරාමවල මධ්ය ලක්ෂ්‍ය x i ලෙස ගනු ලැබේ. පළමු සහ අවසාන කාල අන්තරයන් විවෘත නම් (මායිම් වලින් එකක් නොමැති නම්), ඒවා කොන්දේසි සහිතව "වසා" ඇත, යාබද පරතරයේ අගය ලබා දී ඇති පරතරයේ අගයන් යනාදිය ලෙස ගනී. පළමුවැන්න දෙවැන්නෙහි අගය මත පදනම්ව වසා ඇත, සහ අවසාන - අවසාන භාගයේ අගය මත.
උදාහරණය 6.3. ජනගහන කණ්ඩායම් වලින් එකක නියැදි සමීක්ෂණයක ප්රතිඵල මත පදනම්ව, අපි සාමාන්ය ඒක පුද්ගල මුදල් ආදායමේ ප්රමාණය ගණනය කරමු.
ඉහත වගුවේ, පළමු අන්තරයේ මැද 500 වේ. ඇත්ත වශයෙන්ම, දෙවන අන්තරයේ අගය 1000 (2000-1000); එවිට පළමු එකෙහි පහළ සීමාව 0 (1000-1000), සහ එහි මැද 500. අපි අන්තිම අන්තරය සමඟම කරන්නෙමු. අපි එහි මැද ලෙස 25,000 ගනිමු: අවසාන අන්තරයේ අගය 10,000 (20,000-10,000), එවිට එහි ඉහළ සීමාව 30,000 (20,000 + 10,000), සහ මැද, පිළිවෙලින් 25,000 වේ.
| සාමාන්ය ඒක පුද්ගල මුදල් ආදායම, rub. මසකට | මුළු ජනගහනය, % f i | අන්තර මධ්ය ලක්ෂ්‍ය x i | x i f i |
|---|---|---|---|
| 1,000 දක්වා | 4,1 | 500 | 2 050 |
| 1 000-2 000 | 8,6 | 1 500 | 12 900 |
| 2 000-4 000 | 12,9 | 3 000 | 38 700 |
| 4 000-6 000 | 13,0 | 5 000 | 65 000 |
| 6 000-8 000 | 10,5 | 7 000 | 73 500 |
| 8 000-10 000 | 27,8 | 9 000 | 250 200 |
| 10 000-20 000 | 12,7 | 15 000 | 190 500 |
| 20,000 සහ ඉහළ | 10,4 | 25 000 | 260 000 |
| සමස්ත | 100,0 | - | 892 850 |
එවිට සාමාන්ය ඒක පුද්ගල මාසික ආදායම වනු ඇත
මෙම පදයට වෙනත් අර්ථයන් ඇත, සාමාන්ය අර්ථය බලන්න.සාමාන්යය(ගණිතය සහ සංඛ්යාලේඛනවල) සංඛ්යා කට්ටල - සියලුම සංඛ්‍යාවල එකතුව ඒවායේ අංකයෙන් බෙදනු ලැබේ. එය මධ්යම ප්‍රවණතාවයේ වඩාත් පොදු පියවරයන්ගෙන් එකකි.
එය පයිතගරස්වරුන් විසින් (ජ්යාමිතික මධ්යන්ය සහ සුසංයෝග මධ්යන්යය සමඟ) යෝජනා කරන ලදී.
අංක ගණිත මධ්යන්යයේ විශේෂ අවස්ථා වන්නේ මධ්යන්ය (සාමාන්ය ජනගහනයේ) සහ නියැදි මධ්යන්ය (සාම්පලවල) වේ.
හැදින්වීම
දත්ත කට්ටලය දක්වන්න x = (x 1 , x 2 , …, x n), එවිට නියැදි මධ්යන්යය සාමාන්යයෙන් විචල්‍යයට ඉහළින් තිරස් තීරුවකින් දැක්වේ (x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) , උච්චාරණය " xඉරක් සමඟ").
ග්‍රීක අකුර μ සමස්ත ජනගහනයේ අංක ගණිත මධ්යන්යය දැක්වීමට භාවිතා කරයි. සදහා අහඹු විචල්යය, මධ්යන්ය අගය නිර්වචනය කර ඇති අතර, μ වේ සම්භාවිතාව මධ්යන්යහෝ අපේක්ෂිත අගයඅහඹු විචල්යය. සෙට් එක නම් xμ සම්භාවිතාවක් සහිත අහඹු සංඛ්යා එකතුවකි, පසුව ඕනෑම නියැදියකට x මමමෙම එකතුවෙන් μ = E( x මම) යනු මෙම නියැදියේ අපේක්ෂාවයි.
ප්රායෝගිකව, μ සහ x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) අතර වෙනස වන්නේ μ යනු සාමාන්ය විචල්‍යයක් වන බැවින් ඔබට සම්පූර්ණයට වඩා තේරීමක් දැකිය හැක. සාමාන්ය ජනගහනය. එබැවින්, නියැදිය අහඹු ලෙස නිරූපණය කරන්නේ නම් (සම්භාවිතා න්‍යාය අනුව), එවිට x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) (නමුත් μ නොවේ) නියැදිය මත සම්භාවිතා ව්‍යාප්තියක් ඇති අහඹු විචල්‍යයක් ලෙස සැලකිය හැකිය ( මධ්යන්යයේ සම්භාවිතා ව්යාප්තිය).
මෙම ප්රමාණ දෙකම එකම ආකාරයකින් ගණනය කෙරේ:
X ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\ displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cdots +x_(n)).)
අ xයනු අහඹු විචල්‍යයකි, පසුව ගණිතමය අපේක්ෂාවයි xප්රමාණය නැවත නැවත මැනීමේදී අගයන්හි අංක ගණිත මධ්යන්යය ලෙස සැලකිය හැකිය x. මෙය විශාල සංඛ්යා නීතියේ ප්‍රකාශනයකි. එබැවින්, නියැදි මධ්යන්යය නොදන්නා ගණිතමය අපේක්ෂාව තක්සේරු කිරීමට භාවිතා කරයි.
ප්‍රාථමික වීජ ගණිතයේ මධ්යන්ය බව ඔප්පු වේ nසාමාන්‍යයට වඩා + 1 සංඛ්යා nනව සංඛ්යාව පැරණි සාමාන්‍යයට වඩා වැඩි නම් සහ පමණක් සංඛ්යා, නව අංකය සාමාන්‍යයට වඩා අඩු නම් සහ පමණක් අඩු නම් සහ නව අංකය සාමාන්ය අගයට සමාන නම් පමණක් වෙනස් නොවේ. වැඩි වැඩියෙන් n, නව සහ පැරණි සාමාන්ය අතර වෙනස කුඩා වේ.
බල-නීතිය මධ්යන්යය, කොල්මොගොරොව් මධ්යන්ය, හරාත්මක මධ්යන්ය, අංක ගණිත-ජ්යාමිතික මධ්යන්ය, සහ විවිධ බර සහිත මාධ්‍යයන් (උදා: අංක ගණිත-බර මධ්යන්ය, ජ්යාමිතික-බර මධ්යන්ය, හාර්මොනික්-බර මධ්‍යන්‍යන්) ඇතුළුව තවත් "මධ්‍යයන්" කිහිපයක් පවතින බව සලකන්න. .
උදාහරණ
- අංක තුනක් සඳහා, ඔබ ඒවා එකතු කර 3 න් බෙදිය යුතුය:
- අංක හතරක් සඳහා, ඔබ ඒවා එකතු කර 4 න් බෙදිය යුතුය:
හෝ පහසු 5+5=10, 10:2. අපි සංඛ්යා 2ක් එකතු කළ නිසා, ඒ කියන්නේ අපි සංඛ්යා කීයක් එකතු කරනවාද, අපි ඒ ප්‍රමාණයෙන් බෙදනවා.
අඛණ්ඩ අහඹු විචල්යය
අඛණ්ඩව බෙදා හරින ලද අගයක් සඳහා f (x) (\ displaystyle f(x)) අන්තරයේ අංක ගණිත මධ්යන්යය [ a ; b ] (\ displaystyle ) නිශ්චිත අනුකලනයක් හරහා අර්ථ දක්වා ඇත:
F (x) ¯ [ a ; b ] = 1 b - a ∫ a b f (x) d x (\ displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) f(x)dx)
සාමාන්යය භාවිතා කිරීමේ සමහර ගැටළු
ශක්තිමත් බව නොමැතිකම
ප්රධාන ලිපිය: සංඛ්යා ලේඛනවල ශක්තිමත් බවඅංක ගණිත මධ්යන්යය බොහෝ විට මාධ්‍යයන් හෝ කේන්ද්‍රීය ප්‍රවණතා ලෙස භාවිතා වුවද, මෙම සංකල්පය ශක්තිමත් සංඛ්‍යාලේඛනවලට අදාළ නොවේ, එනම් අංක ගණිත මධ්යන්යය යටත් වන බවයි. ශක්තිමත් බලපෑමක්"විශාල අපගමනයන්". විශාල වක්‍රයක් සහිත බෙදාහැරීම් සඳහා, අංක ගණිත මධ්යන්යය “සාමාන්ය” යන සංකල්පයට අනුරූප නොවිය හැකි අතර, ශක්තිමත් සංඛ්‍යාලේඛන වලින් මධ්යන්යයේ අගයන් (උදාහරණයක් ලෙස, මධ්ය) මධ්යම ප්‍රවණතාව වඩාත් හොඳින් විස්තර කළ හැකි බව සැලකිය යුතු කරුණකි.
සම්භාව්ය උදාහරණය වන්නේ සාමාන්ය ආදායම ගණනය කිරීමයි. අංක ගණිත මධ්යන්යය මධ්යන්යයක් ලෙස වැරදි ලෙස අර්ථ දැක්විය හැක, එය ඇත්ත වශයෙන්ම වඩා වැඩි ආදායමක් ඇති පුද්ගලයින් වැඩි බව නිගමනය කළ හැකිය. "මධ්‍යන්" ආදායම අර්ථකථනය කරනු ලබන්නේ බොහෝ පුද්ගලයන්ගේ ආදායම මෙම සංඛ්‍යාවට ආසන්න වන ආකාරයටය. මෙම "සාමාන්ය" (අංක ගණිත මධ්යන්යයේ අර්ථයෙන්) ආදායම බොහෝ මිනිසුන්ගේ ආදායමට වඩා වැඩි ය, මන්ද සාමාන්යයෙන් විශාල අපගමනයකින් යුත් ඉහළ ආදායමක් අංක ගණිත මධ්යන්යය දැඩි ලෙස විකෘති කරයි (ඊට ප්‍රතිවිරුද්ධව, මධ්ය ආදායම "ප්‍රතිරෝධී" වේ. එවැනි නැඹුරුවක්). කෙසේ වෙතත්, මෙම "සාමාන්ය" ආදායම මධ්ය ආදායමට ආසන්න පුද්ගලයින් සංඛ්යාව ගැන කිසිවක් නොකියයි (සහ මාර්ග ආදායමට ආසන්න පුද්ගලයින් සංඛ්යාව ගැන කිසිවක් නොකියයි). කෙසේ වෙතත්, "සාමාන්ය" සහ "බහුතරය" යන සංකල්ප සැහැල්ලුවට ගන්නේ නම්, බොහෝ මිනිසුන්ට ඇත්ත වශයෙන්ම වඩා වැඩි ආදායමක් ඇති බව කෙනෙකුට වැරදි ලෙස නිගමනය කළ හැකිය. නිදසුනක් වශයෙන්, වොෂින්ටනයේ මෙඩිනා හි "සාමාන්ය" ශුද්ධ ආදායම පිළිබඳ වාර්තාවක්, පදිංචිකරුවන්ගේ සියලුම වාර්ෂික ශුද්ධ ආදායමේ අංක ගණිත සාමාන්යය ලෙස ගණනය කර, බිල් ගේට්ස් නිසා පුදුම සහගත ලෙස ඉහළ සංඛ්‍යාවක් ලබා දෙනු ඇත. නියැදිය සලකා බලන්න (1, 2, 2, 2, 3, 9). අංක ගණිත මධ්යන්යය 3.17 වේ, නමුත් අගයන් හයෙන් පහක් මෙම මධ්යන්යයට වඩා අඩුය.
සංයුක්ත පොලී
ප්රධාන ලිපිය: ROIසංඛ්යා නම් ගුණ කරන්න, නමුත් නැහැ ගුණ කරන්න, ඔබ භාවිතා කළ යුත්තේ ජ්යාමිතික මධ්යන්යය මිස අංක ගණිත මධ්යන්යය නොවේ. බොහෝ විට, මෙම සිදුවීම සිදු වන්නේ මූල්ය ආයෝජනයේ ප්රතිලාභය ගණනය කිරීමේදීය.
උදාහරණයක් ලෙස, පළමු වසර තුළ කොටස් 10% කින් පහත වැටී දෙවන වසරේ 30% කින් ඉහළ ගියේ නම්, මෙම වසර දෙක තුළ "සාමාන්ය" වැඩිවීම අංක ගණිත මධ්යන්යය (−10% + 30%) / 2 ලෙස ගණනය කිරීම වැරදිය. = 10%; මෙම නඩුවේ නිවැරදි සාමාන්යය ලබා දෙන්නේ සංයුක්ත වාර්ෂික වර්ධන වේගයෙනි, එයින් වාර්ෂික වර්ධනය 8.16653826392% ≈ 8.2% පමණ වේ.
මෙයට හේතුව වන්නේ ප්‍රතිශතවලට සෑම අවස්ථාවකදීම නව ආරම්භක ලක්ෂ්‍යයක් තිබීමයි: 30% යනු 30% පළමු වසර ආරම්භයේ මිලට වඩා අඩු සංඛ්‍යාවකින්:කොටස් ඩොලර් 30 කින් ආරම්භ වී 10% කින් පහත වැටුනේ නම්, දෙවන වසර ආරම්භයේදී එය ඩොලර් 27 කි. කොටස් 30% වැඩි නම්, එය දෙවන වසර අවසානයේ ඩොලර් 35.1 ක් වේ. මෙම වර්ධනයේ අංක ගණිත සාමාන්යය 10% වේ, නමුත් කොටස් 2 වසර තුළ ඩොලර් 5.1 කින් පමණක් වර්ධනය වී ඇති බැවින්, 8.2% ක සාමාන්ය වැඩිවීමක් අවසාන ප්රතිඵලය $35.1 ලබා දෙයි:
[$30 (1 - 0.1) (1 + 0.3) = $30 (1 + 0.082) (1 + 0.082) = $35.1]. අපි 10% ක අංක ගණිත මධ්යන්යය ඒ ආකාරයෙන්ම භාවිතා කළහොත්, අපට සත්ය අගය ලැබෙන්නේ නැත: [$30 (1 + 0.1) (1 + 0.1) = $36.3].
2 වසර අවසානයේ සංයුක්ත පොලී: 90% * 130% = 117%, එනම් 17% ක සම්පූර්ණ වැඩිවීමක්, සහ සාමාන්ය වාර්ෂික සංයුක්ත පොලී 117% ≈ 108.2% (\sqrt (117\%)) \ආසන්න වශයෙන් 108.2\%) , එනම් 8.2% ක සාමාන්ය වාර්ෂික වැඩිවීමකි.
දිශාවන්
ප්රධාන ලිපිය: ගමනාන්ත සංඛ්යා ලේඛනසාමාන්යය ගණනය කිරීමේදී අංක ගණිත අගයන්චක්‍රීය ලෙස වෙනස් වන සමහර විචල්‍යයන් (උදාහරණයක් ලෙස, අදියර හෝ කෝණය), විශේෂ සැලකිල්ලක් දැක්විය යුතුය. උදාහරණයක් ලෙස, 1° සහ 359° සාමාන්යය 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\ displaystyle (\frac (\circ )+359^(\circ ))(2))=) 180° වේ. හේතු දෙකක් නිසා මෙම අංකය වැරදියි.
- පළමුව, කෝණික මිනුම් නිර්වචනය කරනු ලබන්නේ 0° සිට 360° දක්වා (හෝ රේඩියන වලින් මනින විට 0 සිට 2π දක්වා) පරාසය සඳහා පමණි. මේ අනුව, එම සංඛ්යා යුගලයම (1° සහ -1°) හෝ (1° සහ 719°) ලෙස ලිවිය හැකිය. එක් එක් යුගලයේ සාමාන්ය වෙනස් වනු ඇත: 1 ∘ + (− 1 ∘) 2 = 0 ∘ (\ displaystyle (\frac (1^(\circ )+(-1^(\circ )))(2))= 0 ^(\circ )) , 1 ∘ + 719 ∘ 2 = 360 ∘ (\ displaystyle (\frac (1^(\circ )+719^(\circ ))(2))=360^(\circ )) .
- දෙවනුව, මෙම අවස්ථාවෙහිදී, වෙනත් ඕනෑම අගයකට වඩා සංඛ්යා 0° සිට අඩුවෙන් අපගමනය වන බැවින් (අගය 0° කුඩාම විචලනය ඇත) 0° (අගය 360°ට සමාන) ජ්යාමිතික වශයෙන් හොඳම මධ්යන්යය වනු ඇත. සසඳන්න:
- අංක 1° 0° සිට 1°කින් පමණක් අපගමනය වේ;
- අංක 1° ගණනය කළ සාමාන්ය 180° න් 179°කින් අපගමනය වේ.
ඉහත සූත්‍රයට අනුව ගණනය කරන ලද චක්‍රීය විචල්‍යයක් සඳහා වන සාමාන්ය අගය සැබෑ සාමාන්‍යයට සාපේක්ෂව සංඛ්යාත්මක පරාසයේ මැදට කෘතිමව මාරු කරනු ලැබේ. මේ නිසා, සාමාන්යය වෙනත් ආකාරයකින් ගණනය කරනු ලැබේ, එනම් කුඩාම විචලනය (මධ්ය ලක්ෂ්යය) සහිත සංඛ්යාව සාමාන්ය අගය ලෙස තෝරා ඇත. එසේම, අඩු කිරීම වෙනුවට, මොඩියුල දුර (එනම්, පරිධිය දුර) භාවිතා වේ. උදාහරණයක් ලෙස, 1° සහ 359° අතර මොඩියුලර් දුර 2°, 358° නොවේ (359° සහ 360°==0° අතර කවයක් මත - එක් අංශකයක්, 0° සහ 1° අතර - ද 1°, මුළු - 2 °).
4.3 සාමාන්ය අගයන්. සාමාන්ය වල සාරය සහ අර්ථය
සාමාන්ය අගයසංඛ්‍යාලේඛනවල, සාමාන්යකරණ දර්ශකයක් ලෙස හඳුන්වනු ලබන අතර, ගුණාත්මකව සමජාතීය ජනගහනයක ඒකකයකට වෙනස් වන ගුණාංගයක විශාලත්වය පිළිබිඹු කරමින්, ස්ථානයේ සහ වේලාවේ නිශ්චිත තත්වයන් තුළ සංසිද්ධියක සාමාන්ය මට්ටම සංලක්ෂිත වේ. ආර්ථික භාවිතයේදී, සාමාන්ය ලෙස ගණනය කරනු ලබන පුළුල් පරාසයක දර්ශක භාවිතා වේ.
උදාහරණයක් ලෙස, කම්කරුවන්ගේ ආදායම පිළිබඳ සාමාන්යකරණ දර්ශකයක් හවුල් කොටස් සමාගම(JSC) යනු එක් සේවකයෙකුගේ සාමාන්ය ආදායම වන අතර, වැටුප් අරමුදලේ අනුපාතය සහ සමාලෝචිත කාල සීමාව සඳහා (වසර, කාර්තුව, මාසය) JSC හි සේවක සංඛ්‍යාවට සමාජ ගෙවීම් අනුව තීරණය වේ.
සාමාන්යය ගණනය කිරීම එක් පොදු සාමාන්යකරණ තාක්ෂණයකි; සාමාන්ය දර්ශකය අධ්යයනය කරන ලද ජනගහනයේ සියලුම ඒකක සඳහා සාමාන්ය (සාමාන්ය) සාමාන්යය පිළිබිඹු කරන අතර ඒ සමඟම එය තනි ඒකක අතර වෙනස්කම් නොසලකා හරියි. සෑම සංසිද්ධියකම සහ එහි වර්ධනය තුළ සංයෝජනයක් ඇත අවස්ථාවක්හා අවශ්යයි.සාමාන්යයන් ගණනය කිරීමේදී, විශාල සංඛ්යා නීතියේ ක්‍රියාකාරිත්වය හේතුවෙන්, අහඹු බව එකිනෙක අවලංගු කරයි, සමතුලිත වේ, එබැවින් සංසිද්ධියේ නොවැදගත් ලක්ෂණ වලින්, එක් එක් විශේෂිත ගුණාංගවල ප්රමාණාත්මක අගයන්ගෙන් වියුක්ත කළ හැකිය. නඩුව. පුද්ගල අගයන්හි අහඹු බවෙන් වියුක්ත වීමේ හැකියාව තුළ, උච්චාවචනයන් සාමාන්ය අගයන්හි විද්යාත්මක අගය වේ. සාරාංශගත කිරීමසමස්ථ ලක්ෂණ.
සාමාන්යකරණය සඳහා අවශ්ය වූ විට, එවැනි ලක්ෂණ ගණනය කිරීම ගුණාංගයේ විවිධ තනි අගයන් ප්රතිස්ථාපනය කිරීමට හේතු වේ. මධ්යමතනි සංසිද්ධීන් තුළ නොපෙනෙන, මහා සමාජ සංසිද්ධිවලට ආවේණික වූ රටා හඳුනා ගැනීමට හැකි වන පරිදි සංසිද්ධිවල සම්පූර්ණත්වය සංලක්ෂිත කරන දර්ශකයකි.
සාමාන්යය අධ්යයනය කරන ලද සංසිද්ධිවල ලාක්ෂණික, සාමාන්ය, සැබෑ මට්ටම පිළිබිඹු කරයි, මෙම මට්ටම් සහ කාලය හා අවකාශයේ ඒවායේ වෙනස්කම් සංලක්ෂිත කරයි.
සාමාන්යය යනු එය ඉදිරියට යන කොන්දේසි යටතේ ක්‍රියාවලියේ විධිමත්භාවයේ සාරාංශ ලක්ෂණයකි.
4.4 සාමාන්ය වර්ග සහ ඒවා ගණනය කිරීම සඳහා ක්රම
සාමාන්ය වර්ගය තෝරාගැනීම යම් දර්ශකයක ආර්ථික අන්තර්ගතය සහ ආරම්භක දත්ත මගින් තීරණය වේ. සෑම අවස්ථාවකම, සාමාන්ය අගයන්ගෙන් එකක් යොදනු ලැබේ: අංක ගණිතය, garමොනික, ජ්යාමිතික, හතරැස්, ඝනකආදිය ලැයිස්තුගත සාමාන්ය පන්තියට අයත් වේ බලයමධ්යම.
බල-නීති සාමාන්ය වලට අමතරව, සංඛ්යානමය භාවිතයේදී, ව්යුහාත්මක සාමාන්යයන් භාවිතා කරනු ලැබේ, ඒවා මාදිලිය සහ මධ්යස්ථ ලෙස සැලකේ.
බලය යනු කුමක්ද යන්න පිළිබඳව අපි වඩාත් විස්තරාත්මකව වාසය කරමු.
අංක ගණිත මධ්යන්යය
සාමාන්යයෙන් සාමාන්ය වර්ගයකි සාමාන්යය අංක ගණිතය.සමස්ත ජනගහනය සඳහා විචල්ය ගුණාංගයක පරිමාව එහි තනි ඒකකවල ගුණාංගවල අගයන්හි එකතුව වන අවස්ථාවන්හිදී එය භාවිතා වේ. සමාජ සංසිද්ධීන් සංලක්ෂිත වන්නේ විවිධ ගුණාංගවල පරිමාවන්ගේ ආකලන (සමාකලනය) මගින් වන අතර, මෙය අංක ගණිත මධ්යන්යයේ විෂය පථය තීරණය කරන අතර සාමාන්යකරණ දර්ශකයක් ලෙස එහි ව්යාප්තිය පැහැදිලි කරයි, උදාහරණයක් ලෙස: මුළු වැටුප් අරමුදල යනු සියලුම කම්කරුවන්ගේ වැටුප් එකතුවයි. , දළ අස්වැන්න යනු සමස්ත වපුරන ප්‍රදේශයෙන් ලැබෙන ප්‍රතිදානයේ එකතුවයි.
අංක ගණිත මධ්යන්යය ගණනය කිරීම සඳහා, ඔබ සියලු විශේෂාංග අගයන්හි එකතුව ඒවායේ අංකයෙන් බෙදිය යුතුය.
අංක ගණිත මධ්යන්යය ආකෘතියේ යොදනු ලැබේ සරල සාමාන්ය සහ බර සාමාන්ය.සරල සාමාන්යය ආරම්භක, නිර්වචන ආකෘතිය ලෙස සේවය කරයි.
සරල අංක ගණිත මධ්යන්යයසාමාන්‍ය ලක්ෂණයේ තනි අගයන්හි සරල එකතුවට සමාන වන අතර, මෙම අගයන්හි මුළු සංඛ්යාවෙන් බෙදනු ලැබේ (එය විශේෂාංගයේ කණ්ඩායම් නොකළ තනි අගයන් ඇති අවස්ථාවන්හිදී භාවිතා වේ):
කොහෙද 
- විචල්‍යයේ තනි අගයන් (විකල්ප); එම්
- ජනගහන ඒකක ගණන.
සූත්‍රවල තවදුරටත් සාරාංශ සීමාවන් නොපෙන්වයි. උදාහරණයක් ලෙස, එක් සේවකයෙකුගේ (locksmith) සාමාන්ය ප්රතිදානය සොයා ගැනීමට අවශ්ය වේ, එය එක් එක් කම්කරුවන් 15 දෙනාගෙන් කොපමණ කොටස් ප්‍රමාණයක් නිපදවා ඇත්ද, i.e. ලක්ෂණයේ තනි අගයන් ගණනාවක් ලබා දී ඇත, pcs.:
21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.
සරල ගණිත මධ්යන්යය ගණනය කරනු ලබන්නේ සූත්රය (4.1), 1 pc.:
වෙනස් වාර ගණනක් පුනරාවර්තනය වන හෝ ඇති යැයි කියනු ලබන විකල්පවල සාමාන්යය විවිධ බර, ලෙස හැඳින්වේ බර කර ඇත.බර යනු විවිධ ජනගහන කණ්ඩායම්වල ඒකක ගණනයි (කණ්ඩායම එකම විකල්පයන් ඒකාබද්ධ කරයි).
අංක ගණිතමය බර සහිත සාමාන්යය- සාමාන්ය කණ්ඩායම් අගයන්, - සූත්රය මගින් ගණනය කරනු ලැබේ:
, (4.2)
කොහෙද 
- බර (එකම ලක්ෂණ පුනරාවර්තන සංඛ්යාතය);
-
ඒවායේ සංඛ්යාත මගින් ලක්ෂණ විශාලත්වයේ නිෂ්පාදනවල එකතුව;
-
මුළු ජනගහන ඒකක ගණන.
ඉහත සාකච්ඡා කළ උදාහරණය භාවිතා කර ගණිතමය බර සහිත සාමාන්යය ගණනය කිරීමේ තාක්ෂණය අපි නිදර්ශනය කරන්නෙමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි මූලික දත්ත කාණ්ඩ කර ඒවා වගුවේ තබමු. 4.1
වගුව 4.1
කොටස් සංවර්ධනය සඳහා කම්කරුවන් බෙදා හැරීම
සූත්‍රයට අනුව (4.2), ගණිතමය බර සහිත සාමාන්යය සමාන වේ, කෑලි:
සමහර අවස්ථාවලදී, බර නිරපේක්ෂ අගයන් මගින් නොව, සාපේක්ෂ ඒවා (ඒකකයක ප්රතිශතයන් හෝ භාග වලින්) නියෝජනය කළ හැක. එවිට ගණිතමය බර සහිත සාමාන්යය සඳහා සූත්රය පෙනෙන්නේ:
කොහෙද 
- විශේෂයෙන්, i.e. සියල්ලේ මුළු එකතුවෙන් එක් එක් සංඛ්‍යාතයේ කොටස
සංඛ්යාත භාග (සංගුණක) වලින් ගණනය කරන්නේ නම්, එසේ නම් 
= 1, සහ ගණිතමය වශයෙන් බරිත සාමාන්යය සඳහා සූත්රය වන්නේ:
කණ්ඩායම් සාමාන්ය වලින් අංක ගණිත බර සාමාන්යය ගණනය කිරීම 
සූත්රය අනුව සිදු කරනු ලැබේ:
,
කොහෙද f- එක් එක් කණ්ඩායමේ ඒකක ගණන.
කණ්ඩායම් මාධ්‍යවල අංක ගණිත මධ්යන්යය ගණනය කිරීමේ ප්රතිඵල වගුවේ දක්වා ඇත. 4.2
වගුව 4.2
සාමාන්ය සේවා කාලය අනුව කම්කරුවන් බෙදා හැරීම
මෙම උදාහරණයේ දී, විකල්පයන් යනු තනි සේවකයින්ගේ සේවා කාලය පිළිබඳ තනි දත්ත නොව, එක් එක් වැඩමුළුව සඳහා සාමාන්යය වේ. පරිමාණයන් fකඩවල සේවක සංඛ්යාවයි. එබැවින්, ව්යවසාය පුරා කම්කරුවන්ගේ සාමාන්ය සේවා පළපුරුද්ද වසර වනු ඇත:
.
බෙදාහැරීමේ ශ්රේණියේ අංක ගණිත මධ්යන්යය ගණනය කිරීම
සාමාන්ය ගුණාංගයේ අගයන් අන්තරයන් ලෙස ලබා දෙන්නේ නම් ("සිට - දක්වා"), i.e. පරතරය බෙදාහැරීමේ මාලාව, පසුව සාමාන්යය ගණනය කිරීමේදී අංක ගණිතමය අගයමෙම කාල අන්තරවල මධ්ය ලක්ෂ්‍ය කණ්ඩායම්වල ලක්ෂණවල අගයන් ලෙස ගනු ලබන අතර එහි ප්රතිඵලයක් ලෙස විවික්ත ශ්‍රේණියක් සෑදේ. පහත උදාහරණය සලකා බලන්න (වගුව 4.3).
විරාම අගයන් ඒවායේ සාමාන්ය අගයන් සමඟ ප්රතිස්ථාපනය කිරීමෙන් විරාම ශ්‍රේණියක සිට විවික්ත එකකට යමු / (සරල සාමාන්යය
වගුව 4.3
මාසික වැටුප් මට්ටම අනුව AO සේවකයින් බෙදා හැරීම
|
සඳහා කම්කරු කණ්ඩායම් |
කම්කරුවන් සංඛ්යාව |
පරතරය මැද |
|
|
වැටුප්, අතුල්ලන්න. |
pers., f |
අතුල්ලන්න., x |
|
|
900 සහ ඊට වැඩි |
|||
විවෘත කාල අන්තරවල අගයන් (පළමු සහ අවසාන) ඒවාට යාබද කාල පරතරයන්ට කොන්දේසි සහිතව සමාන වේ (දෙවන සහ අවසාන).
සාමාන්යයේ එවැනි ගණනය කිරීමක් සමඟ, කණ්ඩායම තුළ ඇති ගුණාංග ඒකක ඒකාකාරව බෙදා හැරීම පිළිබඳ උපකල්පනයක් සිදු කරන බැවින්, යම් සාවද්‍යතාවයකට ඉඩ දෙනු ලැබේ. කෙසේ වෙතත්, දෝෂය කුඩා වන අතර, පරතරය පටු වන අතර පරතරය තුළ ඒකක වැඩි වේ.
විරාමවල මධ්ය ලක්ෂ්‍ය සොයාගත් පසු, ගණනය කිරීම් විවික්ත ශ්‍රේණියක මෙන් සිදු කරනු ලැබේ - විකල්පයන් සංඛ්යාත (බර) මගින් ගුණ කරනු ලබන අතර නිෂ්පාදනවල එකතුව සංඛ්යාත (බර) එකතුවෙන් බෙදනු ලැබේ. රූබල් දහසක්:
.
එබැවින්, JSC හි සේවකයින්ගේ සාමාන්ය වැටුප් මට්ටම රූබල් 729 කි. මසකට.
අංක ගණිත මධ්යන්යය ගණනය කිරීම බොහෝ විට සම්බන්ධ වේ විශාල වියදමකින්කාලය සහ ශ්රමය. කෙසේ වෙතත්, සමහර අවස්ථාවලදී, සාමාන්යය ගණනය කිරීම සඳහා වූ ක්රියා පටිපාටිය එහි ගුණාංග භාවිතා කිරීමෙන් සරල හා පහසු කර ගත හැකිය. අපි අංක ගණිත මධ්යන්යයේ මූලික ගුණාංග කිහිපයක් (සාක්‍ෂි නොමැතිව) ඉදිරිපත් කරමු.
දේපල 1. සියලුම තනි පුද්ගල ලක්ෂණ අගයන් (i.e. සියලු විකල්ප) අඩු කිරීම හෝ වැඩි කිරීම මමවාර, පසුව සාමාන්ය අගය නව විශේෂාංගයක් ඒ අනුව අඩු හෝ වැඩි වනු ඇත මමවරක්.
දේපල 2. සාමාන්ය ලක්ෂණයේ සියලුම ප්රභේද අඩු වී ඇත්නම්අංක A මගින් මැසීම හෝ වැඩි කිරීම, පසුව අංක ගණිත මධ්යන්යයA එකම අංකයකින් සැලකිය යුතු ලෙස අඩු කිරීම හෝ වැඩි කිරීම.
දේපල 3. සියලුම සාමාන්ය විකල්පවල බර අඩු වුවහොත් හෝ දක්වා වැඩි කරන්න වෙත වාර ගණන, ගණිත මධ්යන්යය වෙනස් නොවේ.
නිරපේක්ෂ දර්ශක වෙනුවට සාමාන්ය බර ලෙස, ඔබට භාවිතා කළ හැකිය විශිෂ්ඨ ගුරුත්වයමහා එකතුවෙන් (කොටස් හෝ ප්‍රතිශත). මෙය සාමාන්ය ගණනය කිරීම සරල කරයි.
සාමාන්ය ගණනය කිරීම් සරල කිරීම සඳහා, ඔවුන් විකල්ප සහ සංඛ්යාතවල අගයන් අඩු කිරීමේ මාර්ගය අනුගමනය කරයි. විශාලතම සරල කිරීම සාක්ෂාත් කරගනු ලබන්නේ කවදාද යන්නයි නමුත්ඉහළම සංඛ්යාතය සහිත එක් මධ්යම විකල්පයක අගය / - පරතරයේ අගය ලෙස තෝරා ඇත (එකම කාල පරතරයන් සහිත පේළි සඳහා). L හි අගය මූලාරම්භය ලෙස හැඳින්වේ, එබැවින් සාමාන්යය ගණනය කිරීමේ මෙම ක්රමය "කොන්දේසි ශුන්ය සිට ගණන් කිරීමේ ක්රමය" ලෙස හැඳින්වේ. "මොහොතෙහි ක්රමය".
සියලු විකල්පයන් යැයි උපකල්පනය කරමු xපළමුව A එකම අංකයකින් අඩු කර, පසුව අඩු කරන්න මමවරක්. අපට නව ප්‍රභේදවල නව විචල්ය බෙදාහැරීමේ මාලාවක් ලැබේ 
.
ඉන්පසු නව විකල්පප්රකාශ වනු ඇත:
,
සහ ඔවුන්ගේ නව අංක ගණිත මධ්යන්යය 
, -පළමු ඇණවුම් මොහොත- සූත්රය:
.
එය මුලින් අඩු කළ මුල් විකල්පයන්ගේ සාමාන්‍යයට සමාන වේ නමුත්,පසුව ඇතුලට මමවරක්.
සැබෑ සාමාන්යය ලබා ගැනීම සඳහා, ඔබට පළමු ඇණවුමේ මොහොතක් අවශ්ය වේ එම් 1 , ගුණ කරන්න මමසහ එකතු කරන්න නමුත්:
.
මෙම ක්රමයවිචල්‍ය ශ්රේණියේ අංක ගණිත මධ්යන්යය ගණනය කිරීම හැඳින්වේ "මොහොතෙහි ක්රමය".මෙම ක්රමය සමාන කාල පරතරයන් සහිත පේළි වල යොදනු ලැබේ.
අවස්ථා ක්රමය මගින් ගණිත මධ්යන්යය ගණනය කිරීම වගුවේ ඇති දත්ත මගින් නිරූපණය කෙරේ. 4.4
වගුව 4.4
2000 දී ස්ථාවර නිෂ්පාදන වත්කම්වල (OPF) වටිනාකම අනුව කලාපයේ කුඩා ව්යවසායන් බෙදා හැරීම
|
OPF පිරිවැය අනුව ව්යවසාය කණ්ඩායම්, රූබල් දහසක් |
ව්යවසායන් සංඛ්යාව f |
මැද විරාමයන්, x |
|
|
|
14-16 16-18 18-20 20-22 22-24 |
||||
පළමු ඇණවුමේ මොහොත සොයා ගැනීම
.
එවිට, A = 19 උපකල්පනය කර එය දැන ගැනීම මම= 2, ගණනය කරන්න X,රූබල් දහසක්.:
සාමාන්ය අගයන් වර්ග සහ ඒවා ගණනය කිරීම සඳහා ක්රම
සංඛ්යානමය සැකසුම් අදියරේදී, විවිධ පර්යේෂණ කාර්යයන් සකස් කළ හැකි අතර, විසඳුම සඳහා සුදුසු සාමාන්යය තෝරා ගැනීමට අවශ්ය වේ. මෙම අවස්ථාවේදී, පහත දැක්වෙන රීතිය මගින් මඟ පෙන්විය යුතුය: සාමාන්යයේ සංඛ්යාව සහ හරය නියෝජනය කරන අගයන් තාර්කිකව එකිනෙකට සම්බන්ධ විය යුතුය.
- බලශක්ති සාමාන්යයන්;
- ව්යුහාත්මක සාමාන්යයන්.
අපි පහත අංකනය හඳුන්වා දෙමු:
සාමාන්යය ගණනය කරනු ලබන අගයන්;
සාමාන්යය, ඉහත රේඛාවෙන් දැක්වෙන්නේ තනි අගයන්හි සාමාන්යකරණය සිදුවන බවයි;
සංඛ්යාතය (පුද්ගල ලක්ෂණ අගයන් පුනරාවර්තනය වීම).
විවිධ මාධ්‍යයන් සාමාන්ය බල මධ්යන්ය සූත්‍රයෙන් ව්‍යුත්පන්න වේ:
(5.1)
k = 1 සඳහා - අංක ගණිත මධ්යන්යය; k = -1 - හර්මොනික් මධ්යන්ය; k = 0 - ජ්යාමිතික මධ්යන්ය; k = -2 - මූල මධ්යන්ය චතුරස්රය.
සාමාන්යයන් සරල හෝ බරින් යුක්ත වේ. බර සාමාන්යයන්ගුණාංගයේ අගයන්හි සමහර ප්‍රභේදවලට විවිධ සංඛ්යා තිබිය හැකි බව සැලකිල්ලට ගන්නා ප්රමාණ ලෙස හැඳින්වේ, එබැවින් සෑම ප්‍රභේදයක්ම මෙම සංඛ්යාවෙන් ගුණ කළ යුතුය. වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, "බර" යනු විවිධ කණ්ඩායම්වල ජනගහන ඒකක ගණන, i.e. සෑම විකල්පයක්ම එහි සංඛ්යාතය අනුව "බර" ඇත. සංඛ්යාත f ලෙස හැඳින්වේ සංඛ්යාන බරහෝ සාමාන්ය බර.
අංක ගණිත මධ්යන්යය- වඩාත් පොදු මාධ්ය වර්ගය. ඔබට සාමාන්ය සාරාංශයක් ලබා ගැනීමට අවශ්ය සමූහගත නොකළ සංඛ්යාන දත්ත මත ගණනය කිරීම සිදු කරන විට එය භාවිතා වේ. අංක ගණිත මධ්යන්යය යනු ලක්ෂණයක සාමාන්ය අගයක් වන අතර, එය ලැබුණු පසු ජනගහනයේ ලක්ෂණයේ සම්පූර්ණ පරිමාව නොවෙනස්ව පවතී.
අංක ගණිත මධ්යන්ය සූත්රය ( සරල) ආකෘතිය ඇත
මෙහි n යනු ජනගහන ප්‍රමාණයයි.
උදාහරණයක් ලෙස, ව්යවසායක සේවකයින්ගේ සාමාන්ය වැටුප ගණිතමය සාමාන්යය ලෙස ගණනය කරනු ලැබේ:
මෙහි නිර්ණය කරන දර්ශක වන්නේ එක් එක් සේවකයාගේ වැටුප් සහ ව්යවසායයේ සේවකයින් සංඛ්යාවයි. සාමාන්යය ගණනය කිරීමේදී, මුළු වැටුප් ප්රමාණය එලෙසම පැවතුනද, සියලු කම්කරුවන් අතර සමානව බෙදා හැර ඇත. නිදසුනක් වශයෙන්, පුද්ගලයන් 8 දෙනෙකු සේවය කරන කුඩා සමාගමක සේවකයින්ගේ සාමාන්ය වැටුප ගණනය කිරීම අවශ්ය වේ:
සාමාන්ය ගණනය කිරීමේදී, සාමාන්යකරණය කරන ලද ගුණාංගයේ තනි අගයන් නැවත නැවතත් කළ හැක, එබැවින් සාමාන්යය ගණනය කරනු ලබන්නේ කණ්ඩායම් දත්ත භාවිතා කරමිනි. මෙම අවස්ථාවේදී, අපි භාවිතා කිරීම ගැන කතා කරමු අංක ගණිත මධ්යන්ය බර, පෙනෙන ආකාරයට
(5.3)
එබැවින්, අපි කොටස් හුවමාරුවේ හවුල් කොටස් සමාගමක සාමාන්ය කොටස් මිල ගණනය කළ යුතුය. දින 5 ක් ඇතුළත ගනුදෙනු සිදු කළ බව දන්නා කරුණකි (ගනුදෙනු 5), විකුණුම් අනුපාතයට විකුණන ලද කොටස් ගණන පහත පරිදි බෙදා හරින ලදී:
1 - 800 ac. - 1010 රූබල්
2 - 650 ac. - 990 rub.
3 - 700 ak. - 1015 රූබල්.
4 - 550 ac. - 900 rub.
5 - 850 ak. - 1150 රූබල්.
සාමාන්ය කොටස් මිල තීරණය කිරීම සඳහා වන මූලික අනුපාතය වන්නේ මුළු ගනුදෙනු ප්රමාණයේ (OSS) විකුණුම් කොටස් ගණනට (KPA) අනුපාතයයි.
සාමාන්ය අගයන් යනු ජන සමාජ සංසිද්ධිවල සාරාංශයක් (අවසාන) ලක්ෂණයක් ලබා දෙන සංඛ්යානමය දර්ශක සාමාන්‍යකරණයට යොමු කරයි, මන්ද ඒවා පදනම් වී ඇත්තේ විශාල සංඛ්යාවක්විචල්‍ය ලක්ෂණයක තනි අගයන්. සාමාන්ය අගයේ සාරය පැහැදිලි කිරීම සඳහා, සාමාන්ය අගය ගණනය කරනු ලබන එම සංසිද්ධිවල සලකුණු වල අගයන් ගොඩනැගීමේ ලක්ෂණ සලකා බැලීම අවශ්ය වේ.
එක් එක් ඒකක බව දන්නා කරුණකි මහා සංසිද්ධියබොහෝ විශේෂාංග ඇත. අපි මෙම සංඥා වලින් කුමන ලකුණක් ගත්තත්, තනි ඒකක සඳහා එහි අගයන් වෙනස් වනු ඇත, ඒවා වෙනස් වේ, නැතහොත්, ඔවුන් සංඛ්යාලේඛනවල පවසන පරිදි, එක් ඒකකයකින් තවත් ඒකකයකට වෙනස් වේ. උදාහරණයක් ලෙස, සේවකයෙකුගේ වැටුප තීරණය වන්නේ ඔහුගේ සුදුසුකම්, කාර්යයේ ස්වභාවය, සේවා කාලය සහ වෙනත් සාධක ගණනාවක් මත වන අතර එබැවින් ඉතා පුළුල් පරාසයක වෙනස් වේ. සියලු සාධකවල සමුච්චිත බලපෑම එක් එක් සේවකයාගේ ඉපැයීම් ප්රමාණය තීරණය කරයි, කෙසේ වෙතත්, ආර්ථිකයේ විවිධ අංශවල කම්කරුවන්ගේ සාමාන්ය මාසික වැටුප් ගැන කතා කළ හැකිය. මෙහිදී අපි විශාල ජනගහන ඒකකයකට යොමු කෙරෙන විචල්ය ගුණාංගයක සාමාන්ය, ලාක්ෂණික අගයක් සමඟ ක්රියා කරමු.
සාමාන්යය එය පිළිබිඹු කරයි ජනරාල්,අධ්යයනය කරන ලද ජනගහනයේ සියලුම ඒකක සඳහා සාමාන්ය වේ. ඒ අතරම, එය ජනගහනයේ තනි ඒකකවල ගුණාංගයේ විශාලත්වය මත ක්රියා කරන සියලුම සාධකවල බලපෑම සමතුලිත කරයි, ඒවා අන්යෝන්ය වශයෙන් අවලංගු කරන්නාක් මෙන්. ඕනෑම සමාජ සංසිද්ධියක මට්ටම (හෝ ප්රමාණය) තීරණය වන්නේ සාධක කණ්ඩායම් දෙකක ක්‍රියාකාරිත්වය මගිනි. ඒවායින් සමහරක් සාමාන්ය සහ ප්රධාන, නිරන්තරයෙන් ක්රියාත්මක වන, අධ්යයනය කරන සංසිද්ධියේ හෝ ක්‍රියාවලියේ ස්වභාවයට සමීපව සම්බන්ධ වන අතර ඒවා සාදයි. සාමාන්යඅධ්‍යයනය කරන ලද ජනගහනයේ සියලුම ඒකක සඳහා, එය සාමාන්ය අගයෙන් පිළිබිඹු වේ. තවත් අය වේ තනි,ඔවුන්ගේ ක්‍රියාව අඩුවෙන් ප්රකාශ වන අතර එපිසෝඩික්, අහඹු වේ. ඒවා ප්‍රතිවිරුද්ධ දිශාවට ක්රියා කරයි, ජනගහනයේ තනි ඒකකවල ප්රමාණාත්මක ලක්ෂණ අතර වෙනස්කම් ඇති කරයි, අධ්යයනය කරන ලක්ෂණවල නියත අගය වෙනස් කිරීමට උත්සාහ කරයි. කටයුතු තනි සලකුණුසාමාන්‍යයෙන් මුදා හරින ලදී. සාමාන්‍යකරණයේ ලක්ෂණ තුළ සමතුලිත සහ අන්යෝන්ය වශයෙන් අවලංගු වන සාමාන්ය සහ පුද්ගල සාධකවල සමුච්චිත බලපෑම තුළ එය ප්රකාශ වන්නේ සාමාන්ය දැක්මමූලික ගණිතමය සංඛ්‍යාලේඛන වලින් දනී විශාල සංඛ්යා නීතිය.
සමස්තයක් වශයෙන්, සං signs ා වල තනි අගයන් පොදු ස්කන්ධයකට ඒකාබද්ධ වන අතර, එය විසුරුවා හරිනු ලැබේ. එබැවින් සහ සාමාන්ය අගය"පුද්ගලික" ලෙස ක්රියා කරයි, එය විශේෂාංගවල තනි අගයන්ගෙන් බැහැර විය හැකි අතර ඒවා කිසිවක් සමඟ ප්‍රමාණාත්මකව සමපාත නොවේ. සාමාන්ය අගය සමස්ත ජනගහනය සඳහා සාමාන්ය, ලක්ෂණය සහ සාමාන්යය පිළිබිඹු කරන්නේ එහි ඇති අහඹු ලෙස අවලංගු කිරීම හේතුවෙන් එහි තනි ඒකකවල සලකුණු අතර අසාමාන්‍ය වෙනස්කම් නිසා, එහි අගය තීරණය වන්නේ, සියල්ලන්ගේම පොදු ප්රතිඵලය මගිනි. හේතු වේ.
කෙසේ වෙතත්, සාමාන්ය අගය ලක්ෂණයක වඩාත්ම සාමාන්ය අගය පිළිබිඹු කිරීම සඳහා, එය කිසිදු ජනගහනයක් සඳහා තීරණය නොකළ යුතුය, නමුත් ගුණාත්මකව සමජාතීය ඒකක වලින් සමන්විත ජනගහනය සඳහා පමණි. මෙම අවශ්‍යතාවය සාමාන්ය විද්‍යාත්මකව පදනම් වූ යෙදුම සඳහා ප්රධාන කොන්දේසිය වන අතර සමාජ-ආර්ථික සංසිද්ධි විශ්ලේෂණය කිරීමේදී සාමාන්ය ක්රමය සහ කණ්ඩායම් ක්රමය අතර සමීප සම්බන්ධතාවයක් ඇඟවුම් කරයි. එබැවින්, සාමාන්ය අගය යනු ස්ථානය සහ වේලාව පිළිබඳ නිශ්චිත තත්වයන් තුළ සමජාතීය ජනගහනයක ඒකකයකට විචල්ය ලක්ෂණයක සාමාන්ය මට්ටම සංලක්ෂිත සාමාන්යකරණ දර්ශකයකි.
මේ අනුව, සාමාන්ය අගයන්හි සාරය තීරණය කිරීම, ඕනෑම සාමාන්ය අගයක නිවැරදි ගණනය කිරීම පහත අවශ්‍යතා සපුරාලීම අදහස් කරන බව අවධාරණය කළ යුතුය:
- සාමාන්ය අගය ගණනය කරනු ලබන ජනගහනයේ ගුණාත්මක සමජාතීයතාවය. මෙයින් අදහස් කරන්නේ සාමාන්ය අගයන් ගණනය කිරීම සමජාතීය, එකම වර්ගයේ සංසිද්ධි තෝරා ගැනීම සහතික කරන කණ්ඩායම් ක්රමය මත පදනම් විය යුතු බවයි;
- අහඹු, තනිකරම තනි පුද්ගල හේතු සහ සාධකවල සාමාන්ය අගය ගණනය කිරීමේ බලපෑම බැහැර කිරීම. මෙය සාක්ෂාත් කරගනු ලබන්නේ සාමාන්ය ගණනය කිරීම ප්රමාණවත් තරම් දැවැන්ත ද්රව්ය මත පදනම් වූ විට විශාල සංඛ්යා නීතියේ ක්‍රියාකාරිත්වය ප්රකාශ වන අතර සියලු අනතුරු එකිනෙක අවලංගු කරයි;
- සාමාන්ය අගය ගණනය කිරීමේදී, එහි ගණනය කිරීමේ අරමුණ සහ ඊනියා ස්ථාපිත කිරීම වැදගත් වේ දර්ශක-ටෙල් නිර්වචනය කිරීම(දේපල) එය නැඹුරු විය යුතු ය.
නිර්ණය කිරීමේ දර්ශකයට සාමාන්ය ගුණාංගයේ අගයන්ගේ එකතුව, එහි ප්‍රත්‍යාවර්ත අගයන්ගේ එකතුව, එහි අගයන්හි ගුණිතය යනාදිය ලෙස ක්රියා කළ හැක. නිර්වචන දර්ශකය සහ සාමාන්ය අගය අතර සම්බන්ධතාවය පහත පරිදි ප්රකාශ වේ: සියල්ල නම් සාමාන්ය ගුණාංගයේ අගයන් සාමාන්ය අගයෙන් ප්රතිස්ථාපනය වේ, එවිට ඒවායේ එකතුව හෝ නිෂ්පාදිතය මෙම අවස්ථාවේ දී නිර්වචන දර්ශකය වෙනස් නොවේ. සාමාන්ය අගය සමඟ නිර්වචනය කිරීමේ දර්ශකයේ මෙම සම්බන්ධතාවය මත පදනම්ව, ආරම්භක අගය ගොඩනගා ඇත. අනුපාතයසාමාන්ය අගය සෘජු ගණනය කිරීම සඳහා. සංඛ්යානමය ජනගහනයේ ගුණාංග සංරක්ෂණය කිරීමට සාමාන්යයන් සතු හැකියාව ලෙස හැඳින්වේ දේපල නිර්වචනය කිරීම.
සමස්තයක් ලෙස ජනගහනය සඳහා ගණනය කරන ලද සාමාන්ය අගය ලෙස හැඳින්වේ සාමාන්ය සාමාන්යය;එක් එක් කණ්ඩායම සඳහා ගණනය කරන ලද සාමාන්ය අගයන් - කණ්ඩායම් සාමාන්යය.සමස්ත සාමාන්යය පිළිබිඹු කරයි පොදු ලක්ෂණඅධ්‍යයනයට ලක්වන සංසිද්ධියෙහි, කණ්ඩායම් සාමාන්යය, දී ඇති කාණ්ඩයේ නිශ්චිත කොන්දේසි යටතේ වර්ධනය වන සංසිද්ධිය සංලක්ෂිත කරයි.
ගණනය කිරීමේ ක්රම වෙනස් විය හැකිය, එබැවින් සංඛ්යාලේඛනවල සාමාන්ය වර්ග කිහිපයක් වෙන්කර හඳුනාගත හැකිය, ඒවායින් ප්රධාන වන්නේ අංක ගණිත සාමාන්යය, සමගාමී සාමාන්යය සහ ජ්යාමිතික සාමාන්යය ය.
ආර්ථික විශ්ලේෂණයේ දී, විද්යාත්මක හා තාක්‍ෂණික ප්‍රගතිය, සමාජ පියවරයන් සහ ආර්ථික සංවර්ධනය සඳහා සංචිත සෙවීමේ ප්රතිඵල තක්සේරු කිරීමේ ප්රධාන මෙවලම සාමාන්ය භාවිතයයි. ඒ අතරම, ආර්ථික හා සංඛ්යානමය විශ්ලේෂණයන් සිදු කිරීමේදී සාමාන්යයන් කෙරෙහි අධික අවධානයක් යොමු කිරීම පක්ෂග්රාහී නිගමනවලට තුඩු දිය හැකි බව මතක තබා ගත යුතුය. මෙයට හේතුව සාමාන්ය අගයන්, සාමාන්යකරණ දර්ශක වීම, ඇත්ත වශයෙන්ම පවතින සහ ස්වාධීන උනන්දුවක් දැක්විය හැකි ජනගහනයේ තනි ඒකකවල ප්රමාණාත්මක ලක්ෂණවල එම වෙනස්කම් අවලංගු කිරීම සහ නොසලකා හැරීමයි.
සාමාන්ය වර්ග
සංඛ්‍යාලේඛන වලදී, විවිධ වර්ගවල සාමාන්යයන් භාවිතා කරනු ලැබේ, ඒවා විශාල පන්ති දෙකකට බෙදා ඇත:
- බල සාමාන්යයන් (හර්මොනික් මධ්යන්යය, ජ්යාමිතික මධ්යන්ය, අංක ගණිත මධ්යන්යය, මධ්යන්ය වර්ග, මධ්යන්ය ඝනක);
- ව්යුහාත්මක සාමාන්යයන් (මාදිලිය, මධ්යන්ය).
ගණනය කිරීමට බලය කියන්නේපවතින සියලුම ලාක්ෂණික අගයන් භාවිතා කළ යුතුය. විලාසිතාහා මධ්යන්යබෙදා හැරීමේ ව්යුහය මගින් පමණක් තීරණය කරනු ලැබේ, එබැවින් ඒවා ව්යුහාත්මක, ස්ථානීය සාමාන්ය ලෙස හැඳින්වේ. මධ්යන්ය සහ ප්රකාරය බොහෝ විට සාමාන්ය ඝාතීය ගණනය කිරීම කළ නොහැකි හෝ ප්රායෝගික නොවන ජනගහනවල සාමාන්ය ලක්ෂණයක් ලෙස භාවිතා වේ.
සාමාන්ය සාමාන්ය වර්ගය අංක ගණිතමය සාමාන්යය වේ. යටතේ අංක ගණිත මධ්යන්යයවිශේෂාංගයේ සියලුම අගයන් ජනගහනයේ සියලුම ඒකක අතර ඒකාකාරව බෙදා හරිනු ලැබුවහොත් ජනගහනයේ සෑම ඒකකයකටම ඇති විශේෂාංගයක එවැනි අගයක් ලෙස වටහාගෙන ඇත. මෙම අගය ගණනය කිරීම විචල්ය ගුණාංගයේ සියලුම අගයන්ගේ සාරාංශයට අඩු කර ලැබෙන ප්රමාණය බෙදීම සමස්තසමස්ථ ඒකක. නිදසුනක් වශයෙන්, සේවකයින් පස් දෙනෙකු කොටස් නිෂ්පාදනය සඳහා ඇණවුමක් සම්පූර්ණ කළ අතර, පළමුවැන්නා කොටස් 5 ක්, දෙවන - 7, තුන්වන - 4, සිව්වන - 10, පස්වන - 12. ආරම්භක දත්තවල එක් එක් වටිනාකමින්. විකල්පය සිදු වූයේ එක් වරක් පමණි, එක් සේවකයෙකුගේ සාමාන්ය ප්රතිදානය තීරණය කිරීම සඳහා සරල අංක ගණිත මධ්යන්ය සූත්රය යෙදිය යුතුය:
එනම්, අපගේ උදාහරණයේ දී, එක් සේවකයෙකුගේ සාමාන්ය ප්රතිදානය සමාන වේ
සරල ගණිත මධ්යන්යය සමඟ ඔවුන් අධ්යයනය කරයි බර අංක ගණිත මධ්යන්යය.උදාහරණයක් ලෙස, වයස අවුරුදු 18 සිට 22 දක්වා වූ පුද්ගලයන් 20 දෙනෙකුගෙන් යුත් කණ්ඩායමක සිසුන්ගේ සාමාන්ය වයස ගණනය කරමු. xi- සාමාන්ය ලක්ෂණයේ ප්රභේද, fi- සංඛ්යාතය, එය කොපමණ වාරයක් සිදු වේද යන්න පෙන්වයි i-thඑකතුවෙහි අගය (වගුව 5.1).
වගුව 5.1
සිසුන්ගේ සාමාන්ය වයස
බර අංක ගණිත මධ්යන්ය සූත්රය යෙදීමෙන් අපට ලැබෙන්නේ:
බර අංක ගණිත මධ්යන්යයක් තෝරා ගැනීමට, ඇත නිශ්චිත රීතිය: දර්ශක දෙකක දත්ත මාලාවක් තිබේ නම්, ඉන් එකක් සඳහා එය ගණනය කිරීම අවශ්ය වේ
සාමාන්ය අගය, සහ ඒ සමඟම, එහි තාර්කික සූත්‍රයේ හරයේ සංඛ්යාත්මක අගයන් දන්නා අතර, සංඛ්‍යාංකයේ අගයන් නොදන්නා නමුත් නිෂ්පාදනයක් ලෙස සොයාගත හැකිය මෙම දර්ශක, එවිට සාමාන්ය අගය ගණනය කළ යුත්තේ අංක ගණිතමය බර සහිත සාමාන්ය සූත්රය භාවිතා කරමිනි.
සමහර අවස්ථා වලදී, ආරම්භක සංඛ්යාන දත්තවල ස්වභාවය වන්නේ අංක ගණිත මධ්යන්යය ගණනය කිරීමේදී එහි අර්ථය නැති වන අතර එකම සාමාන්යකරණ දර්ශකය විය හැක්කේ තවත් සාමාන්ය අගයක් පමණි - සාමාන්ය සුසංයෝගය.වර්තමානයේ, ඉලෙක්ට්‍රොනික පරිගණක පුළුල් ලෙස හඳුන්වාදීම හේතුවෙන් සංඛ්යානමය දර්ශක සාමාන්යකරණය කිරීමේ ගණනය කිරීමේදී ගණිත මධ්යන්යයේ ගණනය කිරීමේ ගුණාංග ඒවායේ අදාළත්වය නැති වී ඇත. මහා ප්රායෝගික වටිනාකමසරල සහ බරින් යුතු හාර්මොනික් මධ්යන්ය අගය ලබා ගන්නා ලදී. තාර්කික සූත්‍රයේ සංඛ්‍යාංකයේ සංඛ්යාත්මක අගයන් දන්නේ නම් සහ හරයේ අගයන් නොදන්නා නමුත් එක් දර්ශකයක පුද්ගලික අංශයක් ලෙස තවත් දර්ශකයකින් සොයාගත හැකි නම්, සාමාන්ය අගය බරින් ගණනය කරනු ලැබේ. හාර්මොනික් මධ්යන්ය සූත්රය.
උදාහරණයක් ලෙස, මෝටර් රථය පළමු කිලෝමීටර් 210 පැයට කිලෝමීටර 70 ක වේගයෙන් ද, ඉතිරි කිලෝමීටර 150 පැයට කිලෝමීටර 75 ක වේගයෙන් ද ගමන් කළ බව දන්වන්න. අංක ගණිත මධ්යන්ය සූත්රය භාවිතයෙන් කිලෝමීටර 360 ක මුළු ගමන පුරාවටම මෝටර් රථයේ සාමාන්ය වේගය තීරණය කළ නොහැක. විකල්පයන් තනි කොටස්වල වේගයන් බැවින් xj= 70 km/h සහ X2= 75 km/h, සහ බර (fi) යනු මාර්ගයේ අනුරූප කොටස් වේ, එවිට බර අනුව විකල්පයන්ගේ නිෂ්පාදන භෞතික හෝ ආර්ථික අර්ථයක් නැත. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, මාර්ගයේ කොටස් අනුරූප වේගයට (විකල්ප xi) බෙදීම අර්ථවත් කරයි, එනම්, මාර්ගයේ තනි කොටස් පසු කිරීමට ගත කරන කාලය (fi / xi). මාර්ගයේ කොටස් fi මගින් දක්වනු ලැබුවහොත්, සම්පූර්ණ මාර්ගය Σfi ලෙස ප්රකාශ වන අතර සම්පූර්ණ මාර්ගය සඳහා ගත කරන කාලය Σ fi ලෙස ප්රකාශ වේ. / xi , එවිට සාමාන්ය වේගය, ගත කළ මුළු කාලයෙන් බෙදූ මුළු දුර ප්රමාණයේ ප්රමාණය ලෙස සොයාගත හැක:
අපගේ උදාහරණයේ දී, අපට ලැබෙන්නේ:
සියලුම විකල්පවල (f) සාමාන්ය හාර්මොනික් බර භාවිතා කරන විට, බර කළ එක වෙනුවට, ඔබට භාවිතා කළ හැකිය සරල (බර නොකල) සුසංයෝග මධ්යන්යය:
එහිදී xi - තනි විකල්ප; n- සාමාන්ය ලක්ෂණයේ ප්රභේද ගණන. වේගය සමඟ උදාහරණයේ, විවිධ වේගයන් ගමන් කරන මාර්ගයේ කොටස් සමාන නම්, සරල සුසංයෝගයක් යෙදිය හැකිය.
ඕනෑම සාමාන්ය අගයක් ගණනය කළ යුතු අතර එමඟින් සාමාන්ය ලක්ෂණයේ එක් එක් ප්‍රභේදය ප්රතිස්ථාපනය කරන විට, සාමාන්ය දර්ශකය සමඟ සම්බන්ධ වන සමහර අවසාන, සාමාන්යකරණය කිරීමේ දර්ශකයේ අගය වෙනස් නොවේ. එබැවින්, මාර්ගයේ එක් එක් කොටස්වල සැබෑ වේගයන් ඒවායේ සාමාන්ය අගය (සාමාන්ය වේගය) සමඟ ප්රතිස්ථාපනය කරන විට, සම්පූර්ණ දුර ප්රමාණය වෙනස් නොවිය යුතුය.
සාමාන්ය අගයේ ස්වරූපය (සූත්රය) තීරණය වන්නේ මෙම අවසාන දර්ශකයේ සාමාන්ය අගය සමඟ ඇති සම්බන්ධතාවයේ ස්වභාවය (යාන්ත්‍රණය) අනුව ය, එබැවින් අවසාන දර්ශකය, විකල්පයන් ඒවායේ සාමාන්ය අගයෙන් ප්රතිස්ථාපනය කරන විට එහි අගය වෙනස් නොවිය යුතුය. , ලෙස හැඳින්වේ නිර්වචන දර්ශකය.සාමාන්ය සූත්රය ව්‍යුත්පන්න කිරීම සඳහා, ඔබ සාමාන්ය දර්ශක තීරණය කරන එක සමඟ ඇති සම්බන්ධතාවය භාවිතා කරමින් සමීකරණයක් රචනා කර විසඳිය යුතුය. මෙම සමීකරණය ගොඩනගා ඇත්තේ සාමාන්ය ලක්ෂණයේ (දර්ශක) ප්රභේද ඒවායේ සාමාන්ය අගය සමඟ ප්රතිස්ථාපනය කිරීමෙනි.
සංඛ්යාලේඛනවල අංක ගණිත මධ්යන්ය සහ හර මධ්යන්යයට අමතරව මධ්යන්යයේ වෙනත් වර්ග (ආකෘති) ද භාවිතා වේ. ඒවා සියල්ලම විශේෂ අවස්ථා වේ. උපාධිය සාමාන්යය.අපි එකම දත්ත සඳහා සියලු වර්ගවල බල-නීති සාමාන්ය ගණනය කරන්නේ නම්, එවිට අගයන්
ඔවුන් සමාන වනු ඇත, රීතිය මෙහි අදාළ වේ බහුතරයමධ්යම. මධ්යන්යයේ ඝාතකය වැඩි වන විට, මධ්යන්යය ද වැඩි වේ. ප්රායෝගික පර්යේෂණ වල බහුලව භාවිතා වන ගණනය කිරීම් සූත්ර විවිධ වර්ගවලබල සාමාන්යය වගුවේ දක්වා ඇත. 5.2
වගුව 5.2
පවතින විට ජ්යාමිතික මධ්යන්යය යොදනු ලැබේ. nවර්ධන සාධක, ලක්ෂණයේ තනි අගයන්, රීතියක් ලෙස, සාපේක්ෂ අගයන්ගතික ශ්‍රේණියක එක් එක් මට්ටම්වල පෙර මට්ටමට අනුපාතයක් ලෙස දාම අගයන් ආකාරයෙන් ගොඩනගා ඇති ගතිකත්වය. සාමාන්යයෙන් සාමාන්ය වර්ධන වේගය සංලක්ෂිත වේ. ජ්යාමිතික අර්ථය සරලයිසූත්රය මගින් ගණනය කරනු ලැබේ
සූත්රය ජ්යාමිතික මධ්යන්ය බරඑයට තිබෙනවා ඊළඟ දර්ශනය:
ඉහත සූත්ර සමාන වේ, නමුත් එකක් වත්මන් සංගුණක හෝ වර්ධන අනුපාතවල යොදනු ලැබේ, දෙවැන්න - ශ්රේණියේ මට්ටම්වල නිරපේක්ෂ අගයන්හිදී.
මූල අදහස් කරන්නේ හතරැස්වර්ග ශ්රිතවල අගයන් සමඟ ගණනය කිරීමේදී භාවිතා වේ, බෙදාහැරීමේ ශ්රේණියේ අංක ගණිත මධ්යන්යය වටා ඇති ගුණාංගයේ තනි අගයන්හි උච්චාවචන මට්ටම මැනීමට භාවිතා කරන අතර එය සූත්රය මගින් ගණනය කෙරේ.
මධ්යන්ය හතරැස් බරවෙනස් සූත්‍රයක් භාවිතයෙන් ගණනය කෙරේ:
සාමාන්ය ඝනකඝන ශ්රිතවල අගයන් සමඟ ගණනය කිරීමේදී භාවිතා වන අතර සූත්රය මගින් ගණනය කරනු ලැබේ
බර සහිත සාමාන්ය ඝනක:
ඉහත සියලුම සාමාන්ය අගයන් සාමාන්ය සූත්‍රයක් ලෙස නිරූපණය කළ හැක:
සාමාන්ය අගය කොහෙද; - තනි වටිනාකම; n- අධ්යයනය කරන ලද ජනගහනයේ ඒකක සංඛ්යාව; කේ- ඝාතකය, එය සාමාන්ය වර්ගය තීරණය කරයි.
එකම මූලාශ්‍ර දත්ත භාවිතා කරන විට, තවත් කේතුල සාමාන්ය සූත්රයබලය මධ්යන්යය, මධ්යන්යය විශාල වේ. මෙයින් කියවෙන්නේ බලයේ අගයන් අතර නිත්‍ය සම්බන්ධයක් පවතින බවයි.
ඉහත විස්තර කර ඇති සාමාන්ය අගයන් අධ්‍යයනයට ලක්ව ඇති ජනගහනය පිළිබඳ සාමාන්ය අදහසක් ලබා දෙන අතර, මෙම දෘෂ්ටි කෝණයෙන් බලන කල, ඒවායේ න්‍යායාත්මක, ව්‍යවහාරික සහ සංජානන වැදගත්කම අවිවාදිත ය. නමුත් සාමාන්යයේ අගය ඇත්ත වශයෙන්ම පවතින විකල්ප කිසිවක් සමඟ සමපාත නොවන බව සිදු වේ, එබැවින් සලකා බැලූ සාමාන්‍යයන්ට අමතරව, සංඛ්යානමය විශ්ලේෂණයේ දී තරමක් අල්ලා ගන්නා නිශ්චිත විකල්පවල අගයන් භාවිතා කිරීම සුදුසුය. ඇණවුම් කළ (ශ්රේණිගත කරන ලද) ගුණාංග අගයන් මාලාවක නිශ්චිත පිහිටීම. මෙම ප්රමාණ අතර, බහුලව භාවිතා වේ ව්යුහාත්මක,හෝ විස්තරාත්මක, සාමාන්ය- මාදිලිය (Mo) සහ මධ්ය (Me).
විලාසිතා- මෙම ජනගහනයේ බොහෝ විට දක්නට ලැබෙන ලක්ෂණයේ වටිනාකම. විචල්ය ශ්‍රේණි සම්බන්ධයෙන්, මාදිලිය ශ්රේණිගත ශ්රේණියේ නිතර සිදුවන අගයයි, එනම් ඉහළම සංඛ්යාතය සහිත ප්‍රභේදයයි. ඕනෑම නිෂ්පාදනයක් සඳහා වඩාත්ම පොදු මිල, වැඩිපුරම සංචාරය කරන ලද වෙළඳසැල් තීරණය කිරීමට විලාසිතා භාවිතා කළ හැකිය. ජනගහනයෙන් සැලකිය යුතු කොටසක ලක්ෂණ ලක්ෂණයේ විශාලත්වය පෙන්නුම් කරන අතර, සූත්රය මගින් තීරණය කරනු ලැබේ
මෙහි x0 යනු අන්තරයේ පහළ සීමාවයි; h- විරාම අගය; fm- විරාම සංඛ්යාතය; fm_ 1 - පෙර විරාමයේ සංඛ්යාතය; fm+ 1 - ඊළඟ පරතරයේ සංඛ්යාතය.
මධ්යන්යශ්‍රේණිගත පේළියේ මධ්‍යයේ පිහිටා ඇති ප්‍රභේදය ලෙස හැඳින්වේ. මධ්‍යස්ථකය ශ්‍රේණිය සමාන කොටස් දෙකකට බෙදන්නේ එහි දෙපස එකම ජනගහන ඒකක සංඛ්‍යාවක් ඇති ආකාරයටය. ඒ අතරම, ජනගහන ඒකකවලින් අඩක් තුළ, විචල්ය ගුණාංගයේ අගය මධ්‍යයට වඩා අඩුය, අනෙක් භාගයේ එය ඊට වඩා වැඩිය. බෙදාහැරීමේ ශ්රේණියේ මූලද්‍රව්‍යවලින් අඩකට වඩා වැඩි හෝ සමාන හෝ එකවර අඩු හෝ සමාන වන මූලද්‍රව්‍යයක් පරීක්ෂා කිරීමේදී මධ්‍යස්ථකය භාවිතා වේ. විශේෂාංගයේ අගයන් සංකේන්ද්‍රණය වී ඇති තැන, වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, ඒවායේ කේන්ද්‍රය කොතැනද යන්න පිළිබඳ සාමාන්ය අදහසක් මධ්‍යස්ථය ලබා දෙයි.
මධ්‍යයේ විස්තරාත්මක ස්වභාවය එය ජනගහන ඒකකවලින් අඩක් සතු විවිධ ගුණාංගවල අගයන්හි ප්රමාණාත්මක මායිම සංලක්ෂිත කරයි. විවික්ත විචල්ය ශ්‍රේණියක් සඳහා මධ්‍යස්ථය සෙවීමේ ගැටලුව සරලව විසඳනු ලැබේ. මාලාවේ සියලුම ඒකක ලබා දෙන්නේ නම් අනුක්රමික අංක, එවිට මධ්ය ප්‍රභේදයේ අනුක්රමික අංකය (n + 1) / 2 ඔත්තේ පද සංඛ්‍යාවකින් n ලෙස අර්ථ දක්වා ඇත. ශ්රේණියේ පද සංඛ්යාව ඉරට්ටේ සංඛ්‍යාවක් නම්, මධ්‍යයන් දෙකේ සාමාන්ය අගය වනු ඇත. අනුක්රමික අංක සහිත ප්රභේද n/ 2 සහ n / 2 + 1.
විරාම විචල්ය ශ්රේණියේ මධ්යන්යය නිර්ණය කිරීමේදී, එය පිහිටා ඇති විරාමය (මධ්ය අන්තරය) පළමුව තීරණය වේ. මෙම විරාමය සංලක්ෂිත වන්නේ එහි සමුච්චිත සංඛ්යාත එකතුව ශ්රේණියේ සියලුම සංඛ්යාතවල එකතුවෙන් අඩකට සමාන හෝ ඉක්මවන බැවිනි. විරාම විචල්ය ශ්රේණියේ මධ්යන්යය ගණනය කිරීම සූත්රය අනුව සිදු කෙරේ
කොහෙද X0- පරතරයේ පහළ සීමාව; h- විරාම අගය; fm- විරාම සංඛ්යාතය; f- මාලාවේ සාමාජිකයින් සංඛ්යාව;
∫m-1 - මෙයට පෙර ශ්රේණියේ සමුච්චිත නියමවල එකතුව.
වැඩි විස්තර සඳහා මධ්‍යස්ථකය සමඟ සම්පූර්ණ ලක්ෂණඅධ්‍යයනය කරන ලද ජනගහනයේ ව්‍යුහයන් ශ්රේණිගත ශ්රේණියේ තරමක් නිශ්චිත ස්ථානයක් හිමි වෙනත් විකල්ප අගයන් ද භාවිතා කරයි. මේවාට ඇතුළත් වේ quartilesහා දශමයන්. Quartiles ශ්‍රේණිය සංඛ්යාත එකතුවෙන් සමාන කොටස් 4කටත් දශම - සමාන කොටස් 10කටත් බෙදයි. චතුර්ථ තුනක් සහ දශම නවයක් ඇත.
මධ්යන්ය සහ ප්රකාරය, ගණිත මධ්යන්යය මෙන් නොව, විචල්ය ගුණාංගයක අගයන්හි තනි වෙනස්කම් අවලංගු නොකරන අතර, එබැවින්, අතිරේක සහ ඉතා වැදගත් ලක්ෂණසංඛ්යානමය එකතුව. ප්රායෝගිකව, ඔවුන් බොහෝ විට සාමාන්යය වෙනුවට හෝ එය සමඟ භාවිතා කරනු ලැබේ. අධ්යයනය කරන ලද ජනගහනයේ විචල්ය ගුණාංගයේ ඉතා විශාල හෝ ඉතා කුඩා අගයක් සහිත නිශ්චිත ඒකක සංඛ්‍යාවක් අඩංගු වන විට එම අවස්ථා වලදී මධ්ය සහ මාදිලිය ගණනය කිරීම විශේෂයෙන් සුදුසු වේ. මෙම විකල්ප අගයන්, ජනගහනය සඳහා එතරම් ලක්ෂණයක් නොවන අතර, අංක ගණිත මධ්යන්යයේ අගයට බලපාන අතර, මධ්ය හා මාදිලියේ අගයන්ට බලපාන්නේ නැත, එමඟින් ආර්ථික හා සංඛ්යානමය විශ්ලේෂණය සඳහා දෙවැන්න ඉතා වටිනා දර්ශක බවට පත් කරයි. .
විචලන දර්ශක
සංඛ්යානමය අධ්‍යයනයක අරමුණ වන්නේ අධ්යයනය කරන ලද සංඛ්යාන ජනගහනයේ ප්රධාන ගුණාංග සහ රටා හඳුනා ගැනීමයි. සංඛ්යාන නිරීක්ෂණ දත්ත සාරාංශ සැකසීමේ ක්රියාවලියේදී, අපි ගොඩනඟමු බෙදාහැරීමේ මාර්ග.බෙදා හැරීමේ ශ්‍රේණි වර්ග දෙකක් තිබේ - ආරෝපණය සහ විචල්ය, කණ්ඩායම්කරණයේ පදනම ලෙස ගන්නා ලද ගුණාංගය ගුණාත්මක ද ප්රමාණාත්මක ද යන්න මත පදනම්ව.
විචල්යප්‍රමාණාත්මක පදනමක් මත ගොඩනගා ඇති බෙදාහැරීමේ ශ්‍රේණි ලෙස හැඳින්වේ. ජනගහනයේ තනි ඒකක සඳහා ප්රමාණාත්මක ලක්ෂණවල අගයන් නියත නොවේ, අඩු වැඩි වශයෙන් එකිනෙකට වෙනස් වේ. ලක්ෂණයක වටිනාකමෙහි මෙම වෙනස හැඳින්වේ වෙනස්කම්.අධ්යයනය කරන ලද ජනගහනය තුළ ඇති වන ගතිලක්ෂණවල වෙනම සංඛ්යාත්මක අගයන් ලෙස හැඳින්වේ අගය විකල්ප.ජනගහනයේ තනි ඒකකවල විචලනය පැවතීම ලක්ෂණ මට්ටම ගොඩනැගීමට සාධක විශාල ගණනක බලපෑම නිසාය. ජනගහනයේ තනි ඒකකවල සංඥා වල ස්වභාවය සහ විචලනය පිළිබඳ අධ්යයනය වේ විවේචනාත්මක ප්රශ්නයඕනෑම සංඛ්යාන අධ්යයනයක්. ලක්ෂණ විචල්යතාවයේ මිනුම විස්තර කිරීමට විචල්ය දර්ශක භාවිතා වේ.
වෙනත් වැදගත් කාර්යයක්සංඛ්‍යාලේඛන පර්යේෂණ යනු ජනගහනයේ ඇතැම් සලකුණුවල විචලනය තුළ තනි සාධක හෝ ඔවුන්ගේ කණ්ඩායම්වල කාර්යභාරය තීරණය කිරීමයි. සංඛ්යාලේඛනවල එවැනි ගැටළුවක් විසඳීම සඳහා, විචලනය මනින දර්ශක පද්ධතියක් භාවිතා කිරීම මත පදනම්ව, විචලනය අධ්යයනය කිරීම සඳහා විශේෂ ක්රම භාවිතා කරනු ලැබේ. ප්රායෝගිකව, පර්යේෂකයා ගුණාංගයේ අගයන් සඳහා ප්රමාණවත් තරම් විශාල විකල්ප ගණනකට මුහුණ දී ඇති අතර, එය සමස්තයේ ඇති ගුණාංගයේ අගය අනුව ඒකක බෙදා හැරීම පිළිබඳ අදහසක් ලබා නොදේ. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, ගුණාංග අගයන්හි සියලුම ප්රභේද ආරෝහණ හෝ අවරෝහණ අනුපිළිවෙලට සකසා ඇත. මෙම ක්රියාවලිය හැඳින්වේ පේළි ශ්රේණිගත කිරීම.ශ්රේණිගත ශ්‍රේණිය වහාම විශේෂාංගය සමස්තයක් ලෙස ගන්නා අගයන් පිළිබඳ සාමාන්ය අදහසක් ලබා දෙයි.
ජනගහනයේ සම්පූර්ණ ලක්ෂණයක් සඳහා සාමාන්ය අගය ප්රමාණවත් නොවීම නිසා අධ්‍යයනයට ලක්ව ඇති ගති ලක්ෂණයේ උච්චාවචනය (විචලනය) මැනීමෙන් මෙම සාමාන්‍යවල සාමාන්‍යභාවය තක්සේරු කිරීමට හැකි වන පරිදි දර්ශක සමඟ සාමාන්ය අගයන් අතිරේක කිරීම අවශ්ය වේ. මෙම විචල්ය දර්ශක භාවිතා කිරීම සංඛ්යානමය විශ්ලේෂණය වඩාත් සම්පූර්ණ හා අර්ථවත් කිරීමට හැකි වන අතර එමඟින් අධ්යයනය කරන ලද සමාජ සංසිද්ධිවල සාරය වඩා හොඳින් අවබෝධ කර ගත හැකිය.
විචලනයේ සරලම සංඥා වේ අවමහා උපරිම -කුඩාම සහ ඉහළම අගයසමස්තයක් වශයෙන් ලක්ෂණය. විශේෂාංග අගයන්හි තනි ප්‍රභේදවල පුනරාවර්තන ගණන ලෙස හැඳින්වේ පුනරාවර්තන අනුපාතය.විශේෂාංග අගයේ පුනරාවර්තන වාර ගණන අපි දක්වන්නෙමු fi,අධ්යයනය කරන ලද ජනගහනයේ පරිමාවට සමාන සංඛ්යාත එකතුව වනුයේ:
කොහෙද කේ- ගුණාංග අගයන්හි ප්රභේද ගණන. සංඛ්යාත සංඛ්යාත සමඟ ප්රතිස්ථාපනය කිරීම පහසුය - w.i. සංඛ්යාතය- සාපේක්ෂ සංඛ්යාත දර්ශකය - ඒකකයක හෝ ප්‍රතිශතයක භාග වලින් ප්රකාශ කළ හැකි අතර විචල්ය ශ්‍රේණි සමඟ සංසන්දනය කිරීමට ඔබට ඉඩ සලසයි වෙනස් අංකයනිරීක්ෂණ. විධිමත් ලෙස අපට ඇත්තේ:
ලක්ෂණයක විචලනය මැනීම සඳහා විවිධ නිරපේක්ෂ සහ සාපේක්ෂ දර්ශක භාවිතා වේ. විචලනය පිළිබඳ නිරපේක්ෂ දර්ශක මධ්යන්ය රේඛීය අපගමනය, විචලනය පරාසය, විචලනය, සම්මත අපගමනය ඇතුළත් වේ.
ස්පන් විචලනය(R) යනු අධ්යයනය කරන ලද ජනගහනයේ ලක්ෂණයේ උපරිම සහ අවම අගයන් අතර වෙනසයි: ආර්= Xmax - Xmin. මෙම දර්ශකය මඟින් අධ්‍යයනයට ලක්ව ඇති ලක්ෂණයේ උච්චාවචනය පිළිබඳ වඩාත් සාමාන්ය අදහසක් පමණක් ලබා දෙයි, එය ප්‍රභේදවල සීමිත අගයන් අතර වෙනස පමණක් පෙන්නුම් කරයි. එය විචල්ය ශ්රේණියේ සංඛ්‍යාතවලට, එනම් බෙදා හැරීමේ ස්වභාවයට සම්පූර්ණයෙන්ම සම්බන්ධ නොවන අතර, එහි යැපීම එයට අස්ථායී, අහඹු චරිතයක් ලබා දිය හැක්කේ ගුණාංගයේ ආන්තික අගයන්ගෙන් පමණි. විචල්ය පරාසය අධ්යයනය කරන ලද ජනගහනයේ ලක්ෂණ පිළිබඳ කිසිදු තොරතුරක් ලබා නොදෙන අතර ලබාගත් සාමාන්ය අගයන්හි සාමාන්ය මට්ටම තක්සේරු කිරීමට අපට ඉඩ නොදේ. මෙම දර්ශකයේ විෂය පථය තරමක් සමජාතීය ජනගහනයකට සීමා වේ, වඩාත් නිවැරදිව, එය ලක්ෂණයක විචලනය සංලක්ෂිත කරයි, ලක්ෂණයේ සියලුම අගයන්හි විචල්‍යතාවයන් සැලකිල්ලට ගැනීම මත පදනම් වූ දර්ශකයකි.
ලක්ෂණයක විචලනය සංලක්ෂිත කිරීම සඳහා, අධ්‍යයනයට ලක්වන ජනගහනය සඳහා සාමාන්ය ඕනෑම අගයකින් සියලුම අගයන්හි අපගමනය සාමාන්යකරණය කිරීම අවශ්ය වේ. එවැනි දර්ශක
මධ්යන්ය රේඛීය අපගමනය, විචලනය සහ සම්මත අපගමනය වැනි විචලනයන් පදනම් වන්නේ සංඛ්යා ගණිත මධ්‍යන්‍යයෙන් ජනගහනයේ තනි ඒකකවල ගුණාංගයේ අගයන් අපගමනය කිරීම මත ය.
සාමාන්ය රේඛීය අපගමනයඑක් එක් විකල්පයන් ඒවායේ අංක ගණිත මධ්‍යන්‍යයෙන් අපගමනය වීමේ නිරපේක්ෂ අගයන්හි අංක ගණිත මධ්යන්යය වේ:
අංක ගණිත මධ්‍යන්‍යයෙන් විචල්ය අපගමනයේ නිරපේක්ෂ අගය (මොඩියුලය); f-සංඛ්යාතය.
පළමු සූත්රය අදාළ වන්නේ එක් එක් විකල්පය එක් වරක් පමණක් සමස්ථයෙන් සිදු වුවහොත් සහ දෙවැන්න - අසමාන සංඛ්යාත සහිත ශ්රේණියේ ය.
අංක ගණිත මධ්‍යන්‍යයෙන් විකල්පවල අපගමනය සාමාන්යකරණය කිරීමට තවත් ක්රමයක් තිබේ. සංඛ්යාලේඛනවල බහුලව දක්නට ලැබෙන මෙම ක්රමය, මධ්යන්ය අගයෙන් විකල්පවල වර්ග අපගමනය ගණනය කිරීම දක්වා අඩු කර ඒවා සාමාන්යකරණය කරයි. මෙම අවස්ථාවේදී, අපි විචලනය පිළිබඳ නව දර්ශකයක් ලබා ගනිමු - විචලනය.
විසුරුම(σ 2) - සාමාන්ය අගයෙන් ගතිලක්ෂණ අගයන්හි ප්‍රභේදවල වර්ග අපගමනයන්හි සාමාන්යය:
ප්‍රභේදවලට තමන්ගේම බර (හෝ විචල්ය ශ්රේණියේ සංඛ්යාත) තිබේ නම් දෙවන සූත්රය භාවිතා වේ.
ආර්ථික හා සංඛ්යානමය විශ්ලේෂණයේ දී, බොහෝ විට සම්මත අපගමනය භාවිතා කරමින් ගුණාංගයක විචලනය තක්සේරු කිරීම සිරිතකි. සම්මත අපගමනය(σ) යනු විචලනයේ වර්ගමූලය වේ:
මධ්යන්ය රේඛීය සහ මධ්යන්ය වර්ග අපගමනයන් මගින් අධ්‍යයනයට ලක්ව ඇති ජනගහන ඒකක සඳහා උපලක්ෂණයේ අගය සාමාන්යයෙන් උච්චාවචනය වන ආකාරය පෙන්නුම් කරන අතර ප්‍රභේදයන් ලෙස එකම ඒකක වලින් ප්රකාශ වේ.
සංඛ්යානමය භාවිතයේදී, බොහෝ විට විචලනය සංසන්දනය කිරීම අවශ්ය වේ විවිධ සංඥා. නිදසුනක් වශයෙන්, පුද්ගලයන්ගේ වයස සහ ඔවුන්ගේ සුදුසුකම්, සේවා කාලය සහ වැටුප් ආදියෙහි වෙනස්කම් සංසන්දනය කිරීම ඉතා වැදගත් වේ. එවැනි සැසඳීම් සඳහා, සංඥා වල නිරපේක්ෂ විචල්යතාවයේ දර්ශක - සාමාන්ය රේඛීය සහ සම්මත අපගමනය - සුදුසු නොවේ. . රූබල් සහ කොපෙක් වලින් ප්‍රකාශිත වැටුප් උච්චාවචනයන් සමඟ වසර වලින් ප්‍රකාශිත සේවා පළපුරුද්දේ උච්චාවචනය සැසඳිය නොහැක.
සමස්ථයේ විවිධ ලක්ෂණවල විචල්‍යතාවය සංසන්දනය කිරීමේදී, විචලනය පිළිබඳ සාපේක්ෂ දර්ශක භාවිතා කිරීම පහසුය. මෙම දර්ශක ගණනය කරනු ලබන්නේ නිරපේක්ෂ දර්ශකවල අංක ගණිත මධ්යන්යය (හෝ මධ්යන්ය) අනුපාතය ලෙසය. විචලනය පිළිබඳ නිරපේක්ෂ දර්ශකයක් ලෙස විචල්ය පරාසය, සාමාන්ය රේඛීය අපගමනය, සම්මත අපගමනය, උච්චාවචනය පිළිබඳ සාපේක්ෂ දර්ශක ලබා ගනී:
ජනගහනයේ සමජාතීයතාවය සංලක්ෂිත සාපේක්ෂ අස්ථාවරත්වය පිළිබඳ වඩාත් බහුලව භාවිතා වන දර්ශකය. විචලනයේ සංගුණකය සාමාන්‍යයට ආසන්න බෙදාහැරීම් සඳහා 33% නොඉක්මවන නම් කට්ටලය සමජාතීය ලෙස සැලකේ.
