අහඹු විචල්‍යයක ව්‍යාප්තිය පිළිබඳ නීතිය x උදාහරණ. අහඹු විචල්යයන්

සම්භාවිතා න්‍යායේ යෙදීම් වලදී, අත්හදා බැලීමේ ප්‍රමාණාත්මක ගුනාංගීකරනය මූලික වැදගත්කමක් දරයි. ප්‍රමාණ කළ හැකි සහ අත්හදා බැලීමක ප්‍රතිඵලයක් ලෙස, එක් එක් සිද්ධිය අනුව ගත හැකි ප්‍රමාණයකි විවිධ අර්ථ, ලෙස හැඳින්වේ අහඹු විචල්‍යයක්.

අහඹු විචල්‍ය සඳහා උදාහරණ:

1. විසි කිරීම් දහයක ඉරට්ටේ ලකුණු සංඛ්‍යාවක විසි කිරීම් ගණන දාදු කැටය.

2. වෙඩි තැබීම් මාලාවක් එල්ල කරන වෙඩික්කරු විසින් ඉලක්කයට එල්ල කරන පහර ගණන.

3. පිපිරෙන ප්‍රක්ෂේපණයක කොටස් ගණන.

ඉහත එක් එක් උදාහරණය තුළ, අහඹු විචල්‍යයකට ගත හැක්කේ හුදකලා අගයන් පමණි, එනම් ස්වාභාවික සංඛ්‍යා මාලාවක් භාවිතයෙන් ගණනය කළ හැකි අගයන්.

එවැනි අහඹු විචල්‍යයක්, මෙම විචල්‍යය යම් සම්භාවිතාවන් සමඟ ගන්නා වෙනම හුදකලා සංඛ්‍යා විය හැකි අගයන් ලෙස හැඳින්වේ. විවික්ත.

විවික්තයේ හැකි අගයන් ගණන අහඹු විචල්යයසීමිත හෝ අසීමිත විය හැකිය (ගණන් කළ හැකි).

බෙදාහැරීමේ නීතියවිවික්ත අහඹු විචල්‍යයක් එහි විය හැකි අගයන් සහ ඒවාට අනුරූප සම්භාවිතා ලැයිස්තුවක් ලෙස හැඳින්වේ. විවික්ත අහඹු විචල්‍යයක බෙදා හැරීමේ නියමය වගුවක (සම්භාවිතා බෙදාහැරීමේ ශ්‍රේණි), විශ්ලේෂණාත්මකව සහ ප්‍රස්ථාරිකව (සම්භාවිතා ව්‍යාප්තිය බහුඅස්‍රය) ආකාරයෙන් දැක්විය හැක.

මෙම හෝ එම අත්හදා බැලීම සිදු කරන විට, "සාමාන්‍යයෙන්" අධ්‍යයනය යටතේ ඇති අගය තක්සේරු කිරීම අවශ්‍ය වේ. සසම්භාවී විචල්‍යයක සාමාන්‍ය අගයේ කාර්යභාරය ඉටු කරනු ලබන්නේ සංඛ්‍යාත්මක ලක්ෂණයක් ලෙසිනි ගණිතමය අපේක්ෂාව,සූත්‍රය මගින් අර්ථ දක්වා ඇත

කොහෙද x 1 , x 2 ,.. , x n- සසම්භාවී විචල්‍යයක අගයන් x, ඒ පි 1 ,පි 2 , ... , පි nමෙම අගයන්හි සම්භාවිතාවන් වේ (එය සලකන්න පි 1 + පි 2 +…+ පි n = 1).

උදාහරණයක්. වෙඩි තැබීම ඉලක්කයට සිදු කෙරේ (රූපය 11).

I හි පහරක් ලකුණු තුනක් ලබා දෙයි, II - ලකුණු දෙකක්, III හි - එක් ලක්ෂයක්. එක් වෙඩික්කරුවෙකු විසින් එක් පහරකින් දැවී ගිය ලකුණු ගණනට පෝරමයේ බෙදා හැරීමේ නීතියක් ඇත

වෙඩික්කරුවන්ගේ දක්ෂතාවය සංසන්දනය කිරීම සඳහා, ලබාගත් ලකුණුවල සාමාන්‍ය අගයන් සංසන්දනය කිරීම ප්‍රමාණවත් වේ, i.e. ගණිතමය අපේක්ෂාවන් එම්(x) හා එම්(වයි):

එම්(x) = 1 0,4 + 2  0,2 + 3  0,4 = 2,0,

එම්(වයි) = 1 0,2 + 2  0,5 + 3  0,3 = 2,1.

දෙවන වෙඩික්කරු සාමාන්යයෙන් තරමක් වැඩි ලකුණු සංඛ්යාවක් ලබා දෙයි, i.e. නැවත නැවතත් වෙඩි තැබීම සමඟ, එය හොඳම ප්රතිඵලය ලබා දෙනු ඇත.

ගණිතමය අපේක්ෂාවේ ගුණාංග සටහන් කරන්න:

1. නියත අගයක ගණිතමය අපේක්ෂාව නියතයටම සමාන වේ:

එම්(සී) =C.

2. සසම්භාවී විචල්‍යවල එකතුවේ ගණිතමය අපේක්ෂාව පදවල ගණිතමය අපේක්ෂාවල එකතුවට සමාන වේ:

M=(x 1 + x 2 +…+ x n)= එම්(x 1)+ එම්(x 2)+…+ එම්(x n).

3. අන්‍යෝන්‍ය වශයෙන් ස්වාධීන අහඹු විචල්‍යවල ගුණිතයේ ගණිතමය අපේක්ෂාව සාධකවල ගණිතමය අපේක්ෂාවන්ගේ ගුණිතයට සමාන වේ.

එම්(x 1 x 2 … x n) = එම්(x 1)එම්(x 2)… එම්(x n).

4. ද්විපද ව්‍යාප්තියේ ගණිතමය නිෂේධනය අත්හදා බැලීම් ගණනේ ගුණිතයට සමාන වන අතර එක් අත්හදා බැලීමක සිදුවීමක සම්භාවිතාව (කාර්යය 4.6).

එම්(x) = pr.

අහඹු විචල්‍යයක් "සාමාන්‍යයෙන්" එහි ගණිතමය අපේක්ෂාවෙන් බැහැර වන ආකාරය තක්සේරු කිරීමට, i.e. සම්භාවිතා න්‍යායේ අහඹු විචල්‍යයක අගයන් පැතිරීම සංලක්ෂිත කිරීම සඳහා, විසරණය යන සංකල්පය භාවිතා වේ.

විසුරුමඅහඹු විචල්යය xකියලා අපේක්ෂිත අගයවර්ග අපගමනය:

ඩී(x) = එම්[(x - එම්(x)) 2 ].

විසරණය යනු අහඹු විචල්‍යයක විසරණයේ සංඛ්‍යාත්මක ලක්ෂණයකි. සසම්භාවී විචල්‍යයක විචලනය කුඩා වන තරමට එහි විය හැකි අගයන් ගණිතමය අපේක්ෂාව වටා පිහිටා ඇති බව අර්ථ දැක්වීමෙන් දැකිය හැකිය, එනම්, වඩා හොඳ වටිනාකමක්අහඹු විචල්‍ය එහි ගණිතමය අපේක්ෂාවෙන් සංලක්ෂිත වේ.

විචලනය සූත්‍රය මගින් ගණනය කළ හැකි බව අර්ථ දැක්වීමෙන් එය අනුගමනය කරයි

.

වෙනත් සූත්‍රයක් භාවිතයෙන් විසරණය ගණනය කිරීම පහසුය:

ඩී(x) = එම්(x 2) - (එම්(x)) 2 .

විසුරුවා හැරීමට පහත ගුණාංග ඇත:

1. නියතයේ විසරණය ශුන්‍ය වේ:

ඩී(සී) = 0.

2. වර්ග කිරීම මගින් විසරණ ලකුණෙන් නියත සාධකයක් ගත හැක:

ඩී(CX) = සී 2 ඩී(x).

3. ස්වාධීන අහඹු විචල්‍යවල එකතුවේ විචලනය නියමවල විචල්‍යයේ එකතුවට සමාන වේ:

ඩී(x 1 + x 2 + x 3 +…+ x n)= ඩී(x 1)+ ඩී(x 2)+…+ ඩී(x n)

4. ද්විපද ව්‍යාප්තියේ විචලනය අත්හදා බැලීම් සංඛ්‍යාවේ ගුණිතයට සමාන වන අතර එක් අත්හදා බැලීමක සිදුවීමක් සිදුවීමේ සහ සිදුනොවීමේ සම්භාවිතාව:

ඩී(x) = npq.

සම්භාවිතා න්‍යායේ දී, සංඛ්‍යාත්මක ලක්ෂණයක් බොහෝ විට භාවිතා වේ, එය අහඹු විචල්‍යයක විචල්‍යයේ වර්ගමූලයට සමාන වේ. මෙම සංඛ්‍යාත්මක ලක්ෂණය සම්මත අපගමනය ලෙස හැඳින්වෙන අතර එය සංකේතයෙන් දැක්වේ

.

එය සසම්භාවී විචල්‍යයක සාමාන්‍ය අගයෙන් අපගමනය වීමේ ආසන්න ප්‍රමාණය සංලක්ෂිත වන අතර අහඹු විචල්‍යයට සමාන මානයක් ඇත.

4.1. වෙඩික්කරු ඉලක්කයට වෙඩි තුනක් එල්ල කරයි. සෑම පහරකින්ම ඉලක්කයට පහර දීමේ සම්භාවිතාව 0.3 කි.

පහර ගණන බෙදාහැරීමේ මාලාවක් සාදන්න.

විසඳුමක්. පහර ගණන විවික්ත අහඹු විචල්‍යයකි x. එක් එක් අගය x n අහඹු විචල්යය xයම් සම්භාවිතාවකට අනුරූප වේ පී n .

විවික්ත අහඹු විචල්‍යයක බෙදා හැරීමේ නියමය මෙම නඩුවඔබට සැකසිය හැක ආසන්න බෙදා හැරීම.

මෙම කාර්යයේදී x 0, 1, 2, 3 අගයන් ගනී. බර්නූලි සූත්‍රයට අනුව

,

සසම්භාවී විචල්‍යයේ හැකි අගයන්හි සම්භාවිතාව සොයා ගන්න:

ආර් 3 (0) = (0,7) 3 = 0,343,

ආර් 3 (1) =0,3(0,7) 2 = 0,441,

ආර් 3 (2) =(0,3) 2 0,7 = 0,189,

ආර් 3 (3) = (0,3) 3 = 0,027.

සසම්භාවී විචල්‍යයේ අගයන් සකසා තිබීම xආරෝහණ අනුපිළිවෙලින්, අපි බෙදාහැරීමේ මාලාව ලබා ගනිමු:

x n

එකතුව බව සලකන්න

යන්නෙන් අදහස් වන්නේ සසම්භාවී විචල්‍යයේ සම්භාවිතාවයි xහැකි අය අතරින් අවම වශයෙන් එක් අගයක් ගනු ඇත, එබැවින් මෙම සිදුවීම නිසැක ය

.

4.2 .1 සිට 4 දක්වා අංක සහිත බෝල හතරක් බඳුනේ ඇත. බෝල දෙකක් පිටතට ගනු ලැබේ. අහඹු අගය xයනු බෝලවල සංඛ්යා එකතුවයි. අහඹු විචල්‍යයක බෙදාහැරීමේ ශ්‍රේණියක් සාදන්න x.

විසඳුමක්.අහඹු විචල්‍යයක අගයන් x 3, 4, 5, 6, 7 වේ. අනුරූප සම්භාවිතා සොයන්න. අගය 3 සසම්භාවී විචල්‍යය xතෝරාගත් බෝල වලින් එකක අංක 1 සහ අනෙක් 2 ඇති එකම අවස්ථාවෙහිදී ගත හැක. පරීක්ෂණයේ ඇති විය හැකි ප්‍රතිඵල සංඛ්‍යාව හතරක (හැකි බෝල යුගල ගණන) දෙකකින් සංයෝජන ගණනට සමාන වේ.

සම්භාව්ය සම්භාවිතා සූත්රය අනුව, අපි ලබා ගනිමු

එලෙසම,

ආර්(x= 4) =ආර්(x= 6) =ආර්(x= 7) = 1/6.

එකතුව 5 අවස්ථා දෙකකින් දිස්විය හැක: 1 + 4 සහ 2 + 3, එසේ

.

xපෙනෙන්නේ:

බෙදා හැරීමේ කාර්යය සොයන්න එෆ්(x) සසම්භාවී විචල්‍යය xසහ එය කුමන්ත්රණය කරන්න. සඳහා ගණනය කරන්න xඑහි ගණිතමය අපේක්ෂාව සහ විචලනය.

විසඳුමක්. අහඹු විචල්‍යයක ව්‍යාප්ති නියමය බෙදා හැරීමේ ශ්‍රිතය මගින් ලබා දිය හැක

එෆ්(x) = පී(x x).

බෙදා හැරීමේ කාර්යය එෆ්(x) යනු සම්පූර්ණ සැබෑ අක්ෂය මත අර්ථ දක්වා ඇති අඩු නොවන, වම්-අඛණ්ඩ ශ්‍රිතයකි.

එෆ් (- )= 0,එෆ් (+ )= 1.

විවික්ත අහඹු විචල්‍යයක් සඳහා, මෙම ශ්‍රිතය සූත්‍රය මගින් ප්‍රකාශ වේ

.

එබැවින්, මෙම නඩුවේදී

බෙදාහැරීමේ කාර්යය කුමන්ත්රණය එෆ්(x) යනු පියවර රේඛාවකි (රූපය 12)

	එෆ්(x)

අපේක්ෂිත අගයඑම්(x) යනු අගයන්හි බරිත සාමාන්‍යය වේ x 1 , X 2 ,……X nඅහඹු විචල්යය xබර සමඟ ρ 1, ρ 2, …… , ρ n සහ සසම්භාවී විචල්‍යයේ මධ්‍යන්‍ය අගය ලෙස හැඳින්වේ x. සූත්රය අනුව

එම්(x)= x 1 ρ 1 + x 2 ρ 2 +……+ x n ρ n

එම්(x) = 3 0.14 + 5 0.2 + 7 0.49 + 11 0.17 = 6.72.

විසුරුමඅහඹු විචල්‍යයක අගයන් එහි සාමාන්‍ය අගයෙන් විසුරුවා හැරීමේ මට්ටම සංලක්ෂිත වන අතර එය දක්වනු ලැබේ ඩී(x):

ඩී(x)= එම්[(එච්.එම්(x)) 2 ]= එම්(x 2) –[එම්(x)] 2 .

විවික්ත අහඹු විචල්‍යයක් සඳහා, විචලනයට ස්වරූපය ඇත

නැතහොත් එය සූත්රය මගින් ගණනය කළ හැක

ගැටලුවේ සංඛ්‍යාත්මක දත්ත සූත්‍රයට ආදේශ කිරීමෙන් අපට ලැබෙන්නේ:

එම්(x 2) = 3 2 ∙ 0,14+5 2 ∙ 0,2+7 2 ∙ 0,49+11 2 ∙ 0,17 = 50,84

ඩී(x) = 50,84-6,72 2 = 5,6816.

4.4. ඩයිස් දෙකක් එකවරම දෙවරක් විසි කරයි. විවික්ත අහඹු විචල්‍යයක් සඳහා ද්විපද ව්‍යාප්ති නියමයක් ලියන්න x- දාදු කැට දෙකක ඉරට්ටේ මුළු ලකුණු සංඛ්‍යාවක සිදුවීම් ගණන.

විසඳුමක්. අපි අහඹු සිදුවීමක් සලකා බලමු

නමුත්= (එක් විසි කිරීමකදී දාදු කැට දෙකක් මත, මුළු ලකුණු සංඛ්‍යාව ඉරට්ටේ වැටුණි).

සම්භාවිතාව පිළිබඳ සම්භාව්ය අර්ථ දැක්වීම භාවිතා කරමින්, අපි සොයා ගනිමු

ආර්(නමුත්)= ,

කොහෙද n - පරීක්ෂණයේ ඇති විය හැකි ප්රතිඵල සංඛ්යාව රීතිය මගින් සොයාගත හැකිය

ගුණ කිරීම්:

n = 6∙6 =36,

එම් - හිතකර සිදුවීම් ගණන නමුත්ප්රතිඵල - සමාන

එම්= 3∙6=18.

මේ අනුව, එක් අත්හදා බැලීමක සාර්ථකත්වයේ සම්භාවිතාව වේ

ρ = පී(නමුත්)= 1/2.

බර්නූලි පරීක්ෂණ යෝජනා ක්‍රමය භාවිතයෙන් ගැටළුව විසඳනු ලැබේ. මෙහි එක් අභියෝගයක් වන්නේ එක් වරක් කැට දෙකක් පෙරළීමයි. එවැනි පරීක්ෂණ ගණන n = 2. සසම්භාවී විචල්‍යය xසම්භාවිතාවන් සමඟ 0, 1, 2 අගයන් ගනී

ආර් 2 (0) =,ආර් 2 (1) =∙,ආර් 2 (2) =

අහඹු විචල්‍යයක අපේක්ෂිත ද්විපද ව්‍යාප්තිය xබෙදාහැරීමේ මාලාවක් ලෙස නිරූපණය කළ හැක:

x n
ρ n

4.5 . කොටස් හයකින් යුත් කණ්ඩායමක සම්මත කොටස් හතරක් ඇත. අයිතම තුනක් අහඹු ලෙස තෝරා ගන්නා ලදී. විවික්ත අහඹු විචල්‍යයක සම්භාවිතා ව්‍යාප්තිය සම්පාදනය කරන්න x- තෝරාගත් ඒවා අතර සම්මත කොටස් ගණන සහ එහි ගණිතමය අපේක්ෂාව සොයා ගන්න.

විසඳුමක්.අහඹු විචල්‍යයක අගයන් xඅංක 0,1,2,3 වේ. ඒක පැහැදිලියි ආර්(x=0)=0, සම්මත නොවන කොටස් දෙකක් පමණක් ඇති බැවින්.

ආර්(x=1) =
=1/5,

ආර්(X= 2) =
= 3/5,

ආර්(x=3) =
= 1/5.

අහඹු විචල්‍යයක බෙදා හැරීමේ නීතිය xබෙදාහැරීමේ මාලාවක් ලෙස නියෝජනය කරන්න:

x n
ρ n

අපේක්ෂිත අගය

එම්(x)=1 ∙ 1/5+2 ∙ 3/5+3 ∙ 1/5=2.

4.6 . විවික්ත අහඹු විචල්‍යයක ගණිතමය අපේක්ෂාව බව ඔප්පු කරන්න x- සිදුවීමේ සිදුවීම් ගණන නමුත්තුල nස්වාධීන පරීක්ෂණ, ඒ සෑම එකක් තුළම සිදුවීමක් සිදුවීමේ සම්භාවිතාව සමාන වේ ρ - එක් අත්හදා බැලීමක සිදුවීමක සම්භාවිතාව මගින් අත්හදා බැලීම් ගණනේ ගුණිතයට සමාන වේ, එනම් ද්විපද ව්‍යාප්තියේ ගණිතමය අපේක්ෂාව බව ඔප්පු කිරීමට

එම්(x) =n . ρ ,

විචලනය අතරතුර

ඩී(x) =np .

විසඳුමක්.අහඹු අගය x 0, 1, 2 අගයන් ගත හැක..., n. සම්භාවිතාව ආර්(x= k) බර්නූලි සූත්‍රය මගින් සොයා ගැනේ:

ආර්(x=k)= ආර් n(k)= ρ වෙත (1-ρ ) n-වෙත

සසම්භාවී විචල්‍ය බෙදා හැරීම් මාලාව xපෙනෙන්නේ:

x n
ρ n	q n	ρq n- 1	ρq n- 2		ρ n

කොහෙද q= 1- ρ .

ගණිතමය අපේක්ෂාව සඳහා, අපට ප්‍රකාශනය ඇත:

එම්(x)=ρq n - 1 +2 ρ 2 q n - 2 +…+.n ρ n

එක් පරීක්ෂණයකදී, එනම්, සමඟ n=අහඹු විචල්‍යයක් සඳහා 1 x 1 - සිදුවීමේ සිදුවීම් ගණන නමුත්- බෙදාහැරීමේ මාලාවට පෝරමය ඇත:

x n
ρ n

එම්(x 1)= 0 q + 1 ∙ පි = පි

ඩී(x 1) = පි – පි 2 = පි(1- පි) = pq.

අ x k - සිදුවීමේ සිදුවීම් ගණන නමුත්කුමන පරීක්ෂණයේදී, එවිට ආර්(x වෙත)= ρ හා

X=X 1 +X 2 +....+X n .

මෙතනින් අපිට ලැබෙනවා

එම්(x)= එම්(x 1 )+ එම්(x 2)+ … + එම්(x n)= nρ,

ඩී(x)=D(x 1)+D(x 2)+ ... +D(x n)=npq.

4.7. QCD ප්‍රමිතිකරණය සඳහා නිෂ්පාදන පරීක්ෂා කරයි. අයිතමය සම්මත වීමේ සම්භාවිතාව 0.9 කි. සෑම කණ්ඩායමකම අයිතම 5 ක් අඩංගු වේ. විවික්ත අහඹු විචල්‍යයක ගණිතමය අපේක්ෂාව සොයන්න x- කාණ්ඩ ගණන, ඒ සෑම එකක්ම සම්මත නිෂ්පාදන 4 කට සමාන වේ - කාණ්ඩ 50 ක් සත්‍යාපනයට යටත් නම්.

විසඳුමක්. අහඹු ලෙස තෝරාගත් සෑම කොටසකම සම්මත අයිතම 4ක් තිබීමේ සම්භාවිතාව නියතය; යන්නෙන් දක්වමු ρ .එවිට සසම්භාවී විචල්‍යයේ ගණිතමය අපේක්ෂාව xසමාන එම්(x)= 50∙ρ.

අපි සම්භාවිතාව සොයා බලමු ρ බර්නූලි සූත්‍රයට අනුව:

ρ=පී 5 (4)== 0,94∙0,1=0,32.

එම්(x)= 50∙0,32=16.

4.8 . දාදු කැට තුනක් දමනවා. පහත වැටුණු ලක්ෂ්‍යවල එකතුවේ ගණිතමය අපේක්ෂාව සොයන්න.

විසඳුමක්.අහඹු විචල්‍යයක ව්‍යාප්තිය ඔබට සොයාගත හැකිය x- පහත වැටුණු ලක්ෂ්‍යවල එකතුව සහ පසුව එහි ගණිතමය අපේක්ෂාව. කෙසේ වෙතත්, මෙම මාර්ගය ඉතා අපහසුයි. අහඹු විචල්‍යයක් නියෝජනය කරමින් වෙනත් උපක්‍රමයක් භාවිතා කිරීම පහසුය x, එහි ගණිතමය අපේක්ෂාව ගණනය කළ යුතු අතර, සරල අහඹු විචල්‍ය කිහිපයක එකතුවක් ලෙස, ගණනය කිරීමට පහසු වන ගණිතමය අපේක්ෂාව. අහඹු විචල්යය නම් x මමලබා ගත් ලකුණු ගණන වේ මම-වන අස්ථි ( මම= 1, 2, 3), පසුව ලකුණු එකතුව xස්වරූපයෙන් ප්රකාශිත

X = X 1 + X 2 + X 3 .

මුල් අහඹු විචල්‍යයේ ගණිතමය අපේක්ෂාව ගණනය කිරීම සඳහා, එය ඉතිරිව ඇත්තේ ගණිතමය අපේක්ෂාවේ ගුණය භාවිතා කිරීමට පමණි.

එම්(x 1 + X 2 + X 3 )= එම්(x 1 )+ එම්(x 2)+ එම්(x 3 ).

ඒක පැහැදිලියි

ආර්(x මම = කේ)= 1/6, වෙත= 1, 2, 3, 4, 5, 6, මම= 1, 2, 3.

එබැවින් අහඹු විචල්‍යයක ගණිතමය අපේක්ෂාව x මමආකෘතිය ඇත

එම්(x මම) = 1/6∙1 + 1/6∙2 +1/6∙3 + 1/6∙4 + 1/6∙5 + 1/6∙6 = 7/2,

එම්(x) = 3∙7/2 = 10,5.

4.9. පරීක්ෂණය අතරතුර අසමත් වූ උපාංග සංඛ්‍යාවේ ගණිතමය අපේක්ෂාව තීරණය කරන්න, නම්:

අ) සියලුම උපාංග සඳහා අසාර්ථක වීමේ සම්භාවිතාව සමාන වේ ආර්, සහ පරීක්ෂණයට ලක්වන උපාංග ගණන සමාන වේ n;

ආ) අසාර්ථක වීමේ සම්භාවිතාව මම – උපකරණයට සමාන වේ පි මම , මම= 1, 2, … , n.

විසඳුමක්.සසම්භාවී විචල්‍යයට ඉඩ දෙන්න xඅසාර්ථක උපාංග ගණන, එසේ නම්

X = X 1 + X 2 +… + X n ,

x මම =

ඒක පැහැදිලියි

ආර්(x මම = 1)= ආර් මම , ආර්(x මම = 0)= 1– ආර් මම ,i= 1, 2, … ,n.

එම්(x මම)= 1∙ආර් මම + 0∙(1-ආර් මම)=පී මම ,

එම්(x)= එම්(x 1)+ එම්(x 2)+… +එම්(x n)=පී 1 +P 2 + ... + පී n .

"a" නම්, උපාංගය අසමත් වීමේ සම්භාවිතාව සමාන වේ, i.e.

ආර් මම =p,i= 1, 2, … ,n.

එම්(x)= np.

අහඹු විචල්‍යය බව යමෙකු දුටුවහොත් මෙම පිළිතුර වහාම ලබා ගත හැකිය xඑයට තිබෙනවා ද්විපද ව්යාප්තියපරාමිතීන් සමඟ ( n, පි).

4.10. ඩයිස් දෙකක් එකවරම දෙවරක් විසි කරයි. විවික්ත අහඹු විචල්‍යයක් සඳහා ද්විපද ව්‍යාප්ති නියමයක් ලියන්න X -දාදු කැට දෙකක ඉරට්ටේ ලක්ෂ්‍ය සංඛ්‍යාවක සිදුවීම් ගණන.

විසඳුමක්. ඉඩ

නමුත්=(පළමු මරණයේ ඉරට්ටේ අංකයක් අහිමි වීම),

B =(දෙවන මරණයේ ඉරට්ටේ අංකයක් අහිමි වීම).

එක් විසිකිරීමකදී දාදු කැට දෙකෙහිම ඉරට්ටේ අංකයක් නැතිවීම නිෂ්පාදනයෙන් ප්‍රකාශ කෙරේ AB.ඉන්පසු

ආර් (AB) = ආර්(නමුත්)∙ආර්(හිදී) =
.

දාදු කැට දෙකේ දෙවන විසි කිරීමේ ප්‍රතිඵලය පළමුවැන්න මත රඳා නොපවතී, එබැවින් බර්නූලි සූත්‍රය අදාළ වේ

n = 2,p = 1/4, q = 1– පි = 3/4.

අහඹු අගය x 0, 1, 2 අගයන් ගත හැක , බර්නූලි සූත්‍රය මගින් අප සොයා ගන්නා සම්භාවිතාව:

ආර්(X= 0)= පී 2 (0) = q 2 = 9/16,

ආර්(X= 1)= පී 2 (1)= සී ,ආර්∙q = 6/16,

ආර්(X= 2)= පී 2 (2)= සී , ආර් 2 = 1/16.

සසම්භාවී විචල්‍ය බෙදා හැරීම් මාලාව X:

4.11. උපාංගය කාලයත් සමඟ එක් එක් මූලද්රව්යයේ අසාර්ථක වීමේ එකම ඉතා කුඩා සම්භාවිතාවක් සහිත ස්වාධීනව ක්රියාත්මක වන මූලද්රව්ය විශාල සංඛ්යාවක් සමන්විත වේ. ටී. කාලයත් සමඟ අසාර්ථක වීමේ සාමාන්ය සංඛ්යාව සොයා ගන්න ටීමූලද්‍රව්‍ය, මෙම කාලය තුළ අවම වශයෙන් එක් මූලද්‍රව්‍ය අසමත් වීමේ සම්භාවිතාව 0.98 නම්.

විසඳුමක්. කාලයත් සමඟ අසාර්ථක වීම් ගණන ටීමූලද්රව්ය - අහඹු විචල්යයකි x, Poisson නීතියට අනුව බෙදා හරිනු ලබන, මූලද්රව්ය සංඛ්යාව විශාල බැවින්, මූලද්රව්ය ස්වාධීනව ක්රියා කරන අතර එක් එක් මූලද්රව්යයේ අසාර්ථක වීමේ සම්භාවිතාව කුඩා වේ. සිදුවීමක සාමාන්‍ය සිදුවීම් සංඛ්‍යාව nඅත්හදා බැලීම් සමාන වේ

එම්(x) = np.

අසාර්ථක වීමේ සම්භාවිතාව නිසා වෙතසිට මූලද්රව්ය nසූත්‍රයෙන් ප්‍රකාශ වේ

ආර් n (වෙත)
,

කොහෙද  = np, එවිට කිසිදු මූලද්රව්යයක් නියමිත වේලාවට අසමත් වීමේ සම්භාවිතාව ටී අපි ලබාගන්නවා K = 0:

ආර් n (0)= ඊ -  .

එබැවින්, ප්රතිවිරුද්ධ සිදුවීමේ සම්භාවිතාව කාලයත් සමග වේ ටී අවම වශයෙන් එක් මූලද්රව්යයක් අසමත් වේ - 1 ට සමාන වේ - ඊ -  ගැටලුවේ තත්ත්වය අනුව, මෙම සම්භාවිතාව 0.98 ට සමාන වේ. සමීකරණයෙන්

1 - ඊ -  = 0,98,

ඊ -  = 1 – 0,98 = 0,02,

මෙතැන් සිට  = -ln 0,02  4.

ඒ නිසා කාලය සඳහා ටීඋපාංගයේ ක්රියාකාරිත්වය සාමාන්යයෙන් මූලද්රව්ය 4 කින් අසාර්ථක වනු ඇත.

4.12 . "දෙකක්" රෝල් කරන තුරු ඩයි රෝල් කරනු ලැබේ. සාමාන්‍ය ටෝස් ගණන සොයන්න.

විසඳුමක්. අපි සසම්භාවී විචල්‍යයක් හඳුන්වා දෙමු x- අපට උනන්දුවක් දක්වන සිදුවීම සිදු වන තෙක් සිදු කළ යුතු පරීක්ෂණ ගණන. සම්භාවිතාව x= 1 යනු ඩයි එකේ එක විසි කිරීමකදී "දෙකක්" වැටෙන සම්භාවිතාවට සමාන වේ, i.e.

ආර්(X= 1) = 1/6.

සිදුවීම x= 2 යනු පළමු අත්හදා බැලීමේදී "දෙක" වැටුණේ නැත, නමුත් දෙවන එකේදී එය වැටුණි. සිදුවීම් සම්භාවිතාව x= 2 ස්වාධීන සිදුවීම්වල සම්භාවිතාව ගුණ කිරීමේ රීතිය මගින් අපි සොයා ගනිමු:

ආර්(X= 2) = (5/6)∙(1/6)

එලෙසම,

ආර්(X= 3) = (5/6) 2 ∙1/6, ආර්(X= 4) = (5/6) 2 ∙1/6

ආදිය අපට සම්භාවිතා බෙදා හැරීම් මාලාවක් ලැබේ:

					(5/6) වෙත ∙1/6

සාමාන්‍ය විසිකිරීම් ගණන (අත්හදා බැලීම්) ගණිතමය අපේක්ෂාවයි

එම්(x) = 1∙1/6 + 2∙5/6∙1/6 + 3∙(5/6) 2 ∙1/6 + … + වෙත (5/6) වෙත -1 ∙1/6 + … =

1/6∙(1+2∙5/6 +3∙(5/6) 2 + … + වෙත (5/6) වෙත -1 + …)

අපි මාලාවේ එකතුව සොයා ගනිමු:

වෙතg වෙත -1 = (g වෙත) g 
.

ප්රතිඵලයක් වශයෙන්,

එම්(x) = (1/6) (1/ (1 – 5/6) 2 = 6.

මේ අනුව, “ඩියුස්” වැටෙන තුරු සාමාන්‍යයෙන් දාදු කැට 6 ක් විසි කිරීම අවශ්‍ය වේ.

4.13. සිදුවීම සිදුවීමේ එකම සම්භාවිතාව සමඟ ස්වාධීන පරීක්ෂණ සිදු කරනු ලැබේ නමුත්සෑම පරීක්ෂණයකදීම. සිදුවීමක් සිදුවීමේ සම්භාවිතාව සොයන්න නමුත්ස්වාධීන අත්හදා බැලීම් තුනක සිදුවීමේ සිදුවීම් ගණනෙහි විචලනය 0.63 නම් .

විසඳුමක්.අත්හදා බැලීම් තුනේ සිදුවීමේ සිදුවීම් ගණන අහඹු විචල්‍යයකි xද්විපද නීතිය අනුව බෙදා හරිනු ලැබේ. ස්වාධීන අත්හදා බැලීම් වලදී සිදුවීමක සිදුවීම් සංඛ්‍යාවේ විචලනය (එක් එක් අත්හදා බැලීමේ සිදුවීමක් සිදුවීමේ එකම සම්භාවිතාව සමඟ) අත්හදා බැලීම් සංඛ්‍යාවේ ගුණිතයට සමාන වන අතර සිදුවීමේ සිදුවීමේ සහ සිදුනොවීමේ සම්භාවිතාව ( කාර්යය 4.6)

ඩී(x) = npq.

කොන්දේසිය අනුව n = 3, ඩී(x) = 0.63, ඒ නිසා ඔබට පුළුවන් ආර්සමීකරණයෙන් සොයා ගන්න

0,63 = 3∙ආර්(1-ආර්),

විසඳුම් දෙකක් ඇති ආර් 1 = 0.7 සහ ආර් 2 = 0,3.

විවික්ත අහඹුවිචල්‍යයන් සසම්භාවී විචල්‍ය ලෙස හැඳින්වේ, ඒවා එකිනෙකට දුරස්ථ අගයන් පමණක් ගන්නා අතර ඒවා කල්තියා ගණනය කළ හැකිය.
බෙදාහැරීමේ නීතිය
සසම්භාවී විචල්‍යයක ව්‍යාප්ති නියමය යනු අහඹු විචල්‍යයක විය හැකි අගයන් සහ ඒවාට අනුරූප සම්භාවිතාවන් අතර සම්බන්ධතාවයක් ඇති කරන සම්බන්ධතාවයකි.
විවික්ත අහඹු විචල්‍යයක ව්‍යාප්ති පරාසය එහි විය හැකි අගයන් සහ ඒවාට අනුරූප සම්භාවිතා ලැයිස්තුවකි.
විවික්ත අහඹු විචල්‍යයක ව්‍යාප්ති ශ්‍රිතය ශ්‍රිතය ලෙස හැඳින්වේ:
,
x යන තර්කයේ එක් එක් අගය සඳහා සසම්භාවී විචල්‍ය X මෙම x ට වඩා අඩු අගයක් ගැනීමේ සම්භාවිතාව තීරණය කරයි.

විවික්ත අහඹු විචල්‍යයක ගණිතමය අපේක්ෂාව
,
විවික්ත අහඹු විචල්‍යයක අගය කොහිද; - අහඹු විචල්‍ය X අගයන් පිළිගැනීමේ සම්භාවිතාව.
අහඹු විචල්‍යයක් ගණනය කළ හැකි අගයන් සමූහයක් ගන්නේ නම්, එවිට:
.
ස්වාධීන අත්හදා බැලීම් වලදී සිදුවීමක සිදුවීම් ගණන පිළිබඳ ගණිතමය අපේක්ෂාව:
,

විචලනය සහ මධ්යන්යය සම්මත අපගමනයවිවික්ත අහඹු විචල්යය
විවික්ත අහඹු විචල්‍යයක විසුරුම:
හෝ .
ස්වාධීන අත්හදා බැලීම් වලදී සිදුවීමක සිදුවීම් ගණනෙහි විචලනය
,
මෙහි p යනු සිදුවීම සිදුවීමේ සම්භාවිතාවයි.
විවික්ත අහඹු විචල්‍යයක සම්මත අපගමනය:
.

උදාහරණ 1
විවික්ත සසම්භාවී විචල්‍යයක් (d.r.v.) X සඳහා සම්භාවිතා බෙදා හැරීමේ නියමය සාදන්න - දාදු කැට යුගලයක n = 8 විසිකිරීම්වල අවම වශයෙන් එක් “හය” සංඛ්‍යාව k. බෙදාහැරීමේ බහුඅස්රය සැලසුම් කරන්න. ව්‍යාප්තියේ සංඛ්‍යාත්මක ලක්ෂණ සොයන්න (බෙදාහැරීමේ මාදිලිය, ගණිතමය අපේක්ෂාව M(X), විචලනය D(X), සම්මත අපගමනය s(X)). විසඳුමක්:අපි අංකනය හඳුන්වා දෙමු: සිද්ධිය A - "ඩයිස් යුගලයක් විසි කිරීමේදී, හය දෙනා අවම වශයෙන් එක් වරක් පෙනී සිටියේය." A ඉසව්වේ P(A) = p සම්භාවිතාව සෙවීමට, ප්‍රතිවිරුද්ධ ඉසව්වේ P(Ā) = q සම්භාවිතාව මුලින්ම සොයා ගැනීම වඩාත් පහසු වේ Ā – “ඩයිස් යුගලයක් විසි කරන විට, හය පවා නොපෙන්වයි. වරක්".
එක් ඩයි එකක් විසි කිරීමේදී "හයක්" නොපෙන්වීමේ සම්භාවිතාව 5/6 වන බැවින්, සම්භාවිතා ගුණ කිරීමේ ප්‍රමේයය අනුව
P(Ā) = q = = .
පිළිවෙලින්,
P(A) = p = 1 – P(Ā) = .
ගැටලුවේ පරීක්ෂණ බර්නූලි යෝජනා ක්රමයට අනුව සිදු කරනු ලැබේ; එබැවින්, d.r.v. විශාලත්වය x- අංකය කේදාදු කැට දෙකක් විසි කරන විට අවම වශයෙන් එක් හයක්වත් අතහැරීම සම්භාවිතා ව්‍යාප්තියේ ද්විපද නීතියට අවනත වේ.

where = යනු සංයෝජන ගණනයි nමත කේ.

මෙම ගැටළුව සඳහා ගණනය කිරීම් වගුවක ආකාරයෙන් සකස් කිරීම පහසුය:
d.r.v හි සම්භාවිතා ව්‍යාප්තිය. x º කේ (n = 8; පි = ; q = )

කේ
PN(කේ)

විවික්ත අහඹු විචල්‍යයක සම්භාවිතා ව්‍යාප්තියේ බහුඅස්‍රය (බහුඅස්‍ර). xරූපයේ දැක්වේ:

සහල්. d.r.v හි සම්භාවිතා ව්‍යාප්තියේ බහුඅස්‍රය. x=කේ.
සිරස් රේඛාව බෙදාහැරීමේ ගණිතමය අපේක්ෂාව පෙන්වයි එම්(x).

d.r.v හි සම්භාවිතා ව්‍යාප්තියේ සංඛ්‍යාත්මක ලක්ෂණ අපි සොයා බලමු. x. බෙදා හැරීමේ මාදිලිය 2 (මෙහි පී 8(2) = 0.2932 උපරිම). ගණිතමය අපේක්ෂාව, අර්ථ දැක්වීම අනුව:
එම්(x) = = 2,4444,
කොහෙද xk = කේ d.r.v විසින් පිළිගත් අගය වේ. x. විසුරුම ඩී(x) අපි සූත්‍රය මගින් බෙදාහැරීම් සොයා ගනිමු:
ඩී(x) = = 4,8097.
සම්මත අපගමනය (RMS):
s( x) = = 2,1931.

උදාහරණ 2
විවික්ත අහඹු විචල්‍යය xබෙදාහැරීමේ නීතිය මගින් ලබා දී ඇත

බෙදාහැරීමේ ශ්‍රිතය F(x) සොයාගෙන එය සැලසුම් කරන්න.

විසඳුමක්.නම්, එසේ නම් (තෙවන දේපල).
එසේ නම් . ඇත්තටම, x 0.3 සම්භාවිතාවක් සහිත අගය 1 ගත හැක.
එසේ නම් . ඇත්ත වශයෙන්ම, එය අසමානතාවය තෘප්තිමත් කරන්නේ නම්
, එවිට එය සිදු කළ හැකි සිදුවීමක සම්භාවිතාවට සමාන වේ xඅගය 1 (මෙම සිදුවීමේ සම්භාවිතාව 0.3) හෝ 4 අගය (මෙම සිදුවීමේ සම්භාවිතාව 0.1) ගනී. මෙම සිදුවීම් දෙක නොගැලපෙන බැවින්, එකතු කිරීමේ ප්‍රමේයයට අනුව, සිදුවීමක සම්භාවිතාව 0.3 + 0.1=0.4 සම්භාවිතා එකතුවට සමාන වේ. එසේ නම් . ඇත්ත වශයෙන්ම, සිදුවීම නිශ්චිතය, එබැවින් එහි සම්භාවිතාව එකකට සමාන වේ. එබැවින්, බෙදා හැරීමේ කාර්යය පහත පරිදි විශ්ලේෂණාත්මකව ලිවිය හැකිය:

මෙම කාර්යයේ ප්‍රස්තාරය:
මෙම අගයන්ට අනුරූප වන සම්භාවිතාවන් අපි සොයා ගනිමු. කොන්දේසිය අනුව, උපාංග අසාර්ථක වීමේ සම්භාවිතාව සමාන වේ: එවිට උපාංග ක්‍රියාත්මක වන සම්භාවිතාව වගකීම් කාලයසමාන වේ:




බෙදා හැරීමේ නීතියේ ආකෘතිය ඇත:

මෙම පිටුවෙහි, විවික්ත අහඹු විචල්‍යයක් එහි බෙදාහැරීමේ ශ්‍රේණි (වගු දර්ශනය) මගින් දැනටමත් සකසා ඇති අධ්‍යාපනික ගැටළු විසඳීමේ කෙටි න්‍යායක් සහ උදාහරණ අපි එකතු කර ඇති අතර එය විමර්ශනය කිරීමට අවශ්‍ය වේ: සංඛ්‍යාත්මක ලක්ෂණ, කුමන්ත්‍රණ ප්‍රස්ථාර ආදිය සොයා ගන්න. උදාහරණ මත ප්රසිද්ධ විශේෂසබැඳි යටතේ බෙදාහැරීම් සොයා ගත හැක:

DSW පිළිබඳ කෙටි න්යාය

විවික්ත අහඹු විචල්‍යයක් එහි බෙදාහැරීමේ ශ්‍රේණිය මගින් දෙනු ලැබේ: එයට ගත හැකි $x_i$ අගයන් ලැයිස්තුවක් සහ ඊට අනුරූප සම්භාවිතා $p_i=P(X=x_i)$. අහඹු විචල්‍යයක අගයන් සංඛ්‍යාව සීමිත හෝ ගණන් කළ හැකි විය හැක. නිශ්චිතභාවය සඳහා, අපි $i=\overline(1,n)$ නඩුව සලකා බලමු. එවිට විවික්ත අහඹු විචල්‍යයක වගු නිරූපණයට පෝරමය ඇත:

$$ \begin(array)(|c|c|) \hline X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\ \hline p_i & p_1 & p_2 & \ dots & p_n \\ \hline \ end(array) $ $

මෙම අවස්ථාවෙහිදී, සාමාන්යකරණ තත්ත්වය තෘප්තිමත් වේ: සියලු සම්භාවිතාවන්හි එකතුව එකකට සමාන විය යුතුය

$$\sum_(i=1)^(n) p_i=1$$

රූපමය වශයෙන්, බෙදාහැරීමේ මාලාව නිරූපණය කළ හැකිය බෙදාහැරීමේ බහුඅස්රය(හෝ බෙදාහැරීමේ බහුඅස්රය) මෙය සිදු කිරීම සඳහා, $(x_i,p_i)$ ඛණ්ඩාංක සහිත ලකුණු තලය මත සැලසුම් කර කැඩුණු රේඛාවකින් අනුපිළිවෙලට සම්බන්ධ කර ඇත. සවිස්තරාත්මක උදාහරණඔබ සොයා ගනු ඇත.

DSV හි සංඛ්‍යාත්මක ලක්ෂණ

අපේක්ෂිත අගය:

$$M(X) = \sum_(i=1)^(n) x_i \cdot p_i$$

විසුරුම:

$$ D(X)=M(X^2)-(M(X))^2 = \sum_(i=1)^(n) x_i^2 \cdot p_i - (M(X))^2$ $

සම්මත අපගමනය:

$$\sigma (X) = \sqrt(D(X))$$

විචලනයේ සංගුණකය:

$$V(X) = \frac(\sigma(X))(M(X))$$.

ප්‍රකාරය: ඉහළම සම්භාවිතාව $p_k=\max_i(p_i)$ සහිත $Mo=x_k$ අගය.

DSV හි මධ්‍යන්‍ය, විචලනය සහ සම්මත අපගමනය ගණනය කිරීමට ඔබට සබැඳි ගණක යන්ත්‍ර භාවිතා කළ හැක.

DSW බෙදා හැරීමේ කාර්යය

බෙදාහැරීමේ මාලාවට අනුව, කෙනෙකුට රචනා කළ හැකිය බෙදා හැරීමේ කාර්යයවිවික්ත අහඹු විචල්‍යය $F(x)=P(X\lt x)$. මෙම ශ්‍රිතය සසම්භාවී විචල්‍ය $X$ යම් සංඛ්‍යාවක් $x$ ට වඩා අඩු අගයක් ගන්නා සම්භාවිතාව නියම කරයි. සමඟ ඉදිකිරීම් උදාහරණ සවිස්තරාත්මක ගණනය කිරීම්සහ ප්‍රස්ථාර ඔබට පහත උදාහරණ වලින් සොයාගත හැකිය.

විසඳන ලද ගැටළු සඳහා උදාහරණ

කාර්යය 1.විවික්ත අහඹු විචල්‍යයක් බෙදාහැරීම් මාලාවක් මගින් ලබා දේ:
1 2 3 4 5 6 7
0,05 0,15 0,3 0,2 0,1 0,04 0,16
බෙදා හැරීමේ බහුඅස්රය සහ බෙදා හැරීමේ ශ්‍රිතය $F(x)$ සාදන්න. ගණනය කරන්න: $M[X], D[X], \sigma[X]$, මෙන්ම විචලනයෙහි සංගුණකය, skewness, kurtosis, mode සහ median.

කාර්යය 2.විවික්ත අහඹු විචල්‍ය X බෙදා හැරීමේ නියමය ලබා දී ඇත. අවශ්‍ය වන්නේ:
a) අහඹු විචල්‍ය X හි ගණිතමය අපේක්ෂාව M(x), විචලනය D(x) සහ සම්මත අපගමනය (x) තීරණය කරන්න; b) මෙම බෙදා හැරීමේ ප්‍රස්ථාරයක් ගොඩනඟන්න.
xi 0 1 2 3 4 5 6
pi 0.02 0.38 0.30 0.16 0.08 0.04 0.02

කාර්යය 3.දී ඇති බෙදාහැරීමේ ශ්‍රේණියක් සහිත අහඹු විචල්‍ය X සඳහා
-1 0 1 8
0.2 0.1 $r_1$ $r_2$
A) $M(X)=0.5$ ලෙස $p_1$ සහ $p_2$ සොයා ගන්න
B) ඉන්පසුව, $X$ සසම්භාවී විචල්‍යයේ ගණිතමය අපේක්ෂාව සහ විචලනය ගණනය කර එහි බෙදා හැරීමේ කාර්යය සැලසුම් කරන්න.

කාර්යය 4.විවික්ත RV $X$ හට ගත හැක්කේ අගයන් දෙකක් පමණි: $x_1$ සහ $x_2$, සහ $x_1 \lt x_2$. හැකි අගයක සම්භාවිතාව $P$, ගණිතමය අපේක්ෂාව $M(x)$ සහ $D(x)$ විචලනය දනියි. සොයන්න: 1) මෙම අහඹු විචල්‍යයේ බෙදා හැරීමේ නීතිය; 2) RV $X$ හි බෙදා හැරීමේ කාර්යය; 3) බිම් කොටස $F(x)$.
$P=0.3; M(x)=6.6; D(x)=13.44.$

කාර්යය 5.සසම්භාවී විචල්‍ය X අගයන් තුනක් ගනී: 2, 4 සහ 6. $M(X)=4.2$, $D(X)=1.96$ නම් මෙම අගයන්හි සම්භාවිතාව සොයන්න.

කාර්යය 6.විවික්ත r.v බෙදාහැරීමේ මාලාවක්. $X$. r.v හි පිහිටීම සහ විසරණයේ සංඛ්‍යාත්මක ලක්ෂණ සොයන්න. $X$. m.o සොයන්න. සහ r.v විසුරුවා හැරීම. $Y=X/2-2$ r.v බෙදාහැරීමේ මාලාව ලිවීමෙන් තොරව. $Y$, ජනන ශ්‍රිතය සමඟ ප්‍රතිඵලය පරීක්ෂා කරන්න.
r.v හි බෙදා හැරීමේ කාර්යය ගොඩනඟන්න. $X$.
¦ x¦ 8 ¦ 12 ¦ 18 ¦ 24 ¦ 30 ¦
¦p¦ 0.3¦ 0.1¦ 0.3¦ 0.2¦ 0.1¦

කාර්යය 7.විවික්ත සසම්භාවී විචල්‍යයක ව්‍යාප්තිය $X$ පහත වගුව මගින් ලබා දී ඇත (බෙදාහැරීමේ මාලාව):
-6 3 9 15
0,40 0,30 ? 0,10
වෙන් කිරීමේ වගුවේ නැතිවූ අගය තීරණය කරන්න. බෙදා හැරීමේ ප්‍රධාන සංඛ්‍යාත්මක ලක්ෂණ ගණනය කරන්න: $M_x, D_x, \sigma_x$. $F(x)$ බෙදා හැරීමේ ශ්‍රිතය සොයාගෙන ගොඩනඟන්න. සසම්භාවී විචල්‍ය $X$ අගයන් ගන්නා සම්භාවිතාව නිර්ණය කරන්න:
A) 6 ට වැඩි
B) 12 ට අඩු,
ඇ) 9 ට වඩා වැඩි නොවේ.

කාර්යය 8.ගැටලුව තුළ එය සොයා ගැනීමට අවශ්ය වේ: a) ගණිතමය අපේක්ෂාව; ආ) විසරණය; c) වගුවක ලබා දී ඇති එහි ව්‍යාප්තියේ දී ඇති නියමයකට අනුව විවික්ත අහඹු විචල්‍ය X හි සම්මත අපගමනය (වගුවෙහි පළමු පේළිය හැකි අගයන් පෙන්වයි, දෙවන පේළිය හැකි අගයන්හි සම්භාවිතාව පෙන්වයි).

කාර්යය 9.විවික්ත සසම්භාවී විචල්‍යයක බෙදා හැරීමේ නියමය $X$ ලබා දී ඇත (පළමු පේළියේ $x_i$ හි හැකි අගයන් අඩංගු වේ, දෙවන පේළිය $p_i$ හි විය හැකි අගයන්හි සම්භාවිතාව පෙන්වයි).
සොයන්න:
A) ගණිතමය අපේක්ෂාව $M(X)$, විචලනය $D(X)$ සහ සම්මත අපගමනය $\sigma(X)$;
B) $F(x)$ සසම්භාවී විචල්‍යයේ බෙදාහැරීමේ ශ්‍රිතය සම්පාදනය කර එහි ප්‍රස්ථාරය ගොඩනඟන්න;
C) $F(x)$ බෙදා හැරීමේ ශ්‍රිතය භාවිතයෙන් $x_2 \lt X \lt x_4$ පරතරය තුළ සසම්භාවී විචල්‍යයක් $X$ පහර දීමේ සම්භාවිතාව ගණනය කරන්න;
D) $Y=100-2X$ අගය බෙදා හැරීමේ නීතිය සකස් කරන්න;
E) සම්පාදනය කරන ලද අහඹු විචල්‍ය $Y$ හි ගණිතමය අපේක්ෂාව සහ විචලනය ආකාර දෙකකින් ගණනය කරන්න, i.e. භාවිතා කරමින්
ගණිතමය අපේක්ෂාව සහ විචල්‍යතාවයේ ගුණය මගින් මෙන්ම $Y$ සසම්භාවී විචල්‍යයේ බෙදා හැරීමේ නීතිය මගින් සෘජුවම.
10 20 30 40 50
0,1 0,2 0,1 0,2 0,4

කාර්යය 10.විවික්ත අහඹු විචල්‍යයක් වගුවකට දෙනු ලැබේ. ඇණවුම් 4 ඇතුළුව එහි ආරම්භක සහ කේන්ද්‍රීය අවස්ථා ගණනය කරන්න. සිදුවීම්වල සම්භාවිතාව සොයන්න $\xi \lt M\xi$, $\xi \ge M \xi$, $\xi \lt 1/2 M \xi$, $\xi \ge 1/2 M \xi $.
X0 0.3 0.6 0.9 1.2
P 0.2 0.4 0.2 0.1 0.1

විවික්ත අහඹු විචල්‍ය බෙදා හැරීමේ වඩාත් පොදු නීති අපට හුදකලා කළ හැක:

• ද්විපද බෙදාහැරීමේ නීතිය
• විෂ බෙදා හැරීමේ නීතිය
• ජ්යාමිතික බෙදා හැරීමේ නීතිය
• අධි ජ්‍යාමිතික බෙදා හැරීමේ නීතිය

විවික්ත අහඹු විචල්‍යයන් ලබා දී ඇති බෙදාහැරීම් සඳහා, ඒවායේ අගයන්හි සම්භාවිතා ගණනය කිරීම මෙන්ම සංඛ්‍යාත්මක ලක්ෂණ (ගණිතමය අපේක්ෂාව, විචලනය, ආදිය) ඇතැම් "සූත්‍ර" අනුව සිදු කෙරේ. එමනිසා, මෙම වර්ගයේ බෙදාහැරීම් සහ ඒවායේ මූලික ගුණාංග දැනගැනීම ඉතා වැදගත් වේ.

1. ද්විපද බෙදාහැරීමේ නීතිය.

විවික්ත සසම්භාවී විචල්‍යයක් $X$ $P\left(X=k\right)= සම්භාවිතාවන් සහිත $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ යන අගයන් ගතහොත් ද්විපද සම්භාවිතා ව්‍යාප්තියට යටත් වේ. C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k)$. ඇත්ත වශයෙන්ම, සසම්භාවී විචල්‍ය $X$ යනු $n$ හි $A$ සිදුවීමේ සිදුවීම් ගණනයි. ස්වාධීන පරීක්ෂණ. සසම්භාවී විචල්‍ය $X$ සඳහා සම්භාවිතා බෙදා හැරීමේ නීතිය:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & \ dots & n \\
\hline
p_i & P_n\left(0\ right) & P_n\left(1\ right) & \ dots & P_n\ left(n\ right) \\
\hline
\end(array)$

එවැනි අහඹු විචල්‍යයක් සඳහා, අපේක්ෂාව $M\left(X\right)=np$ වේ, විචලනය $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$ වේ.

උදාහරණයක් . පවුලේ ළමයි දෙන්නෙක් ඉන්නවා. $0.5$ ට සමාන පිරිමි ළමයෙකුගේ සහ ගැහැණු ළමයෙකුගේ උපත් සම්භාවිතාව උපකල්පනය කරමින්, අහඹු විචල්‍ය $\xi $ බෙදා හැරීමේ නීතිය සොයා ගන්න - පවුලේ පිරිමි ළමුන් සංඛ්‍යාව.

සසම්භාවී විචල්‍ය $\xi $ පවුලේ පිරිමි ළමුන් සංඛ්‍යාව වීමට ඉඩ දෙන්න. $\xi:\ 0,\ ​​1,\ 2$ ගත හැකි අගයන්. මෙම අගයන්හි සම්භාවිතාව $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k සූත්‍රය මගින් සොයා ගත හැක. )$, මෙහි $n =2$ - ස්වාධීන අත්හදා බැලීම් ගණන, $p=0.5$ - $n$ අත්හදා බැලීම් මාලාවක සිදුවීමක් සිදුවීමේ සම්භාවිතාව. අපට ලැබෙන්නේ:

$P\left(\xi =0\right)=C^0_2\cdot (0.5)^0\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-0)=(0, 5)^2 =0.25;$

$P\left(\xi =1\right)=C^1_2\cdot 0.5\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-1)=2\cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5;$

$P\left(\xi =2\right)=C^2_2\cdot (0,5)^2\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-2)=(0, 5)^2=0.25.$

එවිට සසම්භාවී විචල්‍යයේ බෙදා හැරීමේ නියමය $\xi $ යනු $0,\ 1,\ 2$ අගයන් සහ ඒවායේ සම්භාවිතාවන් අතර ලිපි හුවමාරුවයි, එනම්:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
\xi සහ 0 සහ 1 සහ 2 \\
\hline
P(\xi) & 0.25 & 0.5 & 0.25 \\
\hline
\end(array)$

බෙදා හැරීමේ නීතියේ සම්භාවිතා එකතුව $1$ ට සමාන විය යුතුය, එනම් $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((\rm i)))=0.25+0.5+0, 25 =$1.

අපේක්ෂාව $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0.5=1$, විචලනය $D\left(\xi \right)=np\left(1-p\right)=2\ cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5$, සම්මත අපගමනය $\sigma \left(\xi \right)=\sqrt(D\left(\xi \right))=\sqrt(0.5 )\ආසන්න $0.707.

2. විෂ බෙදා හැරීමේ නීතිය.

විවික්ත අහඹු විචල්‍යයක් $X$ හට ගත හැක්කේ $0,\ 1,\ 2,\ \ dots ,\ n$ සම්භාවිතාවන් සහිත $P\left(X=k\right)=(((( \lambda )^k )\over (k}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}

අදහස් දක්වන්න. මෙම බෙදාහැරීමේ විශේෂත්වය නම්, පර්යේෂණාත්මක දත්ත මත පදනම්ව, $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$, ලබාගත් ඇස්තමේන්තු එකිනෙකට සමීප නම්, අපි සොයා ගැනීමයි. අහඹු විචල්‍යය විෂ බෙදා හැරීමේ නීතියට යටත් බව ප්‍රකාශ කිරීමට හේතු තිබේ.

උදාහරණයක් . Poisson බෙදා හැරීමේ නීතියට යටත් වන අහඹු විචල්‍යයන් සඳහා උදාහරණ විය හැකිය: හෙට සේවා සපයන මෝටර් රථ ගණන පිරවුම් හල; නිෂ්පාදිත නිෂ්පාදනයේ දෝෂ සහිත අයිතම ගණන.

උදාහරණයක් . බලාගාරය $500$ නිෂ්පාදන පදනමට යැවීය. ගමනාගමනයේදී නිෂ්පාදන හානියේ සම්භාවිතාව $0.002$ වේ. හානියට පත් නිෂ්පාදන ගණනට සමාන සසම්භාවී විචල්‍ය $X$ බෙදා හැරීමේ නීතිය සොයන්න; එය $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$ ට සමාන වේ.

විවික්ත අහඹු විචල්‍යයක් $X$ හානියට පත් නිෂ්පාදන ගණන වීමට ඉඩ දෙන්න. එවැනි අහඹු විචල්‍යයක් $\lambda =np=500\cdot 0.002=1$ යන පරාමිතිය සහිත Poisson බෙදා හැරීමේ නීතියට යටත් වේ. අගයන්හි සම්භාවිතාව $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k) වේ}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}

$P\left(X=0\right)=((1^0)\over (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\left(X=1\දකුණ)=((1^1)\over (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\left(X=2\right)=((1^2)\over (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!}

$P\left(X=3\right)=((1^3)\over (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!}

$P\left(X=4\දකුණ)=((1^4)\over (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!}

$P\left(X=5\right)=((1^5)\over (5}\cdot e^{-1}=0,003;$!}

$P\left(X=6\දකුණ)=((1^6)\over (6}\cdot e^{-1}=0,001;$!}

$P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k)}\cdot e^{-\lambda }$!}

සසම්භාවී විචල්‍ය $X$ හි බෙදා හැරීමේ නියමය:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & k \\
\hline
P_i සහ 0.368; & 0.368 & 0.184 & 0.061 & 0.015 & 0.003 & 0.001 & ... & ((\ lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\hline
\end(array)$

එවැනි අහඹු විචල්‍යයක් සඳහා, ගණිතමය අපේක්ෂාව සහ විචලනය එකිනෙකට සමාන වන අතර $\lambda $ පරාමිතියට සමාන වේ, එනම් $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda =1 $.

3. බෙදා හැරීමේ ජ්යාමිතික නීතිය.

විවික්ත අහඹු විචල්‍යයක් $X$ හට ගත හැක්කේ ස්වභාවික අගයන් $1,\ 2,\ \ dots ,\ n$ සම්භාවිතාවන් සහිත $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\\) පමණක් නම් දකුණට) ^(k-1),\ k=1,\ 2,\ 3,\ \ dots $, එවිට අපි කියන්නේ එවැනි අහඹු විචල්‍යයක් $X$ සම්භාවිතා ව්‍යාප්තියේ ජ්‍යාමිතික නීතියට යටත් වන බවයි. ඇත්ත වශයෙන්ම, ජ්යාමිතික ව්යාප්තිය පළමු සාර්ථකත්වය සඳහා බර්නූලිගේ අත්හදා බැලීම් ලෙස පෙනේ.

උදාහරණයක් . ජ්‍යාමිතික ව්‍යාප්තියක් ඇති අහඹු විචල්‍ය සඳහා උදාහරණ විය හැක: ඉලක්කයට පළමු පහරට පෙර පහරවල් ගණන; පළමු අසාර්ථකත්වයට පෙර උපාංගයේ පරීක්ෂණ ගණන; පළමු හිස ඉහළට පෙර කාසියේ කාසි ගණන, සහ යනාදිය.

ජ්‍යාමිතික ව්‍යාප්තියකට යටත්ව අහඹු විචල්‍යයක ගණිතමය අපේක්ෂාව සහ විචලනය පිළිවෙලින් $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\right) /p^ 2$.

උදාහරණයක් . මසුන් බිත්තර දමන ස්ථානයට යන මාර්ගයේ $4$ අගුලක් ඇත. එක් එක් අගුල හරහා මාළුවෙකු ගමන් කිරීමේ සම්භාවිතාව $p=3/5$ වේ. $X$ සසම්භාවී විචල්‍යයේ බෙදාහැරීමේ මාලාවක් සාදන්න - අගුලේ පළමු නැවතුමට පෙර මාළුවා විසින් සම්මත කරන ලද අගුල් ගණන. $M\left(X\right),\ D\left(X\right),\ \sigma \left(X\right)$ සොයන්න.

සසම්භාවී විචල්‍ය $X$ යනු සොරොව්වේ පළමු නැවතුමට පෙර මාළුවා විසින් සම්මත කරන ලද සොරොව් ගණන වේ. එවැනි අහඹු විචල්‍යයක් සම්භාවිතා ව්‍යාප්තියේ ජ්‍යාමිතික නීතියට යටත් වේ. $X සසම්භාවී විචල්‍යයට ගත හැකි අගයන් වනුයේ: 1, 2, 3, 4. මෙම අගයන්හි සම්භාවිතාව ගණනය කරනු ලබන්නේ සූත්‍රයෙනි: $P\left(X=k\right)=pq^( k-1)$, කොහෙද: $ p=2/5$ - අගුල හරහා මාළු ඇල්ලීමේ සම්භාවිතාව, $q=1-p=3/5$ - මාළු අගුල හරහා ගමන් කිරීමේ සම්භාවිතාව, $k=1, \ 2,\ 3,\ 4$.

$P\left(X=1\right)=((2)\over (5))\cdot (\වම((3)\over (5))\දකුණ)^0=(2)\ over(5))=0.4;$

$P\left(X=2\right)=((2)\over (5))\cdot ((3)\over (5))=((6)\over (25))=0.24; $

$P\left(X=3\right)=((2)\over (5))\cdot (\වම((3)\over (5))\දකුණ)^2=(2)\ over (5))\cdot ((9)\over (25))=((18)\over (125))=0.144;$

$P\left(X=4\right)=((2)\over (5))\cdot (\වම((3)\over (5))\දකුණ))^3+(\වම((\) (3)\ over (5))\ right))^4=((27)\over (125))=0.216.$

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
P\left(X_i\ right) & 0.4 & 0.24 & 0.144 & 0.216 \\
\hline
\end(array)$

අපේක්ෂිත අගය:

$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(x_ip_i)=1\cdot 0.4+2\cdot 0.24+3\cdot 0.144+4\cdot 0.216=2.176.$

විසුරුම:

$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\ right)\right))^2=)0,4\cdot (\ වම(1-2,176\දකුණ))^2+0,24\cdot (\වම(2-2,176\දකුණ))^2+0,144\cdot (\වම(3-2,176\දකුණ))^2+$

$+\ 0.216\cdot (\වම(4-2.176\දකුණ))^2\ආසන්න වශයෙන් 1.377.$

සම්මත අපගමනය:

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(1,377)\ආසන්න වශයෙන් 1,173.$

4. අධි ජ්‍යාමිතික බෙදා හැරීමේ නීතිය.

$N$ වස්තු තිබේ නම්, ඒවා අතර $m$ වස්තු ලබා දී ඇති දේපල ඇත. අහඹු ලෙස, ප්‍රතිස්ථාපනයකින් තොරව, $n$ වස්තු නිස්සාරණය කරනු ලබන අතර, ඒවා අතර දී ඇති දේපලක් ඇති $k$ වස්තූන් ඇත. අධි ජ්‍යාමිතික ව්‍යාප්තිය මඟින් නියැදියක හරියටම $k$ වස්තුවකට ලබා දී ඇති දේපලක් තිබීමේ සම්භාවිතාව තක්සේරු කිරීමට හැකි වේ. සසම්භාවී විචල්‍ය $X$ නියැදියේ දී ඇති දේපලක් ඇති වස්තු ගණන වීමට ඉඩ දෙන්න. එවිට සසම්භාවී විචල්‍ය $X$ හි අගයන්හි සම්භාවිතාව:

$P\left(X=k\right)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\over (C^n_N))$

අදහස් දක්වන්න. Excel $f_x$ Function Wizard හි HYPERGEOMET සංඛ්‍යානමය ශ්‍රිතය ඔබට නිශ්චිත අත්හදා බැලීම් සංඛ්‍යාවක් සාර්ථක වීමේ සම්භාවිතාව තීරණය කිරීමට ඉඩ සලසයි.

$f_x\සිට $ සංඛ්යානමය$\ සිට $ දක්වා හයිපර්ජෙයෝමෙට්$\ සිට $ දක්වා හරි. ඔබ පිරවිය යුතු සංවාද කොටුවක් දිස්වනු ඇත. ප්රස්ථාරයේ සාම්පලයේ_සාර්ථක_සංඛ්‍යාව$k$ හි අගය සඳහන් කරන්න. නියැදි_ප්‍රමාණය$n$ සමාන වේ. ප්රස්ථාරයේ ජනගහනයේ_සාර්ථක_සංඛ්‍යාව$m$ හි අගය සඳහන් කරන්න. ජනගහනය_ප්‍රමාණය$N$ සමාන වේ.

ජ්‍යාමිතික බෙදා හැරීමේ නීතියකට යටත්ව $X$ විවික්ත අහඹු විචල්‍යයක ගණිතමය අපේක්ෂාව සහ විචලනය වන්නේ $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)=((nm\left) (1 -(m)\ over (N))\ right)\ left(1-(n)\ over (N))\ right))\ over (N-1))$.

උදාහරණයක් . බැංකුවේ ණය දෙපාර්තමේන්තුව උසස් මූල්‍ය අධ්‍යාපනය සහිත විශේෂඥයින් 5 දෙනෙකු සහ උසස් නීති අධ්‍යාපනය සහිත විශේෂඥයින් 3 දෙනෙකු සේවයේ යොදවයි. බැංකුවේ කළමනාකාරීත්වය තීරණය කළේ විශේෂඥයින් 3 දෙනෙකු අහඹු ලෙස තෝරා උසස් පුහුණුව සඳහා යැවීමට ය.

අ) උසස් පුහුණුව සඳහා යොමු කළ හැකි උසස් මූල්‍ය අධ්‍යාපනය සහිත විශේෂඥයින් සංඛ්‍යාව බෙදා හැරීමේ මාලාවක් සාදන්න;

b) මෙම ව්‍යාප්තියේ සංඛ්‍යාත්මක ලක්ෂණ සොයන්න.

අහඹු විචල්‍ය $X$ තෝරා ගත් තිදෙනා අතර ඉහළ මූල්‍ය අධ්‍යාපනයක් ඇති විශේෂඥයින් සංඛ්‍යාව වීමට ඉඩ දෙන්න. $X:0,\ 1,\ 2,\ 3$ ගත හැකි අගයන්. මෙම සසම්භාවී විචල්‍යය $X$ පහත පරාමිතීන් සහිත අධි ජ්‍යාමිතික ව්‍යාප්තියට අනුව බෙදා හරිනු ලැබේ: $N=8$ - ජනගහන ප්‍රමාණය, $m=5$ - ජනගහනයේ සාර්ථකත්වයන් ගණන, $n=3$ - නියැදි ප්‍රමාණය, $ k=0,\ 1, \ 2,\ 3$ - නියැදියේ සාර්ථකත්වයන් ගණන. එවිට $P\left(X=k\right)$ සූත්‍රය භාවිතයෙන් ගණනය කළ හැක: $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(N-m)^(n-k) \ C_( N)^(n) ) $ හරහා. අපිට තියනවා:

$P\left(X=0\right)=((C^0_5\cdot C^3_3)\over (C^3_8))=((1)\over (56))\ආසන්න වශයෙන් 0.018;$

$P\left(X=1\right)=((C^1_5\cdot C^2_3)\over (C^3_8))=((15)\over (56))\ආසන්න වශයෙන් 0.268;$

$P\left(X=2\right)=((C^2_5\cdot C^1_3)\over (C^3_8))=((15)\over (28))\ආසන්න වශයෙන් 0.536;$

$P\left(X=3\right)=((C^3_5\cdot C^0_3)\over (C^3_8))=((5)\over (28))\ආසන්න වශයෙන් 0.179.$

එවිට සසම්භාවී විචල්‍යයේ බෙදාහැරීමේ ශ්‍රේණිය $X$:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0.018 & 0.268 & 0.536 & 0.179 \\
\hline
\end(array)$

අනුව සසම්භාවී විචල්‍ය $X$ හි සංඛ්‍යාත්මක ලක්ෂණ ගණනය කරමු සාමාන්ය සූත්රඅධි ජ්යාමිතික ව්යාප්තිය.

$M\left(X\right)=((nm)\over (N))=((3\cdot 5)\over (8))=((15)\over (8))=1,875.$

$D\left(X\right)=((nm\left(1-(m)\over (N))\right)\left(1-(n)\over (N))\right)) \over (N-1))=((3\cdot 5\cdot \left(1-(5)\over (8))\right)\cdot \left(1-(3)\over (8 ))\දකුණ))\ over (8-1))=((225)\over (448))\ආසන්න වශයෙන් 0.502.$

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(0.502)\ආසන්න වශයෙන් 0.7085.$

අර්ථ දැක්වීම 1

සසම්භාවී විචල්‍යයක් $X$ එහි අගයන් සමූහය අනන්ත හෝ පරිමිත නමුත් ගණන් කළ හැකි නම් විවික්ත (අස්ථිර) ලෙස හැඳින්වේ.

වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, එහි අගයන් ගණනය කළ හැකි නම්, ප්‍රමාණයක් විවික්ත ලෙස හැඳින්වේ.

බෙදා හැරීමේ නීතිය භාවිතයෙන් ඔබට අහඹු විචල්‍යයක් විස්තර කළ හැකිය.

විවික්ත සසම්භාවී විචල්‍යයක බෙදාහැරීමේ නියමය $X$ වගුවක ආකාරයෙන් ලබා දිය හැකි අතර, එහි පළමු පේළියේ සසම්භාවී විචල්‍යයේ හැකි සියලුම අගයන් ආරෝහණ අනුපිළිවෙලින් ද, දෙවන පේළියේ ඊට අනුරූප සම්භාවිතාවන් ද දක්වා ඇත. මෙම අගයන්:

පින්තූරය 1.

එහිදී $p1+ p2+ ... + pn = 1$.

මෙම වගුව විවික්ත අහඹු විචල්‍යයක ව්‍යාප්තිය ආසන්නයේ.

අහඹු විචල්‍යයක විය හැකි අගයන් සමූහය අනන්ත නම්, $p1+ p2+ ... + pn+ ...$ ශ්‍රේණිය අභිසාරී වන අතර එහි එකතුව $1$ ට සමාන වේ.

විවික්ත සසම්භාවී විචල්‍යයක බෙදා හැරීමේ නියමය $X$ චිත්‍රක ලෙස නිරූපණය කළ හැක, ඒ සඳහා ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ (සෘජුකෝණාස්‍රාකාර) කෙනෙක් ගොඩනඟයි කැඩුණු රේඛාව, $(xi;pi), i=1,2, ... n$ ඛණ්ඩාංක සමඟ ලකුණු අනුක්‍රමිකව සම්බන්ධ කරයි. කැඳවූ රේඛාව බෙදාහැරීමේ බහුඅස්රය.

රූපය 2.

විවික්ත අහඹු විචල්‍යයක බෙදා හැරීමේ නියමය $X$ විශ්ලේෂණාත්මකව ද නිරූපණය කළ හැක (සූත්‍රය භාවිතා කරමින්):

$P(X=xi)= \varphi (xi),i =1,2,3 ... n$.

විවික්ත සම්භාවිතා මත ක්රියා

සම්භාවිතා න්‍යායේ බොහෝ ගැටලු විසඳීමේදී විවික්ත සසම්භාවී විචල්‍යයක් නියතයකින් ගුණ කිරීම, සසම්භාවී විචල්‍ය දෙකක් එකතු කිරීම, ඒවා ගුණ කිරීම සහ බලයකට ගෙන ඒමේ මෙහෙයුම් සිදු කිරීම අවශ්‍ය වේ. මෙම අවස්ථා වලදී, අහඹු විවික්ත විචල්යයන් සඳහා පහත සඳහන් නීති පිළිපැදීම අවශ්ය වේ:

අර්ථ දැක්වීම 3

ගුණ කිරීමෙන්විවික්ත සසම්භාවී විචල්‍යයක් $X$ සිට නියත $K$ දක්වා විවික්ත සසම්භාවී විචල්‍යයක් $Y=KX,$ එය සමානාත්මතා නිසා වේ: $y_i=Kx_i,\ \ p\left(y_i\right)=p\left (x_i\right)= p_i,\ \ i=\overline(1,\ n).$

අර්ථ දැක්වීම 4

$x$ සහ $y$ ලෙස සසම්භාවී විචල්‍ය දෙකක් හැඳින්වේ ස්වාධීන, ඔවුන්ගෙන් එක් අයෙකුගේ බෙදා හැරීමේ නීතිය දෙවන අගය ලබාගෙන ඇති හැකි අගයන් මත රඳා නොපවතී නම්.

අර්ථ දැක්වීම 5

එකතුවස්වාධීන විවික්ත සසම්භාවී විචල්‍ය දෙකක් $X$ සහ $Y$ සසම්භාවී විචල්‍යය ලෙස හැඳින්වේ $Z=X+Y, $ සමානතා නිසා වේ: $z_(ij)=x_i+y_j$, $P\left(z_(ij )\right)= P\left(x_i\right)P\left(y_j\right)=p_ip"_j$, $i=\overline(1,n)$, $j=\overline(1,m)$ , $P\left (x_i\right)=p_i$, $P\left(y_j\right)=p"_j$.

අර්ථ දැක්වීම 6

ගුණ කිරීමෙන්ස්වාධීන විවික්ත සසම්භාවී විචල්‍ය දෙකක් $X$ සහ $Y$ සසම්භාවී විචල්‍යය $Z=XY ලෙස හැඳින්වේ, $ සමානතා නිසා වේ: $z_(ij)=x_iy_j$, $P\left(z_(ij)\right) =P\left(x_i\right)P\left(y_j\right)=p_ip"_j$, $i=\overline(1,n)$, $j=\overline(1,m)$, $P\ වම්(x_i\right )=p_i$, $P\left(y_j\right)=p"_j$.

සමහර නිෂ්පාදන $x_(i\ \\ \ )y_j$ එකිනෙක සමාන විය හැකි බව අපි සැලකිල්ලට ගනිමු. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, නිෂ්පාදිතය එකතු කිරීමේ සම්භාවිතාව අනුරූප සම්භාවිතා එකතුවට සමාන වේ.

උදාහරණයක් ලෙස, $x_2\ \ y_3=x_5\ \ y_7,\ $එවිට $x_2y_3$ (හෝ එම $x_5y_7$) හි සම්භාවිතාව $p_2\cdot p"_3+p_5\cdot p"_7 ට සමාන වනු ඇත. .$

ඉහත සඳහන් මුදල ද අදාළ වේ. $x_1+\ y_2=x_4+\ \ y_6,$ නම් $x_1+\ y_2$ (හෝ එම $x_4+\ y_6$) හි සම්භාවිතාව $p_1\cdot p"_2+p_4\cdot p"_6.$ වනු ඇත.

සසම්භාවී විචල්‍ය $X$ සහ $Y$ බෙදා හැරීමේ නීති මගින් ලබා දීමට ඉඩ දෙන්න:

රූපය 3

එහිදී $p_1+p_2+p_3=1,\ \\ p"_1+p"_2=1.$ එවිට $X+Y$ එකතුව සඳහා බෙදා හැරීමේ නීතිය පෙනෙනු ඇත.

රූපය 4

තවද $XY$ නිෂ්පාදනයේ බෙදා හැරීමේ නීතියේ පෝරමය ඇත

රූපය 5

බෙදා හැරීමේ කාර්යය

සසම්භාවී විචල්‍යයක සම්පූර්ණ විස්තරයක් බෙදා හැරීමේ ශ්‍රිතය මගින් ද ලබා දේ.

ජ්‍යාමිතික වශයෙන්, බෙදා හැරීමේ ශ්‍රිතය සසම්භාවී විචල්‍ය $X$ $x$ ලක්ෂ්‍යයේ වම්පස ඇති ලක්ෂ්‍යයෙන් සැබෑ රේඛාවේ නිරූපණය වන අගය ලබා ගැනීමේ සම්භාවිතාව ලෙස විස්තර කෙරේ.