විවික්ත අහඹු විචල්‍යයක ද්විපද ව්යාප්තිය
විවික්ත අහඹු විචල්‍යවල සම්භාවිතා ව්යාප්තිය. ද්විපද ව්යාප්තිය. විෂ බෙදා හැරීම. ජ්යාමිතික ව්යාප්තිය. කාර්යය උත්පාදනය කිරීම.
6. විවික්ත අහඹු විචල්‍යවල සම්භාවිතා ව්යාප්තිය
6.1 ද්විපද ව්යාප්තිය
එය නිෂ්පාදනය කිරීමට ඉඩ දෙන්න nස්වාධීන අත්හදා බැලීම්, එක් එක් සිද්ධිය ඒපෙනෙන්නට හෝ නොතිබිය හැකිය. සම්භාවිතාව පිසිදුවීමක් සිදුවීම ඒසෑම පරීක්ෂණයකම නියත වන අතර පරීක්ෂණයෙන් පරීක්ෂණයට වෙනස් නොවේ. අහඹු විචල්‍යයක් ලෙස X සිදුවීමේ සිදුවීම් ගණන සලකන්න ඒමෙම පරීක්ෂණ වලදී. සිදුවීමක් සිදුවීමේ සම්භාවිතාව සොයා ගැනීමට සූත්රය ඒසිනිඳුයි කේවරක් අ nපරීක්ෂණ, දන්නා පරිදි, විස්තර කර ඇත බර්නූලි සූත්රය
බර්නූලි සූත්රය මගින් අර්ථ දක්වා ඇති සම්භාවිතා ව්යාප්තිය ලෙස හැඳින්වේ ද්විපද .
නිව්ටන් ද්විපදයේ ප්‍රසාරණයේදී දකුණු පැත්ත පොදු පදයක් ලෙස සැලකිය හැකි නිසා මෙම නියමය "ද්විපද" ලෙස හැඳින්වේ.
අපි වගුවක ස්වරූපයෙන් ද්විපද නීතිය ලියන්නෙමු
|
පි n |
np n –1 q |
|
q n |
මෙම ව්‍යාප්තියේ සංඛ්යාත්මක ලක්ෂණ අපි සොයා බලමු.
නිර්වචනය අනුව ගණිතමය අපේක්ෂාව DSW සඳහා අප සතුව ඇත
.
අපි සමානාත්මතාවය ලියන්නෙමු, එනම් නිව්ටන් බින්
.
සහ p සම්බන්ධයෙන් එය වෙනස් කරන්න. ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, අපි ලබා ගනිමු
.
වම් සහ ගුණ කරන්න දකුණු පැත්තමත පි:
.
එය දී ඇති විට පි+ q=1, අපට තිබේ
(6.2)
ඒ නිසා, හි සිදුවීම් සංඛ්යාව පිළිබඳ ගණිතමය අපේක්ෂාවn ස්වාධීන පරීක්ෂණඅත්හදා බැලීම් ගණනේ ගුණිතයට සමාන වේnසම්භාවිතාව මතපිඑක් එක් අත්හදා බැලීමේ සිදුවීමක් සිදුවීම.
අපි සූත්රය මගින් විසරණය ගණනය කරමු
.
මේ සඳහා අපි සොයා ගනිමු
.
පළමුව, අපි නිව්ටන්ගේ ද්විපද සූත්රය සම්බන්ධයෙන් දෙවතාවක් වෙනස් කරමු පි:
සහ සමීකරණයේ දෙපැත්තම ගුණ කරන්න පි 2:
ප්රතිඵලයක් වශයෙන්,
එබැවින් ද්විපද ව්‍යාප්තියේ විචලනය වේ
.
(6.3)
මෙම ප්රතිඵල හුදු ගුණාත්මක තර්කයෙන් ද ලබාගත හැකිය. සියලුම අත්හදා බැලීම්වල A හි සම්පූර්ණ X සිදුවීම් තනි තනි අත්හදා බැලීම්වල සිදුවීම් ගණනට එකතු වේ. එබැවින්, X 1 යනු පළමු අත්හදා බැලීමේ සිදුවීමේ සිදුවීම් සංඛ්යාව නම්, දෙවන අත්හදා බැලීමේදී X 2 යනාදියයි. මුළු සංඛ්යාවසියලුම අත්හදා බැලීම්වල A සිදුවීම X=X 1 +X 2 +…+X ට සමාන වේ n. ගණිතමය අපේක්ෂාවේ ගුණය අනුව:
සමානාත්මතාවයේ දකුණු පැත්තේ එක් එක් නියමයන් එක් පරීක්ෂණයක සිදුවීම් ගණන පිළිබඳ ගණිතමය අපේක්ෂාව වන අතර එය සිදුවීමේ සම්භාවිතාවට සමාන වේ. මේ ක්රමයෙන්,
විසරණ දේපල අනුව:
සිට , සහ අහඹු විචල්‍යයක ගණිතමය අපේක්ෂාව 
, අගයන් දෙකක් පමණක් ගත හැකි, එනම් සම්භාවිතාව සහිත 1 2 පිසහ 0 2 සම්භාවිතාව සමඟ q, එවිට 
. මේ ක්රමයෙන්, 
ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, අපි ලබා ගනිමු
ආරම්භක සහ කේන්ද්‍රීය අවස්ථාවන් පිළිබඳ සංකල්පය භාවිතා කරමින්, කෙනෙකුට වක්‍රතාවය සහ කුර්ටෝසිස් සඳහා සූත්ර ලබා ගත හැකිය:
.
(6.4)
සහල්. 6.1
ද්විපද ව්යාප්තිය බහුඅස්‍රය ඇත ඊළඟ දර්ශනය(රූපය 6.1 බලන්න). සම්භාවිතාව P n (කේ) පළමුව වැඩි වීමත් සමඟ වැඩි වේ කේ, ළඟා වේ විශාලතම වටිනාකමඊට පස්සේ අඩු වෙන්න පටන් ගන්නවා. නඩුව හැර ද්විපද ව්යාප්තිය විකෘති වේ පි=0.5. කවදාද යන්න සටහන් කරන්න විශාල සංඛ්යාපරීක්ෂණ nද්විපද ව්යාප්තිය සාමාන්ය මට්ටමට ඉතා ආසන්නය. (මෙම යෝජනාව සඳහා සාධාරණීකරණය දේශීය Moivre-Laplace ප්රමේයය හා සම්බන්ධ වේ.)අංකයඑම් 0 සිදුවීමක් සිදුවීම හැඳින්වේබොහෝ විට වෙන්න පුළුවන් , මෙම අත්හදා බැලීම් මාලාවේ දී ඇති වාර ගණනක් සිදුවීමේ සම්භාවිතාව විශාලතම නම් (බෙදාහැරීමේ බහුඅස්‍රයේ උපරිමය). ද්විපද ව්යාප්තිය සඳහා
අදහස් දක්වන්න. මෙම අසමානතාවය ද්විපද සම්භාවිතා සඳහා පුනරාවර්තන සූත්රය භාවිතයෙන් ඔප්පු කළ හැක:
(6.6)
උදාහරණය 6.1.නිෂ්පාදන කොටස් වාරිකමෙම ව්යවසායයේ 31% කි. අහඹු ලෙස තෝරාගත් අයිතම 75 ක කාණ්ඩයේ වාරික අයිතමවල මධ්යන්ය සහ විචලනය යනු කුමක්ද?
විසඳුමක්. මන්දයත් පි=0,31, q=0,69, n=75, එවිට
එම්[ x] = np= 750.31 = 23.25; D[ x] = npq = 750,310,69 = 16,04.
බොහෝ දුරට ඉඩ ඇති අංකය සොයා ගැනීමට එම් 0 , අපි ද්විත්ව අසමානතාවයක් සම්පාදනය කරමු
එබැවින් එය අනුගමනය කරයි එම් 0 = 23.
සාමාන්යයෙන් මෙන් නොව සහ ඒකාකාර බෙදාහැරීම්අධ්‍යයනයට භාජනය වන විෂයයන් නියැදියේ විචල්‍යයක හැසිරීම විස්තර කිරීම, ද්විපද ව්යාප්තිය වෙනත් අරමුණු සඳහා භාවිතා වේ. එය යම් ස්වාධීන අත්හදා බැලීම් සංඛ්යාවක් තුළ අන්‍යෝන්‍ය වශයෙන් බැහැර සිදුවීම් දෙකක සම්භාවිතාව පුරෝකථනය කිරීමට සේවය කරයි. ද්විපද ව්‍යාප්තියක සම්භාව්‍ය උදාහරණයක් වන්නේ දෘඩ පෘෂ්ඨයක් මත වැටෙන කාසියක් විසි කිරීමයි. ප්රතිඵල දෙකක් (සිදුවීම්) සමාන සම්භාවිතාවක් ඇත: 1) කාසිය "රාජාලියා" වැටේ (සම්භාවිතාව සමාන වේ ආර්) හෝ 2) කාසිය "වලිග" වැටේ (සම්භාවිතාව සමාන වේ q) තෙවන ප්රතිඵලය ලබා නොදෙන්නේ නම්, එසේ නම් පි = q= 0.5 සහ පි + q= 1. ද්විපද බෙදාහැරීමේ සූත්රය භාවිතා කරමින්, ඔබට නිශ්චය කළ හැකිය, උදාහරණයක් ලෙස, අත්හදා බැලීම් 50 කදී (කාසියේ කාසි ගණන) අවසාන එක 25 වතාවක් හිස කඩා වැටීමේ සම්භාවිතාව කුමක්ද?
වැඩිදුර තර්ක කිරීම සඳහා, අපි පොදුවේ පිළිගත් අංකනය හඳුන්වා දෙන්නෙමු:
nසම්පූර්ණ නිරීක්ෂණ සංඛ්යාව වේ;
මම- අපට උනන්දුවක් දක්වන සිදුවීම් (ප්රතිඵල) ගණන;
n – මම- විකල්ප සිදුවීම් ගණන;
පි- අපට උනන්දුවක් දක්වන සිදුවීමක ආනුභවිකව තීරණය කළ (සමහර විට - උපකල්පනය කරන ලද) සම්භාවිතාව;
qවිකල්ප සිදුවීමක සම්භාවිතාව;
පී n ( මම) යනු අපට උනන්දුවක් දක්වන සිදුවීමේ පුරෝකථනය කළ සම්භාවිතාවයි මමනිශ්චිත නිරීක්ෂණ සංඛ්යාවක් සඳහා n.
ද්විපද ව්‍යාප්ති සූත්රය:
සිදුවීම්වල සාධාරණ ප්රතිඵල ඇති අවස්ථාවක ( p = q) ඔබට සරල කළ සූත්රය භාවිතා කළ හැකිය:
(6.8)
මනෝවිද්‍යාත්මක පර්යේෂණයේදී ද්විපද ව්‍යාප්ති සූත්ර භාවිතය නිදර්ශනය කරන උදාහරණ තුනක් සලකා බලමු.
උදාහරණ 1
සිසුන් 3 දෙනෙකු සංකීර්ණත්වය වැඩි වීමේ ගැටලුවක් විසඳන බව උපකල්පනය කරන්න. ඒ සෑම එකක් සඳහාම, ප්රතිඵල 2ක් සමානව සම්භාවිතාවක් ඇත: (+) - විසඳුම සහ (-) - ගැටලුවේ නොවිසඳීම. සමස්තයක් වශයෙන්, විවිධ ප්රතිඵල 8 ක් විය හැකිය (2 3 = 8).
කිසිදු ශිෂ්‍යයෙකු එම කාර්යයට මුහුණ නොදෙන සම්භාවිතාව 1/8 (විකල්ප 8); 1 ශිෂ්‍යයෙක් කාර්යය සම්පූර්ණ කරයි: පී= 3/8 (විකල්ප 4, 6, 7); සිසුන් 2 - පී= 3/8 (විකල්ප 2, 3, 5) සහ සිසුන් 3 - පී=1/8 (විකල්ප 1).
සිසුන් 5 දෙනෙකුගෙන් තිදෙනෙකු මෙම කාර්යය සමඟ සාර්ථකව කටයුතු කරන සම්භාවිතාව තීරණය කිරීම අවශ්ය වේ.
විසඳුමක්
හැකි මුළු ප්රතිඵල: 2 5 = 32.
මුළු විකල්ප ගණන 3(+) සහ 2(-) වේ
එබැවින්, අපේක්ෂිත ප්රතිඵලයේ සම්භාවිතාව 10/32 »0.31 වේ.
උදාහරණය 3
ව්යායාම කරන්න
අහඹු විෂයයන් 10 කින් යුත් කණ්ඩායමක් තුළ බාහිර පුද්ගලයන් 5 ක් සොයා ගැනීමේ සම්භාවිතාව නිර්ණය කරන්න.
විසඳුමක්
1. අංකනය ඇතුළත් කරන්න: p=q= 0,5; n= 10; i = 5; P 10 (5) = ?
2. අපි සරල කළ සූත්‍රයක් භාවිතා කරමු (ඉහත බලන්න):
නිගමනය
අහඹු විෂයයන් 10ක් අතර බාහිර පුද්ගලයන් 5ක් හමුවීමේ සම්භාවිතාව 0.246 කි.
සටහන්
1. ප්රමාණවත් තරම් විශාල පරීක්ෂණ සංඛ්යාවක් සහිත සූත්රය මගින් ගණනය කිරීම තරමක් වෙහෙසකාරී ය, එබැවින්, මෙම අවස්ථා වලදී, ද්විපද බෙදාහැරීමේ වගු භාවිතා කිරීම රෙකමදාරු කරනු ලැබේ.
2. සමහර අවස්ථාවලදී, අගයන් පිහා qමුලදී සැකසිය හැක, නමුත් සෑම විටම නොවේ. රීතියක් ලෙස, ඔවුන් මූලික පරීක්ෂණ (නියමු අධ්යයන) ප්රතිඵල මත පදනම්ව ගණනය කරනු ලැබේ.
3. තුළ ග්රැෆික් රූපය(ඛණ්ඩාංක වලින් පී එන්(මම) = f(මම)) ද්විපද ව්යාප්තිය තිබිය හැක විවිධ ආකාරයේ: කවදා ද p = qබෙදා හැරීම සමමිතික වන අතර සමාන වේ සාමාන්ය බෙදාහැරීමේගවුස්; බෙදා හැරීමේ වක්‍රතාවය වැඩි වන අතර, සම්භාවිතාවන් අතර වෙනස වැඩි වේ පිහා q.
විෂ බෙදා හැරීම
Poisson ව්යාප්තිය ද්විපද ව්‍යාප්තියේ විශේෂ අවස්ථාවකි, උනන්දුව දක්වන සිදුවීම්වල සම්භාවිතාව ඉතා අඩු විට භාවිතා වේ. වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, මෙම ව්යාප්තිය සම්භාවිතාව විස්තර කරයි දුර්ලභ සිදුවීම්. සඳහා Poisson සූත්රය භාවිතා කළ හැකිය පි < 0,01 и q ≥ 0,99.
Poisson සමීකරණය ආසන්න වන අතර පහත සූත්රය මගින් විස්තර කෙරේ:
(6.9)
මෙහි μ යනු සිදුවීමේ සාමාන්ය සම්භාවිතාවේ සහ නිරීක්ෂණ සංඛ්‍යාවේ ගුණිතයයි.
උදාහරණයක් ලෙස, පහත ගැටළුව විසඳීම සඳහා ඇල්ගොරිතම සලකා බලන්න.
කාර්යය
රුසියාවේ විශාල සායන 21 ක වසර ගණනාවක් තිස්සේ, ඩවුන් රෝගයෙන් පෙළෙන ළදරුවන්ගේ රෝගය සඳහා අලුත උපන් බිළිඳුන්ගේ සමූහ පරීක්ෂණයක් සිදු කරන ලදී (සාමාන්යයෙන් නියැදිය සෑම සායනයකම අලුත උපන් බිළිඳුන් 1000 ක් විය). පහත දත්ත ලැබී ඇත:
ව්යායාම කරන්න
1. රෝගයේ සාමාන්ය සම්භාවිතාව (අලුත උපන් දරුවන්ගේ සංඛ්යාව අනුව) තීරණය කරන්න.
2. එක් රෝගයක් සහිත අලුත උපන් බිළිඳුන්ගේ සාමාන්ය සංඛ්යාව තීරණය කරන්න.
3. අහඹු ලෙස තෝරාගත් අලුත උපන් බිළිඳුන් 100ක් අතර ඩවුන්ගේ රෝගය ඇති ළදරුවන් 2ක් සිටීමේ සම්භාවිතාව තීරණය කරන්න.
විසඳුමක්
1. රෝගයේ සාමාන්ය සම්භාවිතාව තීරණය කරන්න. එසේ කිරීමේදී පහත තර්කයෙන් අප මෙහෙයවිය යුතුය. ඩවුන්ස් රෝගය ලියාපදිංචි වී ඇත්තේ සායන 21 න් 10 ක පමණි.සායන 11 කින් කිසිදු රෝගයක් හමු නොවීය, සායන 6 ක රෝගීන් 1 ක්, සායන 2 ක රෝගීන් 2 ක්, පළමු සායනයේ 3 ක් සහ පළමු සායනයේ රෝගීන් 4 ක් වාර්තා වී ඇත. කිසිදු සායනයකින් රෝගීන් 5 ක් හමු නොවීය. රෝගයේ සාමාන්ය සම්භාවිතාව තීරණය කිරීම සඳහා, මුළු රෝගීන් සංඛ්යාව (6 1 + 2 2 + 1 3 + 1 4 = 17) අලුත උපන් මුළු සංඛ්‍යාවෙන් (21000) බෙදීම අවශ්ය වේ:
2. එක් රෝගයක් සඳහා හේතු වන අලුත උපන් දරුවන්ගේ සංඛ්යාව සාමාන්ය සම්භාවිතාවේ අන්‍යෝන්‍ය වේ, එනම් ලියාපදිංචි සිද්ධීන් සංඛ්‍යාවෙන් බෙදූ මුළු අලුත උපන් සංඛ්‍යාවට සමාන වේ:
3. අගයන් ආදේශ කරන්න පි = 0,00081, n= 100 සහ මම= 2 Poisson සූත්‍රයට:
පිළිතුර
අහඹු ලෙස තෝරාගත් අලුත උපන් බිළිඳුන් 100ක් අතර ඩවුන්ස් රෝගය සහිත ළදරුවන් 2ක් සොයා ගැනීමේ සම්භාවිතාව 0.003 (0.3%) වේ.
අදාළ කාර්යයන්
කාර්යය 6.1
ව්යායාම කරන්න
සංවේදක මෝටර ප්‍රතික්‍රියාවේ වේලාවේ 5.1 ගැටලුවේ දත්ත භාවිතා කරමින්, VR බෙදා හැරීමේ අසමමිතිය සහ කුර්ටෝසිස් ගණනය කරන්න.
කාර්යය 6. 2
සිසුන් 200 ක් උපාධි පන්තිබුද්ධි මට්ටම සඳහා පරීක්ෂා කරන ලදී ( IQ) ප්රතිඵලයක් ලෙස බෙදා හැරීම සාමාන්යකරණය කිරීමෙන් පසුව IQසම්මත අපගමනය අනුව, පහත ප්රතිඵල ලබා ගන්නා ලදී:
ව්යායාම කරන්න
Kolmogorov සහ chi-square පරීක්ෂණ භාවිතා කරමින්, දර්ශකවල ප්රතිඵලය බෙදා හැරීම අනුරූප වේ දැයි තීරණය කරන්න IQසාමාන්ය.
කාර්යය 6. 3
වැඩිහිටි විෂයයක (අවුරුදු 25 ක මිනිසෙක්), 1 kHz නියත සංඛ්යාතයක් සහ 40 dB තීව්රතාවයකින් යුත් ශබ්ද උත්තේජකයකට ප්රතිචාර වශයෙන් සරල සංවේදකමෝටර් ප්රතික්රියාවක (SR) කාලය අධ්යයනය කරන ලදී. උත්තේජකය තත්පර 3-5 අතර පරතරයකින් සිය වතාවක් ඉදිරිපත් කරන ලදී. පුනරාවර්තන 100 ක් සඳහා තනි පුද්ගල VR අගයන් පහත පරිදි බෙදා හැර ඇත:
ව්යායාම කරන්න
1. VR ව්‍යාප්තියේ සංඛ්‍යාත ඉතිහාස සටහනක් තැනීම; BP හි සාමාන්ය අගය සහ අගය තීරණය කරන්න සම්මත අපගමනය.
2. අසමමිතික සංගුණකය සහ BP බෙදා හැරීමේ kurtosis ගණනය කරන්න; ලැබුණු අගයන් මත පදනම්ව පරිදිහා උදාමෙම ව්‍යාප්තියේ සාමාන්ය බෙදාහැරීමේ අනුකූලතාව හෝ නොගැලපීම පිළිබඳ නිගමනයක් කරන්න.
කාර්යය 6.4
1998 දී නිශ්නි ටැගිල් හි පාසල්වලින් 14 දෙනෙක් (පිරිමි 5 ක් සහ ගැහැණු ළමයින් 9 ක්) රන් පදක්කම් ද, පුද්ගලයන් 26 ක් (පිරිමි 8 ක් සහ ගැහැණු ළමයින් 18 ක්) රිදී පදක්කම් ද සමඟින් උපාධිය ලබා ගත්හ.
ප්රශ්නය
කොල්ලන්ට වඩා කෙල්ලෝ පදක්කම් ගන්නවා කියන්න පුළුවන්ද?
සටහන
පිරිමි සහ ගැහැණු ළමුන් සංඛ්‍යාවේ අනුපාතය ජනගහනයසමාන ලෙස සලකන්න.
කාර්යය 6.5
සමජාතීය විෂයයන් සමූහයක බාහිර පුද්ගලයන් සහ අභ්‍යන්තරිකයින් සංඛ්යාව ආසන්න වශයෙන් සමාන බව විශ්වාස කෙරේ.
ව්යායාම කරන්න
අහඹු ලෙස තෝරාගත් විෂයයන් 10 ක කණ්ඩායමක් තුළ, 0, 1, 2, ..., 10 extroverts සොයා ගැනීමේ සම්භාවිතාව නිර්ණය කරන්න. දී ඇති කණ්ඩායමක 0, 1, 2, ..., 10 extroverts සොයා ගැනීමේ සම්භාවිතා ව්යාප්තිය සඳහා චිත්රක ප්‍රකාශනයක් සාදන්න.
කාර්යය 6.6
ව්යායාම කරන්න
සම්භාවිතාව ගණනය කරන්න පී එන්(i) සඳහා ද්විපද බෙදාහැරීමේ කාර්යයන් පි= 0.3 සහ qඅගයන් සඳහා = 0.7 n= 5 සහ මම= 0, 1, 2, ..., 5. යැපීම පිළිබඳ ග්රැෆික් ප්‍රකාශනයක් සාදන්න පී එන්(මම) = f(මම) .
කාර්යය 6.7
හිදී පසුගිය වසරජනගහනයේ යම් කොටසක් අතර, විශ්වාසයක් ජ්යෝතිඃ ශාස්ත්රීය අනාවැකි. මූලික සමීක්ෂණවල ප්‍රතිඵලවලට අනුව ජනගහනයෙන් 15%ක් පමණ ජ්‍යොතිෂය විශ්වාස කරන බව පෙනී ගියේය.
ව්යායාම කරන්න
අහඹු ලෙස තෝරාගත් වගඋත්තරකරුවන් 10 දෙනෙකු අතර ජ්‍යොතිෂ අනාවැකි විශ්වාස කරන පුද්ගලයින් 1, 2 හෝ 3 දෙනෙකු සිටීමේ සම්භාවිතාව නිර්ණය කරන්න.
කාර්යය 6.8
කාර්යය
42 දී සාමාන්ය අධ්යාපන පාසල් Yekaterinburg සහ Sverdlovsk කලාපය (මුළු සිසුන් සංඛ්යාව 12260 පුද්ගලයින්) වසර ගණනාවක් තිස්සේ පහත සඳහන් අවස්ථා සංඛ්යාව අනාවරණය විය. මානසික රෝගපාසල් සිසුන් අතර:
ව්යායාම කරන්න
පාසල් සිසුන් 1000ක් අහඹු ලෙස පරීක්ෂාවට ලක් කරමු. මෙම පාසල් සිසුන් දහස අතර මානසික ආබාධ සහිත දරුවන් 1, 2 හෝ 3 හඳුනා ගැනීමේ සම්භාවිතාව කොපමණ දැයි ගණනය කරන්න?
වගන්තිය 7. වෙනස පිළිබඳ මිනුම්
ගැටලුව සකස් කිරීම
අප සතුව විෂයයන් වල ස්වාධීන සාම්පල දෙකක් ඇතැයි සිතමු xහා හිදී. ස්වාධීනඑකම විෂය (විෂය) එක් නියැදියක පමණක් දිස්වන විට සාම්පල ගණන් කෙරේ. කාර්යය වන්නේ මෙම සාම්පල (විචල්‍ය කට්ටල දෙකක්) ඒවායේ වෙනස්කම් සඳහා එකිනෙකා සමඟ සංසන්දනය කිරීමයි. ස්වාභාවිකවම, පළමු සහ දෙවන සාම්පලවල විචල්‍යවල අගයන් කෙතරම් සමීප වුවත්, සමහරක්, නොවැදගත් වුවද, ඒවා අතර වෙනස්කම් අනාවරණය වේ. ගණිතමය සංඛ්‍යාලේඛනවල දෘෂ්ටි කෝණයෙන්, මෙම සාම්පල අතර ඇති වෙනස්කම් සංඛ්යානමය වශයෙන් වැදගත් (සංඛ්යානමය වශයෙන් වැදගත්) හෝ විශ්වාස කළ නොහැකි (අහඹු) යන ප්රශ්නය ගැන අපි උනන්දු වෙමු.
සාම්පල අතර වෙනස්කම් වල වැදගත්කම සඳහා වඩාත් පොදු නිර්ණායක වන්නේ වෙනස්කම් වල පරාමිතික මිනුම් වේ - ශිෂ්ය නිර්ණායකයහා ධීවරයාගේ නිර්ණායකය. සමහර අවස්ථාවලදී, පරාමිතික නොවන නිර්ණායක භාවිතා කරනු ලැබේ - රොසෙන්බෝම්ගේ Q පරීක්ෂණය, U-පරීක්ෂණය මන්නා විට්නි සහ වෙනත් අය. ෆිෂර් කෝණික පරිවර්තනය φ*, ප්‍රතිශත (ප්‍රතිශත) ලෙස ප්‍රකාශිත අගයන් එකිනෙකා සමඟ සංසන්දනය කිරීමට ඔබට ඉඩ සලසයි. සහ අවසාන වශයෙන්, කෙසේද විශේෂ අවස්ථාවක්, සාම්පල සංසන්දනය කිරීම සඳහා, නියැදි බෙදාහැරීමේ හැඩය සංලක්ෂිත නිර්ණායක භාවිතා කළ හැකිය - නිර්ණායකය χ 2 පියර්සන්හා නිර්ණායකය λ Kolmogorov - Smirnov.
මෙම මාතෘකාව වඩාත් හොඳින් අවබෝධ කර ගැනීම සඳහා, අපි පහත පරිදි ඉදිරියට යන්නෙමු. අපි ක්රම හතරක් භාවිතා කරමින් එකම ගැටළුව විසඳන්නෙමු විවිධ නිර්ණායක- Rosenbaum, Mann-Whitney, Student සහ Fisher.
කාර්යය
ප්රතික්රියාශීලී කාංසාවේ මට්ටම සඳහා ස්පීල්බර්ගර් පරීක්ෂණයට අනුව විභාග සැසිය තුළ සිසුන් 30 ක් (පිරිමි ළමයින් 14 ක් සහ ගැහැණු ළමයින් 16 ක්) පරීක්ෂා කරන ලදී. පහත ප්රතිඵල ලබා ගන්නා ලදී (වගුව 7.1):
වගුව 7.1
| විෂයයන් | ප්රතික්රියාශීලී කාංසාව මට්ටම | |||||||||||||||
| යෞවනයන් | ||||||||||||||||
| ගැහැණු ළමයින් |
ව්යායාම කරන්න
පිරිමි සහ ගැහැණු ළමුන් තුළ ප්රතික්රියාශීලී කාංසාව මට්ටමේ වෙනස්කම් සංඛ්යානමය වශයෙන් වැදගත් වේද යන්න තීරණය කිරීම.
අධ්‍යාපනික මනෝවිද්‍යා ක්ෂේත්‍රයේ විශේෂඥ මනෝ විද්‍යාඥයෙකුට මෙම කාර්යය සාමාන්ය දෙයක් බව පෙනේ: විභාග ආතතිය වඩාත් උග්‍ර ලෙස අත්විඳින්නේ කවුද - පිරිමි ළමයින් හෝ ගැහැණු ළමයින්? සාම්පල අතර ඇති වෙනස්කම් සංඛ්යානමය වශයෙන් වැදගත් නම්, මෙම අංශයේ සැලකිය යුතු ස්ත්රී පුරුෂ වෙනස්කම් තිබේ; වෙනස්කම් අහඹු නම් (සංඛ්යානමය වශයෙන් වැදගත් නොවේ), මෙම උපකල්පනය ඉවත දැමිය යුතුය.
7. 2. පරාමිතික නොවන පරීක්ෂණය ප්‍රශ්නයරොසෙන්බෝම්
ප්රශ්නය-Rozenbaum ගේ නිර්ණායකය පදනම් වී ඇත්තේ ස්වාධීන විචල්‍ය දෙකක අගයන් ශ්රේණිගත කර ඇති ශ්රේණිගත කිරීම් මත "අධික" සංසන්දනය කිරීම මත ය. ඒ අතරම, එක් එක් පේළිය තුළ ලක්ෂණ බෙදා හැරීමේ ස්වභාවය විශ්ලේෂණය නොකෙරේ - in මෙම නඩුවශ්‍රේණිගත කළ පේළි දෙකේ අතිච්ඡාදනය නොවන කොටස්වල පළල පමණක් වැදගත් වේ. ශ්රේණිගත කළ විචල්‍ය ශ්‍රේණි දෙකක් එකිනෙකා සමඟ සංසන්දනය කරන විට, විකල්ප 3 ක් හැකි ය:
1. ශ්රේණිගත ශ්‍රේණි xහා වයිඅතිච්ඡාදනය වන ප්‍රදේශයක් නොමැත, එනම් පළමු ශ්රේණිගත ශ්‍රේණියේ සියලුම අගයන් ( x) දෙවන ශ්රේණිගත ශ්‍රේණියේ සියලුම අගයන්ට වඩා විශාලයි( වයි):
මෙම අවස්ථාවෙහිදී, සාම්පල අතර ඇති වෙනස්කම්, ඕනෑම අයෙකු විසින් තීරණය කරනු ලැබේ සංඛ්යානමය නිර්ණායකය, නිසැකවම විශ්වසනීය වන අතර, Rosenbaum නිර්ණායකය භාවිතා කිරීම අවශ්ය නොවේ. කෙසේ වෙතත්, ප්රායෝගිකව මෙම විකල්පය අතිශයින් දුර්ලභ ය.
2. ශ්රේණිගත කරන ලද පේළි සම්පූර්ණයෙන්ම එකිනෙක අතිච්ඡාදනය වේ (රීතියක් ලෙස, පේළි වලින් එකක් අනෙක ඇතුළත), අතිච්ඡාදනය නොවන කලාප නොමැත. මෙම අවස්ථාවේදී, Rosenbaum නිර්ණායකය අදාළ නොවේ.
3. පේළිවල අතිච්ඡාදනය වන ප්‍රදේශයක් මෙන්ම අතිච්ඡාදනය නොවන ප්‍රදේශ දෙකක් ඇත ( N 1හා N 2) සම්බන්දව වෙනස්ශ්‍රේණිගත මාලාව (අපි සඳහන් කරමු x- පේළියක් විශාල දෙසට මාරු විය, වයි- අඩු අගයන් දිශාවට):
මෙම නඩුව Rosenbaum නිර්ණායකය භාවිතා කිරීම සඳහා සාමාන්ය වේ, එය භාවිතා කරන විට පහත සඳහන් කොන්දේසි නිරීක්ෂණය කළ යුතුය:
1. එක් එක් සාම්පලයේ පරිමාව අවම වශයෙන් 11 විය යුතුය.
2. නියැදි ප්රමාණයන් එකිනෙකට සැලකිය යුතු ලෙස වෙනස් නොවිය යුතුය.
නිර්ණායකය ප්රශ්නය Rosenbaum අතිච්ඡාදනය නොවන අගයන් ගණනට අනුරූප වේ: ප්රශ්නය = එන් 1 +එන් 2 . සාම්පල අතර ඇති වෙනස්කම් වල විශ්වසනීයත්වය පිළිබඳ නිගමනය නම් සිදු කරනු ලැබේ Q > Q kr . ඒ සමගම, අගයන් ප්රශ්නය cr විශේෂ වගු වල ඇත (උපග්රන්ථය, වගුව VIII බලන්න).
අපි අපේ කාර්යයට ආපසු යමු. අපි අංකනය හඳුන්වා දෙමු: x- ගැහැණු ළමයින් තෝරාගැනීම, වයි- පිරිමි ළමයින් තේරීමක්. එක් එක් නියැදිය සඳහා, අපි ශ්රේණිගත මාලාවක් ගොඩනඟමු:
x: 28 30 34 34 35 36 37 39 40 41 42 42 43 44 45 46
වයි: 26 28 32 32 33 34 35 38 39 40 41 42 43 44
අපි ශ්රේණිගත ශ්‍රේණියේ අතිච්ඡාදනය නොවන ප්‍රදේශවල අගයන් ගණන ගණන් කරමු. පේලියට x 45 සහ 46 අගයන් අතිච්ඡාදනය නොවන, i.e. එන් 1 = 2; පේළියක වයි 1 අතිච්ඡාදනය නොවන අගයක් පමණක් 26 i.e. එන් 2 = 1. එබැවින්, ප්රශ්නය = එන් 1 +එන් 2 = 1 + 2 = 3.
වගුවේ. VIII උපග්රන්ථය අපි එය සොයා ගනිමු ප්රශ්නය kr . = 7 (0.95 ක වැදගත්කමක් සඳහා) සහ ප්රශ්නය cr = 9 (0.99 වැදගත් මට්ටමක් සඳහා).
නිගමනය
මන්දයත් ප්රශ්නය<ප්රශ්නය cr, පසුව Rosenbaum නිර්ණායකයට අනුව, සාම්පල අතර වෙනස්කම් සංඛ්යානමය වශයෙන් වැදගත් නොවේ.
සටහන
Rosenbaum පරීක්ෂණය විචල්‍ය බෙදා හැරීමේ ස්වභාවය නොසලකා භාවිතා කළ හැකිය, එනම් මෙම අවස්ථාවෙහිදී, සාම්පල දෙකෙහිම බෙදා හැරීමේ වර්ගය තීරණය කිරීම සඳහා Pearson's χ 2 සහ Kolmogorov's λ පරීක්ෂණ භාවිතා කිරීමට අවශ්ය නොවේ.
7. 3. යූ- Mann-Whitney පරීක්ෂණය
Rosenbaum නිර්ණායකය මෙන් නොව, යූ Mann-Whitney පරීක්ෂණය පදනම් වී ඇත්තේ ශ්රේණිගත පේළි දෙකක් අතර අතිච්ඡාදනය වන කලාපය තීරණය කිරීම මත ය, එනම් අතිච්ඡාදනය වන කලාපය කුඩා වන තරමට සාම්පල අතර වෙනස්කම් වඩාත් වැදගත් වේ. මේ සඳහා, අන්තරාල පරිමාණයන් ශ්රේණිගත පරිමාණයන් බවට පරිවර්තනය කිරීම සඳහා විශේෂ ක්රියා පටිපාටියක් භාවිතා කරයි.
සඳහා ගණනය කිරීමේ ඇල්ගොරිතම අපි සලකා බලමු යූ- පෙර කාර්යයේ උදාහරණයේ නිර්ණායකය.
වගුව 7.2
| x, y | ආර් xy | ආර් xy * | ආර් x | ආර්වයි |
| 26 28 32 32 33 34 35 38 39 40 41 42 43 44 | 2,5 2,5 5,5 5,5 11,5 11,5 16,5 16,5 18,5 18,5 20,5 20,5 25,5 25,5 27,5 27,5 | 2,5 11,5 16,5 18,5 20,5 25,5 27,5 | 1 2,5 5,5 5,5 7 9 11,5 15 16,5 18,5 20,5 23 25,5 27,5 | |
| Σ | 276,5 | 188,5 |
1. අපි ස්වාධීන සාම්පල දෙකකින් තනි ශ්රේණිගත මාලාවක් ගොඩනඟමු. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, සාම්පල දෙකම සඳහා අගයන් මිශ්ර වේ, තීරු 1 ( x, වයි) වැඩිදුර වැඩ (පරිගණක අනුවාදය ඇතුළුව) සරල කිරීම සඳහා, විවිධ සාම්පල සඳහා අගයන් විවිධ අකුරු (හෝ විවිධ වර්ණ) වලින් සලකුණු කළ යුතුය, අනාගතයේදී අපි ඒවා විවිධ තීරු වල පළ කරමු.
2. අගයන්හි විරාම පරිමාණය සාමාන්ය එකක් බවට පරිවර්තනය කරන්න (මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි සියලු අගයන් 1 සිට 30 දක්වා ශ්රේණිගත අංක සමඟ නැවත නම් කරන්නෙමු, තීරුව 2 ( ආර් xy)).
3. අපි අදාළ ශ්‍රේණි සඳහා නිවැරදි කිරීම් හඳුන්වා දෙන්නෙමු (විචල්‍යයේ එකම අගයන් එකම ශ්‍රේණියකින් දැක්වේ, ශ්රේණිවල එකතුව වෙනස් නොවේ නම්, 3 තීරුව ( ආර් xy *). මෙම අදියරේදී, 2 වන සහ 3 වන තීරු වල ශ්රේණිවල එකතුව ගණනය කිරීම රෙකමදාරු කරනු ලැබේ (සියලු නිවැරදි කිරීම් නිවැරදි නම්, මෙම එකතු කිරීම් සමාන විය යුතුය).
4. අපි ශ්රේණිගත සංඛ්යා ඒවායේ විශේෂිත නියැදියකට (තීරු 4 සහ 5 (4 සහ 5) අනුව බෙදා හරිමු. ආර් x සහ ආර් y)).
5. අපි සූත්රය අනුව ගණනය කිරීම් සිදු කරන්නෙමු:
(7.1)
කොහෙද ටී x යනු ශ්රේණිගත මුදලින් විශාලතම වේ ; n x සහ n y, පිළිවෙලින්, නියැදි ප්රමාණ. මෙම අවස්ථාවේ දී, නම් බව මතක තබා ගන්න ටී x< ටී y, පසුව අංකනය xහා වයිආපසු හැරවිය යුතුය.
6. ලබාගත් අගය වගු එක සමඟ සසඳන්න (ඇමුණුම්, IX වගුව බලන්න) සාම්පල දෙක අතර ඇති වෙනස්කම්වල විශ්වසනීයත්වය පිළිබඳ නිගමනය කරනු ලබන්නේ නම් යූ exp.< යූ cr. .
අපගේ උදාහරණයේ 
යූ exp. = 83.5 > U cr. = 71.
නිගමනය
Mann-Whitney පරීක්ෂණයට අනුව සාම්පල දෙක අතර වෙනස්කම් සංඛ්යානමය වශයෙන් වැදගත් නොවේ.
සටහන්
1. Mann-Whitney පරීක්ෂණයට ප්රායෝගිකව සීමාවන් නොමැත; සංසන්දනාත්මක සාම්පලවල අවම ප්‍රමාණය පුද්ගලයන් 2 සහ 5 වේ (උපග්‍රන්ථයේ IX වගුව බලන්න).
2. Rosenbaum පරීක්ෂණයට සමානව, Mann-Whitney පරීක්ෂණය බෙදා හැරීමේ ස්වභාවය කුමක් වුවත්, ඕනෑම සාම්පලයක් සඳහා භාවිතා කළ හැක.
ශිෂ්ය නිර්ණායකය
Rosenbaum සහ Mann-Whitney නිර්ණායක මෙන් නොව, නිර්ණායකය ටීශිෂ්‍යයා පරාමිතික වේ, එනම් ප්‍රධාන නිර්වචනය මත පදනම් වේ සංඛ්යාන දර්ශක- එක් එක් නියැදියේ මධ්යන්ය අගයන් (සහ ) සහ ඒවායේ විචල්‍යයන් (s 2 x සහ s 2 y), සම්මත සූත්ර මගින් ගණනය කරනු ලැබේ (5 වන කොටස බලන්න).
ශිෂ්යයාගේ නිර්ණායක භාවිතය පහත කොන්දේසි ඇඟවුම් කරයි:
1. සාම්පල දෙකම සඳහා අගයන් බෙදා හැරීම සාමාන්ය බෙදාහැරීමේ නීතිය අනුගමනය කළ යුතුය (6 වන වගන්තිය බලන්න).
2. සාම්පලවල සම්පූර්ණ පරිමාව අවම වශයෙන් 30 (β 1 = 0.95 සඳහා) සහ අවම වශයෙන් 100 (β 2 = 0.99 සඳහා) විය යුතුය.
3. සාම්පල දෙකක පරිමාවන් එකිනෙකින් සැලකිය යුතු ලෙස වෙනස් නොවිය යුතුය (1.5 ÷ 2 වතාවක් වඩා වැඩි නොවේ).
සිසුන්ගේ නිර්ණායකය පිළිබඳ අදහස තරමක් සරල ය. එක් එක් සාම්පලවල විචල්‍යවල අගයන් සාමාන්ය නීතියට අනුව බෙදා හරින බව අපි උපකල්පනය කරමු, එනම්, අපි සාමාන්ය අගයන් සහ විචල්‍යතාවයෙන් එකිනෙකට වෙනස් සාමාන්ය බෙදාහැරීම් දෙකක් සමඟ කටයුතු කරමු (පිළිවෙලින් සහ , සහ , රූපය 7.1 බලන්න).
s x s වයි
සහල්. 7.1 ස්වාධීන සාම්පල දෙකක් අතර වෙනස්කම් ඇස්තමේන්තු කිරීම: සහ - සාම්පලවල මධ්යන්ය අගයන් xහා වයි; s x සහ s y - සම්මත අපගමනය
සාම්පල දෙකක් අතර ඇති වෙනස්කම් වැඩි වන අතර, මාධ්‍යයන් අතර වෙනස වැඩි වන අතර ඒවායේ විචල්‍යයන් කුඩා වන බව තේරුම් ගැනීම පහසුය (හෝ සම්මත අපගමනය).
ස්වාධීන සාම්පල සම්බන්ධයෙන්, ශිෂ්යයාගේ සංගුණකය සූත්රය මගින් තීරණය කරනු ලැබේ:
(7.2)
කොහෙද n x සහ n y - පිළිවෙලින්, සාම්පල ගණන xහා වයි.
සම්මත (විවේචනාත්මක) අගයන් වගුවේ ශිෂ්ය සංගුණකය ගණනය කිරීමෙන් පසුව ටී(උපග්රන්ථය, වගුව X බලන්න) නිදහසේ අංශක ගණනට අනුරූප අගය සොයා ගන්න n = n x + n y - 2, සහ එය සූත්රය මගින් ගණනය කරන ලද එක සමඟ සසඳන්න. අ ටී exp. £ ටී cr. , එවිට සාම්පල අතර වෙනස්කම් වල විශ්වසනීයත්වය පිළිබඳ උපකල්පනය ප්රතික්ෂේප කරනු ලැබේ, නම් ටී exp. > ටී cr. , එවිට එය පිළිගනු ලැබේ. වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, සූත්රය මගින් ගණනය කරන ලද ශිෂ්ය සංගුණකය අනුරූප වැදගත්තා මට්ටම සඳහා වගු අගයට වඩා වැඩි නම් සාම්පල එකිනෙකට සැලකිය යුතු ලෙස වෙනස් වේ.
අප කලින් සලකා බැලූ ගැටලුවේදී, සාමාන්ය අගයන් සහ විචල්‍යයන් ගණනය කිරීම පහත අගයන් ලබා දෙයි: x cf. = 38.5; σ x 2 = 28.40; හිදී cf. = 36.2; σ y 2 = 31.72.
ගැහැණු ළමයින්ගේ කණ්ඩායමේ කාංසාව පිළිබඳ සාමාන්ය අගය පිරිමි ළමයින්ට වඩා වැඩි බව දැකිය හැකිය. කෙසේ වෙතත්, මෙම වෙනස්කම් ඉතා කුඩා බැවින් ඒවා සංඛ්යානමය වශයෙන් වැදගත් විය නොහැක. පිරිමි ළමයින් තුළ වටිනාකම් විසිරීම, ඊට පටහැනිව, ගැහැණු ළමයින්ට වඩා තරමක් වැඩි ය, නමුත් වෙනස්කම් අතර වෙනස්කම් ද කුඩා වේ.
නිගමනය
ටී exp. = 1.14< ටී cr. = 2.05 (β 1 = 0.95). සංසන්දනාත්මක සාම්පල දෙක අතර ඇති වෙනස්කම් සංඛ්යානමය වශයෙන් වැදගත් නොවේ. මෙම නිගමනය Rosenbaum සහ Mann-Whitney නිර්ණායක භාවිතයෙන් ලබාගත් නිගමනයට බෙහෙවින් අනුකූල වේ.
Student's t-test භාවිතා කර සාම්පල දෙකක් අතර වෙනස තීරණය කිරීමට තවත් ක්රමයක් වන්නේ සම්මත අපගමනයන්හි විශ්වාස පරතරය ගණනය කිරීමයි. විශ්වාස අන්තරය යනු නියැදි ප්‍රමාණයේ වර්ගමූලයෙන් බෙදූ සහ ශිෂ්ය සංගුණකයේ සම්මත අගයෙන් ගුණ කරන මධ්යන්ය වර්ග (සම්මත) අපගමනයයි. n- නිදහසේ අංශක 1 (පිළිවෙලින් සහ ).
සටහන
අගය = m xමූල මධ්යන්ය වර්ග දෝෂය ලෙස හැඳින්වේ (5 කොටස බලන්න). එබැවින්, විශ්වාස අන්තරය යනු දෙන ලද නියැදි ප්‍රමාණය සඳහා ශිෂ්ය සංගුණකය මගින් ගුණ කරන ලද සම්මත දෝෂයයි, එහිදී නිදහසේ අංශක ගණන ν = n- 1, සහ දී ඇති වැදගත්කමේ මට්ටම.
එකිනෙකින් ස්වාධීන වන සාම්පල දෙකක් සැලකිය යුතු ලෙස වෙනස් වේ නම් විශ්වාස කාලාන්තරමක්නිසාද යත් මෙම සාම්පල එකිනෙක අතිච්ඡාදනය නොවේ. අපගේ නඩුවේදී, පළමු නියැදිය සඳහා 38.5 ± 2.84 සහ දෙවන නියැදිය සඳහා 36.2 ± 3.38 ඇත.
එබැවින් අහඹු වෙනස්කම් x i 35.66 ¸ 41.34 පරාසයේ පිහිටයි, සහ වෙනස්කම් y i- 32.82 ¸ 39.58 පරාසය තුළ. මේ මත පදනම්ව, සාම්පල අතර වෙනස්කම් ඇති බව ප්රකාශ කළ හැකිය xහා වයිසංඛ්‍යානමය වශයෙන් විශ්වාස කළ නොහැක (විචල්‍ය පරාසයන් එකිනෙක අතිච්ඡාදනය වේ). මෙම අවස්ථාවෙහිදී, මෙම නඩුවේ අතිච්ඡාදනය වන කලාපයේ පළල වැදගත් නොවන බව මතක තබා ගත යුතුය (විශ්වාස අන්තරයන් අතිච්ඡාදනය කිරීමේ කාරණය පමණක් වැදගත් වේ).
අන්තර් රඳා පවතින සාම්පල සඳහා ශිෂ්ය ක්රමය (උදාහරණයක් ලෙස, එකම විෂය නියැදියක නැවත නැවත පරීක්ෂා කිරීමෙන් ලබාගත් ප්රතිඵල සංසන්දනය කිරීම) ඉතා කලාතුරකින් භාවිතා වේ, මන්ද මෙම අරමුණු සඳහා වෙනත්, වඩාත් තොරතුරු සහිත සංඛ්යාන ශිල්පීය ක්රම ඇති බැවින් (10 වන කොටස බලන්න). කෙසේ වෙතත්, මෙම කාර්යය සඳහා, පළමු ආසන්න වශයෙන්, ඔබට පහත පෝරමයේ ශිෂ්ය සූත්රය භාවිතා කළ හැකිය:
(7.3)
ලබාගත් ප්රතිඵලය සමඟ සංසන්දනය කර ඇත වගු අගයසදහා n- නිදහසේ අංශක 1, කොහෙද n- අගයන් යුගල ගණන xහා වයි. සැසඳීමේ ප්රතිඵල ස්වාධීන සාම්පල දෙකක් අතර වෙනස්කම් ගණනය කිරීමේදී හරියටම සමාන ආකාරයකින් අර්ථකථනය කරනු ලැබේ.
ධීවරයාගේ නිර්ණායකය
ධීවර නිර්ණායක ( එෆ්) ශිෂ්යයාගේ ටී-පරීක්ෂණය හා සමාන මූලධර්මය මත පදනම් වේ, එනම්, එය සංසන්දනාත්මක සාම්පලවල මධ්යන්ය අගයන් සහ විචල්‍යයන් ගණනය කිරීම ඇතුළත් වේ. එය බොහෝ විට භාවිතා කරනුයේ ප්‍රමාණයෙන් අසමාන (ප්‍රමාණයෙන් වෙනස්) සාම්පල එකිනෙකා සමඟ සංසන්දනය කිරීමේදී ය. ෆිෂර්ගේ පරීක්ෂණය සිසුන්ගේ පරීක්ෂණයට වඩා තරමක් දැඩි වන අතර, එබැවින් වෙනස්කම්වල විශ්වසනීයත්වය පිළිබඳ සැක සහිත අවස්ථාවන්හිදී වඩාත් යෝග්ය වේ (උදාහරණයක් ලෙස, ශිෂ්යයාගේ පරීක්ෂණයට අනුව, වෙනස්කම් බිංදුවෙන් සැලකිය යුතු අතර පළමු වැදගත්කමේ දී සැලකිය යුතු නොවේ. මට්ටමින්).
ෆිෂර්ගේ සූත්රය මේ වගේ ය:
(7.4)
කොහෙද සහ 
(7.5, 7.6)
අපේ ගැටලුවේ d2= 5.29; σz 2 = 29.94.
සූත්‍රයේ අගයන් ආදේශ කරන්න: 
වගුවේ. XI යෙදුම්, වැදගත්කම මට්ටම සඳහා β 1 = 0.95 සහ ν = n x + n y - 2 = 28 තීරනාත්මක අගය 4.20 වේ.
නිගමනය
එෆ් = 1,32 < F cr.= 4.20. සාම්පල අතර ඇති වෙනස්කම් සංඛ්යානමය වශයෙන් වැදගත් නොවේ.
සටහන
ෆිෂර් පරීක්ෂණය භාවිතා කරන විට, ශිෂ්යයාගේ පරීක්ෂණයට සමාන කොන්දේසි සපුරාලිය යුතුය (උපවගන්තිය 7.4 බලන්න). එසේ වුවද, සාම්පල ගණනෙහි වෙනස දෙගුණයකට වඩා ඉඩ දෙනු ලැබේ.
මේ අනුව, එකම ගැටළුව හතරක් සමඟ විසඳන විට විවිධ ක්රමපරාමිතික නොවන සහ පරාමිතික නිර්ණායක දෙකක් භාවිතා කරමින්, ප්රතික්රියාශීලී කාංසාවේ මට්ටම අනුව ගැහැණු ළමයින් කණ්ඩායම සහ පිරිමි ළමයින් කණ්ඩායම අතර ඇති වෙනස්කම් විශ්වාස කළ නොහැකි බව අපි නිසැක නිගමනයකට පැමිණියෙමු (එනම්, ඒවා අහඹු වෙනස්කම් පරාසයක පවතී. ) කෙසේ වෙතත්, නිසැක නිගමනයකට එළඹිය නොහැකි අවස්ථා තිබිය හැකිය: සමහර නිර්ණායක විශ්වාසදායක, අනෙක් ඒවා - විශ්වාස කළ නොහැකි වෙනස්කම්. මෙම අවස්ථා වලදී, පරාමිතික නිර්ණායක සඳහා ප්‍රමුඛතාවය දෙනු ලැබේ (නියැදි ප්‍රමාණයේ ප්‍රමාණවත්තාවයට සහ අධ්‍යයනයට ලක්ව ඇති අගයන්හි සාමාන්ය ව්‍යාප්තියට යටත්ව).
7. 6. නිර්ණායක j* - ෆිෂර්ගේ කෝණික පරිවර්තනය
j*Fisher නිර්ණායකය සැලසුම් කර ඇත්තේ පර්යේෂකයාට උනන්දුවක් දක්වන බලපෑම සිදුවීමේ වාර ගණන අනුව සාම්පල දෙකක් සංසන්දනය කිරීමට ය. එය පොලී බලපෑම ලියාපදිංචි කර ඇති සාම්පල දෙකක ප්‍රතිශත අතර වෙනස්කම් වල වැදගත්කම ඇගයීමට ලක් කරයි. එකම නියැදිය තුළ ඇති ප්‍රතිශත සංසන්දනය කිරීමට ද අවසර ඇත.
සාරය කෝණික පරිවර්තනයෆිෂර් යනු රේඩියන වලින් මනිනු ලබන කේන්ද්‍රීය කෝණ බවට ප්‍රතිශත පරිවර්තනය කිරීමයි. විශාල ප්රතිශතයක් විශාල කෝණයකට අනුරූප වේ j, සහ කුඩා කොටස - කුඩා කෝණයක්, නමුත් මෙහි සම්බන්ධතාවය රේඛීය නොවේ:
කොහෙද ආර්- ප්‍රතිශතය, ඒකකයක භාග වලින් ප්රකාශ වේ.
j 1 සහ j 2 කෝණ අතර විෂමතාවය වැඩි වීම සහ සාම්පල ගණන වැඩි වීමත් සමඟ නිර්ණායකයේ අගය වැඩි වේ.
ෆිෂර් නිර්ණායකය පහත සූත්රය මගින් ගණනය කෙරේ:
 |
j 1 යනු විශාල ප්‍රතිශතයට අනුරූප වන කෝණයයි; j 2 - කුඩා ප්රතිශතයකට අනුරූප වන කෝණය; n 1 සහ n 2 - පිළිවෙලින්, පළමු සහ දෙවන සාම්පලවල පරිමාව.
සූත්රය මගින් ගණනය කරන ලද අගය සම්මත අගය සමඟ සංසන්දනය කෙරේ (b 1 = 0.95 සඳහා j* st = 1.64 සහ b 2 සඳහා j* st = 2.31 = 0.99. සාම්පල දෙක අතර වෙනස්කම් සංඛ්යානමය වශයෙන් වැදගත් වන්නේ නම් j*> j* දී ඇති වැදගත්කමක් සඳහා st.
උදාහරණයක්
ප්රමාණවත් කාර්ය සාධනයේ සාර්ථකත්වය අනුව සිසුන් දෙපිරිස එකිනෙකාගෙන් වෙනස් වේද යන්න පිළිබඳව අපි උනන්දු වෙමු අභියෝගාත්මක කාර්යයක්. පුද්ගලයින් 20 දෙනෙකුගෙන් යුත් පළමු කණ්ඩායමේ සිසුන් 12 දෙනෙකු එයට මුහුණ දුන් අතර, දෙවනුව - 25 දෙනෙකුගෙන් 10 දෙනෙකු.
විසඳුමක්
1. අංකනය ඇතුළත් කරන්න: n 1 = 20, n 2 = 25.
2. ප්‍රතිශත ගණනය කරන්න ආර් 1 සහ ආර් 2: ආර් 1 = 12 / 20 = 0,6 (60%), ආර් 2 = 10 / 25 = 0,4 (40%).
3. වගුවේ. XII යෙදුම්, ප්‍රතිශතවලට අනුරූප වන φ හි අගයන් අපට හමු වේ: j 1 = 1.772, j 2 = 1.369.
 |
මෙතැන් සිට:
නිගමනය
කණ්ඩායම් අතර වෙනස්කම් සංඛ්යානමය වශයෙන් වැදගත් නොවේ මන්ද j*< j* ст для 1-го и тем более для 2-го уровня значимости.
7.7. Pearson's χ2 පරීක්ෂණය සහ Kolmogorov's λ පරීක්ෂණය භාවිතා කිරීම
7 වන පරිච්ඡේදය
අහඹු විචල්‍ය බෙදා හැරීමේ නිශ්චිත නීති
විවික්ත අහඹු විචල්‍ය බෙදා හැරීමේ නීති වර්ග
විවික්ත වීමට ඉඩ දෙන්න අහඹු අගයඅගයන් ගත හැක x 1 , x 2 , …, x n,…. මෙම අගයන්හි සම්භාවිතාව ගණනය කළ හැකිය විවිධ සූත්ර, උදාහරණයක් ලෙස, සම්භාවිතා න්‍යායේ මූලික සිද්ධාන්ත, බර්නූලි සූත්රය හෝ වෙනත් සූත්ර භාවිතා කිරීම. මෙම සමහර සූත්ර සඳහා බෙදා හැරීමේ නීතියට එහිම නමක් ඇත.
විවික්ත සසම්භාවී විචල්‍යයක් බෙදා හැරීමේ වඩාත් පොදු නීති වන්නේ ද්විපද, ජ්යාමිතික, අධි ජ්යාමිතික, Poisson's බෙදා හැරීමේ නියමයයි.
ද්විපද බෙදාහැරීමේ නීතිය
එය නිෂ්පාදනය කිරීමට ඉඩ දෙන්න nස්වාධීන අත්හදා බැලීම්, එක් එක් සිදුවීමක් සිදු විය හැකි හෝ සිදු නොවිය හැකිය නමුත්. එක් එක් තනි අත්හදා බැලීමේ දී මෙම සිදුවීම සිදුවීමේ සම්භාවිතාව නියත වන අතර, අත්හදා බැලීමේ අංකය මත රඳා නොපවතින අතර සමාන වේ ආර්=ආර්(නමුත්) එබැවින් සිදුවීම සිදු නොවීමේ සම්භාවිතාව නමුත්සෑම පරීක්ෂණයකදීම නියත හා සමාන වේ q=1–ආර්. සසම්භාවී විචල්‍යයක් සලකා බලන්න xසිදුවීමේ සිදුවීම් ගණනට සමාන වේ නමුත්තුල nපරීක්ෂණ. මෙම ප්‍රමාණයේ අගයන් සමාන බව පැහැදිලිය
x 1 =0 - සිදුවීම නමුත්තුල nපරීක්ෂණ නොපෙන්වයි;
x 2 =1 - සිදුවීම නමුත්තුල nනඩු විභාග එක් වරක් පෙනී සිටියේය;
x 3 =2 - සිදුවීම නමුත්තුල nනඩු විභාග දෙවරක් පෙනී සිටියේය;
…………………………………………………………..
x n +1 = n- සිදුවීම නමුත්තුල nපරීක්ෂණ සියල්ල පෙනී සිටියේය nවරක්.
මෙම අගයන්හි සම්භාවිතාව බර්නූලි සූත්රය (4.1) භාවිතයෙන් ගණනය කළ හැක:
කොහෙද වෙත=0, 1, 2, …,n .
ද්විපද බෙදාහැරීමේ නීතිය xහි සාර්ථකත්වයන් ගණනට සමාන වේ nබර්නූලි අත්හදා බැලීම්, සාර්ථක වීමේ සම්භාවිතාවක් ඇත ආර්.
එබැවින්, විවික්ත අහඹු විචල්‍යයකට ද්විපද ව්‍යාප්තියක් ඇත (හෝ ද්විපද නීතියට අනුව බෙදා හරිනු ලැබේ) එහි හැකි අගයන් 0, 1, 2, ..., n, සහ අනුරූප සම්භාවිතාව සූත්රය (7.1) මගින් ගණනය කරනු ලැබේ.
ද්විපද ව්යාප්තිය දෙකක් මත රඳා පවතී පරාමිතීන් ආර්හා n.
ද්විපද නියමයට අනුව බෙදා හරින ලද අහඹු විචල්‍යයක බෙදාහැරීමේ ශ්‍රේණියට පෝරමය ඇත:
| x | … | කේ | … | n | ||
| ආර් |  | … | … |  |
උදාහරණයක් 7.1 . ඉලක්කයට ස්වාධීන වෙඩි තුනක් එල්ල වේ. එක් එක් වෙඩි තැබීමේ සම්භාවිතාව 0.4 කි. අහඹු අගය x- ඉලක්කයට පහර ගණන. එහි බෙදාහැරීමේ මාලාව ගොඩනඟන්න.
විසඳුමක්. අහඹු විචල්‍යයක විය හැකි අගයන් xවේ x 1 =0; x 2 =1; x 3 =2; x 4=3. බර්නූලි සූත්රය භාවිතයෙන් අනුරූප සම්භාවිතා සොයන්න. මෙහි මෙම සූත්‍රයේ යෙදීම සම්පූර්ණයෙන්ම යුක්ති සහගත බව පෙන්වීම පහසුය. එක් පහරකින් ඉලක්කයට පහර නොදීමේ සම්භාවිතාව 1-0.4=0.6 ට සමාන වන බව සලකන්න. ලබාගන්න
බෙදාහැරීමේ මාලාවට පහත පෝරමය ඇත:
| x | ||||
| ආර් | 0,216 | 0,432 | 0,288 | 0,064 |
සියලුම සම්භාවිතාවන්හි එකතුව 1 ට සමාන බව පරීක්ෂා කිරීම පහසුය. සසම්භාවී විචල්යය ම ය xද්විපද නීතිය අනුව බෙදා හරිනු ලැබේ. ■
ද්විපද නියමයට අනුව බෙදා හරින ලද අහඹු විචල්‍යයක ගණිතමය අපේක්ෂාව සහ විචලනය සොයා ගනිමු.
උදාහරණය 6.5 විසඳන විට, සිදුවීමක සිදුවීම් ගණන පිළිබඳ ගණිතමය අපේක්ෂාව පෙන්නුම් කරන ලදී. නමුත්තුල nස්වාධීන පරීක්ෂණ, සිදුවීමේ සම්භාවිතාව නම් නමුත්සෑම පරීක්ෂණයකදීම නියත හා සමාන වේ ආර්, සමාන n· ආර්
මෙම උදාහරණයේ දී, ද්විපද නීතියට අනුව බෙදා හරින ලද අහඹු විචල්‍යයක් භාවිතා කරන ලදී. එබැවින්, උදාහරණ 6.5 හි විසඳුම, ඇත්ත වශයෙන්ම, පහත දැක්වෙන ප්රමේයයේ සාක්ෂියකි.
ප්රමේයය 7.1.ද්විපද නීතියට අනුව බෙදා හරින ලද විවික්ත අහඹු විචල්‍යයක ගණිතමය අපේක්ෂාව අත්හදා බැලීම් සංඛ්‍යාවේ සහ "සාර්ථකත්වයේ" සම්භාවිතාවේ ගුණිතයට සමාන වේ, i.e. එම්(x)=n· ආර්.
ප්රමේයය 7.2.ද්විපද නීතියට අනුව බෙදා හරින ලද විවික්ත අහඹු විචල්‍යයක විචලනය "සාර්ථකත්වයේ" සම්භාවිතාව සහ "අසාර්ථකත්වයේ" සම්භාවිතාව මගින් අත්හදා බැලීම් ගණනේ ගුණිතයට සමාන වේ, i.e. ඩී(x)=npq.
ද්විපද නියමයට අනුව බෙදා හරින ලද අහඹු විචල්‍යයක වක්‍රතාව සහ කර්ටෝසිස් සූත්ර මගින් තීරණය වේ.
මෙම සූත්ර ආරම්භක සහ කේන්ද්‍රීය අවස්ථා යන සංකල්පය භාවිතයෙන් ලබා ගත හැක.
ද්විපද බෙදාහැරීමේ නීතිය බොහෝ සැබෑ තත්වයන්ට යටින් පවතී. විශාල අගයන් සඳහා nද්විපද ව්යාප්තිය අනෙකුත් බෙදාහැරීම් මගින්, විශේෂයෙන්ම Poisson ව්යාප්තිය මගින් දළ වශයෙන් ගණනය කළ හැක.
විෂ බෙදා හැරීම
ඉන්න දෙන්න nබර්නූලි අත්හදා බැලීම්, අත්හදා බැලීම් ගණන සමඟ nප්රමාණවත් තරම් විශාල. මීට පෙර, මෙම අවස්ථාවෙහිදී (අතිරේකව, සම්භාවිතාව නම් ආර්වර්ධනයන් නමුත්ඉතා කුඩා) සිදුවීමක සම්භාවිතාව සොයා ගැනීමට නමුත්පෙනී සිටීමට ටීපරීක්ෂණ වලදී, ඔබට Poisson සූත්රය (4.9) භාවිතා කළ හැකිය. අහඹු විචල්යය නම් xසිදුවීමේ සිදුවීම් ගණන යන්නෙන් අදහස් කෙරේ නමුත්තුල nබර්නූලි අත්හදා බැලීම්, එවිට සම්භාවිතාව xඅර්ථය ගනීවි කේසූත්රය මගින් ගණනය කළ හැක
, (7.2)
කොහෙද λ = np.
විෂ බෙදා හැරීමේ නීතියවිවික්ත අහඹු විචල්‍යයක ව්යාප්තිය ලෙස හැඳින්වේ x, හැකි අගයන් සෘණ නොවන පූර්ණ සංඛ්යා සහ සම්භාවිතාවන් වේ පී ටීමෙම අගයන් සූත්රය (7.2) මගින් සොයා ගැනේ.
වටිනාකම λ = npකියලා පරාමිතියවිෂ බෙදා හැරීම.
Poisson නියමය අනුව බෙදා හරින ලද අහඹු විචල්‍යයකට අසීමිත අගයන් ලබා ගත හැක. මෙම බෙදා හැරීම සඳහා සම්භාවිතාව ආර්එක් එක් පරීක්ෂණයකදී සිදුවීමක් සිදුවීම කුඩා වේ, එවිට මෙම ව්යාප්තිය සමහර විට දුර්ලභ සංසිද්ධි නීතිය ලෙස හැඳින්වේ.
Poisson නියමයට අනුව බෙදා හරින ලද අහඹු විචල්‍යයක බෙදාහැරීමේ ශ්‍රේණියේ ආකෘතිය ඇත
| x | … | ටී | … | ||||
| ආර් | … | … |
දෙවන පේළියේ සම්භාවිතා එකතුව 1 ට සමාන බව තහවුරු කිරීම පහසුය. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, ඕනෑම දෙයක් සඳහා අභිසාරී වන Maclaurin ශ්‍රේණියක් තුළ ශ්‍රිතය පුළුල් කළ හැකි බව අප මතක තබා ගත යුතුය. x. මෙම නඩුවේදී අපට තිබේ
. (7.3)
සඳහන් කළ පරිදි, ඇතැම් සීමාකාරී අවස්ථා වලදී Poisson's නීතිය ද්විපද නීතිය ප්රතිස්ථාපනය කරයි. උදාහරණයක් ලෙස සසම්භාවී විචල්‍යයකි x, එහි අගයන් නැවත නැවත භාවිතා කිරීමත් සමඟ යම් කාල පරිච්ඡේදයක් සඳහා අසාර්ථකවීම් ගණනට සමාන වේ තාක්ෂණික උපාංගය. මෙම උපාංගය උපකල්පනය කරයි ඉහළ විශ්වසනීයත්වය, i.e. එක් යෙදුමක අසාර්ථක වීමේ සම්භාවිතාව ඉතා කුඩා වේ.
එවැනි සීමාකාරී අවස්ථා වලට අමතරව, ප්රායෝගිකව ද්විපද ව්‍යාප්තියට සම්බන්ධ නොවන, Poisson නීතියට අනුව බෙදා හරින අහඹු විචල්‍යයන් ඇත. උදාහරණයක් ලෙස, Poisson බෙදාහැරීම බොහෝ විට භාවිතා කරනුයේ යම් කාල පරිච්ඡේදයක් තුළ සිදුවන සිදුවීම් ගණන (පැය තුළ දුරකථන හුවමාරුව වෙත ලැබෙන ඇමතුම් ගණන, දිවා කාලයේ කාර් සේදීමට පැමිණි මෝටර් රථ ගණන, සතියකට යන්ත්‍ර නැවතුම් ගණන, ආදිය.). මෙම සියලු සිදුවීම් සිද්ධාන්තයේ මූලික සංකල්පවලින් එකක් වන සිදුවීම්වල ඊනියා ප්රවාහය සෑදිය යුතුය පෝලිමේ. පරාමිතිය λ සිදුවීම් ප්රවාහයේ සාමාන්ය තීව්රතාවය සංලක්ෂිත වේ.
සම්භාවිතාව පිළිබඳ න්‍යාය අදෘශ්‍යමාන ලෙස අපගේ ජීවිත තුළ පවතී. අපි ඒ ගැන අවධානය යොමු නොකරමු, නමුත් අපගේ ජීවිතයේ සෑම සිදුවීමක්ම එක් හෝ තවත් සම්භාවිතාවක් ඇත. සිදුවිය හැකි අවස්ථා විශාල සංඛ්යාවක් සැලකිල්ලට ගෙන, ඒවායින් වඩාත්ම ඉඩ ඇති සහ අඩුම ඉඩ තීරණය කිරීම අපට අවශ්ය වේ. එවැනි සම්භාවිතා දත්ත චිත්රක ලෙස විශ්ලේෂණය කිරීම වඩාත් පහසු වේ. බෙදා හැරීම මේ සඳහා අපට උපකාර කළ හැක. ද්විපද යනු පහසුම සහ නිවැරදිම එකකි.
ගණිතය සහ සම්භාවිතා න්‍යාය වෙත කෙලින්ම යාමට පෙර, මෙම වර්ගයේ ව්යාප්තිය මුලින්ම ඉදිරිපත් කළේ කවුරුන්ද සහ මෙම සංකල්පය සඳහා ගණිතමය උපකරණ සංවර්ධනය කිරීමේ ඉතිහාසය කුමක්දැයි සොයා බලමු.
කතාව
සම්භාවිතාව පිළිබඳ සංකල්පය පුරාණ කාලයේ සිටම දන්නා කරුණකි. කෙසේ වෙතත්, පැරණි ගණිතඥයින් එයට එතරම් වැදගත්කමක් නොදැක්වූ අතර පසුව සම්භාවිතා න්‍යාය බවට පත් වූ න්‍යායකට පදනම දැමීමට පමණක් හැකි විය. ඔවුන් පසුව න්‍යාය නිර්මාණය කර වර්ධනය කළ අයට බෙහෙවින් උපකාර වන සමහර සංයෝජන ක්රම නිර්මාණය කළහ.
දහහත්වන සියවසේ දෙවන භාගයේදී, සම්භාවිතා න්‍යායේ මූලික සංකල්ප සහ ක්රම ගොඩනැගීම ආරම්භ විය. අහඹු විචල්‍යයන් පිළිබඳ අර්ථ දැක්වීම්, සරල සහ සමහර සංකීර්ණ ස්වාධීන සහ යැපෙන සිදුවීම්වල සම්භාවිතාව ගණනය කිරීමේ ක්රම හඳුන්වා දෙන ලදී. අහඹු විචල්‍යයන් සහ සම්භාවිතාවන් කෙරෙහි එවැනි උනන්දුවක් සූදුවෙන් නියම කරන ලදී: එක් එක් පුද්ගලයාට ක්‍රීඩාව ජයග්‍රහණය කිරීමේ අවස්ථා මොනවාදැයි දැන ගැනීමට අවශ්ය විය.
ඊළඟ පියවර වූයේ සම්භාවිතා න්‍යාය තුළ ගණිතමය විශ්ලේෂණ ක්රම යෙදීමයි. Laplace, Gauss, Poisson සහ Bernoulli වැනි කීර්තිමත් ගණිතඥයන් මෙම කාර්යය භාර ගත්හ. මෙම ගණිත ක්ෂේත්‍රය නව තලයකට ගෙන ගියේ ඔවුන්ය. ද්විපද ව්‍යාප්ති නියමය සොයා ගත්තේ ජේම්ස් බර්නූලි විසිනි. මාර්ගය වන විට, අපි පසුව සොයා ගන්නා පරිදි, මෙම සොයාගැනීමේ පදනම මත, තවත් කිහිපයක් සිදු කරන ලද අතර, එය සාමාන්ය බෙදාහැරීමේ නීතිය සහ තවත් බොහෝ අය නිර්මාණය කිරීමට හැකි විය.
දැන්, අපි ද්විපද ව්යාප්තිය විස්තර කිරීමට පටන් ගැනීමට පෙර, පාසල් බංකුවෙන් දැනටමත් අමතක වී ඇති සම්භාවිතා න්‍යායේ සංකල්ප පිළිබඳ මතකයෙන් අපි ටිකක් නැවුම් කරන්නෙමු.
සම්භාවිතා න්‍යායේ මූලික කරුණු
"සාර්ථකත්වය" සහ "අසාර්ථකත්වය" යන ප්රතිඵල දෙකක් පමණක් ලබා ගත හැකි එවැනි පද්ධති අපි සලකා බලමු. උදාහරණයක් සමඟ මෙය තේරුම් ගැනීම පහසුය: අපි කාසියක් විසි කරමු, වලිග වැටෙනු ඇතැයි අනුමාන කරමු. හැකි සෑම සිදුවීමකම සම්භාවිතාව (වලිග වැටීම - "සාර්ථකත්වය", හිස් වැටීම - "සාර්ථකත්වය නොවේ") කාසිය පරිපූර්ණ ලෙස සමතුලිත නම් සහ අත්හදා බැලීමට බලපාන වෙනත් සාධක නොමැති නම් සියයට 50 ට සමාන වේ.
එය සරලම සිදුවීම විය. ඒත් එහෙමත් තියෙනවා සංකීර්ණ පද්ධති, අනුක්‍රමික ක්රියා සිදු කරනු ලබන අතර, මෙම ක්‍රියාවන්හි ප්‍රතිඵලවල සම්භාවිතාව වෙනස් වේ. උදාහරණයක් ලෙස, පහත පද්ධතිය සලකා බලන්න: අපට නොපෙනෙන අන්තර්ගතය සහිත පෙට්ටියක, සම්පූර්ණයෙන්ම සමාන බෝල හයක්, නිල්, රතු සහ යුගල තුනක් ඇත. සුදු මල්. අපි අහඹු ලෙස බෝල කිහිපයක් ලබා ගත යුතුයි. ඒ අනුව මුලින්ම සුදු බෝලයක් එළියට ඇදීමෙන් ඊළඟ එකත් අපට හමු වීමේ සම්භාවිතාව කිහිප ගුණයකින් අඩුකර ගනිමු. සුදු බැලූනය. මෙය සිදුවන්නේ පද්ධතියේ ඇති වස්තූන් ගණන වෙනස් වන බැවිනි.
මීළඟ කොටසේදී, අපි "සාමාන්ය ව්යාප්තිය", "ද්විපද ව්යාප්තිය" සහ ඒ හා සමාන වචන වලින් අදහස් කරන දේට සමීප වන වඩාත් සංකීර්ණ ගණිතමය සංකල්ප දෙස බලමු.
ගණිතමය සංඛ්යා ලේඛනවල මූලද්රව්ය
සම්භාවිතා න්‍යායේ යෙදීමේ එක් ක්ෂේත්‍රයක් වන සංඛ්‍යාලේඛන තුළ, විශ්ලේෂණය සඳහා දත්ත පැහැදිලිව ලබා නොදෙන බොහෝ උදාහරණ තිබේ. එනම්, ඉලක්කම් වලින් නොව, ලක්ෂණ අනුව බෙදීමේ ස්වරූපයෙන්, උදාහරණයක් ලෙස, ස්ත්රී පුරුෂ භාවය අනුව. එවැනි දත්ත සඳහා ගණිතමය උපකරණයක් යෙදීම සහ ලබාගත් ප්රතිඵල වලින් සමහර නිගමන උකහා ගැනීම සඳහා, ආරම්භක දත්ත සංඛ්යාත්මක ආකෘතියකට පරිවර්තනය කිරීම අවශ්ය වේ. රීතියක් ලෙස, මෙය ක්රියාත්මක කිරීම සඳහා, ධනාත්මක ප්රතිඵලය 1 අගයක් ලබා දී ඇති අතර, සෘණ අගයක් 0 ලෙස පවරනු ලැබේ. මේ අනුව, අපි ගණිතමය ක්රම භාවිතයෙන් විශ්ලේෂණය කළ හැකි සංඛ්යාන දත්ත ලබා ගනිමු.
අහඹු විචල්‍යයක ද්විපද ව්යාප්තිය කුමක්ද යන්න තේරුම් ගැනීමේ මීළඟ පියවර වන්නේ අහඹු විචල්‍යයේ විචලනය සහ ගණිතමය අපේක්ෂාව තීරණය කිරීමයි. අපි මේ ගැන ඊළඟ කොටසින් කතා කරමු.
අපේක්ෂිත අගය
ඇත්ත වශයෙන්ම, ගණිතමය අපේක්ෂාව යනු කුමක්දැයි වටහා ගැනීම අපහසු නැත. ඔවුන්ගේම විවිධ සම්භාවිතාවන් සහිත විවිධ සිදුවීම් ඇති පද්ධතියක් සලකා බලන්න. ගණිතමය අපේක්ෂාව අගය ලෙස හැඳින්වේ, එකතුවට සමානයිමෙම සිදුවීම්වල අගයන්ගේ නිෂ්පාදන (පසුගිය කොටසේ අපි කතා කළ ගණිතමය ස්වරූපයෙන්) සහ ඒවා සිදුවීමේ සම්භාවිතාව.
ද්විපද ව්‍යාප්තියේ ගණිතමය අපේක්ෂාව ගණනය කරනු ලබන්නේ එකම යෝජනා ක්‍රමයට අනුව ය: අපි අහඹු විචල්‍යයක අගය ගනිමු, ධනාත්මක ප්‍රතිඵලයක සම්භාවිතාවෙන් එය ගුණ කරන්න, ඉන්පසු සියලු විචල්‍යයන් සඳහා ලබාගත් දත්ත සාරාංශ කරමු. මෙම දත්ත චිත්රක ලෙස ඉදිරිපත් කිරීම ඉතා පහසු වේ - මේ ආකාරයෙන් විවිධ අගයන්හි ගණිතමය අපේක්ෂාවන් අතර වෙනස වඩා හොඳින් වටහා ගත හැකිය.
ඊළඟ කොටසේදී, අපි ඔබට වෙනස් සංකල්පයක් ගැන ටිකක් කියන්නෙමු - අහඹු විචල්‍යයක විචලනය. එය ද්විපද සම්භාවිතා ව්යාප්තිය වැනි සංකල්පයකට සමීපව සම්බන්ධ වන අතර එහි ලක්ෂණය වේ.
ද්විපද ව්‍යාප්ති විචලනය
මෙම අගය පෙර අගයට සමීපව සම්බන්ධ වන අතර සංඛ්යාන දත්ත බෙදා හැරීම ද සංලක්ෂිත වේ. එය ඔවුන්ගේ ගණිතමය අපේක්ෂාවෙන් අගයන්හි අපගමනයන්හි මධ්යන්ය චතුරස්‍රය නියෝජනය කරයි. එනම්, සසම්භාවී විචල්‍යයක විචල්යය යනු සසම්භාවී විචල්‍යයක අගය සහ එහි ගණිතමය අපේක්ෂාව අතර ඇති වර්ග වෙනස්කම්වල එකතුව, මෙම සිදුවීමේ සම්භාවිතාවෙන් ගුණ කිරීමයි.
සාමාන්යයෙන්, ද්විපද සම්භාවිතා ව්යාප්තිය යනු කුමක්දැයි අවබෝධ කර ගැනීම සඳහා විචලනය පිළිබඳව අප දැනගත යුත්තේ මෙයයි. දැන් අපි අපේ ප්‍රධාන මාතෘකාවට යමු. එනම්, "ද්වි පද බෙදා හැරීමේ නීතිය" වැනි තරමක් සංකීර්ණ වාක්‍ය ඛණ්ඩයක් පිටුපස ඇත්තේ කුමක්ද?
ද්විපද ව්යාප්තිය
මෙම ව්යාප්තිය ද්විපද වන්නේ මන්දැයි මුලින්ම තේරුම් ගනිමු. එය "බිනොම්" යන වචනයෙන් පැමිණේ. ඔබ නිව්ටන්ගේ ද්විපදයක් ගැන අසා ඇති - a සහ b ඕනෑම සංඛ්යා දෙකක එකතුව n හි ඕනෑම සෘණ නොවන බලයකට පුළුල් කිරීමට භාවිතා කළ හැකි සූත්‍රයක්.
ඔබ දැනටමත් අනුමාන කර ඇති පරිදි, නිව්ටන්ගේ ද්විපද සූත්රය සහ ද්විපද ව්‍යාප්ති සූත්රය ප්රායෝගිකව එකම සූත්ර. දෙවැන්නට නිශ්චිත ප්රමාණ සඳහා ව්‍යවහාරික අගයක් තිබීම සහ පළමුවැන්න සාමාන්ය ගණිතමය මෙවලමක් පමණක් වීම හැරුණු විට, ප්රායෝගිකව යෙදෙන යෙදුම් වෙනස් විය හැකිය.
බෙදාහැරීමේ සූත්ර
ද්විපද ව්‍යාප්ති ශ්‍රිතය පහත සඳහන් නියමවල එකතුව ලෙස ලිවිය හැක:
(n!/(n-k)!k!)*p k *q n-k
මෙහි n යනු ස්වාධීන අහඹු අත්හදා බැලීම් ගණන, p යනු සාර්ථක ප්රතිඵල ගණන, q යනු අසාර්ථක ප්රතිඵල ගණන, k යනු අත්හදා බැලීමේ සංඛ්‍යාවයි (එය 0 සිට n දක්වා අගයන් ගත හැක),! - සාධකයක් නම් කිරීම, එවැනි සංඛ්‍යාවක ශ්‍රිතයක්, එහි අගය එය දක්වා යන සියලුම සංඛ්‍යාවල ගුණිතයට සමාන වේ (උදාහරණයක් ලෙස, අංක 4: 4!=1*2*3*4= 24)
මීට අමතරව, ද්විපද ව්‍යාප්ති ශ්‍රිතය අසම්පූර්ණ බීටා ශ්‍රිතයක් ලෙස ලිවිය හැක. කෙසේ වෙතත්, මෙය දැනටමත් වඩාත් සංකීර්ණ නිර්වචනයකි, එය සංකීර්ණ සංඛ්යානමය ගැටළු විසඳීමේදී පමණක් භාවිතා වේ.
ද්විපද ව්යාප්තිය, අප ඉහත පරීක්ෂා කළ උදාහරණ, වඩාත්ම එකකි සරල විශේෂසම්භාවිතා න්‍යායේ බෙදාහැරීම්. ද්විපද ව්යාප්තිය වර්ගයක් වන සාමාන්ය ව්‍යාප්තියක් ද ඇත. එය වඩාත් බහුලව භාවිතා වන අතර, ගණනය කිරීමට පහසුම වේ. Bernoulli බෙදාහැරීම, Poisson බෙදාහැරීම, කොන්දේසි සහිත බෙදාහැරීමක් ද ඇත. ඒවා සියල්ලම විවිධ තත්වයන් යටතේ යම් ක්‍රියාවලියක සම්භාවිතාව පිළිබඳ ක්ෂේත්‍ර චිත්රක ලෙස සංලක්ෂිත කරයි.
මීළඟ කොටසේදී, අපි මෙම ගණිතමය උපකරණයේ යෙදුමට අදාළ අංශ සලකා බලමු සැබෑ ජීවිතය. බැලූ බැල්මට, ඇත්ත වශයෙන්ම, මෙය තවත් ගණිතමය දෙයක් බව පෙනේ, එය සුපුරුදු පරිදි සැබෑ ජීවිතයේ යෙදුමක් සොයා නොගන්නා අතර සාමාන්යයෙන් ගණිතඥයින් හැර වෙන කිසිවෙකුට අවශ්ය නොවේ. කෙසේ වෙතත්, මෙය එසේ නොවේ. ඇත්ත වශයෙන්ම, සියලු වර්ගවල බෙදාහැරීම් සහ ඒවායේ චිත්රක නිරූපණයන් නිර්මාණය කර ඇත්තේ ප්රායෝගික අරමුණු සඳහා මිස විද්යාඥයින්ගේ අභිමතය පරිදි නොවේ.
අයදුම්පත
බෙදා හැරීමේ වැදගත්ම යෙදුම සංඛ්‍යාලේඛනවල දක්නට ලැබේ, මන්ද එය අවශ්ය වේ සංකීර්ණ විශ්ලේෂණයදත්ත ගොඩක්. ප්රායෝගිකව පෙන්නුම් කරන පරිදි, බොහෝ දත්ත අරා වල ආසන්න වශයෙන් එකම අගයන් බෙදා හැරීම් ඇත: ඉතා අඩු සහ ඉතා ඉහළ අගයන් ඇති තීරණාත්මක කලාප, රීතියක් ලෙස, සාමාන්ය අගයන්ට වඩා අඩු මූලද්රව්ය අඩංගු වේ.
සංඛ්‍යාලේඛනවල පමණක් නොව විශාල දත්ත අරා විශ්ලේෂණය කිරීම අවශ්ය වේ. උදාහරණයක් ලෙස භෞතික රසායන විද්‍යාවේදී එය අත්‍යවශ්‍ය වේ. මෙම විද්‍යාවේදී, අහඹු කම්පන සහ පරමාණු සහ අණු වල චලනයන් හා සම්බන්ධ බොහෝ ප්රමාණ තීරණය කිරීමට එය භාවිතා කරයි.
ද්විපද වැනි සංඛ්යානමය සංකල්ප යෙදීම කොතරම් වැදගත්ද යන්න මීළඟ කොටසින් අපට වැටහෙනු ඇත අහඹු විචල්‍යයක ව්යාප්තිය එදිනෙදා ජීවිතයඔබ සහ මා වෙනුවෙන්.
මට එය අවශ්ය වන්නේ ඇයි?
ගණිතය සම්බන්ධයෙන් බොහෝ අය මෙම ප්රශ්නය තමන්ගෙන්ම අසති. සහ මාර්ගය වන විට, ගණිතය විද්යාවේ රැජින ලෙස හැඳින්වෙන්නේ නිෂ්ඵල නොවේ. එය භෞතික විද්‍යාව, රසායන විද්‍යාව, ජීව විද්‍යාව, ආර්ථික විද්‍යාව යන විද්යාවේ පදනම වන අතර මෙම එක් එක් විද්‍යාවන්හි යම් ආකාරයක ව්‍යාප්තියක් ද භාවිතා වේ: එය විවික්ත ද්විපද ව්‍යාප්තියක් ද සාමාන්ය එකක් ද යන්න ගැටළුවක් නොවේ. අප අවට ලෝකය දෙස සමීපව බැලුවහොත්, ගණිතය සෑම තැනකම භාවිතා වන බව අපට පෙනෙනු ඇත: එදිනෙදා ජීවිතයේදී, රැකියාවේදී සහ මානව සබඳතා පවා සංඛ්යාන දත්ත ආකාරයෙන් ඉදිරිපත් කර විශ්ලේෂණය කළ හැකිය (මෙය, මාර්ගයෙන් , වැඩ කරන අය විසින් සිදු කරනු ලැබේ විශේෂ සංවිධානතොරතුරු රැස් කිරීම).
දැන් අපි මෙම ලිපියේ දක්වා ඇති දේට වඩා මෙම මාතෘකාව පිළිබඳ බොහෝ දේ දැන ගැනීමට අවශ්ය නම් කුමක් කළ යුතුද යන්න ගැන ටිකක් කතා කරමු.
මෙම ලිපියේ අප ලබා දී ඇති තොරතුරු සම්පූර්ණ නොවේ. බෙදා හැරීම කුමන ස්වරූපයක් ගත හැකිද යන්න පිළිබඳව බොහෝ සූක්ෂ්මතා තිබේ. ද්විපද ව්යාප්තිය, අප දැනටමත් සොයාගෙන ඇති පරිදි, සමස්තයක් ලෙස පවතින ප්‍රධාන වර්ග වලින් එකකි ගණිත සංඛ්යා ලේඛනසහ සම්භාවිතා න්‍යාය.
ඔබ උනන්දු වන්නේ නම්, හෝ ඔබේ වැඩ කටයුතු සම්බන්ධව, ඔබ මෙම මාතෘකාව පිළිබඳ තවත් බොහෝ දේ දැන ගැනීමට අවශ්ය නම්, ඔබ විශේෂිත සාහිත්යය අධ්යයනය කිරීමට අවශ්ය වනු ඇත. ඔබ ගණිතමය විශ්ලේෂණය පිළිබඳ විශ්ව විද්‍යාල පාඨමාලාවකින් ආරම්භ කළ යුතු අතර එහි සම්භාවිතා න්‍යාය පිළිබඳ කොටස වෙත යා යුතුය. ද්විපද සම්භාවිතා ව්යාප්තිය අනුක්‍රමික පද මාලාවකට වඩා වැඩි දෙයක් නොවන නිසා ශ්‍රේණි ක්ෂේත්‍රයේ දැනුම ද ප්‍රයෝජනවත් වනු ඇත.
නිගමනය
ලිපිය අවසන් කිරීමට පෙර, අපි තවත් එකක් කියන්නට කැමැත්තෙමු රසවත් දෙයක්. එය අපගේ ලිපියේ මාතෘකාවට සහ පොදුවේ සියලුම ගණිතයට සෘජුවම අදාළ වේ.
බොහෝ අය පවසන්නේ ගණිතය නිෂ්ඵල විද්‍යාවක් බවත් පාසලේදී ඉගෙන ගත් කිසිවක් තමන්ට ප්‍රයෝජනවත් නොවූ බවත්ය. නමුත් දැනුම කිසි විටෙකත් අතිරික්ත නොවේ, සහ ජීවිතයේ ඔබට යමක් ප්‍රයෝජනවත් නොවේ නම්, එයින් අදහස් වන්නේ ඔබට එය මතක නැති බවයි. ඔබට දැනුම තිබේ නම්, ඔවුන්ට ඔබට උදව් කළ හැකිය, නමුත් ඔබට ඒවා නොමැති නම්, ඔබට ඔවුන්ගෙන් උදව් බලාපොරොත්තු විය නොහැක.
ඉතින්, අපි ද්විපද ව්යාප්තිය පිළිබඳ සංකල්පය සහ ඒ හා සම්බන්ධ සියලු නිර්වචන පරීක්ෂා කර එය අපගේ ජීවිතයට අදාළ වන ආකාරය ගැන කතා කළෙමු.
ද්විපද ව්යාප්තිය සලකා බලන්න, එහි ගණිතමය අපේක්ෂාව, විචලනය, මාදිලිය ගණනය කරන්න. MS EXCEL ශ්‍රිතය BINOM.DIST() භාවිතා කරමින්, අපි බෙදා හැරීමේ ශ්‍රිතය සහ සම්භාවිතා ඝනත්ව ප්‍රස්ථාර සැලසුම් කරමු. අපි බෙදාහැරීමේ පරාමිතිය p, බෙදා හැරීමේ ගණිතමය අපේක්ෂාව සහ සම්මත අපගමනය තක්සේරු කරමු. බර්නූලි ව්යාප්තිය ද සලකා බලන්න.
අර්ථ දැක්වීම. ඒවා පැවැත්වීමට ඉඩ දෙන්න nපරීක්ෂණ, එක් එක් සිදුවීම් 2 ක් පමණක් සිදුවිය හැකිය: සම්භාවිතාවක් සහිත සිදුවීම "සාර්ථකත්වය" පි හෝ සම්භාවිතාව සමඟ "අසාර්ථක" සිදුවීම q =1-p (ඊනියා බර්නූලි යෝජනා ක්රමය,බර්නූලිනඩු විභාග).
හරියටම ලැබීමේ සම්භාවිතාව x මේවායේ සාර්ථකත්වය n පරීක්ෂණ සමාන වේ:
නියැදියේ සාර්ථකත්වයන් ගණන x ඇති අහඹු විචල්‍යයකි ද්විපද ව්යාප්තිය(ඉංග්රීසි) ද්විපදබෙදා හැරීම) පිහා n– මෙම බෙදාහැරීමේ පරාමිතීන් වේ.
අයදුම් කිරීම සඳහා එය සිහිපත් කරන්න බර්නූලි යෝජනා ක්රමසහ ඒ අනුව ද්විපද ව්යාප්තිය,පහත කොන්දේසි සපුරාලිය යුතුය:
- සෑම අත්හදා බැලීමකටම හරියටම ප්රතිඵල දෙකක් තිබිය යුතුය, කොන්දේසි සහිතව "සාර්ථකත්වය" සහ "අසාර්ථකත්වය" ලෙස හැඳින්වේ.
- එක් එක් පරීක්ෂණයේ ප්රතිඵලය පෙර පරීක්ෂණවල ප්රතිඵල මත රඳා නොපවතී (පරීක්ෂණ ස්වාධීනත්වය).
- සාර්ථකත්ව අනුපාතය පි සියලුම පරීක්ෂණ සඳහා නියත විය යුතුය.
MS EXCEL හි ද්විපද ව්යාප්තිය
MS EXCEL හි, 2010 අනුවාදයෙන් ආරම්භ වේ ද්විපද ව්යාප්තිය BINOM.DIST() ශ්‍රිතයක් ඇත, ඉංග්රීසි නම- BINOM.DIST(), නියැදිය හරියටම විය හැකි සම්භාවිතාව ගණනය කිරීමට ඔබට ඉඩ සලසයි x"සාර්ථකත්වය" (i.e. සම්භාවිතා ඝනත්ව කාර්යය p(x), ඉහත සූත්රය බලන්න), සහ සමෝධානික බෙදාහැරීමේ කාර්යය(නියැදියට ඇති සම්භාවිතාව xහෝ අඩු "සාර්ථක", 0 ඇතුළුව).
MS EXCEL 2010 ට පෙර, EXCEL හට BINOMDIST() ශ්‍රිතය තිබුණි, එය ඔබට ගණනය කිරීමටද ඉඩ සලසයි. බෙදා හැරීමේ කාර්යයහා සම්භාවිතා ඝනත්වය p(x) BINOMDIST() ගැළපුම සඳහා MS EXCEL 2010 හි ඉතිරි වේ.
උදාහරණ ගොනුවේ ප්‍රස්ථාර අඩංගු වේ සම්භාවිතාව බෙදාහැරීමේ ඝනත්වයහා .
ද්විපද ව්‍යාප්තියතනතුර ඇත බී(n; පි) .
සටහන: ගොඩනැගීම සඳහා සමෝධානික බෙදාහැරීමේ කාර්යයපරිපූර්ණ සුදුසු ප්‍රස්ථාර වර්ගය කාලසටහන, සදහා බෙදාහැරීමේ ඝනත්වය – සමූහගත කිරීම සමඟ හිස්ටෝග්රෑම්. ප්‍රස්ථාර ගොඩනැගීම පිළිබඳ වැඩි විස්තර සඳහා, ප්‍රස්ථාරවල ප්‍රධාන වර්ග යන ලිපිය කියවන්න.
සටහන: උදාහරණ ගොනුවේ සූත්ර ලිවීමේ පහසුව සඳහා පරාමිති සඳහා නම් නිර්මාණය කර ඇත ද්විපද ව්යාප්තිය: n සහ p.
උදාහරණ ගොනුවේ අඩංගු වේ විවිධ ගණනය කිරීම් MS EXCEL කාර්යයන් භාවිතා කිරීමේ සම්භාවිතාව:
ඉහත පින්තූරයේ පෙනෙන පරිදි, එය උපකල්පනය කරනු ලැබේ:
- නියැදිය සෑදූ අනන්ත ජනගහනයේ 10% (හෝ 0.1) හොඳ මූලද්රව්ය (පරාමිතිය) අඩංගු වේ පි, තෙවන ශ්‍රිත තර්කය =BINOM.DIST() )
- මූලද්රව්ය 10ක නියැදියක ඇති සම්භාවිතාව ගණනය කිරීමට (පරාමිතිය n, ශ්‍රිතයේ දෙවන තර්කය) හරියටම වලංගු මූලද්රව්ය 5 ක් ඇත (පළමු තර්කය), ඔබ සූත්රය ලිවිය යුතුය: =BINOM.DIST(5, 10, 0.1, FALSE)
- අවසාන, සිව්වන මූලද්රව්යය සකසා ඇත = FALSE, i.e. ශ්‍රිත අගය නැවත ලබාදේ බෙදාහැරීමේ ඝනත්වය.
හතරවන තර්කයේ අගය = TRUE නම්, BINOM.DIST() ශ්‍රිතය අගය ලබා දෙයි සමෝධානික බෙදාහැරීමේ කාර්යයහෝ සරලව බෙදා හැරීමේ කාර්යය. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, ඔබට නියැදියේ ඇති හොඳ අයිතම ගණන නිශ්චිත පරාසයකින් විය හැකි බවට සම්භාවිතාව ගණනය කළ හැකිය, උදාහරණයක් ලෙස, 2 හෝ ඊට අඩු (0 ඇතුළුව).
මෙය සිදු කිරීම සඳහා, ඔබ සූත්රය ලිවිය යුතුය:
= BINOM.DIST(2, 10, 0.1, සත්‍ය)
සටහන: x හි නිඛිල නොවන අගයක් සඳහා, . උදාහරණයක් ලෙස, පහත සූත්ර එම අගයම ලබා දෙනු ඇත:
=BINOM.DIST( 2
; දහය; 0.1; සැබෑ)
=BINOM.DIST( 2,9
; දහය; 0.1; සැබෑ)
සටහන: උදාහරණ ගොනුවේ සම්භාවිතා ඝනත්වයහා බෙදා හැරීමේ කාර්යයනිර්වචනය සහ COMBIN() ශ්‍රිතය භාවිතයෙන් ද ගණනය කෙරේ.
බෙදා හැරීමේ දර්ශක
හිදී උදාහරණ ගොනුව පත්රයේ උදාහරණයසමහර බෙදාහැරීමේ දර්ශක ගණනය කිරීම සඳහා සූත්ර තිබේ:
- =n*p;
- (වර්ග සම්මත අපගමනය) = n * p * (1-p);
- = (n+1)*p;
- =(1-2*p)*ROOT(n*p*(1-p)).
අපි සූත්රය ලබා ගනිමු ගණිතමය අපේක්ෂාව ද්විපද ව්‍යාප්තියභාවිතා කරමින් බර්නූලි යෝජනා ක්රමය.
නිර්වචනය අනුව, සසම්භාවී විචල්‍ය X in බර්නූලි යෝජනා ක්රමය(Bernoulli random variable) ඇත බෙදා හැරීමේ කාර්යය:
මෙම බෙදා හැරීම හැඳින්වේ බර්නූලි බෙදා හැරීම.
සටහන: බර්නූලි බෙදා හැරීම- විශේෂ අවස්ථාවක් ද්විපද ව්යාප්තිය n=1 පරාමිතිය සමඟ.
විවිධ සාර්ථකත්වයේ සම්භාවිතාවන් සහිත අංක 100 ක අරා 3 ක් ජනනය කරමු: 0.1; 0.5 සහ 0.9. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, කවුළුව තුළ අහඹු සංඛ්යා උත්පාදනයඑක් එක් සම්භාවිතාව p සඳහා පහත පරාමිතීන් සකසන්න:
සටහන: ඔබ විකල්පය සකසන්නේ නම් අහඹු ලෙස විසිරීම (අහඹු බීජ), එවිට ඔබට ජනනය කරන ලද යම් අහඹු සංඛ්යා කට්ටලයක් තෝරාගත හැක. උදාහරණයක් ලෙස, මෙම විකල්පය =25 සැකසීමෙන්, ඔබට විවිධ පරිගණකවල එකම අහඹු සංඛ්යා කට්ටල උත්පාදනය කළ හැකිය (ඇත්ත වශයෙන්ම, අනෙකුත් බෙදාහැරීමේ පරාමිතීන් සමාන නම්). විකල්ප අගයට 1 සිට 32,767 දක්වා නිඛිල අගයන් ගත හැක. විකල්ප නාමය අහඹු ලෙස විසිරීමව්යාකූල කළ හැකිය. ලෙස පරිවර්තනය කිරීම වඩා හොඳය අහඹු අංක සමඟ අංකය සකසන්න.
එහි ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, අපට අංක 100 ක තීරු 3 ක් ලැබෙනු ඇත, එය මත පදනම්ව, අපට සාර්ථකත්වයේ සම්භාවිතාව තක්සේරු කළ හැකිය. පිසූත්රය අනුව: සාර්ථකත්වයන් ගණන/100(සෙමී. උදාහරණ ගොනු පත්‍රය බර්නූලි ජනනය කිරීම).
සටහන: සදහා බර්නූලි බෙදාහැරීම් p=0.5 සමඟින්, ඔබට =RANDBETWEEN(0;1) සූත්රය භාවිතා කළ හැක, එය ට අනුරූප වේ.
අහඹු සංඛ්යා උත්පාදනය. ද්විපද ව්යාප්තිය
සාම්පලයේ දෝෂ සහිත අයිතම 7 ක් ඇතැයි සිතමු. මෙයින් අදහස් කරන්නේ දෝෂ සහිත නිෂ්පාදනවල අනුපාතය වෙනස් වී ඇති බව "බොහෝ දුරට" ඇති බවයි. පි, එය අපගේ ලක්ෂණයකි නිෂ්පාදන ක්රියාවලිය. මෙම තත්ත්වය "බොහෝ දුරට ඉඩ ඇති" වුවද, හැකියාවක් ඇත (ඇල්ෆා අවදානම, වර්ගය 1 දෝෂය, "ව්යාජ අනතුරු ඇඟවීම") පිනොවෙනස්ව පැවති අතර, දෝෂ සහිත නිෂ්පාදන සංඛ්යාව වැඩි වූයේ අහඹු නියැදීමක් නිසාය.
පහත රූපයේ දැකිය හැකි පරිදි, 7 යනු p=0.21 එකම අගයක් සහිත ක්‍රියාවලියක් සඳහා පිළිගත හැකි දෝෂ සහිත නිෂ්පාදන ගණනයි. ඇල්ෆා. නියැදියක ඇති දෝෂ සහිත අයිතමවල සීමාව ඉක්මවා ගිය විට, මෙය නිදර්ශනය කරයි. පි"සමහරවිට" වැඩි විය. "බොහෝ දුරට ඉඩ ඇත" යන වාක්‍ය ඛණ්ඩයෙන් අදහස් වන්නේ සීමාවට ඉහලින් දෝෂ සහිත නිෂ්පාදන ප්‍රතිශතයේ අපගමනය අහඹු හේතූන් මත පමණක් වීමට ඇත්තේ 10%ක අවස්ථාවක් (100%-90%) පමණක් බවයි.
මේ අනුව, නියැදියේ දෝෂ සහිත නිෂ්පාදනවල සීමාව ඉක්මවා යාම, ක්රියාවලිය අවුල් වී b නිෂ්පාදනය කිරීමට පටන් ගෙන ඇති බවට සංඥාවක් ලෙස සේවය කළ හැකිය. පිළිබඳදෝෂ සහිත නිෂ්පාදනවල වැඩි ප්රතිශතයක්.
සටහන: MS EXCEL 2010 ට පෙර, EXCEL හට CRITBINOM() ශ්‍රිතයක් තිබුණි, එය BINOM.INV() ට සමාන වේ. CRITBINOM() MS EXCEL 2010 හි ඉතිරිව ඇති අතර ගැළපුම සඳහා ඉහළ අගයක් ඇත.
අනෙකුත් බෙදාහැරීම් සඳහා ද්විපද ව්යාප්තිය සම්බන්ධය
පරාමිතිය නම් n ද්විපද ව්‍යාප්තියඅනන්තයට නැඹුරු වේ සහ පි 0 ට නැඹුරු වේ, පසුව මෙම අවස්ථාවෙහිදී ද්විපද ව්‍යාප්තියආසන්න කළ හැක.
එය ආසන්න වශයෙන් විට කොන්දේසි සකස් කිරීමට හැකි වේ විෂ බෙදා හැරීමහොඳින් ක්රියා කරයි:
- පි<0,1 (අඩු පිසහ තවත් n, වඩාත් නිවැරදි ආසන්න කිරීම);
- පි>0,9 (එය සැලකිල්ලට ගනිමින් q=1- පි, මෙම නඩුවේ ගණනය කිරීම් භාවිතයෙන් සිදු කළ යුතුය q(ඒ xසමඟ ප්රතිස්ථාපනය කිරීමට අවශ්ය වේ n- x) එබැවින්, අඩු qසහ තවත් n, වඩාත් නිවැරදි ආසන්න අගය).
0.1 දී<=p<=0,9 и n*p>10 ද්විපද ව්‍යාප්තියආසන්න කළ හැක.
එහි වාරයේ, ද්විපද ව්‍යාප්තියජනගහන ප්‍රමාණය N වූ විට හොඳ ආසන්න අගයක් ලෙස ක්රියා කළ හැක අධි ජ්යාමිතික ව්යාප්තියනියැදි ප්‍රමාණය n (එනම්, N>>n හෝ n/N ට වඩා විශාලය<<1).
ලිපියේ ඉහත බෙදාහැරීම්වල සම්බන්ධතාවය ගැන ඔබට වැඩිදුර කියවිය හැකිය. ආසන්නයේ උදාහරණ ද එහි දක්වා ඇති අතර, එය හැකි විට සහ කුමන නිරවද්‍යතාවයකින්ද යන්න කොන්දේසි පැහැදිලි කෙරේ.
උපදෙස්: MS EXCEL හි අනෙකුත් බෙදාහැරීම් ගැන ඔබට ලිපියෙන් කියවිය හැක.
