දුර්ලභ සිදුවීම් පිළිබඳ නීතිය. විෂ බෙදා හැරීම. MS EXCEL හි විවික්ත බෙදාහැරීම්

සලකා බලන්න විෂ බෙදා හැරීම, එහි ගණිතමය අපේක්ෂාව, විචලනය, මාදිලිය ගණනය කරන්න. MS EXCEL ශ්‍රිතය POISSON.DIST() භාවිතා කරමින්, අපි බෙදා හැරීමේ ශ්‍රිතය සහ සම්භාවිතා ඝනත්ව ප්‍රස්ථාර සැලසුම් කරමු. අපි බෙදාහැරීමේ පරාමිතිය තක්සේරු කරමු, එහි ගණිතමය අපේක්ෂාවසහ සම්මත අපගමනය.

පළමුව, අපි බෙදා හැරීම පිළිබඳ වියළි විධිමත් නිර්වචනයක් ලබා දෙන්නෙමු, පසුව අපි අවස්ථා සඳහා උදාහරණ දෙන්නෙමු විෂ බෙදා හැරීම(ඉංග්රීසි) විෂබෙදා හැරීම) යනු අහඹු විචල්‍යයක් විස්තර කිරීම සඳහා ප්‍රමාණවත් ආකෘතියකි.

අහඹු සිදුවීම් සාමාන්‍ය සංඛ්‍යාතයක් සමඟ දී ඇති කාල සීමාවක් තුළ (හෝ යම් ද්‍රව්‍ය පරිමාවක) සිදුවුවහොත් λ( lambda), ඉන්පසු සිදුවීම් ගණන x, මෙම කාල පරිච්ඡේදය තුළ සිදුවනු ඇත විෂ බෙදා හැරීම.

Poisson Distribution යෙදීම

විට උදාහරණ විෂ බෙදා හැරීමප්රමාණවත් ආකෘතියකි:

• නිශ්චිත කාලයක් සඳහා දුරකථන හුවමාරුව මගින් ලැබුණු ඇමතුම් සංඛ්යාව;
• යම් කාල පරිච්ඡේදයක් තුළ විකිරණශීලී ක්ෂය වීමකට ලක් වූ අංශු සංඛ්යාව;
• ස්ථාවර දිගකින් යුත් රෙදි කැබැල්ලක ඇති දෝෂ ගණන.

විෂ බෙදා හැරීමපහත සඳහන් කොන්දේසි සපුරා ඇත්නම් එය ප්රමාණවත් ආකෘතියකි:

• සිදුවීම් එකිනෙකින් ස්වාධීනව සිදු වේ, i.e. පසුකාලීන සිදුවීමක සම්භාවිතාව පෙර සිදුවීම මත රඳා නොපවතී;
• සිදුවීම්වල සාමාන්ය සංඛ්යාතය නියත වේ. එහි ප්‍රතිඵලයක් ලෙස, සිදුවීමක සම්භාවිතාව නිරීක්ෂණ පරතරයේ දිගට සමානුපාතික වේ;
• සිදුවීම් දෙකක් එකවර සිදු විය නොහැක;
• සිදුවීම් ගණන 0 අගය ගත යුතුය; එක; 2…

සටහන: නිරීක්ෂණය කළ හැකි හොඳ ඉඟියක් අහඹු අගයඑයට තිබෙනවා වස බෙදා හැරීම,ආසන්න වශයෙන් සමාන වන කාරනය (පහත බලන්න).

පහත දැක්වෙන අවස්ථා සඳහා උදාහරණ වේ විෂ බෙදා හැරීම බැහැයෙදිය යුතුය:

• පැයක් ඇතුළත විශ්ව විද්‍යාලයෙන් පිටවන සිසුන් සංඛ්‍යාව (සිසුන්ගේ සාමාන්‍ය ප්‍රවාහය නියත නොවන නිසා: පන්ති අතරතුර සිසුන් ස්වල්පයක් සිටින අතර පන්ති අතර සිසුන් සංඛ්‍යාව තියුනු ලෙස වැඩිවේ);
• කැලිෆෝනියාවේ වසරකට ලක්ෂ්‍ය 5 ක විස්තාරයක් සහිත භූමිකම්පා ගණන (එක් භූමිකම්පාවක් සමාන විස්තාරයක නැවත නැවත කම්පන ඇති කළ හැකි නිසා - සිදුවීම් ස්වාධීන නොවේ);
• රෝගීන් දැඩි සත්කාර ඒකකයේ ගත කරන දින ගණන (රෝගීන් දැඩි සත්කාර ඒකකයේ ගත කරන දින ගණන සෑම විටම 0 ට වඩා වැඩි බැවින්).

සටහන: විෂ බෙදා හැරීමවඩාත් නිවැරදි විවික්ත බෙදාහැරීම් ආසන්න වශයෙන්: සහ .

සටහන: සම්බන්ධතාවය ගැන විෂ බෙදා හැරීමහා ද්විපද ව්‍යාප්තියලිපියෙහි කියවිය හැකිය. සම්බන්ධතාවය ගැන විෂ බෙදා හැරීමහා ඝාතීය ව්යාප්තියපිළිබඳ ලිපියෙන් සොයාගත හැකිය.

MS EXCEL හි විෂ බෙදා හැරීම

MS EXCEL හි, 2010 අනුවාදයෙන් ආරම්භ වේ බෙදාහැරීම් විෂශ්‍රිතයක් ඇත POISSON.DIST() , ඉංග්රීසි මාතෘකාව- POISSON.DIST(), යම් කාල සීමාවක් තුළ සිදු වන සම්භාවිතාව පමණක් ගණනය කිරීමට ඔබට ඉඩ සලසයි. xසිදුවීම් (කාර්යය සම්භාවිතා ඝනත්වය p(x), ඉහත සූත්‍රය බලන්න), නමුත් (අවම වශයෙන් දී ඇති කාල සීමාව තුළ සම්භාවිතාව xසිදුවීම්).

MS EXCEL 2010 ට පෙර, EXCEL හට POISSON() ශ්‍රිතය තිබුණි, එය ඔබට ගණනය කිරීමටද ඉඩ සලසයි. බෙදා හැරීමේ කාර්යයහා සම්භාවිතා ඝනත්වය p(x) POISSON() MS EXCEL 2010 හි ගැළපුම සඳහා ඉතිරි වේ.

උදාහරණ ගොනුවේ ප්‍රස්ථාර අඩංගු වේ සම්භාවිතාව බෙදාහැරීමේ ඝනත්වයහා සමෝධානික බෙදාහැරීමේ කාර්යය.

විෂ බෙදා හැරීමවිකෘති හැඩයක් ඇත (සම්භාවිතා ශ්රිතයේ දකුණු පස දිගු වලිගයක්), නමුත් පරාමිතිය λ වැඩි වන විට, එය වැඩි වැඩියෙන් සමමිතික වේ.

සටහන: සාමාන්යයහා විසුරුම(හතරැස්) පරාමිතියට සමාන වේ විෂ බෙදා හැරීම- λ (බලන්න උදාහරණ ගොනු පත්‍රය උදාහරණය).

කාර්යයක්

සාමාන්ය යෙදුම විෂ බෙදාහැරීම්තත්ත්ව පාලනයේදී, උපාංගයක හෝ උපාංගයක දිස්විය හැකි දෝෂ ගණනේ ආකෘතියකි.

උදාහරණයක් ලෙස, λ (lambda) චිපයක සාමාන්‍ය දෝෂ සංඛ්‍යාව 4 නම්, අහඹු ලෙස තෝරාගත් චිපයක දෝෂ 2ක් හෝ ඊට අඩු සංඛ්‍යාවක් තිබීමේ සම්භාවිතාව සමාන වේ: = POISSON.DIST(2,4,TRUE)=0.2381

ශ්‍රිතයේ තුන්වන පරාමිතිය සකසා ඇත = සත්‍ය, එබැවින් ශ්‍රිතය නැවත පැමිණේ සමෝධානික බෙදාහැරීමේ කාර්යය, එනම්, එම සංඛ්යාව බව සම්භාවිතාව අහඹු සිදුවීම් 0 සිට 4 දක්වා පරාසයක පවතිනු ඇත.

මෙම නඩුවේ ගණනය කිරීම් සූත්රය අනුව සිදු කරනු ලැබේ:

අහඹු ලෙස තෝරාගත් චිපයකට හරියටම දෝෂ 2ක් තිබීමේ සම්භාවිතාව වන්නේ: POISSON.DIST(2,4,FALSE)=0.1465

ශ්‍රිතයේ තුන්වන පරාමිතිය සකසා ඇත = FALSE, එබැවින් ශ්‍රිතය සම්භාවිතා ඝනත්වය නැවත ලබා දෙනු ඇත.

අහඹු ලෙස තෝරාගත් චිපයක දෝෂ 2කට වඩා තිබීමේ සම්භාවිතාව සමාන වේ: \u003d 1-POISSON.DIST (2, 4, සත්‍ය) \u003d 0.8535

සටහන: නම් අ xනිඛිලයක් නොවේ, එවිට සූත්‍රය ගණනය කිරීමේදී . සූත්ර =POISSON.DIST( 2 ; හතර; අසත්‍ය)හා =POISSON.DIST( 2,9 ; හතර; අසත්‍ය)එම ප්රතිඵලය නැවත ලබා දෙනු ඇත.

අහඹු සංඛ්යා උත්පාදනය සහ λ ඇස්තමේන්තු කිරීම

අගයන් සඳහා λ >15 , විෂ බෙදා හැරීමහොඳින් ආසන්න සාමාන්ය බෙදාහැරීමේ පහත පරාමිතීන් සමඟ: μ =λ , σ 2 =λ .

මෙම බෙදාහැරීම් අතර සම්බන්ධය ගැන ඔබට ලිපියෙන් වැඩිදුර කියවිය හැකිය. එහි ආසන්නයේ උදාහරණ ද ලබා දී ඇති අතර, එය හැකි විට සහ කුමන නිරවද්‍යතාවයකින්ද යන්න කොන්දේසි පැහැදිලි කර ඇත.

උපදෙස්: MS EXCEL හි අනෙකුත් බෙදාහැරීම් ගැන ඔබට ලිපියෙන් කියවිය හැක.

නිදසුනක් වශයෙන්, මාර්ගයේ යම් කොටසක සතියකට රථවාහන අනතුරු සංඛ්යාව වාර්තා වේ. මෙම සංඛ්‍යාව අහඹු විචල්‍යයක් වන අතර එය පහත අගයන් ගත හැක: (ඉහළ සීමාවක් නොමැත). රථවාහන අනතුරු සංඛ්යාව ඔබ කැමති තරම් ඉහළ විය හැක. අපි සතියක් තුළ කිසියම් කෙටි කාල පරිච්ඡේදයක් සලකා බැලුවහොත්, මිනිත්තුවක් කියන්න, එවිට සිදුවීම එක්කෝ එය තුළ හෝ සිදුවනු ඇත. එක් මිනිත්තුවක් තුළ රථවාහන අනතුරක් සිදුවීමේ සම්භාවිතාව ඉතා කුඩා වන අතර එය සෑම විනාඩියකටම සමාන වේ.

සිදුවීම් සංඛ්‍යාවේ සම්භාවිතා ව්‍යාප්තිය සූත්‍රය මගින් විස්තර කෙරේ:

m යනු මාර්ගයේ යම් කොටසක සතියකට සිදුවන සාමාන්‍ය අනතුරු සංඛ්‍යාවයි; e යනු 2.718 ට සමාන නියතයකි...

ඒ සඳහා දත්තවල ලාක්ෂණික ලක්ෂණ හොඳම මාර්ගය Poisson ව්යාප්තියට ගැලපේ, පහත දැක්වේ:

1. සෑම කුඩා කාල පරතරයක්ම අත්දැකීමක් ලෙස සැලකිය හැකි අතර, එහි ප්‍රතිඵලය කරුණු දෙකෙන් එකකි: එක් සිද්ධියක් ("සාර්ථකත්වය") හෝ එහි නොපැමිණීම ("අසාර්ථකත්වය"). අන්තරයන් කෙතරම් කුඩාද යත්, එක් අන්තරයක එක් "සාර්ථකත්වයක්" පමණක් තිබිය හැකි අතර, එහි සම්භාවිතාව කුඩා සහ නොවෙනස්ව පවතී.

2. එක් විශාල අන්තරයක ඇති "සාර්ථකත්වයන්" සංඛ්‍යාව තවත් එකක ඒවායේ සංඛ්‍යාව මත රඳා නොපවතී, එනම් "සාර්ථකත්වය" කාල අන්තරයන් මත අහඹු ලෙස විසිරී ඇත.

3. "සාර්ථකත්වයේ" සාමාන්‍ය සංඛ්‍යාව කාලය පුරාවට නියත වේ. විෂ සම්භාවිතා ව්‍යාප්තිය කාල අන්තරවල අහඹු විචල්‍යයන් සමඟ වැඩ කිරීමේදී පමණක් නොව, අඩුපාඩු සැලකිල්ලට ගනිමින් ද භාවිතා කළ හැකිය. පදික වේදිකාවකිලෝමීටරයකට හෝ පෙළ පිටුවකට යතුරු ලියනය. සාමාන්ය සූත්රයවිෂ සම්භාවිතා ව්‍යාප්තිය:

m යනු ඒකකයකට සාමාන්‍ය "සාර්ථක" සංඛ්‍යාවයි.

Poisson සම්භාවිතා බෙදාහැරීමේ වගු වල, m හි ඇතැම් අගයන් සඳහා අගයන් වගුගත කර ඇත

උදාහරණය 2.7. සාමාන්‍යයෙන්, දුරකථන හුවමාරුව විනාඩි පහක් ඇතුළත දුරකථන සංවාද තුනක් වෙන් කර ඇත. මිනිත්තු පහක් ඇතුළත 0, 1.2, 3, 4, හෝ ඇමතුම් හතරකට වඩා වැඩි ප්‍රමාණයක් වෙන්කරවා ගැනීමේ සම්භාවිතාව කුමක්ද?

අපි විෂ සම්භාවිතා ව්‍යාප්තිය යොදන්නෙමු, මන්ද:

1. අසීමිත අත්හදා බැලීම් ගණනක් ඇත, i.e. දුරකථන සංවාදයක් සඳහා ඇණවුමක් දිස්විය හැකි කුඩා කාල පරිච්ඡේද, එහි සම්භාවිතාව කුඩා හා නියත වේ.

2. දුරකථන සංවාද සඳහා ඇති ඉල්ලුම කාලයත් සමඟ අහඹු ලෙස බෙදා හරින බව විශ්වාස කෙරේ.

3. එය සාමාන්ය බව විශ්වාස කෙරේ දුරකථන සංවාදඕනෑම විනාඩියක කාල පරතරයක් සමාන වේ.

මෙම උදාහරණයේදී, සාමාන්‍ය ඇණවුම් ගණන විනාඩි 5 කට 3 කි. එබැවින්, විෂ බෙදා හැරීම:

Poisson සම්භාවිතා ව්‍යාප්තිය සමඟ, මිනිත්තු 5 ක පරතරයක් තුළ සාමාන්‍ය “සාර්ථක” සංඛ්‍යාව දැන ගැනීම (උදාහරණයක් ලෙස, උදාහරණ 2.7 හි මෙන්), පැයකට සාමාන්‍ය “සාර්ථක” සංඛ්‍යාව සොයා ගැනීම සඳහා, ඔබ ගුණ කළ යුතුය. 12 මගින්. උදාහරණ 2.7 හි, පැයක සාමාන්‍ය ඇණවුම් සංඛ්‍යාව වනුයේ: 3 x 12 = 36. එලෙසම, ඔබට විනාඩියකට සාමාන්‍ය ඇණවුම් ගණන තීරණය කිරීමට අවශ්‍ය නම්:

උදාහරණය 2.8. සාමාන්යයෙන්, වැඩ කරන සතියේ දින පහක් සඳහා ස්වයංක්රීය රේඛාව 3.4 අසමත්වීම් සිදු වේ. වැඩ කරන සෑම දිනකම අසාර්ථකවීම් දෙකක සම්භාවිතාව කුමක්ද? විසඳුමක්.

ඔබට විෂ බෙදා හැරීම යෙදිය හැකිය:

1. අසීමිත අත්හදා බැලීම් ගණනක් ඇත, i.e. කුඩා කාල පරිච්ඡේද, ඒ සෑම එකක් තුළම ස්වයංක්‍රීය රේඛාවේ අක්‍රිය වීමක් සිදු විය හැකිය. එක් එක් කාල පරතරය සඳහා මෙහි සම්භාවිතාව කුඩා සහ නියත වේ.

2. ගැටළු අහඹු ලෙස නියමිත වේලාවට පිහිටා ඇති බව උපකල්පනය කෙරේ.

3. ඕනෑම දින පහක් තුළ අසාර්ථක වීමේ සාමාන්ය සංඛ්යාව නියත බව උපකල්පනය කෙරේ.

දින පහක් තුළ අසාර්ථක වීමේ සාමාන්ය සංඛ්යාව 3.4 කි. එබැවින් දිනකට අසමත්වීම් ගණන:

ප්රතිඵලයක් වශයෙන්,

ඉල්ලීම් පැමිණීමට පටන් ගත් ආකාරය: "පොයිසන් කොහෙද? Poisson සූත්‍රයේ කාර්ය කොහෙද? සහ යනාදි. ඉතින් මම පටන් ගන්නම් පුද්ගලික භාවිතයවිෂ බෙදා හැරීම - ද්රව්ය සඳහා ඉහළ ඉල්ලුමක් හේතුවෙන්.

කාර්යය වේදනාකාරී ලෙස ප්‍රීතියෙන් හුරුපුරුදු ය:

පහත සඳහන් කාර්යයන් දෙක පෙර ඒවාට වඩා මූලික වශයෙන් වෙනස් ය:

උදාහරණය 4

අහඹු විචල්‍යය ගණිතමය අපේක්ෂාව සමඟ පොයිසන්ගේ නියමයට යටත් වේ. දී ඇති අහඹු විචල්‍යයක් එහි ගණිතමය අපේක්ෂාවට වඩා අඩු අගයක් ගන්නා සම්භාවිතාව සොයන්න.

වෙනස තමයි මෙතනදි අපි හරියටම කතා කරන්නේ Poisson බෙදාහැරීම ගැන.

විසඳුමක්: සසම්භාවී විචල්‍ය අගයන් ගනී සම්භාවිතාවන් සමඟ:

කොන්දේසිය අනුව, සහ මෙහි සෑම දෙයක්ම සරලයි: සිද්ධිය තුනකින් සමන්විත වේ නොගැලපෙන ප්රතිඵල:

අහඹු විචල්‍යයක් එහි ගණිතමය අපේක්ෂාවට වඩා අඩු අගයක් ලබා ගැනීමේ සම්භාවිතාව.

පිළිතුර:

සමාන අවබෝධතා කාර්යයක්:

උදාහරණ 5

අහඹු විචල්‍යය ගණිතමය අපේක්ෂාව සමඟ පොයිසන්ගේ නියමයට යටත් වේ. දී ඇති අහඹු විචල්‍යය ගන්නා සම්භාවිතාව සොයන්න ධනාත්මක අගය.

පාඩම අවසානයේ විසඳුම සහ පිළිතුර.

ඒ හැරුණු කොට ආසන්න වශයෙන්ද්විපද ව්යාප්තිය(උදාහරණ 1-3), Poisson ව්‍යාප්තිය සොයා ගන්නා ලදී පුළුල් යෙදුමතුල සිද්ධාන්ත පෝලිමේ සම්භාවිතා ලක්ෂණයක් සඳහා සරලමසිදුවීම් ධාරාව. මම සංක්ෂිප්ත වීමට උත්සාහ කරමි:

සමහර පද්ධතියට ඉල්ලීම් ලැබීමට ඉඩ දෙන්න ( දුරකථන ඇමතුම්, පැමිණෙන පාරිභෝගිකයන්, ආදිය). යෙදුම් ප්රවාහය ලෙස හැඳින්වේ සරලමඑය කොන්දේසි සපුරාලන්නේ නම් ස්ථාවරත්වය, ප්රතිවිපාක නොමැතිකමහා සාමාන්ය. නිශ්චලතාවයෙන් අදහස් කරන්නේ යෙදුම්වල තීව්‍රතාවයයි නියතසහ දවසේ වේලාව, සතියේ දිනය හෝ වෙනත් කාල රාමු මත රඳා නොපවතී. වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, "කඩිමුඩියේ පැයක්" නොමැති අතර "මළ පැයක්" නොමැත. ප්රතිවිපාක නොමැතිකම යනු නව යෙදුම්වල පෙනුමේ සම්භාවිතාව "ප්රාග් ඓතිහාසික" මත රඳා නොපවතින බවයි, i.e. “එක් ආච්චි කෙනෙක් පැවසූ” සහ අනෙක් අය “ඇතුළට දිව ගිය” (හෝ අනෙක් අතට පලා ගිය) එවැනි දෙයක් නොමැත. තවද, අවසාන වශයෙන්, සාමාන්‍යත්වයේ දේපල සංලක්ෂිත වන්නේ ඒ සඳහා ය ප්රමාණවත් තරම් කුඩාකාල විරාමය පාහේ කළ නොහැක්කකි යෙදුම් දෙකක හෝ වැඩි ගණනක පෙනුම. "දොර ගාව වයසක ගෑනු දෙන්නෙක්?" - නැහැ, සමාවෙන්න.

එබැවින්, සමහර පද්ධතියට සරලම ඉල්ලීම් ගලා යාමට ඉඩ දෙන්න මධ්යම තීව්රතාවයකින්විනාඩියකට ඉල්ලීම් (පැයකට, දිනකට හෝ ඕනෑම කාල පරතරයකින්). එවිට සම්භාවිතාව යම් කාලයක් සඳහා, පද්ධතියට හරියටම ඉල්ලීම් ලැබෙනු ඇත, සමාන වේ:

උදාහරණය 6

ටැක්සි ඩිස්පචර් වෙත ලැබෙන ඇමතුම් පැයකට ඇමතුම් 30ක සාමාන්‍ය තීව්‍රතාවයකින් යුත් සරලම පොයිසන් ප්‍රවාහය නියෝජනය කරයි. සම්භාවිතාව සොයන්න: a) විනාඩි 1 කින්. ඇමතුම් 2-3 ක් ලැබෙනු ඇත, ආ) විනාඩි පහක් ඇතුළත අවම වශයෙන් එක් ඇමතුමක්වත් ලැබෙනු ඇත.

විසඳුමක්: Poisson සූත්‍රය භාවිතා කරන්න:

අ) ප්‍රවාහයේ නිශ්චලතාව අනුව, අපි විනාඩි 1 කට සාමාන්‍ය ඇමතුම් ගණන ගණනය කරමු:
ඇමතුම් - සාමාන්‍ය විනාඩියක්.

නොගැලපෙන සිදුවීම්වල සම්භාවිතා එකතු කිරීමේ ප්රමේයය අනුව:
- විනාඩි 1 කින් පාලක මැදිරියට ඇමතුම් 2-3ක් ලැබීමේ සම්භාවිතාව.

ආ) මිනිත්තු පහකට සාමාන්‍ය ඇමතුම් ගණන ගණනය කරන්න:

බොහෝ ප්‍රායෝගික ගැටළු වලදී, Poisson's නියමය ලෙස හඳුන්වන විශේෂ නීතියකට අනුව බෙදා හරින අහඹු විචල්‍යයන් සමඟ කටයුතු කිරීමට සිදුවේ.

නිඛිල, සෘණ නොවන අගයන් පමණක් ගත හැකි අඛණ්ඩ අහඹු විචල්‍යයක් සලකා බලන්න:

සහ මෙම අගයන්හි අනුපිළිවෙල න්‍යායාත්මකව අසීමිත වේ.

අහඹු විචල්‍යයක් යම් අගයක් ගන්නා සම්භාවිතාව සූත්‍රයෙන් ප්‍රකාශ කළහොත් එය පොයිසන් නියමයට අනුව බෙදා හරින බව කියනු ලැබේ.

a යනු යම් ධන අගයක් වන අතර එය Poisson නීති පරාමිතිය ලෙස හැඳින්වේ.

අහඹු විචල්‍යයක ව්‍යාප්ති ශ්‍රේණියට, පොයිසන්ගේ නියමයට අනුව බෙදා හරින ලද, පෝරමය ඇත:

සූත්‍රය (5.9.1) මගින් ලබා දී ඇති සම්භාවිතා අනුක්‍රමය බෙදා හැරීමේ ශ්‍රේණියක් විය හැකි බව අපි මුලින්ම සහතික කර ගනිමු, i.e. සියලු සම්භාවිතාවන්හි එකතුව එකකට සමාන බව. අපිට තියනවා:

.

අත්තික්කා මත. 5.9.1, Poisson ගේ නියමය අනුව බෙදා හරින ලද අහඹු විචල්‍යයක ව්‍යාප්තියේ බහුඅස්‍ර පෙන්වයි. විවිධ අර්ථපරාමිතිය . උපග්රන්ථයේ 8 වගුව විවිධ සඳහා අගයන් ලැයිස්තුගත කරයි.

Poisson නීතියට අනුව බෙදා හරින ලද අහඹු විචල්‍යයක ප්‍රධාන ලක්ෂණ - ගණිතමය අපේක්ෂාව සහ විචලනය - නිර්වචනය කරමු. ගණිතමය අපේක්ෂාව අර්ථ දැක්වීම අනුව

.

එකතුවේ පළමු පදය (අනුරූපී) ශුන්‍යයට සමාන වේ, එබැවින් සමාකලනය ආරම්භ කළ හැක්කේ:

අපි සටහන් කරමු; එවිට

. (5.9.2)

මේ අනුව, පරාමිතිය යනු අහඹු විචල්‍යයක ගණිතමය අපේක්ෂාවට වඩා වැඩි දෙයක් නොවේ.

විසරණය තීරණය කිරීම සඳහා, අපි මුලින්ම ප්‍රමාණයේ දෙවන ආරම්භක මොහොත සොයා ගනිමු:

කලින් ඔප්පු කර ඇති පරිදි

තව,

මේ අනුව, Poisson නියමය අනුව බෙදා හරින ලද අහඹු විචල්‍යයක විසරණය එහි ගණිතමය අපේක්ෂාවට සමාන වේ.

අහඹු විචල්‍යයක් පොයිසන්ගේ නියමයට අනුව බෙදා හරිනු ලැබේ යන කල්පිතය පිළිගත හැකිද යන්න තීරණය කිරීම සඳහා Poisson ව්‍යාප්තියේ මෙම ගුණය බොහෝ විට භාවිතා වේ. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අහඹු විචල්‍යයක සංඛ්‍යානමය ලක්ෂණ - ගණිතමය අපේක්ෂාව සහ විචලනය - අත්දැකීමෙන් තීරණය කරන්න. ඔවුන්ගේ අගයන් සමීප නම්, මෙය Poisson බෙදාහැරීමේ කල්පිතයට පක්ෂව තර්කයක් ලෙස සේවය කළ හැකිය; මෙම ලක්ෂණවල තියුණු වෙනසක්, ඊට පටහැනිව, උපකල්පනයට එරෙහිව සාක්ෂි දරයි.

Poisson නියමයට අනුව බෙදා හරින ලද අහඹු විචල්‍යයක් සඳහා, එය ලබා දී ඇති අගයකට නොඅඩු අගයක් ගැනීමේ සම්භාවිතාව තීරණය කරමු. අපි මෙම සම්භාවිතාව දක්වන්නෙමු:

නිසැකවම, සම්භාවිතාව එකතුව ලෙස ගණනය කළ හැකිය

කෙසේ වෙතත්, ප්රතිවිරුද්ධ සිදුවීමේ සම්භාවිතාවෙන් එය තීරණය කිරීම වඩාත් පහසු වේ:

(5.9.4)

විශේෂයෙන්, අගය ධනාත්මක අගයක් ගැනීමේ සම්භාවිතාව සූත්රය මගින් ප්රකාශ කරනු ලැබේ

(5.9.5)

බොහෝ ප්‍රායෝගික කර්තව්‍යයන් විෂ බෙදා හැරීමකට තුඩු දෙන බව අපි දැනටමත් සඳහන් කර ඇත්තෙමු. මේ ආකාරයේ සාමාන්ය ගැටළු වලින් එකක් සලකා බලන්න.

ලකුණු අහඹු ලෙස x-අක්ෂයේ Ox මත බෙදා හැරීමට ඉඩ දෙන්න (රූපය 5.9.2). අපි එහෙම හිතමු අහඹු බෙදා හැරීමලකුණු පහත කොන්දේසි සපුරාලයි:

1. කොටසක දී ඇති ලක්ෂ්‍ය ගණනකට පහර දීමේ සම්භාවිතාව රඳා පවතින්නේ මෙම කොටසේ දිග මත පමණි, නමුත් x අක්ෂය මත එහි පිහිටීම මත රඳා නොපවතී. වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, ලක්ෂ්‍ය එකම සාමාන්‍ය ඝනත්වයකින් x-අක්ෂයේ බෙදා හැරේ. මෙම ඝනත්වය (එනම් ඒකක දිගකට ලක්ෂ්‍ය සංඛ්‍යාවේ ගණිතමය අපේක්ෂාව) ලෙස දක්වමු.

2. ලකුණු x-අක්ෂය මත එකිනෙකින් ස්වාධීනව බෙදා හරිනු ලැබේ, i.e. දී ඇති කොටසකට ලකුණු එකක් හෝ තවත් සංඛ්‍යාවක් වැටීමේ සම්භාවිතාව රඳා පවතින්නේ ඒවායින් කීයක් එය සමඟ අතිච්ඡාදනය නොවන වෙනත් අංශයකට වැටේ ද යන්න මත නොවේ.

3. එක් ලක්ෂ්‍යයක් වැදීමේ සම්භාවිතාව හා සසඳන විට ලකුණු දෙකක් හෝ වැඩි කුඩා ප්‍රදේශයකට පහර දීමේ සම්භාවිතාව නොසැලකිය හැකිය (මෙම කොන්දේසිය යනු ලකුණු දෙකක් හෝ වැඩි ගණනක් අහඹු සිදුවීමේ ප්‍රායෝගික නොහැකියාවයි).

අපි abscissa අක්ෂයේ නිශ්චිත දිග කොටසක් වෙන් කර විවික්ත අහඹු විචල්‍යයක් සලකා බලමු - මෙම කොටස මත වැටෙන ලකුණු ගණන. ප්‍රමාණයේ විය හැකි අගයන් වනු ඇත

ලකුණු එකිනෙකින් ස්වාධීනව කොටස මත වැටෙන බැවින්, න්‍යායාත්මකව ඒවායින් අත්තනෝමතික ලෙස විශාල සංඛ්‍යාවක් තිබිය හැකිය, i.e. මාලාව (5.9.6) දින නියමයක් නොමැතිව දිගටම පවතී.

අහඹු විචල්‍යයට Poisson බෙදා හැරීමේ නියමය ඇති බව අපි ඔප්පු කරමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි හරියටම ලකුණු කොටස මත වැටෙන සම්භාවිතාව ගණනය කරමු.

අපි මුලින්ම තවත් විසඳමු සරල කාර්යයක්. Ox අක්ෂය මත කුඩා කොටසක් සලකා බලා මෙම කොටස මත අවම වශයෙන් එක් ලක්ෂයක් වැටෙන සම්භාවිතාව ගණනය කරන්න. අපි පහත පරිදි තර්ක කරන්නෙමු. මෙම කොටස මත වැටෙන ලක්ෂ්‍ය සංඛ්‍යාවේ ගණිතමය අපේක්ෂාව පැහැදිලිවම සමාන වේ (ඒකක දිගකට සාමාන්‍යයෙන් ලකුණු ඇති නිසා). 3 වන කොන්දේසියට අනුව, කුඩා කොටසකට, එය මත ලකුණු දෙකක් හෝ වැඩි ගණනක් වැටීමේ හැකියාව නොසලකා හැරිය හැක. එබැවින්, කොටස මත වැටෙන ලක්ෂ්‍ය සංඛ්‍යාවේ ගණිතමය අපේක්ෂාව එය මත එක් ලක්ෂ්‍යයක් වැටීමේ සම්භාවිතාවට ආසන්න වශයෙන් සමාන වේ (හෝ, එය අපගේ කොන්දේසි වලට සමාන වේ, අවම වශයෙන් එකක්).

මේ අනුව, අනන්තය දක්වා උසස් මට්ටමේ නියෝගයක්, වෙබ් අඩවියේ එක් ලක්ෂයක් (අවම වශයෙන් එක්) ලක්ෂ්‍යයක් වැටීමේ සම්භාවිතාව සලකා බැලිය හැකි විට , සහ කිසිවෙක් සමාන නොවන බවට සම්භාවිතාව .

කොටසේ හරියටම ලකුණු වැදීමේ සම්භාවිතාව ගණනය කිරීමට මෙය භාවිතා කරමු. කොටස දිගේ සමාන කොටස් වලට බෙදන්න. මූලික ඛණ්ඩයක් එහි තනි ලක්ෂ්‍යයක් නොමැති නම් "හිස්" ලෙසත්, අවම වශයෙන් එකක් හෝ එයට වැටී ඇත්නම් "හිස්" ලෙසත් හැඳින්වීමට එකඟ වෙමු. ඉහත සඳහන් කළ පරිදි, කොටස "හිඳගෙන සිටීමේ" සම්භාවිතාව ආසන්න වශයෙන් සමාන වේ; එය "හිස්" වීමේ සම්භාවිතාව වේ. 2 වන කොන්දේසියට අනුව, අතිච්ඡාදනය නොවන කොටස්වල ලක්ෂ්‍යවල පහර ස්වාධීන වන බැවින්, අපගේ n කොටස් ස්වාධීන “අත්හදා බැලීම්” ලෙස සැලකිය හැකිය, එම එක් එක් කොටස සම්භාවිතාව සමඟ “වාඩි වී” ගත හැකිය. කොටස් අතර හරියටම "කාර්යබහුල" වීමේ සම්භාවිතාව සොයන්න. පුනරාවර්තන ප්රමේයය අනුව, මෙම සම්භාවිතාව සමාන වේ

හෝ, දැක්වීම

(5.9.7)

ප්‍රමාණවත් තරම් විශාල සඳහා, මෙම සම්භාවිතාව ඛණ්ඩය මතට ලකුණු දෙකක් හෝ වැඩි ගණනක් වැටෙන බැවින් නොසැලකිය හැකි සම්භාවිතාවක් ඇති බැවින්, මෙම සම්භාවිතාව ඛණ්ඩය මත හරියටම ලකුණු වැටෙන සම්භාවිතාවට ආසන්න වශයෙන් සමාන වේ. සොයා ගැනීම සඳහා නියම අගය, ප්‍රකාශනයේ (5.9.7) සීමාවට යාමට අවශ්‍ය වේ:

(5.9.8)

සීමාව ලකුණ යටතේ ප්රකාශනය පරිවර්තනය කරමු:

(5.9.9)

ප්‍රකාශනයේ (5.9.9) අවසාන භාගයේ පළමු භාගය සහ හරය පැහැදිලිවම එකමුතුවට නැඹුරු වේ. ප්රකාශනය රඳා නොපවතී. අවසාන භාගයේ සංඛ්යාංකය පහත පරිදි පරිවර්තනය කළ හැකිය:

(5.9.10)

විට සහ ප්රකාශනය (5.9.10) නැඹුරු වේ. මේ අනුව, නිශ්චිත ලක්ෂ්‍ය කොටසකට වැටීමේ සම්භාවිතාව සූත්‍රයෙන් ප්‍රකාශ වන බව ඔප්පු වී ඇත.

කොහෙද, i.e. X ප්‍රමාණය පරාමිතිය සමඟ Poisson නීතියට අනුව බෙදා හරිනු ලැබේ.

අගයෙහි තේරුම කොටසකට සාමාන්‍ය ලකුණු සංඛ්‍යාව බව සලකන්න.

විශාලත්වය (X ධනාත්මක වීමේ සම්භාවිතාව) තුළ මෙම නඩුවකොටස මත අවම වශයෙන් එක් ලක්ෂයක් වැටෙන සම්භාවිතාව ප්රකාශ කරයි:

මේ අනුව, සමහර ලක්ෂ්‍ය (හෝ වෙනත් මූලද්‍රව්‍ය) එකිනෙකින් ස්වායත්තව අහඹු ස්ථානයක් ගන්නා විට විෂ ව්‍යාප්තිය සිදුවන බවත්, යම් ප්‍රදේශයකට වැටෙන මෙම ලක්ෂ්‍ය ගණන ගණනය කරන බවත් අපි දුටුවෙමු. අපගේ නඩුවේදී, එවැනි "ප්රදේශයක්" x-අක්ෂයේ කොටසකි. කෙසේ වෙතත්, අපගේ නිගමනය පහසුවෙන් තලයේ (ලකුණුවල අහඹු පැතලි ක්ෂේත්‍රය) සහ අභ්‍යවකාශයේ (ලකුණුවල අහඹු අවකාශීය ක්ෂේත්‍රය) ලක්ෂ්‍ය බෙදා හැරීමේ අවස්ථාවට පහසුවෙන් දිගු කළ හැකිය. පහත සඳහන් කොන්දේසි සපුරා ඇත්නම් ඔප්පු කිරීම පහසුය:

1) සාමාන්‍ය ඝනත්වයක් සහිත ක්ෂේත්‍රයේ සංඛ්‍යානමය වශයෙන් ඒකාකාරව ලකුණු බෙදා හැරේ;

2) ලකුණු ස්වාධීනව අතිච්ඡාදනය නොවන කලාපවලට වැටේ;

3) ලකුණු තනිව දිස්වන අතර යුගල වශයෙන්, ත්‍රිත්ව, යනාදී වශයෙන් නොවේ, එවිට ඕනෑම ප්‍රදේශයකට වැටෙන ලකුණු ගණන (පැතලි හෝ අවකාශීය) Poisson නීතියට අනුව බෙදා හරිනු ලැබේ:

ප්රදේශයට වැටෙන සාමාන්ය ලකුණු සංඛ්යාව කොහෙද?

පැතලි නඩුව සඳහා

කලාපයේ ප්රදේශය කොහිද; අවකාශීය සඳහා

කලාපයේ පරිමාව කොහෙද.

කොටසකට හෝ කලාපයකට වැටෙන ලක්ෂ්‍ය සංඛ්‍යාවේ Poisson ව්‍යාප්තිය සඳහා නියත ඝනත්වයේ () තත්ත්වය අත්‍යවශ්‍ය නොවන බව සලකන්න. අනෙක් කොන්දේසි දෙක සපුරා ඇත්නම්, පොයිසන්ගේ නියමය තවමත් සිදු වේ, එහි පරාමිතිය a පමණක් වෙනස් ප්‍රකාශනයක් ලබා ගනී: එය ලබා ගන්නේ කලාපයේ දිග, ප්‍රදේශය හෝ පරිමාවෙන් ඝනත්වය සරලව ගුණ කිරීමෙන් නොව ඒකාබද්ධ කිරීමෙනි. කොටසක්, ප්රදේශයක් හෝ පරිමාවක් මත විචල්ය ඝනත්වය. (මේ පිළිබඳ වැඩි විස්තර සඳහා, n° 19.4 බලන්න)

රේඛාවක, තලයක හෝ පරිමාවක විසිරී ඇති අහඹු ලක්ෂ්‍ය තිබීම විෂ ව්‍යාප්තිය සිදු වන එකම කොන්දේසිය නොවේ. නිදසුනක් වශයෙන්, පොයිසන්ගේ නීතිය ද්විපද ව්‍යාප්තිය සඳහා සීමා කරන බව කෙනෙකුට ඔප්පු කළ හැකිය:

, (5.9.12)

අපි එකවර අත්හදා බැලීම් සංඛ්‍යාව අනන්තයටත්, සම්භාවිතාව ශුන්‍යයටත් යොමු කරන්නේ නම් සහ ඒවායේ නිෂ්පාදනය නියතව පවතී නම්:

ඇත්ත වශයෙන්ම, ද්විපද ව්‍යාප්තියේ මෙම සීමාකාරී ගුණය මෙසේ ලිවිය හැකිය:

. (5.9.14)

නමුත් කොන්දේසියෙන් (5.9.13) එය අනුගමනය කරයි

(5.9.15) (5.9.14) බවට ආදේශ කිරීම, අපි සමානාත්මතාවය ලබා ගනිමු

, (5.9.16)

එය තවත් අවස්ථාවක අප විසින් ඔප්පු කර ඇත.

ද්විපද නීතියේ මෙම සීමාකාරී දේපල බොහෝ විට ප්‍රායෝගිකව භාවිතා වේ. නිෂ්පාදනය කළා කියමු විශාල සංඛ්යාවක්ස්වාධීන අත්හදා බැලීම්, එක් එක් සිද්ධිය ඉතා කුඩා සම්භාවිතාවක් ඇත. ඉන්පසුව, සිදුවීමක් හරියටම එක් වරක් සිදුවීමේ සම්භාවිතාව ගණනය කිරීම සඳහා, ඔබට ආසන්න සූත්‍රය භාවිතා කළ හැකිය:

, (5.9.17)

ආසන්න වශයෙන් ප්‍රතිස්ථාපනය වන එම Poisson's නියමයේ පරාමිතිය කොහිද? ද්විපද ව්යාප්තිය.

Poisson's නියමයේ මෙම ගුණාංගයෙන් - අත්හදා බැලීම් විශාල සංඛ්‍යාවක් සහ සිදුවීමක කුඩා සම්භාවිතාවක් සඳහා ද්විපද ව්‍යාප්තිය ප්‍රකාශ කිරීමට - එහි නම පැමිණේ, බොහෝ විට සංඛ්‍යාලේඛන පෙළපොත් වල භාවිතා වේ: දුර්ලභ සංසිද්ධි නීතිය.

විවිධ ක්‍ෂේත්‍රවලින් විෂ ව්‍යාප්තියට අදාළ උදාහරණ කිහිපයක් බලමු.

උදාහරණ 1: ස්වයංක්‍රීය දුරකථන හුවමාරුවකට පැයකට සාමාන්‍ය ඇමතුම් ඝනත්වයකින් ඇමතුම් ලැබේ. ඕනෑම කාල සීමාවක ඇමතුම් සංඛ්‍යාව පොයිසන් නීතියට අනුව බෙදා හරින බව උපකල්පනය කළහොත්, මිනිත්තු දෙකකින් හරියටම ඇමතුම් තුනක් දුම්රිය ස්ථානයට පැමිණීමේ සම්භාවිතාව සොයා ගන්න.

විසඳුමක්. මිනිත්තු දෙකකට සාමාන්‍ය ඇමතුම් ගණන:

වර්ග මීටර්. ඉලක්කයට පහර දීමට, එය පහර දීමට අවම වශයෙන් එක් කැබැල්ලක් ප්රමාණවත්ය. අත්හිටුවීමේ ලක්ෂ්‍යයේ දී ඇති ස්ථානය සඳහා ඉලක්කයට පහර දීමේ සම්භාවිතාව සොයන්න.

විසඳුමක්. . සූත්‍රය (5.9.4) භාවිතා කරමින්, අපි අවම වශයෙන් එක් කැබැල්ලකට පහර දීමේ සම්භාවිතාව සොයා ගනිමු:

(අගය ගණනය කිරීමට ඝාතීය ශ්රිතයඋපග්රන්ථයේ 2 වගුව භාවිතා කරන්න).

උදාහරණ 7 සාමාන්ය ඝනත්වයඑක් ව්යාධිජනක ක්ෂුද්ර ජීවීන් ඝන මීටර්වාතය 100. සාම්පලයක් සඳහා ඝන මීටර් 2 ක් ගනු ලැබේ. dm වාතය. අවම වශයෙන් එක් ක්ෂුද්‍ර ජීවියෙකුවත් එහි ඇති සම්භාවිතාව සොයන්න.

විසඳුමක්. පරිමාවක ඇති ක්ෂුද්‍ර ජීවීන් සංඛ්‍යාවේ විෂ ව්‍යාප්තිය පිළිබඳ උපකල්පනය පිළිගනිමින්, අපි සොයා ගන්නේ:

උදාහරණ 8. යම් ඉලක්කයකට ස්වාධීන වෙඩි 50 ක් එල්ල වේ. එක් පහරකින් ඉලක්කයට පහර දීමේ සම්භාවිතාව 0.04 කි. ද්විපද ව්‍යාප්තියේ සීමාකාරී ගුණය භාවිතා කරමින් (සූත්‍රය (5.9.17)), ඉලක්කයට පහර දෙන සම්භාවිතාව ආසන්න වශයෙන් සොයන්න: ප්‍රක්ෂේපණයක් නැත, එක් ප්‍රක්ෂේපණයක්, ප්‍රක්ෂේපණ දෙකක්.

විසඳුමක්. අපිට තියනවා . යෙදුමේ 8 වන වගුව අනුව, අපි සම්භාවිතාව සොයා ගනිමු.

බොහෝ ප්‍රායෝගිකව වැදගත් යෙදුම්වල විශාල කාර්යභාරයක් Poisson බෙදාහැරීම ඉටු කරයි. බොහෝ සංඛ්යා විවික්ත ප්රමාණපහත සඳහන් ගුණාංග සහිත විෂ ක්‍රියාවලියක සාක්ෂාත් කර ගැනීම් වේ:

• අහඹු අත්හදා බැලීමක දී ඇති විය හැකි ප්‍රතිඵල පරාසයක සිදුවීමක් කොපමණ වාර ගණනක් සිදු වේද යන්න ගැන අපි උනන්දු වෙමු. විය හැකි ප්‍රතිඵලවල ප්‍රදේශය කාල පරතරයක්, ඛණ්ඩයක්, මතුපිටක් සහ යනාදිය විය හැකිය.
• දී ඇති සිදුවීමක සම්භාවිතාව හැකි ප්‍රතිඵලවල සියලුම ක්ෂේත්‍ර සඳහා සමාන වේ.
• හැකි ප්‍රතිඵලවල එක් ක්ෂේත්‍රයක සිදුවන සිදුවීම් සංඛ්‍යාව අනෙකුත් ක්ෂේත්‍රවල සිදුවන සිදුවීම් සංඛ්‍යාව මත රඳා නොපවතී.
• ලබා දී ඇති සිදුවීමක් එකම ප්‍රතිඵල පරාසයක එක් වරකට වඩා සිදුවීමේ සම්භාවිතාව විය හැකි ප්‍රතිඵල පරාසය අඩු වන විට බිංදුවට නැඹුරු වේ.

Poisson ක්‍රියාවලියේ අර්ථය පිළිබඳ ගැඹුරු අවබෝධයක් ලබා ගැනීම සඳහා, මධ්‍යම ව්‍යාපාරික දිස්ත්‍රික්කයේ පිහිටි බැංකු ශාඛාවකට දිවා ආහාරය අතරතුර පැමිණෙන ගනුදෙනුකරුවන්ගේ සංඛ්‍යාව අපි පරීක්ෂා කර බලමු. පැය 12 සිට 13 දක්වා. ඔබට විනාඩියකට පැමිණෙන පාරිභෝගිකයින් ගණන තීරණය කිරීමට අවශ්‍ය යැයි සිතමු. මෙම තත්ත්වය ඉහත ලැයිස්තුගත කර ඇති ලක්ෂණ තිබේද? පළමුව, අප උනන්දු වන සිදුවීම සේවාලාභියාගේ පැමිණීම වන අතර, හැකි ප්රතිඵල පරාසය මිනිත්තු එකක පරතරයකි. විනාඩියකට ගනුදෙනුකරුවන් කී දෙනෙක් බැංකුවට පැමිණේවිද - කිසිවෙක්, එකක්, දෙකක් හෝ වැඩි ගණනක්? දෙවනුව, පාරිභෝගිකයෙකු විනාඩියක් ඇතුළත පැමිණීමේ සම්භාවිතාව සියලු මිනිත්තු කාල පරතරයන් සඳහා සමාන වේ යැයි උපකල්පනය කිරීම සාධාරණ ය. තෙවනුව, ඕනෑම විනාඩියක කාල පරතරයක් තුළ එක් සේවාදායකයෙකුගේ පැමිණීම වෙනත් ඕනෑම විනාඩියක කාල පරතරයක් තුළ වෙනත් ඕනෑම සේවාදායකයෙකුගේ පැමිණීමෙන් ස්වාධීන වේ. තවද, අවසාන වශයෙන්, කාල පරතරය බිංදුවට නැඹුරු වුවහොත්, උදාහරණයක් ලෙස, තත්පර 0.1 ට වඩා අඩු නම්, එක් සේවාදායකයෙකුට වඩා වැඩි ගණනක් බැංකුවට පැමිණීමේ සම්භාවිතාව බිංදුවට නැඹුරු වේ. ඉතින්, විනාඩියක් ඇතුළත දිවා ආහාරය අතරතුර බැංකුවට පැමිණෙන ගනුදෙනුකරුවන්ගේ සංඛ්යාව Poisson බෙදාහැරීම මගින් විස්තර කෙරේ.

Poisson ව්‍යාප්තියට එක් පරාමිතියක් ඇත, එය සංකේතය λ (ග්‍රීක අකුර "ලැම්ඩා") මගින් දැක්වේ - ලබා දී ඇති හැකි ප්‍රතිඵල පරාසයක සාර්ථක අත්හදා බැලීම් සංඛ්‍යාව. Poisson ව්‍යාප්තියේ විචලනය ද λ වන අතර එහි සම්මත අපගමනය වේ. සාර්ථක අත්හදා බැලීම් ගණන x Poisson සසම්භාවී විචල්‍යය 0 සිට අනන්තය දක්වා වෙනස් වේ. විෂ බෙදා හැරීම සූත්‍රය මගින් විස්තර කෙරේ:

කොහෙද P(X)- සම්භාවිතාව xසාර්ථක අත්හදා බැලීම්, λ යනු අපේක්ෂිත සාර්ථකත්වයන් ගණනයි, ඊ- පදනම ස්වභාවික ලඝුගණකය, 2.71828 ට සමාන, x- කාල ඒකකයකට සාර්ථකත්වයන් ගණන.

අපි අපේ උදාහරණයට ආපසු යමු. දිවා ආහාර විවේකයේදී සාමාන්‍යයෙන් විනාඩියකට ගනුදෙනුකරුවන් තිදෙනෙක් බැංකුවට පැමිණෙන බව කියමු. දෙන ලද මිනිත්තුවකදී ගනුදෙනුකරුවන් දෙදෙනෙකු බැංකුවට පැමිණීමේ සම්භාවිතාව කොපමණද? ගනුදෙනුකරුවන් දෙදෙනෙකුට වඩා බැංකුවට පැමිණීමේ සම්භාවිතාව කුමක්ද?

අපි සූත්‍රය (1) λ = 3 පරාමිතිය සමඟ යොදමු. එවිට දී ඇති මිනිත්තුවකදී සේවාදායකයින් දෙදෙනෙකු බැංකුවට පැමිණීමේ සම්භාවිතාව සමාන වේ.

බැංකුවට ගනුදෙනුකරුවන් දෙදෙනෙකුට වඩා පැමිණීමේ සම්භාවිතාව P(X > 2) = P(X = 3) + P(X = 4) + ... + P(X = ∞) . සියලුම සම්භාවිතාවන්හි එකතුව 1 ට සමාන විය යුතු බැවින්, සූත්‍රයේ දකුණු පැත්තේ ඇති ශ්‍රේණියේ සාමාජිකයන් X ≤ 2 සිදුවීමට එකතු වීමේ සම්භාවිතාව නියෝජනය කරයි. වෙනත් වචනවලින් කිවහොත්, මෙම ශ්‍රේණියේ එකතුව 1 - P වේ. (X ≤ 2). මේ අනුව, P(X> 2) = 1 - P(X≤2) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)]. දැන්, සූත්රය (1) භාවිතා කරමින්, අපි ලබා ගන්නේ:

මේ අනුව, මිනිත්තුවක් ඇතුළත ගනුදෙනුකරුවන් දෙදෙනෙකුට වඩා බැංකුවට නොපැමිණීමේ සම්භාවිතාව 0.423 (හෝ 42.3%) වන අතර, මිනිත්තුවක් ඇතුළත ගනුදෙනුකරුවන් දෙදෙනෙකුට වඩා වැඩි පිරිසක් බැංකුවට පැමිණීමේ සම්භාවිතාව 0.577 (හෝ 57.7 %) වේ.

විශේෂයෙන් පරාමිතිය λ ප්රමාණවත් තරම් විශාල නම්, එවැනි ගණනය කිරීම් වෙහෙසකාරී බවක් පෙනෙන්නට තිබේ. සංකීර්ණ ගණනය කිරීම් වලක්වා ගැනීම සඳහා, බොහෝ Poisson සම්භාවිතාවන් විශේෂ වගු වලින් සොයාගත හැකිය (රූපය 1). උදාහරණයක් ලෙස, සාමාන්‍යයෙන් මිනිත්තුවකට ගනුදෙනුකරුවන් තිදෙනෙකු බැංකුවට පැමිණෙන්නේ නම්, දී ඇති මිනිත්තුවකදී ගනුදෙනුකරුවන් දෙදෙනෙකු බැංකුවට පැමිණීමේ සම්භාවිතාව රේඛාවේ මංසන්ධියේදී වේ. x= 2 සහ තීරුව λ = 3. මේ අනුව, එය 0.2240 හෝ 22.4% ට සමාන වේ.

සහල්. 1. λ = 3 සඳහා විෂ සම්භාවිතාව

දැන් Excel එහි ශ්‍රිතය =POISSON.DIST() (රූපය 2) සමඟ ඇත්නම් කිසිවෙකු වගු භාවිතා කරනු ඇතැයි සිතිය නොහැක. මෙම කාර්යයට පරාමිති තුනක් ඇත: සාර්ථක අත්හදා බැලීම් ගණන x, සාමාන්‍ය අපේක්ෂිත සාර්ථක අත්හදා බැලීම් සංඛ්‍යාව λ, පරාමිතිය අනුකලනය, අගයන් දෙකක් ගනී: FALSE - මෙම අවස්ථාවෙහිදී, සාර්ථක අත්හදා බැලීම් ගණනේ සම්භාවිතාව ගණනය කෙරේ. x(X පමණි), TRUE - මෙම අවස්ථාවෙහිදී, 0 සිට සාර්ථක අත්හදා බැලීම් ගණනක සම්භාවිතාව X.

සහල්. 2. λ = 3 සඳහා Poisson බෙදා හැරීමේ සම්භාවිතා Excel හි ගණනය කිරීම

Poisson ව්‍යාප්තිය භාවිතා කරමින් ද්විපද ව්‍යාප්තිය ආසන්න කිරීම

අංකය නම් nවිශාල, සහ සංඛ්යාව ආර්- කුඩා, Poisson ව්‍යාප්තිය භාවිතයෙන් ද්විපද ව්‍යාප්තිය ආසන්න කළ හැක. විශාල සංඛ්යාවක් nහා අඩු සංඛ්යාවක් ආර්, ආසන්නයේ නිරවද්‍යතාවය වැඩි වේ. ද්විපද ව්‍යාප්තිය ආසන්න කිරීමට පහත Poisson ආකෘතිය භාවිතා වේ.

කොහෙද P(X)- සම්භාවිතාව xලබා දී ඇති පරාමිතීන් සමඟ සාර්ථකත්වය nහා ආර්, n- නියැදි ප්රමාණය, ආර්- සාර්ථකත්වයේ සැබෑ සම්භාවිතාව, ඊස්වාභාවික ලඝුගණකයේ පදනම වේ, x- නියැදියේ සාර්ථකත්වයන් ගණන (X = 0, 1, 2, ..., n).

න්‍යායාත්මකව, Poisson ව්‍යාප්තියක් ඇති අහඹු විචල්‍යයක් 0 සිට ∞ දක්වා අගයන් ගනී. කෙසේ වෙතත්, ද්විපද ව්‍යාප්තිය ආසන්න කිරීමට Poisson ව්‍යාප්තිය භාවිතා කරන අවස්ථා වලදී, Poisson සසම්භාවී විචල්‍යය යනු සාර්ථක වූ සංඛ්‍යාවයි. nනිරීක්ෂණ - සංඛ්යාව ඉක්මවිය නොහැක n. සූත්‍රයෙන් (2) එය සංඛ්‍යාවේ වැඩි වීමක් සමඟ අනුගමනය කරයි nසහ සංඛ්යාව අඩු වීම ආර්සාර්ථකත්වයන් විශාල සංඛ්යාවක් සොයා ගැනීමේ සම්භාවිතාව අඩු වන අතර ශුන්යයට නැඹුරු වේ.

ඉහත සඳහන් කළ පරිදි, ගණිතමය අපේක්ෂාව µ සහ Poisson ව්‍යාප්තියේ විචලනය σ 2 λ ට සමාන වේ. එබැවින්, Poisson ව්‍යාප්තිය භාවිතයෙන් ද්විපද ව්‍යාප්තිය ආසන්න කරන විට, ගණිතමය අපේක්ෂාව ආසන්න කිරීමට සූත්‍රය (3) භාවිතා කළ යුතුය.

(3) µ = Е(Х) = λ =np

සම්මත අපගමනය ආසන්න කිරීමට සූත්‍රය (4) භාවිතා කරයි.

සූත්‍රය (4) මගින් ගණනය කරන ලද සම්මත අපගමනය නැඹුරු වන බව කරුණාවෙන් සලකන්න සම්මත අපගමනයද්විපද ආකෘතියේ, සාර්ථකත්වයේ සම්භාවිතාව ඇති විට පිශුන්යයට නැඹුරු වන අතර, ඒ අනුව, අසාර්ථක වීමේ සම්භාවිතාව 1 - පිසමගියට නැඹුරු වේ.

කිසියම් බලාගාරයක නිපදවන ටයර්වලින් 8%ක් දෝෂ සහිත යැයි සිතන්න. ද්විපද ව්‍යාප්තිය ආසන්න කිරීම සඳහා Poisson ව්‍යාප්තිය භාවිතා කිරීම නිදර්ශනය කිරීම සඳහා, අපි ටයර් 20 ක නියැදියක එක් දෝෂ සහිත ටයරයක් සොයා ගැනීමේ සම්භාවිතාව ගණනය කරමු. අපි සූත්‍රය (2) යොදන්නෙමු, අපි ලබා ගනිමු

අපි එහි ආසන්න අගයට වඩා සත්‍ය ද්විපද ව්‍යාප්තිය ගණනය කරන්නේ නම්, අපට පහත ප්‍රතිඵලය ලැබෙනු ඇත:

කෙසේ වෙතත්, මෙම ගණනය කිරීම් තරමක් වෙහෙසකාරී ය. ඒ අතරම, ඔබ සම්භාවිතාව ගණනය කිරීමට Excel භාවිතා කරන්නේ නම්, Poisson බෙදාහැරීමේ ආසන්න කිරීම භාවිතා කිරීම අතිරික්ත වේ. අත්තික්කා මත. 3 පෙන්නුම් කරන්නේ Excel හි ගණනය කිරීම් වල සංකීර්ණත්වය සමාන බවයි. කෙසේ වෙතත්, මෙම කොටස, මගේ මතය අනුව, යම් යම් තත්වයන් යටතේ ද්විපද ව්යාප්තිය සහ පොයිසන් ව්යාප්තිය සමීප ප්රතිඵල ලබා දෙන බව තේරුම් ගැනීමට ප්රයෝජනවත් වේ.

සහල්. 3. එක්සෙල් හි ගණනය කිරීම් සංකීර්ණත්වය සංසන්දනය කිරීම: (අ) විෂ බෙදා හැරීම; (ආ) ද්විපද ව්‍යාප්තිය

එබැවින්, මෙම සහ පෙර සටහන් දෙකෙහි, විවික්ත සංඛ්‍යාත්මක බෙදාහැරීම් තුනක් සලකා බලන ලදී: , සහ Poisson. මෙම බෙදාහැරීම් එකිනෙක සම්බන්ධ වන ආකාරය වඩා හොඳින් අවබෝධ කර ගැනීම සඳහා, අපි ඉදිරිපත් කරන්නෙමු කුඩා ගසක්ප්රශ්න (රූපය 4).

සහල්. 4. විවික්ත සම්භාවිතා බෙදාහැරීම් වර්ගීකරණය

Levin et al පොතේ ඇති ද්‍රව්‍ය කළමනාකරුවන් සඳහා සංඛ්‍යාලේඛන භාවිතා වේ. - එම්.: විලියම්ස්, 2004. - පි. 320-328