lopital රීතියට සවිස්තරාත්මක විසඳුමක් සමඟ සබැඳි සීමා. L'Hopital's රීතිය: න්‍යාය සහ විසඳුම් සඳහා උදාහරණ

L'Hopital's theorem(තවද Bernoulli-L'Hopital රීතිය) - ශ්‍රිතවල සීමාවන් සෙවීම, පෝරමයේ අවිනිශ්චිතතා හෙළි කිරීම සහ . ක්‍රමය සාධාරණීකරණය කරන ප්‍රමේයයේ සඳහන් වන්නේ යම් යම් කොන්දේසි යටතේ ශ්‍රිතවල අනුපාතයේ සීමාව ඒවායේ ව්‍යුත්පන්නයන්ගේ අනුපාතයේ සීමාවට සමාන බවයි.

නියම වචන පෙළ.

කර්තව්ය නම් රීතිය කියයි f(x) හා g(x) පහත කොන්දේසි මාලාවක් ඇත:

එතකොට තියෙනවා . එපමණක් නොව, ප්‍රමේයය අනෙකුත් පාද සඳහාද සත්‍ය වේ (පෙන්වා ඇති එක සඳහා සාධනය ලබා දෙනු ඇත).

කතාව.

මේ ආකාරයේ අවිනිශ්චිතභාවය හෙළිදරව් කිරීම සඳහා ක්රමයක් ප්රකාශයට පත් කර ඇත Lopitalහි ප්‍රකාශයට පත් කරන ලද ඔහුගේ "අනන්තය පිළිබඳ විශ්ලේෂණය" කෘතියේ 1696 වර්ෂය. මෙම කෘතියේ පෙරවදනෙහි, ලෝපිටල් පෙන්නුම් කරන්නේ ඔහු සොයාගැනීම් කිසිදු පැකිලීමකින් තොරව භාවිතා කළ බවයි ලයිබ්නිස්සහ බර්නූලි සහෝදරයන් සහ "ඔවුන්ට අවශ්‍ය ඕනෑම දෙයකට ඔවුන්ගේ ප්‍රකාශන හිමිකම ඉල්ලා සිටියත් කමක් නැත." ජොහාන් බර්නූලි L'Hopital හි සම්පූර්ණ වැඩ සඳහා හිමිකම් පෑ අතර, විශේෂයෙන්ම, L'Hopital ගේ මරණයෙන් පසුව, ඔහු "සංඛ්‍යාත්මක අගයක් සහිත භාගයක අගය තීරණය කිරීම සඳහා අනන්තය විශ්ලේෂණයේ ප්‍රකාශයට පත් කරන ලද මගේ ක්‍රමය වැඩිදියුණු කිරීම" යන විශිෂ්ට මාතෘකාව සහිත කෘතියක් ප්‍රකාශයට පත් කළේය. සහ හරය සමහර විට අතුරුදහන් වේ", 1704 .

සාක්ෂි.

ආකල්පය නිමක් නැතිව කුඩා

ශ්‍රිතවල සීමාවන් ශුන්‍යයට සමාන වන විට (ආකෘතියේ ඊනියා අවිනිශ්චිතතාවය) නඩුව සඳහා ප්‍රමේයය ඔප්පු කරමු.

අපි කාර්යයන් දෙස බලන බැවින් fහා gලක්ෂ්‍යයේ නිවැරදි සිදුරු සහිත අර්ධ අසල්වැසි ප්‍රදේශයේ පමණි ඒ, අපිට පුළුවන් අඛණ්ඩ මාර්ගයමෙම අවස්ථාවේදී ඒවා නැවත අර්ථ දක්වන්න: ඉඩ දෙන්න f(ඒ) = g(ඒ) = 0. ටිකක් ගන්න xසලකා බලනු ලබන අර්ධ අසල්වැසි ප්‍රදේශයේ සහ කොටසට අදාළ වේ ප්රමේයය කෞචි. මෙම ප්‍රමේයය මගින් අපට ලැබෙන්නේ:

,

නමුත් f(ඒ) = g(ඒ) = 0, එසේ .

අවසාන සීමාව සඳහා සහ

අනන්තය සඳහා

එය ශ්‍රිතවල අනුපාතයේ සීමාවේ නිර්වචනයයි.

අනන්ත විශාල අනුපාතය

පෝරමයේ අවිනිශ්චිතතාවයන් සඳහා අපි ප්රමේයය ඔප්පු කරමු.

ආරම්භකයින් සඳහා, ව්‍යුත්පන්න අනුපාතයේ සීමාව සීමිත සහ සමාන වේ ඒ. එවිට, උත්සාහ කරන අතරතුර xවෙත ඒදකුණු පසින්, මෙම සම්බන්ධතාවය ලෙස ලිවිය හැකිය ඒ+ α, කොහෙද α - ඕ(එක). අපි මෙම කොන්දේසිය ලියන්නෙමු:

අපි නිවැරදි කරමු ටීකොටසින් සහ අදාළ වේ ප්රමේයය කෞචිසියලු දෙනාටම xකොටසින්:

තුඩු දිය හැකි දේ ඊළඟ වර්ගයේ:

.

සදහා x, ප්රමාණවත් තරම් සමීප ඒ, ප්රකාශනය අර්ථවත් කරයි; දකුණු පැත්තේ පළමු සාධකයේ සීමාව එකකට සමාන වේ (සිට f(ටී) හා g(ටී) - නියතයන්, ඒ f(x) හා g(x) අනන්තයට නැඹුරු වේ). එබැවින්, මෙම ගුණකය 1 + β ට සමාන වේ, මෙහි β යනු අසීමිත ශ්‍රිතයකි xවෙත ඒදකුණු පසින්. අපි α සඳහා අර්ථ දැක්වීමේ ඇති අගයම භාවිතා කරමින් මෙම කරුණෙහි නිර්වචනය ලියන්නෙමු:

ශ්‍රිතවල අනුපාතය (1 + β)( ඒ+ α), සහ .ඕනෑම දත්තයක් සඳහා, ශ්‍රිතවල අනුපාත අතර වෙනසෙහි මාපාංකය සහ ඒඅඩු විය, එයින් අදහස් වන්නේ ශ්රිතවල අනුපාතයෙහි සීමාව සැබවින්ම සමාන බවයි ඒ.

පිම්බුණු ඇස් ඇති ගේ කුරුල්ලන් රැළක් ගැන සිතන්න. නැත, මෙය ගිගුරුම් නොවේ, සුළි කුණාටුවක් නොවේ, කුඩා පිරිමි ළමයෙකු පවා ඔහුගේ අතේ ස්ලයිං ෂොට් එකක් නොවේ. එය හුදෙක් විශාල, දැවැන්ත කාලතුවක්කුවක් පැටවුන් අතරට පියාසර කරයි. හරියටම lopital නීතිඅවිනිශ්චිතතාවයක් ඇති සීමාවන් සමඟ කටයුතු කිරීම හෝ .

L'Hopital හි නීති ඉතා ප්‍රබල ක්‍රමයක් වන අතර එමඟින් මෙම අවිනිශ්චිතතාවයන් ඉක්මනින් හා ඵලදායී ලෙස තුරන් කිරීමට ඔබට ඉඩ සලසයි, ගැටළු එකතු කිරීමේදී එය අහම්බයක් නොවේ. පාලන වැඩ, ඕෆ්සෙට්, ස්ථාවර මුද්දරයක් බොහෝ විට දක්නට ලැබේ: "සීමාව ගණනය කරන්න, L'Hopital's රීතිය භාවිතා නොකර". නිර්භීත අවශ්යතාවය විය හැකිය පැහැදිලි හෘදසාක්ෂියපැවරීම සහ ඕනෑම පාඩම් සීමාවකට සීමාවන්. විසඳුම් උදාහරණ, කැපී පෙනෙන සීමාවන්. විසඳුම් ක්‍රම සීමා කරන්න, කැපී පෙනෙන සමානාත්මතා, "ශුන්‍යයට ශුන්‍ය" හෝ "අනන්තයේ සිට අනන්තය" යන අවිනිශ්චිතතාවය ඇති වේ. කර්තව්යය කෙටියෙන් සකස් කර ඇතත් - "සීමා ගණනය කරන්න", එවිට ඔබ කැමති ඕනෑම දෙයක් භාවිතා කරන බව ව්යංගයෙන් වටහාගෙන ඇත, නමුත් L'Hospital හි නීති නොවේ.

සමස්තයක් වශයෙන් නීති දෙකක් ඇති අතර, ඒවා සාරය සහ ඒවා අදාළ වන ආකාරයෙන් එකිනෙකට බෙහෙවින් සමාන ය. මාතෘකාව පිළිබඳ සෘජු උදාහරණ වලට අමතරව, අපි අධ්යයනය කරන්නෙමු අතිරේක ද්රව්ය, එය ගණිතමය විශ්ලේෂණය පිළිබඳ වැඩිදුර අධ්‍යයනයේ දී ප්‍රයෝජනවත් වනු ඇත.

නීති සංක්ෂිප්ත “ප්‍රායෝගික” ආකාරයෙන් ලබා දෙන බවට මම වහාම වෙන්කරවා ගන්නෙමි, ඔබට න්‍යාය සමත් වීමට සිදුවුවහොත්, වඩාත් දැඩි ගණනය කිරීම් සඳහා පෙළපොත වෙත හැරෙන ලෙස මම නිර්දේශ කරමි.

L'Hospital හි පළමු රීතිය

එම කාර්යයන් සලකා බලන්න අසීමිත කුඩායම් අවස්ථාවක. ඔවුන්ගේ සම්බන්ධතාවයට සීමාවක් තිබේ නම්, අවිනිශ්චිතතාවය තුරන් කිරීම සඳහා, අපට ගත හැකිය දෙක ව්යුත්පන්න- සංඛ්යාංකයෙන් සහ හරයෙන්. එහි: , එනම් .

සටහන : සීමාව ද පැවතිය යුතුය, එසේ නොමැති නම් රීතිය අදාළ නොවේ.

ඉහත සඳහන් දේවලින් අනුගමනය කරන්නේ කුමක්ද?

පළමුව, ඔබට සොයා ගැනීමට හැකි විය යුතුය ශ්රිතවල ව්යුත්පන්නසහ වඩා හොඳ, වඩා හොඳ =)

දෙවනුව, ව්‍යුත්පන්නයන් සංඛ්‍යාවෙන් වෙන වෙනම සහ හරයෙන් වෙන වෙනම ගනු ලැබේ. කරුණාකර ප්‍රමාණයේ අවකලනය පිළිබඳ රීතිය සමඟ පටලවා නොගන්න !!!

තෙවනුව, "x" අනන්තය ඇතුළුව ඕනෑම තැනක නැඹුරු විය හැකිය - අවිනිශ්චිතතාවයක් තිබුනේ නම් පමණි.

අපි පළමු ලිපියේ උදාහරණ 5 වෙත ආපසු යමු සීමාවන් ගැන, එය පහත ප්‍රතිඵලය ඇති කළේය:

0:0 අවිනිශ්චිතතාවයට, අපි L'Hospital හි පළමු රීතිය යොදන්නෙමු:

ඔබට පෙනෙන පරිදි, සංඛ්‍යාංකයේ සහ හරයේ වෙනස අර්ධ හැරීමකින් පිළිතුර වෙත අපව ගෙන ගියේය: අපට සරල ව්‍යුත්පන්න දෙකක් හමු විය, ඒවායින් “දෙකක්” ආදේශ කර, අවිනිශ්චිතතාවය හෝඩුවාවක් නොමැතිව අතුරුදහන් වූ බව පෙනී ගියේය!

L'Hopital හි නීති එක දිගට දෙවරක් හෝ කිහිප වතාවක් යෙදීම සාමාන්‍ය දෙයක් නොවේ (මෙය දෙවන රීතියටද අදාළ වේ). අපි එය ප්‍රත්‍යක්ෂ සන්ධ්‍යාවක් සඳහා ගෙන යමු උදාහරණ 2 පාඩම් පුදුම සීමාවන් ගැන:

මත බංකු ඇඳබේගල් දෙකක් නැවත සිසිල් වේ. අපි L'Hospital හි රීතිය ක්‍රියාත්මක කරමු:

පළමු පියවරේදී හරය ගනු ලබන බව කරුණාවෙන් සලකන්න සංකීර්ණ ශ්‍රිතයක ව්‍යුත්පන්නය. ඊට පසු, අපි අතරමැදි සරල කිරීම් ගණනාවක් සිදු කරන්නෙමු, විශේෂයෙන්, අපි කොසයින් ඉවත් කරන්නෙමු, එය එකමුතුකමට නැඹුරු වන බව පෙන්නුම් කරයි. අවිනිශ්චිතතාවය ඉවත් කර නැත, එබැවින් අපි නැවත L'Hopital රීතිය (දෙවන පේළිය) යොදන්නෙමු.

මම විශේෂයෙන් තෝරා ගත්තේ ඔබට කුඩා ස්වයං පරීක්ෂණයක් කිරීමට පහසුම උදාහරණය නොවේ. ඒවා සොයාගත් ආකාරය සම්පූර්ණයෙන්ම පැහැදිලි නැතිනම් ව්යුත්පන්න, ඔබ ඔබේ අවකලනය කිරීමේ තාක්ෂණය ශක්තිමත් කළ යුතුය, ඔබට කොසයින් උපක්‍රමය නොතේරෙන්නේ නම්, කරුණාකර ආපසු යන්න පුදුම සීමාවන්. මම දකින්නේ නැහැ විශේෂ අර්ථයමම දැනටමත් ව්‍යුත්පන්නයන් සහ සීමාවන් ගැන ප්‍රමාණවත් ලෙස විස්තර කර ඇති බැවින් පියවරෙන් පියවර අදහස් දැක්වීම් වලින්. ලිපියේ නව්‍යතාවය පවතින්නේ නීති රීති සහ සමහර තාක්ෂණික විසඳුම් තුළ ය.

දැනටමත් සඳහන් කර ඇති පරිදි, බොහෝ අවස්ථාවලදී L'Hopital නීති භාවිතා කිරීම අවශ්ය නොවේ, නමුත් විසඳුමේ රළු පරීක්ෂාව සඳහා ඒවා භාවිතා කිරීම බොහෝ විට යෝග්ය වේ. බොහෝ විට, නමුත් සෑම විටම නොවේ. එබැවින්, උදාහරණයක් ලෙස, භාවිතා කිරීමට සලකා බැලූ උදාහරණය පරීක්ෂා කිරීම වඩා ලාභදායී වේ පුදුම සමානකම්.

L'Hospital හි දෙවන රීතිය

අයියා-2 නිදි අට දෙන්නෙක් එක්ක රණ්ඩු වෙනවා. ඒ හා සමානව:

සම්බන්ධතා සීමාවක් තිබේ නම් අසීමිත විශාලයික්‍රියාකාරී ලක්ෂ්‍යයේ: , එවිට අවිනිශ්චිතතාවය තුරන් කිරීම සඳහා, අපට ගත හැකිය ව්යුත්පන්න දෙකක්– සංඛ්‍යාංකයෙන් වෙන් කර හරයෙන් වෙන් කරන්න. එහි: , එනම් සංඛ්යාංකය සහ හරය වෙන් කරන විට, සීමාවේ අගය වෙනස් නොවේ.

සටහන : සීමාව පැවතිය යුතුය

නැවතත්, විවිධ ආකාරයෙන් ප්රායෝගික උදාහරණ අගය වෙනස් විය හැක, අනන්ත ඇතුළු. අවිනිශ්චිතතාවයක් තිබීම වැදගත්ය.

අපි පළමු පාඩමේ #3 උදාහරණය පරීක්ෂා කරමු: . අපි L'Hospital හි දෙවන රීතිය භාවිතා කරමු:

අපි යෝධයන් ගැන කතා කරන බැවින්, කැනොනිකල් සීමාවන් දෙකක් විශ්ලේෂණය කරමු:

උදාහරණ 1

සීමාව ගණනය කරන්න

“සාම්ප්‍රදායික” ක්‍රම මගින් පිළිතුරක් ලබා ගැනීම පහසු නැත, එබැවින් “අනන්තයේ සිට අනන්තය” යන අවිනිශ්චිතතාවය හෙළි කිරීමට අපි L'Hopital රීතිය භාවිතා කරමු:

මේ ක්රමයෙන්, රේඛීය ශ්රිතයඑකකට වඩා වැඩි පාදයක් සහිත ලඝුගණකයකට වඩා ඉහළ වර්ධන අනුපිළිවෙලක්(ආදිය). ඇත්ත වශයෙන්ම, ඉහළ බලවල "x" ද එවැනි ලඝුගණක "අදින්න" ඇත. ඇත්ත වශයෙන්ම, කාර්යය තරමක් සෙමින් වර්ධනය වන අතර එහි කාලසටහනඑකම "x" ට සාපේක්ෂව වඩා මෘදු වේ.

උදාහරණ 2

සීමාව ගණනය කරන්න

තවත් වියැකී ගිය රාමුවක්. අවිනිශ්චිතතාවය තුරන් කිරීම සඳහා, අපි L'Hopital රීතිය භාවිතා කරමු, එපමනක් නොව, පේළියකට දෙවරක්:

ඝාතීය ශ්‍රිතය, එකකට වඩා වැඩි පදනමක් සහිතව(ආදිය) වඩා ඉහළ වර්ධන අනුපිළිවෙල බලශක්ති කාර්යයධනාත්මක උපාධියක් සමඟ.

කාලය තුළ සමාන සීමාවන් හමු වේ සම්පූර්ණ ක්‍රියාකාරී අධ්‍යයනය, එනම්, සොයා ගන්නා විට ප්‍රස්ථාරවල අසමමිතිය. සමහර කාර්යයන්හි ද ඒවා දක්නට ලැබේ සම්භාවිතා න්යාය. සලකා බැලූ උදාහරණ දෙක සැලකිල්ලට ගැනීමට මම ඔබට උපදෙස් දෙමි, මෙය අංකනය සහ හරය වෙන් කිරීමට වඩා හොඳ දෙයක් නොමැති අවස්ථා කිහිපයෙන් එකකි.

තවදුරටත් පෙළෙහි, මම L'Hopital හි පළමු සහ දෙවන රීතිය අතර වෙනස හඳුනා නොගනිමි, මෙය සිදු කරන ලද්දේ ලිපිය ව්‍යුහගත කිරීමේ අරමුණින් පමණි. පොදුවේ ගත් කල, මගේ දෘෂ්ටි කෝණයෙන්, එය අධික සංඛ්‍යා ගණිතමය ප්‍රමිති, ප්‍රමේය, රීති, ගුණාංග වලට තරමක් හානිකර ය, මන්ද “ප්‍රමේයය 19 ට අනුව නිගමනය 3 ට අනුව ...” වැනි වාක්‍ය ඛණ්ඩ තොරතුරු සපයන්නේ එකක රාමුව තුළ පමණි. හෝ වෙනත් පෙළ පොතක්. වෙනත් තොරතුරු මූලාශ්‍රයක, එයම "අවසන් 2 සහ ප්‍රමේයය 3" වනු ඇත. එවැනි ප්රකාශයන් විධිමත් සහ පහසු වන්නේ කතුවරුන්ට පමණි. ඉතා මැනවින්, ගණිතමය කරුණක සාරය වෙත යොමු කිරීම වඩා හොඳය. ව්යතිරේකය යනු ඓතිහාසිකව ස්ථාපිත නියමයන් වේ, උදාහරණයක් ලෙස, පළමු පුදුම සීමාවහෝ දෙවන පුදුම සීමාව.

පැරිස් විද්‍යා ඇකඩමියේ සාමාජික Marquis Guillaume Francois de Lopital විසින් අප වෙත විසි කරන ලද මාතෘකාව අපි දිගටම සංවර්ධනය කරන්නෙමු. ලිපිය උච්චාරණ ප්‍රායෝගික වර්ණ ගැන්වීමක් ලබා ගන්නා අතර තරමක් පොදු කාර්යයකදී එය අවශ්‍ය වේ:

උණුසුම් වීමට, අපි කුඩා ගේ කුරුල්ලන් කිහිපයක් සමඟ කටයුතු කරමු:

උදාහරණය 3

කොසයිනය ඉවත් කිරීමෙන් සීමාව මූලිකව සරල කළ හැකි නමුත්, අපි කොන්දේසියට ගරු කරන අතර වහාම අංකනය සහ හරය වෙන්කර හඳුනා ගනිමු:

ව්‍යුත්පන්න සොයා ගැනීමේ ක්‍රියාවලියේදීම, සම්මත නොවන කිසිවක් නොමැත, උදාහරණයක් ලෙස, සාමාන්‍ය හරය භාවිතා වේ. අවකලනය රීතියකටයුතු .

සලකා බැලූ උදාහරණය විනාශ වී ඇත පුදුම සීමාවන්, සංකීර්ණ සීමාවන් ලිපියේ අවසානයේ සමාන අවස්ථාවක් සාකච්ඡා කෙරේ.

උදාහරණය 4

L'Hopital's නියමය අනුව සීමාව ගණනය කරන්න

මේ සඳහා උදාහරණයක් ස්වාධීන විසඳුම. හොඳ විහිළුවක් =)

සාමාන්‍ය තත්වයක් නම්, අවකලනය කිරීමෙන් පසු, තට්ටු තුනේ හෝ හතරක භාග ලබා ගන්නා විට:

උදාහරණ 5

L'Hospital හි රීතිය භාවිතයෙන් සීමාව ගණනය කරන්න

අයැදුම්පත ඉල්ලනවා කැපී පෙනෙන සමානාත්මතාවය, නමුත් මාර්ගය කොන්දේසිය අනුව දෘඪ-කේතගත කර ඇත:

අවකලනය කිරීමෙන් පසු, බහු-මහල් කොටස ඉවත් කර උපරිම සරල කිරීම් සිදු කිරීමට මම තරයේ නිර්දේශ කරමි.. ඇත්ත වශයෙන්ම, වඩා උසස් සිසුන්ට මඟ හැරිය හැක අවසාන පියවරසහ වහාම ලියන්න: , නමුත් සමහර සීමාවන් තුළ විශිෂ්ට සිසුන් පවා ව්යාකූල වනු ඇත.

උදාහරණය 6

L'Hospital හි රීතිය භාවිතයෙන් සීමාව ගණනය කරන්න

උදාහරණ 7

L'Hospital හි රීතිය භාවිතයෙන් සීමාව ගණනය කරන්න

මේවා ස්වයං උපකාරක උදාහරණ වේ. උදාහරණ 7 හි, ඔබට කිසිවක් සරල කළ නොහැක, භාගය වෙනස් කිරීමෙන් පසු එය ඉතා සරල ය. නමුත් උදාහරණ 8 හි, L'Hopital රීතිය යෙදීමෙන් පසු, ගණනය කිරීම් වඩාත් පහසු නොවන බැවින් තට්ටු තුනේ ව්‍යුහය ඉවත් කිරීම ඉතා යෝග්‍ය වේ. සම්පූර්ණ විසඳුමසහ පාඩම අවසානයේ පිළිතුර. ඔබට කිසියම් ගැටළුවක් ඇත්නම් - ත්රිකෝණමිතික වගුවඋදව් කිරීමට.

තවද, අවකලනය කිරීමෙන් පසු අවිනිශ්චිතතාවය ඇති විට සරල කිරීම අත්‍යවශ්‍ය වේ ඉවත් කර නැත.

උදාහරණ 8

L'Hospital හි රීතිය භාවිතයෙන් සීමාව ගණනය කරන්න

යන්න:

සිත්ගන්නා කරුණ නම්, පළමු අවකලනයට පසුව ඇති වූ ආරම්භක අවිනිශ්චිතතාවය අවිනිශ්චිතතාවයක් බවට පත් වූ අතර, L'Hôpital ගේ නියමය නොබිඳිය හැකි ලෙස තව දුරටත් යෙදී ඇත. එක් එක් "ප්‍රවේශය" ට පසුව තට්ටු හතරේ භාගය ඉවත් කරන ආකාරය සහ නියතයන් සීමාව ලකුණෙන් ඉවත් කරන ආකාරය ද සැලකිල්ලට ගන්න. තව දුරටත් සරල උදාහරණනියතයන් ඉවත් නොකිරීම වඩාත් පහසු වේ, නමුත් සීමාව සංකීර්ණ වූ විට, අපි සියල්ල-සියල්ල-සියල්ල සරල කරමු. විසඳන ලද උදාහරණයේ ද්‍රෝහීකම ද පවතින්නේ කවදාද යන්නයි , නමුත්, එබැවින්, කෝඨරක ඉවත් කිරීමේ පාඨමාලාවේදී, සංඥා තුළ ව්යාකූලත්වයට පත්වීම පුදුමයක් නොවේ. අවසාන රේඛාවේදී, සයිනස් මරා දැමිය නොහැක, නමුත් උදාහරණය තරමක් බරයි, සමාව දිය හැකි ය.

පසුගිය දිනක මට රසවත් කාර්යයක් හමු විය:

උදාහරණ 9

ඇත්තම කිව්වොත්, මේ සීමාව සමාන වන්නේ කුමක් දැයි මම ටිකක් සැක කළෙමි. ඉහත පෙන්වා ඇති පරිදි, "x" වැඩි වේ ඉහළ නියෝගයක්ලඝුගණකයට වඩා වර්ධනය, නමුත් එය ඝන ලඝුගණකයට වඩා වැඩි වේද? දිනන්නේ කවුදැයි ඔබම සොයා ගැනීමට උත්සාහ කරන්න.

ඔව්, L'Hopital හි නීති කාලතුවක්කුවකින් ගේ කුරුල්ලන්ට වෙඩි තැබීම පමණක් නොව, වෙහෙස මහන්සි වී වැඩ කිරීම ද වේ.

L'Hôpital හි නීති රීති බේගල් හෝ විඩාපත් අට දෙනෙකුට යෙදීම සඳහා, පෝරමයේ අවිනිශ්චිතතාවයන් අඩු වේ.

අවිනිශ්චිතභාවය සමඟ කටයුතු කිරීම පාඩමේ #9-13 උදාහරණවල විස්තරාත්මකව සාකච්ඡා කෙරේ. විසඳුම් ක්‍රම සීමා කරන්න. අපි ඒ සඳහා තවත් එකක් ගනිමු:

උදාහරණ 10

L'Hopital's රීතිය භාවිතයෙන් ශ්‍රිතයක සීමාව ගණනය කරන්න

පළමු පියවරේදී, අපි ප්රකාශනය ලබා දෙන්නෙමු පොදු හරය, එමගින් අවිනිශ්චිතතාවය අවිනිශ්චිතතාවය බවට පරිවර්තනය කරයි. ඉන්පසු අපි L'Hopital රීතිය අය කරමු:

මෙන්න, මාර්ගය වන විට, සිව්මහල් ප්රකාශනය ස්පර්ශ කිරීම තේරුමක් නැති අවස්ථාවකි.

අවිනිශ්චිතතාවය හෝ බවට හැරවීමට ද විරුද්ධ නොවේ:

උදාහරණ 11

L'Hopital's රීතිය භාවිතයෙන් ශ්‍රිතයක සීමාව ගණනය කරන්න

මෙහි සීමාව එක් පැත්තක් වන අතර, එවැනි සීමාවන් දැනටමත් අත්පොතෙහි සාකච්ඡා කර ඇත ශ්රිතවල ප්රස්ථාර සහ ගුණාංග. ඔබට මතක ඇති පරිදි, "සම්භාව්‍ය" ලඝුගණකයේ ප්‍රස්ථාරය අක්ෂයේ වම් පසින් නොපවතී, එබැවින් අපට දකුණේ සිට ශුන්‍යයට පමණක් ළඟා විය හැකිය.

ඒකපාර්ශ්වික සීමාවන් සඳහා L'Hôpital හි නීති ක්‍රියාත්මක වේ, නමුත් අවිනිශ්චිතතාවයට ප්‍රථමයෙන් කටයුතු කළ යුතුය. පළමු පියවරේදී, අපි කොටස තට්ටු තුනකින් සාදා, අවිනිශ්චිතතාවය ලබා ගනිමු, එවිට විසඳුම සැකිලි යෝජනා ක්රමය අනුගමනය කරයි:

ඉලක්කම් සහ හරය වෙන්කර හඳුනා ගැනීමෙන් පසු, අපි සරල කිරීම සඳහා සිව්මහල් කොටස ඉවත් කරමු. එහි ප්‍රතිඵලයක් ලෙස අවිනිශ්චිතභාවය මතුවිය. අපි උපක්‍රමය පුනරුච්චාරණය කරමු: අපි නැවතත් කොටස තට්ටු තුනකින් සාදා ඇති අතර ඇති වන අවිනිශ්චිතතාවයට L'Hopital රීතිය නැවත යොදන්නෙමු:

සූදානම්.

ආරම්භක සීමාවකෙනෙකුට එය ඩෝනට්ස් දෙකකට අඩු කිරීමට උත්සාහ කළ හැකිය:

එහෙත්, පළමුව, හරයෙහි ව්යුත්පන්නය වඩා දුෂ්කර වන අතර, දෙවනුව, එයින් යහපත් කිසිවක් නොලැබේ.

මේ ක්රමයෙන්, සමාන උදාහරණ විසඳීමට පෙර, ඔබ විශ්ලේෂණය කළ යුතුය(වාචිකව හෝ කෙටුම්පතක් මත) අවිනිශ්චිතතාවය අඩු කිරීමට වඩා ලාභදායී වන්නේ කුමකටද - "ශුන්‍යයේ සිට ශුන්‍යයට" හෝ "අනන්තයේ සිට අනන්තයට".

අනෙක් අතට, පානීය සගයන් සහ තවත් විදේශීය සහෝදරයන් ආලෝකයට ඇද දමනු ලැබේ. පරිවර්තන ක්රමය සරල සහ සම්මත වේ.

විසඳුමක් සබැඳි ක්‍රියාකාරී සීමාවන්. ලක්ෂ්‍යයක ශ්‍රිතයක හෝ ක්‍රියාකාරී අනුපිළිවෙලක සීමිත අගය සොයන්න, ගණනය කරන්න සීමා කිරීමඅනන්තයේ ක්රියාකාරී අගය. සංඛ්‍යා ශ්‍රේණියක අභිසාරීතාවය තීරණය කිරීම සහ අපගේ ස්තුතියට තවත් බොහෝ දේ කළ හැක මාර්ගගත සේවාව- . ක්‍රියාකාරී සීමාවන් ඉක්මනින් සහ නිවැරදිව මාර්ගගතව සොයා ගැනීමට අපි ඔබට ඉඩ සලසයි. ඔබ ඔබම ඇතුල් කරන්න ශ්රිත විචල්යයසහ එය අපේක්ෂා කරන සීමාව, අපගේ සේවාව ඔබ වෙනුවෙන් සියලු ගණනය කිරීම් සිදු කරයි, නිවැරදි සහ සරල පිළිතුරක් ලබා දෙයි. සහ සඳහා අන්තර්ජාලය හරහා සීමාව සොයා ගැනීමඔබට සංඛ්‍යාත්මක ශ්‍රේණි සහ යන දෙකම ඇතුළත් කළ හැකිය විශ්ලේෂණ කාර්යයන්, වචනාර්ථ ප්‍රකාශනයක නියත අඩංගු වේ. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, සොයාගත් ශ්‍රිත සීමාවෙහි මෙම නියතයන් ප්‍රකාශනයේ නියත තර්ක ලෙස අඩංගු වේ. අපගේ සේවාව ඕනෑම දෙයක් විසඳයි අභියෝගාත්මක කාර්යයන්ස්ථානය අනුව මාර්ගගත සීමාවන්, එය ගණනය කිරීමට අවශ්ය වන කාර්යය සහ ලක්ෂ්යය නියම කිරීමට ප්රමාණවත් වේ කාර්යය සීමාව. ගණනය කිරීම මාර්ගගත සීමාවන්, ඔයාට පාවිච්චි කරන්න පුළුවන් විවිධ ක්රමසහ ඔවුන්ගේ විසඳුම සඳහා නීති රීති, ප්රතිඵලය සමඟ සංසන්දනය කිරීමේදී විසඳුම මාර්ගගතව සීමා කරන්න www.site හි, කාර්යය සාර්ථකව නිම කිරීමට තුඩු දෙනු ඇත - ඔබ ඔබේම වැරදි සහ අක්ෂර වින්‍යාසයන් වළක්වා ගනු ඇත. නැතහොත් ඔබට අපව සම්පූර්ණයෙන්ම විශ්වාස කළ හැකි අතර, ශ්‍රිත සීමාවේ ස්වාධීන ගණනය කිරීම් සඳහා අමතර වෑයමක් සහ කාලයක් වැය නොකර, ඔබේ කාර්යයේදී අපගේ ප්‍රතිඵලය භාවිතා කළ හැකිය. අපි අනන්තය වැනි සීමිත අගයන් ඇතුළත් කිරීමට ඉඩ දෙමු. ඔබ පොදු පදයක් ඇතුළත් කළ යුතුය සංඛ්යා අනුපිළිවෙලහා www.siteඅගය ගණනය කරනු ඇත මාර්ගගතව සීමා කරන්නඅනන්තය එකතු කිරීම හෝ අඩු කිරීම.

ගණිතමය විශ්ලේෂණයේ මූලික සංකල්පවලින් එකක් වන්නේ කාර්යය සීමාවහා අනුපිළිවෙල සීමාවයම් අවස්ථාවක දී සහ අනන්තයකදී, නිවැරදිව විසඳීමට හැකි වීම වැදගත් වේ සීමාවන්. අපගේ සේවාව සමඟ එය අපහසු නොවනු ඇත. තීරණයක් ගනිමින් පවතී මාර්ගගත සීමාවන්තත්පර කිහිපයකින්, පිළිතුර නිවැරදි සහ සම්පූර්ණ වේ. කලනය අධ්‍යයනය ආරම්භ වන්නේ සීමාව දක්වා ගමන් කිරීම, සීමාවන්උසස් ගණිතයේ සෑම අංශයකම පාහේ භාවිතා වේ, එබැවින් සේවාදායකයක් අත ළඟ තබා ගැනීම ප්‍රයෝජනවත් වේ මාර්ගගත විසඳුම් සීමා කරන්නඅඩවිය යනු කුමක්ද.

0/0 හෝ ∞/∞ ආකෘතියේ අවිනිශ්චිතතාවයන් සහ ගණනය කිරීමේදී පැන නගින වෙනත් අවිනිශ්චිතතා හෙළිදරව් කිරීම සීමාවඅපරිමිත හෝ අනන්ත දෙකක අනුපාතය විශාල කාර්යයන් L'Hospital හි රීතිය (ඇත්ත වශයෙන්ම නීති දෙකක් සහ ඒවා පිළිබඳ අදහස්) ආධාරයෙන් බොහෝ සෙයින් සරල කර ඇත.

සාරය L'Hospital හි නීති අසීමිත කුඩා හෝ අනන්ත විශාල ශ්‍රිත දෙකක අනුපාතවල සීමාව ගණනය කිරීම 0/0 හෝ ∞/∞ ආකෘතියේ අවිනිශ්චිතතාවයන් ලබා දෙන විට, ශ්‍රිත දෙකක අනුපාතයේ සීමාව ප්‍රතිස්ථාපනය කළ හැක්කේ ඔවුන්ගේ අනුපාතය ව්යුත්පන්නඒ අනුව නිශ්චිත ප්රතිඵලය ලබා ගන්න.

අපි L'Hopital හි නීති රීති සැකසීමට යමු.

L'Hopital's Rule for the case of the case of Infinitely small values. ක්රියා කරන්නේ නම් f(x) හා g(x ඒඒ, සහ මෙම අසල්වැසි g"(x ඒඑකිනෙකට සමාන වන අතර ශුන්යයට සමාන වේ

().

අසීමිත විශාල ප්‍රමාණ දෙකක සීමාව සම්බන්ධයෙන් L'Hôpital හි නියමය. ක්රියා කරන්නේ නම් f(x) හා g(x) ලක්ෂ්‍යයේ සමහර අසල්වැසි ප්‍රදේශවල වෙනස් කළ හැකිය ඒ, හැකි කරුණ හැර ඒ, සහ මෙම අසල්වැසි g"(x)≠0 සහ x ලෙස මෙම ශ්‍රිතවල සීමාවන් ලක්ෂ්‍යයේ ශ්‍රිතයේ අගයට නැඹුරු වන්නේ නම් සහ නම් ඒඑකිනෙකාට සමාන වන අතර අනන්තයට සමාන වේ

(),

එවිට මෙම ශ්‍රිතවල අනුපාතයේ සීමාව ඒවායේ ව්‍යුත්පන්නවල අනුපාතයේ සීමාවට සමාන වේ

().

වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, 0/0 හෝ ∞/∞ ආකෘතියේ අවිනිශ්චිතතාවයන් සඳහා, ශ්‍රිත දෙකක අනුපාතයේ සීමාව ඒවායේ ව්‍යුත්පන්නවල අනුපාතයේ සීමාවට සමාන වේ, දෙවැන්න පවතී නම් (පරිමිත හෝ අනන්ත).

අදහස්.

1. කර්තව්‍යයන් සිදු වන විට L'Hopital හි නීති ද අදාළ වේ f(x) හා g(x) හි අර්ථ දක්වා නැත x = ඒ.

2. ශ්‍රිතවල ව්‍යුත්පන්න අනුපාතයේ සීමාව ගණනය කිරීමේදී නම් f(x) හා g(x) අපි නැවතත් 0/0 හෝ ∞/∞ පෝරමයේ අවිනිශ්චිතතාවයකට පැමිණෙමු, එවිට L'Hopital හි නීති නැවත නැවතත් යෙදිය යුතුය (අවම වශයෙන් දෙවරක්වත්).

3. ශ්‍රිතවල තර්කය (x) පරිමිත නොවන සංඛ්‍යාවකට නැඹුරු වන විට L'Hopital හි නීති ද අදාළ වේ. ඒ, සහ අනන්තය දක්වා ( x → ∞).

වෙනත් වර්ගවල අවිනිශ්චිතතාවයන් 0/0 සහ ∞/∞ වර්ගවල අවිනිශ්චිතතාවයන් දක්වා අඩු කළ හැක.

"ශුන්‍යය බිංදුවෙන් බෙදීම" සහ "අනන්තයෙන් බෙදීම අනන්තය" යන වර්ගවල අවිනිශ්චිතතාවයන් හෙළිදරව් කිරීම

උදාහරණ 1

x=2 0/0 ආකෘතියේ අවිනිශ්චිතතාවයට මඟ පාදයි. එබැවින්, එක් එක් ශ්රිතයේ ව්යුත්පන්නය සහ අපි ලබා ගනිමු

සංඛ්‍යාත්මකව, බහුපදයේ ව්‍යුත්පන්නය ගණනය කරන ලද අතර, හරය තුළ - සංකීර්ණ ලඝුගණක ශ්‍රිතයක ව්‍යුත්පන්නය. අවසාන සමාන ලකුණට පෙර, සුපුරුදු සීමාව, x වෙනුවට ඩියුස් ආදේශ කිරීම.

උදාහරණ 2 L'Hospital's රීතිය භාවිතයෙන් ශ්‍රිත දෙකක අනුපාතයේ සීමාව ගණනය කරන්න:

විසඳුමක්. ආදේශ කිරීම ලබා දී ඇති කාර්යයඅගයන් x

උදාහරණය 3 L'Hospital's රීතිය භාවිතයෙන් ශ්‍රිත දෙකක අනුපාතයේ සීමාව ගණනය කරන්න:

විසඳුමක්. දී ඇති අගය ශ්‍රිතයකට ආදේශ කිරීම x=0 0/0 ආකෘතියේ අවිනිශ්චිතතාවයට මඟ පාදයි. එබැවින්, අපි සංඛ්‍යාංකයේ සහ හරයේ ඇති ශ්‍රිතවල ව්‍යුත්පන්නයන් ගණනය කර ලබා ගනිමු:

උදාහරණය 4ගණනය කරන්න

විසඳුමක්. දී ඇති ශ්‍රිතයකට x සමාන ප්ලස් අනන්තය අගය ආදේශ කිරීම ∞/∞ ආකෘතියේ අවිනිශ්චිතතාවයකට මඟ පාදයි. එබැවින්, අපි L'Hopital හි රීතිය භාවිතා කරමු:

අදහස් දක්වන්න. පළමු ව්‍යුත්පන්නවල අනුපාතයේ සීමාව පෝරමයේ අවිනිශ්චිතතාවයක් බැවින්, L'Hopital නියමය දෙවරක් යෙදිය යුතු උදාහරණ වෙත යමු, එනම් දෙවන ව්‍යුත්පන්නවල අනුපාතයේ සීමාවට පැමිණීම. 0/0 හෝ ∞/∞.

L'Hopital's රීතිය ඔබම යොදන්න ඉන්පසු විසඳුම බලන්න

"ශුන්‍යය අනන්තයෙන් ගුණ කරන ලද" ආකෘතියේ අවිනිශ්චිතතාවයන් හෙළිදරව් කිරීම

උදාහරණ 12.ගණනය කරන්න

.

විසඳුමක්. අපිට ලැබෙනවා

මෙම උදාහරණය ත්‍රිකෝණමිතික අනන්‍යතාවය භාවිතා කරයි.

"ශුන්‍යයේ බලයට බිංදුව", "ශුන්‍යයේ බලයට අනන්තය" සහ "එකක් අනන්තයේ බලයට" යන වර්ගවල අවිනිශ්චිතතා හෙළිදරව් කිරීම

පෝරමයේ අවිනිශ්චිතතා , හෝ සාමාන්‍යයෙන් පෝරමයේ ශ්‍රිතයක ලඝුගණකය භාවිතයෙන් 0/0 හෝ ∞/∞ පෝරමයට අඩු කරනු ලැබේ.

ප්‍රකාශනයේ සීමාව ගණනය කිරීම සඳහා, ලඝුගණක අනන්‍යතාවය භාවිතා කළ යුතු අතර, එහි විශේෂ අවස්ථාවක් වන්නේ ලඝුගණකයේ ගුණයයි. .

ශ්‍රිතයේ ලඝුගණක අනන්‍යතාවය සහ අඛණ්ඩතා ගුණය භාවිතා කරමින් (සීමාවේ සලකුණෙන් ඔබ්බට යාමට), සීමාව පහත පරිදි ගණනය කළ යුතුය:

වෙනමම, ඝාතකයේ ප්‍රකාශනයේ සීමාව සොයාගෙන ගොඩනගා ගත යුතුය ඊසොයාගත් උපාධිය දක්වා.

උදාහරණ 13

විසඳුමක්. අපිට ලැබෙනවා

.

.

උදාහරණ 14 L'Hopital's රීතිය භාවිතයෙන් ගණනය කරන්න

විසඳුමක්. අපිට ලැබෙනවා

ඝාතකයේ ප්‍රකාශනයේ සීමාව ගණනය කරන්න

.

.

උදාහරණ 15 L'Hopital's රීතිය භාවිතයෙන් ගණනය කරන්න

කර්තව්ය නම් රීතිය කියයි f(x) හා g(x) පහත කොන්දේසි මාලාවක් ඇත:

එතකොට තියෙනවා . එපමණක් නොව, ප්‍රමේයය අනෙකුත් පාද සඳහාද සත්‍ය වේ (පෙන්වා ඇති එක සඳහා සාධනය ලබා දෙනු ඇත).

කතාව

මේ ආකාරයේ අවිනිශ්චිතභාවය හෙළිදරව් කිරීමේ ක්‍රමයක් ලෝපිටල් විසින් වසරේ ප්‍රකාශයට පත් කරන ලද "අනන්තය පිළිබඳ විශ්ලේෂණය" යන කෘතියේ ප්‍රකාශයට පත් කරන ලදී. මෙම කෘතියේ පෙරවදනෙහි, ලෝපිටල් පෙන්වා දෙන්නේ ඔහු ලයිබ්නිස් සහ බර්නූලි සහෝදරයන්ගේ සොයාගැනීම් කිසිදු පැකිලීමකින් තොරව භාවිතා කළ බවත් "ඔවුන්ට අවශ්‍ය ඕනෑම දෙයකට ඔවුන්ගේ ප්‍රකාශන අයිතිය පෙන්වීමට ඔවුන්ට විරුද්ධව කිසිවක් නොමැති බවත්ය." Johann Bernoulli L'Hospital හි සම්පූර්ණ කාර්යයට හිමිකම් පෑ අතර, විශේෂයෙන්ම, L'Hospital ගේ මරණයෙන් පසුව, ඔහු "භාගයක අගය, සංඛ්‍යාව සහ හරය තීරණය කිරීම සඳහා අනන්ත විශ්ලේෂණවල ප්‍රකාශයට පත් කරන ලද මගේ ක්‍රමය වැඩිදියුණු කිරීම" යන විශිෂ්ට මාතෘකාව යටතේ කෘතියක් ප්‍රකාශයට පත් කළේය. ඒවායින් සමහර විට අතුරුදහන් වේ", .

සාක්ෂි

අනන්තය අනුපාතය

ශ්‍රිතවල සීමාවන් ශුන්‍යයට සමාන වන විට (ආකෘතියේ ඊනියා අවිනිශ්චිතතාවය) නඩුව සඳහා ප්‍රමේයය ඔප්පු කරමු.

අපි කාර්යයන් දෙස බලන බැවින් fහා gලක්ෂ්‍යයේ නිවැරදි සිදුරු සහිත අර්ධ අසල්වැසි ප්‍රදේශයේ පමණි ඒ, අපට මෙම අවස්ථාවේදී ඒවා අඛණ්ඩව නැවත අර්ථ දැක්විය හැක: ඉඩ දෙන්න f(ඒ) = g(ඒ) = 0 . අපි ටිකක් ගනිමු xසලකා බලනු ලබන අර්ධ අසල්වැසි ප්‍රදේශයෙන් සහ ඛණ්ඩයට Cauchy ප්‍රමේයය යොදන්න. මෙම ප්‍රමේයය මගින් අපට ලැබෙන්නේ:

,

නමුත් f(ඒ) = g(ඒ) = 0 , ඒක තමයි .

src="/pictures/wiki/files/56/85e2b8bb13d6fb1ddcf88e22a4bb6ef2.png" border="0"> අවසන් සීමාව සඳහා සහ src="/pictures/wiki/files/101/e8b2f2b8861947cd for finity in.8861947cd. ,

එය ශ්‍රිතවල අනුපාතයේ සීමාවේ නිර්වචනයයි.

අනන්ත විශාල අනුපාතය

පෝරමයේ අවිනිශ්චිතතාවයන් සඳහා අපි ප්රමේයය ඔප්පු කරමු.

ආරම්භකයින් සඳහා, ව්‍යුත්පන්න අනුපාතයේ සීමාව සීමිත සහ සමාන වේ ඒ. එවිට, උත්සාහ කරන අතරතුර xවෙත ඒදකුණු පසින්, මෙම සම්බන්ධතාවය ලෙස ලිවිය හැකිය ඒ+ α , α - (1). අපි මෙම කොන්දේසිය ලියන්නෙමු:

.

අපි නිවැරදි කරමු ටීකොටසින් සහ සියලු දෙනාටම Cauchy ප්‍රමේයය යොදන්න xකොටසින්:

, එය පහත පෝරමයට ගෙන යා හැකිය: .

සදහා x, ප්රමාණවත් තරම් සමීප ඒ, ප්රකාශනය අර්ථවත් කරයි; දකුණු පැත්තේ පළමු සාධකයේ සීමාව එකකට සමාන වේ (සිට f(ටී) හා g(ටී) නියතයන් වේ , සහ f(x) හා g(x) අනන්තයට නැඹුරු වේ). එබැවින්, මෙම සාධකය 1 + β ට සමාන වේ, β යනු අසීමිත ශ්‍රිතයකි xවෙත ඒදකුණු පසින්. α සඳහා අර්ථ දැක්වීමේ ඇති අගයම භාවිතා කරමින් අපි මෙම කරුණෙහි නිර්වචනය ලියන්නෙමු:

.

ශ්‍රිතවල අනුපාතය (1 + β)( ඒ+ α), සහ . ඕනෑම එකක් සඳහා, ශ්‍රිතවල අනුපාත අතර වෙනසෙහි මාපාංකය සහ ඒඅඩු විය, එයින් අදහස් වන්නේ ශ්රිතවල අනුපාතයෙහි සීමාව සැබවින්ම සමාන බවයි ඒ .

සීමාව නම් ඒඅනන්තයි (එය plus අනන්තයට සමාන යැයි කියමු), එවිට

(x))(g"(x))>2M)" src="/pictures/wiki/files/101/e46c5113c49712376d1c357b5b202a65.png" border="0">.

β හි නිර්වචනය තුළ අපි ගනු ඇත; දකුණු පැත්තේ පළමු සාධකය 1/2 ට වඩා වැඩි වනු ඇත x, ප්රමාණවත් තරම් සමීප ඒ, ඉන්පසු src="/pictures/wiki/files/50/2f7ced4a9b4b06f7b9085e982250dbcf.png" border="0">.

වෙනත් පදනම් සඳහා, සාක්ෂි ලබා දී ඇති ඒවාට සමාන වේ.

උදාහරණ

(සංඛ්‍යා සහ හරය දෙකම 0 ට නැඹුරු නම් පමණි; හෝ; හෝ.)

විකිමීඩියා පදනම. 2010 .

වෙනත් ශබ්ද කෝෂවල "L'Hopital rule" යනු කුමක්දැයි බලන්න:

අවිනිශ්චිතතාවයන් හෙළිදරව් කිරීම සඳහා මූලික නීති වලින් එකක් සඳහා ඓතිහාසිකව වැරදි නම. L. p. I. Bernoulli විසින් සොයා ගන්නා ලද අතර ඔහු විසින් 1696 දී මෙම රීතිය ප්‍රකාශයට පත් කළ G. L'Hopital (L'Hopital බලන්න) වෙත වාර්තා කරන ලදී. අවිනිශ්චිත ප්‍රකාශන බලන්න ... මහා සෝවියට් විශ්වකෝෂය

සලකා බලනු ලබන ශ්‍රිතවල ව්‍යුත්පන්න අනුපාතයේ සීමාවට ශ්‍රිතවල අනුපාතයේ සීමාව අඩු කිරීමෙන් පෝරමයේ අවිනිශ්චිතතාවයන් හෙළිදරව් කිරීම. එබැවින්, f සහ g සැබෑ ශ්‍රිතයන් සංඛ්‍යාත්මක ලක්ෂ්‍යයක සිදුරු වූ දකුණු පස අසල්වැසි ප්‍රදේශයක අර්ථ දක්වන විට ... ... ගණිතමය විශ්වකෝෂය

Bernoulli L'Hospital's නියමය යනු u ආකෘතියේ අවිනිශ්චිතතාවයන් හෙළිදරව් කරමින් ශ්‍රිතවල සීමාවන් සෙවීමේ ක්‍රමයකි. ක්‍රමය සාධාරණීකරණය කරන ප්‍රමේයයේ සඳහන් වන්නේ යම් යම් කොන්දේසි යටතේ ශ්‍රිතවල අනුපාතයේ සීමාව ඒවායේ ව්‍යුත්පන්නයන්ගේ අනුපාතයේ සීමාවට සමාන වන බවයි. ... ... විකිපීඩියාව

හිදී ගණිතමය විශ්ලේෂණය L'Hopital's නියමය යනු ශ්‍රිතවල සීමාවන් සොයා ගැනීම, 0/0 ආකෘතියේ අවිනිශ්චිතතාවයන් හෙළි කිරීම සහ. ක්‍රමය සාධාරණීකරණය කරන ප්‍රමේයයේ සඳහන් වන්නේ යම් යම් කොන්දේසි යටතේ ශ්‍රිතවල අනුපාතයේ සීමාව සීමාවට සමාන බවයි ... ... විකිපීඩියා

ගණිතමය විශ්ලේෂණයේ දී, L'Hopital's නියමය යනු ශ්‍රිතවල සීමාවන් සෙවීමේ ක්‍රමයකි, 0/0 සහ ආකෘති පත්‍රයේ අවිනිශ්චිතතා හෙළි කරයි. ක්‍රමය සාධාරණීකරණය කරන ප්‍රමේයයේ සඳහන් වන්නේ යම් යම් කොන්දේසි යටතේ ශ්‍රිතවල අනුපාතයේ සීමාව සීමාවට සමාන බවයි ... ... විකිපීඩියා