Riemann's Cauchy තත්වයේ සංකීර්ණ විචල්යයක ශ්‍රිතයක අවකලනය. FKP ව්යුත්පන්නය. Cauchy-Riemann කොන්දේසි. විශ්ලේෂණ කාර්යයන්. වෙනත් ශබ්ද කෝෂවල "Cauchy-Riemann කොන්දේසි" මොනවාදැයි බලන්න
සංකීර්ණ විචල්යයක කාර්යයන්.
සංකීර්ණ විචල්යයක ශ්‍රිතවල වෙනස.
මෙම ලිපියෙන් මම සංකීර්ණ විචල්යයක ශ්‍රිත න්‍යායට සම්බන්ධ සාමාන්ය ගැටළු සලකා බලන පාඩම් මාලාවක් විවෘත කරයි. උදාහරණ සාර්ථකව ප්‍රගුණ කිරීමට, ඔබට සංකීර්ණ සංඛ්යා පිළිබඳ මූලික දැනුමක් තිබිය යුතුය. ද්රව්යය ඒකාබද්ධ කිරීම සහ නැවත නැවත කිරීම සඳහා, පිටුවට පැමිණීම ප්රමාණවත්ය. ඔබට සොයා ගැනීමට කුසලතා ද අවශ්ය වනු ඇත දෙවන අනුපිළිවෙල අර්ධ ව්යුත්පන්න. මෙන්න ඒවා, මෙම අර්ධ ව්‍යුත්පන්නයන් ... දැන් පවා ඒවා කොපමණ වාරයක් සිදු වේදැයි මම ටිකක් පුදුමයට පත් විය ...
අපි විශ්ලේෂණය කිරීමට පටන් ගන්නා මාතෘකාව විශේෂයෙන් දුෂ්කර නොවන අතර සංකීර්ණ විචල්යයක ක්රියාකාරිත්වය තුළ, ප්රතිපත්තිමය වශයෙන්, සියල්ල පැහැදිලි සහ ප්රවේශ විය හැකිය. ප්රධාන දෙය නම් මා විසින් ආනුභවිකව ව්යුත්පන්න කරන ලද මූලික රීතිය පිළිපැදීමයි. කියවන්න!
සංකීර්ණ විචල්යයක ශ්‍රිතයක් පිළිබඳ සංකල්පය
පළමුව, එක් විචල්යයක පාසල් ක්රියාකාරිත්වය පිළිබඳ අපගේ දැනුම අලුත් කර ගනිමු:
එක් විචල්යයක ක්‍රියාකාරිත්වයස්වාධීන විචල්‍යයේ එක් එක් අගය (අර්ථ දැක්වීමේ වසමෙන්) ශ්රිතයේ එක් අගයකට පමණක් අනුරූප වන රීතියකි. ස්වභාවිකව, "x" සහ "y" යනු තාත්වික සංඛ්යා වේ.
සංකීර්ණ අවස්ථාවෙහිදී, ක්රියාකාරී යැපීම සමාන ලෙස ලබා දී ඇත:
සංකීර්ණ විචල්යයක තනි අගය සහිත ශ්‍රිතයයන්න සැමදෙනාම අනුගමනය කරන රීතියයි ඒකාබද්ධස්වාධීන විචල්‍යයේ අගය (වසමෙන්) එකකට සහ එකම එකකට අනුරූප වේ විස්තීර්ණකාර්යය අගය. න්‍යායාත්මකව, බහුඅගය කරන ලද සහ තවත් සමහර ආකාරයේ ශ්‍රිත ද සලකා බලනු ලැබේ, නමුත් සරල බව සඳහා, මම එක් අර්ථ දැක්වීමක් කෙරෙහි අවධානය යොමු කරමි.
සංකීර්ණ විචල්යයක කාර්යය කුමක්ද?
ප්රධාන වෙනස වන්නේ සංඛ්යා සංකීර්ණ වීමයි. මම උපහාසාත්මක නොවේ. එවැනි ප්‍රශ්න වලින් ඔවුන් බොහෝ විට මෝඩකමට වැටේ, ලිපිය අවසානයේ මම සිසිල් කතාවක් කියන්නම්. පාඩම මත ඩමි සඳහා සංකීර්ණ අංකඅපි ආකෘතියේ සංකීර්ණ සංඛ්යාවක් සලකා බැලුවෙමු. මෙතැන් සිට "Z" අක්ෂරය බවට පත් විය විචල්ය, එවිට අපි එය පහත පරිදි දක්වන්නෙමු: , "x" සහ "y" වෙනස් විය හැක වලංගුඅගයන්. දළ වශයෙන් කිවහොත්, සංකීර්ණ විචල්යයක ශ්රිතය "සාමාන්ය" අගයන් ගන්නා විචල්ය සහ , මත රඳා පවතී. පහත කරුණ තාර්කිකව මෙම කරුණෙන් අනුගමනය කරයි:
සංකීර්ණ විචල්යයක ශ්රිතය මෙසේ ලිවිය හැක.
, දෙකේ ශ්‍රිත දෙකක් කොහෙද සහ වේ වලංගුවිචල්යයන්.
කාර්යය ලෙස හැඳින්වේ සැබෑ කොටසකාර්යයන් .
කාර්යය ලෙස හැඳින්වේ මනඃකල්පිත කොටසකාර්යයන් .
එනම්, සංකීර්ණ විචල්යයක ශ්රිතය සැබෑ ශ්‍රිත දෙකක් මත රඳා පවතී සහ . අවසාන වශයෙන් සියල්ල පැහැදිලි කිරීම සඳහා, අපි ප්‍රායෝගික උදාහරණ දෙස බලමු:
උදාහරණ 1
විසඳුමක්:ස්වාධීන විචල්යය "z", ඔබට මතක ඇති පරිදි, ලියා ඇත්තේ , එබැවින්:
(1) මුල් ශ්‍රිතයට ආදේශ කර ඇත.
(2) පළමු වාරය සඳහා, අඩු කරන ලද ගුණ කිරීමේ සූත්රය භාවිතා කරන ලදී. වාරය තුළ, වරහන් විවෘත කරන ලදී.
(3) එය අමතක නොකර, පරිස්සමින් වර්ග කර ඇත
(4) නියමයන් නැවත සකස් කිරීම: පළමුව කොන්දේසි නැවත ලියන්න , මනඃකල්පිත ඒකකයක් නොමැති(පළමු කණ්ඩායම), පසුව කොන්දේසි, කොහෙද (දෙවන කණ්ඩායම). එය නියමයන් මාරු කිරීම අවශ්ය නොවන බව සැලකිල්ලට ගත යුතු අතර, මෙම පියවර මඟ හැරිය හැක (ඇත්ත වශයෙන්ම, එය වාචිකව සිදු කිරීමෙන්).
(5) දෙවන කණ්ඩායම වරහන් වලින් ඉවත් කර ඇත.
එහි ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, අපගේ ක්රියාකාරිත්වය පෝරමයේ නිරූපණය වන බව පෙනී ගියේය
පිළිතුර:
ශ්රිතයේ සැබෑ කොටස වේ .
ශ්රිතයේ මනඃකල්පිත කොටස වේ .
මෙම කාර්යයන් මොනවාද? විචල්ය දෙකක වඩාත්ම සාමාන්ය ශ්‍රිත, එයින් කෙනෙකුට එතරම් ජනප්‍රිය ඒවා සොයාගත හැකිය අර්ධ ව්යුත්පන්න. දයාව නොමැතිව - අපි සොයා ගන්නෙමු. නමුත් ටිකක් පසුව.
කෙටියෙන්, විසඳන ලද ගැටලුවේ ඇල්ගොරිතම පහත පරිදි ලිවිය හැකිය: අපි මුල් කාර්යයට ආදේශ කර, සරල කිරීම් සිදු කර සියලු නියමයන් කණ්ඩායම් දෙකකට බෙදන්න - මනඃකල්පිත ඒකකයක් (සැබෑ කොටස) නොමැතිව සහ මනඃකල්පිත ඒකකයක් (පරිකල්පිත කොටස) සමඟ.
උදාහරණ 2
ශ්‍රිතයක සැබෑ සහ මනඃකල්පිත කොටස සොයන්න
මෙය ඔබ විසින්ම කළ හැකි උදාහරණයකි. නිරුවතින් චෙක්පත් සමඟ සංකීර්ණ ගුවන් යානයක ඔබ සටනට යාමට පෙර, මාතෘකාව පිළිබඳ වැදගත්ම උපදෙස් මම ඔබට ලබා දෙමි:
පරෙස්සම් වෙන්න!ඔබ ප්‍රවේශම් විය යුතුය, ඇත්ත වශයෙන්ම, සෑම තැනකම, නමුත් සංකීර්ණ සංඛ්යා වලදී ඔබ වෙන කවරදාටත් වඩා ප්‍රවේශම් විය යුතුය! මතක තබා ගන්න, වරහන් ප්රවේශමෙන් පුළුල් කරන්න, කිසිවක් අහිමි නොකරන්න. මගේ නිරීක්ෂණ අනුව, වඩාත් පොදු වැරැද්ද වන්නේ ලකුණ නැති වීමයි. ඉක්මන් වෙන්න එපා!
සම්පූර්ණ විසඳුම සහ පාඩම අවසානයේ පිළිතුර.
දැන් කියුබ්. සංක්ෂිප්ත ගුණ කිරීමේ සූත්රය භාවිතා කරමින්, අපි ව්යුත්පන්න කරමු:
.
විසඳුම් ක්‍රියාවලිය බෙහෙවින් වේගවත් කරන බැවින් සූත්‍ර ප්‍රායෝගිකව භාවිතා කිරීමට ඉතා පහසු වේ.
සංකීර්ණ විචල්යයක ශ්‍රිතවල වෙනස.
මට පුවත් දෙකක් තිබේ: හොඳ සහ නරක. මම හොඳ එකකින් පටන් ගන්නම්. සංකීර්ණ විචල්යයක ශ්‍රිතයක් සඳහා, අවකලනය පිළිබඳ රීති සහ මූලික ශ්‍රිතවල ව්යුත්පන්න වගුව වලංගු වේ. මේ අනුව, ව්යුත්පන්නය නියම විචල්යයක ශ්‍රිතයක දී මෙන් හරියටම ගනු ලැබේ.
නරක ආරංචිය නම්, සංකීර්ණ විචල්යයක බොහෝ කාර්යයන් සඳහා, ව්යුත්පන්නයක් නොමැති අතර, ඔබ විසින් සොයා බැලිය යුතුය අවකලනය වේඑක් හෝ තවත් කාර්යයක්. ඔබේ හදවතට දැනෙන්නේ කෙසේදැයි "හඳුනා ගැනීම" අමතර කරදර සමඟ සම්බන්ධ වේ.
සංකීර්ණ විචල්යයක ශ්‍රිතයක් සලකා බලන්න. මෙම කාර්යය අවකලනය වීමට නම්, එය අවශ්ය සහ ප්රමාණවත් වේ:
1) පළමු අනුපිළිවෙලෙහි අර්ධ ව්‍යුත්පන්නයන් තිබීම සඳහා. සංකීර්ණ විචල්යයක ශ්රිතයේ න්‍යාය තුළ, අංකනයේ තවත් අනුවාදයක් සම්ප්‍රදායිකව භාවිතා වන බැවින්, මෙම අංක ගැන වහාම අමතක කරන්න: 
.
2) ඊනියා ඉටු කිරීමට Cauchy-Riemann කොන්දේසි:
මෙම අවස්ථාවේ දී පමණක් ව්යුත්පන්නය පවතිනු ඇත!
උදාහරණය 3
විසඳුමක්අනුක්‍රමික අදියර තුනකට දිරාපත් වේ:
1) ශ්රිතයේ සැබෑ සහ මනඃකල්පිත කොටස් සොයා ගන්න. මෙම කාර්යය පෙර උදාහරණවල විශ්ලේෂණය කර ඇත, එබැවින් මම එය අදහස් දැක්වීමකින් තොරව ලියන්නෙමි:
එදින සිට:
මේ ක්රමයෙන්: 
ශ්රිතයේ මනඃකල්පිත කොටස වේ .
මම තවත් එක් තාක්ෂණික කරුණක් මත වාසය කරමි: කුමන අනුපිළිවෙලකටනියම සහ මනඃකල්පිත කොටස්වල පද ලියන්නද? ඔව්, මූලික වශයෙන් එය වැදගත් නොවේ. උදාහරණයක් ලෙස, සැබෑ කොටස මෙසේ ලිවිය හැකිය: 
, සහ මනඃකල්පිත - මේ වගේ: .
2) අපි Cauchy-Riemann කොන්දේසි ඉටු කිරීම පරීක්ෂා කරමු. ඒවායින් දෙකක් තිබේ.
තත්වය පරීක්ෂා කිරීමෙන් ආරම්භ කරමු. අපි හොයාගන්නවා අර්ධ ව්යුත්පන්න:
මේ අනුව, කොන්දේසිය සපුරා ඇත.
නිසැකවම, ශුභාරංචිය නම් අර්ධ ව්‍යුත්පන්නයන් සෑම විටම පාහේ ඉතා සරල බවයි.
අපි දෙවන කොන්දේසියේ ඉටුවීම පරීක්ෂා කරමු: 
එය එකම දෙය බවට පත් විය, නමුත් ප්රතිවිරුද්ධ සංඥා සමග, එනම්, කොන්දේසිය ද ඉටු වේ.
Cauchy-Riemann කොන්දේසි තෘප්තිමත් වේ, එබැවින්, කාර්යය වෙනස් වේ.
3) ශ්රිතයේ ව්යුත්පන්නය සොයන්න. ව්යුත්පන්නය ද ඉතා සරල වන අතර සාමාන්ය නීතිවලට අනුව සොයාගත හැකිය:
අවකලනයේ මනඃකල්පිත ඒකකය නියතයක් ලෙස සැලකේ.
පිළිතුර: 
- සැබෑ කොටස 
මනඃකල්පිත කොටස වේ.
Cauchy-Riemann කොන්දේසි සපුරා ඇත, .
ව්යුත්පන්නය සොයා ගැනීමට තවත් ක්රම දෙකක් තිබේ, ඒවා ඇත්ත වශයෙන්ම අඩුවෙන් භාවිතා වේ, නමුත් දෙවන පාඩම තේරුම් ගැනීමට තොරතුරු ප්‍රයෝජනවත් වනු ඇත - සංකීර්ණ විචල්යයක ශ්රිතය සොයා ගන්නේ කෙසේද?
සූත්රය භාවිතයෙන් ව්යුත්පන්නය සොයාගත හැක: 
මේ අවස්ථාවේ දී: 
මේ ක්රමයෙන්
ප්රතිලෝම ගැටළුව විසඳීම අවශ්ය වේ - ප්රතිඵලයක් ලෙස ප්රකාශනය තුළ, ඔබ හුදකලා කිරීමට අවශ්ය වේ . මෙය සිදු කිරීම සඳහා, නියමයන් සහ වරහන් වලින් ඉවත් කිරීම අවශ්ය වේ:
ප්රතිලෝම ක්‍රියාව, බොහෝ දෙනා දැක ඇති පරිදි, සිදු කිරීම තරමක් අපහසු ය, සත්‍යාපනය සඳහා ප්රකාශනය සහ කෙටුම්පත මත ගැනීම හෝ වරහන් වාචිකව නැවත විවෘත කිරීම වඩා හොඳය, එය හරියටම සිදුවනු ඇති බවට වග බලා ගන්න.
ව්යුත්පන්න සොයා ගැනීම සඳහා දර්පණ සූත්රය: 
මේ අවස්ථාවේ දී: 
, ඒක තමයි:
උදාහරණය 4
ශ්‍රිතයක සැබෑ සහ මනඃකල්පිත කොටස් නිර්ණය කරන්න 
. Cauchy-Riemann කොන්දේසි ඉටුවීම පරීක්ෂා කරන්න. Cauchy-Riemann කොන්දේසි සපුරා ඇත්නම්, ශ්රිතයේ ව්යුත්පන්නය සොයා ගන්න.
පාඩම අවසානයේ කෙටි විසඳුමක් සහ නිම කිරීමේ ආසන්න නියැදියක්.
Cauchy-Riemann කොන්දේසි සැමවිටම තෘප්තිමත්ද? න්‍යායාත්මකව, ඒවා බොහෝ විට ඒවාට වඩා ඉටු නොවේ. නමුත් ප්‍රායෝගික උදාහරණ වලදී, ඒවා ක්‍රියාත්මක නොකළ අවස්ථාවක් මට මතක නැත =) මේ අනුව, ඔබේ අර්ධ ව්‍යුත්පන්නයන් “අභිසාරී නොවූයේ” නම්, ඉතා ඉහළ සම්භාවිතාවකින් අපට කිව හැක්කේ ඔබ කොතැනක හෝ වැරැද්දක් කර ඇති බවයි.
අපගේ කාර්යයන් සංකීර්ණ කරමු:
උදාහරණ 5
ශ්‍රිතයක සැබෑ සහ මනඃකල්පිත කොටස් නිර්ණය කරන්න 
. Cauchy-Riemann කොන්දේසි ඉටුවීම පරීක්ෂා කරන්න. ගණනය කරන්න
විසඳුමක්:විසඳුම් ඇල්ගොරිතම සම්පූර්ණයෙන්ම සංරක්ෂණය කර ඇත, නමුත් අවසානයේ නව විලාසිතාවක් එකතු වේ: ලක්ෂ්යයක ව්යුත්පන්නය සොයා ගැනීම. ඝනකය සඳහා, අවශ්ය සූත්රය දැනටමත් ව්යුත්පන්න කර ඇත:
මෙම ශ්රිතයේ සැබෑ සහ මනඃකල්පිත කොටස් නිර්වචනය කරමු:
අවධානය සහ නැවත අවධානය!
එදින සිට:
මේ ක්රමයෙන්:
ශ්රිතයේ සැබෑ කොටස වේ;
ශ්රිතයේ මනඃකල්පිත කොටස වේ .
දෙවන කොන්දේසිය පරීක්ෂා කිරීම: 
එය එකම දෙය බවට පත් විය, නමුත් ප්රතිවිරුද්ධ සංඥා සමග, එනම්, කොන්දේසිය ද ඉටු වේ.
Cauchy-Riemann කොන්දේසි තෘප්තිමත් වේ, එබැවින්, කාර්යය වෙනස් වේ:
අවශ්ය ලක්ෂ්යයේ ව්යුත්පන්නයේ අගය ගණනය කරන්න:
පිළිතුර:,, Cauchy-Riemann කොන්දේසි තෘප්තිමත්,
කැට සහිත කාර්යයන් පොදු වේ, එබැවින් ඒකාබද්ධ කිරීමට උදාහරණයක්:
උදාහරණය 6
ශ්‍රිතයක සැබෑ සහ මනඃකල්පිත කොටස් නිර්ණය කරන්න 
. Cauchy-Riemann කොන්දේසි ඉටුවීම පරීක්ෂා කරන්න. ගණනය කරන්න.
පාඩම අවසානයේ තීරණය සහ නියැදි අවසන් කිරීම.
සංකීර්ණ විශ්ලේෂණ සිද්ධාන්තයේ දී, සංකීර්ණ තර්කයක අනෙකුත් කාර්යයන් ද අර්ථ දක්වා ඇත: ඝාතීය, සයින්, කොසයින්, ආදිය. මෙම කාර්යයන් අසාමාන්ය හා පවා විකාර ගුණාංග ඇත - එය ඇත්තෙන්ම සිත්ගන්නා සුළුය! මට ඇත්තටම ඔබට පැවසීමට අවශ්යයි, නමුත් මෙන්න, එය එසේ සිදු විය, යොමු පොතක් හෝ පෙළපොතක් නොව විසඳුමක්, එබැවින් මම පොදු කාර්යයන් කිහිපයක් සමඟ එකම කාර්යය සලකා බලමි.
මුලින්ම ඊනියා ගැන ඉයුලර් සූත්‍ර:
ඕනෑම කෙනෙකුට වලංගුඅංක, පහත සූත්‍ර වලංගු වේ: 
ඔබට එය යොමුවක් ලෙස ඔබේ සටහන් පොතට පිටපත් කළ හැකිය.
හරියටම කිවහොත්, ඇත්තේ එක් සූත්‍රයක් පමණි, නමුත් සාමාන්‍යයෙන්, පහසුව සඳහා, ඔවුන් දර්ශකයේ අඩුවක් සහිත විශේෂ අවස්ථාවක් ද ලියයි. පරාමිතිය තනි අකුරක් විය යුතු නැත, එය සංකීර්ණ ප්‍රකාශනයක්, ශ්‍රිතයක් විය හැකිය, එය වැදගත් වන්නේ ඔවුන් ගැනීම පමණි. පමණක් වලංගු වේඅගයන්. ඇත්ත වශයෙන්ම, අපි එය දැන් දකිමු:
උදාහරණ 7
ව්යුත්පන්න සොයන්න.
විසඳුමක්:පක්ෂයේ පොදු රේඛාව නොසැලී පවතී - කාර්යයේ සැබෑ හා මනඃකල්පිත කොටස් හුදකලා කිරීම අවශ්ය වේ. මම සවිස්තරාත්මක විසඳුමක් ලබා දෙන්නෙමි, පහත එක් එක් පියවර ගැන අදහස් දක්වන්න:
එදින සිට:
(1) "z" සඳහා ආදේශකයක්.
(2) ආදේශ කිරීමෙන් පසුව, සැබෑ සහ මනඃකල්පිත කොටස් වෙන් කිරීම අවශ්ය වේ ඝාතකයේ පළමුවප්රදර්ශකයින්. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, වරහන් විවෘත කරන්න.
(3) අපි මනඃකල්පිත ඒකකය වරහන් වලින් පිටතට තබමින්, දර්ශකයේ මනඃකල්පිත කොටස කාණ්ඩගත කරමු.
(4) බලතල සහිත පාසල් ක්‍රියාව භාවිතා කරන්න.
(5) ගුණකය සඳහා, අපි Euler සූත්රය භාවිතා කරමු.
(6) ප්රතිඵලයක් ලෙස අපි වරහන් විවෘත කරමු:
ශ්රිතයේ සැබෑ කොටස වේ;
ශ්රිතයේ මනඃකල්පිත කොටස වේ .
වැඩිදුර ක්‍රියා සම්මත වේ, අපි Cauchy-Riemann කොන්දේසි සපුරාලීම පරීක්ෂා කරමු: 
උදාහරණ 9
ශ්‍රිතයක සැබෑ සහ මනඃකල්පිත කොටස් නිර්ණය කරන්න 
. Cauchy-Riemann කොන්දේසි ඉටුවීම පරීක්ෂා කරන්න. එසේ වේවා, අපට ව්යුත්පන්නය සොයාගත නොහැක.
විසඳුමක්:විසඳුම් ඇල්ගොරිතම පෙර උදාහරණ දෙකට බෙහෙවින් සමාන ය, නමුත් ඉතා වැදගත් කරුණු ඇත, එබැවින් මම නැවත පියවරෙන් පියවර ආරම්භක අදියර පිළිබඳව අදහස් දක්වන්නෙමි:
එදින සිට:
1) අපි "z" වෙනුවට ආදේශ කරමු.
(2) පළමුව, සැබෑ සහ මනඃකල්පිත කොටස් තෝරන්න සයිනස් ඇතුලත. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, වරහන් විවෘත කරන්න.
(3) අපි සූත්රය භාවිතා කරමු 
.
(4) භාවිතා කරන්න හයිපර්බෝලික් කෝසයිනයේ සමානාත්මතාවය: හා හයිපර්බෝලික් සයින් ඔත්තේ: . හයිපර්බොලික්ස්, මේ ලෝකයේ නොවුනත්, නමුත් බොහෝ ආකාරවලින් සමාන ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතවලට සමාන වේ.
අවසානයේ:
ශ්රිතයේ සැබෑ කොටස වේ;
ශ්රිතයේ මනඃකල්පිත කොටස වේ .
අවධානය!ඍණ ලකුණ මනඃකල්පිත කොටස වෙත යොමු වන අතර, කිසිම අවස්ථාවක අප එය අහිමි නොකළ යුතුය! දෘශ්‍ය නිදර්ශනයක් සඳහා, ඉහත ලබාගත් ප්‍රති result ලය පහත පරිදි නැවත ලිවිය හැකිය:
Cauchy-Riemann කොන්දේසි ඉටුවීම පරීක්ෂා කරමු: 
Cauchy-Riemann කොන්දේසි සපුරා ඇත.
පිළිතුර:,, Cauchy-Riemann කොන්දේසි තෘප්තිමත් වේ.
කොසයින්, නෝනාවරුනි සහ මහත්වරුනි, අපි අපේම තේරුම් ගනිමු:
උදාහරණ 10
ශ්රිතයේ සැබෑ සහ මනඃකල්පිත කොටස් නිර්ණය කරන්න. Cauchy-Riemann කොන්දේසි ඉටුවීම පරීක්ෂා කරන්න.
මම හිතාමතාම වඩාත් සංකීර්ණ උදාහරණ තෝරා ගත්තෙමි, මන්ද සෑම කෙනෙකුටම භාවිතෙය්දී රටකජු වැනි දෙයක් හැසිරවිය හැකිය. ඒ සමඟම, ඔබේ අවධානය පුහුණු කරන්න! පාඩම අවසානයේ Nutcracker.
හොඳයි, අවසාන වශයෙන්, සංකීර්ණ තර්කය හරයේ ඇති විට මම තවත් රසවත් උදාහරණයක් සලකා බලමි. අපි ප්‍රායෝගිකව කිහිප වතාවක් මුණගැසෙමු, අපි සරල දෙයක් විශ්ලේෂණය කරමු. අනේ මම වයසට යනවා...
උදාහරණ 11
ශ්රිතයේ සැබෑ සහ මනඃකල්පිත කොටස් නිර්ණය කරන්න. Cauchy-Riemann කොන්දේසි ඉටුවීම පරීක්ෂා කරන්න.
විසඳුමක්:නැවතත්, ශ්රිතයේ සැබෑ සහ මනඃකල්පිත කොටස් වෙන් කිරීම අවශ්ය වේ.
නම්, එසේ නම්
ප්රශ්නය පැනනගින්නේ, "Z" හරයේ ඇති විට කුමක් කළ යුතුද?
සෑම දෙයක්ම සරලයි - සම්මතය උපකාර වනු ඇත සංයුජ ප්‍රකාශනයෙන් සංඛ්යා සහ හරය ගුණ කිරීමේ ක්‍රමය, එය දැනටමත් පාඩමේ උදාහරණ වල භාවිතා කර ඇත ඩමි සඳහා සංකීර්ණ අංක. ඉස්කෝලේ සූත්රය මතක් කරමු. අප සතුව දැනටමත් ඇති හරයෙහි, එබැවින් සංයුජ ප්රකාශනය වනු ඇත. මේ අනුව, ඔබ විසින් අංකනය සහ හරය ගුණ කළ යුතුය:
1. ව්යුත්පන්න සහ අවකලනය. සංකීර්ණ විචල්යයක ශ්‍රිතයක ව්යුත්පන්න සහ අවකලනය පිළිබඳ නිර්වචන එක් සැබෑ විචල්යයක ශ්‍රිත සඳහා අනුරූප අර්ථ දැක්වීම් සමඟ වාචිකව සමපාත වේ.
කාර්යයට ඉඩ දෙන්න w = f(z) = සහ + ivසමහර අසල්වැසි ප්‍රදේශවල අර්ථ දක්වා ඇත යූලකුණු zoඅපි ස්වාධීන විචල්යය ලබා දෙමු z = x + ගුවර්ධක A z= A.g + ගවු,අසල්වැසි ප්‍රදේශයෙන් පිටතට නොයන යූ.එවිට කාර්යය w = f(z)අනුරූප වර්ධකය ලැබෙනු ඇත Aw = f(z 0 + Dg) - f(z0).
zq ලක්ෂ්යයේ w = f(z) ශ්රිතයේ ව්‍යුත්පන්නයශ්‍රිතයේ වර්ධක අනුපාතයේ සීමාව ලෙස හැඳින්වේ ආව්තර්කය වැඩි කිරීමට A zඋත්සාහ කරන අතරතුර Azබිංදුවට (අත්තනෝමතික ලෙස).
ව්යුත්පන්නය දක්වා ඇත f"(z Q), wහෝ u-. ව්‍යුත්පන්නයක අර්ථ දැක්වීම මෙසේ ලිවිය හැක
(6.1) හි සීමාව නොපවතියි; එවිට ශ්රිතය යැයි කියනු ලැබේ w = f(z) zq ලක්ෂ්යයේ ව්යුත්පන්නයක් නොමැත.
කාර්යය w = f(z)කියලා Zq ලක්ෂ්යයේ වෙනස් කළ හැක, එය යම් අසල්වැසි ප්‍රදේශයක අර්ථ දක්වා තිබේ නම් යූලකුණු zq සහ එහි වැඩිවීම ආව්ලෙස නිරූපණය කළ හැක
සංකීර්ණ අංකයක් කොහෙද එල් A r මත රඳා නොපවතින අතර a(A r) ශ්රිතය අසීමිත වේ Az-» 0, i.e. Pm a(Ag) = 0.
සැබෑ විචල්යයක ශ්‍රිත සඳහා මෙන්ම, ශ්රිතය බව ඔප්පු වේ f(z)එක් අවස්ථාවක වෙනස් කළ හැකිය zq නම් සහ එහි ව්යුත්පන්නයක් තිබේ නම් පමණි zo. හා A \u003d f "(zo).ප්රකාශනය f"(zo)Azකියලා Zq ලක්ෂ්යයේ f(z) ශ්රිතයේ අවකලනයසහ දැක්වේ dwහෝ df(zo).ඒ සමගම, වැඩිවීම Azස්වාධීන විචල්යය -r යනු r සහ විචල්‍යයේ අවකලනය ලෙසද හැඳින්වේ
දක්වා ඇත dzමේ ක්රමයෙන්,
අවකලනය යනු ශ්රිතයේ වර්ධකයේ ප්රධාන රේඛීය කොටසයි.
උදාහරණය 6.1. කාර්යයක් තිබේ නම් විමර්ශනය කරන්න w=/(r) = ආර් ezඅත්තනෝමතික ලක්ෂ්යයක ව්යුත්පන්න Zq.
විසඳුමක්. කොන්දේසිය අනුව, w = Rea = X.ව්යුත්පන්නයේ නිර්වචනය අනුව, සීමාව (C.1) කුමන මාර්ගය මත රඳා නොපවතී
තිත z = Zq + Azළං වෙනවා th A හි z-? 0. මුලින්ම A ගන්න z - අහ්(රූපය 15, a). නිසා ආව් = ආහ්.එවිට = 1. නම්
එකම ගන්න A z = iAy(රූපය 15, බී), එවිට ඔහ්= 0 සහ, එබැවින්, ආව් = 0.
එබැවින්, u = 0. එබැවින්, අපි සම්බන්ධතා පාවා දෙන්නෙමු Az-> 0 නොවේ A zඒ z
පවතින අතර එබැවින් කාර්යය w= Re r = xකිසිම අවස්ථාවක ව්යුත්පන්නයක් නොමැත.
ඒ සමගම, කාර්යය w=z = x + iy,පැහැදිලිවම th හි ඕනෑම ස්ථානයක ව්යුත්පන්නයක් ඇත, සහ / "(th) = 1. මෙයින් පැහැදිලි වන්නේ f(r) අවකල ශ්රිතයේ සැබෑ සහ මනඃකල්පිත කොටස් අත්තනෝමතික විය නොහැකි බවයි; ඒවා සමහර අමතර සම්බන්ධතා මගින් සම්බන්ධ විය යුතුය. මෙම සම්බන්ධතා පැන නගින්නේ එක් තාත්වික විචල්යයක හෝ තාත්වික විචල්ය කිහිපයක ශ්‍රිතවල අර්ධ ව්‍යුත්පන්නයක ශ්‍රිතවල ව්‍යුත්පන්නයක පැවැත්ම සඳහා වන කොන්දේසියට වඩා /"(o) ව්යුත්පන්නයේ පැවැත්ම සඳහා වන කොන්දේසිය අත්‍යවශ්‍යයෙන්ම සීමාකාරී වන බැවිනි. (6.1) හි සීමාව පැවතීම සහ මාර්ගයෙන් ස්වායත්ත වීම අවශ්ය වේ, ඒ සඳහා r = r0 + Ar ලක්ෂ්යය r ට Ar 0 ලෙස ළඟා වේ. මෙම සම්බන්ධතා ව්යුත්පන්න කිරීම සඳහා, අපි විචල්ය දෙකක ශ්‍රිතයක අවකලනය පිළිබඳ නිර්වචනය සිහිපත් කරමු. .
සැබෑ කාර්යය u = u (x, y)සැබෑ විචල්යයන් xහා හිදීඑක් ලක්ෂයක අවකලනය ලෙස හැඳින්වේ Ro(ho, wo)එය D> ලක්ෂ්යයේ යම් අසල්වැසි ප්‍රදේශයක අර්ථ දක්වා ඇත්නම් සහ එහි සම්පූර්ණ වර්ධකය A හා = ඔවුන්ට o + ඔහ්, ඔහ්+ ඒ y) - සහ (හෝ, වූ)ස්වරූපයෙන් නියෝජනය කරන්න
කොහෙද හිදීහා සිට- J වලින් ස්වායත්ත තාත්වික සංඛ්යා , ආයි,ඒ {3 ඔහ්හා ආයි,ශුන්‍යයට නැඹුරු වීම ඔහ් -» 0, ay-> 0.
කාර්යය නම් හා Po ලක්ෂ්යයේ දී අවකලනය වේ, එවිට එයට සමානත්වයක් ඇත.
ජී," di(P 0) ^ di(Ro) gt ,
Po හි ව්යුත්පන්න, සහ හිදී= ---, C = ---. නමුත් (විශිෂ්ටයි
අපොයි
එක් විචල්යයක ශ්‍රිත වලින්) ශ්‍රිතයක අර්ධ ව්‍යුත්පන්නවල පැවැත්මෙන් i(x, y)එහි අවකලනය තවමත් අනුගමනය නොකෙරේ.
2. Cauchy-Riemann කොන්දේසි.
ප්රමේයය 6.1. w ශ්‍රිතයට ඉඩ දෙන්න = සංකීර්ණ විචල්‍යයේ f(z) z= (w, y) ලක්ෂ්යයක අසල්වැසි ප්‍රදේශයක අර්ථ දක්වා ඇත, zq= (ජෝ, y o) සහ f(z) = u(x, y) + iv(x, y). Zq ලක්ෂ්‍යයේදී f(z) අවකලනය වීමට නම්, u(x, y) XI v(x, y) යන ශ්‍රිතයන් ලක්ෂ්‍යයේදී අවකලනය වීම අවශ්ය සහ ප්රමාණවත් වේ.(ජෝ, yo) සහ මේ අවස්ථාවේ කොන්දේසි
සමානතා (6.4) ලෙස හැඳින්වේ Cauchy-Riemann කොන්දේසි .
සාක්ෂි. අවශ්යයි. කාර්යයට ඉඩ දෙන්න w = f(z) zq ලක්ෂ්‍යයෙන් අවකලනය වේ, එනම්,
දක්වන්න f "(zo) \u003d a + ib a(Dg) = fi (Ax, Ay)+ r7(J, Ay); Az = Ah + (ආයි,කොහෙද /3 සහ 7 යනු විචල්‍යවල සැබෑ ශ්‍රිත වේ අහ්, ඒයි J -> 0 ලෙස ශුන්‍යයට නැඹුරු වීම, Ay -> 0. මෙම සමානාත්මතා (6.5) බවට ආදේශ කිරීම සහ සැබෑ සහ මනඃකල්පිත කොටස් වෙන් කිරීම, අපි ලබා ගන්නේ:
සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවල සමානාත්මතාවය ඒවායේ තාත්වික හා මනඃකල්පිත කොටස්වල සමානාත්මතාවයට සමාන වන බැවින් (6.6) සමානාත්මතා පද්ධතියට සමාන වේ.
සමානාත්මතා (6.7) යන්නෙන් අදහස් වන්නේ කාර්යයන් බවයි u(x, y), v(x,y)කොන්දේසිය (6.3) තෘප්තිමත් වන අතර, එබැවින්, වෙනස් කළ හැකිය. J හි සංගුණක සහ ay w සහ සම්බන්ධව අර්ධ ව්‍යුත්පන්නවලට සමාන වේ හිදීපිළිවෙලින්, පසුව (6.7) සිට අපි ලබා ගනිමු
කොන්දේසි (6.4) අනුගමනය කරන්නේ කොහෙන්ද.
ප්රමාණවත් බව. අපි දැන් උපකල්පනය කරමු කාර්යයන් බව u(x, y)හා v(x,y)එක් අවස්ථාවක වෙනස් කළ හැකිය (ho.woo)හා i(x, y)සහ කොන්දේසි (6.4) තෘප්තිමත් වේ.
a = ^, 6 = -^ සහ යෙදීමෙන් (6.4), අපි සමානාත්මතාවයට (6.8) පැමිණෙමු. (6.8) සිට සහ ශ්‍රිතවල අවකලනය සඳහා කොන්දේසි u(x, y), v(x, y)අපිට තියනවා 
එහිදී අඩි, 7i, අඩි, ඈ-2 - ලෙස ශුන්‍යයට නැඹුරු වන ශ්‍රිත අහ් -> 0, Ay ->-> 0. මෙතැන් සිට
ඇ + iAv= (o + ib)(පොරොව + i.Ay)+ (ft + ift)Ax + (71 + *72) අයි.(6.9) සමානාත්මතාවයෙන් a(Aj) ශ්රිතය නිර්වචනය කරමු
හා දැම්මා නමුත් = ඒ 4- ib.එවිට (6.9) සමානාත්මතාවය ලෙස නැවත ලියනු ලැබේ
(6.2) සමග සමපාත වේ. අවකලනය ඔප්පු කරන දිනය
කාර්යයන් f(z)ලිම් a(Az) = 0. සමානාත්මතාවයෙන් බව පෙන්වීමට ඉතිරිව ඇත
එය අනුගමනය කරයි ඔහ්^ |Dg|, ay^ |Dg|. ඒක තමයි
අ Az-? 0, පසුව ඔහ්-? 0, ay-> 0, එබැවින් ft, ft, 71, 72 ශ්‍රිත ශුන්‍යයට නැඹුරු වේ. එබැවින් a(Aj) -> 0 සඳහා Az-> 0, සහ ප්රමේයය 6.1 සාධනය සම්පූර්ණයි.
උදාහරණය 6.2. කාර්යයක් තිබේදැයි පරීක්ෂා කරන්න w = z 2 වෙනස් කළ හැකි; එසේ නම්, කුමන අවස්ථා වලදීද?
විසඳුමක්, w = u + iv = (x + iy) 2 = x 2 - y 2 + 2ixy,කොහෙද සහ \u003d \u003d x 2 - y 2, V \u003d 2xy.ප්රතිඵලයක් වශයෙන්,
මේ අනුව, Cauchy-Riemann කොන්දේසි (6.4) සෑම අවස්ථාවකදීම තෘප්තිමත් වේ; කාර්යය යන්නෙන් අදහස් වේ w = g 2 C වලින් අවකලනය වේ.
උදාහරණය 6.3. ශ්‍රිතයක අවකලනය විමර්ශනය කරන්න w = - z - x - iy.
විසඳුමක්. w = u + iv = x - iy,කොහෙද u = x, v = -yහා
මේ අනුව, Cauchy-Riemann කොන්දේසි කිසිම අවස්ථාවක තෘප්තිමත් නොවන අතර, ඒ අනුව, කාර්යය w=zකොතැනකවත් වෙනස් කළ නොහැක.
ඔබට ශ්‍රිතයක අවකලනය පරීක්ෂා කර සූත්රය (6.1) භාවිතයෙන් සෘජුවම ව්යුත්පන්න සොයා ගත හැක.
උදාහරණ 6.4. සූත්රය (6.1) භාවිතා කරමින් ශ්රිතයේ අවකලනය විමර්ශනය කරන්න IV = z2.
විසඳුමක්. ඒ w- (zq + A z) 2- Zq = 2 zqAz -I- (ඒ z) 2,කොහෙද
එබැවින්, කාර්යය w = zr 2o හි ඕනෑම අවස්ථාවක අවකලනය වන අතර එහි ව්යුත්පන්නය f"(zo) =2 zo-
සීමාවන් පිළිබඳ ප්රධාන ප්‍රමේයයන් සංකීර්ණ විචල්යයක ශ්‍රිතයක් සඳහා සංරක්ෂණය කර ඇති බැවින් සහ සංකීර්ණ විචල්යයක ශ්‍රිතයක ව්යුත්පන්නයේ නිර්වචනය ද සැබෑ විචල්යයක ශ්‍රිත සඳහා අනුරූප අර්ථ දැක්වීමෙන් වෙනස් නොවන බැවින් සුප්‍රසිද්ධ රීති සංකීර්ණ විචල්යයක ශ්‍රිත සඳහා ඓක්‍යය, වෙනස, නිෂ්පාදනය, ප්‍රමාණය සහ සංකීර්ණ ශ්රිතය වලංගු වේ. ඒ හා සමානව, එය ශ්රිතය නම් බව ද ඔප්පු වේ f(z)එක් අවස්ථාවක වෙනස් කළ හැකිය zoඑවිට එය මෙම ස්ථානයේ අඛණ්ඩව පවතී; සංවාදය සත්‍ය නොවේ.
3. විශ්ලේෂණාත්මක කාර්යයන්. කාර්යය w= /(^ ns අවකලනය කළ හැක්කේ එම අවස්ථාවේ දී පමණි zq, නමුත් මෙම ලක්ෂ්යයේ සමහර අසල්වැසි ප්‍රදේශවල ද හැඳින්වේ zq ලක්ෂ්යයේ විශ්ලේෂණාත්මක.අ f(z)කලාපයේ සෑම ලක්ෂයකම විශ්ලේෂණාත්මක වේ D,එවිට එය හැඳින්වේ D වසමේ විශ්ලේෂණාත්මක (සාමාන්ය, holomorphic)
එය වහාම ව්යුත්පන්න වල ගුණාංග වලින් පහත දැක්වේ f(z)හා g(z)- ක්ෂේත්රයේ විශ්ලේෂණ කාර්යයන් D,පසුව කාර්යයන් f(z) + g(z), f(z) - g(z), f(z) g(z)වසම තුළ ද විශ්ලේෂණාත්මක වේ D,සහ පෞද්ගලික f(z)/g(z)කලාපයේ සියලුම ස්ථානවල විශ්ලේෂණ කාර්යය ඩී.එහි g(z) f 0. උදාහරණයක් ලෙස, කාර්යය 
ලකුණු ඉවතට විසිකර ඇති C තලයේ විශ්ලේෂණාත්මක වේ z== 1 සහ z-i.
පහත ප්‍රකාශය සංකීර්ණ ශ්‍රිතයක ව්යුත්පන්නය පිළිබඳ ප්‍රමේයයෙන් පහත දැක්වේ: ශ්රිතය නම් හා = u(z) වසම තුළ විශ්ලේෂණාත්මක වේ ඩීසහ සංදර්ශන ඩීකලාපයට D"විචල්ය සහ, සහ ශ්රිතය w = f(u)ක්ෂේත්රයේ විශ්ලේෂණාත්මක D", පසුව සංකීර්ණ ශ්රිතය w = f(u(z))විචල්ය zතුළ විශ්ලේෂණාත්මක ඩී.
සංවෘත වසමක විශ්ලේෂණාත්මක ශ්‍රිතයක් පිළිබඳ සංකල්පය අපි හඳුන්වා දෙමු ඩී.මෙහි ඇති විවෘත ප්‍රදේශයෙන් ඇති වෙනස නම් මායිම් ලක්ෂ්‍ය එකතු කර ඇති අතර එයට අයත් අසල්වැසි ප්‍රදේශයක් නොමැත D;එබැවින්, මෙම ලක්ෂ්යවල ව්යුත්පන්නය අර්ථ දක්වා නැත. කාර්යය f(z)කියලා විශ්ලේෂණාත්මක (නිතිපතා, holomorphic) සංවෘත කලාපයක ඩීමෙම කාර්යය යම් පුළුල් ප්රදේශයකට ව්යාප්ත කළ හැකි නම් ඩීමම අඩංගු D,විශ්ලේෂණාත්මක කිරීමට ඩීකාර්යයන්.
- කොන්දේසි (6.4) 18 වැනි සියවස තරම් මුල් කාලයේ අධ්‍යයනය කරන ලදී. D'Alembert සහ Euler. එමනිසා, ඒවා සමහර විට d'Alembert-Euler කොන්දේසි ලෙසද හැඳින්වේ, එය ඓතිහාසික දෘෂ්ටි කෝණයකින් වඩාත් නිවැරදි ය.
පිටපත
1 Cauchy-Riemann කොන්දේසි.) w zi e ශ්රිතය සඳහා Cauchy-Riemann කොන්දේසි සපුරා ඇත්දැයි පරීක්ෂා කරන්න. z ලක්ෂ්යයක ව්යුත්පන්නයක් ඇති ශ්‍රිතයක් එම ලක්ෂ්‍යයේදී අවකලනය ලෙස හැඳින්වේ. Cauchy - Riemann හි කොන්දේසි (D'Alembert - Euler, Euler - d'Alembert): w f z u, iv, එවිට f z ශ්රිතයේ අවකලනයේ එක් එක් ලක්ෂ්යයේ දී z i සමානාත්මතාවයන් තෘප්තිමත් නම්, u v u v isin e cos එනම් sin සැබෑ u තෝරන්න සහ w: u, e cos v, e sin යන ශ්රිතයේ කල්පිත v කොටස් අර්ධ ව්යුත්පන්න ගණනය කරන්න: u cos e cos v e sin e cos u e cos e sin v e sin e sin - Cauchy-Riemann කොන්දේසි සපුරා ඇත. සාහිත්යය :) Gusak A.A. "සංකීර්ණ විචල්යයක සහ ක්රියාකාරී කලනයක ශ්‍රිත පිළිබඳ න්‍යාය", 00, පි. 59 (උදාහරණ 9), පි. 0 (උදාහරණ);) පිස්මෙනි ඩී.ටී. "උසස් ගණිතය පිළිබඳ දේශන සටහන්", 006, පි. 530, පි. (Euler-D'Alembert කොන්දේසි, ශ්‍රිතයක විශ්ලේෂණාත්මකභාවය)) w z 4iz ශ්රිතය සඳහා Cauchy-Riemann කොන්දේසි සපුරා ඇත්දැයි පරීක්ෂා කරන්න. අපි මෙම ශ්රිතය වීජීය ආකාරයෙන් ලියන්නෙමු, z i: w i 4i i i 4 i i සැකසීම
2 ශ්රිතයේ සැබෑ u සහ මනඃකල්පිත v කොටස් තෝරන්න w: u, 4 v, 4 අර්ධ ව්‍යුත්පන්නයන් ගණනය කරන්න: u 4 v 4 u 4 4 v Cauchy-Riemann කොන්දේසි සපුරා ඇත. 3) sin IZ කාර්යය සඳහා Cauchy-Riemann කොන්දේසි සපුරා ඇත්දැයි පරීක්ෂා කරන්න. අපි sin z යන ත්‍රිකෝණමිතික ශ්රිතය ඝාතීය හරහා ප්‍රකාශ කරන්නෙමු: iz iz e e sin z i සහ එය සැලකිල්ලට ගනිමු sin ie cos sin cos e i e e u iv හි සැබෑ සහ මනඃකල්පිත කොටස්: u, sin e e, cos v e e
3 අර්ධ ව්යුත්පන්න ගණනය කරන්න: u sin sin e e e e e v cos e sin e e e e e e සහ u sin cos e e e e cos cos e e e e v ඔබට පෙනෙන පරිදි, Cauchy-Riemann කොන්දේසි u v u v sin iz තෘප්තිමත් වේ. ශ්රිතය සඳහා 4) Cauchy-Riemann කොන්දේසි භාවිතා කරමින්, w f z ශ්රිතය විශ්ලේෂණාත්මකද යන්න පරීක්ෂා කරන්න: wsin z3 z ශ්රිතය. w f z ලක්ෂ්යයේ දී සහ එහි යම් ප්‍රදේශයක දී එය අවකලනය කළ හැකි නම්, z ලක්ෂ්යයේ දී විශ්ලේෂණ ලෙස හැඳින්වේ. සමහර වසම D හි එක් එක් ලක්ෂ්යයේ දී අවකලනය කළ හැකි w f z ශ්‍රිතයක් මෙම වසමේ විශ්ලේෂණ ශ්‍රිතයක් ලෙස හැඳින්වේ. Cauchy-Riemann (D'Alembert-Euler, Euler-D'Alembert) කොන්දේසි: z i w f z u, iv, එවිට සමානතා u v u v, f z ශ්රිතයේ එක් එක් අවකලතා ලක්ෂ්යයේ දී තෘප්තිමත් වේ. අපි මෙම ශ්රිතය වීජීය ආකාරයෙන් ලියන්නෙමු, z i: i 3 i w sin ii ii e 3i3 i i i i e e e e 3i3 i i i e e e e e e 3i3 i e cos isin e cosisin 3i3 i e cos එනම් sin e 3 i3 ie
4 cos e i e e sin 3i3 ic cos i e e e sin 3i3 e e sin i e e cos 3i3 e e sin 3i e e cos 3 ch sin 3 sh icos 3 පරිවර්තනවලදී භාවිතා කරන සූත්‍ර: iz iz z e e e e sin 3i3 ic cos මනඃකල්පිත කොටස් w z u, i v, u, chsin 3 v, shcos3: අර්ධ ව්යුත්පන්න ගණනය කරන්න: u ch sin 3 ch cos3 v sh cos3 ch cos3 u ch sin 3 sh sin v sh cos 3 sh sin ඉතින්, Cauchy-Riemann කොන්දේසි u v u v , ඉටු වූ; එබැවින් sin w f z z3 z ශ්රිතය විශ්ලේෂණාත්මක වේ. හතර
5 5) ශ්රිතය විශ්ලේෂණාත්මක බව ඔප්පු කර ව්යුත්පන්නය සොයා ගන්න: z z e w e අපි මෙම ශ්රිතය වීජීය ආකාරයෙන් ලියන්නෙමු, z i: i e e w e cos isin e cosisin e cos isin e cos isin e cos එනම් sin e cos ie sine cos e i sin ch cos ish sin සැබෑ සහ මනඃකල්පිත කොටස් වෙන් කරන්න w z u, i v, u, chcos v, shsin අර්ධ ව්යුත්පන්න ගණනය කරන්න: u ch cos sh cos v sh sin sh cos u ch cos ch sin v sh sin ch sin: Cauchy-Riemann කොන්දේසි u v u v, හමු වූ; එබැවින් w f z e z e z ශ්රිතය විශ්ලේෂණාත්මක වේ. ඕනෑම විශ්ලේෂණාත්මක ශ්‍රිතයක් සඳහා f z u, i v, u u, සහ v v ශ්‍රිතවල අර්ධ ව්‍යුත්පන්නයන්: ව්යුත්පන්න f u v v u u v v f z i i i i ශ්‍රිතවල ශ්‍රිත ව්යුත්පන්නය ගණනය කරන්න, සහ v, : z ප්රකාශනය සඳහා f z භාවිතා කරමින් ප්‍රකාශ කරනු ලැබේ. w z z z e e u v w z i sh cos ich sin z ශ්රිතයේ ව්යුත්පන්නය 5
6 හෝ සෘජුවම: z z e e z z z z w e e e e e z i i i e e e e e e e e cos isin e cosisin e cos isin e cos isin cos sin e e e i e e e e e cos sin e e i e e e e e cos sin e e i e e e e e cos sin e e i e e e e e cos , i e e sh i sinz ) එය විශ්ලේෂණාත්මක දැයි පරීක්ෂා කරන්න, එසේ නම්, z0 ලක්ෂ්යයේ ව්යුත්පන්නය සොයා ගන්න වීජීය ආකාරයෙන් සංකීර්ණ සංඛ්යාවක් ලැබේ. Re wu, e cos Im w v, e sin e v sin e cos e
7 u v w z i e i e sin cos 6 6 w zesin iecos e 3 එනම් 3 3 ලක්ෂ්යයේ z0 i0: සාහිත්යය:) Gusak A.A. "සංකීර්ණ විචල්යයක සහ ක්රියාකාරී කලනයක ශ්‍රිත පිළිබඳ න්‍යාය", 00, පි. 59 (උදාහරණ 9), පි. 0 (උදාහරණ). ශ්රිතයේ අගය ගණනය කරන්න. 7) z0 i ලක්ෂ්යයේ w cos z සංකීර්ණ විචල්‍යයේ ශ්රිතයේ අගය ගණනය කරන්න. e ඕනෑම z C සඳහා: cos z iz e iz එවිට ii ii i i i i e e e e e e e wicosi e cos isin e cos isin cos e e isin e e e e e e e e e cos i sin ch cos i sh sin Answer: ish Lizo V.) "සංකීර්ණ විචල්යයක ශ්‍රිත න්‍යාය", 009, වෙළුම 0, සංස්. MSTU, p. 06;) Lunts G.L., Elsgolts L.E. "සංකීර්ණ විචල්යයක ශ්‍රිත", 00, p) z 0 ln 3 ලක්ෂ්යයේ w th z සංකීර්ණ විචල්යයක ශ්රිතයේ අගය වීජීය ආකාරයෙන් ගණනය කරන්න. z z e e ඕනෑම z C සඳහා: th z z z e e So i i ln 3 i ln 3 i e 4 e w z 0 i e e th ln 3 i ln 3 i i i i e 4 e 4 e 4 3 e 4 3 i 7, පිළිතුර ලියන්න
වීජීය ආකාරයෙන් ප්රතිඵල ගණනය කිරීම්. 9) z 0 ලක්ෂ්යයේ සංකීර්ණ විචල්ය Ln z හි ශ්රිතයේ අගය ගණනය කරන්න. ශ්රිතයේ ප්රධාන අගය දක්වන්න. ලඝුගණක ශ්රිතය Ln ln arg z z i z k kz z අංකයේ ලඝුගණකයේ ප්රධාන අගය වන්නේ z අංකයේ තර්කයේ ප්රධාන අගයට අනුරූප වන අගයයි; එම. අපි ලඝුගණකයේ ප්රධාන අගය k 0 හිදී ලබා ගනිමු: ln z ln z i arg z මාපාංකය සහ z0 0 i: z 0 arg z 0 අංකයේ තර්කය එබැවින්, Ln ln i k 0k i kz යනු සංකීර්ණ විචල්‍යයේ අගයන් වේ. z 0 ලක්ෂ්යයේ ශ්රිතය, වීජීය ආකාරයෙන් ලියා ඇත. (Ln z ලඝුගණක ශ්රිතය බහු අගයක් ඇත) z ln 0 i 8 අංකයේ ලඝුගණකයේ ප්රධාන අගය
9 0) z i 0 ලක්ෂ්යයේ i z සංකීර්ණ විචල්‍යයේ ශ්රිතයේ අගය ගණනය කරන්න. ඕනෑම දෙයක් සඳහා w z C: w z z Ln w e. i iln i iln i iarg i ki i e e, kz Modulus සහ w i: i arg iarctg 4 ln i ln i ki i k i k i k i ln i iarg i ki ln i i i e e e 4 e 4 e 4 ln k i k 4 cos 4 , - ත්‍රිකෝණමිතික ආකාරයෙන් ලියා ඇති z0 i ලක්ෂ්යයේ z සංකීර්ණ විචල්‍යයේ ශ්රිතයේ අගයන් (බහු-වටිනා ශ්රිතය).) z0 i ලක්ෂ්යයේ සංකීර්ණ විචල්ය arcctg z හි ශ්රිතයේ අගය ගණනය කරන්න, ලියන්න වීජීය ආකාරයෙන් පිළිතුරු දෙන්න. i z i Arcctg z Ln z i Ln z ln z iarg z k, kz (k 0 සඳහා අපි ලඝුගණකයේ ප්රධාන අගය ලබා ගනිමු ln z ln z i arg z) 5iarcg k, kz 5 සහ z0 i ln ln 5 i arctg z i 0 ln 5 iarcg t arctg i ln 5 0, 3 i 0, 40 4 (Arcctg i හි මූලික අගය) 9
10 ) z0 i ලක්ෂ්යයේ arccos z සංකීර්ණ විචල්‍යයේ ශ්රිතයේ අගය ගණනය කරන්න, පිළිතුර වීජීය ආකාරයෙන් ලියන්න. Arccos z iln z z Ln z ln z i arg z k, kz k 0 සඳහා අපි ලඝුගණකයේ ප්රධාන අගය ලබා ගනිමු ln z ln z i arg z සහ arccosine arccos z z z iln z z හි ප්රධාන අගය සංකීර්ණ අංකයක් ලබා දෙයි. අගයන් දෙකක්; ශ්රිතයේ ප්රධාන අගය සඳහා, 0 පරතරය තුළට වැටෙන තර්කයක් තෝරන්න. මෙම අවස්ථාවේදී: arccos ln ln iln i i i i i i i i i i අගයන් දෙකක් ගනී. අපි ඒවා සොයා ගනිමු: cos arctg i sin arctg i arctg k arctg k i 5 cos isin 4 arctg arctg 5cos isin, k 0 i 4 arctg arctg 5 cos i sin, k cos cos cosarctg 5 සූත්‍ර භාවිතා කර, අපට ලැබෙන්නේ: සහ arctan 5 5 cos 0 arctan 5 5 sin 0 සහ පසුව i, k 0 i, k i i, k i, k 0 0 0 බව සැලකිල්ලට ගනිමින්
11 සහ 5 5 i, k 0 i i 5 5 i, k එහි තර්කය 0 පරාසය තුළට වැටේ ;. ඉතින්, i i 5 i arccos z arg z z iln z z arctg 5 5 iln i 5 5 arctg 5 5 i ln 5 arctg 5 i l n 5 5 5, 7 i 0, 59 5 (Arccos i.D.D. හි ප්රධාන අගය) Literature . "සංකීර්ණ විචල්යයක ශ්‍රිත න්‍යාය", 009, වෙළුම 0, සංස්. MSTU, p. 06;) Lunts G.L., Elsgolts L.E. "සංකීර්ණ විචල්යයක කාර්යයන්", 00, පි. 40.
සංකීර්ණ සංඛ්යාවක් යනු x y ආකෘතියේ ප්‍රකාශනයකි (සංකීර්ණ සංඛ්යාවක වීජීය ආකාරය), මෙහි x, y R; x Re - සංකීර්ණ සංඛ්යාවක සැබෑ කොටස; y Im - සංකීර්ණ සංඛ්යාවක මනඃකල්පිත කොටස; - මනඃකල්පිත
මාතෘකාව 11 සංකීර්ණ සංඛ්යා පිළිබඳ සිද්ධාන්තයේ මූලික තොරතුරු. සංකීර්ණ සංඛ්යාවක් යනු i = -1 යන "මනඃකල්පිත ඒකකය" වන ආකාරයෙන් ලියා ඇති තාත්වික සංඛ්යා යුගලයකි; - සැබෑ කොටස
සංකීර්ණ සංඛ්යා. බහුපද. සංකීර්ණ සංඛ්යා. 1. ගැටළු විසඳීම සඳහා මූලික නිර්වචන සහ සූත්‍ර වීජීය ස්වරූපයෙන් සංකීර්ණ සංඛ්යාවක් යනු x සහ y සැබෑ වන ආකාරයේ = x + y හි ප්‍රකාශනයකි.
1 සංකීර්ණ විචල්යයක ශ්‍රිත පිළිබඳ මූලික සංකල්ප සංකීර්ණ විචල්යයක ශ්‍රිතයක් හා සම්බන්ධ මූලික සංකල්ප සැබෑ ප්‍රදේශයේ ඇති ආකාරයටම දක්නට ලැබේ. සංකීර්ණ කට්ටල දෙකකට ඉඩ දෙන්න
ශාන්ත පීටර්ස්බර්ග් රාජ්ය විශ්ව විද්යාලයේ ගණිත විශ්ලේෂණ දෙපාර්තමේන්තුව
ගණිතයේ පරීක්ෂණය සඳහා මාර්ගෝපදේශ මාතෘකාව 1. සංකීර්ණ විචල්යයක කාර්යයන් සංකීර්ණ විචල්යයක ශ්‍රිතයක නිර්වචනය දෙමු. අර්ථ දැක්වීම. ඔවුන් පවසන්නේ සංකීර්ණයේ ලකුණු D කට්ටලය මත බවයි
විකල්ප කාර්යය ශ්රිතයේ අගය ගණනය කර පිළිතුර වීජීය ආකාරයෙන් ලබා දෙන්න: a sh ; b l විසඳුම a ත්‍රිකෝණමිතික සයින් සහ හයිපර්බෝලික් සයින් අතර සම්බන්ධතා සූත්රය භාවිතා කරමු: ; sh -s ලබාගන්න
විකල්ප කාර්යය ශ්රිතයේ අගය ගණනය කරන්න (පිළිතුර වීජීය ආකාරයෙන් ලබා දෙන්න: a th (; b L (sh (/ විසඳුම a) සයින් සහ කෝසයින් අනුව ස්පර්ශකය ප්‍රකාශ කරන්න: th (සයින් සඳහා ch (/ සූත්‍ර යොදන්න) වෙනස සහ
රුසියානු සමූහාණ්ඩුවේ අධ්යාපන හා විද්යා අමාත්යාංශය GUBKIN රුසියානු රාජ්ය ඔයිල් සහ ගෑස් විශ්ව විද්යාලය මෙල්නිකොව්හි, සංකීර්ණ විචල්ය මෙහෙයුම් වල ක්‍රියාකාරීත්වය පිළිබඳ න්‍යාය Fastovets නොමැත
මාතෘකාව සංකීර්ණ අංක සහ කාර්යයන්. සංකීර්ණ සංඛ්යාවක අර්ථ දැක්වීම, සංකීර්ණ සංඛ්යාවක වීජීය ආකාරය. සංකීර්ණ සංඛ්යාවක සැබෑ සහ මනඃකල්පිත කොටස්. සංකීර්ණ සංඛ්යා එකතු කිරීමේ සහ ගුණ කිරීමේ මෙහෙයුම්.
සංකීර්ණ විචල්යයක සංකීර්ණ විශ්ලේෂණ කාර්යයන් Nikita Aleksandrovich Evseev භෞතික විද්යා දෙපාර්තමේන්තුව, Novosibirsk State University Chinese-Rusian Institute, Heilongjiang University
මාතෘකා: අංශ මාතෘකාව, මාතෘකා මුළු පන්තිකාමර පැය දේශන, පැය ප්‍රායෝගික පන්ති, පැය 1 2 3 4 මාතෘකාව 1. විශ්ලේෂණාත්මක ජ්‍යාමිතිය සහ රේඛීය වීජ ගණිතය 68 34 34 මාතෘකාව 2. ගණිතමය විශ්ලේෂණයට හැඳින්වීම
VD Mikhailov උදාහරණ සහ ගැටළු වල සංකීර්ණ විචල්යයක කාර්යයන් 04 UDC 57.5 BBK.6 M69 Mikhailov V.D. උදාහරණ සහ කාර්යයන්හි සංකීර්ණ විචල්යයක කාර්යයන්: අධ්‍යයන මාර්ගෝපදේශය. SPb., 04. 30 පි. නිබන්ධනය
පිටුව 14 න් 1 2 වන පාඩම. සංකීර්ණ සංඛ්යාවක ඝාතීය ස්වරූපය Mat. විශ්ලේෂණය, යෙදුම. ගණිතය., 4 වැනි අධ්‍යයන වාරය A1 පහත සඳහන් සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවල මාපාංක සහ තර්ක සොයාගෙන මෙම සංඛ්යා z = ρe iϕ ආකාරයෙන් ලියන්න,
රුසියාවේ අධ්යාපන හා විද්යා අමාත්යාංශය උසස් වෘත්තීය අධ්යාපනය පිළිබඳ ෆෙඩරල් රාජ්ය අයවැය අධ්යාපන ආයතනය "ටූලා ප්‍රාන්ත විශ්ව විද්යාලය" අධි නිරවද්‍යතා පද්ධති ආයතනය V.P.
රුසියානු සමූහාණ්ඩුවේ අධ්යාපන හා විද්යා අමාත්යාංශය ANGARSK රාජ්ය තාක්ෂණික ඇකඩමිය Museva TN Sverdlova OL Turkina NM අංගෝපාංග අංගෝපාංග විචල්යයක ක්‍රියාකාරීත්වය පිළිබඳ න්යායේ මූලද්රව්ය
සංකීර්ණ විචල්ය මෙහෙයුම් ගණනයක ක්‍රියාකාරීත්වය පිළිබඳ න්යායේ මූලද්රව්ය
ස්වයං අධ්යාපනය සඳහා කාර්යයන් සංකීර්ණ සංඛ්යා සහ ඒවා මත ක්‍රියා සංකීර්ණ අංක ලබා දී ඇති අතර සොයන්න :)))) 5): a) b) මෙම සංකීර්ණ අංකය ත්‍රිකෝණමිතික ආකාරයෙන් ලියන්න) ඝාතීය ආකාරයෙන්
කාර්යයේ අගය ගණනය කිරීමට විකල්ප කාර්යය (උත්තරය වීජීය ආකාරයෙන් ලබා දෙන්න: ආරුක්කුව; b විසඳුම A අපි ARH ගණනය කරන්නෙමු සූත්රය භාවිතා කරමින් භාවිත
විකල්ප 9 කාර්යය ශ්රිතයේ අගය ගණනය කරන්න (පිළිතුර වීජීය ආකාරයෙන් දෙන්න: a cos (; b l (විසඳුම a ත්‍රිකෝණමිතික සූත්‍රයට අනුව cos (-cos cos (s s)
අධ්යාපනය සඳහා වන ෆෙඩරල් නියෝජිතායතනය රාජ්ය උසස් වෘත්තීය අධ්යාපන ආයතනය "සමාරා රාජ්ය තාක්ෂණික විශ්ව විද්යාලය" ව්‍යවහාරික ගණිත දෙපාර්තමේන්තුව
දේශනය.7. අංකය පිළිබඳ සංකල්පය දිගු කිරීම. සංකීර්ණ සංඛ්යා, ඒවා මත ක්‍රියා සාරාංශය: දේශනය මඟින් සංඛ්යාවක සංකල්පය ස්වභාවික සිට සංකීර්ණ දක්වා සාමාන්‍යකරණය කිරීමේ අවශ්යතාවය පෙන්වා දෙයි. වීජීය,
විකල්පය කාර්යය ක්රියාකාරී අගය ගණනය කිරීම පිළිතුර වීජීය ආකාරයෙන් ලබා දෙන්න: ආරුක්කු b තීරණයක් අපි මෙම උදාහරණයේ ± ආරුක්කු L සූත්රය භාවිතා කරමින් ගණනය කරමු.
දේශනය..3. අවිනිශ්චිත අනුකලිත සාරාංශය: අවිනිශ්චිත අනුකලනයක් යනු අනුකලනයක ප්‍රතිව්‍යුත්පන්න සමූහයක් ලෙස අර්ථ දැක්වේ. අවිනිශ්චිත අනුකලයේ ගුණාංග සලකා බලනු ලැබේ
"ක්‍රියා ලකුණ" a+(-b)=a-b 1) සෘණ සංඛ්යා හඳුන්වා දෙන්නේ ඇයි? “ප්‍රමාණයේ සලකුණ”) ඔවුන් මත ක්‍රියා කරන්නේ එවැනි සහ එවැනි නීතිවලට අනුව මිස අන් අයට අනුව නොවේ? ඇයි සෘණ ගුණ කරනකොට බෙදනකොට එහෙම වෙන්නේ
ප්‍රායෝගික අභ්‍යාස විශ්ලේෂණාත්මක ශ්‍රිත Cauchy-Riemann කොන්දේසි සංකීර්ණ විචල්යයක ශ්‍රිතයක ව්යුත්පන්න සහ අවකලනය Cauchy-Riemann කොන්දේසි 3 ව්යුත්පන්නයේ මාපාංකයේ සහ තර්කයේ ජ්‍යාමිතික අර්ථය 4 අනුකූල
දේශනය 2 2.1 සංකීර්ණ සංඛ්යා අනුක්‍රම a සංකීර්ණ සංඛ්යා අනුක්‍රමයක සීමාව (z n ) ලෙස හැඳින්වේ ε > 0 සඳහා එවැනි සංඛ්යාවක් තිබේ නම් n 0 n 0 (ε)
විකල්ප කාර්යය ශ්රිතයේ අගය ගණනය කරන්න (පිළිතුර වීජීය ආකාරයෙන් දෙන්න: a cos (; b l (විසඳුම a cos ත්‍රිකෝණමිතික සූත්‍රයට අනුව cos (-s s) (අපි ත්‍රිකෝණමිතික අතර සම්බන්ධය සඳහා සූත්‍ර භාවිතා කරමු.
අධ්යාපනය සඳහා වන ෆෙඩරල් ඒජන්සිය උසස් වෘත්තීය අධ්යාපන රාජ්ය අධ්යාපන ආයතනය "Ural State Pedagogical University" ගණිත දෙපාර්තමේන්තුවේ පීඨය
රුසියානු සමූහාණ්ඩුවේ අධ්යාපන හා විද්යා අමාත්යාංශය උසස් වෘත්තීය අධ්යාපනය පිළිබඳ ෆෙඩරල් රාජ්ය අයවැය අධ්යාපන ආයතනය "Komsomolsk-on-Amur රාජ්ය තාක්ෂණික
සිවිල් ගුවන් සේවා මොස්කව් රාජ්ය තාක්ෂණික විශ්ව විද්යාලය O.G. ඉලරියෝනෝවා, අයි.වී. ප්ලැටෝනෝවා උසස් ගණිතය සිසුන් සඳහා ප්‍රායෝගික කාර්යයන් ක්‍රියාත්මක කිරීම පිළිබඳ අධ්‍යාපනික සහ ක්‍රමවේද අත්පොත II
සංකීර්ණ විචල්යයක සංකල්පය සංකීර්ණ විචල්යයක සීමාව සහ අඛණ්ඩතාව D සහ Δ සංකීර්ණ සංඛ්යා කට්ටල දෙකක් ලබා දෙන්න, සෑම z D අංකයකටම ω Δ අංකයක් ලබා දෙන්න.
සංකීර්ණ විශ්ලේෂණය සංකීර්ණ විචල්යයක ක්‍රියාකාරකම් සඳහා උදාහරණ Nikita Aleksandrovich Evseev භෞතික විද්යා දෙපාර්තමේන්තුව, Novosibirsk State University Chinese-Russian Institute, Heilongjiang University
දේශනය N34. සංකීර්ණ පද සහිත සංඛ්‍යාත්මක ශ්‍රේණි. සංකීර්ණ වසම තුළ බල ශ්‍රේණි. විශ්ලේෂණ කාර්යයන්. ප්රතිලෝම ශ්‍රිත..සංකීර්ණ පද සහිත සංඛ්‍යාත්මක ශ්‍රේණි.....සංකීර්ණ වසමේ බල ශ්‍රේණි....
රුසියානු සමූහාණ්ඩුවේ අධ්යාපන හා විද්යා අමාත්යාංශය
හැඳින්වීම 1 අංකය වීජීය ආකාරයෙන් ලියන්න Find, Re, Im, arg, Arg = 5 + i 3 + i විසඳුම අපි හරයේ සංයුජයෙන් සංඛ්‍යාව ගුණ කර බෙදන්නෙමු: 5 + i 3 + i = 5 + i) 3 i) 3 + i) 3 i) = 15
1 සංකීර්ණ ශ්‍රිත 1.1 සංකීර්ණ සංඛ්යා තාත්වික සංඛ්යා C = ((x, y) : x, y R), z = x + iy, මනඃකල්පිත ඒකකය වන අනුපිළිවෙල යුගල කට්ටලය ලෙස සංකීර්ණ සංඛ්යා අර්ථ දැක්විය හැකි බව මතක තබා ගන්න ( මම
මූලික සංකල්ප 1 සංකීර්ණ සංඛ්යා සංකීර්ණ සංඛ්යාවක් යනු i ආකෘතියේ ප්‍රකාශනයකි, එහිදී සහ තාත්වික සංඛ්යා, i යනු කොන්දේසිය තෘප්තිමත් කරන පරිකල්පනීය ඒකකයකි i 1 A අංකය සංකීර්ණයේ සැබෑ කොටස ලෙස හැඳින්වේ.
දේශනය 3. අවිනිශ්චිත අනුකලනය. ප්‍රති-ව්යුත්පන්න සහ අවිනිශ්චිත අනුකලය අවකල්‍ය කලනයේ දී, ගැටළුව විසඳනු ලැබේ: දී ඇති ශ්‍රිතයක් සඳහා f () එහි ව්යුත්පන්නය (හෝ අවකලනය) සොයා ගන්න. අනුකලිත ගණනය
සංකීර්ණ විචල්යයක ක්‍රියාකාරීත්වය පිළිබඳ පරිච්ඡේද න්‍යාය සංකීර්ණ විචල්යයක ශ්‍රිතයක සංකල්පය
කාර්යයන් ශ්‍රිතවල අවකලනය 1 අවකලනය රීති ශ්‍රිතයක ව්යුත්පන්නය නියම ප්‍රදේශයේ ලෙස අර්ථ දක්වා ඇති බැවින්, i.e. සීමාවක් ලෙස, මෙම නිර්වචනය සහ සීමාවන්ගේ ගුණාංග භාවිතා කරමින්,
විකල්ප කාර්යය ශ්රිතයේ අගය ගණනය කරන්න (පිළිතුර වීජීය ආකාරයෙන් දෙන්න: a Arctg; b (විසඳුම a) සාමාන්‍යයෙන් Arctg arctg + kπ සංකීර්ණ + තලයේ වෙනත් අගයන් සොයන්න අපි සූත්රය භාවිතයෙන් Arctg ගණනය කරන්නෙමු.
විචල්ය කිහිපයක ක්‍රියා විචල්ය කිහිපයක ක්‍රියා විචල්ය කිහිපයක ශ්‍රිතයක අන්තය. සංවෘත ප්‍රදේශයක ශ්‍රිතයක උපරිම සහ අවම අගයන් සොයා ගැනීම කොන්දේසි සහිත අන්ත සංකීර්ණය
මහේස්ත්‍රාත්වරයා වෙත ප්රවේශ විභාග සඳහා කාර්ය බැංකුව (මූලික කොටස) ටිකට් පැවරුම්, 4 5 අංශ, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 6, 7, 7, 8, 4, 5, 9 ලකුණු ගණන 5 b b 5 b අන්තර්ගත කොටස ව්යුත්පන්න, quotient
දේශනය 5 මූලික මූලික ශ්‍රිතවල ව්‍යුත්පන්නයන් සාරාංශය: එක් විචල්යයක ශ්‍රිතයක ව්යුත්පන්නයේ භෞතික හා ජ්‍යාමිතික අර්ථකථන ලබා දී ඇත.ශ්‍රිතයක් සහ රීතියක් අවකලනය කිරීමේ උදාහරණ සලකා බලනු ලැබේ.
ස්වාධීන වැඩ කාර්යය පරාමිතිකව ලබා දී ඇති වක්‍ර වර්ගය තීරණය කරන්න, සහ වක්‍රය නිරූපණය කරන්න t t t t 5 7 t t b) e e, 0 t π c) t t
SA Zotova, VB Svetlichnaya සංකීර්ණ විචල්ය ගණිතයේ ක්‍රියාකාරීත්වය පිළිබඳ න්‍යාය සඳහා ප්‍රායෝගික මාර්ගෝපදේශය
7 ඝාතීය සහ ලඝුගණක සමීකරණ සහ අසමානතා 7. මූලික සංකල්ප සහ සූත්රය. a > 0, a, b > 0. log සඳහා සමානතා log a b සහ a b සමාන වේ. මූලික ලඝුගණක අනන්‍යතාවය: a a b b, a > 0,
මූලික මූලික ශ්‍රිතවල ව්‍යුත්පන්නයන් පහත යෝජනා ක්‍රමයට අනුව ශ්‍රිතයක ව්යුත්පන්නය සොයාගත හැක: අපි y ශ්රිතය සඳහා x තර්කයට වර්ධකයක් ලබා දෙමු අනුරූප වර්ධකය y y අපි සොයා ගන්නා අනුපාතය කරන්නෙමු.
සංකීර්ණ විචල්ය TSTU ප්‍රකාශන ආයතනයක කාර්යයන් රුසියානු සමූහාණ්ඩුවේ අධ්යාපන හා විද්යා අමාත්යාංශය Tambov රාජ්ය තාක්ෂණික විශ්ව විද්යාලය සංකීර්ණ විචල්ය ක්‍රමවේදයක කාර්යයන්
විභාගය සඳහා ප්‍රශ්න ඉගෙනීමේ මට්ටම පරීක්ෂා කිරීම සඳහා ප්‍රශ්න "දැනගන්න" ශ්‍රේණියේ සිද්ධාන්තයේ මූලික සංකල්ප Cauchy නිර්ණායකය සංඛ්යා ශ්‍රේණිවල අභිසාරීතාවයේ අවශ්ය ලකුණ ප්රමාණවත් ලකුණු
අධ්යාපනය සඳහා වන ෆෙඩරල් නියෝජිතායතනය උසස් වෘත්තීය අධ්යාපන රාජ්ය අධ්යාපන ආයතනය උක්තා රාජ්ය තාක්ෂණික විශ්වවිද්‍යාලය සංකීර්ණ අංක මාර්ගෝපදේශ
සංකීර්ණ විශ්ලේෂණය සංකීර්ණ සංඛ්යා ජ්‍යාමිතිය Nikita Alexandrovich Evseev භෞතික විද්යා පීඨය, Novosibirsk State University 2015 සංකීර්ණ විශ්ලේෂණය 1/31 අංක රේඛාව R සංකීර්ණය
ක්රියාකාරී අගය ගණනය කිරීම සඳහා විකල්ප කාර්යය (පිළිතුර වීජීය ආකාරයෙන් ලබා දෙන්න: s(; b a ත්‍රිකෝණමිතික සූත්රය භාවිතා කිරීම A තීරණයකි.
Svetlichnaya V. B., Agisheva D. K., Matveeva T. A., Zotova S. A. ගණිතයේ විශේෂ පරිච්ඡේද. සංකීර්ණ විචල්යයක ක්‍රියාකාරීත්වය පිළිබඳ න්‍යාය Volgograd 0 y. රුසියානු සමූහාණ්ඩුවේ අධ්යාපන හා විද්යා අමාත්යාංශය Volzhsky Polytechnic
Typical calculation "සංකීර්ණ විචල්යයක ශ්‍රිත පිළිබඳ න්‍යාය" ප්‍රායෝගික කාර්යයන් කාර්යය. අංකයක් ලබා දී ඇත එස්. arg සමඟ c සොයාගෙන ත්‍රිකෝණමිතික සහ ඝාතීය ආකාරවලින් c අංකය ලියන්න :)))))) 8 6) 7) 8) 9)
රුසියානු සමූහාණ්ඩුවේ අධ්යාපන අමාත්යාංශය සංකීර්ණ විචල්ය ක්‍රමවේද මාර්ගෝපදේශක ක්‍රියාකාරකම් පිළිබඳ න්‍යාය සම්පාදනය කළේ: MDUlymzhiev LIInkheeva IBYumov SZHYumova ශ්‍රිත පිළිබඳ න්‍යාය පිළිබඳ ක්‍රමවේද මාර්ගෝපදේශ සමාලෝචනය
සංකීර්ණ සංඛ්යා, ශ්‍රිත සහ ඒවා මත මෙහෙයුම් y මොඩියුලය R තාත්වික කොටස තාත්වික අංකය, yim මනඃකල්පිත කොටස තාත්වික අංකය iy සංකීර්ණ අංකයේ වීජීය අංකනය තර්කයේ ප්රධාන අගය
විෂය: ව්යුත්පන්න. කෙටි න්යායික තොරතුරු. ව්යුත්පන්න වගුව. (c) 0 (arcsin) () (arccos) (sin) cos (cos) sin (arctg) (tg) cos (arcctg) (ctg) sin v vln u vln u v v (u) (e) e (
ගණිතමය විශ්ලේෂණ අංශය: සංකීර්ණ විචල්යයක ශ්‍රිත න්‍යාය මාතෘකාව: සී මත වීජීය නොවන මෙහෙයුම් C. මූලික මූලික ශ්‍රිත C. B.b. සංකීර්ණ සංඛ්යා අනුපිළිවෙල කථිකාචාර්ය Yanushchik O.V.
මාතෘකාව. කාර්යය. කාර්ය ක්රම. ව්යංග කාර්යය. ප්රතිලෝම ශ්රිතය. කාර්යයන් වර්ගීකරණය කට්ටල න්යායේ මූලද්රව්ය. මූලික සංකල්ප නූතන ගණිතයේ මූලික සංකල්පවලින් එකක් වන්නේ කට්ටලයක් පිළිබඳ සංකල්පයයි.
පරීක්ෂණ වැඩ සැසි අතර පරතරය තුළ, සිසුන් ස්වාධීනව සකස් කිරීම පැවැත්විය යුතුය "විචල්ය කිහිපයක කාර්යයන්" (ඉදිරිපත් කර ඇති ද්‍රව්‍ය) යන මාතෘකාව පිළිබඳ දේශන පිළිබඳ න්‍යායාත්මක කරුණු සකස් කරන්න.
මිරියා. ගණිතමය විශ්ලේෂණය සඳහා සාමාන්ය ගණනය මාතෘකාව පිළිබඳ පාලන කාර්යයන් සංකීර්ණ සංඛ්යා, TFKP. කාර්යය 1. සමීකරණ විසඳන්න, සංකීර්ණ තලය මත පිහිටුවා ඇති විසඳුම නියෝජනය කරන්න A) 4 i + 81i 0 B)
මෙහෙයුම් කැල්සියුලස් Laplace පරිවර්තන සහ ප්රතිලෝම සූත්රය Dirichlet අන්තරයේ ඉඩ දෙන්න: ෆූරියර් අනුකලනය (l l) a) මෙම අන්තරය මත සීමා වේ; කාර්යය කොන්දේසි තෘප්තිමත් කරයි b) කෑලි වශයෙන් අඛණ්ඩ වේ
සංකීර්ණ විචල්ය විශ්ලේෂණ ශ්‍රිතයක ශ්‍රිත පෙර පරිදිම, වෙනත් ආකාරයකින් ප්‍රකාශ නොකළහොත්, අප කටයුතු කරන්නේ w = f(z) තනි අගයක් සහිත ශ්‍රිතයක් සමඟය. අර්ථ දැක්වීම 1. f(z) ශ්රිතය විශ්ලේෂණ ලෙස හැඳින්වේ
රුසියානු සමූහාණ්ඩුවේ අධ්යාපන හා විද්යා අමාත්යාංශය ANGARSK රාජ්ය තාක්ෂණික ඇකඩමිය Ivanova SV, Evsevleeva LG, Bykova LM, Dobrynina NN සංකීර්ණ විචල්ය සහ ටොරලියල් ක්‍රියාකාරීත්වය
කාර්යයට ඉඩ දෙන්න = u(x,y)+iv(x,y) ලක්ෂ්යයේ අසල්වැසි ප්‍රදේශයක අර්ථ දක්වා ඇත z
= x+iy. විචල්ය නම් zවැඩි කිරීම
z=
x+මම
වයි, පසුව කාර්යය 
වර්ධකයක් ලැබෙනු ඇත
=
(z+
z)–
=u(x+
x,
වයි+
වයි)+
+ iv(x+ x, වයි+ වයි) - u(x,y) - iv(x,y) = [u(x+ x, වයි+ වයි) –
– u(x,y)] + මම[v(x+ x, වයි+ වයි) - v(x,y)] =
= u(x,y) + මම v(x,y).
අර්ථ දැක්වීම. සීමාවක් තිබේ නම්
=
,
එවිට මෙම සීමාව ශ්රිතයේ ව්යුත්පන්නය ලෙස හැඳින්වේ 
ලක්ෂ්යයේ zසහ මගින් දැක්වේ f(z) හෝ 
. මේ අනුව, නිර්වචනය අනුව,
=
=
.
(1.37)
කාර්යය නම් 
ලක්ෂ්යයක ව්යුත්පන්නයක් ඇත z, එවිට අපි කියනවා කාර්යය බව 
එක් අවස්ථාවක වෙනස් කළ හැකිය z. පැහැදිලිවම, කාර්යයේ අවකලනය සඳහා 
එය කාර්යයන් ඉටු කිරීම අවශ්ය වේ u(x,y) හා v(x,y) වෙනස් කළ හැකි විය. කෙසේ වෙතත්, ව්යුත්පන්නයේ පැවැත්ම සඳහා මෙය ප්රමාණවත් නොවේ f(z) උදාහරණයක් ලෙස, කාර්යය සඳහා w=
=
x–iyකාර්යයන් u(x,y)=x
හා v(x,y)=–වයි M( M( x,y), නමුත් සම්බන්ධතාවයේ සීමාව 
හිදී
x0,
වයි0 නොපවතියි, මන්ද නම්
වයි= 0,
x 0, පසුව
w/
z= 1,
නම් x = 0, වයි 0, පසුව w/z = -1.
තනි සීමාවක් නොමැත. මෙයින් අදහස් කරන්නේ කාර්යය බවයි
w=
කිසිම අවස්ථාවක ව්යුත්පන්නයක් නොමැත z. සංකීර්ණ විචල්යයක ශ්‍රිතයක ව්‍යුත්පන්නයක පැවැත්ම සඳහා අමතර කොන්දේසි අවශ්ය වේ. ඇත්තටම මොකක්ද? මෙම ප්‍රශ්නයට පිළිතුර පහත ප්‍රමේය මගින් ලබා දේ.
ප්රමේයය.කාර්යයන් වලට ඉඩ දෙන්න u(x,y) හා v(x,y) M( ලක්ෂ්යයේ දී අවකලනය වේ x,y) ඉන්පසු කාර්යය සඳහා
=
u(x,y)
+ iv(x,y)
ලක්ෂ්යයක ව්යුත්පන්නයක් තිබුණා z = x+iy, සමානාත්මතාවයන් අවශ්ය හා ප්රමාණවත් වේ
සමානතා (1.38) Cauchy-Riemann කොන්දේසි ලෙස හැඳින්වේ.
සාක්ෂි. 1) අවශ්යතාවය. කාර්යයට ඉඩ දෙන්න 
z ලක්ෂ්යයේ ව්යුත්පන්නයක් ඇත, එනම් සීමාවක් ඇත
=
=
.(1.39)
සමානාත්මතාවයේ දකුණු පැත්තේ සීමාව (1.39) ලක්ෂ්යය කුමන මාර්ගය මත රඳා නොපවතී z = x+මම වයිසොයයි
0 දක්වා. විශේෂයෙන්ම, y = 0, x 0 (රූපය 1.10) නම්
x = 0, y 0 (රූපය 1.11) නම්
(1.41)
Fig.1.10 1.11
සමානාත්මතාවයේ වම් කොටස් (1.40) සහ (1.41) සමාන වේ. එබැවින් දකුණු පැති සමාන වේ
එබැවින් එය අනුගමනය කරයි
මේ අනුව, ව්‍යුත්පන්නයක පැවැත්ම පිළිබඳ උපකල්පනයෙන් f(z) සමානාත්මතාවයන් සපුරාලීම (1.38) පහත දැක්වේ, එනම් ව්යුත්පන්නයේ පැවැත්ම සඳහා Cauchy-Riemann කොන්දේසි අවශ්ය වේ. f(z).
1) ප්රමාණවත් බව. අපි දැන් සමානතා (1.38) තෘප්තිමත් යැයි උපකල්පනය කරමු:
සහ මෙම නඩුවේ කාර්යය බව ඔප්පු කරන්න 
ලක්ෂ්යයක ව්යුත්පන්නයක් ඇත z=
x+iy, එනම් සීමාව (1.39)
=
පවතී.
කාර්යයන් සිට u(x,y) හා v(x,y) M( ලක්ෂ්යයේ දී අවකලනය වේ x,y), එවිට M( ලක්ෂ්යයේ මෙම ශ්‍රිතවල සම්පූර්ණ වැඩිවීම x,y) ලෙස නිරූපණය කළ හැක
,
එහිදී 1 0, 2 0, 1 0, 2 0 දී x0, වයි0.
(1.38) අනුව,
ප්රතිඵලයක් වශයෙන්,
=
,
1 = 1 +මම 1 0, 2 = 2 +මම 2 0 at z = x+මමවයි0.
මේ ක්රමයෙන්,
සිට z 2 = x 2 + වයි 2 , පසුව x/ z1, y/z1. ඒක තමයි
හි z
0.
සමානාත්මතාවයේ දකුණු පස (1.42) සීමාවක් ඇති බව මෙයින් පහත දැක්වේ
z 0, එබැවින්, වම් පැත්තට සීමාවක් ඇත
z 0, සහ මෙම සීමාව කුමන මාර්ගය මත රඳා නොපවතී
z 0 වෙත නැඹුරු වේ. මේ අනුව, ලක්ෂ්යයේ නම් බව ඔප්පු වේ M(x,y) කොන්දේසි (1.38) තෘප්තිමත් වේ, පසුව කාර්යය 
ලක්ෂ්යයක ව්යුත්පන්නයක් ඇත z
= x+iy, හා
.
ප්රමේයය සම්පූර්ණයෙන්ම ඔප්පු කර ඇත.
ප්රමේයය ඔප්පු කිරීමේ ක්‍රියාවලියේදී, සංකීර්ණ විචල්යයක ශ්‍රිතයක ව්යුත්පන්නය සඳහා සූත්‍ර දෙකක් (1.40) සහ (1.42) ලබා ගනී.
,
.
සූත්‍ර (1.38) භාවිතයෙන් අපට තවත් සූත්‍ර දෙකක් ලබාගත හැක
,
(1.43)
.
(1.44)
කාර්යය නම් f(z) D වසමේ සියලුම ලක්ෂ්යවල ව්යුත්පන්නයක් ඇත, එවිට අපි ශ්රිතය යැයි කියමු 
D වසම තුළ අවකලනය වේ. මේ සඳහා D වසමේ සෑම ස්ථානයකදීම Cauchy-Riemann කොන්දේසි තෘප්තිමත් වීම අවශ්ය සහ ප්රමාණවත් වේ.
උදාහරණයක්.සඳහා Cauchy-Riemann කොන්දේසි පරීක්ෂා කරන්න
කාර්යයන් ඊ z .
නිසා ඊ z = ඊ x+iy = ඊ x(කොස් වයි + මමපව් වයි),
එවිට u(x, වයි) = නැවත ඊ z = ඊ x cos වයි, v(x, වයි) = Im ඊ z = ඊ xපව් වයි,
,
,
,
,
ප්රතිඵලයක් වශයෙන්,
Cauchy - කාර්යයක් සඳහා රීමන් කොන්දේසි ඊ z z සෑම ලක්ෂයකින්ම සෑහීමකට පත්වේ. එබැවින් කාර්යය ඊ zසංකීර්ණ විචල්‍යයේ සම්පූර්ණ තලය මත අවකලනය වේ, සහ
ඒ ආකාරයෙන්ම, යමෙක් අවකලනය ඔප්පු කරයි
කාර්යයන් z n , cos z, පව් z, ch z, sh z, Ln z, සහ සූත්‍රවල වලංගුභාවය
(z n) = nz n-1, (කොස් z) = -පව් z, (පව් z) = පිරිවැය z,
(ch z) = sh z, (ෂ z) = ch z, (Ln z) = 1/z.
සංකීර්ණ විචල්යයක ශ්‍රිත සඳහා, සැබෑ විචල්යයක ශ්‍රිත අවකලනය කිරීමේ සියලුම නීති වලංගු වේ. සැබෑ විචල්යයක ශ්‍රිතයන් සඳහා වන ආකාරයටම ව්යුත්පන්නයේ නිර්වචනයෙන් මෙම රීතිවල සාධනය පහත දැක්වේ.
කාර්යයට ඉඩ දෙන්න ඩබ්ලිව්
=
f(Z)
යම් කට්ටලයක් මත ලබා දී ඇත සහ Z 0
, අයිති ඊ, මෙම කට්ටලයේ සීමාව ලක්ෂ්යය. දෙමු Z 0
=
x 0
+
මම·
වයි 0
වර්ධක Δ Z
=
Δ x+
මම·
Δ වයිපෙන්වා දීමට Z
=
Z 0
+
Δ Zබොහෝ දෙනෙකුට අයත් විය ඊ. එවිට කාර්යය ඩබ්ලිව්
=
u+
මම·
v
=
f(Z)
=
u(x,
වයි)+
මම·
v(x,
වයි).
අපි වර්ධක Δ ලබා ගනිමු ඩබ්ලිව්
=
Δ u+
මම·
Δ v
= f(Z 0
+
Δ Z)
-
f(Z 0
)
=
Δ f(Z 0
)
,
.
සීමිත සීමාවක් තිබේ නම් 
, පසුව එය හැඳින්වේ ව්යුත්පන්න ශ්රිතයf(Z) ලක්ෂ්යයේZ 0
බොහෝ දෙනෙක් විසිනිඊ, සහ දක්වනු ලැබේ 
,
,
,
ඩබ්ලිව්"
.
විධිමත් ලෙස, සංකීර්ණ විචල්යයක ව්යුත්පන්න ශ්රිතය නියම විචල්යයක ශ්‍රිතයක ව්යුත්පන්නය ලෙස හරියටම අර්ථ දක්වා ඇත, නමුත් ඒවායේ අන්තර්ගතය වෙනස් වේ.
ශ්‍රිතයක ව්යුත්පන්න අර්ථ දැක්වීමේදී f(x) ලක්ෂ්යයේ සැබෑ විචල්යය x 0 , x→ x 0 සරල රේඛාවක් දිගේ. සංකීර්ණ විචල්යයක ශ්‍රිතයක් සම්බන්ධයෙන් f(Z), Zඅපේක්ෂා කළ හැකිය Z 0 ලක්ෂ්‍යයකට යන ඕනෑම තල මාර්ගයක් ඔස්සේ Z 0 .
එබැවින් සංකීර්ණ විචල්යයක ව්යුත්පන්න ශ්‍රිතයක පැවැත්මේ අවශ්යතාවය ඉතා දැඩි වේ. සංකීර්ණ විචල්යයක සරල ශ්‍රිතවලට පවා ව්යුත්පන්නයක් නොමැති බව මෙයින් පැහැදිලි වේ.
උදාහරණයක්.
කාර්යය සලකා බලන්න ඩබ්ලිව්
=
=
x-
මම·
වයි. මෙම ශ්‍රිතයට කිසිම අවස්ථාවක ව්යුත්පන්නයක් නොමැති බව පෙන්වමු. ඕනෑම කරුණක් ගන්න Z 0
=
x 0
+
මම·
වයි 0
,
අපි එයට වර්ධකයක් දෙමු Δ Z
=
Δ x+
මම·
Δ වයි, එවිට ශ්රිතය වැඩි වනු ඇත . අදහස් වේ 
,
,
අපි මුලින්ම සලකා බලමු Δ Z
=
Δ x
+
මම·
Δ වයිඑවැනි Δ x
→ 0
, සහ Δ වයි
= 0
, එනම් ලක්ෂ්යය Z 0
+
Δ Z
→
Z 0
තිරස් රේඛාවක් දිගේ. එහෙම කරනකොට අපිට ඒක ලැබෙනවා 
අපි දැන් වර්ධක ∆ සලකා බලමු Zඑවැනි ∆ x
= 0
, සහ ∆ වයි
→ 0
, i.e. කවදා ද Z 0
+
∆
Z→
Z 0
සිරස් සරල රේඛාවක් ඔස්සේ, එය පැහැදිලිවම වනු ඇත 
.
ප්රතිඵලයක් ලෙස සීමාවන් වෙනස් වේ, එබැවින් අනුපාතය 
විට සීමාවක් නැත ∆
Z
→ 0
, එනම්, කාර්යය 
කිසිම අවස්ථාවක ව්යුත්පන්නයක් නොමැත Z 0
.
කට්ටලයට අදාළව ව්යුත්පන්නයේ තේරුම සොයා බලමු. ඉඩ ඊසැබෑ අක්ෂය වේ, සහ ඩබ්ලිව්
=
f(Z)
=
x, එවිට එය සැබෑ විචල්යයක සාමාන්ය තාත්වික ශ්‍රිතයකි f(x)
=
xසහ එහි ව්යුත්පන්නය වනු ඇත 1
(
).
දැන් ඉඩ දෙන්න ඊමුළු ගුවන් යානයයි (Z). අපි එම කාර්යය පෙන්වමු f(Z)
=
xමෙම අවස්ථාවෙහි කිසිදු අවස්ථාවක ව්යුත්පන්නයක් නොමැත. ඇත්ත වශයෙන්ම, මෙම නඩුවේ 
.මෙතනින් පැහැදිලි වෙනවා නම් 
ඒ 
, එවිට 
. නම් 
, ඒ 
, එවිට 
.එබැවින්, සම්බන්ධය 
විට සීමාවක් නැත 
, ඉතින් කාර්යය f(Z)
=
xකිසිම අවස්ථාවක ව්යුත්පන්නයක් නොමැත 
.
අපි සැබෑ විචල්යයක සංකීර්ණ-වටිනා ශ්‍රිතයක් සලකන්නේ නම්, එය ව්යුත්පන්නයේ නිර්වචනයෙන් සෘජුවම අනුගමනය කරන බව සලකන්න. 
, එබැවින්, (මෙය සැබෑ අක්ෂය ඔස්සේ ව්යුත්පන්න වේ).
කාර්යය වර්ධක සඳහා සූත්රය.
කාර්යයට ඉඩ දෙන්න ඩබ්ලිව්
=
f(Z)
ලක්ෂ්යයේ ඇත Z 0
ව්යුත්පන්න 
. නියෝජනය (1) සිදු වන බව පෙන්වමු, එහිදී ප්‍රමාණය 
, කවදා ද 
.
ඇත්ත වශයෙන්ම, ව්යුත්පන්න අර්ථ දැක්වීම අනුව, අපට ඇත 
, එබැවින්, වටිනාකම 
, කවදා ද 
. එබැවින්, නිරූපණය (1) සිදු වේ (අපි කොටස් දෙකම ගුණ කරමු 
සහ මාරු කිරීම 
වම් පැත්තට).
දේශන අංක 8 සංකීර්ණ විචල්යයක ශ්‍රිතයක අවකලනය සහ අවකලනය
කාර්යය ඩබ්ලිව්
=
f(Z)
කියලා එක් අවස්ථාවක වෙනස් කළ හැකියZ 0
, නියෝජනය (2) මෙම ස්ථානයේ සිදු වන්නේ නම්, එහිදී ඒ
ස්ථාවර සංකීර්ණ සංඛ්යාවක් සහ ප්‍රමාණය 
විට බිංදුවට නැඹුරු වේ 
.
කාර්යය නම් ඩබ්ලිව්
=
f(Z)
එක් අවස්ථාවක වෙනස් කළ හැකිය Z 0
, පසුව සම්බන්ධයෙන් ප්රධාන රේඛීය 
එහි කොටසක් ඒ·
වැඩි කිරීම 
ලක්ෂ්යයේ Z 0
කියලා කාර්යය අවකලනය
f(Z)
ලක්ෂ්යයේ 
සහ දැක්වේ 
.
ප්‍රමේයයක් ඇත.
ප්රමේයය.
කාර්යය සඳහාඩබ්ලිව්
=
f(Z) ලක්ෂ්යයේ දී අවකලනය වියZ 0
, එය මේ අවස්ථාවේ දී සීමිත ව්යුත්පන්නයක් ඇති බව අවශ්ය සහ ප්රමාණවත් වේ
, සහ එය සෑම විටම නියෝජනය (2) 
.
සාක්ෂි.
අවශ්යයි.කාර්යය ලක්ෂ්යයක අවකලනය වීමට ඉඩ දෙන්න Z 0
. මෙම අවස්ථාවේදී එයට සීමිත ව්යුත්පන්නයක් ඇති බවත්, මෙම ව්යුත්පන්නය සංඛ්‍යාවට සමාන බවත් අපි පෙන්වමු. නමුත්. අවකලනය නිසා f(Z)
ලක්ෂ්යයේ Z 0
නියෝජනය (2) පවත්වයි, එසේ 
(3) මෙන්න, සීමාව වෙත ගමන් කරයි 
අපිට ඒක ලැබෙනවා 
, අදහස් වේ 
.
ප්රමාණවත් බව.කාර්යයට ඉඩ දෙන්න f(Z)
ලක්ෂ්යයේ ඇත Z 0
අවසාන ව්යුත්පන්නය 
. (2) නියෝජනය කරන බව අපි පෙන්වමු. ව්යුත්පන්න පැවැත්ම නිසා 
නිරූපණය (1) සිදු වේ, නමුත් මෙය නිරූපණය (2) වේ ඒ
=
. ප්රමාණවත් බව තහවුරු වී ඇත.
අප දන්නා පරිදි, අවකලනය, ස්වාධීන විචල්‍යයේ අවකලනය ලෙස ගනී Z
එහි වැඩිවීම 
, එනම් උපකල්පනය කිරීම 
, අපිට ලියන්න පුළුවන් 
ඒ නිසා 
(මෙය අවකලනයන්හි අනුපාතයකි, තනි සංකේතයක් නොවේ).
