විසඳුමක් සමඟ සබැඳි සංඛ්‍යා අනුපිළිවෙලක සීමාව ගණනය කරන්න. කාර්ය සීමාව

අනන්තයේ කාර්ය සීමාව:
|f(x) - a|< ε при |x| >එන්

Cauchy සීමාවේ අර්ථ දැක්වීම
f ශ්‍රිතයට ඉඩ දෙන්න (x)අනන්තයේ ලක්ෂ්‍යයක යම් අසල්වැසි ප්‍රදේශයක |x| සඳහා අර්ථ දක්වා ඇත > a අංකය ශ්‍රිතයේ සීමාව ලෙස හැඳින්වේ f (x) x සඳහා අනන්තයට නැඹුරු වීම (), යම් දෙයක් සඳහා නම්, අත්තනෝමතික ලෙස කුඩා වේ ධනාත්මක අංකය ε > 0 , N ε අංකයක් පවතී > කේ, ε මත පදනම්ව, සියලු x සඳහා, |x| > N ε , ශ්‍රිතයේ අගයන් a ලක්ෂ්‍යයේ ε අසල්වැසි ප්‍රදේශයට අයත් වේ:
|f (x) - a|< ε .
අනන්තයේ ශ්‍රිතයක සීමාව පහත පරිදි දැක්වේ.
.
හෝ හිදී.

පහත සඳහන් අංකනය ද බොහෝ විට භාවිතා වේ:
.

අපි මෙම නිර්වචනය ලියන්නේ පැවැත්මේ සහ විශ්වීයත්වයේ තාර්කික සංකේත භාවිතා කරමිනි:
.
මෙහි අගයන් ශ්‍රිතයේ විෂය පථයට අයත් යැයි උපකල්පනය කෙරේ.

ඒකපාර්ශ්වික සීමාවන්

අනන්තයේ ශ්‍රිතයේ වම් සීමාව:
|f(x) - a|< ε при x < -N

බොහෝ විට ශ්‍රිතයක් ධනාත්මක හෝ සඳහා පමණක් අර්ථ දක්වන අවස්ථා තිබේ සෘණ අගයන්විචල්‍යය x (වඩාත් නිවැරදිව, ලක්ෂ්‍යය ආසන්නයේ හෝ ). x හි ධන සහ සෘණ අගයන් සඳහා අනන්තයේ සීමාවන් ද තිබිය හැකිය විවිධ අර්ථ. එවිට එක් පැත්තක සීමාවන් භාවිතා වේ.

අනන්තයේ වම් සීමාවහෝ x ඍණ අනන්තයට නැඹුරු වන සීමාව () පහත පරිදි අර්ථ දැක්වේ:
.
අනන්තයේ දකුණු සීමාවහෝ x අනන්තය එකතු කිරීමට නැඹුරු වන බැවින් සීමා කරන්න () :
.
අනන්තයේ ඒකපාර්ශ්වික සීමාවන් බොහෝ විට මෙසේ ලියා ඇත:
; .

අනන්තයේ අනන්ත ශ්රිත සීමාව

අනන්තයේ අනන්ත ශ්‍රිත සීමාව:
|f(x)| > M සඳහා |x| > එන්

Cauchy අනුව අනන්ත සීමාව අර්ථ දැක්වීම
f ශ්‍රිතයට ඉඩ දෙන්න (x)අනන්තයේ ලක්ෂ්‍යයක යම් අසල්වැසි ප්‍රදේශයක |x| සඳහා අර්ථ දක්වා ඇත > K , K යනු ධන අංකයකි. ශ්‍රිතයේ සීමාව f (x) x අනන්තයට නැඹුරු වන විට (), අනන්තයට සමාන වේ, යම් දෙයක් සඳහා නම්, අත්තනෝමතික ලෙස විශාල සංඛ්යාවක්එම් > 0 , NM අංකයක් පවතී > කේ, M මත පදනම්ව, සියලු x සඳහා, |x| > N M , ශ්‍රිතයේ අගයන් අනන්තයේ ලක්ෂ්‍යයේ අසල්වැසි ප්‍රදේශයට අයත් වේ:
|f (x) | > එම්.
x අනන්තයට නැඹුරු වන අසීමිත සීමාව පහත පරිදි දැක්වේ:
.
හෝ හිදී.

පැවැත්මේ සහ විශ්වීයත්වයේ තාර්කික සංකේත භාවිතා කරමින්, ශ්‍රිතයක අසීමිත සීමාවේ නිර්වචනය පහත පරිදි ලිවිය හැකිය:
.

ඇතැම් සංඥා වල අසීමිත සීමාවන්ගේ නිර්වචන සමාන හා සමාන ලෙස හඳුන්වා දෙනු ලැබේ:
.
.

අනන්තයේ ඒකපාර්ශ්වික සීමාවන් අර්ථ දැක්වීම.
වම් සීමාවන්.
.
.
.
නිවැරදි සීමාවන්.
.
.
.

Heine අනුව ශ්‍රිතයක සීමාව අර්ථ දැක්වීම

f ශ්‍රිතයට ඉඩ දෙන්න (x)අනන්තය x හි ලක්ෂ්‍යයේ යම් අසල්වැසි ප්‍රදේශයක් මත අර්ථ දක්වා ඇත 0 , කොහෙද හෝ හෝ .
a (සීමිත හෝ අනන්තයේ) අංකය f ශ්‍රිතයේ සීමාව ලෙස හැඳින්වේ (x) x ලක්ෂයේ 0 :
,
කිසියම් අනුපිළිවෙලක් සඳහා නම් (x n), x වෙත අභිසාරී වීම 0 : ,
එහි මූලද්රව්ය අසල්වැසි, අනුපිළිවෙලට අයත් වේ (f(xn))වෙත අභිසාරී වේ:
.

අපි අනන්තයේ අත්සන් නොකළ ලක්ෂ්‍යයක අසල්වැසි ප්‍රදේශය අසල්වැසි ප්‍රදේශයක් ලෙස ගතහොත්: , එවිට අපි ශ්‍රිතයේ සීමාවේ නිර්වචනය ලබා ගන්නේ x අනන්තයට නැඹුරු වන බැවින්, . අපි අනන්තය x හි ලක්ෂ්‍යයේ වම් අත හෝ දකුණු පස අසල්වැසි ප්‍රදේශය ගත්තොත් 0 : හෝ , එවිට අපට සීමාවේ නිර්වචනය ලැබෙන්නේ x පිළිවෙළින් අනන්තය අඩු කිරීමට සහ ප්ලස් අනන්තයට නැඹුරු වන බැවිනි.

සීමාවේ Heine සහ Cauchy අර්ථ දැක්වීම් සමාන වේ.

උදාහරණ

උදාහරණ 1

Cauchy අර්ථ දැක්වීම භාවිතා කරමින්, එය පෙන්වන්න
.

අපි අංකනය හඳුන්වා දෙමු:
.
කාර්යයේ වසම සොයා ගන්න. භාගයක සංඛ්‍යාව සහ හරය බහුපද වන බැවින්, හරය අතුරුදහන් වන ස්ථාන හැර අනෙකුත් සියලුම x සඳහා ශ්‍රිතය අර්ථ දක්වා ඇත. අපි මේ කරුණු සොයා බලමු. අපි චතුරස්රාකාර සමීකරණයක් විසඳන්නෙමු. ;
.
සමීකරණ මූලයන්:
; .
එතැන් සිට, සහ .
එබැවින්, කාර්යය සඳහා අර්ථ දක්වා ඇත. මෙය අපි අනාගතයේදී භාවිතා කරනු ඇත.

අපි Cauchy ට අනුව අනන්තයේ ශ්‍රිතයක පරිමිත සීමාවේ නිර්වචනය ලියන්නෙමු:
.
අපි වෙනස පරිවර්තනය කරමු:
.
සංඛ්‍යාංකය සහ හරය මගින් බෙදන්න සහ ගුණ කරන්න -1 :
.

ඉඩ .
ඉන්පසු
;
;
;
.

ඉතින්, අපි එය සොයා ගත්තේ,
.
.
එබැවින් එය අනුගමනය කරයි
දී , සහ .

සෑම විටම වැඩි කිරීමට හැකි බැවින්, අපි ගන්නෙමු. එවිට ඕනෑම දෙයක් සඳහා,
හිදී .
එහි තේරුම එයයි.

උදාහරණ 2

ඉඩ .
Cauchy සීමාවේ නිර්වචනය භාවිතා කරමින්, එය පෙන්වන්න:
1) ;
2) .

1) අනන්තය අඩු කිරීමට නැඹුරු වන x සඳහා විසඳුම

සිට , එවිට ශ්රිතය සියලු x සඳහා අර්ථ දක්වා ඇත .
අපි ශ්‍රිතයේ සීමාවේ නිර්වචනය සෘණ අනන්තයට සමානව ලියන්නෙමු:
.

ඉඩ . ඉන්පසු
;
.

ඉතින්, අපි එය සොයා ගත්තේ,
.
අපි ධනාත්මක සංඛ්‍යා ඇතුළත් කර:
.
එයින් කියවෙන්නේ ඕනෑම ධන සංඛ්‍යාවක් M සඳහා සංඛ්‍යාවක් ඇති බවයි, ඒ සඳහා
.

එහි තේරුම එයයි.

2) x නැඹුරුව සහ අනන්තය සඳහා විසඳුම

අපි මුල් කාර්යය පරිවර්තනය කරමු. භාගයේ සංඛ්‍යාව සහ හරය ගුණ කර වර්ග සූත්‍රයේ වෙනස යොදන්න:
.
අපිට තියනවා:

.
ශ්‍රිතයේ නිවැරදි සීමාවේ නිර්වචනය අපි ලියන්නෙමු:
.

අපි අංකනය හඳුන්වා දෙමු: .
අපි වෙනස පරිවර්තනය කරමු:
.
ඉලක්කම් සහ හරය ගුණ කරන්න:
.

ඉඩ
.
ඉන්පසු
;
.

ඉතින්, අපි එය සොයා ගත්තේ,
.
අපි ධනාත්මක සංඛ්‍යා ඇතුළත් කර:
.
එබැවින් එය අනුගමනය කරයි
සහ .

මෙය ඕනෑම ධන සංඛ්‍යාවක් සඳහා පවතින බැවින්, එසේ නම්
.

යොමු:
සෙමී. නිකොල්ස්කි. හොඳින් ගණිතමය විශ්ලේෂණය. වෙළුම 1. මොස්කව්, 1983.

අනුපිළිවෙලවල් සහ කාර්යයන්හි සීමාවන් පිළිබඳ සංකල්ප. අනුපිළිවෙලක සීමාව සොයා ගැනීමට අවශ්‍ය වූ විට, එය පහත පරිදි ලියා ඇත: lim xn=a. එවැනි අනුපිළිවෙලක් තුළ, xn a වෙත නැඹුරු වන අතර n අනන්තය වෙත නැඹුරු වේ. අනුක්‍රමයක් සාමාන්‍යයෙන් ශ්‍රේණියක් ලෙස නිරූපණය කෙරේ, උදාහරණයක් ලෙස:
x1, x2, x3...,xm,...,xn... .
අනුපිළිවෙලවල් ආරෝහණ සහ අවරෝහණ ලෙස බෙදා ඇත. උදාහරණ වශයෙන්:
xn=n^2 - වැඩිවන අනුපිළිවෙල
yn=1/n - අනුපිළිවෙල
උදාහරණයක් ලෙස, xn=1/n^ අනුපිළිවෙලෙහි සීමාව:
lim1/n^2=0

x→∞
n→∞ සහ 1/n^2 අනුපිළිවෙල ශුන්‍යයට නැඹුරු වන නිසා මෙම සීමාව ශුන්‍ය වේ.

සාමාන්‍යයෙන් x විචල්‍යය a සීමිත සීමාවකට නැඹුරු වේ, එපමනක් නොව, x නිරන්තරයෙන් a වෙත ළඟා වන අතර a හි අගය නියත වේ. මෙය පහත පරිදි ලියා ඇත: limx = a, n ශුන්‍ය සහ අනන්තය යන දෙකටම නැඹුරු විය හැක. අනන්ත කාර්යයන් ඇත, ඒවා සඳහා සීමාව අනන්තයට නැඹුරු වේ. වෙනත් අවස්ථා වලදී, උදාහරණයක් ලෙස, දුම්රියේ වේගය අඩු කිරීමේ කාර්යයේදී, සීමාවක් බිංදුවට නැඹුරු විය හැකිය.
සීමාවන්ට ගුණාංග ගණනාවක් ඇත. රීතියක් ලෙස, ඕනෑම කාර්යයක් ඇත්තේ එක් සීමාවක් පමණි. සීමාවෙහි ප්රධාන දේපල මෙයයි. අනෙකුත් ඒවා පහත ලැයිස්තුගත කර ඇත:
* මුදල සීමාව එකතුවට සමාන වේසීමාවන්:
lim(x+y)=limx+limy
* නිෂ්පාදනයේ සීමාව සීමාවන්ගේ නිෂ්පාදනයට සමාන වේ:
lim(xy)=limx*limy
* ප්‍රමාණයේ සීමාව සීමාවන්ගේ ප්‍රමාණයට සමාන වේ:
lim(x/y)=lim x/lim y
* නියත සාධකය සීමා ලකුණෙන් ඉවතට ගනු ලැබේ:
lim(Cx)=C lim x
x →∞ 1/x ශ්‍රිතයක් ලබා දී ඇති අතර, එහි සීමාව ශුන්‍ය වේ. x→0 නම්, එවැනි ශ්‍රිතයක සීමාව ∞ ට සමාන වේ.
සදහා ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතමෙම නීති වලින් ලබා ගත හැක. sin x ශ්‍රිතය බිංදුවට ළං වන විට සෑම විටම එකකට නැඹුරු වන බැවින්, අනන්‍යතාවය ඒ සඳහා රඳවා ගනී:
ලිම් sin x/x=1

කාර්යයන් ගණනාවක් තුළ, අවිනිශ්චිතතාවය පැන නගින සීමාවන් ගණනය කිරීමේදී - සීමාව ගණනය කළ නොහැකි තත්වයක්. එකම මාර්ගයමෙම තත්වයෙන් L'Hopital බවට පත් වේ. අවිනිශ්චිතතා වර්ග දෙකක් තිබේ:
* 0/0 පෝරමයේ අවිනිශ්චිතතාවය
* පෝරමයේ අවිනිශ්චිතතාවය ∞/∞
උදාහරණයක් ලෙස, සීමාව ලබා දී ඇත පහත ආකාරයේ: ලිම් f(x)/l(x), එපමනක් නොව, f(x0)=l(x0)=0. මෙම අවස්ථාවේදී, 0/0 ආකෘතියේ අවිනිශ්චිතතාවයක් පවතී. එවැනි ගැටළුවක් විසඳීම සඳහා, කාර්යයන් දෙකම වෙනස් වේ, ඉන් පසුව ප්රතිඵලයේ සීමාව සොයාගත හැකිය. 0/0 පෝරමයේ අවිනිශ්චිතතා සඳහා, සීමාව වන්නේ:
lim f(x)/l(x)=lim f"(x)/l"(x) (x→0 සඳහා)
∞/∞ වර්ගයේ අවිනිශ්චිතතා සඳහා ද එම නියමයම සත්‍ය වේ. නමුත් මෙම අවස්ථාවේදී, පහත සමානාත්මතාවය සත්ය වේ: f(x)=l(x)=∞
L'Hospital රීතිය භාවිතා කරමින්, අවිනිශ්චිතතාවයන් දිස්වන ඕනෑම සීමාවක අගයන් ඔබට සොයාගත හැකිය. අවශ්ය කොන්දේසියහිදී

පරිමාව - ව්යුත්පන්න සොයා ගැනීමේ දෝෂ නොමැති වීම. උදාහරණයක් ලෙස, ශ්‍රිතයේ ව්‍යුත්පන්නය (x^2)" 2x ට සමාන වේ. මෙයින් අපට නිගමනය කළ හැක්කේ:
f"(x)=nx^(n-1)

විසඳුමක් සබැඳි ක්‍රියාකාරී සීමාවන්. ලක්ෂ්‍යයක ශ්‍රිතයක හෝ ක්‍රියාකාරී අනුපිළිවෙලක සීමිත අගය සොයන්න, ගණනය කරන්න සීමා කිරීමඅනන්තයේ ක්රියාකාරී අගය. සංඛ්‍යා ශ්‍රේණියක අභිසාරීතාවය තීරණය කිරීම සහ අපගේ ස්තුතියට තවත් බොහෝ දේ කළ හැක මාර්ගගත සේවාව- . ක්‍රියාකාරී සීමාවන් ඉක්මනින් සහ නිවැරදිව මාර්ගගතව සොයා ගැනීමට අපි ඔබට ඉඩ සලසයි. ඔබ විසින්ම ශ්‍රිත විචල්‍යය සහ එය අපේක්ෂා කරන සීමාව ඇතුළත් කරන්න, අපගේ සේවාව ඔබ වෙනුවෙන් සියලු ගණනය කිරීම් සිදු කරයි, නිවැරදි හා සරල පිළිතුරක් ලබා දෙයි. සහ සඳහා අන්තර්ජාලය හරහා සීමාව සොයා ගැනීමඔබට සංඛ්‍යාත්මක ශ්‍රේණි දෙකම ඇතුළු කළ හැකිය විශ්ලේෂණ කාර්යයන්, වචනාර්ථ ප්‍රකාශනයක නියත අඩංගු වේ. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, සොයාගත් ශ්‍රිත සීමාවෙහි මෙම නියතයන් ප්‍රකාශනයේ නියත තර්ක ලෙස අඩංගු වේ. අපගේ සේවාව ඕනෑම දෙයක් විසඳයි අභියෝගාත්මක කාර්යයන්ස්ථානය අනුව මාර්ගගත සීමාවන්, එය ගණනය කිරීමට අවශ්ය වන කාර්යය සහ ලක්ෂ්යය නියම කිරීමට ප්රමාණවත් වේ කාර්යය සීමාව. ගණනය කිරීම මාර්ගගත සීමාවන්, ඔයාට පාවිච්චි කරන්න පුළුවන් විවිධ ක්රමසහ ඔවුන්ගේ විසඳුම සඳහා නීති රීති, ප්රතිඵලය සමඟ සංසන්දනය කිරීමේදී විසඳුම මාර්ගගතව සීමා කරන්න www.site හි, කාර්යය සාර්ථකව නිම කිරීමට තුඩු දෙනු ඇත - ඔබ ඔබේම වැරදි සහ අක්ෂර වින්‍යාසයන් වළක්වා ගනු ඇත. නැතහොත් ඔබට අපව සම්පූර්ණයෙන්ම විශ්වාස කළ හැකි අතර, ශ්‍රිත සීමාවේ ස්වාධීන ගණනය කිරීම් සඳහා අමතර වෑයමක් සහ කාලයක් වැය නොකර ඔබේ කාර්යයේදී අපගේ ප්‍රතිඵලය භාවිතා කළ හැකිය. අපි අනන්තය වැනි සීමිත අගයන් ඇතුළත් කිරීමට ඉඩ දෙමු. ඔබ සංඛ්‍යාත්මක අනුපිළිවෙලෙහි පොදු පදයක් ඇතුළත් කළ යුතුය www.siteඅගය ගණනය කරනු ඇත මාර්ගගතව සීමා කරන්නඅනන්තය එකතු කිරීම හෝ අඩු කිරීම.

ගණිතමය විශ්ලේෂණයේ මූලික සංකල්පවලින් එකක් වන්නේ කාර්යය සීමාවහා අනුපිළිවෙල සීමාවයම් අවස්ථාවක දී සහ අනන්තයකදී, නිවැරදිව විසඳීමට හැකි වීම වැදගත් වේ සීමාවන්. අපගේ සේවාව සමඟ එය අපහසු නොවනු ඇත. තීරණයක් ගනිමින් පවතී මාර්ගගත සීමාවන්තත්පර කිහිපයකින්, පිළිතුර නිවැරදි සහ සම්පූර්ණ වේ. කලනය අධ්‍යයනය ආරම්භ වන්නේ සීමාව දක්වා ගමන් කිරීම, සීමාවන්උසස් ගණිතයේ සෑම අංශයකම පාහේ භාවිතා වේ, එබැවින් සේවාදායකයක් අත ළඟ තබා ගැනීම ප්‍රයෝජනවත් වේ මාර්ගගත විසඳුම් සීමා කරන්නඅඩවිය යනු කුමක්ද.

කාර්යය y=f (x)නීතිය (නීතිය) ලෙස හඳුන්වනු ලබන අතර, ඒ අනුව, X කාණ්ඩයේ එක් එක් මූලද්‍රව්‍ය x Y කාණ්ඩයේ y එක් මූලද්‍රව්‍යයක් සමඟ සම්බන්ධ වේ.

මූලද්රව්යය x ∈ Xකියලා කාර්යය තර්කයහෝ ස්වායක්ත විචල්යය.
y මූලද්රව්යය ∈ වයිකියලා කාර්යය අගයහෝ යැපෙන විචල්යය.

X කට්ටලය ලෙස හැඳින්වේ කාර්යය විෂය පථය.
මූලද්‍රව්‍ය කට්ටලය y ∈ වයි X කුලකයේ පූර්ව රූප ඇති , ලෙස හැඳින්වේ ප්රදේශය හෝ ශ්රිත අගයන් කට්ටලයක්.

සැබෑ ශ්රිතය ලෙස හැඳින්වේ ඉහලින් සීමා කර ඇත (පහළින්), පහත අසමානතාවය සියල්ලටම පවතින M අංකයක් තිබේ නම්:
.
සංඛ්යා ශ්රිතය ලෙස හැඳින්වේ සීමිතයි, සියල්ලන්ටම එවැනි M අංකයක් තිබේ නම්:
.

ඉහළ මුහුණහෝ හරියටම ඉහළ සීමාවසැබෑ ශ්‍රිතය ඉහත සිට එහි අගයන් පරාසය සීමා කරන සංඛ්‍යාවලින් කුඩාම ලෙස හැඳින්වේ. එනම්, මෙය s අංකයක් වන අතර, ඒ සඳහා, සියල්ලන්ටම සහ ඕනෑම දෙයක් සඳහා, එවැනි තර්කයක් ඇත, එහි ශ්‍රිතයේ අගය s′ : .
ශ්‍රිතයේ ඉහළ සීමාව පහත පරිදි දැක්විය හැක.
.

පිළිවෙළින් පහළ මුහුණහෝ නිශ්චිත පහළ සීමාවසැබෑ ශ්‍රිතය එහි අගයන් පරාසය පහතින් සීමා කරන සංඛ්‍යාවලින් විශාලතම ලෙස හැඳින්වේ. එනම්, මෙය i අංකයක් වන අතර ඒ සඳහා සැමට සහ ඕනෑම කෙනෙකුට එවැනි තර්කයක් ඇත, ශ්‍රිතයේ අගය i′ : ට වඩා අඩුය.
ශ්‍රිතයක පහළ මායිම පහත පරිදි දැක්විය හැක.
.

ශ්‍රිතයක සීමාව නිර්ණය කිරීම

ශ්‍රිතයක Cauchy සීමාවේ අර්ථ දැක්වීම

අවසාන ලක්ෂ්‍යවල පරිමිත ක්‍රියාකාරී සීමාවන්

සමහර විට ලක්ෂ්‍යය සඳහාම හැර, අවසාන ලක්ෂ්‍යයේ යම් අසල්වැසි ප්‍රදේශයක ශ්‍රිතය අර්ථ දැක්වීමට ඉඩ දෙන්න. ලක්ෂ්‍යයේ දී, ඕනෑම දෙයක් සඳහා පවතී නම්, මත පදනම්ව, සියලු x සඳහා, අසමානතාවය
.
ශ්‍රිතයක සීමාව පහත පරිදි දැක්වේ.
.
හෝ හිදී.

පැවැත්මේ සහ විශ්වීයත්වයේ තාර්කික සංකේත භාවිතා කරමින්, ශ්‍රිතයක සීමාවේ නිර්වචනය පහත පරිදි ලිවිය හැකිය:
.

ඒකපාර්ශ්වික සීමාවන්.
ලක්ෂ්‍යයේ වම් සීමාව (වම් පැත්තේ සීමාව):
.
ලක්ෂ්‍යයක දකුණු සීමාව (දකුණු අත සීමාව):
.
වම් සහ දකුණු සීමාවන් බොහෝ විට පහත පරිදි දැක්වේ:
; .

අනන්තයේ ලක්ෂ්‍යවල ශ්‍රිතයක පරිමිත සීමාවන්

අසීමිත දුරස්ථ ස්ථානවල සීමාවන් සමාන ආකාරයකින් අර්ථ දක්වා ඇත.
.
.
.
ඒවා බොහෝ විට හඳුන්වනු ලබන්නේ:
; ; .

ලක්ෂ්යයක අසල්වැසි සංකල්පය භාවිතා කිරීම

අපි ලක්ෂ්‍යයක සිදුරු සහිත අසල්වැසි සංකල්පයක් හඳුන්වා දෙන්නේ නම්, අපට පරිමිත සහ අනන්ත ලක්ෂ්‍යවල ශ්‍රිතයක පරිමිත සීමාව පිළිබඳ ඒකාබද්ධ අර්ථ දැක්වීමක් ලබා දිය හැකිය:
.
මෙහි අවසාන ලක්ෂ්‍ය සඳහා
; ;
.
අනන්තයේ ඇති ඕනෑම අසල්වැසි ප්‍රදේශයක් සිදුරු කර ඇත:
; ; .

අනන්ත කාර්ය සීමාවන්

අර්ථ දැක්වීම
ලක්ෂ්‍යයක යම් සිදුරු සහිත අසල්වැසි ප්‍රදේශයක ශ්‍රිතය අර්ථ දැක්වීමට ඉඩ දෙන්න (පරිමිත හෝ අනන්තය). ශ්‍රිතයේ සීමාව f (x) x → x ලෙස 0 අනන්තයට සමාන වේ, කිසියම් අත්තනෝමතික විශාල සංඛ්‍යාවක් සඳහා නම් M > 0 , δ M අංකයක් පවතී > 0 , M මත පදනම්ව, සිදුරු වූ δ M - ලක්ෂ්‍යයේ අසල්වැසි සියලුම x සඳහා: , පහත අසමානතාවය පවතී:
.
අසීමිත සීමාව පහත පරිදි අර්ථ දැක්වේ:
.
හෝ හිදී.

පැවැත්මේ සහ විශ්වීයත්වයේ තාර්කික සංකේත භාවිතා කරමින්, ශ්‍රිතයක අසීමිත සීමාවේ නිර්වචනය පහත පරිදි ලිවිය හැකිය:
.

සමහර සංඥා වල අනන්ත සීමාවන් වලට සමාන අර්ථ දැක්වීම් හඳුන්වා දීමට ද හැකිය:
.
.

ශ්‍රිතයක සීමාව පිළිබඳ විශ්ව අර්ථ දැක්වීම

ලක්ෂ්‍යයක අසල්වැසි සංකල්පය භාවිතා කරමින්, කෙනෙකුට ශ්‍රිතයක පරිමිත සහ අසීමිත සීමාව පිළිබඳ විශ්වීය නිර්වචනයක් ලබා දිය හැකිය, එය සීමිත (ද්වි-පාර්ශ්වික සහ ඒකපාර්ශ්වික) සහ අසීමිත දුරස්ථ ලක්ෂ්‍ය සඳහා අදාළ වේ:
.

Heine අනුව ශ්‍රිතයක සීමාව අර්ථ දැක්වීම

ශ්‍රිතය X : යම් කට්ටලයක අර්ථ දැක්වීමට ඉඩ දෙන්න.
a අංකය ශ්‍රිතයේ සීමාව ලෙස හැඳින්වේලක්ෂ්යයේදී:
,
x වෙත අභිසාරී වන කිසියම් අනුපිළිවෙලක් සඳහා නම් 0 :
,
එහි මූලද්‍රව්‍ය X කාණ්ඩයට අයත් වේ : ,
.

අපි මෙම නිර්වචනය ලියන්නේ පැවැත්මේ සහ විශ්වීයත්වයේ තාර්කික සංකේත භාවිතා කරමිනි:
.

අපි X කට්ටලය ලෙස ගතහොත් x ලක්ෂ්‍යයේ වම් පස අසල්වැසිය 0 , එවිට අපි වම් සීමාවේ නිර්වචනය ලබා ගනිමු. එය දකුණු අත නම්, අපට නිවැරදි සීමාව පිළිබඳ අර්ථ දැක්වීම ලැබේ. අපි අනන්තයේ ලක්ෂ්‍යයක අසල්වැසි ප්‍රමාණය X කට්ටලය ලෙස ගත්තොත්, අපි අනන්තයේ ශ්‍රිතයක සීමාවේ නිර්වචනය ලබා ගනිමු.

ප්රමේයය
ශ්‍රිතයක සීමාව පිළිබඳ Cauchy සහ Heine අර්ථ දැක්වීම් සමාන වේ.
සාක්ෂි

ශ්‍රිතයක සීමාවේ ගුණ සහ ප්‍රමේය

තවද, අපි සලකා බලනු ලබන කාර්යයන් ලක්ෂ්‍යයේ අනුරූප අසල්වැසි ප්‍රදේශයේ අර්ථ දක්වා ඇති බව උපකල්පනය කරමු, එය සීමිත සංඛ්‍යාවක් හෝ සංකේත වලින් එකකි: . එය ඒකපාර්ශ්වික සීමා ලක්ෂ්‍යයක් ද විය හැකිය, එනම් පෝරමය තිබීම හෝ . අසල්වාසීන් ද්වි-පාර්ශ්වික සීමාව සඳහා ද්වි-පාර්ශ්වීය වන අතර එක් පැත්තක් සඳහා එක් පැත්තකි.

මූලික ගුණාංග

ශ්‍රිතයේ අගයන් f නම් (x) x සීමිත ලකුණු ගණනකදී වෙනස් කරන්න (හෝ නිර්වචනය නොකළ කරන්න). 1 , x 2 , x 3 , ... x n, එවිට මෙම වෙනස අත්තනෝමතික ලක්ෂ්‍යයක ශ්‍රිතයේ සීමාවේ පැවැත්මට සහ අගයට බලපාන්නේ නැත x 0 .

සීමිත සීමාවක් තිබේ නම්, x ලක්ෂ්‍යයේ එවැනි සිදුරු සහිත අසල්වැසි ප්‍රදේශයක් ඇත 0 , ශ්‍රිතය f (x)සීමිත:
.

ශ්‍රිතය x ලක්ෂ්‍යයේ තිබෙන්නට හරින්න 0 බිංදුව හැර අවසන් සීමාව:
.
එවිට, අන්තරයේ සිට c ඕනෑම අංකයක් සඳහා, x ලක්ෂ්‍යයේ එවැනි සිදුරු සහිත අසල්වැසි ප්‍රදේශයක් පවතී. 0 කුමක් සඳහා ද,
, නම් ;
, නම් .

ලක්ෂ්‍යයේ යම් සිදුරු සහිත අසල්වැසි ප්‍රදේශයක නියතයක් නම්, එවිට .

x ලක්ෂ්‍යයේ සීමිත සීමාවන් සහ සමහර සිදුරු සහිත අසල්වැසි ප්‍රදේශයක් තිබේ නම් 0
,
එවිට .

නම්, සහ ලක්ෂ්‍යයේ යම් අසල්වැසි ප්‍රදේශයක
,
එවිට .
විශේෂයෙන්, යම් ලක්ෂ්‍යයක අසල්වැසි ප්‍රදේශයක නම්
,
එවිට නම්, එසේ නම් සහ;
එසේ නම් සහ .

x ලක්ෂ්‍යයේ යම් සිදුරු සහිත අසල්වැසි ප්‍රදේශයක නම් 0 :
,
සහ සීමිත (හෝ යම් ලකුණක අනන්ත) සමාන සීමාවන් ඇත:
, එවිට
.

ප්‍රධාන දේපල පිළිබඳ සාක්ෂි පිටුවේ දක්වා ඇත
"කර්තව්‍යයක සීමාවන්ගේ මූලික ගුණාංග".

ශ්‍රිතයක සීමාවේ අංක ගණිතමය ගුණ

ලක්ෂ්‍යයේ යම් සිදුරු සහිත අසල්වැසි ප්‍රදේශයක ශ්‍රිත සහ අර්ථ දැක්වීමට ඉඩ දෙන්න. තවද සීමිත සීමාවන් තිබිය යුතුය:
හා .
C නියතයක්, එනම් දී ඇති අංකයක් වීමට ඉඩ දෙන්න. ඉන්පසු
;
;
;
, නම් .

එසේ නම් .

අංක ගණිතමය ගුණාංග පිළිබඳ සාක්ෂි පිටුවේ දක්වා ඇත
"ශ්‍රිතයක සීමාවන්හි අංක ගණිතමය ගුණාංග".

ශ්‍රිතයක සීමාවක පැවැත්ම සඳහා Cauchy නිර්ණායකය

ප්රමේයය
පරිමිත හෝ අනන්ත ලක්ෂ්‍යයේ යම් සිදුරු සහිත අසල්වැසි ප්‍රදේශයක අර්ථ දක්වා ඇති ශ්‍රිතයක් සඳහා 0 , මෙම අවස්ථාවේදී සීමිත සීමාවක් තිබුණි, එය ඕනෑම ε සඳහා අවශ්‍ය සහ ප්‍රමාණවත් වේ > 0 x ලක්ෂයේ එවැනි සිදුරු සහිත අසල්වැසි ප්‍රදේශයක් විය 0 , ඕනෑම ලක්ෂ්‍යයක් සඳහා සහ මෙම අසල්වැසි ප්‍රදේශයෙන් පහත අසමානතාවය පවතින බව:
.

සංකීර්ණ කාර්ය සීමාව

සීමාව ප්රමේයය සංකීර්ණ කාර්යය
ශ්‍රිතයට සීමාවක් තිබිය යුතු අතර ලක්ෂ්‍යයේ සිදුරු වූ අසල්වැසි ප්‍රදේශය ලක්ෂ්‍යයේ සිදුරු වූ අසල්වැසි ප්‍රදේශයට සිතියම් ගත කරන්න. මෙම අසල්වැසි ප්‍රදේශය මත ශ්‍රිතය නිර්වචනය කර එයට සීමාවක් ඇති කර ගනිමු.
මෙන්න - අවසාන හෝ අසීමිත දුරස්ථ ලකුණු: . අසල්වැසි සහ ඒවාට අනුරූප සීමාවන් ද්වි-පාර්ශ්වික හෝ ඒක පාර්ශවීය විය හැකිය.
එවිට සංකීර්ණ ශ්‍රිතයේ සීමාවක් ඇති අතර එය සමාන වේ:
.

ශ්‍රිතය ලක්ෂ්‍යයක අර්ථ දක්වා නොමැති විට හෝ සීමාවේ අගය හැර වෙනත් අගයක් ඇති විට සංකීර්ණ ශ්‍රිත සීමාව ප්‍රමේයය අදාළ වේ. මෙම ප්‍රමේයය යෙදීම සඳහා, ශ්‍රිතයේ අගයන් සමූහයේ ලක්ෂ්‍යය අඩංගු නොවන ලක්ෂ්‍යයේ සිදුරු සහිත අසල්වැසි ප්‍රදේශයක් තිබිය යුතුය:
.

ලක්ෂ්‍යයේ ශ්‍රිතය අඛණ්ඩව පවතී නම්, එවිට සීමාව ලකුණ තර්කයට යෙදිය හැක අඛණ්ඩ ක්රියාකාරිත්වය:
.
පහත දැක්වෙන්නේ මෙම අවස්ථාවට අනුරූප වන ප්‍රමේයයකි.

ශ්‍රිතයක අඛණ්ඩ ශ්‍රිතයක සීමාව පිළිබඳ ප්‍රමේයය
g ශ්‍රිතයේ සීමාවක් තියමු (ටී) t → t ලෙස 0 , සහ එය x ට සමාන වේ 0 :
.
මෙහිදී ටී 0 පරිමිත හෝ අනන්තය විය හැක:.
සහ f ශ්‍රිතයට ඉඩ දෙන්න (x) x හි අඛණ්ඩව 0 .
එවිට f සංයුක්ත ශ්‍රිතයේ සීමාවක් ඇත (g(t)), සහ එය f ට සමාන වේ (x0):
.

ප්‍රමේයවල සාක්ෂි පිටුවේ දක්වා ඇත
"සංකීර්ණ කාර්යයක සීමාව සහ අඛණ්ඩතාව".

අපරිමිත හා අසීමිත විශාල කාර්යයන්

අසීමිත කුඩා කාර්යයන්

අර්ථ දැක්වීම
if සඳහා ශ්‍රිතයක් infinitesimal ලෙස හැඳින්වේ
.

එකතුව, වෙනස සහ නිෂ්පාදනයසඳහා අසීමිත කුඩා ශ්‍රිතවල සීමිත සංඛ්‍යාවක අසීමිත ශ්‍රිතයකි.

සීමා වූ ශ්‍රිතයක නිෂ්පාදිතයලක්ෂ්‍යයේ යම් සිදුරු සහිත අසල්වැසි ප්‍රදේශයක් මත, සඳහා අනන්තය සඳහා අපරිමිත ශ්‍රිතයක් වේ.

ශ්‍රිතයකට සීමිත සීමාවක් තිබීම සඳහා එය අවශ්‍ය සහ ප්‍රමාණවත් වේ
,
සඳහා අපරිමිත ශ්‍රිතයක් කොහෙද.

"අපරිමිත ශ්‍රිතවල ගුණ".

අනන්ත විශාල කාර්යයන්

අර්ථ දැක්වීම
if සඳහා ශ්‍රිතය අනන්ත විශාල ලෙස හැඳින්වේ
.

එකතුව හෝ වෙනස සීමිත කාර්යය, ලක්ෂ්‍යයේ සමහර සිදුරු සහිත අසල්වැසි ප්‍රදේශයක, සහ සඳහා අසීමිත විශාල ශ්‍රිතයක් අනන්තය වේ විශිෂ්ට ලක්ෂණයක්හිදී .

ලක්ෂ්‍යයේ යම් සිදුරු සහිත අසල්වැසි ප්‍රදේශයක ශ්‍රිතය අසීමිත ලෙස විශාල නම් සහ ශ්‍රිතය සීමා වී තිබේ නම්, එවිට
.

ලක්ෂ්‍යයේ යම් සිදුරු සහිත අසල්වැසි ප්‍රදේශයක ශ්‍රිතය අසමානතාවය තෘප්තිමත් කරන්නේ නම්:
,
සහ ශ්‍රිතය අසීමිත ලෙස කුඩා වේ:
, සහ (ලක්ෂ්‍යයේ යම් සිදුරු සහිත අසල්වැසි ප්‍රදේශයක් මත), පසුව
.

දේපල පිළිබඳ සාක්ෂි කොටසේ දක්වා ඇත
"අසීමිත විශාල ශ්‍රිතවල ගුණ".

අසීමිත විශාල සහ අසීමිත කුඩා කාර්යයන් අතර සම්බන්ධතාවය

අපරිමිත විශාල සහ අසීමිත කුඩා ශ්‍රිත අතර සම්බන්ධය පෙර පැවති ගුණාංග දෙකෙන් පහත දැක්වේ.

හිදී ශ්‍රිතය අනන්තවත් විශාල නම්, ශ්‍රිතය අසීමිතව කුඩා වේ.

සඳහා ශ්‍රිතය අනන්තවත් කුඩා නම්, සහ , සඳහා ශ්‍රිතය අනන්තවත් විශාල වේ.

අපරිමිත හා අසීමිත විශාල ශ්‍රිතයක් අතර සම්බන්ධය සංකේතාත්මකව ප්‍රකාශ කළ හැක:
, .

අපරිමිත ශ්‍රිතයකට නිශ්චිත ලකුණක් තිබේ නම්, එනම්, ලක්ෂ්‍යයේ යම් සිදුරු සහිත අසල්වැසි ප්‍රදේශයක එය ධනාත්මක (හෝ සෘණ) වේ නම්, මෙම කරුණ පහත පරිදි ප්‍රකාශ කළ හැකිය:
.
ඒ හා සමානව, අසීමිත විශාල ශ්‍රිතයක යම් ලකුණක් තිබේ නම්, ඔවුන් මෙසේ ලියයි:
.

එවිට අනන්තය සහ අනන්තය අතර සංකේතාත්මක සම්බන්ධය විශිෂ්ට ලක්ෂණපහත සම්බන්ධතා සමඟ අතිරේක කළ හැක:
, ,
, .

අනන්ත සංකේත සම්බන්ධ අමතර සූත්‍ර පිටුවෙන් සොයාගත හැකිය
"අනන්තයේ ලකුණු සහ ඒවායේ ගුණාංග".

ඒකාකාරී ක්රියාකාරිත්වයේ සීමාවන්

අර්ථ දැක්වීම
තාත්වික සංඛ්‍යා X කිහිපයක් මත අර්ථ දක්වා ඇති ශ්‍රිතයක් ලෙස හැඳින්වේ දැඩි ලෙස වැඩි කිරීම, එවැනි සියල්ල සඳහා පහත අසමානතාවය පවතින්නේ නම්:
.
ඒ අනුව, සඳහා දැඩි ලෙස අඩු කිරීමකාර්යය, පහත අසමානතාවය පවතී:
.
සදහා අඩු නොවන:
.
සදහා වැඩි නොවන:
.

මෙයින් ඇඟවෙන්නේ දැඩි ලෙස වැඩිවන කාර්යයක් ද අඩු නොවන බවයි. දැඩි ලෙස අඩුවන කාර්යයක් ද නොවැඩි වේ.

කාර්යය ලෙස හැඳින්වේ ඒකාකාරීඑය අඩු නොවන හෝ වැඩි නොවන නම්.

ප්රමේයය
අන්තරය මත ශ්රිතය අඩු නොවීමට ඉඩ හරින්න , කොහෙද .
එය ඉහත සිට M : අංකයෙන් මායිම් කර ඇත්නම් , සීමිත සීමාවක් ඇත . ඉහත මායිම් නොවේ නම්, එසේ නම් .
එය පහත සිට m: අංකයෙන් මායිම් කර ඇත්නම්, සීමිත සීමාවක් ඇත. පහතින් සීමා නොවේ නම්, එසේ නම් .

a සහ b ලක්ෂ්‍ය අනන්තයේ නම්, ප්‍රකාශනවල සීමාව සලකුණු වලින් අදහස් වන්නේ .
මෙම ප්‍රමේයය වඩාත් සංයුක්තව සකස් කළ හැක.

අන්තරය මත ශ්රිතය අඩු නොවීමට ඉඩ හරින්න , කොහෙද . එවිට a සහ b ලක්ෂ්‍යවල ඒකපාර්ශ්වික සීමාවන් ඇත:
;
.

වැඩි නොවන ශ්‍රිතයක් සඳහා සමාන ප්‍රමේයයක්.

විරාමය මත ශ්රිතය වැඩි නොවීමට ඉඩ හරින්න , කොහෙද . එවිට ඒක පාර්ශවීය සීමාවන් ඇත:
;
.

ප්‍රමේයයේ සාක්ෂිය පිටුවේ දක්වා ඇත
"ඒකාකාරී කාර්යයන්හි සීමාවන්".

යොමු:
එල්.ඩී. Kudryavtsev. ගණිතමය විශ්ලේෂණ පාඨමාලාව. වෙළුම 1. මොස්කව්, 2003.
සෙමී. නිකොල්ස්කි. ගණිතමය විශ්ලේෂණ පාඨමාලාව. වෙළුම 1. මොස්කව්, 1983.

කාර්ය සීමාව- අංකය ඒඑහි වෙනස් වීමේ ක්‍රියාවලියේදී, මෙම විචල්‍යය දින නියමයක් නොමැතිව ළඟා වුවහොත්, යම් විචල්‍ය අගයක සීමාව වනු ඇත ඒ.

නැතහොත් වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, අංකය ඒශ්රිතයේ සීමාව වේ y=f(x)ලක්ෂ්යයේ x0, ශ්‍රිතයේ නිර්වචන වසමෙන් කිසියම් ලකුණු අනුපිළිවෙලක් සඳහා නම්, සමාන නොවේ x0, සහ කාරණයට අභිසාරී වේ x 0 (lim x n = x0), ශ්‍රිතයේ අනුරූප අගයන්හි අනුපිළිවෙල සංඛ්‍යාවට අභිසාරී වේ ඒ.

අනන්තයට නැඹුරු වන තර්කයක් සහිත සීමාවක් ඇති ශ්‍රිතයක ප්‍රස්තාරය එල්:

අර්ථය නමුත්වේ ශ්‍රිතයේ සීමාව (සීමා අගය). f(x)ලක්ෂ්යයේ x0කිසියම් ලකුණු අනුපිළිවෙලක් සඳහා නම් , වෙත අභිසාරී වේ x0, නමුත් අඩංගු නොවේ x0එහි එක් අංගයක් ලෙස (එනම් සිදුරු වූ අසල්වැසි ප්‍රදේශයේ x0), ශ්රිත අගයන් අනුපිළිවෙල වෙත අභිසාරී වේ ඒ.

Cauchy අනුව ශ්‍රිතයක සීමාව.

අර්ථය ඒවනු ඇත කාර්යය සීමාව f(x)ලක්ෂ්යයේ x0කිසියම් ඉදිරියට ගත් ඍණ නොවන අංකයක් සඳහා නම් ε සෘණ නොවන අනුරූප අංකයක් සොයාගනු ඇත δ = δ(ε) එක් එක් තර්ක සඳහා එවැනි x, කොන්දේසිය තෘප්තිමත් කිරීම 0 < | x - x0 | < δ , අසමානතාවය | f(x) A |< ε .

ඔබ සීමාවෙහි සාරය සහ එය සොයා ගැනීම සඳහා මූලික නීති තේරුම් ගන්නේ නම් එය ඉතා සරල වනු ඇත. එනම් කාර්යයේ සීමාවයි f(x)හිදී xඅපේක්ෂා කරයි ඒසමාන ඒ, මෙසේ ලියා ඇත:

එපමණක් නොව, විචල්‍යය නැඹුරු වන අගය x, සංඛ්‍යාවක් පමණක් නොව, අනන්තය (∞), සමහර විට +∞ හෝ -∞ ද විය හැකිය, නැතහොත් සීමාවක් නොතිබිය හැකිය.

කෙසේද යන්න තේරුම් ගැනීමට ශ්‍රිතයක සීමාවන් සොයන්න, විසඳුම් සඳහා උදාහරණ බැලීම වඩාත් සුදුසුය.

අපි කාර්යයේ සීමාවන් සොයා ගත යුතුයි f(x) = 1/xහිදී:

x→ 2, x→ 0, x→ ∞.

පළමු සීමාවේ විසඳුම සොයා ගනිමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, ඔබට සරලව ආදේශ කළ හැකිය xඑය අපේක්ෂා කරන අංකය, i.e. 2, අපට ලැබෙන්නේ:

කාර්යයේ දෙවන සීමාව සොයන්න. මෙන්න ආදේශ කරන්න පිරිසිදු ස්වරූපය 0 වෙනුවට xඑය කළ නොහැක්කකි, මන්ද 0 න් බෙදිය නොහැක. නමුත් අපට ශුන්‍යයට ආසන්න අගයන් ගත හැකිය, උදාහරණයක් ලෙස, 0.01; 0.001; 0.0001; 0.00001 සහ යනාදිය, ශ්‍රිතයේ අගය සමඟ f(x)වැඩි වනු ඇත: 100; 1000; 10000; 100000 සහ එසේ ය. මේ අනුව, එය කවදාදැයි තේරුම් ගත හැකිය x→ 0 සීමාව ලකුණ යටතේ ඇති ශ්රිතයේ අගය දින නියමයක් නොමැතිව වැඩි වනු ඇත, i.e. අනන්තය සඳහා උත්සාහ කරන්න. ඒ කියන්නේ:

තුන්වන සීමාව සම්බන්ධයෙන්. පෙර අවස්ථාවේ දී මෙන් ම තත්ත්වය, එය ආදේශ කිරීමට නොහැකි ය ∞ එහි පිරිසිදු ස්වරූපයෙන්. අසීමිත වැඩිවීමේ සිද්ධිය අපි සලකා බැලිය යුතුයි x. අපි විකල්ප වශයෙන් 1000 ආදේශ කරමු; 10000; 100000 සහ යනාදී වශයෙන්, අපට ශ්‍රිතයේ වටිනාකම ඇත f(x) = 1/xඅඩු වනු ඇත: 0.001; 0.0001; 0.00001; යනාදී වශයෙන් ශුන්‍යයට නැඹුරු වීම. ඒක තමයි:

කාර්යයේ සීමාව ගණනය කිරීම අවශ්ය වේ

දෙවන උදාහරණය විසඳීමට පටන් ගත් විට, අපි අවිනිශ්චිතතාවය දකිමු. මෙතැන් සිට අපට අංකනයේ සහ හරයේ ඉහළම මට්ටම සොයාගත හැකිය - මෙයයි x 3, අපි එය numerator සහ denominator හි වරහන් වලින් ඉවත් කර එය අඩු කරන්නෙමු:

පිළිතුර

පළමු පියවර මෙම සීමාව සොයා ගැනීම, වෙනුවට 1 අගය ආදේශ කරන්න x, එහි ප්‍රතිඵලයක් ලෙස අවිනිශ්චිතතාවය ඇති වේ. එය විසඳීම සඳහා, අපි සංඛ්යාංකය සාධක බවට දිරාපත් කරමු, අපි මූලයන් සොයා ගැනීමෙන් මෙය කරන්නෙමු චතුරස්රාකාර සමීකරණය x 2 + 2x - 3:

D \u003d 2 2 - 4 * 1 * (-3) \u003d 4 +12 \u003d 16→ √ D=√16 = 4

x 1,2 = (-2± 4) / 2→ x 1 \u003d -3;x2= 1.

එබැවින් සංඛ්යාංකය වනු ඇත:

පිළිතුර

මෙය එහි නිශ්චිත අගය හෝ ශ්‍රිතය වැටෙන නිශ්චිත ප්‍රදේශයක නිර්වචනය වන අතර එය සීමාවෙන් සීමා වේ.

සීමාවන් තීරණය කිරීම සඳහා, නීති අනුගමනය කරන්න:

සාරය සහ ප්‍රධාන දේ අවබෝධ කරගෙන සීමා තීරණ නීති, ඔබට ලැබෙනු ඇත මූලික සංකල්පයඒවා විසඳන ආකාරය ගැන.