ශ්‍රිත ප්‍රස්ථාර වලින් සීමා වූ පැතලි රූපයක ප්‍රදේශය සොයන්න. මාර්ගගත කැල්කියුලේටරය. නිශ්චිත අනුකලනයක් ගණනය කරන්න (වක්‍ර රේඛීය trapezoid ප්‍රදේශයක්)

කාර්යය 1(ප්‍රදේශය ගණනය කිරීම ගැන curvilinear trapezoid).

Cartesian දී සෘජුකෝණාස්රාකාර පද්ධතියඛණ්ඩාංක xOy, රූපයක් ලබා දී ඇත (රූපය බලන්න), x අක්ෂය, සරල රේඛා x \u003d a, x \u003d b (වක්‍ර රේඛීය trapezoid. එය curvilinear trapezoid ප්රදේශය ගණනය කිරීමට අවශ්ය වේ. .
විසඳුමක්.ජ්‍යාමිතිය අපට බහුඅස්‍ර ප්‍රදේශ සහ රවුමක සමහර කොටස් (අංශය, ඛණ්ඩය) ගණනය කිරීම සඳහා වට්ටෝරු ලබා දෙයි. ජ්යාමිතික සලකා බැලීම් භාවිතා කරමින්, පහත පරිදි තර්ක කරමින්, අවශ්ය ප්රදේශයේ ආසන්න අගයක් පමණක් සොයා ගැනීමට අපට හැකි වනු ඇත.

අපි කොටස බෙදමු [a; b] (වක්‍ර රේඛීය trapezoid පදනම) n සමාන කොටස් වලට; මෙම කොටස x 1 , x 2 , ... x k , ... x n-1 යන ලක්ෂ්‍ය ආධාරයෙන් සිදු කළ හැක. අපි y-අක්ෂයට සමාන්තරව මෙම ලක්ෂ්‍ය හරහා රේඛා අඳිමු. එවිට ලබා දී ඇති curvilinear trapezoid n කොටස් වලට, n පටු තීරු වලට බෙදනු ඇත. සමස්ත trapezoid හි ප්රදේශය තීරු වල ප්රදේශ වල එකතුවට සමාන වේ.

k-th තීරුව වෙන වෙනම සලකා බලන්න, i.e. curvilinear trapezoid, එහි පදනම කොටසකි. අපි එය f(x k) ට සමාන පාදයක් සහ උසකින් යුත් සෘජුකෝණාස්රයක් සමඟ ප්රතිස්ථාපනය කරමු (රූපය බලන්න). සෘජුකෝණාස්‍රයේ ප්‍රදේශය \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), මෙහි \(\Delta x_k \) යනු කොටසේ දිග වේ; සම්පාදනය කරන ලද නිෂ්පාදිතය kth තීරුවේ ප්‍රදේශයේ ආසන්න අගයක් ලෙස සැලකීම ස්වාභාවිකය.

අපි දැන් අනෙකුත් සියලුම තීරු සමඟ එයම කරන්නේ නම්, අපි පහත ප්‍රතිඵලයට පැමිණෙමු: ලබා දී ඇති වක්‍ර රේඛීය ට්‍රැප්සෝයිඩ් වල S ප්‍රදේශය n සෘජුකෝණාස්‍ර වලින් සෑදූ පියවරක් සහිත රූපයක S n ප්‍රදේශයට ආසන්න වශයෙන් සමාන වේ (රූපය බලන්න):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
මෙහිදී, අංකනයේ ඒකාකාරිත්වය සඳහා, අපි සලකන්නේ a \u003d x 0, b \u003d x n; \(\Delta x_0 \) - කොටස දිග , \(\Delta x_1 \) - කොටස දිග, ආදිය; අප ඉහත එකඟ වූ පරිදි, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)

එබැවින්, \(S \ආසන්න S_n \), සහ මෙම ආසන්න සමානාත්මතාවය වඩාත් නිවැරදි, විශාල n වේ.
නිර්වචනය අනුව, curvilinear trapezoid හි අපේක්ෂිත ප්රදේශය අනුපිළිවෙලෙහි (S n) සීමාවට සමාන වේ යැයි උපකල්පනය කෙරේ:
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

කාර්යය 2(ලක්ෂ්‍යයක් චලනය කිරීම ගැන)
ද්‍රව්‍ය ලක්ෂ්‍යයක් සරල රේඛාවකින් ගමන් කරයි. කාලය මත වේගය රඳා පැවතීම v = v (t) සූත්‍රය මගින් ප්‍රකාශ වේ. කාල පරතරය මත ලක්ෂ්‍යයක විස්ථාපනය සොයන්න [a; බී].
විසඳුමක්.චලිතය ඒකාකාරී නම්, ගැටළුව ඉතා සරලව විසඳනු ඇත: s = vt, i.e. s = v(b-a). අසමාන චලිතය සඳහා, පෙර ගැටලුවේ විසඳුම පදනම් වූ අදහස්ම භාවිතා කළ යුතුය.
1) කාල පරතරය බෙදන්න [a; b] n සමාන කොටස් වලට.
2) කාල පරතරයක් සලකා බලා මෙම කාල පරතරය තුළ වේගය t k වැනි වේලාවේ නියත බව උපකල්පනය කරන්න. එබැවින්, අපි v = v(t k) යැයි උපකල්පනය කරමු.
3) කාල පරතරය තුළ ලක්ෂ්‍ය විස්ථාපනයේ ආසන්න අගය සොයන්න, මෙම ආසන්න අගය s k මගින් දක්වනු ඇත.
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) විස්ථාපනයේ ආසන්න අගය සොයන්න:
\(s \ආසන්න S_n \) කොහෙද
\(S_n = s_0 + \ dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) අවශ්‍ය විස්ථාපනය අනුපිළිවෙලෙහි සීමාවට සමාන වේ (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

අපි සාරාංශ කරමු. විවිධ ගැටළු වලට විසඳුම් එකම ගණිතමය ආකෘතියකට අඩු කරන ලදී. විද්‍යාවේ සහ තාක්‍ෂණයේ විවිධ ක්ෂේත්‍රවල ඇති බොහෝ ගැටලු විසඳුම් ක්‍රියාවලියේදී එකම ආකෘතියකට මඟ පාදයි. ඉතින් මේ ගණිතමය ආකෘතියවිශේෂයෙන් අධ්යයනය කළ යුතුය.

නිශ්චිත අනුකලනය පිළිබඳ සංකල්පය

y = f(x) ශ්‍රිතය සඳහා සලකා බලන ලද ගැටළු තුනෙහි ගොඩනගා ඇති ආකෘතිය පිළිබඳ ගණිතමය විස්තරයක් ලබා දෙමු, එය අඛණ්ඩ (නමුත් සලකා බලන ලද ගැටළු වල උපකල්පනය කරන ලද පරිදි අනිවාර්යයෙන්ම සෘණ නොවන) [ ඒ; බී]:
1) කොටස බෙදන්න [a; b] n සමාන කොටස් වලට;
2) එකතුව $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$ ගණනය කරන්න

මම දන්නවා ගණිතමය විශ්ලේෂණයමෙම සීමාව අඛණ්ඩ (හෝ කොටස් වශයෙන් අඛණ්ඩ) ශ්‍රිතයක පවතින බව ඔප්පු වේ. ඔහු කැඳවනු ලැබේ y = f(x) ශ්‍රිතයේ නිශ්චිත අනුකලනයක් [a; බී]සහ මෙසේ දක්වා ඇත:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
අංක a සහ b ඒකාබද්ධ කිරීමේ සීමාවන් ලෙස හැඳින්වේ (පිළිවෙලින් පහළ සහ ඉහළ).

ඉහත සාකච්ඡා කළ කාර්යයන් වෙත ආපසු යමු. ගැටලුව 1 හි දක්වා ඇති ප්රදේශයේ නිර්වචනය දැන් පහත පරිදි නැවත ලිවිය හැක:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
මෙහි S යනු ඉහත රූපයේ දැක්වෙන curvilinear trapezoid ප්‍රදේශයයි. මේ මොකක්ද නිශ්චිත අනුකලනයේ ජ්යාමිතික අර්ථය.

ගැටලුව 2 හි දක්වා ඇති t = a සිට t = b දක්වා කාල පරතරය තුළ v = v(t) වේගයකින් සරල රේඛාවක චලනය වන ලක්ෂ්‍යයක විස්ථාපන s හි නිර්වචනය පහත පරිදි නැවත ලිවිය හැකිය:

නිව්ටන් - ලයිබ්නිස් සූත්‍රය

ආරම්භ කිරීම සඳහා, අපි ප්‍රශ්නයට පිළිතුරු දෙමු: නිශ්චිත අනුකලනයක් සහ ප්‍රතිව්‍යුත්පන්නයක් අතර සම්බන්ධය කුමක්ද?

ගැටලුව 2 හි පිළිතුර සොයාගත හැකිය. එක් අතකින්, t = a සිට t = b දක්වා කාල පරතරයක් පුරා v = v(t) වේගයක් සහිත සරල රේඛාවක් ඔස්සේ ගමන් කරන ලක්ෂ්‍යයක විස්ථාපනය s සහ ගණනය කරනු ලබන්නේ සූත්රය
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)

අනෙක් අතට, චලනය වන ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංකය වේගය සඳහා ප්‍රතිව්‍යුත්පන්න වේ - අපි එය s(t); එබැවින් s විස්ථාපනය s = s (b) - s (a) සූත්‍රයෙන් ප්‍රකාශ වේ. ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, අපට ලැබෙන්නේ:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
මෙහි s(t) යනු v(t) සඳහා ප්‍රතිව්‍යුත්පන්න වේ.

ගණිතමය විශ්ලේෂණයේ දී පහත ප්‍රමේයය ඔප්පු විය.
ප්රමේයය. y = f(x) ශ්‍රිතය [a] කොටසෙහි අඛණ්ඩව පවතී නම්; b], පසුව සූත්රය
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
මෙහි F(x) යනු f(x) සඳහා ප්‍රතිව්‍යුත්පන්න වේ.

මෙම සූත්රය සාමාන්යයෙන් හැඳින්වේ නිව්ටන්-ලයිබ්නිස් සූත්‍රයඉංග්‍රීසි භෞතික විද්‍යාඥ අයිසැක් නිව්ටන් (1643-1727) සහ ජර්මානු දාර්ශනික Gottfried Leibniz (1646-1716) ට ගෞරවයක් වශයෙන් එය එකිනෙකින් ස්වාධීනව සහ එකවරම පාහේ ලබා ගත්හ.

ප්රායෝගිකව, F(b) - F(a) ලිවීම වෙනුවට, ඔවුන් \(\වම. F(x)\right|_a^b \) (එය සමහර විට හැඳින්වේ) භාවිතා කරයි. ද්විත්ව ආදේශනය) සහ, ඒ අනුව, නිව්ටන්-ලයිබ්නිස් සූත්‍රය මෙම ආකෘතියෙන් නැවත ලියන්න:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \වම. F(x)\right|_a^b \)

ගණනය කිරීම නිශ්චිත අනුකලනය, පළමුව ප්‍රතිව්‍යුත්පන්න සොයා ගන්න, ඉන්පසු ද්විත්ව ආදේශනයක් සිදු කරන්න.

Newton-Leibniz සූත්‍රය මත පදනම්ව, කෙනෙකුට නිශ්චිත අනුකලයක ගුණ දෙකක් ලබා ගත හැක.

දේපල 1.ශ්‍රිතවල එකතුවේ අනුකලනය එකතුවට සමාන වේඅනුකලනය:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)

දේපල 2.නියත සාධකය අනුකලිත ලකුණෙන් ඉවත් කළ හැකිය:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)

නිශ්චිත අනුකලනයක් භාවිතා කරමින් තල රූපවල ප්‍රදේශ ගණනය කිරීම

අනුකලනය භාවිතා කරමින්, ඔබට වක්‍ර රේඛීය ට්‍රැපෙසොයිඩ් වල ප්‍රදේශය පමණක් නොව, පැතලි රූප ද ගණනය කළ හැකිය. සංකීර්ණ වර්ගය, රූපයේ දැක්වෙන ආකාරයට. P රූපය සරල රේඛා x = a, x = b සහ අඛණ්ඩ ශ්‍රිතවල ප්‍රස්ථාර y = f(x), y = g(x), සහ කොටසේ [a; b] අසමානතාවය \(g(x) \leq f(x) \) රඳවා ගනී. එවැනි රූපයක S ප්රදේශය ගණනය කිරීම සඳහා, අපි පහත පරිදි ක්රියා කරමු:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

එබැවින්, x = a, x = b යන සරල රේඛා වලින් සීමා වූ රූපයේ S ප්‍රදේශය සහ y = f(x), y = g(x) ශ්‍රිතවල ප්‍රස්ථාර, ඛණ්ඩය මත අඛණ්ඩව සහ ඕනෑම x සඳහා කොටස [a; b] අසමානතාවය \(g(x) \leq f(x) \) තෘප්තිමත් වේ, සූත්‍රය මගින් ගණනය කෙරේ
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

සමහර ශ්‍රිතවල අවිනිශ්චිත අනුකල (ප්‍රතිව්‍යුත්පන්න) වගුව

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch )x+C $$

කාර්ය අංක 3. චිත්රයක් සාදා රූපයේ ප්රදේශය ගණනය කරන්න, රේඛාවලින් බැඳී ඇත

ව්යවහාරික ගැටළු විසඳීම සඳහා අනුකලනය යෙදීම

ප්රදේශය ගණනය කිරීම

අඛණ්ඩ සෘණ නොවන ශ්‍රිතයක නිශ්චිත අනුකලනය f(x) සංඛ්‍යාත්මකව සමාන වේ y \u003d f (x), O x අක්ෂය සහ සරල රේඛා x \u003d a සහ x \u003d b වක්‍රයෙන් මායිම් කරන ලද curvilinear trapezoid ප්රදේශය. ඒ අනුව ප්‍රදේශ සූත්‍රය මෙසේ ලියා ඇත.

තල රූපවල ප්‍රදේශ ගණනය කිරීමේ උදාහරණ කිහිපයක් සලකා බලන්න.

කාර්ය අංක 1. y \u003d x 2 +1, y \u003d 0, x \u003d 0, x \u003d 2 රේඛාවලින් සීමා වූ ප්රදේශය ගණනය කරන්න.

විසඳුමක්.අපි රූපයක් ගොඩනඟමු, එහි ප්රදේශය ගණනය කිරීමට සිදුවනු ඇත.

y \u003d x 2 + 1 යනු පරාවලයක් වන අතර එහි අතු ඉහළට යොමු කර ඇති අතර පැරබෝලා O y අක්ෂයට සාපේක්ෂව එක් ඒකකයකින් ඉහළට මාරු කරනු ලැබේ (රූපය 1).

රූපය 1. ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්තාරය y = x 2 + 1

කාර්ය අංකය 2. 0 සිට 1 දක්වා පරාසයක y \u003d x 2 - 1, y \u003d 0 රේඛාවලින් සීමා වූ ප්‍රදේශය ගණනය කරන්න.

විසඳුමක්.මෙම ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරය ශාඛාවේ පරාවලය වන අතර එය ඉහළට යොමු කර ඇති අතර පැරබෝලා O y අක්ෂයට සාපේක්ෂව එක් ඒකකයකින් පහළට මාරු කරනු ලැබේ (රූපය 2).

රූපය 2. ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්තාරය y \u003d x 2 - 1

කාර්ය අංක 3. චිත්‍රයක් සාදා රේඛා වලින් මායිම් කර ඇති රූපයේ ප්‍රදේශය ගණනය කරන්න

y = 8 + 2x - x 2 සහ y = 2x - 4.

විසඳුමක්. x 2 හි සංගුණකය සෘණ වන අතර දෙවන පේළිය ඛණ්ඩාංක අක්ෂ දෙකම හරස් කරන සරල රේඛාවක් වන බැවින් මෙම පේළි දෙකෙන් පළමුවැන්න අතු පහළට යොමු වන පරාවලයකි.

පරාවලයක් තැනීම සඳහා, එහි ශීර්ෂයේ ඛණ්ඩාංක සොයා ගනිමු: y'=2 – 2x; 2 - 2x = 0, x = 1 - vertex abscissa; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 යනු එහි නියමයයි, N(1;9) එහි ශීර්ෂයයි.

දැන් අපි සමීකරණ පද්ධතිය විසඳීමෙන් පරාවල සහ රේඛාවේ ඡේදනය වීමේ ස්ථාන සොයා ගනිමු:

වම් පැති සමාන වන සමීකරණයක දකුණු පැති සමාන කිරීම.

අපට 8 + 2x - x 2 \u003d 2x - 4 හෝ x 2 - 12 \u003d 0 ලැබෙන්නේ කොහෙන්ද .

එබැවින්, ලක්ෂ්ය යනු පරාවලය සහ සරල රේඛාවේ ඡේදනය වන ලක්ෂ්ය (රූපය 1).

රූප සටහන 3 ශ්‍රිතවල ප්‍රස්ථාර y = 8 + 2x – x 2 සහ y = 2x – 4

අපි සරල රේඛාවක් ගොඩනඟමු y = 2x - 4. එය ඛණ්ඩාංක අක්ෂයන්හි ලක්ෂ්ය (0;-4), (2; 0) හරහා ගමන් කරයි.

පැරබෝලාවක් තැනීම සඳහා, ඔබට 0x අක්ෂය සමඟ එහි ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍ය තිබිය හැකිය, එනම් 8 + 2x - x 2 = 0 හෝ x 2 - 2x - 8 = 0 සමීකරණයේ මූලයන් වියටා ප්‍රමේයය මගින් එය වේ. එහි මූලයන් සොයා ගැනීම පහසුය: x 1 = 2, x 2 = හතර.

රූප සටහන 3 හි දැක්වෙන්නේ මෙම රේඛාවලින් මායිම් කර ඇති රූපයක් (පරාබෝල කොටස M 1 N M 2) ය.

ගැටලුවේ දෙවන කොටස වන්නේ මෙම රූපයේ ප්රදේශය සොයා ගැනීමයි. එහි ප්රදේශය සූත්රය භාවිතයෙන් නිශ්චිත අනුකලනයක් භාවිතයෙන් සොයාගත හැකිය .

වෙත අයදුම් කර ඇත මෙම කොන්දේසිය, අපට අනුකලනය ලැබේ:

2 විප්ලවයේ සිරුරේ පරිමාව ගණනය කිරීම

O x අක්ෂය වටා y \u003d f (x) වක්‍රයේ භ්‍රමණයෙන් ලබාගත් ශරීරයේ පරිමාව සූත්‍රය මගින් ගණනය කෙරේ:

O y අක්ෂය වටා භ්‍රමණය වන විට, සූත්‍රය පෙනෙන්නේ:

කාර්ය අංක 4. O x අක්ෂය වටා සරල රේඛා x \u003d 0 x \u003d 3 සහ වක්‍රය y \u003d මගින් සීමා කරන ලද curvilinear trapezoid භ්‍රමණයෙන් ලබාගත් ශරීරයේ පරිමාව තීරණය කරන්න.

විසඳුමක්.අපි චිත්රයක් ගොඩනඟමු (රූපය 4).

රූපය 4. ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්තාරය y =

අපේක්ෂිත පරිමාව සමාන වේ

කාර්ය අංක 5. O y අක්ෂය වටා y = x 2 සහ සරල රේඛා y = 0 සහ y = 4 මගින් සීමා කරන ලද curvilinear trapezoid භ්රමණයෙන් ලබාගත් ශරීරයේ පරිමාව ගණනය කරන්න.

විසඳුමක්.අපිට තියනවා:

ප්‍රශ්න සමාලෝචනය කරන්න

ඇත්ත වශයෙන්ම, රූපයක ප්රදේශය සොයා ගැනීම සඳහා, ඔබට අවිනිශ්චිත හා නිශ්චිත අනුකලනය පිළිබඳ එතරම් දැනුමක් අවශ්ය නොවේ. කර්තව්යය "නිශ්චිත අනුකලනයක් භාවිතා කරමින් ප්රදේශය ගණනය කිරීම" සෑම විටම චිත්රයක් තැනීම ඇතුළත් වේ, එබැවින් ඔබේ දැනුම සහ චිත්‍ර ඇඳීමේ කුසලතා වඩාත් අදාළ ගැටලුවක් වනු ඇත. මේ සම්බන්ධයෙන්, ප්‍රධාන මූලික ශ්‍රිතවල ප්‍රස්ථාරවල මතකය නැවුම් කිරීම ප්‍රයෝජනවත් වන අතර, අවම වශයෙන්, සරල රේඛාවක් සහ හයිපර්බෝලාවක් ගොඩනගා ගැනීමට හැකි වේ.

Curvilinear trapezoid යනු මෙම අන්තරයේ ලකුණ වෙනස් නොවන කොටසක අක්ෂයක්, සරල රේඛා සහ අඛණ්ඩ ශ්‍රිතයක ප්‍රස්ථාරයකින් සීමා වූ පැතලි රූපයකි. ඉඩ ලබා දී ඇති රූපයපිහිටා ඇත අඩු නොවේ abscissa:

ඉන්පසු Curvilinear trapezoid ප්‍රදේශය සංඛ්‍යාත්මකව යම් අනුකලනයකට සමාන වේ. ඕනෑම නිශ්චිත අනුකලනයකට (පවතින) ඉතා හොඳ ජ්‍යාමිතික අර්ථයක් ඇත.

ජ්‍යාමිතිය අනුව, නිශ්චිත අනුකලනය AREA වේ.

එනම්,නිශ්චිත අනුකලනය (එය පවතී නම්) යම් රූපයක ප්රදේශයට ජ්යාමිතිකව අනුරූප වේ. උදාහරණයක් ලෙස, නිශ්චිත අනුකලනය සලකා බලන්න. අනුකලනය අක්ෂයට ඉහලින් පිහිටා ඇති තලයේ වක්‍රයක් නිර්වචනය කරයි (කැමති අයට චිත්‍රය සම්පූර්ණ කළ හැක), සහ නිශ්චිත අනුකලනය සංඛ්‍යාත්මක වේ. ප්රදේශයට සමාන වේඅනුරූප curvilinear trapezoid.

උදාහරණ 1

මෙය සාමාන්‍ය කාර්ය ප්‍රකාශයකි. පළමුව සහ තීරණාත්මක කරුණවිසඳුම් - චිත්රයක් ගොඩනැගීම. එපමණක්ද නොව, චිත්රය ගොඩනගා ගත යුතුය හරි.

සැලැස්මක් තැනීමේදී, මම පහත අනුපිළිවෙල නිර්දේශ කරමි: පළමුවනසියලුම රේඛා (ඇත්නම්) සහ පමණක් ඉදිකිරීම වඩා හොඳය පසුව- parabolas, hyperbolas, අනෙකුත් ශ්රිතවල ප්රස්ථාර. ක්‍රියාකාරී ප්‍රස්ථාර ගොඩනැගීමට වඩා ලාභදායී වේ ලක්ෂ්යමය.

මෙම ගැටළුව තුළ, විසඳුම මේ ආකාරයෙන් පෙනෙනු ඇත.
අපි චිත්‍රයක් සාදන්නෙමු (සමීකරණය අක්ෂය නිර්වචනය කරන බව සලකන්න):

කොටසෙහි, ශ්රිතයේ ප්රස්ථාරය පිහිටා ඇත අක්ෂය හරහා, ඒක තමයි:

පිළිතුර:

කාර්යය අවසන් වූ පසු, ඇඳීම දෙස බැලීම සහ පිළිතුර සැබෑ දැයි සොයා බැලීම සැමවිටම ප්රයෝජනවත් වේ. හිදී මෙම නඩුව“ඇසෙන්” අපි චිත්‍රයේ ඇති සෛල ගණන ගණන් කරමු - හොඳයි, 9 ක් පමණ ටයිප් කරනු ඇත, එය සත්‍ය බව පෙනේ. අපට පිළිතුර තිබුණේ නම්, කියන්න: 20 බව පැහැදිලිය වර්ග ඒකක, පැහැදිලිවම, කොතැනක හෝ වැරැද්දක් සිදුවී ඇත - සෛල 20 ක් පැහැදිලිවම අදාළ රූපයට නොගැලපේ, උපරිම වශයෙන් දුසිමක්. පිළිතුර ඍණාත්මක බවට පත් වූවා නම්, එම කාර්යය ද වැරදි ලෙස විසඳා ඇත.

උදාහරණය 3

රේඛා සහ සම්බන්ධීකරණ අක්ෂ වලින් මායිම් කර ඇති රූපයේ ප්රදේශය ගණනය කරන්න.

විසඳුමක්: අපි චිත්රයක් කරමු:

Curvilinear trapezoid පිහිටා තිබේ නම් අක්ෂය යටතේ(හෝ අවම වශයෙන් උසස් නොවේඅක්ෂය ලබා දී ඇත), එවිට එහි ප්රදේශය සූත්රය මගින් සොයාගත හැකිය:

මේ අවස්ථාවේ දී:

අවධානය! කාර්යයන් වර්ග දෙක පටලවා නොගන්න:

1) ජ්‍යාමිතික අර්ථයකින් තොරව නිශ්චිත අනුකලනයක් පමණක් විසඳන ලෙස ඔබෙන් ඉල්ලා සිටින්නේ නම්, එය සෘණාත්මක විය හැක.

2) නිශ්චිත අනුකලනයක් භාවිතා කරමින් රූපයක ප්‍රදේශය සොයා ගැනීමට ඔබෙන් ඉල්ලා සිටින්නේ නම්, එම ප්‍රදේශය සැමවිටම ධනාත්මක වේ! දැන් සලකා බැලූ සූත්‍රයේ අඩුව පෙනෙන්නේ එබැවිනි.

ප්රායෝගිකව, බොහෝ විට රූපය ඉහළ සහ පහළ අර්ධ තල දෙකෙහිම පිහිටා ඇති අතර, එම නිසා, සරලම පාසල් ගැටළු වලින්, අපි වඩාත් අර්ථවත් උදාහරණ වෙත ගමන් කරමු.

උදාහරණය 4

රේඛා වලින් සීමා වූ පැතලි රූපයක ප්රදේශය සොයා ගන්න.

විසඳුමක්: පළමුව ඔබ චිත්රය සම්පූර්ණ කළ යුතුය. පොදුවේ ගත් කල, ප්‍රදේශයේ ගැටළු වල චිත්‍රයක් තැනීමේදී, අපි වඩාත් උනන්දු වන්නේ රේඛා ඡේදනය වන ස්ථාන කෙරෙහි ය. පැරබෝලා සහ රේඛාවේ ඡේදනය වන ස්ථාන සොයා ගනිමු. මෙය ආකාර දෙකකින් කළ හැකිය. පළමු මාර්ගය විශ්ලේෂණාත්මක ය. අපි සමීකරණය විසඳන්නෙමු:

එබැවින්, ඒකාබද්ධයේ පහළ සීමාව, ඒකාබද්ධයේ ඉහළ සීමාව.

හැකි නම්, මෙම ක්රමය භාවිතා නොකිරීම වඩා හොඳය..

රේඛා ලක්ෂ්‍යයෙන් තැනීම වඩා ලාභදායී සහ වේගවත් වන අතර, ඒකාබද්ධ කිරීමේ සීමාවන් "තමන් විසින්ම" ලෙස සොයා ගනු ලැබේ. කෙසේ වෙතත්, සීමාවන් සොයා ගැනීමේ විශ්ලේෂණාත්මක ක්‍රමය සමහර විට භාවිතා කළ යුතුය, උදාහරණයක් ලෙස, ප්‍රස්ථාරය ප්‍රමාණවත් තරම් විශාල නම්, හෝ නූල් ඉදි කිරීම් ඒකාබද්ධ කිරීමේ සීමාවන් හෙළි නොකළේ නම් (ඒවා භාගික හෝ අතාර්කික විය හැකිය). තවද අපි එවැනි උදාහරණයක් සලකා බලමු.

අපි අපගේ කාර්යයට ආපසු යමු: පළමුව සරල රේඛාවක් තැනීම වඩාත් තාර්කික වන අතර පසුව පැරබෝලා පමණි. අපි චිත්රයක් සාදන්න:

සහ දැන් වැඩ සූත්රය : අන්තරය මත යම් අඛණ්ඩ කාර්යයක් තිබේ නම් වඩා විශාල හෝ සමානඇතැම් අඛණ්ඩ ක්රියාකාරිත්වය, එවිට මෙම ශ්‍රිතවල ප්‍රස්ථාර සහ සරල රේඛා වලින් මායිම් කරන ලද රූපයේ ප්‍රදේශය සූත්‍රයෙන් සොයාගත හැකිය:

මෙහිදී රූපය පිහිටා ඇත්තේ කොතැනදැයි සිතීම තවදුරටත් අවශ්‍ය නොවේ - අක්ෂයට ඉහළින් හෝ අක්ෂයට පහළින්, සහ දළ වශයෙන් කිවහොත්, ඉහත කුමන ප්‍රස්ථාරයද යන්න වැදගත් වේ(වෙනත් ප්‍රස්ථාරයකට සාපේක්ෂව) සහ පහත දැක්වෙන්නේ කුමන එකක්ද යන්න.

සලකා බලනු ලබන උදාහරණයේ දී, ඛණ්ඩයේ පැරබෝලා සරල රේඛාවට ඉහළින් පිහිටා ඇති බව පැහැදිලිය, එබැවින් එය අඩු කිරීම අවශ්ය වේ.

විසඳුම සම්පූර්ණ කිරීම මේ වගේ විය හැකිය:

අපේක්ෂිත රූපය ඉහළින් පරාවලයකින් සහ පහළින් සරල රේඛාවකින් සීමා වේ.
කොටස මත, අනුරූප සූත්රය අනුව:

පිළිතුර:

උදාහරණය 4

රේඛාවලින් මායිම් කරන ලද රූපයේ ප්රදේශය ගණනය කරන්න, , , .

විසඳුමක්: අපි මුලින්ම චිත්‍රයක් හදමු:

අප සොයා ගත යුතු ප්‍රදේශය නිල් පැහැයෙන් වර්ණාලේප කර ඇත.(තත්වය දෙස හොඳින් බලන්න - රූපය සීමිත වන්නේ කෙසේද!). නමුත් ප්‍රායෝගිකව, නොසැලකිලිමත්කම හේතුවෙන්, කොළ පැහැයෙන් සෙවන ලද රූපයේ ප්‍රදේශය සොයා ගැනීමට ඔබට අවශ්‍ය වන “ගැටළුවක්” බොහෝ විට සිදු වේ!

මෙම උදාහරණය ද ප්‍රයෝජනවත් වන්නේ එහි රූපයේ ප්‍රදේශය නිශ්චිත අනුකලන දෙකක් භාවිතා කර ගණනය කර ඇති බැවිනි.

ඇත්තටම:

1) අක්ෂයට ඉහලින් ඇති කොටසෙහි සරල රේඛා ප්රස්ථාරයක් ඇත;

2) අක්ෂයට ඉහලින් ඇති කොටසෙහි හයිපර්බෝලා ප්‍රස්ථාරයක් ඇත.

ප්‍රදේශ එකතු කළ හැකි (සහ කළ යුතු) බව ඉතා පැහැදිලිය, එබැවින්:

මෙම ලිපියෙන්, අනුකලිත ගණනය කිරීම් භාවිතයෙන් රේඛාවලින් මායිම් කරන ලද රූපයක ප්රදේශය සොයා ගන්නේ කෙසේදැයි ඔබ ඉගෙන ගනු ඇත. ප්‍රථම වතාවට, උසස් පාසලේදී එවැනි ගැටලුවක් සැකසීමට අපට මුණගැසෙන්නේ, ඇතැම් අනුකලනය පිළිබඳ අධ්‍යයනය මේ වන විට අවසන් වී ඇති අතර ප්‍රායෝගිකව ලබාගත් දැනුමේ ජ්‍යාමිතික අර්ථ නිරූපණය ආරම්භ කිරීමට කාලය පැමිණ ඇති විටය.

එබැවින්, අනුකලනය භාවිතයෙන් රූපයක ප්රදේශය සොයා ගැනීමේ ගැටළුව සාර්ථකව විසඳීමට අවශ්ය වන්නේ කුමක්ද:

• චිත්ර නිවැරදිව ඇඳීමේ හැකියාව;
• භාවිතා කරමින් නිශ්චිත අනුකලනයක් විසඳීමේ හැකියාව දන්නා සූත්රයනිව්ටන්-ලයිබ්නිස්;
• වඩා ලාභදායී විසඳුමක් "දැකීමේ" හැකියාව - i.e. මෙම හෝ එම අවස්ථාවේ දී ඒකාබද්ධ කිරීම සිදු කිරීම වඩාත් පහසු වන්නේ කෙසේදැයි තේරුම් ගැනීමට? x-අක්ෂය (OX) හෝ y-අක්ෂය (OY) දිගේ?
• හොඳයි, නිවැරදි ගණනය කිරීම් නොමැතිව කොහෙද?) වෙනත් ආකාරයේ අනුකලනය සහ නිවැරදි සංඛ්‍යාත්මක ගණනය කිරීම් විසඳන ආකාරය අවබෝධ කර ගැනීම මෙයට ඇතුළත් වේ.

රේඛාවලින් මායිම් කරන ලද රූපයක ප්රදේශය ගණනය කිරීමේ ගැටළුව විසඳීම සඳහා ඇල්ගොරිතම:

1. අපි චිත්රයක් ගොඩනඟමු. මෙය විශාල පරිමාණයෙන් කූඩුවක කඩදාසි කැබැල්ලක් මත සිදු කිරීම යෝග්ය වේ. අපි මෙම ශ්‍රිතයේ නම එක් එක් ප්‍රස්ථාරයට ඉහළින් පැන්සලකින් අත්සන් කරමු. ප්‍රස්ථාරවල අත්සන තවදුරටත් ගණනය කිරීමේ පහසුව සඳහා පමණක් සිදු කෙරේ. අපේක්ෂිත රූපයේ ප්‍රස්ථාරය ලැබීමෙන් පසු, බොහෝ අවස්ථාවන්හිදී කුමන ඒකාබද්ධතා සීමාවන් භාවිතා කරන්නේද යන්න වහාම පැහැදිලි වේ. මේ අනුව අපි ගැටලුව විසඳන්නෙමු ග්රැෆික් ක්රමය. කෙසේ වෙතත්, සීමාවන්ගේ අගයන් භාගික හෝ අතාර්කික බව සිදු වේ. එමනිසා, ඔබට අතිරේක ගණනය කිරීම් කළ හැකිය, දෙවන පියවර වෙත යන්න.

2. අනුකලනය කිරීමේ සීමාවන් පැහැදිලිව සකසා නොමැති නම්, අපි ප්‍රස්ථාරවල ඡේදනය වන ලක්ෂ්‍ය එකිනෙක සොයාගෙන, අපගේ චිත්‍රක විසඳුම විශ්ලේෂණාත්මක එකට ගැලපෙන්නේ දැයි බලන්න.

3. ඊළඟට, ඔබ චිත්රය විශ්ලේෂණය කළ යුතුය. ශ්රිතවල ප්රස්තාර පිහිටා ඇති ආකාරය මත පදනම්ව, රූපයේ ප්රදේශය සොයා ගැනීමට විවිධ ප්රවේශයන් ඇත. සලකා බලන්න විවිධ උදාහරණඅනුකලනය භාවිතයෙන් රූපයක ප්රදේශය සොයා ගැනීමට.

3.1. ගැටලුවේ වඩාත්ම සම්භාව්‍ය හා සරලම අනුවාදය වන්නේ ඔබට curvilinear trapezoid ප්රදේශය සොයා ගැනීමට අවශ්ය විටය. Curvilinear trapezoid යනු කුමක්ද? මෙය x-අක්ෂයෙන් සීමා වූ පැතලි රූපයකි (y=0), කෙලින්ම x = a, x = bසහ සිට පරතරය මත ඕනෑම වක්රයක් අඛණ්ඩව ඒකලින් බී. ඒ අතරම, මෙම අගය ඍණාත්මක නොවන අතර x-අක්ෂයට වඩා පහත් නොවේ. මෙම අවස්ථාවේ දී, curvilinear trapezoid ප්රදේශය නිව්ටන්-ලයිබ්නිස් සූත්රය භාවිතයෙන් ගණනය කරන ලද නිශ්චිත අනුකලනයට සංඛ්යාත්මකව සමාන වේ:

උදාහරණ 1 y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

රූපය නිර්වචනය කරන රේඛා මොනවාද? අපිට පැරබෝලා තියෙනවා y = x2 - 3x + 3, අක්ෂයට ඉහලින් පිහිටා ඇත ඔහ්, එය ඍණාත්මක නොවන නිසා මෙම පැරබෝලාවේ සියලුම කරුණු ඇත ධනාත්මක අගයන්. ඊළඟට, සරල රේඛා ලබා දී ඇත x = 1හා x = 3අක්ෂයට සමාන්තරව දිවෙන බව OU, වම් සහ දකුණු පස ඇති රූපයේ මායිම් රේඛා වේ. හොඳින් y = 0, ඇය x-අක්ෂය වන අතර එය රූපය පහතින් සීමා කරයි. වම් පැත්තේ රූපයේ පෙනෙන පරිදි ප්රතිඵලය රූපය සෙවනැලි වේ. මෙම අවස්ථාවේදී, ඔබට වහාම ගැටළුව විසඳීමට පටන් ගත හැකිය. අපට පෙර Curvilinear trapezoid සඳහා සරල උදාහරණයක් වන අතර, පසුව අපි Newton-Leibniz සූත්‍රය භාවිතයෙන් විසඳන්නෙමු.

3.2. පෙර ඡේදයේ 3.1, Curvilinear trapezoid x-අක්ෂයට ඉහළින් පිහිටා ඇති විට නඩුව විශ්ලේෂණය කරන ලදී. කාර්යය x-අක්ෂය යටතේ පවතිනවා හැර, ගැටලුවේ කොන්දේසි සමාන වන විට දැන් සලකා බලන්න. සම්මත Newton-Leibniz සූත්‍රයට අඩුවක් එකතු වේ. එවැනි ගැටළුවක් විසඳන්නේ කෙසේද, අපි තවදුරටත් සලකා බලමු.

උදාහරණ 2 . රේඛාවලින් මායිම් කරන ලද රූපයක ප්රදේශය ගණනය කරන්න y=x2+6x+2, x=-4, x=-1, y=0.

හිදී මෙම උදාහරණයඅපිට parabola එකක් තියෙනවා y=x2+6x+2, අක්ෂය යටතේ ආරම්භ වන ඔහ්, කෙලින්ම x=-4, x=-1, y=0. මෙතන y = 0ඉහත සිට අපේක්ෂිත රූපය සීමා කරයි. සෘජු x = -4හා x = -1නිශ්චිත අනුකලනය ගණනය කරනු ලබන සීමාවන් මේවාය. රූපයේ ප්‍රදේශය සොයා ගැනීමේ ගැටළුව විසඳීමේ මූලධර්මය උදාහරණ අංක 1 සමඟ සම්පූර්ණයෙන්ම පාහේ සමපාත වේ. එකම වෙනස වන්නේ එයයි ලබා දී ඇති කාර්යයධනාත්මක නොවන අතර, සෑම දෙයක්ම පරතරය මත අඛණ්ඩව පවතී [-4; -1] . ධනාත්මක යන්නෙන් අදහස් නොකරන්නේ කුමක්ද? රූපයෙන් පෙනෙන පරිදි, දී ඇති x තුළ ඇති රූපයට තනිකරම "සෘණ" ඛණ්ඩාංක ඇත, ගැටලුව විසඳීමේදී අප දැකීමට සහ මතක තබා ගත යුතු දේ. අපි නිව්ටන්-ලයිබ්නිස් සූත්‍රය භාවිතා කරමින් රූපයේ ප්‍රදේශය සොයන්නේ ආරම්භයේ අඩු ලකුණක් සමඟ පමණි.

ලිපිය සම්පූර්ණ කර නැත.