රේඛාවලින් සීමා වූ රූපයක පරිමාව සොයන්න. විප්ලවයේ සිරුරේ පරිමාව
පැතලි රූපයඅක්ෂය වටා
උදාහරණය 3
රේඛා වලින් සීමා වූ පැතලි රූපයක් ලබා දී ඇත , .
1) මෙම රේඛා වලින් සීමා වූ පැතලි රූපයක ප්රදේශය සොයා ගන්න.
2) අක්ෂය වටා මෙම රේඛාවලින් මායිම් කර ඇති පැතලි රූපයක් කරකැවීමෙන් ලබාගත් ශරීරයේ පරිමාව සොයා ගන්න.
අවධානය!ඔබට දෙවන ඡේදය පමණක් කියවීමට අවශ්ය වුවද, පළමුව අවශ්යයෙන්මපළමු එක කියවන්න!
විසඳුමක්: කාර්යය කොටස් දෙකකින් සමන්විත වේ. අපි චතුරස්රයෙන් පටන් ගනිමු.
1) අපි චිත්රය ක්‍රියාත්මක කරමු:
ශ්‍රිතය මගින් පරාවලයේ ඉහළ ශාඛාව නිර්වචනය කරන බවත්, ශ්‍රිතය පරාවලයේ පහළ ශාඛාව නිර්වචනය කරන බවත් දැකීම පහසුය. අප ඉදිරියේ ඇත්තේ "එහි පැත්තේ වැතිර සිටින" සුළු පැරබෝලා ය.
අපේක්ෂිත රූපය, සොයා ගත යුතු ප්රදේශය නිල් පැහැයෙන් වර්ණාලේප කර ඇත.
රූපයක ප්රදේශය සොයා ගන්නේ කෙසේද? එය "සාමාන්ය" ආකාරයෙන් සොයාගත හැකිය. එපමණක් නොව, රූපයේ ප්රදේශය ප්‍රදේශ වල එකතුව ලෙස දක්නට ලැබේ:
- කොටස මත 
;
- කොටස මත.
ඒක තමයි:
වඩා තාර්කික විසඳුමක් තිබේ: එය සංක්රමණයෙන් සමන්විත වේ ප්රතිලෝම ශ්රිතසහ අක්ෂය ඔස්සේ ඒකාබද්ධ කිරීම.
ප්රතිලෝම ශ්‍රිත වෙත ගමන් කරන්නේ කෙසේද? දළ වශයෙන් කිවහොත්, ඔබ "y" හරහා "x" ප්රකාශ කළ යුතුය. පළමුව, අපි පැරබෝලා සමඟ කටයුතු කරමු:
මෙය ප්‍රමාණවත් වේ, නමුත් එම ශ්‍රිතයම පහළ ශාඛාවෙන් ව්‍යුත්පන්න කළ හැකි බවට වග බලා ගනිමු:
සරල රේඛාවක් සමඟ, සියල්ල පහසු ය:
දැන් අක්ෂය දෙස බලන්න: කරුණාකර ඔබ පැහැදිලි කරන පරිදි වරින් වර ඔබේ හිස අංශක 90 ක් දකුණට ඇල කරන්න (මෙය විහිළුවක් නොවේ!). අපට අවශ්ය රූපය රතු තිත් රේඛාවෙන් දැක්වෙන කොටසේ පිහිටා ඇත. තවද, කොටසෙහි, සරල රේඛාව පරාවලයට ඉහළින් පිහිටා ඇත, එයින් අදහස් කරන්නේ ඔබට දැනටමත් හුරුපුරුදු සූත්රය භාවිතා කර රූපයේ ප්රදේශය සොයාගත යුතු බවයි: 
. සූත්‍රයේ වෙනස් වී ඇත්තේ කුමක්ද? ලිපියක් පමණි, ඊට වඩා දෙයක් නැත.
! සටහන : අක්ෂ ඒකාබද්ධතා සීමාවන් සකස් කළ යුතුයතදින් පහළ සිට ඉහළට !
ප්රදේශය සොයා ගැනීම:
කොටස මත, එබැවින්:
මම ඒකාබද්ධ කිරීම සිදු කළ ආකාරය ගැන අවධානය යොමු කරන්න, මෙය වඩාත්ම තාර්කික මාර්ගය වන අතර, පැවරුමේ ඊළඟ ඡේදයේ එය පැහැදිලි වනු ඇත.
ඒකාබද්ධයේ නිවැරදි බව සැක කරන පාඨකයන් සඳහා, මම ව්‍යුත්පන්නයන් සොයා ගන්නෙමි:
මුල් අනුකලනය ලබා ගනී, එයින් අදහස් වන්නේ ඒකාබද්ධ කිරීම නිවැරදිව සිදු කරන බවයි.
පිළිතුර:
2) අක්ෂය වටා මෙම රූපයේ භ්රමණයෙන් සාදන ලද සිරුරේ පරිමාව ගණනය කරන්න.
මම චිත්රය තරමක් වෙනස් මෝස්තරයකින් නැවත අඳින්නෙමි:
ඉතින්, නිල් පැහැයෙන් සෙවන ලද රූපය අක්ෂය වටා භ්රමණය වේ. එහි ප්රතිඵලය වන්නේ එහි අක්ෂය වටා භ්රමණය වන "සැළෙන සමනලයෙක්" ය.
විප්ලවයේ සිරුරේ පරිමාව සොයා ගැනීම සඳහා, අපි අක්ෂය ඔස්සේ අනුකලනය කරනු ඇත. මුලින්ම අපි ප්රතිලෝම ශ්‍රිත වෙත යා යුතුයි. මෙය දැනටමත් සිදු කර ඇති අතර පෙර ඡේදයේ විස්තරාත්මකව විස්තර කර ඇත.
දැන් අපි නැවතත් අපේ හිස දකුණට ඇල කර අපගේ රූපය අධ්යයනය කරමු. පැහැදිලිවම, විප්ලවයේ සිරුරේ පරිමාව පරිමාවන් අතර වෙනස ලෙස සොයාගත යුතුය.
අපි අක්ෂය වටා රතු පැහැයෙන් රවුම් කර ඇති රූපය භ්රමණය කරමු, එහි ප්රතිඵලයක් ලෙස කප්පාදු කරන ලද කේතුවක් ඇති වේ. අපි මෙම වෙළුම මගින් දක්වන්නෙමු.
රවුම් හැඩය කරකවන්න කොළ පාටින්, අක්ෂය වටා සහ ලබාගත් විප්ලවයේ පරිමාවෙන් දැක්වේ.
අපගේ සමනලයාගේ පරිමාව පරිමාවේ වෙනසට සමාන වේ.
විප්ලවයේ සිරුරේ පරිමාව සොයා ගැනීමට අපි සූත්රය භාවිතා කරමු: 
එය පෙර ඡේදයේ සූත්‍රයට වඩා වෙනස් වන්නේ කෙසේද? අකුරු වලින් විතරයි.
ඒවගේම මම ටික කාලෙකට කලින් කතා කරපු ඒකාග්‍රතාවයේ වාසිය මෙන්න, ඒක හොයාගන්න ලේසියි 
4 වන බලයට අනුකලනය මුලිකව ඉහල නැංවීමට වඩා.
පිළිතුර: 
එකම පැතලි රූපය අක්ෂය වටා භ්රමණය වන්නේ නම්, සම්පූර්ණයෙන්ම වෙනස් විප්ලවයක් වෙනස්, ස්වාභාවිකවම පරිමාවක් ඇති බව සලකන්න.
උදාහරණ 7
වක්‍රවලින් සීමා වූ රූපයේ අක්ෂය වටා භ්රමණය වීමෙන් සෑදෙන සිරුරේ පරිමාව ගණනය කරන්න.
විසඳුමක්: අපි චිත්රයක් කරමු:
අතරමගදී, අපි වෙනත් කාර්යයන්හි ප්‍රස්ථාර සමඟ දැන හඳුනා ගනිමු. මෙය එතරම් රසවත් වගුවකි. පවා කාර්යය ….
විප්ලවයේ සිරුරේ පරිමාව සොයා ගැනීම සඳහා, මම නිල් පැහැයෙන් සෙවන ලද රූපයේ දකුණු භාගය භාවිතා කිරීම ප්රමාණවත්ය. ශ්‍රිත දෙකම ඒකාකාර වේ, ඒවායේ ප්‍රස්ථාර අක්ෂයේ සමමිතික වන අතර අපගේ රූපය ද සමමිතික වේ. එබැවින් සෙවන ලද දකුණු කොටස, අක්ෂය වටා භ්රමණය , නිසැකව ම වම් unprimed කොටස සමග සමපාත වනු ඇත.
හැර නිශ්චිත අනුකලනයක් භාවිතා කරමින් පැතලි රූපයක ප්රදේශය සොයා ගැනීම (බලන්න 7.2.3.)තේමාවේ වැදගත්ම යෙදුම වේ විප්ලවයේ සිරුරේ පරිමාව ගණනය කිරීම. ද්රව්යය සරලයි, නමුත් පාඨකයා සූදානම් විය යුතුය: එය විසඳීමට හැකි වීම අවශ්ය වේ අවිනිශ්චිත අනුකලනයමධ්යම සංකීර්ණත්වය සහ නිව්ටන්-ලයිබ්නිස් සූත්රය යොදන්න නිශ්චිත අනුකලනය, nශක්තිමත් කෙටුම්පත් කුසලතා ද අවශ්ය වේ. පොදුවේ ගත් කල, අනුකලිත කලනයේ බොහෝ රසවත් යෙදුම් තිබේ; නිශ්චිත අනුකලනයක් භාවිතා කරමින්, ඔබට රූපයක වර්ගඵලය, විප්ලවයේ සිරුරේ පරිමාව, චාපයක දිග, මතුපිට වර්ගඵලය ගණනය කළ හැකිය. ශරීරය, සහ තවත් බොහෝ දේ. ඛණ්ඩාංක තලයේ පැතලි රූපයක් සිතන්න. නියෝජනය කළේ? ... දැන් මෙම රූපයඔබට ක්‍රම දෙකකින් කරකවන්න සහ කරකවන්නත් පුළුවන්:
- x අක්ෂය වටා ;
- y අක්ෂය වටා .
අපි අවස්ථා දෙකම බලමු. භ්රමණය කිරීමේ දෙවන ක්‍රමය විශේෂයෙන් සිත්ගන්නා සුළුය, එය විශාලතම දුෂ්කරතා ඇති කරයි, නමුත් ඇත්ත වශයෙන්ම විසඳුම x-අක්ෂය වටා වඩාත් පොදු භ්‍රමණයට සමාන වේ. වඩාත් ජනප්රිය ආකාරයේ භ්රමණයෙන් පටන් ගනිමු.
අක්ෂයක් වටා පැතලි රූපයක් භ්රමණය වීමෙන් සෑදෙන සිරුරේ පරිමාව ගණනය කිරීම OX
උදාහරණ 1
රූපය කරකැවීමෙන් ලබාගත් ශරීරයේ පරිමාව ගණනය කරන්න, රේඛාවලින් බැඳී ඇත, අක්ෂය වටා .
විසඳුමක්:ප්රදේශය සොයා ගැනීමේ ගැටලුවේ දී මෙන්, විසඳුම ආරම්භ වන්නේ පැතලි රූපයක් ඇඳීමෙනි. එනම් ගුවන් යානයේ ය XOYසමීකරණය අක්ෂය නිර්වචනය කරන බව අමතක නොකර, රේඛාවලින් මායිම් කරන ලද රූපයක් තැනීම අවශ්ය වේ. මෙහි ඇඳීම තරමක් සරල ය:
අපේක්ෂිත පැතලි රූපය නිල් පැහැයෙන් වර්ණාලේප කර ඇත, අක්ෂය වටා භ්රමණය වන්නේ ඇයයි. භ්රමණය වීමේ ප්රතිඵලයක් ලෙස, අක්ෂයේ තියුණු මුදුන් දෙකක් සහිත එවැනි තරමක් බිත්තර හැඩැති පියාඹන පීරිසියක් ලබා ගනී. OX, අක්ෂය ගැන සමමිතික OX. ඇත්ත වශයෙන්ම, ශරීරයට ගණිතමය නමක් ඇත, විමර්ශන පොතේ බලන්න.
විප්ලවයේ සිරුරේ පරිමාව ගණනය කරන්නේ කෙසේද? අක්ෂයක් වටා භ්රමණය වීමේ ප්රතිඵලයක් ලෙස ශරීරය සෑදී ඇත්නම්OX, එය මානසිකව කුඩා ඝණකම සමාන්තර ස්ථරවලට බෙදී ඇත dxඅක්ෂයට ලම්බක බව OX. මුළු සිරුරේම පරිමාව පැහැදිලිවම එවැනි මූලික ස්ථරවල පරිමාවේ එකතුවට සමාන වේ. ලෙමන් රවුම් පෙත්තක් වැනි සෑම ස්ථරයක්ම පහත් සිලින්ඩරයක් උසයි dxසහ පාදක අරය සමඟ f(x) එවිට එක් ස්ථරයක පරිමාව මූලික ප්රදේශය π හි ගුණිතය වේ f 2 සිට සිලින්ඩරයේ උස ( dx), හෝ π∙ f 2 (x)∙dx. සමස්ත විප්ලවයේ ප්රදේශය ප්‍රාථමික වෙළුම්වල එකතුව හෝ ඊට අනුරූප නිශ්චිත අනුකලනය වේ. විප්ලවයේ සිරුරේ පරිමාව සූත්රය මගින් ගණනය කළ හැක:
.
"a" සහ "be" ඒකාබද්ධ කිරීමේ සීමාවන් සකසන්නේ කෙසේද යන්න සම්පුර්ණ කරන ලද ඇඳීමෙන් අනුමාන කිරීම පහසුය. කාර්යය... මොකක්ද මේ කාර්යය? අපි චිත්රය දෙස බලමු. පැතලි රූපය ඉහළින් පරාවල ප්‍රස්ථාරයෙන් මායිම් කර ඇත. සූත්‍රයෙන් ගම්‍ය වන ශ්‍රිතය මෙයයි. ප්රායෝගික කාර්යයන් වලදී, පැතලි රූපයක් සමහර විට අක්ෂයට පහළින් පිහිටා ඇත OX. මෙය කිසිවක් වෙනස් නොකරයි - සූත්‍රයේ ශ්‍රිතය වර්ග කර ඇත: f 2 (x), මේ අනුව, විප්ලවයේ සිරුරේ පරිමාව සෑම විටම ඍණාත්මක නොවේ, එය තරමක් තාර්කික ය. භාවිතා කරමින් විප්ලවයේ සිරුරේ පරිමාව ගණනය කරන්න මෙම සූත්රය:
.
අප දැනටමත් සටහන් කර ඇති පරිදි, අනුකලනය සෑම විටම පාහේ සරල බව පෙනේ, ප්රධාන දෙය නම් පරෙස්සම් වීමයි.
පිළිතුර: 
පිළිතුරෙහි, මානය - ඝන ඒකක සඳහන් කිරීම අවශ්ය වේ. එනම්, අපගේ භ්‍රමණ ශරීරයේ දළ වශයෙන් "කියුබ්" 3.35 ක් ඇත. ඇයි හරියටම ඝනක ඒකක? මන්ද එය වඩාත් විශ්වීය සූත්රගත කිරීමකි. ඝන සෙන්ටිමීටර විය හැක, විය හැක ඝන මීටර්, සමහර විට ඝන කිලෝමීටර්, ආදිය, ඔබේ පරිකල්පනය පියාඹන පීරිසියකට ගැළපෙන කුඩා කොළ මිනිසුන් කොපමණ ද යන්නයි.
උදාහරණ 2
අක්ෂයක් වටා භ්රමණය වීමෙන් සෑදෙන සිරුරක පරිමාව සොයන්න OXරේඛා වලින් සීමා වූ රූපය, , .
මේ සඳහා උදාහරණයක් ස්වාධීන තීරණය. සම්පූර්ණ විසඳුමසහ පාඩම අවසානයේ පිළිතුර.
උදාහරණය 3
රේඛාවලින් මායිම් කරන ලද රූපයේ abscissa අක්ෂය වටා භ්රමණය වීමෙන් ලබාගත් ශරීරයේ පරිමාව ගණනය කරන්න , සහ .
විසඳුමක්:සමීකරණය බව අමතක නොකර, රේඛා වලින් මායිම් කරන ලද පැතලි රූපයක් ඇඳීමේදී අපි නිරූපණය කරමු. x= 0 අක්ෂය නියම කරයි OY:
අපේක්ෂිත රූපය නිල් පැහැයෙන් වර්ණාලේප කර ඇත. එය අක්ෂය වටා භ්රමණය වන විට OXඑය පැතලි කෝණික බේගල් (කේතුකාකාර මතුපිට දෙකක් සහිත රෙදි සෝදන යන්ත්රයක්) බවට පත්වේ.
විප්ලවයේ සිරුරේ පරිමාව ගණනය කරනු ලැබේ ශරීර පරිමාවේ වෙනස. පළමුව, රතු පැහැයෙන් රවුම් කර ඇති රූපය දෙස බලමු. එය අක්ෂය වටා භ්රමණය වන විට OXඑහි ප්රතිඵලයක් ලෙස කප්පාදු කරන ලද කේතුවක්. මෙම කප්පාදු කරන ලද කේතුවේ පරිමාව අපි දක්වන්නෙමු වී 1 .
කොළ පාටින් රවුම් කර ඇති රූපය සලකා බලන්න. අපි මෙම රූපය අක්ෂය වටා කරකවුවහොත් OX, එවිට ඔබට ද කපාගත් කේතුවක් ලැබේ, එය ටිකක් කුඩා වේ. අපි එහි පරිමාව දක්වන්නෙමු වී 2 .
පැහැදිලිවම, පරිමාවේ වෙනස වී = වී 1 - වී 2 යනු අපගේ "ඩෝනට්" පරිමාවයි.
විප්ලවයේ සිරුරේ පරිමාව සොයා ගැනීම සඳහා අපි සම්මත සූත්රය භාවිතා කරමු:
1) රතු පැහැයෙන් රවුම් කර ඇති රූපය ඉහළ සිට සරල රේඛාවකින් මායිම් කර ඇත, එබැවින්:
2) කොළ පැහැයෙන් රවුම් කර ඇති රූපය ඉහළ සිට සරල රේඛාවකින් මායිම් කර ඇත, එබැවින්:
3) අපේක්ෂිත විප්ලවයේ පරිමාව: 
පිළිතුර: 
තුළ සිටීම කුතුහලයට කරුණකි මෙම නඩුවකප්පාදු කරන ලද කේතුවක පරිමාව ගණනය කිරීම සඳහා පාසල් සූත්රය භාවිතයෙන් විසඳුම පරීක්ෂා කළ හැකිය.
තීරණය බොහෝ විට කෙටි වේ, මේ වගේ දෙයක්:
විප්ලවයේ සිරුරේ පරිමාව සූත්රය මගින් ගණනය කළ හැක:
සූත්‍රයේ, අනුකලයට පෙර අංකයක් තිබිය යුතුය. එය එසේ සිදු විය - ජීවිතයේ කැරකෙන සෑම දෙයක්ම මෙම නියතය සමඟ සම්බන්ධ වේ.
"a" සහ "be" ඒකාබද්ධ කිරීමේ සීමාවන් සකසන්නේ කෙසේද, මම හිතන්නේ, සම්පුර්ණ කරන ලද ඇඳීමෙන් අනුමාන කිරීම පහසුය.
කාර්යය... මොකක්ද මේ කාර්යය? අපි චිත්රය දෙස බලමු. පැතලි රූපය ඉහළින් පරාවල ප්‍රස්ථාරයෙන් මායිම් කර ඇත. සූත්‍රයෙන් ගම්‍ය වන ශ්‍රිතය මෙයයි.
ප්රායෝගික කාර්යයන් වලදී, පැතලි රූපයක් සමහර විට අක්ෂයට පහළින් පිහිටා ඇත. මෙය කිසිවක් වෙනස් නොකරයි - සූත්‍රයේ ශ්‍රිතය වර්ග කර ඇත: , මෙලෙස විප්ලවයේ සිරුරේ පරිමාව සෑම විටම ඍණාත්මක නොවේ, එය තරමක් තාර්කික ය.
මෙම සූත්රය භාවිතා කර විප්ලවයේ සිරුරේ පරිමාව ගණනය කරන්න: 
මා දැනටමත් සඳහන් කර ඇති පරිදි, අනුකලනය සෑම විටම පාහේ සරල බව පෙනේ, ප්රධාන දෙය නම් පරෙස්සම් වීමයි.
පිළිතුර: 
පිළිතුරෙහි, මානය - ඝන ඒකක සඳහන් කිරීම අවශ්ය වේ. එනම්, අපගේ භ්‍රමණ ශරීරයේ දළ වශයෙන් "කියුබ්" 3.35 ක් ඇත. ඇයි හරියටම ඝනක ඒකක? වඩාත්ම විශ්වීය සූත්රගත කිරීම නිසා. ඝන සෙන්ටිමීටර තියෙන්න පුළුවන්, ඝන මීටර් තියෙන්න පුළුවන්, ඝන කිලෝමීටර් තියෙන්න පුළුවන්, යනාදී වශයෙන් ඔබේ පරිකල්පනයට පියාඹන පීරිසියකට ගැළපෙන පුංචි කොළ මිනිසුන් කී දෙනෙකුට පුළුවන්ද කියලා.
උදාහරණ 2
රේඛාවලින් මායිම් කර ඇති රූපයේ අක්ෂය වටා භ්රමණය වීමෙන් සෑදෙන සිරුරේ පරිමාව සොයන්න, ,
මෙය ඔබ විසින්ම කළ හැකි උදාහරණයකි. සම්පූර්ණ විසඳුම සහ පාඩම අවසානයේ පිළිතුර.
තවත් දෙකක් සලකා බලන්න අභියෝගාත්මක කාර්යයන්බොහෝ විට ප්රායෝගිකව හමු වන.
උදාහරණය 3
රේඛාවලින් මායිම් කර ඇති රූපයේ abscissa අක්ෂය වටා භ්රමණය වීමෙන් ලබා ගත් සිරුරේ පරිමාව ගණනය කරන්න , සහ
විසඳුමක්:සමීකරණය මගින් අක්ෂය නිර්වචනය කරන බව අමතක නොකර, රේඛා වලින් සීමා වූ පැතලි රූපයක් ඇඳීමේ දී නිරූපණය කරමු:
අපේක්ෂිත රූපය නිල් පැහැයෙන් වර්ණාලේප කර ඇත. අක්ෂය වටා භ්රමණය වන විට, කොන් හතරක් සහිත එවැනි සර්රියල් ඩෝනට් ලබා ගනී.
විප්ලවයේ සිරුරේ පරිමාව ගණනය කරනු ලැබේ ශරීර පරිමාවේ වෙනස.
පළමුව, රතු පැහැයෙන් රවුම් කර ඇති රූපය දෙස බලමු. අක්ෂය වටා භ්රමණය වන විට, කපන ලද කේතුවක් ලබා ගනී. මෙම කප්පාදු කරන ලද කේතුවේ පරිමාව ලෙස දක්වන්නෙමු.
කොළ පාටින් රවුම් කර ඇති රූපය සලකා බලන්න. ඔබ මෙම රූපය අක්ෂය වටා කරකවන්නේ නම්, ඔබට කුඩා කේතුවක් ද ලැබෙනු ඇත. අපි එහි පරිමාව දක්වන්නෙමු.
තවද, පැහැදිලිවම, වෙළුම් වල වෙනස හරියටම අපගේ "ඩෝනට්" පරිමාවයි.
විප්ලවයේ සිරුරේ පරිමාව සොයා ගැනීම සඳහා අපි සම්මත සූත්රය භාවිතා කරමු:
1) රතු පැහැයෙන් රවුම් කර ඇති රූපය ඉහළ සිට සරල රේඛාවකින් මායිම් කර ඇත, එබැවින්:
2) කොළ පැහැයෙන් රවුම් කර ඇති රූපය ඉහළ සිට සරල රේඛාවකින් මායිම් කර ඇත, එබැවින්:
3) අපේක්ෂිත විප්ලවයේ පරිමාව: 
පිළිතුර: 
මෙම අවස්ථාවේ දී කප්පාදු කරන ලද කේතුවක පරිමාව ගණනය කිරීම සඳහා පාසල් සූත්රය භාවිතයෙන් විසඳුම පරීක්ෂා කළ හැකි බව කුතුහලයට කරුණකි.
තීරණය බොහෝ විට කෙටි වේ, මේ වගේ දෙයක්: 
දැන් අපි විවේකයක් ගෙන ජ්යාමිතික මිත්යාවන් ගැන කතා කරමු.
මිනිසුන්ට බොහෝ විට වෙළුම් හා සම්බන්ධ මිත්යාවන් ඇත, එය පෙරෙල්මන් (එකම නොවේ) පොතේ දැක ඇත සිත්ගන්නා ජ්යාමිතිය. විසඳන ලද ගැටලුවේ පැතලි රූපය දෙස බලන්න - එය ප්රදේශයෙන් කුඩා බව පෙනේ, සහ විප්ලවයේ සිරුරේ පරිමාව ඝන ඒකක 50 කට වඩා වැඩි ය, එය ඉතා විශාල බව පෙනේ. මාර්ගය වන විට, ඔහුගේ මුළු ජීවිත කාලය තුළම සාමාන්ය පුද්ගලයෙකු 18 ක ප්රදේශයක් සහිත කාමරයක පරිමාවක් සහිත දියරයක් පානය කරයි. වර්ග මීටර, ඊට පටහැනිව, ඉතා කුඩා බව පෙනේ.
පොදුවේ ගත් කල, සෝවියට් සංගමයේ අධ්‍යාපන ක්‍රමය ඇත්තෙන්ම හොඳම විය. 1950 දී ඔහු විසින් ලියන ලද පෙරෙල්මන්ගේ එම පොත ඉතා හොඳින් වර්ධනය වේ, හාස්‍ය රචකයා පැවසූ පරිදි, තර්කනය සහ මුල් පිටපත සෙවීමට ඔබට උගන්වයි. සම්මත නොවන විසඳුම්ගැටලු. මෑතකදී මම ඉතා උනන්දුවෙන් සමහර පරිච්ඡේද නැවත කියෙව්වා, මම එය නිර්දේශ කරමි, එය මානුෂීයවාදීන්ට පවා ප්රවේශ විය හැකිය. නැත, මා යෝජනා කළේ විශිෂ්ට විනෝදාංශයක්, විචක්ෂණභාවය සහ සන්නිවේදනයේ පුළුල් දැක්මක් යැයි ඔබ සිනාසීමට අවශ්ය නැත.
පසු අපගමනයතීරණය කිරීමට සුදුසු ය නිර්මාණාත්මක කාර්යය:
උදාහරණය 4
රේඛා වලින් මායිම් වූ පැතලි රූපයක අක්ෂය වටා භ්රමණය වීමෙන් සෑදෙන සිරුරේ පරිමාව ගණනය කරන්න , , කොහෙද .
මෙය ඔබ විසින්ම කළ හැකි උදාහරණයකි. සංගීත කණ්ඩායම තුළ සියලු දේ සිදු වන බව කරුණාවෙන් සලකන්න, වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, පාහේ සූදානම් කළ ඒකාබද්ධතා සීමාවන් ලබා දී ඇත. එසේම ප්‍රස්ථාර නිවැරදිව ඇඳීමට උත්සාහ කරන්න. ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත, තර්කය දෙකකින් බෙදිය හැකි නම්: , එවිට ප්‍රස්ථාර අක්ෂය දිගේ දෙවරක් දිගු වේ. අවම වශයෙන් ලකුණු 3-4 ක් සොයා ගැනීමට උත්සාහ කරන්න ත්‍රිකෝණමිතික වගු වලට අනුවසහ ඇඳීම වඩාත් නිවැරදි කරන්න. සම්පූර්ණ විසඳුම සහ පාඩම අවසානයේ පිළිතුර. මාර්ගය වන විට, කාර්යය තාර්කිකව විසඳා ගත හැකි අතර ඉතා තාර්කික නොවේ.
භ්රමණයෙන් සෑදෙන සිරුරේ පරිමාව ගණනය කිරීම
අක්ෂයක් වටා පැතලි රූපයක්
දෙවන ඡේදය පළමු ඡේදයට වඩා රසවත් වනු ඇත. y අක්ෂය වටා විප්ලවයේ සිරුරේ පරිමාව ගණනය කිරීමේ කාර්යය ද බොහෝ විට ආගන්තුකයෙකි. පාලන වැඩ. සම්මත කිරීමේදී සලකා බලනු ලැබේ රූපයක ප්රදේශය සොයා ගැනීමේ ගැටළුවදෙවන ක්‍රමය - අක්ෂය දිගේ ඒකාබද්ධ කිරීම, මෙය ඔබේ කුසලතා වැඩි දියුණු කිරීමට පමණක් නොව, වඩාත්ම ලාභදායී විසඳුම සොයා ගන්නේ කෙසේදැයි ඔබට උගන්වනු ඇත. එයට ප්රායෝගික අර්ථයක් ද ඇත! ගණිත ඉගැන්වීමේ ක්‍රම පිළිබඳ මගේ ගුරුවරයා සිනහවකින් සිහිපත් කළ පරිදි, බොහෝ උපාධිධාරීන් ඇයට ස්තූති කළේ “ඔබේ විෂය අපට බොහෝ උපකාර විය, දැන් අපි ඵලදායී කළමනාකරුවන් වන අතර අපගේ කාර්ය මණ්ඩලය ප්‍රශස්ත ලෙස කළමනාකරණය කරන්නෙමු.” මෙම අවස්ථාව ප්‍රයෝජනයට ගනිමින්, මම ඇයට මගේ ඉමහත් කෘතඥතාවය ද ප්රකාශ කරමි, විශේෂයෙන් මම ලබාගත් දැනුම එහි අපේක්ෂිත අරමුණු සඳහා භාවිතා කරන බැවින් =).
උදාහරණ 5
රේඛා වලින් සීමා වූ පැතලි රූපයක් ලබා දී ඇත , .
1) මෙම රේඛා වලින් සීමා වූ පැතලි රූපයක ප්රදේශය සොයා ගන්න.
2) අක්ෂය වටා මෙම රේඛාවලින් මායිම් කර ඇති පැතලි රූපයක් කරකැවීමෙන් ලබාගත් ශරීරයේ පරිමාව සොයා ගන්න.
අවධානය!ඔබට දෙවන ඡේදය පමණක් කියවීමට අවශ්ය වුවද, පළමුව අවශ්යයෙන්මපළමු එක කියවන්න!
විසඳුමක්:කාර්යය කොටස් දෙකකින් සමන්විත වේ. අපි චතුරස්රයෙන් පටන් ගනිමු.
1) අපි චිත්රය ක්‍රියාත්මක කරමු:
ශ්‍රිතය මගින් පරාවලයේ ඉහළ ශාඛාව නිර්වචනය කරන බවත්, ශ්‍රිතය පරාවලයේ පහළ ශාඛාව නිර්වචනය කරන බවත් දැකීම පහසුය. අප ඉදිරියේ ඇත්තේ "එහි පැත්තේ වැතිර සිටින" සුළු පැරබෝලා ය.
අපේක්ෂිත රූපය, සොයා ගත යුතු ප්රදේශය නිල් පැහැයෙන් වර්ණාලේප කර ඇත.
රූපයක ප්රදේශය සොයා ගන්නේ කෙසේද? පාඩමෙහි සලකා බැලූ "සාමාන්ය" ආකාරයෙන් එය සොයාගත හැකිය. නිශ්චිත අනුකලනය. රූපයක ප්රදේශය ගණනය කරන්නේ කෙසේද. එපමණක් නොව, රූපයේ ප්රදේශය ප්‍රදේශ වල එකතුව ලෙස දක්නට ලැබේ:
- කොටස මත 
;
- කොටස මත.
ඒක තමයි:
මෙම නඩුවේ සුපුරුදු විසඳුමේ ඇති වරද කුමක්ද? පළමුව, අනුකලන දෙකක් තිබේ. දෙවනුව, අනුකලනය යටතේ ඇති මූලයන් සහ අනුකලනයන්හි මූලයන් තෑග්ගක් නොවේ, එපමනක් නොව, අනුකලනයේ සීමාවන් ආදේශ කිරීමේදී කෙනෙකුට ව්‍යාකූල විය හැක. ඇත්ත වශයෙන්ම, අනුකලනය, ඇත්ත වශයෙන්ම, මාරාන්තික නොවේ, නමුත් ප්රායෝගිකව සෑම දෙයක්ම වඩා කණගාටුදායක ය, මම කාර්යය සඳහා "වඩා හොඳ" කාර්යයන් තෝරා ගත්තා.
වඩාත් තාර්කික විසඳුමක් ඇත: එය ප්රතිලෝම ශ්රිතයන් වෙත සංක්රමණය වීම සහ අක්ෂය ඔස්සේ ඒකාබද්ධ කිරීම සමන්විත වේ.
ප්රතිලෝම ශ්‍රිත වෙත ගමන් කරන්නේ කෙසේද? දළ වශයෙන් කිවහොත්, ඔබ "y" හරහා "x" ප්රකාශ කළ යුතුය. පළමුව, අපි පැරබෝලා සමඟ කටයුතු කරමු:
මෙය ප්‍රමාණවත් වේ, නමුත් එම ශ්‍රිතයම පහළ ශාඛාවෙන් ව්‍යුත්පන්න කළ හැකි බවට වග බලා ගනිමු:
සරල රේඛාවක් සමඟ, සියල්ල පහසු ය:
දැන් අක්ෂය දෙස බලන්න: කරුණාකර ඔබ පැහැදිලි කරන පරිදි වරින් වර ඔබේ හිස අංශක 90 ක් දකුණට ඇල කරන්න (මෙය විහිළුවක් නොවේ!). අපට අවශ්ය රූපය රතු තිත් රේඛාවෙන් දැක්වෙන කොටසේ පිහිටා ඇත. තවද, කොටසෙහි, සරල රේඛාව පරාවලයට ඉහළින් පිහිටා ඇත, එයින් අදහස් කරන්නේ ඔබට දැනටමත් හුරුපුරුදු සූත්රය භාවිතා කර රූපයේ ප්රදේශය සොයාගත යුතු බවයි: 
. සූත්‍රයේ වෙනස් වී ඇත්තේ කුමක්ද? ලිපියක් පමණි, ඊට වඩා දෙයක් නැත.
! සටහන: අක්ෂය දිගේ ඒකාබද්ධ කිරීමේ සීමාවන් සැකසිය යුතුය තදින් පහළ සිට ඉහළට!
ප්රදේශය සොයා ගැනීම:
කොටස මත, එබැවින්: 
මම ඒකාබද්ධ කිරීම සිදු කළ ආකාරය ගැන අවධානය යොමු කරන්න, මෙය වඩාත්ම තාර්කික මාර්ගය වන අතර, පැවරුමේ ඊළඟ ඡේදයේ එය පැහැදිලි වනු ඇත.
ඒකාබද්ධයේ නිවැරදි බව සැක කරන පාඨකයන් සඳහා, මම ව්‍යුත්පන්නයන් සොයා ගන්නෙමි: 
මුල් අනුකලනය ලබා ගනී, එයින් අදහස් වන්නේ ඒකාබද්ධ කිරීම නිවැරදිව සිදු කරන බවයි.
පිළිතුර:
2) අක්ෂය වටා මෙම රූපයේ භ්රමණයෙන් සාදන ලද සිරුරේ පරිමාව ගණනය කරන්න.
මම චිත්රය තරමක් වෙනස් මෝස්තරයකින් නැවත අඳින්නෙමි:
ඉතින්, නිල් පැහැයෙන් සෙවන ලද රූපය අක්ෂය වටා භ්රමණය වේ. එහි ප්රතිඵලය වන්නේ එහි අක්ෂය වටා භ්රමණය වන "සැළෙන සමනලයෙක්" ය.
විප්ලවයේ සිරුරේ පරිමාව සොයා ගැනීම සඳහා, අපි අක්ෂය ඔස්සේ අනුකලනය කරනු ඇත. මුලින්ම අපි ප්රතිලෝම ශ්‍රිත වෙත යා යුතුයි. මෙය දැනටමත් සිදු කර ඇති අතර පෙර ඡේදයේ විස්තරාත්මකව විස්තර කර ඇත.
දැන් අපි නැවතත් අපේ හිස දකුණට ඇල කර අපගේ රූපය අධ්යයනය කරමු. පැහැදිලිවම, විප්ලවයේ සිරුරේ පරිමාව පරිමාවන් අතර වෙනස ලෙස සොයාගත යුතුය.
අපි අක්ෂය වටා රතු පැහැයෙන් රවුම් කර ඇති රූපය භ්රමණය කරමු, එහි ප්රතිඵලයක් ලෙස කප්පාදු කරන ලද කේතුවක් ඇති වේ. අපි මෙම වෙළුම මගින් දක්වන්නෙමු.
අපි රූපය, හරිත වර්ණයෙන් රවුම් කර, අක්ෂය වටා කරකවන අතර එහි ප්රතිඵලයක් ලෙස විප්ලවයේ සිරුරේ පරිමාව හරහා එය දක්වයි.
අපගේ සමනලයාගේ පරිමාව පරිමාවේ වෙනසට සමාන වේ.
විප්ලවයේ සිරුරේ පරිමාව සොයා ගැනීමට අපි සූත්රය භාවිතා කරමු: 
එය පෙර ඡේදයේ සූත්‍රයට වඩා වෙනස් වන්නේ කෙසේද? අකුරු වලින් විතරයි.
ඒවගේම මම ටික කාලෙකට කලින් කතා කරපු ඒකාග්‍රතාවයේ වාසිය මෙන්න, ඒක හොයාගන්න ලේසියි 
4 වන බලයට අනුකලනය මුලිකව ඉහල නැංවීමට වඩා.
පිළිතුර: 
කෙසේ වෙතත්, අසනීප සමනලයෙක්.
එකම පැතලි රූපය අක්ෂය වටා භ්රමණය වන්නේ නම්, සම්පූර්ණයෙන්ම වෙනස් විප්ලවයක් වෙනස්, ස්වාභාවිකවම පරිමාවක් ඇති බව සලකන්න.
උදාහරණය 6
රේඛා වලින් සීමා වූ පැතලි රූපයක් සහ අක්ෂයක් ලබා දී ඇත.
1) ප්රතිලෝම ශ්‍රිත වෙත ගොස් විචල්‍යය හරහා අනුකලනය කිරීමෙන් මෙම රේඛා වලින් සීමා වූ පැතලි රූපයක ප්රදේශය සොයා ගන්න.
2) අක්ෂය වටා මෙම රේඛාවලින් මායිම් කර ඇති පැතලි රූපයක් කරකැවීමෙන් ලබාගත් ශරීරයේ පරිමාව ගණනය කරන්න.
අර්ථ දැක්වීම 3. විප්ලවයේ ශරීරයක් යනු එම රූපය ඡේදනය නොවන අක්ෂය වටා පැතලි රූපයක් කරකැවීමෙන් ලබාගත් ශරීරයක් වන අතර එය සමඟ එකම තලයක පිහිටා ඇත.
භ්‍රමණ අක්ෂය රූපයේ සමමිතියේ අක්ෂය නම් රූපය ඡේදනය කළ හැකිය.
ප්රමේයය 2.
, අක්ෂය 
සහ සරල රේඛා කොටස් 
හා 
අක්ෂය වටා භ්රමණය වේ 
. එවිට ඇතිවන විප්ලවයේ සිරුරේ පරිමාව සූත්රය මගින් ගණනය කළ හැක
(2)
සාක්ෂි.
එවැනි ශරීරයක් සඳහා, abscissa සමග කොටස 
අරය කවයක් වේ 
, අදහස් වේ 
සහ සූත්රය (1) අපේක්ෂිත ප්රතිඵලය ලබා දෙයි.
රූපය අඛණ්ඩ ශ්‍රිත දෙකක ප්‍රස්ථාර මගින් සීමා කර ඇත්නම් 
හා 
, සහ රේඛා කොටස් 
හා 
, තව 
හා 
, පසුව abscissa අක්ෂය වටා භ්රමණය වන විට, අපි පරිමාව ඇති ශරීරයක් ලබා ගනිමු
උදාහරණය 3
රවුමකින් මායිම් කර ඇති රවුම කරකැවීමෙන් ලබාගත් ටෝරස් පරිමාව ගණනය කරන්න 
x අක්ෂය වටා.
ආර් 
විසඳුමක්.
නිශ්චිත කවය ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරයෙන් පහතින් මායිම් කර ඇත 
, සහ ඉහළ - 
. මෙම ශ්‍රිතවල වර්ගවල වෙනස:
අපේක්ෂිත පරිමාව
(අනුකලනයේ ප්‍රස්ථාරය ඉහළ අර්ධ වෘත්තාකාරයයි, එබැවින් ඉහත ලියා ඇති අනුකලනය අර්ධ වෘත්තාකාරයේ ප්‍රදේශයයි).
උදාහරණය 4
පාදම සහිත පරාවලයික කොටස 
, සහ උස 
, පදනම වටා භ්රමණය වේ. ප්රතිඵලයක් ලෙස ශරීරයේ පරිමාව ගණනය කරන්න (Cavalieri විසින් "ලෙමන්").
ආර් 
විසඳුමක්.
රූපයේ දැක්වෙන පරිදි පැරබෝලා තබන්න. එවිට එහි සමීකරණය 
, හා 
. පරාමිතියේ අගය සොයා ගනිමු 
:
. එබැවින්, අපේක්ෂිත පරිමාව:
ප්රමේයය 3.
අඛණ්ඩ සෘණ නොවන ශ්‍රිතයක ප්‍රස්ථාරයෙන් සීමා වූ වක්‍ර රේඛීය trapezoid ඉඩ දෙන්න 
, අක්ෂය 
සහ සරල රේඛා කොටස් 
හා 
, තව 
, අක්ෂය වටා භ්රමණය වේ 
. එවිට ඇතිවන විප්ලවයේ සිරුරේ පරිමාව සූත්‍රයෙන් සොයාගත හැකිය
(3)
සාක්ෂි අදහස.
කොටස බෙදීම 
තිත් 
, කොටස් වලට සහ සරල රේඛා අඳින්න 
. සම්පූර්ණ trapezoid තීරු බවට දිරාපත් වනු ඇත, එය පදනමක් සහිත සෘජුකෝණාස්රාකාර ලෙස සැලකිය හැකිය. 
සහ උස 
.
එවැනි සෘජුකෝණාස්රයක් භ්රමණය වීමෙන් ඇතිවන සිලින්ඩරය generatrix දිගේ කපා දිග හැරේ. අපට මානයන් සමඟ "පාහේ" සමාන්තරකරණයක් ලැබේ: 
,
හා 
. එහි පරිමාව 
. එබැවින්, විප්ලවයේ සිරුරේ පරිමාව සඳහා අපට ආසන්න සමානත්වයක් ලැබෙනු ඇත
නිවැරදි සමානාත්මතාවය ලබා ගැනීම සඳහා, අප විසින් සීමාව දක්වා ගමන් කළ යුතුය 
. ඉහත ලියා ඇති එකතුව ශ්‍රිතය සඳහා වන අනුකලිත එකතුවයි 
, එබැවින්, සීමාව තුළ අපි (3) සූත්‍රයෙන් අනුකලනය ලබා ගනිමු. ප්රමේයය ඔප්පු කර ඇත.
සටහන 1.
න්‍යායන් 2 සහ 3 හි, කොන්දේසිය 
මඟ හැරිය හැක: සූත්රය (2) සාමාන්‍යයෙන් ලකුණට සංවේදී නොවේ 
, සහ (3) සූත්‍රයේ එය ප්‍රමාණවත් වේ 
විසින් ප්රතිස්ථාපනය කරන ලදී 
.
උදාහරණ 5
පරාවලයික කොටස (පදනම 
, උස 
) උස වටා භ්රමණය වේ. ප්රතිඵලයක් ලෙස ශරීරයේ පරිමාව සොයා ගන්න.
විසඳුමක්.
රූපයේ දැක්වෙන පරිදි පරාවලය සකසන්න. භ්‍රමණ අක්ෂය රූපය හරහා ගියද, එය - අක්ෂය - සමමිතියේ අක්ෂය වේ. එබැවින්, කොටසෙහි දකුණු භාගය පමණක් සලකා බැලිය යුතුය. පැරබෝලා සමීකරණය 
, හා 
, අදහස් වේ 
. පරිමාව සඳහා අපට ඇත්තේ:
සටහන 2.
Curvilinear trapezoid එකක curvilinear මායිම පරාමිතික සමීකරණ මගින් ලබා දෙන්නේ නම් 
,
,
හා 
,
එවිට (2) සහ (3) සූත්‍ර ආදේශ කිරීම සමඟ භාවිතා කළ හැක 
මත 
හා 
මත 
එය වෙනස් වන විට ටීසිට 
කලින් 
.
උදාහරණය 6
රූපය සයික්ලොයිඩ්හි පළමු චාපයෙන් මායිම් කර ඇත 
,
,
, සහ abscissa අක්ෂය. මෙම රූපය වටා කරකැවීමෙන් ලබාගත් ශරීරයේ පරිමාව සොයන්න: 1) අක්ෂය 
; 2) අක්ෂ 
.
විසඳුමක්.
1) සාමාන්ය සූත්රය 
අපගේ නඩුවේදී:
2) සාමාන්ය සූත්රය 
අපගේ රූපය සඳහා:
සියලුම ගණනය කිරීම් තමන් විසින්ම කරන ලෙස අපි සිසුන් දිරිමත් කරමු.
සටහන 3.
අඛණ්ඩ රේඛාවකින් සීමා වූ curvilinear අංශයකට ඉඩ දෙන්න 
සහ කිරණ 
,
, ධ්රැවීය අක්ෂය වටා භ්රමණය වේ. ප්රතිඵලයක් ලෙස ශරීරයේ පරිමාව සූත්රය මගින් ගණනය කළ හැක.
උදාහරණ 7
කාඩියොයිඩ් එකකින් සීමා වූ රූපයක කොටසකි 
, රවුමෙන් පිටත වැතිර සිටීම 
, ධ්රැවීය අක්ෂය වටා භ්රමණය වේ. ප්රතිඵලයක් ලෙස ශරීරයේ පරිමාව සොයා ගන්න.
විසඳුමක්.
රේඛා දෙකම සහ එම නිසා ඒවා සීමා කරන රූපය, ධ්රැවීය අක්ෂය සම්බන්ධයෙන් සමමිතික වේ. එබැවින්, එය සඳහා වන කොටස පමණක් සලකා බැලීම අවශ්ය වේ 
. වක්‍ර ඡේදනය වේ 
හා
හිදී 
. තවද, රූපය අංශ දෙකක වෙනස ලෙස සැලකිය හැකි අතර, එබැවින් පරිමාව අනුකල දෙකක වෙනස ලෙස ගණනය කළ හැකිය. අපිට තියනවා:
කාර්යයන් ස්වාධීන විසඳුමක් සඳහා.
1. පාදම සහිත වෘත්තාකාර කොටසකි 
, උස 
, පදනම වටා භ්රමණය වේ. විප්ලවයේ සිරුරේ පරිමාව සොයා ගන්න.
2. විප්ලවයේ පැරබොලොයිඩ් පරිමාව එහි පදනම සොයන්න 
, සහ උස වේ 
.
3. ග්‍රහකයකින් සීමා වූ රූපය 
,
x අක්ෂය වටා භ්රමණය වේ. මෙම නඩුවේ ලබා ගන්නා ශරීරයේ පරිමාව සොයා ගන්න.
4. රේඛාවලින් මායිම් කරන ලද රූපය 
හා 
x අක්ෂය වටා භ්රමණය වේ. විප්ලවයේ සිරුරේ පරිමාව සොයා ගන්න.
I. විප්ලවයේ සිරුරු පරිමාව. G. M. Fikhtengol'ts ගේ පෙළපොතට අනුව XII, p°p° 197, 198 පරිච්ෙඡ්දය මුලිකව අධ්යයනය කරන්න* p° 198 හි දක්වා ඇති උදාහරණ විස්තරාත්මකව විශ්ලේෂණය කරන්න.
508. x අක්ෂය වටා ඉලිප්සයේ භ්රමණයෙන් සෑදෙන සිරුරේ පරිමාව ගණනය කරන්න.
මේ ක්රමයෙන්,
530. මතුපිට ප්රදේශය සොයන්න, භ්රමණයෙන් සෑදී ඇත sinusoid y \u003d sin x හි චාපයේ Ox අක්ෂය වටා X \u003d 0 ලක්ෂයේ සිට X \u003d එය දක්වා.
531. උස h සහ අරය r සහිත කේතුවක මතුපිට වර්ගඵලය ගණනය කරන්න.
532. විසින් සාදන ලද මතුපිට ප්රදේශය ගණනය කරන්න
x-අක්ෂය වටා x3 -) - y* - a3 භ්රමණය වීම.
533. x-අක්ෂය වටා 18 y-x(6-x)r වක්‍රයේ ලූපයේ ප්‍රතිලෝමයෙන් සාදන ලද පෘෂ්ඨයේ වර්ගඵලය ගණනය කරන්න.
534. x අක්ෂය වටා X2 - j - (y-3)2 = 4 කවයේ භ්රමණයෙන් නිපදවන ටෝරස් මතුපිට සොයන්න.
535. Ox අක්ෂය වටා X = a cost, y = asint චක්‍රයේ භ්රමණයෙන් සෑදෙන මතුපිට ප්රදේශය ගණනය කරන්න.
536. Ox අක්ෂය වටා x = 9t2, y = St - 9t3 වක්‍රයේ ලූපයේ භ්රමණයෙන් සාදන ලද මතුපිට ප්රදේශය ගණනය කරන්න.
537. වක්‍රයේ චාපයේ භ්රමණයෙන් සාදන ලද මතුපිට ප්රදේශය සොයන්න x = e * sint, y = el අක්ෂය Ox වටා පිරිවැය
t = 0 සිට t = - දක්වා.
538. Oy අක්ෂය වටා සයික්ලොයිඩ් x = a (q> - sin φ), y = a (I - cos φ) චාපයේ භ්රමණයෙන් නිපදවන මතුපිට 16 u2 o2 ට සමාන බව පෙන්වන්න.
539. ධ්රැවීය අක්ෂය වටා කාඩියොයිඩ් කරකැවීමෙන් ලබාගත් මතුපිට සොයන්න.
540. ලෙම්නිස්කේට් භ්රමණයෙන් සෑදුණු මතුපිට ප්රදේශය සොයන්න 
ධ්රැවීය අක්ෂය වටා.
IV පරිච්ඡේදය සඳහා අමතර කාර්යයන්
ගුවන් යානා රූප ඇති ප්‍රදේශ
541. වක්‍රයකින් සීමා වූ කලාපයක සම්පූර්ණ ප්රදේශය සොයන්න 
සහ අක්ෂය ඕ.
542. වක්‍රයෙන් සීමා වූ කලාපයේ ප්රදේශය සොයන්න
සහ අක්ෂය ඕ.
543. පළමු චතුරස්‍රයේ පිහිටා ඇති සහ වක්‍රයෙන් මායිම් වූ කලාපයේ ප්රදේශයේ කොටස සොයන්න
l සම්බන්ධීකරණ අක්ෂ.
544. ඇතුළත ඇති ප්රදේශයේ ප්රදේශය සොයා ගන්න
ලූප: 
545. වක්‍රයේ එක් ලූපයකින් සීමා වූ කලාපයේ ප්රදේශය සොයන්න:
546. ලූපය තුළ ඇති ප්රදේශයේ ප්රදේශය සොයා ගන්න: 
547. වක්‍රයෙන් සීමා වූ කලාපයේ ප්රදේශය සොයන්න
සහ අක්ෂය ඕ.
548. වක්‍රයෙන් සීමා වූ කලාපයේ ප්රදේශය සොයන්න
සහ අක්ෂය ඕ.
549. Oxr අක්ෂයෙන් සීමා වූ කලාපයේ ප්රදේශය සොයන්න
කෙළින්ම සහ වක්රය 
