රේඛාවලින් මායිම් කර ඇති රූපයේ ප්රදේශය සොයා ගැනීමට 3 අවශ්ය වේ. මාර්ගගත කැල්කියුලේටරය. නිශ්චිත අනුකලනයක් ගණනය කරන්න (වක්‍ර රේඛීය trapezoid ප්‍රදේශයක්)

නිශ්චිත අනුකලනයක ජ්‍යාමිතික අර්ථය විශ්ලේෂණය කිරීමට කැප වූ පෙර කොටසේ, ප්‍රදේශය ගණනය කිරීම සඳහා අපට සූත්‍ර ගණනාවක් ලැබුණි. curvilinear trapezoid:

Yandex.RTB R-A-339285-1

S (G) = ∫ a b f (x) d x අඛණ්ඩ සහ සෘණ නොවන ශ්‍රිතයක් සඳහා y = f (x) කොටසේ [a ; බී] ,

S (G) = - ∫ a b f (x) d x අඛණ්ඩ සහ ධනාත්මක නොවන ශ්‍රිතයක් සඳහා y = f (x) කොටසෙහි [a ; බී] .

සාපේක්ෂ විසඳීමට මෙම සූත්‍ර අදාළ වේ සරල කාර්යයන්. ඇත්ත වශයෙන්ම, අපට බොහෝ විට වඩාත් සංකීර්ණ හැඩයන් සමඟ වැඩ කිරීමට සිදු වේ. මේ සම්බන්ධයෙන්, අපි මෙම කොටස කැප කරන්නේ සංඛ්‍යා ප්‍රදේශය ගණනය කිරීම සඳහා ඇල්ගොරිතම විශ්ලේෂණය කිරීම සඳහා වන අතර ඒවා පැහැදිලි ස්වරූපයෙන් ශ්‍රිත වලින් සීමා වේ, එනම්. y = f(x) හෝ x = g(y) .

ප්රමේයය

y = f 1 (x) සහ y = f 2 (x) යන ශ්‍රිතයන් [ a ; b ] , සහ f 1 (x) ≤ f 2 (x) ඕනෑම අගයක් සඳහා x [a ; බී] . එවිට G රූපයේ ප්රදේශය ගණනය කිරීමේ සූත්රය, රේඛාවලින් බැඳී ඇත x = a , x = b , y = f 1 (x) සහ y = f 2 (x) S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x ලෙස පෙනෙනු ඇත.

y \u003d c, y \u003d d, x \u003d g 1 (y) සහ x \u003d g 2 (y): S රේඛා වලින් මායිම් කරන ලද රූපයේ ප්‍රදේශය සඳහා සමාන සූත්‍රයක් අදාළ වේ. (G) \u003d ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y) d y .

සාක්ෂි

සූත්‍රය වලංගු වන අවස්ථා තුනක් අපි විශ්ලේෂණය කරන්නෙමු.

පළමු අවස්ථාවේ දී, ප්‍රදේශයේ ආකලන ගුණය සැලකිල්ලට ගනිමින්, මුල් රූපයේ G සහ curvilinear trapezoid G 1 හි ප්‍රදේශ වල එකතුව G 2 රූපයේ ප්‍රදේශයට සමාන වේ. එහි තේරුම එයයි

එබැවින්, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x

නිශ්චිත අනුකලනයේ තුන්වන ගුණය භාවිතයෙන් අපට අවසාන සංක්‍රාන්තිය සිදු කළ හැක.

දෙවන අවස්ථාවෙහි, සමානාත්මතාවය සත්‍ය වේ: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x

ග්‍රැෆික් නිදර්ශනය මේ ආකාරයෙන් පෙනෙනු ඇත:

ශ්‍රිත දෙකම ධනාත්මක නොවේ නම්, අපට ලැබෙන්නේ: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x . ග්‍රැෆික් නිදර්ශනය මේ ආකාරයෙන් පෙනෙනු ඇත:

අපි සලකා බැලීමට ඉදිරියට යමු සාමාන්ය නඩුව y = f 1 (x) සහ y = f 2 (x) O x අක්ෂය ඡේදනය වන විට.

අපි ඡේදනය වන ස්ථාන x i, i = 1, 2, ලෙස දක්වන්නෙමු. . . , n - 1 . මෙම ලකුණු කොටස බිඳ දමයි [ a ; b ] n කොටස් වලට x i - 1 ; x i, i = 1, 2, . . . , n , මෙහි α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

ප්රතිඵලයක් වශයෙන්,

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

නිශ්චිත අනුකලනයේ පස්වන ගුණය භාවිතයෙන් අපට අවසාන සංක්‍රාන්තිය සිදු කළ හැක.

අපි ප්‍රස්ථාරයේ සාමාන්‍ය නඩුව නිදර්ශනය කරමු.

S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x සූත්‍රය ඔප්පු කළ හැකි ය.

දැන් අපි y \u003d f (x) සහ x \u003d g (y) රේඛාවලින් සීමා කර ඇති සංඛ්‍යා ප්‍රදේශය ගණනය කිරීමේ උදාහරණ විශ්ලේෂණයට යමු.

ඕනෑම උදාහරණයක් සලකා බැලීමෙන්, අපි ප්රස්ථාරයක් තැනීම ආරම්භ කරමු. රූපය මගින් අපට සංකීර්ණ හැඩතල වැඩි ගණනක සංගම් ලෙස නිරූපණය කිරීමට ඉඩ සලසයි සරල රූප. ඒවායේ ප්‍රස්ථාර සහ හැඩතල සැකසීම ඔබට අපහසු නම්, ඔබට මූලික මූලික ශ්‍රිත, ශ්‍රිතවල ප්‍රස්ථාරවල ජ්‍යාමිතික පරිවර්තනය මෙන්ම ශ්‍රිතයක් අධ්‍යයනය කිරීමේදී කුමන්ත්‍රණය කිරීම යන කොටස අධ්‍යයනය කළ හැකිය.

උදාහරණ 1

පරාවලය y \u003d - x 2 + 6 x - 5 සහ සරල රේඛා y \u003d - 1 3 x - 1 2, x \u003d මගින් සීමා කරන ලද රූපයේ ප්‍රදේශය තීරණය කිරීම අවශ්‍ය වේ. 1, x \u003d 4.

විසඳුමක්

Cartesian ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ ප්‍රස්ථාරයේ රේඛා සැලසුම් කරමු.

පරතරය මත [1; 4] පරාවලයේ ප්‍රස්ථාරය y = - x 2 + 6 x - 5 සරල රේඛාවට ඉහළින් පිහිටා ඇත y = - 1 3 x - 1 2 . මේ සම්බන්ධයෙන්, පිළිතුරක් ලබා ගැනීම සඳහා, අපි කලින් ලබාගත් සූත්‍රය මෙන්ම නිව්ටන්-ලයිබ්නිස් සූත්‍රය භාවිතයෙන් නිශ්චිත අනුකලනයක් ගණනය කිරීමේ ක්‍රමය භාවිතා කරමු:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

පිළිතුර: S (G) = 13

අපි වඩාත් සංකීර්ණ උදාහරණයක් බලමු.

උදාහරණ 2

y = x + 2, y = x, x = 7 රේඛාවලින් සීමා වූ රූපයේ ප්රදේශය ගණනය කිරීම අවශ්ය වේ.

විසඳුමක්

හිදී මෙම නඩුවඅපට ඇත්තේ x අක්ෂයට සමාන්තරව එක් සරල රේඛාවක් පමණි. මෙය x = 7 වේ. මේ සඳහා අපට අවශ්‍ය වන්නේ අප විසින්ම දෙවන ඒකාබද්ධ කිරීමේ සීමාව සොයා ගැනීමයි.

අපි ප්‍රස්ථාරයක් ගොඩනඟා එය මත ගැටලුවේ තත්වයේ දී ඇති රේඛා දමමු.

අපගේ ඇස් ඉදිරිපිට ප්‍රස්ථාරයක් තිබීම, ඒකාබද්ධ කිරීමේ පහළ සීමාව සරල රේඛාවක් y \u003d x සහ අර්ධ-පරාබෝල y \u003d x + 2 සමඟ ප්‍රස්ථාරයේ ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යයේ abscissa බව අපට පහසුවෙන් තීරණය කළ හැකිය. abscissa සොයා ගැනීමට, අපි සමානතා භාවිතා කරමු:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O D G x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O D G

ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යයේ abscissa x = 2 බව පෙනේ.

තුළ ඇති බව අපි ඔබේ අවධානයට යොමු කරමු සාමාන්ය උදාහරණයක්චිත්‍රයේ රේඛා y = x + 2 , y = x ලක්ෂ්‍යයේ (2 ; 2) ඡේදනය වේ, එබැවින් මේවා සවිස්තරාත්මක ගණනය කිරීම්අතිරික්ත බවක් පෙනෙන්නට පුළුවන. අපි මෙහෙට ගෙනාවා සවිස්තරාත්මක විසඳුමවැඩි නිසා දුෂ්කර අවස්ථාවිසඳුම එතරම් පැහැදිලි නොවිය හැකිය. මෙයින් අදහස් කරන්නේ සෑම විටම රේඛා ඡේදනය වීමේ ඛණ්ඩාංක විශ්ලේෂණාත්මකව ගණනය කිරීම වඩා හොඳ බවයි.

පරතරය මත [2; 7 ] y = x ශ්රිතයේ ප්රස්ථාරය y = x + 2 ශ්රිතයේ ප්රස්ථාරයට ඉහලින් පිහිටා ඇත. ප්රදේශය ගණනය කිරීම සඳහා සූත්රය යොදන්න:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

පිළිතුර: S (G) = 59 6

උදාහරණය 3

y \u003d 1 x සහ y \u003d - x 2 + 4 x - 2 ශ්‍රිතවල ප්‍රස්ථාර මගින් සීමා කරන ලද රූපයේ ප්‍රදේශය ගණනය කිරීම අවශ්‍ය වේ.

විසඳුමක්

අපි ප්‍රස්ථාරයේ රේඛා අඳිමු.

ඒකාබද්ධ කිරීමේ සීමාවන් නිර්වචනය කරමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි 1 x සහ - x 2 + 4 x - 2 යන ප්‍රකාශන සමාන කිරීමෙන් රේඛාවල ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යවල ඛණ්ඩාංක තීරණය කරමු. X ශුන්‍යයට සමාන නොවේ නම්, සමානාත්මතාවය 1 x \u003d - x 2 + 4 x - 2 තුන්වන අංශකයේ සමීකරණයට සමාන වේ - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 \u003d 0 පූර්ණ සංඛ්‍යා සංගුණක සමඟ . "ඝනක සමීකරණ විසඳුම" යන කොටස වෙත යොමු කිරීමෙන් ඔබට එවැනි සමීකරණ විසඳීම සඳහා ඇල්ගොරිතමයේ මතකය නැවුම් කළ හැකිය.

මෙම සමීකරණයේ මූලය x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0 වේ.

ප්‍රකාශනය - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ද්විපද x - 1 මගින් බෙදීම, අපට ලැබෙන්නේ: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

අපට ඉතිරි මූලයන් x 2 - 3 x - 1 = 0 සමීකරණයෙන් සොයාගත හැකිය:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 1 (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 \u003d 3 - 13 2 ≈ - 0. 3

අපි x ∈ 1 පරතරයක් සොයාගෙන ඇත; 3 + 13 2, මෙහි G නිල් රේඛාවට ඉහළින් සහ රතු රේඛාවට පහළින් කොටා ඇත. හැඩයේ ප්රදේශය තීරණය කිරීමට මෙය අපට උපකාර කරයි:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

පිළිතුර: S (G) \u003d 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

උදාහරණය 4

වක්‍ර y \u003d x 3, y \u003d - log 2 x + 1 සහ x-අක්ෂයෙන් සීමා වන රූපයේ ප්‍රදේශය ගණනය කිරීම අවශ්‍ය වේ.

විසඳුමක්

ප්‍රස්ථාරයේ සියලුම රේඛා තබමු. y = - log 2 x + 1 යන ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරය y = log 2 x ප්‍රස්ථාරයෙන් අපි එය x අක්ෂය වටා සමමිතිකව තබා එක ඒකකයක් ඉහළට ගෙන ගියහොත් ලබා ගත හැක. x-අක්ෂයේ සමීකරණය y \u003d 0.

රේඛාවල ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍ය දක්වමු.

රූපයෙන් පෙනෙන පරිදි, y \u003d x 3 සහ y \u003d 0 ශ්‍රිතවල ප්‍රස්ථාර (0; 0) ලක්ෂ්‍යයෙන් ඡේදනය වේ. මෙයට හේතුව x 3 \u003d 0 සමීකරණයේ එකම සැබෑ මූලය x \u003d 0 වන බැවිනි.

x = 2 යනු සමීකරණයේ එකම මූලය වේ - log 2 x + 1 = 0 , එබැවින් y = - log 2 x + 1 සහ y = 0 යන ශ්‍රිතවල ප්‍රස්ථාර (2 ; 0) ලක්ෂ්‍යයෙන් ඡේදනය වේ.

x = 1 යනු x 3 = - ලඝු 2 x + 1 සමීකරණයේ එකම මූලයයි. මේ සම්බන්ධයෙන්, y \u003d x 3 සහ y \u003d - log 2 x + 1 යන ශ්‍රිතවල ප්‍රස්ථාර (1; 1) ලක්ෂ්‍යයෙන් ඡේදනය වේ. අවසාන ප්‍රකාශය නොපැහැදිලි විය හැකි නමුත්, y \u003d x 3 ශ්‍රිතය දැඩි ලෙස වැඩි වන බැවින් සහ y \u003d - log 2 x ශ්‍රිතය නිසා x 3 \u003d - log 2 x + 1 සමීකරණයට මූල එකකට වඩා තිබිය නොහැක. + 1 දැඩි ලෙස අඩු වේ.

ඊළඟ පියවරට විකල්ප කිහිපයක් ඇතුළත් වේ.

විකල්ප අංක 1

අපට G රූපය abscissa අක්ෂයට ඉහලින් පිහිටා ඇති curvilinear trapezoids දෙකක එකතුවක් ලෙස නිරූපණය කළ හැක, ඉන් පළමුවැන්න x ∈ 0 කොටසේ මැද රේඛාවට පහළින් පිහිටා ඇත; 1 , සහ දෙවන එක x ∈ 1 කොටසේ රතු රේඛාවට පහළින් ; 2. මෙයින් අදහස් කරන්නේ ප්‍රදේශය S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x ට සමාන වන බවයි.

විකල්ප අංක 2

G රූපය රූප දෙකක වෙනස ලෙස නිරූපණය කළ හැකි අතර, ඉන් පළමුවැන්න x-අක්ෂයට ඉහළින් සහ x ∈ 0 කොටසේ නිල් රේඛාවට පහළින් පිහිටා ඇත; 2 , සහ දෙවන එක x ∈ 1 කොටසේ රතු සහ නිල් රේඛා අතර වේ ; 2. මෙය අපට මෙවැනි ප්‍රදේශයක් සොයා ගැනීමට ඉඩ සලසයි:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

මෙම අවස්ථාවේදී, ප්‍රදේශය සොයා ගැනීමට, ඔබට S (G) \u003d ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y පෝරමයේ සූත්‍රයක් භාවිතා කිරීමට සිදුවේ. ඇත්ත වශයෙන්ම, හැඩය බැඳ ඇති රේඛා y තර්කයේ ශ්‍රිත ලෙස නිරූපණය කළ හැක.

x සම්බන්ධයෙන් y = x 3 සහ - log 2 x + 1 සමීකරණ විසඳමු:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

අපට අවශ්‍ය ප්‍රදේශය ලැබේ:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

පිළිතුර: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

උදාහරණ 5

y \u003d x, y \u003d 2 3 x - 3, y \u003d - 1 2 x + 4 රේඛාවලින් සීමා වූ රූපයේ වර්ගඵලය ගණනය කිරීම අවශ්‍ය වේ.

විසඳුමක්

රතු ඉරක් සහිත ප්‍රස්ථාරයේ රේඛාවක් අඳින්න, කාර්යය මගින් ලබා දී ඇත y=x. y = - 1 2 x + 4 රේඛාව නිල් පැහැයෙන් අඳින්න, සහ y = 2 3 x - 3 රේඛාව කළු පැහැයෙන් සලකුණු කරන්න.

ඡේදනය වන ලකුණු සටහන් කරන්න.

y = x සහ y = - 1 2 x + 4 ශ්‍රිතවල ප්‍රස්ථාරවල ඡේදනය වීමේ ස්ථාන සොයන්න:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 \u003d 144 x 1 \u003d 20 + 144 2 \u003d 16; x 2 = 20 - 144 2 = 4 i යනු x 2 = 4 = 2 සමීකරණයේ විසඳුමයි, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 සමීකරණයේ විසඳුමයි ⇒ (4 ; 2) ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යය i y = x සහ y = - 1 2 x + 4

y = x සහ y = 2 3 x - 3 ශ්‍රිතවල ප්‍රස්ථාරවල ඡේදනය ලක්ෂ්‍යය සොයන්න:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 පරීක්ෂා කරන්න: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 \u003d 2 3 9 - 3 \u003 3 ⇒ x 1 \u003d 9 යනු සමීකරණයට විසඳුමයි ⇒ (9; 3) ලක්ෂ්‍යය සහ ඡේදනය y = x සහ y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2 , 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 සමීකරණයට විසඳුමක් නොවේ

y = - 1 2 x + 4 සහ y = 2 3 x - 3 රේඛාවල ඡේදනය වන ලක්ෂ්‍යය සොයන්න:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 1) ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යය y = - 1 2 x + 4 සහ y = 2 3 x - 3

ක්රමය අංක 1

තනි රූපවල ප්‍රදේශ වල එකතුව ලෙස අපි අපේක්ෂිත රූපයේ ප්‍රදේශය නියෝජනය කරමු.

එවිට රූපයේ ප්රදේශය:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

ක්රමය අංක 2

මුල් රූපයේ ප්‍රදේශය අනෙක් රූප දෙකේ එකතුව ලෙස දැක්විය හැක.

ඉන්පසු අපි x සඳහා රේඛා සමීකරණය විසඳන අතර ඉන් පසුව පමණක් අපි රූපයේ ප්‍රදේශය ගණනය කිරීම සඳහා සූත්‍රය යොදන්නෙමු.

y = x ⇒ x = y 2 රතු රේඛාව y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 කළු රේඛාව y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i i l i n i i

එබැවින් ප්රදේශය:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d 2 + ∫ 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

ඔබට පෙනෙන පරිදි, අගයන් ගැලපේ.

පිළිතුර: S (G) = 11 3

ප්රතිපල

ලබා දී ඇති රේඛා වලින් මායිම් කර ඇති රූපයක ප්‍රදේශය සොයා ගැනීමට, අපි තලයක රේඛා අඳින්න, ඒවායේ ඡේදනය වන ස්ථාන සොයා ගැනීමට සහ ප්‍රදේශය සොයා ගැනීම සඳහා සූත්‍රය යෙදිය යුතුය. මෙම කොටසෙහි, අපි කාර්යයන් සඳහා වඩාත් පොදු විකල්ප සමාලෝචනය කර ඇත.

ඔබ පෙළෙහි වරදක් දුටුවහොත්, කරුණාකර එය උද්දීපනය කර Ctrl+Enter ඔබන්න

ද්විත්ව අනුකලනය ගණනය කිරීමේ සැබෑ ක්‍රියාවලිය සලකා බැලීමට සහ එහි ජ්‍යාමිතික අර්ථය දැන ගැනීමට අපි පටන් ගනිමු.

සංඛ්‍යාත්මකව ද්විත්ව අනුකලනය ප්රදේශයට සමාන වේතල රූපය (ඒකාබද්ධ කිරීමේ කලාප). එය සරලම ආකෘතියවිචල්‍ය දෙකක ශ්‍රිතය එකකට සමාන වන විට ද්විත්ව අනුකලනය: .

අපි මුලින්ම ගැටලුව සලකා බලමු සාමාන්ය දැක්ම. එය ඇත්තෙන්ම කොතරම් සරලදැයි දැන් ඔබ පුදුම වනු ඇත! රේඛා වලින් සීමා වූ පැතලි රූපයක ප්රදේශය ගණනය කරමු. නිශ්චිතභාවය සඳහා, අපි එය පරතරය මත උපකල්පනය කරමු. මෙම රූපයේ ප්රදේශය සංඛ්යාත්මකව සමාන වේ:

චිත්‍රයේ ඇති ප්‍රදේශය නිරූපණය කරමු:

ප්‍රදේශය මඟ හැරීමට පළමු මාර්ගය තෝරා ගනිමු:

මේ ක්රමයෙන්:

වහාම වැදගත් තාක්ෂණික උපක්‍රමයක්: පුනරාවර්තන අනුකලනය වෙන වෙනම සලකා බැලිය හැක. පළමුව අභ්යන්තර අනුකලනය, පසුව පිටත අනුකලනය. මෙම ක්රමයතේ පෝච්චිවල ආරම්භකයින් සඳහා බෙහෙවින් නිර්දේශ කරන්න.

1) "y" විචල්‍යය හරහා අනුකලනය සිදු කරන අතර අභ්‍යන්තර අනුකලනය ගණනය කරන්න:

මෙහි ඇති අවිනිශ්චිත අනුකලනය සරලම වන අතර, එකම වෙනස සමඟින් නිවුටන්-ලයිබ්නිස් සූත්‍රය භාවිතා වේ. අනුකලනයෙහි සීමාවන් සංඛ්‍යා නොව ශ්‍රිත වේ. පළමුව, අපි ඉහළ සීමාව “y” (ප්‍රතිව්‍යුත්පන්න ශ්‍රිතය) වෙත ආදේශ කළෙමු, පසුව පහළ සීමාව

2) පළමු ඡේදයේ ලබාගත් ප්රතිඵලය බාහිර අනුකලනයට ආදේශ කළ යුතුය:

සම්පූර්ණ විසඳුම සඳහා වඩාත් සංයුක්ත අංකනයක් මේ ආකාරයෙන් පෙනේ:

ප්රතිඵලය සූත්රය - ඒක හරියටම වැඩ සූත්රය"සාමාන්‍ය" නිශ්චිත අනුකලනය භාවිතා කරමින් පැතලි රූපයක ප්‍රදේශය ගණනය කිරීමට! පාඩම බලන්න නිශ්චිත අනුකලනයක් භාවිතා කරමින් ප්රදේශය ගණනය කිරීම, සෑම අවස්ථාවකදීම ඇය සිටී!

එනම්, ද්විත්ව අනුකලනයක් භාවිතා කරමින් ප්රදේශය ගණනය කිරීමේ ගැටළුව ටිකක් වෙනස්නිශ්චිත අනුකලනයක් භාවිතා කරමින් ප්රදේශය සොයා ගැනීමේ ගැටලුවෙන්!ඇත්ත වශයෙන්ම, ඔවුන් එක හා සමානයි!

ඒ අනුව, දුෂ්කරතා මතු නොවිය යුතුය! ඇත්ත වශයෙන්ම, ඔබ නැවත නැවතත් මෙම ගැටලුවට මුහුණ දී ඇති බැවින් මම බොහෝ උදාහරණ සලකා බලන්නේ නැත.

උදාහරණ 9

විසඳුමක්:චිත්‍රයේ ඇති ප්‍රදේශය නිරූපණය කරමු:

කලාපය හරහා ගමන් කිරීමේ පහත අනුපිළිවෙල තෝරා ගනිමු:

මෙහි සහ පහතින්, පළමු ඡේදය ඉතා සවිස්තරාත්මක වූ බැවින්, ප්‍රදේශයක් හරහා ගමන් කරන්නේ කෙසේද යන්න ගැන මම නොයමි.

මේ ක්රමයෙන්:

මා දැනටමත් සඳහන් කර ඇති පරිදි, ආරම්භකයින් සඳහා පුනරාවර්තන අනුකලනය වෙන වෙනම ගණනය කිරීම වඩා හොඳය, මම එකම ක්‍රමයට අනුගත වෙමි:

1) පළමුව, නිව්ටන්-ලයිබ්නිස් සූත්‍රය භාවිතා කරමින්, අපි අභ්‍යන්තර අනුකලනය සමඟ කටයුතු කරමු:

2) පළමු පියවරේදී ලබාගත් ප්‍රතිඵලය බාහිර අනුකලනයට ආදේශ කරනු ලැබේ:

2 වන කරුණ ඇත්ත වශයෙන්ම නිශ්චිත අනුකලනයක් භාවිතයෙන් පැතලි රූපයක ප්රදේශය සොයා ගැනීමයි.

පිළිතුර:

මෙන්න එවැනි මෝඩ හා බොළඳ කාර්යයක්.

සඳහා සිත්ගන්නා උදාහරණයක් ස්වාධීන විසඳුම:

උදාහරණ 10

ද්විත්ව අනුකලනය භාවිතා කරමින්, රේඛා වලින් මායිම් කරන ලද තල රූපයක වර්ගඵලය ගණනය කරන්න, ,

සාම්පල නියැදිය අවසන් කිරීමපාඩම අවසානයේ විසඳුම්.

උදාහරණ 9-10 හි, ප්‍රදේශය මඟ හැරීමට පළමු ක්‍රමය භාවිතා කිරීම වඩා ලාභදායී වේ, කුතුහලයෙන් සිටින පාඨකයන්ට, බයිපාස් අනුපිළිවෙල වෙනස් කර දෙවන ආකාරයෙන් ප්‍රදේශ ගණනය කළ හැකිය. ඔබ වැරැද්දක් නොකරන්නේ නම්, ස්වාභාවිකවම, එකම ප්‍රදේශයේ අගයන් ලබා ගනී.

නමුත් සමහර අවස්ථාවලදී, ප්රදේශය මඟ හැරීමේ දෙවන ක්රමය වඩාත් ඵලදායී වන අතර, තරුණ නර්ඩ්ගේ පාඨමාලාව අවසානයේ, මෙම මාතෘකාව පිළිබඳ තවත් උදාහරණ කිහිපයක් දෙස බලමු:

උදාහරණ 11

ද්විත්ව අනුකලනය භාවිතා කරමින්, රේඛා වලින් මායිම් කරන ලද තල රූපයක ප්රදේශය ගණනය කරන්න.

විසඳුමක්:අපි ඔවුන්ගේ පැත්තේ වැතිර සිටින සුළඟක් සහිත පැරබෝලා දෙකක් දෙස බලා සිටිමු. සිනාසීමට අවශ්‍ය නැත, බහු අනුකලනයන්හි සමාන දේවල් බොහෝ විට හමු වේ.

චිත්රයක් සෑදීමට පහසුම ක්රමය කුමක්ද?

පැරබෝලා කාර්යයන් දෙකක් ලෙස නිරූපණය කරමු:
- ඉහළ ශාඛාව සහ - පහළ ශාඛාව.

ඒ හා සමානව, parabola ඉහළ සහ පහළ ලෙස සිතන්න ශාඛා.

ඊළඟට, ලක්ෂ්‍යයෙන් ලක්ෂ්‍ය කුමන්ත්‍රණ ධාවකයන්, ප්‍රතිඵලයක් ලෙස එවැනි විකාර රූපයක්:

රූපයේ ප්රදේශය සූත්රය අනුව ද්විත්ව අනුකලනය භාවිතයෙන් ගණනය කෙරේ:

අපි ප්‍රදේශය මඟ හැරීමට පළමු මාර්ගය තෝරා ගන්නේ නම් කුමක් සිදුවේද? මුලින්ම, ලබා දී ඇති ප්රදේශයකොටස් දෙකකට බෙදීමට සිදුවනු ඇත. දෙවනුව, අපි මෙම දුක්ඛිත පින්තූරය නිරීක්ෂණය කරමු: . අනුකලනය, ඇත්ත වශයෙන්ම, සුපිරි සංකීර්ණ මට්ටමේ නොවේ, නමුත් ... පැරණි ගණිතමය කියමනක් තිබේ: මූලයන් සමඟ මිත්රශීලී වන ඕනෑම කෙනෙකුට කට්ටලයක් අවශ්ය නොවේ.

එබැවින්, කොන්දේසියේ දී ඇති වැරදි අවබෝධයෙන්, අපි ප්රතිලෝම ශ්රිතයන් ප්රකාශ කරමු:

ප්රතිලෝම ශ්රිතතුල මෙම උදාහරණයඔවුන් වහාම කිසිදු කොළ, acorns, අතු සහ මුල් නොමැතිව සම්පූර්ණ parabola පිහිටුවීම වාසිය ඇත.

දෙවන ක්රමයට අනුව, ප්රදේශයේ ගමන් කිරීම පහත පරිදි වේ:

මේ ක්රමයෙන්:

ඔවුන් පවසන පරිදි, වෙනස දැනෙන්න.

1) අපි අභ්යන්තර අනුකලනය සමඟ කටයුතු කරන්නෙමු:

අපි ප්රතිඵලය බාහිර අනුකලනයට ආදේශ කරමු:

"y" විචල්‍යය මත ඒකාබද්ධ කිරීම අපහසුතාවයට පත් නොවිය යුතුය, "zyu" අකුරක් තිබුනේ නම් - එය මත අනුකලනය කිරීම ඉතා හොඳ වනු ඇත. පාඩමේ දෙවෙනි ඡේදය කියෙව්වත් විප්ලවයේ සිරුරේ පරිමාව ගණනය කරන්නේ කෙසේද?, ඔහු තවදුරටත් "y" මත අනුකලනය සමග සුළු අපහසුතාවයක් අත්විඳින්නේ නැත.

පළමු පියවර කෙරෙහි ද අවධානය යොමු කරන්න: අනුකලනය ඒකාකාර වන අතර අනුකලනය ඛණ්ඩය ශුන්‍යයට සමමිතික වේ. එමනිසා, කොටස අඩකින් අඩු කළ හැකි අතර, ප්රතිඵලය දෙගුණ කළ හැක. මෙම තාක්ෂණය පාඩමෙහි විස්තරාත්මකව අදහස් කෙරේ. ඵලදායී ක්රමනිශ්චිත අනුකලනයක් ගණනය කිරීම.

මොනවා එකතු කරන්නද.... සියල්ල!

පිළිතුර:

ඔබේ ඒකාබද්ධ කිරීමේ තාක්ෂණය පරීක්ෂා කිරීම සඳහා, ඔබට ගණනය කිරීමට උත්සාහ කළ හැකිය . පිළිතුර හරියටම සමාන විය යුතුය.

උදාහරණ 12

ද්විත්ව අනුකලනය භාවිතා කරමින්, රේඛා වලින් මායිම් කරන ලද තල රූපයක ප්රදේශය ගණනය කරන්න

මෙය ඔබ විසින්ම කළ හැකි උදාහරණයකි. ඔබ ප්‍රදේශය මඟ හැරීමට පළමු මාර්ගය භාවිතා කිරීමට උත්සාහ කරන්නේ නම්, රූපය තවදුරටත් දෙකකට නොව කොටස් තුනකට බෙදනු ඇති බව සටහන් කිරීම සිත්ගන්නා කරුණකි! තවද, ඒ අනුව, අපට පුනරාවර්තන අනුකලන යුගල තුනක් ලැබේ. සමහර විට එය සිදු වේ.

මාස්ටර් පන්තිය අවසන් වී ඇති අතර, ග්‍රෑන්ඩ්මාස්ටර් මට්ටමට යාමට කාලයයි - ද්විත්ව අනුකලනය ගණනය කරන්නේ කෙසේද? විසඳුම් උදාහරණ. මම දෙවන ලිපියෙන් එතරම් උමතු නොවී සිටීමට උත්සාහ කරමි =)

ඔබට සාර්ථක වේවා!

විසඳුම් සහ පිළිතුරු:

උදාහරණ 2:විසඳුමක්: ප්රදේශයක් අඳින්න චිත්රය මත:

කලාපය හරහා ගමන් කිරීමේ පහත අනුපිළිවෙල තෝරා ගනිමු:

මේ ක්රමයෙන්:
අපි ප්‍රතිලෝම ශ්‍රිත වෙත යමු:


මේ ක්රමයෙන්:
පිළිතුර:

උදාහරණ 4:විසඳුමක්: අපි සෘජු කාර්යයන් වෙත යමු:


අපි චිත්රය ක්රියාත්මක කරමු:

ප්‍රදේශයේ ගමන් අනුපිළිවෙල වෙනස් කරමු:

පිළිතුර:

ඒ)

විසඳුමක්.

පළමුව සහ තීරණාත්මක මොහොතවිසඳුම් - චිත්රයක් ගොඩනැගීම.

අපි චිත්රයක් සාදන්න:

සමීකරණය y=0 x අක්ෂය සකසයි;

- x=-2 හා x=1 - සෘජු, අක්ෂයට සමාන්තරව OU;

- y \u003d x 2 +2 - පැරබෝලා, එහි අතු ඉහළට යොමු කර ඇති අතර, ලක්ෂ්‍යයේ ශීර්ෂයක් (0;2).

අදහස් දක්වන්න.පරාවලයක් තැනීම සඳහා, ඛණ්ඩාංක අක්ෂ සමඟ එහි ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්ය සොයා ගැනීමට ප්රමාණවත් වේ, i.e. දැමීම x=0 අක්ෂය සමඟ ඡේදනය සොයා ගන්න OU සහ සුදුසු දේ තීරණය කිරීම චතුරස්රාකාර සමීකරණය, අක්ෂය සමඟ ඡේදනය සොයා ගන්න ඔහ් .

සූත්‍ර භාවිතයෙන් පැරබෝලාවක ශීර්ෂය සොයා ගත හැක:

ඔබට රේඛා ඇඳිය ​​හැකි අතර ලක්ෂ්යයෙන් ලක්ෂ්යය.

අන්තරය මත [-2;1] ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරය y=x 2 +2 පිහිටා ඇත අක්ෂය හරහා ගොනා , ඒක තමයි:

පිළිතුර: එස් \u003d වර්ග ඒකක 9

කාර්යය අවසන් වූ පසු, ඇඳීම දෙස බැලීම සහ පිළිතුර සැබෑ දැයි සොයා බැලීම සැමවිටම ප්රයෝජනවත් වේ. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, "ඇසෙන්" අපි චිත්රයේ සෛල සංඛ්යාව ගණනය කරමු - හොඳයි, 9 ක් පමණ ටයිප් කරනු ඇත, එය සත්ය බව පෙනේ. අපට පිළිතුර තිබුණේ නම්, කියන්න: 20 බව පැහැදිලිය වර්ග ඒකක, පැහැදිලිවම, කොතැනක හෝ වැරැද්දක් සිදුවී ඇත - සෛල 20 ක් පැහැදිලිවම අදාළ රූපයට නොගැලපේ, උපරිම වශයෙන් දුසිමක්. පිළිතුර ඍණාත්මක බවට පත් වූවා නම්, එම කාර්යය ද වැරදි ලෙස විසඳා ඇත.

Curvilinear trapezoid පිහිටා තිබේ නම් කුමක් කළ යුතුද? අක්ෂය යටතේ ඔහ්?

බී)රේඛාවලින් මායිම් කරන ලද රූපයක ප්රදේශය ගණනය කරන්න y=-e x , x=1 සහ සම්බන්ධීකරණ අක්ෂ.

විසඳුමක්.

අපි චිත්‍රයක් හදමු.

curvilinear trapezoid නම් සම්පූර්ණයෙන්ම අක්ෂය යටතේ ඔහ් , එවිට එහි ප්රදේශය සූත්රය මගින් සොයාගත හැකිය:

පිළිතුර: S=(e-1) වර්ග ඒකකය" 1.72 වර්ග ඒකකය

අවධානය! කාර්යයන් වර්ග දෙක පටලවා නොගන්න:

1) සරලව විසඳන්න ඔබෙන් ඉල්ලා සිටින්නේ නම් නිශ්චිත අනුකලනයකිසිදු ජ්යාමිතික අර්ථයකින් තොරව, එය සෘණ විය හැක.

2) නිශ්චිත අනුකලනයක් භාවිතා කරමින් රූපයක ප්‍රදේශය සොයා ගැනීමට ඔබෙන් ඉල්ලා සිටින්නේ නම්, එම ප්‍රදේශය සැමවිටම ධනාත්මක වේ! දැන් සලකා බැලූ සූත්‍රයේ අඩුව පෙනෙන්නේ එබැවිනි.

ප්රායෝගිකව, බොහෝ විට රූපය ඉහළ සහ පහළ අර්ධ-තල දෙකෙහිම පිහිටා ඇත.

සමඟ)රේඛා වලින් සීමා වූ තල රූපයක ප්‍රදේශය සොයා ගන්න y \u003d 2x-x 2, y \u003d -x.

විසඳුමක්.

පළමුව ඔබ චිත්රයක් සෑදිය යුතුය. පොදුවේ ගත් කල, ප්‍රදේශයේ ගැටළු වල චිත්‍රයක් තැනීමේදී, අපි වඩාත් උනන්දු වන්නේ රේඛා ඡේදනය වන ස්ථාන කෙරෙහි ය. පැරබෝලා ඡේදනය වන ස්ථාන සොයා ගන්න සහ සෘජු මෙය ආකාර දෙකකින් කළ හැකිය. පළමු මාර්ගය විශ්ලේෂණාත්මක ය.

අපි සමීකරණය විසඳන්නෙමු:

එබැවින් ඒකාබද්ධයේ පහළ සීමාව a=0 , ඒකාබද්ධ කිරීමේ ඉහළ සීමාව b=3 .

අපි ලබා දී ඇති රේඛා ගොඩනඟමු: 1. Parabola - ලක්ෂ්යයේ (1;1); අක්ෂය ඡේදනය ඔහ් -ලකුණු (0;0) සහ (0;2). 2. සෘජු රේඛාව - 2 වන සහ 4 වන ඛණ්ඩාංක කෝණවල ද්වි අංශය. සහ දැන් අවධානය! කොටසේ නම් [ a;b] සමහර අඛණ්ඩ කාර්යයක් f(x)සමහරකට වඩා විශාල හෝ සමාන වේ අඛණ්ඩ ක්රියාකාරිත්වය g(x), එවිට අනුරූප රූපයේ ප්රදේශය සූත්රය මගින් සොයාගත හැකිය: . රූපය පිහිටා ඇත්තේ කොතැනද යන්න ගැටළුවක් නොවේ - අක්ෂයට ඉහළින් හෝ අක්ෂයට පහළින්, නමුත් කුමන ප්‍රස්ථාරය ඉහළද (වෙනත් ප්‍රස්ථාරයකට සාපේක්ෂව) සහ පහත දැක්වෙන ප්‍රස්ථාරය වැදගත් වේ. සලකා බලනු ලබන උදාහරණයේ දී, ඛණ්ඩයේ පැරබෝලා සරල රේඛාවට ඉහළින් පිහිටා ඇති බව පැහැදිලිය, එබැවින් එය අඩු කිරීම අවශ්ය වේ.

"තමන් විසින්ම" ලෙසින් ඒකාබද්ධ කිරීමේ සීමාවන් සොයා ගන්නා අතර, ලක්ෂ්‍යයෙන් ලක්ෂ්‍යයට රේඛා තැනීමට හැකිය. කෙසේ වෙතත්, සීමාවන් සොයා ගැනීමේ විශ්ලේෂණාත්මක ක්‍රමය සමහර විට භාවිතා කළ යුතුය, උදාහරණයක් ලෙස, ප්‍රස්ථාරය ප්‍රමාණවත් තරම් විශාල නම්, හෝ නූල් ඉදි කිරීම් ඒකාබද්ධ කිරීමේ සීමාවන් හෙළි නොකළේ නම් (ඒවා භාගික හෝ අතාර්කික විය හැකිය).

අපේක්ෂිත රූපය ඉහළින් පරාවලයකින් සහ පහළින් සරල රේඛාවකින් සීමා වේ.

කොටස මත , අනුරූප සූත්රය අනුව:

පිළිතුර: එස් \u003d වර්ග ඒකක 4.5

ඇත්ත වශයෙන්ම, රූපයක ප්රදේශය සොයා ගැනීම සඳහා, ඔබට අවිනිශ්චිත හා නිශ්චිත අනුකලනය පිළිබඳ එතරම් දැනුමක් අවශ්ය නොවේ. කර්තව්යය "නිශ්චිත අනුකලනයක් භාවිතා කරමින් ප්රදේශය ගණනය කිරීම" සෑම විටම චිත්රයක් තැනීම ඇතුළත් වේ, එබැවින් ඔබේ දැනුම සහ චිත්‍ර ඇඳීමේ කුසලතා වඩාත් අදාළ ගැටලුවක් වනු ඇත. මේ සම්බන්ධයෙන්, ප්රධාන ග්රැෆික්ස් මත බුරුසුවක් කිරීම ප්රයෝජනවත් වේ මූලික කාර්යයන්, නමුත් අවම වශයෙන් සරල රේඛාවක් තැනීමට හැකි වන අතර, සහ අතිශයෝක්තිය.

Curvilinear trapezoidමෙම අන්තරයේ ලකුණ වෙනස් නොවන කොටසක අඛණ්ඩ ශ්‍රිතයක අක්ෂය, සරල රේඛා සහ ප්‍රස්ථාරයෙන් සීමා වූ පැතලි රූපයක් ලෙස හැඳින්වේ. ඉඩ ලබා දී ඇති රූපයපිහිටා ඇත අඩු නොවේ abscissa:

ඉන්පසු Curvilinear trapezoid ප්‍රදේශය සංඛ්‍යාත්මකව යම් අනුකලනයකට සමාන වේ. ඕනෑම නිශ්චිත අනුකලනයකට (පවතින) ඉතා හොඳ ජ්‍යාමිතික අර්ථයක් ඇත.

ජ්‍යාමිතිය අනුව, නිශ්චිත අනුකලනය AREA වේ.

එනම්,නිශ්චිත අනුකලනය (එය පවතී නම්) යම් රූපයක ප්රදේශයට ජ්යාමිතිකව අනුරූප වේ. උදාහරණයක් ලෙස, නිශ්චිත අනුකලනය සලකා බලන්න. අනුකලනය මඟින් අක්ෂයට ඉහළින් පිහිටා ඇති තලයේ වක්‍රයක් නිර්වචනය කරයි (අවශ්‍ය අයට චිත්‍රය සම්පූර්ණ කළ හැකිය), සහ නිශ්චිත අනුකලනයම සංඛ්‍යාත්මකව අනුරූප වක්‍ර රේඛීය trapezoid ප්‍රදේශයට සමාන වේ.

උදාහරණ 1

මෙය සාමාන්‍ය කාර්ය ප්‍රකාශයකි. තීරණයේ පළමු හා වැදගත්ම මොහොත වන්නේ චිත්රයක් තැනීමයි. එපමණක්ද නොව, චිත්රය ගොඩනගා ගත යුතුය හරි.

සැලැස්මක් තැනීමේදී, මම පහත අනුපිළිවෙල නිර්දේශ කරමි: පළමුවනසියලුම රේඛා (ඇත්නම්) සහ පමණක් ඉදිකිරීම වඩා හොඳය පසුව- parabolas, hyperbolas, අනෙකුත් ශ්රිතවල ප්රස්ථාර. ක්‍රියාකාරී ප්‍රස්ථාර ගොඩනැගීමට වඩා ලාභදායී වේ ලක්ෂ්යමය.

මෙම ගැටළුව තුළ, විසඳුම මේ ආකාරයෙන් පෙනෙනු ඇත.
අපි චිත්‍රයක් සාදන්නෙමු (සමීකරණය අක්ෂය නිර්වචනය කරන බව සලකන්න):

කොටසෙහි, ශ්රිතයේ ප්රස්ථාරය පිහිටා ඇත අක්ෂය හරහා, ඒක තමයි:

පිළිතුර:

කාර්යය අවසන් වූ පසු, ඇඳීම දෙස බැලීම සහ පිළිතුර සැබෑ දැයි සොයා බැලීම සැමවිටම ප්රයෝජනවත් වේ. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, "ඇසෙන්" අපි චිත්රයේ සෛල සංඛ්යාව ගණනය කරමු - හොඳයි, 9 ක් පමණ ටයිප් කරනු ඇත, එය සත්ය බව පෙනේ. අපට පිළිතුර තිබුනේ නම්, වර්ග ඒකක 20 ක් නම්, පැහැදිලිවම, කොතැනක හෝ වැරැද්දක් සිදුවී ඇත - සෛල 20 ක් පැහැදිලිවම අදාළ රූපයට නොගැලපේ, උපරිම වශයෙන් දුසිමක්. පිළිතුර ඍණාත්මක බවට පත් වූවා නම්, එම කාර්යය ද වැරදි ලෙස විසඳා ඇත.

උදාහරණය 3

රේඛා සහ සම්බන්ධීකරණ අක්ෂ වලින් මායිම් කර ඇති රූපයේ ප්රදේශය ගණනය කරන්න.

විසඳුමක්: අපි චිත්රයක් කරමු:

Curvilinear trapezoid පිහිටා තිබේ නම් අක්ෂය යටතේ(හෝ අවම වශයෙන් උසස් නොවේඅක්ෂය ලබා දී ඇත), එවිට එහි ප්රදේශය සූත්රය මගින් සොයාගත හැකිය:

මේ අවස්ථාවේ දී:

අවධානය! කාර්යයන් වර්ග දෙක පටලවා නොගන්න:

1) ජ්‍යාමිතික අර්ථයකින් තොරව නිශ්චිත අනුකලනයක් පමණක් විසඳන ලෙස ඔබෙන් ඉල්ලා සිටින්නේ නම්, එය සෘණාත්මක විය හැක.

2) නිශ්චිත අනුකලනයක් භාවිතා කරමින් රූපයක ප්‍රදේශය සොයා ගැනීමට ඔබෙන් ඉල්ලා සිටින්නේ නම්, එම ප්‍රදේශය සැමවිටම ධනාත්මක වේ! දැන් සලකා බැලූ සූත්‍රයේ අඩුව පෙනෙන්නේ එබැවිනි.

ප්රායෝගිකව, බොහෝ විට රූපය ඉහළ සහ පහළ අර්ධ තල දෙකෙහිම පිහිටා ඇති අතර, එම නිසා, සරලම පාසල් ගැටළු වලින්, අපි වඩාත් අර්ථවත් උදාහරණ වෙත ගමන් කරමු.

උදාහරණය 4

රේඛා වලින් සීමා වූ පැතලි රූපයක ප්රදේශය සොයා ගන්න.

විසඳුමක්: පළමුව ඔබ චිත්රය සම්පූර්ණ කළ යුතුය. පොදුවේ ගත් කල, ප්‍රදේශයේ ගැටළු වල චිත්‍රයක් තැනීමේදී, අපි වඩාත් උනන්දු වන්නේ රේඛා ඡේදනය වන ස්ථාන කෙරෙහි ය. පැරබෝලා සහ රේඛාවේ ඡේදනය වන ස්ථාන සොයා ගනිමු. මෙය ආකාර දෙකකින් කළ හැකිය. පළමු මාර්ගය විශ්ලේෂණාත්මක ය. අපි සමීකරණය විසඳන්නෙමු:

එබැවින්, ඒකාබද්ධයේ පහළ සීමාව, ඒකාබද්ධයේ ඉහළ සීමාව.

හැකි නම්, මෙම ක්රමය භාවිතා නොකිරීම වඩාත් සුදුසුය..

රේඛා ලක්ෂ්‍යයෙන් තැනීම වඩා ලාභදායී සහ වේගවත් වන අතර ඒකාබද්ධ කිරීමේ සීමාවන් "තමන් විසින්ම" ලෙස සොයා ගනු ලැබේ. කෙසේ වෙතත්, සීමාවන් සොයා ගැනීමේ විශ්ලේෂණාත්මක ක්‍රමය සමහර විට භාවිතා කළ යුතුය, උදාහරණයක් ලෙස, ප්‍රස්ථාරය ප්‍රමාණවත් තරම් විශාල නම්, හෝ නූල් ඉදි කිරීම් ඒකාබද්ධ කිරීමේ සීමාවන් හෙළි නොකළේ නම් (ඒවා භාගික හෝ අතාර්කික විය හැකිය). තවද අපි එවැනි උදාහරණයක් සලකා බලමු.

අපි අපගේ කාර්යයට ආපසු යමු: පළමුව සරල රේඛාවක් තැනීම වඩාත් තාර්කික වන අතර පසුව පැරබෝලා පමණි. අපි චිත්රයක් සාදන්න:

දැන් වැඩ සූත්රය: අන්තරය මත යම් අඛණ්ඩ කාර්යයක් තිබේ නම් වඩා විශාල හෝ සමානයම් අඛණ්ඩ ශ්‍රිතයක්, එවිට මෙම ශ්‍රිතවල ප්‍රස්ථාර සහ සරල රේඛා වලින් සීමා වූ රූපයේ ප්‍රදේශය සූත්‍රය මගින් සොයාගත හැක:

මෙහිදී රූපය පිහිටා ඇත්තේ කොතැනදැයි සිතීම තවදුරටත් අවශ්‍ය නොවේ - අක්ෂයට ඉහළින් හෝ අක්ෂයට පහළින්, සහ දළ වශයෙන් කිවහොත්, ඉහත කුමන ප්‍රස්ථාරයද යන්න වැදගත් වේ(වෙනත් ප්‍රස්ථාරයකට සාපේක්ෂව) සහ පහත දැක්වෙන්නේ කුමන එකක්ද යන්න.

සලකා බලනු ලබන උදාහරණයේ දී, ඛණ්ඩයේ පැරබෝලා සරල රේඛාවට ඉහළින් පිහිටා ඇති බව පැහැදිලිය, එබැවින් එය අඩු කිරීම අවශ්ය වේ.

විසඳුම සම්පූර්ණ කිරීම මේ වගේ විය හැකිය:

අපේක්ෂිත රූපය ඉහළින් පරාවලයකින් සහ පහළින් සරල රේඛාවකින් සීමා වේ.
කොටස මත, අනුරූප සූත්රය අනුව:

පිළිතුර:

උදාහරණය 4

රේඛාවලින් මායිම් කරන ලද රූපයේ ප්රදේශය ගණනය කරන්න, , , .

විසඳුමක්: අපි මුලින්ම චිත්‍රයක් හදමු:

අප සොයා ගත යුතු ප්‍රදේශය නිල් පැහැයෙන් වර්ණාලේප කර ඇත.(තත්වය දෙස හොඳින් බලන්න - රූපය සීමිත වන්නේ කෙසේද!). නමුත් ප්‍රායෝගිකව, නොසැලකිලිමත්කම හේතුවෙන්, කොළ පැහැයෙන් සෙවන ලද රූපයේ ප්‍රදේශය සොයා ගැනීමට ඔබට අවශ්‍ය වන “ගැටළුවක්” බොහෝ විට සිදු වේ!

මෙම උදාහරණය ද ප්‍රයෝජනවත් වන්නේ එහි රූපයේ ප්‍රදේශය නිශ්චිත අනුකලන දෙකක් භාවිතා කර ගණනය කර ඇති බැවිනි.

ඇත්තටම:

1) අක්ෂයට ඉහලින් ඇති කොටසෙහි සරල රේඛා ප්රස්ථාරයක් ඇත;

2) අක්ෂයට ඉහලින් ඇති කොටසෙහි හයිපර්බෝලා ප්‍රස්ථාරයක් ඇත.

ප්‍රදේශ එකතු කළ හැකි (සහ කළ යුතු) බව ඉතා පැහැදිලිය, එබැවින්: