පද්ධති තරාතිරම. න්යාස ශ්රේණිය සහ න්යාසයක මූලික සුළු
න්යාසයක ශ්රේණිය වැදගත් සංඛ්‍යාත්මක ලක්ෂණයකි. න්යාසයක ශ්රේණිය සොයා ගැනීමට අවශ්ය වඩාත් ලාක්ෂණික ගැටළුව වන්නේ රේඛීය පද්ධතියක ගැළපුම පරීක්ෂා කිරීමයි. වීජීය සමීකරණ. මෙම ලිපියෙන් අපි න්යාසයක ශ්රේණිය පිළිබඳ සංකල්පය ලබා දී එය සොයා ගැනීමේ ක්රම සලකා බලමු. ද්රව්යයේ වඩා හොඳ උකහා ගැනීම සඳහා, අපි උදාහරණ කිහිපයක විසඳුම් විස්තරාත්මකව විශ්ලේෂණය කරමු.
පිටු සංචලනය.
අනුකෘතියක තරාතිරම තීරණය කිරීම සහ අවශ්ය අතිරේක සංකල්ප.
න්යාසයක ශ්රේණියේ නිර්වචනය ප්‍රකාශ කිරීමට පෙර, බාලවයස්කාර සංකල්පය පිළිබඳ මනා අවබෝධයක් තිබිය යුතු අතර, න්යාසයක බාල වයස්කරුවන් සොයා ගැනීමෙන් නිර්ණායකය ගණනය කිරීමේ හැකියාව අදහස් වේ. එබැවින්, අවශ්ය නම්, ලිපියේ න්යාය, න්යාස නිර්ණය සොයා ගැනීමේ ක්රම, නිර්ණායකයේ ගුණාංග සිහිපත් කිරීමට අපි නිර්දේශ කරමු.
අනුපිළිවෙල A අනුකෘතියක් ගන්න. k ටිකක් වෙන්න දෙන්න ස්වභාවික අංකය, m සහ n සංඛ්‍යාවලින් කුඩාම සංඛ්යාව නොඉක්මවන, එනම්, 
.
අර්ථ දැක්වීම.
කුඩා k-th අනුපිළිවෙලන්‍යාස A යනු අනුපිළිවෙලෙහි වර්ග න්‍යාසයේ නිර්ණායකය වන අතර න්‍යාසයේ A මූලද්රව්ය වලින් සමන්විත වන අතර ඒවා කලින් තෝරාගත් k පේළි සහ k තීරු වල ඇති අතර A අනුකෘතියේ මූලද්‍රව්‍යවල පිහිටීම සංරක්ෂණය කර ඇත.
වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, අපි න්‍යාසයේ A හි (p-k) පේළි සහ (n-k) තීරු මකා, ඉතිරි මූලද්රව්ය වලින් න්‍යාසයක් සාදනවා නම්, න්යාස A මූලද්‍රව්‍යවල සැකැස්ම ආරක්ෂා කරන්නේ නම්, එවිට ලැබෙන න්‍යාසයේ නිර්ණායකය වේ matrix A හි k අනුපිළිවෙලෙහි බාලවයස්කරුවෙක්.
උදාහරණයක් භාවිතා කරමින් matrix Minor එකක නිර්වචනය බලමු.
අනුකෘතිය සලකා බලන්න 
.
අපි මෙම න්‍යාසයේ පළමු පෙළ බාල වයස්කරුවන් කිහිපයක් ලියා තබමු. උදාහරණයක් ලෙස, අපි න්‍යාසය A හි තුන්වන පේළිය සහ දෙවන තීරුව තෝරා ගන්නේ නම්, අපගේ තේරීම පළමු අනුපිළිවෙල බාල වයස්කරුවෙකුට අනුරූප වේ. 
. වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, මෙම බාලවය ලබා ගැනීම සඳහා, අපි පළමු සහ දෙවන පේළි මෙන්ම, A න්‍යාසයෙන් පළමු, තෙවන සහ හතරවන තීරු හරස් කර, ඉතිරි මූලද්‍රව්‍යයෙන් නිර්ණායකය සෑදුවෙමු. අපි න්‍යාසයේ A හි පළමු පේළිය සහ තුන්වන තීරුව තෝරා ගන්නේ නම්, අපට බාල වයස්කරුවෙකු ලැබේ 
.
සලකා බලන ලද පළමු පෙළ බාල වයස්කරුවන් ලබා ගැනීමේ ක්රියා පටිපාටිය අපි නිදර්ශනය කරමු 
හා 
.
මේ අනුව, න්යාසයක පළමු අනුපිළිවෙල බාලයන් යනු අනුකෘති මූලද්රව්ය වේ.
අපි දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි බාල වයස්කරුවන් කිහිප දෙනෙකු පෙන්වමු. පේළි දෙකක් සහ තීරු දෙකක් තෝරන්න. උදාහරණයක් ලෙස, පළමු සහ දෙවන පේළි සහ තුන්වන සහ සිව්වන තීරු ගන්න. මෙම තේරීම සමඟ, අපට දෙවන පෙළ බාල වයස්කරුවෙකු ඇත 
. න්යාස A වෙතින් තුන්වන පේළිය, පළමු සහ දෙවන තීරු මකා දැමීමෙන් ද මෙම බාලවය සෑදිය හැක.
න්යාස A හි තවත් දෙවන අනුපිළිවෙල සුළු වේ.
මෙම දෙවන පෙළ බාල වයස්කරුවන්ගේ ඉදිකිරීම් අපි නිදර්ශනය කරමු 
හා 
.
න්‍යාසය A හි තුන්වන අනුපිළිවෙලෙහි බාල වයස්කරුවන් ද ඒ හා සමානව සොයාගත හැකිය. A matrix හි පේළි තුනක් පමණක් ඇති බැවින්, අපි ඒවා සියල්ලම තෝරා ගනිමු. අපි මෙම පේළි සඳහා පළමු තීරු තුන තෝරා ගන්නේ නම්, අපට තුන්වන අනුපිළිවෙලෙහි සුළු එකක් ලැබේ 
A න්‍යාසයේ අවසාන තීරුව මකා දැමීමෙන් ද එය සෑදිය හැක.
තවත් තුන්වන අනුපිළිවෙල බාල වයස්කාර වේ 
A matrix හි තුන්වන තීරුව මකා දැමීමෙන් ලබා ගන්නා ලදී.
මෙන්න මේ තුන්වන අනුපිළිවෙල බාල වයස්කරුවන්ගේ ඉදිකිරීම් පෙන්වන චිත්‍රයක් 
හා 
.
ලබා දී ඇති න්‍යාසය A සඳහා, තුන්වන අගයට වඩා ඉහළ අනුපිළිවෙලෙහි බාල වයස්කරුවන් නොමැත, සිට .
අනුපිළිවෙල A අනුකෘතියේ k-th අනුපිළිවෙල බාලයන් කීයක් තිබේද?
අනුපිළිවෙල k බාලවයස්කරුවන් සංඛ්යාව , එහිදී ලෙස ගණනය කළ හැක 
හා 
- පිළිවෙලින් p සිට k සහ n සිට k දක්වා සංයෝජන ගණන.
න්‍යාසයේ p අනුපිළිවෙලෙහි න්‍යාසයේ k අනුපිළිවෙලෙහි සියලුම බාල වයස්කරුවන් n මත ගොඩනඟන්නේ කෙසේද?
අපට න්යාස පේළි අංක කට්ටලයක් සහ තීරු අංක කට්ටලයක් අවශ්ය වේ. සියල්ල පටිගත කිරීම k මගින් p මූලද්‍රව්‍යවල සංයෝජන(ඒවා කුඩා අනුපිළිවෙලක් තැනීමේදී A අනුකෘතියේ තෝරාගත් පේළිවලට අනුරූප වේ). පේළි සංඛ්‍යාවල එක් එක් සංයෝජනයකට, අපි n මූලද්‍රව්‍යවල සියලුම සංයෝජන අනුක්‍රමයෙන් k තීරු අංක මගින් එකතු කරමු. න්යාස A හි පේළි අංක සහ තීරු අංකවල මෙම සංයෝජන කට්ටල k අනුපිළිවෙලෙහි සියලුම බාලයන් රචනා කිරීමට උපකාරී වේ.
අපි උදාහරණයක් ගනිමු.
උදාහරණයක්.
අනුකෘතියේ සියලුම දෙවන අනුපිළිවෙල බාල වයස්කරුවන් සොයන්න.
විසඳුමක්.
මුල් අනුකෘතියේ අනුපිළිවෙල 3 න් 3 වන බැවින්, සම්පූර්ණ දෙවන පෙළ බාල වයස්කරුවන් වනු ඇත 
.
A: 1, 2 න්‍යාසයේ පේළි අංක 3 සිට 2 දක්වා ඇති සියලුම සංයෝජන ලියන්නෙමු; 1, 3 සහ 2, 3. 3 සහ 2 තීරු අංකවල සියලුම සංයෝජන 1, 2 වේ; 1, 3 සහ 2, 3.
A matrix හි පළමු සහ දෙවන පේළි ගන්න. මෙම පේළි සඳහා පළමු සහ දෙවන තීරු, පළමු සහ තෙවන තීරු, දෙවන සහ තෙවන තීරු තෝරා ගැනීමෙන්, අපි පිළිවෙලින් බාල වයස්කරුවන් ලබා ගනිමු. 
පළමු සහ තුන්වන පේළි සඳහා, තීරු සමාන තේරීමක් සමඟ, අප සතුව ඇත 
දෙවන සහ තෙවන පේළි වලට පළමු සහ දෙවන, පළමු සහ තෙවන, දෙවන සහ තෙවන තීරු එකතු කිරීමට ඉතිරිව ඇත: 
එබැවින්, A අනුකෘතියේ දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි බාලවයස්කරුවන් නව දෙනාම හමු වේ.
දැන් අපට අනුකෘතියේ ශ්රේණිය තීරණය කිරීමට ඉදිරියට යා හැකිය.
අර්ථ දැක්වීම.
Matrix ශ්‍රේණියයනු ශුන්ය නොවන න්‍යාසයේ කුඩා අනුපිළිවෙලෙහි ඉහළම අනුපිළිවෙලයි.
න්යාස A හි ශ්රේණිය ශ්‍රේණිගතව (A) ලෙස දැක්වේ. ඔබට Rg(A) හෝ Rang(A) යන තනතුරු ද දැකිය හැකිය.
න්යාසයක ශ්රේණියේ සහ න්‍යාසයේ සුළු අගයේ නිර්වචන අනුව, ශුන්ය න්යාසයක ශ්රේණිය ශුන්‍යයට සමාන බවත්, ශුන්ය නොවන න්යාසයක ශ්රේණිය අවම වශයෙන් එකක් බවත් අපට නිගමනය කළ හැකිය.
නිර්වචනය අනුව න්යාසයක ශ්රේණිය සොයා ගැනීම.
එබැවින්, න්යාසයක ශ්රේණිය සොයා ගැනීමේ පළමු ක්රමය වේ සුළු ගණන් කිරීමේ ක්රමය. මෙම ක්රමය අනුකෘතියේ ශ්රේණිය තීරණය කිරීම මත පදනම් වේ.
අපි අනුපිළිවෙල A අනුකෘතියක ශ්රේණිය සොයා ගැනීමට අවශ්ය වෙමු.
කෙටියෙන් විස්තර කරන්න ඇල්ගොරිතමබාලවයස්කරුවන් ගණන් කිරීමේ ක්රමය මගින් මෙම ගැටලුව විසඳීම.
ශුන්ය නොවන අවම වශයෙන් එක් න්යාස මූලද්‍රව්‍යයක් තිබේ නම්, න්‍යාසයේ ශ්රේණිය අවම වශයෙන් එකකට සමාන වේ (ශුන්‍යයට සමාන නොවන පළමු අනුපිළිවෙල සුළු අගයක් ඇති බැවින්).
ඊළඟට, අපි දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි බාලවයස්කරුවන් ගැන පුනරුච්චාරණය කරමු. සියලුම දෙවන පෙළ බාල වයස්කරුවන් ශුන්‍යයට සමාන නම්, අනුකෘතියේ ශ්රේණිය එකකට සමාන වේ. අවම වශයෙන් ශුන්ය නොවන දෙවන අනුපිළිවෙල බාල වයස්කරුවෙකු සිටී නම්, අපි තුන්වන අනුපිළිවෙලෙහි බාල වයස්කරුවන් ගණනය කිරීමට සමත් වන අතර අනුකෘතියේ ශ්රේණිය අවම වශයෙන් දෙකකට සමාන වේ.
ඒ හා සමානව, සියලුම තුන්වන අනුපිළිවෙලෙහි බාල වයස්කරුවන් ශුන්ය නම්, අනුකෘතියේ ශ්රේණිය දෙකකි. අවම වශයෙන් ශුන්ය නොවන තුන්වන අනුපිළිවෙලෙහි සුළු එකක්වත් තිබේ නම්, න්‍යාසයේ ශ්රේණිය අවම වශයෙන් තුනක් වන අතර, අපි හතරවන අනුපිළිවෙලෙහි බාල වයස්කරුවන් ගණන් කිරීමට ඉදිරියට යමු.
න්යාසයක ශ්රේණිය p සහ n හි කුඩාම අගය ඉක්මවිය නොහැකි බව සලකන්න.
උදාහරණයක්.
අනුකෘතියක ශ්රේණිය සොයන්න 
.
විසඳුමක්.
න්‍යාසය ශුන්ය නොවන බැවින් එහි ශ්රේණිය එකකට වඩා අඩු නොවේ.
දෙවන නියෝගයේ සුළු 
ශුන්‍යයට වඩා වෙනස් වේ, එබැවින් A අනුකෘතියේ ශ්රේණිය අවම වශයෙන් දෙකක් වේ. අපි තුන්වන අනුපිළිවෙලෙහි බාල වයස්කරුවන්ගේ ගණන් කිරීම වෙත යමු. ඔවුන් සියලු දෙනා 
දේවල්. 
සියලුම තෙවන පෙළ බාල වයස්කරුවන් බිංදුවට සමාන වේ. එබැවින්, අනුකෘතියේ ශ්රේණිය දෙකකි.
පිළිතුර:
නිලය(A) = 2 .
බාලවයස්කාරයන් වංගු කිරීමේ ක්රමය මගින් අනුකෘතියක ශ්රේණිය සොයා ගැනීම.
අඩු ගණනය කිරීමේ කාර්යයක් සමඟ ප්රතිඵලය ලබා ගැනීමට ඔබට ඉඩ සලසන අනුකෘතියක ශ්රේණිය සොයා ගැනීම සඳහා වෙනත් ක්රම තිබේ.
මෙම ක්රමවලින් එකකි fringing සුළු ක්රමය.
අපි ගනුදෙනු කරමු මායිම් බාල වයස්කරුවෙකු පිළිබඳ සංකල්පය.
න්‍යාසයේ (k+1) වන අනුපිළිවෙලෙහි කුඩා M ok, කුඩා M ok ට අනුරූප වන න්‍යාසය කුඩා අගයට අනුරූප වන න්‍යාසය "අඩංගුවේ" නම් A න්‍යාසයේ k අනුපිළිවෙලෙහි කුඩා M වට කරන බව කියනු ලැබේ. එම් .
වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, එක් පේළියක සහ එක් තීරුවක මූලද්රව්ය මකා දැමීමෙන් මායිම් මයිනර් එම් ට අනුරූප න්‍යාසය මායිම් මයිනර් එම් ok ට අනුරූප වන න්‍යාසයෙන් ලබා ගනී.
උදාහරණයක් ලෙස, matrix සලකා බලන්න 
සහ දෙවන නියෝගයේ බාලවයස්කරුවෙකු ගන්න. සියලුම මායිම් බාල වයස්කරුවන් ලියා තබමු: 
බාලවයස්කරුවන් මායිම් කිරීමේ ක්රමය පහත සඳහන් ප්රමේයය මගින් යුක්ති සහගත වේ (අපි එහි සූත්‍රගත කිරීම ඔප්පු කිරීමකින් තොරව ඉදිරිපත් කරමු).
ප්රමේයය.
p අනුපිළිවෙලෙහි p අනුපිළිවෙලෙහි කුඩා k-th අනුපිළිවෙලට මායිම් වන සියලුම බාලවයස්කරුවන් ශුන්‍යයට සමාන වේ නම්, A න්‍යාසයේ අනුපිළිවෙලෙහි (k + 1) සියලුම බාලයන් ශුන්‍යයට සමාන වේ.
මේ අනුව, න්යාසයක ශ්රේණිය සොයා ගැනීම සඳහා, ප්රමාණවත් තරම් මායිම් වන සියලුම බාල වයස්කරුවන් ගණන් කිරීම අවශ්ය නොවේ. අනුපිළිවෙලේ A අනුකෘතියේ කුඩා k-th අනුපිළිවෙලට මායිම් වන බාලවයස්කරුවන් සංඛ්යාව සූත්‍රයෙන් සොයා ගනී 
. A න්‍යාසයේ (k + 1) -th අනුපිළිවෙලෙහි බාල වයස්කරුවන්ට වඩා A න්‍යාසයේ k-th අනුපිළිවෙල සුළු සීමාවට මායිම් වන බාල වයස්කරුවන් නොමැති බව සලකන්න. එමනිසා, බොහෝ අවස්ථාවන්හීදී, බාල වයස්කරුවන් මායිම් කිරීමේ ක්රමය භාවිතා කිරීම සියලුම බාල වයස්කරුවන් සරලව ගණනය කිරීමට වඩා ලාභදායී වේ.
අපි බාලවයස්කාරයන් ෆ්‍රින්ග් කිරීමේ ක්රමය මගින් අනුකෘතියක ශ්රේණිය සෙවීමට ඉදිරියට යමු. කෙටියෙන් විස්තර කරන්න ඇල්ගොරිතමමෙම ක්රමය.
A න්‍යාසය ශුන්ය නොවන නම්, අපි න්‍යාසයේ A හි ශුන්‍යයට වඩා වෙනස් ඕනෑම මූලද්‍රව්‍යයක් පළමු අනුපිළිවෙල සුළු ලෙස ගනිමු. අපි එහි මායිම් බාල වයස්කරුවන් ලෙස සලකමු. ඒවා සියල්ලම ශුන්‍යයට සමාන නම්, අනුකෘතියේ ශ්රේණිය එකකට සමාන වේ. අවම වශයෙන් ශුන්ය නොවන මායිම් කුඩා එකක්වත් තිබේ නම් (එහි අනුපිළිවෙල දෙකකට සමාන වේ), එවිට අපි එහි මායිම් බාල වයස්කරුවන් සලකා බලමු. ඒවා සියල්ලම ශුන්ය නම්, ශ්රේණිගත(A) = 2 . අවම වශයෙන් එක් මායිම් බාල වයස්කරුවන් ශුන්ය නොවන නම් (එහි අනුපිළිවෙල තුනට සමාන වේ), එවිට අපි එහි මායිම් බාලවයස්කරුවන් ලෙස සලකමු. සහ යනාදි. එහි ප්‍රතිඵලයක් වශයෙන්, A න්‍යාසයේ (k + 1) වන අනුපිළිවෙලෙහි සියලුම මායිම් බාලයන් ශුන්‍යයට සමාන නම් ශ්රේණිගත(A) = k, හෝ ශුන්ය නොවන එකක් තිබේ නම් ශ්රේණිගත(A) = min(p, n) සුළු අනුපිළිවෙලකට මායිම් වන කුඩා (min(p, n) - 1) .
උදාහරණයක් භාවිතා කරමින් අනුකෘතියක ශ්රේණිය සොයා ගැනීම සඳහා බාලවයස්කරුවන් මායිම් කිරීමේ ක්රමය විශ්ලේෂණය කරමු.
උදාහරණයක්.
අනුකෘතියක ශ්රේණිය සොයන්න 
මායිම් බාල වයස්කාර ක්රමය මගින්.
විසඳුමක්.
A න්‍යාසයේ 1 1 මූලද්‍රව්‍යය ශුන්ය නොවන බැවින්, අපි එය පළමු අනුපිළිවෙල සුළු එකක් ලෙස ගනිමු. අපි බිංදුව හැර වෙනත් මායිම් බාල වයස්කරුවෙකු සෙවීම ආරම්භ කරමු: 
ශුන්ය නොවන මායිම් දෙවන පෙළ බාල වයස්කරුවෙකු හමු විය. අපි එහි මායිම් බාල වයස්කරුවන් ගණනය කරමු (ඔවුන්ගේ 
දේවල්): 
දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි බාල වයස්කරුවන්ට මායිම් වන සියලුම බාලවයස්කරුවන් ශුන්‍යයට සමාන වේ, එබැවින් A අනුකෘතියේ ශ්රේණිය දෙකකට සමාන වේ.
පිළිතුර:
නිලය(A) = 2 .
උදාහරණයක්.
අනුකෘතියක ශ්රේණිය සොයන්න 
මායිම් බාල වයස්කරුවන්ගේ උපකාරයෙන්.
විසඳුමක්.
පළමු අනුපිළිවෙලෙහි ශුන්ය නොවන සුළු වශයෙන්, අපි න්‍යාසයේ A 1 1 = 1 මූලද්‍රව්‍යය ගනිමු. එය දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි සුළු කොටසකට සීමා කිරීම 
බිංදුවට සමාන නොවේ. මෙම බාලවයස්කරු තුන්වන අනුපිළිවෙලෙහි බාල වයස්කරුවෙකු විසින් මායිම් කර ඇත 
. එය ශුන්‍යයට සමාන නොවන නිසාත් ඒ සඳහා මායිම් සුළු අගයක් නොමැති නිසාත් A න්‍යාසයේ ශ්රේණිය තුනට සමාන වේ.
පිළිතුර:
නිලය(A) = 3 .
අනුකෘතියේ මූලික පරිවර්තන භාවිතා කරමින් ශ්රේණිය සොයා ගැනීම (ගවුස් ක්රමය මගින්).
අනුකෘතියක ශ්රේණිය සොයා ගැනීමට තවත් ක්‍රමයක් සලකා බලන්න.
පහත න්යාස පරිවර්තනය ප්රාථමික ලෙස හැඳින්වේ:
- අනුකෘතියේ පේළි (හෝ තීරු) විකෘති කිරීම;
- න්‍යාසයේ ඕනෑම පේළියක (තීරුවක) සියලුම මූලද්රව්ය ශුන්‍යයට වඩා වෙනස් k අත්තනෝමතික අංකයකින් ගුණ කිරීම;
- ඕනෑම පේළියක (තීරුවක) මූලද්රව්යවලට අනුකෘතියේ වෙනත් පේළියක (තීරුවක) අනුරූප මූලද්රව්ය එකතු කිරීම, අත්තනෝමතික අංකයකින් ගුණ කිරීම k.
Matrix B න්යාස A ට සමාන ලෙස හැඳින්වේ, ප්රාථමික පරිවර්තන සීමිත සංඛ්‍යාවක ආධාරයෙන් A වෙතින් B ලබා ගන්නේ නම්. න්‍යාසවල සමානාත්මතාවය "~" සංකේතයෙන් දැක්වේ, එනම් එය A ~ B ලෙස ලියා ඇත.
මූලික න්යාස පරිවර්තන භාවිතයෙන් න්යාසයක ශ්රේණිගත කිරීම ප්‍රකාශය මත පදනම් වේ: පරිමිත මූලික පරිවර්තන සංඛ්‍යාවක් භාවිතයෙන් න්යාස B ලබා ගන්නේ නම්, ශ්රේණිගත(A) = ශ්රේණිගත(B) .
මෙම ප්‍රකාශයේ වලංගුභාවය අනුකෘති නිර්ණායකයේ ගුණාංග වලින් පහත දැක්වේ:
- න්යාසයක පේළි (හෝ තීරු) පර්මියුට් කළ විට, එහි නිර්ණායක ලකුණ වෙනස් වේ. එය ශුන්‍යයට සමාන නම්, පේළි (තීරු) පර්මියුට් කිරීමේදී එය ශුන්‍යයට සමාන වේ.
- න්‍යාසයේ ඕනෑම පේළියක (තීරුවක) සියලුම මූලද්රව්ය ශුන්‍යයට වඩා වෙනස් k අත්තනෝමතික සංඛ්‍යාවකින් ගුණ කරන විට, ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන න්‍යාසයේ නිර්ණායකය මුල් න්‍යාසයේ නිර්ණායකයට සමාන වේ, එය k මගින් ගුණ කරනු ලැබේ. මුල් න්‍යාසයේ නිර්ණායකය ශුන්‍යයට සමාන නම්, ඕනෑම පේළියක හෝ තීරුවක සියලුම මූලද්රව්ය k අංකයෙන් ගුණ කළ පසු ලැබෙන න්‍යාසයේ නිර්ණායකය ද ශුන්‍යයට සමාන වේ.
- න්‍යාසයේ යම් පේළියක (තීරුවක) මූලද්රව්යවලට න්‍යාසයේ තවත් පේළියක (තීරුවක) අනුරූප මූලද්රව්ය එකතු කිරීම, නිශ්චිත අංකයකින් ගුණ කළ විට එහි නිර්ණායකය වෙනස් නොවේ.
මූලික පරිවර්තන ක්රමයේ සාරයමූලික පරිවර්තන භාවිතා කරමින් න්‍යාසය, අපට සොයා ගැනීමට අවශ්ය ශ්රේණිය, trapezoid (විශේෂිත අවස්ථාවක, ඉහළ ත්‍රිකෝණාකාර එකකට) ගෙන ඒමයි.
එය කුමක් සදහාද? මේ ආකාරයේ න්යාස ශ්රේණිය සොයා ගැනීම ඉතා පහසුය. එය අවම වශයෙන් එක් ශුන්ය නොවන මූලද්‍රව්‍යයක් අඩංගු පේළි ගණනට සමාන වේ. මූලික පරිවර්තන වලදී න්‍යාසයේ ශ්රේණිය වෙනස් නොවන බැවින්, ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන අගය මුල් න්‍යාසයේ ශ්රේණිය වේ.
අපි න්‍යාසවල නිදර්ශන ලබා දෙන්නෙමු, ඉන් එකක් පරිවර්තනයෙන් පසුව ලබා ගත යුතුය. ඒවායේ ආකෘතිය අනුකෘතියේ අනුපිළිවෙල මත රඳා පවතී.
මෙම නිදර්ශන අපි අනුකෘතිය A පරිවර්තනය කරන සැකිලි වේ.
අපි විස්තර කරමු ක්රම ඇල්ගොරිතම.
අපි අනුපිළිවෙලෙහි ශුන්ය නොවන න්යාස A හි ශ්රේණිය සොයා ගත යුතු යැයි සිතමු (p n ට සමාන විය හැක).
ඒ නිසා, . න්යාස A හි පළමු පේළියේ සියලුම මූලද්රව්ය ගුණ කරමු. මෙම අවස්ථාවේදී, අපි සමාන අනුකෘතියක් ලබා ගනිමු, එය A (1) ලෙස දක්වන්න: 
ප්රතිඵලය වන matrix A (1) හි දෙවන පේළියේ මූලද්රව්යවලට, අපි පළමු පේළියේ අනුරූප මූලද්රව්ය එකතු කරමු, ගුණ කිරීම. තෙවන පේළියේ මූලද්රව්යවලට, පළමු පේළියේ අනුරූප මූලද්රව්ය එකතු කරන්න, ගුණ කරන්න. සහ එසේ p-th රේඛාව දක්වා. අපට සමාන අනුකෘතියක් ලැබේ, එය A (2) දක්වන්න: 
දෙවන සිට p-th දක්වා පේළිවල ඇති න්‍යාසයේ සියලුම මූලද්රව්ය ශුන්‍යයට සමාන නම්, මෙම න්‍යාසයේ ශ්රේණිය එකකට සමාන වන අතර, ඒ අනුව, මුල් න්‍යාසයේ ශ්රේණිය එකකට සමාන වේ. .
දෙවන සිට p-th දක්වා පේළි වල අවම වශයෙන් එක් ශුන්ය නොවන මූලද්‍රව්‍යයක් තිබේ නම්, අපි දිගටම පරිවර්තනයන් සිදු කරන්නෙමු. එපමණක් නොව, අපි ක්රියා කරන්නේ හරියටම එකම ආකාරයකින්, නමුත් රූපයේ (2) සලකුණු කර ඇති A න්‍යාසයේ කොටස සමඟ පමණි. 
නම් , එවිට අපි "නව" මූලද්‍රව්‍යය ශුන්ය නොවන පරිදි A (2) අනුකෘතියේ පේළි සහ (හෝ) තීරු නැවත සකස් කරමු.
A යනු m\times n මානයන්හි න්‍යාසයක් වන අතර k යනු m සහ n නොඉක්මවන ස්වභාවික සංඛ්‍යාවක් වේවා: k\leqslant\min\(m;n\). කුඩා k-th අනුපිළිවෙල matrix A යනු අත්තනෝමතික ලෙස තෝරාගත් k පේළි සහ A න්‍යාසයේ k තීරු ඡේදනය වන විට මූලද්රව්ය මගින් සාදන ලද k-th අනුපිළිවෙලෙහි නිර්ණායකය වේ. බාලවයස්කරුවන් සඳහන් කරමින්, තෝරාගත් පේළිවල සංඛ්යා ඉහළ දර්ශකවලින් ද, තෝරාගත් තීරුවල සංඛ්යා පහළ දර්ශකවලින් ද, ඒවා ආරෝහණ අනුපිළිවෙලට සකසනු ඇත.
උදාහරණය 3.4.විවිධ අනුකෘති ඇණවුම්වල බාලවයස්කරුවන් ලියන්න
A=\begin(pmatrix)1&2&1&0\\ 0&2&2&3\\ 1&4&3&3\end(pmatrix)\!.
විසඳුමක්. Matrix A හි මානයන් 3\times4 ඇත. එහි ඇත: 1 වන අනුපිළිවෙලෙහි බාලවයස්කරුවන් 12 ක්, උදාහරණයක් ලෙස, සුළු M_(()_2)^(()_3)=\det(a_(32))=4; 2 වන අනුපිළිවෙලෙහි බාලවයස්කරුවන් 18, උදාහරණයක් ලෙස, M_(()_(23))^(()^(12))=\begin(vmatrix)2&1\\2&2\end(vmatrix)=2; 3 වන අනුපිළිවෙලෙහි බාලවයස්කරුවන් 4 දෙනෙක්, උදාහරණයක් ලෙස,
M_(()_(134))^(()^(123))= \begin(vmatrix)1&1&0\\0&2&3\\ 1&3&3 \end(vmatrix)=0.
m\times n matrix A හි, rth අනුපිළිවෙල සුළු ලෙස හැඳින්වේ මූලික, එය ශුන්ය නොවන නම් සහ අනුපිළිවෙලෙහි සියලුම බාලවයස්කරුවන් (r + 1)-ro ශුන්‍යයට සමාන නම් හෝ ඒවා කිසිසේත් නොපවතී.
Matrix ශ්‍රේණියකුඩා පදනමේ අනුපිළිවෙල ලෙස හැඳින්වේ. ශුන්ය න්‍යාසයේ සුළු පදනමක් නොමැත. එබැවින්, ශුන්ය න්යාසයක ශ්රේණිය, අර්ථ දැක්වීම අනුව, ශුන්ය යැයි උපකල්පනය කෙරේ. A න්යාසයක ශ්රේණිය දක්වා ඇත \operatorname(rg)A.
උදාහරණය 3.5.අනුකෘතියක සියලුම මූලික බාලවයස්කරුවන් සහ ශ්රේණිය සොයන්න
A=\begin(pmatrix)1&2&2&0\\0&2&2&3\\0&0&0&0\end(pmatrix)\!.
විසඳුමක්.මෙම නිර්ණායකවල තුන්වන පේළිය ශුන්ය වන බැවින් මෙම න්‍යාසයේ සියලුම තුන්වන අනුපිළිවෙලෙහි බාල වයස්කරුවන් ශුන්‍යයට සමාන වේ. එබැවින්, න්‍යාසයේ පළමු පේළි දෙකෙහි පිහිටා ඇති දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි බාල වයස්කරුවෙකු පමණක් මූලික විය හැකිය. හැකි බාලවයස්කරුවන් 6 දෙනෙකු හරහා යමින්, අපි ශුන්ය නොවන තෝරා ගනිමු
M_(()_(12))^()^(12))= M_(()_(13))^()^(12))= \begin(vmatrix)1&2\\0&2 \end( vmatrix)\!,\quad M_(()_(24))^(()^(12))= M_()_(34))^()^(12))= \begin(vmatrix) 2&0\\2&3\end(vmatrix)\!,\quad M_(()_(14))^(()^(12))= \begin(vmatrix)1&0\\0&3\end(vmatrix)\!.
මෙම බාලවයස්කරුවන් පස්දෙනාගෙන් එක් එක් අය මූලික වේ. එබැවින්, න්‍යාසයේ ශ්රේණිය 2 වේ.
සටහන් 3.2
1. න්‍යාසයේ kth අනුපිළිවෙලෙහි සියලුම බාල වයස්කරුවන් ශුන්‍යයට සමාන නම්, ඉහළ අනුපිළිවෙලක බාලවයස් ද බිංදුවට සමාන වේ. ඇත්ත වශයෙන්ම, ඕනෑම පේළියකට වඩා (k + 1) -ro අනුපිළිවෙල සුළු ප්‍රමාණය පුළුල් කිරීමෙන්, අපි මෙම පේළියේ මූලද්‍රව්‍යවල නිෂ්පාදනවල එකතුව k-th අනුපිළිවෙල බාල වයස්කරුවන් විසින් ලබා ගන්නා අතර ඒවා ශුන්‍යයට සමාන වේ.
2. න්යාසයක ශ්රේණිය මෙම න්‍යාසයේ ශුන්ය නොවන සුළු අගයේ විශාලතම අනුපිළිවෙලට සමාන වේ.
3. නම් හතරැස් අනුකෘතියපරිහානියට පත් නොවේ, එවිට එහි ශ්රේණිය එහි අනුපිළිවෙලට සමාන වේ. හතරැස් න්‍යාසයක් පිරිහෙන්නේ නම්, එහි ශ්රේණිය එහි අනුපිළිවෙලට වඩා අඩුය.
4. තනතුරු තනතුරු සඳහා ද භාවිතා වේ \operatorname(Rg)A,~ \operatorname(rank)A,~ \operatorname(rank)A.
5. බ්ලොක් Matrix ශ්රේණිගත කිරීමසාමාන්‍ය (සංඛ්‍යාත්මක) අනුකෘතියක ශ්රේණිය ලෙස අර්ථ දැක්වේ, i.e. එහි වාරණ ව්යුහය නොතකා. මෙම අවස්ථාවේදී, බ්ලොක් න්‍යාසයේ ශ්රේණිය එහි කුට්ටිවල ශ්‍රේණිවලට වඩා අඩු නොවේ: \operatorname(rg)(A\mid B)\geqslant\operatorname(rg)Aහා \operatorname(rg)(A\mid B)\geqslant\operatorname(rg)B, A (හෝ B ) න්‍යාසයේ සියලුම බාලවයස්කරුවන් බ්ලොක් න්‍යාසයේ (A\ මැද B) බාල වයස්කරුවන් වන බැවින් .
න්යාසයක පදනම සුළු හා ශ්රේණියේ ප්‍රමේය
අනුකෘතියක තීරු (පේළි) රේඛීය යැපීම සහ රේඛීය ස්වාධීනත්වයේ ගුණාංග ප්‍රකාශ කරන ප්‍රධාන ප්‍රමේයයන් අපි සලකා බලමු.
මූලික සුළු මත න්යාය 3.1.අත්තනෝමතික න්යාසයක A, සෑම තීරුවක්ම (පේළිය) කුඩා පදනම පිහිටා ඇති තීරු (පේළි) වල රේඛීය සංයෝජනයකි.
ඇත්ත වශයෙන්ම, සාමාන්‍යත්වය නැතිවීමකින් තොරව, අපි උපකල්පනය කරන්නේ m\times n matrix A හි, කුඩා පදනම පළමු r පේළිවල සහ පළමු r තීරුවල පිහිටා ඇති බවයි. නිර්ණායකය සලකා බලන්න
D=\begin(vmatrix)~ a_(11)&\cdots&a_(1r)\!\!&\vline\!\!&a_(1k)~\\ ~\vdots&\ddots &\vdots\!\!&\ vline\!\!&\vdots~\\ ~a_(r1)&\cdots&a_(rr)\!\!&\vline\!\!&a_(rk)~\\\hline ~a_(s1)&\cdots&a_ (sr)\!\!&\vline\!\!&a_(sk)~\end(vmatrix),
අනුරූප A න්‍යාසයේ මයිනර් පාදයට පැවරීම මගින් ලබා ගැනේ මූලද්රව්ය s-thපේළිය සහ k-th තීරුව. ඕනෑම දෙයක් සඳහා බව සලකන්න 1\leqslant s\leqslant mසහ මෙම නිර්ණායකය ශුන්ය වේ. s\leqslant r හෝ k\leqslant r නම්, නිර්ණායක D හි සමාන පේළි දෙකක් හෝ සමාන තීරු දෙකක් අඩංගු වේ. s>r සහ k>r නම්, එය (r+l)-ro අනුපිළිවෙලෙහි සුළු අගයක් වන බැවින්, D නිර්ණය ශුන්‍යයට සමාන වේ. අවසාන පේළිය පුරා නිර්ණායකය පුළුල් කිරීම, අපි ලබා ගනිමු
a_(s1)\cdot D_(r+11)+\ldots+ a_(sr)\cdot D_(r+1r)+a_(sk)\cdot D_(r+1\,r+1)=0,
එහිදී D_(r+1\,j) - වීජීය එකතු කිරීම්අවසාන පේළියේ මූලද්රව්ය. මෙය මූලික සුළු එකක් බැවින් D_(r+1\,r+1)\ne0 බව සලකන්න. ඒක තමයි
a_(sk)=\lambda_1\cdot a_(s1)+\ldots+\lambda_r\cdot a_(sr), කොහෙද \lambda_j=-\frac(D_(r+1\,j))(D_(r+1\,r+1)),~j=1,2,\ldots,r.
s=1,2,\ldots,m සඳහා අවසාන සමානාත්මතාවය ලිවීමෙන් අපට ලැබේ
\begin(pmatrix)a_(1k)\\\vdots\\a_(mk)\end(pmatrix)= \lambda_1\cdot\! \begin(pmatrix)a_(11)\\\vdots\\a_(m1)\end(pmatrix)+\ldots \lambda_r\cdot\! \begin(pmatrix)a_(1r)\\\vdots\\a_(mr)\end(pmatrix)\!.
එම. k -th තීරුව (ඕනෑම සඳහා 1\leqslant k\leqslant n) යනු ඔප්පු කිරීමට නියමිතව තිබූ මූලික සුළු තීරුවේ රේඛීය සංයෝජනයකි.
මූලික සුළු ප්රමේයය පහත සඳහන් වැදගත් ප්‍රමේයයන් ඔප්පු කිරීමට සේවය කරයි.
නිර්ණායකය ශුන්‍යයට සමාන වීම සඳහා කොන්දේසිය
ප්රමේයය 3.2 (අවශ්ය සහ ප්රමාණවත් තත්ත්වයනිර්ණායකය අතුරුදහන් වීම).නිර්ණායකයක් ශුන්‍යයට සමාන වීම සඳහා, එහි එක් තීරුවක් (එහි පේළි වලින් එකක්) ඉතිරි තීරු (පේළි) හි රේඛීය සංයෝජනයක් වීම අවශ්ය සහ ප්රමාණවත් වේ.
ඇත්ත වශයෙන්ම, අවශ්‍යතාවය මූලික සුළු ප්‍රමේයයෙන් අනුගමනය කරයි. n වන අනුපිළිවෙලෙහි වර්ග න්යාසයක නිර්ණායකය ශුන්‍යයට සමාන නම්, එහි ශ්රේණිය n ට වඩා අඩුය, i.e. අවම වශයෙන් එක් තීරුවක්වත් කුඩා පදනමේ ඇතුළත් නොවේ. ප්රමේයය 3.1 මගින් තෝරාගත් මෙම තීරුව, කුඩා පදනම අඩංගු තීරුවල රේඛීය සංයෝජනයකි. අවශ්ය නම්, ශුන්ය සංගුණක සහිත වෙනත් තීරු මෙම සංයෝජනයට එකතු කිරීමෙන්, තෝරාගත් තීරුව න්‍යාසයේ ඉතිරි තීරු වල රේඛීය සංයෝජනයක් බව අපි ලබා ගනිමු. ප්රමාණවත් බව නිර්ණායකයේ ගුණ වලින් පහත දැක්වේ. උදාහරණයක් ලෙස, නිර්ණායකයේ අවසාන තීරුව A_n නම් \det(A_1~A_2~\cdots~A_n)ඉතිරිය අනුව රේඛීයව ප්‍රකාශිතය
A_n=\lambda_1\cdot A_1+\lambda_2\cdot A_2+\ldots+\lambda_(n-1)\cdot A_(n-1),
ඉන්පසු A_n වෙත එකතු කිරීම A_1 තීරුව (-\lambda_1) මගින් ගුණ කරනු ලැබේ, පසුව A_2 තීරුව (-\lambda_2) මගින් ගුණ කිරීම, සහ යනාදිය. A_(n-1) තීරුව (-\lambda_(n-1)) මගින් ගුණ කළ විට, අපට නිර්ණායකය ලැබේ \det(A_1~\cdots~A_(n-1)~o)ශුන්‍යයට සමාන ශුන්ය තීරුවක් සමඟ (නිශ්චය කිරීමේ දේපල 2).
මූලික පරිවර්තනයන් යටතේ Matrix ශ්රේණිගත විචලනය
ප්රමේයය 3.3 (මූලික පරිවර්තනයන් යටතේ ශ්රේණිගත විචලනය මත). න්යාසයක තීරු (පේළි) මූලික පරිවර්තනයන් යටතේ, එහි ශ්රේණිය වෙනස් නොවේ.
ඇත්ත වශයෙන්ම, ඉඩ දෙන්න. A න්‍යාසයේ තීරුවල එක් මූලික පරිවර්තනයක ප්‍රතිඵලයක් ලෙස, අපි A "න්‍යාසය ලබා ගත්තා යැයි සිතමු. I වර්ගයේ පරිවර්තනයක් සිදු කළේ නම් (තීරු දෙකක ප්‍රගමනය), එවිට ඕනෑම සුළු (r + l) -ro න්‍යාසයේ අනුපිළිවෙල A" හෝ න්‍යාසයේ අනුපිළිවෙලෙහි අනුරූප සුළු (r + l ) -ro ට සමාන වේ, හෝ ලකුණින් එය වෙනස් වේ (නිර්ණය කිරීමේ ගුණය 3). II වර්ගයේ පරිවර්තනයක් සිදු කළේ නම් (\lambda\ne0 අංකයෙන් තීරු ගුණ කිරීම), එවිට න්‍යාසයේ A" අනුපිළිවෙලෙහි ඕනෑම සුළු (r+l)-ro අනුරූප සුළු (r+l) ට සමාන වේ- න්‍යාසයේ A අනුපිළිවෙලෙහි ro , හෝ එයින් ගුණකය \lambda\ne0 (නිර්ණකයේ ගුණ 6) වෙනස් වේ. III වර්ගයේ පරිවර්තනයක් සිදු කළේ නම් (තවත් තීරුවක එක් තීරුවකට \Lambda අංකයෙන් ගුණ කළ විට), එවිට A" න්‍යාසයේ (r + 1) වන අනුපිළිවෙලෙහි ඕනෑම බාලයෙක් එක්කෝ අනුකෘතියේ කුඩා (r + 1) -වන අනුපිළිවෙලට සමාන වේ (නිර්ණය කිරීමේ ගුණය 9), හෝ එකතුවට සමාන වේන්‍යාසයේ A අනුපිළිවෙලෙහි බාලවයස්කරුවන් දෙදෙනෙකු (r+l)-ro (නිර්ණය කිරීමේ ගුණය 8). එබැවින්, ඕනෑම වර්ගයක මූලික පරිවර්තනයක් යටතේ, න්‍යාසයේ A අනුපිළිවෙලෙහි සියලුම බාලවයස්කරුවන් (r + l) - ro ශුන්‍යයට සමාන වේ, මන්ද සියලුම බාලවයස්කරුවන් (r + l) - ro අනුකෘතියේ අනුපිළිවෙලෙහි බිංදුවට සමානයි.මේ අනුව, තීරුවල මූලික පරිවර්තන යටතේ ශ්රේණිගත න්යාස වැඩි කළ නොහැකි බව ඔප්පු වේ.ප්‍රතිලෝම සිට ප්රාථමික දක්වා පරිවර්තන ප්රාථමික බැවින්, තීරුවල මූලික පරිවර්තන යටතේ න්යාසයක ශ්රේණිය අඩුවිය නොහැක, එනම් වෙනස් නොවේ.එය පේළිවල මූලික පරිවර්තනයන් යටතේ න්යාසයක ශ්රේණිය වෙනස් නොවන බව එලෙසම ඔප්පු වේ.
ප්රතිවිපාකය 1. න්යාසයක එක් පේළියක් (තීරුවක්) එහි අනෙකුත් පේළිවල (තීරු) රේඛීය සංයෝජනයක් නම්, මෙම පේළිය (තීරුව) එහි ශ්රේණිය වෙනස් නොකර න්‍යාසයෙන් මකා දැමිය හැකිය.
ඇත්ත වශයෙන්ම, එවැනි තන්තුවක් මූලික පරිවර්තන භාවිතයෙන් ශුන්ය කළ හැකි අතර, null string මූලික සුළු අගයට ඇතුළත් කළ නොහැක.
ප්රතිවිපාක 2. අනුකෘතිය එහි සරලම ස්වරූපයට (1.7) අඩු කර ඇත්නම්, එවිට
\operatorname(rg)A=\operatorname(rg)\Lambda=r\,.
ඇත්ත වශයෙන්ම, සරලම ආකෘතියේ (1.7) අනුකෘතියට rth අනුපිළිවෙලෙහි සුළු පදනමක් ඇත.
ප්රතිවිපාක 3. ඕනෑම ඒකීය නොවන වර්ග න්‍යාසයක් මූලික වේ, වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, ඕනෑම ඒකීය නොවන වර්ග න්‍යාසයක් එකම අනුපිළිවෙලෙහි අනන්යතා න්‍යාසයට සමාන වේ.
ඇත්ත වශයෙන්ම, A යනු n අනුපිළිවෙලෙහි ඒකීය නොවන වර්ග න්‍යාසයක් නම්, එසේ නම් \operatorname(rg)A=n(සටහන් 3.2 හි 3 වන කරුණ බලන්න). එබැවින්, මූලික පරිවර්තන මගින් A අනුකෘතිය සරලම ස්වරූපයට (1.7) අඩු කිරීමෙන්, අපි \Lambda=E_n අනන්යතා න්‍යාසය ලබා ගනිමු. \operatorname(rg)A=\operatorname(rg)\Lambda=n(2 වන නිගමනය බලන්න). එබැවින් A න්‍යාසය E_n අනන්යතා න්‍යාසයට සමාන වන අතර එය සීමිත මූලික පරිවර්තන සංඛ්‍යාවක ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ලබා ගත හැක. මෙයින් අදහස් කරන්නේ A අනුකෘතිය මූලික බවයි.
ප්රමේයය 3.4 (න්යාසයක ශ්රේණියේ). න්යාසයක ශ්රේණිය මෙම න්‍යාසයේ උපරිම රේඛීය ස්වාධීන පේළි ගණනට සමාන වේ.
ඇත්ත වශයෙන්ම, ඉඩ දෙන්න \operatorname(rg)A=r. එවිට න්‍යාසය A හි රේඛීය ස්වාධීන පේළි ඇත. මෙම මූලික බාලවය පිහිටා ඇති රේඛා වේ. ඒවා රේඛීයව රඳා පැවතියේ නම්, මෙම සුළු අගය ප්රමේයය 3.2 මගින් බිංදුවට සමාන වන අතර A අනුකෘතියේ ශ්රේණිය r ට සමාන නොවේ. r යනු රේඛීය ස්වාධීන පේළිවල උපරිම සංඛ්යාව බව පෙන්වමු, i.e. ඕනෑම p පේළියක් p>r සඳහා රේඛීයව රඳා පවතී. ඇත්ත වශයෙන්ම, අපි මෙම p පේළි වලින් B න්‍යාසයක් සාදමු. න්‍යාසය B න්‍යාසයේ කොටසක් වන බැවින්, එසේ නම් \operatorname(rg)B\leqslant \operatorname(rg)A=r මෙයින් අදහස් කරන්නේ අවම වශයෙන් B න්‍යාසයේ එක් පේළියක්වත් මෙම න්‍යාසයේ කුඩා පදනමට ඇතුළත් නොවන බවයි. ඉන්පසුව, පාදක සුළු ප්රමේයය අනුව, එය මූලික සුළු අගය පිහිටා ඇති පේළිවල රේඛීය සංයෝජනයකට සමාන වේ. එබැවින්, න්‍යාසය B හි පේළි රේඛීයව රඳා පවතී. මේ අනුව, න්‍යාසය A හි උපරිම වශයෙන් r රේඛීය ස්වාධීන පේළි ඇත. ප්රතිවිපාකය 1. න්යාසයක රේඛීය ස්වාධීන පේළි ගණන උපරිම රේඛීය ස්වාධීන තීරු ගණනට සමාන වේ: \operatorname(rg)A=\operatorname(rg)A^T. මෙම ප්‍රකාශය ප්රමේයය 3.4 න් අනුගමනය කරන්නේ එය ප්‍රතිවර්තිත අනුකෘතියේ පේළිවලට යොදන්නේ නම් සහ බාල වයස්කරුවන් මාරු කිරීමේදී වෙනස් නොවන බව සැලකිල්ලට ගනී (නිර්ණය කිරීමේ දේපල 1). ප්රතිවිපාක 2. අනුකෘති පේළිවල මූලික පරිවර්තනයන් යටතේ රේඛීය යැපීම(හෝ රේඛීය ස්වාධීනත්වය) මෙම න්‍යාසයේ ඕනෑම තීරු පද්ධතියක් සංරක්ෂණය කර ඇත. ඇත්ත වශයෙන්ම, අපි ලබා දී ඇති න්යාස A හි ඕනෑම k තීරුවක් තෝරා ඒවායින් B න්‍යාසය සාදමු. A න්‍යාසයේ පේළිවල මූලික පරිවර්තනවල ප්‍රතිඵලයක් ලෙස, A" න්‍යාසය ලබා ගත් අතර, B න්‍යාසයේ පේළිවල එකම පරිවර්තනයේ ප්‍රතිඵලයක් ලෙස, B න්‍යාසය ලබා ගන්නා ලදී. ප්රමේයය 3.3 මගින් \operatorname(rg)B"=\operatorname(rg)B. එබැවින්, න්‍යාසය B හි තීරු රේඛීයව ස්වාධීන නම්, i.e. k=\operatorname(rg)B(1 වන නිගමනය බලන්න), එවිට න්‍යාසයේ B" තීරු ද රේඛීයව ස්වාධීන වේ. k=\operatorname(rg)B". න්යාස B හි තීරු රේඛීයව රඳා පැවතුනේ නම් (k>\operatorname(rg)B), එවිට න්‍යාසයේ B" තීරු ද රේඛීයව රඳා පවතී (k>\operatorname(rg)B"). එබැවින්, A න්‍යාසයේ ඕනෑම තීරුවක් සඳහා, මූලික පේළි පරිවර්තනයන් යටතේ රේඛීය යැපීම හෝ රේඛීය ස්වාධීනත්වය ආරක්ෂා වේ. සටහන් 3.3 1. ප්රමේයය 3.4 හි නිගමනය 1 අනුව, ප්රාථමික පරිවර්තනයන් එහි තීරු මත පමණක් සිදු කරන්නේ නම්, න්යාස පේළිවල ඕනෑම පද්ධතියක් සඳහා 2 හි දක්වා ඇති තීරු ගුණය ද වලංගු වේ. 2. ප්රමේයය 3.3 හි නිගමනය 3 පහත පරිදි පිරිපහදු කළ හැක: ඕනෑම ඒකීය නොවන වර්ග න්‍යාසයක්, එහි පේළිවල (හෝ එහි තීරු පමණක්) මූලික පරිවර්තන භාවිතා කරමින්, එම අනුපිළිවෙලෙහි අනන්යතා න්‍යාසයකට අඩු කළ හැක. ඇත්ත වශයෙන්ම, මූලික පේළි පරිවර්තනයන් පමණක් භාවිතා කරමින්, ඕනෑම න්‍යාසයක් A සරල කළ ආකාරය \Lambda (රූපය 1.5) වෙත අඩු කළ හැක (ප්රමේයය 1.1 බලන්න). A න්‍යාසය ඒකීය නොවන බැවින් (\det(A)\ne0) , එහි තීරු රේඛීයව ස්වාධීන වේ. එබැවින්, න්‍යාසය \Lambda හි තීරු ද රේඛීයව ස්වාධීන වේ (ප්රමේයය 3.4 හි නිගමනය 2). එබැවින්, ඒකීය නොවන න්‍යාසයේ A හි සරල කළ ආකාරය \Lambda එහි සරලම ආකාරය සමග සමපාත වේ (රූපය 1.6) සහ අනන්යතා න්‍යාසය \Lambda=E (න්යාය 3.3 හි අනුක්‍රමික 3 බලන්න). මේ අනුව, ඒකීය නොවන න්යාසයක පේළි පමණක් පරිවර්තනය කිරීමෙන් එය අනන්‍යතාවයට අඩු කළ හැක. ඒකීය නොවන න්යාසයක තීරුවල මූලික පරිවර්තනයන් සඳහා ද සමාන තර්ක වලංගු වේ. ප්රමේයය 3.5 (න්‍යාසයේ ගුණිතයේ ශ්රේණිය මත).නිෂ්පාදනයේ ශ්රේණිය සහ න්යාස එකතුව
\operatorname(rg)(A\cdot B)\leqslant \min\(\operatorname(rg)A,\operatorname(rg)B\).
ඇත්ත වශයෙන්ම, A සහ B න්‍යාසවලට m\times p සහ p\times n ප්‍රමාණ තිබිය යුතුය. අපි න්‍යාසය A න්‍යාසයට පවරමු C=AB\colon\,(A\මැද C). ඒක නොකියාම යනවා \operatorname(rg)C\leqslant\operatorname(rg)(A\mid C), C යනු න්‍යාසයේ (A\ මැද C) කොටසක් වන නිසා (Remark 3.2 හි අයිතම 5 බලන්න). න්යාස ගුණ කිරීමේ මෙහෙයුමට අනුව C_j හි සෑම තීරුවක්ම තීරු වල රේඛීය සංයෝජනයක් බව සලකන්න A_1,A_2,\ldots,A_p matrices A=(A_1~\cdots~A_p):
C_(j)=A_1\cdot b_(1j)+A_2\cdot b_(2j)+\ldots+A_(p)\cdot b_pj),\quad j=1,2,\ldots,n.
එවැනි තීරුවක් එහි ශ්රේණිගත කිරීම වෙනස් නොකර අනුකෘතියෙන් (A\ මැද C) මකා දැමිය හැක (න්යාය 3.3 හි නිගමනය 1). C න්‍යාසයේ සියලුම තීරු හරස් කිරීමෙන්, අපට ලැබෙන්නේ: \operatorname(rg)(A\mid C)=\operatorname(rg)A. මෙතැන් සිට, \operatorname(rg)C\leqslant\operatorname(rg)(A\mid C)=\operatorname(rg)A. ඒ හා සමානව, කෙනෙකුට තත්වය ඔප්පු කළ හැකිය \operatorname(rg)C\leqslant\operatorname(rg)B, සහ ප්රමේයයේ වලංගු භාවය පිළිබඳ නිගමනයකට එළඹෙන්න.
ප්රතිවිපාකය. අ A යනු degenerate නොවන වර්ග න්‍යාසයකි, එවිට \operatorname(rg)(AB)= \operatorname(rg)Bහා \operatorname(rg)(CA)=\operatorname(rg)C, i.e. න්යාසයක ශ්රේණිය එය වමේ හෝ දකුණේ ඒකීය නොවන වර්ග න්‍යාසයකින් ගුණ කළ විට වෙනස් නොවේ.
න්යාස එකතුවේ ශ්රේණිය මත ප්රමේයය 3.6. න්යාස එකතුවේ ශ්රේණිය නියමවල ශ්‍රේණිවල එකතුව ඉක්මවා නොයයි:
\operatorname(rg)(A+B)\leqslant \operatorname(rg)A+\operatorname(rg)B.
ඇත්ත වශයෙන්ම, අපි අනුකෘතියක් නිර්මාණය කරමු (A+B\ මැද A\ මැද B). A+B න්‍යාසයේ සෑම තීරුවක්ම A සහ B න්‍යාසවල තීරුවල රේඛීය සංයෝජනයක් බව සලකන්න. ඒක තමයි \operatorname(rg)(A+B\mid A\mid B)= \operatorname(rg)(A\mid B). අනුකෘතියේ (A\ මැද B) රේඛීය ස්වාධීන තීරු ගණන නොඉක්මවන බව සලකන විට \operatorname(rg)A+\operatorname(rg)B, ඒ \operatorname(rg)(A+B)\leqslant \operatorname(rg)(A+B\ මැද A\ මැද B)(සටහන් 3.2 හි 5 වන අයිතමය බලන්න), අපි අවශ්ය අසමානතාවය ලබා ගනිමු.
මූලිකපහත න්යාස පරිවර්තනයන් ලෙස හැඳින්වේ:
1) ඕනෑම පේළි දෙකක (හෝ තීරු) ප්‍රතිවර්තනය කිරීම
2) පේළියක් (හෝ තීරුවක්) ශුන්ය නොවන සංඛ්‍යාවකින් ගුණ කිරීම,
3) එක් පේළියකට (හෝ තීරුවකට) තවත් පේළියකට (හෝ තීරුවකට) එකතු කිරීම කිසියම් සංඛ්‍යාවකින් ගුණ කිරීම.
න්යාස දෙක හැඳින්වේ සමාන, ප්රාථමික පරිවර්තනවල සීමිත කට්ටලයක් ආධාරයෙන් ඔවුන්ගෙන් එකක් අනෙකෙන් ලබා ගන්නේ නම්.
සමාන න්යාස සාමාන්‍යයෙන් කථා කිරීම සමාන නොවේ, නමුත් ඒවායේ ශ්‍රේණි සමාන වේ. A සහ B න්යාස සමාන නම්, මෙය මෙසේ ලියා ඇත: A ~ B.
කැනොනිකල්න්‍යාසයක් යනු ප්‍රධාන විකර්ණයේ ආරම්භයේ පේළියේ 1s කිහිපයක් ඇති න්‍යාසයකි (ඒවායේ සංඛ්යාව ශුන්ය විය හැක), සහ අනෙකුත් සියලුම මූලද්රව්ය ශුන්‍යයට සමාන වේ, උදාහරණයක් ලෙස,
පේළි සහ තීරු වල මූලික පරිවර්තනයන් ආධාරයෙන්, ඕනෑම අනුකෘතියක් කැනොනිකල් එකක් දක්වා අඩු කළ හැකිය. කැනොනිකල් න්යාසයක ශ්රේණිය එහි ප්‍රධාන විකර්ණයේ ඇති සංඛ්යාවට සමාන වේ.
උදාහරණ 2අනුකෘතියක ශ්රේණිය සොයන්න
A= 
සහ එය කැනොනිකල් ආකෘතියට ගෙන එන්න.
විසඳුමක්.පළමු පේළිය දෙවන පේළියෙන් අඩු කර මෙම පේළි නැවත සකස් කරන්න:
.
දැන්, දෙවන සහ තුන්වන පේළි වලින්, පිළිවෙලින් 2 සහ 5 න් ගුණ කළ පළමුවැන්න අඩු කරන්න:
;
තෙවන පේළියෙන් පළමුවැන්න අඩු කරන්න; අපි matrix ලබා ගනිමු
B = 
,
එය පරිමිත මූලික පරිවර්තන කට්ටලයක් භාවිතයෙන් ලබා ගන්නා බැවින්, A අනුකෘතියට සමාන වේ. පැහැදිලිවම, න්යාස B හි ශ්රේණිය 2 වන අතර එබැවින් r(A)=2 වේ. න්‍යාසය B පහසුවෙන් කැනොනිකල් එකට අඩු කළ හැක. පළමු තීරුව අඩු කිරීම, සුදුසු සංඛ්යා වලින් ගුණ කිරීම, පසුව ඇති සියලුම ඒවායින්, අපි පළමු පේළිය හැර පළමු පේළියේ සියලුම මූලද්රව්ය ශුන්‍යයට හරවන අතර ඉතිරි පේළිවල මූලද්රව්ය වෙනස් නොවේ. ඉන්පසුව, දෙවන තීරුව අඩු කිරීම, සුදුසු සංඛ්යා වලින් ගුණ කිරීම, පසුව ඇති සියලුම ඒවායින්, අපි දෙවැන්න හැර දෙවන පේළියේ සියලුම මූලද්රව්ය ශුන්‍යයට හරවා කැනොනිකල් න්‍යාසය ලබා ගනිමු:
.
ක්‍රොනෙකර් - කැපිලි ප්රමේයය- රේඛීය වීජීය සමීකරණ පද්ධතියේ ගැළපුම නිර්ණායකය:
වෙත රේඛීය පද්ධතියස්ථාවර වේ, මෙම පද්ධතියේ දිගු න්‍යාසයේ ශ්රේණිය එහි ප්‍රධාන න්‍යාසයේ ශ්‍රේණියට සමාන වීම අවශ්ය සහ ප්රමාණවත් වේ.
සාධනය (පද්ධති අනුකූලතා කොන්දේසි)
අවශ්යයි
ඉඩ පද්ධතියක්ඒකාබද්ධ. එතකොට තියෙනවා සංඛ්යා වේ, කුමක් . එබැවින්, තීරුව යනු අනුකෘතියේ තීරු වල රේඛීය සංයෝජනයකි. න්යාසයක ශ්රේණිගත කිරීම එහි පේළි (තීරු) පද්ධතිය මකා දැමුවහොත් හෝ වෙනත් පේළි (තීරු) වල රේඛීය සංයෝජනයක් වන පේළියක් (තීරුවක්) පවරනු ලැබුවහොත්, එය පහත පරිදි වේ.
ප්රමාණවත් බව
ඉඩ . න්‍යාසයේ මූලික සුළු කිහිපයක් ගනිමු. මක්නිසාද යත්, එය න්‍යාසයේ කුඩා පදනම ද වනු ඇත. එවිට, පදනම් ප්රමේයය අනුව සුළු, න්‍යාසයේ අවසාන තීරුව පාදක තීරුවල රේඛීය සංයෝජනයක් වනු ඇත, එනම් න්‍යාසයේ තීරු . එබැවින්, පද්ධතියේ නිදහස් සාමාජිකයින්ගේ තීරුව අනුකෘතියේ තීරු වල රේඛීය සංයෝජනයකි.
ප්රතිවිපාක
ප්‍රධාන විචල්‍ය ගණන පද්ධතිපද්ධතියේ තරාතිරමට සමාන වේ.
ඒකාබද්ධ පද්ධතියක්පද්ධතියේ ශ්රේණිය එහි සියලුම විචල්‍ය ගණනට සමාන නම් (එහි විසඳුම අද්විතීය වේ) අර්ථ දක්වනු ඇත.
සමජාතීය සමීකරණ පද්ධතිය
වාක්යය15 . 2 සමජාතීය සමීකරණ පද්ධතිය
|
|
සැමවිටම සහයෝගී වේ.
සාක්ෂි. මෙම පද්ධතිය සඳහා, ඉලක්කම් කට්ටලය, , , විසඳුමකි.
මෙම කොටසේදී, අපි පද්ධතියේ matrix අංකනය භාවිතා කරමු: .
වාක්යය15 . 3 සමජාතීය රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියකට විසඳුම් එකතුව මෙම පද්ධතියට විසඳුමකි. අංකයකින් ගුණ කළ විසඳුම ද විසඳුමකි.
සාක්ෂි. පද්ධතියේ විසඳුම් ලෙස සේවය කිරීමට ඉඩ දෙන්න. එවිට සහ . ඉඩ . ඉන්පසු
සිට, එවිට විසඳුමක් වේ.
අත්තනෝමතික අංකයක් වීමට ඉඩ දෙන්න, . ඉන්පසු
සිට, එවිට විසඳුමක් වේ.
ප්රතිවිපාකය15 . 1 අ සමජාතීය පද්ධතිය රේඛීය සමීකරණශුන්‍ය නොවන ද්‍රාවණයක් ඇත, එවිට එයට අනන්ත විවිධ විසඳුම් ඇත.
ඇත්ත වශයෙන්ම, ශුන්ය නොවන ද්‍රාවණයක් විවිධ සංඛ්‍යාවලින් ගුණ කිරීමෙන් අපට විවිධ විසඳුම් ලැබේ.
අර්ථ දැක්වීම15
.
5
අපි කියන්නම් විසඳුම් කියලා 
පද්ධති ආකෘතිය මූලික තීරණ පද්ධතියතීරු නම් 
රේඛීයව සාදයි ස්වාධීන පද්ධතියසහ පද්ධතියට ඕනෑම විසඳුමක් මෙම තීරු වල රේඛීය සංයෝජනයකි.
r අංකය A matrix හි ශ්රේණිය ලෙස හැඳින්වේ නම්:
1) A අනුකෘතියේ r අනුපිළිවෙලෙහි ශුන්ය නොවන සුළු අගයක් අඩංගු වේ;
2) අනුපිළිවෙලෙහි සියලුම බාලවයස්කරුවන් (r + 1) සහ ඉහළ ඒවා තිබේ නම්, ශුන්‍යයට සමාන වේ.
එසේ නොමැතිනම්, න්යාසයක ශ්රේණිය යනු ශුන්ය නොවන බාලවයස්කාරයෙකුගේ ඉහළම අනුපිළිවෙලයි.
තනතුරු: rangA , r A හෝ r .
එය r යනු නිඛිලයක් බව අර්ථ දැක්වීමෙන් පහත දැක්වේ ධනාත්මක අංකය. ශුන්ය න්‍යාසයක් සඳහා, ශ්රේණිය ශුන්ය ලෙස සැලකේ.
සේවා පැවරුම. මාර්ගගත කැල්ක්යුලේටරය සොයා ගැනීමට සැලසුම් කර ඇත matrix ශ්රේණිය. විසඳුම Word සහ Excel ආකෘතියෙන් සුරකිනු ලැබේ. සෙමී. විසඳුම උදාහරණය.
උපදෙස්. අනුකෘතියේ මානය තෝරන්න, ඊළඟ ක්ලික් කරන්න.
අර්ථ දැක්වීම . R ශ්රේණියේ න්‍යාසයක් ලබා දෙමු. ශුන්ය සහ අනුපිළිවෙල r හැර වෙනත් ඕනෑම කුඩා න්‍යාසයක් මූලික ලෙස හඳුන්වනු ලබන අතර එහි සංරචකවල පේළි සහ තීරු මූලික පේළි සහ තීරු ලෙස හැඳින්වේ.
මෙම නිර්වචනයට අනුව, න්‍යාසය A හි මූලික බාලවයස් කිහිපයක් තිබිය හැක.
ශ්රේණිගත කරන්න අනන්යතා අනුකෘතිය E යනු n (පේළි ගණන) ට සමාන වේ.
උදාහරණය 1. න්යාස දෙකක් ලබා දී ඇත, 
සහ ඔවුන්ගේ බාලවයස්කරුවන් 
, 
. ඒවායින් කුමන පදනමක් ලෙස ගත හැකිද?
විසඳුමක්. කුඩා M 1 =0, එබැවින් එය කිසිදු න්‍යාසයකට පදනමක් විය නොහැක. කුඩා M 2 =-9≠0 සහ අනුපිළිවෙල 2 ඇත, එබැවින් එය A හෝ / සහ B හි පාදක න්යාස ලෙස ගත හැකිය, ඒවාට 2 ට සමාන ශ්‍රේණි තිබේ නම්. detB=0 (සමානුපාතික තීරු දෙකක් සහිත නිර්ණායකයක් ලෙස), එවිට rangB=2 සහ M 2 න්‍යාසය B හි මූලික සුළු අගය ලෙස ගත හැක. න්යාස A ශ්රේණිය 3 වේ, detA=-27≠ 0 සහ, එබැවින්, මෙම න්‍යාසයේ මූලික සුළු අනුපිළිවෙල 3 විය යුතුය, එනම්, M 2 න්‍යාසය A සඳහා පදනමක් නොවේ. A න්‍යාසයේ නිර්ණායකයට සමාන සුළු සුළු සුළු අනුකෘතියක් ඇති බව සලකන්න.
ප්රමේයය (අඩු පදනම මත).
න්යාසයක ඕනෑම පේළියක් (තීරුවක්) එහි මූලික පේළිවල (තීරු) රේඛීය සංයෝගයකි.
ප්රමේයයේ ප්රතිවිපාක.
- r ශ්රේණියේ න්යාසයක ඕනෑම (r+1) තීරු (පේළි) රේඛීයව රඳා පවතී.
- අනුකෘතියේ ශ්රේණිය නම් සංඛ්යාවට වඩා අඩුයඑහි පේළි (තීරු), පසුව එහි පේළි (තීරු) රේඛීයව රඳා පවතී. rangA එහි පේළි ගණනට (තීරු) සමාන නම්, පේළි (තීරු) රේඛීයව ස්වාධීන වේ.
- A න්යාසයක නිර්ණායකය ශුන්‍යයට සමාන වන්නේ එහි පේළි (තීරු) රේඛීයව රඳා පවතින්නේ නම් පමණි.
- න්යාසයක පේළියකට (තීරු) බිංදුව හැර වෙනත් සංඛ්‍යාවකින් ගුණ කළ තවත් පේළියක් (තීරුවක්) එකතු කළහොත්, න්‍යාසයේ ශ්රේණිය වෙනස් නොවේ.
- ඔබ අනුකෘතියේ පේළියක් (තීරුව) හරස් කළහොත්, එය අනෙකුත් පේළිවල (තීරු) රේඛීය සංයෝජනයකි, එවිට න්‍යාසයේ ශ්රේණිය වෙනස් නොවේ.
- අනුකෘතියක ශ්රේණිය එහි රේඛීය ස්වාධීන පේළි (තීරු) උපරිම ගණනට සමාන වේ.
- රේඛීය ස්වාධීන පේළි උපරිම සංඛ්යාව රේඛීය ස්වාධීන තීරු උපරිම සංඛ්යාවට සමාන වේ.
උදාහරණය 2. අනුකෘතියක ශ්රේණිය සොයන්න 
.
විසඳුමක්.
අනුකෘතියේ ශ්රේණියේ නිර්වචනය මත පදනම්ව, අපි බාලවයස් සොයන්නෙමු ඉහළම නියෝගය, බිංදුවට වඩා වෙනස්. පළමුව, අපි අනුකෘතිය තවත් බවට පරිවර්තනය කරමු පැහැදිලි දැක්ම. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, න්‍යාසයේ පළමු පේළිය (-2) ගුණ කර දෙවැන්නට එකතු කරන්න, ඉන්පසු එය (-1) න් ගුණ කර තෙවැන්නට එකතු කරන්න.
