අන්තර්ජාලයේ මූලික විසඳුම් කට්ටලයක් සොයන්න. රේඛීය සමජාතීය සමීකරණ පද්ධති

ඉඩ එම් 0 යනු සමජාතීය පද්ධතියේ විසඳුම් සමූහයකි (4) රේඛීය සමීකරණ.

අර්ථ දැක්වීම 6.12.දෛශික සමඟ 1 ,සමඟ 2 , …, p සමඟ, රේඛීය සමීකරණවල සමජාතීය පද්ධතියක විසඳුම් ලෙස හැඳින්වේ මූලික විසඳුම් කට්ටලය(කෙටියෙන් FNR) නම්

1) දෛශික සමඟ 1 ,සමඟ 2 , …, p සමඟරේඛීයව ස්වාධීන (එනම්, ඒවායින් කිසිවක් අනෙක් ඒවා අනුව ප්‍රකාශ කළ නොහැක);

2) රේඛීය සමීකරණවල සමජාතීය පද්ධතියක වෙනත් ඕනෑම විසඳුමක් විසඳුම් අනුව ප්‍රකාශ කළ හැකිය සමඟ 1 ,සමඟ 2 , …, p සමඟ.

නම් බව සලකන්න සමඟ 1 ,සමඟ 2 , …, p සමඟසමහර f.n.r., පසුව ප්රකාශනය මගින් කේ 1× සමඟ 1 + කේ 2× සමඟ 2 + … + kp× p සමඟසම්පූර්ණ කට්ටලය විස්තර කළ හැකිය එම්පද්ධතියට විසඳුම් 0 (4), එබැවින් එය හැඳින්වේ පද්ධති විසඳුම පිළිබඳ පොදු දැක්ම (4).

ප්රමේයය 6.6.රේඛීය සමීකරණවල ඕනෑම අවිනිශ්චිත සමජාතීය පද්ධතියකට මූලික විසඳුම් සමූහයක් ඇත.

මූලික විසඳුම් කට්ටලයක් සොයා ගැනීමේ මාර්ගය පහත පරිදි වේ:

සොයන්න පොදු තීරණයරේඛීය සමීකරණවල සමජාතීය පද්ධතිය;

ගොඩනැගීම ( n – ආර්) මෙම පද්ධතියේ විශේෂිත විසඳුම්, නිදහස් නොදන්නා අගයන් සෑදිය යුතුය අනන්යතා අනුකෘතිය;

ඇතුළත් කර ඇති විසඳුමේ පොදු ස්වරූපය ලියන්න එම් 0 .

උදාහරණය 6.5.පහත සඳහන් පද්ධතියේ මූලික විසඳුම් කට්ටලය සොයා ගන්න:

විසඳුමක්. මෙම පද්ධතියේ පොදු විසඳුම අපි සොයා බලමු.

~ ~ ~ ~ Þ Þ Þ මෙම පද්ධතියට නොදන්නා පහක් ඇත ( n= 5), එයින් ප්‍රධාන නොදන්නා කරුණු දෙකක් ඇත ( ආර්= 2), නොමිලේ නොදන්නා තුනක් ( n – ආර්), එනම්, මූලික විසඳුම් කට්ටලයේ විසඳුම් දෛශික තුනක් අඩංගු වේ. අපි ඒවා ගොඩනඟමු. අපිට තියනවා x 1 සහ x 3 - ප්රධාන නොදන්නා, x 2 , x 4 , x 5 - නොමිලේ නොදන්නා අය

නොමිලේ නොදන්නා වටිනාකම් x 2 , x 4 , x 5 අනන්‍යතා අනුකෘතිය සාදයි ඊතුන්වන නියෝගය. අර දෛශික ගත්තා සමඟ 1 ,සමඟ 2 , සමඟ 3 ආකෘති f.n.r. මෙම පද්ධතිය. එවිට මෙම සමජාතීය පද්ධතියේ විසඳුම් කට්ටලය වනු ඇත එම් 0 = {කේ 1× සමඟ 1 + කේ 2× සමඟ 2 + කේ 3× සමඟ 3 , කේ 1 , කේ 2 , කේ 3 හෝ ආර්).

සමජාතීය රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියක ශුන්‍ය නොවන විසඳුම් පැවතීම සඳහා වන කොන්දේසි, වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, මූලික විසඳුම් සමූහයක පැවැත්ම සඳහා වන කොන්දේසි අපි දැන් සොයා බලමු.

රේඛීය සමීකරණවල සමජාතීය පද්ධතියකට ශුන්‍ය නොවන විසඳුම් ඇත, එනම් එය අවිනිශ්චිත නම්

1) පද්ධතියේ ප්‍රධාන අනුකෘතියේ ශ්‍රේණිය සංඛ්යාවට වඩා අඩුයනොදන්නා;

2) රේඛීය සමීකරණවල සමජාතීය පද්ධතියක, සමීකරණ සංඛ්යාව නොදන්නා සංඛ්යාවට වඩා අඩුය;

3) සමජාතීය රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියක නම් සමීකරණ ගණන නොදන්නා සංඛ්‍යාවට සමාන වන අතර ප්‍රධාන න්‍යාසයේ නිර්ණායකය ශුන්‍යයට සමාන වේ (එනම් | ඒ| = 0).

උදාහරණය 6.6. පරාමිතියේ කුමන අගයකින් ඒරේඛීය සමීකරණවල සමජාතීය පද්ධතිය ශුන්‍ය නොවන විසඳුම් තිබේද?

විසඳුමක්. අපි මෙම පද්ධතියේ ප්‍රධාන න්‍යාසය සම්පාදනය කර එහි නිර්ණායකය සොයා ගනිමු: = = 1×(-1) 1+1 × = – ඒ- 4. මෙම න්‍යාසයේ නිර්ණායකය ශුන්‍යයට සමාන වේ ඒ = –4.

පිළිතුර: –4.

7. අංක ගණිතය n-මාන දෛශික අවකාශය

මූලික සංකල්ප

පෙර කොටස් වලදී, නිශ්චිත අනුපිළිවෙලකට සකසා ඇති තාත්වික සංඛ්‍යා සමූහයක සංකල්පය අපට දැනටමත් හමු විය. මෙය පේළි න්‍යාසයක් (හෝ තීරු න්‍යාසයක්) සහ රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියකට විසඳුමකි nනොදන්නා. මෙම තොරතුරු සාරාංශගත කළ හැකිය.

අර්ථ දැක්වීම 7.1. n-මාන ගණිත දෛශිකයඇණවුම් කළ කට්ටලයක් ලෙස හැඳින්වේ nසැබෑ සංඛ්යා.

අදහස් වේ ඒ= (a 1, a 2, ..., a n), එහිදී a මමඕ ආර්, මම = 1, 2, …, nදෛශිකයේ පොදු දර්ශනය වේ. අංකය nකියලා මානයදෛශිකය, සහ අංක a මමඔහු ඇමතුවා ඛණ්ඩාංක.

උදාහරණ වශයෙන්: ඒ= (1, –8, 7, 4, ) යනු පංචමාන දෛශිකයකි.

සියල්ල සූදානම් n-dimensional දෛශික සාමාන්යයෙන් ලෙස දැක්වේ ආර් එන්.

අර්ථ දැක්වීම 7.2.දෛශික දෙකක් ඒ= (a 1, a 2, ..., a n) හා බී= (b 1, b 2, ..., b n) එකම මානයකින් සමානඒවායේ අදාළ ඛණ්ඩාංක සමාන නම් සහ පමණක් නම්, එනම් a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , …, a n= ආ n.

අර්ථ දැක්වීම 7.3.එකතුවදෙක n-මාන දෛශික ඒ= (a 1, a 2, ..., a n) හා බී= (b 1, b 2, ..., b n) දෛශිකයක් ලෙස හැඳින්වේ ඒ + බී= (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , ..., a n+ආ n).

අර්ථ දැක්වීම 7.4. කාර්යයසැබෑ අංකය කේදෛශිකයකට ඒ= (a 1, a 2, ..., a n) දෛශිකයක් ලෙස හැඳින්වේ කේ× ඒ = (කේ×a 1, කේ×a 2,…, කේ×අ n)

අර්ථ දැක්වීම 7.5.දෛශිකය පිළිබඳ= (0, 0, …, 0) ලෙස හැඳින්වේ ශුන්ය(හෝ ශුන්‍ය දෛශිකය).

දෛශික එකතු කිරීමේ සහ ඒවා තාත්වික සංඛ්‍යාවකින් ගුණ කිරීමේ ක්‍රියා (මෙහෙයුම්) තිබේදැයි පරීක්ෂා කිරීම පහසුය. පහත ගුණාංග: " ඒ, බී, c Î ආර් එන්, " කේ, එල් OR:

1) ඒ + බී = බී + ඒ;

2) ඒ + (බී+ c) = (ඒ + බී) + c;

3) ඒ + පිළිබඳ = ඒ;

4) ඒ+ (–ඒ) = පිළිබඳ;

5) 1× ඒ = ඒ, 1 О ආර්;

6) කේ×( එල්× ඒ) = එල්×( කේ× ඒ) = (එල්× කේ)× ඒ;

7) (කේ + එල්)× ඒ = කේ× ඒ + එල්× ඒ;

8) කේ×( ඒ + බී) = කේ× ඒ + කේ× බී.

අර්ථ දැක්වීම 7.6.ගොඩක් ආර් එන්දෛශික එකතු කිරීම සහ එය මත ලබා දී ඇති තාත්වික සංඛ්‍යාවකින් ඒවා ගුණ කිරීමේ ක්‍රියාවන් ලෙස හැඳින්වේ අංක ගණිතමය n-මාන දෛශික අවකාශය.

ඔබට ඇණවුම් කළ හැකිය සවිස්තරාත්මක විසඳුමඔබේ කාර්යය!!!

කුමක්ද යන්න තේරුම් ගැනීමට මූලික තීරණ පද්ධතියක්ලික් කිරීමෙන් ඔබට එම උදාහරණය සඳහා වීඩියෝ නිබන්ධනය නැරඹිය හැකිය. දැන් අපි සමස්ත විස්තරයට යමු අවශ්ය වැඩ. මෙම ගැටලුවේ සාරය වඩාත් විස්තරාත්මකව තේරුම් ගැනීමට මෙය ඔබට උපකාර කරනු ඇත.

රේඛීය සමීකරණයක විසඳුම්වල මූලික පද්ධතිය සොයා ගන්නේ කෙසේද?

උදාහරණයක් ලෙස පහත රේඛීය සමීකරණ පද්ධතිය ගන්න:

අපි මේකට විසදුමක් හොයමු රේඛීය පද්ධතියසමීකරණ. ආරම්භ කිරීමට, අපි පද්ධතියේ සංගුණක අනුකෘතිය ලියන්න.

අපි මෙම න්‍යාසය ත්‍රිකෝණාකාර එකකට පරිවර්තනය කරමු.අපි වෙනස්කම් නොමැතිව පළමු පේළිය නැවත ලියන්නෙමු. තවද $a_(11)$ යටතේ ඇති සියලුම මූලද්‍රව්‍ය ශුන්‍ය කළ යුතුය. $a_(21)$ මූලද්‍රව්‍යයේ ස්ථානයේ ශුන්‍යයක් කිරීමට, ඔබ දෙවන පේළියෙන් පළමුවැන්න අඩු කර දෙවන පේළියේ වෙනස ලිවිය යුතුය. $a_(31)$ මූලද්‍රව්‍ය ස්ථානයේ ශුන්‍යයක් කිරීමට, ඔබ තුන්වන පේළියෙන් පළමුවැන්න අඩු කර තුන්වන පේළියේ වෙනස ලිවිය යුතුය. $a_(41)$ මූලද්‍රව්‍යය වෙනුවට ශුන්‍යයක් කිරීමට, ඔබ හතරවන පේළියෙන් 2 න් ගුණ කළ පළමු අගය අඩු කර හතරවන පේළියේ වෙනස ලිවිය යුතුය. $a_(31)$ මූලද්‍රව්‍යය වෙනුවට ශුන්‍යයක් කිරීමට, පස්වන පේළියෙන් 2න් ගුණ කළ පළමු අගය අඩු කර පස්වන පේළියේ වෙනස ලියන්න.

අපි වෙනස්කම් නොමැතිව පළමු සහ දෙවන පේළි නැවත ලියන්නෙමු. තවද $a_(22)$ යටතේ ඇති සියලුම මූලද්‍රව්‍ය ශුන්‍ය කළ යුතුය. මූලද්‍රව්‍ය $a_(32)$ ස්ථානයේ ශුන්‍යයක් කිරීමට, තුන්වන පේළියේ සිට 2 ගුණ කළ දෙවැන්න අඩු කර තුන්වන පේළියේ වෙනස ලිවිය යුතුය. $a_(42)$ යන මූලද්‍රව්‍යයේ ස්ථානයේ ශුන්‍යයක් සෑදීමට, හතරවන පේළියේ සිට 2න් ගුණ කළ දෙවැන්න අඩු කර හතරවන පේළියේ වෙනස ලිවීම අවශ්‍ය වේ. $a_(52)$ මූලද්‍රව්‍යය වෙනුවට ශුන්‍යයක් කිරීමට, පස්වන පේළියෙන් 3 න් ගුණ කළ දෙවැන්න අඩු කර පස්වන පේළියේ වෙනස ලියන්න.

අපි ඒක දකිනවා අවසාන පේළි තුනම සමාන වේ, එබැවින් ඔබ සිව්වන සහ පස්වන වලින් තෙවනුව අඩු කළහොත් ඒවා ශුන්‍ය වේ.

මෙම matrix සඳහා ලියන්න නව පද්ධතියසමීකරණ.

අපට ඇත්තේ රේඛීය ස්වාධීන සමීකරණ තුනක් පමණක් බවත්, නොදන්නා සමීකරණ පහක් පමණක් බවත් අපට පෙනේ, එබැවින් විසඳුම්වල මූලික පද්ධතිය දෛශික දෙකකින් සමන්විත වේ. ඉතින් අපි අවසාන නොදන්නා දෙක දකුණට ගෙන යන්න.

දැන්, අපි වම් පැත්තේ ඇති නොදන්නා දේ දකුණු පැත්තේ ඇති ඒවා හරහා ප්‍රකාශ කිරීමට පටන් ගනිමු. අපි අවසාන සමීකරණයෙන් පටන් ගනිමු, පළමුව අපි $x_3$ ප්‍රකාශ කරමු, පසුව අපි ලබාගත් ප්‍රතිඵලය දෙවන සමීකරණයට ආදේශ කර $x_2$ ප්‍රකාශ කරමු, ඉන්පසු පළමු සමීකරණයට සහ මෙහිදී අපි $x_1$ ප්‍රකාශ කරමු. මෙලෙස වම් පැත්තේ ඇති සියලුම නොදන්නා දේ දකුණු පැත්තේ ඇති නොදන්නා දේ හරහා අපි ප්‍රකාශ කළෙමු.

ඊට පසු, $x_4$ සහ $x_5$ වෙනුවට, ඔබට ඕනෑම අංකයක් ආදේශ කර $x_1$, $x_2$ සහ $x_3$ සොයා ගත හැක. එවැනි සෑම සංඛ්‍යා පහක්ම අපගේ මුල් සමීකරණ පද්ධතියේ මූලයන් වනු ඇත. ඇතුළත් කර ඇති දෛශික සොයා ගැනීමට FSRඅපට $x_4$ වෙනුවට 1 ආදේශ කිරීමටත්, $x_5$ වෙනුවට 0 ආදේශ කිරීමටත්, $x_1$, $x_2$ සහ $x_3$ සොයා ගැනීමටත්, පසුව $x_4=0$ සහ $x_5=1$ සොයා ගැනීමටත් අවශ්‍ය වේ.

උදාහරණය 1. පද්ධතිය සඳහා පොදු විසඳුමක් සහ සමහර මූලික විසඳුම් පද්ධතියක් සොයා ගන්න

විසඳුමක්කැල්කියුලේටරය සමඟ සොයා ගන්න. විසඳුම් ඇල්ගොරිතම රේඛීය පද්ධති සඳහා සමාන වේ සමජාතීය සමීකරණ.
පේළි සමඟ පමණක් ක්‍රියාත්මක වන විට, අපි න්‍යාසයේ ශ්‍රේණිය සොයා ගනිමු, මූලික සුළු; අපි යැපෙන සහ නිදහස් නොදන්නා අය ප්‍රකාශ කර සාමාන්‍ය විසඳුම සොයා ගනිමු.

පළමු සහ දෙවන පේළි සමානුපාතික වේ, ඒවායින් එකක් මකා දැමෙනු ඇත:

.
යැපෙන විචල්යයන් - x 2, x 3, x 5, නිදහස් - x 1, x 4. පළමු සමීකරණයෙන් 10x 5 = 0 අපි x 5 = 0 සොයා ගනිමු
; .
සාමාන්ය විසඳුම පෙනෙන්නේ:

(n-r) විසඳුම් වලින් සමන්විත මූලික විසඳුම් පද්ධතිය අපි සොයා ගනිමු. අපගේ නඩුවේදී, n=5, r=3, එබැවින්, විසඳුම්වල මූලික පද්ධතිය විසඳුම් දෙකකින් සමන්විත වන අතර, මෙම විසඳුම් රේඛීයව ස්වාධීන විය යුතුය. පේළි රේඛීයව ස්වාධීන වීමට නම්, පේළිවල මූලද්‍රව්‍ය වලින් සමන්විත න්‍යාසයේ ශ්‍රේණිය පේළි ගණනට සමාන වීම අවශ්‍ය සහ ප්‍රමාණවත් වේ, එනම් 2. නොමිලේ නොදන්නා x 1 සහ x ලබා දීම ප්‍රමාණවත් වේ. බිංදුවට වඩා වෙනස් වන දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි නිර්ණායකයේ පේළි වලින් අගයන් 4 ක් සහ x 2 , x 3 , x 5 ගණනය කරන්න. සරලම ශුන්‍ය නොවන නිර්ණායකය වේ.
එබැවින් පළමු විසඳුම වන්නේ: , දෙවන - .
මෙම තීරණ දෙක මූලික තීරණ පද්ධතිය සමන්විත වේ. මූලික පද්ධතිය අද්විතීය නොවන බව සලකන්න (ශුන්‍යය හැර අනෙකුත් නිර්ණායක ඔබ කැමති තරම් ප්‍රමාණයක් සෑදිය හැක).

උදාහරණය 2. පද්ධතියේ පොදු විසඳුම සහ විසඳුම්වල මූලික පද්ධතිය සොයා ගන්න
විසඳුමක්.



,
අනුකෘතියේ ශ්‍රේණිය 3 වන අතර එය නොදන්නා සංඛ්‍යාවට සමාන වේ. මෙයින් අදහස් කරන්නේ පද්ධතියට නොමිලේ නොදන්නා කරුණු නොමැති බවත්, එබැවින් අද්විතීය විසඳුමක් ඇති බවත්ය - සුළු එකක්.

ව්යායාම . රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියක් ගවේෂණය කර විසඳන්න.
උදාහරණය 4

ව්යායාම . එක් එක් පද්ධතිය සඳහා පොදු සහ විශේෂිත විසඳුම් සොයන්න.
විසඳුමක්.අපි පද්ධතියේ ප්රධාන අනුකෘතිය ලියන්නෙමු:

5	-2	9	-4	-1
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6
x 1	x2	x 3	x4	x5

අපි matrix එක ත්රිකෝණාකාර ස්වරූපයකට ගෙන එනවා. න්‍යාස පේළියක් බිංදුව හැර වෙනත් සංඛ්‍යාවකින් ගුණ කිරීම සහ පද්ධතිය සඳහා වෙනත් පේළියකට එකතු කිරීම යනු එම සංඛ්‍යාවෙන් සමීකරණය ගුණ කිරීම සහ වෙනත් සමීකරණයකට එකතු කිරීම වන බැවින් අපි පේළි සමඟ පමණක් වැඩ කරන්නෙමු, එය පද්ධතියේ විසඳුම වෙනස් නොකරනු ඇත. .
2 වන පේළිය (-5) මගින් ගුණ කරන්න. අපි 2 වන පේළිය 1 ට එකතු කරමු:

0	-22	-1	-14	24
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6

2 වන පේළිය (6) න් ගුණ කරන්න. 3 වන පේළිය (-1) මගින් ගුණ කරන්න. අපි 3 වන පේළිය 2 වෙනි එකට එකතු කරමු:
අනුකෘතියේ ශ්‍රේණිය සොයන්න.

0	22	1	14	-24
6	2	11	-2	-6
x 1	x2	x 3	x4	x5

තෝරාගත් බාල වයස්කාරයාට ඉහළම අනුපිළිවෙල (හැකි සියලුම බාලවයස්කරුවන්ගෙන්) ඇති අතර එය ශුන්‍ය නොවන (එය ප්‍රතිවර්ත විකර්ණයේ ඇති මූලද්‍රව්‍යවල ගුණිතයට සමාන වේ), එබැවින් rang(A) = 2.
මෙම බාලවය මූලික වේ. එයට නොදන්නා x 1, x 2 සඳහා සංගුණක ඇතුළත් වේ, එයින් අදහස් කරන්නේ නොදන්නා x 1, x 2 රඳා පවතින (මූලික) සහ x 3, x 4, x 5 නිදහස් බවයි.
අපි න්‍යාසය පරිවර්තනය කරමු, මූලික සුළු එක පමණක් වම් පසින් තබමු.

0	22	14	-1	-24
6	2	-2	-11	-6
x 1	x2	x4	x 3	x5

මෙම න්‍යාසයේ සංගුණක සහිත පද්ධතිය මුල් පද්ධතියට සමාන වන අතර පෝරමය ඇත:
22x2 = 14x4 - x3 - 24x5
6x1 + 2x2 = - 2x4 - 11x3 - 6x5
නොදන්නා දේ ඉවත් කිරීමේ ක්‍රමය මගින් අපි සොයා ගනිමු සුළු නොවන විසඳුමක් :
අපි නිදහස් x 3 ,x 4 ,x 5 හරහා යැපෙන විචල්‍ය x 1 ,x 2 ප්‍රකාශ කරන සම්බන්ධතා ලබා ගත්තෙමු, එනම් අපට හමු විය පොදු තීරණය:
x2 = 0.64x4 - 0.0455x3 - 1.09x5
x 1 = - 0.55x 4 - 1.82x 3 - 0.64x 5
(n-r) විසඳුම් වලින් සමන්විත මූලික විසඳුම් පද්ධතිය අපි සොයා ගනිමු.
අපගේ නඩුවේදී, n=5, r=2, එබැවින්, විසඳුම්වල මූලික පද්ධතිය විසඳුම් 3 කින් සමන්විත වන අතර, මෙම විසඳුම් රේඛීයව ස්වාධීන විය යුතුය.
පේළි රේඛීයව ස්වාධීන වීමට නම්, පේළිවල මූලද්‍රව්‍ය වලින් සමන්විත න්‍යාසයේ ශ්‍රේණිය පේළි ගණනට සමාන වීම අවශ්‍ය සහ ප්‍රමාණවත් වේ, එනම් 3.
3 වන අනුපිළිවෙලෙහි නිර්ණායකයේ පේළි වලින් නොමිලේ නොදන්නා x 3 , x 4 , x 5 අගයන් ශුන්‍යයට වඩා වෙනස් ලෙස ලබා දී x 1 , x 2 ගණනය කිරීම ප්‍රමාණවත් වේ.
සරලම ශුන්‍ය නොවන නිර්ණායකය වන්නේ අනන්‍යතා අනුකෘතියයි.

1	0	0
0	1	0
0	0	1

කාර්යයක්. සමජාතීය රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියකට මූලික විසඳුම් කට්ටලයක් සොයන්න.

රේඛීය සමජාතීය සමීකරණ පද්ධති- ∑a k i x i = 0 ආකෘතිය ඇත. m > n හෝ m රේඛීය සමීකරණවල සමජාතීය පද්ධතියක් rangA = rangB බැවින් සෑම විටම අනුකූල වේ. එය නිසැකවම ශුන්‍ය වලින් සමන්විත විසඳුමක් ඇත, එය හැඳින්වේ සුළු සුළුය.

සේවා පැවරුම. ඔන්ලයින් කැල්කියුලේටරය නිර්මාණය කර ඇත්තේ SLAE සඳහා සුළු නොවන සහ මූලික විසඳුමක් සෙවීමටය. ප්රතිඵලයක් ලෙස විසඳුම ගබඩා කර ඇත Word ගොනුව(විසඳුම උදාහරණය බලන්න).

උපදෙස්. අනුකෘතියේ මානය තෝරන්න:

විචල්ය සංඛ්යාව: 2 3 4 5 6 7 8 සහ පේළි ගණන 2 3 4 5 6

රේඛීය සමජාතීය සමීකරණ පද්ධතිවල ගුණ

පද්ධතිය ඇති කිරීම සඳහා සුළු නොවන විසඳුම්, එහි අනුකෘතියේ ශ්‍රේණිය නොදන්නා සංඛ්‍යාවට වඩා අඩු වීම අවශ්‍ය සහ ප්‍රමාණවත් වේ.

ප්රමේයය. මෙම පද්ධතියේ නිර්ණායකය ශුන්‍යයට සමාන නම් පමණක් m=n නඩුවේ පද්ධතියට සුළු නොවන විසඳුමක් ඇත.

ප්රමේයය. පද්ධතියකට විසඳුම්වල ඕනෑම රේඛීය සංයෝජනයක් ද එම පද්ධතියට විසඳුමකි.
අර්ථ දැක්වීම. රේඛීය සමජාතීය සමීකරණ පද්ධතියකට විසඳුම් කට්ටලයක් ලෙස හැඳින්වේ මූලික තීරණ පද්ධතියමෙම එකතුව රේඛීය ස්වාධීන විසඳුම් වලින් සමන්විත නම් සහ පද්ධතියේ ඕනෑම විසඳුමක් මෙම විසඳුම්වල රේඛීය සංයෝජනයක් වේ.

ප්රමේයය. පද්ධති න්‍යාසයේ r ශ්‍රේණිය නොදන්නා සංඛ්‍යාව n ට වඩා අඩු නම්, (n-r) විසඳුම් වලින් සමන්විත මූලික විසඳුම් පද්ධතියක් ඇත.

රේඛීය සමජාතීය සමීකරණ පද්ධති විසඳීම සඳහා ඇල්ගොරිතම

1. අනුකෘතියේ ශ්‍රේණිය සොයන්න.
2. අපි මූලික බාලවය තෝරා ගනිමු. අපි යැපෙන (මූලික) සහ නොමිලේ නොදන්නා අය තෝරා ගනිමු.
3. සංයුතියට ඇතුළත් නොවූ සංගුණක පද්ධතියේ එම සමීකරණ අපි හරස් කරමු මූලික සුළු, ඒවා අන් අයගේ ප්‍රතිවිපාක වන බැවින් (මූලික සුළු ප්‍රමේයය අනුව).
4. නිදහස් නොදන්නා කරුණු අඩංගු සමීකරණවල නියමයන් දකුණු පැත්තට මාරු කරනු ලැබේ. එහි ප්‍රතිඵලයක් වශයෙන්, අපි ලබා දී ඇති එකට සමාන r නොදන්නා r සමීකරණ පද්ධතියක් ලබා ගනිමු, එහි නිර්ණායකය ශුන්‍යයට වඩා වෙනස් වේ.
5. අපි නොදන්නා දේ ඉවත් කිරීමෙන් ඇතිවන පද්ධතිය අපි විසඳන්නෙමු. නිදහස් ඒවා අනුව යැපෙන විචල්‍යයන් ප්‍රකාශ කරන සම්බන්ධතා අපට හමු වේ.
6. අනුකෘතියේ ශ්‍රේණිය විචල්‍ය ගණනට සමාන නොවේ නම්, අපි පද්ධතියේ මූලික විසඳුම සොයා ගනිමු.
7. rang = n සම්බන්ධයෙන් ගත් කල, අපට සුළු විසඳුමක් ඇත.

උදාහරණයක්. දෛශික පද්ධතියේ පදනම සොයන්න (a 1 , a 2 ,...,a m), පාදය අනුව දෛශික ශ්‍රේණිගත කර ප්‍රකාශ කරන්න. 1 =(0,0,1,-1) සහ 2 =(1,1,2,0) සහ 3 =(1,1,1,1) සහ 4 =(3,2,1,4) , සහ 5 =(2,1,0,3).
අපි පද්ධතියේ ප්රධාන අනුකෘතිය ලියන්නෙමු:

3 වන පේළිය (-3) මගින් ගුණ කරන්න. අපි 4 වන පේළිය 3 වෙනි එකට එකතු කරමු:

0	0	1	-1
0	0	-1	1
0	-1	-2	1
3	2	1	4
2	1	0	3

4 වන පේළිය (-2) මගින් ගුණ කරන්න. 5 වන පේළිය (3) න් ගුණ කරන්න. අපි 5 වන පේළිය 4 වැන්නට එකතු කරමු:
අපි 2 වන පේළිය 1 ට එකතු කරමු:
අනුකෘතියේ ශ්‍රේණිය සොයන්න.
මෙම න්‍යාසයේ සංගුණක සහිත පද්ධතිය මුල් පද්ධතියට සමාන වන අතර පෝරමය ඇත:
- x 3 = - x 4
- x 2 - 2x 3 = - x 4
2x1 + x2 = - 3x4
නොදන්නා දේ ඉවත් කිරීමේ ක්‍රමය මගින්, අපි සුළු නොවන විසඳුමක් සොයා ගනිමු:
නිදහස් x 4 හරහා යැපෙන විචල්‍ය x 1, x 2, x 3 ප්‍රකාශ කරන සම්බන්ධතා අපට ලැබුණි, එනම් අපි සාමාන්‍ය විසඳුමක් සොයා ගත්තෙමු:
x 3 = x 4
x 2 = - x 4
x 1 = - x 4

රේඛීය පද්ධතිවල විසඳුම වීජීය සමීකරණ(SLAE) යනු රේඛීය වීජ ගණිත පාඨමාලාවේ වැදගත්ම මාතෘකාව බවට සැකයක් නැත. ගණිතයේ සියලුම ශාඛා වලින් විශාල ගැටළු රාශියක් රේඛීය සමීකරණ පද්ධති විසඳීමට අඩු වේ. මෙම කරුණු මෙම ලිපිය නිර්මාණය කිරීමට හේතුව පැහැදිලි කරයි. ලිපියේ ද්රව්ය තෝරාගෙන සකස් කර ඇති අතර එමඟින් ඔබට උපකාර කළ හැකිය

• ඔබේ රේඛීය වීජීය සමීකරණ පද්ධතිය විසඳීම සඳහා ප්‍රශස්ත ක්‍රමය තෝරන්න,
• තෝරාගත් ක්රමයේ න්යාය අධ්යයනය කිරීම,
• සාමාන්‍ය උදාහරණ සහ ගැටළු වල විසඳුම් විස්තරාත්මකව සලකා බැලීමෙන් ඔබේ රේඛීය සමීකරණ පද්ධතිය විසඳන්න.

ලිපියේ ද්රව්ය පිළිබඳ කෙටි විස්තරයක්.

පළමුව, අපි අවශ්‍ය සියලු අර්ථ දැක්වීම්, සංකල්ප ලබා දී යම් අංකනයක් හඳුන්වා දෙමු.

ඊළඟට, අපි සමීකරණ ගණන නොදන්නා විචල්‍ය ගණනට සමාන වන සහ අද්විතීය විසඳුමක් ඇති රේඛීය වීජීය සමීකරණ පද්ධති විසඳීම සඳහා ක්‍රම සලකා බලමු. පළමුව, අපි Cramer ක්‍රමය කෙරෙහි අවධානය යොමු කරමු, දෙවනුව, අපි එවැනි සමීකරණ පද්ධති විසඳීම සඳහා matrix ක්‍රමය පෙන්වමු, තෙවනුව, අපි Gauss ක්‍රමය විශ්ලේෂණය කරන්නෙමු (ක්‍රමය අනුක්රමික බැහැර කිරීමනොදන්නා විචල්යයන්). න්‍යාය තහවුරු කිරීම සඳහා, අපි අනිවාර්යයෙන්ම SLAEs කිහිපයක් විවිධ ආකාරවලින් විසඳන්නෙමු.

ඊට පසු, අපි රේඛීය වීජීය සමීකරණවල විසඳුම් පද්ධති වෙත හැරෙමු සාමාන්ය දැක්ම, සමීකරණ ගණන නොදන්නා විචල්‍ය සංඛ්‍යාව සමඟ නොගැලපෙන හෝ පද්ධතියේ ප්‍රධාන න්‍යාසය පිරිහී ඇත. අපි ක්‍රොනෙකර්-කැපෙලි ප්‍රමේයය සකස් කරමු, එය අපට SLAE වල ගැළපුම තහවුරු කිරීමට ඉඩ සලසයි. න්‍යාසයක මූලික සුළු සංකල්පය භාවිතා කරමින් පද්ධතිවල විසඳුම (ඒවායේ ගැළපුම සම්බන්ධයෙන්) විශ්ලේෂණය කරමු. අපි Gauss ක්රමය ද සලකා බලනු ලබන අතර උදාහරණවල විසඳුම් විස්තරාත්මකව විස්තර කරමු.

සමජාතීය හා සමජාතීය නොවන පොදු විසඳුමේ ව්යුහය මත වාසය කිරීමට වග බලා ගන්න සමජාතීය පද්ධතිරේඛීය වීජීය සමීකරණ. අපි මූලික විසඳුම් පද්ධතියක් පිළිබඳ සංකල්පය ලබා දී මූලික විසඳුම් පද්ධතියේ දෛශික භාවිතයෙන් SLAE හි සාමාන්‍ය විසඳුම ලියා ඇති ආකාරය පෙන්වමු. වඩා හොඳ අවබෝධයක් සඳහා, අපි උදාහරණ කිහිපයක් බලමු.

අවසාන වශයෙන්, අපි SLAEs පැන නගින විවිධ ගැටළු මෙන්ම, රේඛීය ඒවාට අඩු කරන ලද සමීකරණ පද්ධති සලකා බලමු.

පිටු සංචලනය.

අර්ථ දැක්වීම්, සංකල්ප, තනතුරු.

ආකෘති පත්‍රයේ n නොදන්නා විචල්‍ය (p n ට සමාන විය හැක) සහිත p රේඛීය වීජීය සමීකරණ පද්ධති අපි සලකා බලමු.

නොදන්නා විචල්‍ය, - සංගුණක (සමහර සැබෑ හෝ සංකීර්ණ සංඛ්යා), - නිදහස් සාමාජිකයින් (තත්‍ය හෝ සංකීර්ණ සංඛ්‍යා ද).

SLAE හි මෙම ස්වරූපය හැඳින්වේ සම්බන්ධීකරණය.

හිදී matrix ආකෘතියමෙම සමීකරණ පද්ධතියට ආකෘතිය ඇත,
කොහෙද - පද්ධතියේ ප්‍රධාන න්‍යාසය, - නොදන්නා විචල්‍යවල න්‍යාස-තීරුව, - නිදහස් සාමාජිකයින්ගේ න්‍යාස-තීරුව.

අපි න්‍යාසයට A (n + 1)-th තීරුව ලෙස නිදහස් පදවල න්‍යාස-තීරුව ලෙස එකතු කළහොත්, අපට ඊනියා ලැබේ. පුළුල් කළ න්‍යාසයරේඛීය සමීකරණ පද්ධති. සාමාන්‍යයෙන්, වර්ධක න්‍යාසය T අකුරින් දැක්වෙන අතර නිදහස් සාමාජිකයින්ගේ තීරුව ඉතිරි තීරු වලින් සිරස් රේඛාවකින් වෙන් කරනු ලැබේ, එනම්,

රේඛීය වීජීය සමීකරණ පද්ධතියක් විසඳීමෙන්පද්ධතියේ සියලුම සමීකරණ අනන්‍යතා බවට පත් කරන නොදන්නා විචල්‍යවල අගයන් සමූහයක් ලෙස හැඳින්වේ. න්‍යාස සමීකරණයමක්නිසාද යත් නොදන්නා විචල්‍යවල ලබා දී ඇති අගයන් ද අනන්‍යතාවයක් බවට පත්වේ.

සමීකරණ පද්ධතියකට අවම වශයෙන් එක් විසඳුමක් තිබේ නම්, එය හැඳින්වේ ඒකාබද්ධ.

සමීකරණ පද්ධතියට විසඳුම් නොමැති නම්, එය හැඳින්වේ නොගැලපෙන.

SLAE හි අද්විතීය විසඳුමක් තිබේ නම්, එය හැඳින්වේ සමහර; විසඳුම් එකකට වඩා තිබේ නම් - අවිනිශ්චිත.

පද්ධතියේ සියලුම සමීකරණවල නිදහස් නියමයන් ශුන්යයට සමාන වේ නම් , එවිට පද්ධතිය හැඳින්වේ සමජාතීය, එසේ නොමැතිනම් - විෂමජාතීය.

රේඛීය වීජීය සමීකරණවල මූලික පද්ධතිවල විසඳුම.

පද්ධති සමීකරණ ගණන නොදන්නා විචල්‍ය ගණනට සමාන නම් සහ එහි ප්‍රධාන න්‍යාසයේ නිර්ණායකය ශුන්‍යයට සමාන නොවේ නම්, අපි එවැනි SLAEs ලෙස හඳුන්වමු. ප්රාථමික. එවැනි සමීකරණ පද්ධති අද්විතීය විසඳුමක් ඇති අතර, සමජාතීය පද්ධතියක දී, සියලු නොදන්නා විචල්යයන් ශුන්යයට සමාන වේ.

අපි එවැනි SLAEs අධ්‍යයනය කිරීමට පටන් ගත්තෙමු උසස් පාසල. ඒවා විසඳන විට, අපි එක් සමීකරණයක් ගෙන, එක් නොදන්නා විචල්‍යයක් අනෙක් අනුව ප්‍රකාශ කර එය ඉතිරි සමීකරණවලට ආදේශ කර, ඊළඟ සමීකරණය ගෙන, ඊළඟ නොදන්නා විචල්‍යය ප්‍රකාශ කර වෙනත් සමීකරණවලට ආදේශ කළෙමු. නැතහොත් ඔවුන් එකතු කිරීමේ ක්‍රමය භාවිතා කළහ, එනම් සමහර නොදන්නා විචල්‍යයන් ඉවත් කිරීමට සමීකරණ දෙකක් හෝ වැඩි ගණනක් එකතු කළහ. මෙම ක්‍රම මූලික වශයෙන් Gauss ක්‍රමයේ වෙනස් කිරීම් වන බැවින් අපි ඒවා ගැන විස්තරාත්මකව වාසය නොකරමු.

රේඛීය සමීකරණවල මූලික පද්ධති විසඳීම සඳහා ප්රධාන ක්රම වනුයේ Cramer ක්රමය, matrix ක්රමය සහ Gauss ක්රමයයි. අපි ඒවා නිරාකරණය කරමු.

ක්‍රේමර්ගේ ක්‍රමය මගින් රේඛීය සමීකරණ පද්ධති විසඳීම.

රේඛීය වීජීය සමීකරණ පද්ධතියක් විසඳීමට අපට අවශ්‍ය වේ

එහි සමීකරණ ගණන නොදන්නා විචල්‍ය ගණනට සමාන වන අතර පද්ධතියේ ප්‍රධාන න්‍යාසයේ නිර්ණායකය ශුන්‍යයට වඩා වෙනස් වේ, එනම්, .

පද්ධතියේ ප්‍රධාන න්‍යාසයේ නිර්ණායකය වෙමු, සහ ප්‍රතිස්ථාපනය කිරීමෙන් A වෙතින් ලබා ගන්නා න්‍යාසවල නිර්ණායක වේ 1 වන, 2 වන, ..., nthනිදහස් සාමාජිකයින්ගේ තීරුවට පිළිවෙලින් තීරුව:

එවැනි අංකනයකින්, නොදන්නා විචල්‍යයන් ක්‍රේමර් ක්‍රමයේ සූත්‍ර මගින් ගණනය කරනු ලැබේ . ක්‍රේමර් ක්‍රමය මගින් රේඛීය වීජීය සමීකරණ පද්ධතියක විසඳුම සොයා ගන්නේ එලෙසය.

උදාහරණයක්.

ක්රේමර් ක්රමය .

විසඳුමක්.

පද්ධතියේ ප්රධාන අනුකෘතිය ආකෘතිය ඇත . එහි නිර්ණායකය ගණනය කරන්න (අවශ්ය නම්, ලිපිය බලන්න):

පද්ධතියේ ප්‍රධාන න්‍යාසයේ නිර්ණායකය ශුන්‍ය නොවන බැවින්, පද්ධතියට ක්‍රේමර් ක්‍රමය මගින් සොයාගත හැකි අද්විතීය විසඳුමක් ඇත.

අවශ්‍ය නිර්ණායක සම්පාදනය කර ගණනය කරන්න (නිශ්චයකාරකය න්‍යාසය A හි පළමු තීරුව නිදහස් සාමාජිකයින්ගේ තීරුවක් සමඟ ප්‍රතිස්ථාපනය කිරීමෙන් ලබා ගනී, නිර්ණායකය - දෙවන තීරුව නිදහස් සාමාජිකයින්ගේ තීරුවක් සමඟ ප්‍රතිස්ථාපනය කිරීමෙන්, - න්‍යාසය A හි තෙවන තීරුව නිදහස් සාමාජිකයින්ගේ තීරුවක් සමඟ ප්‍රතිස්ථාපනය කිරීමෙන් ):

සූත්‍ර භාවිතයෙන් නොදන්නා විචල්‍යයන් සෙවීම :

පිළිතුර:

Cramer's ක්‍රමයේ ප්‍රධාන අවාසිය (එය අවාසියක් ලෙස හැඳින්විය හැකි නම්) පද්ධති සමීකරණ ගණන තුනකට වඩා වැඩි වන විට නිර්ණායක ගණනය කිරීමේ සංකීර්ණතාවයයි.

අනුකෘති ක්‍රමය මගින් රේඛීය වීජීය සමීකරණ පද්ධති විසඳීම (ප්‍රතිලෝම න්‍යාසය භාවිතා කිරීම).

රේඛීය වීජීය සමීකරණ පද්ධතිය න්‍යාස ආකාරයෙන් ලබා දෙමු, එහිදී A න්‍යාසයේ මානය n n වන අතර එහි නිර්ණායකය ශුන්‍ය නොවේ.

න්‍යාසය A ප්‍රතිලෝම වන බැවින්, එනම් ප්‍රතිලෝම න්‍යාසයක් ඇත. අපි සමානාත්මතාවයේ කොටස් දෙකම වම් පසින් ගුණ කළහොත්, නොදන්නා විචල්‍යවල තීරු න්‍යාසය සෙවීම සඳහා අපට සූත්‍රයක් ලැබේ. එබැවින් රේඛීය වීජීය සමීකරණ පද්ධතියේ විසඳුම අපට matrix ක්‍රමය මගින් ලබා ගත හැකි විය.

උදාහරණයක්.

රේඛීය සමීකරණ පද්ධතිය විසඳන්න matrix ක්රමය.

විසඳුමක්.

අනුකෘති ආකාරයෙන් සමීකරණ පද්ධතිය නැවත ලියමු:

නිසා

එවිට SLAE matrix ක්‍රමය මගින් විසඳිය හැක. භාවිතා කිරීම මගින් ප්රතිලෝම න්යාසයමෙම පද්ධතියට විසඳුම ලෙස සොයාගත හැකිය .

න්‍යාසය භාවිතා කර ප්‍රතිලෝම න්‍යාසය ගොඩනගමු වීජීය එකතු කිරීම් matrix A හි මූලද්‍රව්‍ය (අවශ්‍ය නම්, ලිපිය බලන්න):

එය ගණනය කිරීමට ඉතිරිව ඇත - ප්‍රතිලෝම න්‍යාසය ගුණ කිරීමෙන් නොදන්නා විචල්‍යයන්ගේ න්‍යාසය නිදහස් සාමාජිකයින්ගේ matrix-තීරුව මත (අවශ්ය නම්, ලිපිය බලන්න):

පිළිතුර:

හෝ වෙනත් අංකනයකින් x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

න්‍යාස ක්‍රමය මගින් රේඛීය වීජීය සමීකරණ පද්ධති සඳහා විසඳුමක් සෙවීමේ ප්‍රධාන ගැටලුව වන්නේ ප්‍රතිලෝම න්‍යාසය සෙවීමේ සංකීර්ණත්වයයි, විශේෂයෙන්ම හතරැස් matricesතුන්වන එකට වඩා වැඩි නියෝගයක්.

Gauss ක්‍රමය මගින් රේඛීය සමීකරණ පද්ධති විසඳීම.

අපි n නොදන්නා විචල්‍යයන් සහිත n රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියකට විසඳුමක් සෙවිය යුතු යැයි සිතමු.
ප්‍රධාන න්‍යාසයේ නිර්ණායකය ශුන්‍යයට වඩා වෙනස් වේ.

Gauss ක්රමයේ සාරයනොදන්නා විචල්‍යයන් අනුක්‍රමික බැහැර කිරීමකින් සමන්විත වේ: පළමුව, x 1 පද්ධතියේ සියලුම සමීකරණ වලින් බැහැර කරනු ලැබේ, දෙවැන්නෙන් ආරම්භ වේ, පසුව x 2 සියලු සමීකරණ වලින් බැහැර කරනු ලැබේ, තෙවන සිට ආරම්භ වේ, සහ නොදන්නා විචල්‍යය පමණක් දක්වා x n අවසාන සමීකරණයේ පවතී. නොදන්නා විචල්‍යයන් අඛණ්ඩව ඉවත් කිරීම සඳහා පද්ධතියේ සමීකරණ පරිවර්තනය කිරීමේ එවැනි ක්‍රියාවලියක් ලෙස හැඳින්වේ. සෘජු Gauss ක්රමය. Gaussian ක්‍රමයේ ඉදිරි ධාවනය අවසන් වූ පසු, අවසාන සමීකරණයෙන් x n, මෙම අගය භාවිතා කරමින් අවසාන සමීකරණයෙන් x n-1 ගණනය කරනු ලැබේ, සහ පළමු සමීකරණයෙන් x 1 සොයා ගැනේ. පද්ධතියේ අවසාන සමීකරණයේ සිට පළමු සමීකරණය දක්වා ගමන් කිරීමේදී නොදන්නා විචල්‍යයන් ගණනය කිරීමේ ක්‍රියාවලිය ලෙස හැඳින්වේ. ප්‍රතිලෝම Gauss ක්‍රමය.

නොදන්නා විචල්‍යයන් ඉවත් කිරීමේ ඇල්ගොරිතම කෙටියෙන් විස්තර කරමු.

පද්ධතියේ සමීකරණ නැවත සකස් කිරීමෙන් අපට මෙය සැමවිටම සාක්ෂාත් කරගත හැකි බැවින් අපි එය උපකල්පනය කරමු. අපි නොදන්නා විචල්‍යය x 1 පද්ධතියේ සියලුම සමීකරණ වලින් බැහැර කරමු, දෙවැන්නෙන් ආරම්භ වේ. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, පද්ධතියේ දෙවන සමීකරණයට පළමු ගුණ කළ සමීකරණය එකතු කරන්න, තුන්වන සමීකරණයට පළමු ගුණනය එකතු කරන්න, සහ යනාදිය, පළමු ගුණ කළ සමීකරණයට n වන සමීකරණයට එකතු කරන්න. එවැනි පරිවර්තනයකින් පසු සමීකරණ පද්ධතිය ස්වරූපය ගනී

කොහෙද, a .

අපි පද්ධතියේ පළමු සමීකරණයේ වෙනත් නොදන්නා විචල්‍යයන් අනුව x 1 ප්‍රකාශ කළහොත් සහ ලැබෙන ප්‍රකාශනය අනෙකුත් සියලුම සමීකරණවලට ආදේශ කළහොත් අපි එම ප්‍රතිඵලයටම පැමිණේ. මේ අනුව, x 1 විචල්‍යය දෙවන සිට ආරම්භ වන සියලුම සමීකරණ වලින් බැහැර කරනු ලැබේ.

ඊළඟට, අපි සමාන ලෙස ක්රියා කරමු, නමුත් රූපයේ සලකුණු කර ඇති ප්රතිඵල පද්ධතියේ කොටසක් සමඟ පමණි

මෙය සිදු කිරීම සඳහා, පද්ධතියේ තුන්වන සමීකරණයට දෙවන ගුණිතය එකතු කරන්න, සිව්වන සමීකරණයට දෙවැන්න එකතු කරන්න, සහ යනාදිය, n වන සමීකරණයට දෙවැන්න එකතු කරන්න. එවැනි පරිවර්තනයකින් පසු සමීකරණ පද්ධතිය ස්වරූපය ගනී

කොහෙද, a . මේ අනුව, x 2 විචල්‍යය තුන්වන සිට ආරම්භ වන සියලුම සමීකරණ වලින් බැහැර කරනු ලැබේ.

ඊළඟට, රූපයේ සලකුණු කර ඇති පද්ධතියේ කොටස සමඟ සමානව ක්‍රියා කරන අතරම, අපි නොදන්නා x 3 ඉවත් කිරීමට ඉදිරියට යමු.

එබැවින් පද්ධතිය ආකෘතිය ගන්නා තෙක් අපි ගවුස් ක්රමයේ සෘජු පාඨමාලාව දිගටම කරගෙන යන්නෙමු

මේ මොහොතේ සිට, අපි Gauss ක්‍රමයේ ප්‍රතිලෝම පාඨමාලාව ආරම්භ කරමු: අපි අවසාන සමීකරණයෙන් x n ගණනය කරන්නෙමු, ලබාගත් අගය x n භාවිතා කරමින් අපි අවසාන සමීකරණයෙන් x n-1 සොයා ගනිමු, සහ යනාදිය, අපි පළමු සිට x 1 සොයා ගනිමු. සමීකරණය.

උදාහරණයක්.

රේඛීය සමීකරණ පද්ධතිය විසඳන්න Gaussian ක්රමය.

විසඳුමක්.

නොදන්නා විචල්‍යය x 1 පද්ධතියේ දෙවන සහ තෙවන සමීකරණ වලින් බැහැර කරමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, දෙවන සහ තුන්වන සමීකරණවල කොටස් දෙකටම, අපි පළමු සමීකරණයේ අනුරූප කොටස් එකතු කරමු, පිළිවෙලින් ගුණ කිරීම සහ ගුණ කිරීම:

දැන් අපි තුන්වන සමීකරණයෙන් x 2 ඉවත් කරන්නේ එහි වමට සහ එකතු කිරීමෙනි දකුණු කොටස්දෙවන සමීකරණයේ වම් සහ දකුණු පැති, ගුණ කිරීම:

මේ මත, Gauss ක්රමයේ ඉදිරි පාඨමාලාව සම්පූර්ණ කර ඇත, අපි ප්රතිලෝම පාඨමාලාව ආරම්භ කරමු.

ලැබෙන සමීකරණ පද්ධතියේ අවසාන සමීකරණයෙන්, අපි x 3 සොයා ගනිමු:

දෙවන සමීකරණයෙන් අපට ලැබේ.

පළමු සමීකරණයෙන් අපි ඉතිරි නොදන්නා විචල්‍යය සොයා ගන්නා අතර මෙය Gauss ක්‍රමයේ ප්‍රතිලෝම පාඨමාලාව සම්පූර්ණ කරයි.

පිළිතුර:

X 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.

සාමාන්ය ආකෘතියේ රේඛීය වීජීය සමීකරණ පද්ධති විසඳීම.

හිදී සාමාන්ය නඩුවපද්ධති සමීකරණ ගණන p නොදන්නා විචල්‍ය ගණනට නොගැලපේ n:

එවැනි SLAE වලට විසඳුම් නොමැති වීම, තනි විසඳුමක් තිබීම හෝ අනන්තවත් විසඳුම් තිබිය හැක. මෙම ප්‍රකාශය ප්‍රධාන න්‍යාසය හතරැස් සහ පරිහානියට පත් වූ සමීකරණ පද්ධති සඳහා ද අදාළ වේ.

ක්‍රොනෙකර්-කැපෙලි ප්‍රමේයය.

රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියකට විසඳුමක් සොයා ගැනීමට පෙර, එහි අනුකූලතාව තහවුරු කිරීම අවශ්ය වේ. SLAE අනුකූල වන්නේ කවදාද සහ එය නොගැලපෙන විට යන ප්‍රශ්නයට පිළිතුර ලබා දෙයි ක්‍රොනෙකර්-කැපෙලි ප්‍රමේයය:
n නොදන්නා n සහිත p සමීකරණ පද්ධතියක් (p n ට සමාන විය හැක) අනුකූල වීම සඳහා පද්ධතියේ ප්‍රධාන න්‍යාසයේ ශ්‍රේණිය විස්තීරණ න්‍යාසයේ ශ්‍රේණියට සමාන වීම අවශ්‍ය සහ ප්‍රමාණවත් වේ, එනම් ශ්‍රේණිගත කිරීම A)=Rank(T) .

උදාහරණයක් ලෙස රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියක ගැළපුම නිර්ණය කිරීම සඳහා Kronecker-Cappelli ප්‍රමේයය භාවිතා කිරීම අපි සලකා බලමු.

උදාහරණයක්.

රේඛීය සමීකරණ පද්ධතිය තිබේදැයි සොයා බලන්න විසඳුම්.

විසඳුමක්.

. අපි බාලවයස්කරුවන් මායිම් කිරීමේ ක්රමය භාවිතා කරමු. දෙවන නියෝගයේ සුළු බිංදුවට වඩා වෙනස්. එය වටා ඇති තුන්වන පෙළ බාල වයස්කරුවන් වෙත යමු:

මායිම් වන සියලුම තෙවන පෙළ බාල වයස්කරුවන් ශුන්‍යයට සමාන බැවින්, ප්‍රධාන අනුකෘතියේ ශ්‍රේණිය දෙකකි.

අනෙක් අතට, වර්ධක අනුකෘතියේ ශ්‍රේණිය තුන්වන අනුපිළිවෙලෙහි බාලයා බැවින් තුනට සමාන වේ

බිංදුවට වඩා වෙනස්.

මේ ක්රමයෙන්, Rang(A) , එබැවින්, ක්‍රොනෙකර්-කැපෙලි ප්‍රමේයය අනුව, රේඛීය සමීකරණවල මුල් පද්ධතිය නොගැලපෙන බව අපට නිගමනය කළ හැක.

පිළිතුර:

විසඳුම් ක්‍රමයක් නැහැ.

එබැවින්, ක්‍රොනෙකර්-කැපෙලි ප්‍රමේයය භාවිතා කරමින් පද්ධතියේ නොගැලපීම තහවුරු කිරීමට අපි ඉගෙන ගෙන ඇත්තෙමු.

නමුත් එහි ගැළපුම ස්ථාපිත කර ඇත්නම් SLAE හි විසඳුම සොයා ගන්නේ කෙසේද?

මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපට න්‍යාසයක මූලික කුඩා සංකල්පය සහ න්‍යාසයක ශ්‍රේණිය පිළිබඳ ප්‍රමේයය අවශ්‍ය වේ.

සුළු ඉහළම නියෝගයශුන්‍ය නොවන matrix A ලෙස හැඳින්වේ මූලික.

එහි අනුපිළිවෙල න්‍යාසයේ තරාතිරමට සමාන බව පදනම් සුළු නිර්වචනයෙන් එය අනුගමනය කරයි. ශුන්‍ය නොවන න්‍යාස A සඳහා, මූලික බාලවයස්කරුවන් කිහිප දෙනෙකු සිටිය හැක; සෑම විටම එක් මූලික සුළු පිරිසක් සිටී.

උදාහරණයක් ලෙස, matrix සලකා බලන්න .

මෙම න්‍යාසයේ තුන්වන පේළියේ මූලද්‍රව්‍ය පළමු සහ දෙවන පේළිවල අනුරූප මූලද්‍රව්‍යවල එකතුව වන බැවින් මෙම න්‍යාසයේ සියලුම තුන්වන අනුපිළිවෙලෙහි බාල වයස්කරුවන් ශුන්‍යයට සමාන වේ.

දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි පහත බාල වයස්කරුවන් ශුන්‍ය නොවන බැවින් මූලික වේ

බාලවයස්කාරයන් ඒවා ශුන්‍යයට සමාන බැවින් ඒවා මූලික නොවේ.

Matrix ශ්‍රේණිගත ප්‍රමේයය.

n මගින් p අනුපිළිවෙලෙහි න්‍යාසයක ශ්‍රේණිය r නම්, තෝරාගත් පදනම සුළු නොවන න්‍යාසයේ පේළිවල (සහ තීරු) සියලුම මූලද්‍රව්‍ය පේළිවල (සහ තීරු) අනුරූප මූලද්‍රව්‍ය අනුව රේඛීයව ප්‍රකාශ වේ. ) එය පදනම සුළු වේ.

matrix ශ්‍රේණිගත ප්‍රමේයය අපට ලබා දෙන්නේ කුමක්ද?

ක්‍රොනෙකර්-කැපෙලි ප්‍රමේයය මගින්, අපි පද්ධතියේ ගැළපුම තහවුරු කර ඇත්නම්, අපි පද්ධතියේ ප්‍රධාන න්‍යාසයේ ඕනෑම මූලික සුළු එකක් තෝරා ගනිමු (එහි අනුපිළිවෙල r ට සමාන වේ), සහ පද්ධතියෙන් නොවන සියලුම සමීකරණ ඉවත් කරන්න. තෝරාගත් මූලික බාලවය. ඉවතලන සමීකරණ තවමත් අතිරික්ත බැවින් (matrix ශ්‍රේණිගත ප්‍රමේයයට අනුව, ඒවා ඉතිරි සමීකරණවල රේඛීය එකතුවකි) මේ ආකාරයෙන් ලබාගත් SLAE මුල් එකට සමාන වේ.

ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, පද්ධතියේ අධික සමීකරණ ඉවත දැමීමෙන් පසුව, අවස්ථා දෙකක් හැකි ය.

ඵලදායි පද්ධතියේ r සමීකරණ ගණන නොදන්නා විචල්‍ය ගණනට සමාන නම්, එය නිශ්චිත වන අතර එකම විසඳුම Cramer ක්‍රමය, matrix ක්‍රමය හෝ Gauss ක්‍රමය මගින් සොයාගත හැකිය.

උදාහරණයක්.

.

විසඳුමක්.

පද්ධතියේ ප්රධාන අනුකෘතියේ ශ්රේණිගත කිරීම දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි බාලයා බැවින්, දෙකකට සමාන වේ බිංදුවට වඩා වෙනස්. විස්තීරණ න්‍යාස ශ්‍රේණිය තුන්වන අනුපිළිවෙලෙහි එකම බාලය ශුන්‍යයට සමාන බැවින්, දෙකට සමාන වේ

සහ ඉහත සලකා බැලූ දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි සුළු අගය බිංදුවට වඩා වෙනස් වේ. ක්‍රොනෙකර්-කැපෙලි ප්‍රමේයය මත පදනම්ව, ශ්‍රේණිගත කිරීම(A)=Rank(T)=2 බැවින්, රේඛීය සමීකරණවල මුල් පද්ධතියේ ගැළපුම කෙනෙකුට ප්‍රකාශ කළ හැක.

පදනම සුළු වශයෙන්, අපි ගන්නෙමු . එය පළමු හා දෙවන සමීකරණවල සංගුණක මගින් සෑදී ඇත:


පද්ධතියේ තුන්වන සමීකරණය මූලික සුළු ගොඩනැගීමට සහභාගී නොවේ, එබැවින් අපි එය matrix ශ්රේණියේ ප්රමේයය මත පදනම්ව පද්ධතියෙන් බැහැර කරමු:


මේ අනුව අපි රේඛීය වීජීය සමීකරණවල මූලික පද්ධතියක් ලබා ගෙන ඇත. ක්‍රේමර්ගේ ක්‍රමය මගින් එය විසඳමු:


පිළිතුර:

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.

ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන SLAE හි ඇති සමීකරණ r සංඛ්‍යාව නොදන්නා විචල්‍ය ගණනට වඩා අඩු නම් n , එවිට අපි සමීකරණවල වම් කොටස්වල මූලික කුඩා වන නියමයන් අතහැර ඉතිරි නියමයන් සමීකරණවල දකුණු කොටස් වෙත මාරු කරමු. ප්රතිවිරුද්ධ ලකුණ සහිත පද්ධතියේ.

සමීකරණවල වම් පැත්තේ ඉතිරිව ඇති නොදන්නා විචල්‍ය (ඒවායේ r ඇත) ලෙස හැඳින්වේ. ප්රධාන.

දකුණු පසින් අවසන් වූ නොදන්නා විචල්‍ය (ඒවායේ n - r ඇත) ලෙස හැඳින්වේ. නිදහස්.

දැන් අපි උපකල්පනය කරන්නේ නිදහස් නොදන්නා විචල්‍යයන්ට අත්තනෝමතික අගයන් ගත හැකි අතර r ප්‍රධාන නොදන්නා විචල්‍යයන් නිදහස් නොදන්නා විචල්‍යයන් අනුව අද්විතීය ආකාරයකින් ප්‍රකාශ වනු ඇති බවයි. ඒවායේ ප්‍රකාශනය Cramer ක්‍රමය, matrix ක්‍රමය හෝ Gauss ක්‍රමය මගින් ලැබෙන SLAE විසදීමෙන් සොයා ගත හැක.

අපි උදාහරණයක් ගනිමු.

උදාහරණයක්.

රේඛීය වීජීය සමීකරණ පද්ධතිය විසඳන්න .

විසඳුමක්.

පද්ධතියේ ප්‍රධාන අනුකෘතියේ ශ්‍රේණිය සොයන්න මායිම් බාල වයස්කාර ක්රමය මගින්. අපි 1 1 = 1 ශුන්‍ය නොවන පළමු අනුපිළිවෙල සුළු වශයෙන් ගනිමු. මෙම බාලවයස්කාරයා වටා ශුන්‍ය නොවන දෙවන පෙළ බාල වයස්කරුවෙකු සෙවීම ආරම්භ කරමු:


එබැවින් අපට දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි ශුන්‍ය නොවන බාල වයස්කරුවෙකු හමු විය. තුන්වන අනුපිළිවෙලෙහි ශුන්‍ය නොවන මායිම් සුළු එකක් සෙවීම ආරම්භ කරමු:


මේ අනුව, ප්‍රධාන අනුකෘතියේ ශ්‍රේණිය තුනකි. වර්ධක අනුකෘතියේ ශ්‍රේණිය ද තුනට සමාන වේ, එනම් පද්ධතිය ස්ථාවර වේ.

තුන්වන අනුපිළිවෙලෙහි සොයාගත් ශුන්‍ය නොවන සුළු අගය මූලික එක ලෙස ගනු ලැබේ.

පැහැදිලිකම සඳහා, අපි කුඩා පදනම සාදන මූලද්‍රව්‍ය පෙන්වමු:


අපි පද්ධතියේ සමීකරණවල වම් පැත්තේ මූලික කුඩාවට සහභාගී වන නියමයන් තබමු, ඉතිරිය ප්‍රතිවිරුද්ධ සලකුණු සමඟ දකුණු පැතිවලට මාරු කරමු:


අපි නොමිලේ නොදන්නා විචල්‍ය x 2 සහ x 5 අත්තනෝමතික අගයන් ලබා දෙමු, එනම් අපි ගනිමු , අත්තනෝමතික අංක කොහෙද. මෙම අවස්ථාවේදී, SLAE ආකෘතිය ගනී


අපි ක්‍රේමර් ක්‍රමය මගින් ලබාගත් රේඛීය වීජීය සමීකරණවල මූලික පද්ධතිය විසඳන්නෙමු:


ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, .

පිළිතුරෙහි, නොමිලේ නොදන්නා විචල්‍යයන් දැක්වීමට අමතක නොකරන්න.

පිළිතුර:

කෝ අත්තනෝමතික ඉලක්කම්.

සාරාංශ කරන්න.

සාමාන්‍ය ස්වරූපයක රේඛීය වීජීය සමීකරණ පද්ධතියක් විසඳීම සඳහා, අපි මුලින්ම Kronecker-Capelli ප්‍රමේයය භාවිතයෙන් එහි ගැළපුම සොයා ගනිමු. ප්‍රධාන න්‍යාසයේ ශ්‍රේණිය විස්තීරණ න්‍යාසයේ ශ්‍රේණියට සමාන නොවේ නම්, අපි නිගමනය කරන්නේ පද්ධතිය නොගැලපෙන බවයි.

ප්‍රධාන න්‍යාසයේ ශ්‍රේණිය විස්තීරණ න්‍යාසයේ ශ්‍රේණියට සමාන නම්, අපි මූලික සුළු එක තෝරාගෙන තෝරාගත් මූලික සුළු එක සෑදීමට සහභාගී නොවන පද්ධතියේ සමීකරණ ඉවතලන්නෙමු.

කුඩා පදනමේ අනුපිළිවෙල නොදන්නා විචල්‍ය ගණනට සමාන නම්, SLAE සතුව අද්විතීය විසඳුමක් ඇත, එය අප දන්නා ඕනෑම ක්‍රමයකින් සොයාගත හැකිය.

කුඩා පදනමේ අනුපිළිවෙල නොදන්නා විචල්‍ය ගණනට වඩා අඩු නම්, අපි පද්ධතියේ සමීකරණවල වම් පැත්තේ ප්‍රධාන නොදන්නා විචල්‍යයන් සමඟ නියමයන් තබමු, ඉතිරි නියමයන් දකුණු පැත්තට මාරු කර අත්තනෝමතික අගයන් පවරමු. නොමිලේ නොදන්නා විචල්‍යයන් වෙත. ප්රතිඵලය වන රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියෙන්, අපි ප්රධාන නොදන්නා දේ සොයා ගනිමු ක්රම විචල්යයන් Cramer, matrix ක්රමය හෝ Gauss ක්රමය.

සාමාන්ය ආකෘතියේ රේඛීය වීජීය සමීකරණ පද්ධති විසඳීම සඳහා Gauss ක්රමය.

Gauss ක්‍රමය භාවිතා කරමින්, ඕනෑම ආකාරයක රේඛීය වීජීය සමීකරණ පද්ධති ගැළපීම සඳහා මූලික විමර්ශනයකින් තොරව විසඳාගත හැක. නොදන්නා විචල්‍යයන් අනුක්‍රමිකව ඉවත් කිරීමේ ක්‍රියාවලිය SLAE හි ගැළපුම සහ නොගැලපීම යන දෙකම පිළිබඳව නිගමනයකට එළඹීමට හැකි වන අතර, විසඳුමක් තිබේ නම්, එය සොයා ගැනීමට හැකි වේ.

ගණනය කිරීමේ කාර්යයේ දෘෂ්ටි කෝණයෙන්, Gaussian ක්රමය වඩාත් සුදුසුය.

එය නරඹන්න විස්තරාත්මක සටහනසහ සාමාන්‍ය ස්වරූපයේ රේඛීය වීජීය සමීකරණ පද්ධති විසඳීම සඳහා Gauss ක්‍රමය ලිපියේ උදාහරණ විශ්ලේෂණය කර ඇත.

මූලික විසඳුම් පද්ධතියේ දෛශික භාවිතා කරමින් සමජාතීය හා සමජාතීය රේඛීය වීජීය පද්ධතිවල පොදු විසඳුම සටහන් කිරීම.

මෙම කොටසේදී, අප අවධානය යොමු කරන්නේ අනන්ත විසඳුම් ඇති රේඛීය වීජීය සමීකරණවල ඒකාබද්ධ සමජාතීය සහ සමජාතීය නොවන පද්ධති කෙරෙහි ය.

අපි මුලින්ම සමජාතීය පද්ධති සමඟ කටයුතු කරමු.

මූලික තීරණ පද්ධතිය n නොදන්නා විචල්‍ය සහිත p රේඛීය වීජීය සමීකරණවල සමජාතීය පද්ධතියක් යනු මෙම පද්ධතියේ රේඛීය ස්වාධීන විසඳුම් සමූහයකි.

අපි සමජාතීය SLAE එකක රේඛීය ස්වාධීන විසඳුම් X (1) , X (2) , ..., X (n-r) (X (1) , X (2) , ..., X (n-r) ලෙස නම් කරන්නේ නම් n මානයේ න්‍යාස තීරු වේ. 1 කින්) , එවිට මෙම සමජාතීය පද්ධතියේ සාමාන්‍ය විසඳුම අත්තනෝමතික විසඳුම් සහිත මූලික පද්ධතියේ දෛශිකවල රේඛීය සංයෝජනයක් ලෙස නිරූපණය කෙරේ. නියත සංගුණකС 1 , С 2 , …, С (n-r) , එනම්, .

රේඛීය වීජීය සමීකරණ (oroslau) සමජාතීය පද්ධතියක පොදු විසඳුම යන යෙදුමෙන් අදහස් කරන්නේ කුමක්ද?

තේරුම සරලයි: සූත්රය සියල්ල සකසයි හැකි විසඳුම්මුල් SLAE, වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, අත්තනෝමතික නියතයන්ගේ ඕනෑම අගයක් С 1 , С 2 , ..., С (n-r) , සූත්‍රයට අනුව අපට මුල් සමජාතීය SLAE හි විසඳුම් වලින් එකක් ලැබේ.

මේ අනුව, අපි මූලික විසඳුම් පද්ධතියක් සොයා ගන්නේ නම්, අපට මෙම සමජාතීය SLAE හි සියලුම විසඳුම් ලෙස සැකසිය හැක.

සමජාතීය SLAE සඳහා මූලික විසඳුම් පද්ධතියක් ගොඩනැගීමේ ක්‍රියාවලිය අපි පෙන්වමු.

අපි රේඛීය සමීකරණවල මුල් පද්ධතියේ මූලික සුළු කොටස තෝරාගෙන, අනෙකුත් සියලුම සමීකරණ පද්ධතියෙන් බැහැර කර, නිදහස් නොදන්නා විචල්‍යයන් අඩංගු සියලුම පද ප්‍රතිවිරුද්ධ සලකුණු සමඟ පද්ධතියේ සමීකරණවල දකුණු පසට මාරු කරමු. අපි නොමිලේ නොදන්නා විචල්‍යයන් සඳහා 1,0,0,...,0 අගයන් ලබා දී ප්‍රධාන නොදන්නා දේ ගණනය කර ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන රේඛීය සමීකරණවල ප්‍රාථමික පද්ධතිය ඕනෑම ආකාරයකින් විසඳා ගනිමු, උදාහරණයක් ලෙස, ක්‍රේමර් ක්‍රමය මගින්. මේ අනුව, X (1) ලබා ගනු ඇත - මූලික පද්ධතියේ පළමු විසඳුම. අපි නොමිලේ නොදන්නා අයට 0,1,0,0,...,0 අගයන් ලබා දී ප්‍රධාන නොදන්නා ඒවා ගණනය කළහොත් අපට X (2) ලැබේ. සහ යනාදි. අපි නොමිලේ නොදන්නා විචල්‍යයන්ට 0,0,…,0,1 අගයන් ලබා දී ප්‍රධාන නොදන්නා ඒවා ගණනය කළහොත් අපට X (n-r) ලැබේ. සමජාතීය SLAE හි මූලික විසඳුම් පද්ධතිය ගොඩනඟනු ලබන්නේ මේ ආකාරයට වන අතර එහි පොදු විසඳුම ආකෘතියෙන් ලිවිය හැකිය.

රේඛීය වීජීය සමීකරණවල සමජාතීය පද්ධති සඳහා, සාමාන්‍ය විසඳුම නිරූපණය කරනු ලබන්නේ

අපි උදාහරණ බලමු.

උදාහරණයක්.

මූලික විසඳුම් පද්ධතිය සහ රේඛීය වීජීය සමීකරණවල සමජාතීය පද්ධතියක පොදු විසඳුම සොයන්න .

විසඳුමක්.

රේඛීය සමීකරණවල සමජාතීය පද්ධතිවල ප්‍රධාන න්‍යාසයේ ශ්‍රේණිය සෑම විටම විස්තීර්ණ න්‍යාසයේ ශ්‍රේණියට සමාන වේ. බාලවයස්කාරයන් ෆ්‍රින්ග් කිරීමේ ක්‍රමය මගින් ප්‍රධාන අනුකෘතියේ ශ්‍රේණිය සොයා ගනිමු. පළමු අනුපිළිවෙලෙහි ශුන්‍ය නොවන සුළු වශයෙන්, අපි පද්ධතියේ ප්‍රධාන අනුකෘතියේ 1 1 = 9 මූලද්‍රව්‍යය ගනිමු. දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි මායිම් ශුන්‍ය නොවන සුළු සොයන්න:

බිංදුවට වඩා වෙනස්, දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි බාල වයස්කරුවෙකු හමු වේ. ශුන්‍ය නොවන එකක් සෙවීම සඳහා එයට මායිම්ව ඇති තුන්වන අනුපිළිවෙල බාල වයස්කරුවන් හරහා යමු:

තුන්වන අනුපිළිවෙලෙහි සියලුම මායිම් බාල වයස්කරුවන් ශුන්‍යයට සමාන වේ, එබැවින් ප්‍රධාන සහ දිගු න්‍යාසයේ ශ්‍රේණිය දෙකකි. අපි මූලික බාලවය ගනිමු. පැහැදිලිකම සඳහා, එය සාදන පද්ධතියේ අංග අපි සටහන් කරමු:

මුල් SLAE හි තුන්වන සමීකරණය මූලික සුළු ගොඩනැගීමට සහභාගී නොවේ, එබැවින් එය බැහැර කළ හැකිය:

අපි සමීකරණවල දකුණු පස ඇති ප්‍රධාන නොදන්නා කරුණු අඩංගු නියමයන් තබා, නිදහස් නොදන්නා වචන සමඟ නියමයන් දකුණු පසට මාරු කරමු:

රේඛීය සමීකරණවල මුල් සමජාතීය පද්ධතියට අපි මූලික විසඳුම් පද්ධතියක් ගොඩනඟමු. මූලික පද්ධතියමෙම SLAE හි විසඳුම් විසඳුම් දෙකකින් සමන්විත වේ, මන්ද මුල් SLAE හි නොදන්නා විචල්‍ය හතරක් අඩංගු වන අතර එහි මූලික සුළු අනුපිළිවෙල දෙකකි. X (1) සොයා ගැනීම සඳහා, අපි නොමිලේ නොදන්නා විචල්‍යයන්ට x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0 අගයන් ලබා දෙන්නෙමු, එවිට අපි සමීකරණ පද්ධතියෙන් ප්‍රධාන නොදන්නා දේ සොයා ගනිමු.
.