සාමාන්ය fsr. රේඛීය සමීකරණවල සමජාතීය පද්ධති

සමජාතීය පද්ධතියක් සෑම විටම ස්ථාවර වන අතර සුළු විසඳුමක් ඇත
. සුළු නොවන විසඳුමක් පැවතීමට නම්, අනුකෘතියේ ශ්‍රේණිය අවශ්‍ය වේ විය සංඛ්යාවට වඩා අඩුයනොදන්නා:

.

මූලික තීරණ පද්ධතිය සමජාතීය පද්ධතිය
තීරු දෛශික ආකාරයෙන් විසඳුම් පද්ධතිය අමතන්න
, කැනොනිකල් පදනමට අනුරූප වන, i.e. අත්තනෝමතික නියතයන් ඇති පදනම
විකල්ප වශයෙන් එකකට සමාන වන අතර ඉතිරිය බිංදුවට සකසා ඇත.

ඉන්පසු පොදු තීරණයසමජාතීය පද්ධතියට ආකෘතියක් ඇත:

කොහෙද
අත්තනෝමතික නියත වේ. වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, පොදු විසඳුම යනු මූලික විසඳුම් පද්ධතියේ රේඛීය සංයෝජනයකි.

මේ අනුව, නිදහස් නොදන්නා අයට විකල්ප වශයෙන් එකමුතුකමේ අගය ලබා දෙන්නේ නම්, අනෙක් සියල්ල බිංදුවට සමාන යැයි උපකල්පනය කළහොත් මූලික විසඳුම් සාමාන්‍ය විසඳුමෙන් ලබා ගත හැකිය.

උදාහරණයක්. අපි පද්ධතියට විසඳුමක් සොයා ගනිමු

අපි පිළිගනිමු, එවිට අපි විසඳුම පෝරමයේ ලබා ගනිමු:

අපි දැන් මූලික විසඳුම් පද්ධතියක් ගොඩනඟමු:

.

පොදු විසඳුම පහත පරිදි ලිවිය හැකිය:

සමජාතීය පද්ධතියේ විසඳුම් රේඛීය සමීකරණගුණ ඇත:

වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, සමජාතීය පද්ධතියකට විසඳුම්වල ඕනෑම රේඛීය සංයෝජනයක් නැවතත් විසඳුමකි.

Gauss ක්රමය මගින් රේඛීය සමීකරණ පද්ධතිවල විසඳුම

රේඛීය සමීකරණ පද්ධති විසඳීම ශතවර්ෂ ගණනාවක් තිස්සේ ගණිතඥයින්ට උනන්දුවක් දක්වයි. පළමු ප්රතිඵල XVIII සියවසේදී ලබා ගන්නා ලදී. 1750 දී, G. Kramer (1704-1752) වර්ග න්‍යාසවල නිර්ණායක පිළිබඳ ඔහුගේ කෘති ප්‍රකාශයට පත් කළ අතර ප්‍රතිලෝම න්‍යාසය සොයා ගැනීම සඳහා ඇල්ගොරිතමයක් යෝජනා කළේය. 1809 දී ගවුස් ඉවත් කිරීමේ ක්‍රමය ලෙස හැඳින්වෙන නව විසඳුම් ක්‍රමයක් ගෙනහැර දැක්වීය.

Gauss ක්‍රමය හෝ නොදන්නා දේ අනුක්‍රමිකව ඉවත් කිරීමේ ක්‍රමය සමන්විත වන්නේ මූලික පරිවර්තනවල ආධාරයෙන් සමීකරණ පද්ධතිය පියවර (හෝ ත්‍රිකෝණාකාර) ආකෘතියකට සමාන පද්ධතියකට අඩු කිරීමයි. එවැනි පද්ධති ඔබට නිශ්චිත අනුපිළිවෙලක් තුළ සියලු නොදන්නා දේ නිරන්තරයෙන් සොයා ගැනීමට ඉඩ සලසයි.

එය (1) පද්ධතියේ ඇතැයි සිතමු
(සෑම විටම හැකි ය).

(1)

පළමු සමීකරණය ඊනියා මගින් ගුණ කිරීම සුදුසු සංඛ්යා

සහ පද්ධතියේ අනුරූප සමීකරණ සමඟ ගුණ කිරීමේ ප්‍රතිඵලය එකතු කිරීමෙන්, අපට සමාන පද්ධතියක් ලැබේ, එහි පළමු එක හැර අනෙකුත් සියලුම සමීකරණවල නොදන්නා කිසිවක් නොමැත. x 1

(2)

අපි දැන් පද්ධතියේ (2) දෙවන සමීකරණය සුදුසු සංඛ්‍යා වලින් ගුණ කරමු, එය උපකල්පනය කරයි

,

සහ පහළ ඒවාට එකතු කිරීම, අපි විචල්යය ඉවත් කරමු සියලු සමීකරණ වලින්, තුන්වැන්නෙන් ආරම්භ වේ.

මෙම ක්රියාවලිය දිගටම කරගෙන යාම, පසුව
අපට ලැබෙන පියවර:

(3)

අවම වශයෙන් අංක වලින් එකක් නම්
ශුන්‍යයට සමාන නොවේ, එවිට අනුරූප සමානාත්මතාවය අස්ථායී වන අතර පද්ධතිය (1) අසමාන වේ. අනෙක් අතට, ඕනෑම සන්ධි අංක පද්ධතියක් සඳහා
ශුන්යයට සමාන වේ. අංකය පද්ධති න්‍යාසයේ (1) ශ්‍රේණිය මිස අන් කිසිවක් නොවේ.

පද්ධතිය (1) සිට (3) දක්වා සංක්රමණය ලෙස හැඳින්වේ සරල රේඛාවකින් Gaussian ක්‍රමය, සහ (3) සිට නොදන්නා දේ සොයා ගැනීම - ආපස්සට .

අදහස් දක්වන්න : පරිවර්තන සිදු කිරීම වඩාත් පහසු වන්නේ සමීකරණ සමඟ නොව, පද්ධතියේ දිගු න්‍යාසය (1) සමඟිනි.

උදාහරණයක්. අපි පද්ධතියට විසඳුමක් සොයා ගනිමු

.

අපි පද්ධතියේ වර්ධක අනුකෘතිය ලියන්නෙමු:

.

පිළිවෙළින් (-2), (-3), (-2) න් ගුණ කළ පළමු පේළි 2,3,4 ට එකතු කරමු:

.

අපි පේළි 2 සහ 3 මාරු කරමු, ඉන්පසු ලැබෙන න්‍යාසයේ 2 පේළිය 4 පේළියට එකතු කරන්න, ගුණ කරන්න :

.

4 පේළියට එකතු කරන්න 3 පේළියෙන් ගුණ කරන්න
:

.

ඒක පැහැදිලියි
, එබැවින් පද්ධතිය ස්ථාවර වේ. ප්රතිඵලයක් ලෙස සමීකරණ පද්ධතියෙන්

ප්‍රතිලෝම ආදේශනයෙන් අපි විසඳුම සොයා ගනිමු:

,
,
,
.

උදාහරණ 2පද්ධති විසඳුම සොයන්න:

.

පද්ධතිය නොගැලපෙන බව පැහැදිලිය, මන්ද
, ඒ
.

Gauss ක්රමයේ වාසි :

Cramer ගේ ක්‍රමයට වඩා අඩු කාලයක් ගතවේ.

පද්ධතියේ ගැළපුම නිසැකව තහවුරු කරන අතර විසඳුමක් සොයා ගැනීමට ඔබට ඉඩ සලසයි.

ඕනෑම න්‍යාසයක ශ්‍රේණිය තීරණය කිරීමේ හැකියාව ලබා දෙයි.

සියලුම නිදහස් පද බිංදුවට සමාන වන රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියක් ලෙස හැඳින්වේ සමජාතීය :

ඕනෑම සමජාතීය පද්ධතියක් සැමවිටම පවතින බැවින් එය සැමවිටම ස්ථාවර වේ ශුන්ය (සුළු සුළුය ) විසඳුමක්. ප්‍රශ්නය පැන නගින්නේ සමජාතීය පද්ධතියකට කුමන තත්වයන් යටතේද යන්නයි සුළු නොවන විසඳුමක්.

ප්රමේයය 5.2.සමජාතීය පද්ධතියකට සුළු නොවන විසඳුමක් ඇත්තේ යටින් පවතින අනුකෘතියේ ශ්‍රේණිය එහි නොදන්නා සංඛ්‍යාවට වඩා අඩු නම් පමණි.

ප්රතිවිපාකය. හතරැස් සමජාතීය පද්ධතියකට සුළු නොවන විසඳුමක් ඇත්තේ පද්ධතියේ ප්‍රධාන න්‍යාසයේ නිර්ණායකය ශුන්‍යයට සමාන නොවේ නම් පමණි.

උදාහරණය 5.6.පද්ධතියට සුළු නොවන විසඳුම් ඇති පරාමිතියේ අගයන් තීරණය කර මෙම විසඳුම් සොයන්න:

විසඳුමක්. ප්‍රධාන අනුකෘතියේ නිර්ණායකය ශුන්‍යයට සමාන වන විට මෙම පද්ධතියට සුළු නොවන විසඳුමක් ඇත:

මේ අනුව, l=3 හෝ l=2 විට පද්ධතිය සුළුපටු නොවේ. l=3 සඳහා, පද්ධතියේ ප්‍රධාන න්‍යාසයේ ශ්‍රේණිය 1 වේ. එවිට, එක් සමීකරණයක් පමණක් ඉතිරි කර එය උපකල්පනය කරයි. වයි=ඒහා z=බී, අපිට ලැබෙනවා x=b-a, i.e.

l=2 සඳහා, පද්ධතියේ ප්‍රධාන න්‍යාසයේ ශ්‍රේණිය 2 වේ. පසුව, මූලික සුළු ලෙස තෝරා ගැනීම:

අපි සරල කළ පද්ධතියක් ලබා ගනිමු

මෙතැන් සිට අපි එය සොයා ගනිමු x=z/4, y=z/2. උපකල්පනය කරනවා z=4ඒ, අපිට ලැබෙනවා

සමජාතීය පද්ධතියක සියලුම විසඳුම් කට්ටලය ඉතා වැදගත් වේ රේඛීය දේපල : X තීරු නම් 1 සහ X 2 - සමජාතීය පද්ධතියේ විසඳුම් AX = 0, එවිට ඒවායේ ඕනෑම රේඛීය සංයෝජනයක්ඒ x 1+b x 2 මෙම පද්ධතියේ විසඳුම ද වනු ඇත. ඇත්ත වශයෙන්ම, මන්ද AX 1 = 0 හා AX 2 = 0 , එවිට ඒ(ඒ x 1+b x 2) = a AX 1+b AX 2 = a · 0 + b · 0 = 0. මෙම ගුණාංගය නිසා රේඛීය පද්ධතියකට විසඳුම් එකකට වඩා තිබේ නම්, මෙම විසඳුම් අනන්තවත් ඇත.

රේඛීය ස්වාධීන තීරු ඊ 1 , ඊ 2 , ඊ කේ, සමජාතීය පද්ධතියක විසඳුම් ලෙස හැඳින්වේ මූලික තීරණ පද්ධතිය මෙම පද්ධතියේ සාමාන්‍ය විසඳුම මෙම තීරුවල රේඛීය සංයෝජනයක් ලෙස ලිවිය හැකි නම් සමජාතීය රේඛීය සමීකරණ පද්ධතිය:

සමජාතීය පද්ධතියක් තිබේ නම් nවිචල්‍යයන්, සහ පද්ධතියේ ප්‍රධාන න්‍යාසයේ ශ්‍රේණිය සමාන වේ ආර්, එවිට කේ = n-r.

උදාහරණය 5.7.පහත රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියේ මූලික විසඳුම් පද්ධතිය සොයන්න:

විසඳුමක්. පද්ධතියේ ප්‍රධාන අනුකෘතියේ ශ්‍රේණිය සොයන්න:

මේ අනුව, මෙම සමීකරණ පද්ධතියේ විසඳුම් සමූහය මානයෙහි රේඛීය උප අවකාශයක් සාදයි n - ආර්= 5 - 2 = 3. අපි මූලික සුළු වශයෙන් තෝරා ගනිමු

.

ඉන්පසුව, මූලික සමීකරණ (ඉතිරි ඒවා මෙම සමීකරණවල රේඛීය සංයෝජනයක් වනු ඇත) සහ මූලික විචල්‍යයන් (ඉතිරි, ඊනියා නිදහස් විචල්‍ය, අපි දකුණට මාරු කරමු), අපට සරල කළ සමීකරණ පද්ධතියක් ලැබේ:

උපකල්පනය කරනවා x 3 = ඒ, x 4 = බී, x 5 = c, අපි සොයා ගනිමු

, .

උපකල්පනය කරනවා ඒ= 1, b=c= 0, අපි පළමු මූලික විසඳුම ලබා ගනිමු; උපකල්පනය කරමින් බී= 1, a = c= 0, අපි දෙවන මූලික විසඳුම ලබා ගනිමු; උපකල්පනය කරමින් c= 1, a = b= 0, අපි තුන්වන මූලික විසඳුම ලබා ගනිමු. ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, සාමාන්ය මූලික පද්ධතියවිසඳුම් පෝරමය ගනීවි

මූලික පද්ධතිය භාවිතා කරමින්, සමජාතීය පද්ධතියේ පොදු විසඳුම ලෙස ලිවිය හැකිය

x = aE 1 + bE 2 + cE 3. ඒ

රේඛීය සමීකරණවල සමජාතීය පද්ධතියේ විසඳුම්වල සමහර ගුණාංග අපි සටහන් කරමු AX=Bසහ අනුරූප සමජාතීය සමීකරණ පද්ධතිය සමඟ ඔවුන්ගේ සම්බන්ධතාවය AX = 0.

සමජාතීය පද්ධතියක පොදු විසඳුමඅනුරූප සමජාතීය පද්ධතියේ AX = 0 සහ සමජාතීය පද්ධතියේ අත්තනෝමතික විශේෂිත විසඳුමක පොදු විසඳුමේ එකතුවට සමාන වේ. ඇත්ත වශයෙන්ම, ඉඩ දෙන්න වයි 0 යනු සමජාතීය පද්ධතියක අත්තනෝමතික විශේෂිත විසඳුමකි, i.e. AY 0 = බී, හා වයිසමජාතීය පද්ධතියක පොදු විසඳුම වේ, i.e. AY=B. එක සමානාත්මතාවයක් අනෙකෙන් අඩු කිරීමෙන් අපට ලැබේ
ඒ(Y-Y 0) = 0, i.e. Y-Y 0 යනු අනුරූප සමජාතීය පද්ධතියේ පොදු විසඳුමයි AX=0. ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, Y-Y 0 = x, හෝ Y=Y 0 + x. Q.E.D.

සමජාතීය පද්ධතියකට AX = B ආකෘතිය තිබිය යුතුය 1 + බී 2 . එවිට එවැනි පද්ධතියක පොදු විසඳුම X = X ලෙස ලිවිය හැක 1 + x 2 , එහිදී AX 1 = බී 1 සහ AX 2 = බී 2. මෙම ගුණාංගය පොදුවේ ඕනෑම රේඛීය පද්ධතිවල විශ්වීය ගුණය ප්‍රකාශ කරයි (වීජීය, අවකලනය, ක්‍රියාකාරී, ආදිය). භෞතික විද්‍යාවේදී මෙම ගුණය හැඳින්වේ superposition මූලධර්මය, විදුලි හා ගුවන් විදුලි ඉංජිනේරු - උඩැතිරි මූලධර්මය. උදාහරණයක් ලෙස, රේඛීය න්යාය තුළ විදුලි පරිපථඕනෑම පරිපථයක ඇති ධාරාව එක් එක් බලශක්ති ප්‍රභවයන් විසින් වෙන වෙනම ඇති කරන ධාරා වල වීජීය එකතුව ලෙස ලබා ගත හැක.

ඔබට ඇණවුම් කළ හැකිය සවිස්තරාත්මක විසඳුමඔබේ කාර්යය!!!

කුමක්ද යන්න තේරුම් ගැනීමට මූලික තීරණ පද්ධතියක්ලික් කිරීමෙන් ඔබට එම උදාහරණය සඳහා වීඩියෝ නිබන්ධනය නැරඹිය හැකිය. දැන් අපි සමස්ත විස්තරයට යමු අවශ්ය වැඩ. මෙම ගැටලුවේ සාරය වඩාත් විස්තරාත්මකව තේරුම් ගැනීමට මෙය ඔබට උපකාර කරනු ඇත.

රේඛීය සමීකරණයක විසඳුම්වල මූලික පද්ධතිය සොයා ගන්නේ කෙසේද?

උදාහරණයක් ලෙස පහත රේඛීය සමීකරණ පද්ධතිය ගන්න:

අපි මේකට විසදුමක් හොයමු රේඛීය පද්ධතියසමීකරණ. ආරම්භ කිරීමට, අපි පද්ධතියේ සංගුණක අනුකෘතිය ලියන්න.

අපි මෙම න්‍යාසය ත්‍රිකෝණාකාර එකකට පරිවර්තනය කරමු.අපි වෙනස්කම් නොමැතිව පළමු පේළිය නැවත ලියන්නෙමු. තවද $a_(11)$ යටතේ ඇති සියලුම මූලද්‍රව්‍ය ශුන්‍ය කළ යුතුය. $a_(21)$ මූලද්‍රව්‍යයේ ස්ථානයේ ශුන්‍යයක් කිරීමට, ඔබ දෙවන පේළියෙන් පළමුවැන්න අඩු කර දෙවන පේළියේ වෙනස ලිවිය යුතුය. $a_(31)$ මූලද්‍රව්‍ය ස්ථානයේ ශුන්‍යයක් කිරීමට, ඔබ තුන්වන පේළියෙන් පළමුවැන්න අඩු කර තුන්වන පේළියේ වෙනස ලිවිය යුතුය. $a_(41)$ මූලද්‍රව්‍යය වෙනුවට ශුන්‍යයක් කිරීමට, ඔබ හතරවන පේළියෙන් 2 න් ගුණ කළ පළමු අගය අඩු කර හතරවන පේළියේ වෙනස ලිවිය යුතුය. $a_(31)$ මූලද්‍රව්‍යය වෙනුවට ශුන්‍යයක් කිරීමට, පස්වන පේළියෙන් 2න් ගුණ කළ පළමු අගය අඩු කර පස්වන පේළියේ වෙනස ලියන්න.

අපි වෙනස්කම් නොමැතිව පළමු සහ දෙවන පේළි නැවත ලියන්නෙමු. තවද $a_(22)$ යටතේ ඇති සියලුම මූලද්‍රව්‍ය ශුන්‍ය කළ යුතුය. මූලද්‍රව්‍ය $a_(32)$ ස්ථානයේ ශුන්‍යයක් කිරීමට, තුන්වන පේළියේ සිට 2 ගුණ කළ දෙවැන්න අඩු කර තුන්වන පේළියේ වෙනස ලිවිය යුතුය. $a_(42)$ යන මූලද්‍රව්‍යයේ ස්ථානයේ ශුන්‍යයක් සෑදීමට, හතරවන පේළියේ සිට 2න් ගුණ කළ දෙවැන්න අඩු කර හතරවන පේළියේ වෙනස ලිවීම අවශ්‍ය වේ. $a_(52)$ මූලද්‍රව්‍යය වෙනුවට ශුන්‍යයක් කිරීමට, පස්වන පේළියෙන් 3 න් ගුණ කළ දෙවැන්න අඩු කර පස්වන පේළියේ වෙනස ලියන්න.

අපි ඒක දකිනවා අවසාන පේළි තුනම සමාන වේ, එබැවින් ඔබ සිව්වන සහ පස්වන වලින් තෙවනුව අඩු කළහොත් ඒවා ශුන්‍ය වේ.

මෙම matrix සඳහා ලියන්න නව පද්ධතියසමීකරණ.

අපට ඇත්තේ රේඛීය ස්වාධීන සමීකරණ තුනක් පමණක් බවත්, නොදන්නා සමීකරණ පහක් පමණක් බවත් අපට පෙනේ, එබැවින් විසඳුම්වල මූලික පද්ධතිය දෛශික දෙකකින් සමන්විත වේ. ඉතින් අපි අවසාන නොදන්නා දෙක දකුණට ගෙන යන්න.

දැන්, අපි වම් පැත්තේ ඇති නොදන්නා දේ දකුණු පැත්තේ ඇති ඒවා හරහා ප්‍රකාශ කිරීමට පටන් ගනිමු. අපි අවසාන සමීකරණයෙන් පටන් ගනිමු, පළමුව අපි $x_3$ ප්‍රකාශ කරමු, පසුව අපි ලබාගත් ප්‍රතිඵලය දෙවන සමීකරණයට ආදේශ කර $x_2$ ප්‍රකාශ කරමු, ඉන්පසු පළමු සමීකරණයට සහ මෙහිදී අපි $x_1$ ප්‍රකාශ කරමු. මෙලෙස වම් පැත්තේ ඇති සියලුම නොදන්නා දේ දකුණු පැත්තේ ඇති නොදන්නා දේ හරහා අපි ප්‍රකාශ කළෙමු.

ඊට පසු, $x_4$ සහ $x_5$ වෙනුවට, ඔබට ඕනෑම අංකයක් ආදේශ කර $x_1$, $x_2$ සහ $x_3$ සොයා ගත හැක. එවැනි සෑම සංඛ්‍යා පහක්ම අපගේ මුල් සමීකරණ පද්ධතියේ මූලයන් වනු ඇත. ඇතුළත් කර ඇති දෛශික සොයා ගැනීමට FSRඅපට $x_4$ වෙනුවට 1 ආදේශ කිරීමටත්, $x_5$ වෙනුවට 0 ආදේශ කිරීමටත්, $x_1$, $x_2$ සහ $x_3$ සොයා ගැනීමටත්, පසුව $x_4=0$ සහ $x_5=1$ සොයා ගැනීමටත් අවශ්‍ය වේ.

සමජාතීය පද්ධතියක විසඳුම් පහත ගුණාංග ඇත. දෛශිකය නම් = (α 1 , α 2 ,... ,α n) යනු පද්ධතියට (15.14) විසඳුමකි, පසුව ඕනෑම අංකයක් සඳහා කේදෛශිකය k = (kα 1 , කා 2 ,..., kα n)මෙම ක්රමයට විසඳුම වනු ඇත. පද්ධතියට විසඳුම (15.14) නම් දෛශිකය = (γ 1 , γ 2 , ... ,γ n), පසුව එකතුව + මෙම පද්ධතියේ විසඳුම ද වනු ඇත. එබැවින් එය අනුගමනය කරයි සමජාතීය පද්ධතියකට විසඳුම්වල ඕනෑම රේඛීය සංයෝජනයක් ද මෙම පද්ධතියට විසඳුමකි.

12.2 වගන්තියෙන් අප දන්නා පරිදි, ඕනෑම පද්ධතියක් nට වඩා වැඩි ප්‍රමාණයකින් සමන්විත -මාන දෛශික පීදෛශික, රේඛීයව රඳා පවතී. මේ අනුව, සමජාතීය පද්ධතියේ (15.14) විසඳුම් දෛශික කට්ටලයෙන් කෙනෙකුට පදනමක් තෝරා ගත හැකිය, i.e. ලබා දී ඇති පද්ධතියේ ඕනෑම විසඳුම් දෛශිකයක් මෙම පදනමේ දෛශිකවල රේඛීය සංයෝජනයක් වනු ඇත. එවැනි ඕනෑම පදනමක් ලෙස හැඳින්වේ මූලික තීරණ පද්ධතියරේඛීය සමීකරණවල සමජාතීය පද්ධතිය. පහත ප්‍රමේයය සත්‍ය වන අතර, එය අප ඔප්පු නොකර ඉදිරිපත් කරයි.

න්‍යාය 4. පද්ධතියේ ශ්රේණිගත r නම් සමජාතීය සමීකරණ (15.14) නොදන්නා n ගණනට වඩා අඩු, එවිට පද්ධතියේ ඕනෑම මූලික විසඳුම් පද්ධතියක් (15.14) n - r විසඳුම් වලින් සමන්විත වේ.

අපි දැන් මූලික විසඳුම් පද්ධතිය (FSR) සොයා ගැනීමේ ක්‍රමයක් සඳහන් කරමු. සමජාතීය සමීකරණ පද්ධතියට (15.14) ශ්‍රේණිගත කිරීමට ඉඩ දෙන්න ආර්< п. එවිට, Cramer ගේ නීති වලින් පහත පරිදි, මෙම පද්ධතියේ මූලික නොදන්නා කරුණු x 1 , x 2 , … x ආර්නිදහස් විචල්‍යයන් අනුව රේඛීයව ප්‍රකාශ වේ x r + 1 , x r + 2 , ..., x n:

පහත සඳහන් මූලධර්මය අනුව සමජාතීය පද්ධතියේ (15.14) විශේෂිත විසඳුම් අපි වෙන් කරමු. පළමු විසඳුම දෛශිකය 1 සොයා ගැනීමට, අපි සකස් කරමු x r + 1 = 1, x r + 2 = x r +3 = ... = x n= 0. එවිට අපි දෙවන විසඳුම 2 සොයා ගනිමු: අපි පිළිගනිමු x ආර්+2 = 1 සහ ඉතිරිය ආර්- නිදහස් විචල්‍ය 1ක් බිංදුවට සකසා ඇත. වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, අපි එක් එක් නිදහස් විචල්‍ය සඳහා තනි අගයක් අනුපිළිවෙලින් පවරමු, ඉතිරිය බිංදුවට සකසන්න. මේ අනුව, දෛශික ආකාරයෙන් විසඳුම් මූලික පද්ධතිය, පළමු සැලකිල්ලට ගනිමින් ආර්පදනම් විචල්‍ය (15.15) ආකෘතිය ඇත

FSR (15.16) එකකි මූලික කට්ටලසමජාතීය පද්ධතියේ විසඳුම් (15.14).

උදාහරණ 1සමජාතීය සමීකරණ පද්ධතියක විසඳුමක් සහ FSR සොයන්න

විසඳුමක්. අපි මෙම පද්ධතිය Gauss ක්රමය මගින් විසඳන්නෙමු. පද්ධති සමීකරණ ගණන නොදන්නා සංඛ්‍යාවට වඩා අඩු බැවින්, අපි උපකල්පනය කරමු x 1 , x 2 , x 3 මූලික නොදන්නා, සහ x 4 , X 5 , x 6 - නිදහස් විචල්යයන්. අපි පද්ධතියේ විස්තීරණ අනුකෘතිය සම්පාදනය කර ක්‍රමයේ සෘජු ගමන් මග සෑදෙන ක්‍රියා සිදු කරමු.

Matrix දත්ත

සොයන්න: 1) aA - bB,

විසඳුමක්: 1) න්‍යාසයක් සංඛ්‍යාවකින් ගුණ කිරීම සහ න්‍යාස එකතු කිරීම සඳහා වන නීති භාවිතා කරමින් අපි අනුක්‍රමිකව සොයා ගනිමු ..

2. A*B නම් සොයන්න

විසඳුමක්: Matrix ගුණ කිරීමේ රීතිය භාවිතා කරන්න

පිළිතුර:

3. ලබා දී ඇති න්‍යාසයක් සඳහා, කුඩා M 31 සොයාගෙන නිර්ණායකය ගණනය කරන්න.

විසඳුමක්: Minor M 31 යනු A වෙතින් ලබා ගන්නා න්‍යාසයේ නිර්ණායකයයි

පේළිය 3 සහ තීරුව 1 මකා දැමීමෙන් පසු. සොයන්න

1*10*3+4*4*4+1*1*2-2*4*10-1*1*4-1*4*3 = 0.

න්‍යාසය A එහි නිර්ණායකය වෙනස් නොකර පරිවර්තනය කරමු (1 පේළියේ ශුන්‍ය කරමු)

-3*, -, -4*
-10			-15
-20			-25
-4			-5

දැන් අපි න්‍යාස A හි නිර්ණායකය 1 පේළිය දිගේ ප්‍රසාරණය කිරීමෙන් ගණනය කරමු

පිළිතුර: M 31 = 0, detA = 0

Gauss ක්‍රමය සහ Cramer ක්‍රමය භාවිතයෙන් විසඳන්න.

2x 1 + x 2 + x 3 = 2

x 1 + x 2 + 3x 3 = 6

2x1 + x2 + 2x3 = 5

විසඳුමක්: අපි පරීක්ෂා කරමු

ඔබට Cramer ගේ ක්රමය භාවිතා කළ හැකිය

පද්ධති විසඳුම: x 1 = D 1 / D = 2, x 2 = D 2 / D = -5, x 3 = D 3 / D = 3

අපි Gauss ක්රමය යොදන්නෙමු.

අපි පද්ධතියේ විස්තීරණ අනුකෘතිය ත්රිකෝණාකාර ආකෘතියකට අඩු කරමු.

ගණනය කිරීමේ පහසුව සඳහා, අපි රේඛා මාරු කරමු:

2 වන පේළිය ගුණ කරන්න (k = -1 / 2 = -1 / 2 ) සහ 3 වෙනි එකට එකතු කරන්න:

	1 / 2		7 / 2

1 වන පේළිය ගුණ කරන්න (k = -2 / 2 = -1 ) සහ 2 වෙනි එකට එකතු කරන්න:

දැන් මුල් පද්ධතිය මෙසේ ලිවිය හැක.

x 1 = 1 - (1/2 x 2 + 1/2 x 3)

x 2 = 13 - (6x 3)

2 වන පේළියේ සිට අපි ප්රකාශ කරමු

1 වන පේළියේ සිට අපි ප්රකාශ කරමු

විසඳුම සමාන වේ.

පිළිතුර: (2; -5; 3)

පද්ධතියේ සහ FSR හි පොදු විසඳුම සොයා ගන්න

13x 1 - 4x 2 - x 3 - 4x 4 - 6x 5 = 0

11x 1 - 2x 2 + x 3 - 2x 4 - 3x 5 = 0

5x 1 + 4x 2 + 7x 3 + 4x 4 + 6x 5 = 0

7x 1 + 2x 2 + 5x 3 + 2x 4 + 3x 5 = 0

විසඳුමක්: Gauss ක්රමය යොදන්න. අපි පද්ධතියේ විස්තීරණ අනුකෘතිය ත්රිකෝණාකාර ආකෘතියකට අඩු කරමු.

	-4	-1	-4	-6
	-2		-2	-3
x 1	x2	x 3	x4	x5

1 වන පේළිය (-11) මගින් ගුණ කරන්න. 2 වන පේළිය (13) න් ගුණ කරන්න. අපි 2 වන පේළිය 1 ට එකතු කරමු:

	-2		-2	-3

2 වන පේළිය (-5) මගින් ගුණ කරන්න. 3 වන පේළිය (11) න් ගුණ කරන්න. අපි 3 වන පේළිය 2 වෙනි එකට එකතු කරමු:

3 වන පේළිය (-7) මගින් ගුණ කරන්න. 4 වන පේළිය (5) න් ගුණ කරන්න. අපි 4 වන පේළිය 3 වෙනි එකට එකතු කරමු:

දෙවන සමීකරණය ඉතිරියේ රේඛීය සංයෝජනයකි

අනුකෘතියේ ශ්‍රේණිය සොයන්න.

	-18	-24	-18	-27
x 1	x2	x 3	x4	x5

කීර්තිමත් බාලවයස්කාරයාට ඇත ඉහළම නියෝගය(හැකි බාලවයස්කරුවන්ගෙන්) සහ ශුන්‍යයට වඩා වෙනස් වේ (එය පරස්පර විකර්ණයේ ඇති මූලද්‍රව්‍යවල ගුණිතයට සමාන වේ), එබැවින් rang(A) = 2.

මෙම බාලවය මූලික වේ. එයට නොදන්නා x 1, x 2 සඳහා සංගුණක ඇතුළත් වේ, එයින් අදහස් කරන්නේ නොදන්නා x 1, x 2 රඳා පවතින (මූලික) සහ x 3, x 4, x 5 නිදහස් බවයි.

මෙම න්‍යාසයේ සංගුණක සහිත පද්ධතිය මුල් පද්ධතියට සමාන වන අතර පෝරමය ඇත:

18x2 = 24x3 + 18x4 + 27x5

7x1 + 2x2 = - 5x3 - 2x4 - 3x5

නොදන්නා දේ ඉවත් කිරීමේ ක්‍රමය මගින් අපි සොයා ගනිමු පොදු තීරණය:

x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5

x 1 = - 1/3 x 3

(n-r) විසඳුම් වලින් සමන්විත මූලික විසඳුම් පද්ධතිය (FSR) අපි සොයා ගනිමු. අපගේ නඩුවේදී, n=5, r=2, එබැවින්, විසඳුම්වල මූලික පද්ධතිය විසඳුම් 3 කින් සමන්විත වන අතර, මෙම විසඳුම් රේඛීයව ස්වාධීන විය යුතුය.

පේළි රේඛීයව ස්වාධීන වීමට නම්, පේළිවල මූලද්‍රව්‍ය වලින් සමන්විත න්‍යාසයේ ශ්‍රේණිය පේළි ගණනට සමාන වීම අවශ්‍ය සහ ප්‍රමාණවත් වේ, එනම් 3.

3 වන අනුපිළිවෙලෙහි නිර්ණායකයේ පේළි වලින් නොමිලේ නොදන්නා x 3 , x 4 , x 5 අගයන් ශුන්‍යයට වඩා වෙනස් ලෙස ලබා දී x 1 , x 2 ගණනය කිරීම ප්‍රමාණවත් වේ.

සරලම ශුන්‍ය නොවන නිර්ණායකය වන්නේ අනන්‍යතා අනුකෘතියයි.

නමුත් මෙන්න එය ගැනීම වඩාත් පහසු වේ

අපි පොදු විසඳුම භාවිතා කරන්නේ:

a) x 3 = 6, x 4 = 0, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = -2, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = - 4 Þ

I FSR තීරණය: (-2; -4; 6; 0; 0)

b) x 3 = 0, x 4 = 6, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = - 6 Þ

II FSR තීරණය: (0; -6; 0; 6; 0)

c) x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 6 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = -9 Þ

III FSR තීරණය: (0; - 9; 0; 0; 6)

Þ FSR: (-2; -4; 6; 0; 0), (0; -6; 0; 6; 0), (0; - 9; 0; 0; 6)

6. ලබා දී ඇත: z 1 \u003d -4 + 5i, z 2 \u003d 2 - 4i. සොයන්න: a) z 1 - 2z 2 b) z 1 z 2 c) z 1 / z 2

විසඳුමක්: a) z 1 – 2z 2 = -4+5i+2(2-4i) = -4+5i+4-8i = -3i

b) z 1 z 2 = (-4+5i)(2-4i) = -8+10i+16i-20i 2 = (i 2 = -1) = 12 + 26i

පිළිතුර: a) -3i b) 12+26i c) -1.4 - 0.3i