ස්ලෝ එක matrix ආකාරයෙන් විසඳන්න. ක්රේමර්ගේ රීතිය. ප්රතිලෝම න්යාස ක්රමය

සේවා පැවරුම. මෙම මාර්ගගත කැල්කියුලේටරය භාවිතා කරමින්, නොදන්නා (x 1 , x 2 , ..., x n ) සමීකරණ පද්ධතිය තුළ ගණනය කරනු ලැබේ. තීරණය ගනිමින් සිටී ක්රමය ප්රතිලෝම න්යාසය . එහි:

• A අනුකෘතියේ නිර්ණායකය ගණනය කරනු ලැබේ;
• වීජීය එකතු කිරීම් හරහා A -1 ප්‍රතිලෝම න්‍යාසය හමු වේ;
• එක්සෙල් හි විසඳුම් අච්චුවක් සාදනු ලැබේ;

තීරණය කෙලින්ම වෙබ් අඩවියේ ගනු ලැබේ (දී සබැඳි මාදිලිය) සහ නොමිලේ. ගණනය කිරීමේ ප්රතිඵල Word ආකෘතියෙන් වාර්තාවක් ඉදිරිපත් කර ඇත (සැලසුම් උදාහරණය බලන්න).

උපදෙස්. ප්රතිලෝම න්යාස ක්රමය මගින් විසඳුමක් ලබා ගැනීම සඳහා, න්යාසයේ මානය සඳහන් කිරීම අවශ්ය වේ. මීලඟට, නව සංවාද කොටුව තුළ, matrix A සහ ​​ප්රතිඵල දෛශිකය B පුරවන්න.

විචල්‍ය ගණන 2 3 4 5 6 7 8 9 10

න්‍යාස සමීකරණවල විසඳුම ද බලන්න.

විසඳුම් ඇල්ගොරිතම

1. A අනුකෘතියේ නිර්ණායකය ගණනය කෙරේ. නිර්ණායකය ශුන්ය නම්, විසඳුමේ අවසානය. පද්ධතියට අසීමිත විසඳුම් තිබේ.
2. නිර්ණායකය ශුන්‍යයට වඩා වෙනස් වන විට, වීජීය එකතු කිරීම් හරහා ප්‍රතිලෝම න්‍යාස A -1 සොයා ගනී.
3. තීරන දෛශිකය X =(x 1 , x 2 , ..., x n ) ප්‍රතිලෝම න්‍යාසය B ප්‍රතිඵල දෛශිකයෙන් ගුණ කිරීමෙන් ලබා ගනී.

උදාහරණයක්. matrix ක්රමය මගින් පද්ධතියේ විසඳුම සොයා ගන්න. අපි අනුකෘතිය පෝරමයේ ලියන්නෙමු:
වීජීය එකතු කිරීම්.

A 1.1 = (-1) 1+1

1 2 0 -2

∆ 1,1 = (1 (-2)-0 2) = -2

A 1,2 = (-1) 1+2

3 2 1 -2

∆ 1,2 = -(3 (-2)-1 2) = 8

A 1.3 = (-1) 1+3

3 1 1 0

∆ 1,3 = (3 0-1 1) = -1

A 2.1 = (-1) 2+1

-2 1 0 -2

∆ 2,1 = -(-2 (-2)-0 1) = -4

A 2.2 = (-1) 2+2

2 1 1 -2

∆ 2,2 = (2 (-2)-1 1) = -5

A 2.3 = (-1) 2+3

2 -2 1 0

∆ 2,3 = -(2 0-1 (-2)) = -2

A 3.1 = (-1) 3+1

-2 1 1 2

∆ 3,1 = (-2 2-1 1) = -5

·

3

-2

-1

X T = (1,0,1)
x 1 = -21 / -21 = 1
x 2 = 0 / -21 = 0
x 3 = -21 / -21 = 1
විභාගය:
2 1+3 0+1 1 = 3
-2 1+1 0+0 1 = -2
1 1+2 0+-2 1 = -1

සාමාන්‍යයෙන් සමීකරණ, රේඛීය වීජීය සමීකරණ සහ ඒවායේ පද්ධති මෙන්ම ඒවා විසඳීමේ ක්‍රම, න්‍යායික සහ ව්‍යවහාරික යන දෙකම ගණිතයේ විශේෂ ස්ථානයක් ගනී.

මෙය භෞතික, ආර්ථික, තාක්ෂණික සහ පවා අතිමහත් බහුතරයක් බව යන කරුණ නිසා ය අධ්යාපනික කාර්යයන්විවිධ සමීකරණ සහ ඒවායේ පද්ධති භාවිතයෙන් විස්තර කර විසඳා ගත හැක. හිදී මෑත කාලයේපර්යේෂකයන්, විද්යාඥයන් සහ වෘත්තිකයන් අතර විශේෂ ජනප්රියත්වයක් ලබා ඇත ගණිත ආකෘති නිර්මාණයවස්තු අධ්‍යයනය කිරීම සඳහා අනෙකුත් සුප්‍රසිද්ධ සහ ඔප්පු කරන ලද ක්‍රමවලට වඩා එහි පැහැදිලි වාසි මගින් පැහැදිලි කරන සෑම විෂය ක්ෂේත්‍රයකම පාහේ වෙනස් ස්වභාවය, විශේෂයෙන්ම ඊනියා සංකීර්ණ පද්ධති. විශාල විවිධත්වයක් ඇත විවිධ නිර්වචනවිද්‍යාඥයින් විසින් ලබා දෙන ලද ගණිතමය ආකෘතිය විවිධ වේලාවන්, නමුත් අපගේ මතය අනුව, වඩාත්ම සාර්ථක වේ පහත ප්රකාශය. ගණිතමය ආකෘතියක් යනු අදහසකි සමීකරණය මගින් ප්රකාශිත. මේ අනුව, සමීකරණ සහ ඒවායේ පද්ධති සැකසීමට සහ විසඳීමට ඇති හැකියාව නවීන විශේෂඥයෙකුගේ අනිවාර්ය ලක්ෂණයකි.

රේඛීය පද්ධති විසඳීමට වීජීය සමීකරණවඩාත් බහුලව භාවිතා වන ක්රම වනුයේ: Cramer, Jordan-Gauss සහ matrix ක්රමය.

Matrix ක්රමයවිසඳුම් - ප්‍රතිලෝම න්‍යාසයක් භාවිතයෙන් ශුන්‍ය නොවන නිර්ණායකයක් සහිත රේඛීය වීජීය සමීකරණ පද්ධති විසඳීමේ ක්‍රමයකි.

අපි නොදන්නා අගයන් xi සඳහා සංගුණක A න්‍යාසයට ලියා, නොදන්නා අගයන් X දෛශික තීරුවට එකතු කර, නිදහස් නියමයන් B තීරුවේ දෛශිකයට එකතු කරන්නේ නම්, රේඛීය වීජීය සමීකරණ පද්ධතිය මෙසේ ලිවිය හැකිය. පහත සඳහන් matrix සමීකරණය A · X = B, න්‍යාසයේ නිර්ණායකය ශුන්‍යයට සමාන නොවේ නම් පමණක් අද්විතීය විසඳුමක් ඇත. මෙම අවස්ථාවේදී, සමීකරණ පද්ධතියේ විසඳුම පහත ආකාරයෙන් සොයාගත හැකිය x = ඒ-එක · බී, කොහෙද ඒ-1 - ප්රතිලෝම න්යාසය.

matrix විසඳුම් ක්රමය පහත පරිදි වේ.

පද්ධතියට ඉඩ දෙන්න රේඛීය සමීකරණසමඟ nනොදන්නා:

එය matrix ආකාරයෙන් නැවත ලිවිය හැක: AX = බී, කොහෙද ඒ- පද්ධතියේ ප්රධාන අනුකෘතිය, බීහා x- නිදහස් සාමාජිකයින්ගේ තීරු සහ පද්ධතියේ විසඳුම් පිළිවෙලින්:

වම් පස ඇති මෙම න්‍යාස සමීකරණය ගුණ කරන්න ඒ-1 - matrix න්‍යාසයට ප්‍රතිලෝම ඒ: ඒ -1 (AX) = ඒ -1 බී

නිසා ඒ -1 ඒ = ඊ, අපිට ලැබෙනවා x= ඒ -1 බී. මෙම සමීකරණයේ දකුණු පස මුල් පද්ධතියට විසඳුම් තීරුවක් ලබා දෙනු ඇත. මෙම ක්‍රමය සඳහා අදාළ කොන්දේසිය (මෙන්ම පොදුවේ විසඳුමක පැවැත්ම සඳහා නොවේ සමජාතීය පද්ධතියනොදන්නා සංඛ්‍යාවට සමාන සමීකරණ සංඛ්‍යාව සහිත රේඛීය සමීකරණ) යනු න්‍යාසයේ පරිහානිය නොවේ. ඒ. අවශ්ය සහ ප්රමාණවත් තත්ත්වයමෙය අනුකෘතියේ නිර්ණායකයේ අසමානතා බිංදුවයි ඒ: det ඒ≠ 0.

රේඛීය සමීකරණවල සමජාතීය පද්ධතියක් සඳහා, එනම්, දෛශිකය විට බී = 0 , ඇත්තටම ප්රතිලෝම රීතිය: පද්ධතියක් AX = 0 හි සුළු නොවන (එනම්, ශුන්‍ය නොවන) විසඳුමක් ඇත්තේ det නම් පමණි ඒ= 0. රේඛීය සමීකරණවල සමජාතීය සහ සමජාතීය පද්ධතිවල විසඳුම් අතර එවැනි සම්බන්ධයක් Fredholm විකල්පය ලෙස හැඳින්වේ.

උදාහරණයක් රේඛීය වීජීය සමීකරණවල සමජාතීය පද්ධතියක විසඳුම්.

රේඛීය වීජීය සමීකරණ පද්ධතියේ නොදන්නා සංගුණකවලින් සමන්විත න්‍යාසයේ නිර්ණායකය ශුන්‍යයට සමාන නොවන බවට වග බලා ගනිමු.

ඊළඟ පියවර වන්නේ ගණනය කිරීමයි වීජීය එකතු කිරීම්නොදන්නා අයගේ සංගුණක වලින් සමන්විත අනුකෘතියේ මූලද්රව්ය සඳහා. ප්රතිලෝම අනුකෘතිය සොයා ගැනීමට ඒවා අවශ්ය වනු ඇත.

එම මාර්ගගත කැල්ක්යුලේටරය matrix ක්‍රමය මගින් රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියක් විසඳයි. ඉතා ලබා දී ඇත සවිස්තරාත්මක විසඳුම. රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියක් විසඳීම සඳහා, විචල්‍ය ගණන තෝරන්න. ප්රතිලෝම අනුකෘතිය ගණනය කිරීම සඳහා ක්රමයක් තෝරන්න. ඉන්පසු සෛල තුළ දත්ත ඇතුළත් කර "ගණනය කරන්න" බොත්තම මත ක්ලික් කරන්න.

×

අවවාදයයි

සියලුම සෛල හිස් කරන්නද?

Close Clear

දත්ත ඇතුළත් කිරීමේ උපදෙස්.සංඛ්‍යා සම්පූර්ණ සංඛ්‍යා (උදාහරණ: 487, 5, -7623, ආදිය), දශම සංඛ්‍යා (උදා. 67., 102.54, ආදිය) හෝ භාග ලෙස ඇතුළත් කර ඇත. භාගය a/b ආකාරයෙන් ටයිප් කළ යුතුය, මෙහි a සහ b පූර්ණ සංඛ්‍යා හෝ දශම සංඛ්යා. උදාහරණ 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7, ආදිය.

රේඛීය සමීකරණ පද්ධති විසඳීම සඳහා Matrix ක්රමය

පහත රේඛීය සමීකරණ පද්ධතිය සලකා බලන්න:

ප්රතිලෝම න්යාසයේ නිර්වචනය සැලකිල්ලට ගනිමින්, අපට තිබේ ඒ −1 ඒ=ඊ, කොහෙද ඊඅනන්යතා අනුකෘතිය වේ. එබැවින්, (4) පහත පරිදි ලිවිය හැකිය:

මේ අනුව, රේඛීය සමීකරණ පද්ධතිය විසඳීමට (1) (හෝ (2)), එය ප්‍රතිලෝම ගුණ කිරීම ප්‍රමාණවත් වේ ඒසීමා සහිත දෛශිකයකට අනුකෘතිය බී.

අනුකෘති ක්‍රමය මගින් රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියක් විසඳීමේ උදාහරණ

උදාහරණ 1. න්‍යාස ක්‍රමය භාවිතයෙන් පහත රේඛීය සමීකරණ පද්ධතිය විසඳන්න:

ජෝර්ඩන්-ගවුස් ක්‍රමය මගින් A අනුකෘතියට ප්‍රතිලෝමය සොයා ගනිමු. සිට දකුණු පැත්ත matrices ඒලියන්න අනන්යතා අනුකෘතිය:

ප්‍රධාන විකර්ණයට පහළින් ඇති න්‍යාසයේ 1 වන තීරුවේ මූලද්‍රව්‍ය බැහැර කරමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, 1 පේළිය සමඟ 2,3 පේළි එකතු කරන්න, පිළිවෙලින් -1/3, -1/3 න් ගුණ කරන්න:

ප්‍රධාන විකර්ණයට පහළින් ඇති න්‍යාසයේ 2 වන තීරුවේ මූලද්‍රව්‍ය බැහැර කරමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, පේළිය 3 සමඟින් 2 පේළිය -24/51 න් ගුණ කරන්න:

ප්‍රධාන විකර්ණයට ඉහළින් ඇති න්‍යාසයේ 2 වන තීරුවේ මූලද්‍රව්‍ය බැහැර කරමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, පේළිය 2 සමඟ පේළිය 1 එකතු කරන්න, -3/17 න් ගුණ කරන්න:

අනුකෘතියේ දකුණු පැත්ත වෙන් කරන්න. ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන න්‍යාසය ප්‍රතිලෝම වේ ඒ :

රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියක් ලිවීමේ අනුකෘති ආකාරය: ax=ආ, කොහෙද

අනුකෘතියේ සියලුම වීජීය අනුපූරක ගණනය කරන්න ඒ:

,

,

,

,

,

,

,

,

.

ප්‍රතිලෝම න්‍යාසය ගණනය කරනු ලබන්නේ පහත ප්‍රකාශනයෙනි.

පළමු කොටසේදී අපි සමහරක් දෙස බැලුවෙමු න්යායික ද්රව්ය, ආදේශන ක්‍රමය, සහ පද්ධති සමීකරණ වාරයෙන් වාර එකතු කිරීමේ ක්‍රමය. මෙම පිටුව හරහා වෙබ් අඩවියට පැමිණි සෑම කෙනෙකුටම, පළමු කොටස කියවන ලෙස මම නිර්දේශ කරමි. සමහර විට, සමහර අමුත්තන්ට ද්‍රව්‍ය ඉතා සරල යැයි පෙනෙනු ඇත, නමුත් රේඛීය සමීකරණ පද්ධති විසඳීමේදී, මම විසඳුම සම්බන්ධයෙන් ඉතා වැදගත් අදහස් සහ නිගමන ගණනාවක් ඉදිරිපත් කළෙමි. ගණිත ගැටළුපොදුවේ.

දැන් අපි ක්‍රේමර්ගේ රීතිය මෙන්ම ප්‍රතිලෝම න්‍යාසය (න්‍යාස ක්‍රමය) භාවිතා කරමින් රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියක විසඳුම විශ්ලේෂණය කරන්නෙමු. සියලුම ද්‍රව්‍ය සරලව, සවිස්තරාත්මකව සහ පැහැදිලිව ඉදිරිපත් කර ඇත, ඉහත ක්‍රම භාවිතා කරමින් පද්ධති විසඳන්නේ කෙසේදැයි සියලුම පාඨකයන්ට පාහේ ඉගෙන ගත හැකිය.

අපි මුලින්ම ක්‍රේමර්ගේ රීතිය විස්තරාත්මකව සලකා බලන්නේ නොදන්නා දෙකකින් රේඛීය සමීකරණ දෙකක පද්ධතියක් සඳහා ය. කුමක් සඳහා ද? - සියල්ලට පසු සරලම පද්ධතියපාසල් ක්‍රමය මගින්, වාර එකතු කිරීම මගින් විසඳිය හැක!

කාරණය නම්, සමහර විට, නමුත් එවැනි කාර්යයක් ඇත - ක්‍රේමර්ගේ සූත්‍ර භාවිතා කරමින් නොදන්නා දෙකක් සමඟ රේඛීය සමීකරණ දෙකක පද්ධතියක් විසඳීම. දෙවනුව, සරල උදාහරණයක් ඔබට Cramer's rule භාවිතා කරන ආකාරය තේරුම් ගැනීමට උපකාර වනු ඇත දුෂ්කර නඩුව- නොදන්නා තුනක් සහිත සමීකරණ තුනක පද්ධති.

මීට අමතරව, විචල්‍ය දෙකක් සහිත රේඛීය සමීකරණ පද්ධති ඇත, එය ක්‍රේමර්ගේ රීතියට අනුව හරියටම විසඳීම සුදුසුය!

සමීකරණ පද්ධතිය සලකා බලන්න

පළමු පියවරේදී, අපි නිර්ණායකය ගණනය කරමු, එය හැඳින්වේ පද්ධතියේ ප්රධාන නිර්ණායකය.

Gauss ක්රමය.

, එසේ නම්, පද්ධතියට අද්විතීය විසඳුමක් ඇති අතර, මූලයන් සොයා ගැනීමට, අපි තවත් නිර්ණායක දෙකක් ගණනය කළ යුතුය:
හා

ප්රායෝගිකව, ඉහත සුදුසුකම් ලතින් අකුරින් ද දැක්විය හැකිය.

සමීකරණයේ මූලයන් සූත්‍ර මගින් සොයා ගැනේ:
,

උදාහරණ 7

රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියක් විසඳන්න

විසඳුමක්: සමීකරණයේ සංගුණක තරමක් විශාල බව අපට පෙනේ, දකුණු පැත්තේ ඇත දශමකොමාවකින්. කොමාව යනු ගණිතයේ ප්‍රායෝගික කාර්යයන් සඳහා තරමක් දුර්ලභ අමුත්තකි; මම මෙම පද්ධතිය ආර්ථිකමිතික ගැටලුවකින් ලබා ගත්තෙමි.

එවැනි පද්ධතියක් විසඳන්නේ කෙසේද? ඔබට එක් විචල්‍යයක් තවත් විචල්‍යයක් අනුව ප්‍රකාශ කිරීමට උත්සාහ කළ හැකිය, නමුත් මේ අවස්ථාවේ දී ඔබට නිසැකවම භයානක විසිතුරු කොටස් ලැබෙනු ඇත, ඒවා සමඟ වැඩ කිරීමට අතිශයින්ම අපහසු වන අතර විසඳුමේ සැලසුම ඉතා භයානක ලෙස පෙනෙනු ඇත. ඔබට දෙවන සමීකරණය 6 න් ගුණ කළ හැකි අතර පදයෙන් පදය අඩු කළ හැකිය, නමුත් එම භාග මෙහි දිස්වනු ඇත.

කුමක් කරන්න ද? එවැනි අවස්ථාවන්හිදී, ක්‍රේමර්ගේ සූත්‍ර ගලවා ගැනීමට පැමිණේ.

;

;

පිළිතුර: ,

මූල දෙකටම අනන්ත වලිග ඇති අතර ඒවා ආසන්න වශයෙන් දක්නට ලැබේ, එය ආර්ථිකමිතික ගැටළු සඳහා බෙහෙවින් පිළිගත හැකි (සහ සාමාන්‍ය දෙයකි.

මෙහි අදහස් අවශ්‍ය නොවේ, කාර්යය සූදානම් කළ සූත්‍රවලට අනුව විසඳා ඇති බැවින්, කෙසේ වෙතත්, එක් අවවාදයක් ඇත. භාවිතා කරන විට මෙම ක්රමය, අනිවාර්යපැවරුමේ කොටස පහත කොටසයි: "එබැවින් පද්ධතියට අද්විතීය විසඳුමක් ඇත". එසේ නොමැතිනම්, ක්‍රේමර්ගේ ප්‍රමේයයට අගෞරව කිරීම සම්බන්ධයෙන් සමාලෝචකයා ඔබට දඬුවම් කරනු ඇත.

කැල්කියුලේටරය මත සිදු කිරීමට පහසු වන පරීක්ෂා කිරීම අතිරික්ත නොවනු ඇත: අපි ආසන්න අගයන් ආදේශ කරමු වම් පැත්තපද්ධතියේ එක් එක් සමීකරණය. ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, කුඩා දෝෂයක් සහිතව, දකුණු පැත්තේ ඇති සංඛ්යා ලබා ගත යුතුය.

උදාහරණ 8

ඔබේ පිළිතුර සාමාන්‍ය ආකාරයෙන් ප්‍රකාශ කරන්න නුසුදුසු කොටස්. චෙක්පතක් කරන්න.

මේ සඳහා උදාහරණයක් ස්වාධීන තීරණය(උදාහරණයක් අවසන් කිරීමසහ පාඩම අවසානයේ පිළිතුරු දෙන්න).

අපි නොදන්නා කරුණු තුනක් සහිත සමීකරණ තුනක පද්ධතියක් සඳහා ක්‍රේමර්ගේ රීතිය සලකා බලමු:

පද්ධතියේ ප්‍රධාන නිර්ණායකය අපි සොයා ගනිමු:

, එසේ නම්, පද්ධතියට අසීමිත විසඳුම් තිබේ හෝ නොගැලපෙන (විසඳුම් නැත). මෙම අවස්ථාවේදී, Cramer ගේ නියමය උදව් නොවනු ඇත, ඔබ Gauss ක්රමය භාවිතා කළ යුතුය.

, එසේ නම්, පද්ධතියට අද්විතීය විසඳුමක් ඇති අතර, මූලයන් සොයා ගැනීමට, අපි තවත් නිර්ණායක තුනක් ගණනය කළ යුතුය:
, ,

අවසාන වශයෙන්, පිළිතුර සූත්‍ර මගින් ගණනය කරනු ලැබේ:

ඔබට පෙනෙන පරිදි, "තුනෙන් තුනෙන්" නඩුව මූලික වශයෙන් "දෙකෙන් දෙක" නඩුවට වඩා වෙනස් නොවේ, නිදහස් පදවල තීරුව අනුපිළිවෙලින් ප්රධාන නිර්ණායකයේ තීරු දිගේ වමේ සිට දකුණට "ඇවිදීම".

උදාහරණ 9

Cramer's සූත්‍ර භාවිතයෙන් පද්ධතිය විසඳන්න.

විසඳුමක්: Cramer's සූත්‍ර භාවිතයෙන් පද්ධතිය විසඳමු.

, එබැවින් පද්ධතියට අද්විතීය විසඳුමක් ඇත.

පිළිතුර: .

ඇත්ත වශයෙන්ම, සූදානම් කළ සූත්‍ර අනුව තීරණය ගනු ලබන බැවින්, මෙහි නැවත අදහස් දැක්වීමට විශේෂ දෙයක් නොමැත. නමුත් සටහන් කිහිපයක් තිබේ.

ගණනය කිරීම් වල ප්‍රති result ලයක් ලෙස, “නරක” අඩු කළ නොහැකි කොටස් ලබා ගැනීම සිදු වේ, උදාහරණයක් ලෙස: .
මම පහත "ප්‍රතිකාර" ඇල්ගොරිතම නිර්දේශ කරමි. අතේ පරිගණකයක් නොමැති නම්, අපි මෙය කරන්නෙමු:

1) ගණනය කිරීම් වල දෝෂයක් තිබිය හැක. ඔබට "නරක" පහරක් හමු වූ වහාම, ඔබ වහාම පරීක්ෂා කළ යුතුය කොන්දේසිය නිවැරදිව නැවත ලියා ඇත. කොන්දේසිය දෝෂයකින් තොරව නැවත ලියා ඇත්නම්, ඔබ වෙනත් පේළියක (තීරුවක) ප්‍රසාරණය භාවිතා කර නිර්ණායක නැවත ගණනය කළ යුතුය.

2) චෙක්පතේ ප්රතිඵලයක් ලෙස කිසිදු දෝෂයක් සොයාගත නොහැකි නම්, බොහෝ විට පැවරුමේ තත්වය තුළ යතුරු ලියනය දෝෂයක් සිදු විය. මෙම අවස්ථාවේ දී, සන්සුන්ව හා ප්රවේශමෙන් කාර්යය අවසානය දක්වා විසඳන්න, පසුව පරීක්ෂා කිරීමට වග බලා ගන්නතීරණයෙන් පසු පිරිසිදු පිටපතක් මත එය අඳින්න. ඇත්ත වශයෙන්ම, භාගික පිළිතුරක් පරීක්ෂා කිරීම අප්‍රසන්න කාර්යයකි, නමුත් එය ගුරුවරයාට නිරායුධ තර්කයක් වනු ඇත, ඔහු ඇත්තෙන්ම කැමති ඕනෑම නරක දෙයකට අඩුවක් තැබීමට කැමතිය. භාග සමඟ කටයුතු කරන්නේ කෙසේද යන්න උදාහරණ 8 සඳහා පිළිතුරෙහි විස්තර කර ඇත.

ඔබ අතේ පරිගණකයක් තිබේ නම්, එය පරීක්ෂා කිරීමට ස්වයංක්‍රීය වැඩසටහනක් භාවිතා කරන්න, එය පාඩම ආරම්භයේදීම නොමිලේ බාගත හැකිය. මාර්ගය වන විට, වැඩසටහන වහාම භාවිතා කිරීම වඩාත් වාසිදායක වේ (විසඳුම ආරම්භ කිරීමට පෙර පවා), ඔබ වැරැද්දක් කළ අතරමැදි පියවර වහාම දකිනු ඇත! එකම කැල්ක්යුලේටරය matrix ක්රමය භාවිතයෙන් පද්ධතියේ විසඳුම ස්වයංක්රීයව ගණනය කරයි.

දෙවන සටහන. කලින් කලට සමීකරණවල සමහර විචල්‍යයන් අතුරුදහන් වන පද්ධති ඇත, උදාහරණයක් ලෙස:

මෙහි පළමු සමීකරණයේ විචල්‍යයක් නොමැත, දෙවැන්නේ විචල්‍යයක් නොමැත. එවැනි අවස්ථාවන්හිදී, ප්රධාන නිර්ණායකය නිවැරදිව හා ප්රවේශමෙන් ලිවීම ඉතා වැදගත් වේ:
- නැතිවූ විචල්‍යයන් වෙනුවට ශුන්‍ය යොදනු ලැබේ.
මාර්ගය වන විට, සැලකිය යුතු තරම් අඩු ගණනය කිරීම් ඇති බැවින්, ශුන්‍යය පිහිටා ඇති පේළියේ (තීරුවේ) ශුන්‍ය සහිත නිර්ණායක විවෘත කිරීම තාර්කික ය.

උදාහරණ 10

Cramer's සූත්‍ර භාවිතයෙන් පද්ධතිය විසඳන්න.

මෙය ස්වයං-විසඳුම් සඳහා උදාහරණයකි (පාඩමේ අවසානයේ නියැදිය සහ පිළිතුර අවසන් කිරීම).

නොදන්නා 4 ක් සහිත සමීකරණ 4 ක පද්ධතියක් සඳහා, ක්‍රේමර්ගේ සූත්‍ර සමාන මූලධර්මවලට අනුව ලියා ඇත. Determinant Properties පාඩමේදී ඔබට සජීවී උදාහරණයක් දැකිය හැක. නිර්ණායකයේ අනුපිළිවෙල අඩු කිරීම - 4 වන අනුපිළිවෙල නිර්ණායක පහක් තරමක් විසඳිය හැකිය. කාර්යය දැනටමත් වාසනාවන්ත සිසුවෙකුගේ පපුව මත මහාචාර්යවරයෙකුගේ සපත්තුව ඉතා සිහිපත් කරයි.

ප්රතිලෝම න්යාසය භාවිතයෙන් පද්ධතියේ විසඳුම

ප්රතිලෝම න්යාස ක්රමය අත්යවශ්ය වේ විශේෂ අවස්ථාවක් matrix සමීකරණය(නිශ්චිත පාඩමේ උදාහරණ අංක 3 බලන්න).

මෙම කොටස අධ්‍යයනය කිරීම සඳහා, ඔබට නිර්ණායක පුළුල් කිරීමට, ප්‍රතිලෝම න්‍යාසය සොයා ගැනීමට සහ න්‍යාස ගුණ කිරීම සිදු කිරීමට හැකි විය යුතුය. පැහැදිලි කිරීම ඉදිරියට යන විට අදාළ සබැඳි ලබා දෙනු ඇත.

උදාහරණ 11

matrix ක්රමය සමඟ පද්ධතිය විසඳන්න

විසඳුමක්: අපි පද්ධතිය matrix ආකාරයෙන් ලියන්නෙමු:
, කොහෙද

කරුණාකර සමීකරණ පද්ධතිය සහ න්‍යාසය දෙස බලන්න. අපි මූලද්‍රව්‍ය න්‍යාස වලට ලියන්නේ කුමන මූලධර්මය අනුවද, මම හිතන්නේ සෑම කෙනෙකුටම තේරෙනවා. එකම අදහස: සමීකරණවල සමහර විචල්‍යයන් අතුරුදහන් වී ඇත්නම්, න්‍යාසයේ අනුරූප ස්ථානවල බිංදු දැමිය යුතුය.

අපි සූත්‍රය මගින් ප්‍රතිලෝම න්‍යාසය සොයා ගනිමු:
, න්‍යාසයේ අනුරූප මූලද්‍රව්‍යවල වීජීය අනුපූරකවල ප්‍රතිවර්තිත න්‍යාසය කොහිද?

පළමුව, අපි නිර්ණායකය සමඟ කටයුතු කරමු:

මෙහිදී නිර්ණායකය පළමු පේළිය මගින් පුළුල් වේ.

අවධානය! නම් , එවිට ප්‍රතිලෝම න්‍යාසය නොපවතී, සහ න්‍යාස ක්‍රමය මගින් පද්ධතිය විසඳිය නොහැක. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, පද්ධතිය නොදන්නා දේ ඉවත් කිරීම (Gauss ක්රමය) මගින් විසඳනු ලැබේ.

දැන් ඔබට බාල වයස්කරුවන් 9 ක් ගණනය කර ඒවා බාල වයස්කරුවන්ගේ අනුකෘතියට ලිවිය යුතුය

යොමුව:රේඛීය වීජ ගණිතයේ ද්විත්ව උපසිරසි වල තේරුම දැන ගැනීම ප්රයෝජනවත් වේ. පළමු ඉලක්කම් යනු මූලද්රව්යය පිහිටා ඇති රේඛා අංකයයි. දෙවන ඉලක්කම් යනු මූලද්රව්යය පිහිටා ඇති තීරුවේ අංකයයි:

එනම්, ද්විත්ව උපසිරසියකින් පෙන්නුම් කරන්නේ මූලද්‍රව්‍යය පළමු පේළියේ, තුන්වන තීරුවේ වන අතර, උදාහරණයක් ලෙස, මූලද්‍රව්‍යය 3 වන පේළියේ, 2 වන තීරුවේ ඇති බවයි.

මාතෘකාව 2. රේඛීය වීජීය සමීකරණ පද්ධති.

මූලික සංකල්ප.

අර්ථ දැක්වීම 1. පද්ධතියක් එම්සමඟ රේඛීය සමීකරණ nනොදන්නා පෝරමයේ පද්ධතියකි:

කොහෙද සහ අංක.

අර්ථ දැක්වීම 2. පද්ධතියේ විසඳුම (I) එවැනි නොදන්නා කට්ටලයක් වන අතර, මෙම පද්ධතියේ සෑම සමීකරණයක්ම අනන්යතාවයක් බවට පත් වේ.

අර්ථ දැක්වීම 3. පද්ධතිය (I) ලෙස හැඳින්වේ ඒකාබද්ධඑයට අවම වශයෙන් එක් විසඳුමක් තිබේ නම් සහ නොගැලපෙනඑයට විසඳුම් නොමැති නම්. ඒකාබද්ධ පද්ධතිය ලෙස හැඳින්වේ සමහරඑය අද්විතීය විසඳුමක් තිබේ නම්, සහ අවිනිශ්චිතඑසේ නොමැති නම්.

අර්ථ දැක්වීම 4. සමීකරණය වර්ගය

කියලා ශුන්ය, සහ පෝරමයේ සමීකරණයක්

කියලා නොගැලපෙන. පැහැදිලිවම, නොගැලපෙන සමීකරණයක් අඩංගු සමීකරණ පද්ධතියක් නොගැලපේ.

අර්ථ දැක්වීම 5. රේඛීය සමීකරණ පද්ධති දෙක හැඳින්වේ සමානඑක් පද්ධතියක සෑම විසඳුමක්ම තවත් විසඳුමක් නම් සහ අනෙක් අතට, දෙවන පද්ධතියේ සෑම විසඳුමක්ම පළමු විසඳුම වේ.

රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියක් සඳහා අනුකෘති අංකනය.

පද්ධතිය (I) සලකා බලන්න (§1 බලන්න).

දක්වන්න:

නොදන්නා අය සඳහා සංගුණක අනුකෘතිය

Matrix - නිදහස් සාමාජිකයින්ගේ තීරුව

Matrix - නොදන්නා තීරුව

.

අර්ථ දැක්වීම 1.අනුකෘතිය ලෙස හැඳින්වේ පද්ධතියේ ප්රධාන අනුකෘතිය(I), සහ න්‍යාසය යනු පද්ධතියේ (I) වැඩි කළ න්‍යාසයයි.

අනුකෘති සමානාත්මතාවයේ නිර්වචනය අනුව, පද්ධතිය (I) අනුකෘති සමානාත්මතාවයට අනුරූප වේ:

.

දකුණු පැත්තන්‍යාසවල ගුණිතයේ නිර්වචනය අනුව මෙම සමානාත්මතාවය ( අර්ථ දැක්වීම බලන්න 3 § 5 පරිච්ඡේදය 1) සාධකගත කළ හැක:

, i.e.

සමානාත්මතාවය (2) කියලා පද්ධතියේ අනුකෘති අංකනය (I).

ක්‍රේමර්ගේ ක්‍රමය මගින් රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියක් විසඳීම.

පද්ධතියට ඉඩ දෙන්න (I) (§1 බලන්න) m=n, i.e. සමීකරණ ගණන නොදන්නා සංඛ්‍යාවට සමාන වන අතර පද්ධතියේ ප්‍රධාන න්‍යාසය පරිහානියට පත් නොවේ, i.e. . එවිට පද්ධතිය (I) §1 සිට අද්විතීය විසඳුමක් ඇත

කොහෙද ∆ = ඒප්රධාන ලෙස හැඳින්වේ පද්ධති නිර්ණායකය(I), ∆ මමආදේශ කිරීම මගින් නිර්ණායක Δ වෙතින් ලබා ගනී මමපද්ධතියේ නිදහස් සාමාජිකයින්ගේ තීරුව වෙත -වන තීරුව (I).

උදාහරණය Cramer ගේ ක්‍රමය මගින් පද්ධතිය විසඳන්න:

.

සූත්‍ර මගින් (3) .

අපි පද්ධතියේ නිර්ණායක ගණනය කරමු:

,

,

.

නිර්ණායකය ලබා ගැනීම සඳහා, අපි නිර්ණායකයේ පළමු තීරුව නිදහස් සාමාජිකයින්ගේ තීරුවකින් ප්‍රතිස්ථාපනය කර ඇත; නිර්ණායකයේ 2 වන තීරුව නිදහස් සාමාජිකයින්ගේ තීරුවක් සමඟ ප්රතිස්ථාපනය කිරීම, අපි ලබා ගනිමු; ඒ හා සමානව, නිර්ණායකයේ 3 වන තීරුව නිදහස් සාමාජිකයින්ගේ තීරුවක් සමඟ ප්‍රතිස්ථාපනය කිරීමෙන්, අපි ලබා ගනිමු . පද්ධති විසඳුම:

ප්‍රතිලෝම න්‍යාසයක් භාවිතයෙන් රේඛීය සමීකරණ පද්ධති විසඳීම.

පද්ධතියට ඉඩ දෙන්න (I) (§1 බලන්න) m=nසහ පද්ධතියේ ප්‍රධාන අනුකෘතිය පරිහානියට පත් නොවේ. අපි පද්ධතිය (I) ලියන්නේ matrix ආකාරයෙන් ( §2 බලන්න):

නිසා matrix ඒපරිහානියට පත් නොවේ, එවිට එයට ප්‍රතිලෝම න්‍යාසයක් ඇත ( 1 වන පරිච්ඡේදයේ ප්‍රමේයය 1 §6 බලන්න) සමීකරණයේ දෙපැත්තම ගුණ කරන්න (2) matrix වෙත, පසුව

ප්රතිලෝම න්යාසයේ නිර්වචනය අනුව . සමානාත්මතාවයෙන් (3) අපිට තියනවා

ප්රතිලෝම අනුකෘතිය භාවිතයෙන් පද්ධතිය විසඳන්න

.

දක්වන්න

උදාහරණයේ (§ 3) අපි නිර්ණායකය ගණනය කළෙමු, එබැවින්, අනුකෘතිය ඒප්රතිලෝම න්යාසයක් ඇත. එවිට බලාත්මක (4) , i.e.

. (5)

අනුකෘතිය සොයන්න ( §6 1 පරිච්ඡේදය බලන්න)

, , ,

, , ,

,

.

Gauss ක්රමය.

රේඛීය සමීකරණ පද්ධතිය ලබා දෙන්න:

. (මම)

පද්ධතියේ (I) සියලුම විසඳුම් සෙවීමට හෝ පද්ධතිය නොගැලපෙන බව තහවුරු කර ගැනීමට අවශ්‍ය වේ.

අර්ථ දැක්වීම 1.අපි පද්ධතියේ මූලික පරිවර්තනය ලෙස හඳුන්වමු(I) ක්‍රියා තුනෙන් ඕනෑම එකක්:

1) ශුන්ය සමීකරණය මකා දැමීම;

2) සමීකරණයේ කොටස් දෙකටම අනෙක් සමීකරණයේ අනුරූප කොටස් එකතු කිරීම, l අංකයෙන් ගුණ කිරීම;

3) සියලුම සමීකරණවල එකම සංඛ්‍යා ඇති නොදන්නා අය එකම ස්ථාන හිමි වන පරිදි පද්ධතියේ සමීකරණවල පද මාරු කිරීම, i.e. උදාහරණයක් ලෙස, 1 වන සමීකරණයේදී අපි 2 වන සහ 3 වන පද වෙනස් කළේ නම්, පද්ධතියේ සියලුම සමීකරණවලදී එයම කළ යුතුය.

Gauss ක්‍රමය සමන්විත වන්නේ ප්‍රාථමික පරිවර්තනවල ආධාරයෙන් පද්ධතිය (I) සමාන පද්ධතියකට අඩු කර ඇති අතර, එහි විසඳුම සෘජුවම සොයා ගැනීම හෝ එහි නොවිසඳීමේ හැකියාව ස්ථාපිත කර ඇත.

§2 හි විස්තර කර ඇති පරිදි, පද්ධතිය (I) එහි විස්තීරණ න්‍යාසය මගින් අනන්‍ය ලෙස තීරණය කරනු ලබන අතර, පද්ධතියේ (I) ඕනෑම මූලික පරිවර්තනයක් විස්තීරණ න්‍යාසයේ මූලික පරිවර්තනයකට අනුරූප වේ:

.

පරිවර්තනය 1) අනුකෘතියේ ශුන්‍ය පේළිය මැකීමට අනුරූප වේ, පරිවර්තනය 2) අනුකෘතියේ අනුරූප පේළියට එකතු කිරීමට සමාන වේ, එහි අනෙක් පේළිය l අංකයෙන් ගුණ කළ විට, පරිවර්තනය 3) න්‍යාසයේ තීරු නැවත සකස් කිරීමට සමාන වේ.

ඊට පටහැනිව, න්‍යාසයේ සෑම මූලික පරිවර්තනයක්ම පද්ධතියේ (I) මූලික පරිවර්තනයකට අනුරූප වන බව දැකීම පහසුය. පවසා ඇති දේ අනුව, පද්ධතිය (I) සමඟ මෙහෙයුම් වෙනුවට, අපි මෙම පද්ධතියේ වර්ධක අනුකෘතිය සමඟ වැඩ කරන්නෙමු.

අනුකෘතියේ, 1 වන තීරුව සංගුණක වලින් සමන්විත වේ x 1, 2 වන තීරුව - හි සංගුණක වලින් x 2ආදිය තීරු නැවත සකස් කිරීමේදී, මෙම කොන්දේසිය උල්ලංඝනය වන බව සැලකිල්ලට ගත යුතුය. උදාහරණයක් ලෙස, අපි 1 වන සහ 2 වන තීරු මාරු කරන්නේ නම්, දැන් 1 වන තීරුවේ සංගුණක ඇත x 2, සහ 2 වන තීරුවේ - සංගුණක at x 1.

අපි Gauss ක්රමය මගින් පද්ධතිය (I) විසඳන්නෙමු.

1. න්‍යාසයේ ඇති සියලුම ශුන්‍ය පේළි තිබේ නම් ඒවා හරස් කරන්න (එනම්, පද්ධතියේ (I) සියලුම ශුන්‍ය සමීකරණ හරස් කරන්න.

2. අනුකෘතියේ පේළි අතර පේළියක් තිබේදැයි පරීක්ෂා කරන්න, එහි අවසාන එක හැර අනෙකුත් සියලුම මූලද්‍රව්‍ය ශුන්‍යයට සමාන වේ (එවැනි පේළියක් නොගැලපෙන ලෙස හඳුන්වමු). නිසැකවම, එවැනි රේඛාවක් පද්ධතියේ (I) නොගැලපෙන සමීකරණයකට අනුරූප වේ, එබැවින් පද්ධතියට (I) විසඳුම් නොමැත, සහ ක්‍රියාවලිය අවසන් වන්නේ මෙයයි.

3. අනුකෘතියේ නොගැලපෙන පේළි අඩංගු නොවේවා (පද්ධතිය (I) නොගැලපෙන සමීකරණ අඩංගු නොවේ). අ a 11 =0, එවිට අපි 1 වන පේළියේ ශුන්‍යයට වඩා වෙනස් වූ යම් මූලද්‍රව්‍යයක් (අවසාන එක හැර) සොයාගෙන 1 වන ස්ථානයේ 1 වන පේළියේ බිංදුවක් නොමැති වන පරිදි තීරු නැවත සකස් කරමු. අපි දැන් උපකල්පනය කරන්නේ (එනම්, අපි පද්ධතියේ (I) සමීකරණවල අනුරූප නියමයන් මාරු කරමු).

4. 1 වන පේළිය ගුණ කර ප්රතිඵලය 2 වන පේළියට එකතු කරන්න, ඉන්පසු 1 වන පේළිය ගුණ කර ප්රතිඵලය 3 වන පේළියට එකතු කරන්න, ආදිය. නිසැකවම, මෙම ක්රියාවලිය නොදන්නා දේ ඉවත් කිරීමට සමාන වේ x 1පද්ධතියේ (I) සියලුම සමීකරණ වලින්, 1 හැර. නව න්‍යාසයේදී, මූලද්‍රව්‍යය යටතේ 1 වන තීරුවේ අපට ශුන්‍ය ලැබේ a 11:

.

5. න්‍යාසයේ ඇති සියලුම ශුන්‍ය පේළි හරස් කරන්න, තිබේ නම්, නොගැලපෙන පේළියක් තිබේදැයි පරීක්ෂා කරන්න (එසේ නම්, පද්ධතිය නොගැලපෙන අතර විසඳුම එතැනින් අවසන් වේ). දැයි පරීක්ෂා කර බලමු a 22 / =0, ඔව් නම්, අපි 2 වන පේළියේ ශුන්‍යයට වඩා වෙනස් මූලද්‍රව්‍යයක් සොයාගෙන තීරු නැවත සකස් කරමු. ඊළඟට, අපි 2 වන පේළියේ මූලද්රව්ය ගුණ කරමු සහ 3 වන පේළියේ අනුරූප මූලද්‍රව්‍ය සමඟ එකතු කරන්න, ඉන්පසු - 2 වන පේළියේ මූලද්‍රව්‍ය ක්‍රියාත්මක කර 4 වන පේළියේ අනුරූප මූලද්‍රව්‍ය සමඟ එකතු කරන්න, යනාදිය, අපට ශුන්‍ය ලැබෙන තෙක්. a 22 /

.

සිදු කරන ලද ක්‍රියාවන් නොදන්නා දේ ඉවත් කිරීමට සමාන වේ x 2 1 සහ 2 හැර පද්ධතියේ (I) සියලුම සමීකරණ වලින්. පේළි ගණන සීමිත බැවින්, සීමිත පියවර ගණනකට පසුව, එක්කෝ පද්ධතිය නොගැලපෙන බව අපට ලැබෙනු ඇත, නැතහොත් අපි පියවර න්‍යාසයකට පැමිණෙමු ( නිර්වචනය 2 §7 පරිච්ඡේදය 1 බලන්න) :

,

අපි න්‍යාසයට අනුරූප සමීකරණ පද්ධතිය ලියන්නෙමු. මෙම පද්ධතිය පද්ධතියට සමාන වේ (I)

.

අපි ප්රකාශ කරන අවසාන සමීකරණයෙන්; අපි ලබා ගන්නා තෙක් අපි පෙර සමීකරණයට ආදේශ කරමු, සොයන්න, ආදිය.

සටහන 1.මේ අනුව, Gauss ක්‍රමය මඟින් පද්ධතිය (I) විසඳන විට, අපි පහත අවස්ථා වලින් එකකට පැමිණෙමු.

1. පද්ධතිය (I) නොගැලපේ.

2. අනුකෘතියේ පේළි ගණන නොදන්නා () ගණනට සමාන නම් පද්ධතියට (I) අද්විතීය විසඳුමක් ඇත.

3. න්‍යාසයේ ඇති පේළි සංඛ්‍යාව නම් පද්ධතියට (I) අසීමිත විසඳුම් සංඛ්‍යාවක් ඇත සංඛ්යාවට වඩා අඩුයනොදන්නා().

එබැවින් පහත ප්‍රමේයය දරයි.

ප්රමේයය.රේඛීය සමීකරණ පද්ධතිය නොගැලපේ, නැතහොත් අද්විතීය විසඳුමක් ඇත, නැතහොත් අසීමිත විසඳුම් සමූහයක් ඇත.

උදාහරණ. Gauss ක්‍රමය මගින් සමීකරණ පද්ධතිය විසඳන්න හෝ එහි නොගැලපීම ඔප්පු කරන්න:

බී) ;

අ) අපි ලබා දී ඇති පද්ධතිය පෝරමයේ නැවත ලියමු:

.

ගණනය කිරීම් සරල කිරීම සඳහා අපි මුල් පද්ධතියේ 1 වන සහ 2 වන සමීකරණ මාරු කළෙමු (භාග වෙනුවට, අපි එවැනි ප්‍රගමනයක් භාවිතා කරමින් පූර්ණ සංඛ්‍යා සමඟ පමණක් ක්‍රියා කරමු).

අපි පුළුල් කළ අනුකෘතියක් සම්පාදනය කරමු:

.

ශුන්‍ය රේඛා නොමැත; නොගැලපෙන රේඛා නැත, ; 1 වෙනි එක හැර, පද්ධතියේ සියලුම සමීකරණ වලින් අපි නොදන්නා 1 වෙනි එක බැහැර කරමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි න්‍යාසයේ 1 වන පේළියේ මූලද්‍රව්‍ය "-2" මගින් ගුණ කර ඒවා 2 වන පේළියේ අනුරූප මූලද්‍රව්‍යවලට එකතු කරමු, එය 1 වන සමීකරණය "-2" න් ගුණ කර එය එකතු කිරීමට සමාන වේ. 2 වන සමීකරණය. ඉන්පසුව අපි 1 වන පේළියේ මූලද්රව්ය "-3" මගින් ගුණ කර තුන්වන පේළියේ අනුරූප මූලද්රව්ය වලට එකතු කරන්න, i.e. ලබා දී ඇති පද්ධතියේ 2 වන සමීකරණය "-3" මගින් ගුණ කර එය 3 වන සමීකරණයට එක් කරන්න. ලබාගන්න

.

අනුකෘතිය සමීකරණ පද්ධතියකට අනුරූප වේ). - (1 පරිච්ඡේදයේ 3 § 7 අර්ථ දැක්වීම බලන්න).