අනුක්රමික ක්රම. ගණිතමය ප්‍රශස්තිකරණ ගැටළු වල ශ්‍රේණිගත ක්රම පිළිබඳ දළ විශ්ලේෂණය
ක්රමය පදනම් වී ඇත්තේ සූත්‍රයේ පහත පුනරාවර්තන වෙනස් කිරීම මත ය
x k +1 = x k + a k s(x k),
x k+1 = x k - a k Ñ f(x k), කොහෙද
a - ලබා දී ඇති ධනාත්මක සංගුණකය;
Ñ f(x k) - අනුක්‍රමණය වෛෂයික කාර්යයපළමු නියෝගය.
අඩුපාඩු:
හි සුදුසු අගයක් තෝරාගැනීමේ අවශ්යතාව;
මෙම ලක්ෂ්යය ආසන්නයේ f(x k) හි කුඩා බව හේතුවෙන් අවම ලක්ෂ්යයට සෙමින් අභිසාරී වීම.
දැඩිම බැසීමේ ක්රමය
සරලම පළමු දෝෂයෙන් නිදහස් Gradient ක්රමය, නිසා a k ගණනය කරනු ලබන්නේ Ñ f(x k) දිශාව ඔස්සේ Ñ f(x k) දිශාව ඔස්සේ x k+1 = x k - a k Ñ f(x k) යන ඒකමාන ප්‍රශස්තකරණ ක්රම වලින් එකක් භාවිතා කිරීමෙනි.
මෙම ක්රමය සමහර විට Cauchy ක්රමය ලෙස හැඳින්වේ.
ඇල්ගොරිතම ප්‍රායෝගික ගැටළු විසඳීමේදී අඩු අභිසාරී අනුපාතයකින් සංලක්ෂිත වේ. විචල්‍යවල වෙනස සෘජුවම රඳා පවතින්නේ අවම ලක්ෂ්යය ආසන්නයේ ශුන්‍යයට නැඹුරු වන ශ්රේණියේ විශාලත්වය මත වන අතර අවසාන පුනරාවර්තන වලදී ත්වරණ යාන්ත්‍රණයක් නොමැති බව මෙය පැහැදිලි කරයි. එබැවින්, ඇල්ගොරිතමයේ ස්ථායීතාවය සැලකිල්ලට ගනිමින්, විසඳුම සොයා ගැනීම සඳහා මූලික ක්රියා පටිපාටිය ලෙස බොහෝ විට භාවිතා කරනුයේ බෑවුම් සහිත බැසීමේ ක්රමයයි (අවම ලක්ෂයේ සිට සැලකිය යුතු දුරකින් පිහිටා ඇති ස්ථාන වලින්).
සංයුජ දිශා ක්රමය
බාධාවකින් තොරව රේඛීය නොවන ක්‍රමලේඛනයේ සාමාන්ය ගැටළුව පහත දැක්වේ: f(x), x E n අවම කිරීම, එහිදී f(x) යනු වෛෂයික ශ්රිතය වේ. මෙම ගැටළුව විසඳන විට, f(x *)=0 සමීකරණය මගින් නිර්වචනය කරන ලද f(x) නිශ්චල ලක්ෂ්‍යයකට තුඩු දෙන අවම කිරීමේ ක්රම අපි භාවිතා කරමු. සංයුජ දිශා ක්රමය යනු ව්‍යුත්පන්න භාවිතා කරන අසීමිත අවම කිරීමේ ක්රම වේ. කාර්යය: f(x), x E n අවම කිරීම, f(x) යනු n ස්වාධීන විචල්‍යවල වෛෂයික ශ්‍රිතයයි. වැදගත් අංගයක්දිශාව තෝරාගැනීමේදී, ප්‍රතිචාර පෘෂ්ඨයේ ස්ථල විද්‍යාවේ ප්රදේශය විස්තර කරන හෙසියන් අනුකෘතිය භාවිතා කරන බැවින් වේගයෙන් අභිසාරී වේ. විශේෂයෙන්, වෛෂයික ශ්රිතය චතුරස්‍ර නම්, අවම ලක්ෂ්යය ගැටලුවේ මානයට සමාන පියවර ගණනකට වඩා වැඩි ගණනකින් ලබා ගත නොහැක.
ක්රමය ප්‍රායෝගිකව යෙදීම සඳහා, දිශා පද්ධතියේ අභිසාරීතාවය සහ රේඛීය ස්වාධීනත්වය පරීක්ෂා කිරීමේ ක්රියා පටිපාටි සමඟ එය අතිරේක කළ යුතුය. දෙවන අනුපිළිවෙල ක්රම
නිව්ටන්ගේ ක්රමය
චතුරස්‍ර ආසන්න යෝජනා ක්රමයේ අනුප්‍රාප්තික යෙදුම සූත්‍රයට අනුව නිව්ටන්ගේ ප්‍රශස්තිකරණ ක්රමය ක්‍රියාත්මක කිරීමට හේතු වේ.
x k +1 = x k - Ñ 2 f(x k -1) Ñ f(x k).
නිව්ටන්ගේ ක්රමයේ අවාසිය නම් චතුරස්‍ර නොවන වෛෂයික ශ්‍රිතයන් ප්රශස්ත කිරීමේදී එහි ප්රමාණවත් විශ්වසනීයත්වය නොවේ. එබැවින්, එය බොහෝ විට වෙනස් වේ:
x k +1 = x k - a k Ñ 2 f(x k -1) Ñ f(x k), කොහෙද
a k යනු f(x k+1) min ලෙස තෝරාගත් පරාමිතියකි.
2. සීමාවකින් තොරව ශ්‍රිතයක අන්තය සොයා ගැනීම
සමහර ශ්රිතය f(x) x තර්කයේ වෙනසෙහි විවෘත පරතරයක් (a, c) මත ලබා දී ඇත. මෙම පරතරය තුළ exst පවතින බව අපි උපකල්පනය කරමු (සාමාන්ය අවස්ථාවෙහිදී, මෙය ගණිතමය වශයෙන් කල්තියා ප්‍රකාශ කළ නොහැකි බව පැවසිය යුතුය; කෙසේ වෙතත්, තාක්ෂණික යෙදුම්වල, තර්ක විචල්‍යයේ විචලනයේ යම් කාල පරතරයක් තුළ බොහෝ විට ext පැවතීම භෞතික සලකා බැලීම් වලින් පරතරය පුරෝකථනය කළ හැකිය).
ext හි අර්ථ දැක්වීම. අන්තරය (a, c) මත ලබා දී ඇති f (x) ශ්රිතය x * max (min) ලක්ෂ්යයේ ඇත, මෙම ලක්ෂ්යය එවැනි අන්තරයකින් වට කළ හැකි නම් (x * -ε, x * + ε) අන්තරය (a, c) , අන්තරයට (x * -ε, x * +ε) අයත් එහි සියලුම ලක්ෂ්‍ය x සඳහා පහත අසමානතාවය පවතී:
f(x) ≤ f(x *) → max සඳහා
f(x) ≥ f(x *) → විනාඩි සඳහා
මෙම නිර්වචනය f(x) ශ්‍රිත පන්තියට කිසිදු සීමාවක් පනවන්නේ නැත, එය ඇත්තෙන්ම ඉතා වටිනා ය.
අපි f(x) ශ්‍රිත සඳහා තරමක් පොදු, නමුත් තවමත් පටු සුමට ශ්‍රිත පන්තියකට සීමා වන්නේ නම් (සුමුදු ශ්‍රිත වලින් අප අදහස් කරන්නේ තර්කයේ වෙනස් වීමේ විරාමය මත ඒවායේ ව්‍යුත්පන්නයන් සමඟ අඛණ්ඩව පවතින ශ්‍රිතයන්ය), එවිට අපට හැකිය exst හි පැවැත්ම සඳහා අවශ්ය කොන්දේසි සපයන ෆර්මැට්ගේ ප්රමේයය භාවිතා කරන්න.
ෆර්මැට්ගේ ප්රමේයය. f(x) ශ්රිතය යම් අන්තරයක (a, b) අර්ථ දැක්වීමට ඉඩ හරින්න, මෙම පරතරයේ "c" ලක්ෂ්‍යයේදී එය විශාලතම (කුඩාම) අගය ගනී. මෙම අවස්ථාවේදී ද්වි-පාර්ශ්වික පරිමිත ව්‍යුත්පන්නයක් තිබේ නම්, exst හි පැවැත්ම අවශ්ය වේ.
සටහන. ද්වි-පාර්ශ්වික ව්‍යුත්පන්නය දේපල මගින් සංලක්ෂිත වේ, වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, ලක්ෂ්යය වන්නේ "c" ලක්ෂ්යයේ වමේ සහ දකුණේ සිට "c" ලක්ෂ්යයට ළඟා වන විට සීමාවේ ව්‍යුත්පන්නය සමාන වේ, එනම් f(x ) යනු සුමට කාර්යයකි.
* නඩුවේදී min සිදු වේ, සහ විට → max. අවසාන වශයෙන්, x=x 0 නම්, 2 වන ව්‍යුත්පන්නය භාවිතා කිරීම උදව් නොකරන අතර, උදාහරණයක් ලෙස, exst හි අර්ථ දැක්වීම භාවිතා කිරීමට ඔබට අවශ්ය වේ.
ගැටලුව I විසඳීමේදී, අවශ්ය කොන්දේසි exst (එනම්, ෆර්මැට්ගේ ප්රමේයය) බොහෝ විට භාවිතා වේ.
exst සමීකරණයට සැබෑ මූලයන් තිබේ නම්, මෙම මූලයන්ට අනුරූප වන ලක්ෂ්‍ය exst සඳහා සැක සහිත වේ (නමුත් අවශ්‍යයෙන්ම අන්තයන්ම නොවේ, මන්ද අප කටයුතු කරන්නේ අවශ්ය හා ප්රමාණවත් කොන්දේසි සමඟ නොවේ). එබැවින්, උදාහරණයක් ලෙස, විභේදන ලක්ෂ්‍යයේදී X p සිදු වේ, කෙසේ වෙතත්, ඔබ දන්නා පරිදි, මෙය අන්තයක් නොවේ.
අපි එය ද සටහන් කරමු:
සිට අවශ්ය කොන්දේසිඋපරිම හෝ අවම වශයෙන් කුමන ආකාරයේ අන්තයක් සොයා ගත්තේද යන්න පැවසිය නොහැක: මෙය තීරණය කිරීම සඳහා අමතර පර්යේෂණ අවශ්ය වේ;
මෙය ගෝලීය අන්තයක් ද නැතහොත් දේශීය එකක් ද යන්න අවශ්ය කොන්දේසි වලින් තීරණය කළ නොහැක.
එබැවින්, ext සඳහා සැක සහිත ලකුණු සොයාගත් විට, ඒවා අතිරේකව විමර්ශනය කරනු ලැබේ, උදාහරණයක් ලෙස, exst හෝ 2 වන ව්‍යුත්පන්නයේ නිර්වචනය මත පදනම්ව.
දේශනය 6
රේඛීය නොවන ක්‍රමලේඛන ගැටළු විසඳීම සඳහා අනුක්‍රමණ ක්රම.
ප්රශ්නය: 1. පොදු ලක්ෂණක්රම.
2. Gradient ක්රමය.
3. දැඩිම බැසීමේ ක්රමය.
4. Frank-Fulf ක්රමය.
5. දඬුවම් කාර්යයන් පිළිබඳ ක්රමය.
1. ක්රමවල පොදු ලක්ෂණ.
Gradient ක්රම යනු රේඛීය නොවන ක්‍රමලේඛන ගැටළුවක් විසඳීම සඳහා ආසන්න (පුනරාවර්තන) ක්රම වන අතර ඕනෑම ගැටළුවක් පාහේ විසඳීමට ඉඩ සලසයි. කෙසේ වෙතත්, මෙය නිර්වචනය කරයි දේශීය අන්තය. එබැවින්, සෑම දේශීය අන්තයක්ම ගෝලීය වන උත්තල ක්‍රමලේඛන ගැටළු විසඳීම සඳහා මෙම ක්රම යෙදීම සුදුසුය. ගැටළුව විසඳීමේ ක්‍රියාවලිය සමන්විත වන්නේ, x (ආරම්භක) ලක්ෂ්‍යයෙන් පටන් ගෙන, උපරිම ලක්ෂ්යය තීරණය කරන්නේ නම්, gradF (x) දිශාවට අනුක්රමික සංක්‍රාන්තියක් සිදු කරනු ලබන අතර, -gradF (x) (anti) -gradient), අවම ලක්ෂ්යය තීරණය කරන්නේ නම්, ගැටලුවට විසඳුම වන ලක්ෂ්යයට. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, මෙම ලක්ෂ්යය පිළිගත හැකි අගයන් පරාසය තුළ සහ එහි මායිම මත විය හැකිය.
Gradient ක්රම පන්ති දෙකකට බෙදිය හැකිය (කණ්ඩායම්). පළමු කණ්ඩායමට අධ්‍යයනය යටතේ ඇති සියලුම කරුණු පිළිගත හැකි ප්රදේශයට අයත් වන ක්රම ඇතුළත් වේ. මෙම ක්‍රමවලට ඇතුළත් වන්නේ: ශ්රේණියේ ක්රමය, ප්‍රපාතයෙන් බැසීමේ ක්රමය, ෆ්රෑන්ක්-වුල්ෆ් යනාදිය. දෙවන කණ්ඩායමට අධ්‍යයනයට ලක්වන ලකුණු අවසර ලත් ප්රදේශයට අයත් නොවිය හැකි ක්රම ඇතුළත් වේ. මෙම ක්රම අතුරින් වඩාත් සුලභ වන්නේ දඬුවම් ශ්‍රිත ක්රමයයි. දඬුවම් ශ්‍රිතවල සියලුම ක්රම "දඬුවම්" තීරණය කරන ආකාරය අනුව එකිනෙකට වෙනස් වේ.
සියලුම ශ්රේණියේ ක්රමවල භාවිතා වන ප්‍රධාන සංකල්පය වන්නේ ශ්රිතයේ වේගවත්ම වැඩිවීමේ දිශාව ලෙස ශ්‍රිතයක ශ්රේණියේ සංකල්පයයි.
ශ්‍රේණිගත ක්රම මගින් විසඳුම නිර්ණය කිරීමේදී, පුනරාවර්තන ක්‍රියාවලිය පහත දක්වා පවතී:
එක්කෝ ශ්රේණියේ F(x*) = 0, (නියම විසඳුම);
කොහෙද 
- අඛණ්ඩ ලකුණු දෙකක්, 
විසඳුමේ නිරවද්‍යතාවය සංලක්ෂිත කුඩා සංඛ්‍යාවකි.
2. Gradient ක්රමය.
පහළට (පහළට) යා යුතු මිටියාවතක බෑවුමක සිටගෙන සිටින පුද්ගලයෙකු සිතන්න. වඩාත්ම ස්වාභාවික, පෙනෙන පරිදි, බෑවුමේ බෑවුම දෙසට දිශාව, i.e. දිශාව (-grad F(x)). එහි ප්රතිඵලයක් වශයෙන් උපාය මාර්ගය ලෙස හැඳින්වේ Gradient ක්රමය, යනු පියවර අනුපිළිවෙලකි, ඒ සෑම එකක්ම මෙහෙයුම් දෙකක් අඩංගු වේ:
a) බැසීමේ (නැග්ම) විශාලතම බෑවුමේ දිශාව තීරණය කිරීම;
b) යම් පියවරකින් තෝරාගත් දිශාවට ගමන් කරන්න.
නිවැරදි පියවර තෝරා ගැනීම අත්යවශ්ය වේ. කුඩා පියවර, වඩාත් නිවැරදි ප්රතිඵලය, නමුත් වැඩි ගණනය කිරීම්. ශ්රේණියේ ක්රමයේ විවිධ වෙනස් කිරීම් පියවර තීරණය කිරීම සඳහා විවිධ ක්රම භාවිතා කිරීම සමන්විත වේ. කිසියම් පියවරකදී F(x) හි අගය අඩු වී නොමැති නම්, මෙයින් අදහස් කරන්නේ අවම ලක්ෂ්යය “මඟ හැර දමා” ඇති බවයි, මෙම අවස්ථාවේදී පෙර ලක්ෂ්යයට ආපසු ගොස් පියවර අඩකින් අඩු කිරීම අවශ්ය වේ.
විසඳුම් යෝජනා ක්රමය.
අවසර ලත් ප්රදේශයට අයත් වේ
3. පියවර තේරීම h.
x(k+1) = x(k) 
"-" - විනාඩි නම්.
5. F(x (k +1)) හි අර්ථ දැක්වීම සහ:
අ 
, විසඳුම සොයාගෙන ඇත;
අදහස් දක්වන්න.ශ්‍රේණිය F(x (k)) = 0 නම්, විසඳුම නිවැරදි වනු ඇත.
උදාහරණයක්. F(x) = -6x 1 + 2x 1 2 – 2x 1 x 2 + 2x 2 2 
විනාඩි,
x1 +x2 
2x1 
0,x2 
0,
= 0,1.
3. දැඩිම බැසීමේ ක්රමය.
සෑම පියවරකදීම අනුක්‍රමණය තීරණය කරන ශ්රේණියේ ක්රමය මෙන් නොව, ප්‍රපාතයෙන් බැසීමේ ක්‍රමයේදී, ආරම්භක ලක්ෂ්යයේ දී ශ්‍රේණිය සොයා ගන්නා අතර, ශ්රිතයේ අගය අඩු වන තෙක් (වැඩිවෙන) සොයා ගත් දිශාවේ චලනය සමාන පියවරකින් ඉදිරියට යයි. ) කිසියම් පියවරකදී F(x) වැඩි වී තිබේ නම් (අඩු වී ඇත), එවිට මෙම දිශාවේ චලනය නතර වේ, අවසාන පියවර සම්පූර්ණයෙන්ම හෝ අඩකින් ඉවත් කර නව අනුක්‍රමණ අගයක් සහ නව දිශාවක් ගණනය කෙරේ.
විසඳුම් යෝජනා ක්රමය.
1. අර්ථ දැක්වීම x 0 \u003d (x 1, x 2, ..., x n),
අවසර ලත් ප්රදේශයට අයත්,
සහ F(x 0), k = 0.
2. gradF(x 0) හෝ –gradF(x 0) අර්ථ දැක්වීම.
3. පියවර තේරීම h.
4. සූත්රය මගින් ඊළඟ කරුණ තීරණය කිරීම
x(k+1) = x(k) 
h උපාධිය F(x (k)), "+" - උපරිම නම්,
"-" - විනාඩි නම්.
5. F(x (k +1)) හි අර්ථ දැක්වීම සහ:
අ 
, විසඳුම සොයාගෙන ඇත;
එසේ නොවේ නම්:
අ) විනාඩි සඳහා සොයන විට: - F(x (k +1)) නම් F(x (k +1)) >F(x (k)) නම් - අයිතම 2 වෙත යන්න; b) max සඳහා සොයන විට: - F(x (k +1)) >F(x (k)) නම් – පියවර 4 වෙත යන්න; F(x (k + 1)) නම් සටහන්: 1. ශ්‍රේණිය F(x (k)) = 0 නම්, විසඳුම නිවැරදි වනු ඇත. 2. බෑවුම් සහිත බැසීමේ ක්රමයේ වාසිය එහි සරලත්වය සහ F(x) ශ්‍රේණිය සියලු ලක්ෂ්‍යවලදී ගණනය නොකරන බැවින් ගණනය කිරීම් අඩු කිරීම මහා පරිමාණ ගැටළු සඳහා වැදගත් වේ. 3. අවාසිය නම් පියවර නොවීමට කුඩා විය යුතුය ප්රශස්ත ලක්ෂ්යය මඟ හරින්න. උදාහරණයක්. F(x) \u003d 3x 1 - 0.2x 1 2 + x 2 - 0.2x 2 2 x 1 + x 2 x1 + 2x2 4. ෆ්රෑන්ක්-වුල්ෆ් ක්රමය. රේඛීය සීමාවන් යටතේ රේඛීය නොවන වාස්තවික ශ්රිතයක් ප්රශස්ත කිරීමට ක්රමය භාවිතා කරයි. අධ්‍යයනයට ලක්වන ලක්ෂ්යය ආසන්නයේ දී, රේඛීය නොවන වෛෂයික ශ්රිතය රේඛීය ශ්රිතයක් මඟින් ප්‍රතිස්ථාපනය වන අතර, ගැටළුව රේඛීය ක්‍රමලේඛන ගැටළු සඳහා අනුක්රමික විසඳුමක් දක්වා අඩු වේ. විසඳුම් යෝජනා ක්රමය. 1. නිර්ණය x 0 = (x 1, x 2,..., x n), පිළිගත හැකි ප්රදේශයට අයත්, සහ F(x 0), k = 0. 2. ශ්රේණියේ F(x (k)) අර්ථ දැක්වීම. 3. කාර්යයක් ගොඩනඟන්න 4. ආරම්භක සීමාවන් යටතේ උපරිම(min)f(x) නිර්ණය කිරීම. මෙය z (k) ලක්ෂ්යය වේවා . 5. ගණනය කිරීමේ පියවර තීරණය කිරීම x (k +1) = x (k) + 6. F(x (k +1)) නිර්ණය කිරීම සහ වැඩිදුර ගණනය කිරීම් සඳහා අවශ්‍යතාවය පරීක්ෂා කරන්න: අ එසේ නොවේ නම්, පියවර 2 වෙත යන්න. උදාහරණයක්. F(x) = 4x 1 + 10x 2 –x 1 2 –x 2 2 x1 +x2 x2 5. දඬුවම් කාර්යයන් පිළිබඳ ක්රමය. F(x 1 ,x 2 ,...,x n) සොයා ගැනීමට අවශ්ය වේ g i (x 1 , x 2 ,…,x n) F සහ g i යන ශ්‍රිත උත්තල හෝ අවතල වේ. දඬුවම් ශ්‍රිත ක්රමයේ අදහස වන්නේ මුල් වෛෂයික ශ්රිතයේ එකතුව වන Q(x) = F(x) + H(x) නව වෛෂයික ශ්රිතයේ ප්රශස්ත අගය සොයා ගැනීම සහ H(x ) සීමාවන් පද්ධතිය විසින් තීරණය කරනු ලබන අතර දඬුවම් ශ්රිතය ලෙස හැඳින්වේ. දඬුවම් කාර්යයන් ගොඩනඟා ඇත්තේ පිළිගත හැකි කලාපයට ඉක්මන් ආපසු යාමක් හෝ එයින් පිටවීමේ නොහැකියාව සහතික කිරීම සඳහා ය. දඬුවම් ක්‍රියාවන්ගේ ක්රමය කොන්දේසි විරහිත අන්තයක් සඳහා වන ගැටළු මාලාවක් විසඳීමට කොන්දේසි සහිත අන්ත ගැටලුව අඩු කරයි, එය සරල ය. දඬුවම් ශ්රිතයක් ගොඩනැගීමට බොහෝ ක්රම තිබේ. බොහෝ විට එය පෙනෙන්නේ: H(x) = කොහෙද සටහන: අඩුයි විසඳුම කුඩා ලෙස ආරම්භ කරන්න දඬුවම් ශ්රිතයක් භාවිතා කරමින්, පිළිගත හැකි විසඳුමක් ලබා ගන්නා තෙක් එක් ස්ථානයක සිට තවත් ස්ථානයකට අනුපිළිවෙලින් ගමන් කරයි. විසඳුම් යෝජනා ක්රමය. 1. ආරම්භක ලක්ෂ්යය x 0 \u003d (x 1, x 2, ..., x n), F (x 0) සහ k \u003d 0 නිර්ණය කිරීම. 2. ගණනය කිරීමේ පියවර h තෝරන්න. 3. අර්ධ ව්‍යුත්පන්න නිර්වචනය කරන්න 4. සූත්රය මගින් ඊළඟ ලක්ෂ්යයේ ඛණ්ඩාංක තීරණය කරන්න: x j (k+1) 5. x (k+1) නම් එහෙම වුණොත් මොකක්ද b) ශ්‍රේණිය F(x (k + 1)) = 0 නම්, නිවැරදි විසඳුම සොයාගත හැකිය. x(k+1) නම් උදාහරණයක්. F(x) = – x 1 2 – x 2 2 (x 1 -5) 2 + (x 2 -5) 2 විචල්‍ය කිහිපයක අවකලනය කළ හැකි ශ්රිතයක් කොන්දේසි විරහිතව අවම කිරීමේ ගැටලුව අපි සලකා බලමු. ලක්ෂ්‍යයක ශ්රේණියේ අගය අවම අගයකට ළඟා වීමට ඉඩ හරින්න. පහත සලකා බලනු ලබන අනුක්‍රමණ ක්‍රමයේදී, ලක්ෂ්‍යයෙන් බැසීමේ දිශාව සෘජුවම තෝරා ගනු ලැබේ.මේ අනුව, අනුක්‍රමණ ක්‍රමයට අනුව පියවරක් තෝරා ගැනීමට විවිධ ක්රම තිබේ, ඒ සෑම එකක්ම ශ්රේණියේ ක්රමයේ යම් ප්‍රභේදයක් නිර්වචනය කරයි. එක් අදිශ විචල්‍යයක ශ්රිතයක් සලකා බලා සමානාත්මතාවය සඳහා වන අගය ලෙස තෝරන්න 1845 දී O. Cauchy විසින් යෝජනා කරන ලද මෙම ක්රමය දැන් හඳුන්වන්නේ බෑවුම් සහිත බැසීමේ ක්රමය ලෙසයි. අත්තික්කා මත. 10.5 විචල්‍ය දෙකක ශ්රිතයක් අවම කිරීම සඳහා මෙම ක්රමයේ ජ්යාමිතික නිදර්ශනයක් පෙන්වයි. ආරම්භක ලක්ෂ්යයේ සිට, දිශානතියේ මට්ටමේ රේඛාවට ලම්බකව, කිරණ දිගේ ශ්රිතයේ අවම අගය ළඟා වන තෙක් බැසීම දිගටම සිදු වේ. සොයාගත් ලක්ෂ්‍යයේදී, මෙම කිරණ මට්ටම් රේඛාව ස්පර්ශ කරයි.ඉන්පසු, එම ලක්ෂ්යයේ සිට මෙම ලක්ෂ්යය හරහා ගමන් කරන මට්ටම් රේඛාවට අදාළ කදම්භය ස්පර්ශ වන තෙක් මට්ටම් රේඛාවට ලම්බකව දිශාවකට ලක්ෂ්‍යයෙන් බැසීමක් සිදු කෙරේ. එක් එක් පුනරාවර්තනයකදී පියවර තේරීමෙන් එක් මාන අවම කිරීමේ ගැටලුවේ විසඳුම අදහස් වන බව අපි සටහන් කරමු (10.23). සමහර විට මෙම මෙහෙයුම විශ්ලේෂණාත්මකව සිදු කළ හැකිය, උදාහරණයක් ලෙස, චතුරස්රාකාර ශ්රිතයක් සඳහා. හතරැස් ශ්රිතය අවම කිරීම සඳහා අපි ප්‍රපාතයෙන් බැසීමේ ක්රමය යොදන්නෙමු සමමිතික ධනාත්මක නිශ්චිත න්‍යාසයක් A සමඟ. සූත්රය (10.8) අනුව, මෙම අවස්ථාවේ දී, සූත්රය (10.22) මේ වගේ ය: දැනුම් දෙන්න, ඒක මෙම ශ්රිතය a පරාමිතියෙහි චතුර් ශ්රිතයක් වන අතර එවැනි අගයකදී අවම අගයකට ළඟා වේ මේ අනුව, චතුරස්රයේ අවම කිරීම සඳහා අදාළ වේ ශ්රිතය (10.24), ප්‍රපාතයෙන් බැසීමේ ක්රමය සූත්රය (10.25) මගින් ගණනය කිරීමට සමාන වේ. සටහන 1. ශ්රිතයේ අවම ලක්ෂ්යය (10.24) පද්ධතියේ විසඳුම සමඟ සමපාත වන බැවින්, සමමිතික ධනාත්මක සමඟ රේඛීය වීජීය සමීකරණ පද්ධති විසඳීම සඳහා ප්‍රපාතයෙන් බැසීමේ ක්රමය (10.25), (10.26) පුනරාවර්තන ක්රමයක් ලෙස ද භාවිතා කළ හැක. නිශ්චිත matrices. සටහන 2. Rayleigh සම්බන්ධය කොහිදැයි සලකන්න (§ 8.1 බලන්න). උදාහරණය 10.1. හතරැස් ශ්රිතය අවම කිරීම සඳහා අපි ප්‍රපාතයෙන් බැසීමේ ක්රමය යොදන්නෙමු එබැවින් අවම ලක්ෂ්යයේ නියම අගය අප කලින්ම දන්නා බව සලකන්න. අපි මෙම ශ්රිතය (10.24) ආකෘතියෙන් ලියන්නෙමු, එහිදී න්‍යාසය සහ දෛශිකය පහසුවෙන් දැක ගත හැකි පරිදි, අපි මූලික ආසන්න වශයෙන් ගන්නා අතර අපි සූත්‍ර (10.25), (10.26) භාවිතයෙන් ගණනය කිරීම් සිදු කරන්නෙමු. මම පුනරාවර්තනය. II පුනරාවර්තනය. සියල්ල සඳහා පුනරාවර්තනයේදී අගයන් ලබා ගන්නා බව පෙන්විය හැකිය මෙසේ සමඟ බව සලකන්න, ප්‍රපාතයෙන් බැසීමේ ක්රමය මගින් ලබාගත් අනුක්රමය ජ්යාමිතික ප්‍රගතියක වේගයකින් අභිසාරී වේ, එහි හරය වන්නේ අත්තික්කා මත. 10.5 මෙම උදාහරණයෙන් ලබාගත් බැසීමේ පථය හරියටම පෙන්වයි. චතුරස්රාකාර ශ්රිතයක් අවම කිරීම සඳහා, පහත දැක්වෙන සාමාන්ය ප්රතිඵලය පවතී. ප්රමේයය 10.1. A සමමිතික ධන නියත න්‍යාසයක් වීමට සලස්වා චතුරස්‍ර ශ්රිතය (10.24) අවම කිරීමට ඉඩ හරින්න. ඉන්පසුව, ආරම්භක ආසන්නයේ ඕනෑම තේරීමක් සඳහා, බෑවුම් සහිත බැසීමේ ක්රමය (10.25), (10.26) අභිසාරී වන අතර පහත දෝෂ ඇස්තමේන්තුව සත්‍ය වේ: මෙහි සහ ලාඩෝ යනු A අනුකෘතියේ අවම සහ උපරිම අයිගන් අගයන් වේ. මෙම ක්රමය ජ්යාමිතික ප්‍රගතියක වේගයකින් අභිසාරී වන බව සලකන්න, එහි හරය, එපමනක් නොව, ඒවා සමීප නම්, එය කුඩා වන අතර ක්රමය තරමක් ඉක්මනින් අභිසාරී වේ. උදාහරණයක් ලෙස, උදාහරණ 10.1 හි අප සතුව ඇති අතර, එබැවින්, Asch නම්, පසුව 1, සහ අපි බලාපොරොත්තු විය යුත්තේ දැඩිම බැසීමේ ක්රමය සෙමින් අභිසාරී වේ. උදාහරණ 10.2. ආරම්භක ආසන්නයේදී චතුරස්‍ර ශ්රිතය අවම කිරීම සඳහා ප්‍රපාතයෙන් බැසීමේ ක්රමය යෙදීමෙන් ආසන්නතම අනුපිළිවෙලක් ලබා දෙයි, එහිදී බැසීමේ ගමන් පථය රූපයේ දැක්වේ. 10.6 අනුක්රමය ජ්යාමිතික ප්‍රගමනයක වේගයකින් මෙහි අභිසාරී වේ, එහි හරය, එනම්, බොහෝ සෙමින්, පෙර උදාහරණයට වඩා. මෙතැන් සිට ලබාගත් ප්රතිඵලය ඇස්තමේන්තු (10.27) සමඟ සම්පුර්ණයෙන්ම එකඟ වේ. සටහන 1. වෛෂයික ශ්රිතය චතුරස්‍ර වන අවස්ථාවකදී අපි ප්‍රපාතයෙන් බැසීමේ ක්රමයේ අභිසාරීතාව පිළිබඳ ප්‍රමේයයක් සකස් කර ඇත. සාමාන්ය අවස්ථාවෙහිදී, අවම කරන ශ්රිතය දැඩි ලෙස උත්තල නම් සහ අවම ලක්ෂ්යයක් තිබේ නම් x, එවිට ද, ආරම්භක ආසන්නයේ තේරීම කුමක් වුවත්, මෙම ක්රමය මඟින් ලබාගත් අනුපිළිවෙල x වෙත අභිසාරී වේ. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, අවම ලක්ෂ්යයේ ප්රමාණවත් තරම් කුඩා අසල්වැසි ප්‍රදේශයකට වැටීමෙන් පසු, අභිසාරීතාවය රේඛීය බවට පත් වන අතර, අනුරූප ජ්යාමිතික ප්‍රගතියේ හරය ඉහතින් ඇස්තමේන්තු කරනු ලබන්නේ හෙසියානු න්‍යාසයේ අගය සහ කොතැන සහ අවම සහ උපරිම අයිගන් අගයන් අනුව ය. සටහන 2. චතුරස්‍ර වෛෂයික ශ්රිතය (10.24) සඳහා, ඒකමාන අවම කිරීමේ ගැටලුවේ (10.23) විසඳුම සරල පැහැදිලි සූත්‍රයක (10.26) ආකාරයෙන් සොයාගත හැකිය. කෙසේ වෙතත්, අනෙකුත් බොහෝ රේඛීය නොවන ශ්‍රිත සඳහා මෙය සිදු කළ නොහැකි අතර, ප්‍රපාතයෙන් බැසයාම ගණනය කිරීම සඳහා, පෙර පරිච්ඡේදයේ සලකා බැලූ ඒවා වැනි ඒකමාන අවම කිරීමේ සංඛ්‍යාත්මක ක්රම යෙදිය යුතුය. ඉහත සාකච්ඡාවෙන් පහත දැක්වෙන්නේ, අවම කරන ලද ශ්රිතය සඳහා මට්ටම් පෘෂ්ඨයන් ගෝල වලට ආසන්න නම් (මට්ටම් රේඛා කව වලට සමීප වන විට) ශ්රේණියේ ක්රමය තරමක් ඉක්මනින් අභිසාරී වන බවයි. එවැනි ශ්‍රිත සඳහා, සහ 1. ප්රමේයය 10.1, ප්‍රකාශය 1, සහ උදාහරණ 10.2 හි ප්රතිඵලය පෙන්නුම් කරන්නේ අභිසාරී වීමේ වේගය හි අගය ලෙස තියුනු ලෙස අඩු වන බවයි. ද්විමාන නඩුවේදී, අනුරූප පෘෂ්ඨයේ සහන මිටියාවත සහිත භූමියට සමාන වේ (රූපය 10.7). එමනිසා, එවැනි කාර්යයන් සාමාන්යයෙන් ගුලි ලෙස හැඳින්වේ. "ගැඹුරු පතුල" සංලක්ෂිත දිශාවන් ඔස්සේ, මිටියාවතේ ශ්රිතය නොසැලකිය යුතු ලෙස වෙනස් වන අතර, "ගැට බෑවුම" සංලක්ෂිත අනෙකුත් දිශාවන්හි, ක්‍රියාකාරිත්වයේ තියුණු වෙනසක් සිදු වේ. ආරම්භක ලක්ෂ්යය "ගැට බෑවුම" මතට වැටෙන්නේ නම්, ශ්රේණියේ බැසීමේ දිශාව "ගැට පතුළට" පාහේ ලම්බක වන අතර ඊළඟ ආසන්න අගය ප්‍රතිවිරුද්ධ "ගැට බෑවුම" මතට වැටේ. "ගැඹුරු පතුල" දෙසට ඊළඟ පියවර මුල් "ගැට බෑවුම" වෙත ප්‍රවේශය ලබා දෙයි. එහි ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, අවම ලක්ෂ්යය දෙසට "මිටිය පතුල" දිගේ ගමන් කරනවා වෙනුවට, බැසීමේ ගමන් පථය "මිටිය" හරහා සිග්සැග් පැනීම සිදු කරයි, ඉලක්කයට පාහේ ළඟා නොවේ (රූපය 10.7). කඳුකරයේ ක්‍රියාකාරකම් අවම කරමින් ශ්රේණියේ ක්රමයේ අභිසාරීතාව වේගවත් කිරීම සඳහා, විශේෂ "රයින්" ක්රම ගණනාවක් සංවර්ධනය කර ඇත. අපි සරලම ක්රම වලින් එකක් ගැන අදහසක් දක්වමු. ආසන්න ආරම්භක ස්ථාන දෙකකින්, "මිටියාවතේ පතුලට" ශ්‍රේණිගත බැසීමක් සිදු කෙරේ. සොයාගත් ලක්ෂ්‍ය හරහා සරල රේඛාවක් අඳිනු ලබන අතර, ඒ ඔස්සේ විශාල "මිටිය" පියවරක් ගනු ලැබේ (රූපය 10.8). මේ ආකාරයට සොයාගත් ලක්ෂ්යයේ සිට ලක්ෂ්යයට ශ්‍රේණිගත කිරීමේ එක් පියවරක් නැවතත් ගනු ලැබේ.ඉන්පසු එම ලක්ෂ්‍ය හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාව ඔස්සේ දෙවන "වැටිය" පියවර ගනු ලැබේ. එහි ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, අවම ලක්ෂ්යය දක්වා "ගැඹුරු පතුල" දිගේ චලනය සැලකිය යුතු ලෙස වේගවත් වේ. "ගැල්" සහ "ගලි" ක්රම පිළිබඳ ගැටළුව පිළිබඳ වැඩි විස්තර සොයා ගත හැක, උදාහරණයක් ලෙස, . තේරුම් ගැනීමට පහසු වන පරිදි, එක් එක් පුනරාවර්තනයකදී චලනය x ලක්ෂ්යයේ සිට චලනය වන දිශාවට ආසන්නව බැසීමේ දිශාවක් තෝරා ගැනීම යෝග්‍ය වේ. අවාසනාවකට මෙන්, ප්‍රති-ග්‍රේඩියන්ට් (නීතියක් ලෙස, බැසීමේ අසාර්ථක දිශාවකි. මෙය විශේෂයෙන් මිටියාවතේ ක්‍රියාකාරකම් සඳහා උච්චාරණය වේ. එබැවින්, ඒක මානයන් අවම කිරීමේ ගැටලුවට (10.23) විසඳුමක් සඳහා ගැඹුරින් සෙවීමේ උපදේශනය පිළිබඳ සැකයක් පවතී. ශ්රිතයේ "සැලකිය යුතු අඩුවීමක්" ලබා දෙන දිශාවට එවැනි පියවරක් පමණක් ගැනීමට ආශාවක් ඇත.එපමනක් නොව, ප්‍රායෝගිකව, සමහර විට, අරමුණෙහි අගය අඩුවීමක් සපයන අගයක් නිර්වචනය කිරීමෙන් සෑහීමකට පත්වේ. කාර්යය. ඔබට සෙවිය හැක්කේ ශ්රේණියේ දිශාවට ඇති හොඳම ලක්ෂ්යය සඳහා නොව, වර්තමානයට වඩා හොඳ දෙයක් සඳහා ය. සියලුම දේශීය ප්‍රශස්තිකරණ ක්රම ක්‍රියාත්මක කිරීමට පහසුම. එය තරමක් දුර්වල අභිසාරී තත්වයන් ඇත, නමුත් අභිසාරී අනුපාතය තරමක් කුඩා (රේඛීය). Fletcher-Reeves ක්රමය වැනි අනෙකුත් ප්‍රශස්තකරණ ක්රමවල කොටසක් ලෙස පියවර අනුක්රමය ක්රමය බොහෝ විට භාවිතා වේ.
මිටියාවත දිගේ ගමන් කරන විට අනුක්‍රමණ අවරෝහණ ක්රමය ඉතා මන්දගාමී වන අතර වෛෂයික ශ්‍රිත විචල්‍ය සංඛ්‍යාව වැඩි වන විට, ක්රමයේ මෙම හැසිරීම සාමාන්ය වේ. මෙම සංසිද්ධියට එරෙහිව සටන් කිරීම සඳහා භාවිතා කරනු ලැබේ, එහි සාරය ඉතා සරල ය. අනුක්රමික අවරෝහණයේ පියවර දෙකක් සාදා ලකුණු තුනක් ලබා ගත් පසු, තුන්වන පියවර ගත යුත්තේ මිටියාවතේ පතුල දිගේ පළමු සහ තෙවන ස්ථාන සම්බන්ධ කරන දෛශිකයේ දිශාවට ය. චතුරස්‍රයට ආසන්න ශ්‍රිත සඳහා, සංයුජ අනුක්‍රම ක්රමය ඵලදායී වේ. පර්සෙප්ට්‍රෝනය පුහුණු කිරීම සඳහා යම් යම් වෙනස් කිරීම් සහිත අනුක්‍රමණ අවරෝහණ ක්රමය බහුලව භාවිතා වන අතර කෘත්‍රිම ස්නායු ජාල න්‍යාය තුළ එය පසු ප්‍රචාරණ ක්රමය ලෙස හැඳින්වේ. perceptron වර්ගයේ ස්නායුක ජාලයක් පුහුණු කිරීමේදී, පුහුණු ආදාන දත්ත අනුපිළිවෙලක් ආදානයට ලබා දෙන විට ස්නායු ජාලයේ ප්‍රතිදානයේ සාමාන්ය දෝෂය අවම වන පරිදි ජාලයේ බර සංගුණක වෙනස් කිරීම අවශ්ය වේ. . විධිමත් ලෙස, ශ්‍රේණිගත අවරෝහණ ක්‍රමයට අනුව එක් පියවරක් පමණක් ගැනීමට (ජාල පරාමිතීන්හි එක් වෙනසක් පමණක් කරන්න), සම්පූර්ණ පුහුණු දත්ත කට්ටලයම ජාල ආදානයට අනුක්‍රමිකව පෝෂණය කිරීම, එක් එක් පුහුණු දත්ත සඳහා දෝෂය ගණනය කිරීම අවශ්ය වේ. ජාල සංගුණකවල අවශ්ය නිවැරදි කිරීම අරමුණු කර ගණනය කරන්න (නමුත් මෙම නිවැරදි කිරීම නොකරන්න), සහ සියලු දත්ත ඉදිරිපත් කිරීමෙන් පසු, එක් එක් ජාල සංගුණකය (ශ්රේණියේ එකතුව) නිවැරදි කිරීමේ එකතුව ගණනය කර “එක් පියවරකින්” සංගුණක නිවැරදි කරන්න. . නිසැකවම, විශාල පුහුණු දත්ත කට්ටලයක් සමඟ, ඇල්ගොරිතම අතිශයින් සෙමින් ක්රියා කරනු ඇත, එබැවින්, ප්‍රායෝගිකව, එක් එක් පුහුණු මූලද්‍රව්‍යයෙන් පසුව ජාල සංගුණක බොහෝ විට සකස් කරනු ලැබේ, එහිදී ශ්රේණියේ අගය දළ වශයෙන් ගණනය කරනු ලබන්නේ පිරිවැය ශ්රිතයේ අනුක්‍රමණයෙන් පමණි. පුහුණු අංගය. එවැනි ක්රමයක් ලෙස හැඳින්වේ ස්ටෝචස්ටික් අනුක්‍රමණ සම්භවය
හෝ මෙහෙයුම් අනුක්රමය බැසයාම
. Stochastic gradient descent යනු ස්ටෝචස්ටික් ආසන්නයේ ආකාරයකි. ස්ටෝචස්ටික් ආසන්න කිරීම් පිළිබඳ න්‍යාය ස්ටෝචස්ටික් අනුක්රමික අවරෝහණ ක්රමයේ අභිසාරීතාව සඳහා කොන්දේසි සපයයි. දේශන අංක 8 රේඛීය නොවන ක්‍රමලේඛන ගැටළු විසඳීම සඳහා අනුක්‍රමණ ක්රම. දඬුවම් කාර්යයන් පිළිබඳ ක්රම. මෙහෙයුම් පර්යේෂණ ගැටළු සඳහා රේඛීය නොවන ක්‍රමලේඛන යෙදුම්. සීමාවකින් තොරව කාර්යයන්.සාමාන්යයෙන් කිවහොත්, ඕනෑම රේඛීය නොවන ගැටළුවක් Gradient ක්රමය මගින් විසඳා ගත හැක. කෙසේ වෙතත්, මෙම නඩුවේ දේශීය අන්තයක් පමණක් දක්නට ලැබේ. එබැවින්, ඕනෑම දේශීය අන්තයක් ගෝලීය වන උත්තල ක්‍රමලේඛන ගැටළු විසඳීම සඳහා මෙම ක්රමය යෙදීම වඩාත් යෝග්‍ය වේ (ප්රමේයය 7.6 බලන්න). රේඛීය නොවන අවකල ශ්රිතයක් උපරිම කිරීමේ ගැටලුව අපි සලකා බලමු f(x) උපරිම ලක්ෂ්යය සඳහා ශ්රේණියේ සෙවුමේ සාරය x* ඉතා සරලයි: ඔබ අත්තනෝමතික කරුණක් ගත යුතුය x 0 සහ මෙම ස්ථානයේ ගණනය කරන ලද අනුක්රමය භාවිතා කරමින්, කුමන දිශාවටද යන්න තීරණය කරන්න f(x) ඉහළම අනුපාතයකින් වැඩි වේ (රූපය 7.4), ඉන්පසු, සොයාගත් දිශාවට කුඩා පියවරක් ගනිමින්, නව ස්ථානයකට යන්න x i. ඊළඟට ඊළඟ ස්ථානයට යාමට හොඳම දිශාව නැවත තීරණය කරන්න x 2, ආදිය රූපයේ. 7.4 සෙවුම් පථය බිඳුණු රේඛාවකි x 0 , x 1 , x 2 ... මේ අනුව, ලකුණු අනුපිළිවෙලක් ගොඩනැගීම අවශ්ය වේ x 0 , x 1 , x 2 ,...,x k , ... එවිට එය උපරිම ලක්ෂ්යයට අභිසාරී වේ x*, එනම්, අනුපිළිවෙලෙහි ලකුණු සඳහා, කොන්දේසි ශ්‍රේණිගත ක්රම, රීතියක් ලෙස, අසීමිත පියවර ගණනකින් නිශ්චිත විසඳුමක් ලබා ගැනීමට හැකි වන අතර සමහර අවස්ථාවල සීමිත සංඛ්‍යාවකින් පමණි. මේ සම්බන්ධයෙන්, ශ්රේණියේ ක්රම ද්‍රාවණයේ ආසන්න ක්රම ලෙස හැඳින්වේ. ලක්ෂ්‍යයක සිට චලනය x kනව කරුණකට xk+1ලක්ෂ්යය හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවක් ඔස්සේ සිදු කරනු ලැබේ x kසහ සමීකරණය තිබීම මෙහි λ k යනු පියවර ප්‍රමාණය රඳා පවතින සංඛ්‍යාත්මක පරාමිතියකි. සමීකරණයේ (7.29) පරාමිති අගය තෝරා ගත් වහාම: λ k =λ k 0 , සෙවුම් බහු රේඛාවේ ඊළඟ ලක්ෂ්යය නිර්වචනය වේ. පියවර ප්‍රමාණය තෝරාගැනීමේ ආකාරයෙන් අනුක්‍රමණ ක්රම එකිනෙකට වෙනස් වේ - පරාමිතියේ λ k 0 අගය λ k . උදාහරණයක් ලෙස, නියත පියවරක් λ k = λ සමඟ ලක්ෂ්‍යයෙන් ලක්ෂ්යයට ගමන් කළ හැකිය, එනම් ඕනෑම දෙයක් සඳහා කේ එය හැරෙනවා නම් සමහර විට පියවර ප්‍රමාණය ශ්රේණියේ මාපාංකයට සමානුපාතික වේ. ආසන්න විසඳුමක් සොයන්නේ නම්, පහත සලකා බැලීම් මත පදනම්ව සෙවීම අවසන් කළ හැකිය. නිශ්චිත පියවර ගණනක එක් එක් ශ්‍රේණියට පසුව, වෛෂයික ශ්රිතයේ සාක්ෂාත් කර ගත් අගයන් සංසන්දනය කරනු ලැබේ f(x) ඊළඟ මාලාවෙන් පසුව වෙනස් වුවහොත් f(x) කලින් නියම කර ඇති කුඩා සංඛ්‍යාවක් නොඉක්මවන අතර, සෙවීම අවසන් කර අගය කරා ළඟා වේ f(x) අපේක්ෂිත ආසන්න උපරිම ලෙස සලකනු ලැබේ, සහ අනුරූප වේ xසඳහා ගන්න x*. වෛෂයික කාර්යය නම් f(x) අවතල (උත්තල) වේ, පසුව ලක්ෂ්යයේ ප්රශස්තතාවය සඳහා අවශ්ය සහ ප්රමාණවත් කොන්දේසියකි x* යනු එම ලක්ෂ්යයේ ශ්රිතයේ ශුන්‍ය අනුක්රමය වේ. ශ්‍රේණි සෙවීමේ පොදු ප්‍රභේදයක් තීප්ම නැගීමේ ක්රමය ලෙස හැඳින්වේ. එහි සාරය පහත පරිදි වේ. ලක්ෂ්‍යයක අනුක්‍රමණය අර්ථ දැක්වීමෙන් පසුව x kසරල රේඛාවක් ඔස්සේ චලනය ලක්ෂ්‍යයක සිට ගමන් කිරීම x kලක්ෂ්යයක් දක්වා ශ්රිතයේ වැඩි වීමක් සමග ඇත f(x) අගය අනුව වර්ධක යනු විචල්‍යයේ ශ්රිතයක් බව ප්‍රකාශනයෙන් (7.30) දැකිය හැක, i.e. කාර්යයේ උපරිමය සොයා ගැනීමේදී f(x) ශ්රේණියේ දිශාවට ) ශ්රිතයේ වර්ධකයේ විශාලම වැඩිවීමක් සපයන චලන පියවර (ගුණකය) තෝරා ගැනීම අවශ්ය වේ, එනම් ශ්රිතය . උපරිම අගය ළඟා වන අගය ශ්රිතයේ අන්තය සඳහා අවශ්ය කොන්දේසියෙන් තීරණය කළ හැක: සංකීර්ණ ශ්රිතයක් ලෙස සමානාත්මතාවය (7.30) අවකලනය කිරීමෙන් ව්‍යුත්පන්නය සඳහා ප්‍රකාශනයක් සොයා ගනිමු: මෙම ප්රතිඵලය සමානාත්මතාවයට ආදේශ කිරීම (7.31), අපි ලබා ගනිමු මෙම සමානාත්මතාවයට සරල ජ්යාමිතික අර්ථකථනයක් ඇත: ඊළඟ ලක්ෂ්යයේ අනුක්රමය x k+ 1, පෙර ලක්ෂ්යයේ අනුක්‍රමණයට විකලාංග x k. මම පියවර. අපි ගණනය කරන්නේ: අත්තික්කා මත. 7.6 ලක්ෂ්යයේ මූලාරම්භය සමඟ x 0 =(5; 10) ලක්ෂ්යයේ ශ්රිතයේ වේගවත්ම වැඩිවීමේ දිශාව පෙන්නුම් කරමින් 1/16 දෛශිකය ඉදිකර ඇත. x 0 . ඊළඟ ලක්ෂ්යය මෙම දිශාවට පිහිටා ඇත. මෙම මොහොතේ දී . කොන්දේසිය (7.32) භාවිතා කරමින්, අපි ලබා ගනිමු හෝ 1-4=0, කොහෙන් =1/4. සිට , එවිට සොයාගත් අගය උපරිම ලක්ෂ්යය වේ. අපි හොයාගන්නවා x 1 =(5-16/4; 10-32/4)=(1; 2). II පියවර. දෙවන පියවර සඳහා ආරම්භක ස්ථානය x 1 =(1; 2). ගණනය කරන්න =(-4∙1 +4; -4∙2+8)=(0; 0). ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, x 1 =(1; 2) යනු ස්ථාවර ලක්ෂ්‍යයකි. නමුත් මෙම ශ්රිතය අවතල බැවින්, සොයාගත් ලක්ෂ්‍යයේදී (1; 2) ගෝලීය උපරිමයට ළඟා වේ. රේඛීය සීමාවන් සමඟ ගැටළුව. වෛෂයික කාර්යය නම් අපි වහාම සටහන් කරමු f(x) සීමා සහිත ගැටලුවකදී තනි අන්තයක් ඇති අතර එය පිළිගත හැකි කලාපය තුළ ඇත, පසුව අන්තය සොයා ගැනීමට x* ඉහත ක්‍රමවේදය කිසිදු වෙනස් කිරීමකින් තොරව ක්‍රියාත්මක වේ. රේඛීය සීමාවන් සහිත උත්තල ක්‍රමලේඛන ගැටළුවක් සලකා බලන්න: යැයි උපකල්පනය කෙරේ f(x) අවතල ශ්රිතයක් වන අතර පිළිගත හැකි කලාපයේ සෑම ලක්ෂයකම අඛණ්ඩ අර්ධ ව්‍යුත්පන්නයන් ඇත. ගැටළුව විසඳීමේ ක්රියාවලියේ ජ්යාමිතික නිදර්ශනයකින් ආරම්භ කරමු (රූපය 7.7). ආරම්භක ස්ථානයට ඉඩ දෙන්න x 0 ඉඩ ලබා දී ඇති ප්රදේශය තුළ පිහිටා ඇත. ලක්ෂ්‍යයෙන් x 0 දක්වා ඔබට අනුක්‍රමණයේ දිශාවට ගමන් කළ හැක f(x) උපරිමයට ළඟා නොවනු ඇත. අපේ නඩුවේ f(x) සෑම විටම වැඩි වේ, එබැවින් ඔබ එම ස්ථානයේ නතර කළ යුතුය x, මායිම් රේඛාව මත. රූපයෙන් දැකිය හැකි පරිදි, අපි අවසර ලත් ප්‍රදේශයෙන් ඉවත් වන බැවින්, අනුක්රමයේ දිශාවට තවදුරටත් ගමන් කළ නොහැක. එමනිසා, එක් අතකින්, පිළිගත හැකි කලාපයෙන් පිටතට නොයන අතර, අනෙක් අතට, විශාලතම වැඩිවීම සහතික කරන චලනයේ වෙනත් දිශාවක් සොයා ගැනීම අවශ්ය වේ. f(x) ලක්ෂ්‍යයෙන් පිටවන වෙනත් දෛශිකයකට සාපේක්ෂව දෛශිකය සමඟ කුඩාම තීව්‍ර කෝණය ඇති කරන දෛශිකය එවැනි දිශාවකින් තීරණය කරනු ඇත. x iසහ පිළිගත හැකි කලාපයේ වැතිර සිටීම. විශ්ලේෂණාත්මකව, එවැනි දෛශිකයක් අදිශ නිෂ්පාදිතය උපරිම කිරීමේ කොන්දේසියෙන් සොයාගත හැකිය ගැටලුවේ විශ්ලේෂණාත්මක විසඳුම (7.33) - (7.35) දැන් සලකා බලන්න. ප්‍රශස්තිකරණ සෙවීම ආරම්භ වන්නේ පිළිගත හැකි කලාපයේ පිහිටා ඇති ලක්ෂ්‍යයකින් නම් (ගැටළුවේ සියලු සීමාවන් දැඩි අසමානතාවයන් ලෙස සෑහීමකට පත්වේ), එවිට යමෙකු ඉහත ස්ථාපිත කර ඇති අනුක්රමයේ දිශාව දිගේ ගමන් කළ යුතුය. කෙසේ වෙතත්, දැන් තේරීම λkසමීකරණයේ (7.29) ඊළඟ ලක්ෂ්යය අවසර ලත් ප්‍රදේශයේ පැවතීමේ අවශ්‍යතාවයෙන් සංකීර්ණ වේ. මෙයින් අදහස් කරන්නේ එහි ඛණ්ඩාංක සීමාවන් (7.34), (7.35) තෘප්තිමත් කළ යුතු බවයි, එනම්, අසමානතාවයන් තෘප්තිමත් විය යුතුය: රේඛීය අසමානතා පද්ධතිය විසඳීම (7.36), පරාමිතියේ පිළිගත හැකි අගයන් කොටස අපි සොයා ගනිමු λk, ඒ යටතේ x k +1 ලක්ෂ්යය පිළිගත හැකි ප්රදේශයට අයත් වේ. අර්ථය λ k *සමීකරණය (7.32) විසඳීමේ ප්රතිඵලයක් ලෙස තීරණය කරනු ලැබේ: එහිදී f(x) දේශීය උපරිමයක් ඇත λkදිශාවට අයත් විය යුතුය . සොයාගත් අගය නම් λkනිශ්චිත කොටස ඉක්මවා යයි, පසුව ලෙස λ k *ලැබේ . මෙම අවස්ථාවෙහිදී, සෙවුම් පථයේ ඊළඟ ලක්ෂ්යය පද්ධතියේ අසමානතාවයට (7.36) අනුරූප වන මායිම් හයිපර්ප්ලේන් මත හැරෙන අතර, ඒ අනුව පද්ධතිය විසඳීමේදී නිවැරදි අන්ත ලක්ෂ්යය ලබා ගන්නා ලදී. පිළිගත හැකි පරාමිති අගයන් අතර පරතරය λk. ප්‍රශස්තිකරණ සෙවීම ආරම්භ වූයේ මායිම් හයිපර්ප්ලේන් මත පිහිටා ඇති ලක්ෂ්‍යයකින් නම් හෝ සෙවුම් පථයේ ඊළඟ ලක්ෂ්යය මායිම් හයිපර්ප්ලේන් මත නම්, දිගටම උපරිම ස්ථානයට ගමන් කිරීම සඳහා, පළමුව, එය අවශ්ය වේ. චලනයේ හොඳම දිශාව සොයා ගන්න, මේ සඳහා, ගණිතමය ක්‍රමලේඛනයේ සහායක ගැටළුවක් විසඳීමට අවශ්ය වේ, එනම්, කාර්යය උපරිම කිරීමට සීමාවන් යටතේ ඔවුන් සඳහා ටී, එහිදී කොහෙද ගැටලුව විසඳීමේ ප්රතිඵලයක් ලෙස (7.37) - (7.40), ශ්‍රේණිය සමඟ කුඩාම තියුණු කෝණය සෑදෙන දෛශිකයක් සොයා ගනු ඇත. කොන්දේසිය (7.39) පවසන්නේ ලක්ෂ්යය පිළිගත හැකි කලාපයේ මායිමට අයත් වන අතර කොන්දේසිය (7.38) යන්නෙන් අදහස් කරන්නේ දෛශිකය දිගේ විස්ථාපනය පිළිගත හැකි කලාපය තුළට හෝ එහි මායිම දිගේ යොමු කරන බවයි. සාමාන්‍යකරණ තත්ත්වය (7.40) අගය සීමා කිරීමට අවශ්ය වේ, එසේ නොමැති නම් වෛෂයික ශ්රිතයේ අගය (7.37) හිතුවක්කාර ලෙස විශාල කළ හැකි බැවින් විවිධ සාමාන්‍යකරණ තත්වයන් ඇති අතර, මෙය මත පදනම්ව, ගැටළුව (7.37) - (7.40) ) රේඛීය හෝ රේඛීය විය හැක. දිශාව තීරණය කිරීමෙන් පසුව, අගය සොයා ගනී λ k *ඊළඟ කරුණ සඳහා ලක්ෂ්යයට ළඟා වූ විට ප්‍රශස්තකරණය සෙවීම නතර වේ x k *, එහි උදාහරණය 7.5.සීමාවන් යටතේ ශ්රිතයක් උපරිම කරන්න විසඳුමක්.ප්‍රශස්තකරණ ක්රියාවලියේ දෘශ්‍ය නිරූපණයක් සඳහා, අපි එය චිත්‍රක නිදර්ශනයක් සමඟින් ගෙන යන්නෙමු. රූප සටහන 7.8 මඟින් ලබා දී ඇති මතුපිට මට්ටම් රේඛා කිහිපයක් සහ ලක්ෂ්යයක් සොයා ගැනීමට පිළිගත හැකි OABS ප්‍රදේශයක් පෙන්වයි. x* එය මෙම කාර්යයේ උපරිමය ලබා දෙයි (උදාහරණ 7 4 බලන්න). අපි ප්‍රශස්තිකරණ සෙවීම ආරම්භ කරමු, උදාහරණයක් ලෙස, ලක්ෂ්‍යයෙන් x 0 =(4, 2,5) AB මායිම් රේඛාවේ වැතිර සිටී x 1 +4x 2=14. එහි f(x 0)=4,55. අනුක්‍රමණයේ අගය සොයන්න ලක්ෂ්යයේ x 0 . ඊට අමතරව, වඩා ඉහළ ලකුණු සහිත රේඛා මට්ටම් බව රූපයෙන් දැකිය හැකිය f(x 0)=4.55. වචනයෙන් කියනවා නම්, ඔබ දිශාවක් සෙවිය යුතුය ආර් 0 =(ආර් 01 , ආර් 02) ඊළඟ කරුණ වෙත ගමන් කිරීම x 1 ප්රශස්ත වෙත සමීප වේ. මේ සඳහා, සීමාවන් යටතේ කාර්යය උපරිම කිරීමේ ගැටලුව (7.37) - (7.40) අපි විසඳන්නෙමු. මෙම ගැටලුවේ සීමාකාරී සමීකරණ පද්ධතියට ඇත්තේ ශ්‍රිතයට සෘජුව ආදේශ කිරීමෙන් විසඳුම් දෙකක් (-0.9700; 0.2425) සහ (0.9700; -0.2425) පමණි. ටී 0 උපරිම ලෙස සකසා ඇත ටී 0 යනු ශුන්‍ය නොවන අතර (-0.9700; 0.2425) විසඳීමෙන් ළඟා වේ xදෛශිකයේ දිශාවට 0 අවශ්ය වේ ආර් 0 \u003d (0.9700; 0.2425), එනම් BA මායිම් රේඛාව දිගේ. ඊළඟ ලක්ෂ්යයේ ඛණ්ඩාංක තීරණය කිරීමට x 1 =(x 11 ; x 12) එය ශ්රිතයේ පරාමිතියේ අගය සොයා ගැනීමට අවශ්ය වේ f(x) ලක්ෂ්යයේ x කොහෙන්ද =2.0618. ඒ සමගම = -0.3999<0. Значит,=2,0618. По формуле (7.42) находим координаты новой точки х 1 (2; 3). අපි ප්‍රශස්තිකරණ සෙවීම දිගටම කරගෙන ගියහොත්, ඊළඟ සහායක ගැටළුව (7.37) - (7.40) විසඳන විට එය ටී 1 = බව සොයා ගනු ඇත. මායිම අසල සහ අවසර ලත් ප්රදේශය තුළ ස්ථානගත කර ඇති ලක්ෂ්‍ය අනුපිළිවෙලක් ඉදිකිරීම හෝ දෙවැන්න තරණය කරන මායිම දිගේ සිග්සැග් චලනය සපයන චලන ක්රම. රූපයෙන් පෙනෙන පරිදි, x 1 ලක්ෂ්යයේ සිට පිළිගත හැකි ප්රදේශය වෙත ආපසු යාම උල්ලංඝනය වී ඇති මායිම් ශ්රිතයේ අනුක්රමය ඔස්සේ සිදු කළ යුතුය. මෙය මීළඟ ලක්ෂ්යය x 2 අන්ත ලක්ෂ්යය දෙසට අපගමනය වන බව සහතික කරයි*. එවැනි අවස්ථාවක, අන්තයක ලකුණ වනුයේ දෛශිකවල සහසම්බන්ධතාවය සහ .
උපරිම,
7x1 
0,
10x2 
0.
(අවම - "-"; උපරිම - "+").
(k) (z (k) –x (k)), කොහෙද 
(k) - පියවර, සංගුණකය, 0 
1.
(k) තෝරනු ලබන්නේ x (k +1) ලක්ෂ්යයේ F(x) ශ්රිතයේ අගය උපරිම (min) වන පරිදිය. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, සමීකරණය විසඳන්න 
සහ මුල් වලින් කුඩාම (විශාලතම) තෝරන්න, නමුත් 0 
1.
හෝ ශ්රේණියේ F(x (k + 1)) = 0, එවිට විසඳුම සොයාගත හැකිය;
උපරිම,
4x1 
0,
2x2 
0.
උපරිම (මිනි),
b i, i = 
, xj 
0, j = 
.
,
- යම් ධනාත්මක අනුපාත.
, විසඳුම සොයා ගැනීම වේගවත් වේ, කෙසේ වෙතත්, නිරවද්යතාව අඩු වේ;
සහ ඊළඟ පියවරේදී ඒවා වැඩි කරන්න.
හා 
.
.
වලංගු ප්රදේශය, පරීක්ෂා කරන්න:
- විසඳුමක් සොයාගෙන ඇත, එසේ නොවේ නම්, පියවර 2 වෙත යන්න.
වලංගු ප්‍රදේශයක්, නව අගයක් සකසන්න 
සහ පියවර 4 වෙත යන්න.
උපරිම,
8x1 
0,x2 
0.1. දැඩිම බැසීමේ ක්රමය.
2. "වැලි" පිළිබඳ ගැටළුව.
3. බැසීමේ පියවර තීරණය කිරීම සඳහා වෙනත් ප්රවේශයන්.
විස්තර [
|
]
වැඩිදියුණු කිරීම්[
|
]
කෘතිම ස්නායු ජාල වල යෙදීම[
|
]
සබැඳි [
|
]
සාහිත්යය [
|
]
(7.29)
, එවිට ඔබ ලක්ෂ්යයට ආපසු ගොස් පරාමිතියේ අගය අඩු කළ යුතුය, උදාහරණයක් ලෙස, to λ
/2.
කාරණය දක්වා නිපදවා ඇත x k+ 1 , එහි ශ්රිතයේ උපරිම අගය ළඟා වේ f(x) අනුක්‍රමණයේ දිශාවට. එවිට මෙම ලක්ෂ්යයේ දී ශ්‍රේණිය නැවත තීරණය කරනු ලබන අතර, එම ලක්ෂ්යයට නව ශ්රේණියේ දිශාවට චලනය සරල රේඛාවකින් සිදු කෙරේ. x k+ 2, මෙම දිශාවෙහි උපරිම අගය ළඟා වේ f(x) ලක්ෂ්යය ළඟා වන තුරු චලනය දිගටම පවතී. x* වෛෂයික ශ්රිතයේ විශාලතම අගයට අනුරූප වේ f(x) අත්තික්කා මත. 7.5 ප්රශස්ත ලක්ෂ්යයට චලනය කිරීමේ යෝජනා ක්රමය පෙන්වයි x* වේගවත්ම නැගීමේ ක්රමය. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, ලක්ෂ්යයේ අනුක්රමයේ දිශාව x kමතුපිට මට්ටමේ රේඛාවට ස්පර්ශ වේ f(x) ලක්ෂ්යයේ x k+ 1, එබැවින් ලක්ෂ්යයේ අනුක්රමය x k+ 1 අනුක්‍රමයට විකලාංග වේ (රූපය 7.4 සමඟ සසඳන්න).
(7.31)
මෙම පෘෂ්ඨයේ මට්ටමේ රේඛා ඉදිකර ඇත. මෙම කාර්යය සඳහා, සමීකරණය ආකෘතියට අඩු කරනු ලැබේ ( x 1 -1) 2 + (x 2 -2) 2 \u003d 5-0.5 f, එයින් පැහැදිලි වන්නේ පැරබොලොයිඩ් ඡේදනය වන රේඛා තලයට සමාන්තරව තලයන් සමඟ බව x 1 O x 2 (මට්ටම් රේඛා) යනු අරය කවයන් වේ. හිදී f=-150, -100, -50 ඔවුන්ගේ අරය පිළිවෙළින් සමාන වේ 
, සහ පොදු මධ්යස්ථානය ලක්ෂ්යයේ (1; 2) වේ. මෙම ශ්රිතයේ අනුක්‍රමණය සොයන්න: 
(7.34)
. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, වඩාත් වාසිදායක දිශාව පෙන්නුම් කරන දෛශිකය මායිම් රේඛාව සමඟ සමපාත වේ.
මේ අනුව, ඊළඟ පියවරේදී, දක්වා මායිම් රේඛාව ඔස්සේ ගමන් කිරීම අවශ්ය වේ f(x); අපගේ නඩුවේදී - කාරණයට x 2. තව දුරටත් දෛශිකයේ දිශාවට ගමන් කළ යුතු බව රූපයෙන් පෙනේ, එය අදිශ නිෂ්පාදනය උපරිම කිරීමේ කොන්දේසියෙන් සොයාගත හැකිය. 
, එනම්, මායිම් රේඛාව දිගේ. චලනය එක් ලක්ෂයකින් අවසන් වේ x 3 , ප්‍රශස්තිකරණ සෙවීම මෙම අවස්ථාවේදී අවසන් වන බැවින්, ශ්රිතයේ සිට f(x) දේශීය උපරිමයක් ඇත. මෙම ස්ථානයේ ඇති අවපාතය හේතුවෙන් f(x) ද පිළිගත හැකි කලාපයේ ගෝලීය උපරිමයට ළඟා වේ. උපරිම ස්ථානයේ අනුක්‍රමණය x 3 =x* වලංගු ප්‍රදේශයෙන් ඕනෑම දෛශිකයක් හරහා ගමන් කරන විට නොපැහැදිලි කෝණයක් ඇති කරයි x 3, එබැවින් ඕනෑම වලංගු සඳහා තිත් නිෂ්පාදනය සෘණ වනු ඇත rk, අමතරව ආර් 3 මායිම් රේඛාව ඔස්සේ යොමු කර ඇත. ඒ සඳහා, අදිශ නිෂ්පාදනය = 0, සිට සහ අන්‍යෝන්‍ය වශයෙන් ලම්බක වේ (මායිම් රේඛාව මතුපිට මට්ටමේ රේඛාව ස්පර්ශ කරයි f(x) උපරිම ලක්ෂ්යය හරහා ගමන් කිරීම x*). මෙම සමානාත්මතාවය ලක්ෂ්යයේ විශ්ලේෂණාත්මක සංඥාවක් ලෙස සේවය කරයි x 3 කාර්යය f(x) උපරිමයට ළඟා විය. 
(7.36)
.
සෙවුම් පථය. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, අවශ්ය අන්ත තත්ත්වය සමීකරණයට (7.32) සමාන ආකාරයෙන් භාවිතා වේ, නමුත් දෛශිකය සඳහා ආදේශකයක් සමඟ, i.e.
(7.41)
.
කාරණයේ සිට x 0 පිහිටා ඇත්තේ එක් (පළමු) මායිම් රේඛාවක පමණි ( මම=1) x 1 +4x 2 =14, එවිට කොන්දේසිය (7.38) සමානාත්මතාවයේ ස්වරූපයෙන් ලියා ඇත. 
(7.42)
, එනම් x 1 ලක්ෂ්යය යනු පිළිගත හැකි කලාපයේ වෛෂයික ශ්රිතයේ උපරිම ලක්ෂ්යය x* බවයි. x 1 ලක්ෂ්යයේ එක් මට්ටමේ රේඛාවක් පිළිගත හැකි ප්‍රදේශයේ මායිම ස්පර්ශ කරන රූපයෙන් ද එයම දැකිය හැකිය. එබැවින් x 1 ලක්ෂ්යය උපරිම x* ලක්ෂ්යය වේ. එහි f max= f(x*)=5,4.
රේඛීය නොවන සීමාවන් සමඟ ගැටළුවක්. රේඛීය සීමාවන් සමඟ ඇති ගැටළු වලදී, මායිම් රේඛා ඔස්සේ ගමන් කිරීම හැකි සහ ඉක්මන් වේ නම්, උත්තල කලාපයක් නිර්වචනය කරන රේඛීය නොවන සීමාවන් සමඟ, මායිම් ලක්ෂ්‍යයෙන් ඕනෑම අත්තනෝමතික ලෙස කුඩා විස්ථාපනයක් වහාම කළ හැකි විසඳුම් කලාපයේ සීමාවන් ඉක්මවා යා හැක. , සහ අවසර ලත් කලාපයට ආපසු යාමට අවශ්ය වනු ඇත (රූපය 7.9). කාර්යයේ අන්තයේ ඇති ගැටළු සඳහා සමාන තත්වයක් සාමාන්ය වේ f(x) කලාපයේ මායිම වෙත ළඟා වේ. මේ හේතුව නිසා, විවිධ
