විශේෂ දකුණු පැත්තක් සහිත සමජාතීය සමීකරණය. සමජාතීය දෙවන අනුපිළිවෙල අවකල සමීකරණ

නියත සංගුණක (PC) සහිත දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි (LNDE-2) රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණ විසඳීමේ මූලික කරුණු

නියත සංගුණක $p$ සහ $q$ සහිත දෙවන පෙළ CLDE එකකට $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$ පෝරමය ඇත, එහිදී $f\left( x \right)$ යනු අඛණ්ඩ ශ්‍රිතයකි.

PC සමඟ 2nd LNDE සම්බන්ධයෙන් පහත ප්‍රකාශ දෙක සත්‍ය වේ.

සමහර ශ්‍රිතය $U$ යනු සමජාතීය අවකල සමීකරණයක අත්තනෝමතික විශේෂිත විසඳුමක් යැයි උපකල්පනය කරන්න. සමහර ශ්‍රිතය $Y$ යනු අනුරූප රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණයේ (LODE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$ හි සාමාන්‍ය විසඳුමක් (OR) යැයි උපකල්පනය කරමු. එවිට OR හි LHDE-2 දක්වා ඇති පුද්ගලික සහ සාමාන්‍ය විසඳුම්වල එකතුවට සමාන වේ, එනම් $y=U+Y$.

2 වන අනුපිළිවෙල LIDE හි දකුණු පැත්ත ශ්‍රිතවල එකතුව නම්, එනම් $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x\right )+. $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$, සහ ඉන් පසුව ලියන්න LNDE-2 PD ලෙස $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $.

PC සමඟ 2nd order LNDE විසඳුම

පැහැදිලිවම, ලබා දී ඇති LNDE-2 හි PD $U$ එකක හෝ තවත් PD ආකෘතියක් එහි දකුණු පස $f\වම(x\දකුණ)$ හි නිශ්චිත ආකෘතිය මත රඳා පවතී. LNDE-2 හි PD සෙවීමේ සරලම අවස්ථා පහත සඳහන් නීති හතරක් ලෙස සකස් කර ඇත.

රීති අංක 1.

දකුණු කොටස LNDE-2 සතුව $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$ පෝරමය ඇත, මෙහි $P_(n) \left(x\right)=a_(0) \cdot x ^ (n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, එනම් එය $ උපාධියේ බහුපදයක් ලෙස හැඳින්වේ. n$. එවිට එහි PR $U$ සොයන්නේ $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $ ආකාරයෙන්, මෙහි $Q_(n) \left(x\right)$ යනු තවත් එකක් වේ. $P_(n) \left(x\right)$ ට සමාන උපාධියේ බහුපද, සහ $r$ යනු මූල ගණනයි ලක්ෂණ සමීකරණය LODU-2 ට අනුරූප, ශුන්‍යයට සමාන වේ. බහුපද $Q_(n) \left(x\right)$ හි සංගුණක සොයාගනු ලබන්නේ අවිනිශ්චිත සංගුණක (NC) ක්‍රමය මගිනි.

රීති අංක 2.

LNDE-2 හි දකුණු පැත්තේ $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$ පෝරමය ඇත, එහිදී $P_(n) \left( x\right)$ යනු $n$ උපාධියේ බහුපදයකි. එවිට එහි PD $U$ සොයන්නේ $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $ ආකාරයෙන්, එහිදී $Q_(n ) \ left(x\right)$ යනු $P_(n) \left(x\right)$ ට සමාන උපාධියේ තවත් බහුපදයක් වන අතර $r$ යනු අදාල LODE-2 හි ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූල ගණන වේ. $\alpha $ ට සමාන වේ. බහුපද $Q_(n) \left(x\right)$ හි සංගුණක NK ක්‍රමය මගින් සොයා ගැනේ.

රීති අංක 3.

LNDE-2 හි දකුණු කොටසෙහි $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x පෝරමය ඇත. \right) $, මෙහි $a$, $b$ සහ $\beta $ දන්නා සංඛ්‍යා වේ. එවිට එහි PD $U$ සොයන්නේ $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right යන පෝරමයෙනි. )\දකුණ )\cdot x^(r) $, මෙහි $A$ සහ $B$ නොදන්නා සංගුණක වන අතර $r$ යනු $i\cdot ට සමාන අනුරූප LODE-2 හි ලක්ෂණ සමීකරණයේ මූල ගණනයි. \beta $. $A$ සහ $B$ යන සංගුණක සොයාගනු ලබන්නේ NDT ක්‍රමය මගිනි.

රීති අංක 4.

LNDE-2 හි දකුණු පැත්තේ $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$ පෝරමය ඇත, මෙහි $P_(n) \left(x\right)$ වේ $ n$ උපාධියේ බහුපදයක්, සහ $P_(m) \left(x\right)$ යනු $m$ උපාධියේ බහුපදයකි. එවිට එහි PD $U$ සොයන්නේ $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $ ආකාරයෙන්, එහිදී $Q_(s) \left(x\right) $ සහ $ R_(s) \left(x\right)$ යනු $s$ උපාධියේ බහුපද, $s$ යනු $n$ සහ $m$ යන උපරිම සංඛ්‍යා දෙක වන අතර $r$ යනු සංඛ්‍යාවයි. $\alpha +i\cdot \beta $ ට සමාන, අනුරූප LODE-2 හි ලක්ෂණ සමීකරණයේ මූලයන්. බහුපද $Q_(s) \left(x\right)$ සහ $R_(s) \left(x\right)$ වල සංගුණක NK ක්‍රමය මගින් සොයා ගැනේ.

NDT ක්රමය අයදුම් කිරීමේදී සමන්විත වේ ඊළඟ රීතිය. LNDE-2 සමජාතීය අවකල සමීකරණයේ විශේෂිත විසඳුමේ කොටසක් වන බහුපදයේ නොදන්නා සංගුණක සොයා ගැනීම සඳහා, එය අවශ්‍ය වේ:

ලියා ඇති PD $U$ ආදේශ කරන්න සාමාන්ය දැක්ම, තුල වම් පැත්ත LNDU-2;
LNDE-2 හි වම් පැත්තේ, $x$ එකම බලතල සහිත සරල කිරීම් සහ කණ්ඩායම් නියමයන් සිදු කරන්න;
ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන අනන්‍යතාවයේ, වාම සහ දකුණු පැතිවල $x$ සමාන බලතල සහිත නියමවල සංගුණක සමාන කරන්න;
ප්රතිඵලයක් ලෙස පද්ධතිය විසඳන්න රේඛීය සමීකරණනොදන්නා සංගුණක සම්බන්ධයෙන්.

උදාහරණ 1

කාර්යය: OR LNDE-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\දකුණ)\cdot e^(3\cdot x) $ සොයා ගන්න. එසේම සොයා ගන්න PR, $x=0$ සඳහා $y=6$ සහ $x=0$ සඳහා $y"=1$ යන මූලික කොන්දේසි සපුරාලයි.

අදාළ LODA-2 ලියන්න: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.

ලාක්ෂණික සමීකරණය: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලයන්: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. මෙම මූලයන් සැබෑ සහ වෙනස් වේ. මේ අනුව, අදාළ LODE-2 හි OR හි පෝරමය ඇත: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.

මෙම LNDE-2 හි දකුණු කොටසෙහි $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ පෝරමය ඇත. $\alpha =3$ හි ඝාතකයේ සංගුණකය සලකා බැලීම අවශ්‍ය වේ. මෙම සංගුණකය ලාක්ෂණික සමීකරණයේ කිසිදු මූලයක් සමඟ සමපාත නොවේ. එබැවින් මෙම LNDE-2 හි PR හි $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ පෝරමය ඇත.

අපි NK ක්‍රමය භාවිතයෙන් $A$, $B$ යන සංගුණක සොයන්නෙමු.

අපි CR හි පළමු ව්‍යුත්පන්නය සොයා ගනිමු:

$U"=\left(A\cdot x+B\right)^(") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^(") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\වම(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

අපි CR හි දෙවන ව්‍යුත්පන්නය සොයා ගනිමු:

$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^(") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^(") ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\වම(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

අපි ලබා දී ඇති LNDE-2 $y""-3\cdot y" වෙත $y""$, $y"$ සහ $y$ වෙනුවට $U""$, $U"$ සහ $U$ යන ශ්‍රිත ආදේශ කරමු. -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\දකුණ)\cdot e^(3\cdot x).$ ඒ සමගම $e^(3\cdot x) $ ඝාතකය ඇතුලත් වන බැවින් සියලුම සංරචකවල සාධකයක් ලෙස, එවිට එය මඟ හැරිය හැක.

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \වම(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$

ප්රතිඵලය සමානාත්මතාවයේ වම් පැත්තෙන් අපි ක්රියාවන් සිදු කරන්නෙමු:

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

අපි NC ක්රමය භාවිතා කරමු. නොදන්නා කරුණු දෙකක් සහිත රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියක් අපට ලැබේ:

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

මෙම පද්ධතියට විසඳුම වන්නේ: $A=-2$, $B=-1$.

අපගේ ගැටලුව සඳහා CR $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ මෙසේ දිස්වේ: $U=\left(-2\cdot x-1\right ) \cdot e^(3\cdot x) $.

අපගේ ගැටලුව සඳහා OR $y=Y+U$ මෙසේ දිස්වේ: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ වම් (-2\cdot x-1\දකුණ)\cdot e^(3\cdot x) $.

ලබා දී ඇති මූලික කොන්දේසි තෘප්තිමත් කරන PD එකක් සෙවීම සඳහා, අපි $y"$ හෝ ව්‍යුත්පන්නය සොයා ගනිමු:

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\වම(-2\cdot x-1\දකුණ)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

අපි $x=0$ සඳහා $y=6$ සඳහා $y$ සහ $y"$ සහ $x=0$ සඳහා $y"=1$ යන ආරම්භක කොන්දේසි ආදේශ කරමු:

$6=C_(1) +C_(2) -1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

අපට සමීකරණ පද්ධතියක් තිබේ:

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$

අපි ඒක විසඳනවා. අපි ක්‍රේමර්ගේ සූත්‍රය භාවිතයෙන් $C_(1) $ සොයා ගන්නා අතර $C_(2) $ පළමු සමීකරණයෙන් තීරණය වේ:

$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ start(array)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(array)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$

මේ අනුව, මෙම අවකල සමීකරණයේ PD: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right )\cdot e^(3\cdot x) $.

විෂමජාතීය අවකල සමීකරණනියත සංගුණක සහිත දෙවන අනුපිළිවෙල

පොදු විසඳුමේ ව්යුහය

රේඛීය සමජාතීය සමීකරණය මෙම වර්ගයේපෙනෙන්නේ:

කොහෙද පි, q- නියත සංඛ්යා (සැබෑ සහ සංකීර්ණ දෙකම විය හැක). එවැනි එක් එක් සමීකරණය සඳහා, කෙනෙකුට අනුරූප ලිවිය හැකිය සමජාතීය සමීකරණය:

ප්රමේයය: පොදු විසඳුම නොවේ සමජාතීය සමීකරණයපොදු විසඳුමේ එකතුව වේ වයි 0 (x) අනුරූප සමජාතීය සමීකරණයේ සහ විශේෂිත විසඳුමක් වයි 1 (x) සමජාතීය සමීකරණයේ:

පහත අපි සමජාතීය නොවන අවකල සමීකරණ විසඳීම සඳහා ක්රම දෙකක් සලකා බලමු.

නිරන්තර විචල්‍ය ක්‍රමය

අ පොදු තීරණය වයිසම්බන්ධිත සමජාතීය සමීකරණයේ 0 දන්නා අතර, පසුව පොදු විසඳුම සමජාතීය සමීකරණයභාවිතයෙන් සොයා ගත හැක නියත විචලන ක්රමය. දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි සමජාතීය අවකල සමීකරණයක සාමාන්‍ය විසඳුමට පෝරමය තිබිය යුතුය:

ස්ථිර වෙනුවට සී 1 සහ සී 2 අපි සහායක කාර්යයන් සලකා බලමු සී 1 (x) හා සී 2 (x) විසඳුම සඳහා අපි මෙම කාර්යයන් සොයා බලමු

දකුණු පස සමග සමජාතීය සමීකරණය තෘප්තිමත් කරයි f(x) නොදන්නා විශේෂාංග සී 1 (x) හා සී 2 (x) සමීකරණ දෙකක පද්ධතියෙන් තීරණය වේ:

නිර්ණය නොකළ සංගුණක ක්රමය

දකුණු කොටස f(x) සමජාතීය අවකල සමීකරණයක බොහෝ විට බහුපදයක්, ඝාතීය හෝ ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතයක් හෝ මෙම ශ්‍රිතවල යම් සංයෝජනයක් වේ. මෙම අවස්ථාවේ දී, භාවිතා කරමින් විසඳුමක් සොයා ගැනීම වඩාත් පහසු වේ අවිනිශ්චිත සංගුණක ක්රමය. ඒ බව අපි අවධාරණය කරනවා මෙම ක්රමයවැනි දකුණු පැත්තේ සීමිත ශ්‍රිතයක් සඳහා පමණක් ක්‍රියා කරයි

අවස්ථා දෙකේදීම, විශේෂිත විසඳුමක් තෝරාගැනීම සමජාතීය අවකල සමීකරණයේ දකුණු පැත්තේ ව්යුහයට අනුරූප විය යුතුය. නඩුව 1 නම්, අංකය α ඝාතීය ශ්‍රිතයේ දී ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලය සමඟ සමපාත වේ, එවිට විශේෂිත විසඳුමේ අමතර සාධකයක් අඩංගු වේ x s, කොහෙද s- මූලයේ ගුණත්වය α ලාක්ෂණික සමීකරණය තුළ. නඩුව 2 නම්, අංකය α + βiලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලය සමඟ සමපාත වේ, එවිට විශේෂිත විසඳුම සඳහා වන ප්‍රකාශනයේ අමතර සාධකයක් අඩංගු වේ x. නිශ්චිත විසඳුමක් සඳහා සොයාගත් ප්‍රකාශනය මුල් සමජාතීය අවකල සමීකරණයට ආදේශ කිරීමෙන් නොදන්නා සංගුණක තීරණය කළ හැක.

සුපිරි ස්ථාන මූලධර්මය

සමජාතීය සමීකරණයේ දකුණු පැත්ත නම් ප්රමාණයපෝරමයේ කාර්යයන් කිහිපයක්

එවිට අවකල සමීකරණයේ නිශ්චිත විසඳුම ද දකුණු පැත්තේ එක් එක් පදය සඳහා වෙන වෙනම ගොඩනගනු ලබන විශේෂිත විසඳුම්වල එකතුවයි.

උදාහරණ 1

අවකල සමීකරණය විසඳන්න y"" + y= පව් (2 x).

විසඳුමක්.

අපි මුලින්ම අනුරූප සමජාතීය සමීකරණය විසඳන්නෙමු y"" + y= 0. තුළ මෙම නඩුවලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලයන් තනිකරම මනඃකල්පිත ය:

එබැවින්, සමජාතීය සමීකරණයේ පොදු විසඳුම ලබා දෙනු ලැබේ

අපි නැවතත් සමජාතීය සමීකරණය වෙත ආපසු යමු. අපි එහි විසඳුම ආකෘතියෙන් සොයමු

නියත විචලනය කිරීමේ ක්රමය භාවිතා කිරීම. කාර්යයන් සී 1 (x) හා සී 2 (x) පහත සමීකරණ පද්ධතියෙන් සොයාගත හැකිය:

අපි ව්යුත්පන්නය ප්රකාශ කරමු සී 1 " (x) පළමු සමීකරණයෙන්:

දෙවන සමීකරණයට ආදේශ කිරීම, අපි ව්යුත්පන්නය සොයා ගනිමු සී 2 " (x):

එබැවින් එය අනුගමනය කරයි

ව්යුත්පන්න සඳහා ප්රකාශන ඒකාබද්ධ කිරීම සී 1 " (x) හා සී 2 " (x), අපට ලැබෙන්නේ:

කොහෙද ඒ 1 , ඒ 2 - ඒකාබද්ධතා නියතයන්. දැන් අපි සොයාගත් කාර්යයන් ආදේශ කරමු සී 1 (x) හා සී 2 (x) සඳහා සූත්‍රය තුළට වයි 1 (x) සහ සමජාතීය සමීකරණයේ පොදු විසඳුම ලියන්න:

උදාහරණ 2

සමීකරණයට පොදු විසඳුමක් සොයන්න y"" + y" −6වයි = 36x.

විසඳුමක්.

අවිනිශ්චිත සංගුණක ක්රමය භාවිතා කරමු. දකුණු කොටස ලබා දී ඇති සමීකරණයනියෝජනය කරයි රේඛීය ශ්රිතය f(x)= පොරව + ආ. එබැවින්, අපි පෝරමයේ විශේෂිත විසඳුමක් සොයමු

ව්යුත්පන්න වන්නේ:

මෙය අවකල සමීකරණයට ආදේශ කිරීමෙන් අපට ලැබෙන්නේ:

අවසාන සමීකරණය අනන්‍යතාවයකි, එනම් එය සැමට වලංගු වේ x, එබැවින් අපි නියමවල සංගුණක සමාන බලතල සමඟ සමාන කරමු xවම් සහ දකුණු පැත්තේ:

ප්රතිඵල පද්ධතියෙන් අපි සොයා ගන්නේ: ඒ = −6, බී= -1. එහි ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, විශේෂිත විසඳුම පෝරමයේ ලියා ඇත

දැන් අපි සමජාතීය අවකල සමීකරණයේ පොදු විසඳුම සොයා ගනිමු. සහායක ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලයන් ගණනය කරමු:

එබැවින්, අනුරූප සමජාතීය සමීකරණයේ පොදු විසඳුමෙහි ස්වරූපය ඇත:

ඉතින්, මුල් සමජාතීය සමීකරණයේ පොදු විසඳුම සූත්රය මගින් ප්රකාශිත වේ

DE හි සාමාන්‍ය අනුකලනය.

අවකල සමීකරණය විසඳන්න

නමුත් හාස්‍යජනක දෙය නම් පිළිතුර දැනටමත් දැන සිටීමයි: වඩාත් නිවැරදිව, අපි නියතයක් ද එකතු කළ යුතුය: සාමාන්‍ය අනුකලනය අවකල සමීකරණයට විසඳුමකි.

අත්තනෝමතික නියතවල විචලනය කිරීමේ ක්රමය. විසඳුම් උදාහරණ

අත්තනෝමතික නියතවල විචලනය කිරීමේ ක්‍රමය සමජාතීය අවකල සමීකරණ විසඳීමට භාවිතා කරයි. මෙම පාඩම දැනටමත් මාතෘකාව පිළිබඳ වැඩි හෝ අඩු දැනුමක් ඇති සිසුන් සඳහා අදහස් කෙරේ. ඔබ දුරස්ථ පාලකය සමඟ දැන හඳුනා ගැනීමට පටන් ගන්නේ නම්, i.e. ඔබ තේ පෝච්චියක් නම්, පළමු පාඩමෙන් ආරම්භ කිරීමට මම නිර්දේශ කරමි: පළමු අනුපිළිවෙල අවකල සමීකරණ. විසඳුම් උදාහරණ. තවද ඔබ දැනටමත් අවසන් කරන්නේ නම්, කරුණාකර ක්‍රමය අපහසුය යන පූර්ව නිගමනය ඉවතලන්න. මොකද ඔහු සරලයි.

අත්තනෝමතික නියතයන් වෙනස් කිරීමේ ක්‍රමය භාවිතා කරන්නේ කුමන අවස්ථා වලදීද?

1) අත්තනෝමතික නියතයක විචලනය කිරීමේ ක්‍රමය විසඳීම සඳහා භාවිතා කළ හැක 1 වන අනුපිළිවෙලෙහි රේඛීය සමජාතීය DE. සමීකරණය පළමු අනුපිළිවෙලෙහි බැවින්, නියතය (ස්ථාවර) ද එකකි.

2) සමහරක් විසඳීම සඳහා අත්තනෝමතික නියතයන්ගේ විචලනය කිරීමේ ක්රමය භාවිතා වේ දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි රේඛීය සමජාතීය සමීකරණ. මෙහිදී නියත (අස්ථිර) දෙකක් වෙනස් වේ.

පාඩම ඡේද දෙකකින් සමන්විත වනු ඇතැයි උපකල්පනය කිරීම තර්කානුකූලයි .... මම මෙම යෝජනාව ලියා ඇති අතර, ප්‍රායෝගික උදාහරණ වෙත සුමට සංක්‍රමණයක් සඳහා එකතු කළ යුතු වෙනත් බුද්ධිමත් ජරාව කුමක්දැයි මම විනාඩි 10 ක් පමණ වේදනාකාරී ලෙස සිතුවෙමි. නමුත් කිසියම් හේතුවක් නිසා, නිවාඩුවෙන් පසු සිතුවිලි නොමැත, නමුත් මම කිසිවක් අපයෝජනය නොකළ බව පෙනේ. එබැවින් අපි පළමු ඡේදයට කෙලින්ම යමු.

අත්තනෝමතික නියත විචල්‍ය ක්‍රමය රේඛීය සමජාතීය පළමු අනුපිළිවෙල සමීකරණයක් සඳහා

අත්තනෝමතික නියතයක විචලනය කිරීමේ ක්‍රමය සලකා බැලීමට පෙර, ලිපිය සමඟ හුරුපුරුදු වීම සුදුසුය. පළමු අනුපිළිවෙලෙහි රේඛීය අවකල සමීකරණ. ඒ පාඩමේදී අපි පුහුණුවීම් කළා විසඳීමට පළමු මාර්ගය 1 වන අනුපිළිවෙලෙහි සමජාතීය නොවන DE. මෙම පළමු විසඳුම, මම ඔබට මතක් කරමි, හැඳින්වේ ප්රතිස්ථාපන ක්රමයහෝ බර්නූලි ක්රමය(ව්යාකූල නොවිය යුතුය බර්නූලි සමීකරණය!!!)

අපි දැන් සලකා බලමු විසඳීමට දෙවන මාර්ගය- අත්තනෝමතික නියතයක විචලනය කිරීමේ ක්රමය. මම උදාහරණ තුනක් පමණක් දෙන්නෙමි, මම ඒවා ඉහත පාඩමෙන් ගන්නෙමි. ඇයි එතරම් ස්වල්පයක්? ඇත්ත වශයෙන්ම දෙවන ආකාරයෙන් විසඳුම පළමු ආකාරයෙන් විසඳුමට බෙහෙවින් සමාන වනු ඇත. මීට අමතරව, මගේ නිරීක්ෂණවලට අනුව, අත්තනෝමතික නියතයන්ගේ විචලනය කිරීමේ ක්රමය ප්රතිස්ථාපන ක්රමයට වඩා අඩුවෙන් භාවිතා වේ.

උදාහරණ 1

අවකල්‍ය සමීකරණයේ සාමාන්‍ය විසඳුම සොයන්න (පාඩමේ උදාහරණ අංක 2 සිට වෙනස 1 වන අනුපිළිවෙලෙහි රේඛීය සමජාතීය DE)

විසඳුමක්:මෙම සමීකරණය රේඛීය සමජාතීය වන අතර හුරුපුරුදු ස්වරූපයක් ඇත:

පළමු අදියරේදී, සරල සමීකරණයක් විසඳීම අවශ්ය වේ: එනම්, අපි මෝඩ ලෙස දකුණු පැත්ත නැවත සකස් කරමු - ඒ වෙනුවට අපි ශුන්ය ලියන්නෙමු. මම අමතන්නම් සමීකරණය සහායක සමීකරණය.

මෙම උදාහරණයේ දී, ඔබ පහත සහායක සමීකරණය විසඳිය යුතුය:

අපට පෙර වෙන් කළ හැකි සමීකරණය, (මම බලාපොරොත්තු වන) විසඳුම ඔබට තවදුරටත් අපහසු නොවනු ඇත:

මේ අනුව: සහායක සමීකරණයේ පොදු විසඳුම වේ.

දෙවන පියවරේදී ආදේශ කරන්නසමහරුන්ගේ නියතයක් තවම"x" මත රඳා පවතින නොදන්නා ශ්‍රිතය:

එබැවින් ක්රමයේ නම - අපි නියතය වෙනස් කරමු . විකල්පයක් ලෙස, නියතය අපට දැන් සොයා ගත යුතු යම් කාර්යයක් විය හැකිය.

හිදී මුල්සමජාතීය නොවන සමීකරණය, අපි ප්රතිස්ථාපනය කරන්නෙමු:

සමීකරණයේ ආදේශ කරන්න:

පාලන මොහොත - වම් පැත්තේ ඇති පද දෙක අවලංගු වේ. මෙය සිදු නොවන්නේ නම්, ඔබ ඉහත දෝෂය සොයා බැලිය යුතුය.

ප්රතිස්ථාපනය කිරීමේ ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, වෙන් කළ හැකි විචල්යයන් සහිත සමීකරණයක් ලබා ගනී. විචල්‍යයන් වෙන් කර අනුකලනය කරන්න.

මොනතරම් ආශීර්වාදයක්ද, ඝාතකයන් ද හැකිලෙමින් තිබේ:

අපි සොයාගත් ශ්‍රිතයට “සාමාන්‍ය” නියතයක් එකතු කරමු:

අවසාන අදියරේදී, අපි අපගේ ආදේශනය සිහිපත් කරමු:

කාර්යය දැන් හමු විය!

එබැවින් පොදු විසඳුම වන්නේ:

පිළිතුර:පොදු තීරණය:

ඔබ විසඳුම් දෙක මුද්‍රණය කළහොත්, අවස්ථා දෙකේදීම අපට හමු වූයේ එකම අනුකලනය බව ඔබට පහසුවෙන් පෙනෙනු ඇත. එකම වෙනස විසඳුම් ඇල්ගොරිතමයේ පමණි.

දැන් වඩාත් සංකීර්ණ දෙයක්, මම දෙවන උදාහරණය ගැන ද අදහස් දක්වන්නෙමි:

උදාහරණ 2

අවකල සමීකරණයේ සාමාන්‍ය විසඳුම සොයා ගන්න (පාඩමේ උදාහරණ අංක 8 න් වෙනස 1 වන අනුපිළිවෙලෙහි රේඛීය සමජාතීය DE)

විසඳුමක්:අපි සමීකරණය පෝරමයට ගෙනෙමු:

දකුණු පැත්ත ශුන්‍යයට සකසන්න සහ සහායක සමීකරණය විසඳන්න:

විචල්‍යයන් වෙන් කර අනුකලනය කරන්න: සහායක සමීකරණයේ සාමාන්‍ය විසඳුම:

සමජාතීය සමීකරණයේදී, අපි ආදේශනය කරන්නෙමු:

නිෂ්පාදන අවකලනය රීතියට අනුව:

මුල් සමජාතීය සමීකරණයට ආදේශ කරන්න:

වම් පැත්තේ ඇති පද දෙක අවලංගු වේ, එයින් අදහස් වන්නේ අපි නිවැරදි මාර්ගයේ සිටින බවයි:

අපි කොටස් මගින් ඒකාබද්ධ කරමු. කොටස් අනුව ඒකාබද්ධ කිරීම සඳහා සූත්‍රයෙන් රසවත් ලිපියක් දැනටමත් විසඳුමට සම්බන්ධ වී ඇත, එබැවින් අපි උදාහරණයක් ලෙස "a" සහ "be" අක්ෂර භාවිතා කරමු:

අවසානයේ:

දැන් අපි ආදේශනය දෙස බලමු:

පිළිතුර:පොදු තීරණය:

අත්තනෝමතික නියතයන් වෙනස් කිරීමේ ක්රමය රේඛීය සමජාතීය දෙවන අනුපිළිවෙල සමීකරණයක් සඳහා නියත සංගුණක සමඟ

දෙවන අනුපිළිවෙල සමීකරණයක් සඳහා අත්තනෝමතික නියත විචලනය කිරීමේ ක්‍රමය පහසු දෙයක් නොවන බවට මතයක් බොහෝ විට අසන්නට ලැබේ. නමුත් මම පහත සඳහන් දේ අනුමාන කරමි: බොහෝ දුරට, ක්‍රමය එතරම් සුලභ නොවන බැවින් බොහෝ දෙනෙකුට අපහසු බව පෙනේ. නමුත් යථාර්ථයේ දී, විශේෂිත දුෂ්කරතා නොමැත - තීරණයේ ගමන් මග පැහැදිලි, විනිවිද පෙනෙන සහ තේරුම් ගත හැකි ය. ඒ වගේම ලස්සනයි.

ක්‍රමය ප්‍රගුණ කිරීම සඳහා, දකුණු පැත්තේ ස්වරූපය අනුව විශේෂිත විසඳුමක් තෝරා ගැනීමෙන් දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි සමජාතීය සමීකරණ විසඳීමට හැකි වීම යෝග්‍ය වේ. මෙම ක්රමයලිපියේ විස්තරාත්මකව සාකච්ඡා කර ඇත. 2 වන අනුපිළිවෙලෙහි සමජාතීය DE. නියත සංගුණක සහිත දෙවන පෙළ රේඛීය සමජාතීය සමීකරණයක ස්වරූපය ඇති බව අපට මතකයි:

ඉහත පාඩමේ සලකා බැලූ තේරීම් ක්‍රමය ක්‍රියාත්මක වන්නේ බහුපද, ඝාතක, සයින, කෝසයින දකුණු පැත්තේ ඇති විට සීමිත අවස්ථා ගණනකදී පමණි. නමුත් දකුණේ ඇති විට කුමක් කළ යුතුද, උදාහරණයක් ලෙස, භාගයක්, ලඝුගණකයක්, ස්පර්ශකයක්? එවැනි තත්වයක් තුළ, නියත විචලනය කිරීමේ ක්රමය ගලවා ගැනීමට පැමිණේ.

උදාහරණය 4

දෙවන අනුපිළිවෙල අවකල සමීකරණයක පොදු විසඳුම සොයන්න

විසඳුමක්:මෙම සමීකරණයේ දකුණු පැත්තේ කොටසක් ඇත, එබැවින් නිශ්චිත විසඳුමක් තෝරාගැනීමේ ක්‍රමය ක්‍රියාත්මක නොවන බව අපට වහාම පැවසිය හැකිය. අපි අත්තනෝමතික නියතවල විචලනය කිරීමේ ක්රමය භාවිතා කරමු.

කිසිවක් ගිගුරුම් සහිත වැස්සක් නිරූපණය නොකරයි, විසඳුමේ ආරම්භය තරමක් සාමාන්‍ය ය:

අපි සොයා බලමු පොදු තීරණයඅනුරූපී සමජාතීයසමීකරණ:

අපි ලාක්ෂණික සමීකරණය සම්පාදනය කර විසඳන්නෙමු: - සංයුක්ත සංකීර්ණ මූලයන් ලබා ගනී, එබැවින් පොදු විසඳුම වන්නේ:

පොදු විසඳුමේ වාර්තාවට අවධානය යොමු කරන්න - වරහන් තිබේ නම්, ඒවා විවෘත කරන්න.

දැන් අපි පළමු අනුපිළිවෙල සමීකරණයට සමාන උපක්‍රමයක් කරන්නෙමු: අපි නියතයන් වෙනස් කරන්නෙමු, ඒවා නොදන්නා ශ්‍රිතවලින් ප්‍රතිස්ථාපනය කරන්නෙමු. එනම්, සමජාතීය නොවන පොදු විසඳුමඅපි පෝරමයේ සමීකරණ සොයන්නෙමු:

කොහෙද - තවමනොදන්නා කාර්යයන්.

කුණු කන්දක් වගේ ගෘහස්ථ කසල, නමුත් දැන් අපි සියල්ල වර්ග කරමු.

ශ්‍රිතවල ව්‍යුත්පන්නයන් නොදන්නා ලෙස ක්‍රියා කරයි. අපගේ ඉලක්කය වන්නේ ව්‍යුත්පන්න සොයා ගැනීම වන අතර, සොයාගත් ව්‍යුත්පන්නයන් පද්ධතියේ පළමු සහ දෙවන සමීකරණ දෙකම තෘප්තිමත් කළ යුතුය.

"ක්‍රීඩා" පැමිණෙන්නේ කොහෙන්ද? කොකු ඒවා ගෙන එයි. අපි කලින් ලබාගත් සාමාන්‍ය විසඳුම දෙස බලා මෙසේ ලියන්නෙමු:

අපි ව්‍යුත්පන්න සොයා ගනිමු:

වම් පැත්ත සමඟ කටයුතු කරන්න. දකුණු පසින් ඇත්තේ කුමක්ද?

මුල් සමීකරණයේ දකුණු පැත්ත වේ, මෙම අවස්ථාවේදී:

නියත සංගුණක සමඟ දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණ විසඳීමේ ප්රශ්නය මෙම ලිපියෙන් හෙළි කරයි. ලබා දී ඇති ගැටළු පිළිබඳ උදාහරණ සමඟ න්‍යාය සලකා බලනු ඇත. තේරුම්ගත නොහැකි නියමයන් විකේතනය කිරීම සඳහා, අවකල සමීකරණ න්‍යායේ මූලික අර්ථ දැක්වීම් සහ සංකල්ප යන මාතෘකාවට යොමු කිරීම අවශ්‍ය වේ.

y "" + p y " + q y \u003d f (x) ආකෘතියේ නියත සංගුණක සහිත දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි රේඛීය අවකල සමීකරණයක් (LDE) සලකා බලන්න, p සහ q යනු අත්තනෝමතික සංඛ්‍යා වන අතර පවතින ශ්‍රිතය f (x) වේ. අනුකලනය x මත අඛණ්ඩව.

අපි LIDE සඳහා සාමාන්‍ය විසඳුම් ප්‍රමේයය සැකසීමට යමු.

Yandex.RTB R-A-339285-1

LDNU සඳහා සාමාන්‍ය විසඳුම් ප්‍රමේයය

ප්රමේයය 1

y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + ආකෘතියේ සමජාතීය අවකල සමීකරණයක x අන්තරය මත පිහිටා ඇති සාමාන්‍ය විසඳුම. . . + f 0 (x) y = f (x) x පරතරය මත අඛණ්ඩ ඒකාබද්ධතා සංගුණක සමඟ f 0 (x) , f 1 (x) , . . . , f n - 1 (x) සහ අඛණ්ඩ ක්රියාකාරිත්වය f (x) සාමාන්‍ය ද්‍රාවණයේ එකතුවට සමාන වේ y 0 , එය LODE ට අනුරූප වන අතර යම් නිශ්චිත විසඳුමක් y ~ , මෙහි මුල් සමජාතීය සමීකරණය y = y 0 + y ~ වේ.

මෙයින් පෙන්නුම් කරන්නේ එවැනි දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි විසඳුමෙහි y = y 0 + y ~ ආකෘතිය ඇති බවයි. y 0 සොයා ගැනීම සඳහා ඇල්ගොරිතම නියත සංගුණක සහිත දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණ පිළිබඳ ලිපියෙහි සලකා බලනු ලැබේ. ඊට පසු, යමෙකු y ~ හි අර්ථ දැක්වීමට යා යුතුය.

LIDE සඳහා විශේෂිත විසඳුමක් තෝරාගැනීම සමීකරණයේ දකුණු පැත්තේ පිහිටා ඇති f (x) ශ්‍රිතයේ වර්ගය මත රඳා පවතී. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, නියත සංගුණක සහිත දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණවල විසඳුම් වෙන වෙනම සලකා බැලීම අවශ්ය වේ.

f (x) යනු n වැනි අංශක f (x) = P n (x) හි බහුපදයක් ලෙස සලකන විට, LIDE හි නිශ්චිත විසඳුමක් y ~ = Q n (x) ආකෘතියේ සූත්‍රයකින් සොයා ගන්නා බව පහත දැක්වේ. ) x γ , Q n (x) යනු n උපාධියේ බහුපදයක් වන අතර, r යනු ලාක්ෂණික සමීකරණයේ ශුන්‍ය මූල ගණනයි. y ~ හි අගය විශේෂිත විසඳුමකි y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) , පසුව පවතින සංගුණක, බහුපදයෙන් අර්ථ දක්වා ඇත.
Q n (x), y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) සමානාත්මතාවයෙන් අවිනිශ්චිත සංගුණක ක්‍රමය භාවිතා කරන බව අපි සොයා ගනිමු.

උදාහරණ 1

Cauchy ප්‍රමේයය y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 භාවිතා කරමින් ගණනය කරන්න.

විසඳුමක්

වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, නියත සංගුණක y "" - 2 y " = x 2 + 1 සමඟ දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි රේඛීය අසමජාතීය අවකල සමීකරණයක විශේෂිත විසඳුමක් වෙත ගමන් කිරීම අවශ්ය වේ, එය ලබා දී ඇති කොන්දේසි සපුරාලනු ඇත y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .

රේඛීය සමජාතීය සමීකරණයක සාමාන්‍ය විසඳුම y 0 සමීකරණයට අනුරූප වන සාමාන්‍ය ද්‍රාවණයේ එකතුව හෝ සමජාතීය සමීකරණයේ y ~ , එනම් y = y 0 + y ~ .

පළමුව, අපි LNDE සඳහා පොදු විසඳුමක් සොයා ගනිමු, පසුව විශේෂිත එකක්.

අපි y 0 සෙවීමට යමු. ලාක්ෂණික සමීකරණය ලිවීම මූලයන් සොයා ගැනීමට උපකාරී වේ. අපිට ඒක ලැබෙනවා

k 2 - 2 k \u003d 0 k (k - 2) \u003d 0 k 1 \u003d 0, k 2 \u003d 2

මූලයන් වෙනස් හා සැබෑ බව අපට පෙනී ගියේය. එබැවින් අපි ලියන්නෙමු

y 0 \u003d C 1 e 0 x + C 2 e 2 x \u003d C 1 + C 2 e 2 x.

අපි y ~ සොයා ගනිමු. ලබා දී ඇති සමීකරණයේ දකුණු පැත්ත දෙවන උපාධියේ බහුපදයක් වන අතර, එවිට එක් මූලයක් ශුන්‍යයට සමාන වේ. මෙතැන් සිට අපට y ~ සඳහා විශේෂිත විසඳුමක් ලැබෙනු ඇත

y ~ = Q 2 (x) x γ \u003d (A x 2 + B x + C) x \u003d A x 3 + B x 2 + C x, A, B, C හි අගයන් නිර්වචනය නොකළ සංගුණක ගන්න.

අපි ඒවා y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 පෝරමයේ සමානාත්මතාවයකින් සොයා ගනිමු.

එවිට අපට එය ලැබේ:

y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C "- 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1

එකම ඝාතකයන් සමඟ සංගුණක සමාන කිරීම x , අපි රේඛීය ප්රකාශන පද්ධතියක් ලබා ගනිමු - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1 . ඕනෑම ආකාරයකින් විසඳන විට, අපි සංගුණක සොයාගෙන ලියන්නෙමු: A \u003d - 1 6, B \u003d - 1 4, C \u003d - 3 4 සහ y ~ \u003d A x 3 + B x 2 + C x \u003d - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x .

මෙම ප්‍රවේශය නියත සංගුණක සහිත මුල් රේඛීය සමජාතීය දෙවන අනුපිළිවෙල අවකල සමීකරණයේ සාමාන්‍ය විසඳුම ලෙස හැඳින්වේ.

y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 කොන්දේසි සපුරාලන විශේෂිත විසඳුමක් සොයා ගැනීමට, අගයන් තීරණය කිරීම අවශ්ය වේ C1හා C2, y \u003d C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x පෝරමයේ සමානාත්මතාවයක් මත පදනම්ව.

අපට එය ලැබෙන්නේ:

y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y "(0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x "x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4

අපි C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4 ආකෘතියේ සමීකරණ පද්ධතිය සමඟ වැඩ කරන්නෙමු, එහිදී C 1 = 3 2, C 2 = 1 2 .

කෞචි ප්‍රමේයය යෙදීමෙන් අපට එය තිබේ

y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x

පිළිතුර: 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .

f (x) ශ්‍රිතය n උපාධියක් සහ f (x) = P n (x) e a x ඝාතකයක් සහිත බහුපදයක ගුණිතයක් ලෙස නිරූපණය වන විට, මෙතැන් සිට අපි දෙවන අනුපිළිවෙල LIDE හි නිශ්චිත විසඳුමක් ලබා ගනිමු. y ~ = e a x Q n ( x) · x γ ආකෘතියේ සමීකරණයකි , Q n (x) යනු n වන උපාධියේ බහුපදයක් වන අතර r යනු α ට සමාන ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූල ගණන වේ.

Q n (x) ට අයත් සංගුණක y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) සමානාත්මතාවයෙන් සොයා ගනී.

උදාහරණ 2

y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x ආකෘතියේ අවකල සමීකරණයක පොදු විසඳුම සොයන්න.

විසඳුමක්

සාමාන්‍ය සමීකරණය y = y 0 + y ~ . දක්වා ඇති සමීකරණය LOD y "" - 2 y " = 0 ට අනුරූප වේ. පෙර උදාහරණය පෙන්නුම් කරන්නේ එහි මූලයන් k1 = 0සහ k 2 = 2 සහ y 0 = C 1 + C 2 e 2 x ලාක්ෂණික සමීකරණයට අනුව.

ඒක පැහැදිලියි දකුණු පැත්තසමීකරණයේ x 2 + 1 · e x වේ. මෙතැන් සිට, LNDE y ~ = e a x Q n (x) x γ හරහා සොයා ගැනේ, මෙහි Q n (x) , එය දෙවන උපාධියේ බහුපදයක් වන අතර, α = 1 සහ r = 0 , ලාක්ෂණික සමීකරණය නොමැති නිසා 1 ට සමාන මූලයක් ඇත. එබැවින් අපට එය ලැබේ

y ~ = e a x Q n (x) x γ = e x A x 2 + B x + C x 0 = e x A x 2 + B x + C .

A, B, C යනු නොදන්නා සංගුණක වන අතර, y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x සමානාත්මතාවයෙන් සොයාගත හැකිය.

තේරුණා

y ~ "= e x A x 2 + B x + C" = e x A x 2 + B x + C + e x 2 A x + B == e x A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x 2 A x + 2 A + B = = e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C

y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 e x ⇔ e x - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) e x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = 1 x 2 + 0 x + 1

අපි එකම සංගුණක සඳහා දර්ශක සමාන කර රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියක් ලබා ගනිමු. මෙතැන් සිට අපි A, B, C සොයා ගනිමු:

A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ A = - 1 B = 0 C = - 3

පිළිතුර: y ~ = e x (A x 2 + B x + C) = e x - x 2 + 0 x - 3 = - e x x 2 + 3 යනු LIDE හි විශේෂිත විසඳුමක් වන අතර y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3

ශ්‍රිතය f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x ලෙස ලියා ඇති විට, සහ A 1හා IN 1සංඛ්‍යා වේ, පසුව y ~ = A cos β x + B sin β x x γ ආකෘතියේ සමීකරණයකි, මෙහි A සහ B අවිනිශ්චිත සංගුණක ලෙස සලකනු ලැබේ, සහ r ලාක්ෂණික සමීකරණයට අදාළ සංකීර්ණ සංයුජ මූල සංඛ්‍යාව, සමාන වේ ± i β. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, සංගුණක සඳහා සෙවීම සිදු කරනු ලබන්නේ සමානාත්මතාවයෙන් y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

උදාහරණය 3

y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ආකෘතියේ අවකල සමීකරණයක පොදු විසඳුම සොයන්න.

විසඳුමක්

ලාක්ෂණික සමීකරණය ලිවීමට පෙර, අපි y 0 සොයා ගනිමු. ඉන්පසු

k 2 + 4 \u003d 0 k 2 \u003d - 4 k 1 \u003d 2 i, k 2 \u003d - 2 i

අපට සංකීර්ණ සංයුජ මූල යුගලයක් ඇත. අපි පරිවර්තනය කර ලබා ගනිමු:

y 0 \u003d e 0 (C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x)) \u003d C 1 cos 2 x + C 2 sin (2 x)

ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලයන් සංයුජ යුගලයක් ලෙස සලකනු ලැබේ ± 2 i , පසුව f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x) . මෙයින් පෙන්නුම් කරන්නේ y ~ සඳහා සෙවීම y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x වලින් බව. නොදන්නා සංගුණක A සහ B y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ආකෘතියේ සමානාත්මතාවයකින් සොයනු ඇත.

අපි පරිවර්තනය කරමු:

y ~ " = ((A cos (2 x) + B sin (2 x) x) " = = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x) y ~ "" = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x)

එතකොට ඒක පේනවා

y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ - 4 A sin (2 x) + 4B cos(2x) = cos(2x) + 3 sin(2x)

සයින් සහ කෝසයිනවල සංගුණක සමාන කිරීම අවශ්ය වේ. අපි පෝරමයේ පද්ධතියක් ලබා ගනිමු:

4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = - 3 4 B = 1 4

එය පහත දැක්වෙන්නේ y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x .

පිළිතුර:නියත සංගුණක සහිත දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි මුල් LIDE හි පොදු විසඳුම ලෙස සැලකේ

y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x

f (x) = e a x P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x) , එවිට y ~ = e a x (L m (x) sin (β x) + N m (x ) cos (β x) x γ අපට ඇත්තේ r යනු ලාක්ෂණික සමීකරණයට අදාළ මූල සංකීර්ණ සංයුජ යුගල ගණන වන අතර, α ± i β ට සමාන වන අතර P n (x) , Q k (x) , L m ( x) සහ N m (x) n, k, m යන උපාධියේ බහුපද වේ m = m a x (n, k). සංගුණක සොයා ගැනීම L m (x)හා N m (x)සමානාත්මතාවය මත නිපදවනු ලැබේ y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

උදාහරණය 4

සාමාන්‍ය විසඳුම සොයන්න y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) .

විසඳුමක්

බව කොන්දේසියෙන් පැහැදිලි වේ

α = 3 , β = 5 , P n (x) = - 38 x - 45 , Q k (x) = - 8 x + 5 , n = 1 , k = 1

එවිට m = m a x (n , k) = 1 . පෝරමයේ ලාක්ෂණික සමීකරණය මුලින්ම ලිවීමෙන් අපි y 0 සොයා ගනිමු:

k 2 - 3 k + 2 = 0 D = 3 2 - 4 1 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1, k 2 = 3 + 1 2 = 2

මූලයන් සැබෑ සහ වෙනස් බව අපට පෙනී ගියේය. එබැවින් y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x . ඊළඟට, පෝරමයේ y ~ සමජාතීය සමීකරණයක් මත පදනම් වූ පොදු විසඳුමක් සොයා බැලීම අවශ්ය වේ.

y ~ = e α x (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))

α ± i β = 3 ± 5 · i සමඟ ලාක්ෂණික සමීකරණයට අදාළ සංයුජ මූල යුගලයක් නොමැති නිසා A, B, C සංගුණක, r = 0 බව දන්නා කරුණකි. මෙම සංගුණක ප්රතිඵල සමානාත්මතාවයෙන් සොයාගත හැකිය:

y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (( A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) "" - - 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))

ව්යුත්පන්න සහ සමාන පද සොයා ගැනීම ලබා දෙයි

E 3 x ((15 A + 23 C) x sin (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) sin (5 x) + + (23 A - 15 C) x cos (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) cos (5 x)) = = - e 3 x (38 x sin (5 x) + 45 sin (5 x) + + 8 x cos ( 5 x) - 5 cos (5 x))

සංගුණක සමීකරණය කිරීමෙන් පසුව, අපි පෝරමයේ පද්ධතියක් ලබා ගනිමු

15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 D = 1

සියල්ලෙන් එය පහත දැක්වේ

y ~= e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) == e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x +1)පව්(5x))

පිළිතුර:දැන් ලබා දී ඇති රේඛීය සමීකරණයේ පොදු විසඳුම ලබාගෙන ඇත:

y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))

LDNU විසඳීම සඳහා ඇල්ගොරිතම

අර්ථ දැක්වීම 1

විසඳුම සඳහා වෙනත් ඕනෑම ආකාරයක f (x) ශ්‍රිතයක් විසඳුම් ඇල්ගොරිතම සඳහා සපයයි:

y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2 , එහිදී අනුරූප රේඛීය සමජාතීය සමීකරණයේ පොදු විසඳුම සොයා ගැනීම y 1හා y2 LODE හි රේඛීයව ස්වාධීන විශේෂිත විසඳුම් වේ, 1 සිටහා 2 සිටඅත්තනෝමතික නියතයන් ලෙස සලකනු ලැබේ;
LIDE y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2 හි පොදු විසඳුමක් ලෙස පිළිගැනීම;
C 1 "(x) + y 1 (x) + C 2 "(x) y 2 (x) = 0 C 1 "(x) + y 1" (x) ආකෘතියේ පද්ධතියක් හරහා ශ්‍රිතයක ව්‍යුත්පන්න අර්ථ දැක්වීම ) + C 2 "(x) y 2 "(x) = f (x) , සහ ශ්‍රිත සොයාගැනීම C 1 (x)සහ C 2 (x) ඒකාබද්ධ කිරීම හරහා.

උදාහරණ 5

y "" + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x සඳහා පොදු විසඳුම සොයන්න.

විසඳුමක්

අපි කලින් y 0 , y "" + 36 y = 0 ලියා ඇති ලාක්ෂණික සමීකරණය ලිවීමට ඉදිරියට යමු. අපි ලියා විසඳමු:

k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i , k 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = පාපය (6 x)

ලබා දී ඇති සමීකරණයේ සාමාන්‍ය විසඳුමේ වාර්තාව y = C 1 (x) cos (6 x) + C 2 (x) sin (6 x) ආකාරය ගන්නා බව අපට තිබේ. ව්යුත්පන්න ශ්රිතවල නිර්වචනය වෙත ගමන් කිරීම අවශ්ය වේ C 1 (x)හා C2(x)සමීකරණ සමඟ පද්ධතියට අනුව:

C 1 "(x) cos (6 x) + C 2" (x) sin (6 x) = 0 C 1 "(x) (cos (6 x))" + C 2 "(x) (sin (6) x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) cos (6 x) + C 2 " (x) sin (6 x) = 0 C 1 " (x) (- 6 sin (6 x) + C 2 " (x) (6 cos (6 x)) \u003d \u003d 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x

යන්න සම්බන්ධයෙන් තීරණයක් ගත යුතුය C 1 "(x)හා C2" (x)ඕනෑම ක්රමයක් භාවිතා කිරීම. එවිට අපි මෙසේ ලියමු.

C 1 "(x) \u003d - 4 sin 2 (6 x) + 2 sin (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x sin (6 x) C 2 "(x) \u003d 4 sin (6 x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)

සෑම සමීකරණයක්ම ඒකාබද්ධ කළ යුතුය. එවිට අපි ප්රතිඵල සමීකරණ ලියන්නෙමු:

C 1 (x) = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4

සාමාන්‍ය විසඳුමට පෝරමය ඇති බව පහත දැක්වේ:

y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4 sin (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6 x)

පිළිතුර: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6x)

ඔබ පෙළෙහි වරදක් දුටුවහොත්, කරුණාකර එය උද්දීපනය කර Ctrl+Enter ඔබන්න

දේශනය LNDE - රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණ සමඟ කටයුතු කරයි. සාමාන්‍ය ද්‍රාවණයේ ව්‍යුහය සලකා බලනු ලැබේ, අත්තනෝමතික නියතයන් වෙනස් කිරීමේ ක්‍රමය මගින් LNDE ද්‍රාවණය, නියත සංගුණක සහිත LNDE ද්‍රාවණය සහ දකුණු පැත්ත විශේෂ ආකාරයේ. භෞතික විද්‍යාව, විදුලි ඉංජිනේරු විද්‍යාව සහ ඉලෙක්ට්‍රොනික විද්‍යාවේ බලහත්කාර දෝලනය සහ ස්වයංක්‍රීය පාලනය පිළිබඳ න්‍යාය අධ්‍යයනය කිරීමේදී සලකා බලනු ලබන ගැටළු භාවිතා වේ.

1. 2 වන අනුපිළිවෙලෙහි රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණයක පොදු විසඳුමේ ව්යුහය.

අත්තනෝමතික අනුපිළිවෙලෙහි රේඛීය සමජාතීය සමීකරණයක් පළමුව සලකා බලන්න:

අංකනය අනුව, අපට ලිවිය හැකිය:

මෙම අවස්ථාවෙහිදී, මෙම සමීකරණයේ සංගුණක සහ දකුණු පැත්ත යම් කාල පරතරයක් මත අඛණ්ඩව පවතින බව අපි උපකල්පනය කරමු.

ප්රමේයය. යම් වසමක රේඛීය අසමජාතීය අවකල සමීකරණයක සාමාන්‍ය විසඳුම එහි ඕනෑම ද්‍රාවණයක එකතුව සහ ඊට අනුරූප රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණයේ සාමාන්‍ය විසඳුම වේ.

සාක්ෂි. Y යනු සමජාතීය සමීකරණයක යම් විසඳුමක් වේවා.

ඉන්පසුව, මෙම විසඳුම මුල් සමීකරණයට ආදේශ කිරීමෙන්, අපි අනන්‍යතාවය ලබා ගනිමු:

ඉඩ
- මූලික පද්ධතියරේඛීය සමජාතීය සමීකරණයේ විසඳුම්
. එවිට සමජාතීය සමීකරණයේ පොදු විසඳුම මෙසේ ලිවිය හැකිය:

විශේෂයෙන්, 2 වන අනුපිළිවෙලෙහි රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණයක් සඳහා, පොදු විසඳුමේ ව්යුහයේ ස්වරූපය ඇත:

කොහෙද
අනුරූප සමජාතීය සමීකරණයේ විසඳුම්වල මූලික පද්ධතිය වේ, සහ
- සමජාතීය සමීකරණයේ ඕනෑම විශේෂිත විසඳුමක්.

මේ අනුව, රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණයක් විසඳීම සඳහා, අනුරූප සමජාතීය සමීකරණයේ පොදු විසඳුමක් සොයා ගැනීම සහ කෙසේ හෝ අසමජාතීය සමීකරණයේ එක් විශේෂිත විසඳුමක් සොයා ගැනීම අවශ්ය වේ. සාමාන්යයෙන් එය තෝරා ගැනීමෙන් සොයා ගනී. විශේෂිත විසඳුමක් තෝරාගැනීමේ ක්රම පහත සඳහන් ප්රශ්න වලින් සලකා බලනු ඇත.

2. විචලනය කිරීමේ ක්රමය

ප්රායෝගිකව, අත්තනෝමතික නියතයන් වෙනස් කිරීමේ ක්රමය යෙදීම පහසුය.

මෙය සිදු කිරීම සඳහා, පළමුව, අනුරූප සමජාතීය සමීකරණයේ පොදු විසඳුම ආකෘතියෙන් සොයා ගන්න:

ඉන්පසුව, සංගුණක සැකසීම සී මමසිට කාර්යයන් x, සමජාතීය සමීකරණයේ විසඳුම සොයන්නේ:

කාර්යයන් සොයා ගැනීම සඳහා බව පෙන්විය හැක සී මම (x) ඔබ සමීකරණ පද්ධතිය විසඳිය යුතුය:

උදාහරණයක්.සමීකරණය විසඳන්න

අපි රේඛීය සමජාතීය සමීකරණයක් විසඳන්නෙමු

සමජාතීය සමීකරණයේ විසඳුම මේ ආකාරයෙන් පෙනෙනු ඇත:

අපි සමීකරණ පද්ධතියක් සම්පාදනය කරමු:

අපි මෙම පද්ධතිය විසඳමු:

සම්බන්ධතාවයෙන් අපි කාර්යය සොයා ගනිමු ඔහ්).

දැන් අපි හොයාගන්නවා B(x)

අපි ලබාගත් අගයන් සමජාතීය සමීකරණයේ සාමාන්‍ය විසඳුම සඳහා සූත්‍රයට ආදේශ කරමු:

අවසාන පිළිතුර:

සාමාන්‍යයෙන් කථා කරන විට, ඕනෑම රේඛීය සමජාතීය සමීකරණයකට විසඳුම් සෙවීම සඳහා අත්තනෝමතික නියත විචලනය කිරීමේ ක්‍රමය සුදුසු වේ. නමුත් එතැන් සිට අනුරූප සමජාතීය සමීකරණයේ මූලික විසඳුම් පද්ධතිය සොයා ගැනීම තරමක් දුෂ්කර කාර්යයක් විය හැකිය, මෙම ක්රමය ප්රධාන වශයෙන් භාවිතා කරනුයේ නියත සංගුණක සහිත සමජාතීය නොවන සමීකරණ සඳහාය.

3. විශේෂ ආකෘතියක දකුණු පස ඇති සමීකරණ

සමජාතීය සමීකරණයේ දකුණු පැත්තේ ස්වරූපය අනුව විශේෂිත විසඳුමක ස්වරූපය නිරූපණය කළ හැකි බව පෙනේ.

පහත සඳහන් අවස්ථා තිබේ:

I. රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණයේ දකුණු පැත්තේ ස්වරූපය ඇත:

උපාධිය බහුපද කොහෙද එම්.

එවිට විශේෂිත විසඳුමක් ආකෘතියෙන් සොයනු ලැබේ:

මෙතන ප්‍රශ්නය(x) සමාන උපාධියේ බහුපදයකි පී(x) , නමුත් නිර්වචනය නොකළ සංගුණක සමඟ, සහ ආර්- අනුරූප රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණය සඳහා ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලය  සංඛ්‍යාව කොපමණ වාරයක් දැයි පෙන්වන සංඛ්‍යාවක්.

උදාහරණයක්.සමීකරණය විසඳන්න
.

අපි අනුරූප සමජාතීය සමීකරණය විසඳන්නෙමු:

දැන් අපි මුල් සමජාතීය සමීකරණයේ විශේෂිත විසඳුමක් සොයා ගනිමු.

ඉහත සාකච්ඡා කළ දකුණු පැත්තේ ස්වරූපය සමඟ සමීකරණයේ දකුණු පැත්ත සංසන්දනය කරමු.

අපි පෝරමයේ විශේෂිත විසඳුමක් සොයන්නෙමු:
, කොහෙද

එම.

දැන් අපි නොදන්නා සංගුණක නිර්වචනය කරමු නමුත්හා හිදී.

අපි සාමාන්‍ය ආකාරයෙන් විශේෂිත විසඳුමක් මුල් සමජාතීය අවකල සමීකරණයට ආදේශ කරමු.

එබැවින්, පුද්ගලික විසඳුමක්:

එවිට රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණයේ පොදු විසඳුම:

II. රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණයේ දකුණු පැත්තේ ස්වරූපය ඇත:

මෙතන ආර් 1 (X)හා ආර් 2 (X)උපාධියේ බහුපද වේ එම් 1 සහ එම් 2 පිළිවෙලින්.

එවිට සමජාතීය සමීකරණයේ විශේෂිත විසඳුමේ ස්වරූපය ඇත:

කොහෙද අංකය ආර්අංකයක් කොපමණ වාර ගණනක් පෙන්වයි
අනුරූප සමජාතීය සමීකරණය සඳහා ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මුල වේ, සහ ප්‍රශ්නය 1 (x) හා ප්‍රශ්නය 2 (x) - උපරිම වශයෙන් උපාධියේ බහුපද එම්, කොහෙද එම්- අංශක වලින් විශාලතම එම් 1 හා එම් 2 .

විශේෂිත විසඳුම් වර්ගවල සාරාංශ වගුව

විවිධ වර්ගයේ නිවැරදි කොටස් සඳහා

අවකල සමීකරණයේ දකුණු පැත්ත	ලක්ෂණ සමීකරණය	පුද්ගලික වර්ග
	1. ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලය අංකය නොවේ
	2. ලාක්ෂණික ගුණාකාර සමීකරණයේ මුල අංකයයි
	1. අංකය ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලයක් නොවේ
	2. අංකය ලාක්ෂණික ගුණාකාර සමීකරණයේ මුල වේ
	1. සංඛ්යා
	2. සංඛ්යා ලාක්ෂණික ගුණාකාර සමීකරණයේ මූලයන් වේ
	1. සංඛ්යා ලාක්ෂණික ගුණාකාර සමීකරණයේ මූලයන් නොවේ
	2. සංඛ්යා ලාක්ෂණික ගුණාකාර සමීකරණයේ මූලයන් වේ

සමීකරණයේ දකුණු පැත්ත ඉහත සලකා බැලූ පෝරමයේ ප්‍රකාශනවල එකතුවක් නම්, විසඳුම සොයාගනු ලබන්නේ සහායක සමීකරණවල විසඳුම්වල එකතුවක් ලෙස වන අතර, ඒ සෑම එකක්ම සංයෝජනයට ඇතුළත් ප්‍රකාශනයට අනුරූප වන දකුණු පැත්තක් ඇති බව සලකන්න.

එම. සමීකරණය පෙනෙන්නේ නම්:
, එවිට මෙම සමීකරණයේ විශේෂිත විසඳුමක් වනු ඇත
කොහෙද හිදී 1 හා හිදී 2 සහායක සමීකරණවල විශේෂිත විසඳුම් වේ